P. BurghignoliP. Burghignoli♪♪,, F. FrezzaF. Frezza♪♪,, A. GalliA. Galli♪♪,,

L. PajewskiL. Pajewski☼☼ e e G. Schettini G. Schettini☼☼

Parma,  27 -28  settembre  2007 Parma,  27 -28  settembre  2007   EQUAZIONI INTEGRALI: RECENTI SVILUPPI EQUAZIONI INTEGRALI: RECENTI SVILUPPI NUMERICI E NUOVE APPLICAZIONINUMERICI E NUOVE APPLICAZIONI

☼☼ Università degli Studi “Roma Tre” di Università degli Studi “Roma Tre” di Roma, Dipartimento di Elettronica Roma, Dipartimento di Elettronica ApplicataApplicata

pajewski@uniroma3.it pajewski@uniroma3.it

♪♪ Università “Sapienza” di Università “Sapienza” di Roma, Dipartimento di Roma, Dipartimento di Ingegneria ElettronicaIngegneria Elettronica

Metodo degli elementi al contorno Metodo degli elementi al contorno (BEM) e(BEM) e

Derivazione delle formuleDerivazione delle formule

Calcolo di punti e pesi di quadratura per casi Calcolo di punti e pesi di quadratura per casi significativisignificativi

Verifica dell’accuratezza numerica delle formuleVerifica dell’accuratezza numerica delle formule

discretizzazione delle equazioni discretizzazione delle equazioni integrali con il metodo di Nyströmintegrali con il metodo di Nyström

Sviluppo di nuove formule di quadratura per Sviluppo di nuove formule di quadratura per triangoli planari, da impiegare in presenza di triangoli planari, da impiegare in presenza di spigolispigoli

Applicazione delle nuove formule alla Applicazione delle nuove formule alla soluzione di problemi di diffrazione da soluzione di problemi di diffrazione da oggetti 3Doggetti 3D

ConclusioniConclusioni

● SommarioSommario

Metodo degli Metodo degli elementi al elementi al contornocontorno ((Boundary Element Method, Boundary Element Method,

BEMBEM))

Procedura numerica basata sulla Procedura numerica basata sulla rappresentazione integrale del campo rappresentazione integrale del campo elettromagnetico nel dominio spaziale elettromagnetico nel dominio spaziale

Approccio che riduce la determinazione delle Approccio che riduce la determinazione delle grandezze e.m. in un dominio 3D a quella delle grandezze e.m. in un dominio 3D a quella delle stesse sulla frontiera del dominiostesse sulla frontiera del dominio

Analisi di strutture composte da più regioni Analisi di strutture composte da più regioni omogenee occupate da materiali dielettrici e omogenee occupate da materiali dielettrici e conduttoriconduttori

Metodo degli elementi al Metodo degli elementi al contornocontorno

Incognite delle equazioni integrali al contorno = Incognite delle equazioni integrali al contorno = correnti equivalenti elettriche e magnetiche definite correnti equivalenti elettriche e magnetiche definite sulle superfici di interfaccia tra mezzi diversisulle superfici di interfaccia tra mezzi diversi

Le correnti equivalenti sono legate alle Le correnti equivalenti sono legate alle componenti tangenziali dei campi magnetico ed componenti tangenziali dei campi magnetico ed elettricoelettrico

Le componenti tangenziali dei campi possono Le componenti tangenziali dei campi possono divergere in prossimità di uno spigolo di un corpo divergere in prossimità di uno spigolo di un corpo dielettrico e conduttoredielettrico e conduttore

Discretizzazione delle equazioni integraliDiscretizzazione delle equazioni integrali

rappresentazione delle superfici di interfaccia rappresentazione delle superfici di interfaccia mediante griglie di celle triangolarimediante griglie di celle triangolari

uso di formule di quadratura per approssimare uso di formule di quadratura per approssimare numericamente gli integrali di superficienumericamente gli integrali di superficie

imposizione della validità dell’equazione nei imposizione della validità dell’equazione nei punti di integrazione della formula di quadraturapunti di integrazione della formula di quadratura

