SULLA RISOLUZIONE DI PROBLEMI MULTIDOMINIO MEDIANTE EQUAZIONI INTEGRALI T. Colella, V. Minutolo...

SULLA RISOLUZIONE DI PROBLEMI MULTIDOMINIO MEDIANTE EQUAZIONI INTEGRALI

T. Colella, V. Minutolo

Equazioni integrali:

recenti sviluppi numerici e

nuove applicazioni

27-28 SETTEMBRE 2007 PARMA

Seconda Università degli Studi di NapoliDipartimento di Ingegneria Civile

Aversa (CE)

Equazioni Integrali: recenti sviluppi numerici e nuove applicazioni

227-28 Settembre Parma

CONTENUTI

ATTIVITA’ DI RICERCA

PROCEDURA MULTIREGIONE

LE EQUAZIONI AUSILIARI

ESEMPI NUMERICI

CONCLUSIONI




MATERIALI A PROPRIETA’ VARIABILI FUNZIONALMENTE




FGMT. Colella, V. Minutolo



( ) ( ) ( )hkij ijhkx C x x

, ,( ( ) ( )) ( ) 0ijhk h k j iC x u x b x

Equilibrium equation of the structure

FBEM

* * *

* *, ,

( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( )

( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( )

li i i li i li ijhk lhk j i

V V V

ijhk lhk j i ijhk j lhk i

V V

J y u y b x u x y dV t x u x y dS C x x y n x u x dS

C x x y u x dV C x x y u x dV

Field Boundary Integral Equation

V

B

V

B

V

B

VVB

BVB

V

B

b

bP

G

G

u

u

HH

HH

u

uH

ˆˆ

ˆˆ

Sistem of Equations

Constitutive relation




Confronto con il FEM

RECTANGULAR PLATE WITH HOLE, ISOTROPIC AND HETEROGENEOUS MATERIAL, EXPONENTIAL MATERIAL VARIATION ALONG X DIRECTION , UNIFORM LOAD CONDITION, VERTICAL DISPLACEMENT DEPENDING ON THE NUMBER OF DIVISION OF THE CONSTRAINED BOTTOM SIDE.

FBEM vs FEM




Applicazione alla frattura elastica per materiali FGM


1 2

( )yu rC C r

r

yu r r

12 20

2 2lim

4 1 4 1yt t

Ir

u rE EK C

r

.The displacement at crack tip is extrapolated by means of radial expansion:

where is the Mode I displacement and is the distance from crack tip.

The numerical value of SIF is calculated assuming, that within a small neighbourhood of the crack tip,the elastic modulus of the material is Et and can be assumed to be constant.



l

ax

y

q

E(x)

a

l

q

l


l/2

l

ax1

x2

q

E(0)

E(l/2)

A quarter of the plate where solution is sought, geometry, load, and modulus variation

Alcuni Risultati




0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

7.00

8.00

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

E 1 / E 0

K I

2 a/l = 0.75

2 a/l = 0.5

2 a/l = 0.25

Mode I Stress Intensity Factor, KI, Vs Young modules ratio for different crack length, a.

Alcuni Risultati



l

ax

y

q

E(x)

a

l

q

l

A B


2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Alcuni Risultati




uy

0,00E+00

5,00E-05

1,00E-04

1,50E-04

2,00E-04

2,50E-04

6,00E+00 6,50E+00 7,00E+00 7,50E+00 8,00E+00 8,50E+00 9,00E+00 9,50E+00 1,00E+01 1,05E+01 1,10E+01 1,15E+01 1,20E+01

x

uy

22

55

1111

2222

5555

SIF

0,010

0,011

0,012

0,013

0,014

0,015

0,016

0,017

1 2 3 4 5

0022 0055 1111 2222 5555

n

KI Ka

Kb

Alcuni Risultati



Tecnica multidominioT. Colella, V. Minutolo

Tale formulazione è utilizzata di consuetudine quando il dominio è omogeneo a tratti ma essa risulta utile in altri casi al fine di evitare problemi numerici o migliorare l’efficienza computazionale. Nella meccanica della frattura le difficoltà numeriche che nascono a causa della vicinanza dei nodi della cricca scompaiono nel caso in cui si decida di utilizzare la tecnica di decomposizione del dominio. Nell’analisi elasto plastica si rivela opportuno separare le zone soggette a deformazioni plastiche, che necessitano quindi di discretizzazione sul dominio, dalla restante zona elastica. Per problemi con un elevato numero di incognite la suddivisione permette di ottenere matrici risolutive bandate, computazionalmente più agevoli da trattare. In tali casi l’incremento del numero delle incognite incide lievemente sui vantaggi legati all’utilizzo di tale procedura. Per gli FGM permette di trattare separatamente le zone gradate e quelle omogenee.




