(E-Book Fisica) Boffi - Un'introduzione Alla Meccanica Quantistica E Alle Sue Applicazioni

SigfridoBoffi

Universitadegli Studidi PaviaDipartimentodi FisicaNuclearee Teorica

DA LAPLACE A HEISENBERG

Un’introduzione alla meccanica quantisticae alle sue applicazioni

QUADERNI DI FISICA TEORICA

QUADERNI DI FISICA TEORICACollanacuratadaSigfridoBoffi

ComitatoScientifico

BrunoBertottiSigfridoBoffiItalo GuarneriAlbertoRiminiMarcoRoncadelli

Volumi gia pubblicati:

1. Le ondedi deBroglie,a curadi Sigfrido Boffi2. Ondedi materiae ondedi probabilita,a curadi SigfridoBoffi3. Il principiodi indeterminazione,acuradi SigfridoBoffi4. La meccanicadelleonde,acuradi SigfridoBoffi5. ParadossoEPRe teoremadi Bell, a curadi OresteNicrosini6. I camminidi Feynman,acuradi MarcoRoncadellieAntonioDefendi7. L’interpretazionestatisticadellameccanicaquantistica,acuradi

SigfridoBoffi8. L’origine dellestatistichequantistiche,acuradi Fulvio Piccinini9. Le radici dellaquantizzazione,acuradi SandroGraffi

10.La fasedi Berry, acuradi FrancoSalmistraro11. Il postulatodei quantie il significatodellafunzioned’onda,a curadi Sigfrido

Boffi12. Indicedi rifrazioneadronico,acuradi FrancescoCannata13.La formulazionedellestoriedellameccanicaquantistica,acuradi Irene

Giardina14.La regolad’oro di Fermi,a curadi PaoloFacchieSaverioPascazio15.Le radici deldualismoonda-corpuscolo,a curadi SigfridoBoffi e Michele

D’Anna16.Teoriadellecaratteristicheedequazioniondulatoriequantiche,acuradi Paola

Orsi

I primi dieci Quadernisonodisponibili surichiestapressoil Dipartimentodi FisicaNuclearee Teoricadell’Universita di Pavia. I successivi sonopubblicatidallaCasaEditriceBibliopolis

Primaedizione:agosto1992Secondaedizione:settembre1996Edizioneweb: settembre2001

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Copyright 2001by Dipartimentodi FisicaNuclearee Teorica

Tutti i diritti sonoriservati. Nessunapartepuo essereriprodottain alcunmodo(compresii microfilm e le copiefotostatiche)senzail permessodell’editore.

SigfridoBoffi

Universitadegli Studidi PaviaDipartimentodi FisicaNuclearee Teorica

DA LAPLACE A HEISENBERG

Un’introduzione alla meccanica quantisticae alle sue applicazioni

QUADERNI DI FISICA TEORICA

PREFAZIONE ALL’EDIZIONE WEB

Questanuova edizionedel manualeescequandol’Uni versita italianaaffrontaun’epocaletrasformazioneristrutturandoi suoicorsidi laureain formatriennale.Peril corsodi laureain Fisicaquestosignificaunasostanzialerevisionedei contenutipropostiagli studenti,col risultatochemoltapartedellamateriaqui propostacosti-tuisceapprofondimentoda affrontareduranteil successivo biennioprevisto per lalaureaspecialistica. Tuttavia credoche il testonella suastrutturaoriginale abbiaancoravaliditaepossacostituireunutile riferimentoperqualsiasistudentedi Fisica.Percio, nello spirito della gratuita cheha semprecaratterizzatola pubblicazionediquestomanuale,lo ripropongoorain unavesteappositamenteconfezionataperessereresadisponibilea tutti avvalendosidella reteweb. Sonogratoa Marco Radici peri preziosisuggerimentifornitimi nell’operadi trascrizione. L’occasioneha ancheconsentitodi eliminarequalcheulteriorepiccoloerroredi stampa.

S.B.Pavia, settembre2001.

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PREFAZIONE ALLA SECONDA EDIZIONE

La secondaedizionedi questomanualenon differiscesostanzialmentedallaprima,ma l’occasionehaopportunamenteconsentitodi interveniresul testoin nu-merosipunti, sia per correggerevari errori di stampa(anchese forse non tutti),aggiornarela bibliografiaearricchirel’indice analitico,siaperchiariretaluniaspettichehannoingeneratoconfusionedurantela letturadellaprimaversione.Sonomoltogratoagli studentieagli amicichehannoavuto la bontadi segnalarmi,oltreai pregi,anchei difetti. In particolaresonogratoa RobertoCatenacci,Antonio DefendieFrancoSalmistraro,cosı comelo sonoa mestessoperaveredi nuovo rinunciatoaidiritti di autorepur di vederepubblicatoun testochecredosia utile per chi vogliaaffrontarelo studiodellameccanicaquantistica.

S.B.Pavia, settembre1996.

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PREFAZIONE

Pochimesidopola loro pubblicazionenel 1926,i quattrolavori di Schrodin-gersullaquantizzazionecomeproblemaagli autovalori, riuniti in un unicovolumeinsiemecon altri dello stessoautore,costituironoil primo manualedi meccanicaondulatoria. Essofu un manualeper pochi specialisti,cui prestoseguirononuovetrattazioniadoperadi altri arteficidi quellacheoggichiamiamomeccanicaquantis-tica. Sututtespiccail testofondamentaledi Dirac,scrittoin modocosı definitivo chela primaedizionedel1930e rimastapraticamenteinalterataperdiecideisuoidodicicapitoli fino alla quartae ultima del 1958,ristampataper la settimavolta nel 1976.Numerosepresentazionidellameccanicaquantistica,piu completee didatticamenteorientate,si sonosusseguite nell’ormai lungo periododi tempoche ci separadaquegli annigloriosi, in cui la vivacita intellettualee la sapienzamatematicadi alcunigiovanissimiricercatori,uniteal genioeall’esperienzadi scienziatipiumaturi,hannoprodottounadellepiu grandirivoluzioni dellastoriadelpensiero.

Il riorientamentodi prospettivaintrodottodallameccanicaquantisticanelmododi porsidi fronteal fenomenonaturalenonriguardasolol’atteggiamentodell’uomodi scienza,matoccanell’intimo la mentalita dell’uomostesso.Abituati dallafisicaottocentesca,la cosiddettafisicaclassicafondatasullameccanicadi Galilei e New-ton, si poteva concepirel’intero universoin evoluzionemeccanicisticasecondounoschemadeterministicodi causaedeffetto. Emblematicain tal sensoe la posizioneriduzionisticadi Laplace,chevieneinaspettatamentesmentitadalleconclusionirag-giunte dai fisici nel costruireuna teoria in gradodi rendereconto dei nuovi datisperimentaliaccumulatialla fine del secoloscorsoe nel primo quartodi questosecolo. Con Heisenberg vengonoscopertii limiti intrinsecidell’osservazione,cheimpedisconodi determinareesattamentele condizioniiniziali dacui vienea dipen-derel’evoluzionetemporaledellafisicaclassica;e la partecipazionedell’osservatorestessoalla costruzionedel fenomenorappresentauno stimolo per approfondimentifilosofici cheridimensionanoil rapportouomo–natura.

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Ma questoriorientamentoe tuttoraestraneoal comunebuon sensoe richiedenonpochisforzi ancheallo studentedel Corsodi Laureain Fisica.Dopounbienniodi studipropedeuticie totalmenteispirati dallaconcezionemeccanicistica,in cui harivisto conmaggioridettaglie approfondimentilo sviluppodellafisicaclassicae haimparatoadestreggiarsiconalcuniaspettidel formalismomatematiconecessario,lostudentesi trova totalmenteimpreparatoadaffrontareall’improvviso questonuovomododi pensareil fenomeno.

La difficolta e forsesentitamaggiormentein Italia dove solonegli ultimi dieciannisonocominciateafiorire alcunetrattazionielementariin linguaitaliana.Questachesi aggiunge,senzanullatogliereai pregi dellealtre,vuoleprivilegiarelo sviluppodi pensierochehaportatoi fisici a rifondarei postulatibasilaridella teoria. Percioquestotestosi presentacomeun numerospecialedella collanadei “Quaderni diFisica Teorica” cheil Dipartimentodi FisicaNuclearee Teoricadell’Universita diPavia pubblicada alcuni anni con lo scopodi aiutarelo studente,e non solo lui, afamiliarizzarsiconuntemao conunautoreattraversola letturacommentatadi lavorioriginali.

Il testo tuttavia e principalmenteun manuale,che trae origine dalle lezionitenutedall’autore in circa un decennio,prima all’Universita di Bolognae quindiall’Universita di Pavia. Essopuo idealmentesuddividersi in dueparti. La primacomprendeseicapitoli,dalprimoalsettimoconesclusionedelquinto. In questapartevieneesploratala transizionedallafisicaclassicaallameccanicaquantistica,secondounpercorsocheispirail titolo dellibro. Neiprimi quattrocapitolivengonoripropostiirisultatifondamentalidi meccanicaanalitica,termodinamicaedelettromagnetismo;siesaminanopoi leragionisperimentalidellacrisidellafisicaclassica,motivandoquindila necessita di abbandonarela descrizionedeterministicaper costruireuna nuovateorianellaquale,fondendogli aspetticorpuscolariconquelli ondulatori,diventanoessenzialinuovi postulatie l’interpretazionestatisticadellesoluzionidell’equazionedi Schrodinger. Il sestoe il settimo capitolo sviluppanoin modo sistematicoilformalismobasilaredellameccanicaquantistica.

La secondaparte, anch’essadi sei capitoli, e orientataall’utilizzazione delformalismoin problemiconcreti. Essacomprendeil quinto capitolo,dedicatoallasoluzioneesattadell’equazionedi Schrodingerin casisemplici,ei capitolidall’ottavoal dodicesimo,cheaffrontanovari tipi di applicazionie l’estensionedel formalismodellameccanicaquantisticanonrelativistica,conl’intento di proporrei metodiprin-cipali di basee le approssimazionidi calcoloutili per risolvereproblemidi fisicaquantistica.

In tre appendiciinoltre sonoraccoltealcunenozioni di caratterepuramentematematicochevengonoutilizzatenel testoprincipalee chedovrebberoessereperlo piu gia notea chi legge. Infine gli argomentitrattati sonocorredatidaunariccabibliografiacommentata,cherimandaai testi originali e permettedi recuperarelesorgenticoncettualie le basisperimentalidellateoria.

Cometale,il materialeeperciopiu estesodi quantosi possaproporreduranteunnormalecorsouniversitariodi Istituzioni di FisicaTeoricadedicatoalla meccanica

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quantistica. Ma molti argomentisonopresentaticomeEsempi,integrati nel testoin modo da permetterneuna lettura pilotata e limitata agli argomenti di volta involtapiu interessanti.Il testoprincipalee spessointerrottodaEsercizi,chevengonopropostisenzasoluzione: ma questae quasisempreo anticipatae nascostatra lerighe precedenti,e in tal casoserve a far riflettereil lettoresu quantogia esposto,oppuresi trova nel testosuccessivo, talvolta anchequalchepaginaoltre,e haquindifunzionedi stimoloperun’elaborazionepersonale.

Mentrela numerazionedelle tabellee progressiva all’interno di ogni capitolo,quella delle equazioni,delle figure, degli Esempie degli Esercizi e doppia pertenerecontoanchedel paragrafoin cui compaiono.In casodi richiamodaun altrocapitolo,la numerazionevienefattaprecederedal numero(in carattereromano)delcorrispondentecapitolo.

Il testogiungein tipografiadopounalungagestazione,durantela qualevarieversionipreliminarisonocircolatetra studentie colleghi. L’autoree profondamentegratopertutti i consigliesuggerimentidi cui hapotutobeneficiareperla stesuradeltestofinale. In particolaredesideraricordarei contributi ricevuti da RobertoCate-nacci,Vittorio Degiorgio, Italo Guarneri,FrancescoMiglietta, MarcoRadici,MarcoRoncadelli,AlbertoRimini. Naturalmentesvistee inesattezzesonoancorapossibiliesonosoloimputabili all’autore,cheringraziafin d’orachi volessegentilmenteseg-nalargliele. Egli e inoltre gratoa MicheleLivanperun’assistenzanell’elaborazionegraficae a MatteoCacciariper la realizzazioneconMathematica dellefig. V.8.3eV.8.4. Un particolareringraziamentova infine ai familiari dell’autorestessoper lapazienzaela comprensioneconcui hannotolleratoil tempodedicatoaquestolavoro.

S.B.Pavia, luglio 1992.

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INDICE

I. Risultatidi fisicaclassica �� 1I.1. Meccanicaanalitica �� 4I.2. Macrofisica �� 22I.3. Elettrodinamica �� 43

II. La crisi dellafisicaclassica �� 61

II.1. Principiodi relativita ristretta �� 68II.2. La radiazionedi corponero �� 76II.3. Aspetticorpuscolaridellaradiazione �� 90II.4. Spettriatomici �� 94II.5. Le regoledi quantizzazionedi Bohr-Sommerfeld �� 97

III. Versol’equazionedi Schrodinger �� 105

III.1. Otticageometricae dinamicadi unaparticella �� 110III.2 L’ipotesidi deBroglie �� 119III.3. L’equazionedi Schrodinger �� 124III.4. Limite classicodell’equazionedi Schrodinger �� 131III.5. Interpretazionedell’equazionedi Schrodinger �� 136III.6. Teoremadi Ehrenfest �� 140III.7. Spaziodegli impulsi evalor mediodi unoperatore�� 142

IV. Il formalismoelementaredellameccanicaquantistica �� 151

IV.1. Operatoriquantistici �� 153IV.2. Equazioneagli autovalori �� 162IV.3. Soluzionegeneraledell’equazionedi Schrodinger �� 178IV.4. Statistazionariestatiquasi–stazionari�� 180IV.5. Riduzionedelpacchettodi onde �� 184

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IV.6. Il principio di indeterminazione�� 188IV.7. Pacchettodi minimaindeterminazione�� 195IV.8. Relazionedi indeterminazioneperenergiae tempo �� 200IV.9. Commutabilitae compatibilita �� 203

IV.10. Valori mediedequazionidelmoto �� 206IV.11. Riassuntodeipostulati �� 208

V. Alcuni sistemisemplici �� 211

V.1. Saltodi potenziale:coefficienti di riflessionee di trasmissione�� 211V.2. Barrieradi potenzialesimmetrica �� 216V.3. Bucadi potenzialerettangolare �� 222V.4. Oscillatorearmonicolineare �� 225V.5. Moto in campodi forzecentrali �� 230V.6. Moto libero in tredimensioni �� 233V.7. Oscillatorearmonicotridimensionale�� 234V.8. Atomo idrogenoide�� 239

VI. Rappresentazioni�� 249

VI.1. Formulazionedi Dirac �� 252VI.2. Teoriamatricialedell’oscillatorearmonicolineare �� 264VI.3. L’insiemedegli staticoerenti �� 269VI.4. Trasformazioniunitarie �� 275VI.5. Operatoridi rotazione �� 282VI.6. Operatoritensorialiirriducibili �� 289VI.7. Inversionetemporale �� 291

VII. Evoluzionetemporalein meccanicaquantistica�� 295

VII.1. Descrizionedi Schrodinger �� 296VII.2. Il propagatoredell’equazionedi Schrodinger �� 298VII.3. Descrizionedi Heisenberg �� 305VII.4. Descrizionedi interazione�� 308VII.5. Formulazionedi Feynman �� 312VII.6. Casipuri ecasimiscela �� 319VII.7. Operatoredensita �� 321

VIII. Metodi approssimatipergli statistazionari �� 329

VIII.1. Il metodovariazionale �� 330VIII.2. Perturbazioniindipendentidal tempo �� 336VIII.3. Lo sviluppodi Rayleigh–Schrodinger �� 339VIII.4. Calcoloperturbativo perduelivelli vicini �� 345VIII.5. Lo sviluppodi Brillouin–Wigner �� 349

IX. Lo spin �� 351

IX.1. Elettronein campomagneticoe invarianzadi gauge �� 353

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IX.2. EffettoAharonov–Bohm �� 357IX.3. EffettoZeeman �� 360IX.4. Gli operatoridi spin �� 362IX.5. Evoluzionetemporaledi unostatodi spin �� 368IX.6. Composizionedi duemomentiangolari �� 375IX.7. Interazionespin–orbita �� 380

X. Sistemidi molteparticelle �� 387

X.1. Il problemaaduecorpi �� 389X.2. Hamiltonianadi un sistemadi molteparticelle �� 395X.3. Particelleidenticheeprincipio di Pauli �� 399X.4. Accoppiamenti�� e �� 411X.5. Il metododi Hartree �� 416X.6. Atomodi elio �� 422X.7. Il metododi Hartree–Fock �� 425X.8. Modelloashellatomico �� 432X.9. Forzenucleari �� 437

X.10. Modelloashellnucleare �� 444

XI. Perturbazionidipendentidal tempo �� 451

XI.1. Perturbazionedi un sistemaa duelivelli �� 452XI.2. Equazionedi Schrodingerconpotenzialedipendentedal tempo �� 457XI.3. Sviluppoperturbativo �� 458XI.4. Probabilitadi transizionee regolad’oro �� 461XI.5. Il teoremadi Wigner-Eckart �� 468XI.6. Transizioniindottedallaradiazione �� 471XI.7. Approssimazionedi grandilunghezzed’onda �� 475XI.8. Regoladi sommadi dipoloelettrico �� 481XI.9. Emissionespontanea�� 484

XII. Processid’urto �� 491

XII.1. Sezioned’urto �� 492XII.2. Funzionedi Greeneampiezzadi diffusione �� 498XII.3. Equazionedi Lippmann-Schwinger�� 504XII.4. Approssimazionedi Born �� 505XII.5. Il metododellosviluppoin ondeparziali �� 510XII.6. Determinazionedegli sfasamentiperl’urto elastico �� 513XII.7. Diffusioneconassorbimento�� 522XII.8. Teoremaotticoperl’urto elastico �� 527XII.9. Urto elasticodi particelleidentiche �� 528

XII.10. Operatoridi Møller �� 531XII.11. La matricedi scattering �� 538XII.12. L’operatoredi transizione �� 541XII.13. Sezioned’urto e teoremaottico �� 544

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XII.14. L’urto anelastico �� 546XII.15. L’effetto fotoelettrico �� 549XII.16. Proprietadi simmetriae matricedi transizione �� 552

A. Distribuzioni edeltadi Dirac �� 555

A.1. Distribuzioni �� 556A.2. La deltadi Dirac �� 559A.3. Trasformatedi Fourier �� 564

B. Equazionidifferenzialilineari omogeneedel secondoordine �� 569

B.1. Soluzionenell’intornodi unpuntoregolare �� 570B.2. Eventualepolidromiadegli integrali �� 571B.3. Soluzionenell’intornodi unpuntodi singolarita fuchsiana�� 573B.4. Equazionitotalmentefuchsiane �� 575B.5. Equazionicontre singolarita fuchsiane �� 578B.6. Funzioneipergeometricaconfluente �� 582

C. Calcolomatricialeeoperatoriquantistici �� 587

C.1. Proprietadellematrici �� 589C.2. Cambiamentodi base �� 592C.3. Diagonalizzazionedi unamatrice �� 597

Tab. D1. Costantifisiche �� 601

Tab. D2. Relazionielettromagnetiche�� 603

Indice analitico �� 605

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I. RISULTATI DI FISICA CLASSICA

Alla fine del secolo XIX si era completato il quadro della fisica classica: lescienze fisiche avevano raggiunto un grado di organizzazione dell’interpretazione deifenomeni naturali che rendeva conto in modo soddisfacente degli aspetti macroscopi-ci. Questo era il risultato di circa tre secoli di ricerche in cui l’attenzione del filosofo,cioe di colui che ama sapere, si era finalmente concentrata anche sui fenomeni naturaliaffrontando dapprima il problema del moto dei corpi.

Con i Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze, atti-nenti alla meccanica e ai meccanismi locali pubblicati a Leiden nel 1638, GalileoGalilei (1564–1642) sancisce la nascita della moderna meccanica quale fondamentodi tutte le scienze 1. Successivamente Isaac Newton (1642–1727) definisce i principidella meccanica e il nuovo metodo di matematizzare la descrizione del movimento deicorpi materiali 2. La definitiva razionalizzazione della meccanica avviene nel 1788con la pubblicazione a Parigi di un testo di meccanica analitica 3 del matematicotorinese Giuseppe Luigi Lagrange (1736–1813). In esso si completa quel processo diunificazione tra descrizione del moto e trattazione rigorosa matematica che permettedi “ridurre la teoria meccanica e l’arte di risolvere i problemi che a essa si riferisconoa formule generali, il cui semplice sviluppo fornisce tutte le equazioni necessarie perla soluzione di ciascun problema”. Il successo di questo programma e fedelmentetestimoniato nella ben nota affermazione di Pierre-Simon de Laplace (1749–1827):“Un’Intelligenza che conoscesse, a un dato istante, tutte le forze da cui e animatala natura e la disposizione di tutti gli enti che la compongono e che inoltre fossesufficientemente profonda da sottomettere questi dati all’analisi, abbraccerebbe in

1 Le opere di Galileo Galilei, Antonio Favaro ed., Firenze, 1890–1909, 20 voll.2 I. Newton: Philosophiæ naturalis principia mathematica, Iussu Societatis Regiæ, Londra, 1687[traduzione italiana di Alberto Pola: Principi matematici della filosofia naturale, UTET, Torino, 1965].3 I due volumi del trattato Mecanique analitique nelle edizioni del 1811 e 1816 compaiono come volumiXI e XII nella raccolta: Œuvres de Lagrange, J.A. Serret, Parigi, 1867–1892, 14 voll.

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una stessa formula i movimenti dei piu grandi corpi dell’universo e degli atomi piuleggeri; per essa nulla sarebbe incerto e ai suoi occhi sarebbero presenti sia il futuroche il passato”4. In altre parole, note a un certo istante la posizione e la velocitadi tutte le particelle dell’universo e le loro mutue forze di interazione, le equazionidella meccanica permettono di conoscere l’evoluzione dell’intero universo in modoperfettamente deterministico e causale. Contemporaneamente, le equazioni del moto,per esempio quelle nella forma proposta da William Rowan Hamilton (1805–1865) 5,sono reversibili, cioe prevedono che, se al presente si invertono le velocita di tutte leparticelle, l’evoluzione verso il passato avvenga lungo la stessa traiettoria percorsain senso inverso.

Anche i fenomeni macroscopici, in cui interviene il concetto di temperatura,vengono affrontati nella seconda meta del XIX secolo con questa impostazione distampo illuministico. Il lungo travaglio che dal calorico ha portato allo sviluppo dellatermodinamica trae origine dalle osservazioni dell’americano Benjamin Thompson(1753–1814), divenuto nel 1792 conte di Rumford al servizio dell’esercito bavarese.Egli riconobbe ante litteram una nuova forma di energia quale responsabile delsurriscaldamento dei fusti di cannone durante l’alesaggio, energia che non poteva cheprovenire dal lavoro compiuto dalle punte della fresa utilizzata. Ma l’equivalenzadel calore con le altre forme di energia fu solo stabilita con il primo principiodella termodinamica, espresso nel 1842 da Julius Robert von Mayer (1814–1878) 6.L’intuizione del secondo principio della termodinamica e dovuta a Sadi-Nicolas-Leonard Carnot (1796–1832) che nel 1824 ne discute alcuni aspetti 7 che restanopero lettera morta fino alla loro riscoperta, operata nel 1848 da William ThomsonKelvin (1824–1907), e agli studi di James Prescott Joule (1818–1889). L’intrinsecairreversibilita dei processi naturali si scontra con l’ideale illuministico di Laplacee trova sistemazione teorica con i contributi di Rudolf Julius Emmanuel Clausius(1822–1888), James Clerk Maxwell (1831–1879) e Ludwig Boltzmann (1844–1906).Il concetto di entropia, introdotto da Clausius nel 1862, si adatta bene alla teoriadel calore 8 di Maxwell, basata su un modello cinetico gia da lui introdotto per

4 Œuvres completes de Laplace, Gauthier–Villars, Parigi, 1878–1912, 14 voll.La frase citata e nell’Essai philosophique sur les probabilites [Saggio filosofico sulla probabilita], raccoltonel volume VII e tradotto in italiano in: Opere di Pierre Simon Laplace, a cura di Orietta PesentiCambursano, UTET, Torino, 1967, p. 233.

5 I fondamenti della meccanica analitica sono stati posti in una serie di lavori di Hamilton, il primo deiquali fu presentato all’Accademia Reale Irlandese il 3 dicembre 1824.W.R. Hamilton: Essay on the theory of systems of rays [Saggio sulla teoria dei sistemi di raggi],Transactions of the Royal Irish Academy 15 (1828) 69–174; 16 (1830) 1–61; 16 (1831) 93–125; 17 (1837)1–144.

6 J.R. Mayer: Bemerkungen uber die Krafte der unbelebten Natur [Osservazioni sulle forze della naturainanimata], Annalen der Chemie und Pharmacie 42 (1842) 233.

7 S. Carnot: Reflexions sur la puissance du feu [Riflessioni sulla potenza del fuoco], Bachelier, Parigi,1824.

8 J.C. Maxwell: The Theory of Heat, Londra, 1871.

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la dinamica dei gas 9 e si completa con il cosiddetto teorema � di Boltzmann 10

con cui si getta il ponte tra descrizione microscopica deterministica e descrizionemacroscopica in termini di meccanica statistica. Il programma pero trova grossedifficolta ad essere accettato da tutti, principalmente per l’opposizione della scuolainglese ispirata da Lord Kelvin 11 che con Peter Guthrie Tait (1831–1901) 12 noncondivideva l’impostazione matematica di Boltzmann. Uno sviluppo piu sicuro fupossibile solo dopo la pubblicazione postuma del trattato 13 di Josiah Willard Gibbs(1839–1903), che aveva dato fondamentali contributi alla termodinamica degli statidi equilibrio e posto le basi della moderna meccanica statistica.

Su un altro versante, gli studi di ottica sono caratterizzati da una lunga polemicasulla natura della luce. Accanto alla teoria corpuscolare, proposta fin dal 1704da Newton nel suo trattato sull’ottica 14, si venne affermando l’ipotesi ondulatoriasostenuta da Christian Huyghens (1629–1695) 15. Ma tale ipotesi pote prevaleresolo dopo che Augustin–Jean Fresnel (1788–1827) divulgo nelle sue memorie 16 del1818, ma pubblicate nel 1826, l’esito degli esperimenti di interferenza di ThomasYoung (1773–1829) 17 e soprattutto dopo che la determinazione della velocita dipropagazione della luce nel vuoto e in un mezzo da parte di Armand-Hippolyte-Louis Fizeau (1819–1896) 18 e di Jean Bernard Leon Foucault (1819–1868) 19

9 J.C. Maxwell: On the dynamical theory of gases [Teoria dinamica dei gas], Philosophical Magazine [4]32 (1866) 390–393; [4] 35 (1868) 129–145, 185–217; Philosophical Transactions of the Royal Society ofLondon 157 (1867) 49–88.10 L. Boltzmann: Weitere Studien uber das Warmegleichgewicht unter Gasmolekulen [Ulteriori studisull’equipartizione del calore tra le molecole di un gas], Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie derWissenschaften (Wien) 66 (1872) 275–370.11 W.T. Kelvin: Nineteenth century clouds over the dynamical theory of heat and light [Nubi del di-ciannovesimo secolo sulla teoria dinamica del calore e della luce], Philosophical Magazine 2 (1901)1–40.Le nubi a cui allude Kelvin erano i problemi dell’etere cosmico e dell’equipartizione dell’energia, legatirispettivamente alla difficolta di conciliare la meccanica con l’elettromagnetismo e alla interpretazionestatistica dei fenomeni termodinamici, per lui inaccettabile.12 P.G. Tait: On the foundations of the kinetic theory of gases [Sui fondamenti della teoria cinetica deigas], Transactions of the Royal Society of Edinburgh 33 (1886) 65–95, 251–277.13 J.W. Gibbs: Elementary principles in statistical mechanics: Development with special reference to therational foundations of thermodynamics, Yale University Press, New Haven, Connecticut, 1902.14 I. Newton: Opticks, or a treatise of the reflexions, refractions, inflexions and colour of light, S. Smith,Londra, 1704.15 Ch. Huyghens: Traite de la lumiere, P. van der Aa, Leiden, 1690.16 A. Fresnel: Memoires sur la diffusion de la lumiere, in Memoires de l’Academie des Sciences, Parigi,1826, vol. 5.17 T. Young: On the theory of light and colour [Teoria della luce e del colore], Philosophical Transactionsof the Royal Society of London 92 (1802) 12–24.18 A. Fizeau: Sur une experience relative a la vitesse de propagation de la lumiere [Su un’esperienzarelativa alla velocita di propagazione della luce], Comptes Rendus de l’Academie des Sciences 29 (1849)90–92.19 J. Foucault: Methode generale pour mesurer la vitesse de la lumiere dans l’air et les milieux transparents[Metodo generale per misurare la velocita della luce nell’aria e nei mezzi trasparenti], Comptes Rendus

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��

intorno alla meta del XIX secolo diede una risposta conclusiva in suo favore.La propagazione dei segnali luminosi trova la sua descrizione piu completa nel

1873 per opera di Maxwell che raggiunge una straordinaria sintesi tra fenomeni otticie fenomeni elettrici e magnetici 20. Dopo i lavori iniziali di Alessandro Volta (1745–1827), Charles-Augustin de Coulomb (1736–1806), Andre-Marie Ampere (1775–1836), Hans Christian Oersted (1777–1851), si fece luce l’idea che fosse possibiledare una trattazione unificata dei fenomeni elettrici e magnetici in termini di campoelettromagnetico. Questo programma, sostenuto da Michael Faraday (1791–1867), siperfeziona con la veste matematica delle equazioni di Maxwell 21 che spiegano anchei fenomeni ottici. La conferma dell’esistenza delle onde elettromagnetiche venne dauna serie di esperimenti iniziati nel 1886 da Heinrich Rudolf Hertz (1857–1894).

I risultati raggiunti nell’arco di questi tre secoli costituiscono ancora oggi ilfondamento irrinunciabile per ogni approccio dell’indagine fisica e certamente rap-presentano il riferimento naturale per ogni progresso nella descrizione unificata deiprocessi fisici non solo a livello macroscopico, ma anche a livello microscopico difisica atomica e nucleare. Percio lo scopo di questo capitolo e di richiamare alcuniconcetti fondamentali di fisica classica che sono essenziali per la formulazione e lacomprensione della meccanica quantistica.

��

La meccanica analitica studia il moto delle particelle di un sistema fisico suppo-nendole puntiformi. Riconducendo l’azione esterna sul sistema e quella reciproca frale particelle del sistema stesso a forze, che in ultima analisi sono forze conservative,la meccanica analitica stabilisce le equazioni del moto sulla base di metodi moltogenerali. Le equazioni risultanti sono in forma differenziale e, una volta risolte,permettono di conoscere istante per istante la posizione di tutte le particelle e quindil’atto di moto complessivo del sistema. Anche se in linea di principio il programmadella meccanica analitica puo essere applicato a un numero qualsiasi di particelle, inpratica le equazioni del moto possono essere risolte in un numero limitato di casi. Tut-tavia i metodi utilizzati e le quantita definite dalla meccanica analitica possiedono unsignificato concettuale e rivestono un ruolo propedeutico della massima importanzaper ogni possibile sviluppo 22.

de l’Academie des Sciences 30 (1850) 551–560.20 J.C. Maxwell: Treatise on electricity and magnetism, Clarendon Press, Oxford, 1873, 2 voll.21 J.C. Maxwell: A dynamical theory of electromagnetic field [Una teoria dinamica del campo elettro-magnetico], Philosophical Transactions of the Royal Society of London 155 (1865) 459–512.22 Per una trattazione elementare degli argomenti di questo paragrafo si veda ad esempio il testo diHerbert Goldstein: Classical mechanics, Addison Wesley Publ. Co., Reading, Massachusetts, 1980,seconda edizione [traduzione italiana della prima edizione a cura di Enzo Fuschini: Meccanica classica,Zanichelli, Bologna, 1971].Per una trattazione dedicata ai fondamenti matematici e utile per la discussione dei problemi di stabilita,

4

�� Nella meccanica analitica un sistema fisico con

�gradi di liberta e indivi-

duato dalla sua lagrangiana � = � ( �� .�� ), assegnata in funzione delle coordinatelagrangiane ( � 1 � � 2 �� ), collettivamente indicate con � , delle loro derivate prime

.�ed eventualmente del tempo � . Gli

�gradi di liberta del sistema sono gia depurati dei

vincoli che qui e nel seguito si suppongono olonomi 23.Ha interesse considerare sistemi soggetti a forze di tipo conservativo. Pertanto

si puo definire un’energia potenziale � = � ( �� ), posizionale ed eventualmentedipendente dal tempo � . Se � = � ( �� .�� ) rappresenta l’energia cinetica del sistema,si ha

� ( �� .�� ) = � ( �� .�� ) �� ( �� ) � (1 � 1)

E noto che le equazioni del moto, dette equazioni di Lagrange, sono deducibili da unprincipio variazionale, detto di Hamilton 24 e applicato all’integrale d’azione

�=��

2

�1 � �� ( � ) � .� ( � ) �� !� (1 � 2)

con la condizione che la variazione " � si annulli per variazioni arbitrarie di � e.� ,

che rispettino le configurazioni estreme in � 1 e � 2 e tali da mantenere � 2 �#� 1 costante(variazione sincrona). La condizione

" � = 0 � (1 � 3)

che implica una condizione di estremo (massimo o minimo) per l’azione�

, significache, fra tutti i possibili cammini che il sistema puo esplorare tra � 1 e � 2, quello effet-tivamente percorso rende estremo l’integrale d’azione (1.2). Questa condizione puoessere soddisfatta solo rispettando le equazioni del moto di Lagrange, che risultano

�� %$�$

.� � $ �$ �= 0 � (1 � 4)

Esercizio 1.1

Scrivere la lagrangiana di un oscillatore armonico monodimensionale con massa& e costante elastica ' . Dedurre l’equazione del moto.

si veda il testo di Giovanni Gallavotti: Meccanica elementare, Boringhieri, Torino, 1980 [edizione ininglese: Elements of Mechanics, Springer, New York, 1983].23 Si definiscono olonomi i vincoli di tipo finito, esprimibili cioe mediante equazioni della forma( )

(r1 * r2 *�+,+�+,* r - */. ) = 0 ( 0 = 1 * 2 *,+�+,+�*21 ) *che impongono restrizioni ai vettori di posizione r1 * r2 *�+,+�+,* r - delle 3 particelle del sistema in esame. Igradi di liberta sono dunque

(= 3 3�4 1 .

24 Cfr. n. 5 p. 2.Per un’esposizione critica dei metodi variazionali, si veda il testo di Cornelius Lanczos: The variationalprinciples of mechanics, University of Toronto Press, Toronto, 1949.

5

��

Esercizio 1.2

La lagrangiana di una particella di massa & , soggetta a forze centrali descritte daun potenziale � ( � ), funzione della sola distanza dall’origine del sistema di riferimento,in coordinate polari ha la seguente espressione:

�= 1

2& (

.� 2 + � 2 .� 2 + � 2 sin2 � .� 2) �� ( � ) �

Dedurre le equazioni del moto.

Le equazioni di Lagrange hanno il pregio di essere invarianti rispetto a unaarbitraria trasformazione di coordinate; cioe, data una trasformazione invertibile deltipo

�� = �� ( �� ) � (1 � 5)

le equazioni di Lagrange si riscrivono:

�� $�

$.� � � $ �$ � �

= 0 � (1 � 6)

Inoltre la lagrangiana di un sistema non e univocamente definita. La trasformazione

� = � � + �

� �� (1 � 7)

dove

=

( �� ) e un’arbitraria funzione derivabile delle � e del tempo, produce unanuova lagrangiana � � che per la (1.3) porta alle stesse equazioni di Lagrange (1.4).

Le equazioni di Lagrange costituiscono un sistema di�

equazioni differenzialidel secondo ordine nel tempo per le coordinate � . Il loro integrale generale dipendeda 2

�costanti arbitrarie, che sono univocamente determinate assegnando ad esempio� e

.� a un certo istante e fissando quindi le condizioni iniziali.Nota l’evoluzione temporale delle coordinate lagrangiane, risulta pure noto

il comportamento nel tempo di una qualsiasi variabile dinamica, in quanto ognialtra quantita che caratterizza il sistema e esprimibile in funzione delle coordinatelagrangiane. Ad esempio, per una particella di massa � che si muove nello spazioordinario a tre dimensioni con velocita v e individuata dalla posizione r, il momentoangolare L risulta L = r � � v.

Esercizio 1.3

Esprimere in coordinate cartesiane e in coordinate polari le componenti del momentoangolare L di una particella di massa & che si muove nello spazio tridimensionale.

Alla formulazione lagrangiana e del tutto equivalente quella hamiltoniana 25,

25 W.R. Hamilton: On a general method of expressing the path of light, and of planets, by the coefficientsof a characteristic function [Un metodo generale per descrivere il cammino percorso dalla luce, e daipianeti, per mezzo dei coefficienti di una funzione caratteristica], Dublin University Review, 1833, pp.795–826.

6

�� nella quale si definisce il momento canonico (o momento coniugato di � ),

� = $ �$.� � (1 � 8)

e si introduce la funzione hamiltoniana � = � ( �� ),� = � .� � � � (1 � 9)

che per sistemi olonomi identifica l’energia totale:

� = � (� � � ) + � ( � �� ) � (1 � 10)

Le equazioni del moto diventano allora

.� = $ �

$� � .� = � $ �

$ �� (1 � 11)

note come equazioni di Hamilton in forma canonica. Esse costituiscono un insiemedi 2

�equazioni differenziali del primo ordine nel tempo per le 2

�variabili canoniche

( �� ). Per la loro risoluzione occorre assegnare 2�

costanti arbitrarie, che possonoessere scelte fissando ad esempio � e � a un certo istante. Parimente a quanto avvieneper le equazioni di Lagrange, con la conoscenza delle condizioni iniziali le equazionidi Hamilton determinano completamente l’evoluzione temporale del sistema.

Esercizio 1.4

Scrivere la hamiltoniana di un oscillatore armonico monodimensionale con massa& e costante elastica ' . Dedurre l’equazione del moto dalle equazioni di Hamilton.

Esercizio 1.5

Esprimere in coordinate cartesiane e in coordinate polari il momento coniugato diuna particella di massa & , posizione r e velocita v che si muove nello spazio tridimen-sionale, soggetta a un campo di forze esterne, funzione solo della posizione.

Esercizio 1.6

A partire sia dalle coordinate cartesiane, sia dalle coordinate polari di una particellache si muove nello spazio tridimensionale, esprimere mediante le coordinate canonichela componente lungo l’asse � e il modulo quadrato del momento angolare.

Esercizio 1.7

Scrivere la hamiltoniana e dedurre le equazioni di Hamilton per la particelladell’Esercizio 1.2.

7

��

Si ottiene una terza forma delle equazioni del moto ricorrendo alle parentesidi Poisson 26. Date due funzioni � e � delle variabili canoniche ( �� ), si definisceparentesi di Poisson la seguente espressione:

� � �� = � � $ �� $ �� $ �� $ �� (1 � 12)

dove indica sommatoria sull’omesso indice che numera le variabili canoniche.

Notevoli sono alcune proprieta delle parentesi di Poisson:

� �� = 0 �� = � � � �� + � �� =� � �� +

� � �� =� � �� + � � � �� (1 � 13)

Vale inoltre l’identita:

�� +�� +

�� = 0 � (1 � 14)

nota come identita di Jacobi.

Esercizio 1.8

Verificare le seguenti parentesi di Poisson tra le variabili canoniche (parentesi diPoisson fondamentali):�� )��

=�� )��

= 0� �!� )��

= " ) � � (1 � 15)

dove il simbolo di Kronecker " ) � vale" ) � = # 1 per $ = % ,0 per $'&= % .

(1 � 16)

26 Simeon-Denis Poisson (1781–1840): Memoire sur la variation des constantes arbitraires dans lesquestions de mecanique [Memoria sulla variazione delle costanti arbitrarie nei problemi di meccanica],Journal de l’Ecole Polytechnique 8 (1809) 226–344.

8

�� Esercizio 1.9

Verificare le seguenti parentesi di Poisson tra le componenti cartesiane del momentoangolare L di una particella di massa & che si muove nello spazio tridimensionale:�� )��

= � ) �� (1 � 17)

dove il tensore totalmente antisimmetrico � ) �� risulta

� ) �� =

�+1

�( $ � % � ' ) = ( � �� ) ciclici,

� 1�

( $ � % � ' ) = (� � � � � ) ciclici,

0�

altrimenti.(1 � 18)

Le parentesi di Poisson intervengono nel calcolo della derivata totale di unaqualunque variabile dinamica del sistema. Infatti, se = ( �� ) e una talevariabile, risulta

� � �= � � $ $ �

.� + $ $�

.� � + $ $ �e quindi, ricorrendo alle equazioni di Hamilton (1.11), si ottiene

� � �=� � � � + $ $ �

� (1 � 19)

Le stesse equazioni di Hamilton si possono riscrivere in termini di parentesi diPoisson scegliendo per prima � e poi � :

.� =� �� .� =

� � � � � � (1 � 20)

Le forme (1.4), (1.11) e (1.20) sono tre forme equivalenti delle equazioni delmoto, la cui risoluzione risolve il problema dell’atto di moto del sistema allo studio.

Esercizio 1.10

Dalle equazioni (1.20) dedurre l’equazione del moto per un oscillatore armonicomonodimensionale con massa & e costante elastica ' .

Esercizio 1.11

Dalle (1.20) dedurre le equazioni del moto per la particella dell’Esercizio 1.2.

In molti problemi, invece di risolvere completamente le equazioni del moto, puoessere sufficiente riconoscere l’esistenza di variabili dinamiche che si mantengonocostanti durante il moto. Se e una costante del moto, cioe

� � �= 0 � (1 � 21)

9

��

dalla (1.19) segue � � � � + $ $ �= 0 � (1 � 22)

Questa e un’equazione differenziale del primo ordine nel tempo e la variabile dina-mica che la soddisfa si chiama integrale primo. Questo nome deriva dal fatto chela conoscenza di equivale ad avere eseguito un’integrazione sul tempo in una delleequazioni del moto, che sono in generale equazioni differenziali del secondo ordinenel tempo. Se non dipende esplicitamente dal tempo, cioe

$ $ �= 0 � (1 � 23)

allora la (1.22) si riduce alla relazione� � � � = 0 � (1 � 24)

che e condizione necessaria e sufficiente perche sia un integrale primo.

Esercizio 1.12

Scrivere la hamiltoniana di un oscillatore armonico tridimensionale isotropo conmassa & e costante elastica ' . Verificare che il momento angolare e una costante delmoto.

Esercizio 1.13

Verificare che per la particella dell’Esercizio 1.2 il momento angolare e una costantedel moto.

Esercizio 1.14

Alla luce dell’Esercizio precedente il moto descritto dalla lagrangiana dell’Esercizio1.2 e un moto piano. Verificare che la corrispondente hamiltoniana puo porsi nella formaseguente: �

=1

2 &� � 2� +

1� 2

� 2�� + � ( � ) � (1 � 25)

dove � � = & .� � � � = & � 2 .�

(=�

) (1 � 26)

sono i momenti coniugati delle coordinate lagrangiane � � � (coordinate polari nel piano( � �� ):

�= �� 2).

10


Scelto nell’Esercizio precedente il potenziale coulombiano � ( � ) = �� 2 � � , verifi-care che anche il vettore

R =1& p � L � � 2

� r

e una costante del moto 27.

Esercizio 1.16

Verificare le seguenti parentesi di Poisson tra le componenti del momento angolareL e del vettore R dell’Esercizio precedente:�� ) � � � �

= � ) �� (1 � 27)� � ) ��

= � ) �� (1 � 28)� � )��

= � 2&�

� ) �� (1 � 29)

dove �=

� 2

2 & � � 2

� �

Le equazioni del moto nella formulazione hamiltoniana si prestano a risoluzionemediante opportune trasformazioni delle variabili canoniche, dette appunto trasfor-mazioni canoniche. Si definisce trasformazione canonica quella che trasformal’insieme di variabili canoniche ( �� ) nell’insieme ( �� ), tale che le parentesi diPoisson rimangano invarianti, cioe

27 Il vettore R, spesso citato come vettore di Laplace–Runge–Lenz, e fondamentale nella definizionedell’orbita classica del problema di Keplero–Coulomb: esso punta nella direzione del raggio vettore al

perielio dell’orbita e ha modulo 2 , dove =�

1 + 2 � 2 �� 4 e l’eccentricita dell’orbita percorsa conenergia .P. Laplace: Traite de Mecanique Celeste, Parigi, 1799, vol. 1, pp. 165 e segg.; Œuvres, Gauthiers–Villars,Parigi, 1843, vol. 1, pp. 187 e segg.Carl David Tolme Runge (1856–1927): Vektoranalysis, Hirzel, Lipsia, 1919, vol. 1.Wilhelm Lenz (1888–1957): Uber den Bewegungsverlauf und die Quantenzustande der gestorten Kepler-bewegung [Evoluzione del moto e stati quantici del moto di Keplero perturbato], Zeitschrift fur Physik 24(1924) 197–207.Il vettore R e stato ripreso per la descrizione quantistica dell’atomo di idrogeno (cfr. Esercizio IV.1.14)da Wolfgang Pauli (1900–1958): Uber das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neueren Quanten-mechanik [Lo spettro dell’idrogeno dal punto di vista della nuova meccanica quantistica], Zeitschrift furPhysik 36 (1926) 336–363.

11

��

� � �� =� � �� (1 � 30)

dove nel primo membro � e � sono due variabili dinamiche considerate funzionidi ( � � � ), mentre nel secondo membro � e � sono funzioni di ( �� ). In particolarerestano invarianti le parentesi di Poisson fondamentali� ��,� �� =

� � �,� � �� = 0 � � ��,� � �� = "� � (1 � 31)

dove il simbolo di Kronecker "�� vale

"�� =

�1 per � = � ,0 per ��= � .

(1 � 32)

Si ha cioe anche ��,�� =

��,�� = 0 � �

��,�� = "�� (1 � 33)

Le nuove variabili ( �� ) sono anch’esse canoniche, nel senso che e possibiledefinire una nuova funzione hamiltoniana, � = � ( �� ), tale che le equazioni delmoto per le nuove variabili siano ancora in forma canonica:

.� = $ �$ � � .

� = � $ �$ � � (1 � 34)

Esercizio 1.17

Per un oscillatore armonico lineare con massa & e costante elastica ' verificareche la trasformazione�

= � 2 �&�� cos � � �= � � 2 &�� sin � �

con � =� ' � & , produce nuove variabili canoniche � e � .

Esercizio 1.18

Delle nuove variabili � e � dell’Esercizio precedente, quale e la coordinata la-grangiana e quale il momento coniugato? Quali sono le dimensioni di � ? Costruire lanuova hamiltoniana e scrivere le nuove equazioni del moto.

Esercizio 1.19

Estendere al caso tridimensionale isotropo la trasformazione dell’Esercizio 1.17 ecalcolare le parentesi di Poisson tra le componenti cartesiane del momento angolare Lespresse in funzione delle nuove variabili canoniche. Verificare che L si conserva.

12

��

Come risultato degli Esercizi 1.17 e 1.18, l’energia totale � di un oscillatorearmonico lineare puo scriversi in termini della variabile d’azione � :

� = � � � (1 � 35)

dove la pulsazione � e 2 � volte la frequenza � di oscillazione. E notevole il fatto chel’azione � si mantiene costante non solo per il singolo moto di energia � , ma anchequando, per un’azione esterna, � varia in modo infinitamente lento. Percio il rapporto

� � = costante (1 � 36)

viene detto invariante adiabatico del sistema.Si puo dimostrare in modo generale che l’invariante adiabatico si presenta per una

qualsiasi hamiltoniana che dia origine a un moto risultante periodico 28. Qui si puoritrovare questo risultato nel caso di un pendolo semplice su cui viene fatto del lavoro peraccorciare il filo, variandone corrispondentemente la frequenza di oscillazione 29.

La legge del moto del pendolo semplice, di lunghezza�

e massa & ,

� &�� sin�

= & � ¨� �per piccole oscillazioni fornisce

�=�

0 cos( �� +�

)�

dove�

e l’angolo di oscillazione rispetto alla verticale e�

0 il suo valore massimo;

�� 2 �� =� ��

e � e l’accelerazione di gravita. L’energia di oscillazione e

� = 12&�� 2 � 2 � 2

0 = 12&�� 2

0 �

Se il filo viene sottoposto a trazione con tensione � , e necessario studiare anche l’equazioneche regola la parte del moto longitudinale rispetto al filo,

� � &�� cos�

= & � .� 2 �che per piccole oscillazioni diventa

�� &�� (1 � 12

� 2) + & � .� 2

= &�� &�� 20 � 12 cos2( �� +

�) � sin2( �� +

�) � �

28 Il concetto di invariante adiabatico e stato introdotto da Boltzmann. Per una discusione sulla sua validita,si veda, ad esempio, il testo di Sin-Itiro Tomonaga (1906–1979): Quantum Mechanics, North HollandPubl. Co., Amsterdam, 1962, vol.1, app. VI.29 John William Strutt (Baron Rayleigh, 1842–1919): On the pressure of vibrations [La pressione dellevibrazioni], Philosophical Magazine 3 (1902) 338–346.

13

��

Se la trazione del filo e lenta rispetto al periodo di oscillazione, interessa la mediatemporale di � , cioe

� = &�� +14&�� 2

0 �

Allora il lavoro fatto sul pendolo per accorciare il filo di " � e"�� = � ��" �= � & � " � � 1

4&�� 2

0 " � �Il primo termine rappresenta l’incremento di energia gravitazionale del pendolo, a seguitodell’accorciamento del filo che innalza la posizione a riposo della massa & ; il secondotermine e l’incremento " � dell’energia di oscillazione. Si ha" �� = � 1

2" ��

La variazione (negativa) di " � provoca pero anche una variazione di � e quindi difrequenza di oscillazione: " � = 2 � " � = � 1

2

� �� " ��= � 1

22 �� " ��

Pertanto risulta " �� =" ��

da cui segue la (1.36).

A seconda di come si raggruppano le 4�

variabili canoniche ( �� ) e diquali si scelgano quale punto di partenza, si possono definire quattro tipi di funzionigeneratrici di trasformazioni canoniche:

1( � �� ) �

2( �� ) � 3(� �� ) �

4(� �� ) � (1 � 37)

A seguito dell’applicazione della trasformazione canonica, la lagrangiana

� = � .� � � (1 � 38)

si trasforma nella lagrangiana

� � = �.� � � � (1 � 39)

Se la trasformazione e canonica, � e � � devono essere legate dalla condizione (1.7),che risulta una condizione sulla funzione generatrice

. Si scelga ad esempio

=

1( �� ); allora

14

��

� .� � � = �.� � � + �

1

� �= �

.� � � + $

1

$ �+ $

1

$ �.� + $

1

$ �.� � (1 � 40)

Siccome � e � sono tra di loro indipendenti, l’equazione puo valere solo se si annullanoseparatamente i coefficienti di

.� e.� , cioe

� = $

1

$ �� = � $

1

$ �� (1 � 41)

Percio risulta

� = � + $

1

$ �� (1 � 42)

Partendo invece dalle variabili � e � conviene utilizzare

2. La seconda delle (1.41)suggerisce che

2 si possa esprimere in termini di

1:

2( �� ) =

1( �� ) + � � � (1 � 43)

Allora, riscrivendo la (1.40) con la

1 ricavata dalla (1.43), si ottiene in modo simile

� = $

2

$ �� = $

2

$ �� (1 � 44)

Con lo stesso procedimento, partendo da � e � con

3, si ottiene

� = � $

3

$� � � = � $

3

$ �; (1 � 45)

partendo da � e � con

4 si ottiene

� = � $

4

$� � � = $

4

$ �� (1 � 46)

In ogni caso risulta sempre

� = � + $

$ �� (1 � 47)

dove

e la funzione generatrice prescelta per la trasformazione canonica.

Esercizio 1.20

Costruire la trasformazione canonica che permette di passare dalle coordinatecanoniche

�e�

alle nuove coordinate canoniche � e � per l’oscillatore armonico linearedell’Esercizio 1.17.

15

��

Con una scelta opportuna della funzione generatrice si riesce talvolta a elimi-nare la dipendenza della hamiltoniana da una o piu coordinate lagrangiane. Per le(1.34), i corrispondenti momenti coniugati sono costanti del moto e quindi integraliprimi del sistema. Si supponga che queste coordinate lagrangiane abbiano derivatatemporale costante. Relativamente a queste coordinate lagrangiane, il moto risultaallora periodico, con pulsazione pari alla loro derivata temporale costante. Un es-empio di queste coordinate lagrangiane e dei loro momenti coniugati e dato dallavariabile angolare � e dalla variabile d’azione � dell’Esercizio 1.17, in cui il motoperiodico dell’oscillatore armonico e caratterizzato dalla pulsazione � . Per analogia,in generale si chiamano variabili angolari le coordinate lagrangiane che non entranonell’espressione della hamiltoniana e variabili d’azione i corrispondenti momenticoniugati costanti.

Un sistema con�

gradi di liberta e detto integrabile se possiede�

integrali primiindipendenti. In tal caso esiste sempre una trasformazione canonica che permettedi passare dalle coordinate canoniche ( �� ) alle coordinate (canoniche) angolari ed’azione ( � �� ), in modo che la hamiltoniana � ( �� ) si trasformi nella hamiltoniana� ( � ), indipendente dalle � , e le equazioni del moto siano date dalle relazioni

.� = 0 � .� = $ �$ � �

� ( � ) � (1 � 48)

Per un sistema integrabile allora la risoluzione delle equazioni del moto e ricon-ducibile alla determinazione delle

�pulsazioni che intervengono nella dipendenza

lineare dal tempo delle variabili angolari. Le condizioni iniziali fissano i valori inizialidelle variabili angolari e i valori costanti delle variabili d’azione.

E possibile dimostrare 30 che condizione necessaria e sufficiente perche unsistema con

�gradi di liberta sia integrabile e che gli

� � 1 integrali primi indipendenti� 1, � 2 �� , � �� 1 abbiano parentesi di Poisson nulle tra di loro, oltre che con lahamiltoniana � :� � �� =

� � �� = 0 � � � � = 1 � 2 �� 1 � (1 � 49)

In tal caso si dice che le� � 1 variabili dinamiche � � sono in involuzione tra di loro

e con la hamiltoniana � .

Esercizio 1.21

Individuare gli integrali primi per il moto della particella dell’Esercizio 1.2 emostrare che il sistema e integrabile.

Una trasformazione canonica particolare e la trasformazione identita:�� = ��

� = � � (1 � 50)

30 G. Gallavotti, loc. cit. (n. 22 p. 4).

16

�� Essa si realizza scegliendo la seguente funzione generatrice:

2( �� ) = � � � (1 � 51)

Tale scelta rispetta la condizione necessaria per l’invertibilita della trasformazione:

det $2

2

$ � $ ��= 0 � (1 � 52)

Un ruolo importante hanno le trasformazioni canoniche infinitesimali. Esse sipossono ottenere a partire dalla trasformazione identita mediante la seguente funzionegeneratrice:

= � � �� ( � �� ) � (1 � 53)

con � infinitesimo. Allora si ottiene

�� = $

$ �= � �� $

�( �� )$ �

= � �� $�

( �� )$

� + � ( � 2) �� = $

$ �= � �� $

�( �� )$ �

= � �� $�

( � � � �� )$ �

+ � ( � 2) � (1 � 54)

Ne segue

� = � �� $�$ �

� (1 � 55)

Puo essere interessante considerare trasformazioni canoniche che lascino lahamiltoniana invariante in forma, tali cioe che � abbia la stessa dipendenza da ( �� )che � ha da ( �� ). Queste trasformazioni riflettono l’esistenza di simmetrie delsistema fisico in esame e l’impossibilita di distinguere la descrizione fatta con lecoordinate ( � � � ) da quella fatta con le coordinate ( �� ). La funzione generatrice

�rappresenta il generatore dell’operazione di simmetria associata alla trasformazione(1.54). Si puo dimostrare 31 che condizione necessaria e sufficiente perche � rimangainvariante in forma e che sia

��

= $�$ �

+� � � � � = 0 � (1 � 56)

cioe che la funzione generatrice della trasformazione infinitesimale sia una costantedel moto.

Se la trasformazione non dipende esplicitamente dal tempo, e� � � � � = 0 � (1 � 57)

31 Si veda ad esempio: H. Goldstein, loc. cit. (n. 22 p. 4).

17

��

cioe il generatore�

e un integrale primo. Viceversa, se vale la (1.57), nell’espressionedella hamiltoniana � compare la variabile d’azione

�e non la corrispondente varia-

bile angolare su cui opera la trasformazione infinitesimale generata da�

. Pertantoogni variabile angolare, per la quale sia possibile stabilire una legge di trasformazionein accordo con la simmetria del sistema, ha associata una variabile d’azione che siconserva durante il moto.

Esercizio 1.22

Se non dipende esplicitamente dal tempo, la hamiltoniana

�e ovviamente una

costante del moto. Ponendo � = �� , mostrare che

�e il generatore delle traslazioni

temporali.

Esercizio 1.23

Se

�non dipende da � , ponendo � = �� , mostrare che la funzione � =

��e il

generatore di una traslazione lungo l’asse � e che��

si conserva.

Esercizio 1.24

Se

�non dipende dall’angolo di rotazione

�(in senso antiorario) intorno all’asse

� , ponendo � = � � , mostrare che la funzione � =��

e il generatore di una rotazioneintorno all’asse � e che

��si conserva.

Un altro modo elegante di risolvere le equazioni del moto e quello di utilizzareuna trasformazione canonica che faccia passare dalle originali variabili canoniche( �� ) a nuove variabili canoniche ( � �� ) costanti nel tempo. Cio si realizza richiedendoper esempio che la nuova hamiltoniana � sia identicamente nulla, perche in questocaso si ottiene

$ �$ �=

.� = 0 �

� $ �$ �=

.� = 0 � (1 � 58)

Siccome � = � + $�

$ � , cio e possibile scegliendo

in modo da soddisfarel’equazione

� ( �� ) + $

$ �= 0 � (1 � 59)

Conviene scegliere

=

2( �� ), con � = $

2�$ � . In tal modo si ottiene

� �� $ $ � �� + $

$ �= 0 � (1 � 60)

18

�� che e l’equazione di Hamilton-Jacobi 32.

L’equazione di Hamilton-Jacobi si risolve mediante l’integrale di azione (1.2)che va ora considerato in generale tra una configurazione iniziale � (1) all’istante � 1 eun’altra configurazione � (2) all’istante finale � 2:

� �� (2) � � (1); � 2 �� 1 =��

2

�1 � � � � .� � � ( �� ) � � (1 � 61)

A tale scopo si valuti il suo differenziale considerando le due seguenti configu-razioni estreme:

� �1 = � 1 + � � 1 � � � (1) = � (1) + � � (1) � (1 � 62)

� �2 = � 2 + � � 2 � �� (2) = � (2) + � � (2) � (1 � 63)

Risulta

��

=��

2

� �1 � � (� �

.� � � � � ) � ��2

�1 � � (� .� � � )

= � � (2) .� (2) � � ( � (2) � � (2) �� ) � � � 2 � � � (1) .� (1) � � ( � (1) � � (1) �� ) � � � 1+� �

2

�1 � �%" (� .� � � ) �

D’altra parte e

��2

�1 � �%" (� .� ) =

��2

�1 � �%" � .� +

��2

�1 � � � " .�

=��

2

�1 � �%" � .� + � (2) " � (2) � � (1) " � (1) � ��

2

�1 � �

.� " ��Percio

��

= � � (2) .� (2) � � ( � (2) � � (2) �� ) � � � 2 � � � (1) .� (1) � � ( � (1) � � (1) �� ) � � � 1+ � (2) " � (2) � � (1) " � (1) +

��2

�1 � � � .� � $ �

$� � " � �

.� + $ �

$ �� " � � �

Tenendo conto delle relazioni

32 Karl Gustav Jacobi (1804–1851): Vorlesungen uber Dynamik, 1843 [Lezioni sulla dinamica, pubblicatepostume da Alfred Clebsch (1833–1872), Reiner, Berlino, 1866].

19

��

" � (2) � �� ( � 2) �� ( � 2) = �� (2) � .� (2) � � 2 � � (2) = � � (2) � .� � � 2 �" � (1) = � � (1) � .� � � 1

e delle equazioni del moto (1.11), si ottiene infine

��

= � (2) � � (2) � � (2) � � 2 � � (1) � � (1) + � (1) � � 1 � (1 � 64)

che e un differenziale esatto. Pertanto

� (1) = � $�

$ �(1) � � (2) = $

�$ �

(2) � (1 � 65)

� (1) = $�

$ � 1� � (2) = � $

�$ � 2

� (1 � 66)

Le (1.65) mostrano che l’azione�

data dalla (1.61) e una particolare funzionegeneratrice (del tipo

1) di una trasformazione canonica. Con la seconda delle (1.65)

la seconda delle (1.66) e un’equazione di Hamilton-Jacobi per la�

, intendendo per� � (2) � � (2) �� 2 le variabili ( �� ) generiche da cui dipende la�

e per � � (1) � � (1) lecostanti arbitrarie relative all’istante iniziale � 1.

Esercizio 1.25

Costruire l’equazione di Hamilton-Jacobi per l’oscillatore armonico lineare e de-terminare la funzione generatrice della trasformazione canonica che la soddisfa.

Se � non dipende esplicitamente dal tempo,

" � ( � ( � ) � � ( � )) = 0 � (1 � 67)

per lo studio del moto si puo utilizzare una variante del metodo variazionale ap-plicato all’integrale d’azione (1.2), basata su variazioni asincrone che rispettano leconfigurazioni estreme a fissata energia 33. Scegliendo infatti

� �1 = � 1 � � �2 = � 2 + � � 2 � (1 � 68)

il rispetto delle condizioni estreme ( � � (1) = � � (2) = 0) permette di dedurre dalla (1.64)che per il moto reale e

" � = � � (2) � � 2 � (1 � 69)

33 Questo metodo fu proposto da Pierre-Louis de Maupertuis (1698–1759) nel 1744 ed e esposto nelsecondo volume delle sue opere (Œuvres, Lione, 1756). Successivamente il metodo fu ripreso da LeonhardEuler (1707–1783) e da Giuseppe Luigi Lagrange (1736–1813).

20

�� D’altra parte per la (1.67) e la (1.68) e anche

" ��2

�1 � � � ( � ( � ) � � ( � )) = � (2) � � 2 � (1 � 70)

Il confronto di (1.69) con (1.70) implica

" � �2

�1 � � � .� = 0 � (1 � 71)

che esprime il principio di minima azione nella forma di Maupertuis.Per una forma quadratica dell’energia cinetica � del tipo

� =12� .� 2 � (1 � 72)

si puo sostituire

� .� = 2 � �Allora in tal caso il principio di minima azione di Maupertuis e espresso dallacondizione

" � �2

�1 � � � = 0 � (1 � 73)

Esercizio 1.26

Applicare il principio di minima azione di Maupertuis a una particella liberadescritta da un solo grado di liberta.

Si puo utilizzare questo principio per determinare la traiettoria descritta da unaparticella di impulso p che si muove nello spazio ordinario dal punto 1 al punto 2.Indicando con � � l’elemento di traiettoria che collega il punto 1 al punto 2 la (1.71)puo riscriversi

" � 2

1

� � � = 0 � (1 � 74)

Questa condizione di estremo permette di individuare, tra le infinite possibilitraiettorie da 1 a 2, quella che effettivamente viene descritta dalla particella mante-nendo la sua energia costante al valore prefissato

�. In presenza di potenziale � la

(1.74) diventa

" � 2

1 � �� = 0 � (1 � 75)

21

��

In questa forma, il principio di Maupertuis acquista un’interpretazione geometrica.La traiettoria descritta dalla particella viene individuata dalla geodetica che collegail punto 1 al punto 2 sulla superficie a

�costante. Su tale superficie la metrica

� � 2(� � � ) e definita positiva ed e funzione del punto in virtu della dipendenza

spaziale del potenziale � .E bene richiamare l’attenzione sul fatto che il metodo variazionale nella forma

di Hamilton utilizza variazioni sincrone che rispettano le configurazioni estremee produce le equazioni del moto di Lagrange che sono equazioni differenziali disecondo ordine nel tempo. Invece il metodo variazionale nella forma di Maupertuis ebasato su variazioni asincrone a fissata energia e quindi contiene gia in se gli effetti diun integrale primo delle equazioni del moto: di conseguenza il metodo di Maupertuispuo solo determinare la traiettoria descritta durante il moto.

Esercizio 1.27

Trascurando la resistenza dell’aria, determinare la traiettoria descritta da un gravelanciato verso l’alto con inclinazione

�rispetto al piano orizzontale sulla superficie

terrestre.

��

La termodinamica studia le proprieta macroscopiche di un corpo esteso e iprocessi che esso subisce in seguito a scambi di energia e di materia con il restodel mondo fisico. In generale, nonostante l’elevato numero di particelle che locostituiscono, il sistema puo essere adeguatamente descritto mediante pochi parametriche ne caratterizzano lo stato interno e che sono chiamati variabili di stato. Esempi divariabili di stato sono la temperatura � , la pressione � , il volume � , l’energia interna�

, l’entropia�

, il numero � di particelle della specie � -esima che compongono ilsistema.

Le variabili di stato indipendenti definiscono i gradi di liberta termodinamici delsistema e, attraverso le leggi della termodinamica, fissano tutte le altre funzioni distato. Per lo stesso sistema le variabili di stato indipendenti possono essere diverse aseconda del tipo di processo in esame e dei vincoli che sono imposti dall’esterno.

Se il numero di particelle e fissato e l’energia si mantiene costante, il sistema eisolato dal resto dell’universo. Un sistema invece viene detto chiuso se puo scambiareenergia, ma non materia con l’esterno, e viene detto aperto nel caso piu generalein cui siano consentiti scambi sia di energia, sia di materia. In ogni caso, dopoun tempo sufficientemente lungo durante il quale i vincoli esterni non vengonomodificati, ogni sistema raggiunge uno stato stazionario di equilibrio, in cui le suevariabili indipendenti rimangono costanti nel tempo e omogenee su tutto il sistema,fino a quando non si alterano le condizioni esterne. Per esempio, per un sistemadescritto dalle variabili � , � , � , le variabili indipendenti sono due, in quanto sussisteun’equazione del tipo

22

� ��

�(� � � �,� ) = 0 � (2 � 1)

detta equazione di stato, che permette di conoscere lo stato termodinamico di equi-librio del sistema.

Esercizio 2.1

L’equazione di stato dei gas perfetti, gas costituiti idealmente da molecole pun-tiformi non interagenti, e �

� = � �� (2 � 2)

dove � e il numero di moli 34 e�

= 8 � 314 JK � 1mol � 1 e la costante dei gas perfetti. Indi-viduare possibili variabili di stato indipendenti per trasformazioni isocore ( � = costante),isoterme (

�= costante) e isobariche (

�= costante).

Il fatto sperimentale che due corpi, posti a contatto, raggiungano uno statocomune di equilibrio termodinamico alla stessa temperatura � e alla base del principiozeresimo della termodinamica, secondo il quale due corpi, ciascuno dei quali e inequilibrio termodinamico con un terzo corpo, sono in equilibrio termodinamico anchetra di loro. Questo principio giustifica la costruzione del termometro e la possibilitadi misurare la temperatura di un corpo.

La conservazione dell’energia e il contenuto del primo principio della termodi-namica, che estende agli scambi di calore il teorema di conservazione dell’energiameccanica. Indicando con �

�la variazione di energia interna, con � la quantita di

calore ricevuta dal sistema, con ��

il lavoro meccanico eseguito dal sistema e con

� �� la variazione del numero di particelle della specie � -esima, in accordo col primoprincipio della termodinamica il bilancio energetico del sistema fornisce la relazionegenerale

��

= � � ��

+ � � � � � � (2 � 3)

dove � e il cosiddetto potenziale chimico della specie � -esima e rappresenta il tassoenergetico richiesto per la variazione di composizione indotta da � � .Con analogia meccanica, il lavoro �

�puo essere espresso anche in termodi-

namica mediante il prodotto tra una forza generalizzata e uno spostamento ��

dovuto alla variazione di uno dei parametri del sistema associato alle sue dimensioni(gradi di liberta microscopici e estensione spaziale). Le variabili di tipo

�, come

il volume � , la magnetizzazione M e la polarizzazione elettrica P, vengono dette

34 Una mole di gas contiene sempre un numero di molecole pari a 3 = 6 + 022 136 7(36) � 1023. Equesto il numero di Avogadro, cosı chiamato in omaggio ad Amadeo Avogadro (1776–1856) che nel 1811riconobbe che volumi uguali di gas, nelle stesse condizioni di temperatura e pressione, contengono unugual numero di molecole.

23

��

variabili estensive; invece le variabili di tipo , come la pressione � , il campo ma-gnetico B e il campo elettrico E, che definiscono l’intensita delle forze generalizzate,sono dette variabili intensive. Percio, per esempio, si ha

��

= � � � � E � � P � B � � M � (2 � 4)

e in generale 35

��

= � �� (2 � 5)

Esercizio 2.2

Scrivere la relazione del primo principio della termodinamica per un sistema omo-geneo isolato termicamente e per un sistema chiuso.

Esercizio 2.3

Definiti il calore specifico a pressione costante,

��=�� (2 � 6)

e il calore specifico a volume costante,

��=� �� (2 � 7)

discutere le condizioni per cui e��

per un sistema termodinamico omogeneo,descritto dalle variabili di stato indipendenti

�e � .

Esercizio 2.4

Per un gas perfetto l’energia interna � dipende solo dalla temperatura e� �

ecostante. Dimostrare che per � moli di gas perfetto e

� = � �� (� � �

0)�

(2 � 8)

dove�

0 e una temperatura di riferimento.

35 Si conviene che la variabile estensiva � aumenti con la forza applicata � . Eccezione a questa regola siverifica solo nel caso della pressione: aumentando la pressione applicata, il volume del sistema diminuisce.Coerentemente, nella (2.4) � rappresenta la pressione interna del sistema, cioe la pressione esercitata dalsistema sull’ambiente circostante.

24

� ��

Esercizio 2.5

Mostrare che per una mole di gas perfetto vale la relazione di Mayer:

��=��

+� � (2 � 9)

Le trasformazioni da uno stato di equilibrio termodinamico iniziale a un altrofinale sono distinguibili in due categorie: reversibili e irreversibili. E possibileche tutti gli stati intermedi del sistema differiscano infinitamente di poco da unasituazione di equilibrio termodinamico. Nella realizzazione di un processo di questotipo occorre che le variabili di stato cambino molto lentamente a causa dell’azioneesterna, in modo da permetterne un continuo riequilibrio all’interno del sistema.Queste trasformazioni sono percio dette quasi-statiche e sono di difficile attuazione;se pero non sono accompagnate da effetti dissipativi, queste trasformazioni possonoessere invertite, col risultato di raggiungere di nuovo lo stato iniziale di partenzasenza produrre alcun cambiamento nel resto dell’universo. Percio in tal caso vengonochiamate trasformazioni reversibili.

Invece la maggior parte dei processi in natura e di tipo irreversibile, con trasfor-mazioni che avvengono spontaneamente attraverso stati intermedi non riproducibili elontani dalla condizione di equilibrio termodinamico, anche se poi il risultato finale eancora uno stato di equilibrio. Mentre il tempo e un parametro che non gioca un ruoloparticolare nei processi reversibili, che sono invarianti per riflessioni temporali 36, sipuo dire che il senso del tempo acquista significato proprio in virtu dell’esistenza deiprocessi irreversibili e del secondo principio della termodinamica.

Il secondo principio della termodinamica stabilisce l’impossibilita di totale con-versione dell’energia interna del sistema in lavoro meccanico verso l’esterno. Cio econseguenza di uno stato di disordine interno che impedisce la necessaria coerenzad’azione di tutte le particelle del sistema per compiere lavoro.

Per caratterizzare questo stato di disordine e conveniente introdurre l’entropia�, che e una funzione di stato e il cui differenziale e percio un differenziale esatto.

Allora un’espressione del secondo principio della termodinamica consiste nella dise-guaglianza di Clausius,

�� (2 � 10)

valida per trasformazioni infinitesime che coinvolgono scambi di calore � allatemperatura � . Il segno di uguale nella (2.10) si verifica esclusivamente nel caso incui la trasformazione sia reversibile. Se il sistema e isolato termicamente, � = 0.Allora

��

0 � (2 � 11)

36 Invertendo il senso del tempo il processo si inverte ripercorrendo a rovescio la sua storia, cosı comeinvariante per inversioni temporali e tutta la meccanica analitica.

25

��

e acquista senso l’affermazione di Clausius 37 che l’entropia dell’universo non puoche aumentare: la situazione di entropia massima corrisponde all’equilibrio termo-dinamico di un sistema isolato.

Combinando il primo e il secondo principio della termodinamica (equazioni(2.3), (2.5) e (2.10)), per trasformazioni reversibili si trova

� ��

= ��

� � � � � � ��,� (2 � 12)

da cui si ricavano le seguenti relazioni:$�

$� �� =

1� � (2 � 13)

$�

$� �� = � � � (2 � 14)

$�

$ � � � � �� = = � � � (2 � 15)

che rappresentano equazioni di stato per il sistema termodinamico. Esse determinanoil comportamento del sistema sottoposto a trasformazioni reversibili. La loro formaesplicita dipende dall’espressione dell’entropia.

Esercizio 2.6

Riscrivere la (2.12) per � moli di gas perfetto.

Esercizio 2.7

Partendo dalla (2.12), ricavare la seguente espressione per l’entropia di � moli digas perfetto:

�= � � � ln

� ��

0

� + � �ln� �� 0

� �(2 � 16)

dove�

0� � 0 sono la temperatura e il volume di uno stato di riferimento.

37 R. Clausius: Uber verschiedene fur die Anwendung bequeme Formen der Hauptgleichungen dermechanischen Warmetheorie [Varie forme di equazioni fondamentali della teoria meccanica del caloreconvenienti per le applicazioni], Annalen der Physik 125 (1865) 353–400.La scelta del nome “entropia” e stata fatta da Clausius in modo improprio, riprendendo il vocabolo greco)�� o � /� che significa “trasformazione”.

26

� ��

Esercizio 2.8

Per un sistema termodinamico descritto dalle variabili di stato indipendenti�

e � ,mostrare che vale la relazione� � �� =

� � � ��

�� (2 � 17)

L’entropia e una funzione di stato che, oltre ad essere una variabile estensiva, eanche una quantita additiva: l’entropia dell’intero sistema e la somma delle entropiedei singoli sottoinsiemi indipendenti che compongono il sistema totale. Da unpunto di vista matematico questa proprieta si traduce nel fatto che l’entropia

�=�

(� � � �� ) e una funzione omogenea del primo ordine nelle variabili estensive del

sistema:

�(� � � � � � � �� ) =

� �(� � � �� ) �

Percio

$$� (� �

) =�

=

$�

$� � �� +

$�

$� � � � �� + �

$�

$� � � � � �� = �

Tenendo conto delle (2.13) – (2.15), si ottiene quindi

�=�

� � �

� � � � � �� (2 � 18)

che e l’equazione fondamentale della termodinamica. La (2.18) contiene tutte leinformazioni termodinamiche possibili sul sistema. Una volta nota l’entropia, leequazioni di stato (2.13) – (2.15) completano la descrizione del sistema nell’ambitodella termodinamica degli stati di equilibrio.

Ogni altra funzione di stato, utile nello studio del sistema termodinamico, eottenibile in funzione delle variabili estensive

�,�

, � e dell’entropia�

. Peresempio, si definiscono l’entalpia 38,

� =�

+ � � � (2 � 19)

l’energia libera (di Helmholtz),

=� � � � � (2 � 20)

e l’energia libera (di Gibbs),

38 Purtroppo lo stesso simbolo � viene usato in meccanica analitica per la hamiltoniana e in termodinamicaper l’entalpia.

27

��

�=� � � � � � � (2 � 21)

Esercizio 2.9

Per un sistema termodinamico descritto dalle variabili di stato indipendenti�

e � ,mostrare che le variazioni infinitesime di energia interna, di entalpia, di energia libera diHelmholtz e di energia libera di Gibbs sono date dai seguenti differenziali esatti:

� � =� � � � � � � � (2 � 22)

��

=� � � + � � � � (2 � 23)

�� = �� (2 � 24)

� � = � � � � � � � � (2 � 25)

Esercizio 2.10

Dai risultati (2.22) – (2.25) dedurre le seguenti relazioni:� � ��

�� = ��

(2 � 26) � �� =

� � �� (2 � 27)� � �� =

� � ��

� � �(2 � 28)

�� =

� ��

(2 � 29)

che sono dette equazioni di Maxwell, valide per ogni stato di equilibrio termodinamico diun sistema descritto dalle variabili

�, � e

�.

Esercizio 2.11

Per lo stesso sistema dell’Esercizio 2.9 dedurre la relazione� � �� =� � � �

� � � � � �� (2 � 30)

Per un sistema omogeneo, combinando primo e secondo principio della termo-dinamica (equazioni (2.3) e (2.10)) si trova un limite superiore al lavoro meccanico

28

� ��

che il sistema puo compiere:

��

� � �� (2 � 31)

Se il sistema e in equilibrio termico con l’ambiente, questo lavoro deriva dall’energiache il sistema, secondo la (2.20), possiede sotto forma di energia libera (di Helmholtz):

��

� (2 � 32)

Non tutta l’energia interna�

e dunque convertibile in lavoro meccanico, ma soloquella frazione,

=� � � � , depurata del termine entropico che da una misura del

grado di disordine all’interno del sistema.Se il sistema, oltre che in equilibrio termico con l’ambiente, e anche isolato

meccanicamente ( ��

= 0), dalla (2.32) segue

��

0 � (2 � 33)

che e una condizione di equilibrio termodinamico: il sistema evolve verso la situa-zione di energia libera minima. Percio l’energia libera in questo caso gioca il ruolo diun potenziale termodinamico 39, analogo al potenziale meccanico i cui valori estremidefiniscono una situazione di equilibrio meccanico.

Anche l’energia libera (di Gibbs) e un potenziale termodinamico. Per trasfor-mazioni in equilibrio termico con l’ambiente, che avvengano a = costante, risulta

��

0 � (2 � 34)

�� Si vuole determinare la configurazione di equilibrio termodinamico per due gas

perfetti posti in equilibrio termico con l’ambiente, rispettivamente nei volumi � 1 e � 2,separati da una parete mobile all’interno del volume costante � = � 1 + � 2. Il sistemacomplessivo e isolato meccanicamente: lo spostamento della parete che separa i duevolumi non e responsabile di lavoro meccanico esterno. Percio si puo applicare la (2.33),con � pari alla somma delle energie libere dei due gas:

� = � 1 + � 2

= � 1 ��

1 + � 2 ��

2 �

Derivando rispetto a � 1 (oppure a � 2) e uguagliando la derivata a zero, si ha una condizionenecessaria per l’esistenza di un minimo di � . Ricordando le espressioni (2.16) perl’entropia e (2.8) per l’energia interna del gas perfetto, si ottiene�� 1

= � � 1� 1� 1� � 2

� �� 1� � � 1

� = 0�

cioe:

39 Lo stesso ruolo e assunto dall’entropia per i sistemi isolati, eq. (2.11).

29

��

� 1

� 1=� 2

� 2� (2 � 35)

Le concentrazioni molari dei due gas in equilibrio sono uguali nei due volumi � 1 e � 2: diconseguenza anche le pressioni esercitate dai due gas sulla parete mobile sono uguali e laparete si sistema in modo da separare � 1 e � 2 in accordo con la (2.35).