Metodo di NyströmMetodo di Nyström

Sviluppo di nuove Sviluppo di nuove formule di formule di

quadratura per quadratura per triangoli planaritriangoli planarida impiegare in presenza di da impiegare in presenza di

spigolispigoli

Per costruire unaPer costruire una formula di ordine ℓformula di ordine ℓ, è necessario , è necessario calcolare coordinate e fattori peso di un opportuno calcolare coordinate e fattori peso di un opportuno numero di punti di integrazione, in modo che la numero di punti di integrazione, in modo che la formula integri esattamente funzioni polinomiali di formula integri esattamente funzioni polinomiali di grado ≤ ℓgrado ≤ ℓ Numerose formule sono state derivate per Numerose formule sono state derivate per integrare funzioni definite su integrare funzioni definite su domini triangolaridomini triangolari. In . In ambito elettromagnetico si impiegano comunemente ambito elettromagnetico si impiegano comunemente le formule di le formule di Gauss-LegendreGauss-Legendre, spesso si fa uso di , spesso si fa uso di quella di quella di RadonRadon ( quinto ordine, sette punti, tipo ( quinto ordine, sette punti, tipo aperto, integra esattamente polinomi di quinto grado aperto, integra esattamente polinomi di quinto grado con il minimo numero di punti di quadratura )con il minimo numero di punti di quadratura )

Derivazione delle formuleDerivazione delle formule

AlcuneAlcune componenti del campo e.m. componenti del campo e.m. possonopossono divergere divergere in prossimità di unoin prossimità di uno spigolo spigolo di angolo di angolo interno interno αα Coordinate cartesiane, spigolo su asse Coordinate cartesiane, spigolo su asse xx, celle , celle triangolari aventi un lato sullo spigolo e appartenenti triangolari aventi un lato sullo spigolo e appartenenti al piano al piano xyxy: il comportamento singolare è del tipo: il comportamento singolare è del tipo

Oggetti dielettrici di costante dielettrica Oggetti dielettrici di costante dielettrica εε11 immersi in immersi in un mezzo uniforme di costante dielettrica un mezzo uniforme di costante dielettrica εε22::

Spigoli perfettamente conduttori:Spigoli perfettamente conduttori:

Derivazione delle formuleDerivazione delle formule

( 0.5 ≤ ( 0.5 ≤ υυ ≤≤ 1 ) 1 )

( se 0 < ( se 0 < αα < < ππ ) ) ( se ( se ππ < < αα < 2 < 2ππ ) )

( se 0 ≤ ( se 0 ≤ αα < < ππ ) )

x

y

(1,0)(0,0)

(0,1)

x

y Applicazione del Applicazione del metodo di Radonmetodo di Radon per derivare nuove formule di per derivare nuove formule di quadratura 2Dquadratura 2D perper triangoli planari triangoli planari,, di quinto ordine, a sette punti, condi quinto ordine, a sette punti, con funzione peso divergente funzione peso divergente algebricamente lungo un latoalgebricamente lungo un lato

R2

La costruzione delle formule è basata sulla La costruzione delle formule è basata sulla ricerca di tre polinomi di terzo gradoricerca di tre polinomi di terzo grado, ortogonali , ortogonali rispetto alla funzione peso, linearmente rispetto alla funzione peso, linearmente indipendenti, per il dominio triangolare di indipendenti, per il dominio triangolare di integrazione Rintegrazione R22, che abbiano sette zeri comuni, che abbiano sette zeri comuni

Derivazione delle formuleDerivazione delle formule

Per un dominio RPer un dominio Rnn e un peso e un peso ww((xx11,...,,...,xxnn), esistono), esistono

polinomi ortogonali di basepolinomi ortogonali di base linearmente indipendenti, linearmente indipendenti, ognuno ortogonale su Rognuno ortogonale su Rnn, rispetto a , rispetto a ww, a tutti i , a tutti i polinomi Qpolinomi Qd-1d-1 di grado ≤ di grado ≤ dd-1.-1.

N N ( ( nn-1, -1, d d )) è il numero di monomi distinti è il numero di monomi distinti xx11αα1 1 xx22

αα2 2 ...x...xnnααnn di di

grado grado d.d.

