LUCIANA SINATRA

INTEGRALI DEFINITIMetodo di esaustioneInterpretazione geometricaPrime proprietà

Metodo di esaustioneIl metodo di esaustione permette di calcolare l’area di

un settore di parabola cioè l’area della regione S che nel

pianocartesiano x, y è compresa tra l’asse delle x, il grafico della funzione f(x)= nell’intervallo [0, b], e la retta

verticale di equazione x = b (b>0) come nel grafico.Dividiamo l’intervallo[0, b] in n N intervalli, ciascuno di ampiezza b/n, ponendo:

2x

],[ 1 kk xx

b. x,b,*(k/n) x,b,*(2/n) xb,*(1/n)x 0, x nk210

La regione S è unione di rettangoli. Il rettangolo generico ha per base l’intervallo , di lunghezza uguale a b/n, ed ha per altezza il valore della funzione in , cioè . L’area totale, quindi l’area della regione S,è data dalla somma delle aree dei rettangoli componenti:

L’area indicata nel grafico è un’approssimazione per difetto

dell’area della regione S.

],[ 1 kk xx

1kx2

11)( kk xxf

n

kk

n

k

n

kkkkk x

n

b

n

bxxxxf

1

21

1 1

2111 )()(

Allo stesso modo otteniamo un’approssimazione per eccesso considerando l’area dell’unione dei rettangoli aventi la stessa base ma altezza come in figura.

Così facendo abbiamo ottenuto stime per difetto e per eccesso dell’area della regione S:

La somma al primo membro è detta somma integrale inferiore, mentre quella all’ultimo membro è detta

somma

2)( kk xxf

n

kk

n

kk

n

kkkk x

n

b

n

bxxxxf

1

2

1

2

11)()(

2

11

21 k

n

k

n

kk x

n

bSareax

n

b

Nn

integrale superioreintegrale superiore

Ma

Mentre

Quindi la formula:

diventa:

n

k

n

k

n

k

n

kk k

n

bb

n

kb

n

kx

1

22

22

12

22

11

2 )(

2

11

21 k

n

k

n

kk x

n

bSAreax

n

b

1

1

22

21

1

21

1

220

1

21 0

n

k

n

kk

n

kk

n

kk k

n

bxxxx

n

k

n

k

kn

b

n

bSAreak

n

b

n

b

1

22

21

1

22

2

n

k

n

k

kn

bSAreak

n

b

1

23

31

1

23

3

Ora vale la seguente uguaglianza dimostrata per induzione:

Quindi:

)12()1(6

1

1

2

nnnkn

k

)12()1(6

1

)122()()1(6

1

]1)1(2[)11()1(6

11

1

2

nnn

nnn

nnnkn

k

Sostituendo:

Semplificando n:

Applicando il limite al primo termine si ottiene:

Analogamente il limite dell’ultimo membro vale che è proprio la misura esatta dell’area S.

)12()1(6

1)12()()1(

6

13

3

3

3

nnnn

bSAreannn

n

b

2

3

2

3 )12()1(

6

)12()1(

6 n

nnbSArea

n

nnb

32*

6)

132(

6lim

)132(

6lim

)12()1(

6lim

33

2

3

2

23

2

3

bb

nn

b

n

nnb

n

nnb

n

nn

3

3b

S

b

Sia f(x) una funzione continua in un intervallo [a,b]Sia f(x) una funzione continua in un intervallo [a,b]definiamo gli insiemi A e B. Come in figuradefiniamo gli insiemi A e B. Come in figura

L’integrale definito:interpretazione L’integrale definito:interpretazione geometricageometrica

}0)(,:),{(

)};(0,:),{(

yxfbxayxB

xfybxayxA

Un punto di coordinate (x,y) appartiene all’insiemeUn punto di coordinate (x,y) appartiene all’insiemeA se xA se x [a,b] e y [0, f(x)]; è necessario che f(x) sia [a,b] e y [0, f(x)]; è necessario che f(x) siamaggiore o uguale a zero.maggiore o uguale a zero.

Quindi gli insiemi A e B possono essere definitinella forma:A={(x,y): x [a,b], f(x) 0, y [0, f(x)]}B={(x,y): x [a,b], f(x) 0, y [f(x), 0]}.In particolare se f(x)>0 allora l’insieme B è vuoto, se invece f(x)<0 allora l’insieme A è vuoto. grafico Gli insiemi A e B sono detti rettangoloidi relativi alla funzione f(x) nell’intervallo [a,b].Ogni funzione continua f(x) è integrabile in ogni intervallo chiuso e limitato [a,b].

In tal caso l’integrale definito tra a e b è dato:

Se f(x)>=0 per ogni x appartenente [a, b], allora l’area

dell’insieme B vale zero. Se f(x)<=0 in [a, b] risulta che: ;)(],[,0)( areaAdxxfbaxxf

b

a

b

a

areaBdxxfbaxxf .)(],[,0)(

areaBareaAdxxfb

a

)(

Prime proprietà

a

a

dxxf 0)(

E’ utile considerare l’ integrale definito anche

quando il primo estremo di integrazione non è minore del

secondo,in tal caso si ottiene:

E inoltre:

Additività dell’ integrale rispetto all’ intervallo:Se f(x) è continua in [a,b] e c è un punto interno ad [a,b] allora:

Questo può essere facilmente verificato graficamente, come mostrato nella figura. In cui si afferma che l’ area dell’ insieme A è uguale alla somma delle aree degli insiemi A1 e A2.

b

a

a

b

dxxfdxxf )()(

c

a

b

c

b

a

dxxfdxxfdxxf .)()()(

Proprietà della media: Sia f una funzione continua nell’ intervallo [a,b].

Esiste un punto tale che:

grafico

Dimostrazione:Se m ed M sono rispettivamente l’ estremo inferiore

e l’estremo superiore di f in [a,b], si ha:

Dividendo il tutto per (b-a) si ottiene che:

],[0 bax

b

a

abxfdxxf ))(()( 0

b

a

abMdxxfabm )()()(

Quindi l’integrale definito di f, diviso per b-a, è un numero y compreso tra il minimo ed il massimo dellafunzione f. Per il Teorema dell’ esistenza dei valori Intermedi (Una funzione continua in un intervallo [a,b] assume tutti i valori compresi tra f(a) e f(b) quindi tra m ed M) f assume anche il valore di y, quindi esiste un punto per cui:

Tale punto prende il nome di valor medio di f su [a,b].

b

a

Mdxxfab

m )(1

],[0 bax

b

a

b

a

dxxfabxfdxxfab

xf )())((,)(1

)( 00