L’ipotesi atomistica della struttura della materia permette di considerare un cor-po esteso macroscopico come costituito da numerose particelle, a ciascuna delle qualisi applicano i metodi della meccanica analitica per studiarne il moto. Le proprietamacroscopiche del corpo derivano in linea di principio dalla risoluzione del sistemadi equazioni che determinano il moto microscopico. Pero, anche supponendo diconoscere le forze reciproche tra le particelle e utilizzando i piu sofisticati elaboratorielettronici, il problema in pratica diventa rapidamente insolubile con l’aumentaredel numero di particelle. D’altra parte, non appare neppure utile conoscere istanteper istante posizione e velocita di ogni singola particella quando sperimentalmentesi ha accesso solo a pochi parametri macroscopici quali, ad esempio, temperatura,pressione, conducibilita elettrica, stato di magnetizzazione, concentrazione, ecc.

Tuttavia, se l’ipotesi atomistica e fondata, deve essere possibile stabilire unaconnessione tra descrizione microscopica e descrizione macroscopica quale risultatodi un processo di media sulle informazioni microscopiche relative al moto individualedelle singole particelle. E questo il programma della meccanica statistica avviato daMaxwell e Boltzmann 40.

Fig. 2.1. (a) Assegnate le condizioni iniziali mediante le coordinate(� � �

) del punto � 0, le equazioni del moto determinano univocamentela traiettoria nello spazio delle fasi percorsa dal punto rappresentativodel sistema. (b) A condizioni iniziali distinte corrispondono traiettoriedistinte che non si intersecano nello spazio delle fasi.

40 Per una trattazione della meccanica statistica in riferimento anche alla termodinamica di non equilibrio,si vedano i testi di Radu Balescu: Equilibrium and Nonequilibrium Statistical Mechanics, J. Wiley &Sons, New York, 1975, e di L.E. Reichl: A Modern Course in Statistical Physics, Edward Arnold Publ.(GB), 1980.

30

� ��

L’atto di moto di un sistema di particelle, descritto da 2�

variabili canoniche( �� ), puo essere visualizzato assegnando le coordinate ( �� ) di un punto rappresen-tativo del sistema in un opportuno spazio, detto spazio delle fasi, a 2

�dimensioni.

Istante per istante, la risoluzione delle equazioni del moto fornisce i valori ( �� )che costituiscono le coordinate del punto rappresentativo nello spazio delle fasi. Almoto del sistema corrisponde dunque una traiettoria nello spazio delle fasi percorsadal punto rappresentativo. Siccome il moto e univocamente determinato dalle con-dizioni iniziali, non c’e possibilita di incrocio nello spazio delle fasi per due traiettoriecorrispondenti a moti distinti (fig. 2.1).

Esercizio 2.12

Determinare la traiettoria descritta nello spazio delle fasi dal punto che rappresentail moto di un oscillatore armonico lineare. Che cosa rappresenta l’area racchiusa dallatraiettoria dopo un periodo di oscillazione?

Esercizio 2.13

Se nell’Esercizio precedente si usano variabili d’angolo e d’azione, come risulta latraiettoria descritta dal punto rappresentativo?

Esercizio 2.14

Come puo essere determinata la traiettoria del punto rappresentativo nello spaziodelle fasi nel caso di un sistema integrabile?

Esercizio 2.15

Studiare la traiettoria descritta nello spazio delle fasi dal punto rappresentativocorrispondente al seguente sistema:

.�= � 1

� .�= � 2

�con le limitazioni

0 ��

� 1�

0 ��

� 1 �

Discutere le soluzioni ottenute quando il rapporto � 1 � � 2 e un numero razionale oppure eun numero irrazionale.

Se la risoluzione delle equazioni del moto non e esatta o comunque la conoscenzadi ( �� ) e solo approssimata, non si riesce ad individuare con assoluta precisione laposizione del punto rappresentativo nello spazio delle fasi (fig. 2.2): si puo soloparlare della probabilita di trovare tale punto rappresentativo all’interno di un datovolumetto dello spazio delle fasi. Alternativamente, volendo descrivere solo lo statomacroscopico di un sistema, senza specificare completamente una delle particolariconfigurazioni dinamiche microscopiche corrispondenti, si puo considerare simul-

31

��

Fig. 2.2. La conoscenza approssimata delle coordinate (� � �

) a un certoistante non permette di prevedere quale traiettoria nello spazio delle fasiviene poi percorsa dal punto che rappresenta il sistema.

taneamente un numero grandissimo di repliche dello stesso sistema fisico, in mododa includere ogni combinazione concepibile di configurazioni e di velocita cor-rispondente allo stesso stato termodinamico 41. L’insieme dei punti rappresentativi diqueste repliche si distribuisce nello spazio delle fasi addensandosi o sparpagliandosia seconda di quanto precisamente vengono definite le condizioni iniziali. Si puocosı seguire l’evoluzione del sistema allo studio, considerando l’evoluzione delladistribuzione dell’insieme di punti rappresentativi.

Indicata con � ( �� ) la densita di questa distribuzione, � ( �� ) � � � � costitui-sce la frazione del numero di repliche del sistema cui corrisponde un punto rappre-sentativo situato nell’elemento di volume � � � � dello spazio delle fasi. La variazionenell’unita di tempo del numero di punti rappresentativi all’interno di un arbitrariovolumetto dello spazio delle fasi e determinata dal bilancio del numero di punti cheattraversano nell’unita di tempo la superficie che lo delimita. Percio si stabilisceun’equazione di continuita per la � 42

$ �$ �+ � �� ( � u) = 0 � (2 � 36)

dove u e la velocita, di componenti (.�� .� ), con cui si muovono i punti rappresentativi

nello spazio delle fasi. Sviluppando la divergenza si ottiene

$ �$ �+ �

$ �$ �.� + $ �$

�.� � + �� u = 0 � (2 � 37)

41 E questo l’insieme statistico considerato da J.W. Gibbs, loc. cit. (n. 13 p. 3).42 Il simbolo vettoriale � �� e detto nabla e ha componenti cartesiane ( � � �� * � � �� * � � �� ). Pertanto,moltiplicato scalarmente per un vettore a, � � �� a, ne rappresenta la divergenza; quando moltiplicatovettorialmente per il vettore a, � �� a, ne fornisce il rotore. Applicato a una funzione � , � �� , ne produceinvece il gradiente.

32

� ��

Ma l’ultimo addendo nel primo membro si annulla grazie alle equazioni del moto:

� �� u = � $

.�$ �

+ $.�

$� �

= $2 �

$ � $� � $

2 �

$�

$ �= 0 � (2 � 38)

Pertanto la (2.36) diventa

$ �$ �+�� = 0 � (2 � 39)

che e l’equazione di Liouville 43. Per la (1.19) cio significa che e

� �� = 0 � (2 � 40)

cioe la � e una costante del moto. Questo risultato va sotto il nome di primo teoremadi Liouville e costituisce il teorema di conservazione della densita nello spazio dellefasi.

Il secondo teorema di Liouville deriva dalla (2.38), per la quale il flusso dei puntirappresentativi nello spazio delle fasi possiede divergenza nulla. Pertanto la densitadi punti rappresentativi si mantiene costante nel tempo e il loro flusso nello spaziodelle fasi corrisponde a quello di un fluido incomprimibile (fig. 2.3).

Fig. 2.3. Conservazione del volume nello spazio delle fasi come con-seguenza dei teoremi di Liouville.

43 Joseph Liouville (1809–1882) e autore di oltre 400 articoli e memorie su vari aspetti di matematicapura e applicata, con significativi contributi alla teoria dei numeri, delle equazioni algebriche e dei gruppi.Molti di questi lavori costituiscono i primi 39 volumi della rivista Journal de Mathematiques pures etappliquees, da lui pubblicati tra il 1836 e il 1874.

33

��

In condizioni di equilibrio statistico si ha anche

$ �$ �= 0 � (2 � 41)

e quindi �� = 0 � (2 � 42)

In questo caso la densita di distribuzione risulta un integrale primo, funzione degliintegrali primi del moto microscopico.

La conoscenza della � permette di calcolare il valor medio di una qualunquevariabile dinamica � = � ( �� ) mediante la relazione 44

� �� =��

�� ( �� ) � ( �� ) � (2 � 43)

Siccome per l’equazione di Liouville (2.39) la densita � e costruita a partire dallahamiltoniana che descrive il moto microscopico delle particelle del sistema, la re-lazione (2.43) stabilisce il legame voluto tra la descrizione microscopica della mec-canica analitica e quella statistica macroscopica della termodinamica.

Per completare questo collegamento e necessario costruire con la � anchel’espressione esplicita dell’entropia. L’entropia e una funzione additiva, mentrela distribuzione � di un sistema e il prodotto delle � corrispondenti ai sottoinsiemiseparati. Percio si garantisce l’additivita dell’entropia ricorrendo alla funzione lo-garitmo. L’argomento del logaritmo deve legare l’entropia al grado di disordinemicroscopico del sistema, cioe al numero di modi in cui e possibile realizzare lostesso stato termodinamico partendo da configurazioni microscopiche per le par-ticelle del sistema. Con Boltzmann si puo assumere la funzione ln( � � ), dove �

e un’opportuna costante che rende adimensionale il prodotto � � . L’entropia delsistema in equilibrio e allora definita dalla seguente media d’insieme:

�= ��

� ��

� � � ( �� ) ln( � � ( �� )) � (2 � 44)

dove il segno negativo rende�

definita positiva; la costante � e la costante diBoltzmann,

� = 1 � 380 651 3(25) � 10� 23JK

� 1 � (2 � 45)

e serve per ristabilire le corrette dimensioni di�

. La � non dipende esplicitamentedal tempo nella (2.44) per l’ipotesi di equilibrio statistico.

La soluzione dell’equazione di Liouville e notevolmente semplificata se alflusso dei punti rappresentativi nello spazio delle fasi si impongono condizioni ca-paci di riprodurre la situazione di equilibrio termodinamico. Per un sistema isolato

44 Si supppone che sia �� ( � * � */. ) = 1. Cfr. eq. (2.47) piu avanti.

34

� ��

l’unica variabile dinamica (microscopica) importante nella descrizione macroscopicae l’energia, che si mantiene costante. Le possibili traiettorie dei punti rappresentatividel sistema sono percio confinate sulla superficie a energia costante. Se, a meno di uninsieme di misura nulla, tutti i punti di questa superficie sono raggiungibili seguendoil flusso dei punti rappresentativi, si dice che il flusso e ergodico 45.

Il criterio per riconoscere il flusso ergodico e stato precisato da Birkhoff 46 e sibasa sulla possibilita di identificare il risultato di medie temporali di funzioni dei puntidello spazio delle fasi con medie spaziali sulla superficie a energia costante. Questapossibilita significa che il punto rappresentativo in media spende tempi uguali su areeuguali della superficie a energia costante. Ne deriva che la probabilita di trovarlo inun intorno di un prefissato punto e pari all’area dell’intorno stesso e indipendente daltempo. Percio tutti gli stati sulla superficie di energia sono equiprobabili, in accordocon l’idea di equilibrio termodinamico.

L’insieme statistico che realizza il flusso ergodico per un sistema isolato conenergia compresa tra

�ed�

+ � � e stato chiamato da Gibbs insieme microcanonico.La corrispondente densita � risulta

� ( �� ) =

�� 1�(� � � �� ) � per

� � � ( �� )� �

+ � � ,

0 � altrimenti ,(2 � 46)

dove�

(� � � �� ) e la frazione di volume dello strato compreso tra le superfici

�ed�

+ � � . La densita relativa all’insieme microcanonico e indipendente dal tempo ede una soluzione stazionaria dell’equazione di Liouville. Inoltre il suo integrale estesoa tutto lo spazio delle fasi risulta uguale a 1:

��

�� ( �� ) = 1 � (2 � 47)

in accordo con l’interpretazione della � come densita di probabilita di trovare il puntorappresentativo del sistema all’interno dello spazio delle fasi.

45 Un esempio di flusso ergodico e fornito dalla soluzione dell’Esercizio 2.15 per � 1� � 2 pari a un numero

irrazionale, per cui la traiettoria e densa nel quadrato [0 � �� 1 * 0 � �� 1]. Invece, per � 1� � 2 pari a

un numero razionale la traiettoria e periodica.Il termine ergodico deriva dai vocaboli greci

)/ �� o � = lavoro (inteso come energia) e(

o � /

o = camminoed e stato coniato da L. Boltzmann: Uber die mechanischen Analogien des zweiten Hauptsatzes derThermodynamik [Analogie meccaniche del secondo principio fondamentale della termodinamica], Journalfur die reine und angewandte Mathematik (Crelle Journal) 100 (1887) 201–212. Cfr. anche il 10dell’articolo di Paul e Tatiana Ehrenfest: Begriffliche Grundlagen der statistischen Auffassung in derMechanik [Fondamenti concettuali dell’interpretazione statistica nella meccanica], Encyclopadie dermathematischen Wissenschaften IV 2, II, Teubner, Lipsia, 1912.

46 George David Birkhoff (1884–1944): Proof of the Ergodic Theorem [Dimostrazione del teoremaergodico], Proceedings of the National Academy of Science (U.S.) 17 (1931) 656–660.

35

��

Esercizio 2.16

Sostituendo la (2.46) nella (2.44) trovare l’espressione esplicita dell’entropia 47:

�= ' ln

��( � � � �� )� - � � (2 � 48)

Anche per un sistema chiuso, in equilibrio termico con l’ambiente alla tempera-tura � , l’equazione di Liouville ammette una soluzione stazionaria. Imponendo chel’entropia (2.44) sia massima, col vincolo di un valore medio prefissato dell’energiainterna, si ottiene

� ( �� ) =1 ��

�� ( �� ) � (2 � 49)

dove il parametro � risulta

� =1�� (2 � 50)

Nella (2.49) la funzione � , detta funzione di partizione 48, e definita dalla relazione

� =1 �

��

��

�� ( �� ) (2 � 51)

e serve a garantire anche in questo caso la (2.47).

Esercizio 2.17

La hamiltoniana di una mole di gas perfetto monoatomico e�=

-� )=1

� 2)2 & � (2 � 52)

Mostrare che la funzione di partizione associata e

=� -� - (2 � & ' � )3 -�� 2 � (2 � 53)

dove � e il volume occupato dal gas.

47 In fisica classica il valore della costante � - resta indeterminato, ma cio non costituisce una difficoltaperche in fisica classica si considerano solo variazioni di entropia. Con argomenti di meccanica quantisticasi puo riconoscere che per un sistema di 3 particelle classiche, in linea di principio distinguibili unadall’altra, � - e pari a � 3 - , dove � si identifica con la costante di Planck (cfr. Tab. D.1). Per particellequantistiche (indistinguibili tra di loro), risulta � - = 3 ! � 3 - .48 La funzione di partizione viene solitamente indicata col simbolo � , iniziale del vocabolo tedescoZustandsumme (= somma sugli stati), utilizzato da Boltzmann per chiamare l’integrale che compare nella(2.51).

36

� ��

Sistemi in relazione con una grande riserva di energia a temperatura costante � ,descritti dalla densita (2.49), sono associati a quelli che Gibbs definı come insiemicanonici.

L’energia totale di un sistema in equilibrio termico con l’ambiente alla tempe-ratura � , si calcola inserendo la (2.49) nella (2.43) applicata alla hamiltoniana, colseguente risultato:

� � �� =

� � � � � � � ( �� ) � �� ( �� )

� � � � � � � �� ( �� )� (2 � 54)

Equivalentemente, ricorrendo alla funzione di partizione (2.51), si puo scrivere

�= � $$ �

ln � � (2 � 55)

Esercizio 2.18

Utilizzando la (2.55) mostrare che l’energia interna di una mole di gas perfettomonoatomico e

� =32� �'�

(2 � 56)

dove

�= ' � (2 � 57)

e la costante dei gas perfetti.

Esercizio 2.19

La hamiltoniana di un insieme di�

oscillatori armonici e�=

-� )=1

� � 2)2 & + 1

2&�� 2 � 2) � �

Calcolare la funzione di partizione e mostrare che l’energia media dell’insieme e

� = 3�� (2 � 58)

Calcolare il calore specifico a volume costante.

La funzione di partizione gioca un ruolo fondamentale nel collegamento tradescrizione microscopica e descrizione termodinamica. Infatti, per quanto vistoin precedenza, dall’energia interna

�e dall’entropia

�e possibile risalire a ogni

altra funzione di stato termodinamica. La (2.55) fornisce il legame tra funzione dipartizione e energia. Si puo inoltre dimostrare che l’entropia associata a un insiemecanonico risulta

37

��

�=�

� + � ln � � (2 � 59)

Esercizio 2.20

Ricorrendo alla definizione statistica (2.44) dell’entropia e alla soluzione (2.49)dell’equazione di Liouville per un insieme canonico, dimostrare la (2.59).

Esercizio 2.21

Utilizzando la (2.56) e la (2.59), mostrare che l’entropia di una mole di gas perfettomonoatomico e

�=�

0 +�

ln � +32�

ln�'�

(2 � 60)

dove

�0 =

32�

+ ' ln

(2 � & ' )3 -�� 2

� - � � (2 � 61)

La meccanica statistica e dunque in grado di fissare il valore dell’entropia, senza bisogno diricorrere a uno stato di riferimento come avviene con l’equazione (2.16) in termodinamicaclassica 49.

Note l’energia e l’entropia, si puo derivare ogni altra funzione di stato: peresempio, l’energia libera (di Helmholtz) e

=� � � �

= �� ln � � (2 � 62)

Quindi l’uso della funzione di partizione completa il collegamento tra meccanicaanalitica e termodinamica, stabilito attraverso il quadro dell’insieme statistico dipunti rappresentativi nello spazio delle fasi.

49 La (2.60) e nota come legge di Sackur-Tetrode per l’entropia di una mole di gas perfetto. Per la suaderivazione originale era necessario ipotizzare una misteriosa suddivisione dello spazio delle fasi in celledi volume � 3: cio permetteva di valutare correttamente il valore della costante � - che compare nellafunzione di partizione e nelle funzioni di stato da essa derivate (cfr. Esercizio 2.16).Otto Sackur: Die Anwendung der kinetischen Theorie der Gase auf chemische Probleme [L’applicazionedella teoria cinetica dei gas a problemi chimici], Annalen der Physik 36 (1911) 958–989; Die uni-verselle Bedeutung des sogenannten elementaren Wirkungsquantums [Il significato universale del cosid-detto quanto d’azione elementare], Annalen der Physik 40 (1912) 67–86.Hugo Tetrode: Bemerkungen uber den Energieinhalt einatomiger Gase und uber die Quantentheoriefur Flussigkeiten [Osservazioni sul contenuto energetico dei gas monoatomici e sulla teoria quantisticaper i fluidi], Physikalische Zeitschrift 14 (1913) 212–214; Die chemische Konstante der Gase und daselementare Wirkungsquantum [La costante chimica dei gas e il quanto d’azione elementare], Annalen derPhysik 38 (1912) 434–442.

38

� ��

In questo ambito e importante il teorema di equipartizione dell’energia 50.Se la hamiltoniana di un sistema di particelle e una forma quadratica delle

variabili canoniche,

� ( �� ) = � � 2 +� � 2 � (2 � 63)

il teorema di equipartizione dell’energia stabilisce che l’energia media�

per gradodi liberta e

�= �� (2 � 64)

Infatti

�=� � � � � � ( � � 2 +

� � 2) � �� ( �� )

� � � � � � � �� ( �� )

= � $$ �ln��

��

�� 2 � $$ �ln��

��

�� 2 �Ricordando l’integrale di Poisson,

��

0 � � �� 2

= 12� � � (2 � 65)

si dimostra l’asserto (2.64).

Esercizio 2.22

Ritrovare la (2.64) utilizzando nel calcolo degli integrali il cambiamento di variabilidalle coordinate canoniche alle variabili d’azione e d’angolo dell’Esercizio 1.17.

50 Una prima formulazione di questo teorema, che appariva piuttosto un principio, e dovuta a JohnJames Waterstone: On the physics of media that are composed of free and perfectly elastic moleculesin a state of motion [Fisica dei mezzi composti da molecole in moto, libere e perfettamente elastiche],Philosophical Transactions of the Royal Society of London 183 (1893) 1–79. Questo lavoro era statopresentato senza riscuotere alcun interesse della Royal Society nel 1845 e fu pubblicato per merito diLord Rayleigh solo molto piu tardi. La prima dimostrazione del teorema si trova in J.C. Maxwell:Illustrations of the dynamical theory of gases [Illustrazioni della teoria dinamica dei gas], PhilosophicalMagazine 20 (1860) 21–37. La sua generalizzazione a particelle dotate di gradi di liberta interni e dovutaa L. Boltzmann: Studien uber das Gleichgewicht der lebendigen Kraft zwischen bewegten materiellenPunkten [Studi sull’equipartizione della forza viva tra punti materiali in moto], Sitzungsberichte derKaiserlichen Akademie der Wissenschaften (Wien) 58 (1868) 517–560.La successiva estensione al caso di una hamiltoniana qualsiasi fatta da J.C. Maxwell (On Boltzmann’stheorem on the average distribution of energy in a system of material points [Il teorema di Boltzmannsulla distribuzione media di energia in un sistema di punti materiali], Transactions of the CambridgePhilosophical Society 12 (1878) 547–570) suscito le aspre critiche di P.G. Tait che convinse il mondoscientifico anglosassone della non validita del teorema, suscitando anche molti dubbi sull’intero approccioatomistico alla struttura della materia introdotto da Boltzmann (cfr. n. 12 p. 3).

39

��

�� Il teorema di equipartizione dell’energia ha immediata applicazione nel calcolo

dei calori specifici. Per una mole di sostanza, il calore molare a volume costante e laderivata della sua energia interna � rispetto alla temperatura

�a volume costante (cfr.

equazione (2.7)):

��=� �� =

� � �� (2 � 66)

Nel caso del gas perfetto monoatomico, � = 0 nella (2.63) e pertanto l’energia mediaper grado di liberta e 1

2 ' � . Cio implica � = 3� 1

2 ' � = 32

� �, in accordo con la (2.56).

Pertanto si ottiene� �

= 32

�.

Similmente, per un solido cristallino monoatomico, per cui la (2.63) e una buonaapprossimazione per descrivere il moto di oscillazione dell’atomo intorno ad una posizionedi equilibrio nel reticolo cristallino, l’energia e � = 3

� ' � e quindi� �

= 3�

. Talerisultato e da tempo noto come regola di Dulong e Petit 51 e trova riscontro sperimentalead alte temperature, ma con alcune eccezioni anche a temperatura ambiente.

�� Nella teoria cinetica dei gas perfetti si riesce a dedurre l’equazione di stato del

gas perfetto (2.2) con considerazioni di meccanica statistica.Innanzi tutto occorre calcolare la distribuzione di velocita delle molecole del gas.

La densita di probabilita � (p1) che la molecola 1 abbia impulso p1 si ottiene integrandola distribuzione � (

� � �) su tutte le coordinate di posizione q

)( $ = 1

�2� � � � �� ) e sulle

variabili di impulso p2� � � � � p - :

� (p1) =

� � q1

� � q2 � � �� q - � � p2 � � �

� � p - � (� � �

)

=��

2 � & � 3 � 2� ��

21� 2 � �

(2 � 67)

Questa e la distribuzione di Maxwell-Boltzmann. Similmente si puo ricavare la densitadi probabilita � (v) di trovare una particella con velocita compresa tra v = p � & e v + � v:

� (v) =� � &

2 � � 3 � 2

� ��

2 � 2 � (2 � 68)

La pressione esercitata dal gas sulle pareti del suo recipiente e data dalla forza mediaimpressa dagli urti delle molecole alla parete, divisa per la superficie della parete stessa;tale forza media deriva dall’impulso trasferito negli urti durante un certo intervallo ditempo. In ogni singolo urto viene trasferito perpendicolarmente alla parete in direzionedell’asse � l’impulso 2 &� � . Nel tempo � � il numero di particelle che incidono sullaparete di superficie � � e che hanno velocita compresa tra v e v + � v sono

51 “Les atomes de tous les corps simples ont exactement la meme capacite pour la chaleur [Gli atomi ditutti corpi semplici hanno esattamente la stessa capacita termica]”, secondo quanto affermano Pierre-LouisDulong (1785–1838) e Alexis Therese Petit (1791–1820): Sur quelques points importants de la theorie dela chaleur [Alcuni punti importanti della teoria del calore], Annales de Chemie et de Physique 10 (1819)395–413.

40

� ��

� � (v) = � � (v) � v � � � � � �dove � =

� � � e il numero di particelle per unita di volume. Percio la pressionecorrispondente e

� � (v) = (2 &� � ) � � � (v) � v �

La pressione totale si ottiene integrando su tutte le velocita�= 2 � & � � v 2� � (v)

�cioe, essendo � = cos

�, con 0 � � � � � 2,�

= 13 � &�� 2 � � (2 � 69)

dove

� 2 � = 4 � � � &2 � � 3 � 2 ��

0

� 4 � ��

2 � 2

= 3' �&

(2 � 70)

e la velocita quadratica media delle molecole del gas.L’energia cinetica media risulta dunque proporzionale alla temperatura:

12&�� 2 � = 3

2 ' �'� (2 � 71)

in accordo con la (2.56).L’equazione di stato del gas perfetto si ottiene allora eseguendo il prodotto

�� e

utlizzando la (2.69) e la (2.71): �� =

� ' � � (2 � 72)

�� L’energia interna di un sistema ottenuta con la (2.54) ne rappresenta il valore

medio relativo all’intero volume occupato dal sistema stesso. Pero localmente la densita dienergia subisce fluttuazioni intorno al suo valore medio, coerentemente con la situazionestatistica ipotizzata. Si vuole ottenere un’espressione per queste fluttuazioni.

Se il sistema possiede � gradi di liberta indipendenti che partecipano alla formazionedell’energia media, ciascuno con il suo contributo medio � in accordo con il teorema diequipartizione dell’energia, la hamiltoniana

�totale e somma delle hamiltoniane relative

ai singoli gradi di liberta

� : �

(� � �

) =

�� =1

� ( � � � ) � (2 � 73)

Anche la (2.54) si riscrive come somma di contributi relativi ai vari gradi di liberta:

41

��

� =

�� =1

� � (2 � 74)

dove � e data dalla relazione

� =� � � � � � � ( � � � ) � �� ( � �� )

� � � � � � � �� ( � �� )� (2 � 75)

La fluttuazione di � e misurata dallo scarto quadratico medio� � 2, definito dalla re-

lazione � � 2 = � (

�� )2 �

=

�� =1

�� =1

� (

� � � )(

� � � � � ) � � (2 � 76)

Grazie all’ipotesi di gradi di liberta indipendenti, non c’e correlazione tra e � . Allorala (2.76) diventa

� � 2 =

�� =1

� (

� � � )2 � =

�� =1

� ��

2 � � � 2� � (2 � 77)

Se si applica la (2.75) nel valutare l’espressione

�� = �

�� =1

� � � � �si ottiene

�� =

�� =1

�� 2 (

� � � ) � �� ( � �� )

� � � � � � � �� ( � �� )

�� ( � � � ) � �� ( � �� ) 2

� � � � � � � � �� ( � �� ) 2

�

=

�� =1

� ��

2 � � � 2� �Confrontando questo risultato con la (2.77), si ricava la relazione

� � 2 = ��

(2 � 78)

che permette di ottenere la fluttuazione dell’energia, una volta che sia noto il suo valoremedio in funzione della temperatura.

42

��

Esercizio 2.23

Valutare le fluttuazioni di energia per un insieme di�

oscillatori armonici e peruna mole di gas perfetto.

��

L’elettrodinamica, come studio dei fenomeni connessi con la presenza e il motodi cariche elettriche nella materia, e basata su due leggi fondamentali. La primariguarda la forza F subita dalla carica per effetto della presenza di una carica � posta a distanza � . Il modulo e il segno di questa forza, che agisce lungo lacongiungente le due cariche, supposte puntiformi, sono dati dalla legge di Coulomb:

= � � �

� 2 � (3 � 1)

La forza e repulsiva per cariche di uguale segno, attrattiva per cariche di segno diverso.La seconda legge si riferisce alla forza F � che si stabilisce tra due fili conduttori

paralleli di lunghezza unitaria posti a distanza � quando in essi fluiscono le correnti�e�� . Il modulo di questa forza e dato dalla legge di Ampere:

� = �� 2

��

�� (3 � 2)

La forza e attrattiva per correnti equiverse, repulsiva altrimenti.Le due costanti che compaiono nelle due leggi sono collegate dalla relazione

� �� = � 2 � (3 � 3)

dove

� = 2 � 997 924 58 � 108ms� 1 (3 � 4)

e la velocita della luce nel vuoto 52.

52 Sulla base di queste leggi nel 1948 la IX Conferenza Generale sui Pesi e Misure ha imposto

� � = 10 � 7NA � 2 *in modo da definire l’Ampere quale unita di misura della corrente. Cosı 1 A e la corrente costante che,fluendo in due conduttori rettilinei paralleli, indefinitamente lunghi, di sezione circolare e trascurabile,posti alla distanza di un metro nel vuoto, produce tra di loro una forza di 2 � 10 � 7N per metro di conduttore.Di conseguenza il Coulomb e l’unita di carica elettrica il cui flusso e responsabile della corrente di 1 A e

��= 10 � 7 � 2 = 8 + 987 551 79 � 109Nm2C � 2 +

Nel 1960 la XI Conferenza Generale sui Pesi e Misure ha affiancato l’Ampere alle altre unita del sistemaMKS per definire il sistema internazionale (SI) di unita di misura. Per i valori di alcune costanti fisiche diinteresse nel presente contesto, si veda la Tab. D.1.

43

��

Gli effetti della presenza di una distribuzione di cariche (con densita di volume� ) e di correnti (di densita j) sono descritti in modo sintetico dalle equazioni di Max-well. Queste determinano la dipendenza temporale dei vettori che caratterizzano ilcampo elettromagnetico prodotto dal moto delle cariche, assegnandone divergenza erotore. Nel sistema internazionale di unita di misura si scrivono

��

� �� D = � �� B = 0 �� E = � $ B

$ ��

� �� H = j + $ D

$ ��

(3 � 5)

In queste equazioni E rappresenta il campo elettrico e B il campo magnetico 53. Ilvettore D di induzione elettrica 54 in generale differisce da E per tenere conto dieffetti del mezzo dielettrico. Analogamente, il campo ausiliare H, detto anche campomagnetizzante, differisce da B per gli effetti di magnetizzazione del mezzo inclusi inB.

La prima equazione di Maxwell esprime il teorema di Gauss per il campoelettrico e corrisponde al fatto che il flusso del campo di induzione elettrica attraversouna superficie chiusa e determinato dalla carica globale racchiusa dalla superficie. Laseconda equazione stabilisce che il campo magnetico e sempre solenoidale e rifletteil fatto che sperimentalmente non si e trovato il monopolo magnetico. La terzaequazione racchiude la legge di Faraday-Neumann dell’induzione elettromagneticae la legge di Lenz sul segno della forza elettromotrice indotta da una variazione diflusso del vettore B; la quarta e la legge di Ampere-Maxwell sugli effetti magneticidi un campo elettrico dipendente dal tempo 55.

Nel vuoto e

D = � 0E � (3 � 6)

dove la costante dielettrica � 0, detta anche permettivita elettrica, e definita dallarelazione

� � =1

4 � � 0 � (3 � 7)

per cui risulta

� 0 = 8 � 854 187 817 � 10� 12F m � 1 � (3 � 8)

53 Il vettore B viene anche chiamato vettore di induzione magnetica.54 Il vettore D e detto anche vettore di spostamento elettrico.55 Per una trattazione dell’elettromagnetismo classico si veda il testo di J.D. Jackson: Classical Electro-dynamics, J. Wiley & Sons, New York, 1975.

44

��

Inoltre, sempre nel vuoto, e

B = 0H � (3 � 9)

con la permeabilita magnetica 0 nel vuoto pari a

0 = 4 � �� = 12 � 566 370 614 � 10

� 7N A � 2 � (3 � 10)

Dalle (3.3), (3.7) e (3.10) segue la relazione di Maxwell:

� 0 0 = � � 2 � (3 � 11)

Il sistema SI e conveniente in ingegneria e nelle applicazioni tecniche, ma nelsistema SI le equazioni di Maxwell (3.5) presentano una forma asimmetrica rispettoai campi elettrici e magnetici anche in assenza di sorgenti, cioe per � = 0 e j = 0.Diventano simmetriche solo se si considera H anziche B. D’altra parte e un fattodella natura che il campo magnetico fondamentale nella materia e B e non H. Ancheper questa ragione per molti fisici e preferibile il sistema doppio simmetrico di Gaussche fa uso delle unita elettrostatiche (u.e.s.) e magnetostatiche (u.e.m.) in aggiuntaal sistema di unita di misura c.g.s. 56.

Nel sistema di Gauss si assume

� � = 1 (3 � 12)

per definire l’unita u.e.s. di carica dalla (3.1). Di conseguenza

� � = � � 2 � (3 � 13)

Inoltre risulta

D = E � B = H � nel vuoto � (3 � 14)

mentre in generale

D = � E � B = H � (3 � 15)

dove la costante dielettrica � e la permeabilita magnetica inglobano gli effetti dipolarizzazione elettrica e di magnetizzazione del mezzo, rispettivamente.

Nel seguito verra adottato il sistema di Gauss. Pertanto conviene riscrivere leequazioni di Maxwell (3.5) con tali unita di misura:

56 Il sistema c.g.s. utilizza come unita fondamentali il centimetro (cm) per le lunghezze, il grammo (g)per le masse e il secondo (s) per il tempo. Per un confronto delle relazioni elettromagnetiche nel SI e nelsistema di Gauss, si veda la Tab. D.2.

45

��

��

� �� D = 4 � � �� B = 0 �� E = � 1

� $ B

$ ��

� �� H =4 ��

j +1� $ D

$ ��

(3 � 16)

Per le sorgenti che intervengono nelle equazioni di Maxwell deve inoltre valereun’equazione di continuita:

$ �$ �+ � �� j = 0 � (3 � 17)

che completa il sistema di equazioni per il campo elettromagnetico nel vuoto. Nellamateria occorrono altre informazioni aggiuntive per definire � e , che in generaledipendono dalla sostanza e sono funzione della posizione, oltre che della frequenzadel campo elettromagnetico. Nel seguito si assumono mezzi omogenei e isotropi, percui � e risultano indipendenti dalla posizione.

Come conseguenza della presenza di un campo magnetico B e di un campoelettrico E, su di una distribuzione di cariche in moto si esercita la seguente forza perunita di volume, f , detta forza di Lorentz 57:

f = � E +1�

j � B � (3 � 18)

Nello spazio investito dal campo elettromagnetico si puo assumere una densitadi energia

�=

18 �

( � � 2 + � 2) � (3 � 19)

Se i campi E e H dipendono dal tempo, l’energia elettromagnetica in ogni puntodello spazio cambia nel tempo. Le variazioni temporali del campo elettromagneticodanno origine a un’onda elettromagnetica, che si propaga in generale con trasportodi energia. La propagazione dell’onda elettromagnetica, che nel vuoto avviene convelocita � , viene indicata come radiazione elettromagnetica. A questa e associato ilvettore di Poynting 58,

S =�

4 �E � H � (3 � 20)

57 Hendrik Antoon Lorentz (1853–1928): La theorie electromagnetique de Maxwell et son applicationaux corps mouvants [La teoria elettromagnetica di Maxwell e la sua applicazione ai corpi in movimento],Archive Neerlandaise 25 (1892) 363–551.58 John Henry Poynting (1852–1914): On the transfer of energy in the electromagnetic field [Trasferimentodi energia nel campo elettromagnetico], Philosophical Transactions of the Royal Society of London 274(1884) 343–361.

46

� � � ��

Il significato del modulo di S e quello di intensita dell’onda elettromagneticae il flusso di S attraverso una superficie rappresenta l’energia associata all’onda cheattraversa la superficie per unita di tempo. Il teorema di conservazione dell’energiasegue allora dalle equazioni di Maxwell e si esprime nella forma

$�

$ �+ � �� S = 0 � (3 � 21)

�� In questo Esempio si vuole calcolare la pressione di radiazione. All’interno

di una cavita vuota di materia la pressione di radiazione�

, dovuta alla presenza di uncampo elettromagnetico in equilibrio con la cavita, e calcolabile ricorrendo alla forza diLorentz che si esercita sulla densita di carica e di corrente delle pareti. Queste a loro voltadeterminano la radiazione stessa e sono quindi le sorgenti nelle equazioni di Maxwell.Dato che la cavita e vuota di materia, � = � = 1 e la forza di Lorentz per unita di volumerisulta

f = � E +1� j � B

=1

4 � # ( � �� E)E +� � �� B � 1� � E� � � � B

�=

14 � # ( � �� E)E + ( � �� B)B + ( � �� B) � B � 1� �� (E � B) +

1� E ��

B� ��

dove si e aggiunto il termine nullo ( � �� B)B. Utilizzando la terza delle equazioni diMaxwell (3.16), si ottiene infine

f =1

4 � # ( � �� E)E + ( � �� B)B + ( � �� B) � B + ( � �� E) � E � 1� �� (E � B)� �

in cui campo elettrico e campo magnetico giocano un ruolo simmetrico.Per il calcolo della pressione interessa la forza mediata su un tempo lungo rispetto al

periodo proprio di oscillazione del campo elettromagnetico. In tal modo molti termini siannullano in media, come per esempio l’ultimo. Indicando con la sopralineatura i valorimediati sul tempo, la componente media della forza nella direzione dell’asse � risulta

� � =1

4 � � 12

� � 2�

� � +12

� 2�

� � � 12

� 2�

� � � 12

� 2� � � 1

2

� � 2�

� � � 12

� � 2� ��

=1

4 � � � � 2�

� � +� 2

�� 1

2

�� ( � 2 +

2) � �dove

� 2 = � 2�

+ � 2 + � 2� � 2 =

2�

+ 2 +

2��

47

��

D’altra parte in equilibrio si deve avere

� 2�

= � 2 = � 2�

=13� 2 �

2�

= 2 =

2�

=13 2

�e quindi risulta

� � = � 14 � 1

6

�� 2 +

2 = � 1

3

��

dove�

e la densita di energia del campo elettromagnetico (3.19).La pressione su una parete, perpendicolare all’asse � e posta in � = 0, si ottiene

integrando la forza media lungo tutto l’asse � :�=

��0

� � � �=

13� �

(3 � 22)

Il risultato (3.22) non dipende dall’orientamento per l’ipotesi fatta di equilibrio 59.

E noto che campo elettrico e campo magnetico sono derivabili da potenziali.Infatti dalla solenoidalita di B segue la possibilita di esprimere B come il rotore di unvettore:

B = � �� A � (3 � 23)

dove A e il potenziale vettore. Dalla terza equazione di Maxwell (3.16) segue quindi

� �� E = � 1� $$ �

( � �� A) �cioe

� ��

E +1� $ A

$ �� = 0 �

59 Questo risultato fu ipotizzato da Boltzmann in analogia con quanto succede in un gas perfetto.L. Boltzmann: Ableitung des Stefan’schen Gesetzes betreffend die Abhangigkeit der Warmestrahlungvon der Temperatur aus der electromagnetischen Lichttheorie [Derivazione della legge di Stefan sulladipendenza della radiazione termica dalla temperatura a partire dalla teoria elettromagnetica della luce],Annalen der Physik 22 (1884) 291–294.L’esistenza della pressione di radiazione fu messa in discussione per la prima volta in un esperimentoideale, senza alcun riferimento a una particolare teoria della luce, da Adolfo Bartoli (1851–1896): Soprai movimenti prodotti dalla luce e dal calore, Le Monnier, Firenze, 1876.

48

��

Pertanto il vettore E + (1�� )( $ A

�$ � ) e conservativo e puo essere espresso in termini

di un gradiente:

E +1� $ A

$ �= � � �� (3 � 24)

dove � e il potenziale scalare.Va ricordato che E e B non determinano in modo univoco � e A, in quanto la

trasformazione �� A � = A + � �� = � � 1

� $ �$ �� (3 � 25)

produce gli stessi campi E e B, indipendentemente dalla funzione � scelta, purchederivabile. Infatti, utilizzando la (3.24) si puo costruire il campo E � prodotto dainuovi potenziali:

E � = � 1� $ A �

$ ��

= � 1� $ A

$ �� 1

� $$ �� +

1�� $ �$ �= � 1

� $ A

$ ��

= E �Similmente, utilizzando la (3.23) si costruisca il campo B � prodotto dai nuovi poten-ziali:

B � = � �� A �= � �� A + � �� = � �� A

= B �La trasformazione (3.25) e detta trasformazione di gauge in quanto,attraverso la sceltadella funzione � , permette di calibrare a proprio piacimento i potenziali elettroma-gnetici, senza alterare i corrispondenti campi fisicamente osservati 60. In realta questa

60 Il vocabolo gauge e la traduzione inglese del tedesco Eich che significa calibro. Tale denominazione fuintrodotta dal matematico Hermann Weyl (1885–1955): Gravitation und Elektrizitat, Sitzungsberichte derPreussischen Akademie der Wissenschaften (Berlin) (1918) p. 465. Durante i suoi studi rivolti al tentativodi costruzione di una teoria di campo in grado di unificare la teoria della gravitazione e l’elettromagnetismo,Weyl cercava di derivare le forze della natura da una comune struttura geometrica dello spazio mediante ilprincipio dell’invarianza di gauge. Il programma di Weyl e sviluppato nelle varie edizioni del libro Raum,Zeit, Materie, la cui prima edizione risale al 1918. Ma, come lo stesso Weyl riconosce nella prefazionealla prima edizione americana nel 1950 (Space, Time, Matter, Dover Publ., New York), questo tentativoe fallito, perche il principio dell’invarianza di gauge collega il campo elettromagnetico non col campo

49

��

arbitrarieta e connessa col fatto che B fissa solo la parte irrotazionale (trasversa) delpotenziale vettore ( � �� A), lasciando totalmente non specificata la parte solenoidale(longitudinale) ( � �� A). Si puo dunque fissare il gauge assegnando � �� A.

Due scelte sono particolarmente utili. Il gauge di Coulomb definisce

� �� A = 0 � (3 � 26)

Questa scelta non esaurisce l’arbitrarieta sui potenziali elettromagnetici; essa fissasemplicemente la classe di funzioni � che possono comparire nella (3.25). Infatti la(3.26) con la prima delle (3.25) fornisce

� �� = 0 �che si puo riscrivere equivalentemente

� 2 � = 0 � (3 � 27)

dove si e introdotto il simbolo di Laplace (o laplaciano),

� 2 = $2

$� 2

+ $2

$� 2

+ $2

$� 2� (3 � 28)

per indicare la divergenza del gradiente. L’equazione (3.27) e l’equazione di Poisson,soddisfatta anche dal potenziale scalare elettrostatico � che da origine alla forza diCoulomb: di qui il nome del gauge.

Esercizio 3.1

Si supponga che A sia descritto da un’onda piana del tipo

A = A0 �)(k � r � �� ) �

dove k e il vettore d’onda che indica la direzione di propagazione della perturbazione difrequenza � = � � 2 � . Verificare che nel gauge di Coulomb A deve essere perpendicolarea k, cioe l’onda e trasversa.

L’altra scelta interessante e quella del gauge di Lorentz:

� �� A +� � $ �$ �

= 0 � (3 � 29)

Anche qui la scelta serve a definire la classe di funzioni � . Riscrivendo la (3.29) perA � e � � in termini di A e � ,

gravitazionale, ma col campo della meccanica ondulatoria in una descrizione quantistica (cfr. paragrafoIX.1). Le moderne teorie di gauge quantistiche sono debitrici a Weyl di questa idea e a Yang e Mills perla riproposta di considerare invarianze locali dovute a simmetrie interne nel costruire una teoria di campo.C.N. Yang e R.L. Mills: Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance [Conservazionedello spin isotopico e gauge invarianza isotopica], Physical Review 96 (1954) 191–195.

50

��

� �� A + � �� +� � $ �$ �

� � � 2 $

2 �

$ �2

= 0 �si ottiene

� 2 � � � � 2 $

2 �

$ �2

= 0 � (3 � 30)

Con l’introduzione del simbolo di d’Alembert (o dalembertiano),

�– = � 2 � 1

� 2 $2

$ �2� (3 � 31)

la (3.30) nel vuoto ( � = 1 � = 1) diventa l’equazione di d’Alembert 61:

�– � = 0 � (3 � 32)

Nella (3.30) il coefficiente

� � 2

=1

� 2(3 � 33)

determina la velocita di propagazione � nel mezzo di costanti � e . Nel vuoto dunquee � = � . L’indice di rifrazione � del mezzo risulta allora

� =�

� = � � � (3 � 34)

Fin qui sono state utilizzate due delle equazioni di Maxwell per riconoscere ipotenziali elettromagnetici. Dalle altre due si ottengono delle condizioni per A e �nel gauge di Lorentz in esame.

Sostituendo i potenziali elettromagnetici (3.23) e (3.24) nella quarta delleequazioni di Maxwell (3.16) cosı riscritta 62

� �� B =4 �� j +

� ��$ E

$ ��

si ha

� �� ( � �� A) =4 �� j � �

� 2 $2A

$ �2� �

� $$ ��

Assumendo, come sempre in questi casi, l’invertibilita dell’ordine di derivazione etenendo presente l’identita vettoriale

� �� ( � �� A) = � �� ( � �� A) � � 2A �61 L’equazione fu proposta da Jean-Baptiste le Rond d’Alembert (1717-1783) nello studio della propaga-zione di un’onda.62 Si continua ad assumere che e � siano le costanti di un mezzo omogeneo e isotropo.

51

��

dalla condizione di Lorentz (3.29) si ottiene infine

� 2A � � � 2 $

2A

$ �2

= � 4 �� j � (3 � 35)

Questa e un’equazione di d’Alembert con termine di sorgente che regola la pro-pagazione della perturbazione ondulatoria descritta da A e generata dalla sorgenteconnessa con l’esistenza della corrente j. La perturbazione si propaga nel mezzo convelocita � , determinata dalla (3.33).

Similmente, utilizzando la prima delle equazioni di Maxwell (3.16), riscrittanella forma

� �� E =4 ��

si ottiene

� 1�� $ A

$ �� 2 � =

4 �� che, con la condizione (3.29), diventa

� 2 � � � � 2 $

2 �

$ �2

= � 4 �� (3 � 36)

Anche qui, il potenziale scalare � soddisfa un’equazione di d’Alembert con untermine di sorgente legato alla distribuzione di carica: la perturbazione ondulatoriadescritta da � si propaga con la stessa velocita � , determinata dalla (3.33), concui si propaga la perturbazione descritta da A. Pertanto in generale, in presenzadi sorgenti, il campo elettromagnetico possiede tre gradi di liberta, individuati daipotenziali elettromagnetici che soddisfano equazioni di d’Alembert con sorgente e lacondizione del gauge (di Coulomb o di Lorentz).

Invece nel vuoto la (3.36) applicata a un campo di radiazione ( � = 0) si riduce aun’equazione di d’Alembert per il potenziale scalare,

�– � = 0 � (3 � 37)

analoga alla (3.32). In questo caso si puo allora scegliere � in modo da rendere � � 0e ridurre la condizione del gauge di Lorentz (3.29) a quella del gauge di Coulomb(3.26). La condizione (3.26) indica che A deve essere perpendicolare alla direzione dipropagazione, cioe rappresenta un’onda trasversale (Esercizio 3.1). Di conseguenza,i gradi di liberta del campo di radiazione nel vuoto si riducono a due: per tale ragioneil campo di radiazione nel vuoto viene studiato piu facilmente nel gauge di Coulomb,senza perdere generalita.

�� In una dimensione spaziale l’equazione di d’Alembert si scrive

52

� � � ��

� 2 �� 2

� 1� 2 � 2 �� 2 = 0 � (3 � 38)

La sua soluzione piu generale e della forma

� ( � � � ) = � 1( � � � � ) + � 2( � + � � ) � (3 � 39)

dove � 1 ( � 2) rappresenta un’onda progressiva (regressiva) lungo l’asse � e puo essereuna qualunque funzione regolare dell’argomento � � � � ( � + � � ), dove � coincide con lavelocita di propagazione della perturbazione ondulatoria. In particolare si puo scegliere

� 1�2( �� ) = sin 2 � � � � � �

� �= sin( ' �� ) � (3 � 40)

dove

' =2 ��

(3 � 41)

e il numero d’onda 63 e �� 2 �� =2 �� (3 � 42)

e la pulsazione. Alternativamente, si puo utilizzare una combinazione lineare di funzioneseno e di funzione coseno nella forma di un’onda piana:

� 1�2( �� ) = �

)(� ��

�� ) � (3 � 43)

Questa possibilita deriva dal fatto che l’equazione di d’Alembert e un’equazione lineare:quindi una qualsiasi combinazione lineare di due soluzioni � 1( � � � ) e � 2( � � � ),

� ( � � � ) = � � 1( � � � ) + � � 2( � � � ) � (3 � 44)

con � e � numeri complessi, e ancora soluzione della (3.38). Siccome l’intensita diun’onda e determinata dal quadrato dell’ampiezza, l’intensita dell’onda risultante dallasovrapposizione di due presenta dei termini interferenziali che la fanno differire dallasemplice somma delle intensita delle due onde sovrapposte. Percio la possibilita dicombinare linearmente due onde secondo la (3.44) e responsabile della comparsa dipossibili fenomeni di interferenza. Questa proprieta dell’equazione di d’Alembert euno dei principi fondamentali, caratteristici di ogni descrizione ondulatoria, noto comeprincipio di sovrapposizione lineare delle onde.

In base al principio di sovrapposizione lineare, la piu generale soluzione della (3.38)si puo scrivere in termini di pacchetto di onde piane,

� ( � � � ) =

� + �

� �� ' � ( ' ) �

)(� �� ) � (3 � 45)

63 In tre dimensioni�

e il modulo del vettore d’onda k che ha la stessa direzione della propagazionedell’onda.

53

��

dove � ( ' ) e una funzione regolare (in generale complessa) dell’indice continuo ' . Per' 0 si hanno contributi di onde progressive, per ' � 0 di onde regressive. Per lasingola onda nella (3.45) vale � = � ' � (3 � 46)

per cui � 2

� � 2� 1� 2 � 2

� � 2 � �)(� �� ) =

�!' 2 +

� 2� 2 � �)(� �� ) = 0

�e quindi resta verificata la (3.38).

Per la singola onda si definisce velocita di fase la quantita

� =

�� =

�' � (3 � 47)

Nel pacchetto di onde (3.45), con la condizione (3.46), la velocita di fase e costante pertutte le onde e coincide con � . Questa proprieta consente la verifica della (3.38) non soloper la singola onda, ma anche per tutto il pacchetto di onde che si propaga indisturbatocon la stessa velocita � di ogni singola onda che lo compone. E questo il caso dellapropagazione delle onde elettromagnetiche nel vuoto.

Se invece l’onda elettromagnetica attraversa un mezzo con ��&= 1� � &= 1, l’indice

di rifrazione (3.34) dipende in generale dalla frequenza della radiazione. Ne deriva unarelazione di dispersione tra frequenza e lunghezza d’onda, che si puo porre nella formaseguente � =

�� ( � )

' � (3 � 48)

Per un’onda del tipo (3.43) anche la velocita di fase e allora funzione di � :

� =�' =

�� ( � )

(3 � 49)

e l’associata equazione di d’Alembert e soddisfatta identificando la velocita di propaga-zione con la velocita di fase: � 2

� � 2� 1 2�� 2

� � 2 � �)(� � �

�� ) = 0 � (3 � 50)

Ma il pacchetto di onde (3.45) non soddisfa piu un’equazione di d’Alembert. Ogni ondadel pacchetto si propaga con la sua velocita di fase.

Si supponga ora che al pacchetto di onde (3.45) contribuiscano solo onde con ' compreso in un intervallo limitato intorno al valore centrale ' ; inoltre, il profilo delleampiezze � ( ' ) sia strettamente concentrato intorno a ' , in modo da avere il suo massimoin corrispondenza di ' = ' . Posto

� ( ' ) =� � ( ' ) �

�) �

(�� ) �

la (3.45) diventa

54

� � � ��

� ( � � � ) =

� + �

� �� ' � � ( ' ) �

exp� $ [ ' � � � � +

�( ' )] �

=

� + �

� �� ' � � ( ' ) �

exp # $ [ ' � � �� +�

( ' )]

+ $ ( ' � ' )�� ' [ ' � � � � +

�( ' )] �� = � + � � �

� �dove si e sviluppato intorno a ' l’argomento dell’esponenziale. Utilizzando il fattoche

� � ( ' ) �e strettamente piccato attorno al valore di

� � ( ' )�

e passando alla variabile� = ' � ' , si puo porre

� � � � ( ' )��)[� �� +

�(�

)]

�� exp # $ � � � � � �� ' � +

� �� ' � �e quindi

� =� � ( ' )

��)[� �� +

�(�

)]2 sin

� � � � �� + � �� + � �� (3 � 51)

La (3.51) contiene a fattore un’onda piana: l’onda monocromatica di vettore d’onda 'e frequenza � (con sfasamento

�( ' )) corrispondenti all’onda principale del pacchetto� ( � � � ). L’ampiezza dell’onda pero non e costante: il fattore

� � ( ' )�e modulato nel tempo

dal fattore che dipende dall’argomento � � � + ( � � � � ' ), dove

� =� �� ' (3 � 52)

viene detta velocita di gruppo. Tale velocita e la velocita con cui si propaga la modulazioned’ampiezza del segnale � ( � � � ) quando lo si voglia rappresentare in termini di un’ondamonocromatica corrispondente all’onda di ampiezza massima nel pacchetto: e la velocitacon cui globalmente si propaga il gruppo di onde del pacchetto considerato.

In un mezzo non dispersivo come il vuoto per le onde elettromagnetiche, e � = 1 equindi velocita di fase e velocita di gruppo coincidono e sono pari a � .Esercizio 3.2

Si considerino due onde con frequenze vicine, cioe con� � = � 1 � � 2 e

� ' = ' 1 � ' 2

piccoli. Verificare che i battimenti prodotti dalle due onde sovrapposte si propagano conla velocita

� =� �� ' �

�� Per richiami futuri e utile riconoscere che il moto di una particella di massa& , velocita e carica elettrica

�, sottoposta all’azione di un campo elettromagnetico

55

��

e descrivibile col formalismo della meccanica analitica. Occorre sottolineare che ilformalismo hamiltoniano non e in generale utilizzabile quando si abbia a che fare conforze dipendenti dalla velocita. Si dimostra tuttavia che il caso del campo elettromagneticoe il solo per il quale sia possibile definire una lagrangiana con un potenziale dipendentedalla velocita che porti a trovare le giuste equazioni del moto 64. Descritto allora il campoelettromagnetico mediante i potenziali

�=�

( � � � � �� ) e A = A( � ��

�t), si consideri la

seguente lagrangiana:

�=

12&� 2 � � � +

� � A � v � (3 � 53)

Le equazioni del moto si ottengono calcolando

� �� .� = &� � +

� � � � �� .� = & � �� +� � � � �� +

� � �� +� � ��

� � � +

� � � � �� = � �

� �� +

� � � � � �� +� � � � +

� � �� Pertanto si ricava

0 =�� .� �

� ��

= & � �� +� � �� +

� � � � �� +� � � � � ��

� � � � � +��

��

Ricordando la (3.23) e la (3.24) si ha infine

& � �� =� � � +

� � (v � B)� �

(3 � 54)

che e l’equazione del moto prodotta dalla forza di Lorentz.Se si preferisce descrivere il moto di tale particella nel formalismo hamiltoniano,

occorre definire il momento coniugato,� �=� �� .� = &� � +

� � � � �e quindi:

p = & v +� � A � (3 � 55)

In presenza di campo elettromagnetico dunque il momento coniugato differisce dallaquantita di moto & v. La velocita risulta

64 Si veda, per esempio, il I.5 del testo di Goldstein citato alla n. 22 p. 4.

56

��

v =1& �

p �� A � � (3 � 56)

Per la (3.53), la corrispondente hamiltoniana e

�=� � .� +

� .�+� � .

� ��

= p � 1& �p �

� � A � � �=

1& p � � p �� A � � 1

2 &�p �

� � A � 2

+� � �

� � A � 1& �p �

� � A � �cioe �

=1

2 &�p �

� � A � 2

+� � �

(3 � 57)

in cui il primo termine rappresenta l’energia cinetica in presenza di campo elettromagne-tico e il secondo termine e l’energia potenziale che dipende solo dal potenziale scalare,in accordo col fatto che il campo magnetico non produce lavoro sulla particella in moto.

La hamiltoniana (3.57) si ottiene formalmente dalla hamiltoniana della particellalibera aggiungendo il termine di potenziale e utilizzando la sostituzione:

p �� p �� A � (3 � 58)

La (3.58) rappresenta una prescrizione economica per tenere conto del campo elettro-magnetico e viene detta sostituzione minimale.

Esercizio 3.3

Verificare che quando il campo magnetico B = � � � � A e statico e uniforme, si puoscegliere

A = � 12 r � B � (3 � 59)

57

��

Esercizio 3.4

Nel caso dell’Esercizio precedente verificare che la hamiltoniana (3.57) puo scriversinella forma �

=

�0 +

�1 +

�2�

(3 � 60)

dove �0 =

� 2

2 & +� � �

(3 � 61)�1 = �

�2 & � L � B �

(3 � 62)�2 =

� 2

8 & � 2 2 � 2� �(3 � 63)

con r � che rappresenta la proiezione di r su di un piano perpendicolare a B:

� 2� = � 2 � (r � B)2 2� (3 � 64)

�� Per la sostituzione minimale (3.58) e la (3.56), il momento della quantita di moto

in presenza di campo magnetico risulta

r � & v = L + L � (3 � 65)

dove L = r � p e l’usuale momento angolare e

L = �� r � A (3 � 66)

e un momento angolare indotto dal campo magnetico. Corrispondentemente, si possonodefinire un momento magnetico proprio,

� �� =�

2 & � L � (3 � 67)

e un momento magnetico indotto,

� �� =�

2 & � L � (3 � 68)

58

��

Esercizio 3.5

Verificare che per il campo magnetico uniforme (3.59) il momento magneticoindotto puo scriversi

� �� =� 2

4 & � 2 � (r � B)r �� 2B � � (3 � 69)

Esercizio 3.6

Interpretare il termine “paramagnetico”

�1 e il termine “diamagnetico”

�2 dell’E-

sercizio 3.4.

59

II. LA CRISI DELLA FISICA CLASSICA

I risultati della fisica classica, rapidamente richiamati nel primo capitolo, sonostati acquisiti entro la fine del XIX secolo e, all’epoca, costituivano una soddisfacenteorganizzazione teorica per i vari settori della fisica. All’interno di ogni settore, i siste-mi di concetti e di leggi appaiono coerenti e chiusi in se: la formulazione matematicaalimenta la fiducia nella possibilita di una descrizione oggettiva dei fenomeni naturaliattraverso il meccanismo deterministico di causa ed effetto. Alcune grandi sintesi,come l’unificazione dei fenomeni elettrici e magnetici o la teoria cinetica della ma-teria, sostengono inoltre l’idea che meccanica, termodinamica, acustica, ottica sianosolo branche distinte in attesa di trovare una nuova collocazione in una teoria glo-bale e unificata, nella quale comunque la meccanica analitica deve giocare un ruolodeterminante.

Questa fiducia pero viene scossa verso la fine del XIX e l’inizio del XX secolo.Da un lato, un numeroso insieme di evidenze sperimentali, inspiegabili alla lucedei principi della fisica classica, hanno provocato un riesame critico dello schemaconcettuale. Dall’altro, l’approfondimento dei fondamenti teorici conseguente aldesiderio di sintesi ha imposto un radicale cambiamento nella descrizione stessa deifenomeni fisici.

La crisi si e articolata in varie direzioni, sia all’interno di ognuna delle branchedella fisica classica, sia soprattutto nei confronti del programma di unificazione tra lebranche stesse.

In primo luogo occorre ricordare che il merito della descrizione oggettiva di unfenomeno e legato alla possibilita di darne una descrizione matematica nella qualela legge fisica, indipendente dall’osservatore, viene tradotta in un’equazione chenon dipende dal sistema di riferimento scelto. La meccanica analitica gode di questoprivilegio se si restringe la classe dei possibili sistemi di riferimento a quelli cosiddettiinerziali, quei sistemi cioe per i quali vale la legge d’inerzia, e se si ammette che iltempo sia un parametro di evoluzione assoluto, indipendente dall’osservatore.

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Fig. 1.1. Il superamento della crisi prodottasi nel cercare di unificarei diversi settori della fisica, quali la macrofisica (descritta in terminidi grandezze termodinamiche come la temperatura � e l’entropia � ),la meccanica (con le sue funzioni lagrangiana � e hamiltoniana � ),l’elettromagnetismo (con i campi elettrico E e magnetico B), e stato resopossibile nella prima parte del XX secolo introducendo nuovi concetti eun nuovo modo di pensare la realta, grazie alla teoria della relativita (conla sua equivalenza tra energia � e massa � e l’invarianza della velocitadella luce � ) e la meccanica quantistica (che associa, tramite la costantedi Planck � , un’onda di lunghezza d’onda al moto di una particella diimpulso ! ).

Cio non e immediatamente applicabile ai fenomeni elettromagnetici; le equa-zioni di Maxwell restano invarianti, per cambiamento da un sistema di riferimentoinerziale a un altro, se si coinvolge nella trasformazione delle coordinate anche iltempo. Questo fatto, riconosciuto da Hendrik Antoon Lorentz (1853–1928) 1, restainconciliabile con la legge di composizione delle velocita secondo la meccanica diGalileo e di Newton. Esso inoltre rende ragione di un importante risultato di unaserie memorabile di esperimenti, iniziata intorno al 1880 dai fisici americani Al-bert Abraham Michelson (1852–1931) e Edward Williams Morley (1838–1923) 2

per verificare l’esistenza del cosiddetto etere cosmico che doveva fare da supportoelastico alla propagazione dell’onda luminosa. La ricerca pero si concluse con es-ito negativo, nonostante i continui perfezionamenti dell’apparato sperimentale, edimostro piuttosto la costanza della velocita di propagazione della luce, indipenden-temente dalla velocita dell’osservatore inerziale rispetto al mezzo nel quale avviene

1 H.A. Lorentz: De relatieve beweging van de aarde en den aether [Il moto relativo di terra e etere],Verslag van de Koniklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam 1 (1892) 74–79.2 A.A. Michelson e E.W. Morley: On the relative motion of the earth and the luminiferous ether [Sulmoto relativo della terra rispetto all’etere luminifero], American Journal of Science 34 (1887) 333–345;Philosophical Magazine 24 (1887) 449–463.

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la propagazione: la velocita � della luce nel vuoto e indipendente dal sistema diriferimento inerziale.

Il miglioramento delle tecniche di indagine permette di sondare la struttura dellamateria nei suoi elementi costitutivi. Gli strumenti spettroscopici producono det-tagliate analisi dei processi di assorbimento ed emissione di radiazione. Gia nel 1814Joseph von Fraunhofer (1787–1826) 3 aveva messo in evidenza nello spettro solaresottili righe oscure che ora portano il suo nome. Lo studio di queste righe permisea Gustav Robert Kirchhoff (1824–1887) di approfondire il legame tra emissione eassorbimento di luce, giungendo nel 1859 ad affermare che, “per raggi della stessalunghezza d’onda alla stessa temperatura, il rapporto tra potere emissivo e potereassorbitivo e lo stesso per tutti i corpi” 4. La legge di Kirchhoff si applicava aun corpo perfettamente nero, cioe “un corpo che assorbe tutte le radiazioni che viincidono” 5, ed era confermata sperimentalmente 6. La distribuzione dell’intensitadella radiazione di corpo nero in funzione della frequenza costituı un banco di provaper ipotesi nuove e stimolo la fantasia di molti ricercatori anche dopo che Max KarlErnst Ludwig Planck (1858–1947) propose la sua formula con una comunicazionealla Societa Tedesca di Fisica nella seduta del 14 dicembre 1900 7.

Ma anche le regolarita degli spettri atomici sono inspiegabili con le leggidell’elettromagnetismo e pongono inquietanti interrogativi sulla costituzione dellamateria. L’idea della costituzione atomica della materia ha origini nel pensierogreco, ma si e sviluppata in epoca moderna grazie agli studi di chimica. Tuttavia,nonostante il successo della classificazione degli elementi fatta nel 1869 da parte diDmitri Ivanovich Mendeleev (1834–1907) 8, verso la fine del XIX secolo la teoriaatomica non era ancora comunemente accettata, anche se godeva di maggior creditopresso i fisici che non presso i chimici.

3 J. Fraunhofer: Bestimmung des Brechungs- und Farbzerstreuungs-Vermogens verschiedener Glasarten[Determinazione del potere di rifrazione e di dispersione di colore di molti tipi di vetro], in Bezug aufdie Vervollkommung achromatischer Fernrohre [Rapporto sul perfezionamento di telescopi acromatici],Denkschriften der Koniglischen Akademie der Wissenschaften (Munchen) 5 (1814) 193–226.4 G.R. Kirchhoff: Uber den Zusammenhang zwischen Emission und Absorption von Licht und Warme [Re-lazione tra emissione e assorbimento di luce e calore], Monatsberichte der Akademie der Wissenschaftenzu Berlin (Dezember 1859) p. 783–787.5 G.R. Kirchhoff: Uber das Verhaltnis zwischen dem Emissionsvermogen und dem Absorptionsvermogender Korper fur Warme und Licht [Rapporto tra il potere emissivo e il potere assorbitivo dei corpi per lucee calore], Annalen der Physik 109 (1860) 275–301.6 Balfour Stewart (1828–1887): An account of some experiments on radiant heat involving an extension ofPrevost’s theory of exchanges [Relazione su alcuni esperimenti sul calore di radiazione con un’estensionedella teoria di Prevost sugli scambi], Transactions of the Royal Society of Edinburgh 22 (1858) 1–20.7 M. Planck: Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im Normalspektrum [Teoria della legge didistribuzione d’energia nello spettro normale], Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft2 (1900) 237–245. A questa relazione, di importanza storica per l’avvio della meccanica quantistica, seguıl’articolo: Uber das Gesetz der Energieverteilung im Normalspektrum [Legge di ripartizione dell’energianello spettro normale], Annalen der Physik 4 (1901) 553–563.8 Mendeleev pubblico la sua classificazione degli elementi in un articolo comparso sulla rivista russa diricerche chimiche (Zhurnal Russkogo Chimichiskogo Obtchestva 1 (1869) 60–67) con il titolo: Relazionetra proprieta e pesi atomici degli elementi.

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La discussione sulla natura dei raggi catodici, scoperti nel 1895 da WilhelmConrad Rontgen (1845–1923) 9, era sfociata nella scoperta dell’elettrone avvenutanel 1897 per merito di Joseph John Thomson (1856–1940) 10, che fu in grado dideterminare la velocita, il rapporto tra carica e massa e il segno della carica deiraggi catodici 11. Contemporaneamente Antoine-Henri Becquerel (1852–1908) 12

scopriva la radioattivita naturale e un suo studio sistematico veniva condotto daiconiugi Curie, Pierre (1859–1906) e Marja Sklodowska (1867–1934). Si facevasempre piu strada la convinzione di un atomo (neutro) con struttura composita, di cuil’elettrone (negativo) era il solo costituente noto 13. La tentazione di costruire modellidell’atomo era naturale, anche se le informazioni sperimentali erano ancora moltolimitate 14. Solo dopo quello che e noto come l’esperimento di Ernest Rutherford ofNelson (1871–1937) 15 si affermo l’idea di un nucleo atomico carico positivamentecon un numero di elettroni esterni tale da rendere globalmente neutro l’intero atomo.

9 L’otto novembre 1895 Rontgen, rettore dell’Universita di Wurzburg, scoprı casualmente quelli che oggisono chiamati raggi � . Per tale scoperta egli fu il primo scienziato ad essere insignito del premio Nobelper la Fisica nel 1901.10 J.J. Thomson: Cathode-rays [Raggi catodici], Philosophical Magazine 44 (1897) 293–316.11 Il nome elettrone, divulgato da H.A. Lorentz, fu coniato da George Johnstone Stoney (1826–1911):Of the “electron”, or atom of electricity [L’elettrone o atomo di elettricita], Philosophical Magazine 38(1894) 418–420.12 Una lista dei primi lavori sulla radioattivita e una relazione dei risultati ottenuti fu redatta dallostesso Becquerel: Recherches sur une propriete nouvelle de la matiere. Activite radiante spontanee ouradioactivite de la matiere [Ricerche su una proprieta nuova della materia. Attivita raggiante spontaneao radioattivita della materia], Memoires de l’Academie des Sciences (Paris) 46 (1903).13 Il valore assoluto della carica dell’elettrone e stato misurato da Robert Andrews Millikan (1868–1953):On the elementary electric charge and the Avogadro constant [Carica elettrica elementare e numero diAvogadro], Physical Review 2 (1913) 109–143.14 E interessante osservare che Jean Baptiste Perrin (1870–1942) gia nel 1902 aveva ipotizzato una caricapositiva centrale circondata da una nuvola di elettroni che ne compensassero la carica. Tuttavia il modellodi atomo piu accreditato era quello di J.J. Thomson in cui l’atomo di idrogeno, per esempio, era vistocome una sfera carica positiva di raggio 10 � 8 cm con un elettrone oscillante al centro.J. Perrin: Les hypotheses moleculaires [Le ipotesi molecolari], Revue Scientifique 15 (1902) 449–461.J.J. Thomson: The magnetic properties of systems of corpuscles describing circular orbits [Le proprietamagnetiche di sistemi di particelle che descrivono orbite circolari], Philosophical Magazine 6 (1903)673–693; On the structure of the atom: an investigation of the stability and periods of oscillation of anumber of corpuscles arranged at equal intervals around the circumference of a circle; with applicationof the results to the theory of atomic structure [Struttura dell’atomo: ricerca sulla stabilita e sui peri-odi di oscillazione di un numero di particelle disposte a intervalli uguali lungo una circonferenza; conapplicazione dei risultati alla teoria della struttura atomica], Philosophical Magazine 7 (1904) 237-265.15 In realta nel 1909 Hans Geiger e Ernest Marsden, lavorando a Manchester nel laboratorio diretto daRutherford, avevano osservato che la diffusione di particelle � da parte di lamine sottili mostrava unasorprendente distribuzione angolare anche ad angoli molto grandi rispetto alla direzione incidente. E cioera incomprensibile senza l’ipotesi, formulata un paio d’anni piu tardi dallo stesso Rutherford, che l’atomobersaglio presentasse un nocciolo interno.H. Geiger e E. Marsden: On a diffuse reflection of the � -particles [Riflessione per diffusione di particelle� ], Proceedings of the Royal Society of London A82 (1909) 495–500.E. Rutherford: The scattering of � and � particles by matter and the structure of the atom [Diffusionedi particelle � e � da parte della materia e struttura dell’atomo], Philosophical Magazine 21 (1911)669–688.

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In tale modello l’elettrone, costretto a muoversi attorno al nucleo atomico, esoggetto a continue accelerazioni e quindi, per l’elettromagnetismo classico, deveirraggiare in modo continuo. Invece la spettroscopia atomica aveva raccolto inquegli anni una messe ricchissima di dati con cui inconfutabilmente si dimostraval’esistenza di spettri atomici di emissione e di assorbimento discreti. Le righe dellospettro, corrispondenti a ben precise lunghezze d’onda della radiazione, presentanouna regolarita all’epoca incomprensibile.

Nell’interazione tra la radiazione e la materia si esaltano i problemi di compati-bilita tra la descrizione della meccanica analitica, della termodinamica e dell’elettro-magnetismo. Gli aspetti corpuscolari della radiazione, gia suggeriti dall’interpreta-zione dello spettro di corpo nero, trovano conferma nella fenomenologia dell’effettofotoelettrico, correttamente spiegata nel 1905 da Albert Einstein (1879–1955) 16, enegli esperimenti sui raggi � condotti da Arthur Holly Compton (1892–1962) neglianni 1921–1923 17.

La scoperta di nuovi fenomeni come la radioattivita e la presenza di nuoveparticelle all’interno degli atomi impone un modello della loro struttura, coerentecon la descrizione macroscopica del comportamento della materia. Accanto allameccanica, la termodinamica e l’elettromagnetismo, si va costituendo un nuovosettore della fisica, la fisica atomica, che accentua ulteriormente il desiderio di sintesi,ma che contemporaneamente espone i limiti della descrizione classica del moto.

D’altra parte, anche all’interno delle singole branche emergono limitazioni diprincipio.

In meccanica, lo studio del problema a tre corpi, d’importanza fondamentale inmeccanica celeste, fa riconoscere a Jules Henri Poincare (1854–1912) l’impossibilitadi determinare in generale altri integrali del moto, analitici e monodromi, oltreall’energia totale 18. Percio, anche sistemi apparentemente semplici risultano nonintegrabili. Le conseguenze sono di due tipi. Innanzi tutto esistono sistemi, e sono ipiu numerosi, per i quali non e possibile, mediante una trasformazione canonica, ri-condursi a variabili d’angolo e d’azione, in modo da far comparire nella hamiltonianasolo queste ultime: i moti piu interessanti in natura, a partire dal sistema a tre corpi,non sono dunque moti periodici. Questa difficolta, ben nota a chi voleva estendere ladescrizione meccanica ai fenomeni sia macroscopici che atomici, veniva pero per ilmomento accantonata in base a un accettato principio di semplicita nell’affrontare iproblemi nuovi, secondo il quale si parte dalle applicazioni piu elementari.

L’altra conseguenza del teorema di Poincare e piu grave e solo in tempi piu recentie stata apprezzata nei suoi risvolti. Oggi viene citata come catastrofe di Poincare.

16 A. Einstein: Uber einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Ge-sichtspunkt [Un punto di vista euristico riguardante la produzione e trasformazione della luce], Annalender Physik 17 (1905) 132–148.17 A.H. Compton: A quantum theory of scattering of � -rays by light elements [Teoria quantistica delladiffusione dei raggi � da parte di elementi leggeri], Physical Review 21 (1923) 483–502.18 J.H. Poincare: Les methodes nouvelles de la Mecanique Celeste, 3 voll., 1892–1899 (ristampa: DoverPubl., New York, 1957). Il fenomeno e trattato al cap. V del primo volume.

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Essa consiste nel fatto che due traiettorie nello spazio delle fasi, inizialmente vicinee governate dalla stessa hamiltoniana, su tempi lunghi possono divergere in modoincontrollato quando si aggiunga un termine perturbativo alla hamiltoniana: unapiccola modifica nella definizione delle condizioni iniziali si ripercuote allora in modoimpredicibile sulla soluzione delle equazioni del moto. Cio deriva dalla non linearitadi tali equazioni nelle variabili d’azione, che permette l’esistenza di punti singolari,responsabili di possibili instabilita delle soluzioni, e dalla non analiticita delle costantidel moto. Questo fatto rappresenta una grossa limitazione al determinismo della fisicaclassica e in generale all’uso del principio di causalita.

In termodinamica, le incipienti tecniche criogeniche consentono di studiare gliscambi di calore alle basse temperature, con il risultato sorprendente della dipendenzadei calori specifici dalla temperatura. L’approccio microscopico della meccanicastatistica incontra dunque difficolta di principio. L’ipotesi, formulata da HermannWalter Nernst (1864–1941) 19, che le variazioni di entropia tendano a zero pertrasformazioni che avvengono a temperature assolute sempre piu basse, indica cheanche l’entropia, oltre che il calore specifico, deve tendere a zero per �� 0.Allora diventa problematico l’uso del teorema di equipartizione dell’energia e ilconcetto di gas perfetto perde significato. Inoltre, per il gas perfetto, subentra ilparadosso evidenziato da Josiah Willard Gibbs (1839–1903) 20: esso consiste nelprevedere un’entropia di miscelamento diversa da zero anche se i due gas perfettiche vengono mescolati adiabaticamente sono identici. Tale paradosso trova soluzionesolo nell’ipotesi che le particelle dei due gas siano tra di loro indistinguibili; ma questaipotesi contrasta con l’idea classica che ogni particella possa essere seguita, in lineadi principio, lungo la sua traiettoria nello spazio delle fasi e percio sia distinguibiledalle altre particelle del gas.

Infine occorre sottolineare che nell’ambito della meccanica statistica di Boltz-mann e Gibbs non si riesce a comprendere l’approccio all’equilibrio di un sistematermodinamico. La termodinamica degli stati di non equilibrio e i problemi collegatialle transizioni di fase hanno trovato attenzione solo piu tardi, in epoca a noi piuvicina, e sono un settore della fisica tra i piu interessanti dell’indagine attuale.

In questo capitolo vengono illustrati brevemente alcuni aspetti importanti all’o-rigine della crisi, con riferimento soprattutto a quelli che hanno tuttora implicazioniper la ricerca fondamentale e a quelli che furono preludio alle idee di base dellosviluppo della meccanica quantistica.

La teoria della relativita, elaborata da Einstein nel 1905 nella sua forma speciale e

19 H.W. Nernst: Uber die Berechnung chemischer Gleichgewichte aus thermischen Messungen [Calcolodegli equilibri chimici mediante misure termiche], Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaftenzu Gottingen (1906) 1–40.20 Gibbs studio la termodinamica degli stati di equilibrio in una memoria di oltre 300 pagine, il cuiriassunto fu pubblicato nel 1878 (On the Equilibrium of Heterogeneous Substances [Equilibrio di sostanzeeterogenee], American Journal of Science 16 (1878) 441). Il lavoro e riportato nel primo volume cheraccoglie la sua opera intera.The Scientific Papers of J.Willard Gibbs, a cura di H.A. Bumstead e R.G. Van Name, New York, 1906, 2voll.

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successivamente sviluppata nel 1916 come teoria della relativita generale 21, ha avutoun effetto sconvolgente sulla visione della fisica classica, ma qui viene solo ricordatoquanto poi potra essere utilizzato nello sviluppo della meccanica quantistica chee essenzialmente una teoria non relativistica. Gli effetti relativistici possono essereincorporati nella descrizione quantistica, ma richiedono un’estensione del formalismoche qui non e prevista. Tuttavia l’importanza della teoria della relativita nel camminoverso una descrizione unitaria dei fenomeni fisici e tale da giustificare almeno ilpiccolo cenno qui presentato.

La fisica classica pero a cavallo della fine del XIX e l’inizio del XX secolo eraanche in crisi per l’incapacita di conciliare la teoria della radiazione, sintetizzata dalleequazioni di Maxwell, con la fenomenologia che si andava scoprendo nell’emergentefisica atomica. Gia la spettroscopia atomica aveva cominciato ad accumulare unamesse di dati non riproducibili mediante l’elettromagnetismo classico. Inoltre, se dalpunto di vista classico era chiara la distinzione tra le onde e le particelle, si comin-ciavano a scoprire comportamenti corpuscolari della radiazione che rimetteveno indiscussione l’antico problema della natura della luce. D’altra parte, gli elettroni negliatomi sembravano soggetti a disporsi con valori discreti di energia e di momentoangolare, che la meccanica classica non era in grado di spiegare.

Di questi fenomeni vengono qui illustrate alcune evidenze sperimentali e vienebrevemente esaminato un primo tentativo di spiegazione alla luce della vecchia teoriadei quanti, basata sulle regole di quantizzazione proposte nel 1913 dal danese NielsHendrik David Bohr (1885–1962) 22 e generalizzate nel 1916 dal tedesco ArnoldSommerfeld (1868–1951) 23.

21 A. Einstein: Zur Elektrodynamik bewegter Korper [Elettrodinamica dei corpi in movimento], Annalender Physik 17 (1905) 891–921; Grundlage der allgemeinen Relativitatstheorie [Fondamenti della teoriadella relativita generale], Annalen der Physik 49 (1916) 769–822.

22 Il giovane Bohr era a Cambridge da Thomson fino al marzo 1912, ma si trasferı a Manchester daRutherford su segnalazione di Thomson stesso, dove rimase fino alla fine di agosto per poi tornare insettembre a Copenhagen. Durante questi mesi maturo l’idea che lo porto alla formulazione del nuovomodello atomico.

N. Bohr: On the constitution of atoms and molecules [Struttura degli atomi e delle molecole], PhilosophicalMagazine 26 (1913) 1–25, 476–502, 857–875.