Se n=2 e d=3, i polinomi ortogonali di base sonoSe n=2 e d=3, i polinomi ortogonali di base sono

e vogliamo che soddisfino la condizione:e vogliamo che soddisfino la condizione:(n,m=0,1,2,3 e n+m=3)(n,m=0,1,2,3 e n+m=3)

Derivazione delle formuleDerivazione delle formule

Perché i tre polinomi PPerché i tre polinomi P3,13,1, P, P3,23,2 e P e P3,33,3 abbiano sette abbiano sette zeri comuni:zeri comuni:

dove Qdove Q1,j1,j (j=1,2,3) sono polinomi di primo grado, (j=1,2,3) sono polinomi di primo grado, almeno due dei quali non nulli; quindi, senza perdita almeno due dei quali non nulli; quindi, senza perdita di generalità:di generalità:

Ogni polinomio di terzo grado, ortogonale su ROgni polinomio di terzo grado, ortogonale su R22 rispetto a rispetto a ww, si può scrivere come:, si può scrivere come:

e perchée perché PP3,33,3 sia di terzo grado: sia di terzo grado:

Derivazione delle formuleDerivazione delle formule

Perché i tre polinomi PPerché i tre polinomi P3,13,1, P, P3,23,2 e P e P3,33,3 abbiano sette abbiano sette zeri comuni:zeri comuni:

dove Qdove Q1,j1,j (j=1,2,3) sono polinomi di primo grado, (j=1,2,3) sono polinomi di primo grado, almeno due dei quali non nulli; quindi, senza perdita almeno due dei quali non nulli; quindi, senza perdita di generalità:di generalità:

Ogni polinomio di terzo grado, ortogonale su ROgni polinomio di terzo grado, ortogonale su R22 rispetto a rispetto a ww, si può scrivere come:, si può scrivere come:

e perchée perché PP3,33,3 sia di terzo grado: sia di terzo grado:

Derivazione delle formuleDerivazione delle formule

In generale gli zeri comuni a due dei tre polinomi In generale gli zeri comuni a due dei tre polinomi PP3,13,1, P, P3,23,2 e P e P3,33,3 sono nove: sono nove:

due complessi coniugatidue complessi coniugati

sette reali, comuni a tutti e tre i polinomisette reali, comuni a tutti e tre i polinomi

SeSe i sette zeri reali i sette zeri reali sonosono distintidistinti si possono usare si possono usare come come punti di integrazione in una formula di punti di integrazione in una formula di quadratura di quinto ordinequadratura di quinto ordine

I I fattori pesofattori peso si calcolano imponendo che la si calcolano imponendo che la formulaformula sia sia esattaesatta per un insieme arbitrario di sette polinomi per un insieme arbitrario di sette polinomi di grado ≤ 5di grado ≤ 5

Derivazione delle formuleDerivazione delle formule

Spigoli perfettamente conduttoriSpigoli perfettamente conduttori

Calcolo punti e pesi Calcolo punti e pesi per casi per casi significativisignificativi

Spigoli dielettriciSpigoli dielettrici

Calcolo punti e pesi Calcolo punti e pesi per casi per casi significativisignificativi

Verifiche accuratezza numericaVerifiche accuratezza numerica

Funzioni algebriche moltiplicate per il fattore peso Funzioni algebriche moltiplicate per il fattore peso singolaresingolare

Esempio: Esempio: xxμμ, con , con υυ=2/3=2/3 (spigolo PEC di angolo interno (spigolo PEC di angolo interno αα=90°)=90°)

Valore esatto Valore esatto dell’integraledell’integrale::

((ΓΓ è la funzione Gamma di Eulero) è la funzione Gamma di Eulero)

Integrazione Integrazione mediante la mediante la nuova nuova formulaformula::

Integrazione mediante Integrazione mediante formule formule note in letteratura note in letteratura per integrandi regolariper integrandi regolari::

Verifiche accuratezza numericaVerifiche accuratezza numerica

Funzioni algebriche moltiplicate per il fattore peso Funzioni algebriche moltiplicate per il fattore peso singolaresingolarexxμμ, con , con υυ=2/3=2/3 (spigolo PEC di angolo interno (spigolo PEC di angolo interno αα=90°)=90°)