La procedura di base consiste nell’applicare la formulazione integrale in ogni singola regione, imporre le condizioni al contorno in forma locale ed ottenere il sistema risolutivo finale mediante un insieme di equazioni d’interfaccia. Particolare attenzione va rivolta però nella scrittura di tali equazioni per le interfacce sul contorno e per gli spigoli ed i bordi interni. Nascono infatti singolarità a causa della discontinuità dei flussi su contorni non regolari e della dipendenza tra le equazioni d’interfaccia tra le variabili di campo. Un semplice modo per evitare il problema è quello di regolarizzare i contorni (Jaswon e Symm, 1977) ma evidentemente ciò non è sempre possibile per problemi multi regione. Alternativamente, è possibile assumere un unico valore della traction, cioè imporre che le tensioni superficiali sono uguali su superfici contigue (Cruse, 1974), ciò però viola la condizione di equilibrio. Alcuni autori propongono di introdurre nodi addizionali e quindi sviluppare equazioni ausiliari che permettono la risoluzione del problema in esame. Per l’elasticità bidimensionale, Chaudonneret (1978) derivò equazioni ausiliari, basate sulla simmetria del tensore delle tensioni e sull’invarianza della traccia del tensore di deformazione. Wardle and Mustoe (1980) usarono un’interpolazione polinomiale per stabilire relazioni tra le tensioni superficiali e gli spostamenti. Rudolphi (1983) descrisse un implementazione per problemi con sottodomini usando elementi quadratici, includendo discontinuità sulle componenti di tensione. Zang e Mukherjee (1991) generarono equazioni ausiliari, per stati piani di deformazione, esprimendo le tensioni agli spigoli come una combinazione lineare delle traction e delle derivate tangenziali degli spostamenti. Alcuni autori assumono un unico valore dello stato di tensione agli spigoli, cosa non valida in generale (Zang e Mukherjee, 1991). Eliminare tali problematiche con l’utilizzo di “elementi discontinui”, comporta significanti svantaggi in termini di stabilità della soluzione, sforzo computazionale e accuratezza (Wilde 1998).

Tecnica multidominio




Formulazione multi dominio in elastostatica bidimensionale

i

i

jij

j

Esempio di dominio multiregione bidimensionale

ij

i

ijiij

i

iji p

pGG

u

uHH

ji

j

jijji

j

jij p

pGG

u

uHH

jiij

jiij

pp

uu

j

ij

i

jji

iji

j

ji

i

jji

iji

p

p

p

GG0

0GG

u

u

u

HH0

0HH




Le equazioni ausiliari per i nodi interni

Nell’elastostatica bidimensionale l’applicazione di una procedura multidominio può creare problemi quando c’è la presenza di nodi interni in cui convergono più di due regioni. Alle intersezione infatti, gli spostamenti sono univocamente definiti ma le tensioni superficiali hanno in generale più valori in funzione delle differenti normali. In tal caso due delle equazioni d’interfaccia sulla congruenza degli spostamenti diventano linearmente dipendenti e non è più possibile risolvere il problema con tecniche standard.

i

j

k

Nodo interno d’intersezione tra tre regioni




02

cot2

cot2

cot2

cot2

cot2

cot

02

cot2

cot2

cot2

cot2

cot2

cot

ikjkt

ijjkt

ijikt

ikjkt

ijjkt

ijikt

kyjyiy

kxjxix

E’ possibile costruire altre due equazioni cosiddette “ausiliari” da semplici considerazioni di equilibrio dell’intorno del nodo d’interfaccia. Definito un cerchio di raggio r con centro nel punto d‘intersezione e scelto un verso positivo di percorrenza, traslando i contorni di ogni singola regione e possibile costruire un intorno del punto in esame. Al limite per il raggio del cerchio che tende a zero i contorni di tale intorno vanno a coincidere con gli originali contorni delle regioni in esame. Scrivendo l’equilibrio alla traslazione dell’intorno così costruito lungo le due direzioni coordinate, si ottengono le seguenti due equazioni ausiliarie che eliminano la singolarità del sistema risolutivo finale:

.

Le equazioni ausiliari per i nodi interni

i

j

k

ni ninj

nj

nk

nk r

Intorno del nodo d’interfaccia




Esempi numerici

l/2=6 cm

P

G=800000 daN/cmq=0.3

q=1000 daN/cmq

uy=0

ux=0

Lastra quadrata soggetta a trazione, modello analizzato




Esempi numerici

Il problema è stato analizzato prima mediante una formulazione a dominio singolo successivamente mediante una serie di schemi multiregione al fine di testare le suddette equazioni ausiliari e di mostrare la sensibilità del metodo nei confronti della suddivisione interna.

Schemi analizzati

SCHEMA 0 1 2 3 4 5

UP 1.13E-03 1.12E-03 1.12E-03 1.46E-03 1.24E-03 1.19E-03

VP 2.63E-03 2.64E-03 2.64E-03 2.62E-03 2.75E-03 2.66E-03

Si nota come nella maggior parte dei casi la variazione sul risultato rispetto alla formulazione standard riguarda la terza cifra significativa. In particolare i risultati sono fortemente influenzati dalla differenza degli angoli concorrenti nel nodo. Ciò è dovuto all’irregolarità del risultante intorno del nodo interno. Da notare che l’equazioni in esame divergono quando un angolo

tende a , cioè nel caso che uno dei contorni sia regolare.

Spostamento del punto P al variare dello schema




Si è proposta una metodologia per la scrittura di equazioni ausiliari per la risoluzione di problemi multiregione nell’ambito del metodo agli elementi di contorno. Essa presuppone solo la condizione di equilibrio e non dipende né dalla legge costitutiva né dal campo di spostamenti. Il concetto di equilibrio dell’intorno del punto d’interfaccia è stato applicato per l’elastostatica bidimensionale di materiali omogenei, ulteriori sviluppi potranno riguardare problemi tridimensionali, analisi non lineari e materiali eterogenei.

Conclusioni

GRAZIE PER LA CORTESE ATTENZIONE

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recenti sviluppi numerici e nuove applicazioni

27-28 SETTEMBRE 2007 PARMA

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