23 A. Sommerfeld: Zur Quantentheorie der Spektrallinien [Teoria quantistica delle righe spettrali],Annalen der Physik 51 (1916) 1–94, 125–167.

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�� !��#"��$� %$��&��'�Per garantire l’oggettivita della descrizione dei fenomeni naturali le leggi fisiche

non devono essere vincolate alla scelta dell’osservatore. Il problema si e postofin dalle origini della formulazione della meccanica e ha trovato parziale soluzionenel principio d’inerzia di Galileo, in base al quale viene privilegiata la classe degliosservatori inerziali.

Fig. 1.1. Due sistemi inerziali in moto relativo con velocita V.

Se ( e (*) rappresentano due sistemi di riferimento inerziali in moto relativo convelocita V, all’istante + la posizione del punto , puo descriversi equivalentementemediante il vettore r oppure il vettore r ) , spiccati rispettivamente da ( e da ( )(fig. 1.1). Le due descrizioni del moto di , sono tra loro collegate in virtu dellatrasformazione -

r ) = r . V +$/+ ) = +0/ (1 1 1)

che e chiamata trasformazione di Galileo. Ai due osservatori posti in ( e in ( )viene attribuito lo stesso orologio ( + = +2) ), in quanto il tempo, cosı come lo spaziogeometrico tridimensionale sede del moto dei corpi, e considerato in modo assoluto,indipendente dall’osservatore.

Il principio di relativita nella meccanica classica esige che le leggi della dinamicasiano invarianti per trasformazioni di Galileo. Infatti per la (1.1) le velocita v e v ) ,misurate da ( e da (3) , sono legate dalla relazione

v ) = v . V / (1 1 2)

e quindi le corrispondenti accelerazioni a e a ) sono uguali:

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�� a ) = a 1 (1 1 3)

Pertanto la legge fondamentale della dinamica, che per il secondo principio di Newtondetermina l’accelerazione del punto , provocata dalla forza, non cambia passandodalla descrizione rispetto a ( a quella rispetto a ( ) .

Si puo riconoscere che i fenomeni di tipo elettromagnetico, descritti dalleequazioni di Maxwell in un sistema di riferimento inerziale ( , non vengono piudescritti da equazioni invarianti in forma in un nuovo riferimento inerziale ( ) . Inparticolare, la velocita � della luce nel vuoto e indipendente dal sistema di riferimentoinerziale e per essa quindi non vale la legge di composizione delle velocita (1.2) chederiva dalla trasformazione di Galileo.

Infatti le equazioni di Maxwell non sono invarianti per trasformazioni di Galileo,bensı per trasformazioni di Lorentz. Le trasformazioni di Lorentz si possono dedurreimponendo che, nel passaggio dal sistema di riferimento ( a quello ( ) , resti invariantela forma quadratica delle coordinate e del tempo:� 2 = � 2 + � 2 + � 2 . ( �$+ )2 1 (1 1 4)

La condizione� 2 = 0 determina la superficie sferica i cui punti sono raggiunti

dopo un tempo + dai raggi luminosi emessi all’istante 0 da una sorgente postanell’origine ( ; essa deve rimanere inalterata nel sistema di riferimento ( ) per con-servare l’indipendenza della velocita della luce dal sistema di riferimento inerzialeadottato. Scegliendo allora ( ) in moto rispetto a ( con velocita V e con l’asse � )parallelo all’asse � (fig. 1.1), la condizione� ) 2 + � ) 2 + � ) 2 . ( �$+ ) )2 = � 2 + � 2 + � 2 . ( �$+ )2 / (1 1 5)

e soddisfatta se si utilizza la trasformazione seguente:�� ) = � ( � .�� + ) /� ) = � /� ) = � /+ ) = �� + .��

�� /(1 1 6)

dove

� =�

�/ � =

1�1 . � 2

1 (1 1 7)

La (1.6) e una particolare trasformazione di Lorentz e puo essere invertita:

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��

�� = � ( � ) + � + ) /� = � ) /� = � ) /+ = � � + ) + � � )

� � 1(1 1 8)

E immediato riconoscere che per � �1, cioe per velocita relative tra ( e (*)

piccole rispetto alla velocita della luce nel vuoto � , la trasformazione di Lorentz (1.6)si riduce alla trasformazione di Galileo (1.1). In generale pero le trasformazioni diLorentz implicano una connessione spazio-temporale che impone anche una modificadella coordinata temporale nel passaggio dal sistema ( al sistema ( ) . In tal modoperde di significato il concetto classico di simultaneita di un avvenimento rispetto adue osservatori inerziali.

Nel 1905 Einstein estese il principio di relativita a tutte le leggi della fisica:non solo per i fenomeni elettromagnetici, ma anche per le leggi della meccanica,Einstein intuı che la legge di trasformazione corretta, per passare dalla descrizionedel fenomeno fisico fatta dall’osservatore inerziale ( a quella fatta dall’osservatoreinerziale (3) , fosse la trasformazione di Lorentz. Allora i fenomeni elettromagneticisono correttamente descritti dalle equazioni di Maxwell che godono della richiestainvarianza, mentre occorre riformulare la meccanica classica, basata sull’esistenza diun tempo assoluto, indipendente dal particolare osservatore ( + = + ) ).

Esercizio 1.1

Verificare che le equazioni di Maxwell (I.3.16) sono invarianti per trasformazionidi Lorentz.

�� Una sbarra parallela agli assi � e �� di due sistemi inerziali e in quiete rispetto a� � che si muove rispetto a

�con velocita V. Come conseguenza della trasformazione di

Lorentz, la lunghezza � = � 2 � � 1 della sbarra vista da�

risulta diversa dalla lunghezza�� = ��2 � ��1 misurata da

� � . Infatti, dalla prima delle (1.6) si ottiene

� �1 = � ( � 1 �� ) �� 2 = � ( � 2 �� ) �

da cui

� = � � � 1 �! 2 " (1 " 9)

E questo il cosiddetto fenomeno della contrazione delle lunghezze degli oggetti in moto.

�� $#

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�� Si definisce evento un avvenimento che si verifica a un certo istante in un

determinato punto dello spazio ordinario tridimensionale. L’intervallo di tempo e quindiil tempo che per un certo osservatore intercorre tra due eventi. Si considerino allora dueeventi che si verificano nello stesso punto �� rispetto all’osservatore

� � agli istanti � �1 e � �2.Il tempo � � = � �2 � � �1 rappresenta il tempo proprio del fenomeno osservato da

� � . A causadelle trasformazioni di Lorentz, l’intervallo di tempo � � misurato da

� � , in moto relativorispetto a

�con velocita V diretta come � e �� , e diverso dall’intervallo � = � 2 � � 1 che

appare a�

. Infatti per la quarta delle (1.8) risulta:

� 1 = � � � �1 + �� 2 = � � � �2 + ��

� � �da cui

� =� ��

1 � 2

" (1 " 10)

L’intervallo di tempo proprio del fenomeno che avviene solidalmente con l’osservatore� � appare dunque piu lungo all’osservatore�

, per il quale l’evento iniziale e l’eventofinale si sono verificati in punti spazialmente distinti. E questo il cosiddetto fenomenodella dilatazione dei tempi.

La contrazione delle lunghezze e la dilatazione dei tempi, presentate negli Esem-pi 1.1 e 1.2, sono una diretta conseguenza cinematica dell’invarianza della velocitadella luce che e contenuta nelle trasformazioni di Lorentz. Si puo verificare questainvarianza riconoscendo la nuova legge di composizione delle velocita imposta dalletrasformazioni di Lorentz (1.6):��

� � )� + ) �� )� =� � . �

1 . � � � � �/� � )� + ) �� )� =

� ��

1 . � 2

1 . � � � � �/� � )� + ) �� )� =

� ��

1 . � 2

1 . � � � � �1

(1 1 11)

Si vede allora che la velocita di propagazione di un segnale luminoso, spedito da (nella direzione � ( � � = � , � � = � � = 0), nel sistema (*) risulta:

� )� =�.��1 . � = � / � )� = � )� = 0 1 (1 1 12)

Dato che le trasformazioni di Lorentz coinvolgono contemporaneamente sia lecoordinate spaziali che la coordinata temporale, la rappresentazione geometrica di unevento appare piu opportuna come un punto in uno spazio a quattro dimensioni, dettospazio-tempo. Ogni evento viene allora descritto nel sistema ( da un tetravettore�� ( = 1 / 2 / 3 / 4) con tre componenti fornite dalle componenti del vettore spaziale

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��

ordinario r e con la quarta componente costituita dalla coordinata temporale molti-plicata per � � : � � = (r /�� $+ ). L’unita immaginaria nella componente temporale enecessaria per definire la norma di questo tetravettore, � � � � �� = � 2 . ( �$+ )2, inaccordo con la (1.5): questo significa pero che la metrica dello spazio-tempo non eeuclidea 24.

Cambiando sistema di riferimento, le nuove componenti � )� si ottengono dallevecchie mediante una trasformazione di Lorentz,� )� = �� / (1 1 13)

dove in generale la matrice dei coefficienti � � � deve essere una matrice ortogonaleper conservare la norma del vettore:

��

� � � � �� = ��

� � � � � = � 1 (1 1 14)

Nel caso della trasformazione (1.6) si ha:

� � � =

�� 0 0 � � �0 1 0 0

0 0 1 0.�� 0 0 �� 1 (1 1 15)

Questo e un caso particolare con

det � � � = 1 / (1 1 16)

che rientra in quelle che vengono dette trasformazioni di Lorentz proprie 25.L’elemento di volume dello spazio-tempo,

� � 4 � � � � � � � �� +0/ (1 1 17)

e invariante, perche lo jacobiano delle trasformazioni di Lorentz proprie vale uno.Ricorrendo alla formulazione geometrica nello spazio-tempo le equazioni del-

l’elettrodinamica acquistano una forma particolarmente elegante, che permette diriconoscere a vista la loro invarianza per trasformazioni di Lorentz. Questa for-mulazione si fonda sul principio di invarianza della carica elettrica e sul seguenteteorema: se un tetravettore � � ha divergenza nulla, � �� = 0 26, e se le compo-nenti di � � sono diverse da zero solo in una regione spaziale finita, allora l’integrale� � � � � � � � �� 4 e invariante.

24 La metrica definisce la distanza elementare �� tra due punti dello spazio-tempo; con le convenzioniadottate essa risulta pari a �� 2 = �� 2 + �� 2 + �� 2 � ( "! )2 (cfr. eq. (1.4)). Spesso in letteratura vienepreferita la metrica opposta, con l’unica conseguenza di cambiare segno alla norma dei tetravettori.25 Per le trasformazioni di Lorentz improprie e det #%$%& = � 1.26 Con notazione usuale si e indicato con '($ la derivata parziale rispetto a �)$ .

72

��

Fig. 1.2.

La dimostrazione di questo teorema fa uso del lemma di Gauss-Green in quattrodimensioni, �

� � 4 � ��

� �� =

� �� /

dove l’integrale a primo membro e esteso a una regione finita dello spazio-tempoe�� e l’elemento di superficie (tridimensionale) normale a � � . Con riferimento

alla fig. 1.2, il volume di integrazione e racchiuso tra le superfici � e � sulle qualile componenti spaziali di � � sono nulle per ipotesi; inoltre la superficie � e statascelta perpendicolare a � 4 = � �$+ e la superficie � perpendicolare a � )4 = � �$+ ) . Dallacondizione � � � � � � = 0 e dal lemma segue allora:

0 =

� �� =

� ��4 � 4 .

� �� )4 � )4 1Ma

��4 =

� � � � � � e da cio segue l’asserto.Il principio di invarianza della carica elettrica afferma che, indicata con � la

densita di carica, la quantita � � � � � � � e una quantita invariante. Allora, per ilteorema appena dimostrato, � � � � � � � e anche un invariante per trasformazioni diLorentz; cio significa che � si deve trasformare come la quarta componente di untetravettore � � . Si puo allora definire il tetravettore corrente

� � = ( j /�� ) / (1 1 18)

che soddisfa l’equazione di continuita,

��

� �� = 0 / (1 1 19)

e interviene come sorgente nelle equazioni di definizione dei potenziali elettromag-netici (I.3.35) e (I.3.36). Queste equazioni possono essere scritte in forma covariante,

73

��

tale cioe da mettere immediatamente in evidenza la loro natura invariante per trasfor-mazioni di Lorentz. Nel vuoto, posto � � = (A /�� ), si ottiene:

�– � � = . 4 �

�� 1 (1 1 20)

Corrispondentemente, nel vuoto, la condizione di Lorentz (I.3.29) diventa

��

� � � � = 0 / (1 1 21)

imponendo l’azzeramento della tetradivergenza del potenziale elettromagnetico. La(1.21) rappresenta la generalizzazione relativistica della condizione (I.3.26) per ilgauge di Coulomb.

Anche le equazioni di Maxwell si possono compendiare in equazioni covariantinel modo seguente:

� � � �� =4 �

�� / (1 1 22)

� � � � + � � � � + � �� = 0 / (1 1 23)

dove��

e il tensore intensita del campo elettromagnetico:��

= � � � � . � � � �=

�� 0 � � . � � . �� . � � 0 � � .�� . � � 0 .�� 0

� �� 1 (1 1 24)

La (1.22) raggruppa la prima e la quarta delle equazioni di Maxwell (I.3.16),corrispondenti al teorema di Gauss per il campo elettrico e alla legge di Ampere–Maxwell, mentre la (1.23) contiene le altre due equazioni di Maxwell riguardantila solenoidalita di B e la legge di Faraday–Neumann. Inoltre, per costruzione,��

risulta un tensore antisimmetrico nei suoi indici. Esso resta invariante per latrasformazione di gauge (I.3.25), che in forma covariante si riscrive:

� )� = � � + � �� 1 (1 1 25)

Volendo utilizzare lo spazio-tempo anche per le leggi della meccanica, occorreriformularne i concetti fondamentali. Per quanto riguarda la forza, Einstein si attennealla stessa definizione di Newton, quale variazione temporale della quantita di moto:

F =�p� + 1 (1 1 26)

Pero, per definire la quantita di moto occorre tenere presente la distinzione tra tempoproprio di una particella e tempo dell’osservatore rispetto al quale questa particella si

74

�� muove. Per l’osservatore fermo la velocita della particella e rapportata all’intervallodi tempo misurato dall’osservatore, mentre per la particella interviene il tempo pro-prio che per la (1.10) risulta dilatato di un fattore

�1 . � 2. Di conseguenza la

velocita v della particella rispetto al sistema fermo viene scalata dello stesso fattore.Indicando allora con � 0 la cosiddetta massa a riposo della particella, cioe la massadella particella nel sistema di riferimento in cui essa e in quiete, l’osservatore puocontinuare a definire la quantita di moto come prodotto di una massa � per la velocitav,

p = � v / (1 1 27)

pur di definire opportunamente la massa:

� =� 0�1 . � 2

1 (1 1 28)

Per piccole velocita, � si riduce alla massa a riposo � 0, che coincide con quelladella meccanica non relativistica.

Il lavoro eseguito dalla forza sulla particella ne aumenta l’energia cinetica. Ilcalcolo relativistico indica che l’energia totale di una particella di massa a riposo � 0

e somma di un termine costante � 0 � 2, che corrisponde all’energia a riposo, e di untermine che rappresenta l’energia cinetica:

� = � � 2

= � 0 � 2 + ( � . 1) � 0 � 2 1 (1 1 29)

Per piccole velocita si puo sviluppare il coefficiente � ,� =1�

1 . � 2

� 1 + 12 � 2

e quindi ottenere

� �� 0 � 2 + 1

2 � 0 � 2 / (1 1 30)

in accordo con l’espressione non relativistica dell’energia cinetica.

Esercizio 1.2

Verificare che l’energia di una particella libera puo essere espressa in funzione delsuo impulso e della sua massa a riposo nel modo seguente:

� = ��! 2 + � 2

0 � 2 " (1 " 31)

Utilizzando il risultato dell’Esercizio 1.2 si verifica che la quantita

75

��

� 2 . � 2

� 2= . � 2

0 � 2 (1 1 32)

e un invariante per tutti i sistemi di riferimento inerziali. Questo suggerisce l’ideache, similmente alle coordinate spazio-temporali, si possa introdurre un tetravettoreenergia-impulso, � � � (p /�� ), le cui componenti spaziali sono date dalla quantitadi moto p e la cui componente temporale e data da �� . E immediato riconoscereche tali componenti si trasformano in modo analogo alle (1.6):��

� )�� = �� . � �� /

� )� � = � � /� ) �� = � � /� ) = � ( � .�� ) 1

(1 1 33)

Pertanto in dinamica relativistica non si puo piu considerare separatamente laconservazione dell’energia e quella della quantita di moto: i due teoremi di con-servazione si fondono nell’unico teorema di conservazione del tetravettore energia-impulso.

��#�� 2�Secondo la definizione di Kirchhoff, un corpo che assorbe tutte le radiazioni che

vi incidono e un corpo nero. In pratica si puo realizzare un corpo nero considerandouna cavita le cui pareti sono a una certa temperatura � . Gli atomi delle pareti nelloro moto emettono radiazione elettromagnetica che rimane contenuta all’internodella cavita e puo essere a sua volta assorbita dagli atomi delle pareti. In con-dizioni di equilibrio termodinamico, la densita di energia del campo elettromagneticoall’interno della cavita e costante, in quanto nell’unita di tempo l’energia assorbitadalle pareti e uguale all’energia emessa dalle pareti stesse. Se si pratica un piccoloforo nella parete della cavita, e possibile analizzare la radiazione emessa senza alter-are significativamente l’equilibrio all’interno. A temperature elevate il foro apparebrillante, mentre a basse temperature appare completamente nero: di qui il nome diradiazione di corpo nero.

L’esame sperimentale della densita di energia emessa, ( � ), in funzione dellafrequenza � della radiazione a una certa temperatura � della cavita (fig. 2.1), mostraun picco che si sposta verso le alte frequenze con l’aumento della temperatura 27.

27 Studi sistematici furono fatti a Berlino da Otto Richard Lummer (1860–1925) e Ernst Pringsheim(1859–1917): Die Strahlung eines “schwarzen Korpers” zwischen 1000C und 13000C [La radiazionedi un “corpo nero” tra 1000C e 13000C], Annalen der Physik 63 (1897) 395–410; Die Verteilung derEnergie im Spektrum des schwarzen Korpers [La distribuzione dell’energia nello spettro del corpo nero], Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft 1 (1899) 23–41.

76

��

Fig. 2.1. Lo spettro della radiazione di corpo nero.

Questo spostamento segue la legge:

�� = costante / (2 1 1)

detta legge dello spostamento di Wien 28, dove��

e la lunghezza d’onda corrispon-dente al massimo di ( � ) ad una data temperatura � .

La potenza totale irraggiata risulta proporzionale alla quarta potenza della tem-peratura 29, secondo quanto gia enunciato nel 1879 da Stefan 30. In termini di densitadi energia la legge di Stefan si scrive

=

��

0

� � ( � ) = � � 4 / (2 1 2)

28 Wilhelm Carl Werner Otto Fritz Franz Wien (1864–1928): Temperatur und Entropie der Strahlung[Temperatura ed entropia della radiazione], Annalen der Physik und der Chemie 52 (1894) 132–165.La legge di Wien e in ottimo accordo con i dati sperimentali raccolti da Lummer e Pringsheim (loc. cit.),per i quali la costante valeva 2 � 94 10 � 3 m K. Il valore della costante e oggi noto con grande precisione:

�� = 2 � 897 769 4(49) 10 � 3 m K �

29 Louis Carl Heinrich Friedrich Paschen (1865–1947): Uber Gesetzmassigkeiten in dem Spektrum festerKorper [Regolarita nello spettro dei corpi solidi], Annalen der Physik und der Chemie 60 (1897) 662–723.

30 Josef Stefan (1835–1893): Uber die Beziehung zwischen der Warmestrahlung und der Temperatur[Relazione tra radiazione termica e temperatura], Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wis-senschaften (Wien) 79 (1879) 391–428.

77

��

dove sperimentalmente si trova

� = 7 1 565 91(26) � 10 � 16 Jm � 3K � 4 1 (2 1 3)

La giustificazione di queste leggi richiede una teoria in grado di fornire ladistribuzione in frequenze della densita di energia ( � ) in funzione della temperatura.Per la determinazione di ( � ) si puo assimilare la radiazione elettromagnetica nelvuoto a un insieme di infiniti oscillatori armonici, ciascuna frequenza dei qualicorrisponde a una frequenza della radiazione. L’energia associata, calcolata colteorema di equipartizione dell’energia, risulterebbe pero infinita.

Va rilevato che il numero di gradi di liberta e funzione della frequenza 31. In unacorda di lunghezza

�, fissa agli estremi, si instaurano onde stazionarie di lunghezza

d’onda�

, data dalla relazione

��

2=

�( � = 1 / 2 /�1�1�1 ) 1 (2 1 4)

Siccome e

� � = � / (2 1 5)

la frequenza delle onde stazionarie risulta

� = � �

2� ( � = 1 / 2 /�1�1�1 ) 1 (2 1 6)

Pertanto il numero � ( � )� � di oscillatori con frequenza compresa tra � e � +

� � e

� ( � )� � =

2�

�

� � / (2 1 7)

in quanto ��2

�rappresenta la spaziatura tra le frequenze possibili.

Si puo applicare lo stesso ragionamento alla determinazione di � ( � ) per le ondestazionarie in un volume cubico � di spigolo

�, per cui le frequenze possibili sono:

� =� �

2 + � 2 + � 2�

2� / (2 1 8)

con� / � / � interi positivi. I numeri

� / � / � si possono considerare le coordinatecartesiane in uno spazio tridimensionale del punto che rappresenta la frequenza �della (2.8), contornato da un volumetto � = ( �

�2

�)3 nel quale non figurano altri

punti rappresentativi.Il numero di oscillatori con frequenza compresa tra � e � +

� � e ora dato dalrapporto tra il volume elementare 4 � � 2 � � e il volumetto � , riferito al primo ottante(in quanto

� / � / � sono positivi):

31 Per la deduzione della legge di distribuzione per � ( ) viene qui utilizzato l’argomento proposto daPetrus Josephus Wilhelmus Debije [Peter Debye] (1884–1966): Der Wahrscheinlichkeitsbegriff in derTheorie der Strahlung [Il concetto di probabilita nella teoria della radiazione], Annalen der Physik 33(1910) 1427–1434.

78

�� ( � )

� � =18

1� 4 � � 2 � �

=4 �

� 3� � 2 � � 1 (2 1 9)

Cio conferma la dipendenza di � ( � ) da � . Tenendo inoltre presente che nel caso delcorpo nero ci sono due stati di polarizzazione (trasversa) della radiazione, per ottenereil numero di gradi di liberta occorre ancora moltiplicare per due. Si ha dunque:

� ( � )� � =

8 �� 3

� � 2 � � 1 (2 1 10)

Applicando ora il teorema di equipartizione dell’energia al volume � , si ottienela densita di energia nell’intervallo di frequenze comprese tra � e � +

� � :

( � )� � = � � 1� � ( � )

� �=

8 �� 3� � � 2 � � / (2 1 11)

che e nota come formula di Rayleigh-Jeans 32.L’andamento parabolico in � della (2.11) bene si accorda col dato sperimentale

alle basse frequenze, ma l’integrale di ( � ) su tutte le frequenze diverge e fornirebbedi nuovo una assurda densita di energia infinita.

D’altra parte, sia la legge dello spostamento di Wien, sia la legge di Stefanpossono essere giustificate con semplici considerazioni termodinamiche applicatealla radiazione, senza ricorrere esplicitamente alla conoscenza di ( � ).

Per dimostrare la legge di Stefan basta ricorrere al primo e al secondo princi-pio della termodinamica, applicati a trasformazioni reversibili subite da un sistemadescritto dalle variabili indipendenti di pressione � e di volume � . Utilizzando larelazione (I.2.17), nella forma (I.2.30), e ricordando che e � = � , si ottiene

= � � � �� . � 1 (2 1 12)

La pressione di radiazione � all’interno di una cavita in equilibrio e data dalla (I.3.22).Percio

= 13 � � � � � �� . 1

3 1 (2 1 13)

32 Essa fu sostanzialmente proposta nel giugno 1900 da Lord Rayleigh. Ma la sua importanza fu riconosciu-ta da James Hogwood Jeans (1877–1946) che la divulgo corredandola del giusto fattore moltiplicativo8 � .J.W. Strutt (Baron Rayleigh): Remarks upon the law of complete radiation [Osservazioni sulla legge diradiazione di corpo nero], Philosophical Magazine 49 (1900) 539–540.J.H. Jeans: On the partition of energy between matter and ether [Sulla ripartizione di energia tra materiae etere], Philosophical Magazine 10 (1905) 91–98.

79

��

La (2.13) si integra facilmente confermando la legge di Stefan:

= � � 4 1 (2 1 14)

La costante di integrazione � resta indeterminata in questo contesto teorico, in quantonon deducibile per via termodinamica. Solo con un’analisi di come si distribuiscesulle varie frequenze, cioe con la conoscenza esplicita della funzione ( � ), si puoricavare � e verificare la sua identita con la costante � della (2.3).

La legge di Wien puo essere dedotta 33 con un ragionamento che si basa sulrisultato

��

= costante / (2 1 15)

valido per processi adiabatici 34. Esso deriva dalla (I.2.28) applicata alla radiazione,la cui pressione e data dalla (I.3.22):� � �� = � � ��

=13

� ��1 (2 1 16)

Infatti, utilizzando la (2.14) si puo integrare la (2.16),

�= 4

3 � � 3 ��/ (2 1 17)

e ottenere quindi per processi adiabatici (�

= costante)

� 3 � = costante 1 (2 1 18)

Ma per la (2.8) e pure

� 3 � = costante (2 1 19)

e quindi segue la (2.15).Per la (2.5), la (2.15) implica la legge dello spostamento (2.1).In accordo con quanto proposto da Wien, per determinare la funzione ( � )

occorre riprendere il concetto di invariante adiabatico di un oscillatore (EsempioI.1.1), per il quale e

33 W. Wien: Uber die Energieverteilung im Emissionspektrum eines schwarzen Korpers [Sulla distri-buzione di energia nello spettro di emissione di un corpo nero], Annalen der Physik und der Chemie 58(1896) 662–669.34 Paul Ehrenfest (1880–1933) per primo riconobbe l’importanza del principio adiabatico per spiegare inuovi fenomeni che si presentavano come inconciliabili con la fisica classica, proponendo la deduzionedella legge di Wien come conseguenza della relazione tra i due invarianti adiabatici �� e �� .P. Ehrenfest: A mechanical theorem of Boltzmann and its relation to theory of energy quanta [Un teoremadi meccanica di Boltzmann e la sua relazione con la teoria dei quanti], Verslag van de Koniklijke Akademievan Wetenschappen te Amsterdam 16 (1914) 591–597.

80

�� = costante 1 (2 1 20)

Infatti la (2.20) e la (2.15) implicano la relazione

�� = � � �

�� / (2 1 21)

dove � ( � ) e un’arbitraria funzione dell’argomento � . Questa relazione si sostituisceal risultato del teorema di equipartizione dell’energia per definire l’energia � daattribuire ad ogni grado di liberta. Percio la densita di energia nell’intervallo difrequenze comprese tra � e � +

� � diventa:

( � )� � =

1� �� ( � )

� �=

8 �� 3� � �� 3 � � 1 (2 1 22)

La (2.21) contiene come risultato particolare anche il teorema di equipartizionedell’energia. E infatti immediato ritrovare la (2.11) se si sceglie:

� = �� = � � 1 (2 1 23)

Invece Wien propose:

� = �� = �� 1 (2 1 24)

Con un’opportuna scelta della costante � , la formula di Wien (2.24), introdotta nella(2.22), riproduce i dati sperimentali per � � �� 1011s � 1K � 1, ma fallisce a bassefrequenze dove invece ha successo la formula di Rayleigh-Jeans (2.11) 35.

E merito di Planck avere intuito la corretta formula della funzione � ( � � � )ponendo

� = �� = � �� . 1

/ (2 1 25)

che per � � � � � �1 si riduce alla (2.23) e per � � � � �� 1 diventa la (2.24) se si

pone � = � � � . Una volta inserita la (2.25) nella (2.22), si ottiene cosı la formula diPlanck,

( � )� � =

8 � �� 3

1�� . 1� 3 � � / (2 1 26)

35 Heinrich Leopold Rubens (1865–1922) e Ferdinand Kurlbaum (1857–1927): Anwendung der Methodeder Reststrahlen zur Prufung des Strahlungsgesetzes [Applicazione del metodo dei raggi a riposo alladimostrazione della legge di radiazione], Annalen der Physik 4 (1901) 649–666.

81

��

che fornisce la densita di energia della radiazione di corpo nero in funzione dellafrequenza e della temperatura. La costante

� = 6 1 626 075 5(40) � 10 � 34J s (2 1 27)

ha le dimensioni di un’azione ed e nota come costante di Planck. Essa e stata fissatain modo da riprodurre i dati sperimentali 36.

Nota la distribuzione dell’energia, e ora possibile calcolare la costante � dellalegge di Stefan (2.3):

=

��

0

� � ( � )

=8 � � 4

� 3 � 3 �4

��

0

� � � 3 � . 1/ (2 1 28)

da cui

� =8 � � 4

� 3 � 3

��

0

� � � 3 � . 1

=8 � 5 � 4

15 � 3 � 31 (2 1 29)

Esercizio 2.1

Inserendo i valori corretti delle costanti nella (2.29) ritrovare il risultato (2.3).

�� # � �La funzione (2.25) proposta da Planck puo essere dedotta dal teorema di

equipartizione dell’energia, imponendo alla hamiltoniana dell’oscillatore armonico mi-croscopico,

� ( � � ! ) =! 2

2 � + 12 �� 2 � 2 � (2 " 30)

che interviene nel calcolo di � la possibilita di assumere solo valori discreti 37:

� ( � � ! ) = �� (2 " 31)

dove � e una quantita prefissata di energia e � = 0 � 1 � 2 � "�"�" . In tal modo le variabilicanoniche � e ! non sono piu indipendenti e nel calcolo dell’energia come valore mediodi � ( � � ! ) secondo la (I.2.54),

36 Sulla base dei risultati di Rubens e Kurlbaum, Planck presento la sua formula e fisso il valore dellacostante � in 6 � 55 10 � 27erg s.37 Questo esempio e fondato su un argomento utilizzato da Einstein nel lavoro in cui propone una analogainterpretazione per l’energia di un solido cristallino per calcolarne il calore specifico (Esempio 2.3).

82

�� =

��

! (! 2 � 2 � + � � 2 � 2 � 2) � �� ( � 2 � 2 � +��

2 2 � 2)��

!�� ( � 2 � 2 � +��

2 2 � 2)

�� 1� 2�

(2 " 32)

gli integrali su � e ! vanno ora limitati alle ellissi definite dalla (2.31) (fig. 2.2).

Fig. 2.2. Le traiettorie nello spazio delle fasi per gli oscillatori di Planck.

Il calcolo si semplifica eseguendo un cambiamento di variabili che trasformi l’ellissein una circonferenza (cfr. Esercizio I.1.17):

� =

�2 �� cos � � ! = �� 2 � �� sin � " (2 " 33)

Le nuove variabili sono ora � (che ha le dimensioni di un’azione) e � (che fornisce l’arcodi circonferenza descritto dal punto che rappresenta il moto dell’oscillatore; cfr. fig. 2.3).La hamiltoniana (2.30) diventa ora indipendente da � ,

� = �� (2 " 34)

e il punto che rappresenta il moto dell’oscillatore si muove lungo la circonferenza dellafig. 2.3b) con moto circolare uniforme: � = � � + � 0.

Con la trasformazione (2.33) si ottiene, per esempio,

� 2 =

��

��!�� ( � 2 � 2 � +

�� 2 � 2)

= �

��

= � 2 �� "

Pero la (2.31) impone nella (2.34)

83

��

Fig. 2.3. Rappresentazione del moto di un oscillatore armonico lineare.

� = ��

2 � ( � = 0 � 1 � 2 � " " " ) (2 " 35)

e converte l’integrale in una serie,

� 2 = � 2 �� =0

� �� che e una serie geometrica. La somma della serie fornisce il risultato seguente:

� 2 = � 2 � � � �� 1"

Similmente si ottiene

� 1 = � 2 ��

cioe

� 1 = � 2 � �� =0

��

= 2 � �� =0

� ��

= � 2 � �� 1 � 2"

In conclusione, la (2.32) diventa

� =�� 1

� (2 " 36)

che si identifica con la formula di Planck (2.25) se si pone

84

�� = �� " (2 " 37)

Invece la teoria classica, in cui l’energia dell’oscillatore armonico varia in modo con-tinuo, da origine alla formula di Rayleigh-Jeans. Tale formula si ritrova qui come casolimite, quando l’energia �� sia molto piccola rispetto alle energie caratteristiche in gioco,tipicamente dell’ordine di

� � : allora non si riesce ad apprezzare la discretizzazione deivalori d’energia assunti dalla (2.31) e le ellissi nella fig. 2.2 risultano molto addensate,sı da ricoprire il piano (! � � ) in modo praticamente continuo. Cosı si recupera il limiteclassico, che in queste condizioni corrisponde a far tendere � a zero 38.

Il risultato (2.37) dell’Esempio 2.1 permette di riscrivere la distribuzione dienergia (2.26) per lo spettro di corpo nero in una forma di immediata interpretazione.Si ottiene infatti � ( � )

� � = � ( � ) � � � ( � )�( � ) / (2 1 38)

dove

� ( � ) =1�� . 1

(2 1 39)

e il numero di quanti di energia � � che alla temperatura � vanno attribuiti ad ognunodegli � ( � )

� � gradi di liberta, che concorrono alla formazione dello spettro relativoalle frequenze comprese tra � e � +

� � .

�� # �$#Le fluttuazioni dell’energia associata alle frequenze della radiazione di corpo

nero, comprese tra � e � +�� , possono essere calcolate mediante la (I.2.78). A seconda

dell’espressione che si sceglie per l’energia � da attribuire ai vari gradi di liberta siottengono risultati diversi per le corrispondenti fluttuazioni.

Adottando l’espressione di Planck (2.25), che per la (2.39) diventa

� = � ( � ) �� (2 " 40)

si ottiene:

� � 2 = ��

= ( �� )2 � 2( � ) � � & �� cioe � � 2 = ( �� )2 � ( � ) [1 + � ( � )] " (2 " 41)

Le fluttuazioni sono dunque dovute a due contributi, uno lineare in � ( � ) e uno quadratico.Nel limite di alte temperature ( �� ), per cui � ( � ) �

� � � �� 1, domina iltermine quadratico e si ottiene:

38 M. Planck: Vorlesungen uber die Theorie der Warmestrahlung [Lezioni sulla teoria della radiazionetermica], J.A. Barth, Lipsia, 1906.

85

��

� � 2 = (� � )2 " (2 " 42)

Alle basse temperature ( �� ), per cui � ( � ) � exp( � � � � � � ) 1, prevale iltermine lineare e si trova:

� � 2 = ( �� )2 � �� & �� " (2 " 43)

A questi stessi due risultati si giunge anche utilizzando nella (I.2.78), al posto della (2.25),le espressioni (2.23) e (2.24) corrispondenti alle formule di Rayleigh-Jeans e di Wien,rispettivamente.

La (2.42) e in accordo col teorema di equipartizione dell’energia applicato aun’assemblea di oscillatori, cui e stato assimilato il comportamento ondulatorio dellaradiazione. Infatti, siccome l’energia di un’onda e proporzionale al quadrato della suaampiezza, una fluttuazione che raddoppi l’ampiezza moltiplica per quattro l’energia as-sociata: percio

� � 2 deve essere proporzionale a � 2, che in questo caso e appunto pari a(� � )2.

La (2.43) invece corrisponde alla fluttuazione di densita per un insieme di particelleindipendenti. Infatti, la descrizione statistica di � particelle, che si muovono indipenden-temente una dall’altra nel volume � all’interno di un piu grande volume, e regolata dalladistribuzione di Poisson, che fornisce la probabilita ! ( � ) di trovare � particelle entro � :

! ( � ) = � � �� ( � � )�

� !� (2 " 44)

dove � e il numero di particelle per unita di volume. Allora il valore medio � �� delnumero � di particelle che si trovano nel volume � preso in esame e:

� �� = � � �� ( � � )�

� != � � � (2 " 45)

e il numero quadratico medio � � 2 � e ( � 2 = � ( � � 1) + � ):

� � 2 � = � � �� 2 ( � � )�

� != � �� 2 + � �� " (2 " 46)

Di conseguenza, la fluttuazione fornita dallo scarto quadratico medio e:

�� 2 = � � 2 � � � �� 2 = � �� " (2 " 47)

Pertanto la (2.43), che indica una fluttuazione percentuale di energia� � 2 � ( �� )2 =

�� 2

proporzionale al numero � ( � ) di fotoni, e analoga alla (2.47) e sottolinea un comporta-mento corpuscolare della radiazione di corpo nero alle basse temperature.

Le fluttuazioni di energia secondo la formula di Planck sono dunque il risultato dellasomma di due contributi, uno di tipo corpuscolare alla Wien e uno di tipo ondulatorio allaRayleigh-Jeans. Il primo domina a bassa temperatura, l’altro alle alte temperature 39.

39 Questo importante risultato, che prelude alla duplice natura corpuscolare e ondulatoria della radiazione(e della materia), e stato ottenuto da A. Einstein: Uber die Entwicklung unserer Anschauungen uber dasWesen und die Konstitution der Strahlung [Sviluppo dei nostri punti di vista sulla natura e la costituzionedella radiazione], Physikalische Zeitschrift 10 (1909) 817–826.

86

�� # ��

La regola di Dulong e Petit per i calori specifici dei solidi cristallini monoatomici,che viene giustificata alla luce del teorema di equipartizione dell’energia (Esempio I.2.2),viene disattesa in molti casi: le misure fatte a temperature ambientali gia nel XIX secoloindicavano violazioni della regola da parte di elementi come il berillio, il boro, il carbonio(diamante) e il silicio. Ma il dato piu preoccupante per la teoria e che il calore specificodipende dalla temperatura � : in particolare, esso tende a zero in prossimita dello zeroassoluto con un comportamento proporzionale a � 3 (fig. 2.4).

Fig. 2.4. I calori specifici dipendono dalla temperatura.

Un importante suggerimento per l’interpretazione microscopica dei calori specificifu portato nel 1907 da Einstein 40 assimilando la dinamica interna di un solido cristallinoa un insieme di oscillatori armonici: l’ipotesi e fondata sul fatto che in prima approssi-mazione gli atomi del solido eseguono un moto di oscillazione intorno alle loro posizioni diequilibrio. Percio, come per la radiazione di corpo nero, l’energia totale risulta la sommadei contributi corrispondenti alle varie frequenze associate all’insieme di oscillatori.

Nel modello di Einstein tutti gli atomi vibrano con la stessa frequenza. In realta,secondo quanto rilevato nel 1912 da Debye 41, nei solidi vi sono sia onde di tipo longitu-dinale che si propagano con velocita �� , sia onde trasversali che si propagano con velocita�� e con due possibili stati di polarizzazione. Allora per trovare il numero di oscillatoricon frequenza compresa tra � e � +

�� , si possono ripetere i ragionamenti che hanno

portato alla (2.9), tenendo presente che questa pero e valida per un solo tipo di onde. Siottiene cosı

�( � )�� = 4 � � � 1

� 3�

+2� 3� � � 2

�� " (2 " 48)

40 A. Einstein: Die Planksche Theorie der Strahlung, und die Theorie der spezifischen Warme [La teoriadella radiazione di Planck e la teoria dei calori specifici], Annalen der Physik 22 (1907) 180–190.41 P. Debye: Zur Theorie der spezifischen Warme [Teoria dei calori specifici], Annalen der Physik 39(1912) 789–839.

87

��

Inoltre in un solido con � particelle ci sono 3 � gradi liberta: quindi il numero totale dioscillatori non e infinito come per la radiazione, ma e limitato a 3 � . Cio impone che cisia una frequenza massima �� , detta frequenza di Debye, definita dalla condizione che ilnumero totale di gradi di liberta sia 3 � :� &��

0

��

( � ) = 3 � " (2 " 49)

Inserendo la (2.48), si trova

� 3� =9 �

4 � � � 1� 3�

+2� 3� � � 1 " (2 " 50)

Se si applicano le stesse considerazioni fatte da Planck per la densita di energia dellaradiazione di corpo nero e si utilizza la (2.25), occorre adesso limitare l’integrale della(2.28) al valore massimo �� della frequenza. L’energia di una mole di solido cristallinomonoatomico risulta allora:

�� =

� &��0

��

( � )��

= 3 �� ( � � ) �(2 " 51)

dove = � � e la funzione

( �� ) =3� 3�

� �0

� � � 3

� � 1(2 " 52)

e la funzione di Debye con

� � =� �� " (2 " 53)

In generale si preferisce definire la temperatura di Debye,

�=

�� (2 " 54)

che e una caratteristica del solido, e utilizzare il parametro adimensionale� � � . Cosı la

funzione (� � � ) diventa indipendente dalla particolare sostanza.

Nota l’energia, si ottiene il calore molare,

� � = �� = 3 �

4 � �� 3� � �� 1 � � (2 " 55)

che ha un andamento generale in funzione di� � � uguale per tutte le sostanze.

Dalla (2.52), per �� 0 (cioe per � ��

), segue ( �� ) � 1; si ritrova in talicondizioni la regola di Dulong e Petit, che quindi appare rispettata da tutte le sostanze chehanno una temperatura di Debye molto inferiore alla temperatura ambientale. Ora peroper �� (cioe per �

�) l’andamento in funzione di � del calore molare riproduce

molto bene i risultati sperimentali anche per quelle sostanze, con�

molto grande, che

88

�� violano la regola di Dulong e Petit. In particolare viene riprodotto il comportamentoproporzionale a � 3 alle basse temperature 42 (fig. 2.5).

Fig. 2.5. I calori specifici secondo la teoria di Debye.

L’ipotesi di quanti elementari di energia si riflette anche sugli argomenti dellameccanica statistica. Secondo il teorema di Liouville il volume elementare dellospazio delle fasi

�� rimane invariante durante l’evoluzione di�

e � secondo leequazioni di Hamilton. Ma cio presuppone la possibilita per

�e � di variare in modo

continuo, indipendentemente uno dall’altro. Se invece vale l’ipotesi di una hamilto-niana che puo assumere solo valori discreti � � � , anche l’azione risulta quantizzata,con valori che sono multipli del quanto d’azione � . Percio il volume elementare dellospazio delle fasi ha estensione finita e pari a

� �� = � . Questa e l’origine dellacomparsa di � nella costante � �

che entra nella definizione (I.2.51) della funzionedi partizione e nella formula di Sackur–Tetrode (I.2.61).

42 Una teoria piu completa che tiene conto della dinamica reticolare e stata formulata da Max Born eTheodor von Karman (1881–1963): Uber Schwingungen in Raumgittern [Vibrazioni in reticoli tridimen-sionali], Physikalische Zeitschrift 13 (1912) 298–309; Zur Theorie der spezifischen Warme [Teoria deicalori specifici], Physikalische Zeitschrift 14 (1913) 15–19.

89

��

�� %'� �� 0� ��#%�� #�� 2�� Nel 1902 Lenard 43 porto a termine un’accurata analisi dell’effetto fotoelettrico

con le seguenti conclusioni sperimentali:1) l’energia degli elettroni, emessi per effetto fotoelettrico dalla sostanza colpita

dalla radiazione, e indipendente dall’intensita della radiazione incidente;2) il numero di elettroni emessi aumenta con l’intensita della radiazione;3) l’energia del singolo elettrone aumenta col diminuire della lunghezza d’onda

della radiazione.Questi risultati non si spiegano se gli elettroni ricevono l’energia da una ra-

diazione descritta in termini di intensita di un’onda, e quindi secondo le leggidell’elettromagnetismo classico. Nel 1905 Einstein propose una spiegazione 44 ispi-randosi alla discretizzazione dell’energia della radiazione, cosı come ipotizzata daPlanck. Se l’energia dell’onda di frequenza � e un multiplo di � � , nel processoelementare di assorbimento della radiazione da parte della materia non e l’intensita(legata al fattore di multiplo), ma il singolo quanto di energia � � che conta. Parlandodi fotoni 45 di energia � � , l’intensita e legata al numero di fotoni, e quindi determina ilnumero di elettroni che i vari fotoni possono liberare con un’interazione elementarefotone-elettrone. Invece l’energia cinetica � del singolo elettrone emesso risultadalla differenza tra � � e l’energia � necessaria per estrarre l’elettrone stesso dalmateriale:

� = � � .�� 1 (3 1 1)

Fissato il potenziale di estrazione � , � aumenta linearmente con � 46.Una conferma notevole di questo comportamento corpuscolare della radiazione

si ebbe con la serie di esperimenti condotti da Compton negli anni 1921–1923,

43 Philipp Eduard Anton von Lenard (1862–1947): Erzeugung von Kathodenstrahlen durch ultravio-lettes Licht [Produzione di raggi catodici mediante luce ultravioletta], Sitzungsberichte der KaiserlichenAkademie der Wissenschaften (Wien) 108 (1899) 1649-1666; Uber die Lichtelektrische Wirkung [L’effettofotoelettrico], Annalen der Physik 8 (1902) 149–198.44 Cfr. n. 16 p. 65.45 Fu Gilbert Newton Lewis il primo a usare il termine di fotone per indicare il quanto di luce, nome per luinon completamente appropriato “se si assume che passa solo una minuscola frazione della sua esistenzacome portatore di energia raggiante, mentre per il resto del tempo rimane un importante elemento strutturaleall’interno dell’atomo. Percio - prosegue Lewis - per questo nuovo atomo ipotetico, che non e luce magioca un ruolo essenziale in ogni processo di radiazione ho preso la liberta di proporre il nome di fotone”.G.N. Lewis: The conservation of photons [Conservazione dei fotoni], Nature 118 (1926) 874–875.46 La (3.1) fu confermata sperimentalmente da Millikan in una serie di esperimenti tra il 1914 e il 1916.Dalla pendenza della retta che rappresenta in un grafico l’energia cinetica � in funzione della frequenza

della radiazione incidente, Millikan ottenne la prima accurata determinazione della costante di Planck� , indipendentemente da ogni considerazione riguardante la forma dello spettro della radiazione di corponero.R.A. Millikan: A direct determination of � [Determinazione diretta di � ], Physical Review 4 (1914)73–75; A direct photoelectric determination of Planck’s � [Una determinazione fotoelettrica diretta dellacostante di Planck � ], Physical Review 7 (1916) 355–388.

90

� � �� riguardanti la variazione di lunghezza d’onda dei raggi � , diffusi per esempio dallemolecole di un gas 47 (fig 3.1).

L’analisi della radiazione diffusa fornisce la relazione:

� ) . �=�

0(1 . cos � ) / (3 1 2)

tra la lunghezza d’onda� ) della radiazione diffusa e quella

�della radiazione inci-

dente, con la costante�

0 che assume il valore:

�0 = 0 1 024 �� 1 (3 1 3)

Fig. 3.1. Diffusione di raggi � .

La teoria classica della diffusione della radiazione, cosı come sviluppata daThomson 48, prevedeva un’intensita diffusa dipendente dall’angolo, ma non era ingrado di spiegare questa variazione di lunghezza d’onda, che e ora nota come effettoCompton.

Ripetendo l’esperimento mediante una camera di Wilson 49, e possibile con-statare che il processo elementare e riconducibile all’urto di un fotone della radia-

47 Cfr. n. 17 p. 65.48 J.J. Thomson: Conduction of electricity through gases [Conduzione di elettricita nei gas], CambridgeUniversity Press, 1906.49 Si deve allo scozzese Charles Thomson Rees Wilson (1869–1959) l’invenzione di una speciale camerain grado di visualizzare la traccia lasciata da particelle cariche nell’attraversare un gas soprassaturo,grazie ai nuclei di condensazione provocati dalla ionizzazione degli atomi del gas. Questo dispositivo estato successivamente migliorato con le piu moderne camere a bolle e ha costituito prezioso strumentod’indagine sulle particelle elementari.C.T.R. Wilson: On an expansion apparatus for making visible the tracks of ionising particles in gasesand some results obtained by its use [Un dispositivo a espansione per visualizzare le tracce di particelleionizzanti nei gas e alcuni risultati ottenuti con il suo uso], Proceedings of the Royal Society of LondonA87 (1912) 277–292.

91

��

zione incidente con un elettrone di un atomo del gas presente nella camera. Lafotografia della camera visualizza la traiettoria percorsa dagli elettroni emessi dallaradiazione, mettendo cosı in evidenza il meccanismo elementare del processo (fig.3.2) 50. Nell’emettere un elettrone ad un angolo �#) rispetto alla direzione della radi-azione incidente, il raggio � viene diffuso ad un angolo � . Successivamente il raggiodiffuso puo emettere un altro elettrone, che quindi con la sua traccia iniziale rivela ladirezione di diffusione del raggio � .

Fig. 3.2. Diffusione di raggi � in camera di Wilson.

Compton spiego la (3.2) attribuendo al fotone, oltre all’energia � � , anche unaquantita di moto di modulo � � � � . Conservazione dell’energia e della quantita dimoto nell’urto fotone-elettrone impongono le seguenti equazioni:�� = � � ) + ( � . 1) � 0 � 2 /

� ��

= � � )�

cos � + � � 0 � � cos � ) /0 = � � )

�sin � + � � 0 � � sin � ) 1

(3 1 4)

Nelle (3.4) si sono usate le espressioni relativistiche dell’energia e della quantita dimoto dell’elettrone di massa a riposo � 0. Risolvendo le (3.4) si ottiene

� . � ) = �� 0 � 2

� � ) (1 . cos � ) 1 (3 1 5)

Questa relazione coincide con la (3.2) se si definisce

�0 = �

� 0 �/ (3 1 6)

che viene detta lunghezza d’onda Compton dell’elettrone 51: essa possiede il valorenumerico (3.3) quando si sostituiscano i corrispondenti valori di � , � 0 e � .

50 A.H. Compton e A.W. Simon: Directed quanta of scattered � -rays [Quanti direzionati di raggi �diffusi], Physical Review 26 (1925) 289–299.51 Oggi si preferisce definire la lunghezza d’onda Compton per l’elettrone come

� =

0 � 2 � (cfr. Tab.D.1).

92

� � �� L’esperimento di Compton e Simon e importante storicamente per due ragioni.

In primo luogo, attraverso la fotografia dell’evento in camera di Wilson e statopossibile dimostrare l’aspetto corpuscolare della radiazione e confermare l’ipotesidi fotone formulata da Einstein. Ma e anche importante il fatto che, descrivendol’urto fotone-elettrone in termini corpuscolari, si salva il principio di conservazionedell’energia e della quantita di moto anche a livello di processi elementari. Aquell’epoca infatti c’era chi sosteneva che il principio probabilmente valeva solo inmedia su scala macroscopica 52. Questo avveniva perche era difficile conciliare gliaspetti continui dell’elettromagnetismo classico con quelli discontinui dei processidi assorbimento e di emissione degli atomi che implicavano il concetto di fotone: osi ridefinisce il significato di scambio energetico tramite l’accettazione dell’ipotesi difotone, oppure si pensa alla conservazione dell’energia in modo statistico. L’evidenzasperimentale dell’effetto Compton ha fatto preferire l’idea del quanto di luce, o difotone 53. Nell’assimilazione della componente di frequenza � della radiazione dicorpo nero a un oscillatore armonico, il risultato (2.38) indica che il contributoenergetico allo spettro da parte della frequenza � avviene come se nella radiazioneci fossero � ( � ) fotoni di energia � � . La spiegazione dell’effetto Compton e resapossibile assegnando al fotone anche un impulso di modulo � = � � � � e quindipromuovendolo ad essere considerato a tutti gli effetti come una particella.

52 Nel tentativo di costruire una teoria quantistica della dispersione di luce si era tentati di postulare che ilfenomeno macroscopico avvenisse come media di molti processi elementari casuali nei quali il principiodi conservazione dell’energia potesse essere violato: in tale ipotesi l’energia si conservava solo su scalamacroscopica come risultato della media sui processi elementari. In particolare, Niels Hendrik David Bohr(1885–1962), Hendrik Antoon Kramers (1894–1952) e John Clarke Slater (1900–1976) ebbero l’idea diassociare all’atomo una nuvola di oscillatori armonici virtuali, dotati ciascuno di una delle frequenzeche l’atomo puo assorbire o emettere. Potevano cosı descrivere la dispersione della luce ricorrendo soloa minime correzioni della teoria classica della dispersione: una tuttavia era essenziale e imponeva chel’energia si conservasse solo in media, come risultato di un processo statistico.

Charles Galton Darwin (1887–1962): Critique of the foundations of physics [Critica dei fondamenti dellafisica], Library of the American Physical Society, manoscritto del 1919; A quantum theory of opticaldispersion [Teoria quantistica della dispersione ottica], Nature 110 (1922) 841–842.

J.C. Slater: Radiation and atoms [Radiazione e atomi], Nature 113 (1924) 307–308.

N. Bohr, H.A. Kramers e J.C. Slater: Uber die Quantentheorie der Strahlung [Teoria quantistica dellaradiazione], Zeitschrift fur Physik 24 (1924) 69-87.

53 Nonostante la conferma sperimentale portata da Millikan, molti, compreso lo stesso Millikan, eranoriluttanti ad accettare l’ipotesi di fotone formulata da Einstein per la spiegazione dell’effetto fotoelettrico.Fu solo dopo la scoperta dell’effetto Compton che l’idea di fotone si impose; a tal punto, che il premioNobel per la Fisica del 1921 fu attribuito a Einstein nel 1922 proprio per la sua spiegazione dell’effettofotoelettrico e non gia, come si sarebbe anche potuto proporre, per la sua teoria della relativita.

93

��

�� &��$��'�� &�

Fig. 4.1. Porzione dello spettro a righe dell’atomo di idrogeno.

Negli spettri di emissione e di assorbimento degli atomi si presentano righedisposte con regolarita a valori ben precisi di lunghezza d’onda. Nel caso dell’atomodi idrogeno, per esempio, il cui spettro e schematicamente riprodotto in fig. 4.1, sihanno raggruppamenti di righe in serie che possono essere caratterizzate mediante larelazione

1� = � � � 1� 2

. 1� 2 � / (4 1 1)

che e nota come principio di combinazione delle linee spettrali 54. Nella (4.1) ilnumero d’onda 55, � = 2 � � � , e espresso in termini dei numeri interi positivi � e � edella costante di Rydberg 56:

� � = 10 973 731 1 571(4) m � 1 1 (4 1 2)

La relazione (4.1) e detta anche formula di Balmer, dal nome del matematicosvizzero 57 che la propose nel 1885 per classificare le righe nella parte visibile

54 Walter Ritz (1878–1909): Uber ein neues Gesetz der Serienspektren [Una nuova legge degli spettri arighe], Physikalische Zeitschrift 9 (1908) 521–529; On a law of series spectra [Una legge degli spettri arighe], Astrophysical Journal 28 (1908) 237–243.55 La descrizione degli spettri atomici mediante il numero d’onda fu introdotta da George Johnstone Stoneynel 1871, migliorando la classificazione introdotta da Anders Jonas Angstrom (1814–1872).G.J. Stoney: On the advantage of referring the position of lines in the spectrum to a scale of wave-numbers[Vantaggio di riferire la posizione delle righe spettrali a una scala di numeri d’onda], British AssociationReports, Edinburgh, 41 (1871) 42–43.A.J. Angstrom: Recherches sur le spectre solaire [Ricerche sullo spettro solare], Uppsala, 1868.56 Johannes Robert Rydberg (1854–1919): Recherches sur la constitution des spectres d’emission deselements chimiques [Ricerche sulla struttura degli spettri di emissione degli elementi chimici], KungligaVetenskaps Akademiens Handlingar 23 (1890) n. 11; On the structure of the line-spectra in the chemicalelements [Struttura degli spettri a righe degli elementi chimici], Philosophical Magazine 29 (1890) 331–337.57 Johann Jakob Balmer (1858–1898): Notiz uber die Spektrallinien des Wasserstoffs [Nota sulle righespettrali dell’idrogeno], Verhandlungen der Naturforschenden Gesellschaft in Basel 7 (1885) 548–560.

94

� � �� dello spettro dell’atomo d’idrogeno. Una descrizione accurata dello spettro discretopuo essere fatta attribuendo opportuni valori alla coppia di numeri interi � e � 58:

� = 1 / � = 2 / 3 / 4 /�1�1�1 serie di Lyman /� = 2 / � = 3 / 4 / 5 /�1�1�1 serie di Balmer /� = 3 / � = 4 / 5 / 6 /�1�1�1 serie di Paschen /� = 4 / � = 5 / 6 / 7 /�1�1�1 serie di Bracket /� = 5 / � = 6 / 7 / 8 /�1�1�1 serie di Pfund 1

(4 1 3)

La presenza di uno spettro a righe non si concilia con il modello di atomo pro-posto da Rutherford 59, perche secondo l’elettromagnetismo classico gli elettroni cheruotano intorno al nucleo atomico dovrebbero irraggiare in modo continuo su unabanda di frequenze perdendo progressivamente energia. A causa di cio si arriverebbealla problematica conclusione che l’elettrone, continuando a perdere energia, finisceper essere catturato dal nucleo atomico con conseguente collasso dell’atomo. Perevitare cio, Bohr 60 ipotizzo nell’atomo l’esistenza di stati stazionari di energiacostante occupati dagli elettroni. Fintanto che un elettrone si trova in uno di questistati, non ci sarebbe irraggiamento. La radiazione e provocata dalla transizione di unelettrone da uno stato stazionario ad un altro di energia inferiore, cosı come la tran-sizione a uno stato di energia maggiore avverrebbe con assorbimento di radiazione.Imponendo che il salto energetico sia provocato dall’emissione o dall’assorbimentodi un singolo fotone di energia � � , si avrebbe

� � = �� . � � = � � (4 1 4)

e quindi

1� =�

�=

� �� /

cioe

1� =1� �

( �� . � � ) 1 (4 1 5)

Ipotizzando i salti quantici e confrontando la (4.1) con la (4.5), Bohr poteva dareespressione esplicita alla costante di Rydberg,

58 Theodor Lyman (1874–1954): An extension of the spectrum in the extreme violet [Estensione dellospettro nell’estremo ultravioletto], Physical Review 3 (1914) 504–504.F. Paschen: Zur Kenntnis ultra-roter Linienspektren [Nota sulle righe spettrali infrarosse], Annalen derPhysik 27 (1908) 537–570.F. Bracket: A new series of spectrum lines [Una nuova serie di righe spettrali], Nature 109 (1922) 209.A.H. Pfund: The emission of nitrogen and hydrogen in the infrared [Emissione nell’infrarosso da parte diazoto e idrogeno], Journal of the Optical Society of America 9 (1924) 193–196.59 Cfr. n. 15 p. 64.60 Cfr. n. 22 p. 67.

95

��

� � = . � 2 �� / (4 1 6)

assegnando contemporaneamente un preciso valore all’energia degli stati stazionaridell’idrogeno:

� � = . � � � �� 2

( � = 1 / 2 /�1�1�1 ) 1 (4 1 7)

L’evidenza sperimentale di stati stazionari con valori discreti di energia fu di-mostrata in una serie di esperimenti iniziata nel 1913 da Franck e Hertz 61.

Fig. 4.2. Esperimento di Franck–Hertz.

Negli esperimenti di Franck e Hertz, un’ampolla e riempita per esempio davapori di mercurio: un catodo, costituito da un filamento caldo

�, emette elettroni

che vengono accelerati verso l’anodo , (fig. 4.2). Il circuito esterno viene cosıattraversato da una corrente � che risultera tanto piu intensa quanto maggiore eil numero di elettroni che raggiungono l’anodo. Una griglia, interposta tra anodo ecatodo, si trova ad un potenziale � rispetto a

�, leggermente superiore alla differenza

di potenziale tra , e�

: al variare di � , la griglia puo quindi catturare gli elettroni sequesti non hanno energia sufficiente per superare il debole campo antagonista tra � e, . Cio puo per esempio verificarsi quando gli elettroni nel loro cammino tra anodo ecatodo urtano anelasticamente gli atomi del vapore di mercurio. Sperimentalmente,

61 James Franck (1882–1964) e Gustav Ludwig Hertz (1887–1975): Uber Zusammenstosse zwischenlangsamen Elektronen und Gasmolekulen [Urti tra elettroni lenti e molecole di gas], Verhandlungen derDeutschen Physikalischen Gesellschaft 15 (1913) 373–390, 613–620; Uber Zusammenstosse zwischenElektronen und den Molekulen der Quecksilberdampfes und die Ionisierungsspannung desselben [Urtitra elettroni e molecole del vapore di mercurio e sua tensione di ionizzazione], Verhandlungen derDeutschen Physikalischen Gesellschaft 16 (1914) 457–467; Die Bestatitung der Bohrschen Atomtheorieim optischen Spektrum durch Untersuchungen der unelastischen Zusammenstosse langsamer Elektronenmit Gasmolekulen [Conferma della teoria atomica di Bohr dello spettro ottico mediante studio degli urtianelastici di elettroni lenti con molecole di gas], Physikalische Zeitschrift 20 (1919) 132–143.

96

� �� sovrapposti a un andamento generalmente crescente della corrente � con l’aumentaredel potenziale � , si verificano anche dei minimi di corrente in corrispondenza dimultipli di un ben preciso valore di � . L’interpretazione di questa discretizzazionedei valori di energia perduta dagli elettroni in moto tra anodo e catodo e semplice,se si ricorre all’ipotesi di Bohr degli stati stazionari di energia ben definita, occupatidagli elettroni degli atomi di mercurio: il primo minimo di corrente si realizza alloraquando, colpito da un elettrone in moto tra anodo e catodo, un elettrone di un atomodi mercurio, inizialmente nel livello di energia piu bassa, salta a un livello con energiaimmediatamente superiore. Nell’urto l’elettrone in moto tra anodo e catodo perde unammontare corrispondente di energia e non e piu in grado di raggiungere il catodo.L’elettrone dell’atomo di mercurio ha compiuto una transizione dallo stato stazionariofondamentale, cioe quello di energia piu bassa in cui si trova inizialmente, verso il suoprimo stato eccitato 62; similmente, il secondo minimo, che si verifica a potenziale �doppio, e provocato dalla perdita dello stesso ammontare di energia in seguito a dueurti successivi con gli atomi di mercurio.

Dunque il risultato fondamentale degli esperimenti di Franck e Hertz e chel’energia, una quantita che in fisica classica puo variare con continuita, viene a trovarsiinvece discretizzata quando riguarda moti chiusi come quello dell’elettrone sulla suaorbita intorno all’atomo. Questo fatto ricorda la stessa conclusione raggiunta daEinstein per l’oscillatore armonico associato alla singola frequenza della radiazionedi corpo nero (Esempio 2.1) oppure al moto di un atomo in un cristallo (Esempio2.3).

�� &� �� La discretizzazione opposta alla continuita della fisica classica ispira la ricerca

di una nuova teoria dei quanti basata sulle regole di quantizzazione proposte da Bohrnel 1913 per definire l’energia degli stati stazionari dell’atomo e generalizzate daSommerfeld nel 1916 63. Queste regole, note oggi come regole di quantizzazione diBohr-Sommerfeld, impongono che l’azione, estesa a una traiettoria chiusa e percorsacon energia costante, sia multipla del quanto d’azione elementare � :

�� = � � ( � = 0 / 1 / 2 /�1�1�1 ) 1 (5 1 1)

Dalla quantizzazione dell’azione discende la discretizzazione dei possibili valori dienergia per il moto periodico.

62 Franck e Hertz ritenevano inizialmente che questa era l’energia di ionizzazione e non quella tra lo statofondamentale e il primo livello eccitato. Fu Bohr a convincerli di cio solo nel 1919.

63 Cfr. n. 23 p. 67.

97

��

Esercizio 5.1

Applicare la regola di quantizzazione di Bohr-Sommerfeld (5.1) all’energia di unoscillatore armonico lineare, verificando la (2.40), cioe

� = � � � " (5 " 2)

Ad esempio, si puo considerare il caso dell’oscillatore armonico di Planck-Einstein, la cui hamiltoniana risulta quantizzata secondo la (2.31). Questo risultatopuo essere ritrovato dalla condizione di quantizzazione (5.1). utilizzando la trasfor-mazione di variabili (2.33), dalla (5.1) si ha

� � =�

� �� =�

2 ��

2 ��

�2 �

0

� � sin2 � = 2 � �31Percio l’azione � dell’oscillatore risulta quantizzata e multipla del quanto d’azioneelementare rappresentato dalla costante di Planck � , in accordo con la (2.35). Diconseguenza, non tutti i valori sono consentiti all’energia � , ma solo quelli che sonomultipli interi del quanto elementare di energia � � , in accordo col risultato di Einstein(2.40) oppure (5.2).

Le regole di quantizzazione di Bohr-Sommerfeld acquistano significato piuprofondo alla luce del principio adiabatico, enunciato da Ehrenfest 64 e valido per motiperiodici soggetti a perturbazione esterna. Tale perturbazione provoca transizioni trastati stazionari; ma, se essa avviene in modo adiabatico, e possibile individuare dellequantita, dette invarianti adiabatici, che hanno le dimensioni di un’azione e che simantengono costanti. Le regole di quantizzazione di Bohr-Sommerfeld impongonoche questi invarianti siano multipli interi del quanto di azione elementare � . Perun moto periodico, che si sviluppa in una sola dimensione, esiste un solo invarianteadiabatico

�che coincide con l’azione estesa a un ciclo del moto, come nella (5.1).

Dunque risulta

�= � � / (5 1 3)

dove � e un intero non negativo.

64 Ehrenfest, confortato dalla sua spiegazione della legge di Wien (cfr. n. 33 p. 80), innalzo a principio ladiscretizzazione degli invarianti adiabatici di un sistema quantistico.P. Ehrenfest: Over adiabatische veranderingen van een stelsel in verband met de theorie der quanta[Cambiamenti adiabatici di un sistema in connessione con la teoria dei quanti], Verslag der KongeligeAkademie van Wetenschappen te Amsterdam 25 (1916) 412–433; Adiabatische Invarianten und Quan-tentheorie [Invarianti adiabatici e teoria dei quanti], Annalen der Physik 51 (1916) 327–352; Adiabaticinvariants and the theory of quanta [Invarianti adiabatici e teoria dei quanti], Philosophical Magazine 33(1917) 500–513.

98

� �� Esercizio 5.2

Alla luce dell’Esempio I.1.1, riconoscere l’invariante adiabatico � di un oscillatorearmonico lineare.

In generale pero, considerando moti periodici in tre dimensioni, esistono piuinvarianti adiabatici, uno per ognuna delle variabili d’azione che risultano costanti delmoto, come l’azione � dell’oscillatore armonico lineare. Di conseguenza, alla lucedel principio adiabatico di Ehrenfest, altre variabili del sistema, che secondo la fisicaclassica potrebbero variare con continuita, si vengono invece a trovare discretizzate.

L’esempio piu importante e costituito dal momento angolare, la cui quantiz-zazione e stata dimostrata nel 1921 dall’esperimento di Stern e Gerlach 65. L’esperi-mento fu originariamente eseguito con un fascio monoergetico di atomi di argento cheattraversava un campo magnetico non omogeneo. La scelta dell’argento permettevadi studiare praticamente il comportamento di un solo elettrone, quello piu esterno epiu mobile, responsabile delle principali proprieta fisiche e chimiche dell’argento.Nel suo moto orbitale questo elettrone possiede un momento angolare L e puo esserequindi assimilato a una spira di corrente che per la (I.3.67) ha associato un momentomagnetico = . ( � 2 � � )L; percio l’elettrone interagisce col campo magnetico Battraversato (fig. 5.1), subendo una forza

F = � �� ( �� B) 1 (5 1 4)

La disposizione sperimentale prevede che il fascio di atomi viaggi in direzionedell’asse � , attraversando la regione tra le espansioni polari del magnete in direzioneortogonale a quella (praticamente costante) del campo magnetico B, disposto lungol’asse � . Il modulo di B varia con la posizione, molto nella direzione � e poco nelladirezione � . Allora la forza subita dall’elettrone dell’atomo di argento ha l’unicacomponente diversa da zero lungo l’asse � :

�� = � � �� 1 (5 1 5)

Di conseguenza l’atomo di argento viene deviato dalla sua traiettoria rettilinea in-cidente in misura proporzionale alla componente � del suo momento magnetico equindi alla componente

� � del suo momento angolare.In linea di principio, secondo la fisica classica, L puo essere diretto in modo

arbitrario: percio su uno schermo successivo ai poli del magnete ci si aspetterebbe diraccogliere gli atomi di argento distribuiti in modo continuo lungo una traccia direttacome � , con estremi fissati dai valori � . Invece sperimentalmente si ottengono solo

65 Otto Stern (1888–1969) e Walter Gerlach (1899–1979): Der experimentelle Nachweis des magnetischenMoments des Silberatoms [Dimostrazione sperimentale del momento magnetico dell’atomo di argento],Zeitschrift fur Physik 8 (1921) 110–111; Der experimentelle Nachweis der Richtungsquantelung [Di-mostrazione sperimentale della quantizzazione della direzione], Zeitschrift fur Physik 9 (1922) 349–352;Das magnetische Moment des Silberatoms [Il momento magnetico dell’atomo di argento], Zeitschrift furPhysik 9 (1922) 353–355.

99

��

Fig. 5.1. Esperimento di Stern–Gerlach.

due macchie, simmetriche rispetto a quella che si otterrebbe senza campo magneticoper l’arrivo del fascio indisturbato: cio indica che L puo solo disporsi in direzioneparallela o antiparallela a � .

Ripetendo l’esperimento con altri fasci atomici il numero di macchie cambia aseconda del tipo di atomo, a dimostrazione che il numero di valori possibili per lacomponente di L lungo l’asse � dipende dal modulo di L stesso ed e comunque unnumero finito.

L’esperimento di Stern e Gerlach dimostra dunque una quantizzazione spazialedel momento angolare che puo assumere solo determinate direzioni discrete, indi-viduabili da un numero quantico � che rappresenta la componente di L lungo ladirezione prefissata. Se si pone

� � � � / (5 1 6)

� assume sempre e solo i 2�

+ 1 valori: . � /&. �+ 1 /�1�1�1 / � . 1 / �

.

Esercizio 5.3

Per la hamiltoniana dell’Esercizio I.1.14 le regole di quantizzazione di Bohr–Sommerfeld impongono: � ��

!�� =� ��

� ��!�� = �� (5 " 7)

dove�

e � sono rispettivamente i numeri quantici radiale e azimutale. Scegliendo� (

�) = � � 2 � � , verificare i seguenti risultati:

�= � -�� = � � � 4

2 -� 2 � 2� (5 " 8)

dove � = � +�

e il numero quantico principale e -� = � � 2 � .

100

� ��

La quantizzazione del momento angolare puo essere dedotta dalle regole diBohr-Sommerfeld imposte agli invarianti adiabatici del moto. Come esempio si consideriil caso di un elettrone (di massa � e carica � � ) che sente l’attrazione coulombiana delnucleo dell’atomo di idrogeno (di carica + � ). La sua hamiltoniana puo essere scritta incoordinate polari:

� =! 2

2 � � � 2� = 1

2 � (.� 2

+�

2 .� 2+�

2 sin2 � .� 2) � � 2

� " (5 " 9)

Alternativamente, si ha

� =1

2 ��! 2� +

1�2! 2� +

1�2 sin2

� ! 2� � � � 2� � (5 " 10)

dove

!�� = � .� � ! � = ��

2 .� � ! � = ��

2 .�sin2 � (5 " 11)

sono i momenti coniugati delle coordinate lagrangiane�,�,�

.Come per tutti i moti centrali, anche per questa hamiltoniana il momento angolare

L resta costante. Infatti dalle equazioni del moto si possono verificare i seguenti risultati:

�� ! � = costante � � 2 ! 2� +! 2�

sin2� = costante " (5 " 12)

Le condizioni di Bohr-Sommerfeld impongono:

�� =

� ��!�� = � � � �

� � =

� � � ! � = � � � �

� � =

� ��! � = � � �

(5 " 13)

dove �� , �� e � sono numeri interi non negativi. Dall’ultima delle (5.13) si ottiene

� � = 2 � �� = � � �cioe

� �= � �

2 � � (5 " 14)

che fornisce la quantizzazione della componente del momento angolare lungo l’asse � .Per il suo ruolo nell’esperimento di Stern e Gerlach, il numero � viene detto numeroquantico magnetico.

Integrando la seconda delle (5.13) lungo un’orbita completa, occorre calcolare

� � = 2

��

2

�1

� � � �2 �

� 2�

sin2� = � � � �

101

��

dove�

1 e�

2 sono le due radici comprese tra 0 e � dell’equazione

� 2 sin2 � � � 2� = 0 "

Si ottiene

� � = 2 � (� �� ) = � � � �

cioe

�= ( � � + � � � ) � � �

2 � " (5 " 15)

Dunque anche il modulo del momento angolare risulta quantizzato secondo il numero �che viene denominato numero quantico azimutale, in accordo con la (5.6). Siccome � e � �sono non negativi, dalla (5.15) si deve avere

� � �� (5 " 16)

in accordo col fatto che � caratterizza i valori possibili della componente del momentoangolare lungo l’asse � scelto.

Dalla prima delle (5.13) segue infine in modo simile la quantizzazione dell’energia:

�� = � 2 � � � � � � 2

� � 2 � � �= � 2 � 2 � � 4

� 2

1( � � + � )2

�

cioe

� � � = � 2 � 2 �� 4

� 2

1� 2" (5 " 17)

I numeri � � e � sono rispettivamente il numero quantico radiale e il numero quanticoprincipale.

La (5.17) conferma la discretizzazione dei valori di energia per un moto periodico,corrispondente in questo caso agli stati legati dell’elettrone dell’atomo di idrogeno (4.7).Essa fornisce tra l’altro la possibilita di esprimere la costante di Rydberg (4.6) mediantele costanti fondamentali che intervengono nel problema:

�

= � �2 � �� =

2 � 2 �� 4

� 2" (5 " 18)

102

� �� Esercizio 5.4

Applicare la regola di quantizzazione di Bohr–Sommerfeld (5.1) al caso di unaparticella di massa � confinata tra pareti rigide di altezza infinita. Si assuma un potenzialedel tipo

� ( � ) =

�0 � � � � �� ,� � � �� ,

(5 " 19)

e si consideri il ciclo elementare ottenuto variando la posizione � della particella per unandirivieni lungo l’asse � a partire da �� .

Il principio adiabatico e le regole di Bohr-Sommerfeld permettono l’applicazionedella meccanica classica alla teoria dei quanti, relativamente allo studio degli statistazionari. Le transizioni tra stati stazionari invece possono essere studiati con lameccanica classica in virtu del principio di corrispondenza. Esso si basa sul fattoche, se si fa tendere a zero la differenza di energia tra i livelli stazionari, lo spettrodiventa continuo; in terminii di azione e di invarianti adiabatici cio significa che i saltienergetici coinvolgono variazioni � � piccoli rispetto � . In tale limite le frequenzedelle righe spettrali dell’atomo di idrogeno si addensano come in una banda continuae tendono a valori calcolabili con l’elettrodinamica classica. Sebbene implicito fin daiprimi lavori di Bohr, il principio di corrispondenza viene enunciato esplicitamentesolo nel 1920 come guida fondamentale per una generalizzazione razionale dellateoria classica della radiazione 66. Esso permette di spiegare l’intensita delle lineespettrali e l’emissione spontanea di radiazione, che era stata suggerita da Einstein nel1916 con considerazioni di equilibrio termodinamico della radiazione 67.

Il modello di Bohr fu utilizzato anche per un’analisi degli spettri atomici inpresenza di un campo elettrico o di un campo magnetico. La presenza di un campomagnetico provoca una separazione delle righe dello spettro in multipletti, con parti-colari proprieta di polarizzazione della luce associata. Una parte di questo fenomeno,noto come effetto Zeeman dal nome di chi lo scoprı nel 1897 68, e riconducibileagli schemi dell’epoca e alla quantizzazione spaziale della direzione del momentoangolare orbitale degli elettroni nell’atomo, ma il cosiddetto effetto Zeeman anomalopuo essere spiegato solo con l’ipotesi dello spin (cfr. paragrafo IX.3). Sebbene lospin abbia caratteristiche di momento angolare, gli effetti di spin pero non possonoessere trattati in modo classico.

66 N. Bohr: Uber die Linienspektren der Elemente [Gli spettri a righe degli elementi], Zeitschrift furPhysik 2 (1920) 423–464.67 A. Einstein: Quantentheorie der Strahlung [Teoria quantistica della radiazione], Mitteilungen derPhysikalischen Gesellschaft, Zurich, 18 (1916) 47–62; Zur Quantentheorie der Strahlung [Teoria quan-tistica della radiazione], Physikalische Zeitschrift 18 (1917) 121–128.68 Pieter Zeeman (1865–1943): Over den invloed eener magnetisatie op den aard van het door een stofuitgezonden licht [Influenza del magnetismo sulla natura della luce emessa da una sostanza], Verslag vande Koniklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam 5 (1896) 181–185, 242–248; Doublets andtriplets in the spectrum produced by external magnetic forces [Doppietti e tripletti nello spettro prodottida forze magnetiche esterne], Philosophical Magazine 44 (1897) 55–60, 255–259.

103

��

Anche la presenza di un campo elettrico puo provocare una separazione dellerighe dello spettro. L’effetto, noto oggi come effetto Stark, fu previsto teoricamentenel 1901 da Voigt, che pero stimo la separazione troppo piccola per essere messain evidenza 69. Una decina di anni dopo l’effetto fu misurato indipendentemente econtemporaneamente da Stark e Lo Surdo 70. Anche l’effetto Stark poteva essere inparte interpretato alla luce del modello di Bohr. Tuttavia resta comunque artificiosoil meccanismo di discretizzazione dell’azione che e alla base di questi tentativi diinterpretazione dei dati sperimentali e che non ha alcuna giustificazione teorica 71.

69 Woldemar Voigt (1850–1919): Uber das elektrische Analogon des Zeeman-effektes [Analogo elettricodell’effetto Zeeman], Annalen der Physik 4 (1901) 197–208.70 Antonino Lo Surdo (1880–1949): Sul fenomeno analogo a quello di Zeeman nel campo elettrico, Attidella Reale Accademia dei Lincei 22 (1913) 664–666.Johannes Stark (1874–1957): Beobachtung uber den Effekt des elektrischen Feldes auf Spektrallinien[Osservazione dell’effetto del campo elettrico sulle righe spettrali], Sitzungsberichte der PreussischenAkademie der Wissenschaften (Berlin) (1913) 932–946; Annalen der Physik 43 (1914) 965–1047.71 Per una rassegna dello sviluppo e dei risultati della vecchia teoria dei quanti, si veda ad esempio il citatotesto di Sin-Itiro Tomonaga: Quantum Mechanics, North Holland Publ. Co., Amsterdam, 1962, vol. 1,cap. 3.Una trattazione sistematica della fisica atomica nell’interpretazione della vecchia teoria dei quanti e espostanel testo di Max Born (1882–1970): Vorlesungen uber Atommechanik, J. Springer, Berlino, 1925.

104

III. VERSOL’EQUAZIONE DI SCHRODINGER

L’esigenzadi unificare su scala atomica la descrizionedel movimento deicorpi secondole leggi della meccanicacon quella dei fenomenielettromagneticiimponeduerequisitifondamentalicheogninuovateoriadevesoddisfare.Daunlato,nell’interazionetraradiazioneemateriasi presentanoaspetticherimettonoin discus-sionela veranaturadella lucee, piu in generale,della radiazioneelettromagnetica:la teoriacorpuscolaretrovainsperatoalimentodallaspiegazionedell’effettofotoelet-trico edell’effettoCompton,affiancandoaspetticorpuscolariaquelli ondulatoridellaradiazione.D’altra parte,la discretizzazionedei valori di energia chela radiazionepuo scambiarecon la materiasuggerisceche anchel’energia di un sistemafisicopossaassumeresolo valori discretie chenei processidi emissionee assorbimentola frequenzadella radiazionevengafissatadall’ammontaredel saltodi energia cheil sistemasubisce. Emerge cosı l’idea chel’azione, estesaa unatraiettoriachiusapercorsaconenergiacostante,nonpossaassumerevalori arbitrarievariabili in modocontinuo,madebbaesserequantizzata.Questaideavieneformalizzatanelleregoledi quantizzazionedi Bohr–Sommerfeld.