CONFRONTO CON ALTRE FORMULE A SETTE PUNTICONFRONTO CON ALTRE FORMULE A SETTE PUNTI

Verifiche accuratezza numericaVerifiche accuratezza numerica

Funzioni algebriche moltiplicate per il fattore peso Funzioni algebriche moltiplicate per il fattore peso singolaresingolarexxμμ, con , con υυ=2/3=2/3 (spigolo PEC di angolo interno (spigolo PEC di angolo interno αα=90°)=90°)

CONFRONTO CON ALTRE FORMULE DI QUINTO ORDINECONFRONTO CON ALTRE FORMULE DI QUINTO ORDINE

Verifiche accuratezza numericaVerifiche accuratezza numerica

Funzioni trigonometriche oscillantiFunzioni trigonometriche oscillanti

Es.: Es.: ee-jkR-jkR/(4/(4ππR)R), con , con R=|R=|rr - - rr’|’|, , υυ=2/3=2/3, singolarità , singolarità rr inin ( (xx, , yy)=(-1, -1))=(-1, -1)Valore esatto Valore esatto dell’integraledell’integrale: Mathematica: MathematicaTMTM, procedure , procedure adattive per l’integrazione 2D, accuratezza controllabile adattive per l’integrazione 2D, accuratezza controllabile posta uguale a 10posta uguale a 10-10-10

CONFRONTO CON CONFRONTO CON ALTRE FORMULE A ALTRE FORMULE A

SETTE PUNTISETTE PUNTI

Verifiche accuratezza numericaVerifiche accuratezza numerica

Funzioni trigonometriche oscillantiFunzioni trigonometriche oscillanti

Es.: Es.: ee-jkR-jkR/(4/(4ππR)R), con , con R=|R=|rr - - rr’|’|, , υυ=2/3=2/3, singolarità , singolarità rr inin ( (xx, , yy)=(-1, -1))=(-1, -1)

CONFRONTO CON ALTRE FORMULE DI QUINTO ORDINECONFRONTO CON ALTRE FORMULE DI QUINTO ORDINE

Applicazione delle nuove Applicazione delle nuove formule alla soluzione di formule alla soluzione di problemi di diffrazione da problemi di diffrazione da

oggetti 3Doggetti 3D

Come esempio di applicazione delle nuove formule Come esempio di applicazione delle nuove formule di quadratura a un problema pratico di diffrazione, si di quadratura a un problema pratico di diffrazione, si presenta il presenta il calcolo della sezione trasversa di calcolo della sezione trasversa di scatteringscattering RCS RCS ((Radar Cross SectionRadar Cross Section)) di un oggetto di un oggetto metallico 3Dmetallico 3D

Metodo di NystrMetodo di Nyströömm per la soluzione numerica per la soluzione numerica dell’dell’equazione integrale di campo magneticoequazione integrale di campo magnetico MFIE MFIE ((Magnetic Field Integral EquationMagnetic Field Integral Equation))

nn è la normale esterna alla superficie S dell’oggetto è la normale esterna alla superficie S dell’oggetto conduttoreconduttore

gg è la funzione di Green scalare per lo spazio libero è la funzione di Green scalare per lo spazio libero occupato dal mezzo in cui è immerso l’oggettooccupato dal mezzo in cui è immerso l’oggetto

HHinc,2inc,2 è il campo magnetico incidente sull’oggetto conduttoreè il campo magnetico incidente sull’oggetto conduttore

JJSS è la densità di corrente superficiale equivalenteè la densità di corrente superficiale equivalente

Applicazione delle formuleApplicazione delle formule

Gradiente funzione di Green scalare: al limite di Gradiente funzione di Green scalare: al limite di sommabilità su una superficie, ha singolarità del tipo sommabilità su una superficie, ha singolarità del tipo 1/R1/R22 integrali impropri. integrali impropri.

Il termine che lo contiene è nullo se la variabile di Il termine che lo contiene è nullo se la variabile di integrazione descrive un elemento planare arbitrario integrazione descrive un elemento planare arbitrario al quale appartiene il punto di osservazione.al quale appartiene il punto di osservazione.