Perle suericerchesullastrutturadegli atomie dellaradiazionedaloro emessa,BohrvieneinsignitodelpremioNobelperla Fisicanel1922. Intornoal 1920la teo-ria dei quantinella formulazionedi Bohr e Sommerfeldaveva infatti ottenutosicurisuccessinellaclassificazionedegli spettriatomicie nel calcolodelle intensita dellerighespettrali,permettendoun’organizzazionesistematicadella riccamessedi datispettroscopici.La teoriasi avvaleva essenzialmentedi duepostulatifondamentaliriguardantii sistemiatomicichiusi1. Il primo ipotizzal’esistenzadi statistazionaristabili, definiti dallaquantizzazionedell’azionerelativa al motochiuso,e implica il

1 N. Bohr: Uber die Anwendungder Quantentheorieauf den Atombau. I. Die GrundpostulatederQuantentheorie[Applicazionedella teoria dei quanti alla struttura atomica. I. I postulatifondamentalidella teoriadei quanti], Zeitschriftfur Physik13 (1923)117–165.

105

�� ! �"��#��$%��principio adiabaticodi Ehrenfest,in baseal qualel’azione restacostanteanchesec’e unadeboleperturbazioneesternacheprovocaunatransizionetrastatistazionari.Il secondopostulatodefiniscela frequenzadella radiazioneemessao assorbitadu-rante la transizionemediantela differenzadi energia tra gli stati iniziale e finaledell’atomo. Da questopostulatoemergeil principio di corrispondenza,propostodaBohr comeprincipio ispiratorenella costruzionedella nuova teoria dei quanti, inmododariottenere,sottoopportunecondizioni,i risultati dellafisicaclassica.

Nonostanteil loro successo,le regole di quantizzazionedi Bohr–Sommerfeldrisultanoartificioseeingiustificate2, lasciandomolti risultatisperimentalisenzaspie-gazione.Ne derivava pero la convinzionechenegli atomiesistesseromoti periodicistazionaridegli elettroni,nondescrivibili conla meccanicaclassica,esi facevastradala necessita di costruireuna nuova meccanicache qualcunoaveva gia battezzatomeccanicaquantistica3.

Improvvisamente,nella secondameta del 1925e nei primi mesidel 1926,sipresentaronodueformulazioni,apparentementeinconciliabili, ma prestoverificateequivalenti,in gradodi dareunnuovo fondamentoaquestanuovameccanica.

Da un lato, innestatosullacorrentedi pensierodellascuolachesi eraformataa Gottingen intorno a Max Born (1882–1970),c’era il tentativo di far rientrarele condizioni di quantizzazionedi Bohr–Sommerfeldnell’approcciohamiltonianodella meccanicaclassica. Un riesamecritico dei concettidella dinamicaclassicache venivanoutilizzati nella descrizionedella dinamicadegli atomi porto WernerHeisenberg(1901–1976)adassociareallevariabilidinamicheclassichedellequantitarappresentatedaunoschemadi numeridispostiamatrice:gli elementinondiagonalidi tali matrici venivano messiin corrispondenzacon le probabilita di transizionedaunostatoquanticoatomicoall’altro 4. ImmediatamenteMax Born (1882-1970)compresele proprieta matematichedel nuovo formalismo 5 e con Ernst PascualJordan(1902–1980)e lo stessoHeisenberg lo sviluppo secondoquellachedivennenotacomemeccanicadelle matrici 6. Di questasi avra in seguito la possibilita divederele equazionifondamentalie di verificarela corrispondenzaconla meccanicaclassica.

In questocapitolosi preferisceillustrarela nascitadellacosiddettameccanica

2 E significativo cheal citatolavorodi Bohrdel1923,chedovevaessereil primodi unaserieconlo scopodichiaratodi un’esposizionesistematicadei risultati dellateoriadei quanti,nonseguı mai piu la secondaparte,superata,o meglio travolta,dagli eventi.3 M. Born: Uber Quantenmechanik[Meccanicaquantistica], Zeitschrift fur Physik26 (1924)379–395,ricevuto dallarivistail 13 giugno1924.4 W. Heisenberg: UberdiequantentheoretischeUmdeutungkinematischerundmechanischerBeziehungen[Reinterpretazionedi relazionicinematiche e meccaniche secondola teoria dei quanti], Zeitschrift furPhysik33 (1925)879–893,rivevuto dallarivistail 29 luglio 1925.5 M. Born e P. Jordan:Zur Quantenmechanik[Meccanicaquantistica], Zeitschrift fur Physik34 (1925)858–888,ricevuto dallarivistail 27settembre1925.6 M. Born, W. Heisenberg e P. Jordan:Zur Quantenmechanik II [MeccanicaquantisticaII] , Zeitschriftfur Physik35 (1926)557–615,ricevuto dallarivistail 16 novembre1925.

106

�� ! �"��#��$%��ondulatoria, stimolatadalleideedi Louis-VictordeBroglie(1892–1987)7. L’analisidell’analogiaesistentetra la descrizioneclassicadelmotodi unaparticellae il puntodi vista dell’ottica geometrica,basatasul camminopercorsoda un raggiodi luce,era gia stataaffrontataesattamenteun secoloprima da Hamilton 8. Nel cercareunaformulazionemeccanicadell’ottica, Hamiltonpero finı poi perapprofondirelameccanicaanaliticaetrattarel’ottica comeotticageometrica.La stessaanalisiispirainvecea de Broglie l’ipotesi che unaparticellain moto sia sempreaccompagnatadaun’onda: la traiettoriapercorsadallaparticellasi mantienesempreortogonalealfrontedell’ondaassociata,cosı comeil raggiodi lucerisultasempreperpendicolareal frontedell’ondaluminosa.

L’idea,ulteriormentesviluppata,puo portarein modoeuristicoa scrivereun’e-quazioned’ondacheErwin Schrodinger(1887–1961)proposeeapplico in unaseriedi quattrolavori neiprimi mesidel 19269.

In questocapitolo,dopoavereesaminatole analogieformali esistentitral’otticageometricae la dinamicadi una particella,vengonoricordati gli argomentidi deBroglie a supportodell’ipotesi cheun’ondasia associataalla particella. Vienepoiderivatal’equazionedi Schrodingerapartiredall’equazionedelleondedi d’Alembert,secondoun metodoutilizzato da WolfgangPauli (1900-1958)nelle suelezioni alPolitecnicodi Zurigo nell’annoaccademico1956–195710. Lo scopodel capitoloepercio quellodi un’introduzioneall’equazionedi Schrodingerconmotivazioni reseplausibili da uno sviluppostorico. Cometali, questemotivazioni possonolasciareperplessie, soprattutto,possonopoi rivelarsiin contrastocon l’uso del formalismobasatosull’equazionedi Schrodingerperdescriverei fenomeniquantistici.Tuttavia,il percorsoversol’equazionedi Schrodingereun’istruttivatestimonianzadelfaticoso

7 L. de Broglie: Recherchessur la theorie desquanta[Ricerche sulla teoria dei quanti], AnnalesdePhysique3 (1925)22–128.E il testodellatesidi dottorato,discussail 25 novembre1924,in cui sonoraccoltele ideegia espresseinalcunepubblicazioniprecedenti:Ondeset quanta[Ondee quanti], ComptesRendusdel’AcademiedesSciences177 (1923)507–510;Quantadelumiere, diffractionet interferences[Quanti di luce, diffrazionee interferenza], ibid. 177 (1923) 548–550;Les quanta,la theorie cinetiquedesgaz et le principe deFermat[I quanti,la teoria cineticadeigase il principio di Fermat], ibid. 177 (1923)630–632.8 Cfr. n. 5 p. 2.9 E. Schrodinger:Quantisierungals Eigenwertproblem(ErsteMitteilung) [Quantizzazionecomeproblemaagli autovalori(primacomunicazione)], AnnalenderPhysik79 (1926)361–376,ricevutodallarivistail 27gennaio1926;QuantisierungalsEigenwertproblem(ZweiteMitteilung) [Quantizzazionecomeproblemaagli autovalori(secondacomunicazione)], Annalender Physik79 (1926)489–527,ricevuto dalla rivista il 23 febbraio1926;Quantisierungals Eigenwertproblem(Dritte Mitteilung) [Quantizzazionecomeproblemaagli autovalori(terzacomunicazione)], AnnalenderPhysik80 (1926)437–490,ricevuto dallarivistail 10maggio1926;Quantisierungals Eigenwertproblem(Vierte Mitteilung) [Quantizzazionecomeproblemaagli autovalori(quartacomunicazione)], AnnalenderPhysik81 (1926)109–139,ricevutodallarivistail 21giugno1926.

10 W. Pauli: VorlesungenvonProf. Dr. W. Pauli uberWellenmechanik ausgearbeitetvonFritz HerlachundHeinzE. Knoepfel, VerlagdesVereinsderMathematiker undPhysikeranderEidgenossischenTech-nischenHochschule,Zurigo, 1959; trad. it. di PaoloGulmanelli: Meccanicaondulatoria, Boringhieri,Torino,1962.

107

�� ! �"��#��$%��lavororichiestoachi si trovadi fronteaunaclassedi problemidel tuttonuovi edaglisviluppi imprevedibili.

La duplicenaturaondulatoriae corpuscolareperdeBroglie e realee nonsoloun mododi presentarsidei fenomeni: un’ondarealeaccompagnadavvero il motodella particellae, per cosı dire, la guida. A questeconclusionide Broglie arrivaesasperandoil limite classicodell’equazionedi Schrodinger, nel tentativo di salva-guardareil determinismodelle leggi fisicheaccantoa un’interpretazionestatisticaemergente. L’idea di de Broglie fu stroncatasul nascere,principalmenteper lecritichedi Pauli, al QuintoCongressoSolvay, tenutosia Bruxellesdal 24 al 29 otto-bre1927,nel qualefu invecesancital’interpretazioneprobabilisticadellesoluzionidell’equazionedi Schrodinger11. Inoltre, ogni dubbio che questainterpretazionenascondesseun’eventualeincompletezzadella teoriavennefugatodaJohannes(John)von Neumann(1903–1957).Questi,nel suolibro del 193212, si erapostoil prob-lema se la meccanicaquantisticafosseuna teoria completao se non piuttostounlivello intermediodi descrizionedei fenomenifisici, chein realta sonocaratterizzatida parametriche evolvono in modo deterministico,ma che sonoa un livello piuprofondodi osservazionee chequindi in meccanicaquantisticarimangononascosti.La possibilita di introdurrevariabili nascostepercompletarela teoriaeliminerebbecosı dallateoriastessagli aspettiprobabilistici,recuperandola strettacausalitadelladescrizioneclassica.Ma von Neumanndimostraun teoremagrazieal qualela for-malizzazionedi questaipotesirisultain contrastocongli altri assiomidellameccanicaquantistica.

In realta von Neumannavrebbedovuto concludereche veniva esclusosoloquel suo tipo di variabili nascoste,non per questorisultandoimpossibilequalchealtro tipo di completamentodella meccanicaquantistica. L’idea dell’esistenzadivariabili nascostefu ripresainfatti nel 1951daDavid JosephBohm(1917–1992),ilquale,purammettendochela tradizionaleinterpretazionedellameccanicaquantisticasia coerente,nonvoleva escluderela possibilita di altre interpretazioniugualmentecoerenti,in gradodi recuperarein lineadi principiounadescrizionecausaledi tutti iprocessi13. Tuttavia,perammissionedellostessoBohm,nonrisultaancorapossibiletrovare esperimentiin gradodi discriminaretra la consuetainterpretazionedellameccanicaquantisticae la suateoriaa variabili nascoste14.

11 PerunresocontosuiCongressiSolvay, cfr. JagdishMehra:TheSolvayConferencesonPhysics.Aspectsof thedevelopmentof physicssince1911, D. ReidelPubl. Co.,Dordrecht(Olanda),1975.12 J.vonNeumann:MathematischeGrundlagenderQuantenmechanik, J.Springer, Berlino,1932, & IV.2,pp. 167–173;trad. inglese: MathematicalFoundationsof QuantumMechanics, PrincetonUniversityPress,1955, & IV.2,pp. 313–328.13 D. Bohm: A SuggestedInterpretationof theQuantumTheoryin Termsof “Hidden” Variables. I & II[Suggerimentodi unainterpretazionedella teoria quantisticain termini di variabili “nascoste”. I & II] ,PhysicalReview 85 (1952)166–179,180–193.14 Perunarassegnadelle teoriea variabili nascostee un esamecritico della loro classificazione,si vedail testodi FrederikJozefBelinfante: A Survey of Hidden–VariablesTheories, PergamonPress,Oxford,1973.Secondola classificazionedi Belinfante,quelladi vonNeumannrientranelleteorieavariabili nascostedi

108

�� ! �"��#��$%��Il problemadelle variabili nascosteha trovato infine soluzionenelle disugua-

glianzepropostenel1964daJohnStewartBell (1928–1990) 15. Persistemicompositi,le cui parti sianostatein interazionenel passato,la meccanicaquantisticaprevedecheunamisurafattasuunaparteforniscainformazionianchesull’altra,quandoen-trambequesteparti sianospazialmentebenseparatee non piu interagenti. Questacorrelazione,di tipo quantistico,puo divenireparadossalesesi vogliono attribuireproprieta oggettive al particolaresistemafisico 16. Il teoremadi Bell poneun limitealla possibilita di correlareeventi distantispazialmente,mentrela meccanicaquan-tistica prevedeal contrariochequestolimite si possasuperarein certecircostanze.Il teoremadi Bell dunquesi prestaa possibileverificasperimentale,mai complessie raffinati esperimentifinoraultimati hannosempredatorisultati in contrastoconledisuguaglianzedi Bell e in accordoinvececon l’interpretazionetradizionaledellameccanicaquantistica17.

E ben vero che lo stessosistemapuo presentareaspetticorpuscolari,comeun elettronecolpito dal fotonenell’effetto Compton,e aspettiondulatori,comenelpassaggiodi elettroni attraverso una fenditura. Ma, come spiega Bohr, vale unprincipio di complementarita chegovernerebbei fenomenifisici: a secondadellavariabiledinamicain esameedel tipo di osservazionecui vienesottopostoil sistemasi mettonoin evidenzaaspettidiversie complementari18.

tipo “zero”, cioequelleteoriecherisultanoimpossibilialla lucedei loro postulati.Le teoriedi deBrogliee di Bohmsonoinveceteoriedi “primo tipo”, impossibilidafalsificaresperimentalmentein unconfrontoconla meccanicaquantistica,perche fornisconoidenticheprevisioni. Questeteorienasconodall’esigenzadi salvaguardareil determinismo,senzacontraddirei successidellameccanicaquantistica.15 J.S.Bell: OntheEinsteinPodolsky RosenParadox[Il paradossodi EinsteinPodolsky Rosen], Physics1 (1964)195–200.16 Albert Einstein,Boris Podolsky e NathanRosen:CanQuantum-MechanicalDescriptionof PhysicalRealityBeConsideredComplete?[Puo considerarsi completala descrizionedellarealta fisicafattadallameccanicaquantistica?], PhysicalReview 47 (1935)777–780.17 Per una rassegna del panoramasperimentalefino al 1978, si veda l’articolo di John F. ClausereAbner Shimony: Bell’s theorem: experimentaltestsand implications [Il teorema di Bell: verifichesperimentalie loro implicazioni], Reportson Progressin Physics41 (1978)1881–1927. Una recenterassegna sperimentaledi caratteredivulgativo si trova nell’articolo di Abner Shimony: La realta delmondodei quanti, Le Scienze40, n. 235 (1988)pp. 38–45. Si vedainoltre di OresteNicrosini: IlparadossoEPRe il teoremadi Bell, Quadernidi FisicaTeorica,Universita di Pavia, 1991.I risultati piu recentie piu probantidi questaindaginesperimentalesonodeigruppidi Aspectedi Kwiat.Alain Aspect,JeanDalibarde GerardRoger: ExperimentalTestsof RealisticLocal Theoriesvia Bell’sTheorem[Verifiche sperimentalidelle teorie realistiche locali per mezzodel teoremadi Bell], PhysicalReview 47 (1981)460–463;ExperimentalRealizationof Einstein-Podolsky-RosenGedankenexperiment:A New Violation of Bell’s Inequalities[Realizzazionesperimentaledell’esperimentoidealedi Einstein-Podolsky-Rosen: una nuova violazionedelle disuguaglianzedi Bell], PhysicalReview 49 (1982)91–94; ExperimentalTestof Bell’s InequalitiesUsing Time-Varying Analyzers [Verifica sperimentaledelledisuguaglianzedi Bell utilizzandoanalizzatoria tempovariabile], PhysicalReview 49 (1982)1804–1807.P.G. Kwiat, A.M. Steinberg e R.Y.Chiao: High-visibility interferencein a Bell-inequalityexperimentforenergyandtime[Interferenzaadalta visibilita in unesperimentosulladisuguaglianzadi Bell perenergiae tempo], PhysicalReview A47 (1993)R2472–R2475.18 N. Bohr: Thequantumpostulateandtherecentdevelopmentofatomictheory[Il postulatoquantisticoeil recentesviluppodellateoriaatomica], Atti delCongressoInternazionaledeiFisici (Zanichelli,Bologna,1928),pp. 565–588[traduzioneitaliananel libro di S.Boffi: Il postulatodei quantie il significatodella

109

�� ! �"��#��$%��L’interpretazionedelle soluzioni dell’equazionedi Schrodinger, che neppure

lo stessoSchrodingeraveva colto, e di tipo probabilistico: la funzioned’ondacherisolve l’equazionedi Schrodingere solo un ausilio matematicoper calcolaredeivalori medidi quantitafisiche,valori checi si aspettacomeil risultatopiu probabiledi unamisurazione.In questosensoe importanteil teoremadi Ehrenfest19: essogarantiscechela teoriapossaesseremessain relazionecol casoclassicosoloquandoci si limiti aconsiderarevalori di aspettazione.

'('('*),+�).-0//,1,2436587�9�:;7"/,<*12=3>7@?A1CBD3A:612=3E?�1GF!BH3JIK3A<"/,1247"LMLN3Nel vuotola propagazionedi lucemonocromaticadi frequenzaO nelladirezione

individuatadal vettorek, detto vettore d’onda, e descrittamedianteuna funzioned’ondadel tipo P

(r Q(R ) = SUT%V (k W r XDY8Z ) Q (1 [ 1)

dove \ = 2]^O e _ S6_ 2 determinal’intensitadell’onda.Fisicamente,la funzioneP

puoessereidentificata,peresempio,conunadellecomponentidelvettorecampoelettricoE associatoallapropagazionedellaluce,cosı comevienedeterminatodalleequazionidi Maxwell (I.3.16)in assenzadi correntidi conduzionee di caricheelettriche.

L’onda (1.1) e dettaondapiana, perche il luogo dei punti investiti all’istanteR dalla perturbazioneondulatoriae un piano ortogonaleal vettorek. Tale piano,individuatodallacondizione

k ` r = costanteQ (1 [ 2)

rappresentail fronted’onda: i suoipuntivibranoconla stessafasea (r Q(R ) = k ` r b6\cR .Col tempoessosi spostaavanzandonello spazionelladirezionedi k; il suomoto edescrittodallacondizione

funzioned’onda, Bibliopolis, Napoli,1996].Si trattadell’interventofattodaBohraComoil 16settembre1927,in occasionedelconvegnocelebrativodel primo centenariodella morte di AlessandroVolta (1745–1827). In questoconvegno e nel QuintoCongressoSolvay, chesi tennea Bruxellesil mesesuccessivo, vennesancitaquellacheva sottoil nomedi interpretazionedi Copenhagen,dal nomedella citta dove venneelaboratala correttainterpretazionestatisticadella meccanicaquantisticadai fisici chesi riunivano intorno a Bohr. Va osservato pero chel’interpretazionestatisticafu propostaperla primavoltaaGottingendaMax Bornnellostudioquantisticodei processid’urto.M. Born: Zur Quantenmechanik der Stossvorgange (Vorlaufige Mitteilung) [Meccanicaquantisticadeiprocessid’urto (Comunicazionepreliminare)], Zeitschrift fur Physik 36 (1926) 863–867; Quanten-mechanikderStossvorgange[Meccanicaquantisticadeiprocessid’urto] , Zeitschriftfur Physik38 (1926)803–827.I due testi di Born sonotradotti in italiano e commentatinel quadernodi S. Boffi: L’interpretazionestatisticadella meccanicaquantistica, Quadernidi FisicaTeorica,Universita di Pavia, 1992.19 P. Ehrenfest: Bemerkunguber die angenaherteGultigkeit der klassischen Mechanik innerhalb derQuantenmechanik [Un’osservazionesulla validita approssimatadella meccanicaclassicaall’internodella meccanicaquantistica], Zeitschrift fur Physik45 (1927)455-457.

110

dfe�e ��g��$%�g��hi� e ��j�k��l��h��N��j�� nmo�� e ��l�p�a (r Q(R ) = k ` r bq\cR = costante[ (1 [ 3)

I punti r, in concordanzadi faselungo la direzionedi k, sono spaziatidi r =2]ts�u , dove r e la lunghezzad’ondadella radiazioneluminosa;essisonoraggiuntisuccessivamentedal fronte d’ondaa intervalli temporalipari a v = 1sAO , per cui ilfronte avanzacon velocita w�x = r�O = \ks�u , dettavelocita di fase. Per la luce nelvuotola velocitadi faseeugualepertuttele frequenzeecoincideconla suavelocitadi propagazioney .

In unmezzoomogeneoeisotropo,la velocitadi fasew�x dipendedallafrequenzaede inferiorea y : w�x = y%s�z , dove z = z ( O ) ( { 1) e l’ indicedi rifr azionedel mezzo.Di conseguenzasi riduce anchela lunghezzad’onda, ma l’onda rimaneun’ondapiananel suopropagarsi.Seil mezzonone omogeneo,l’indice di rifrazione(oltrea dipenderedallafrequenza)variadapuntoa puntoinfluenzandola dipendenzadardellafasea (r Q(R ) = a 0(r) b|\cR . Percio ancheil fronted’ondanone piu unpiano,mae individuatodallacondizione a 0(r) = costante (1 [ 4)

e il suoavanzamentonello spazioe regolatodallacondizionedi fasecostante:a (r Q(R ) = a 0(r) bq\cR = costante[ (1 [ 5)

Fig. 1.1.Il fronted’onda }G~ comeinviluppo delleondesfericheemessedaipunti di } , secondoil principiodi Huyghens.

Da un puntodi vista geometrico,l’avanzamentodel fronte d’ondapuo esserericostruito ricorrendoal principio di Huyghens20, in baseal qualeogni puntodel

20 Ch.Huyghens,loc. cit. (n. 15p. 3).

111

�� ! �"��#��$%��fronted’onda � diventaa suavolta sorgentedi luceper il mezzocircostante,emet-tendoondein tutte le direzioni, chesi propaganoconvelocita w�x = y%s�z (fig. 1.1).Dopo un tempo ��R , a partiredal fronte d’onda � si puo costruireun fronte d’onda�� , ottenutocomeinviluppo di tuttele superficisferichedi raggio w�x��R , centrateneivari punti di � . Il raggioluminoso,chee partitodal punto � su � , ha raggiuntoilpunto � � su �� muovendosiin direzioneperpendicolareal fronted’onda � . Percio ilvettored’ondalocalerisulta

k = � �� a 0 [ (1 [ 6)

Perindividuareil camminopercorsoda un raggiodi luce monocromaticaperandaredal punto � 0 al genericopunto � , durantel’intervallo di tempofinito � ,conviene considerareun sistemadi fronti d’onda generatidalla superficie � 0 cuiappartiene� 0 (fig. 1.2). Il temponecessarioal raggiodi luceperandareda � 0 a � edatoda � =

��0

�!�w�x =1y ��

0

zJ�!�� 1yH� Q (1 [ 7)

dove � e la lunghezzadelcamminoottico percorsodal raggiodi luceda � 0 a � .

Fig. 1.2. Il principio di Fermatper la determinazionedel camminopercorsodal raggiodi luce.

Nel vuotoil raggiodi lucesi propagain linearettaperpendicolarmenteal pianodel fronte d’onda e il camminoottico e un segmentodi retta dispostolungo ladirezione(costante)di k. In un mezzorifrangentela propagazioneavviene lungouna traiettoria incurvata. Ma se, in accordocon la (1.6), la propagazionevienedescrittasecondotraiettoriesempreperpendicolarial fronte d’onda, nella (1.7) il

112

dfe�e ��g��$%�g��hi� e ��j�k��l��h��N��j�� nmo�� e ��l�p�contributo del camminoottico elementarezq�!� va presosemprenelladirezionedelvettorek, cioe perpendicolarmenteal fronted’onda. Datocheogni altro contributoz�� = z��!��s cos� risultanoninferiorea z>�!� ( _ cos�D_K� 1), nella(1.7) l’intervallodi tempo � risultaminimo lungo la traiettoriaeffettivamentedescrittadal raggiodiluce. E questoil risultato del principio di Fermat 21, che in termini variazionalisi traducenellacondizionedi stazionarieta del camminoottico percorsodal raggioluminosodalpuntosorgente1 al puntod’arrivo 2:� � =

� � 2

1zJ�� = 0 [ (1 [ 8)

Neconseguecheil gradientedelcamminoottico, � �� , direttocomek, hacomponentipari ai cosenidirettori di k moltiplicati per z equindi

( � �� )2 = z 2 [ (1 [ 9)

Questaequazione,dettaequazionedell’iconale22, individuai possibilicamminiotticidi unsistemadi raggidi lucein unmezzodi indicedi rifrazione z .

E in accordocol principio di Fermatchein un mezzoomogeneoe isotropolalucesi propagain linearettae quindi, seincontrasuperficiriflettenti, vieneriflessasecondala legge di Cartesioche imponel’uguaglianzatra angolodi incidenzaeangolodi riflessione. Similmente,il principio di Fermatconfermala legge dellarifrazione,

sin �sin � =

z 2z 1��z 21 Q (1 [ 10)

cheregolail passaggiodalmezzoottico1 al mezzoottico2 determinandol’angolodirifrazione� apartiredall’angolodi incidenza� mediantel’indice di rifrazionerelativoz 21.

In generale,in unmezzootticorifrangente,anchel’ampiezzaS dell’ondavienea dipenderedallaposizione.La propagazionedell’ondae, comesempre,governatadall’equazionedi d’Alembert: � 2 P b 1w 2xj� 2 P

� R 2 = 0 Q (1 [ 11)

in cui intervienelavelocitadi fasew x dell’ondamonocromaticaP

. Sipossonocercaresoluzionidella(1.11)nellaforma:

21 PierredeFermat(1601–1665)intuı il suoprincipionel1662nel riderivarele leggi dellarifrazione.22 Il nome iconale, dal greco � )�� /�D� = immagine, e stato coniato da Heinrich Bruns (1848–1919)nello stabilirei criteri generaliper la formazionedelle immagininei sistemiottici nell’ambitodell’otticageometrica.H. Bruns: Das Eikonal, Abhandlungender math.-phys.Classeder Kgl. SachsischenGesellschaftderWissenschaften(Lipsia) 35 (1895)325–435.

113

�� ! �"��#��$%��P

= S (r) T V [ � 0(r) X�Y!Z ] Q (1 [ 12)

con S (r) e a 0(r) funzioni reali dellaposizioner. Sostituendola (1.12)nella(1.11)eseparandolaparterealedaquellaimmaginaria,siottengonoledueseguentiequazioni:� 2 S�b�S ( � �� a 0)2 +

\ 2w 2x S = 0 Q (1 [ 13)

2� �� S�`"� �� a 0 + Sj� 2 a 0 = 0 [ (1 [ 14)

La quantita \ 2 s�w 2x ��z 2 u 20 = z 24] 2 s�r 2

0 e legataalla lunghezzad’onda r 0 chela radiazioneavrebbenel vuoto. La (1.13)puo riscriversialloranellaforma:

1u 20

� 2 SS b¡ 1u 20

( � �� a 0)2 b¢z 2 £ = 0 [ (1 [ 15)

Nell’ipotesi che r 0 sia piccola rispettoalla distanzasu cui l’indice di rifrazionesubiscesensibilivariazioni,si puo trascurareil primo terminenella(1.15);si ottienecosı l’equazione

1u 20

( � �� a 0)2 = z 2 Q (1 [ 16)

cheequivaleall’equazionedell’iconale(1.9) in quantopermettedi tracciareil cam-mino ottico, tangentea � �� a 0, unavolta noto l’indice di rifrazione z . L’equazionedell’iconale,caratteristicadell’otticageometrica,equindiil risultatodelladescrizioneondulatorianel limite di piccolelunghezzed’onda.

Nota la fase a 0, la (1.14) serve poi a determinarel’ampiezza S dell’onda equindi l’intensita dellaluce.

Quandola perturbazioneondulatoriachesi propaganello spaziononprovienedal moto di una singolaonda monocromatica,ma e il risultato di un gruppodionde, ciascunacon la sua frequenzaO e il suo vettored’onda k, la descrizionediventapiu complicata.Ancorasi puo dire cheogni ondasoddisfa un’equazionedid’Alembert, chene regola il moto di propagazionecon la corrispondentevelocitadi fase w x = r�O = \ks�u . Se si tratta di onde, tutte con la stessavelocita di fasew�x , comesuccedeperle ondeluminosenelvuoto,alloraanchel’intera perturbazioneondulatoriaedescrittadaunafunzionechesoddisfalastessaequazionedi d’Alembertesi propagaconla stessavelocita w�x . In generalepero il mezzodiversificale velocitadi fasedelle varie onde,alterandoquindi nel tempola forma della perturbazionerisultantedallasovrapposizionedelmotodellevarieondechesi propaganociascunaconla suavelocitadi fase.Nel suocomplesso,comesi e visto nell’EsempioI.3.2, ilmotodellaperturbazionepuoesserecaratterizzatoassegnandolavelocitabaricentraledel gruppodi onde:talevelocita,dettavelocita di gruppo, risultapari a

114

dfe�e ��g��$%�g��hi� e ��j�k��l��h��N��j�� nmo�� e ��l�p�wA¤ =

��\��u (1 [ 17)

ede la velocita dell’ondaconfrequenzacentralerispettoa quelledell’intero gruppodi onde.

Da un puntodi vistaclassico,la descrizionedel moto di unaparticellae dellapropagazionedi unaperturbazioneondulatoriasonomoltodiversetradi loro. Tuttaviaesistonoalcuneanalogiegia rilevatedaHamilton23.

Il motodi unaparticelladi massa¥ 0 e velocita v e descrittoin termini classiciassegnandoneadogni istanteposizioner eimpulsop = ¥ 0v: conoscendolaposizioneraggiuntaauncertoistante,la direzionedi p permettedi prevederein qualedirezionelaparticellasimuoveranell’istantesuccessivo; il modulodi p nedeterminala rapiditaconcuipercorrerail successivotrattodi cammino.In questomodoepossibileseguirelo sviluppodella traiettoria descrittadallaparticella. Il problemadel motoe quindiricondottoalla determinazionedell’impulso p istanteper istante,nei punti che sitrovano lungo la linea che costituiscela traiettoria effettivamentepercorsadallaparticella.

Perunaparticellalibera,nellameccanicaclassicanonrelativistica,l’impulso elegatoalla suaenergiacostante¦ dallarelazione§ 2

2¥ 0= ¦¨[ (1 [ 18)

Mediantela definizionedellafunzione©(r Q(R ) = p ` r b�¦JR4Q (1 [ 19)

cheha le dimensionidi un’azione, la (1.18)puo essereriscritta nella forma dell’e-quazionedi Hamilton–Jacobiperla particellalibera:

12¥ 0

( � �� © )2 + �©� R = 0 [ (1 [ 20)

La condizione ©(r Q(R ) = costanteQ (1 [ 21)

similmentealla(1.3),definisceunpianocheavanzanelladirezionedi p alui perpen-dicolare,

p = � �� © Q (1 [ 22)

23 Cfr. n. 5 p. 2.

115

�� ! �"��#��$%��con velocita di avanzamentopari a ¦ªs § . Il moto della particellaavvienelungo laretta,individuatadalladirezionecostantedi p, perpendicolarmenteal pianodefinitodalla(1.21)24.

Allora, mediantela forma esplicita(1.19) della

©, l’equazionedi Hamilton–

Jacobi(1.20)diventa

( � �� © )2 = 2¥ 0 ¦¨Q (1 [ 23)

che ha la stessastrutturadell’equazionedell’iconale (1.9): fissatal’energia ¦ ,l’equazione(1.23)permettedi tracciarela traiettoriapercorsadalla particelladallaconoscenzadellasuatangente� �� © = p o,equivalentemente,di seguirel’avanzamentodel fronted’onda

©(r Q(R ) in direzioneperpendicolarea p.

In presenzadi un campodi forze conservativo, descrittodal potenziale« (r),ancoral’energia ¦ e costantee la (1.18)diventa§ 2

2¥ 0+ « (r) = ¦¨[ (1 [ 24)

Sesi conservaanchein questocasola definizione(1.22)ponendo©(r Q(R ) = ¬ (r Q(R ) b¢¦R�Q (1 [ 25)

si puo riscrivereanchela (1.24)in unaformasimilealla (1.9):

( � �� ¬ )2 = 2¥ 0[ ¦®b¯« (r)] [ (1 [ 26)

Questaanalogiacon l’ottica geometricae piu profonda: non solo l’impulso§ = ° 2¥ 0[ ¦�b±« (r)] ² 1 ³ 2, variabiledapuntoa puntopereffetto del campodi forze,corrispondeall’indicedi rifrazionez variabiledapuntoapunto,maanchela funzione¬ svolgeunruolosimileaquellodelcamminoottico � nell’equazionedell’iconale.Infatti la condizione ¬ (r Q(R ) = costanteQ (1 [ 27)

analogamenteallacondizionedi fasecostante(1.4),definisceunasuperficieadazionecostante;in presenzadi un potenziale« (r), questasuperficienon e piu un pianoeavanzanello spaziosecondola condizione©

(r Q(R ) = ¬ (r Q(R ) b�¦JR = costanteQ (1 [ 28)

analogaalla(1.5). La definizione(1.22)permettedunquedi considerarela traiettoriadescrittadallaparticellacomequellalineasempreperpendicolarealla superficieadazionecostante(1.27),cosı comeil raggiodi luceviaggiaperpendicolareal fronte

24 Perla (1.18),la “velocitadi fase” ´¶µ�· delpianodefinitodalla(1.21)epero pariallameta dellavelocita¸ dellaparticella.

116

dfe�e ��g��$%��h¹� e ��g�U�k��l�A��h��g�j��D ��cm�� e ��l�p�d’ondadi fasecostante.Lavelocitadi avanzamentodelfronted’ondadellaparticellae paria w�x =

¦_ � �� © _ =¦ § [ (1 [ 29)

Siccomel’energia rimanecostanteduranteil moto,la velocitadi faseconcui avanzail fronte d’onda della particella e inversamenteproporzionalealla velocita dellaparticella.

Inoltre, siccome§ �� = _ � �� © _ �� = ��¬ , si riconoscesubito che la traiettoriapercorsadalla particellaa energia costantepuo esseredeterminataricorrendoa unprincipio variazionalesimile a quellodi Fermatutilizzatonell’ottica geometrica.Equestoinfatti il significatodelprincipio di Maupertuischestabiliscela condizione� � 2

1

§ �� = 0 [ (1 [ 30)

Il principio di minima azionedi Maupertuisimpone la stazionarieta dell’azione¬ = º 21§ �� lungo la linea, tra le infinite possibili, corrispondentealla traiettoria

davvero percorsa,allo stessomodo in cui il principio di Fermat(1.8) imponelastazionarietadel camminoottico � peril raggiodi luce.

Fig. 1.3.La riflessionedel raggiodi lucecheva dal punto1 al punto2assimilataal rimbalzodi unaparticellanelpunto3.

»½¼4¾4¿nÀ�ÁMÂ@Ã�ÄMÃConriferimentoallafig. 1.3,il principiodi Maupertuispermettedi determinare

il punto3 di rimbalzodellaparticellacontrounapareteperfettamenteelasticanell’andare

117

��¹� �g�� (�N��D�A��8 �"��l��$%��dal punto1 al punto2 alla stessastreguaconcui il principio di Fermatrendecontodellaleggedi Cartesiosullariflessione.

Non essendosoggettaa forze, la particellaha un impulso Å costante;dunquela(1.30) implica semplicementeche il camminototale sia minimo. Percio deve essereminimo ÆÈÇÉÆ

1 +

Æ2 = Ê Ë 2 + ( Ì 3 Í Ì 1)2 + Ê Ë 2 + ( Ì 2 Í Ì 3)2 Î (1 Î 31)

Cio si realizzafacendovariareÌ 3 in modochesia:Ï ÆÏ Ì 3=Ì 3 Í Ì 1

Æ1

Í Ì 2 Í Ì 3

Æ2

= 0 Î (1 Î 32)

Ma cio imponepropriochel’angolo di incidenzasiaugualea quellodi riflessione.»½¼4¾4¿nÀ�ÁMÂ@Ã�ÄNÐConriferimentoallafig. 1.4,si puo studiareil percorsodellaparticelladalpunto

1, appartenentea unaregionein cui la particellapossiedeimpulsocostanteÅ 1 = Ñ@Ò 1,al punto2 di una regione in cui la particellapossiedeimpulsocostanteÅ 2 = Ñ@Ò 2: lasceltadel punto3 sulla superficiedi separazionetra le dueregioni e determinatadallacondizionedi minimaazione.L’azione Ó = º 2

1Å Ï�Ô risultasommadi duecontributi,

Ó Ç Å 1

Æ1 + Å 2

Æ2 = Å 1 Ê Ë 2 + ( Ì 3 Í Ì 1)2 + Å 2 Ê Ë 2 + ( Ì 2 Í Ì 3)2 Î (1 Î 33)

Fig. 1.4.La rifrazionedel raggiodi lucechevadalpunto1 al punto2assimilataalla traiettoriadi unaparticellachepassaperil punto3.

118

ÕG � mo� e ��g�f��H�%�¶Öf��g$*� ��Peril principio di Maupertuisdeve essereÏ ÓÏ Ì 3

= Å 1Ì 3 Í Ì 1

Æ1

Í Å 2Ì 2 Í Ì 3

Æ2

= 0 Î (1 Î 34)

Percio Å 1 sin × = Å 2 sin Ø"Ùcioe

sin ×sin Ø =

Å 2Å 1

Î (1 Î 35)

La (1.35)e formalmenteidenticaalla leggedi Cartesio(1.10)sesi identificala variazionedi indicedi rifrazionenelpassaggiodalmezzoottico1 al mezzoottico2 conla variazionedi impulsosubitadallaparticella25.

'('('*)�Ú�)¹ÛÜ 1pIÝ9�/g7*Þ41n?�1¶?87Uß¹<�9=5AL#1�7Unodeirisultatidellateoriadeiquantidi luce,chepermettedi spiegarel’effetto

fotoelettricoe la radiazionedi corponero,e chela radiazionedi frequenzaO vieneemessae assorbitaper quantidi energia pari a àDO , dove à e la costantedi Planck.Alla radiazione,usualmentedescrittacomeun’ondaelettromagnetica,vieneattribuitoun comportamentocorpuscolarein termini di quantidi energia chepossiedonounimpulsodi modulo§ = àDO�sAy = àHs�r edirezioneconcordeconquelladi propagazionedel raggiodi luce. Le analogietraotticageometricaemeccanicadelpuntomaterialepossonoviceversasuggerirela possibilitadi associareuncomportamentoondulatorioa quellechela meccanicaclassicaconsideraparticelle.»½¼4¾4¿nÀ�ÁMÂJÐ�ÄMÃ

CondeBroglie 26 si puo immaginarechei quantidi lucesianoparticelledotatediunamassaariposo Ñ 0 moltopiccola,macomunquediversadazero,echesi muovanoadunavelocita di modulo Ò molto prossimoa á ; la frequenzaâ associataal quantodi lucesiainoltre la frequenzadi unmotoperiodicointernoallaparticella.Seallorasi identificaã â conl’energia relativisticadi tali particelle,perl’osservatorefermosi ottieneã â =

Ñ 0 á 2Ê 1 Í;ä 2Ù (2 Î 1)

25 Si facciaattenzioneal fattocheperlaparticellae · 2 µ�· 1 = ¸ 2 µ ¸ 1, mentreperlavelocitadi fasedell’ondae å 2 µ4å 1 = ¸"æ 1 µ ¸%æ 2!26 L. de Broglie: A TentativeTheory of Light Quanta [Propostadi una teoria dei quanti di luce],PhilosophicalMagazine47 (1924)446–458.Traduzioneitaliananellibro di L. deBroglie,E.Schrodinger,W. Heisenberg: Ondee particelle in armonia. Alle sorgenti della meccanicaquantistica, introduzioneecuradi S.Boffi, JacaBook,Milano, 1991.

119

��¹� �g�� (�N��D�A��8 �"��l��$%��mentre,per un osservatorerispettoal qualeil quantodi luce apparein quiete,si deveporre ã â 0 = Ñ 0 á 2 Î (2 Î 2)

La frequenzaâ osservata nel laboratoriorisulta quindi legataalla frequenzaâ 0, vistadall’osservatorechesi muovecol quantodi luce,dallarelazioneâ =

â 0Ê 1 Íçä 2

Î (2 Î 3)

La (2.3) contieneil fattore Ê 1 Íçä 2 in mododiversodaquantoci si aspetterebbedallaregola di trasformazionerelativistica delle frequenze:per la (II.1.10) l’osservatorenellaboratoriodovrebbepiuttostomisurareunafrequenzaâ 1 pariaâ 1 = â 0 Ê 1 Íçä 2 Î (2 Î 4)

Nella suatesi 27 de Broglie risolve l’enigma ricorrendoalla dimostrazionedi unteorema,che chiamail teoremadell’armonia di fase. Egli supponeche il quantodiluce,pensatofinoracomeunaparticella,oltre a possedereun motoperiodicointernodifrequenzaâ 0, siaaccompagnatonelsuomotodaun’onda,la cui frequenzanel laboratorioabbia il valore â . La velocita di fasedi quest’ondava calcolatasecondole analogietra ottica geometricae meccanicamessein luce nel paragrafoprecedente,eq. (1.29);siccomepero la particellasi muoveavelocitamoltoprossimaaquelladellaluce,si devericorrerealla formularelativistica(II.1.31)perl’energia,è 2 = á 2 é Å 2 + Ñ 2

0 á 2 ê Î (2 Î 5)

Si hadunque Ò æ =è Å = áoë 1 +

Ñ 20 á 2Å 2

Î (2 Î 6)

D’altra parte(cfr. eq. (II.1.27)),p = ìÝÑ 0v equindiÒ æ =áä =

á 2Ò�í á%Ù (2 Î 7)

dove ä = Ò�î"á .Il teoremadell’armoniadi faseafferma che se inizialmenteil fenomenointerno

ondulatorioe l’ondacheaccompagnala particellahannola stessafase,questaarmoniadifaseperdurera durantetutto il moto.

Infatti,sisupponganocoincidentie,persemplicitanulle,lefasiiniziali delfenomenointernoedell’ondacheaccompagnala particella.All’istante ï la particellahapercorsoladistanzaÌ = Ò�ï dall’originedelsistemadi riferimento ð nellaboratorio.Il suofenomenointernoe alloraproporzionalea

27 Cfr. n. 7 p. 107.

120

ÕG � mo� e ��ñ��ñ�%�cÖf��g$"� ��sin2òDâ 1 ï = sin2òDâ 1

Ì Ò ;

nellostessopostol’onda edescrittada

sin2òDâ é ï Í ä á Ì ê = sin2òDâ é Ì Ò Í ä á Ì ê = sin2òDâ Ì Ò (1 Í;ä 2) ÎD’altra parte,dalle(2.3)e (2.4)segueâ 1 = â (1 Íçä 2)

equindi ancheall’istante ï si verifical’armoniadi fase.Graziea questoteorema,perdeBroglie il motodellaparticellae inscindibilmente

collegato con un moto di propagazioneondulatoria: il principio di Fermatdell’otticageometricadeterminail raggiodell’ondadi fase,cosı comeil principiodi minimaazionedi Maupertuisdella meccanicaanaliticaindividua la traiettoriaeffettivamentedescrittadallaparticellaaenergia costante.

Dall’analogiatraprincipiodi Fermateprincipiodi minimaazionedi MaupertuisnediscendonosecondodeBroglie altredue. Innanzitutto esisteun’analogiatra lavariazionedi lunghezzad’onda r dovuta alla variazionedella velocita di fase w�xdell’ondain unmezzoe la variazionedi impulsop di unaparticellacheattraversauncampodi forze. Nel primocasow�x cambiaconl’indice di rifrazione z ( \ ) delmezzoseguendounaleggedi dispersionedel tipow�x =

yz ( \ )[ (2 [ 8)

Nel casodi unaparticella, la variazionedi impulso e provocatadal gradientedelpotenziale: � p��R = b0� �� «c[ (2 [ 9)

Unasecondaanalogiaconsistenellapossibilitadi prevedereil camminopercorsodal raggio luminosoe dalla particellamedianteun principio variazionale,in cuil’inversodella lunghezzad’ondae l’impulso giocanolo stessoruolo. In ottica, ilcamminopercorsodal raggioluminoso,attraversandounmezzoottico conindicedirifrazione z ( \ ) variabile,puo esserestabilito in baseal principio di Fermat(1.8).Taleprincipiopuo essereinterpretatonelsensodi imporrela stazionarietadel tempodi percorrenza� delcamminoottico:� � =

� � 2

1�!� z ( \ )y

=1O � � 2

1�� 1r = 0 [ (2 [ 10)

121

�� ! �"��#��$%��A parte il fattorecostante1sAO , caratteristicoper l’onda in esame,la (2.10) dicecheil camminopercorsodall’ondain unita di lunghezzad’onda(variabiledurantela propagazionedell’onda) deve esserestazionario. In meccanica,la traiettoriarealmentepercorsadaunaparticellae determinatadalprincipio di minimaazionediMaupertuis(1.30),in cui l’impulso § sostituisce1s�r nella(2.10).

Infine, l’identificazionedella velocita di fasedell’onda di fase, \ks�u , con lavelocita di fasedell’onda di una particella, ¦@s § , secondola (2.6) stabilisceunaproporzionalita tra l’energia ¦ e la frequenzaO = \ks 2] etra l’impulso § e il numerod’onda u . Il fattoredi proporzionalitadeveesserelo stessocheesistetra l’azione ¬dellaparticellaela fasea dell’onda,cioedeveaverele dimensionidi un’azione.Talefattore,indicatoconl’ accatagliata, -à , e la costantedi Planck à , divisaper2] :

-àç� à2] = 1 [ 05457266(63) ó 10X 34J s[ (2 [ 11)

Percio si ha: ¦ = -à�\iQ § = -àHuHQ (2 [ 12)

cioe ¦ = àDO�Q § =àr Q (2 [ 13)

in accordoconle ipotesidi Planck-Einsteinsuiquantidi luce,verificateperesempionell’effetto Compton.

De Broglie dimostrainoltre chel’equivalenzatra principio di Fermate princi-pio di Maupertuisvale anchenel casodi unadinamicarelativistica. Infatti, nelladescrizionerelativistica di unaparticella,intervieneil tetravettoreenergia-impulso§�ô � (§�õ Q §�ö Q §D÷ Q(�g¦ªs�y ), che si trasformaper trasformazionidi Lorentz come iltetravettoredi componenti( øùQ(úDQ=û�Q(��y�R ). Perla (2.13),al tetravettore§�ô corrispondenelladescrizioneondulatoriail tetravettoreu ô : la suacomponentetemporaleeparia�!àDO�sAy e le suecomponentispazialisonole componentidi un vettorek direttocomela direzionedi propagazionedell’ondaedi modulo àDs�r :§ ô � (p Q(�g¦@sAy ) = -à�u ô � (k Q(�\ksAy ) [ (2 [ 14)

L’analisidi tuttequesteanalogiepermetteadeBrogliedi applicarela (2.13)nonsoloai quantidi luce,maancheagli elettroni,chefino adalloraeranoconsideratisolodelleparticelle:ancheunaparticelladi impulso § edenergia ¦ si muove in armoniadi faseconun’ondadi lunghezzar = àDs § e frequenzaO = ¦ªs�à .

A questopunto,l’ideadi deBrogliefu quelladi estenderel’analogia,associandoa unaparticellaun’ondadi pulsazione\ e vettored’ondak:ü

(r Q(R ) = T%V (k W r XDY8Z ) [ (2 [ 15)

122

ÕG � mo� e ��ñ��ñ�%�cÖf��g$"� ��La velocitadi fasedi questaondarisulterebbeespressadal rapportotra l’energia ¦ eil modulodell’impulso § dellaparticella,w�x =

\ u =¦ § [ (2 [ 16)

L’analogia tra comportamentoondulatorio e dinamica di una particella imponedunque,ancheperla particella, § =

àr Q (2 [ 17)

dove r vienedettalunghezzad’ondadi deBroglie dellaparticella.E immediatoriconoscerechesesi imponela (2.17)nella condizionedi quan-

tizzazionedi Bohr–Sommerfeld(II.5.1), si ottieneunacondizionedi sintonizzazionetra la lunghezzadella traiettoriachiusapercorsadall’elettronenel suo moto peri-odicoall’interno dell’atomoe la lunghezzad’ondadell’ondaassociataall’elettronestesso:la lunghezzadella traiettoriachiusa(orbita) deve essereun multiplo interodella lunghezzad’onda. Di conseguenza,risultanopermessisolo precisivalori delnumerod’onda u e le regole di quantizzazionedi Bohr–Sommerfeldimpongonosemplicementel’instaurarsidi ondestazionarieassociateagli elettroninegli atomi.

ComehafattoosservareBohr28, graziealle(2.12)e(2.13)nellafisicaquantisticac’e sempreun legamedel tipo ¦ýv = § r = à (2 [ 18)

tra l’energia ¦ e l’impulso § da unapartee il periodo v e la lunghezzad’onda rdall’altra. Questarelazioneesprimeil dualismoonda–corpuscoloe neevidenziagliaspetticomplementari.Seci si concentrasul primo membrodelleequazioni(2.12)e (2.13),si focalizzal’aspettocorpuscolare,mentreil secondomembroe associatoal comportamentoondulatorio.Da questaosservazioneprendonoavvio le argomen-tazioni di Bohr per enunciareil principio di complementarita che governerebbeifenomenifisici: questisi presenterebberosottol’aspettoondulatorioo corpuscolarea secondadel tipo di osservazionechevieneprivilegiata. Cosı, per esempio,sesiosserva la diffrazionedi un fasciodi luce o di particelleattraversouna fenditura,sene evidenzianogli aspettiondulatori; invecenell’effetto Comptono nell’effettofotoelettricosi mettonoin risaltogli aspetticorpuscolari.

Tuttavia e daosservarechela felice intuizionedi deBroglie e scaturitadaunasituazioneforzata: l’armoniapretesadal teoremadi deBroglie riguardasolo la fasedell’onda,in quantola suavelocita di propagazionew x = y%s�þ e superiorea quelladella lucee quindi nonpuo esseremessain relazionecon la veravelocita del motodellaparticella.Seinvecesi consideraungruppodi ondeconfrequenzemoltovicinetra di loro, chesi propaganoconvelocita di fasemolto prossimetra di loro, la lorovelocitadi gruppo,

28 Cfr. n. 18p. 109.

123

�� ! �"��#��$%��w�¤ =

�A\�!u =�8¦� § =

§¥= y 2 u\ =

y 2w�x �ÿy�Q (2 [ 19)

risultanonsuperiorea y equindipuoessereidentificataconlavelocitadellaparticella.Inoltre, e veroche,graziealle (2.13)e alla definizionedell’indice di rifrazionez = y%s�w�x = y%sAO�r , il principio di Fermat(1.8) e il principio di Maupertuis(1.30)

acquistanola stessaforma: � � 2

1

��r = 0 [ (2 [ 20)

Tuttavia la (2.20)indicachela traiettoriadescrittadaunaparticellain un campodiforzenonela stessacompiutadalraggiodi luce: il camminopercorsodallaparticellarisulta quello con il minor numerodi lunghezzed’onda,comeper la luce, ma nonquellocorrispondenteal minor tempodi percorrenza,perche la velocitadi fase¦ªs §dellaparticellanoncoincideconla suavelocitadi moto,mentreperla lucela velocitadi propagazionedi un’ondamonocromaticae sempreugualealla velocita di fasew�x = \ks�u .

'('('*)��8)iÛJÜ 7��"FÝ3��"1,9�BH7@?A1��D2�!<�98?A1CB8587"<L’idea di deBroglie di associareun’ondaalla particellasarebberimastasterile

senonsi fosseriusciti ascriverel’equazioned’ondacorrispondenteea interpretarnele suesoluzioni. Si e gia visto chel’uso di un’ondamonocromaticadel tipo (2.15),chesi propagaconvelocitamaggioredi quelladellaluce,none il piu appropriatoperdescrivereunaparticella,chenecessariamenteviaggiaconvelocita nonsuperioreay . Sembrainvecepiu convenienteassociarealla particellaun pacchettodi ondedeltipo

�(r Q(R ) =

� � k S (k) T V (k W r X�Y!Z ) (3 [ 1)

e descriverela velocitadel suomotoricorrendoalla velocitadi gruppo.Perstabilirel’equazioneperil pacchettodi onde,bastaapplicarel’operatoredi

d’Alembert(I.3.31)alla (3.1),tenendopresentela (2.5). Si ottienecosı:

�� 2 b 1y 2 � 2

� R 2 £ � (r Q(R ) =¥ 2

0 y 2

-à 2

�(r Q(R ) Q (3 [ 2)

124

ÕG �g�� (��D��8 �"��l��$%��chee l’ equazionedi Klein-Gordon29.

Essaapparecomeun’equazionedi d’Alembertperla funzione�

, conunterminedi sorgentechecoinvolgela lunghezzad’ondaComptondellaparticellain gioco. Perparticellecon massaa riposo ¥ 0 nulla, quali sonoi fotoni, l’equazionedi Klein-Gordondiventaunanormaleequazionedi d’Alembertchedescrive la propagazionedi un’ondaelettromagnetica.

Daunpuntodi vistaformale,l’equazione(3.2)puo essereottenutapensandodiapplicarel’espressioneclassica(2.5)alla funzione

�(r Q(R ), conl’intesadi operarele

seguentisostituzioni: ¦� � -à �� R Q (3 [ 3)

p bi� -àK� �� [ (3 [ 4)

In questomodo,all’energia e all’impulso classicivengonoassociatidegli ope-ratori derivativi cheagisconosullafunzione

�(r Q(R ) producendola (3.2).

Moltiplicando a sinistrala (3.2) per��

e la suacomplessaconiugataper�

esottraendomembroamembrole dueequazionicosı ottenute,risulta

� � � 2 � b � � 2 � � b 1y 2 é � � � 2 �� R 2 b � � 2 ��

� R 2 ê = 0 [ (3 [ 5)

Questaequazionehala strutturadi un’equazionedi continuita,� �� ` j + � �� R = 0 Q (3 [ 6)

pur di definireunadensita

� =� -à

2¥ 0 y 2 é �� R b � � �� R ê (3 [ 7)

e unadensitadi corrente

j = b � -à2¥ 0

(�� b � � �� ) [ (3 [ 8)

L’esistenzadi un’equazionedi continuita associataall’equazioned’onda(3.2)e un fatto interessante,ma pone problemi interpretativi. L’equazionedi Klein-Gordon(3.2)eun’equazionedifferenzialedelsecondoordinenel tempoe,perla suarisoluzione,richiedela conoscenzadella

�e dellasuaderivatatemporale� � s � R a

29 L’equazione,che oggi e indicatacoi nomi di OskarBenjaminKlein (1894–1977)e Walter Gordon(1893–c.1940),fu propostanel 1926 contemporaneamentee indipendentementeda molti autori, tra iquali lo stessoSchrodinger. Perunastoriadell’equazionedi Klein–Gordonsi vedal’articolo di HelgeKragh: Equationwith manyfathers. TheKlein–Gordonequationin 1926[Un’equazioneconmolti padri.L’equazionedi Klein–Gordonnel1926], AmericanJournalof Physics52 (1984)1024–1033.

125

�� ! �"��#��$%��uncertoistante.Siccome

�e � � s � R possonoessereassegnateadarbitrio, la � della

(3.7) non e definitapositiva. Restapercio problematical’interpretazionedella � equindi della

�. In particolaree per esempioimpossibileinterpretarela � comela

densitadi materiao la densitadi caricadellaparticellaallo studio30.Questedifficolta interpretative dell’equazionedi Klein-Gordonsonolegateal

fatto che e un’equazionedifferenzialedi secondoordine nel tempo. Cio e con-seguenzadell’applicazionedell’operatoredi d’Alemberte dell’usodell’espressionerelativistica (2.5) per l’energia, nella qualee inclusaanchela possibilita di energienegativeperla particellalibera:¦ = b�y � § 2 + ¥ 2

0 y 2 [ (3 [ 9)

Valori negativi perl’energiadellaparticellain motoliberosonodi difficile compren-sionein fisicaclassicae acquistanosignificatosoloin teoriaquantisticadei campi.

Pereliminarela presenzadi valori negativi dell’energiadellaparticelladescrittadaun’equazioned’onda,convieneconsiderarepiccolevelocita e svilupparela (3.9)in seriedi potenzedi § s�¥ 0 y ,

¦ = ¥ 0 y 2 1 +§ 2¥ 20 y 2 � ¥ 0 y 2 +

12¥ 0

§ 2 b 18¥ 3

0 y 2§ 4 + ["["[oQ (3 [ 10)

e definireunanuovapulsazione\ � in approssimazionenonrelativistica:\¯� ¦-à =

¥ 0 y 2-à +

-à�u 2

2¥ 0� ¥ 0 y 2-à + \ � [ (3 [ 11)

In tal modoil pacchettodi ondediventa�(r Q(R ) =

� � k S (k) T V (k W r X�Y!Z )= T X V�� 0 � 2 Z³ -� � � k S (k) T V (k W r XDY��#Z )� T X V�� 0 � 2 Z³ -� � � (r Q(R ) [ (3 [ 12)

30 Per tale ragionel’equazionedi Klein-Gordonfu abbandonatae ripresasolo nel 1934da Pauli e daVictor FrederickWeisskopf (n. 1908),cheriuscironoa darneun’intepretazionecorrettain unoschemaditeoriaquantisticadeicampie la affiancaronoadun’altraequazioned’ondarelativisticapropostanel1928da Dirac. L’equazionedi Dirac descrive particelle(a spin 1

2 ) comegli elettroni,mentrel’equazionediKlein-Gordondescrive particelle(prive di spin)comei mesoni� .W. Pauli e V. Weisskopf: Uber die Quantisierungder skalaren relativistischen Wellengleichung [Laquantizzazionedell’equazioned’ondascalare relativistica], HelveticaPhysicaActa 7 (1934)709–729.P.A.M. Dirac: Thequantumtheoryof theelectron [La teoria quantisticadell’elettrone], Proceedingsofthe Royal Societyof LondonA117 (1928)610–624;Thequantumtheoryof the electron. Part II. [Lateoria quantisticadell’elettrone. Parte II.] , ibid. A118 (1928)351–361.

126

ÕG �g�� (��D��8 �"��l��$%��Nel pacchettodi onde

� � (r Q(R ) ogni ondaintervienecon la suapulsazione\ � , deter-minatadal valorenonrelativisticodell’energia:

-àK\ � =§ 2

2¥ 0=

-à 2 u 2

2¥ 0[ (3 [ 13)

Applicandol’operatoredi d’Alemberta�

(r Q(R ), si ottiene

é � 2 b 1y 2 � 2

� R 2 ê � (r Q(R ) =

= T X V�� 0 � 2 Z³ -� é � 2 +¥ 2

0 y 2-à 2 +

2��¥ 0-à �� R b 1y 2 � 2

� R 2 ê � � (r Q(R ) [(3 [ 14)

Identificandoil secondomembrodella(3.14)conil secondomembrodell’equazionedi Klein-Gordon(3.2),risultaé � 2 +

¥ 20 y 2

-à 2 +2�g¥ 0

-à �� R b 1y 2 � 2

� R 2 ê � � (r Q(R ) =¥ 2

0 y 2-à 2

� � (r Q(R ) [ (3 [ 15)

Nel derivarela� � rispettoal temponella(3.15)si ricavaognivoltaunfattore\ � che,

nel limite nonrelativistico, e piccolo rispettoa ¥ 0 y 2 s -à (cfr. eq. (3.11)). Pertantonella (3.15)si puo trascurareil terminecon la derivatasecondarispettoal tempoeottenere é � 2 +

2��¥ 0-à �� R ê � � (r Q(R ) = 0 [ (3 [ 16)

Richiamando�

la� � e ¥ la massaa riposo ¥ 0, si e soliti riscriverela (3.16)nella

forma: é � -à �� R +-à 2

2¥ � 2 ê � (r Q(R ) = 0 [ (3 [ 17)

La (3.17)e l’ equazionedi Schrodinger per la particellalibera31. Essapuo pensarsiottenutaa partiredallarelazionenonrelativisticadell’energia,¦ =

§ 2

2¥ Q (3 [ 18)

applicataalla funzione�

, con l’intesadi sostituirela derivatatemporaleall’energiae il gradientespazialeall’impulso, secondole stessesostituzioni(3.3) e (3.4) chepermettonodi ricavare l’equazionedi Klein-Gordon(3.2) a partiredalla relazionerelativisticadell’energia.

31 La derivazionedell’equazionedi Schrodinger qui propostanon e quella originale di Schrodinger,bensı seguela via suggeritadaW. Pauli nellesuelezioni al Politecnicodi Zurigo nell’annoaccademico1956–1957(cfr. n. 10 p. 107).

127

�� ! �"��#��$%��Esercizio 3.1

Verificareche,conl’approssimazionenonrelativistica(3.18)per l’energia, l’ondapiana(2.15)soddisfa l’equazionedi Schrodinger(3.17)perla particellalibera.

Estendendol’analogiaalcasoin cui,oltreall’energiacinetica(3.18),ci siaancheuncontributo di energiapotenziale,¦ =

§ 2

2¥ + « (r) Q (3 [ 19)

Schrodingerproposel’equazione: N� -à �� R +-à 2

2¥ � 2 b¯« (r) £ � (r Q(R ) = 0 [ (3 [ 20)

Nella (3.20),accantoalle sostituzioni(3.3)e (3.4),si e sostituitoalla funzione « (r)della(3.19)l’operatoremoltiplicativo « (r) 32.

Comel’equazionedi d’Alemberte l’equazionedi Klein-Gordon,anchel’equa-zionedi Schrodingere un’equazionelinearenella

�e nelle suederivate. Pertanto

valeil principiodi sovrapposizionelinearepercuiunaqualsiasicombinazionelinearedi duesoluzionie ancoraunasoluzione.In questosensol’equazionedi Schrodingereun’equazioned’ondaecontienela possibilitadi descriverefenomenid’interferenzatipici del comportamentoondulatorio. Pero l’equazionedi Schrodinger, sia per laparticellalibera, (3.17),sia per la particellasottopostaa forze conservative, (3.20),e un’equazionedifferenzialedel primo ordinenel tempo. In cio si differenziadalleequazionidi d’Alembert e di Klein–Gordon: per la suarisoluzionenon occorreassegnareil valoreinizialedelladerivatatemporaledella

�, mabastaconoscereaun

certoistantele condizionisulla�

al contornodeldominiospaziale.Ancheper l’equazionedi Schrodingere possibileindividuareun’equazionedi

continuita. Sesi supponecheil potenziale« (r) siareale,« (r) = « � (r) Q (3 [ 21)

moltiplicandoasinistrala (3.20)per��

ela suacomplessaconiugataper�

equindisottraendomembroamembrole dueequazionicosı ottenute,risulta:� -à �� R _ � _ 2 +

-à 2

2¥ (�� 2 � b � � 2 �� ) = 0 [ (3 [ 22)

32 L’introduzionedegli operatoriin meccanicaquantisticasi deve al matematicoamericanodi originerussaNorbertWiener (1894–1964)che,contattatoda Born per daregiustificazionematematicaall’usodellematrici adimensioniinfinite, lo invito al MIT nell’autunnodel1925.M. Born e N. Wiener: A new formulation of the laws of quantizationof periodic and aperiodic phe-nomena, Journalof MathematicsandPhysics(MIT) 5 (1925-1926)84–98;EineneueFormulierungderQuantengesetzefur periodischeundnicht periodischeVorgange [Una nuova formulazionedelle leggi diquantizzazionedei processiperiodici e aperiodici], Zeitschrift fur Physik36 (1926)174–187. Questolavoro fu ricevuto dallarivistatedescail 5 gennaio1926.

128

ÕG �g�� (��D��8 �"��l��$%��La (3.22)si puo scriverein formadi equazionedi continuita,

� �� R + � �� ` j = 0 Q (3 [ 23)

dove

� = _ � _ 2 Q (3 [ 24)

j = b � -à2¥ (

�� b � � �� ) [ (3 [ 25)

Esercizio 3.2

Qualemodificanella (3.23) comporterebbel’ipotesi di un potenziale� (r) com-plesso?Qualesarebbeil significatodellaparteimmaginariadi � (r)?

Qualunquesial’interpretazionedaattribuirealla�

, l’esistenzadi un’equazionedi continuitachecoinvolgela � , definitapositiva,permettedi individuarela classedifunzioniaccettabiliquali soluzionidell’equazionedi Schrodinger. Infatti integrandola (3.23)sututto lo spazio� � 3 di definizionedella

�, il contributodi flussoattraverso

la superficiedelimitanteil volumesi azzera.Percio si ottiene��R � � r _ � (r Q(R ) _ 2 = 0 Q (3 [ 26)

cioe � � r _ � (r Q(R ) _ 2 = ÈQ (3 [ 27)

dove e unacostanteindipendentedal tempo,dettacostantedi normalizzazione,perchefissala normadi

�. In seguitoconverrascegliere

= 1 [ (3 [ 28)

Le funzioni chesoddisfano la (3.27) appartengonoallo spaziodelle funzionia quadrato sommabilesu � � 3. Tale spazio,indicato come ! 2( � � 3), e uno spaziovettoriale(lineare)complesso,cioe talecheperogni

�1 Q � 2 " ! 2( � � 3) siaanche:�

= y 1 � 1 + y 2 � 2 " ! 2( � � 3) Q (3 [ 29)

con y 1 Q=y 2 coefficienti complessi.Dunquele soluzioniaccettabiliperla (3.27),�(r Q(R ) " ! 2( � � 3) Q (3 [ 30)

rispettanoautomaticamenteil principiodi sovrapposizionelineare.

129

�� ! �"��#��$%��Esercizio 3.3

Quali sonole dimensionidellafunzioned’onda # (r Ù�ï )?Esercizio 3.4

In assenzadi potenziale,ancheun’ondapianamonocromaticarisolve l’equazionedi Schrodinger(cfr. Esercizio3.1). E unasoluzioneaccettabile?

Invecel’ondapianamonocromaticarisulta�(r Q(R ) = T%V (k W r X�Y!Z ) s" ! 2( � � 3) Q (3 [ 31)

perche l’integrale (3.27) estesoa tutto lo spaziodiverge. Tuttavia non diverge unqualsiasipacchettodi ondecostruitocon ondepianedel tipo (3.31), anchese lasovrapposizioneriguardak compresiin un intervallo stretto $ k. Mettendosipersemplicita in unadimensionee trascurandola partetemporaleche non intervienenelleconsiderazioni,si verificacheil pacchetto�&% + ' %% �!u � T V % � õ =

T V ( % + ' % )õ bÉT V % õ��ø

= 2T�V ( % + 12 ' % )

õ sin 12 $çu!øø Q (3 [ 32)

e unafunzioneappartenentea ! 2( � � 3) per qualunque$;u . Questaproprieta rendel’ondapianalocalmenteintegrabilecosı cheunaqualunquesovrapposizionelinearediondepianerisultaunafunzioneaquadratosommabile.Essendo$çu arbitrario,si puopensaredi renderlopiccolo, confrontabilecon l’incertezzadi naturasperimentalenel determinarel’impulso della particella, pur avendosemprea che fare con unpacchettodi ondee quindi con una funzioneappartenentea ! 2( � � 3). In questomodoil pacchettodi onde(3.32) risulta concentratostrettamenteintorno al valorepresceltodi u e finisceper esserecostituito in praticada unasolaondapiana,chequindi riacquistasensoalmenoin questolimite. Percio, anchese l’onda piananonrappresentaunostatofisicamenterealizzabilee nonappartienea ! 2( � � 3), restapur sempreutile comeausilio di calcolo,potendosiintenderecomeil limite di unpacchettodi ondestrettamenteconcentrato.L’uso di funzioni s" ! 2 comele ondepianeestendelo spaziodi funzioni utilizzabili a unospaziopiu ampiodi ! 2, mavaricordatochepoi soloun’opportunacombinazionelinearedi tali funzioni (pacchettodi onde) " ! 2 puo rappresentareunasituazioneaccettabile.

Esercizio 3.5

Verificareche,nell’approssimazionenonrelativistica(3.18),la velocitadi faseperl’ondapiana(3.31)e la metadellavelocita Ò di unaparticellalibera.

130

Õ��lh�� e �n��p��g�g��%�(�#� �g�� (�N��D�A��8 �"��l��$%��Esercizio 3.6

Verificarechela velocita di gruppodi un pacchettodi ondepianecoincideproprioconla velocita Ò dellaparticella.

Incidentalmente,questorisultato ribadiscela necessita di ricorrerea pacchettidionde (*) 2( + , 3) perdescrivereil motodi unaparticella.

Esercizio 3.7

Nell’ipotesi (3.21) verificarecheanche #.- (r Ù Í ï ) e soluzionedell’equazionediSchrodinger(3.20).La funzione# (r Ù�ï ) = # - (r Ù Í ï ) eottenutadallafunzione# (r Ù�ï ) perinversionetemporale: ï0/ Í ï .Esercizio 3.8

Nelleipotesidell’Esercizioprecedente,confrontarel’equazionedi continuita(3.22)perla # (r Ù�ï ) equellaperla # (r Ù�ï ).

'('('*)21H)iÛ½1C:61C/g7@2%Ll3AÞ=Þ412=9 ?87*LCL(Ü 7��"FÝ3��"1,9�BH7@?A13�D24�8<59�?�1MB!587*<Le soluzionidell’equazionedi Schrodingervengonochiamatefunzioni d’on-

da in quantodescrivono l’aspettoondulatoriodel moto di unaparticella. Primadiprocedereall’interpretazionedella funzioned’ondae utile approfondirei legamitral’equazionedi Schrodingere la fisicaclassica.Si suppongadi voler studiareil motoliberodi unaparticella.Conanalogiaotticasi puo porre�

(r Q(R ) = T V�6 (r 7 Z ) ³ -� Q (4 [ 1)

dove

©(r Q(R ) ha le dimensionidi un’azione. Inserendola (4.1) nell’equazionedi

Schrodingerlibera(3.17),si ottieneb �©� R =

12¥ � �� © `"� �� © b � -à

2¥ � 2

© [ (4 [ 2)

Sela variazionespazialedi

©ecosı piccoladapermetteredi trascurareil terminecon

il laplaciano,la (4.2)puo identificarsiconun’equazionedi Hamilton-Jacobi,

�©� R + 8 (r Q(� �� © Q(R ) = 0 Q (4 [ 3)

dovenellahamiltoniana8 dellaparticellalibera,

8 =§ 2

2¥ Q (4 [ 4)

si e posto

131

��¹� �g�� (�N��D�A��8 �"��l��$%��p = � �� © [ (4 [ 5)

Datochel’energia ¦ dellaparticellaecostante,si puo scegliereper

©unaformadel

tipo (1.25);percio risultaanche ¦ = b �©� R [ (4 [ 6)

Le definizioni classiche(4.5) e (4.6) per l’impulso e l’energia trovano cosıcorrispondenzanellesostituzioni(3.3)e(3.4)cheassocianoall’impulsoeall’energiai relativi operatoriquantistici.

Esercizio 4.1

Volendoassociareallaparticellaliberaun’ondapiana,quale l’espressioneesplicitadi 9 (r Ù�ï )?

Lacorrispondenzatraequazionedi Schrodingeredequazioneclassicadi Hamil-ton-Jacobipermettedi esprimerela soluzionedell’equazionedi Schrodingercomeun’ondala cui faseedatadall’azioneclassicamisuratain unita -à . Ma cio epossibilesolonel casoin cui

©abbiaunadeboledipendenzaspaziale.Perla (4.5)e alla luce

dell’ipotesidi deBroglie (2.17),cio significachel’azione

©devevariarelentamente

su distanzeconfrontabili con r = àHs § . Altrimenti il terminecol laplacianonella(4.2) diventaimportantenel distinguerela descrizioneondulatoriada quella dellameccanicaclassica.»½¼4¾4¿nÀ�ÁMÂ;:!ÄMÃ

Si consideriunaparticelladi massaÑ = 1g in motocon la velocita di 1ms< 1.La lunghezzad’ondadi deBroglieassociatae=

=ãÅ =

6 Î 626 > 10< 34

10< 3m

= 6 Î 626 > 10< 31m Ùchee sicuramentetrascurabilerispettoalle distanzesucui varia l’associataazioneclas-sica.L’equazionedi Hamilton-Jacobi(equindiogni risultatodellameccanicaclassica)egiustamenteapplicabileallo studiodelmotodi taleparticella.»½¼4¾4¿nÀ�ÁMÂ;:!ÄNÐ

Si consideriora un elettrone( Ñ = 9 Î 1094 > 10< 31kg) di energia 1 eV (=1 Î 6022 > 10< 19J):

Å = ? 2Ñ è = (2 > 9 Î 1094 > 10< 31 > 1 Î 6022 > 10< 19)1 @ 2m kg s< 1

= 5 Î 403 > 10< 25m kg s< 1 Î132

Õ��lh�� e �n��p��g�g��%�(�#� �g�� (�N��D�A��8 �"��l��$%��L’associatalunghezzad’onda,=

=ãÅ =

6 Î 626 > 10< 34

5 Î 403 > 10< 25

= 1 Î 226 > 10< 9m Ùe confrontabileconle distanzechepuo percorrereun elettronenellamateria.In tal casodunquela descrizioneclassicae inadeguataeoccorreutilizzarel’equazionedi Schrodin-ger.

Nel casopiu generale,in presenzadi uncampodi forzeconservativo,si possonocercaresoluzionidell’equazione(3.20)nellaforma�

(r Q(R ) = S (r Q(R ) T%V�6 (r 7 Z ) ³ -� Q (4 [ 7)

dove sia l’azione

©chel’ampiezzaS dell’ondasonofunzioni reali. Sostituendola

(4.7)nella(3.20)eseparandoparterealedaparteimmaginaria,si ottiene

� S� R = b 12¥ [ Sj� 2

©+ 2� �� S�`%� �� © ] Q (4 [ 8)

�©� R = bÈ ( � ��

©)2

2¥ + « (r) b -à 2

2¥ � 2 SS £ [ (4 [ 9)

Conla definizione � (r Q(R ) � _ � (r Q(R ) _ 2 = S 2(r Q(R ) Q (4 [ 10)

la (4.8)si puo riscrivere:

� �� R + � �� ` é � � ��©¥ ê = 0 [ (4 [ 11)

Ponendo

v =1¥ � �� © Q (4 [ 12)

si riconoscenella(4.11)un’equazionedi continuita:

� �� R + � �� ` ( � v) = 0 [ (4 [ 13)

Ma questaequazionedi continuitacoincideconla (3.23),in quantoconl’assunzione(4.7)si haproprio

j = b � -à2¥ (

�� b � � �� )= S 2(r Q(R ) 1¥ � �� ©= � v [ (4 [ 14)

133

�� ! �"��#��$%��La densita di correntej, checomparenell’equazionedi continuita (3.23)asso-

ciataall’equazionedi Schrodinger, puo esserevistaquindi collegatacon la velocitadellaparticellaattraversoil fattoredi densita � cherisolve l’equazionedi continuitastessa.

Esercizio 4.2

Verificarecheperlasoluzionedell’equazionedi Schrodingerottenutaperinversionetemporalenell’Esercizio3.7 la densita di correntej (4.14)cambiasegno,in accordoconquantosuccedeallavelocita in meccanicaclassicaquandosi inverteil tempo.

Nella primitiva interpretazionedi Schrodinger, la�

descriveva effettivamentela distribuzionedi materia,percui_ � (r Q(R ) _ 2 � r � � � r (4 [ 15)

rappresenterebbela quantita di materiaappartenentealla particellain esamee con-tenutanelvolumetto� r. Quantopiu concentratospazialmentee il pacchettodi onde,tantomeglio localizzataela particellaepiu facilmentesi recuperaladescrizioneclas-sicain termini di traiettoria.L’equazionedi continuita (3.23),o (4.13),garantirebbela conservazionedellamassadellaparticella.

Tuttavia taleinterpretazioneidrodinamicaincontragrossedifficoltagiaa livellodella stessaequazionedi Schrodinger. Infatti, se questafossecorretta,oltre alpotenzialedelle forze esternedovrebbecomparirenell’equazionedi Schrodingerancheun terminedi retroazionetra le parti della particellala cui carica A risultadistribuita nello spaziotridimensionalecon densita A � . Ma questoterminenonc’e e non ci deve essere,altrimenti l’equazionedi Schrodingerdiventanon linearee si distruggel’accordo sui livelli d’energia calcolati per esempioper l’elettronenell’atomodi idrogeno33. Percio questotipo di interpretazionevasenz’altroescluso.

Sesi conoscela � , la (4.9)permettela determinazionedi

©e quindi dell’intera�

:

�©� R +

( � �� © )2

2¥ + « (r) b -à 2

4¥ � 2 �� b 12

( � �� )2� 2£ = 0 [ (4 [ 16)

Qualorasi possatrascurarenella (4.16) il terminein -à 2, si riconosceche lafunzione

©soddisfal’equazioneclassicadi Hamilton–Jacobiperunaparticellasotto-

postaal potenziale« edotatadi impulsop, in accordoconla (4.5). Naturalmentelapresenzadi un potenzialemodificala forma(1.19)dellafunzione

©tipica dell’onda

piana; essendopero costantel’energia totale, la funzione

©potra sempreessere

33 Questaosservazionefu fattasubitodaErwin Madelungnelriderivarel’equazionedi continuitaassociataall’equazionedi Schrodingerenel cercaredi interpretarlain termini idrodinamici.E. Madelung: Quantentheoriein hydrodynamischer Form [Teoria quantisticain forma idrodinamica],Zeitschrift fur Physik40 (1927)322–326,ricevuto dallarivistail 26ottobre1926.Perulteriori dettagli sulle difficolta di interpretazionedella B in termini di densita di materia,cfr. S.-I. Tomonaga,loc. cit., vol. II (n. 28p. 13).

134

Õ��lh�� e �n��p��g�g��%�(�#� �g�� (�N��D�A��8 �"��l��$%��espressadaunaformadeltipo (1.25). In ognicasovalgonosemprele corrispondenzetrale definizioniclassiche(4.5)e(4.6)perl’impulso el’energiaele sostituzioni(3.3)e (3.4)cheassocianoall’impulsoeall’energia i relativi operatori.

Quandole variazionispazialisecondedell’ampiezzadellafunzioned’ondasonoabbastanzagrandidacompensareil piccolovaloredi -à , il terminein -à 2 nella(4.16),

C(r) � b -à 2

4¥ � 2 �� b 12

( � �� )2� 2£ = b -à 2

2¥ � 2 SS Q (4 [ 17)

nonpuo piu esseretrascurato:essodifferenzial’equazionedi Schrodingerdall’equa-zioneclassicadi Hamilton–Jacobi,assumendovi il ruolo di unasortadi potenzialequantisticochesi sommaal potenzialeclassico« (r).

Esercizio 4.3

Quantovaleil potenzialequantistico(4.17)nel casodell’ondapiana?

Lapresenzadi questopotenzialequantisticoC

(r), unitaallarelazione(4.12)chesembrapotersiinterpretarecomela velocita dellaparticelladi massa¥ , suggeriscel’idea chesi possascriverel’equazionedi motoclassicaperla particellanellaforma:¥ � 2r��R 2 = b�� C« (r) b -à 2

2¥ � 2 SS £ [ (4 [ 18)

Nella (4.18),oltre alla forza f = b0� �� « (r), dovutaal potenzialeesternoclassicogiapresentenellaleggedi Newton,compareunaforzaquantistica,b�� C (r), determinatadallevariazionispazialidell’ampiezzadellafunzioned’onda.

Pero anchequestaidea34 va scartata,perche l’uso della (4.18)e della (4.12),combinatocon l’usuale interpretazionedella funzioned’ondachesoddisfa l’equa-zionedi Schrodinger, non forniscerisultati diversi da quelli ottenibili in modopiudirettobasandosisolosull’equazionedi Schrodinger. Percio l’indi viduazionedi unpotenzialequantistico,responsabiledi fluttuazioni imprevedibili della forza agentesulla particella, risulta sterile fintanto che non si riescaa definire situazioni chepermettanounafalsificazionedi taleipotesi in unconfrontosperimentaleconi risultatidellameccanicaquantistica.

Restacomunqueil fattocheformalmenteepossibileimporrenella(4.2)o nella(4.16) la condizione-àD 0 e passaredalla descrizioneondulatoria,in termini di

34 Originariamente,deBroglie aveva propostola teoriadell’onda E chepilota percosı dire il motodellaparticella,laqualenevienein praticatrascinatadurantelapropagazionedell’onda,conunavelocitafornitadalla (4.12)e direttaperpendicolarmentealla superficiead azione F costante.De Broglie chiamava la(4.12)la formuladellaguida.L. deBroglie: La mecaniqueondulatoire et la structure atomiquede la matiere et du rayonnement[Lameccanicaquantisticae la struttura atomicadella materiae della radiazione], Journalde physique8(1927)225–241.Perunadiscussionesull’interpretazionedi deBroglie,basatasui suoilavori tradotti in italiano,cfr. ancheil libro di L. deBroglie,E.Schrodinger, W. Heisenberg: Ondeeparticellein armonia.Alle sorgentidellameccanicaquantistica, introduzioneecuradi S.Boffi, JacaBook,Milano, 1991.

135

�� ! �"��#��$%��equazionedi Schrodingerper la

�, a quella classicain termini di equazionedi

Hamilton–Jacobiper l’azione

©. Cio risulta lecito quandole variazionidi

©sulle

distanzecaratteristichedelproblemasonograndirispettoa -à , in modocheil terminecol gradientedi

©nella(4.2)predominisuquellocol laplaciano.Questasituazione

e analogaa quella,discussanel paragrafoIII.1, chepermettel’uso dell’equazionedell’iconaleedell’otticageometricaperla propagazionedeiraggiluminosiquandolalunghezzad’ondain giocopuo considerarsipiccola. Invecequandol’azionediventaconfrontabilecon -à , comenel casodella radiazionedi corponero,dell’effetto fo-toelettricoedellevibrazionireticolaridi uncristalloin prossimitadellozeroassoluto,la descrizioneclassicavienemenoe l’unico terminedipendenteda -à nella (4.2) onella(4.16)nonepiu trascurabile,maanziacquistaun ruolo significativo 35.

'('('*)�G8)i'4B�/g7*<�IH<=7%/�3��*19ABñ7@?87*LCL(Ü 7��"FÝ3��"1,9�BH7@?A1H�H2�8<598?A1CB8587"<Riconosciutol’ambito di validitadell’equazionedi Schrodinger, sorgeil proble-

madelsignificatodellafunzioned’ondachenee soluzione.Il dualismoonda-corpuscolo,messoin evidenzadall’analogiatraotticageome-

trica e meccanicadellaparticella,none solounacuriosita matematica.Il comporta-mentocorpuscolaredellaluce,ipotizzatodaEinsteinnellasuaspiegazionedell’effettofotoelettrico,estatorivelatodagliesperimentidi ComptonsulladiffrazionedeiraggiI

; cio suggeriscel’idea di una coesistenzadelle onde luminose(che subisconodiffrazioneeinterferenza)edei fotoni (quantidi lucechepossonourtaregli elettronidi un atomo). Il comportamentoondulatoriodelle particelle,intuito da de Brogliesullabasedell’analogiaformaletrail principiodi Fermateil principiodi Maupertuis,hatrovatoinattesaconfermasperimentaleattraversol’interpretazionedei risultati diDavissone Germer: anchegli elettronipossonosubirela diffrazione36. Dunque

35 Il legametrail valoredell’azionerispettoa -J elapossibilitadi recuperareladescrizioneclassicadiventapiu chiaronellaformulazionedi Feynmandellameccanicaquantistica,cui si facennonelparagrafoVII.5.

36 Clinton JosephDavisson(1881–1958)e LesterHalbertGermer(1896–1971):Diffractionof electronsbya crystalofnickel [Dif frazionedi elettroni dapartedi uncristallo di nichel], PhysicalReview 30 (1927)705–740;GeorgePagetThomsone Andrew Reid: Diffractionof cathoderaysby a thin film [Dif frazionedi raggi catodicidapartedi unfilm sottile], Nature119 (1927)820.Lo stessode Broglie suggerı la possibilita che gli elettroni subisserodiffrazione, ma la scopertadelcomportamentoondulatoriodegli elettroni e dovuta a un fortunatoincidenteverificatosinel 1925 nellaboratoriodi Davisson. Nel corsodi studi sull’emissionesecondariadi elettroni da partedi elettrodimetallici posti in un tubo a vuoto, per l’esplosionedi unabottiglia di aria liquida si ruppeun tubo conelettrododi nichelpolicristallinoche,acontattoconl’aria, si ossido. Il trattamentotermicodell’elettrododi nichel,resosinecessarioperripristinarneil gradodi purezzaoriginario,produsseunaricristallizzazionedel metalloin grossigranicristallini. La successiva esposizionedell’elettrodoal fasciodi elettroni,fornıunadistribuzioneangolaredegli elettronisecondaricompletamentediversada prima dell’incidente. Lefrangedi diffrazionecosı prodottefurono capitee interpretatesolonel 1927da Walter Elsasser(1904–1987),un allievo di Borne Francka Gottingen,chedaloro aveva ricevuto l’incarico di studiarei risultatidi Davisson.Fumeritoprobabilmentedell’indaginedi Elsasserchele ideedi deBroglietrovaronocreditonel mondoanglosassoneechealla fine lo portaronoa ricevereil premioNobelperla Fisicanel1929.

136

Kg� e ��CmA�g� e ��(�N��%��l� ��( ��! �"��l��$%��la soluzione

�(r Q(R ) dell’equazionedi Schrodinger(3.20), medianteil suomodulo

quadrato,deve esserein gradodi spiegarel’intensita dellaradiazionediffrattadi unfasciodi elettroni,cosı comel’intensita della lucee datadal moduloquadratodellafunzioneassociataall’ondaluminosa.

Pero nella descrizioneondulatoriadella luce si consideranosimultaneamentepiu particelle: l’effetto fotoelettricoha messoin evidenzachel’intensita dell’ondadi lucee proporzionaleal numerodi fotoni cheinteragisconoconla materia.Vienequindinaturalepensarecheanchenelladescrizioneondulatoriadegli elettronioccorraconsiderareil moto non di un singoloelettrone,ma di tanti contemporaneamente.Allora la

�(r Q(R ) non e una proprieta della singolaparticella,ma piuttostorisulta

associataaun insiemedi particelle.Se ci si vuole ricondurre allo studio del comportamentodi una particella

dell’insieme,bisognaintrodurreconcettistatistici 37. Le modulazionispazialidi_ � (r Q(R ) _ 2, corrispondentialla maggioreo minoreintensita dellaradiazione,possonoessereriferite allasingolaparticellasesi invocala nozionedi probabilita: _ � (r Q(R ) _ 2 � rrappresentala probabilita di trovarela particellanel volume � r all’istante R . In ac-cordoconquestainterpretazionesi econvenutala normalizzazione(3.28),in quantodeveessercicertezzadi trovarela particellaall’interno del volumecomplessivo per-messole.In tal modol’equazionedi Schrodingergovernala variazionedi probabilitanel tempo,nonle vicendetemporalidi unparticolarecorpuscolo.

Nella descrizioneondulatoriasi perdedunquela determinazionestrettamentecausaledella meccanicaclassica,che e in gradodi predirecon esattezzail valoredi unaqualunquequantita osservabile associataa unaspecificaparticella,qualorasi conoscanoa un certoistantela suaposizionee il suoimpulso. Nella meccanicaondulatoria,unavoltapreparatoil sistemaall’istanteiniziale,assegnatacioela

�(r Q 0),

l’equazionedi Schrodingerfornisce,in modoperfettamentedeterministico, la�

(r Q(R )adognialtroistantesuccessivo. Peroconla

�sipossonosoltantoformulareprevisioni

sul comportamentodi unaparticellaattraversoil calcolodellaprobabilita di trovarlain un certoposto. In particolaree possibileprevederele posizionidelle frangedidiffrazioneprovocatesuunaparetedaun fasciodi particellechehannoattraversatola fendituradi uno schermo,ma non il precisopunto della paretecolpito da unaspecificaparticella. La meccanicaquantisticadunquee essenzialmenteunateoriastatistica:essadescrive i processifisici attraversoil calcolodel valor mediocheunaquantita fisica puo assumere,quandovienemisuratasu un insiemedi sistemifisici

E curiosonotarecheGeorgePagetThomson(1892–1975)ricevetteil premioNobelnel1937insiemeconC.J.Davissonperaveredimostratola naturaondulatoriadell’elettrone,quandoil padreJ.J.Thomsonloebbenel 1906peravernedimostratola naturacorpuscolare.W. Elsasser:Bemerkungenzur Quantenmechanikfreier Elektronen[Osservazionisulla meccanicaquan-tistica di elettroni liberi] , Die Naturwissenschaften13 (1925)711.37 Confortatodallaconfermasperimentaledel comportamentoondulatoriodegli elettroni,Born proposel’interpretazioneprobabilisticadell’equazionedi Schrodingerpertrattareprocessid’urto. L’esattorisultatodi unsingoloesperimento,secondoBorn,e in lineadi principio imprevedibile: conla E si calcolanosolodelleprobabilitarelativeaivalori chepossonoacquistareleosservabili fisicheaseguitodi unamisurazione.M. Born: loc. cit. (n. 18p. 109).

137

�� ! �"��#��$%��identici,rinunciandoallaprevisionedelvaloreprecisochequestaquantitaassumeinunsistemaparticolare38.

Fig. 5.1.L’esperimentodi interferenzadi Youngconun fasciodi parti-celleclassiche:la probabilita totalee la sommadelleprobabilita relativeai duepercorsipossibili.

Il concettodi probabilitapreesisteallameccanicaquantisticacheneriprendeladefinizionefrequenzisticanel sensochesi definisceprobabilita di un certoeventolafrequenzacon cui essosi verificaquandosi ripetanumerosevolte lo stessotipo dioperazione.Ma il mododi calcolarela probabilita vienedrasticamentemodificatodallameccanicaquantistica,perchela leggedi composizionedelleprobabilita ecom-pletamentediversa.Cio puoessereillustratoricorrendoaunesperimentoconcettualebasatosullo schemadell’interferometrodi Young.

Una sorgenteemetteelettroni,uno alla volta e tutti con la stessaenergia, chevannoad incideresu uno schermonel qualesonopraticatedue fenditure,1 e 2.Gli elettronichehannoattraversatol’una o l’altra delle fenditurevengonoraccoltie rivelati suunaparetesuccessiva. La registrazionedel puntodi arrivo sullaparetepermettedi conoscere,allafinedell’esperimento,comesisonodistribuiti gli elettroni,senzasaperepero attraversoqualefenditurai singoli elettronisianopassati.

Dal puntodi vista della fisica classica,ogni elettroneattraversao la fenditura1 o la fenditura2 (fig. 5.1). Dato che la traiettoriadi una particellaclassicaeperfettamentedefinibile, si puo calcolarela probabilita associataal percorsochecomprendel’attraversamentodi una delle due fenditure, indipendentementedallasimultaneapresenzadell’altra fenditura,siaessaapertao chiusa.Nonsapendoqualesiastataattraversatadaisingolielettroni,la fisicaclassicavedele duepossibilitanon

38 La descrizionedellameccanicaquantisticaeprofondamentediversadaquelladellameccanicastatisticaclassica,in cui l’aspettostatisticoe il ricorso a valori medi sonocollegati all’impossibilita pratica diseguire l’evoluzionedeterministicadel moto di tutte le particelleche costituisconoil sistemafisico inesame.L’insiemestatisticoquantisticoriguardareplicheidentichedello stessosistemafisico e quindi hasensoanchequandoquestoe costituitodaunasolaparticella: l’insiemedi particellechesi considerainmeccanicaquantisticain questocasocomprendeparticelletutteconle stessecaratteristicheeconla stessaE iniziale;purtuttavia, aseguitodi unamisura,ognunadi questeparticellepuo fornireapriori unrisultatoindividualediverso.

138

Kg� e ��CmA�g� e ��(�N��%��l� ��( ��! �"��l��$%��correlateecalcolala probabilita � � ( ø ) di rivelaregli elettroninelpuntoø dellaparetefinalecomesommadelleprobabilita � 1( ø ) e � 2( ø ) relative ai duepercorsipossibiliattraverso1 e 2, rispettivamente:� � ( ø ) = � 1( ø ) + � 2( ø ) [ (5 [ 1)

In meccanicaquantisticaoccorreriferirsi allafunzioned’onda�

( ø ) chedescrivel’ampiezzadi probabilitadi rivelarelaposizioned’arrivo ø degli elettronisullaparete.L’associataprobabilitaquantisticae:�3L ( ø ) � � ( ø ) = _ � ( ø ) _ 2 [ (5 [ 2)

D’altra parte,acausadelcomportamentoondulatoriodegli elettroni,ci si aspettaper�3L ( ø ) unadistribuzionesimile a quelladell’intensita della lucenell’esperimentodiYoung(fig. 5.2). In realta, grazieal principio di sovrapposizionelineare,la

�( ø )

risultala sommadi duecontributi,�( ø ) =

�1( ø ) +

�2( ø ) Q (5 [ 3)

ciascunocalcolabilecomesoluzionedell’equazionedi Schrodingerchedescrive ilpropagarsidegli elettronidalla sorgentealla paretefinaleattraversounaparticolarefenditura.

Fig. 5.2. L’interferenzadi probabilita quantisticaprovoca le frangediinterferenzanell’esperimentodi Young.

In meccanicaquantisticadunquenon si sommanole probabilita di eventi noncorrelati: grazieal principio di sovrapposizionelineareche regola l’equazionediSchrodinger, si sommanole ampiezzedi probabilita. Di conseguenza,la probabilitaquantisticadiventa:� L ( ø ) = _ � 1( ø ) +

�2( ø ) _ 2

= _ � 1( ø ) _ 2 + _ � 2( ø ) _ 2 +��

1( ø )�

2( ø ) +�

1( ø )��

2( ø )

= � 1( ø ) + � 2( ø ) +��

1( ø )�

2( ø ) +�

1( ø )��

2( ø ) [ (5 [ 4)

139

�� ! �"��#��$%��A causadei termini interferenziali,

��1( ø )

�2( ø ) e

�1( ø )

��2( ø ), la probabilita quan-

tistica �3L ( ø ) differiscedalla probabilita classica� � ( ø ); la differenzae provocatadall’instaurarsidi unainterferenzadi probabilita tra eventinoncorrelati,maa prioriugualmentepossibili: un’interferenzadi probabilita tra alternativepossibili.

Sonoproprioi terminidi interferenzaaprovocarele modulazionidi probabilitache riproduconole modulazionidi intensita delle frangedi diffrazionedelle ondedi lucenell’interferometrodi Younge degli elettroniraccoltisullaparetefinale(fig.5.2).

Le alternativesi possonoescludere,o chiudendounadelleduefenditureoppureintervenendoconunostrumentodi osservazionechedecidaattraversoqualefenditurasia passatala particella. In tal caso l’osservazioneimpone la scelta tra le duepossibilitaalternative: la funzione

�1 o la funzione

�2, asecondachesi siachiusala

fenditura2o la fenditura1. Corrispondentemente,la probabilitaquantisticain questocasosi identificacon la probabilita classicarelativa alla traiettoriaindividuataconl’osservazione. L’osservazioneha fatto precipitare la funzioned’onda(5.3) in unadelledue,

�1 o

�2, di cuiapriori erasovrapposizione.In questosensol’osservazione

introduceun disturbonell’evoluzionedell’onda che attraversalo schermocon lefenditure,disturbochedistruggel’interferenzadi probabilitaechenonedescrivibiledall’equazionedi Schrodingerperla

�.

'('('*)NM�)POH7�9A<=7":¨3>?A1RQS�!<=7*BUT%7�Þ*/L’equazionedi Schrodinger rispettaancheil principio di corrispondenzatra

descrizioneclassicaedescrizionequantisticachefu unprincipiobasilarenelguidarela ricercadellacostruzionedellanuovameccanica.Questofattopuo esseremessoinluceattraversoil seguenteteoremadimostratodaEhrenfest39.

Si consideriper semplicita unasoladimensionespaziale;la funzioned’onda�( øùQ(R ) sianormalizzata: � ��ø½_ � ( øùQ(R ) _ 2 = 1 [ (6 [ 1)

Coerentementecon l’interpretazionedi Copenhagen,il valor mediodellaposizionedella particellalungo l’asse ø si ottienepesandola posizioneø con la densita diprobabilita di presenza_ � ( øùQ(R ) _ 2 dellaparticellastessa:

V øXW =� ��ø@øÈ_ � ( øtQ(R ) _ 2 [ (6 [ 2)

Questovalor medio puo ancheporsi nella forma di un valore di aspettazionedell’operatoremoltiplicativo associatoalla posizionelungol’asseø :

39 Cfr. n. 19p. 110.

140

Y �g��h0�j��[ZÝ��g��\�� eV øXWc� � ��ø � � ( øtQ(R ) ø � ( øtQ(R ) [ (6 [ 3)

Il teoremadi Ehrenfeststabilisce:¥ ��R V øXW =V §�õ Wc��bi� -à � ��ø �� ( øùQ(R ) �� ø � ( øùQ(R ) Q (6 [ 4)��R V §Dõ W = ]ñb � « ( ø )� ø ^ � b � ��ø �� ( øtQ(R ) � « ( ø )� ø �

( øtQ(R ) [ (6 [ 5)

La (6.4) indica cheil valor mediodell’impulso lungo la direzioneø si ottienecalcolandoil valored’aspettazionedell’operatoreb0� -à ( � s � ø ) che,secondola (3.4),corrispondeall’impulso classico. La (6.5) definiscein modosimile il valor mediodella forza, responsabiledella variazionetemporaledel valor mediodell’impulso.Col teoremadi Ehrenfestsi recuperanocosı, a livello di valori medi, definizioni eleggi dellameccanicaclassica.

Per dimostrarela (6.4) si puo utilizzare l’equazionedi continuita per la � eintegrareperparti: ��R V ø�W =

� ��ø@ø �� R _ � _ 2= b � ��ø6ø �� øH_=� ��ø _ [

Ma � ��ø _ = b � -à2¥ � ��ø é �� ø b � � �� ø ê

= 2Re gb � -à2¥ � ��ø �� ø £ [

(6 [ 6)

D’altra parte:

2 Im gb0� -à � ��ø �� ø £ ��b0� -à � ��ø é �� ø +� � �� ø ê

= b0� -à � ��ø �� ø _ � _ 2= b0� -à� �_ � _ 2 £ + `XX` = 0 [Pertanto:

141

�� ! �"��#��$%��R V øXW = b � -à¥ � ��ø �� ø� 1¥ V §Dõ W�Q

a dimostrazionedella(6.4). Perla (6.6),V §�õ W e,giustamente,unaquantita reale.

Perdimostrarela (6.5)occorrecalcolare:��R V §�õ W = bi� -à ��R � ��ø �� ø= bi� -à � ��ø � � �� R � �� ø b�� -à � ��ø �� ø �� R

=� ��øU �b -à 2

2¥ � 2 �� +�� « ( ø ) £ � �� øb � ��ø �� ø é b-à 2

2¥ � 2 � + « ( ø )� ê Q

dove si e utilizzata l’equazionedi Schrodingere la suacomplessaconiugatapereliminarela derivatatemporaledella

�e della

�� 40. I termini conil laplacianosicompensano,comesi puo verificareperesempiointegrandoduevolte perparti nelsecondointegrale.Pertantosi ottiene��R V §�õ W =

� ��ø � � C« ( ø ) � �� ø b �� ø é « ( ø )� ê £

= b � ��ø �� « ( ø )� ø � Qchedimostrala (6.5). Ancheil valormediodellaforzaeunaquantita reale.

'('('*)bao)c�AIK3��"1,9>?!7�5�L 1c1C:�IHF�L Þ41k7ed�3ALN9A<:;7=?A19ç?�1cF�B�9�IÝ7"<�3�/�9A<=7Il pacchettodi ondeassociatoa unaparticellalibera, in unasoladimensionee

conopportunanormalizzazione,puo scriversinellaforma:�( øtQ(R ) =

1f2] � ��ukS ( u ) T V ( % õ X�Y!Z ) [ (7 [ 1)

Secondol’interpretazioneproposta,la�

contienetutta l’informazione necessariapercalcolarequantita comeil valor mediodellaposizionee dell’impulsomedianteespressionidel tipo (6.3)e (6.4).

La(7.1)puoessereconsideratacomelo sviluppoin seriedi Fourierdella funzione�( øùQ(R ) 41. Sorgeil problemadi interpretarnei coefficienti S ( u ). Si consideri:

40 Si e anchesuppostog - ( h ) = g ( h ).41 Perle trasformatedi Fourier, cfr. il paragrafoA.3.

142

��m��j�%��$*� �D�#h½mA �� g�^�Hi��*�p��ch¹��j�� @��m�� e ��g�S ( uHQ(R ) � S ( u ) T X V Y!Z =

1f2] � ��ø � ( øtQ(R ) T X V % õ [ (7 [ 2)

Se,comesi suppone,la�

e normalizzata,� ��ø6_ � ( øtQ(R ) _ 2 = 1 Q (7 [ 3)

e anche � ��uU_ S ( uHQ(R ) _ 2 =� �!uJ_ S ( u ) _ 2 = 1 Q (7 [ 4)

cioe S ( uHQ(R ) epureunafunzioneaquadratosommabilesu � � 3 enormalizzata.Infatti:

� ��uU_ S ( uñQ(R ) _ 2 =1

2] � ��u � ��ø � ��ø � �� ( øùQ(R ) � ( ø � Q(R ) T�V % (õ X õ � )

=� ��ø � ��ø � �� ( øtQ(R ) � ( ø � Q(R ) � ( ø>b|ø � )

=� ��ø6_ � ( øtQ(R ) _ 2 = 1 Q (7 [ 5)

dovesi e utilizzatala rappresentazionedi Fourier(A.25) perla deltadi Dirac 42.Esisteunacertasimmetriatra lo spaziodelleposizioni ø e la funzione

�( øùQ(R )

daunapartee lo spaziodegli impulsi u e la funzione(7.2)dall’altra. Nello spazioøl’interpretazionedi _ � _ 2 comedensita di probabilita di presenzadellaparticellaper-mettedi attribuirealla(6.3)ealla(6.2)il significatodi posizionemedia;analogamentenello spaziou l’espressione

V § Wc� � �!u § _ S ( uHQ(R ) _ 2= -à � ��uýuç_ S ( uHQ(R ) _ 2 (7 [ 6)

puo interpretarsicomevalore medio dell’impulso. Infatti il risultato (7.6) si puoricavaresostituendola (7.1) nelladefinizione(6.4)e operandocon la deltadi Diraccomenella(7.5):

42 La definizionee le proprieta principali delladeltadi DiracsonoillustratenelparagrafoA.2.

143

�� ! �"��#��$%��V § W =

� ��ø �� ( øtQ(R )( b0� -à ) �� ø 1f2] � ��ukS ( uñQ(R ) T�V % õ

=-à

2] � ��ø � �!u � � �!u0S � ( u � Q(R ) S ( uHQ(R ) u0T�V ( % X % � ) õ= -à � ��u � S � ( u � Q(R ) � �!ukS ( uHQ(R ) u � ( u@bÉu � )= -à � ��uªu;_ S ( uHQ(R ) _ 2 [

Pertanto _ S ( uHQ(R ) _ 2 ��u acquistail significato di probabilita che la particella abbiaimpulsocompresotra -àDu e -à ( u + ��u ), ossiatra § e § + � § .

Si calcoli orala (6.3)sviluppando�

conla (7.1):V øXW =� ��ø �� ( øtQ(R ) ø � ( øtQ(R )

=1f2] � ��ø �� ( øtQ(R ) ø � ��ukS ( uñQ(R ) T V % õ

=1f2] � ��ø � ��u �� ( øtQ(R ) S ( uHQ(R ) é bi� �� u ê T�V %

õ=

1f2] � ��ø � ��u � � ( øtQ(R ) � � S ( uHQ(R )� u T�V % õ Q

dovenell’ultimo passaggiosi e integratoperparti,conl’ipotesi che S ( uHQ(R ) si annulliai limiti, in accordocol fattochee unafunzioneaquadratosommabile.Sostituendoanche

� �si ottiene:V ø�W =

12] � ��ø � �!u � �!u � S � ( u � Q(R ) T X V % � õ � � S ( uHQ(R )� u T V % õ

=� �!u � �!u � S � ( u � Q(R ) � � S ( uHQ(R )� u �

( u@bÉu � )=� �!u�S � ( uñQ(R ) � �� u S ( uHQ(R ) Q (7 [ 7)

avendoutilizzatoancorala definizione(A.25) perla deltadi Dirac.Confrontandoi risultati (6.3) e (6.4) conquelli (7.6) e (7.7),si osserva chenel

calcolodel valoremediodella posizionesi e associatol’operatoremoltiplicativo ønellospaziodelleposizioniel’operatore� -à � s � § = � � s � u nellospaziodegli impulsi,mentreperil valoremediodell’impulsosi e consideratol’operatoreb0� -à � s � ø nellospaziodelleposizionie l’operatoremoltiplicativo § = -àHu nellospaziodegli impulsi.

Si e cosı stabilito un legametra osservabile fisica, operatoree valoremedio,in baseal qualela variabiledinamicaclassicaassociataall’osservabilefisica vienefattacorrisponderea un operatorenella descrizionequantistica(Tab. 1). Il valoremediodi questooperatore,calcolatoconla funzioned’ondacherisolve l’equazione

144

��m��j�%��$*� �D�#h½mA �� g�^�Hi��*�p��ch¹��j�� @��m�� e ��g�Tab. 1. Corrispondenzatra variabili dinamicheclassicheeoperatoriquantistici

variabile operatorequantisticodinamica nellospazioclassica delleposizioni degli impulsi

Ì Ì × -ãkjj Å = × jjmlÅ Í × -ã jj Ì Å = -ã lÌ�n Ìon ×Nn j njml nÅ�n ( Í × -ã ) n j nj Ì�n ( -ã l ) n

L = r > p Í × -ã r >*p pp × -ã p pp > k

q= p2

2Ñ Í -ã 2

2Ñ p 2 -ã 2 l 2

2Ñdi Schrodingerproduceunnumero realedaconfrontarsiconla misuradellavariabiledinamica.

La funzioned’onda che caratterizzalo statodel sistemapuo essereespressaugualmentebenenellospaziodelleposizionionellospaziodegli impulsi. Lastrutturadegli operatoridipendedallo spaziosceltoperrappresentarela funzioned’onda,manonnedipendeil loro valoremediochee l’unica quantita dellateoriaconfrontabilecon il datosperimentale.Si sonocosı individuateduerappresentazioniequivalentiperlo stessostatodinamicodel sistema.

In particolare,nellospaziodelleposizioni,allavariabiledinamicaclassicaA ( ø )corrispondel’operatoremoltiplicativo A ( ø ) cheha la stessadipendenzafunzionaleda ø ; il suovaloremedioedatodallarelazione

V A ( ø ) W =� ��ø �� ( øùQ(R ) A ( ø )

�( øtQ(R ) [ (7 [ 8)

Similmente,a unavariabiledinamicaclassicaA (§ ), funzionerazionaleinteradi § ,corrispondel’operatorequantisticoA ( bi� -à � s � ø ) conlastessadipendenzafunzionaledall’operatoredi derivazione;il suovaloremedioedatodallarelazione

145

�� ! �"��#��$%��V A (§ ) W =

� ��ø �� ( øùQ(R ) A ( b0� -à �� ø )�

( øùQ(R ) [ (7 [ 9)

Viceversa,nello spaziodegli impulsi, alla funzione razionaleintera di ø , A ( ø ),corrispondel’operatore A ( � � s � u ) e alla funzione A (§ ) l’operatoremoltiplicativoA ( -àHu ). I loro valori medisonodati, rispettivamente,dallerelazioniV A ( ø ) W =

� ��u�S � ( uHQ(R ) A ( � �� u ) S ( uñQ(R ) Q (7 [ 10)

V A (§ ) W =� �!u0S � ( uHQ(R ) A ( -àñu ) S ( uñQ(R ) [ (7 [ 11)

Questeconsiderazionisi estendonoimmediatamenteal casotridimensionale.Peresempio,nello spaziodelle posizionialle variabili dinamicheclassichedi po-sizione ( øtQ(úHQ=û ) corrispondonogli operatorimoltiplicativi ( øtQ(úHQ=û ) e alle compo-nenticartesianedell’impulso(§Dõ Q §�ö Q §D÷ ) corrispondonogli operatoridi derivazione( b0� -à � s � ø , bi� -à � s � ú , b0� -à � s � û ). Percio, nello spaziodelleposizioni,l’operatoredi energiacineticaeproporzionaleal laplaciano,� = b -à 2

2¥ � 2 Q (7 [ 12)

mentrenellospaziodegli impulsi essorisultaunoperatoremoltiplicativo:� =-à 2 u 2

2¥ [ (7 [ 13)

Nella traduzionedal classicoal quantisticooccorretuttavia prestareattenzioneal sistemadi coordinateprescelto.Infatti le corrispondenze

p b0� -àK� �� Q �r b -à 2

2¥ � 2 (7 [ 14)

hannovalidita generalequandosi usalo spaziodelle posizioni,ma le espressioniesplicitedel gradiente,della divergenzae del laplacianodipendonodal sistemadicoordinateprescelto.Passandodacoordinatecartesianeacoordinatecurvilinee,cioedaunametrica

�� 2 =3s V =1

( ��ø V )2

a unametrica �!� 2 =3sV 7 % =1 t V % �vu V �vu % Q

la divergenzadi unvettorev diventa:

146

��m��j�%��$*� �D�#h½mA �� g�^�Hi��*�p��ch¹��j�� @��m�� e ��g�� ` v =

3s V =1 � w V� ø V 1f t3s V =1 �� u V ( f t w V ) Q (7 [ 15)

dove t = det° t V % ² 43.

Di conseguenzail laplacianodiventa:

� 2 =3s V =1 � 2

� ø V 2 1f t3sV 7 % =1 �� u V é f t�t V % �� u % ê [ (7 [ 16)

Esercizio 7.1

Verificarechein un sistemadi riferimentoortogonale,individuatodai versoriz w econunametricadi formaortogonale,Ï�Ô 2 =

3s w =1

(ã w Ïyx w )2 Ù (7 Î 17)

le espressionidelgradientedi unafunzionez edelladivergenzadi unvettorev risultano:

p pp z =3s w =1

1ã w j zj x w z w�Ù (7 Î 18)

p pp|{ v =1ã

1ã

2ã

3

é j Ò 1 ã2ã

3j x 1+j Ò 2 ã

3ã

1j x 2+j Ò 3 ã

1ã

2j x 3ê Î (7 Î 19)

43 Si ricordaal propositola distinzionetra componenticovarianti e componenticontrovarianti: definito}r = ~ 3w =1

( � r µ�� w ) } � w in termini delle suecomponenticontrovarianti} � w nel sistemadi riferimento� � w�� , le componenticovarianti sono

} � w = ~ 3�=1 � � w } � � . Il legameinverso,

} � w = ~ 3�=1 � w � } � �

coinvolgegli elementireciproci � w � del tensoremetrico � w � , cioe i quozientitra il complementoalgebricodell’elemento� w � e � .Si veda,peresempio,BrunoFinzi eMariaPastori:Calcolotensorialeeapplicazioni, Zanichelli,Bologna,1949,cap. IV.

147

�� ! �"��#��$%��Esercizio 7.2

Tenendopresentechein coordinatepolari eÏAÔ 2 =Ï Ø 2 + Ø 2 Ï�� 2 + Ø 2 sin2 �tÏ�� 2 Ù (7 Î 20)

percui � = Ø 4 sin2 � , verificarel’espressioneacquistatadall’operatoredi energia cineticain coordinatepolari:

q= Í -ã 2

2Ñ�� 1Ø 2

jj Ø é Ø 2jj Ø ê +

1Ø 2 1sin� jj � é sin

� jj � ê +1

sin2� j 2j � 2

£[�= Í -ã 2

2Ñ�� j 2j Ø 2+

2Ø jj Ø +1Ø 2 1

sin� jj � é sin

� jj � ê +1

sin2� j 2j � 2

£�� Î (7 Î 21)

Allora, peresempio,la hamiltonianaclassicadi unaparticella,

8 =§ 2

2¥ + « (r) Q (7 [ 22)

si traducecon questeregole in un operatorequantistico,interpretandoin terminioperatorialil’impulso p e la posizioner. Sesi usalo spaziodelleposizioni,risulta:

8 = b -à 2

2¥ � 2 + « (r) [ (7 [ 23)

Se « (r) e unafunzionerazionaleinteradi r, nellospaziodegli impulsi si ha:

8 =-à 2 u 2

2¥ + « ( �� ) Q (7 [ 24)

dove � �� va intesocomeil gradientenello spaziodegli impulsi.In ogni casol’equazionedi Schrodinger(3.20)puo scriversiin modoastratto:é � -à �� R b�8 ê � = 0 Q (7 [ 25)

senzafare riferimento esplicito alla rappresentazioneprescelta. Nella (7.25) 8e l’operatorehamiltoniano,sommadel contributo di energia cineticae di energiapotenziale,in cui la dipendenzafunzionaleclassicadalle variabili posizionee im-pulsoe sostituitadaun’identicadipendenzafunzionalequantisticadagli operatoridiposizionee impulsocorrispondentiallo spazioin cui e definitala

�. Adottandolo

spaziodelleposizionisi ritrova l’espressione(3.20).

148

��m��j�%��$*� �D�#h½mA �� g�^�Hi��*�p��ch¹��j�� @��m�� e ��g�Esercizio 7.3

Per una particella libera, verificareche nello spaziodegli impulsi la soluzionedell’equazionedi Schrodingere del tipo (7.2),cioe�

( l Ù�ï ) =�

( l ) � < w��m� @ -� Ùcon �

( l ) = � é l Í ? 2Ñ è-ã ê Î

149

IV. IL FORMALISMO ELEMENTARE DELLAMECCANICA QUANTISTICA

Nel capitoloprecedentesi estabilital’equazionedi Schrodingerperdeterminarela funzioned’ondaassociataal motodi unaparticella.Anchesela genesistoricadiquestaequazioneemotivatadall’ideadi deBrogliechequestasiaun’ondarealecheaccompagnalaparticellanelsuomoto,ci siaccorgerapidamentechel’interpretazionecorrettae quellacheattribuiscea tale funzioned’ondasolo il significatodi ausiliomatematicoper calcolareun valore di aspettazionedell’osservabile fisica che sidesideramisurare.Daunlatosi stabiliscedunque,attraversoil teoremadi Ehrenfest,un legametra la descrizioneclassicae la nuovaformulazioneondulatoriaa livello divalori medi;d’altra parte,nellatrattazionematematicaalle variabili fisichevengonoassociatidegli operatori. Occorreallora approfondirequestaassociazioneesami-nandole proprieta elementaridegli operatori,in mododariconoscerequali sianoglioperatoriinteressantiperla teoriaquantistica.

Nellaprimitivaformulazionedellacosiddettameccanicadellematricidi Heisen-berg 1, per rappresentarequantita associatealle variabili dinamicheclassichesi ri-correva a degli oggetti matematicicon la proprieta di soddisfare un’algebranoncommutativa. Tali oggetti furono subitoidentificati con le matrici dell’algebralin-earedaMax Born 2, il quale,dapprimacon l’ausilio dell’allievo PascualJordan3 e

1 Cfr. n. 4 p. 106.2 Born si ricordo allora delle lezioni di Jakob Rosanes(1842–1922),da lui seguite nel 1901quand’erastudenteuniversitarioa Breslau,(Breslavia), l’odiernaWrocl/aw (Polonia).Rosanes,chefu ancherettoredell’Universita di Breslaunegli anni1903–1904,eraunespertodi geometriaalgebricaediedeimportanticontributi alla teoriadegli invarianti.3 Cfr. n. 5 p. 106.A Gottingen,primadi lavorareconBorn e Heisenberg, Jordanerastatoallievo di David Hilbert (1862–1943) e si era familiarizzatocon le matrici a numerofinito di dimensioniaiutandoRichard Courant(1888–1972)nellaredazionedi alcunepartidelprimovolumedel testodi metodimatematicicheCourantstavascrivendoconlo stessoHilbert. Tuttavia, le matricinecessarieaBorneJordanhannodimensionalitainfinita e le loro proprieta nonsonosempreun’ovvia estensionedi quellea numerofinito di dimensioni

151

�� !��"�# !%$�&��"�#�� #�# !poi del matematicoamericanoNorbertWiener4, cerco di darevestematematicapiugeneralealla meccanicadellematrici ricorrendoagli operatorilineari.

AnchePaul Adrien MauriceDirac (1902–1984),nello sviluppareindipenden-tementela sua formulazionedella meccanicaquantistica,si era resoconto dellanecessitadi distingueretraquelli chelui chiamava ' -numeri,corrispondentiai molti-plicatori ' lassici,e i ( -numeridella meccanica( uantistica,con proprieta di opera-tori 5. La suaformulazionerisulta oggi piu elegantee semplicee verra introdottain un successivo capitolo(cap. VI). Essae comunqueequivalenteall’approcciodiGottingen,cosı comeequivalenteapparve subitoanchela meccanicaondulatoriadiSchrodinger6.

In questocapitoloci si limita asviluppareil formalismoelementaredellamecca-nicaquantistica,esaminandogli operatoricheintervengonoin meccanicaquantisticae studiandole soluzionidell’equazioneagli autovalori daessisoddisfatta.Si mostraquindi cheil problemacentraledi risolverel’equazionedi Schrodingerpuo esserericondottoallo studiodi un’equazioneagli autovalori perl’operatorechecorrispondealla hamiltonianadelsistema.

La connessionetra variabilefisicae operatoree un esamedelleproprieta alge-brichedegli operatorifannoscoprireunafondamentaledifferenzatra la descrizioneclassicae quella quantistica. Classicamentenon esistonolimitazioni di principionell’ottenerevalori precisidamisurazionisuccessivedi diversevariabili dinamiche;anzi, misurazionisuccessive arricchisconola conoscenzadel sistema. Invecenontutte le osservabili fisiche risultanotra di loro compatibili se il sistemaviene de-scritto in termini quantistici. Questofatto e unaconseguenzadel principio di inde-terminazione,scopertonel 1927da Heisenberg 7 attraversoun esamecritico delleoperazionidi misurazionedellevariabili di posizionee di impulso. Anchesele re-lazioni cheesistonotra le indeterminazionidellemisuredi osservabili incompatibilisonodirettamentederivabili dal formalismo,le limitazioni impostedal principio diindeterminazionesonoun fattodellanaturadei fenomenifisici e scaturisconodaglieffetti sconvolgenticheil processodi misurazionepuo averein certi casisul sistemafisicoallo studio:nonsi puo piu prescindere,comein fisicaclassica,dall’interazione

(cfr. App. C).R. Courante D. Hilbert: Methodender mathematischenPhysik, Springer, Berlino, 1924,2 voll.; trad.inglesedellasecondaedizione(1931):Methodsof MathematicalPhysics, Interscience,New York, 1953.4 Cfr. n. 32p. 128.5 P.A.M. Dirac: QuantumMechanicsanda PreliminaryInvestigationof theHydrogenAtom[Meccanicaquantisticaeunostudiopreliminaredell’atomodi idrogeno], Proceedingsof theRoyal Societyof LondonA110 (1926)561–579,ricevuto dallarivistail 22 gennaio1926.6 E.Schrodinger:UberdasVerhaltnisderHeisenberg-Born-JordanschenQuantenmechanikzudermeinen[Relazionetra la meccanicaquantisticadi Heisenberg-Born-Jordan e la mia], Annalender Physik79(1926)734–756,ricevuto dallarivistail 18marzo1926.7 W. Heisenberg: Uber denanschaulichenInhalt der quantentheoretischenKinematikundMechanik [Ilcontenutointuitivo dellacinematicaedellameccanicanella teoriaquantistica], Zeitschriftfur Physik43(1927)172-198,ricevuto dalla rivista il 23 marzo1927. Traduzioneitaliananel libro di L. de Broglie,E. Schrodinger, W. Heisenberg: Ondee particellein armonia.Alle sorgenti dellameccanicaquantistica,introduzionee curadi S.Boffi, JacaBook,Milano, 1991.

152

)+* ��,��-$�&��"�#�� !�#�# ��perturbatriceintrodottasul sistemada partedello strumentodi osservazione. Ladescrizionequantistica,medianteun insiemedi postulaticoerentinell’interpretareilformalismosviluppato,permettedi tenerecontodi cio, superandoquelli cheaprimavistapotrebberoessereritenuti aspettiparadossali..0/21�3416587:9<;�=4>�?@;�ACB<D:=@EF>GAIH�>GAGJ�A

E statoriconosciutochele funzioni fisicamenteinteressantiper la risoluzionedell’equazionedi Schrodingerperunaparticellasonole funzioni a valori complessiappartenentia K 2( L M 3). Talespazioeunospaziovettoriale(lineare)complesso,in ac-cordocol principiodi sovrapposizionelineareadottatonelladescrizioneondulatoria.Identificandofunzioniquasi-ovunqueuguali,lo spazioK 2( L M 3) puo esserestrutturatoin uno spaziodi Hilbert, definendoil prodottointerno (o prodottoscalare) tra dueclassidi funzioni N (r) O�P (r) QRK 2( L M 3):S NUT P:VCW XZY

r N\[ (r) P (r) ] (1 ] 1)

Il prodottoscalare(1.1)godedelleseguentiproprieta:S NUT P+V =S P^T_N^V�[`O (1 ] 2)S NUT a@P 1 + b�P 2 V = a S NUT P 1 V + b S NUT P 2 V�O (1 ] 3)S a0N 1 + b�N 2 T P:V = a [ S N 1 T P+V + b [ S N 2 T P:V�O (1 ] 4)

essendoN 1 OcN 2 O�P 1 O�P 2 QdK 2( L M 3) e aeOcb numericomplessi.Pertantoil prodottoscalaree linearenellafunzionedi destrae antilinearenellafunzione(complessaconiugata)di sinistra.Se S NUT P:V = 0 O (1 ] 5)

si diceche N e P sonotradi loro ortogonali. Inoltre la normadi N e unnumerorealenonnegativo: S NUT_N^Vgf 0 O (1 ] 6)

conil segnodi ugualechevalesee solose NhW 0.

153

�� !��"�# !%$�&��"�#�� #�# !Esercizio 1.1

Utilizzandole proprieta (1.2),(1.3)e (1.6),dimostrarela disuguaglianzaikjGl^i m4n�i"oqp jGl^i l:ncp jIm+i mrnts(1 u 7)

dove il segnodi ugualesi verificaseesolosel

em

sonotradi loro proporzionali.La (1.7) e notacomedisuguaglianzadi Schwarz8. Essagarantiscela convergenza

dell’integrale(1.1)quandolvs!mxwzy 2( { | 3).

Sullefunzioni N e necessarioagireconoperatori:N~} = ��NF] (1 ] 8)

In generale,oltrealla suaespressioneesplicita9, la completadefinizionedell’opera-tore � richiedeancheladefinizionedeldominio� ( � ) dellefunzioni N sucui � opera.L’insiemedi funzioni, � ( � ), talecheaognisuafunzioneN } corrispondaalmenounafunzione NqQ�� ( � ), e dettorangoo immagine di � : in generaleil dominio � ( � )noncoincideconla suaimmagine� ( � ).

Nel seguito il dominio � ( � ) dell’operatorehamiltoniano� verra indicatocon�e avrannointeresseoperatori � con dominio � ( � ) denso10 in K 2( L M 3). Dato

che la hamiltonianacontienel’energia cinetica,che nello spaziodelle posizioni erappresentatadaun laplaciano,gli elementidello spaziodi Hilbert

�sonofunzioniN�Q�K 2( L M 3) tali dapotersianchederivareduevolte (eventualmentenel sensodelle

distribuzioni, cfr. AppendiceA). Inoltre sara opportunochegli elementidi � ( � )siano ancorain K 2( L M 3). Tuttavia, con opportunecautelesi rendera necessarioutilizzareancheoperatoriconundominiopiu ampio.

Per salvaguardareil principio di sovrapposizionelineareoccorreconsiderareoperatori lineari: � ( a0N 1 + b�N 2) = a��%N 1 + bc��N 2 ] (1 ] 9)

Si possonoricordarealcunedefinizioniriferite aoperatorilineari 11:1) operatoreaggiunto �%� (o coniugatohermitiano) di � :S � � NUT P+V =

S NUT ��P:V�O��eP�Qh� ( � ) ] (1 ] 10)

8 HermannAmandusSchwarz(1843–1921).9 � puo essere,per esempio,di tipo moltiplicativo (per un numeroo unafunzione),derivativo oppureintegrale.10 Un insieme�� e dettodensoin � sel’intersezionedi tutti gli insiemichiusicontenenti� e ugualea � . Ne segueche � e densoin � see solose � ortogonalea � per �%�� implica � = 0.11 Frigyes Riesze BelaSz.-Nagy:Leconsd’analysefunctionnelle, AcademiedesSciencesdeHongrie,1955[traduzioneinglesedella secondaedizionefrancesea curadi Leo F. Boron: FunctionalAnalysis,FrederickUngarPubl. Co.,New York, 1955].GuidoFano:Metodimatematicidellameccanicaquantistica, Zanichelli,Bologna,1967.

154

)+* ��,��-$�&��"�#�� !�#�# ��Il dominio � ( �%� ) di �� e implicitamentedefinitocomel’insiemedi funzioni Nin corrispondenzadellequali e univocamentedeterminatala funzione ��cN chesoddisfa la (1.10).

2) operatorehermitiano12:S ��NUT P+V =S NUT ��P:V�O��NFO�P�Qh� ( � ) ] (1 ] 11)

Se � e hermitianoe � ( � ) e densoin�

, � e dettosimmetrico. In tal caso��costituisceun’estensionedi � : infatti la (1.11)implica chele funzioni Q�� ( � )appartenganoanchea � ( �� ) ( � ( � ) �� ( �%� )) e in generale� ( � ) �= � ( �� ).

3) operatoreautoaggiunto:� � = �xO � ( � � ) = � ( � ) ] (1 ] 12)

Nel casodi spazia numerofinito di dimensioninon c’e distinzionetra ope-ratori hermitianie operatoriautoaggiunti.D’altra parte,in generaleper un �simmetricoesistesempreun’estensionechiusa( �� ), manonedettochequestaestensionesiaun operatoreautoaggiunto13.

4) operatoreessenzialmenteautoaggiunto:

( � � ) � = � � O � ( � �� ) = � ( � � ) ] (1 ] 13)

Se l’applicazionedell’operatore� provoca la moltiplicazioneper un numerocomplessoa , risultano: � = a:O � � = a [ ] (1 ] 14)

In questocasoil coniugatohermitiano� � dell’operatore� esemplicementeottenutoprendendoil complessoconiugatodi � . L’operazionedi coniugazionehermitianaedunqueun’estensioneagli operatoridellacomplessaconiugazionesui numeri.

Pergli sviluppisuccessivi, quandosi abbiaachefareconoperatoriautoaggiunti( � = � � ), puo essereutile introdurrela seguentenotazione:S NUT �zT P+V =

S �%NUT P:V=S NUT ��P:V�O per � = � � ] (1 ] 15)

In questocasoil valoremediodell’operatore� ,S ��VCW S NUT �zT_N^V�O (1 ] 16)

12 Il nomederiva dal matematicofranceseCharlesHermite(1822–1901)cheutilizzo tali operatorinellostudiodelleformequadratiche.13 Spessonel linguaggiogergaledeifisici hermitianoeautoaggiuntovengonoconsideratiimpropriamentesinonimi.

155

��<�� !��"�,��!��! ! ��# ��$�&��"�#�� !�#�# �risultareale.Infatti, ricorrendoalleproprieta (1.2),(1.11)e (1.12),si verificacheeS �%Vc[�W S NUT �zT_N^Vc[ =

S NUT ��N^Vc[=S ��NUT_N^V

=S NUT ��N^V =

S NUT �zT_N^VCW S ��V�] (1 ] 17)

Percio gli operatoriautoaggiuntisonounageneralizzazionedei numerireali.La misuradi un’osservabilee sempreunnumeroreale;sesi voglionoassociare

degli operatoriallevariabili dinamiche,la (1.17)suggeriscechesi debbanoscegliereoperatoriautoaggiunti.SivedraalparagrafoIV.2chela(1.17)esolounaconseguenzadi proprietageneralicherendonogli operatoriautoaggiuntiparticolarmenteadattiadessereassociatiallevariabili fisicheosservabili 14.��c�c�g 0¡,¢6£`¤,£

Si puo verificarechel’operatoredi posizioneeautoaggiunto.Mettendosiin unasoladimensionespazialepersemplicita, la condizione¥:¦ = ¥ (1 u 18)

seguedallerelazionidi definizione(1.11)e (1.12). Infatti, § lvs�mxwz¨ ( ¥ ), si ha:Xª© ¥ lF« ( ¥ ) ¥ m ( ¥ ) =

XZ© ¥ [ ¥ l ( ¥ )]«�m

( ¥ ) u (1 u 19)

Inoltre e immediatoverificarechee¨

( ¥ ) =¨

( ¥ ¦ ).��c�c�g 0¡,¢6£`¤¬L’operatoredi derivazionerispettoa ¥ non e autoaggiunto.Infatti, § lvs�m®w¨

(

©r¯�© ¥ ), risulta X°© ¥ l « ( ¥ )

© m( ¥ )© ¥ = ± Xª© ¥ © l « ( ¥ )© ¥ m

( ¥ )

=

X°© ¥g² ± © l ( ¥ )© ¥ ³ « m ( ¥ )

(1 u 20)

equindi ² ©© ¥�³ ¦ = ± ©© ¥ s (1 u 21)

cioe l’operatoredi derivazioneeantihermitiano.

14 Nonesistepero unacorrispondenzabiunivocatraosservabili fisicheeoperatoriautoaggiunti,perchesipossonoinventareoperatoriautoaggiunticui noncorrispondonoosservabili fisiche. Perunadiscussionesuquestopuntosi vedaperesempioil testodi Bernardd’Espagnat:ConceptualFoundationsof QuantumMechanics, AddisonWesley, RedwoodCity, Cal.,secondaedizione,1976(rist. 1989),cap.7 [traduzioneitalianadi EugenioGalzenati:I fondamenticoncettualidella meccanicaquantistica, Bibliopolis, Napoli,1980].

156

)+* ��,��-$�&��"�#�� !�#�# ��c�c�g 0¡,¢6£`¤#´L’operatoreassociatoalla variabileclassicaimpulso (cfr. Tab. III.1) risulta

un operatoreautoaggiunto. Mettendosisemprein una sola dimensionespazialepersemplicita, la condizione µ ¦ =

µ(1 u 22)

segueancoradalledefinizioni(1.11)e (1.12). Infatti, § lvs�m¶wz¨ (

µ), si ha:X © ¥ lF« ( ¥ ) ² ±¸· -¹ ©© ¥�³ m ( ¥ ) = · -¹ X © ¥ © l « ( ¥ )© ¥ m

( ¥ )

=

Xª© ¥ ² ±g· -¹ © l ( ¥ )© ¥Z³ « m ( ¥ ) u (1 u 23)

Nel primo passaggioil contributo dei limiti nell’integrazioneperparti si azzeragraziealfattoche

lem

sonowz¨

(

µ) equindisvanisconoall’infinito. Inoltreeanche (

µ) =

¨(

µ ¦ ).Esercizio 1.2

L’operatoredi posizionenello spaziodegli impulsi (cfr. Tab. III.1) e un operatoreautoaggiunto?

Si definisceprodotto º di dueoperatori� e » ,º = �%»¼O (1 ] 24)

l’applicazionesuccessivadei dueoperatori:ºxN = � ( »zN ) O (1 ] 25)

con N°Q½� ( » ) e »zN°Q¾� ( � ). Risulta � ( º ) ¿À� ( » ). L’operatoreconiugatohermitianodi º e º � = » � � � ] (1 ] 26)

Infatti, siccomeNÁQÂ� ( » ) e »zNÁQ�� ( � ), per P�QÂ� ( �� ) e �%��P�Qq� ( »z� ) si puoscrivere S º � P^T_N^VCW S » � � � P�T_N^V =

S � � P^T »zN^V=S P^T �%»zN^V�O

cioe S ºÃ��P^T_N^V =S P^T_ºxN^Vc]

Cio implica in generaleº � �= º , in quanto:

( �%» ) � = » � � � �= �%»¼] (1 ] 27)

157

�� !��"�# !%$�&��"�#�� #�# !Questaconclusionevaleanchequando� e » sonooperatoriautoaggiunti.In questocaso,perottenereºx� = º , cioe

( �%» ) � = �%»¼] (1 ] 28)

occorrechesiaanche �%»ÅÄÆ»¶� = 0 ] (1 ] 29)

Si diceallorache � e » commutanoesi scrive:

[ �ÃOt» ] = 0 O (1 ] 30)

dovesi eintrodottoil simbolodi commutatore[ ]<]<]�O<]<]<] ] perindicareil primomembrodella(1.29).

Esercizio 1.3

Controllaresel’operatore¥ µ e un operatoreautoaggiunto.

Esercizio 1.4

Costruirel’operatoreautoaggiuntocorrispondentealla variabiledinamicaclassica¥ µ .

Esercizio 1.5

Definito l’operatoredi momentoangolare,

L = r Ç ps

(1 u 31)

di componenticartesianeÈ8É= Ê µ0Ë ±hÌ µvÍ s È Í

= Ì µ É ± ¥ µvË s È Ë= ¥ µvÍ ±RÊ µ É s (1 u 32)

controllareseeun operatoreautoaggiunto.

Esercizio 1.6

Costruirel’operatoreautoaggiuntocorrispondentealla variabiledinamicaclassicaindividuatadalvettoredi Laplace–Runge–LenzR = (1

<Î)p Ç L ± ( Ï 2

¯<Ð)r (cfr. Esercizio

I.1.15).

E importantericonoscereche non sempresi verifica la proprieta (1.30) perdue operatoriautoaggiunti. Infatti se si consideranol’operatoredi posizione Ñ el’operatoredi impulsoÒ , perogni Ó ( Ñ ) Q�K 2( L M 3) e derivabile,si ottiene:

158

)+* ��,��-$�&��"�#�� !�#�# ��( Ñ4Ò¼ÄdÒ:Ñ ) Ó ( Ñ ) = Ñ ² Ä�Ô -Õ YY Ñ ³ Ó ( Ñ ) Ä ² Ä�Ô -Õ YY Ñ ³ Ñ%Ó ( Ñ )

= Ô -Õ Ó ( Ñ ) ]Pertantorisulta

[ Ñ8OÖÒ ] = Ô -Õ ] (1 ] 33)

Il commutatore(1.33)di Ñ con Ò e il ' -numeroÔ -Õ .E darilevarecheil commutatorenondipendedallarappresentazionedellafun-

zioned’ondascelta.Se,invecedi considerarefunzioni Ó ( Ñ ) pervalutarel’effettodelcommutatore[ Ñ8OÖÒ ] nello spaziodelleposizioni,si utilizzanofunzioni � ( × ) (sempreQÅK 2 e derivabili) nello spaziodegli impulsi comenel paragrafoIII.7, si ottieneinfatti:

[ Ñ8OÖÒ ] � ( × ) = Ô YY × -Õ ×0� ( × ) Ä -Õ ×vÔ YY × � ( × )

= Ô -Õ � ( × ) ]Altre proprieta del commutatoredi operatorilineari sonole seguenti:

[ aeOØ� ] = 0 O[ a4� + bc»ÙOcº ] = a [ �ÃOcº ] + b [ »ÙOcº ] O

[ ��»ÙOcº ] = � [ »ÙOcº ] + [ �ÃOcº ] »ÙO (1 ] 34)

dove aeOcb sononumericomplessi.Questeproprieta per i commutatorisonole stesseproprieta formali (I.1.13)delleparentesidi Poisson,cosı comela (1.33)e l’analogadellaterzadelle(I.1.15)15.

Se[ �ÃOt» ] = ' -numero,valeanchela relazione

[ Ú ( � ) Ot» ] =

Y Ú ( � )Y � [ �xOt» ] O (1 ] 35)

e, in particolare,

[ ��Û-Ot» ] = ÜÝ��Û0Þ 1[ �ÃOt» ] ] (1 ] 36)

Infinesi puo verificarela seguenteidentita:

[[ �ÃOt» ] Ocº ] + [[ »ÙOcº ] OØ� ] + [[ º�OØ� ] Ot» ] = 0 (1 ] 37)

chee l’analogadell’identita di Jacobi(I.1.14).

15 Il commutatorea livello di matrici fu introdottoin meccanicaquantisticadaM. Born e P. Jordan(cfr.n. 5 p. 106).L’approccioalgebricoagli operatorie il legametra commutatorie parentesidi Poissonfu introdottoda P.A.M. Dirac: Thefundamentalequationsof quantummechanics[Le equazionifondamentalidellameccanicaquantistica], Proceedingsof theRoyal Societyof LondonA109 (1925)642–653.

159

�� !��"�# !%$�&��"�#�� #�# !Esercizio 1.7

Valutarei commutatoritra gli operatoridi posizionein tre dimensionispaziali¥ s Ê s Ì .Esercizio 1.8

Valutare i commutatoritra gli operatoridi impulso in tre dimensionispazialiµ É s µvÍ s µvË

.

Esercizio 1.9

Valutarei commutatoritragli operatoridi posizione¥ s Ê s Ì egli operatoridi impulsoµ É s µvÍ s µvË

.

Esercizio 1.10

Verificarei seguentirisultati:

[ ß s ¥ ] = ± · -¹Î µ É s (1 u 38)

[ ß s µ É ] = · -¹8à:áà ¥ s (1 u 39)

dove ß = ß ¦ =

µ2

¯(2

Î) + á (r).

Esercizio 1.11

Verificarei seguentirisultatiperlecomponentidell’operatoredi momentoangolare:

[È2â s È�ã

] = · -¹4ä â�ã�å È å s (1 u 40)

doveä â�ã�å

e il tensoretotalmenteantisimmetrico,eq. (I.1.18),ä â�ã�å= æ +1

s( · sÖç�s�è ) = ( ¥ s Ê s Ì ) ciclici,± 1

s( · sÖç�s�è ) = ( Ê s ¥ s Ì ) ciclici,

0s

altrimenti.(1 u 41)

160

)+* ��,��-$�&��"�#�� !�#�# ��Esercizio 1.12

Definito il quadratodelmomentoangolare,È 2 =È 2É +

È 2

Í+È 2

Ë s(1 u 42)

verificareil risultato:

[È 2 s È8â ] = 0 u (1 u 43)

Esercizio 1.13

Verificarele seguentiregoledi commutazione:

[ ¥ â s È ã ] = · -¹4ä â�ã�å ¥ å s[

µ â s È�ã] = · -¹4ä â�ã�å µ å (1 u 44)

tra le componentidi r e p e le componentidi L.

Esercizio 1.14

Definito l’operatorecorrispondenteal vettoredi Laplace–Runge–Lenz,

R =1

2

Î(p Ç L ± L Ç p) ± Ï 2Ð

rs

(1 u 45)

verificarele seguentiregoledi commutazione:

[È â s | ã ] = · -¹�ä â�ã�å | å s

[ | â s | ã ] = ± 2ßÎ · -¹�ä â�ã�å È å s (1 u 46)

dove ß =

µ2

2

Î ± Ï 2Ð u161

�� %��"�,��!�� !��"�# !%$�&"��I�� #�# !Esercizio 1.15

Dimostrarel’identita

Ï<é^êRÏ�ë+é = ê + [ ì s ê ] +12!

[ ì s [ ì s ê ]] +13!

[ ì s [ ì s [ ì s ê ]]] + utu�u s (1 u 47)

dove l’operatoreÏ é , quandoì e continuo,va intesonel sensodi unosviluppoin serie,Ï<é = 11 + ì +12!ì 2 +

13!ì 3 + ucucu s (1 u 48)

dove 11 e l’operatoreidentita.[Suggerimento:si facciauno sviluppo in seriedi Taylor dell’operatore

l( í ) =Ï�î é êdÏ ë î é intornoa

l(0) = ê esi pongaallafine í = 1.]

.0/81Iïv1�ð�B<D:=òñ<AG?rE~96=`órôkAg=rD+>�?@õ�=rô�?r;�ASi definisceequazioneagli autovalori l’equazione:��ö = ÷\ö\] (2 ] 1)

Essadeterminaunaopiu funzioni ö , diversedazeroe QR� ( � ), che,perl’applicazionedell’operatore� , risultanosemplicementemoltiplicateperunnumero,indicatogene-ricamentecon ÷ . Si dicechela funzioneö el’ autofunzionepropriadi � appartenenteall’autovaloreproprio ÷ .

Perunoperatoresimmetrico� (equindi in particolareperunoperatoreautoag-giunto, � = �� ) gli autovalori ÷ sonoreali e duefunzioni ö e ö } chesoddisfanola(2.1)perautovalori diversi, ÷Á�= ÷ } , risultanotradi loro ortogonali:S ö�T ö } V = 0 ] (2 ] 2)

Infatti, perdefinizionedi operatoresimmetricoedalleipotesi��ö = ÷�ö8O ��öF} = ÷8}öF}�Osegue

0 =S öF}!T ��ö-VCÄ S ��öF}�T ö^V

= ÷ S ö } T ö-VCÄÆ÷ } [ S ö } T ö-V= ( ÷�Ä�÷ } [ ) S ö } T ö-V�O

cioe si deveavere ÷ = ÷ [ O se ö = ö } , oppurela (2.2),se ÷Á�= ÷ } .Seperunparticolareautovalore÷ la (2.1) esoddisfattadaunaunicaautofunzioneö , si dicechel’autovalore ÷ e semplice. Puo succederepero cheperun certo ÷ la

162

ø^$�&�Øù��4��Øú�� -�&`�,��û��(2.1)siasoddisfattadapiu funzioni öüQh� ( � ). In tal casosi diceche ÷ e moltepliceo degenere: se le autofunzioniproprie linearmenteindipendentisono ý , questoel’ordine di degenerazionedell’autovalore ÷ e l’insiemedi tutte le autofunzionidi �appartenentiallo stessoautovalore ÷ costituisceun sottospazio�6þ a ý dimensioni.Inoltre, per la (2.2) ogni sottospazio�6þ e ortogonalead ogni sottospazio�zþ4ÿ con÷Á�= ÷ } .

Perunospaziodi Hilbert�

separabile16 l’insiemedi sottospazi� þ mutuamente

ortogonalie al piu numerabile. Cio significachel’insiemedegli autovalori propri di� e in tal casonumerabileepuo esserecontrassegnatoconindici interi:� ÷ Û �=

� ÷ 1 Ot÷ 2 O<]<]<] � ] (2 ] 3)

L’insiemedegli autovalori (2.3) costituiscelo spettropuntuale(o discreto) dell’o-peratore� . Lo spaziodi Hilbert

�risulta la sommadiretta dei sottospazi

� þ :�= � þ�� þ .

Corrispondentemente,le autofunzioniö Û (r) costituisconoun insiemenumera-bile di funzioni in

�, chepuo essereortonormalizzatosecondola relazioneS ö��zT ö Û VCW X Y

r ö [� (r) ö Û (r)

= � Û �6] (2 ] 4)

La normalizzazione( Ü = � ) e semprepossibileper funzioni ö Û Q�K 2( L M 3) el’ortogonalita ( Ü �= � ) e garantitanel caso ÷ Û �= ÷ � . Nel casodi degenerazione( ÷ Û = ÷ � ) tutte le funzioni appartenential sottospaziodegeneresonoautofunzionipropriedell’operatore� , manonsonoin generaleortogonalitradi loro. Pero si puosemprericorrereaunopportunoinsiemedi ý autofunzioniappartenential sottospaziodegenere,linearmenteindipendentieortogonalitradi loro comenella(2.4),in modoche ogni altra funzionedel sottospaziopossaessereespressacomecombinazionelinearedell’insiemeprescelto.

L’insiemedi tuttele autofunzionipropriedell’operatore� ecompleto, nelsensocheunaqualsiasiN Q � puo esserecostruitacomecombinazionelinearedelle ö Û ,N (r) = Û ' Û ö Û (r) O (2 ] 5)

con ' Û coefficienti complessi17. L’insieme� ö Û �

pertantocostituisceunabasein�

sucui sviluppareunaqualsiasiN Q � , esattamenteallo stessomodoin cui i versoridibasedi un sistemadi riferimentoortogonalecartesianosonoutilizzati in unospaziovettorialea numerofinito di dimensioniper esprimereun qualunquealtro vettore.Graziealla (2.4), i coefficienti ' Û si possonoesplicitare:

16 Si diceseparabilelo spaziodi Hilbert peril qualesi puo trovareunasuccessionedi funzioni �� ( � ) ��talechele sferedi centro � ( � ) e raggio � ricoprano .17 La completezzaedirettaconseguenzadel fattochelo spaziodi Hilbert e separabile.

163

�� %��"�,��!�� !��"�# !%$�&"��I�� #�# !S ö�� T_N^V = Û ' Û S ö�� T ö Û V

= ' � ] (2 ] 6)

In analogiaancoracol casodi unospazioanumerofinito di dimensioni,i coefficienti' Û si possonodunqueinterpretarecomele componentidi N secondogli elementiö Ûdellabasein

�. Inoltre la normalizzazionedi N impone

1 =S NUT_N^V = Û T ' Û T 2 ] (2 ] 7)

Esercizio 2.1

Dateduefunzioni � e � normalizzate,ma non ortogonalitra di loro, costruire,apartiredalla � , la funzione

lortogonalea � .

Esercizio 2.2

Datedueautofunzioniproprie � 1 e � 2, normalizzate,manonortogonalitra di loroeappartenentiallo stessoautovalore � doppiamentedegeneredell’operatoreì , costruirele dueautofunzioniproprie � 1 e � 2, linearmenteindipendentie tradi loro ortogonali.

Se NFO�P�Q � , con N datadalla(2.5)e P daunaanalogarelazioneconcoefficientib Û , graziealla (2.4) il prodottoscalaretra N e P risultaS NUT P:V = Û � 'ò[Û b � S ö Û T ö � V= Û 'ò[Û b Û ] (2 ] 8)

La (2.8) giustifica l’uso della denominazionedi prodottoscalaretra due funzioniQ � peranalogiaconla definizionedelprodottoscalaretraduevettori in unospazioa numerofinito di dimensioni.

Lacondizione,perchevalgala (2.5)o,equivalentemente,perchel’insieme� ö Û �

costituiscaunabasein�

, si chiamaproprieta di chiusura per l’insieme� ö Û �

e siscrive: Û ö Û (r) ö\[Û (r } ) = � (r Ä r } ) ] (2 ] 9)

Infatti e identicamente N (r) =X Y

r } � (r Ä r } ) N (r } ) ] (2 ] 10)

D’altra parte,perla (2.6), il secondomembrodella(2.5)diventa

164

ø^$�&�Øù��4��Øú�� -�&`�,��û�� Û ' Û ö Û (r) = Û � XZY

r }ö [Û (r } ) N (r } ) �@ö Û (r)

=XZY

r } � Û ö Û (r) ö [Û (r } ) ��N (r } ) ] (2 ] 11)

Dal confrontotra (2.10)e (2.11)seguela (2.9).

Esercizio 2.3

Perunafunzionel

(r) sviluppatasecondola (2.5)verificarela relazioneX ©r �� (r) � « (r � ) l (r � ) = � � (r) u

Esercizio 2.4

Quale il significatodell’applicazionedell’operatore(integrale)� (rsr � ) = � (r) � « (r � ) (2 u 12)

alla funzionel

(r) nell’Esercizioprecedente?

Esercizio 2.5

Quale il significatodell’applicazionedell’operatore(integrale) � (rsr � ) = � (r) � « (r � ) (2 u 13)

alla funzionel

(r)?

Ortonormalizzazione(2.4), completezza(2.5) e chiusura(2.9) sonocaratteri-stichefondamentalidell’insiemedi autofunzioniproprie di un qualsiasioperatoresimmetricocheabbiasolounospettrodiscreto.

E importantericonoscerechel’equazioneagli autovalori (2.1) puo esseresod-disfatta ancheper funzioni �Q �

. In tal casosi parla di autofunzioniimproprie eautovalori impropri. Tali autofunzioniappartengonoa unospaziopiu ampiodi

�,

in cui pero�

e densosecondoun’appropriatatopologia18. Gli autovalori impropricostituisconounospettrocontinuo, varianocioe entroun intervallo continuodi nu-meri reali. Pertantole corrispondentiautofunzioni(improprie) ö~þ (r) possonoesserecaratterizzatedaun indicecontinuo÷ .

18 Se = � 2( � � 3), talespaziopiuampiopuoessereidentificatoconlo spaziodelledistribuzionitemperate(cfr. paragrafoA.1). Pero per una larga classedi operatoridifferenziali le autofunzioniimproprie siriduconoa funzioni ordinarie:si vedanoi successivi Esempi2.5e2.6.

165

�� %��"�,��!�� !��"�# !%$�&"��I�� #�# !Anchesenonappartengonoa

�, leautofunzioniimpropriepermettonodi costru-

ire funzioni che vi appartengono,comenel casodelle ondepianeche si possonocombinarein un pacchettodi onde. In presenzadi spettropuramentecontinuo,le autofunzioniimpropriecostituisconoun insiemecompletosucui sviluppareunaqualsiasiN Q � : N (r) =

X Y ÷6' ( ÷ ) ö þ (r) O (2 ] 14)

dovei coefficientidi sviluppo' ( ÷ ) sonoin generalecomplessi edipendonodall’indicecontinuo ÷ . La condizionedi ortonormalizzazionee oraXZY

r ö�[þ (r) ö þ ÿ (r) = � ( ÷ Ä ÷ } ) O (2 ] 15)

chegarantisceperi coefficienti ' ( ÷ ) un’ovvia estensionedella(2.6),' ( ÷ ) =S ö~þ2T_N^V =

X Yr ö\[þ (r) N (r) O (2 ] 16)

e della(2.7):

1 =S NUT_N^V =

X Y ÷�T ' ( ÷ ) T 2 ] (2 ] 17)

Infine la relazionedi chiusura(2.9)diventain questocaso:XZY ÷Ãö [þ (r) ö-þ (r } ) = � (r Ä r } ) ] (2 ] 18)

In generalepero lo spettropuo conteneresia unapartedi spettrodiscreto,siaunapartedi spettrocontinuo.Di conseguenza,l’insiemecompletodelleautofunzionicontienesiaautofunzioniproprie,siaautofunzioniimproprie. Conovvia estensionedaicasiprecedenti,l’ortonormalizzazionedeveriguardaretuttele autofunzioni,pro-prie edimproprie: X Y

r ö [� (r) ö Û (r) = � Û �¶OXZYr ö�[þ ÿ (r) ö-þ (r) = � ( ÷ Ä ÷ } ) OXZYr ö [þ (r) ö Û (r) = 0 ] (2 ] 19)

La completezzaimplica chelo sviluppoperogni N®Q � siafattocoinvolgendosiale autofunzioniproprie,siaquelleimproprie:N (r) = Û ' Û ö Û (r) +

X Y ÷¶' ( ÷ ) ö-þ (r) O (2 ] 20)

166

ø^$�&"Øù��#��4��Øú�� -�&ò�,��ûc��con

1 =S NUT_N^V = Û T ' Û T 2 +

X Y ÷�T ' ( ÷ ) T 2 ] (2 ] 21)

I coefficienti complessisonodati dallerelazioni' Û =S ö Û T_N^V =

XZYr ö�[Û (r) N (r) O' ( ÷ ) =

S ö þ T_N^V =X Y

r ö\[þ (r) N (r) ] (2 ] 22)

Infine la proprietadi chiusurarisulta Û ö Û (r) ö [Û (r } ) +X Y ÷xö [þ (r) ö~þ (r } ) = � (r Ä r } ) ] (2 ] 23)��c�c�g 0¡,¢Ã¬"¤,£

L’operatore È Ë= ¥ µvÍ ±hÊ µ É s (2 u 24)

corrispondenteallacomponentedelmomentoangolarelungol’asse Ì , nellospaziodelleposizionidiventa È Ë

= ±g· -¹ ² ¥ àà Ê ±hÊ àà ¥ ³ u (2 u 25)

L’equazioneagliautovalori perÈ Ë

assumeunaformapiusemplicesesipassaacoordinatepolari sferiche: �� ¥ =

Ðcos! sin " sÊ =

Ðsin ! sin " sÌ =

Ðcos"4u (2 u 26)

Infatti le derivazionirispettoa ¥ , Ê , e Ì diventano�#####� #####� àà ¥ = cos! sin " àà Ð +1Ð

cos! cos" àà " ± 1Ð sin !sin " àà ! sàà Ê = sin ! sin " àà Ð +

1Ðsin ! cos" àà " +

1Ð cos!sin " àà ! sàà Ì = cos" àà Ð ± 1Ð

sin " àà " u (2 u 27)

Allora l’operatoreÈ Ë

operasolosullavariabile ! :È Ë= ±¸· -¹ àà ! u (2 u 28)

L’equazioneagli autovalori perÈ Ë

,

167

�� %��"�,��!�� !��"�# !%$�&"��I�� #�# !È Ë%$

= � $ s(2 u 29)

diventa ±g· -¹ à $à ! = � $ u (2 u 30)

La suasoluzioneedel tipo $= �+Ï â'&)(+*

-, u (2 u 31)

Non tutti i valori di � pero sonofisicamenteaccettabili,in quantosi deve imporrealla(2.30)la condizioneal contorno: $

( ! ) =

$( ! + 2- )

s(2 u 32)

checorrispondeall’indistinguibilitadelsistemarispettoaunarotazionecompletaintornoall’asseÌ . Questacondizioneimplicanella(2.31)� = -¹ Î s Î

= 0s/.

1s0.

2s ucu�utu (2 u 33)

L’insieme dei numeri interi 1 Î32pertantocostituisce(in unita -¹ ) lo spettrodiscreto

dell’operatoreÈ Ë

e le corrispondentiautofunzioni(2.31)possonoesserenormalizzate:X 2 40

© ! i $ ( ! )i 2 =

i � i 2 X 240

© ! = 1 u (2 u 34)

Il valoredellacostantedi normalizzazioneedunque� =152- u (2 u 35)

Il procedimentoseguito nell’Esempio2.1 e tipico. L’equazioneagli autovalori(eq. (2.29))vienerisoltain unacertarappresentazione,peresempionellospaziodelleposizioni, in cui dareforma analiticaesplicitaall’operatoree all’autofunzione(eq.(2.30));in questomodol’equazioneagli autovalori diventain generaleun’equazionedifferenzialecheesige,per la suasoluzione,delle condizionial contorno;la con-dizionealcontorno(eq. (2.32))determinaladiscretizzazionedellospettrodegli auto-valori propri e quindi l’appartenenzadelleautofunzioniproprieallo spazioK 2( L M 3).Percio infine si puo normalizzarel’autofunzionee fissarela costantedi normaliz-zazione(eq. (2.35))19.

19 Perun breveriassuntoriguardantela teoriadelleequazionidifferenzialisi vedal’AppendiceB.

168

ø^$�&"Øù��#��4��Øú�� -�&ò�,��ûc��Esercizio 2.6

Verificarele espressioni:È2É= · -¹ ² sin ! àà " +

cos!tan " àà ! ³ s (2 u 36)È Í

= · -¹ ² ± cos! àà " +sin !tan " àà ! ³ u (2 u 37)

Esercizio 2.7

Verificarechel’operatorecorrispondentealmoduloquadratodelmomentoangolare,È 2 =È 2É +

È 2

Í+È 2

Ë s(2 u 38)

in coordinatepolari sferichehal’espressioneseguenteÈ 2 = ± -¹ 2 6 1sin " àà " ² sin " àà " ³ +

1sin2 " à 2à ! 2 7 s (2 u 39)

con0o " o - s 0

o ! o 2- .��c�c�g 0¡,¢Ã¬"¤¬L’equazioneagli autovalori perl’operatorecorrispondenteal moduloquadratodel

momentoangolare(2.38)e benestudiatain analisi20. Le autofunzionidiÈ 2 solitamente

vengonoindicate8 ( " s ! ) egli autovalori sonodellaforma -¹ 2 9 ( 9 + 1), con 9 = 0s1s2s ucu�u .

Pertantoe È 2 8;:=< ( " s ! ) = -¹ 2 9 ( 9 + 1)8;:=< ( " s ! )s

(2 u 40)

dove l’indice 9 affissoalle autofunzioniserve a distinguerlein baseall’autovalorecor-rispondentee

Îrappresentaun ulteriore numerointero che puo assumerei seguenti

valori: i Î iro 9 s 9 = 0s1s2s u�ucucu (2 u 41)

Le autofunzioni 8;:=< ( " s ! ) vengonochiamatearmoniche sferiche e sonoun esempiodiautofunzionidegeneri:perogni 9 cenesono29 +1 tradi loro indipendentiecorrispondentiai 29 + 1 valori possibilidi

Î.

Esplicitamenterisulta8;:=< ( " s ! ) = >?:=< ( " )152- Ï â < ( s

(2 u 42)

dove,per

ÎA@0, e

20 Si vedaades. il testodi E.T. Whittaker e G.N. Watson:A Courseof ModernAnalysis, TheUniversityPress,Cambridge,1902,e successive edizioni(la quarta,del 1927,e statapiu volte ristampata).

169

��<�� !��"�,��!�� ! ��"� �%$�&��"�#�� !�I� �>B:=< ( " ) = ( ± )

< �(29 + 1)(9 ± Î )!

2(9 +

Î)!

� 1*

2

sin< " à <

( à cos" ) < � : (cos" ) u (2 u 43)

Nella (2.43)le funzioni� : ( ¥ ) sonoi polinomidi Legendre,� : ( ¥ ) =

12: 9 ! © :© ¥ : �

( ¥ 2 ± 1): � s (2 u 44)

le cui espressioniespliciteper 9 o 4 sonoriportatein Tab. 1.