Quindi se si usa una griglia di elementi planari per Quindi se si usa una griglia di elementi planari per discretizzare l’oggetto metallico, l’equazione MFIE discretizzare l’oggetto metallico, l’equazione MFIE non pone problemi di singolarità e può essere non pone problemi di singolarità e può essere discretizzata con la procedura di Nystrdiscretizzata con la procedura di Nyströöm:m:

Applicazione delle formuleApplicazione delle formule

NNTT è il numero di triangoli planari della grigliaè il numero di triangoli planari della griglia

NNQQ è il numero di punti della formula di quadraturaè il numero di punti della formula di quadratura

h=1,...,Nh=1,...,NTT k=1,...,Nk=1,...,NQQ

Proiettando sulla base ortonormale associata a Proiettando sulla base ortonormale associata a ciascun triangolo della griglia e decomponendo i ciascun triangolo della griglia e decomponendo i vettori incogniti secondo le stesse basi vettori incogniti secondo le stesse basi sistema sistema lineare algebrico con lineare algebrico con 2N2NQQNNTT incognite incognite

Applicazione delle formuleApplicazione delle formule

Applicazione delle formuleApplicazione delle formule

L’uso delle nuove L’uso delle nuove formule migliora formule migliora l’accuratezza dei l’accuratezza dei risultatirisultati,,

a parità di accuratezza a parità di accuratezza è quindi possibile è quindi possibile ridurre Nridurre NTT

riduzione numero riduzione numero incogniteincognite

riduzione memoria riduzione memoria occupata e tempi di occupata e tempi di calcolocalcolo

RCS NEL PIANO DI E PER RCS NEL PIANO DI E PER UN CUBO PEC UN CUBO PEC ILLUMINATO ILLUMINATO

NORMALMENTE DA NORMALMENTE DA UN’ONDA PIANA UN’ONDA PIANA

INCIDENTE SU UNA DELLE INCIDENTE SU UNA DELLE SUE FACCESUE FACCE

Sono state studiate procedure numeriche basate sulla Sono state studiate procedure numeriche basate sulla rappresenta-zione integrale del campo e.m. nel dominio rappresenta-zione integrale del campo e.m. nel dominio spaziale, spaziale, metodo BEMmetodo BEM

Sono state sviluppate Sono state sviluppate nuove formule di quadratura 2D per nuove formule di quadratura 2D per triangoli planaritriangoli planari, utili per integrare , utili per integrare funzioni che divergono funzioni che divergono algebricamente lungo un lato del triangoloalgebricamente lungo un lato del triangolo

Sono stati calcolati Sono stati calcolati punti e pesi di quadratura per diversi punti e pesi di quadratura per diversi casi significativicasi significativi, è stata verificata l’, è stata verificata l’accuratezza delle accuratezza delle formuleformule

Le Le formule di quadratura proposte permettono di tener formule di quadratura proposte permettono di tener conto delle singolarità del campo nel metodo numerico conto delle singolarità del campo nel metodo numerico adottatoadottato, ad esempio utilizzando opportune funzioni base , ad esempio utilizzando opportune funzioni base vettoriali nel metodo dei momenti o discretizzando vettoriali nel metodo dei momenti o discretizzando direttamente gli operatori integrali al contorno nel metodo di direttamente gli operatori integrali al contorno nel metodo di Nyström Nyström

L’uso delle nuove formule migliora l’accuratezza delle L’uso delle nuove formule migliora l’accuratezza delle soluzioni calcolate in problemi di scattering e radiazionesoluzioni calcolate in problemi di scattering e radiazione vantaggi computazionalivantaggi computazionali

ConclusioniConclusioni

Grazie per Grazie per l’attenzionel’attenzione

P. Burghignoli, L. Pajewski, F. Frezza, A. Galli e G. P. Burghignoli, L. Pajewski, F. Frezza, A. Galli e G. Schettini, Schettini,

““Improved quadrature formulas for boundary Improved quadrature formulas for boundary integral equations with conducting or dielectric integral equations with conducting or dielectric

edge singularitiesedge singularities”, ”,

IEEE Transactions on Antennas and PropagationIEEE Transactions on Antennas and Propagation

vol. 52(2), pp. 373-379, aprile 2004vol. 52(2), pp. 373-379, aprile 2004