Tab. 1. Polinomidi Legendreper 9 o 4.�0( ¥ ) = 1�1( ¥ ) = ¥�2( ¥ ) = 1

2(3¥ 2 ± 1)�3( ¥ ) = 1

2¥ (5¥ 2 ± 3)�

4( ¥ ) = 18(35¥ 4 ± 30¥ 2 + 3)

Pervalori di

Înegativi si ricorrealla relazione8;:DC ë < ( " s ! ) = ( ± )

< 8 «:=< ( " s ! ) u (2 u 45)

Le armonichesferichesonoun insiemecompletoortonormale:X 1ë 1

©(cos" )

X 2 40

© !E8 «:F< ( " s ! ) 8 : ÿ < ÿ ( " s ! ) = G :H: ÿ G <I< ÿ u (2 u 46)

Inoltre valgonoi seguenticasiparticolari:8;: 0( " s ! ) = J 29 + 14- � : (cos" )

s(2 u 47)

8;:=< (0s ! ) = J 29 + 1

4- G < 0s

(2 u 48)8K:F< ( - ±�" s ! + - ) = ( ± ): 8K:F< ( " s ! ) u (2 u 49)

In quest’ultimarelazione,il primomembroeottenutoapplicandol’operatoredi parita�

,cheha l’effetto di invertiresimultaneamentetutti e tre gli assicoordinatidel sistemadiriferimentocartesiano,mandando" in -z±�" e ! in ! + - :

170

ø^$�&�Øù��4��Øú�� -�&`�,��û�� 8;:=< ( " s ! ) = 8;:F< ( -z±L" s ! + - ) u (2 u 50)

Pertantola (2.49) indica che le armonichesfericheper 9 pari sonofunzioni pari, per9 disparisonofunzioni dispari; quindi, oltre ad essereautofunzionidiÈ 2, sonoanche

autofunzionidi�

appartenentiall’autovalore( ± ) : :� 8;:=< ( " s ! ) = ( ± ): 8;:=< ( " s ! ) u (2 u 51)

Le armonichesferichesonoinoltreautofunzionidiÈ Ë

,È Ë 8;:=< ( " s ! ) = -¹ Î 8K:F< ( " s ! )s

(2 u 52)

comesi puo facilmenteverificarericordandola loro definizione(2.42)e la (2.28).

L’espressioneesplicitadelle armonichesferichein coordinatepolari sferichee incoordinatecartesianee riportatain Tab. 2 per 9 o 3.

Tab. 2. Armonichesferiche8K:F< ( " s ! ) per 9 o 3.M00( N+OPO ) = 1Q

4R = 1Q4R OM

10( N+OPO ) = S 34R cosN = S 3

4R 1TKU OM1 V W 1( N+OPO ) = X S 3

8R sin NZY W\[^] = X S 38R 1T ( Ñ`_�Ôba ) OM

20( N+OPO ) = S 516R (3cos2 NÝÄ 1) = S 5

16R 1T2 (3U 2 ÄÆý 2) OM

2 V W 1( N+OPO ) = X S 158R sin N cosNZY Wc[D] = X S 15

8R 1T2

U ( Ñd_�Ôea ) OM2 V W 2( N+OPO ) = S 15

32R sin2 NZY W 2[D] = S 1532R 1T

2 ( Ñd_�Ôba )2 OM30( N+OPO ) = S 7

16R (5cos2 NÝÄ 3)cosN = S 716R 1T

3U (5U 2 Ä 3ý 2) OM

3 V W 1( N+OPO ) = X S 2164R (5cos2 NÝÄ 1)sin NZY W\[^] = X S 21

64R 1T3 ( Ñf_�Ôea )(5U 2 ÄÆý 2) OM

3 V W 2( N+OPO ) = S 10532R sin2 N cosNZY W 2[D] = S 105

32R 1T3

U ( Ñf_�Ôba )2 OM3 V W 3( N+OPO ) = XdS 35

64R sin3 NZY W 3[^] = XfS 3564R 1T

3 ( Ñf_�Ôea )3 ]171

��<�� !��"�,��!�� ! ��"� �%$�&��"�#�� !�I� �Esercizio 2.8

Utilizzandola Tab. 2 verificarecheper 9 = 1s2s3 valela relazione

4-29 + 1

< 8;:F< ( " 1s ! 1) 8 «:F< ( " 2

s ! 2) =� : (cos" 12)

s(2 u 53)

dove " 12 = " 1 ±g" 2. Talerelazionenoneaccidentale:si puo dimostrarevalidain generaleperqualsiasi9 (cfr. EsercizioVI.6.1).

Esercizio 2.9

Perun corporigido in rotazioneconvelocita angolareh e momentod’inerzia { ilmomentoangolareclassicohamodulo

È= {+h e la hamiltonianaclassicaeß = 1

2 {%h 2 =È 2

2{ u (2 u 54)

Risolverel’equazioneagli autovalori perla hamiltonianaquantisticacorrispondente.��c�c�g 0¡,¢Ã¬"¤#´Si consideril’equazioneagli autovalori perl’impulso,µ $

= -¹ è $ s(2 u 55)

cercandonele soluzioninell’insiemedellefunzioni

$( ¥ ) continueederivabili nell’inter-

vallo finito ±ji o ¥ o i : ±¸· -¹ © $© ¥ = -¹ è $ s i ¥ i4o i0u (2 u 56)

Ovviamentefunzioni del tipo $( ¥ ) = �:Ï â�åtÉ (2 u 57)

risolvonola (2.56). Pero qui si vuoleche

µsiaun operatoreautoaggiunto,k ±h· -¹ © l© ¥Elll m;m

=k l lll ±h· -¹ © m© ¥ m u (2 u 58)

Conragionamentianaloghia quelli nell’Esempio1.3si devonoora limitare gli integralinella(2.58)a

i ¥ i@o i :k l lll ±�· -¹ © m© ¥ m= ±¸· -¹ Xonë n © ¥ lF« ( ¥ )

© m© ¥= ±¸· -¹ � l «

( ¥ )m( ¥ ) � n ë n +

Xonë n © ¥ ² ±¸· -¹ © l© ¥2³ « m ( ¥ )

= ±¸· -¹ � l «( ¥ )m( ¥ ) � n ë n +

k ±h· -¹ © l© ¥Elll m m u172

ø^$�&"Øù��#��4��Øú�� -�&ò�,��ûc��Pereliminareil contributodei limiti nell’integrazioneperpartiefarcoincidereil dominiodi

µcol dominiodi

µ ¦ , si deve imporrela condizionedi periodicita:$( i ) =

$( ±ji ) u (2 u 59)

La piu particolarecondizione, $( i ) =

$( ±pi ) = 0

s(2 u 60)

a priori ipotizzabileper garantirel’eliminazione di un contributo dei limiti, non ponenessunacondizionesulle funzioni del dominio di

µ ¦ : percio e¨

(

µ) q ¨

(

µ ¦ ). D’altrepartefunzionidel tipo (2.57)nonsoddisfanola (2.60),chevaquindi scartata.

Inveceperla (2.59)deve essere

sinè i = 0

scioe èsr è = t - i s t = 0

s0.1s/.

2s u�utu�u (2 u 61)

La costante� nella(2.57)vienefissatapernormalizzazionedella

$( ¥ ):� =

152i u (2 u 62)

Questocasoe sostanzialmenteanalogoa quello trattatonell’Esempio2.1: la (2.56)conla condizione(2.59)equivalealla(2.30)conla (2.32),cosı comelo spettrodiscreto(2.61)corrispondea quello in (2.33). La condizioneal contornoin ogni casogarantiscelahermiticita dell’operatoreenediscretizzalo spettro.��c�c�g 0¡,¢Ã¬"¤vu

Unaparticellaliberae confinataa muoversi in unadimensionetra paretirigidedi altezzainfinita postein ¥ = ±pi e ¥ = i . Essapuo esseredescrittacon la seguentehamiltoniana: ß =

µ2

2

Î+ á ( ¥ )

s(2 u 63)

con á ( ¥ ) = w 0s i ¥ i@o i ,

+ x s i ¥ izy i .(2 u 64)

L’equazioneagli autovalori per ß , ß{� = |}� s (2 u 65)

puo essererisoltaconsiderandofunzioni � = � ( ¥ ), continueinsiemeconle loro derivateprimeesecondein ( ±ji s i ):

173

��<�� !��"�,��!�� ! ��"� �%$�&��"�#�� !�I� �± -¹ 2

2

Î ©2 �© ¥ 2

= |~� ( ¥ )s i ¥ i@o i0u (2 u 66)

Le soluzionidell’equazioneagli autovalori (2.66)si ottengonoin formaesplicitasecondola teoriadelleequazionidifferenzialilineari acoefficienti costanti:� ( ¥ ) = � 1 Ï &�É

+ � 2 Ï ë &�É s(2 u 67)

dovesi e posto � 2 � ± 2

Î |-¹ 2

� ± è 2 u (2 u 68)

Naturalmentesi vuoleche ß siaautoaggiunta,cioeperognilvs�mxwz¨

( ß ) deveesserek ± © 2 l© ¥ 2 lll m�m=

k l lll ± ©2 m© ¥ 2

m u (2 u 69)

Cio significak l lll ± ©2 m© ¥ 2

m � ± X në n © ¥ l « © 2 m© ¥ 2

= ± � lF« © m© ¥ � n ë n +

X në n © ¥ © l «© ¥ © m© ¥= ± � l « © m© ¥ � n ë n +

� © l «© ¥ m � n ë n ± X në n © ¥ © 2 l «© ¥ 2

m= ± � lF« © m© ¥ � n ë n +

� © l «© ¥ m � n ë n +k ± © 2 l© ¥ 2 lll m�m u

Perchevalgala (2.69)si possonoapriori seguireduevie: la prima,ispiratadall’Esempio2.3, consistenell’imporre unacondizionedi periodicita sia sulla funzione(

lom), sia

sullasuaderivata,in mododaannullareil contributodei limiti nell’integrazioneperparti.In questocasola (2.66)vacorredataconle condizioni:� ( i ) = � ( ±pi )

s © �© ¥�lll É = n =

© �© ¥Elll É = ë n u (2 u 70)

Alternativamentesi puo restringereil dominiodi ß , imponendole condizioni:� ( i ) = � ( ±ji ) = 0 u (2 u 71)

Se si utilizzano le condizioni al contorno(2.70) si riconoscesubito che non sirealizzanosoluzionineper |�� 0, neper | y

0, in quantosi dovrebbeaverecontempo-raneamente� 1 = � 2 e � 1 = ±j� 2.

Sesi utilizzanole condizioni(2.71)perle soluzionidella(2.66)nellaforma(2.67),ancoranonsi realizzanole condizionidi solubilita per |�� 0, perche risulta � 1 = � 2 = 0.E questorisultatoeprevisto anchedallafisicaclassica.Per | y

0 la (2.67)diventa� ( ¥ ) = � 1 Ï âåtÉ + � 2 Ï ë âåØÉ u (2 u 72)

174

ø^$�&�Øù��4��Øú�� -�&`�,��û��Sostituendola (2.72)nellecondizioni(2.71),si trova:Ï âå n�� 1 + � 2 Ï ë 2

âå n��= 0sÏ�ë â�å n � � 1 + � 2 Ï 2

âå n �= 0s

cioe

sin2è i = 0

s(2 u 73)� 1 + � 2 cos2

è i = 0 u (2 u 74)

La (2.73)vienesoddisfattaperèsr è = t -2i s t = 0

s/.1s0.

2s ucucucu (2 u 75)

I valori (2.75)riflettonola condizionechegli estremii ¥ i = i sianopunti di nodoper la

funzioned’onda,corrispondentiall’ipotesi iniziale cheini ¥ i = i vi sianoparetirigide

che fannorimbalzarela particellaall’interno dell’intervallo ( ±pi s i ). Lo spettrodegliautovalori di energia risultadunquediscreto:| r | =

-¹ 2 è 2 2

Î s t = 1s2s ucucucu (2 u 76)

Corrispondentemente,in conseguenzadella(2.75)i coefficienti � 1 e � 2 nella(2.74)risultanolegati dallarelazione � 1 = ( ± )

+1 � 2 u (2 u 77)

Senzaperditadi generalita la costante� 2 si puo sceglierereale.Essavienefissata,amenodel segno,dallacondizionedi normalizzazioneX në n © ¥ i � ( ¥ )

i 2 = 4iz� 22 = 1 u (2 u 78)

Il segnodi � 2 restaarbitrario,mae inessenziale.Inveceil segnorelativo tra � 1 e � 2 nella(2.77),dipendenteda t , trasformala (2.72)in unafunzionecoseno(seno)per t dispari(pari),corrispondenteaunafunzionepari(dispari)perlo scambio¥ r ± ¥ . Le soluzionisonodunqueancheautofunzionidell’operatoredi parita

�chescambia¥ in ± ¥ .

Esercizio 2.10

Perche mancala soluzioneper t = 0 nell’equazione(2.76)dell’Esempio2.4?

Esercizio 2.11

Si confronti il risultato(2.76)conquellodell’EsercizioII.5.4.

175

��<�� !��"�,��!�� ! ��"� �%$�&��"�#�� !�I� �Esercizio 2.12

Utilizzando il teoremadi Ehrenfest,determinareil potenzialecheclassicamentedarebbeorigineallo stessotipo di motocherisultadall’Esempio2.4.

Esercizio 2.13

Verificarechesela bucadi potenzialedell’Esempio2.4edefinitadallacondizioneá ( ¥ ) = 6 0s

0 � ¥ � È,

+ x s ¥ � 0, ¥ y È,

(2 u 79)

conÈ

= 2i , lo spettrodi autovalori (2.76)restainalterato,mentreleautofunzionirisultano� ( ¥ ) = J 2È sinè ¥ s (2 u 80)

conè = t?- ¯ È , t = 1

s2s utu�u .��c�c�g 0¡,¢Ã¬"¤D�

Si riconsideril’equazione(2.56)estendendola liberta di motosututto l’asse¥ :±¸· -¹ © $© ¥ = -¹ è $ u (2 u 81)

Non ci sonocondizioni da imporre alla

$, che deve comunqueesseredel tipo (2.57)

con ¥ compresoin ( ±?x s+ x ). In tal casopero le autofunzioninon sonoa quadrato

sommabileequindisonoautofunzioniimproprie. Il numerod’ondaè

chele caratterizza,nonessendopiu condizionato,puo variarein modocontinuoin ( ±Bx s

+ x ). Questoeunesempiodi spettrocontinuoassociatoa funzioni �wzy 2( { | ).

D’altra parte,perla (III.3.32), le autofunzionidella(2.81)sonolocalmenteintegra-bili equindi conessesi possonocostruirepacchettidi onde

wzy 2( { | ).��c�c�g 0¡,¢Ã¬"¤^�La hamiltonianadellaparticellaliberadi muoversilungotutto l’asse¥ eß =

µ2

2

Î s(2 u 82)

e la relativa equazioneagli autovalori e± -¹ 2

2

Î ©2 �© ¥ 2

= |��~u (2 u 83)

Le soluzioni � = � ( ¥ ), continue e derivabili fino alla derivata secondaper ¥ in( ±Bx s

+ x ), sonodellaforma � ( ¥ ) = � 1 Ï âåtÉ . � 2 Ï ë âåØÉ s (2 u 84)

con

176

ø^$�&�Øù��4��Øú�� -�&`�,��û��è 2 =

2

Î |-¹ 2 u (2 u 85)

Nonessendocicondizionial contorno,nonrisultanolimitazioni perè, cheeunavariabile

reale continua. Di conseguenza,le funzioni (2.84) sono autofunzioni improprie ( �wy 2( { | )) equindi �wf�.

Le dueautofunzioni(2.84)appartengonoallo stessoautovaloredi energia | , macorrispondonoanchea due combinazionilineari diversedelle autofunzioniimproprie,exp(

. · è ¥ ), appartenentiagli autovalori.�è

dell’operatoreimpulsodell’Esempio2.5.

Funzioni non a quadratosommabile,che sianoautofunzioniimproprie di unoperatoreautoaggiunto,come le autofunzioniexp( _�Ô�×vÑ ) dell’operatoreimpulso,ripropongonoproblemiinterpretativi, perche il loro moduloquadratononpuo essereassimilatoa unadensita di probabilita di presenza.La difficolta puo esseresuperataconsiderandola densitadi corrente,cheperunafunzionedel tipoö ( Ñ ) = 'cY [D�%� O (2 ] 86)

risulta: �= Ä Ô -Õ

2� � ö\[ ( Ñ )

Y öY Ñ Ä Y ö [Y Ñ ö ( Ñ ) �= T 'rT 2 -Õ ×� ] (2 ] 87)

Sesiassumeche

�descrivail flussodi particellelungol’asseÑ convelocita � = Ò��)� =

-Õ ×��)� , allorala (2.87)deveinterpretarsicomeil numerodi particelleincidentilungol’asseÑ chepassanonell’unitadi tempoperil punto Ñ . Percio � = T 'rT 2 rappresentailnumerodi particelleperunita di lunghezzadell’asseÑ . In tredimensionisi avrebbe� = T 'rT 2 = densitadi particelle] (2 ] 88)

Questotipo di interpretazionee dovutoa Born 21 ede utile nello studiodei processid’urto (cap.XII), in cui occorreconsiderareflussidi particelleincidentiedemergentirispettoaunbersaglio.In tal casopuo esserecomodousarefunzioni �QdK 2, comeperesempiole ondepiane,anchesela teoriapuo esseresviluppatautilizzandoesclusi-vamentefunzioni Q�K 2( L M 3), costruiteconpacchettidi onde,econservandole stesseconvenzioniinterpretativefinoraproposte.L’interpretazionedi Born,associandounadensitadi particelleal moduloquadratodellafunzioned’ondaimpropriae un flussodi particellealladensitadi corrente,consentel’usoequivalentedi funzioni �QRK 2( L M 3),comequellein (2.86)che,peraltro,sonolocalmenteintegrabili.

21 Cfr. n. 18p. 109.

177

�� %��"�,��!�� !��"�# !%$�&"��I�� #�# !.0/81^��1��~?@ô�Drñ<AG?rE~9�óv9�E~9<;�=rô9`�v9�ô�ô0� 9ØB�D:=òñ�AÖ?@E-9`�@AI�FJ��;c�?��rA,E�óv9�;Il problemadi determinarela funzioned’ondacherisolvel’equazionedi Schro-

dingersi semplificanelcasoin cui la hamiltoniananondipendedal tempo.In questocasoinfatti si puo cercarela soluzionedell’equazioneÔ -ÕB� Ó�¡ = �®Ó (3 ] 1)

nella formadettaa variabili separate, in cui la partetemporaledella Ó vienefatto-rizzata.Nello spaziodelleposizioni,si pone:Ó (r O ) = ö (r) ¢ ( ) ] (3 ] 2)

Sostituendola (3.2)nella(3.1)e dividendoper Ó , si ottieneÔ -Õ 1¢ Y ¢Y =1ö �dö (r) W¤£¼] (3 ] 3)

Nella (3.3)si e riconosciutocheogni membrodell’equazionee funzionedi unasolavariabile( r oppure ) e quindi deve essereunacostante,chesi e chiamata£ . La(3.3)si puo percio separarenelledueequazioni:Ô -Õ Y ¢Y = £¤¢ ( ) O (3 ] 4)�dö (r) = £Æö (r) ] (3 ] 5)

La (3.4)si risolvesubito: ¢ ( ) = 'cYrÞ [¦¥\§b¨ -© O (3 ] 6)

dove ' e unacostantedi integrazione.La (3.5)e l’equazioneagli autovalori perl’operatorehamiltoniano� . Siccome� per ipotesi non dipendedal tempo,la (3.5) e pure indicatacomeequazionedi

Schrodinger degli stati stazionari. La conoscenzadellesuesoluzioni ö (r) permetteinfatti di riscriverela (3.2)nellaformaÓ (r O ) = '¸ö (r) YrÞ [¦¥\§b¨ -© O (3 ] 7)

dove la costante' viene fissataper normalizzazionedella Ó , e la corrispondentedensitadi probabilita, T_Ó (r O ) T 2 = T 'rT 2 T ö (r) T 2 O (3 ] 8)

risultaindipendentedal tempo.L’equazioneagli autovalori (3.5)acquistadunqueunruolocentralenellaricerca

dellesoluzionidell’equazionedi Schrodinger.

178

ª �� &�ù��4�Uú��r��Ö��¬« �!$�&�Øù��4�� ª ®`�Z¯�<��`ú��Scelto lo spaziodelle posizioni e nell’ipotesi che il potenzialesia una fun-

zionesolo di r, ° (r), l’equazionedi Schrodingerdegli stati stazionari(3.5) risultaun’equazionedifferenzialelinearedel secondoordinenellederivatespaziali:� Ä -Õ 2

2�o± 2 + ° (r) � ö (r) = £ ö (r) ] (3 ] 9)

Seinoltre ° (r) e unafunzioneregolareovunque,l’equazionedi Schrodinger(3.9)e risolubile con funzioni chesianocontinuecon le loro derivatefino alla derivataseconda,cioe funzioni ö (r) QA² 2( L M 3). Il requisito di funzioni ö (r) Q°K 2( L M 3)imponeunarestrizionesullo spettrodi valori di £ , chediventaunospettrodiscreto.La condizionedi appartenenzaa K 2( L M 3) si traduceinfatti in opportunecondizionial contornochedeterminanogli autovalori £ , comenegli esempidelparagrafoIV.2.Seperesempior percorretutto lo spazioL M 3, tali condizionisonofissatedalcorrettoandamentoasintoticodella ö (r) per ý´³¶µ .

Se invece ° (r) presentasingolarita o discontinuita, occorrestudiarecasopercaso.Si puo comunqueconsiderareunpotenzialedellaforma° (r) = [ a [T r Ä r [ T + · (r) O (3 ] 10)

dove a [ sonocostantirealie · (r) eunafunzionecontinuadi r, limitatainferiormente,conal piu dellesuperficidi discontinuita finita e conun comportamentoall’infinitocon divergenzanon superiorea quelladi un polinomio. Si puo dimostrare22 chein tal casola hamiltoniana� risulta un operatoreessenzialmenteautoaggiuntosuldominiodellefunzioniaquadratosommabilee Q�² 2( L M 3).

La (3.10)esufficientementegeneralepercomprenderei casidi interessepraticocheverrannoconsideratiin seguito.

La strategiaperrisolvereallorala (3.9)conla (3.10)e la seguente:a) al di fuori dellesingolarita, le soluzionivannocercateQ�² 2( L M 3);b) sullesuperficidi discontinuitasi imponela continuitadellafunzioneedellasua

derivatanormalealla superficie;c) neipunti di singolarita si richiedechela funzionenondiverga.

In tal modosi ottengonosoluzionidella(3.9)chesonoalmenolocalmenteinte-grabili e si garantisceil rispettodell’equazionedi continuita perla funzioned’onda.Imponendol’appartenenzaa K 2( L M 3) si ottieneanchelo spettrodegli autovalori, cherisultadiscreto.

Nonsemprequestastrategiapuoessereseguitafino in fondo: puosuccederechelo spettrodiscretosiaun insiemevuotoecheci sianosolovalori di £ chesoddisfanola (3.9) appartenendoad autofunzioniimproprie,oppurecheaccantoad autovaloridiscreti £ Û si presentinoancheautovalori continui £ .

22 TosioKato: FundamentalPropertiesof HamiltonianOperators of Schrodinger type[Proprieta fonda-mentalidi operatori hamiltonianidel tipo di Schrodinger], Transactionsof the AmericanMathematicalSociety70 (1951)195–211;PerturbationTheoryfor LinearOperators, Springer, Berlino,1966, ¸ V.5.

179

�� !��"�# !%$�&��"�#�� #�# !La conoscenzadelle autofunzionidella hamiltonianapermettedi esprimerein

formaesplicitala soluzioneparticolaredell’equazionedi Schrodingernellaformaavariabili separate,datadalla (3.7). Ogni funzionespazialeö (r) va moltiplicataperla partedipendentedal tempo,¢ ( ) = exp( Ä�Ôe£ � -Õ ), costruitaconil corrispondenteautovaloredi energia £ . D’altra partel’equazionedi Schrodingere un’equazionelineare, per la quale vale il principio di sovrapposizionelineare. Ne segue cheancheunacombinazionelinearedi soluzioniparticolarie ancorasoluzione.Percio,supponendodi esserein presenzadi spettrodella hamiltonianasia discreto, siacontinuo,la piu generalefunzione Ó cherisolve l’equazionedi Schrodinger(3.1) edel tipo Ó (r O ) = Û ' Û ö Û (r) YrÞ [^¥�¹�§b¨ -© +

X Y £�' ( £ ) ö ¥ (r) YrÞ [¦¥\§b¨ -© O (3 ] 11)

conle funzioni ö Û e ö ¥ normalizzatein accordoconla (2.19). I coefficienti ' Û e ' ( £ )dellasovrapposizionecostituisconoil pesoconcui i vari autostatidellahamiltonianaintervengononellaformazionedello statoall’istante , ciascunopesatoancoraconilfattoredi fasetemporaleregolatodall’autovalorecorrispondente..0/21Hº~1��e>�=r>GACH�>�=òñ<AG?rEF=@;�A�9ÝH�>�=r>GA�B�D:="HcA¼»@H�>�=òñ<AG?rEF=@;�A

La soluzioneparticolare(3.7) rappresentauno statodel sistemacon unabendefinitaenergia £ eil valoredi aspettazionedellahamiltoniana� sulla(3.7)fornisceunvaloremediodell’energiachecoincideesattamenteconl’autovalore £ corrispon-dente: se il sistemasi trova nello stato(3.7), si ha la certezzadi trovare £ comerisultatodellamisuradi energia. Questacertezzadi ottenereunprecisovaloreperlamisuradi un’osservabilesi verificaogni volta cheil sistemasi trova in un autostatodell’operatoreassociatoall’osservabile stessa:lo spettrodegli autovalori di questooperatorecostituiscel’insiemedi valori chesi possonopresentarecomerisultatodiunamisurazionedi quell’osservabile. Da questopuntodi vista la meccanicaquan-tistica imponeuna limitazioneai valori che possonoassumerele quantita fisiche:anchesenelladescrizioneclassicala quantitafisicain esameammetteunacontinuitadi valori, l’operatoreautoaggiuntoassociatopossiedesoloun insiemedi autovaloridiscreto,con la conseguenzadi permetteresoloquestivalori discreticomerisultatodi unamisurazione.Tipico esempiodi questasituazionee l’energia di un oscilla-torearmonicodi frequenza½ , cherisultaquantizzataconvalori multipli del quantoelementare

Õ ½ , comepostulatoda Plancknella suaspiegazionedella radiazionedicorponero(cfr. paragrafoV.4.).

L’evoluzionetemporaledella (3.7) e semplicementedeterminatadal fattoredifasedipendentedal tempoe nonmodificail valoredi aspettazioneiniziale di � : lostatodescrittodalla(3.7)eunostatostazionario, cherimaneautostatodi � conunaenergiadefinitadall’autovalore £ corrispondente.

180

ª �,��#�~ !��Øù��#��r��^�g !�,��#�-$�&�� '¾� !�,Øù��r��Nel casodellasoluzionegenerale(3.11)il sistemanonsi trova in un autostato

particolaredellahamiltonianaall’istante equindinoncorrispondeaunsuoprecisoautovalore. La (3.11)costituiscepiuttostoun pacchettodi ondechesi modificaneltempoacausadelladiversavariazionedei fattoridi fasechepesanoi vari autostatidi� checoncorronoalla formazionedel pacchettodi onde. Pero, comeconseguenzadel fattoche � e stataassuntaindipendentedal tempo,il suovaloredi aspettazionesullo stato(3.11)nondipendedal tempo:S �®VCW S Ó¼T ��T_ÓxV =

X Yr Ó [ (r O ) � Ó (r O )

= Û T ' Û T 2 £ Û +X Y £�T ' ( £ ) T 2 £¼] (4 ] 1)

Il risultatopiu probabiledi unamisurazionedi energia e dunqueunamediadi tutti ivalori di energiapossibili,forniti dagli autovalori: la mediaepesataconle rispettiveprobabilita concui i vari autostatiintervengononellacostruzionedellostato Ó nella(3.11). Acquistanocosı significatoi coefficienti ' Û e ' ( £ ) dello sviluppo (3.11).Precisamente,T ' Û T 2 e T ' ( £ ) T 2 Y £ fornisconola probabilitadi trovareil sistemain unostatodi energia £ Û e, rispettivamente,di energiacompresatra £ e £ +

Y £ .

Esercizio 4.1

Quale condizionesui coefficienti � e � ( | ) va impostaaffinche la (3.11) sianormalizzata?

Esercizio 4.2

Comesi modifical’espressione(4.1)sela

$(rs®¿

) nonenormalizzata?

Si suppongapersemplicita chela hamiltonianaabbiasolo lo spettrocontinuo.Allora la (3.11)all’istante = 0 risultaÓ (r O 0) =

X Y £�' ( £ ) ö ¥ (r) O (4 ] 2)

con X Yr ö [¥ ÿ (r) ö ¥ (r) = � ( £ÅÄÀ£Ã} ) ] (4 ] 3)

Inoltrei coefficienti ' ( £ ) sianotali che T ' ( £ ) T 2 abbiaunprofilo lorentzianoin energia,T ' ( £ ) T 2 =1

2Á Â( £ ÄÃ£ 0)2 + 14 Â 2

O (4 ] 4)

dove Â rappresentala larghezzaa mezzaaltezzadella lorentzianacentratain £ 0,determinandoquindi la dispersionein energia intornoal valore £ 0 (fig. 4.1). Cosıcomeescritta,la lorentzianae opportunamentenormalizzata:

181

�� !��"�# !%$�&��"�#�� #�# !X + ÄÞ Ä Y £�T ' ( £ ) T 2 = 1 ] (4 ] 5)

Fig. 4.1.Profilo lorentziano.

Infatti, continuandoanaliticamenteT ' ( £ ) T 2 nelpiano£ complesso,la (4.5)puoessereriscritta X + ÄÞ Ä Y £�T ' ( £ ) T 2 = Â2Á X + ÄÞ Ä Y £ 1

( £ ÄÃ£ 0 Ä®Ô 12 Â )( £ÅÄ}£ 0 + Ô 1

2 Â )= Â2ÁÆÅ Y £ 1

( £ÅÄÀ£ 0 Ä�Ô 12 Â )( £ Ä}£ 0 + Ô 1

2 Â ) Odove il camminodi integrazionelungo l’asserealedi £ e chiusocon unasemicir-conferenzadi raggio infinito nel semipianoIm £ÈÇ 0, lungo il qualel’integrandononcontribuisce.Al circuito,percorsoin sensoorario,si puo applicareil teoremadiCauchy:X + ÄÞ Ä Y £�T ' ( £ ) T 2

= Â2Á ( Ä 1)2Á-Ô lim¥ÊÉË¥ 0 Þ [DÌb¨ 2

² £ ÄÀ£ 0 + Ô 12 Â ³ 1

( £ ÄÃ£ 0 Ä®Ô 12 Â )( £ÅÄ}£ 0 + Ô 1

2 Â )= Â2Á ( Ä 1)2Á-Ô 1Ä�Ô Â = 1 ]

Conla (4.4)dunquela (4.2) risultanormalizzata.

Esercizio 4.3

Calcolareil valoredi aspettazionej ß n dellahamiltonianaß sullo stato(4.2)con

il profilo (4.4).

182

Í^�#��&�ù��#��r�� * < � Î"��#��-��r��All’istante il pacchettodi onde(4.2) e evoluto secondol’equazionedi Schro-

dingere haacquistatola formaseguente:Ó (r O ) =X Y £ ' ( £ ) ö ¥ (r) Y Þ [^¥c§¬¨ -© ] (4 ] 6)

Il fattoredi fase,dipendentedal tempo,alterai pesicon cui le varie autofunzioniö ¥ (r) intervengonosotto il segno di integrale. Percio l’evoluzionetemporalehamodificatola Ó ruotandolanello spazio

�. Rispettoa Ó (r O 0), la Ó (r O ) ha una

componentedatadal prodottoscalaretra Ó (r O ) e Ó (r O 0). Talecomponente,nelloschemainterpretativo dellameccanicaquantistica,e un’ampiezzadi probabilita. Laquantita · ( ) = lll X Y

r Ó [ (r O ) Ó (r O 0) lll 2 (4 ] 7)

rappresentala probabilita cheall’istante lo statodel sistemasiaancoradescrittodaÓ (r O 0). Esplicitamentesi ha· ( ) = lll XZY £�T ' ( £ ) T 2 Y [^¥c§¬¨ -© lll 2= Y Þ Ì¦§¬¨ -© O (4 ] 8)

dovenell’ultimo passaggiosi eancorautilizzatoil teoremadi Cauchy. Perla (4.8)laprobabilita di ritrovarelo statoiniziale decrescenel tempo;pertantolo statoinizialenoneunostatostazionario.Il suotempodi vita medioe definitoda¢ =

-Õ Â O (4 ] 9)

pari al tempooccorrenteper ridurre a 1��Y la probabilita · ( ): quantominoree Â ,tantomaggiorerisulta ¢ e viceversa.Se ÂpÏ £ 0, cioe il pacchettodi onde(4.6)emoltoconcentratointornoal valore

centraledi energia £ 0, lo stato(4.6)puo scriversinellaformaapprossimataÓ (r O ) Ð Ó (r O 0) Y Þ [^¥ 0 §b¨ -© Y Þ Ì¦§b¨ 2-© O (4 ] 10)

cheancorarispettala (4.8) . Si puo interpretarela (4.10)comeunostatostazionariomodificatodal fattoreesponenzialein Â chene rendefinita, anchesemolto lunga,la vita media.Equivalentemente,si puo pensarea unostatostazionarioconenergiacomplessa£ = £ 0 Ä®Ô 1

2 Â . Lo stato(4.10)vienedettostatoquasi-stazionario.

Esercizio 4.4

Giustificarela (4.10).

183

�� !��"�# !%$�&��"�#�� #�# !.0/21¦Ñ41ÓÒ�A¬�@D4ñ�AÖ?@E~9g�v9�ô07:=4JtJ��+9�>Ö>�?Ô�rAg?@E��9Quandol’energia del sistemanon e definitaperche il suostatoe costituitoda

un pacchettodi ondee non da un singolo autostatodella hamiltoniana,esistelapossibilitadi unacertadispersionedeivalori di energiaintornoaquellopiu probabilecomeesitodi unamisurazione.In analogiaconquantofatto in meccanicastatistica(cfr. EsempioI.2.4, eq. (I.2.76)), le fluttuazioni di energia intorno al valore piuprobabilesonomisuratedalloscartoquadraticomediodefinitodallarelazione:

( Õz� )2 =S( � Ä S �®V )2 V�O

cioe( Õz� )2 =

S � 2 VUÄ S �®V 2 ] (5 ] 1)

Selo statodel sistemae in unautostatodi � ,S �üV = £ O S � 2 V = £ 2 ]Allora nonci sonofluttuazioni, Õ¼� = 0. Seinveceil sistemasi trova in unostatodi tipo (3.11),

S � 2 V �= S �®V 2 e Õz� da un’indicazionedelladispersionedi valori dienergiacheintervengononellasovrapposizione(3.11).

Esercizio 5.1

La condizionedi assenzadi dispersioned’energia, Ö%ß = 0, si puo metteresottolaforma j $ i $ ntj ß $ i ß $ n

= × j $ i ß $ n¼Ø 2 sdove

j $ i $ n= 1. Utilizzando la disuguaglianzadi Schwarz (1.7), verificare che la

condizioneÖ%ß = 0 equivalea imporre: ß i $ n = | i $ n.

Esercizio 5.2

ValutareesplicitamenteÖ%ß perunostatodi tipo (3.11).

Esercizio 5.3

Se nella (4.2) | varia in ( ±Bx s+ x ), e possibilecalcolarelo scartoquadratico

medio( Ö�ß )2?

Di fronte a un sistemaquantistico,in assenzadi ulteriori informazionisi puosoloipotizzarechelo statodelsistemasiadeltipo (3.11).Perciosi ecostrettiaparlarein termini probabilistici invocandoil valoredi aspettazionedell’energia e lo scartoquadraticomedio.Tuttavia, quandosi compiedavverounamisurazionesul sistema,a menodegli errori intrinsecistrumentalidell’apparatosperimentale,e possibileinlineadi principio ottenerevalori precisidelleosservabili chesi misurano.Unavolta

184

Í^�#��&�ù��#��r�� * < � Î"��#��-��r��trovatoallorauncertovaloredi energia, £ , la teoriafin quisviluppatasuggeriscecheilsistemasidebbatrovarenelcorrispondenteautostatodellahamiltonianaappartenenteall’autovalore £ . Questosignifica che, per effetto dell’interazionetra sistemaeapparatodi osservazione,la conoscenzadel sistemada parte dell’osservatorehasubitounabruscatransizione:primadellamisurazionelo statodelsistemaedel tipo(3.11)esi puo soloinferireunacertaprobabilitadi trovareundatovaloredi energia,mentredopola misurazioneil valore £ trovatoindicaconcertezzain qualeautostatodellahamiltonianae dispostoil sistema.

Il processodi osservazioneha l’effetto improvvisoe irr eversibile di far preci-pitarela Ó , originariamentecostruitacomeunasovrapposizionedi statinellaforma(3.11),nellaparticolareautofunzionecorrispondenteall’autovaloremisurato:questoprocesso,e indicato comela riduzionedel pacchettodi ondeprovocatadalla mi-surazione.In realta, durantela misurazione,c’e stataun’interazionetra sistemaeapparatodi osservazione;maquestainterazionenonedescritta(e noneneppurede-scrivibile) mediantel’equazionedi Schrodinger, cheinveceriguardaesclusivamentel’evoluzionetemporaledelsistemalasciatoasestesso.La definizionedell’energiainseguitoallamisurazionehasemplicementepermessodi deciderequalesialo statodelsistemachesuccessivamenteevolveraneltemposecondol’equazionedi Schrodinger.Percio la misurazionehapreparato lo statoinizialedelsistema:siccomequestoeunautostatodellahamiltonianaconenergia £ , unanuova misuradell’energia nonpuocheidentificarsiconil valore £ giamisurato,senzapiu ridurrelo statocheall’istante saraevolutonellaforma(3.7).

Quantoillustratonelcasodellahamiltonianapuo essereestesoaunaqualunquealtraosservabile,purdi ricondursiaunosviluppodella Ó sullabasedelleautofunzionidell’operatorecorrispondente.Si suppongachela misuradella variabiledinamicaassociataall’operatore � sia ugualea un suo autovalore a�þ semplice. Allora lariduzionedella Ó comportache immediatamentedopo la misurazionelo statodelsistemasiadescrittodallacorrispondenteautofunzione�@þ . Qualorapero l’autovaloreavþ siadegenere,si puo solodire chelo statodel sistemadopola misurasi trova nelsottospaziodelle autofunzionidegeneriappartenentiall’autovalore avþ . Percio ingeneralela riduzionedel pacchettodi ondeiniziale Ó hal’effetto di proiettare la Ónel sottospazioappartenenteall’autovaloremisurato.

E impossibileprevederequalesara la proiezionecorrispondentea una certamisurazione,perche la perturbazioneintrodottadall’apparatosperimentaledipendein linea di principio dal risultato della misurazionee non puo esserenota concertezzaprima di avere effettuato la misurazione. L’origine di questoproblemastanelladescrizioneseparatadel sistemae dell’apparatosperimentale:l’equazionedi Schrodingergovernail sistemaquantistico,mentrele leggi della fisica classicagovernanol’apparatomacroscopicodi osservazione.L’interazionetra sistemae ap-parato,essenzialenelcorsodelprocessodi osservazione,sollevaproblemidelicatidelmeccanismodettagliatodellamisurazionecheesulanodaunatrattazioneelementare

185

��<�� !��"�,��!��! ! ��# ��$�&��"�#�� !�#�# �e chenon sonodel tutto risolti 23. Qui pertantola riduzionedel pacchettodi ondepereffettodi unamisurazionedeveessereaccettatacomeunpostulatodellateoria24.Occorrepero tenerepresentechela teoria,fondatasull’interpretazionedellafunzioned’ondacomeausiliomatematicoperil calcolodi valoridi aspettazionedaconfrontarecon le misuredelle osservabili, e perfettamentecoerente:il problemanon e quellodi soddisfarela pretesadi saperein anticipoil precisovaloredi un’osservabiledelparticolaresistemaallo studio.Piuttosto,la teoriae in gradodi predirela probabilitadi trovareunacertamisura,qualorasi ripetala misurazionedi quell’osservabilesunumerosereplicheidentichedello stessosistema,tuttepreparatenello stessomodoall’istanteiniziale. Unavolta cheil sistemae statoosservato,seneconoscelo statoe l’equazionedi Schrodingerne da l’evoluzionetemporalein mododeterministicofino a unasuccessivamisurazione.��c�c�g 0¡,¢g�ò¤,£

Questoesempioillustra le conseguenzedi osservazioniripetutesull’evoluzionetemporaledel sistema.Sianodati gli autostatidella hamiltonianae per semplicita li sisupponganodiscretienondegeneri:ß3� = | � u (5 u 2)

Nello stessospaziodi Hilbert�

anchel’operatore(autoaggiunto)ì associatoa unavariabiledinamicadel sistemapossiedaunospettrodiscretoenondegenere:ìp� &

= i & � & u (5 u 3)

Sia l’insieme 1Ù� 2che l’insieme 1Ù� & 2

, in generaledistinti, sonoper ipotesi insiemicompletiortonormalinellospazio

�:

23 Perunaraccoltadi scritti relativi ai problemidella misurazionein una teoriaquantistica,si vedailtestoedito da JohnArchibald Wheelere Wojcieck HubertZurek: QuantumTheoryand Measurement,PrincetonUniversityPress,Princeton,N.J.,1983.24 Questoaspettoerainsoddisfacenteancheperlo stessoSchrodingercheavevapercio propostol’esempiodel gattoracchiusoin unascatola:“si possonoanchecostruirecasidel tutto burleschi. Si rinchiudaungattoin unascatolad’acciaioinsiemecon la seguentemacchinainfernale(cheoccorreproteggeredallapossibilita d’essereafferratadirettamentedal gatto): in un contatoredi Geigersi trova unaminuscolaporzionedi sostanzaradioattiva, cosı pocachenel corsodi un’ora forseunodei suoiatomisi disintegra,maanchein modoparimenteverisimilenessuno;secio succede,allorail contatorelo segnalaeazionaunrelaisdi unmartellettocherompeunafialacondelcianuro.Dopoaverelasciatoindisturbatoquestointerosistemaperun’ora,si direbbecheil gattoeancoravivo senelfrattemponessunatomosi edisintegrato.Laprimadisintegrazioneatomicalo avrebbeavvelenato.La funzioneÚ dell’interosistemaportaadaffermarechein essail gattovivo eil gattomortononsonostatipuri,mamiscelaticonugualepeso”.E soloaprendola scatolachesi puo decidereil destinodel gatto“riducendo” la suafunzioned’onda: la consapevolezzadell’osservatoredeterminala realta del gatto.E. Schrodinger:Die gegenwartigeSituationin derQuantenmechanik[La situazioneattualedellamecca-nica quantistica], Die Naturwissenschaften23 (1935)807–812,823–828,844–849;l’esempiocitato e ap. 812.Perunadivertentediscussionesuquestoealtri simili aspettiparadossalidellafisicaquantistica,si vedaillibro di JohnGribbon: In Search of Schrodinger’sCat. TheStartlingWord ofQuantumPhysicsExplained,WildwoodHouse,Londra,1984.

186

Í^�#��&�ù��#��4�� * < ! ®"��#�,��-��r��j � i � < n = G < s j � & i �%Û n = G & Û:u (5 u 4)

Percio in generalesi puo esprimereunautostato� < di ß sullabasecompleta1Ù� & 2di ì :� < = & � & � & s(5 u 5)

dove i coefficienti � &si ottengonofacendoil prodotto scalaredella (5.5) con � &

esfruttandole relazionidi ortonormalita (5.4):� &

=j � & i � < n u (5 u 6)

Il sistemasi trovi all’istante¿

= 0 nellostato� < . Il valoredi aspettazionedi ì suquestostatoe j ì n � j � < i ì i � < n = &Ü& ÿ � «& ÿ j � & ÿ i ì i � & n � & scioe j ì n = & i � & i 2 i & u (5 u 7)

Questorisultatoe in accordocol fattocheinizialmenteil sistemaedescrittodalpacchettodi onde(5.5)chenone un autostatodi ì : cosı si puo soloparlaredi valoremediodellavariabiledinamicaassociataad ì , conunaprobabilitadi trovareil valore i &

pariai � & i 2.

Si suppongadi averetrovato all’istante¿0 il valore izÛ . Allora il sistema,cheper

0oÝ¿ � ¿

0 eradescrittodaunostatodel tipoÏ�ë â�ÞKßáà^*-, � < = Ï�ë â'ÞKßjà^*

-, & � & � &(0oâ¿ � ¿

0)s

(5 u 8)

vieneprecipitatoall’istante¿0 nello stato �%Û . Questoe il nuovo statochedeve evolvere

per¿ÊyÝ¿

0 secondol’equazionedi Schrodinger,· -¹¶àà ¿+ã = ß ã s (5 u 9)

e di cui rappresentala condizioneiniziale: ã = �+Û per¿

=¿0. Per risolvere la (5.9)

conviene tenerepresenteche sia lo stato ã , sia lo stato �%Û possonoessereespressiintermini di autofunzionidi ß . In particolare,�%Û = åä � s (5 u 10)

dovei coefficienti ä sipossonoottenere,in modosimileal casodella(5.6),moltiplicandoscalarmentecon � : ä =

j � i �%Û n u (5 u 11)

Per quantoriguardala ã , dato che ß non dipendeesplicitamentedal tempo,si puoadottarelo stessometododellaseparazionedellevariabili chehapermessola soluzionedella(3.1). Tenendocontodellacondizioneiniziale per

¿=

¿0, si ottienecosı:

187

�� %��"�,��!�� !��"�# !%$�&"��I�� #�# !ã = ä Ï ë â'Þ ¹ (

à ë à0)

*-, � u (5 u 12)

L’evoluzionetemporale,introducendoi fattori di fasedipendentidai vari autovalori dienergia nello sviluppo(5.12),hatrasformatolo statoiniziale �%Û del sistemain unostatochenone piu in generaleautostatodi ì . L’ampiezzadi probabilita di trovareall’istante¿

lo statoã ancoradirettocome�%Û e rappresentatadalprodottoscalarej �%Û i ã n = i ä i 2 Ï ë â'Þ ¹ (à ë à

0)*-, u (5 u 13)

Percio la probabilita di trovareancoral’autovalore izÛ per ì all’istante¿

risulta pari aikj �%Û i ã nci 2. Corrispondentemente,il valoredi aspettazionedi ì all’istante¿

ej ì n � j ã i ì i ã n = + ÿ ä « ÿ j � ÿ i ì i � n ä Ï ë â ( Þ ¹ ë Þ ¹ ÿ )( à ë à0)

*-, u (5 u 14)

Esercizio 5.4

Ripercorrerele lineedell’Esempio5.1 nel casodi ì = ß , verificandol’afferma-zionechela secondamisurazionedi energia producelo stessoautovaloreprodottodallaprima.

Esercizio 5.5

Checosasuccedeal valoredi aspettazionej ì n all’istante

¿= 0 eall’istante

¿æyÝ¿0

se ì e ß nell’Esempio5.1hannolo stessoinsiemedi autostati?

.0/21¼çr1�.cô+7-;�A�EFJ�A�7-AG?Ô�@ACA�E��v9<>!9�;ÙèzA�EF=òñ<AG?rE~9La discussione,fattanel paragrafoprecedente,sullariduzionedel pacchettodi

ondepereffetto di unamisurazione,aiutaa comprenderel’incompatibilita chepuoesisteretra le misurazionisuccessivedi duediverseosservabili � e » . La primamis-urazionepreparail sistemain un autostatodi � . Quandopero si procedea misurare» , in generalenonci sipuoaspettarechelo statodelsistemasiaancheautostatodi » :percio la secondamisurazionepuo modificaresostanzialmentelo statodel sistema,proiettandoloin unautostatodi » . In questomodol’informazionesu � , ottenutaconla primamisurazione,va completamentedistruttaa causadellaseconda.Contraria-menteaquantoavvienein fisicaclassica,dovesuccessiveosservazioniarricchisconosemprela conoscenzadel sistema,in meccanicaquantisticasi incontranodei limitiall’informazioneottenibilesul sistema.Questilimiti, cheperorasembranolegati alpostulatodellariduzionedel pacchettodi ondepereffetto di unamisurazione,sonoin realta dei limiti di principio, legati alla naturastessadel processodi osservazione

188

�� * ��r �� * �#��F��r��@Øù��#��r�e al tipo di descrizionematematicamediantefunzioni d’onda,resosinecessarioperaderirealla fenomenologiadella fisica quantistica. Questi limiti costituisconoilprincipio di indeterminazione.

Perun’introduzioneintuitiva al principio di indeterminazionesi consideriunaparticellavincolataa muoversi lungo l’asse Ñ all’interno dell’intervallo (0 Oêé ). Lacorrispondentefunzioned’ondadeve essereun pacchettodi ondecostruitoin mododaavere Ó ( Ñ\O ) w �= 0 O 0 ë�ÑÆëoé ,

= 0 O ÑÆÇ 0 O�ÑÆìíé .(6 ] 1)

Conquestafunzioned’ondasi ha la certezzadi trovarela particellain (0 Oêé ); pero,primadell’osservazione,la sualocalizzazionee affettadaunadispersionedi valoridi posizionepari a Õ6Ñ = é�] (6 ] 2)

La (6.1) si puo pensarecomeun pacchettodi ondecostruitomediantela sovrappo-sizionedi ondepiane, Y [^�� , autofunzionidell’operatoreimpulsocomenell’Esempio2.3. Perpoter limitare Ó secondola (6.1), le varie ondedel pacchettodevono in-terferire costruttivamentenell’intervallo (0 Oêé ) e distruttivamenteall’esterno. Perpermetterel’annullamentodi Ó agli estremidell’intervallo (0 Oêé ) occorredunqueche,accantoaun’ondadi lunghezzad’onda î = 2Áï�r× , compaianel pacchettoancheun’altraondaconlunghezzad’onda î } = 2Áï�r× } , taledainterferireconla precedentein mododistruttivo in Ñ = 0 e Ñ = é . Siccomeil numeroÜ di lunghezzed’onda îchecadononell’intervallo Õ6Ñ e (cfr. eq. (2.61))Ü =

ÕzÑî =×

2Á Õ6Ñ8O (6 ] 3)

la condizionesi realizzasenellostessointervallo ÕzÑ cadonoalmenoÜ +1 lunghezzed’onda î } , cioe Ü + 1 ð Ç Õ6Ñî } =

× }2Á ÕzÑ\] (6 ] 4)

Da (6.3)e (6.4)segue Õ6Ñ3Õ¼× ð ì 2Á�O (6 ] 5)

dove Õ¼× = ×0}:Ä ×-] (6 ] 6)

La(6.5)indicache,nelpacchettodi ondepianechecostruiscela(6.1),alladispersioneÕ6Ñ perla posizionedeveaccompagnarsiun’analogadispersionedi valori di × . ConÒ � = -Õ × , cio implicaunadispersioneperl’impulso lungo Ñ :

189

�� %��"�,��!�� !��"�# !%$�&"��I�� #�# !Õ6ÑEÕ�Ò � ð ì Õ ] (6 ] 7)

Questarelazionee una forma approssimatae intuitiva del principio di indetermi-nazionedi Heisenberg: accantoall’indeterminazionefinita Õ6Ñ nella localizzazionedellaparticella,esistesempreancheunadispersioneneivalori di × cheintervengononella costruzionedel pacchettodi onde(6.1), quandolo si pensicomesviluppodiFourierdel tipo (III.7.1) nello spaziodegli impulsi. Di conseguenzail pacchettodionde(6.1) risultaunasovrapposizionedi ondepianee nonpuo essereun autostatodell’impulso. Percio unamisurad’impulsoe a priori affettadaun’indeterminazioneÕ%Ò � legata,attraversola (6.7),all’indeterminazioneÕzÑ dellaposizione.

Sesiusasseunasingolaondapianamonocromatica,× risulterebbeperfettamentedefinito,masi avrebbe T_Ó T 2 = 1, costantesututto lo spazio,conla conseguenzacheÕ6Ñ�³ µ per Õ¼×ñ³ 0. Viceversa,sesi restringe Õ6Ñò³ 0, occorreun numerovia via crescentedi ondepianeper comporreun pacchettosemprepiu concentratospazialmente,col risultato che Õ¼×{³ µ . E dunqueimpossibilerealizzareunafunzioned’ondachepermettadi ottenerecontemporaneamenteun’informazioneas-solutamenteprecisasullaposizioneesulvettored’onda(o impulso),in contrastoconi postulatidellameccanicaclassica.

Fig. 6.1.Localizzazionedi un elettronecol microscopio.

L’impossibilita di conosceresimultaneamentecon estremaprecisione( ÕzÑ =Õ%Ò � = 0) il valoredi posizioneeimpulsoe intrinsecaal formalismo,mae in accordocon i risultati dell’analisi approfonditadei metodi di misuradi questeosservabilichefu alla basedella scopertadi Heisenberg. Infatti, sesi osserva per esempiounelettronecon un microscopioilluminandolocon luce monocromaticadi lunghezzad’ondaî , laposizioneó dell’elettroneenotadallarilevazionedelfotonecherimbalzapereffetto Comptondopoaver urtatol’elettrone(fig. 6.1). Se2÷ e l’angolo sottoil

190

�� * ��r �� * �#��F��r��@Øù��#��r�qualel’elettronevedela lentedelmicroscopio,il potererisolutivo di questopermettedi definirela posizionedell’elettroneconun’accuratezzapari aÕ6Ñ ð î

sin ÷ ] (6 ] 8)

D’altra parte,a causadell’aperturafinita del microscopio,il fotone di rinculo vientraconunadirezioneindefinitaall’internodell’angolo ÷ . Percio il suoimpulso,dimodulo Ò =

Õ ½¡�@' =Õ �ôî , restaindeterminatonelladirezioneÑ , trasversaa quelladi

osservazione,dellaquantita Õ�Ò � ð Ò sin ÷ =Õî sin ÷C] (6 ] 9)

Perla conservazionedell’impulso,questaindeterminazionee anchel’indetermina-zionedell’impulsodell’elettronechehainteragitocol fotone.Combinandoallorala(6.8)conla (6.9),si verificadi restarenei limiti impostidalla(6.7).

Non e pensabiledi violare la (6.7) migliorandola definizionedella posizione,conunariduzioneperesempiodella lunghezzad’ondadella radiazionepermiglio-rareil potererisolutivo del microscopio,perche parimentesi finisceper aumentarel’indeterminazionedell’impulso.

E chiarochein questomodoperdesignificatoil concettoclassicodi traiettoriadi una particella: accertataa un determinatoistantela posizionedella particella,la conseguenteindeterminazionedel suo impulso impediscedi conoscerela suaposizioneimmediatamentesuccessiva.

Fig. 6.2.Diffrazionedi elettronidapartedi unafendituraeprincipiodi indeterminazione.

Questadifficolta e connaturataconil comportamentoondulatorioede coerentecon risultati gia noti in ottica. Si considerinoinfatti elettroni, tutti con lo stessoimpulsodirettolungol’asseU , chesubisconodiffrazioneattraversandounafendituraquadratadi lato é , dispostaparallelamenteal piano( Ñ\O/a ) (fig. 6.2). Secondol’ottica,il primominimo di diffrazionerilevabilesuunoschermosuccessivo si presentaa unangolo ÷ rispettoalla direzionedell’asseU , datodallarelazione:

191

�� %��"�,��!�� !��"�# !%$�&"��I�� #�# !sin ÷ ð îé ] (6 ] 10)

D’altra partegli elettroni,descrittidaondepianemonocromaticheprimadellafendi-tura(Ò = Ò�õ ), hannoun impulsodefinitoconestremaprecisione,Õ%Ò � = Õ%Ò¡ö = Õ�Ò�õ = 0 O (6 ] 11)

manonsonoaffattolocalizzati: Õ6Ñ\O÷ÕdaFO÷Õ U ³øµ ] (6 ] 12)

Il passaggioattraversola fenditurarappresentaun’osservazionedell’elettrone,chepermettedi delimitarnela posizionenelpiano( Ñ\O/a ):ÕzÑ = Õ`a = é�O Õ U ³¶µÁ] (6 ] 13)

La diffrazioneprovocatadallafendituraindicachegli elettroniacquistanounacom-ponentedell’impulso trasversaleal loro moto, con unaindeterminazionestimabilepari a Õ%Ò � = Õ%Ò¡ö ð Ò sin ÷

=Õî sin ÷¸O (6 ] 14)

mentresi continuaadavere ÕÝÒ�õ = 0. Perla la (6.10)questorisultatoe in accordoconquantoprevisto in unadimensionedalla(6.7),cioeÕ%Ò � = Õ%Ò�ö ð Õé O Õ%Ò�õ = 0 ] (6 ] 15)

La presenzadellacostanteÕ

nella(6.7)definiscel’ammontaredell’azionecarat-teristicaper la qualediventanoapprezzabilile conseguenzedel principio di indeter-minazione:perosservareunsistemaoccorreentrarein interazioneconessomediantelo strumentochemisurai valori delle grandezzeche lo caratterizzano.Percio di-ventaimportantevalutarel’entita dellaperturbazioneintrodottadall’osservatoresulsistema. Se la perturbazionee trascurabile,siamonella situazioneconsuetadellameccanicaclassica:il processodi misurazionearricchiscela conoscenzachesi hadel sistema,migliora la definizionedel complessodi parametri(per esempiopo-sizionee velocitadelleparticelle)cheintervengononelleequazionidel motoe aiutaa determinarein modocausalel’evoluzionefutura. Ma su un sistema“piccolo” laperturbazioneassociataa uno strumentodi misuramacroscopicopuo risultarede-terminantenel processodi formazionedel fenomenoosservato: anchesein lineadiprincipiosi puo sempreimmaginaredi diminuirel’effettodellaperturbazione,questononemairigorosamentenullo. Leesperienzeeseguiteperdeterminareunagrandezza

192

�� * ��r �� * �#��F��r��@Øù��#��r�fisicarendonoalloraillusoria la conoscenzadi altregrandezzeacquisitaprecedente-mente,perche le alterazioniintrodottedall’osservazionesonoincontrollabili. Nellateoria, Heisenberg ha mostratoche questalimitazione di principio e collegataalvaloreminimo dell’azione,cioe al valoredella costantedi Planck

Õ: fintantoche

l’indagine sperimentalenon e in gradodi apprezzarevalori d’azioneconfrontabilicon

Õ, l’efficacia delle relazioni di indeterminazionee nulla. Percio il principio

di indeterminazionerisulta legatoalla stessacostanteuniversalechecaratterizzaifenomeniquantistici25.

In unaformamatematicamentecorretta,il principio di indeterminazioneperleosservabili di posizionee di impulsosi traducenelleseguentirelazioni:�#� #� Õ6Ñ�ÕÝÒ � ð ì 1

2-Õ OÕ`aÓÕ%Ò¡ö ð ì 1

2-Õ OÕ U Õ�Ò õ ð ì 1

2-Õ ] (6 ] 16)

A questorisultatosi arriva riconoscendoche le relazionidi indeterminazionesono una conseguenzadel fatto che gli operatoridi posizionee di impulso noncommutanotradi loro. Siano� e » dueoperatoriautoaggiuntichenoncommutano.Si definiscano

S ��V eS »zV i valori medidi � e » sullostato Ó del sistemae gli scarti

quadraticimedidatali valori:

( Õ � )2 W S( � Ä S ��V )2 V�O

( Õ¼» )2 W S( » Ä S »zV )2 V�] (6 ] 17)

Allora valeil seguenteteorema26:Õz�oÕ¼» f 12 T S [ �ÃOt» ] V�Tk] (6 ] 18)

Infatti, posti a = �ÁÄ S ��V�O b = » Ä S »zV (6 ] 19)

e costruitala funzione

25 L’impossibilita di definireunatraiettoriadellaparticellae soloil sintomodi unapiu ampialimitazionenella descrizionedei fenomenifisici, che in ultima analisi e collegatacon la rinunciaal determinismoclassico.Persuperarequestadifficolta si sonosuccedutivari tentativi, daun lato alla ricercadi situazionicheinvalidasseroi limiti impostidalprincipiodi indeterminazione,dall’altroconil ricorsoaunadescrizionebasatasuvariabili nascostenellameccanicaquantistica,main gradodi recuperareil determinismoa unlivello piu microscopico.Unasituazioneapparentementecapacedi aggirareil principiodi indeterminazionefu propostadaEinstein,PodolskieRosen(cfr. n. 16p. 109)eall’ideadellevariabili nascostesi egiaaccennatonell’introduzionedel capitolo III. Questi tentativi pero non hannoavuto finora successo,in quantotutti gli esperimentipropostiperfalsificarela meccanicaquantisticanonhannoavutoesitofavorevole.26 H.P. Robertson: The uncertaintyprinciple [Il principio di indeterminazione], PhysicalReview 34(1929)163–164.

193

�� %��"�,��!�� !��"�# !%$�&"��I�� #�# !ù= ( a + Ô�bÙî ) Ó6O (6 ] 20)

dove î e unnumerorealee Ó e normalizzataa1, si ha

0 ë X Y Ñ ù [ ù= ( Õ � )2 + î 2( Õ¼» )2 + Ô0î S [ �xOt» ] VW Ú ( î ) ] (6 ] 21)

Siccome S[ �xOt» ] V�[ = Ä S [ �xOt» ] V (6 ] 22)

e unaquantitapuramenteimmaginaria,si puo porreS[ �xOt» ] VgWÁÔ S ºxV�O (6 ] 23)

conS ºxV reale,e riconoscerechela funzione Ú ( î ) e reale. Affinche siasoddisfatta

la disuguaglianza(6.21)perqualsiasiî , occorrecheil discriminantedel trinomio disecondogrado Ú ( î ) nonsiapositivo:

(S ºÃV )2 Ä 4(Õz� )2( ÕÙ» )2 ë 0 ] (6 ] 24)

Concio restadimostratala (6.18).

Esercizio 6.1

Si ritrovi la (6.16)ponendonella(6.18) ì = ¥ e ê =

µ É.

Esercizio 6.2

Verificarecheperle componentidell’operatoremomentoangolarevalela relazioneÖ È8â Ö È�ã @ ä â�ã�å 12

-¹ ikj È å nci�s (6 u 25)

mentreperil moduloquadratodelmomentoangolaresi ha:Ö È 2 Ö È2â = 0 u (6 u 26)

��c�c�g 0¡,¢`�`¤,£Si consideriuna particella confinataall’interno di una buca di potenziale

di dimensionilineari

©. L’indeterminazionedella suaposizionee dunque Ö ¥ =

©e

l’indeterminazioneÖ µ del suoimpulsodeve esserealmenodell’ordinedi -¹ ¯�© . Allora,ancheseil valor mediodel suoimpulsoe zero, l’energia cineticamediadellaparticellarisultaalmenodell’ordinedi

194

ú-< � Î"��#��F��"��r��G��rØù��#��4�û

=( Ö µ )2

2

Î ü -¹ 2

2

Î6©2u (6 u 27)

.0/21eý�1Óþ�=4JcJÙ�:9<>Ö>�?L�@AIèzA�E:A¦è¼=ÙA,E��v9<>!9<;ÿèzA�EF=�ñ�AÖ?@E~9Ha interessecostruireil pacchettodi ondecorrispondentealla situazionein cui

si realizzala condizionedi minimaindeterminazione27. Nel casochegli operatori� e » nella (6.18)siano,rispettivamente,gli operatoridi posizioneÑ e di impulsoÒ = -Õ × , perlo statoin questionedeveessere:Õ6ÑEÕÙ× = 12 ] (7 ] 1)

La condizionedi minimaindeterminazionesi realizzaquandola funzioneÚ ( î )definitanella(6.21)raggiungeil suominimo. Cio avvieneperî = î¡� [ Û = Ä Ô

2

S[ �ÃOt» ] V( Õ¼» )2

] (7 ] 2)

Lo statodi minimaindeterminazioneealloradescrittodauna Ó chesoddisfala (6.21)con î = î¡� [ Û , cioe

( a + Ô�bÙî�� [ Û ) Ó = 0 ] (7 ] 3)

Si assumano S �%V =S Ñ-V = 0 O S »6V =

S Ò~V = -Õ × 0 (7 ] 4)

e quindi a = Ñ\O b = ÒÙÄ -Õ × 0 ] (7 ] 5)

Percio dalla(7.2),conla (7.1),risultaî¡� [ Û = Ä Ô2

S[ Ñ\OÖÒ ] V( ÕÝÒ )2

=-Õ

2(Õ%Ò )2=

2-Õ ( Õ Ñ )2 ] (7 ] 6)

Nello spaziodelleposizionila (7.3) diventaun’equazionedifferenzialeper la Ó ( Ñ )( Ó ( Ñ ) W Ó ( Ñ\O = 0)):

27 E.H.Kennard:ZurQuantenmechanikeinfacherBewegungstypen[Meccanicaquantisticadi tipi semplicidi moto], Zeitschrift fur Physik44 (1927)326–352.

195

�� %��"�,��!�� !��"�# !%$�&"��I�� #�# !� Ñ +2Ô-Õ ( Õ6Ñ )2 ² Ä�Ô -Õ YY Ñ Ä -Õ × 0 ³ �4Ó ( Ñ ) = 0 O (7 ] 7)

chehapersoluzione Ó ( Ñ ) = ' exp� Ä Ñ 2

4(Õ6Ñ )2+ Ô�× 0 Ñ � ] (7 ] 8)

La costante' si determinapernormalizzazionedella Ó :X + ÄÞ Ä Y ÑUT_Ó ( Ñ ) T 2 = 1 ] (7 ] 9)

Utilizzandol’integraledi Poisson,X + ÄÞ Ä Y ÑEY Þ�� 2

= J Á a O (7 ] 10)

si ottiene ' = [�

2Á ( Õ6Ñ )] Þ 12 ] (7 ] 11)

La funzioned’onda(7.8)corrispondeeffettivamenteall’ipotesi(7.4)di unaparticellacon impulsomedio pari a -Õ × 0 e con posizionemedianell’origine. La densita diprobabilita chenerisulta,� ( Ñ ) W½T_Ó ( Ñ ) T 2 =

1�2Á ( Õ6Ñ )

exp� Ä Ñ 2

2(Õ6Ñ )2� O (7 ] 12)

e infatti di tipo gaussianocentrataintornoa Ñ = 0 econlarghezzaÕ6Ñ .

Esercizio 7.1

Utilizzandola funzione(7.8)si verifichinole relazionij ¥ n = 0sj

( ¥ ± j ¥ n )2 n = ( Ö ¥ )2 sin accordoconle premesse(7.4).

La � ( Ñ ) datadalla(7.12)edeltipo di funzionichepermettonodi definirela deltadi Dirac (cfr. eq. (A.26)). Pertantoe

limÕd��É 0� = � ( Ñ ) ] (7 ] 13)

Cio corrispondealla situazionedi unaparticellaperfettamentelocalizzatain Ñ = 0con Õ6Ñ = 0.

196

ú-< � Î"��#��F��"��r��G��rØù��#��4�Esercizio 7.2

Checosasuccedealla (7.8)equantovale Ö è , se Ö ¥ r x ?

Siconsiderioralasituazionenellospaziodegli impulsi,prendendolatrasformatadi Fourierdella(7.8): � ( × ) =

1�2Á X + ÄÞ Ä Y ÑÙÓ ( Ñ ) Y Þ [D�%� ]

Utilizzandola (7.1), la (7.11)e l’integralederivatodaquellodi Poisson(7.10),X + ÄÞ Ä Y Ñ�Y Þ�� 2+ [��b� = J Á a Y Þ � 2 ¨ 4� O (7 ] 14)

si ottiene � ( × ) =1

[�

2Á ( Õ¼× )]1 ¨ 2exp

� Ä ( ×6Ä�× 0)2

4(Õ¼× )2�+] (7 ] 15)

Il pacchettodi minima indeterminazioneha dunqueforma gaussianaanchenellospaziodegli impulsi: essorisulta centratointorno al valore × 0, comenelle ipotesi(7.4).

Esercizio 7.3

Verificarecheil pacchettodi onde(7.15)e normalizzato:X°© è:i ì (è)i 2 = 1 u

Esercizio 7.4

Peril pacchettodi onde(7.15)verificarechesussistonole relazioniseguenti:jGè4n=è

0 uj(è ± jGè4n )2 n = ( Ö è )2 u

Esercizio 7.5

Se Ö èÔr0 nella (7.15),cheespressioneacquistala

$? Confrontareil risultato

conquellodell’Esercizio7.2.

La relazionedi indeterminazione(7.1) vienemodificatadurantel’evoluzionetemporaledel pacchettodi onde. Sela (7.8) e la funzioned’ondadi unaparticellalibera all’istante = 0,

197

�� %��"�,��!�� !��"�# !%$�&"��I�� #�# !Ó ( Ñ ) =

1�2Á X Y ×+� ( × ) Y [D�� O (7 ] 16)

a un istante successivo si haÓ ( Ñ\O ) =1�2Á X Y ×0� ( ×~O ) Y [^��

=1�2Á X Y ×0� ( × ) Y [ ( �� Þ�� § ) O

dove � = -Õ × 2 � 2� (cfr. eq. (III.7.1)). Utilizzando la (7.15) per � ( × ) e con lasostituzione×d³ ×6Ä × 0, si ha

Ó ( Ñ\O ) = ' p ÷ ( ) exp� Ä�÷ ( )( Õ�× )2 ² Ñ�Ä -Õ × 0� ³ 2 � Y [ ( � 0 � Þ�� 0 § ) O (7 ] 17)

dove � 0 = -Õ × 20 � 2� e ÷ ( ) =

�1 + Ô 2-Õ ( Õ¼× )2� � Þ 1 ] (7 ] 18)

La (7.17) e un’ondapianamonocromatica,di vettored’onda × 0, con un’ampiezzagaussiananellavariabile Ñ�Ä ( -Õ × 0 �)� ) .

La densitadi probabilita di presenzadellaparticellaall’istante e� ( Ñ\O ) W T_Ó ( Ñ\O ) T 2= ' 2 T ÷ ( ) T exp

� Ä [ ÷ ( ) + ÷ [ ( )]( ÕÙ× )2 ² Ñ�Ä -Õ × 0� ³ 2 � ] (7 ] 19)

La � ( Ñ\O ) e ancoraunadistribuzionegaussianain Ñ , mae centrataintornoal valoredi Ñ raggiuntonel tempo dalla particellache si muove dall’origine con velocita� 0 = -Õ × 0 �)� .

Esercizio 7.6

Verificarecheall’istante¿

risultaj ¥ n à =-¹ è

0Î ¿ u (7 u 20)

Esercizio 7.7

Quale il significatofisicodella(7.20)?

Lo scartoquadraticomedioperla variabiledi posizioneall’istante risulta:

198

Í��Øù��#��4��e��r��@Øù��#��r� * ��4��Iú��#��¸�� * �( Õ6Ñ )2§ W S

( Ñ�Ä S Ñ^V § )2 V=S Ñ 2 V § Ä S Ñ-V 2§

=1

4(Õ�× )2

�1 + ² 2-Õ ( ÕÙ× )2� ³ 2 2 �0] (7 ] 21)

Lo scartoquadraticomedioaumentanel tempo,indicandoun allargamentodel pac-chettodi onde,conconseguentediminuzionedellaprecisioneconcui risultadeter-minatala posizionedella particella. Anche se si e partiti all’istante = 0 con ilpacchettodi minima indeterminazione(7.1), il terminedipendentedal temponella(7.21)imponeall’istante : Õ6ÑEÕÙ×�f 1

2 ] (7 ] 22)

Naturalmentelo sparpagliamentodel pacchettodiventasensibilepertempi ð ì �2-Õ ( Õ¼× )2

]In tali condizionila (7.21)diventa

( ÕzÑ ) § Ð -Õ ÕÙ×� ] (7 ] 23)

D’altra partein unadescrizioneclassicanonsi avvertelo sparpagliamentodel pac-chetto,perche ( Õ Ñ ) § restapiccolo rispettoallo spostamentodel baricentrodel pac-chetto:

( Õ Ñ ) § Ï -Õ × 0� ]Perla (7.23)cio implica ancheunabuonadefinizionedell’impulso:

( Õ�× ) Ï × 0 ] (7 ] 24)

Combinandoallorala (7.22)ela (7.23),perchevalgaunadescrizioneclassicasi deveavere

( Õ Ñ ) § f 12Õ¼× 1

2× 0W 1

4Á î 0 O (7 ] 25)

dove î 0 e la lunghezzad’onda di de Broglie associataal moto del pacchetto(odella particella). Questorisultatomettein evidenzaancoraunavolta il ruolo dellalunghezzad’ondadi deBroglie dellaparticella: fintantochequestarimanepiccolarispettoall’indeterminazionedi posizione,non si e sensibili agli effetti quantisticie si puo procederetranquillamentesecondola fisica classica. Si impone invecela descrizionequantisticaquandosi riescead apprezzareuno sparpagliamentodel

199

�� %��"�,��!�� !��"�# !%$�&"��I�� #�# !pacchettodi ondeconfrontabileconla lunghezzad’ondadi deBroglie,comesuccedein fisicaatomicaenucleare..0/21��1ÓÒ�9<ô�=�ñ�AÖ?@E~9`�rAUA,E��9<>!9<;ÙèzA,EF=�ñ�AÖ?@E~9�7e9�;¶9<E~9�;�órAG=R9x>!9Ùè�7:?

La relazionedi indeterminazionevalidaperdueoperatorichenoncommutanocorrisponde,a livello di funzioned’onda,a unaproprieta degli sviluppi di Fourier.Una funzione periodica,per esempiodella variabile Ñ , viene sviluppatain seriedi funzioni della variabile coniugata× ; piu essae concentratanello spaziodelleposizioni,piu numerosisonoi valori di × cheentranonello sviluppodi Fourier, eviceversa. Nello stabilire la relazionedi indeterminazioneera intesofinora che leduevariabili coniugatefosseroassociatea operatorichenoncommutanoe quindi aosservabili fisicheincompatibili dal puntodi vista di unaloro precisamisurazione.Pero la proprietamatematicaedi tipo generaleeriguardaqualunquetipo di funzionesviluppabilein seriedi Fourier. Percio, anchese in meccanicaquantistica,comein fisica classica,il tempo viene assuntoqualeparametrodi evoluzione,senzaessereassociatoadalcunaosservabile,si puo lo stessostabilireunasortadi principiodi indeterminazioneancheper la variabile tempo, , e la sua coniugata, � , cherappresentaunafrequenza.

Siadunquedataunafunzioneperiodicadel tempo Ó ( ) e la si sviluppi in seriedi Fourier: Ó ( ) =

1�2Á X Y

�¸� ( � ) Y Þ [ � § ] (8 ] 1)

Comeperla (III.7.4), see X Y T_Ó ( ) T 2 = 1 O (8 ] 2)

e anche X Y��T � ( � ) T 2 = 1 ] (8 ] 3)

Si consideriadesempioil casodi unsegnalecostantedi duratalimitata (fig. 8.1):

Ó ( ) =

�� 1� 0O Ä 1

2 0 ë ë 12 0,

0 O altrimenti.(8 ] 4)

Si ottiene: � ( � ) = J 0

2Á sin 12 � 0

12 � 0

] (8 ] 5)

200

Í��Øù��#��4��e��r��@Øù��#��r� * ��4��Iú��#��¸�� * �

Fig. 8.1.Segnalecostantedi duratalimitata esuospettrodi frequenze.

La distribuzionein frequenzedel segnalee dunqueconcentrata,con un picco pro-nunciatointorno al valore � = 0. Siccomedeve valeresemprela normalizzazione(8.3),al variaredi 0 variala larghezzadelpiccodi � ( � ) all’origine edi conseguenzaanchela suaaltezza.La larghezza,Õ�� , puo esserestimatadallaposizionedegli zeridi � ( � ) piu vicini all’origine:

Õ�� = 4Áï� 0 ] (8 ] 6)

Essadiventatantopiuampiaquantopiubreverisultail segnale,eviceversa.Indicandocon Õ = 0 la duratadel segnale,si hadunque

Õ��pÕ = 4Á�] (8 ] 7)

Questorisultatoe in accordocon le relazionidi indeterminazionecheprevedonoingenerale

Õ�� Õ ð ì 12 ] (8 ] 8)

201

�� %��"�,��!�� !��"�# !%$�&"��I�� #�# !Esercizio 8.1

Verificarecheperun segnalegaussianonel tempo,del tipo$(¿) =

1

[5

2- ( Ö ¿)]1

*2

exp � ± (¿ ± ¿

0)2

4(Ö ¿)2 � s (8 u 9)

la trasformatadi Fourierrisultaì ( h ) =1

[5

2- ( Ö�h )]1*

2exp � ± h 2

4(Ö�h )2+ ·^h ¿

0 � s (8 u 10)

dove Ö�hæÖ ¿= 1

2 u (8 u 11)

Esercizio 8.2

Verificarecheper il segnalegaussianodell’Esercizioprecedentesi puo definireladurataÖ ¿

del segnalein termini di scartoquadraticomedio,

( Ö ¿)2 =

X © ¿ � ¿ ± j^¿�n � 2 i $(¿)i 2 u (8 u 12)

Analogamente,verificarechela larghezzadi bandaÖ�h del segnalein h risulta

( Ö�h )2 =

X © h � hR± j h n � 2 i ì ( h )i 2 u (8 u 13)

Se si trasformala (8.8) nella descrizioneondulatoria,in cui l’energia di unaparticella(o di un’onda)e definitadallarelazione£ = -Õ ��O (8 ] 14)

si ha Õf£ Õ ð ì 12

-Õ ] (8 ] 15)

La (8.15) rappresentala relazionedi indeterminazioneper energia e tempo,la cuiinterpretazionederivadalleproprieta degli sviluppidi Fourier: un pacchettodi ondedeveavereunaduratainfinita ( Õ ³ µ ) perrappresentareunaparticellaconenergia£ bendefinita( Õf£ = 0). Altrimenti un trenodi ondedi duratafinita Õ implicanecessariamenteunasovrapposizionedi � . Cio significacheselo statodi unsistemaquantisticohavita limitata Õ , essononeunostatostazionarioconunaprecisaener-gia,mapossiedeunaprobabilita ó = 1�zÕ di decadere,legataall’indeterminazioneÕf£ dellasuaenergia:

202

��&`�,�� !�� * ��#�� ó ð 2Õf£

-Õ ] (8 ] 16)

Di conseguenza,lo spettrodi frequenzeassociatoalla (8.1)haunalarghezzadi rigadatada Õ�� , in accordoconla (8.8).

In altreparole,il tempodi osservazionedi un eventoquantisticone precisaladefinizioneenergetica: se l’eventosi riferisce a un sistemastabile, la definizioneenergeticae in lineadi principio possibilecon un tempodi osservazioneillimitato;seil sistemae instabile,la limitazione(8.15)e di naturaintrinsecaedineliminabile.Lo statoquasi-stazionario(4.10)soddisfa la (8.15),in basealla (4.9),con Õ = ¢ eÕf£ = 1

2 Â . .0/81��41��U?ôèfèzD+>�=��A�ô�A�>��=h96Jt?ôè�7+=4>GA��<A,ô�A�>��=In alcuni esempidel paragrafo2 le autofunzionidi un operatorehermitiano

risultanoessereautofunzionianchedi un altro operatoreautoaggiuntochecommutaconil primo. Cio avvieneperesempioconle funzioni (2.42),autofunzionidi é 2, maanchedi épõ . Questaproprieta non si verifica solo per le autofunzioniproprie,maancheperautofunzioniimpropriecomenel caso(2.84)dell’insiemedi autofunzionidi Ò 2 chesonocombinazionilineari di autofunzioniimpropriedi Ò .

In realta vale il seguenteteorema: condizionenecessariae sufficienteperchedue operatoriautoaggiunti� e » definiti in

�abbianoun insiemecompletodi

autofunzionisimultaneoe chesia

[ �ÃOt» ] = 0 ] (9 ] 1)

Infatti la condizioneenecessaria.Siano��ö Û = a Û ö Û O»xö Û = b Û ö Û ]Allora e anche

( �%»¾ÄÆ»¶� ) ö Û = 0 ]Quindi ancheperogni N Q � , chesi puo pensarecomecombinazionelinearedelleö Û , risulta

( �%»ÅÄÆ»¶� ) N = 0 O �^N Q � Odacui l’asserto.

La (9.1) e anchesufficiente. Si consideridapprimail casodi spettrosemplice.Allora se

203

�� %��"�,��!�� !��"�# !%$�&"��I�� #�# !��ö Û = a Û ö Û O

e anche � ( »xö Û ) = » ( ��ö Û ) = »6a Û ö Û= a Û ( »Ãö Û ) O

cioe »xö Û e autofunzionedi � appartenenteallo stessoautovalore a Û ; datochelospettroe semplice,»xö Û deveessereproporzionalea ö Û ,»xö Û = b Û ö Û Ocomedovevasi.

Nel casodi degenerazione,a Û e un autovalorecon degenerazionedi ordine ý .Ancorasi ottiene � ( »xö Û ) = a Û ( »Ãö Û ) ]Ora pero »xö Û non e proporzionalea ö Û , bensı appartieneal sottospazio

� Û a ýdimensioni,sottesodalle ý autofunzioniö Û di � appartenentiallo stessoa Û . Pertantoe possibileesprimere»xö Û sullabasedi tali autofunzioni:»Ãö Û =

T� =1

' Û ��ö��6]D’altra parte,perogni N = � TÛ =1

Y Û ö Û Q � Û , e»zN = » T Û =1

Y Û ö Û =

T Û =1

Y Û ( »xö Û ) Ocioe »zN =

T Û =1

T� =1

Y Û ' Û ��ö��¶] (9 ] 2)

LafunzioneN eautofunzionedi � in quantopercostruzioneecombinazionelinearediautofunzioniappartenentiallostessoautovaloredi � ; essadiventaancheautofunzionedi » senella(9.2)si riescea porre:T Û =1

Y Û ' Û � = b Y � ]Questacondizionesi soddisfadiagonalizzandola matricedeicoefficienti ' Û � . A talescopola condizionedi solubilita risulta

204

�r��F��!��^�!��!$�&�Øù��#��^��,�det T ' Û � Ä bÿ� Û � T = 0 O

chefornisceý radici per l’incognita b . In corrispondenzadi ognunadelleradici b Û icoefficienti

Y( Û )� ( Ü = 1 O 2 O<]<]<]`O�ý ) permettonodi definire� Û =

T� =1

Y( Û )� ö��¶]

Le ý soluzioni � Û sonoautofunzionidi » ,»Ë� Û = b Û T� =1

Y( Û )� ö �

= b Û � Û Oe ancheautofunzionidi � ,�� Û =

T� =1

Y( Û )� ��ö�� =

T� =1

Y( Û )� a Û ö��

= a Û T� =1

Y( Û )� ö�� = a Û � Û O

in quantoperipotesile ö Û nelsottospazio� Û appartengonotutteallo stessoautova-

lore a Û . Concio restadimostratoil teorema.Seunsistemasi trovain unautostatosimultaneodi dueoperatoriautoaggiunti,le

misuredellecorrispondentivariabili dinamichefornisconoi corrispondentiautovalo-ri. Le duevariabili dinamichesonopercio compatibili, nel sensochepossonoesseremisurateconestremaprecisione,simultaneamenteo in rapidasuccessioneunadopol’altra, senzaprodurredisturboallo statodelsistemachecontinuaacoincidereconunautostatosimultaneodeidueoperatoriassociatiallevariabili in questione.Il teoremaoradimostratocompletail quadrooffertodalprincipiodi indeterminazionerelativo adueosservabili cheinvecenoncommutanoe chequindinonsonocompatibiliai finidi unamisurazioneprecisaperentrambe.

Il presenteteoremasottolineaanchela necessita di individuarel’ insiemecom-pletodi operatori checommutano( �ÃOt»ÙOcº�O<]<]<] ), in quantoesisteun soloautostatosimultaneodi questoinsiemedi operatoricheappartieneagli autovalori corrispon-denti( ÷¸O��¸O �2O<]<]<] ) enevienecompletamentespecificato.In particolare,gli autostatidi � sonoancheautostatidegli operatorichecommutanocon � e chequindi sonocostantidel moto. Unamisurazioneprecisaeffettuatasuun insiemecompletodi os-servabili checommutanorappresental’ osservazionemassimapossibilesul sistema,perche fornisceil massimodi informazionechesi possaotteneresimultaneamentesul sistema:nedefiniscelo statodinamicocui corrispondela caratterizzazionedella

205

�� %��"�,��!�� !��"�# !%$�&"��I�� #�# !suafunzioned’ondaauncertoistante.Questasituazioneeanalogaaquantosuccedein meccanicaclassicaperunsistemaintegrabile(cfr. eq. (I.1.49))..0/21G3"!r1�/:=rô�?r;�AIèÙ9ê�@A�9ê�h9ØB�D+=�ñ�AÖ?@E:AB��9�ôïè¼?r>�?

Datal’equazionedi Schrodingernellaforma(III.7.25), in cui l’operatorehamil-tonianoedaconsiderarsiautoaggiunto,� = � � O (10] 1)

e dataunavariabiledinamicaclassicacui vieneassociatoun operatore� pureau-toaggiunto, � = � � O (10] 2)

si definiscevaloremedio(o valoredi aspettazionedi � ) su Ó la quantitaS �%V¸W S Ó T �zT_ÓÃV=XZY

r Ó [ (r O ) � Ó (r O ) ] (10] 3)

Anche senzadipendenzaesplicitadal tempoda partedi � , la (10.3) dipendedaltempoattraversola Ó . Pertantosi puo calcolarela variazionetemporaledel valoremedio

S �%V , utilizandol’equazionedi Schrodinger:YY S �%V =X Y

r� Ó [�¡ ��Ó +

X Yr Ó [ � ��¡ Ó +

X Yr Ó [ � � Ó�¡

= Ä 1Ô -Õ X Yr ( �®Ó ) [ �%Ó +

X Yr Ó [ � ��¡ Ó +

1Ô -Õ X Yr Ó [ � ( �®Ó ) O

dove l’operatore� �� e definitoeseguendola derivazionerispettoal parametro nell’espressioneanaliticadi � . In definitivasi haYY S ��V =

k � ��¡ m+Ô-Õ S [ �dOØ� ] V�] (10] 4)

Questorisultatogeneralizzail teoremadi EhrenfestdelparagrafoIII.6.

Esercizio 10.1

Utilizzando i risultati dell’Esercizio1.10 ritrovare dalla (10.4) gli enunciatidelteoremadi Ehrenfest.

Se � nondipendeesplicitamentedal tempo,si ottiene:

206

�@��e��%��$�&�Øù��#��"�^��4��,�YY S �%V =Ô-Õ S [ ��OØ� ] V�] (10] 5)

Seinoltre � commutaconla hamiltoniana,

[ ��OØ� ] = 0 O (10] 6)

nederiva YY S ��V = 0 O (10] 7)

cioe la variabiledinamicacui e associatol’operatore� e unacostantedel moto.Il risultato(10.4)puo essereutilizzatoperdefinirel’operatore

Y �E� Y mediantela relazione: YY S ��V =

X Yr Ó [ Y �Y Ó¶] (10] 8)

Dal confrontotra (10.4)e (10.8)segueY �Y =� �� +

Ô-Õ [ ��OØ� ] ] (10] 9)

Questarelazionehala stessastrutturadell’equazionedi motoclassica(I.1.19)purdifar corrisponderela parentesidi Poissonclassicaal commutatorequantistico:� �xOØ� �$# ³ Ä Ô

-Õ [ �xOØ� ] ] (10] 10)

La corrispondenzatra parentesidi Poissonper le variabili dinamicheclassicheecommutatoriper gli operatoriautoaggiuntiquantistici e un aspettodel principiodi corrispondenzacheha ispiratotutta la costruzionedella meccanicaondulatoria.In questoapprocciosi desiderava conservare la strutturaformale della meccanicaanaliticae dellesueequazionidi moto, reinterpretandole variabili dinamicheclas-sichecomeoperatorichedovevanosoddisfarela (10.9). La (10.9)e la (10.4)eranostatepropostenel 1925daBorn, Heisenberg e Jordan28 in un approccioapparente-mentediverso(la cosiddettameccanicadelle matrici). Fu lo stessoSchrodingerariconoscere29, tramitela (10.4),l’equivalenzadella(10.9)conl’approcciopropostoconla suaequazione30.

28 Cfr. n. 5 e n. 6 p. 106.29 E. Schrodinger: Uber das Verhaltnis der Heisenberg-Born-Jordanschen Quantenmechanik zu dermeinen,loc. cit. (n. 6 p. 152).30 In un intervistail 17 ottobre1962registratain Archivefor thehistoryof quantummechanics, M. Bornconfessa:“esprimemmol’energiacome%�&'%�( escrivemmola regoladi commutazioneperenergiaetempoapplicandol’operatore ()%�&'%�(+*,%�&'%�()( a una funzionedi ( ; era assolutamentelo stessoche per glioperatori - e . . Ma non lo vedemmo. E non potro mai perdonarmi: se lo avessimofatto, avremmoavuto immediatamentel’intera meccanicaondulatoriadalla meccanicaquantisticaalcuni mesiprima diSchrodinger”.

207

�� %��"�,��!�� !��"�# !%$�&"��I�� #�# !��c�c�g 0¡,¢6£�/�¤I£Il teoremadel viriale in meccanicaclassicastabilisceunarelazionegeneraletra

il valor mediodell’energia cineticaequellodell’energia potenziale:

2j û n

=j�i

r 021 11Ãá (r)i n u (10u 11)

Essosi dimostracalcolandola mediatemporale dellaquantita

©(r 0 p)

¯�© ¿, chepermoti

periodicisi azzera.Il teoremadel viriale valeanchein meccanicaquantisticae puo esseredimostrato

calcolandoil valoredi aspettazionedell’operatore

©(r 0 p)

¯�© ¿,k lll ©© ¿ r 0 p lll m =

©© ¿ j�i r 0 pi n�s

chesi azzerasuautostatidellahamiltoniana.Infatti, sesi usanoautostatidellahamilto-niana,si ha j $ i

[r 0 ps ß ]

i $ n= ( |�±L| )

j $ ir 0 p

i $ n= 0s

percui ©© ¿ j�i r 0 pi n

=1· -¹ j�i [r 0 p

s ß ]i n

= 0 uD’altra parte

[r 0 ps ß ] = 2· -¹ û ±R· -¹ × r 021 11Ãá (r

Ø spercui risultadimostratala (10.11).

Esercizio 10.2

Nelladimostrazionedel teoremadelviriale quantisticofadifferenzapartiredall’o-peratorer 0 p o dall’operatorep 0 r?

Esercizio 10.3

Verificarecheanchein meccanicaquantisticavalela relazione

2j û n

=j�i t á i nØs (10u 12)

validaperunpotenzialeasimmetriasfericadel tipo á (

Ð) =

Ð .

.0/21�3�3r1 Ò�AÖ="HtH�D0Ee>�?L��9<A-7+?@H�>GD0ô�=4>GA1. Ad ogni sistemafisico e associatoun opportunospaziodi Hilbert

�. Ogni

statodel sistemae rappresentatodaun elementoÓªQ � , conS ÓzT_ÓxV = 1, che

contienetuttele informazionisul sistema.

208

Í^�� !&ò�� * �� #&ò��#�2. Ad ogni grandezzafisica osservabile e associatoun opportunooperatoreau-

toaggiunto� nello spazio�

. Perosservabili aventi analogoclassico,funzionicioedellaposizioner edell’impulsop (oltrecheeventualmentedel tempo ), laregolaperla costruzionedell’operatore� nellarappresentazionedelleposizionie: � (r O p; ) ³ � (r O�Ä�Ô -Õ ± ±± ; ) ]

3. L’evoluzionetemporaledi Ó e governatadall’equazionedi Schrodinger:Ô -ÕB� Ó�� = �üÓzOdove � e l’operatorehamiltoniano.

4. L’insiemedegli autovalori� ÷ �

dell’operatoreautoaggiunto� costituiscel’in-siemedei possibili risultati di unamisurazionedell’osservabiledel sistemaas-sociataad � . Pereffettodellamisurazione,lo statodelsistemavieneprecipitatonelparticolareautostatoö~þ di � appartenenteall’autovalore ÷ misurato.

5. Primadi ogni misurazione,lo statodel sistemae esprimibilesolocomecombi-nazionelinearedegli autostatidi � . Nel casogeneralein cui � possiedeunospettrosiadiscreto,siacontinuo,si haÓ = Û ' Û ( ) ö Û +

X Y ÷¶' ( ÷CO ) ö~þ8Ocon S ÓzT_ÓÝV = Û T ' Û ( ) T 2 +

X Y ÷�T ' ( ÷¸O ) T 2 = 1 ]La probabilita cheun’osservazionedi � all’istante forniscail valore ÷ Û o unvalorecompresotra ÷ e ÷ +

Y ÷ e, rispettivamente,T ' Û ( ) T 2 = T S ö Û T_ÓÃV�T 2 OT ' ( ÷¸O ) T 2 Y ÷ = T S ö-þ8T_ÓÝV`T 2 Y ÷C]

209

V. ALCUNI SISTEMI SEMPLICI

In questo capitolo vengono presi in considerazioni alcuni sistemi semplici per iquali e possibile seguire fino in fondo la strategia proposta nel paragrafo IV.3 per larisoluzione dell’equazione di Schrodinger. Naturalmente per la maggior parte si trattadi casi ideali, cui si possono ricondurre i casi concreti con opportune semplificazioni.Vengono dapprima studiati alcuni esempi di problemi monodimensionali, sia conspettro discreto che con spettro continuo della hamiltoniana. Successivamente ven-gono discussi anche problemi tridimensionali, con particolare riferimento al moto inun campo di forze centrali. In ogni caso la ricerca delle autofunzioni e degli autovalo-ri della hamiltoniana comporta tecniche di risoluzione di un’equazione differenzialeche sono richiamate nell’Appendice B. Gli esempi proposti, oltre a permettere unafamiliarizzazione con queste tecniche, forniscono lo spunto per sottolineare alcunieffetti fisici strettamente collegati con la descrizione quantistica.

�� ! " #��$% &�'��(��)�*�,+�� -.�0/"/0�� 1�2�3�*�4��+5�*/762�8/"/7�' *��Si consideri un fascio di particelle di energia 9 che si muove parallelamente

all’asse : . Nella regione :<; 0 le particelle sono libere, mentre per :>= 0 esisteun potenziale costante: ? ( : ) = ? 0 (fig. 1.1). L’equazione agli autovalori perla hamiltoniana, corrispondente all’equazione di Schrodinger degli stati stazionari,risulta percio: @AAB AAC D

-E 2

2 FHG 2 IG : 2

= 9 I ( : ) J :K; 0 JD

-E 2

2 F G 2 IG : 2

+ ? 0I ( : ) = 9 I ( : ) J :K= 0 L (1 L 1)

Secondo la strategia proposta nel paragrafo IV.3, occorre cercare soluzioni I ( : ) M211

�� 2( � � ), imponendo la continuita della funzione e della sua derivata nel punto : = 0in cui il potenziale presenta una discontinuita.

Fig. 1.1. Salto di potenziale.

Si riconosce subito che queste condizioni impediscono soluzioni per 9 ; 0,cioe per energie inferiori al minimo dell’energia potenziale. Infatti, riscrivendo la(1.1) nella forma @AAB AAC G 2 I

G : 2 D � 2 I ( : ) = 0 J : ; 0 JG 2 IG : 2 D � � 2 I ( : ) = 0 J : = 0 J (1 L 2)

dove

� 2 =2 F"! 9#!

-E 2 J � � 2 =2 F ( ? 0 + ! 9$! )

-E 2 J (1 L 3)

dalla teoria delle equazioni differenziali ordinare, lineari e a coefficienti costanti siottiene:

I ( : ) =

%'&1 (�)+*, +

&2 ( + *, J : ; 0,-

1 (�)+*/.�, +-

2 ( + */.0, J : = 0 .(1 L 4)

Se si vuole che la funzione non diverga per ! :1!3254 , si deve imporre&

1 =-

2 = 0.Inoltre la continuita della funzione e della sua derivata in : = 0 implica simultanea-mente

&2 =

-1 e � & 2 = D � � - 1. Percio non si possono ammettere soluzioni per energie

inferiori al minimo dell’energia potenziale. Questo risultato, in accordo con la teoriaclassica, e di validita generale, indipendente dalla forma del potenziale.

Per 9 = 0 conviene distinguere i due casi: 9H=>? 0 e 9 ;%? 0.Per 9 =<? 0 la (1.1) diventa

212

�� $�� 0� � � � �@AAB AAC G 2 IG : 2

+ � 2 I ( : ) = 0 J : ; 0 JG 2 IG : 2

+ � � 2 I ( : ) = 0 J : = 0 J (1 L 5)

dove

� 2 =2 F 9

-E 2 J � � 2 =2 F ( 9 D ? 0)

-E 2 L (1 L 6)

Ricorrendo ancora alla teoria delle equazioni differenziali ordinare, lineari e a coef-ficienti costanti, si ottiene una soluzione del tipo

I ( : ) =

%� ( + �� , + � ( ) �� , J : ; 0,� ( + �� . , + � ( ) �� . , J : = 0.(1 L 7)

Il fascio di particelle incidenti corrisponde a un flusso di particelle, � � , che si muovonolungo l’asse : con velocita � = -E ��#F . Cio comporta che il contributo al flusso portatodall’onda piana incidente, ( �� , , per : ; 0 sia uguale a -E ��#F . Percio, siccome risulta

� � = D� -E2 F � �� ( ) �� , GG :

( �� , D ( �� , GG :

�� ( ) �� , �=

-E �F ! ! 2 J (1 L 8)

si deve porre

= 1. Inoltre, se si vuole avere solo un contributo di onde progressiveper : = 0, si deve anche imporre � = 0. Quindi la soluzione (1.7) diventa

I ( : ) =

% ( + �� , + � ( ) �� , J :K; 0 ,� ( �� . , J :K= 0 .(1 L 9)

I coefficienti � e�

sono fissati dalla condizione di continuita della I ( : ) e della suaderivata in : = 0,

1 + � =� J� (1 D � ) = � � � J (1 L 10)

cioe

� =� D � �� + � � J �

=2 �� + � � L (1 L 11)

Classicamente, nella condizione 9 = ? 0, il fascio di particelle proseguirebbe lungol’asse : indisturbato dalla presenza della barriera di potenziale. Invece nel casoquantistico la barriera di potenziale provoca una riflessione. Il flusso riflesso e

�"! = D-E �F ! � ! 2 J (1 L 12)

213

�� in cui ! � ! 2 rappresenta la densita di particelle riflesse con la stessa velocita � = -E �� Fdi quelle incidenti. Se si definisce il coefficiente di riflessione � come la frazione diparticelle che vengono riflesse elasticamente dalla barriera di potenziale, cioe comeil rapporto tra il modulo del flusso riflesso � ! e quello incidente � � , risulta

� = ! � ! 2 L (1 L 13)

Similmente si puo calcolare il flusso di particelle che hanno oltrepassato labarriera di potenziale, cioe il flusso trasmesso,

�� =-E � �F ! � ! 2 L (1 L 14)

Il coefficiente di trasmissione�

e definito dal rapporto tra il flusso trasmesso �� equello incidente � � :

�= ! � ! 2 � �� L (1 L 15)

Sostituendo i valori di � e di�

si verifica la relazione

� +�

= 1 J (1 L 16)

che e una diretta conseguenza dell’equazione di continuita, rispettata imponendo lecondizioni (1.10) alla soluzione in : = 0.

Fig. 1.2. Distribuzione di probabilita per le particelle incidenti lungo l’asse � in presenza diun salto di potenziale � 0 in � = 0.

Per 9 ;<? 0 la (1.1) puo scriversi

214

�� $�� 0� � � � �@AAB AAC G 2 IG : 2

+ � 2 I ( : ) = 0 J : ; 0 JG 2 IG : 2 D � 2 I ( : ) = 0 J : = 0 J (1 L 17)

dove

� 2 =2 F 9

-E 2 J � 2 =2 F ( ? 0 D 9 )

-E 2 L (1 L 18)

La soluzione generale e del tipo

I ( : ) =

% ( + �� , + � ( ) �� , J : ; 0,� ( � , + � ( ) � , J : = 0.(1 L 19)

D’altra parte, per un flusso unitario di particelle incidenti lungo l’asse : si deveancora imporre

= 1. Inoltre, per evitare che la soluzione diverga per : 2 4 , si

deve anche porre�

= 0. Percio la soluzione diventa

I ( : ) =

% ( + �� , + � ( ) � � , J :K; 0,� ( ) � , J :K= 0,(1 L 20)

con i coefficienti � e � che vengono fissati dalla condizione di continuita della I ( : )e della sua derivata:

� =� D � �� +

� � J � =2 �� +� � L (1 L 21)

In questo caso, ! � ! = 1 e quindi il flusso riflesso coincide con quello incidente, comenel caso classico, in cui per 9 ; ? 0 le particelle urtano elasticamente la barrieradi potenziale in : = 0 e rimbalzano. Invece, contrariamente al caso classico, inmeccanica quantistica esiste una probabilita non nulla di trovare particelle in : = 0.Tale probabilita decresce esponenzialmente con il cammino percorso nella regione incui ? ( : )

�= 0 e dipende dal coefficiente � . Siccome ! � ! 2 = 4 9 ��? 0, solo nel limite? 0 2 4 si ritrova la situazione classica corrispondente a � = 0 (fig. 1.2).

Esercizio 1.1

Interpretare alla luce del principio di indeterminazione il risultato ��= 0 nella(1.21).

215

�� *+�+��'��+ � �*�1� ��'�* � /7� 626 ��+��' "�

Un fascio di particelle di energia 9 incide su di una barriera di potenziale ? ( : ),efficace nella sola regione D

&�� : � &dell’asse reale : . Il fascio proviene da una

sorgente molto lontana e si muove nello stesso verso dell’asse : . Si suppone che ilpotenziale sia una funzione pari di : :

? ( : ) = ? ( D : ) L (2 L 1)

Si vogliono determinare le ampiezze dell’onda riflessa e dell’onda diffusa in avantiper effetto del potenziale.

La condizione (2.1) ha l’importante conseguenza che la hamiltoniana � com-muta con l’operatore di parita � ,

[ � J�� ] = 0 J (2 L 2)

per cui ad ogni energia 9 ci sono due soluzioni dell’equazione di Schrodinger, una aparita positiva,

I+( : ) = I

+( D : ) J (2 L 3)

e una a parita negativa,

I ) ( : ) = D I ) ( D : ) L (2 L 4)

Le due soluzioni sono linearmente indipendenti; la soluzione generale e una combi-nazione lineare delle due.

Fig. 2.1. Barriera di potenziale simmetrica.

216

� � �� 0� � �� Per risolvere l’equazione di Schrodinger conviene considerare separatamente le

tre regioni (fig. 2.1),

I : :K; D& J

II : D& ; :K; & J

III : :K= & Jall’interno delle quali l’equazione e regolare e la soluzione rientra nella classe dellefunzioni M � 2( � � ). Imponendo la continuita della funzione e della sua derivata neipunti di discontinuita del potenziale, si raccordano le soluzioni nelle tre regioni e sisoddisfa l’equazione di continuita per la soluzione completa su tutto l’intervallo didefinizione della : .

Le funzioni I�� che risolvono il problema nella regione II sono ricavabili es-plicitamente solo dopo che sia reso esplicito ? ( : ). Nella regione I e nella regione IIIla soluzione e di tipo onda piana: occorre pero tenere presente che, per le condizionidel problema, nella regione I e possibile sia l’onda progressiva incidente (che quisi assume di ampiezza unitaria), sia l’onda regressiva riflessa; invece nella regioneIII c’e solo l’onda progressiva trasmessa. Pertanto la soluzione piu generale ha laseguente struttura:

I ( : ) =

@B C ( �� , + � ( ) � � , J D 4 ; :K; D&,�

1I

+( : ) + �2I ) ( : ) J D

& ; : ; &,� ( �� , J & ; : ; + 4 .

(2 L 5)

Si definiscano le derivate logaritmiche in : =&:

� � =& I � � (

&) � I � (

&) J (2 L 6)

dove in generale I �+( : ) = D I �+( D : ) JI � ) ( : ) = I � ) ( D : ) L (2 L 7)

Le derivate (2.6) sono adimensionali e non dipendono dalla normalizzazione di I � .La continuita della funzione e della sua derivata in : = �

&impone le quattro

seguenti relazioni: @AAAAAB AAAAAC( ) �� + � ( �� = �

1I

+(&) D �

2I ) (

&) J� � � ( ) �� D � ( �� = D � 1

I �+(&) + �

2I � ) (

&) J

� ( �� = �1I

+(&) + �

2I ) (

&) J� � � ( �� = �

1I �

+(&) + �

2I � ) (

&) L

(2 L 8)

La soluzione del sistema (2.8) permette di ricavare i quattro coefficienti � 1, � 2, � e� . Qui basta determinare i coefficienti � e � . Sottraendo membro a membro la

217

�� quarta equazione dalla seconda, si trova 2 � 1

I �+(&); sommando membro a membro la

prima e la terza di queste equazioni, si ricava 2 � 1I

+(&). Facendone poi il rapporto,

risulta

�+ =

� � & D ( ) � �� + ( � + � ) ( ��( ) � �� + ( � + � ) ( � �� L (2 L 9)

In modo simile, invertendo somma e differenza, si ha

� ) =� � & ( ) � �� + ( � D � ) ( � ��

D ( ) �� + ( � D � ) ( � �� L (2 L 10)

Le (2.9) e (2.10) permettono di ricavare i coefficienti � e � in funzione delle derivatelogaritmiche

� � :

� = D 12 ( ) 2 �� + +

� � &�+ D � � & +

� ) +� � &� ) D � � &�� J (2 L 11)

� = D 12 ( ) 2 � �� + +

� � &�+ D � � & D

� ) +� � &� ) D � � &�� L (2 L 12)

I moduli quadrati di � e � rappresentano il flusso riflesso e trasmesso, rispettiva-mente. Si ha

�� ! � ! 2 =(�

+� ) + � 2

&2)2

(�

+� ) + � 2

&2)2 + � 2

&2(�

+ D � ) )2J (2 L 13)

� � ! � ! 2 =� 2&

2(�

+ D � ) )2

(�

+� ) + � 2

&2)2 + � 2

&2(�

+ D � ) )2L (2 L 14)

Esercizio 2.1

Verificare che i coefficienti di riflessione e di trasmissione delle (2.13) e (2.14)soddisfano alla relazione �

+ � = 1 (2 15)

in accordo col fatto che

�rappresenta la frazione di fascio riflesso e � la frazione di

fascio trasmesso.

La conoscenza esplicita di � e�

e possibile specificando ? ( : ) e quindi� � . Si

assuma, per esempio,

? ( : ) =

% ? 0 J per ! :1! � &,

0 J altrimenti.(2 L 16)

Sia inoltre

218

� � �� 0� � �� 2 F-E 2 ? 0 = � 2

0 L (2 L 17)

Allora, nella regione II all’interno della barriera di potenziale, l’equazione di Schro-dinger risulta

G 2 IG : 2

+ ( � 2 D � 20) I = 0 J (2 L 18)

dove

� 2 =2 F 9

-E 2 L (2 L 19)

A seconda che sia � ; � 0 oppure � = � 0 ci sono dunque soluzioni diverse.Si consideri dapprima � ; � 0, cioe

9 ;%? 0 L (2 L 20)

Posto

� 2 = � 20 D � 2 = 0 J (2 L 21)

l’equazione di Schrodinger,

G 2 IG : 2 D � 2 I = 0 J (2 L 22)

ammette soluzioni pari,

I+( : ) = cosh � :�J (2 L 23)

e soluzioni dispari,

I ) ( : ) = sinh � : L (2 L 24)

Di conseguenza:

�+ = �

&tanh �

& J � ) = �&

coth �& J

�+� ) = ( �

&)2 J �

+ D � ) = D 2 �&

sinh 2 �& L

Percio il coefficiente di trasmissione�

della (2.14) diventa

�=

1

1 +� � 2

02 � � � 2

sinh22 �& J (2 L 25)

219

�� mentre e � = 1 D �

. Questo risultato contrasta con quanto avviene in meccanicaclassica, dove per 9 ; ? 0 si avrebbe

�= 0. In meccanica quantistica invece si

ottiene�

= 0 solo nel limite �& 2 4 . Per �

&��1 la (2.25) si puo approssimare

��16

9? 0( ) � J (2 L 26)

dove il coefficiente � dello smorzamento esponenziale e dato da

�� 4 �&

= 4&�� 2 F

-E 2 ( ? 0 D 9 ) J (2 L 27)

e a una fissata energia 9 risulta tanto maggiore quanto piu alta e piu larga e la barrieradi potenziale. Il fatto che in generale il fascio di particelle sia in grado di trapassare labarriera e di natura quantistica: esso e noto come effetto tunnel e trova la sua originematematica nella condizione di continuita della funzione e della sua derivata 1.

Esercizio 2.2

Per un potenziale � = � ( � ), nell’equazione (2.22) risulta

� 2 = � 2( � ) =2 - 2 [ � ( � ) � � ] (2 28)

Mostrare che in questo caso il coefficiente � dello smorzamento esponenziale del coeffi-ciente di trasmissione risulta dal difetto di energia, integrato sul cammino percorso dalleparticelle nell’attraversare la barriera di potenziale 2 :

� = 2 �� 2

- 2 [ � ( � ) � � ] (2 29)

1 Una conferma clamorosa dell’effetto tunnel fu l’ottimo accordo ottenuto da George Gamow (1904–1968)con le leggi del decadimento radioattivo dei nuclei atomici per emissione di particelle � : le particelle� , supposte preesistenti all’interno del nucleo, emergono per effetto tunnel attraversando la barriera dipotenziale che classicamente le tratterrebbe all’interno del nucleo e che deriva dal bilancio tra la forteattrazione di origine nucleare e la repulsione coulombiana tra le cariche dei protoni.G. Gamow: Zur Quantentheorie des Atomkernes [Teoria quantistica del nucleo atomico], Zeitschrift furPhysik 51 (1928) 204–212.2 Questo e quanto viene fatto nell’approssimazione di Wentzel–Kramers–Brillouin (WKB) per stimare losmorzamento del fascio trasmesso, provocato dal potenziale � ( � ).Gregor Wentzel (1898–1978): Eine Verallgemeinerung der Quantenbedingungen fur die Zwecke derWellenmechanik [Una generalizzazione delle condizioni quantiche per le traiettorie della meccanicaondulatoria], Zeitschrift fur Physik 38 (1926) 518–529.Leon Nicolas Brillouin (1889–1979): La mecanique ondulatoire de Schrodinger; une methode generalede resolution par approximations successives [La meccanica ondulatoria di Schrodinger; un metodogenerale di risoluzione per approssimazioni successive], Comptes Rendus de l’Academie des Sciences(Parigi) 183 (1926) 24–26.Hendrik Antoon Kramers (1894–1952): Wellenmechanik und halbzahlige Quantisierung [Meccanicaondulatoria e quantizzazione secondo numeri seminteri], Zeitschrift fur Physik 39 (1926) 828–840.

220

� � �� 0� � ��

Fig. 2.2. Coefficiente di trasmissione � in funzione di �� 0.

Esercizio 2.3

Scrivere l’espressione della funzione d’onda per il fascio trasmesso in approssi-mazione WKB.

Si consideri ora il caso � = � 0, cioe

9 =%? 0 L (2 L 30)

Posto

� 2 = � 2 D � 20 = D � 2 = 0 J (2 L 31)

l’equazione di Schrodinger,

G 2 IG : 2

+� 2 I = 0 J (2 L 32)

ammette soluzioni pari,

I+( : ) = cos

� :�J (2 L 33)

e soluzioni dispari,

I ) ( : ) = sin� : L (2 L 34)

Pertanto si ottiene ora

�=

1

1 +� � 2

02 �� 2

sin2 2� & L (2 L 35)

Il coefficiente di trasmissione non e uno, come ci si aspetterebbe classicamente. Ilmassimo

�= 1 viene raggiunto solo per 2

� &= �� ( � = 1 J 2 J�L�L�L ), cioe quando la

221

�� lunghezza d’onda delle particelle e sintonizzata alla larghezza della barriera. Tra unmassimo di

�e il successivo si presenta un minimo in prossimita di 2

� &= ( � + 1

2 ) � ,la cui altezza e tanto piu vicina al valore 1 quanto minore nella (2.35) e il fattore

� � 20

2 � � � 2=? 2

0

4 9 19 D ? 0J

cioe quanto maggiore e l’energia in eccesso sulla barriera. In fig. 2.2 e riportato ilcaso per 2 � 0

&= 3 � .

Si osservi che le due soluzioni (2.25) e (2.35), ottenute rispettivamente per9 ; ? 0 e 9 = ? 0, si raccordano con continuita per 9 = ? 0. In questo caso,�= 1 � (1 + � 2

0

&2), � = � 2

0

&2 � (1 + � 2

0

&2).

� �� 7� �*�� '�* � +5�&�'��*�� *��*+"�Si consideri la buca di potenziale:

? ( : ) =

%D ? 0 J ! :1! ; &

,0 J altrimenti.

(3 L 1)

Ha interesse studiare le soluzioni per 9 ; 0, in quanto per 9 = 0 ci si riconducefacilmente al caso del paragrafo precedente. Le soluzioni per 9 ; 0 rappresentanoclassicamente stati legati nella buca di potenziale; in meccanica quantistica devonoessere descritti da funzioni M�� 2( � � ). Scegliendo

2 F ? 0

-E 2 = � 20 J (3 L 2)

D 2 F 9-E 2 = � 2 J (3 L 3)

� 20 D � 2 =

� 2 J (3 L 4)

si ottiene l’equazione di Schrodinger:@AAB AAC G2 IG : 2

+� 2 I = 0 J ! :�! ; & J

G 2 IG : 2 D � 2 I = 0 J ! :�! = & L (3 L 5)

Per ! :�!�; &le soluzioni sono del tipo cos

� : e sin� : , a seconda della parita. Per! :1!�= &

si hanno soluzioni del tipo ( � � , ; ma per :K; D&

e accettabile solo ( � , e per: = &solo ( ) � , . Utilizzando la continuita della funzione in : = �

&si ricavano le

soluzioni pari,

222

� � � � � � ��

I+( : ) =

% + cos

� : J 0� : � &

, + cos

� & ( � ( � )+, ) J : = &,

(3 L 6)

e le soluzioni dispari,

I ) ( : ) =

% ) sin

� : J 0� : � &

, ) sin

� & ( � ( � )�, ) J : = &.

(3 L 7)

Fig. 3.1. Soluzione grafica per gli autovalori d’energia in una buca di potenziale rettangolarein funzione del parametro � = � 0 � legato alla profondita della buca.

I coefficienti � si ottengono imponendo la normalizzazione delle funzioni:

) 2+ =

1� [� &

+ sin� &

cos� &

] +1� cos2 � & J (3 L 8)

) 2) =1� [� &

D sin� &

cos� &

] +1� sin2 � & L (3 L 9)

La continuita della derivata in : =&

aggiunge un’altra condizione. Per lafunzione pari deve essere

D � sin� &

= D � cos� & J

cioe

223

��

tan� &

=�� J (3 L 10)

e per la funzione dispari

�cos

� &= D � sin

� & Jcioe

cot� &

= D �� L (3 L 11)

Fig. 3.2. Autofunzioni della buca di potenziale rettangolare per � = � 0 � = 4.

Le condizioni (3.10) e (3.11) determinano i valori di energia accettabili nel risolverel’equazione (3.5), cioe gli autovalori della hamiltoniana. Posto

� 0

&=� 2 F ? 0

-E 2

& � � J (3 L 12)

le (3.10) e (3.11) si scrivono, rispettivamente:

tan� &

=

� �2 D (

� &)2

� & J (3 L 13)

tan� &

= D� &

� �2 D (

� &)2L (3 L 14)

224

� �� 0� � � � � �� 0� �� Fissato il potenziale, e quindi

�, le (3.13) e (3.14) forniscono i valori di

� &e quindi

dell’energia:

9 = ? 0� � � &� � 2

D 1 � L (3 L 15)

La soluzione puo essere ottenuta per via grafica cercando le intersezioni tra la tan-gente al primo membro delle (3.13) e (3.14) e la funzione al secondo membro.L’intersezione in qualche caso non e possibile, in dipendenza del parametro

�: per

esempio, come risulta dalla fig. 3.1, occorre avere�

= 2 perche compaia la primasoluzione a parita dispari. Al crescere della profondita della buca, aumenta il nu-mero di soluzioni possibili, con un’alternanza di soluzioni pari e soluzioni disparial crescere dell’energia. Con l’energia aumenta anche il numero di nodi della fun-zione d’onda, cioe degli zeri, e quindi aumentano le oscillazioni all’interno dellabuca (fig. 3.2), in accordo con teoremi generali della matematica delle equazioni agliautovalori 3.

Si osservi che la continuita della funzione e della sua derivata in : =&

hala conseguenza di permettere una probabilita di presenza della particella non nullaper ! :�! = &

(fig. 3.2). Cio e in accordo col principio di indeterminazione, inquanto localizzare la particella entro la regione ! :�! � &

impone che l’impulso abbiaun’indeterminazione e, viceversa, se l’impulso e definito con estrema precisione, nonha senso pensare al rimbalzo della particella per urto elastico contro la parete dellabuca di potenziale posta esattamente in : = �

&.

� �� /� &�8 �� *+"� ��+06 �� ' " � �1�5��+"�Un esempio monodimensionale importante e quello dell’oscillatore armonico

lineare, che classicamente comporta il moto della particella di massa F e impulso �intorno all’origine dell’asse : , lungo il quale e vincolata a muoversi con oscillazionidi frequenza � = � � 2 � . La hamiltoniana dell’oscillatore armonico lineare e

� =� 2

2 F + 12 F�� 2 : 2 L (4 L 1)

Per risolvere l’equazione agli autovalori per � si pongano

4 =F 2 � 2

-E 2 J (4 L 2)

=2 F 9 2 -E 2 =

2 9-E � J (4 L 3)

3 La relazione tra nodi delle autofunzioni e corrispondenti autovalori e discussa al paragrafo VI.6 del testodi R. Courant e D. Hilbert: Methoden der mathematischen Physik, J. Springer, Berlino, 1931, vol. 1, pp.392–397 (trad. inglese: Methods of Mathematical Physics, Interscience Publ. Inc., New York, 1953, vol.1, pp. 451–455).

225

�� e si introduca la variabile adimensionale

�= : L (4 L 4)

L’equazione agli autovalori per � si scrive dunque nella forma seguente:

� G 2

G�

2+ ( D � 2) � I (

�) = 0 L (4 L 5)

Questa e un’equazione differenziale, regolare per tutti i valori di�

al finito; essapero presenta un punto di singolarita essenziale 4 per

� 2 � 4 , nel quale occorreregolarizzare la soluzione I (

�), se la si vuole M � 2( � � ) in accordo con i requisiti

quantistici. Delle due possibili soluzioni per� 2 � 4 , cioe I (

�) � ( �� 2 � 2, occorre

dunque scegliere

I (�) � ( ) � 2 � 2 J � 2 � 4<L (4 L 6)

A questo punto la soluzione per�

finiti si puo ricavare in termini di uno sviluppo inserie di potenze,

I (�) = � (

�) ( ) � 2 � 2 J (4 L 7)

� (�) =

��

! =0

& ! � ! L (4 L 8)

Sostituendo la (4.7) nella (4.5), si ottiene l’equazione per � (�):

� �� ( � ) D 2� � � ( � ) + ( D 1) � (

�) = 0 L (4 L 9)

Utilizzando lo sviluppo (4.8) e uguagliando i coefficienti delle potenze uguali di�, si

ricava una relazione di ricorrenza per i coefficienti& ! :

( � + 2)( � + 1)& ! +2 = (2 � + 1 D )

& ! ( � = 0 J 1 J 2 J�L�L�L ) L (4 L 10)

Si vede dunque che, come prevedibile, ci sono due tipi di soluzione, pari o dispari,a seconda che si assegni arbitrariamente

&0 oppure

&1: i coefficienti

& ! , con �rispettivamente pari o dispari, seguono poi dalla (4.10).

Per evitare che lo sviluppo in serie (4.8) abbia un comportamento di tipo ( � 2,

che fa divergere la I (�) per

� 2 � 4 , occorre interrompere la relazione di ricorrenza(4.10) per un certo valore di � , � = � , in modo che la serie si tronchi a un polinomiodi grado � . Cio e possibile se nella (4.10) risulta

= 2 � + 1 L (4 L 11)

4 Per la definizione di singolarita essenziale, si veda all’Appendice B.

226

� �� 0� � � � � �� 0� �� Per la (4.3) questa e una condizione sull’energia 9 (fig. 4.1):

9 �>9�� = -E � ( � + 12 ) L (4 L 12)

La condizione I M�� 2( � � ) impone dunque la discretizzazione dello spettro di � , conautovalori 9�� dati dalla (4.12). Le corrispondenti autofunzioni sono

I� (�) =�� (

�) ( ) � 2 � 2 J (4 L 13)

dove�� e un fattore di normalizzazione.

Esercizio 4.1

Si confronti il risultato (4.12) con quello dell’Esercizio II.5.2.

Fig. 4.1. Lo spettro dell’oscillatore armonico lineare.

Le funzioni �� (�) che compaiono nella (4.13) sono i polinomi di Hermite,

definiti dalla relazione

� � (�) = ( D )

� ( � 2 G �G� � ( ) � 2 L (4 L 14)

Esplicitamente si ha

� � (�) = (2

�)� D � ( � D 1)

1!(2�)� ) 2 +

� ( � D 1)( � D 2)( � D 3)2!

(2�)� ) 4 + L�L�L (4 L 15)

I polinomi di Hermite di grado piu basso sono riportati in Tab. 1.Corrispondentemente si ottengono le funzioni dei primi livelli dello spettro

energetico dell’oscillatore armonico lineare quali riportati in fig. 4.2. Si osservinol’alternanza di autofunzioni pari e dispari e il numero di nodi della funzione d’onda,individuato dal valore di � .

227

�� Tab. 1. Polinomi di Hermite di grado piu basso.

�0( � ) = 1

�1( � ) = 2 �

�2( � ) = 4 � 2 � 2

�3( � ) = 8 � 3 � 12 �

�4( � ) = 16 � 4 � 48 � 2 + 12

I polinomi di Hermite soddisfano a due utili relazioni,

� �� = 2 � �� ) 1 J (4 L 16)

�� +1 = 2� �� D 2 � �� ) 1 J (4 L 17)

mediante le quali si puo verificare il seguente risultato:

� + �

) � G� ( ) � 2 �� (

�) �� (

�) =

�� 2 � � ! � �� L (4 L 18)

Grazie alla (4.18) si ottiene la normalizzazione�� delle autofunzioni (4.13), cioe

�� = �

� � 2 � � !� 1 � 2

=� F�� -E � 1 � 4

(2� � !) ) 1 � 2 L (4 L 19)

Nella (4.12) � assume i valori � = 0 J 1 J 2 J�L�L�L e quindi l’autovalore nullo perl’energia non e consentito. L’autovalore piu basso 9 0 = 1

2-E � viene indicato come

energia di punto zero. Ad esso corrisponde un’autofunzione che, per la (4.13),ha un andamento gaussiano: pertanto, in accordo con le considerazioni fatte alparagrafo IV.7, lo stato fondamentale descrive una situazione di minima indeter-minazione. L’indeterminazione � : della posizione della particella nel suo statofondamentale e pari a: � : = � � � = 1 � (

�2 ). Pertanto l’indeterminazione

dell’impulso e � � = -E � (2 � : ) = -E � � 2, cui corrisponde un’energia cinetica me-dia � �� = ( � � )2 � (2 F ) = 1

4-E � . Per il teorema del viriale applicato all’oscillatore

armonico lineare (cfr. Esercizio IV.10.3), deve essere � �� = � ? � e quindi l’energiamedia nello stato fondamentale e proprio pari all’energia di punto zero: 9 = 1

2-E � .

Cio spiega il motivo per cui non e possibile l’autovalore nullo, cui corrisponderebbela particella ferma nell’origine ( �2: = � � = 0).

Nella fig. 4.2 e anche riportata la densita di probabilita di presenza ! I � ! 2,confrontata con la linea tratteggiata che indica la distribuzione di probabilita classica

228

� �� 0� � � � � �� 0� ��

Fig. 4.2. Le prime quattro autofunzioni dell’oscillatore armonico lineare: in tratteggio l’anda-mento della distribuzione di probabilita classica.

�� ( : ). La probabilita classica di trovare la particella nell’elemento G : e proporzionaleal tempo che la particella spende nell’elemento G : , cioe G

�= G : � � . Percio

�� ( : ) G : � G :� =1� G :� : 2� � , D : 2

J (4 L 20)

dove : 2� � , e il punto di massima elongazione, che viene fissato dall’energia totale:

� 2� � , = 2 : 2� � ,= 2 2 9F�� 2

=2 9-E � = L (4 L 21)

Tale probabilita viene sempre meglio approssimata dalla soluzione quantistica alcrescere del numero quantico � (fig. 4.3), cioe quando, al crescere dell’energiadi eccitazione, la spaziatura dei livelli diventa sempre meno apprezzabile rispettoall’ammontare degli autovalori. In tal caso la discretizzazione dei livelli energetici

229

�� introdotta dalla descrizione quantistica finisce per diventare trascurabile di fronteai grandi valori di energia coinvolti e quindi lo spettro tende ad approssimare lasituazione classica di valori continui di energia. Questa e appunto la situazioneprevista dal principio di corrispondenza.

Fig. 4.3. Distribuzione di probabilita classica e quantistica per lo stato � = 10 dell’oscillatorearmonico lineare.

Esercizio 4.2

Si scriva l’equazione agli autovalori per la hamiltoniana dell’oscillatore armonicolineare nella rappresentazione degli impulsi e se ne trovino le soluzioni.

Esercizio 4.3

Mostrare che l’energia di un oscillatore armonico lineare, dotato di carica elettrica� e sottoposto a un campo elettrico uniforme E diretto come l’asse � , e:

� = -�� ( � + 12 ) � � 2 �E � 2

2 � 2

[Suggerimento: nel risolvere l’equazione agli autovalori per la hamiltoniana�

=� 2 � (2 ) + 12 � 2 � 2 + � �E � � , si esegua il seguente cambiamento di variabile: ��

� � � �E � � ( � 2).]

� �� 8� "��6 �� *� �� +5� �3 7��+ �� Lo studio del moto di una particella nello spazio a tre dimensioni e in generale

complicato dal fatto che nella hamiltoniana quantistica l’energia cinetica e tradotta da

230

� � � � �� un operatore che nello spazio delle posizioni contiene il laplaciano. Di conseguenza,l’equazione agli autovalori diventa un’equazione differenziale alle derivate parziali(di secondo ordine) nelle variabili : J��1J�� . Molti problemi fisici pero implicano unpotenziale dipendente solo dalla distanza � da un punto fisso, corrispondente a uncampo di forze centrali. In tal caso la hamiltoniana

� =� 2

2 F + ? ( � ) (5 L 1)

commuta con� 2 J �� e � :

[ � J � 2] = [ � J � � ] = [ � J�� ] = 0 L (5 L 2)

Cio si puo riconoscere facilmente se si riscrive in coordinate polari il laplacianoassociato a � 2 (cfr. Esercizio III.7.2, eq. (III.7.21)):

2 = 2 : 2

+ 2 � 2

+ 2 � 2

=1� 2

�� 2

� � +1� 2

%1

sin � �

�sin � � � +

1sin2 �

2 �2

� L (5 L 3)

Nella parentesi graffa della (5.3) compare l’operatore� 2, come espresso nell’equa-

zione (IV.2.39), per cui

2 � 1� 2

�� 2

� � D 1-E 2 � 2

� 2 L (5 L 4)

Pertanto la hamiltoniana (5.1) puo riscriversi (cfr. Esercizio I.1.14)

� =� ! +

� 2

2 F � 2+ ? ( � ) J (5 L 5)

dove l’operatore

� ! = D-E 2

2 F 1� 2

�� 2

� � (5 L 6)

puo interpretarsi come l’operatore di energia cinetica per il moto radiale.Allora le autofunzioni di � devono essere anche simultaneamente autofunzioni

di� 2 J �� e � . Percio conviene cercare le soluzioni dell’equazione agli autovalori

per � ,

� I (r) = 9 I (r) J (5 L 7)

in coordinate polari e nella forma a variabili separate,

I (r) = � ( � ) �� ( ��J � ) J (5 L 8)

231

�� con la parte angolare data dalle armoniche sferiche, autofunzioni di

� 2 J � � e � .Infatti, tenendo conto della (5.1), la parte angolare della hamiltoniana e dovuta soloalla presenza di

� 2 che compare nel laplaciano (5.4). Sostituendo quindi la (5.8) nella(5.7), facendo agire

� 2 sull’armonica sferica e dividendo per � � � ( ��J � ), si ottiene

�D

-E 2

2 F 1� 2

�� 2

� � +-E 2

2 F�� ( � + 1)� 2

+ ? ( � ) �� ( � ) = 9 � ( � ) J (5 L 9)

cioe

� G 2

G � 2+

2� GG �

+2 F-E 2 [ 9 D ? ( � )] D � ( � + 1)

� 2� � ( � ) = 0 L (5 L 10)

La (5.10) e l’equazione per la parte radiale � ( � ) dell’autofunzione (5.8) e non puoessere risolta senza conoscere ? ( � ): si osservi pero gia fin d’ora che � ( � ) dovradipendere dal numero quantico � che interviene nella (5.10) attraverso il termineche conserva la memoria della parte angolare del laplaciano (secondo addendo nella(5.5)); tale termine viene spesso indicato come termine centrifugo, perche classica-mente costituisce il contributo di energia centrifuga quando � rappresenta la distanzarelativa in un problema a due corpi.

Talvolta puo essere conveniente eliminare la derivata prima nella (5.10). Cio sirealizza con la seguente sostituzione di funzione

� � ( � ) = � ( � ) L (5 L 11)

Infatti si ottiene

� G 2

G � 2+

2 F-E 2 [ 9 D ? ( � )] D � ( � + 1)

� 2� � ( � ) = 0 L (5 L 12)

La (5.12) ha l’aspetto di un’equazione agli autovalori per la hamiltoniana di unsistema monodimensionale, pur di considerare un potenziale efficace ? � ( � ), ottenutoaggiungendo al potenziale originale ? ( � ) il termine centrifugo,

? � ( � ) = ? ( � ) +-E 2

2 F � ( � + 1)� 2

L (5 L 13)

Per risolvere la (5.12) occorre tenere pero presente che � (0) deve essere regolare equindi, per la (5.11), occorre che sia:

� (0) = 0 L (5 L 14)

232

� � � � � �� 0� �� 0� �� "��+ � � ��+"� ��86 ��/7�' *�(�

Una semplice, ma significativa applicazione delle considerazioni del paragrafoprecedente e data dal caso in cui ? ( � ) = 0, cioe il moto avvenga liberamente in tredimensioni con valore di � fissato. Posto, al solito,

� 2 =2 F 9

-E 2

�0 (6 L 1)

e introdotta la variabile adimensionale

� = � �#J (6 L 2)

l’equazione (5.10) per la � ( � ) diventa

� G 2

G � 2+

2� GG �

+ � 1 D � ( � + 1)� 2

� �� ( � ) = 0 J (6 L 3)

che e riconoscibile come equazione di Bessel 5. Ci sono due tipi di soluzione della(6.3), a seconda del comportamento regolare o non nell’origine. Le funzioni di Besselsferiche,

� � ( � ) = ( D )� � � � G� G � �

� sin �

� J (6 L 4)

hanno comportamento regolare; le funzioni di Neumann sferiche,

� � ( � ) = ( D )� +1 � � � G� G � �

� cos �

� J (6 L 5)

sono irregolari nell’origine.Per la (5.14) qui si vuole una � ( � ) regolare nell’origine, per cui la soluzione

particolare della (6.3) e una funzione di Bessel sferica � � ( � ), cui corrisponde un’au-tofunzione in tre dimensioni, ottenuta secondo la (5.8) moltiplicando � � ( � ) per lacorrispondente armonica sferica � � � ( � J � ):

I � � (r) = � � ( � � ) �� ( ��J � ) L (6 L 6)

Per ogni valore preassegnato del numero quantico orbitale � , che determina l’auto-valore del quadrato del momento angolare,

� 2, esistono dunque 2 � + 1 autofunzionicaratterizzate dal numero quantico azimutale F associato alla terza componentedel momento angolare,

� �. Tenendo anche presente la proprieta (IV.2.51) delle

armoniche sferiche, si vede che le funzioni (6.6) hanno parita pari o dispari a secondadel valore di � .5 Cfr. Esempio B.2.

233

�� Il caso particolare della particella libera potrebbe essere studiato facilmente an-

che in coordinate cartesiane. Allora la soluzione si potrebbe ottenere immediatamenteper separazione delle variabili : J��1J�� , con il risultato:

I (r) = I ( : J��1J�� ) = ( � k � r L (6 L 7)

Fig. 6.1.

In questo caso pero la soluzione non e anche autofunzione di� 2 J � � J�� : e piuttosto

una combinazione lineare delle soluzioni I � � trovate in coordinate polari. Infatti perl’onda piana ( � k � r vale in generale il seguente sviluppo 6:

( � k � r = 4 ��

� �� ( � � ) �� ( ��J � ) � �� ( J � ) J (6 L 8)

dove J � sono gli angoli polari del vettore k (fig. 6.1). Si vede dunque che l’ondapiana e una combinazione lineare di soluzioni del moto libero, � � ( � � ) � � � ( � J � ), afissato valore del momento angolare

� 2 e della sua terza componente� �

.La soluzione in coordinate cartesiane e facile da ottenersi, ma non tiene conto

delle proprieta di simmetria (5.3) del problema.

� ��#�� /� &�8 �� *+"� �*+�6 �� 7 ��+��'�*� 6 ��/0�� * �Il potenziale ? ( � ) sia quello dovuto a una molla elastica in tre dimensioni:

? ( � ) = 12 F�� 2 � 2 L (7 L 1)

6 Lo sviluppo dell’onda piana in termini di armoniche sferiche e dovuto a Lord Rayleigh che lo dimostroal � 334 del suo libro.J.W. Strutt (Baron Rayleigh): The Theory of Sound, MacMillan, Londra, vol. I, 1877, vol. II, 1878; ed.americana, Dover Publ., New York, 1945.

234

� �� 0� � � � � � � � �� 0� �� Se si pone

- 2 =-EF�� J (7 L 2)

=2 9-E � J (7 L 3)

e si introduce la variabile adimensionale

�=� - J (7 L 4)

l’equazione (5.12) si riscrive:

� G 2

G�

2+ ( D � 2) D � ( � + 1)�

2� � (

�) = 0 L (7 L 5)

Questa equazione ha un punto singolare (essenziale) per� 2 + 4 e un punto di

singolarita fuchsiana 7 per� 2 0. Nel primo caso la soluzione si comporta per

grandi�

come ( � � 2 � 2, ma per avere una funzione M � 2( � � 3) occorre scegliere:

� (�) � ( ) � 2 � 2 J � 2 + 4<L (7 L 6)

Per� 2 0 si puo porre

� (�) � �� J � 2 0 (7 L 7)

e, sostituendo nella (7.5), si ottiene l’equazione determinante (cfr. eq. (B.17):

� ( � D 1) = � ( � + 1) Jcioe

� =�� + 1 JD � L

(7 L 8)

Per garantire la regolarita della funzione d’onda all’origine, equazione (5.14), occorrescegliere la soluzione � = � + 1. Pertanto nei punti regolari della (7.5) la soluzione vacercata nella forma

� (�) = ( ) � 2 � 2 � � +1 � (

�) J (7 L 9)

o anche, ponendo

� =� 2 J (7 L 10)

7 Per la definizione di singolarita fuchsiana, si veda all’Appendice B.

235

��

2 � = � + 1 J (7 L 11)

nella forma

� ( � ) = ( ) � � 2 � � � ( � ) L (7 L 12)

Con queste posizioni la (7.5) diventa un’equazione regolare per � ( � ):

� � G 2

G � 2+ ( � D � ) GG � D

& � � ( � ) = 0 J (7 L 13)

dove

&= D

�14 D � D 1

4 � J (7 L 14)

� = 2 � + 12 L (7 L 15)

Procedendo mediante uno sviluppo in serie di potenze per la funzione � ( � ),

� ( � ) =

��

! =0

& ! � ! J (7 L 16)

la (7.13) fornisce una relazione di ricorrenza per i coefficienti& ! dello sviluppo in

serie:

( � + 1)( � + � )& ! +1 = ( � +

&)& ! L (7 L 17)

Se non si tronca la serie (7.16), � ( � ) diventa del tipo ( � , con conseguente divergenzaall’infinito nella (7.9). D’altra parte per troncare la serie basta interrrompere larelazione di ricorrenza (7.17): cio si realizza per

&= D � ( � = 0 J 1 J 2 J�L�L�L ) L (7 L 18)

Questa e una condizione per gli autovalori di energia:

14 D � D 1

4 = �2Jcioe

9 = -E � ��

+ 32 � J (7 L 19)

con

�= 2 � + � L (7 L 20)

In corrispondenza del numero�

sono possibili varie combinazioni per la coppiacostituita dal numero quantico radiale � e dal numero quantico orbitale � : esiste

236

� �� 0� � � � � � � � �� 0� �� dunque degenerazione nei livelli dello spettro, secondo la Tab. 2, in cui sono riportatii numeri quantici ( �,J � ) che descrivono i primi livelli. A questa degenerazione si deveaggiungere quella proveniente dai 2 � + 1 valori del numero quantico azimutale (omagnetico) F , una volta fissato il valore del numero quantico orbitale � . In Tab. 2le lettere che indicano i primi quattro valori di � sono le iniziali delle denominazioniinglesi di alcune serie di righe dello spettro dei metalli alcalini, che ragioni storicheinducono a conservare anche nel caso dell’oscillatore armonico ( � = 0 = sharp,� = 1 = principal, G = 2 = diffuse, � = 3 = fundamental). Per � = 4 si prosegue conle successive lettere dell’alfabeto ( � = 4 J E = 5 J�L�L�L ).

Tab. 2. Numeri quantici dei primi livellidell’oscillatore armonico tridimensionale.

�( � � )0 0 �

1 0�2 1 ��J 0 G3 1� J 0 �4 2 �*J 1 G J 0 �5 2� J 1 �J 0 E

Per la costruzione delle autofunzioni si puo procedere con la relazione di ricor-renza (7.17) a partire da un arbitrario

&0 che viene successivamente fissato con la

normalizzazione. Alternativamente si puo riconoscere, sulla base della teoria gen-erale delle equazioni differenziali ordinarie, che l’equazione (7.13) e del tipo (B.59)che ha per soluzione la funzione ipergeometrica confluente:

�( � ) � �

(& J � ; � ) = 1 +

&��1!

+

&(&

+ 1)� ( � + 1)

� 2

2!+ L�L�L (

& ; 0) L (7 L 21)

Se&

= D � con � intero non negativo, la serie (7.21) si tronca a un polinomio,

�( D �,J � ; � ) = 1 D �

� � +� ( � D 1)� ( � + 1)

� 2

2!+ L�L�L + ( D )

� ( � D 1)!( � + � D 1)!

� � J (7 L 22)

che puo anche riscriversi

�( D �,J � ; � ) = � ( � ) � !

��

� =0

( D )� � � � � ! � ( � + � )( � D � )! � ) 1 L (7 L 23)

Nella (7.23) si e introdotta la funzione speciale � ( � ) che generalizza il fattoriale al casodi argomento non intero e le cui proprieta piu utili qui sono date dalle (B.50)–(B.52).

237

�� Tab. 3. Funzioni d’onda radiali dell’oscillatore armonico tridimensionale.

( � � ) �� ( )�� = [2 � ! � ( � +

�+ 3

2 )]1 2� � � � ��

� =0

( � )� � 2�

2 � � [ � ! � (�

+ � + 32 )( �� )!] � 1 exp

�� 1

2

2�2 �

0 � = 2 � � 14

� � 32 exp

�� 1

2

2�2 �

0� =2 � 2

� 3� � 1

4

� � 52 exp

�� 1

2

2�2 �

0 � =4

� 15� � 1

4

� � 72 2 exp

�� 1

2

2�2 �

0 � =4 � 2

� 105� � 1

4

� � 92 3 exp

�� 1

2

2�2 �

1 � =� 2

� 3� � 1

4

� � 32

�3 � 2

2�2 � exp

�� 1

2

2�2 �

1� =2

� 15� � 1

4

� � 52

�5 � 2

2�2 � exp

�� 1

2

2�2 �

1 � =2 � 2

� 105� � 1

4

� � 72 2

�7 � 2

2�2 � exp

�� 1

2

2�2 �

2 � =2 � 10

� 3� � 1

4

� � 32

�3

4� 2�

2+

1

5

4�4 � exp

�� 1

2

2�2 �

2� =� 35

� 3� � 1

4

� � 52

�1 � 4

5

2�2

+4

35

4�4 � exp

�� 1

2

2�2 �

2 � =� 42

� 5� � 1

4

� � 72 2

�1 � 4

7

2�2

+4

63

4�4 � exp

�� 1

2

2�2 �

3 � =� 15

2� � 1

4

� � 32

�1 � 2

2�2

+4

5

4�4� 16

105

6�6 � exp

�� 1

2

2�2 �

3� = � 35 � � 14

� � 52

�1 � 6

5

2�2

+12

35

4�4� 16

315

6�6 � exp

�� 1

2

2�2 �

3 � =� 77

� 5� � 1

4

� � 72 2

�1 � 6

7

2�2

+12

63

4�4� 16

693

6�6 � exp

�� 1

2

2�2 �

Facendo uso della funzione ipergeometrica confluente (7.21) e pretendendo chele autofunzioni siano a quadrato sommabile, occorre troncare la serie in accordo conla (7.18). Cio significa che la soluzione della (7.13) si deve assumere nella forma(7.23), cioe

� ( � ) =�

( D �,J 2 � + 32 ; � ) L (7 L 24)

Pertanto la (7.9) diventa

238

��

� (�) � � � � ( � ) =

�� +1 ( ) � 2 � 2 � � +1 � 2

� (� 2) J (7 L 25)

dove si e definito il polinomio di Laguerre

�� ( : ) =

� ( � + + 1)� ! � ( + 1)

�( D �,J + 1; : ) L (7 L 26)

Il polinomio di Laguerre puo essere ottenuto anche dalla relazione:

�� ( : ) = ( , : ) �

� ! G �G : �� ( )�, : � + � � L (7 L 27)

Nella (7.25) il coefficiente�� e il coefficiente di normalizzazione per l’intera fun-

zione radiale � � � ( � ) = � � � ( � ) � � :�� = � 2 � !-

3 � ( � + � +32 )� 1 � 2 L (7 L 28)

Per la sua determinazione viene in aiuto l’integrale

� �

0 G :2: 2( � +1) ( ) � , 2

= 12 � ( � + 3

2 ) ) � ) 3 � 2 J (7 L 29)

il cui uso ripetuto e necessario nell’integrale di normalizzazione.Nella Tab. 3 sono date esplicitamente le prime autofunzioni radiali. Il numero

quantico radiale � individua il numero degli zeri (esclusa l’origine), in quanto � el’esponente massimo del polinomio in � cui e stata ridotta la funzione ipergeometricaconfluente.

� �� 6 �'�*+5 � ��1 *�'� �Si consideri il potenziale ? ( � ) pari a quello originato per attrazione coulombiana

di una carica elettrica D ( da parte di una carica elettrica � ( posta nell’origine delsistema di riferimento 8:

? ( � ) = D � (2

� L (8 L 1)

Se si pone

&=

-E 2F ( 2J (8 L 2)

8 Si adottano le unita di misura del sistema di Gauss (cfr. Tab. D.1 e Tab. D.2), per cui e � 2 -�� 1 137.

239

��

9 0 = ( 2& J (8 L 3)

=99 0J (8 L 4)

e si introduce la variabile adimensionale

� =�& J (8 L 5)

l’equazione (5.12) diventa:

� G 2

G � 2+ 2 +

2 �� D � ( � + 1)

� 2� � ( � ) = 0 L (8 L 6)

La risoluzione di questa equazione dipende dal segno di . Infatti nel caso delpotenziale coulombiano (8.1) si possono avere stati legati per ; 0 e stati nonlegati per = 0. Corrispondentemente, le autofunzioni appartenenti ad autovalorinegativi di energia sono autofunzioni proprie M � 2( � � 3), mentre quelle appartenentiad autovalori positivi sono autofunzioni improprie.

Si consideri dunque dapprima il caso

; 0 (8 L 7)

e si ponga

� 2 = D 2 = 0 L (8 L 8)

Per � 2 4 la (8.6) possiede un punto di singolarita essenziale, nel quale il compor-tamento della funzione � ( � ) e del tipo ( �� . Pero solo l’andamento asintotico

� ( � ) � ( ) �� J � 2 + 4<J (8 L 9)

e accettabile, se si vuole una soluzione che sia M � 2( � � 3).La (8.6) ha nell’origine un punto di singolarita fuchsiana come quello che si e

incontrato per l’oscillatore armonico tridimensionale. Dunque occorre avere

� ( � ) � � � J � 2 0 J (8 L 10)

con � che, da un punto di vista matematico, puo assumere i valori (7.8). Anche quipero si vuole soddisfare la (5.14) e quindi si puo accettare solo il valore � = � + 1.Pertanto la soluzione della (8.6) per ; 0 va cercata nella forma

� ( � ) = ( ) �� +1 � ( � ) J (8 L 11)

dove la funzione�

( � ) soddisfa all’equazione

240

�� Tab. 4. Funzioni d’onda radiali dell’atomo di idrogeno.

( �� ) �� ( � ) �� = ��

1 � = 2 (�) � = 2& ) 3 � 2 (�) ! � �

2 � = 1�2

�1 D 1

2� � ( ) � � 2 = 1�

2

& ) 3 � 2�1 D 1

2!� � ( ) ! � 2 �

2� = 12�

6� (�) � � 2 = 1

2�

6

& ) 5 � 2 � (�) ! � 2 �3 � = 2

3�

3

�1 D 2

3� + 2

27� 2 � ( ) � � 3 = 2

3�

3

& ) 3 � 2�1 D 2

3!� + 2

27! 2

� 2 � ( ) ! � 3 �3� = 8

27�

6��1 D 1

6� � ( ) � � 3 = 8

27�

6

& ) 5 � 2 ��1 D 1

6!� � ( ) ! � 3 �

3 G = 481�

30� 2 ( ) � � 3 = 4

81�

30

& ) 7 � 2 � 2 ( ) ! � 3 �4 � = 1

4

�1 D 3

4� + 1

8� 2 D 1

192� 3 � (/) � � 4 = 1

4

& ) 3 � 2�1 D 3

4!� + 1

8! 2

� 2 D 1192

! 3

� 3 � (�) ! � 4 �4� = 5

16�

15��1 D 1

4� + 1

80� 2 � (�) � � 4 = 5

16�

15

& ) 5 � 2 ��1 D 1

4!� + 1

80! 2

� 2 � (/) ! � 4 �4 G = 1

64�

5� 2

�1 D 1

12� � (�) � � 4 = 1

64�

5

& ) 7 � 2 � 2�1 D 1

12!� � (/) ! � 4 �

4 � = 1768�

35� 3 ( ) � � 4 = 1

768�

35

& ) 9 � 2 � 3 ( ) ! � 4 �

� � � ( � ) + 2�� + 1

� D � � � � ( � ) D 2�

( � + 1) D ��

�( � ) = 0 J (8 L 12)

che si ottiene dalla (8.6) sostituendovi la (8.11). Nella (8.12) occorre escludere � = 0e il punto all’infinito, in quanto la funzione

�( � ) va cercata nei punti in cui la (8.6) e

regolare. Dunque, ponendo

: = 2� � J (8 L 13)

la (8.12) si riscrive:

� : G 2

G : 2+ (2 � + 2 D : ) GG : D

�� + 1 D �

� � � � ( : ) = 0 L (8 L 14)

La (8.14) e dello stesso tipo della (B.59) e ammette come soluzione la funzioneipergeometrica confluente. Affinche l’autofunzione sia M � 2( � � 3) occorre troncarela serie imponendo la condizione

� + 1 D � � = D � ! J (8 L 15)

241

�� dove � ! , numero quantico radiale, e un intero non negativo. La (8.15) e la condizioneche determina anche gli autovalori di energia per ; 0:

= D � 2

2 � 2J (8 L 16)

cioe

9 = D � 2 F ( 4

2 -E 2

1� 2J (8 L 17)

dove

� = � ! + � + 1 (8 L 18)

e il numero quantico principale. Il livello fondamentale si ha per � = 1 ( � ! = � = 0) ei livelli eccitati successivi si ottengono al crescere di � , con addensamento dei valoridi energia verso il valore di energia nullo. Siccome � = 1 J 2 J�L�L�L e � ! = 0 J 1 J 2 J�L�L�L ,risulta:

� = 0 J 1 J 2 J�L�L�L#J � D 1 L (8 L 19)

Inoltre ! F"! � � . Pertanto, scelto � , il livello corrispondente e degenere, escluso lostato fondamentale. L’ordine di degenerazione e dato da

� ) 1�

� =0

(2 � + 1) = � 2 L (8 L 20)

Se ci si riferisce all’atomo di idrogeno ( � = 1), la (8.17) diventa

9 = D ( 2

2& 1� 2

J (8 L 21)

dove si e utilizzata la distanza&

definita nella (8.2): essa da una misura della distanzamedia tra elettrone e protone nell’atomo di idrogeno nel suo stato fondamentale ecoincide con il raggio di Bohr,

&=

-E 2F ( 2= 0 L 529 177 249(24) � 10 ) 10 m L (8 L 22)

La quantita

12 9 0 =

F ( 4

2 -E 2 =E � � � = 13 L 605 698 20(81) eV (8 L 23)

e, a meno del segno, il valore dell’energia dello stato fondamentale: e cioe l’energiadi ionizzazione dell’atomo di idrogeno e viene detta energia di Rydberg perchecoinvolge la costante di Rydberg,

242

��

Fig. 8.1. Funzioni d’onda radiali � �� ( � ) per alcuni stati dell’atomo di idrogeno in funzione di�� .

� � =9 0

2E � =

F ( 4

4 � -E 3 � L (8 L 24)

Esercizio 8.1

Inserendo i valori numerici delle costanti che compaiono nella (8.24), verificare ilvalore della costante di Rydberg (II.4.2).

La forma dello spettro discreto (8.21) coincide con la (II.4.7), da cui segueimmediatamente la formula di Balmer (II.4.1). Infatti si ha:

-E � � 9 1 D 9 2

=E � � � � 1

� 22 D 1

� 21� L (8 L 25)

Per quanto riguarda le autofunzioni proprie, la loro parte radiale � ( � ) = � ( � ) � �e ottenibile dalla (8.11) in termini di ipergeometrica confluente,

243

��

Fig. 8.2. Distribuzione radiale di probabilita,� �� ( � ) = � 2 � � �� ( � ) � 2 , per l’elettrone in alcuni

stati dell’atomo d’idrogeno in funzione di �� .

� � � ( � ) =�� 2 � �

� � � �( D � + � + 1 J 2 � + 2; 2 � � � � ) ( ) � � � � J (8 L 26)

dove il coefficiente di normalizzazione risulta

�� =

1(2 � + 1)!

� ( � + � )!2 � ( � D � D 1)!� 1 � 2 � 2 �& � 3 � 2 L (8 L 27)

Come per l’oscillatore armonico lineare, anche qui il numero quantico radiale � ! ,che per la (8.15) tronca la serie ipergeometrica confluente a un polinomio di grado� ! in � , determina il numero di nodi dell’autofunzione radiale (esclusa l’origine).

Le prime autofunzioni radiali per l’atomo di idrogeno ( � = 1) (fig. 8.1) sonodate in Tab. 4 per le coppie di numeri quantici ( � � ). Le funzioni per l’atomoidrogenoide ( � �= 1) si ottengono da queste con la sostituzione � 2 � � .

Si ottiene la distribuzione radiale di probabilita facendo il modulo quadrato della� � � ( � ),244

��

Fig. 8.3. Distribuzione spaziale di probabilita per gli stati 1 � e 2� dell’elettrone nell’atomo diidrogeno.

Fig. 8.4. Distribuzione spaziale di probabilita per gli stati 3

�dell’elettrone nell’atomo di

idrogeno.

� � � ( � ) = � 2 ! � � � ( � ) ! 2 LEssa rappresenta la densita di probabilita di trovare l’elettrone dell’orbitale ( � � ) adistanza � dal centro del nucleo atomico. In fig. 8.2, relativa all’atomo di idrogeno,

245

�� si osserva che l’andamento di questa densita di probabilita in parte giustifica l’ideadi orbita descritta dall’elettrone nel suo moto intorno al nucleo, come ipotizzatanel modello di Bohr: i massimi associati alla distribuzione relativa ai vari livellienergetici individuano la distanza media piu probabile, pari all’incirca al raggio dellacorrispondente orbita di Bohr.

Per ottenere la distribuzione di probabilita nello spazio tridimensionale, si devecoinvolgere anche la parte angolare dell’autofunzione. La configurazione nello spaziodi questa probabilita fornisce una rappresentazione pittorica della nuvola elettronicache circonda l’atomo e fornisce utili indicazioni sulla possibilita di stabilire legamicovalenti tra atomi diversi 9. Nel calcolo esplicito e conveniente utilizzare le autofun-zioni reali, ottenute come combinazione lineare delle autofunzioni � � � � � � � I

� � � ,cioe I � � 0 e

I (1)� � � =

��

2[ I � �� + I

� � ) � �� ] JI (2)� � � = D 1�

2[ I � �� D I

� � ) � �� ] LNelle fig. 8.3 e 8.4 sono riportate le distribuzioni spaziali, a fissato � , relative

agli orbitali 1 � , 2� e 3 G .Si consideri ora il caso

= 0 (8 L 28)

e si ponga

� 2 = 2 = 0 L (8 L 29)

In questo caso, per � 2 4 nella (8.6), il comportamento della � ( � ) e del tipo

� ( � ) � ( � � � + � ( ) �� J � 2 4<J (8 L 30)

con

e � coefficienti complessi. L’andamento oscillatorio della (8.30) dimostra cheora si ha a che fare con autofunzioni improprie �M � 2( � � 3).

Per � 2 0 l’andamento e ancora del tipo (8.10) con � = � +1. Percio le soluzionisi possono cercare nei punti regolari mediante uno sviluppo in serie,

� ( � ) = ( � �� +1

��

� =0

&� � � J (8 L 31)

che, inserito nella (8.6), fornisce una relazione di ricorrenza per i coefficienti:

9 H.E. White: Pictorial Representations of the Electron Cloud for Hydrogen-Like Atoms [Rappresentazionipittoriche della nuvola elettronica per atomi di tipo idrogenoide], Physical Review 37 (1931) 1416–1424.

246

��

[( � + � + 2)( � + � + 1) D � ( � + 1)]&

� +1 = 2[� � ( � + � + 1) D � ]

&� L (8 L 32)

La presenza dell’unita immaginaria nella (8.32) non permette di troncare la serieipergeometrica confluente che compare nell’autofunzione impropria (8.31). Pergrandi � si ha

&� +1 �

2� �

� + � + 2

&� � (2

� � )� +1

( � + � + 2)!

&0 L (8 L 33)

Percio la serie ipergeometrica confluente converge sempre e la (8.31) diventa

� ( � ) = ( � 2 �� +1 �( � + 1 � � � � �1J 2 � + 2; � 2

� � � ) L (8 L 34)

Non esiste alcuna limitazione sul valore di � : di conseguenza ogni valore positivodi energia e accettabile e lo spettro in questa regione e continuo, in accordo colfatto che le autofunzioni corrispondenti sono improprie. Si noti che queste soluzionisono sovrapposizione di onde progressive ( ( + �� ) e regressive ( ( ) � � � ), distorte perorispetto all’onda piana, in virtu del fatto che c’e il potenziale coulombiano chediffonde l’elettrone non legato.

Esercizio 8.2

Utilizzando le funzioni dell’atomo idrogenoide, valutare l’integrale

� �� 2+ � � � �� ( � ) � 2 (8 35)

verificando i seguenti risultati:

� = 1 :� �� =

�2 � [3 � 2 � � ( � + 1)] (8 36)

� = 2 :� � 2 � = � 2 � 2

2 � 2[5 � 2 + 1 � 3 � ( � + 1)] (8 37)

� = � 1 : � 1�� =

�� 2

(8 38)

� = � 2 : � 1� 2 � =

� 2

� 2 � 3( � + 12 ) (8 39)

� = � 3 : � 1� 3 � =

� � 3

� 3 �� ( � + 1)( � + 12 ) � 3 � � 1 (8 40)

247


Calcolare il valor medio dell’energia potenziale sullo stato fondamentale dell’atomodi idrogeno. Utilizzando il teorema del viriale calcolare quindi il valor medio dell’energiacinetica.

Esercizio 8.4

Valutare le modifiche da apportare allo spettro dell’atomo di idrogeno se si consideral’atomo muonico corrispondente, nel quale cioe l’elettrone e sostituito da un mesone �

�,

la cui carica e uguale a quella dell’elettrone, ma la cui massa e 207 volte maggiore.

248

VI. RAPPRESENTAZIONI

“La nuovameccanicaquantisticaconsistedi unoschemadi equazionichesonostrettamenteanaloghealle equazionidella meccanicaclassica,con la differenzafondamentaleche le variabili dinamichenon obbedisconoalla leggecommutativadellamoltiplicazione,masoddisfanopiuttostole bennotecondizioniquantiche.Neseguechele variabili dinamichenonsi possonosupporrenumeriordinari( � -numeri),male si possonochiamarenumeridi tipo speciale( � -numeri). La teoriamostrachequesti � -numeripossonoesserein generalerappresentatida matrici i cui elementisono � -numeri(funzioni di unparametrotemporale).

“Quandosi sonofatti i calcoli coni � -numerie si sonoottenutetutte le matricichesi vogliono,sorgeil problemadi comeottenerei risultati fisici dallateoria,cioecomeotteneredallateoriai � -numeridaconfrontareconi valori sperimentali.”

Cosı Paul Adrien MauriceDirac (1902–1984)inizia il suosestolavoro sullapropostadi unanuovameccanica1.

1 Stimolatodall’articolo di Heisenberg, Dirac nel suo primo lavoro dimostrala corrispondenzatra leparentesidi Poissonclassichee i commutatoriquantistici. A questosegue uno studio dello spettrodell’idrogeno,unageneralizzazionequantisticadelle variabili d’angoloe d’azioneclassichee un primotentativo di tenereconto di effetti relativistici con applicazioneall’effetto Compton. La comparsadeilavori di Schrodinger, con l’importanzaassegnataall’equazioneagli autovalori della hamiltoniana,glisuggeriscela formulazionegeneraledel suoapproccioalgebricoagli operatoriquantisticiin un quintolavoro,in cui anchesviluppail metododelleperturbazionidipendentidal tempo(cfr. cap.XI) estabiliscela connessionetra simmetriadella funzioned’ondae statisticadelle particelle(cfr. cap. X). Infine, inquestosestolavoro nel giro di un anno,avvia la nuova formulazioneastrattache permettedi chiarirel’interpretazionefisicadellameccanicaquantistica.P.A.M. Dirac:The fundamentalequationsof quantummechanics[Le equazionifondamentalidella meccanicaquan-tistica], Proceedingsof the Royal Societyof LondonA 109 (1925)642–653,ricevuto dalla rivista il 7novembre1925;Quantummechanicsand a preliminary investigationof the hydrogen atom [Meccanicaquantisticaeun’indagine preliminare dell’atomodi idrogeno], Proceedingsof the Royal Societyof London A 110(1926)561–579,ricevuto dallarivistail 22gennaio1926;

249

�� I � -numeridi Dirac sonole matrici di Heisenberg o, equivalentemente,gli ope-

ratori autoaggiunti� uantisticiassociatialle variabili dinamiche� lassiche.Secondoquantodiscussonel capitoloIV, un operatore� soddisfa un’equazionedi moto, la(IV.10.9), � �� =

� �� +�-� [ "!�� ] !

che ha la stessastrutturaformaledell’equazionedi moto della variabiledinamicaassociata,pur di assumerela corrispondenza(IV.10.10) tra commutatoredi dueoperatorieparentesidi Poissontraleduecorrispondentivariabilidinamicheclassiche:# �$!� &%('*) �

-� [ �$!� ] +Medianteil risultato(IV.10.4),��,�.-/�10 = 2 � �� 43 +

�-�5- [ 6!�� ] 0�!

che generalizzail teoremadi Ehrenfeste che coinvolge i valori di aspettazionedegli operatoricalcolaticonla funzioned’ondacherisolve l’equazionedi Schrodin-ger, si stabiliscel’evoluzionetemporaledi quelli cheDirac chiama � -numerie chein definitiva sonole quantita direttamenteconfrontabilicon i dati sperimentali.Suquestorisultatoriposaanchela dimostrazionedi Schrodingerchela suaformulazionemediantel’equazioned’ondae equivalenteaquelladellameccanicadellematrici.

Da un punto di vista pratico pero il problemache si poneDirac e quello dievitarela risoluzionedell’equazionedi Schrodinger, necessariasesi richiedela fun-zioned’ondacon cui si calcolanoi � -numeri: l’idea e quelladi ricorrerea qualchemetodoalgebricocheaggiri le difficolta matematicheconnessecon la risoluzionedi un’equazionedifferenziale(alle derivateparziali), qualealmenosi presentain-evitabilmentel’equazionedi Schrodinger. Il metodoalgebricoin realta e quellogiaimplicitamentesuggeritodall’approcciodellameccanicadellematrici: gli operatoriquantisticiassociatialle variabili dinamichevengonorappresentatidamatrici. Oc-correpero definiremeglio i termini di questotipo di rappresentazionematematica.Dirac lo fa attraversoquellachechiamala teoriadelle trasformazioni2. In questo

Theeliminationof thenodesin quantummechanics[L’eliminazionedei nodi in meccanicaquantistica],Proceedingsof the Royal Societyof LondonA 111 (1926)281–305,ricevuto dalla rivista il 27 marzo1926;Relativityquantummechanicswith an applicationto Comptonscattering[Meccanicaquantisticarela-tivistica con un’applicazionealla diffusioneCompton], Proceedingsof the Royal Societyof LondonA111 (1926)405–423,ricevuto dallarivista il 29 aprile1926;Onthetheoryof quantummechanics[Sulla teoriadellameccanicaquantistica], Proceedingof theRoyalSocietyof LondonA 112 (1926)661–677,ricevuto dallarivistail 26agosto1926;Thephysicalinterpretation of the quantummechanics[L’interpretazionefisica della meccanicaquan-tistica], Proceedingsof the Royal Societyof LondonA 113 (1927)621–641,ricevuto dalla rivista il 2dicembre1926.2 AncheJordanindipendentementesviluppo un analogometodoperrisolvereil problemaagli autovalori.

250

�� modosi trattadi trovarela rappresentazionein cui la matricerisultadiagonale:i suoielementidiagonalicostituisconogli autovaloridell’operatorerappresentatodallama-tricestessa.

La formulazionedi Dirac si fondasull’intuizionechegli elementidi matricesipossanovisualizzarecomeunageneralizzazionedel prodottoscalaretra vettori inopportunispaziastrattiechela diagonalizzazionedellamatricesi ottengaessenzial-mentetramitela giustasceltadei versoridel sistemadi riferimentoin questispazi:tali versoririsultanocosı autovettoridell’operatoreassociatoalla matricediagonale.Lo statodel sistemavienepercio rappresentatodaun vettorenello spaziodi Hilbertastrattoedevolvenel temposecondol’equazionedi Schrodinger3.

Conla notazionedi Dirac la formulazionedellameccanicaquantisticaacquistaunavesteelegantee di immediatacomprensione,chiarendoil parallelismotra de-scrizioneclassicaedescrizionequantistica.

Lafisicaclassicatrattail problemadelmotoin terminidi unatraiettoriadescrittada un punto rappresentativo del sistema:il puntosi muove nello spaziodelle fasisottesodallevariabilicanonicheedailoromomenticoniugati. Lesuccessiveposizioniassunteda tale puntosonodeterminatedalle equazionidel moto in unadelle varieformeequivalenti(di Lagrange,di Hamiltono in terminidi parentesidi Poisson).Laconoscenzaistanteper istantedelle coordinatedi tale puntopermettedi conoscereancheil valorenumericoassuntodaunaqualsiasivariabiledinamica,chein generalee funzionedi tali coordinate.

Quantisticamenteil sistemavienedescrittodaunvettorechesi muovein unop-portunospaziodi Hilbert astratto,soggettoall’evoluzionetemporalefissatasecondol’equazionedi Schrodinger. Le variabili dinamichesonoassociatea operatoricheagisconoin questospaziodi Hilbert e sonorappresentatida matrici (in generaleanumeroinfinito di dimensioni). Rappresentazioniequivalenti sonopossibili, comeclassicamentee possibileeseguire trasformazionicanonichechelascianoinalteratele parentesidi Poissontra le variabili dinamiche.La sceltadellarappresentazioneedettatadi volta in volta daragionidi opportunita, in relazionealle osservabili chesivoglionomisurare:i valori ottenibili daunamisurazionesonoinfatti sologli autoval-

P. Jordan: Uber eineneueBegrundungder Quantenmechanik [Una nuova fondazionedella meccanicaquantistica], Zeitschrift fur Physik40 (1927)809–838,ricevuto dalla rivista il 18 dicembre1926;UbereineneueBegrundungder Quantenmechanik. II. [Una nuova fondazionedella meccanicaquantistica.II.] , Zeitschrift fur Physik44 (1927)1–25,ricevuto dallarivistail 3 giugno1927.3 Il primo vero tentativo di darefondamentomatematicoalla meccanicaquantisticae dovuto a DavidHilbert (1862–1943),Johann(John)von Neumann(1903–1957)e LotharWolfgangNordheim(n. 1899)che,lavorandoaGottingennell’atmosferadellascuoladi MaxBorn,conoscevanoperfettamentei problemimatematicie interpretativi postidallanascentemeccanicaquantistica.D. Hilbert, J.vonNeumanneL. Nordheim:UberdieGrundlagenderQuantenmechanik[Sui fondamentidella meccanicaquantistica], MathematischeAnnalen98 (1927)1–30.La nozionedi spaziodi Hilbert astrattofu introdottada von Neumannche,a partireda unaconferenzatenutaa Gottingenil 20 maggio1927(Mathematische Begrundungder Quantenmechanik [Fondazionematematicadellameccanicaquantistica], GottingenNachrichten(1927)1–57),riuscı achiarirelastrutturamatematicadellameccanicaquantisticain untestofondamentaleancoraoggi: MathematischeGrundlagender Quantenmechanik, Springer, Berlino, 1932; trad. inglese: MathematicalFoundationsof QuantumMechanics, PrincetonUniversityPress,1955.

251

�� ori dell’operatoreassociatoall’osservabileesonoidentificatidalladiagonalizzazionedellacorrispondentematrice.

In questocapitolo,dopounadiscussionedellanozionedi funzionalelineare,chee alla basedellaformulazionedi Dirac,vienepresentataunateoriaelementaredellerappresentazioni.Essavieneillustratacon alcuni esempisignificativi, in partegiafamiliari e in partenuovi edi notevole interessedalpuntodi vistafisico. Lo scopoequellodi aiutareacomprendereunaformulazioneastrattaedi vedernel’equivalenzacon la teoriacosı comee statafinora sviluppata: ne scaturiscecosı unapossibiledescrizionedei fenomenifisici indipendentedalla rappresentazioneche si sceglienel casospecificoper la soluzionepraticadel problema.Vengonosuccessivamenteintrodottele trasformazioniunitarieper passareda unarappresentazionea un’altraequivalente:vienepostol’accentosul fattochein generalele trasformazioniunitarieriflettonoproprieta di simmetriadel sistemae, comecasoparticolare,sonodiscussigli operatoridi rotazione4. Il capitolo si chiudecon un paragrafodedicatoa uncasoparticolaredi simmetrianon descrittada un operatoreunitario: l’inversionetemporale.

798;:�<,:>=@?A;BDCFEHGJI;K/?L9MON�K@P$KQA�G,RNella descrizionequantisticadi un sistemafisico un ruolo centralee attribuito

al concettodi statodel sistema,che,secondoi postulatiriassuntial paragrafoIV.11,e rappresentatodaun elementodello spaziodi Hilbert. La teoriapuo esseresvilup-patain modopiu generaledi quantopropostonel capitoloIV, in cui si e utilizzatouno spaziovettoriale(lineare)complessocostituitodalle funzioni S ( T ) a quadratosommabile.In realta e convenientericorrerea unospaziodi Hilbert U astratto, incui i vettori, chiamati“ket” daDirac e indicati con la notazioneV WF0 , soddisfanoco-munqueil principiodi sovrapposizionelinearechedeveesseregarantitoin meccanicaquantistica.Dunque,perogni V WF0�!JVYX;0[Z6U , ancheV \,0 = �

1 V WF0 + � 2 VYX;0[Z]U^+ (1 + 1)

Le lettereW.!_X`!a\ servonoaindicarecollettivamentetutti i numeriquanticinecessariaspecificarelo statocorrispondente;i numeri � 1 ! � 2 sonoin generalenumericomplessi,in quantoU e unospaziovettorialecomplesso.

4 La connessionetra proprieta di simmetriae leggi di conservazioneeragia notanell’ambitodellamec-canicaclassica:bastaricordareil teoremadi AmalieEmilie (Emmy)Noether(1882–1935)sull’esistenzadi unacorrenteconservataogni qualvolta la lagrangianarisulti invarianteper unatrasformazionedi co-ordinate.Il teoremadi Noethersi trasferisceinalteratoin unaqualsiasiteoriadi campo,siaessaclassicao quantistica. Tuttavia l’esplorazionedelle implicazioni delle proprieta di simmetriasulla descrizionequantisticadi unsistemaeprincipalmentedovutaaEugenePaulWigner(1902–1994)cheapplico la teoriadei gruppi a problemi di fisica in un testofondamentale,edito in tedesconel 1931 e successivamentetradottoin inglese.E.P. Wigner: Gruppentheorieundihre Anwendungauf die Quantenmechanikder Atomspektren, Vieweg& Sohn,Braunschweig,1931.Traduzioneinglesedi J.J.Griffin: GroupTheoryandits Applicationto theQuantumMechanicsof AtomicSpectra, AcademicPress,New York, 1959.

252

b,��dc>eJfg��a��>h��jik�l�m��nLa formulazionedi Diracebasatasullenozionidi funzionalelineareedi spazio

duale. Si consideriperil momentounospaziovettorialelineareU anumerofinito odi dimensioni.Si definiscefunzionalelinearesu U unacorrispondenzalinearecheassociaaogni V WF0[Z]U unnumerocomplessop ( W ). Pertantoseq V WF0rZsUutvp ( W ) !risultaanche V \,0 = �

1 V Ww0 + � 2 VYX;0xtvp ( \ ) = �1 p ( W ) + � 2 p ( X ) +

Vale il seguenteteorema: a un qualunquefunzionalelinearesu U corrispondeununico VYX;0[Z]U taleche

q V WF0[ZyU il numerocomplessop ( W ) rappresentiil prodottoscalare-�X�V Ww0 .

Infatti se# VYz|{�0_% (

�= 1 ! 2 !�+�+�+J!ao ) e unabasein U , risulta

V Ww0 = }~ { =1

W�{_VYz`{�0_+Datoinoltrechesi haa chefareconfunzionalilineari,valela relazione

p ( W ) = }~ { =1

W�{dp ( z`{ ) !che,sesi pone X��{ = p ( z`{ ) !puo riscriversi

p ( W ) = }~ { =1

X��{ W {�� -�X�V Ww0;+Concio risultadefinitounivocamenteil vettore

VYX;0 = }~ { =1

p � ( z|{ ) VYz`{d0�+Da questoteoremaseguonoalcuneconsiderazioni. Innanzi tutto il teorema

implica chei funzionali lineari p ( W ) su U sianoin corrispondenzabiunivocacon ivettori VYX;0rZ�U . Essi formanouno spaziovettorialelineare U�� di dimensioneo ,chesi chiamaspaziodualedi U . Con Dirac si indichinogli elementidi Ur� con lanotazione-mW9V e li si chiamino“bra”. Le relazioniX �{ = p ( z|{ ) � -�X�VYz|{�0_! X_{ = p � ( z|{ ) !

253

�� mostranoche la corrispondenzabiunivoca tra U e il suo duale Ur� e antilineare.Quindi valgonole seguentiproprieta:W ) al ket V WF0[Z]U corrispondeil bra -mW9VwZyUr� eviceversa;X ) se -mW�V�!`-�X�V1Z�U � , il bra -�\�V = � �1 -mW�V + � �2 -�X�V�Z�U � corrispondeal ket V \,0 =�

1 V WF0 + � 2 VYX;0�Z]U ;� ) -mW9VYX�0 = -�X�V WF0 � ;�) -mW9V Ww0�� 0, dove il segnodi uguaglianzavalesee solose V Ww0 � 0. Quindi -mW9V Ww0

e la normadel vettore V WF0 .In conclusione,il simbolo -�X�V Ww0 hapropriotuttele proprietadelprodottoscalare

di dueelementi V WF0�!JVYX;0OZ�U , in perfettaanalogiacon le proprieta (IV.1.2)–(IV.1.6)del prodottoscalare(IV.1.1) tra due funzioni �j! ��Z�� 2. Percomee statascritta,la parentesi-�X�V Ww0 , chein gergo vienedenominatacol vocaboloinglese“bracket” (=parentesi), vienematerialmentespezzatanelprodottotrail bra -�X�V eil ket V WF0 . Questogiustificai nomi inventatidaDirac peri brae i ket 5.

A livello quantisticointeressanoin generalespazidi Hilbert U anumeroinfinitodi dimensioni.Le considerazioniprecedentisonotuttevalide,purchesi considerinofunzionalilineari continui6.

Si osserviinoltreche,pergli stessimotivi di interpretazionechehannoimpostol’uso di funzioni Z�� 2, nello spazioU interessanovettori a normafinita. Convienedunqueutilizzarevettorinormalizzati,cioe -�W�V WF0 = 1: in tal casorestaindeterminataunafase,in quantoil vettore z {�� V WF0 , con � reale,descrive lo stessostatofisico. Lateoria e allora sviluppataa menodi un arbitrario fattoredi fasedi modulo uno ecomunea tutti i vettori,macio e senzaconseguenze.

Nello spazioU hainteressel’azionedegli operatorie in particolaredegli oper-atori lineari,cioeoperatori� tali chesia�� 1 V WF0 + � 2 VYX;0a� = �

1 ��V WF0 + � 2 ��VYX;0_+ (1 + 2)

Perapplicazionedi unoperatore� al ket V WF0 si ottieneil ket V W � 0 :V W � 0 = �rV Ww0 � V �OWF0�+ (1 + 3)

5 P.A.M. Dirac: Theprinciples of quantummechanics, Oxford, The ClarendonPress,1930 e succes-sive edizioni, la quartadelle quali e tradottain italiano [I principi della meccanicaquantistica, PaoloBoringhieri,Torino,1959].6 E questoil contenutodel teoremadi rappresentazionedei funzionali lineari continui,notoanchecometeoremadi Riesz–Frechet. Il teoremafu annunciatonel 1907simultaneamentee indipendentementedaFrigyes(Frederic) Riesz(1880–1956)e daRene MauriceFrechet(1878–1973).Rieszripresepiu voltel’argomentoproducendodiversedimostrazionifino a quella riportataa p. 61 del testodi F. RieszeB.Sz.-Nagy:Leconsd’analysefunctionnelle, loc. cit., n. 11 p. 154.F. Riesz:Suruneespecedegeometrie analytiquedessystemesdefonctionssummable[Su unaspeciedigeometriaanaliticadeisistemidi funzionisommabili], ComptesRendusdel’AcademiedesSciences144(1907)1409–1411.M. Frechet: Sur les ensemblesde fonctionset les operations lineaires [Sugli insiemi di funzioni e leoperazionilineari] , ComptesRendusdel’AcademiedesSciences144 (1907)1414–1416.

254

b,��dc>eJfg��a��>h��jik�l�m��nPerla corrispondenzatra U edelsuodualeUr� , ai ket V WF0 e V W � 0 devonocorrisponderebiunivocamentei bra -mW9V e -mW � V . Perstabilirecomesi ottiene -mW � V da -mW�V bastatenerepresentechel’espressione-�X�V �OWF0 e linearein V WF0 e quindi deve esistereun bra -dX�Vtaleche -�X�V ��Ww0 = -�X � V Ww0 . Cioe si deveavere-�X�V �OWF0 = -/��X�VYWF0�! (1 + 4)

VYX � 0 = � � VYX;0 � V � � X;0_+ (1 + 5)

Allora dallacorrispondenzatra V WF0 e -mW9V seguela corrispondenzatra V W � 0 della(1.3)e-mW � V = -m� � W9V = -mW�V � + (1 + 6)

Al variaredi V Ww0�Z]¡ ( � ) il prodottoscalare(1.4)definiscel’operatore�� aggiuntodi� , insiemecol suodominio ¡ ( � � ) costituitodatutti i VYX;0 percui la (1.4)everificata.Dalla (1.3)e dalla(1.6)segueche � puo agirea destra(cioe in U ) oppurea sinistra(cioe in Ur� ) tramiteil suoaggiunto� � .

Allo stessotempoil prodottoscalare-�X�V �OWF0 , al variaredi V Ww0 e VYX;0 , forniscelarappresentazionedell’operatore� in formadi matrice7 i cui elementi�£¢�¤ , ordinatiper righe secondoVYX;0 e per colonnesecondoV WF0 , sonodati appuntoda -dX�V ��Ww0 . La(1.4) indicachesi puo utilizzarela seguentenotazione:�£¢�¤ = -�X�V �OWF0 = -�X�V�/�rV Ww0��

= -/� � X�V WF0 = � -�X�V � � V Ww0� -dX�V �rV Ww0;! (1 + 7)

conla proprietagenerale -�W�V �rVYX�0 � = -dX�V � � V WF0�+ (1 + 8)

Se � � = ��! (1 + 9)

e quindi -�X�V �OWF0 = -/��X�V WF0_! (1 + 10)

l’operatore� e unoperatoreautoaggiunto.Si possonoestendereagli spaziastrattiU e U�� tuttele proprietagianotepergli

spazidi Hilbert associatia funzioni Z"� 2. In particolaresi puo studiarel’equazioneagli autovalori perunoperatore� siain U , siain U � :7 Perunbrevecennosulleproprietadellematrici ealcunielementidi calcolomatriciale, sivedal’AppendiceC.

255

�� V o@0 = � } V o@0_!-�¥&V � = � �¦ -�¥&V§+ (1 + 11)

Se � = � � , l’equazioneagli autovalori godedelleseguentiproprieta:W ) i duespettridi autovalori# � } %�! # � �¦ % coincidono;X ) tutti gli autovalori sonoreali;� ) -�o¨V e il coniugatodi V o@0 ;�

) l’insiemedegli autovettori e completoepuo essereortonormalizzato,cioe-�¥&V o@0 = © } ¦ + (1 + 12)

Allora,q VY��0>ZyU , si ha VY��0 =

~} W } V o@0_! (1 + 13)

coni coefficienti, W } = -�o¨VY��0_! (1 + 14)

cherappresentanole proiezionidi VY��0 secondoi vettori di baseV o@0 .Sesi applical’operatore ª

} = V o@0;-�o¨V (1 + 15)

al ket VY��0 , ª} VY��0 = V o@0;-�o¨VY��0 = W } V o@0_! (1 + 16)

si trova che

ª} ha l’effetto di proiettare VY��0 nella direzione V o@0 : percio l’operatore

ª} e dettooperatore di proiezione. Si verifica subitoche

ª} possiedele seguenti

proprieta: ª2} =

ª} ! (1 + 17)ª �} =

ª} ! (1 + 18)

cioe il proiettore

ª} , oltre a essereun operatorelineare,e idempotentee autoag-

giunto8.Se

# V o@0_% e l’insiemedeivettori di base,risulta~}ª} =

~} V o@0|-�o¨V = 11 ! (1 + 19)

8 Piu in generale,un operatorelinearesimmetricoe idempotentee unproiettore.

256

b,��dc>eJfg��a��>h��jik�l�m��ncomesi puo subitoverificareapplicandola (1.19)a un qualsiasiVY��0[Z6U . La (1.19)esprimein altro modola relazionedi completezzaper i vettori di base:essaindicache,nellospaziodi Hilbert assegnato,l’operatoreidentita11 si puo visualizzarecomedecompostonellasommadi tutti i proiettori lungoi vari vettori di base.Si dicechela (1.19)rappresentala spettralizzazione(o la risoluzione) dell’identita.

Nella notazionedi Dirac apparepiu evidentela possibilita di risolverel’equa-zioneagli autovalori ricorrendoalladiagonalizzazionedellamatricecherappresental’operatore in questione. Infatti, una volta scelta la basecompletaortonormal-izzata

# V o@0_%�Z�U , se si inseriscel’operatoreidentita, risolto secondola (1.19),nell’equazione ��VY��0 = �>VY��0�! (1 + 20)

si ottiene ~} ( �«)&� ) V o@0`-�o¨VY��0 = 0 + (1 + 21)

Moltiplicandoscalarmenteper -�¥&V eutilizzandola (1.12),si ha~}

¬ -�¥&V �DV o@0£)��© } ¦4® -�o¨VY��0 = 0 + (1 + 22)

La(1.22)eunsistemadi equazionialgebricheomogeneenelleincognite-�o¨VY��0 � W } ,la cui condizionedi solubilita implica:

det V�-�¥&V �DV o@0k)��© } ¦ V = 0 + (1 + 23)

La (1.23) e la condizioneperche la matrice -�¥&V ��V o@0 sia diagonale,ma e ancheunpolinomio in � che si deve azzerare. Per ogni � che soddisfa la (1.23) si ha unautovaloredi � che, inserito nella (1.22), permettedi ricavare i coefficienti W } equindi l’autovettore VY��0 = V �k0 corrispondente.

Esercizio 1.1

Se ¯° ±³²�´ e l’insieme completodi autostatidell’operatoreµ con corrispondentiautovalori ¯;±¶´ , verificarela seguentespettralizzazionedell’operatoreµ :µ =

~�· ° ±³²�±�¸Q±£°º¹ (1 ¹ 24)

[Suggerimento:si applichi l’operatoreµ aungenericostato ° ».² = ¼ ·£½ · ° ±³² .]In generalelo spaziodi Hilbert U ha un numeroinfinito di dimensioni: cio

comportaquindi chele matrici cherappresentanogli operatorisianomatrici a nu-meroinfinito di righe e di colonne. Percio il procedimentodi diagonalizzazioneeapplicabilesolo in linea di principio se U ha un numeroinfinito di dimensioni. In

257

��m � ��Q��a�H��praticail procedimentoe tuttavia ancorautile seesistequalchecriterio per troncarela matrice -/¥&V ��V o@0 aunnumerofinito di righee colonne.

In presenzadi spettrocontinuo,gli autovettori della(1.20)nonsononormaliz-zabili. Valgonopero ancorale proprieta W ) – � ) per le soluzionidella (1.11),anchesegli autovettori nonappartengonoa U . Indicandocon V ¾,0 un vettorenonnorma-lizzabilee con V o@0 unoa normafinita, si ammettein generaleche -�o¨V ¾,0 forniscaunprodottoscalarefinito, chee linearerispettoa V ¾�0 eantilinearerispettoa V o@0 . Inoltre-�¾�V o@0 � = -�o¨V ¾,0�+ (1 + 25)

L’ortogonalita travettorinonnormalizzabili,appartenentiadautovalori diversi,e ancoragarantita.E convenienteimporrela seguentenormalizzazione:-/¾.V ¾ � 0 = © ( ¾�)�¾ � ) + (1 + 26)

Infine,in presenzadi spettrocontinuo,sipuoancoraspettralizzarel’identita in terminidi proiettori

ª�¿= V ¾,0�-�¾�V . Sec’e sololo spettrocontinuo,si haÀ V ¾,0 � ¾Á-/¾.V = 11 + (1 + 27)

E immediatal’estensioneal casodi spettrosiadiscreto,siacontinuo. Peresempio,in tali condizionila spettralizzazionedell’identita risulta~

}ª} +

À � ¾ ª ¿ =~} V o@0�-�o¨V + À V ¾,0 � ¾.-�¾�V = 11 + (1 + 28)ÂkÃ_Ä_ÅÇÆFÈQÉ�Ê`ËQÊ

Si indichi con Ì l’operatoreposizione9. Nella notazionedi Dirac l’equazioneagli autovalori si scrive Ì(° Í.² = Í�° Í.²�Î (1 ¹ 29)

dove si e indicatocon Í l’autovalorecorrispondenteall’autoket ° Í.² . Gia si sache Í eun numerorealein ( ÏÑÐÎ + Ð ) e chequindi lo spettrodi Ì e continuo. Occorrepercioadottarela normalizzazione(1.26),¸QÍ�° ÍÁÒH² = Ó ( ÍOÏ]Í Ò ) ¹ (1 ¹ 30)

Inoltre perla (1.27)si ha À ° ÍÁ²�Ô�Í�¸QÍ9° = 11 ¹ (1 ¹ 31)

9 In questoesempio,e nel successivo, l’operatorevieneindicatoin grassettopernonconfonderlocol suoautovalore.

258

b,��c>eJfg�� ,>h��ik��m��nSeil vettorechedescrive il sistemain esameall’istante Õ vieneindicatoconil ket ° Ö ( Õ ) ² ,il prodottoscalare ¸QÍ9° Ö ( Õ ) ² = Ö ( Í�Î�Õ ) (1 ¹ 32)

definiscela funzione finora usataper descrivere lo stessosistemanello spaziodelleposizioni. La funzione Ö ( Í�ÎdÕ ) e il rappresentativodel ket ° Ö ( Õ ) ² nello spaziodelleposizioni e la (1.32) fornisceil legametra la formulazioneastrattain termini del ket° Ö ( Õ ) ² e quella, gia introdottanei capitoli precedenti,che si chiamarappresentazionedelleposizioni(o di Schrodinger) echeusala funzione Ö ( Í�ÎdÕ ).

La corrispondenzatra formulazioneastrattae rappresentazionedelle posizioni sicompletaconsiderandola definizionedi prodottoscalaree ritrovando la relazionedicompletezza.Siano ° ».² , ° ×,² dueket ØDÙ ; perla (1.31)e la (1.32)si ha¸�»�° ×�² =

À ¸�»�° Í.²mÔ�Í9¸�Í�° ×,²=

À ÔJÍÁ»jÚ ( Í ) × ( Í ) Î (1 ¹ 33)

chee quindi l’usualeprodottoscalarenellarappresentazionedelleposizioni,in accordocon la definizione(IV.1.1). Inoltre, se ¯�° Ûj²a´ e unabasecompletaortonormalein Ù eÜÁÝ ( Í ) = ¸�Í�° Û�² e il rappresentativo di ° Ûj² nellarappresentazionedelleposizioni,si haÓ ( Í�Ï�Í Ò ) = ¸QÍ9° 11 ° ÍÁÒ�²

=~ Ý ¸QÍ�° Ûj²�¸�Û�° ÍÁÒ�²

=~ Ý ÜÁÝ ( Í ) Ü ÚÝ ( Í Ò ) ¹ (1 ¹ 34)

Questorisultatopermettedi interpretarela relazionedi completezza(IV.2.9)comespet-tralizzazionedell’identita (1.19).ÂkÃ_Ä_ÅÇÆFÈQÉ�Ê`ËHÞ

Ancheperl’operatoreimpulso ß (in unadimensione)l’equazioneagli autovaloriß$° àF² = à9° àÁ² (1 ¹ 35)

presentaunospettrocontinuodi autovalori à in ( ÏÑÐÎ + Ð ). Gli autovettoricorrispondentisononormalizzatisecondola (1.26):¸ºà9° àFÒ�² = Ó (àOÏ�à Ò ) ¹ (1 ¹ 36)

Nella rappresentazionedelleposizionila (1.35)si riscrive, in accordoconla (1.32),¸QÍ�° ß$° àF² = à�¸�Í�° àF²�Îcioe

259

��m � ��Q��a�H��À ¸�Í�° ß1° ÍÁÒ�²mÔ�Í Ò ¸QÍ Ò ° àÁ² = àj¸QÍ�° àÁ²a¹ (1 ¹ 37)

D’altra parte,posto á( Í ) = ¸QÍ9° àF²�Î (1 ¹ 38)

e tenutopresentechenellarappresentazionedelleposizionie¸QÍ9° ß$° ÍÁÒ�² = Ó ( ÍOÏ]Í Ò ) â>Ïyã -ä ÔÔ�Í Ò å Î (1 ¹ 39)

la (1.37) acquistala nota forma dell’equazioneagli autovalori dell’operatoreimpulsonellarappresentazionedelleposizioni:Ïxã -ä ÔÔ�Í á ( Í ) = à á ( Í ) ¹ (1 ¹ 40)

Le sueautofunzionisonoquindi le ondepiane( -äwæ = à ):á( Í ) =

1ç2è -ä$é�êHë�ì ¹ (1 ¹ 41)ÂkÃ_Ä_ÅÇÆFÈQÉ�Ê`Ë�í

La rappresentazionedelle posizioni(1.32)utilizza gli autostatidell’operatoreposizioneper costruirele funzioni corrispondentiai ket dello spazioastratto. Pero,cosı comeal paragrafoIII.7 si e visto chee ugualmentepossibilelavorarenello spaziodegli impulsi invecechenellospaziodelleposizioni,si possonoorautilizzaregli autostatidell’operatoreimpulsopercostruirela rappresentazionedegli impulsi. Allora aunvettore° ».²kØDÙ corrispondela funzione

˜» (à ) = ¸§à�° ».²�¹ (1 ¹ 42)

Inserendol’identita scrittanellaforma(1.31)eutilizzandola (1.38)conla (1.41),si ha

˜» (à ) =

À ¸§à�° ÍÁ²�Ô�Í�¸QÍ�° ».²=

1ç2è -ä À Ô�Í é�îÁêHë�ì » ( Í ) ¹ (1 ¹ 43)

La (1.43)mostrachela funzione ˜» (à ), rappresentativadi ° ».² nellarappresentazionedegliimpulsi, e la trasformatadi Fourierdella funzione » ( Í ), rappresentativa dello stesso° ».²nellarappresentazionedelleposizioni.

Nella rappresentazionedegli impulsi, secondola (1.35), l’operatoreimpulsoe unoperatoremoltiplicativo cui corrispondel’equazioneagli autovalori¸ºà9°/ß�° ».² = àj¸§à�° ».²�Îcioe

260

b,��c>eJfg�� ,>h��ik��m��nß ˜» (à ) = à ˜» (à ) ¹ (1 ¹ 44)

Invecenellarappresentazionedegli impulsi perl’operatoreposizionesi ha¸§à�° Ì4° ».² =

À Ô�Í4¸§à�° Ì5° Í.²�¸QÍ9° ».²=

À Ô�ÍxÍ5¸ºà9° Í.²�¸�Í�° ».²=

1ç2è -ä À Ô�ÍÇÍ é îFêHë�ì ¸QÍ9° ».²

=1ç2è -ä ãÇïï æ À Ô�Í é îFêHë�ì ¸QÍ9° ».²

= ãÑïï æ À ¸ºà9° Í.²mÔ�Í9¸�Í�° ».²= ã -ä ïï à ¸§à�° ».²�¹

Pertantoin definitiva risulta ¸§à�° Ì4° àwÒ�² = Ó (à$Ï�à Ò ) ã -ä ïï à Ò Î (1 ¹ 45)

in accordoconi risultati del paragrafoIII.7.

Esercizio 1.2

Partendodall’equazionedi Schrodingerperunaparticellanellospaziodei ket,ã -ä ïï Õ ° Ö ( Õ ) ² =¬ à 2

2ð + ñ ® ° Ö ( Õ ) ²aÎ (1 ¹ 46)

ottenerele espressionicorrispondentinellarappresentazionedelleposizionienellarapp-resentazionereciprocadegli impulsi.

ÂkÃ_Ä_ÅÇÆFÈQÉ�Ê`ËgòSi consideriunoperatoreJ, i cui componenticartesianió ì Î_ó�ô�Î�ó�õ sonooperatori

autoaggiuntiesoddisfanole seguentiregoledi commutazione:

[ ó ê Î�ó`ö ] = ã -ä,÷ ê ö ë ó ë Î (1 ¹ 47)

[ ó 2 Î_ó ì ] = [ ó 2 Î�ó�ô ] = [ ó 2 Î_ó�õ ] = 0 Î (1 ¹ 48)

dove ó 2 = ó 2ì + ó 2ô + ó 2õ ¹ (1 ¹ 49)

261

��m � ��Q��a�H��Le proprieta(1.47)– (1.49)sonoquelledegli operatoricorrispondential quadratodelmo-mentoangolareeallesuecomponenti,maquinonestatafattaalcunaipotesisull’esistenzadi questaanalogiaclassica.Datoche ó ì Î�óô�Î�óõ sonoautoaggiunti,ancheó 2 e un oper-atoreautoaggiunto,conautovalori nonnegativi, chesi possonoindicarecon -ä 2ø (ø + 1).Sianoinoltre -ä ð gli autovalori di ó õ . Allora gli autovettori simultaneidi ó 2 e di ó õ sipossonochiamare° ø ðù² , in mododarendereespliciti i numeriquanticichenedefinisconogli autovalori corrispondenti,cioeó 2 ° ø ðD² = -ä 2 ø (ø + 1) ° ø ðù²aÎ (1 ¹ 50)

óõ�° ø ðù² = -ä ð]° ø ðù²�¹ (1 ¹ 51)

Pertrovaregli autovalori ø e ð convienedefiniregli operatorió,ú = ó ìxû ãdó�ô�Î (1 ¹ 52)

chesoddisfanole regoledi commutazione

[ ó + Î�ó î ] = 2-ä ó�õJÎ (1 ¹ 53)

[ ó�õJÎ�ó�ú ] = û -ä ó,ú�¹ (1 ¹ 54)

Siccomee ó,ü@ó ú = ó 2 Ï^ó õ ( ó õ û -ä ) Î (1 ¹ 55)

si ottiene ó ü ó�úk° ø ðD² = -ä 2[ ø (ø + 1) Ï]ð ( ð û 1)] ° ø ðù²= -ä 2(ø[ý ð )(ø û ð + 1) ° ø ðD²�¹ (1 ¹ 56)

D’altra partela normadi un ket nonpuo esserenegativa. In particolarequindi la normadi ó ú ° ø ðD² e ¸ ø ð]°Yó ü ó�úk° ø ðD²kþ 0 Î (1 ¹ 57)

cheperla (1.56)fornisceunacondizionesugli autovalori delle(1.50)e (1.51):

(øÑý ð )(ø û ð + 1) þ 0 ¹ (1 ¹ 58)

La (1.58)hale seguenticonseguenze:½) ° ðr°,ÿ ø ;�) ó,ú£° ø ðù² = 0, seesolose ø>ý ð = 0; inoltre,� ) per ø��= û ð , ó,ú£° ø ðù² e un vettoreproporzionalea ° ø Îdð û 1² .

Quest’ultimaconclusionesi puo dimostrareapplicandoó 2 e óõ al ket ó,úk° ø ðù² :ó 2 ó,ú£° ø ðù² = ó�ú¶ó 2 ° ø ðù² = -ä 2ø (ø + 1) ó�ú£° ø ðù²aÎ262

b,��c>eJfg�� ,>h��ik��m��nó�õ`ó�ú�° ø ðù² = ó,ú ( ó�õ û -ä ) ° ø ðù² = -ä ( ð û 1) ó�ú£° ø ðù²a¹

Dunque, ó + ( ó î ) aumenta(diminuisce)di una unita il valoredi ð , ma non modificaø . Allora per la condizione�), partendoda uno stato ° ø ðù² si puo costruire ó + ° ø ðù² ,ó 2

+ ° ø ðù² , ¹�¹�¹�ó��+ ° ø ðù² conà interononnegativo, talechesia ó��+ ° ø ðù² �= 0,ma ó�� +1+ ° ø ðù² = 0.

Cio si verificaper ð + à = ø Îossia ø Ïrð = àùþ 0 ¹ (1 ¹ 59)

Similmente,applicando� volte ó î a ° ø ðù² , si ottieneð Ï�� = Ï ø Îossia ø + ð = �5þ 0 ¹ (1 ¹ 60)

Dalle (1.59)e (1.60)segue à + � = 2ø ¹Quindi i possibilivalori di ø sonointeri o seminteri:ø = 0 Î 1

2 Î 1 Î 32 Î 2 Î�¹�¹�¹ (1 ¹ 61)

Perogni ø , inoltre,perla

½) risulta ° ð]°,ÿ ø ¹ (1 ¹ 62)

Si ritrova la (IV.2.41)per ø�� = intero. In questocasoi rappresentativi degli stati ° ðù²nella rappresentazionedelle posizioni, ¸ ��° ðù² , sonole armonichesferiche �� ( �� ),autofunzionidegli operatoriquantisticidel quadratodel momentoangolaree della suaterzacomponente,associatial momentoangolareclassicoL = r � p. Nella (1.61)perocompaionoanchei valori di ø seminteri,cui corrispondeun operatoreó 2 che non haanalogoclassico: l’unico requisitoformale e chevalganole (1.47) – (1.49). Si vedraal capitolo IX che effettivamenteesistonoosservabili associatea operatoricon questeproprieta.

Perla costruzionedegli autostatisimultaneidi ó 2 e ó õ si puo procederenel modoseguente.Si suppongadi conoscerelo stato ° ø ðù² normalizzato.Medianteapplicazionesuccessivadegli operatorió�ú eutilizzo dellaproprieta � ), si possonoricavaretutti gli altristaticonlo stessoø econ ° ð]°�ÿ ø . Infatti perla proprieta � ) eó ú ° ø ðù² = � � ° ø Î ð û 1²�¹ (1 ¹ 63)

Perla (1.58)la norma ° � � ° 2 di ó�úk° ø ðù² risulta

263

�� ° � � ° 2 = -ä 2[ ø (ø + 1) Ïyð ( ð û 1)] ¹ (1 ¹ 64)

Imponendole fasiin modoche � � siareale,si haalloraó�ú�° ø ðD² = -ä�� ø (ø + 1) Ïyð ( ð û 1) ° ø Îdð û 1²�¹ (1 ¹ 65)

L’applicazionedi ó,ú a ° ø Î�ð û 1² producenello stessomodo ° ø Î ð û 2² e cosı via tuttigli altri. L’operazionesi arrestaquando ó,ú vieneapplicatoa ° ø Î û ø ² , perche forniscerisultatonullo: ó + ° ø�ø ² = ó î ° ø Î�Ï ø ² = 0 ¹ (1 ¹ 66)

I 2ø + 1 autostatidi ó 2 e ó�õ° ø�ø ² Î�° ø Î ø Ï 1²�Î_¹_¹_¹_Î;° ø ðù²aÎ_¹_¹�¹�Î�° ø Î�Ï ø + 1²�Î;° ø Î�Ï ø ² (1 ¹ 67)

sottendonoun sottospazioa 2ø + 1 dimensioni,chesi trasformain se per applicazionedegli operatorió ì Î_ó�ôÎ�ó�õ .

798;:��w:��M�?A;K/G¨B G��A;K�R|K�G�EHM�NwM;E�E � ?�!�R�K�EQEHG��m?�A�M�G�A�B ?�L.K/R�?¨E§K�L�M�GA�MLa teoriaquantisticadell’oscillatorearmonicolinearepuo essereformulataan-

chein termini matriciali utilizzandola notazionedi Dirac. Il problemaconsisteneltrovareautostatie autovalori di , V "m0 = #%$ V "m0�! (2 + 1)

ricorrendosemplicementealla conoscenzadellahamiltoniana(V.4.1)e della regoladi commutazioneelementare

[ T@!'& ] =� -� + (2 + 2)

Utilizzandola spettralizzazionedell’identita (1.19)sullabasedegli autostatidi e prefissandolo stato V "m0 , l’equazioneagli autovalori per puo riscriversi nellarappresentazionedell’energia:-)(¶V V "m0 = #%$�-)(³V "m0

=1

2¥ ~ * -)(³V &�V +F0�-,+9V &�V "m0 + 12 ¥.- 2

~ * -)(³V TkV +F0�-,+9V TkV "m0�+ (2 + 3)

Datoche& e autoaggiunto,si ha-,+9V &�V "m0 = -'"�V & � V +F0 � = -'"�V &�V +F0 � +Similmente,per T risulta

264

/ ��d��4c��Hna�H�;fº>h|aflf'0 �� n �Hflfg��m>��c��Hnd� f ��,m��-,+9V TkV "m0 = -'"�V TkV +F0 � +

Allora gli elementidiagonali( ( = " ) nella (2.3) sonosommedi moduli quadratidielementidi matricee percio non negativi. Questosignificachenon sonopossibiliautovalori negativi di . Inoltre un autovalorepuo esserenullo solosegli elementidi matrice -)(¶V &kV +w0 e -1(³V TkV +F0 si azzeranoper tutti i + : macio non e compatibileconl’elementodiagonale( -esimodella(2.2). Pertantotutti gli autovalori sonopositivi.

Si calcoli orail commutatoredi T edi & con :

[ T¶!� ] =� -�¥ &³! (2 + 4)

[ &³!� ] = ) � -� ¥.- 2 T¶+ (2 + 5)

Espressionidi questotiposonoutili in generaleperil calcolodegli elementidi matricedi un operatorenella rappresentazionedell’energia, perche riconduconoal calcolodegli elementidi matricedi un commutatorein cui comparela hamiltoniana,cheinquestarappresentazioneediagonale.Allora dalla(2.4)si ottiene-1(³V [ T¶!� ] V "/0 =

� -�¥ -)(³V &�V "m0�!con ~ * ¬ -1(³V TkV +F0;-,+9V V "m0£) -)(³V V +F0�-,+9V TkV "m0 ® = ( #%$�)2#%3 ) -1(³V TkV "m0e quindi

( #%$9)2#3 ) -)(³V T£V "/0 =� -�¥ -)(¶V &�V "m0�+ (2 + 6)

Similmente,dalla(2.5)si ha

( # $ )2# 3 ) -)(¶V &�V "m0 = ) � -� ¥.- 2 -)(³V TkV "m0;+ (2 + 7)

Eliminando -)(³V T£V "m0 dalle(2.6)e (2.7)si trova¬( # $ )2# 3 )2 ) -� 2 - 2 ® -)(³V &�V "m0 = 0 ! (2 + 8)

chepuo esseresoddisfatta,afissato V "m0 , soloperunostato V4(�0 talechesia#$j)5#%3 = 6 -� -�+ (2 + 9)

Infatti, senella (2.8) si impone -)(¶V &�V "m0 = 0, deve essereanche -)(³V T£V "/0 = 0: maciononepossibileperla (2.2).

265

�� Si vededunqueche gli autovalori positivi differisconotra di loro di multipli

interi di -� - . Perconoscerelo spettrobastaoraconoscerel’autovalorepiu basso.Atalescoposi moltiplichi per ) � ¥.- la (2.6)sommandolaalla (2.7):

( #$j)7#%3() -� - ) -)(³V &�) � ¥.- T£V "/0 = 0 + (2 + 10)

Dato cheallora -)(³V &]) � ¥.- T£V "/0 si azzerasempre,eccettonel casoin cui sia # 3 =# $ ) -� - , il risultatodi applicarel’operatore(&6) � ¥.- T ) allo stato V "m0 e quello diottenereuno statoproporzionalea V4(.0 , cheha un’energia inferiore di -� - a quelladello stato V "/0 . In modosimile si dimostrachel’operatore(& +

� ¥.- T ) hal’effetto diinnalzarel’energia di -� - .

Partendoda uno stato V "m0 qualsiasi,la ripetutaapplicazionedell’operatore diabbassamento, (&() � ¥.- T ), portaallafineal risultatodi trovarelo statoconl’energiapiu bassaV 00 . Unasuccessivaapplicazioneprovoca

(& ) � ¥.- T ) V 00 = 0 ! (2 + 11)

chee l’equazionedi definizioneperlo statofondamentaleV 00 . Pertrovarnel’energia,bastaapplicarealla (2.11)l’ operatoredi innalzamento, (& +

� ¥.- T ):

(& +� ¥.- T )(&�) � ¥.- T ) V 00 = [ & 2 + ¥ 2 - 2 T 2 +

� ¥.- ( T8&r)�&.T )] V 00= (& 2 + ¥ 2 - 2 T 2 )�¥ -� - ) V 00= 2¥ ( ) 1

2-� - ) V 00 = 0 +

Pertantol’autovaloredi V 00 e 12

-� - equindi lo spettroeproprioquellodella(V.4.12).Convienemoltiplicaregli operatoridi innalzamentoedi abbassamentodell’ener-

giarispettivamenteper ) � 9�: 2¥ -� - e�;98:

2¥ -� - , in mododarenderliadimensionali.Cosı si ottengonoquelli chevengonodettioperatori di creazione, Ww� , edi distruzione,W , W = < ¥.-

2-� T +� 1:

2¥ -� - &³! (2 + 12)

W � = < ¥.-2-� Tr) � 1:

2¥ -� - &³! (2 + 13)

chesonoovviamentel’uno l’hermitiano coniugatodell’altro. Dalla (2.2) seguelaregoladi commutazione:

[ W�!�W � ] = 1 + (2 + 14)

Si verificainoltrechela hamiltoniana puo riscriversinellaforma = ( W � W + 12) -� -�+ (2 + 15)

266

/ ��d��4c��Hna�H�;fº>h|aflf'0 �� n �Hflfg��m>��c��Hnd� f ��,m��Dallaformadellahamiltoniana(2.15)edelsuospettro(V.4.12)seguechel’operatore=

= W � W commutacon e hagli stessiautostatidi corrispondentiadautovalorio chesonogli interi nonnegativi. Perquestaragionel’operatore=

= WF��W , checontail livello di eccitazione,vienespessoindicatocol nomedi operatorenumero.

Gli unici elementidi matricenonnulli di W sonodel tipo -�oy) 1 V W9V o@0 , chesi puoindicarecon > } . Similmente,gli unici elementidi matricenonnulli di W � sonodeltipo -�o¨V WF��V o6) 10 = > �} . Allora gli elementidi matricediagonalidi WF��W sono-�o¨V W � W9V o@0 =

~}�? -�o¨V W � V o � 0�-�o � V W9V o@0= V4> } V 2� oD+

Percio > } e ugualea : o , a menodi un possibilefattoredi fasedi modulounitario,chepuo esserepostotranquillamenteugualea1.

Pertantosi ha W�V o@0 =: oÇV o6) 10_! (2 + 16)

W � V o@0 =: o + 1 V o + 10_+ (2 + 17)

Le matricicherappresentanoW e WF� sullabasedegli autostatidi hannola seguentestruttura:

W = @@@@@@@@@0 1 0 0 +�+�+0 0

:2 0 +�+�+

0 0 0:

3 +�+�+0 0 0 0 +�+�++�+�+ +�+�+ +�+�+ +�+�+ +�+�+ @@@@@@@@@

! W � = @@@@@@@@@0 0 0 0 +�+�+1 0 0 0 +�+�+0

:2 0 0 +�+�+

0 0:

3 0 +�+�++�+�+ +�+�+ +�+�+ +�+�+v+�+�+ @@@@@@@@@+ (2 + 18)

Esercizio 2.1

Partendodallematrici (2.18)per

½e

½8A, verificarechela matricecorrispondente

all’operatorenumeroB =

½8A�½e diagonale,conautovalori Û = 0 Î 1 Î 2 Î�¹�¹�¹ .

E interessantecostruirei rappresentativi degli autoket V o@0 nellarappresentazionedelleposizioniper ritrovarei risultati del paragrafoV.4. Si comincia trovare -�TkV 00utilizzandola (2.11):-�T£V & ) � ¥.- T£V 00 =

À � T � -�T£V & ) � ¥.- TkV T � 0;-�T � V 00 = 0 + (2 + 19)

Inserendole rappresentazionimatriciali per T e & ,

267

�� -/TkV &�V T � 0 = ) � -� © ( Tr) T � ) �� T � ! (2 + 20)

-�TkV T£V T � 0 = T5© ( Tr) T � ) ! (2 + 21)

la (2.19)diventaun’equazionedifferenzialeperla funzione -�TkV 00 ,â ) � -� �� T ) � ¥.- T å -�TkV 00 = 0 ! (2 + 22)

chehapersoluzione, -�T£V 00 ==

0 z�C ¦ED�F 2 G 2-H ! (2 + 23)

in accordocon la (V.4.13). La costantedi normalizzazione=

0, in accordocon la(V.4.19),risulta =

0 = â ¥.-I -� å 1 G 4 + (2 + 24)

Pertrovarei rappresentativi degli statieccitati V o@0 convienepartiredallarelazione

(& +� ¥.- T ) � ( T ) = ) � -� â �� T ) ¥.-

-� T å � ( T )

= ) � -� z ¦EDJF 2 G 2-H �� T ¬ zKC ¦EDJF 2 G 2-H � ( T ) ® !chevaleperunafunzione� ( T ) qualsiasi,purchederivabile.Unasecondaapplicazionedi (& +

� ¥.- T ) fornisce

(& +� ¥.- T )2 � ( T ) = ) � -� z ¦EDJF 2 G 2-H �� TML z C ¦ED�F 2 G 2-H ¬ (& +

� ¥.- T ) � ( T ) ®ON= ( ) � -� )2 z ¦ED�F 2 G 2-H � 2� T 2

¬ z�C ¦ED�F 2 G 2-H � ( T ) ® !e perinduzionesi trova il risultatodell’applicazionedi (& +

� ¥.- T ) } :

(& +� ¥.- T ) } � ( T ) = ( ) � -� ) } z ¦EDJF 2 G 2-H � }� T } ¬ z C ¦ED�F 2 G 2-H � ( T ) ® + (2 + 25)

D’altra parte,dalla(2.17)segue-�T£V o@0 =1: o !

-�T£V ( W � ) } V 00�+ (2 + 26)

Pertanto,scegliendo la (2.23) come funzione � ( T ) nella (2.25) e ricordandoladefinizione(2.13)per Ww� in termini di (& +

� ¥.- T ), si ottieneinfine

268

PQ0 ��c Ñh|�R;f ��Q��n��_��-/TkV o@0 =

= } ( ) ) } z ¦ED�F 2 G 2-HTS -�¥.-MU } G 2 � }� T } z C ¦EDJF 2 G -H ! (2 + 27)

checoincidecon la (V.4.13);il fattoredi normalizzazione= } e datodalla(V.4.19).

Conquestaderivazionesi egiustificataaposteriorila relazione(V.4.14)chedefiniscei polinomi di Hermite.

798;:�Vw:XWY� KQLZ!_KmM;B¨M�N�M)[ElKQ!\�mG8��KÇR�?�M;A�M;L]��KNella trattazionematricialedell’oscillatorearmonicolineareintervengonogli

operatoridi distruzionee di creazione(2.12) e (2.13) che abbassanoe innalzanorispettivamenteil livello di energia. Gli autostatidella hamiltonianasonoancheautostatidell’operatorenumero =

= W � W�! (3 + 1)

cioe = V o@0 = o¨V o@0_+ (3 + 2)

Anchese W none un operatoreautoaggiunto,senepuo comunquecercarel’insiemedegli autoket, risolvendol’equazioneagli autovalori,W9V ��0 = �>V ��0�! (3 + 3)

dovein generalel’autovalore � eunnumerocomplesso. A talescoposi puo ricorrerealla rappresentazionedell’operatorenumero (3.2): infatti dalla(3.3)segue-�o¨V W�V �k0 = �Ç-/o¨V ��0

=: o + 1 -/o + 1 V �k0�! (3 + 4)

dovenell’ultimo passaggiosi eutilizzatala coniugatadella(2.17).Perricorrenza,la(3.4)produce -�o¨V ��0 =

� }: o !- 0 V �k0�! (3 + 5)

e quindi V �k0 =~} V o@0�-/o¨V ��0

= - 0 V �k0 ~ }� }: o !

V o@0�+ (3 + 6)

269

�� NormalizzandoV �k0 , si determina- 0 V �k0 :

1 = -m�>V ��0 = V�- 0 V ��0JV 2 ~ }V �ÑV 2}o !

= V�- 0 V ��0`V 2 z_^ � ^ 2 ! (3 + 7)

percui finalmente V ��0 = z C 12 ^ � ^ 2 ~ } � }: o !

V o@0�+ (3 + 8)

L’insieme degli stati# V ��0�% dell’operatoredi distruzione W e detto insieme

degli stati coerenti e ha interessantiproprieta chene consiglianol’uso in varie cir-costanze10.

Il valore di o sullo stato V �k0 non e in generaledefinito. Si ha piuttosto ladistribuzionedi probabilita

V�-�o¨V �k0|V 2 =V �>V 2}o !

z C ^ � ^ 2 ! (3 + 9)

cheeunadistribuzionedi Poisson(cfr. eq. (II.2.44)),cui corrispondeil valormediodi

=sullo stato V �k0 -m�>V = V �k0 = V �ÑV 2 + (3 + 10)

Solonel casoparticolare� = 0, lo stato V ��0 vienea coinciderecon lo stato V 00 checorrispondea o = 0.

Degli stati V �k0 si puo darela rappresentazionenello spaziodelleposizioni. Perinversionedelle(2.12)e (2.13)si ottiene

T = < -�2¥.- ( W + W � ) ! (3 + 11)

& =� < ¥ -� -

2( W � )&W ) ! (3 + 12)

coni corrispondentivalori di aspettazionesugli stati V �k0 :10 Anchese inconsapevolmente,il primo a utilizzaregli stati coerentifu Schrodinger, nel tentativo didimostrarela possibilita di descrivereil motodi unaparticellacomeil propagarsidi un pacchettodi ondenello spaziofisico. Ma chi ne studio le proprieta in dettaglioe Roy Jay Glauber(n. 1925)che li hautilizzati perdescriverele proprieta statistichedellaradiazioneelettromagnetica.Percio gli staticoerentivengonoanchedettistati di Glauber.E. Schrodinger: Der stetige Ubergangvonder Mikro- zur Makromechanik [Il passaggio continuodallamicro alla macromeccanica], Die Naturwissenschaften14 (1926)664–666.R.J.Glauber:CoherentandIncoherentStatesof theRadiationField [Stati coerenti e stati incoerenti delcampodi radiazione], PhysicalReview 131 (1963)2766–2788.

270

PQ0 ��c Ñh|�R;f ��Q��n��_��-�T�0 � -m�>V T£V ��0 = < -�

2¥.- ( � + � � )= < 2-�¥.- Re �x! (3 + 13)

-`&�0 � -��ÑV &kV ��0 =:

2¥ -� - Im �x+ (3 + 14)

EsplicitandoW , l’equazioneagli autovalori (3.3)diventaW9V �k0 =1:

2¥ -� - ( ¥.- T +� & ) V �k0

= �>V �k0�+ (3 + 15)

Moltiplicando scalarmenteper -�T£V e ricordandoche e & = ) � -�� 9 � T , si ottienel’equazionedifferenzialedel primoordinecui devesoddisfare -/TkV �k0 :a �� T +

¥.--� T�) < 2¥.-

-� �Ob¨-�TkV �k0 = 0 + (3 + 16)

Le suesoluzionisonodel tipo

-�T£V ��0 == F exp c()ed < ¥.-

2-� T�)�Of 2 g ! (3 + 17)

dove= F e un fattoredi normalizzazione,= F = â ¥.-I -� å 1 G 4 z C (Im � )2 + (3 + 18)

La (3.17)si presentacomeun pacchettodi ondedi formagaussianain T .In modosimile si puo trovareil rappresentativo di V �k0 nella rappresentazione

degli impulsi. Moltiplicandoscalarmenteper -`&�V l’equazioneagli autovalori (3.3),siottiene a �� & +

1¥ -� - & +� < 2¥ -� - �hb -`&kV ��0 = 0 ! (3 + 19)

la cui soluzionehapureun andamentogaussiano,

-`&kV ��0 ==i

exp c )ed 1:2¥ -� - & +

� �hf 2 g ! (3 + 20)

con =ji= ( I -� ¥.- ) C 1 G 4 z C (Re � )2 + (3 + 21)

271


Mostrareche le funzioni (3.17) e (3.20) possonoessereriscritte rispettivamentenellaforma ¸QÍ9° ±³² = â ðMkè -ä å 1 l 4 é�îFênm1o exp p>Ï ( ÍOÏ�¸�Í.² )2

4(q(Í )2+ ã 1

-ä ¸ºàÁ²/ÍsrrÎ (3 ¹ 22)

¸ºà9° ±³² = ( è -ä ðtk ) î 1 l 4 é;ênm1o exp p Ï (à�Ï�¸ºàÁ² )2

4(q>à )2Ï]ã à -ä ¸�Í.² r Î (3 ¹ 23)

dove � · = 2Im ± Re ±�Î( q5Í )2 =

-ä2ðMk Î ( qÑà )2 =

ð -ä k2

(3 ¹ 24)

e ¸�Í.² , ¸§àF² sonodati dalle(3.13)e (3.14).

Ricordandole considerazionidel paragrafoIV.7 e alla lucedelle(3.22)–(3.24),si verificadunquechegli stati

# V �k0;% costituisconoun insiemedi pacchettidi ondediminimaindeterminazione,cioe

( u�T )2( uv& )2 = 14

-� 2 ! (3 + 25)

indipendentementedal valore � considerato11.Un’altra importanteproprieta degli stati V �k0 e la mancanzadi ortogonalita per�xw= � � . Infatti e -��ÑV � � 0 = z C 1

2 ^ � ^ 2 C 12 ^ � ? ^ 2 ~ } ~ ¦ � � } � � ¦: o ! ¥ !

-�o¨V ¥"0= z C 1

2 ^ � ^ 2 C 12 ^ � ? ^ 2 ~ } � � } � � }o !

!cioe -m�>V � � 0 = z C 1

2 ^ � ^ 2 C 12 ^ � ? ^ 2+ ��y�� ? ! (3 + 26)

dacui risulta

11 Grazieaquestaproprieta,durantelasuaevoluzionetemporaleil pacchettodi ondedescrittodaunostatoz {}|mantienela suaforma gaussianae, minimizzandoil suosparpagliamento,puo suggerirel’idea che

essopossarappresentaredavveroil motodi unaparticellanello spaziotridimensionale,comepretendevaSchrodinger. Applicatoal campodi radiazione,per il qualelo stato

z ~�|descrive unostatoa

~fotoni, lo

statoz {}|

si prestamolto benea descriverele proprieta di coerenzadella radiazione:questaproprieta eall’origine delnomedi insiemedi staticoerenti,attribuito all’insieme � z {}|��

.

272

PQ0 ��c >h| R;f �j�d�Q��9n��V�-m�>V � � 0|V 2 = z C ^ � C � ? ^ 2 + (3 + 27)

Si vedechela (3.27)si azzera,garantendol’ortogonalita tra V �k0 e V � � 0 , solose � e � �sonoinfinitamentedistantitradi loro nel pianocomplesso.

Un’importanteconseguenzadella (3.27) e chegli stati# V �k0;% costituisconoun

insiemepiuchecompleto. Ladimostrazioneprocedein duestadi:dapprimasiverificala possibilita di esprimerel’operatoreidentita in termini di proiettori sugli stati V �k0e quindi si accertala validita della relazionedi completezza.Successivamentesimostrachegli stati V �k0 nonsonotradi loro linearmenteindipendenti.

Dunquesi procedadapprimanellavalutazionedell’integrale12

À � 2 � ( � � ) ¦ � } z C ^ � ^ 2 =À��

0

� V �>VFV �ÑV } + ¦ +1 z C ^ � ^ 2 À 2�0

�8� z { ( } C ¦ ) �= 1

2 o !2 I © } ¦ = I o ! © } ¦ + (3 + 28)

Permezzodi questointegralee dellosviluppo(3.8)si verificachevalela relazioneÀ V �k0 � 2 �&-m�ÑV = I ~ } V o@0;-�o¨V§! (3 + 29)

cheforniscela relazionedi completezza:

1I À V ��0 � 2 � -m�>V = 11 + (3 + 30)

Permezzodi talerelazionee della(3.26)si puo adessoesprimereV ��0 comesovrap-posizionedi statiancoradi tipo V ��0 :V �k0 =

1I À V � � 0 � 2 � � -�� V �k0=

1I À � 2 � � z � ? y � C 12 ^ � ^ 2 C 1

2 ^ � ? ^ 2 V � � 0�+ (3 + 31)

Pertantogli stati# V �k0;% nonsonolinearmenteindipendenti.Siccomepero soddisfano

una relazionedi completezza(eq. (3.30)), essicostituisconoun insiemepiu checompleto,nel sensochein lineadi principio e possibileestrarredall’insieme

# V �k0�%unsottoinsiemecompletodi statitradi loro linearmenteindipendenti.ÂkÃ_Ä_ÅÇÆFÈQÉOí�ËQÊ

L’insiemedegli staticoerenti,utilizzati peril campodellaradiazioneelettromag-netica,permettedi descriverein terminiquantisticila luceemessadaundispositivo laser

12 La notazione� 2 { sta ad indicaresimbolicamentel’elementodi volumenel piano complessodi{

:� (Re{

) � (Im{

).

273

��m � ��Q��a�H��(cfr. paragrafoXI.9). Perdescriverenei dettagliil campodi radiazionesi richiederebbeunateoriadei campi in formulazionedi secondaquantizzazione,cheesuladagli scopipresenti.Pero si puo semplicementeaffermare,comegia fattoperla radiazionedi corponero,chei gradi di liberta di un campodi radiazionesonoassimilabilia un insiemediinfiniti oscillatoriarmonici,le cui frequenzecorrispondonoalle frequenzedel campodiradiazionestesso:l’eccitazionedel singolooscillatoreindividua il numero Û di quantidi energia -ä k (fotoni) presentinel campoconquellafrequenza.Selo statodel campo,per unacertafrequenzak , e descrivibile da uno stato ° ± 0 ² , la (3.9) dice la probabilitadi contarela presenzadi Û fotoni di quellafrequenzain tale stato. Indicandocon Û ilnumeromediodi fotoni, perla (3.10)si haÛ = ° ± 0 ° 2 (3 ¹ 32)

e la probabilita di contareÛ fotoni risultaunadistribuzionedi Poisson:à ( Û ) = é�î Ý Û ÝÛ !¹ (3 ¹ 33)

Le proprieta statistichedella luce termicaordinariasonomolto diverseda quelladellalucelasereprodurrebberounaprobabilitadi conteggio del tipoà ( Û ) =

11 + Û â Û

1 + Û å Ý ¹ (3 ¹ 34)

I risultati (3.33)e(3.34)possonoesserededottiammettendocheesisteunacertaprobabi-lit a � ( ± ) chelo statodelsistemasi trovi in unostato ° ±³² . Allora in generalela probabilitadi conteggio di Û fotoni risultadallasommadei contributi di probabilita relativi adognistato ° ±³² possibile: à ( Û ) =

À Ô 2 ±� ( ± ) é îh� · � 2 ° ±£° 2ÝÛ !¹ (3 ¹ 35)

Sealloranella(3.35)si sceglie � ( ± ) = Ó ( ±�Ïy± 0) Î (3 ¹ 36)

corrispondentealla situazionedi campodescrittodaun bendefinitostato ° ± 0 ² , si ritrovala (3.33). Si ottieneinvecela (3.34),sesi adottala distribuzionegaussiana,� ( ± ) =

1è 1Û é îh� · � 2 l Ý Î (3 ¹ 37)

corrispondenteaprocessistocastici,tipici di situazioniin equilibrio termodinamico.PerÛ�� 1leduedistribuzioni(3.33)e(3.34)tendonoaconfondersi.Perdistinguere

le probabilita di fotoconteggio nei duecasioccorresuperarela difficolta rappresentatadal bassovalore di Û ( � 10î 3) ottenibile con luce prodottada una sorgentetermicaordinaria. Invececon luce lasere possibilerealizzarefascidi lucemolto intensi,anchecon Û dell’ordine di 1010. Sperimentalmente13 si puo utilizzareun fasciolaserin due

13 F.T.Arecchi: Measurementof thestatisticaldistributionofgaussianandlasersources[Misuradelladis-tribuzionestatisticadi sorgentigaussianaelaser], PhysicalReview Letters15 (1965)912–916;F.T. Arec-chi, A. Berne e P. Burlamacchi: High–order fluctuationsin a single–modelaser field [Fluttuazioni diordinesuperiore in un campolasera modosingolo], PhysicalReview Letters16 (1966)32–35.

274

/ �m��`��c[��a��e`��Q��

Fig. 3.1.Probabilitadi conteggiodi Û fotoniperla lucelasereperla lucetermica.

situazionidiverse:il fasciodirettoforniscei fotoconteggi relativi allalucelaser, mentrelalucetermicavienesimulatainterponendotralasorgenteeil rivelatoreunvetrosmerigliatoin rotazione.In tal modosi rendecaoticoecasualeil flussodi fotoni, comeseprovenissedaunasorgentetermicain cui i fotoni sonoemessidadiseccitazioniscorrelatee casualidegli atomi. In fig. 3.1sonoriportatele dueprobabilita di conteggio nel casoÛ = 10.

7�8;:��j:��.A�G�! ��?A;B G�I;K/?L.K£CFL.K��mGA;KmMNegli spazivettoriali (lineari) a numerofinito di dimensioniun vettoree noto

se si conosconole sue componentisecondoi versori del sistemadi riferimento.Perun vettoredi modulounitario, le componentisonocostituitedai cosenidirettoridel vettoredato rispettoai versori della basecompletascelta. Allo stessomodo,un ket VY��0 nello spaziodi Hilbert astrattorisultadefinitodallaconoscenzadellesuecomponentisecondounabaseopportuna.Sceltalabasedi ketortonormalizzati

# V o@0�% ,le componentidi VY��0 secondoquestabase,-�o¨VY��0 , costituisconoil rappresentativodiVY��0 . Cambiandola base,cambianole componenti,masi puo comunquestabilireunaleggedi trasformazionechepermettedi esprimerele componentidi VY��0 secondolanuova basemediantele componentirispettoalla vecchia.Sia infatti

# V � 0�% la nuovabase;perla completezzadellabase

# V o@0_% si ha- � VY��0 =~} - � V o@0|-�o¨VY��0_+ (4 + 1)

La (4.1) e una relazionelineare che lega le componenti -/o¨VY��0 alle componenti- � VY��0 , mentre - � V o@0 sonoi coefficienti della trasformazione.Siccomee lineare,latrasformazionepuo essereinvertita,fruendodellacompletezzadellabase

# V � 0;% :275

�� -�o¨VY��0 =

~ { -�o¨V � 0�- � VY��0�+ (4 + 2)

I coefficienti della trasformazioneinversasonodunquei complessiconiugatideicorrispondenticoefficienti dellatrasformazionediretta(4.1):-/o¨V � 0 = - � V o@0 � + (4 + 3)

Sesi indicanocon � { } = - � V o@0_! (4 + 4)� } { = -�o¨V � 0_! (4 + 5)

gli elementidelle matrici

�e

�, responsabilirispettivamentedelle trasformazioni

(4.1)e (4.2),risultaallora � } { =

� �{ } =

� �} { !cioe �=

� � + (4 + 6)

D’altra parte,perdefinizionee �=

� C 1 (4 + 7)

e quindi si ottieneil risultato � � =

� C 1 + (4 + 8)

Matrici chesoddisfanola (4.8)sonodettematriciunitarieela trasformazionedaloro prodottaeunatrasformazioneunitaria. La (4.8)implica l’esistenzadell’inversodi

�siaa sinistrachea destra,cioe�� =

� � � = 11 + (4 + 9)

Il requisitodi unitarieta (4.9) per

�si ottieneancheconsiderandole seguenti

relazioni ~} - � V o@0|-�o¨V +w0 =

~}

� { }� �} * = © { * ! (4 + 10)~ { -/o¨V � 0�- � V ¥"0 =

~ {� �} {

� { ¦ = © } ¦ ! (4 + 11)

276

/ �m��`��c[��a��e`��Q��chederivanodallacompletezzae dallaortonormalita dellebasiutilizzate.

In questomodola sceltadi unarappresentazionesignificala sceltadell’insiemedeivettoridi baseeil cambiodi rappresentazioneevisualizzatocomeuncambiamentodi basenello spaziodi Hilbert, in perfettaanalogiaconquantoavvienenegli spazianumerofinito di dimensioni.Pero qui si puo pensarechegli indici

�e o nelle(4.1)

e (4.2)sianoancheindici continui,anchesecio puo comportarein qualchecasounacertacautela14. Lo statodel sistemaa un certoistanterestaindividuatoda un ketfissonello spaziodi Hilbert e la trasformazioneunitariapermettedi collegarela suavecchiarappresentazionealla nuova. Rappresentazioniconnesseda trasformazioniunitariesonotra di loro equivalenti.

Esercizio 4.1

Ricordandochela componente�Û1° ».² di un vettore ° ».²5Ø Ù lungo il versoredibase° Ûj² hail significatofisicodi ampiezzadi probabilita di trovareil sistemanellostato° Ûj² , interpretarela (4.2).

Nel cambiodi rappresentazionelo statodel sistemarimanepassivodurantelatrasformazione.Ci si puoperoancheporrein unavisioneattivadellatrasformazione,nella qualelo statodel sistemasubisceuna“rotazione” nello spaziodi Hilbert pereffettodellatrasformazioneunitaria

�:VY� � 0 =

� VY��0�+ (4 + 12)

Di conseguenzavengonotrasformatianchegli operatori.Infatti, se V �Á0 e il ketchesiottieneperapplicazionedell’operatore� a VY��0 ,V �.0 = �rVY��0�!gli stati V � � 0 e VY� � 0 ottenuticonla trasformazioneunitaria

�,V � � 0 =

� V �.0�! VY� � 0 =

� VY��0_!sonocollegatimediantela relazioneV � � 0 = � � VY� � 0�!chedefiniscel’operatore� � trasformatodi � . RisultaV � � 0 =

� V �Á0 =

� ��VY��0 =

� � � C 1 VY� � 0�!cioe � � =

� � � C 1 + (4 + 13)

14 Si vedaanchel’osservazionealla fine delparagrafoC.3.

277

�� Il fatto che

�sia unitaria permettedi fruire di alcuneproprieta. Infatti le

trasformazioniunitarieconservano:W ) la autoaggiuntezzadegli operatori;X ) le regoledi commutazione;� ) lo spettrodegli autovalori;�) il prodottoscalare.

Questeproprieta si dimostranofacilmente. La W ) si dimostraconsiderandol’operatore� = �1� emostrandochee

( � � ) � = (

� � � C 1) � = (

� � � � ) � =

� � � � �=

� � � � =

� � � C 1 = � � + (4 + 14)

Cosı purela X ) si dimostraconsiderandocheil commutatore

[ �O!�� ] =�;�

diventa

[ � � !�� ] =�;� � ! (4 + 15)

dove � � =

� � � C 1 ! � � =

� � � C 1 ! � � =

� � � C 1 +Perla � ), dall’equazione ��V o@0 = W } V o@0�!segue � � V o � 0 =

� � � C 1

� V o@0 =

� �DV o@0= W }

� V o@0 = W } V o � 0_+ (4 + 16)

La�) e verificataconla relazione-�� V � � 0 = -��£V � � � V �Á0 = -��£V �Á0�+ (4 + 17)

In particolarequindi la�) implica chesianoconservati l’ortonormalita degli stati e

gli elementidi matricedegli operatori.In particolarequest’ultimaproprieta,-�� V � � V � � 0 = -��£V � � � � � C 1

� V �.0= -��£V ��V �Á0_! (4 + 18)

offre un nuovo modo, equivalentealla (1.23), per diagonalizzareunamatriceallaricercadegli autovalori dell’operatoreche essarappresenta.Infatti la diagonaliz-zazionedella matricenon e altro che la ricercadella rappresentazionein cui tale

278

/ �m��`��c[��a��e`��Q��matrice e diagonalee cio si realizzaoperandonella (4.18) un’opportunatrasfor-mazioneunitaria: la diagonalizzazionedellamatricecherappresenta� e ricondottacosı alla determinazionedi questatrasformazioneunitaria

�.

Esercizio 4.2

Se � e la trasformazioneunitaria che diagonalizzala matrice che rappresental’operatore� , quale il significatodegli elementidi matrice � ê�ë ?[Suggerimento:si vedal’eq. (C.66).]

Il complessodelleproprieta W )–� ) e importanteperla teoria,perchepermettedisceglierela rappresentazionepiu comodapertrattareil problemaallo studio,garan-tendochel’associazionetravariabilidinamicheclassicheeoperatoriautoaggiunticonle loro proprieta e i conseguentipostulatiinterpretativi sianoindipendentidallerap-presentazionicollegatedatrasformazioniunitarie. Percio le trasformazioniunitariesvolgonoun ruolo analogoaquellodelletrasformazionicanonicheclassiche15.

Un casoparticolaredi trasformazioniunitarie di notevole interessesono letrasformazioniunitarie infinitesimali. Se � = �(� e un operatoreautoaggiuntoe � eun � -numero,l’operatore �

= z {��'� (4 + 19)

e unoperatoreunitario16, cioe � � = zKC {��'� =

� C 1 + (4 + 20)

Se � e unparametroinfinitesimale,si puo approssimare(all’ordine � )�= 11 +

� �a�O! (4 + 21)

in unaformacheindicachel’operatore

�differisceinfinitamentedi pocodall’ope-

ratoreidentita. Similmente, � � = 11 ) � �a� =

� C 1 + (4 + 22)

In tal caso

�e unoperatoreunitarioinfinitesimalee � prendeil nomedi generatore

dellatrasformazioneunitariainfinitesimale.

15 Questoaspettoe statosottolineatoperla primavoltadaDirac eJordan.P.A.M. Dirac: ThePhysicalInterpretationof theQuantumDynamics,loc. cit. (n. 1 pp. 249–250).P. Jordan:UbereineneueBegrundungder Quantenmechanik,loc. cit. (n. 2 p. 250).16 L’esponenzialenella (4.19) e simbolicoe serve a definirel’operatore � . Essova sempreintesonelsensodi unosviluppoin serie: � =

~ Ý ( �� )Ý~

! 279

�� Corrispondentemente,sesi identifica

�con

�, la (4.12)diventaVY� � 0 =

� VY��0= (11 +

� �a� + +�+�+ ) VY��0 (4 + 23)

e quindi la variazionedellostato VY��0 , indottadallatrasformazioneunitariainfinitesi-male,risulta(all’ordine � ) V ©��0 � VY� � 0k) VY��0

=� �a�DVY��0�+ (4 + 24)

Similmente,la (4.13)diventa� � =

� � � C 1

= (11 +� �� + +�+�+ ) � (11 ) � �a� + +�+�+ )

= � +� � [ �$!�� ] + +�+�+ (4 + 25)

e quindi la variazioneindottasull’operatoree (all’ordine � )©�� ) �=� � [ �O!�� ] + (4 + 26)

In particolare,dalla(4.26)seguecheun operatore� restainvariatosottola trasfor-mazioneinfinitesimaleindottadal generatore� se � commutacon � . Scegliendoalloraper � la hamiltoniana , si riconoscechele trasformazioniunitarieinfinite-simali sonol’analogodelletrasformazionicanonicheinfinitesimalie il generatore�della trasformazionee l’analogodella funzionegeneratrice¡ nella trasformazionecanonicainfinitesimale(I.1.53). Ne consegueche le operazionidi simmetria,chelascianoinalteratoil sistemaechesianodescrivibili in terminidi trasformazioniuni-tarieinfinitesimali,hannoassociatounoperatore,il generatoredellatrasformazione,checommutaconla hamiltoniana.

Tuttavia, l’usodelletrasformazionicanonicheinfinitesimalinelladinamicaclas-sica e finalizzatoin modoalquantodiversoda quello delle trasformazioniunitarieinfinitesimaliin meccanicaquantistica.Riconoscerele funzionigeneratriciclassichepermettedi trovaregli integrali primi delsistemadinamicoclassicoeaiutaadefinirenuovee opportunecoordinatecanoniche,permezzodellequali si ottienela traietto-ria percorsanello spaziodelle fasidapartedel puntocherappresentail sistema.Sequestoha � gradidi liberta ede integrabile,in questomodosi individuanogli �¨) 1integrali primi in involuzionetradi loro e conla hamiltoniana,secondola (I.1.49).

Invecein meccanicaquantisticanoninteressanotantole coordinatecanoniche,quantopiuttostolo statodelsistema.Anchei generatoridelletrasformazioniunitarieinfinitesimali, associatia operazionidi simmetria,individuanocostantidel moto;pero, datoche tali operatoricommutanocon la hamiltoniana,lo statodel sistemadeve essereanchesimultaneamenteloro autostato.Percio individuaretutte le oper-azionidi simmetriaaiutaacostruirel’insiemecompletodi operatorichecommutano

280

¢ ��m��Q��9h��j�m��Q�� ,tra di loro e conla hamiltonianae,quindi,a definirela rappresentazioneequivalentecaratterizzatadatutte le osservabili compatibilidel sistemaquantisticoe corrispon-dentealla situazionedi osservazionemassimapossibilesul sistemaquantistico(cfr.paragrafoIV.9).

Esercizio 4.3

Qual’e l’osservazionemassimaperl’elettronedell’atomodi idrogenoequali sonole associateoperazionidi simmetriapossibili?

ÂkÃ_Ä_ÅÇÆFÈQÉ4òwËQÊSi puo verificarecheper la particellalibera, con hamiltoniana£ = à 2 ¤ 2ð ,

l’impulso p e il generatoredelletraslazioni.Innanzi tutto, tutte le componentidi p commutanotra di loro e con £ , per cui

l’operatoreunitario ¥(a) = é�ê a ¦ p l -§ (4 ¹ 27)

lasciainalteratala hamiltoniana,cona cherappresentaunatraslazionespaziale.D’altrapartel’azionedell’operatore

¥(a) suunafunzione (r) puo esserecalcolata:¥

(a) ¨ (r) = é ê a ¦ p l -§ ¨ (r)

= é a ¦ © ©© ¨ (r)

=¬11 + a ª�« «« +

12!� a ª�« «« � 2

+ ¹_¹_¹ ® ¨ (r) ¹Ma, ricostruendolo sviluppodi Taylor, questosignificaproprio¥

(a) ¨ (r) = ¨ (r + a) ¹ (4 ¹ 28)

Esercizio 4.4

Perche nell’Esempio4.1 non e statonecessarioutilizzare un operatoreunitarioinfinitesimale,masi e ricorsidirettamenteaun operatoreunitariopertraslazionifinite?

Esercizio 4.5

Verificarecheperunaparticellasottopostaallahamiltoniana£ = à 2 ¤ 2ð + ñ ( ¬ ) lacomponentedelmomentoangolare@õ e il generatoredellerotazioniintornoall’asse® .

Esercizio 4.6

Verificare che la hamiltoniana,se non dipendeesplicitamentedal tempo, e ilgeneratoredelletraslazionitemporali.

281

�� 798;:°¯,:²±s³.M�A�G��m?A;KxN�K£Aa?8�mGJI�K�?�L�MLeconsiderazionidelparagrafoprecedentesonomeglio illustratedall’importan-

te esempiodelletrasformazioniindottedaunarotazionenello spazioordinarioa tredimensioni.Classicamentesi puo operareunarotazionein duemodi. Si puo lasciareindisturbatoil sistemafisicoeruotareil sistemadi riferimento: equestoil cosiddettopunto di vista passivo, cui viene associatala rotazione ´ . Da un punto di vistaattivo invecesi procededirettamentealla rotazione

�delsistemafisiconellospazio,

tenendofermoil sistemadi riferimento. I duemodidi procederesonoequivalentisele duerotazionisonol’una l’inversadell’altra: ´ =

� C 1.Si suppongache la rotazione del sistemadi riferimentoavvengalasciando

l’origine µ fissa.E possibilestabilireunlegametrale coordinate( T¶!·¶�!�¸ ) di unpuntoª

nel sistemadi riferimentooriginalee quelle( T � !·¶ � !�¸ � ) nel sistemaruotato. Cioequivaleafornireil legametrale componentidelvettoreposizioner di

ªnelsistema

di riferimentooriginalee in quelloruotato.

Fig. 5.1.Rotazioneantiorariaintornoall’asse® .

Perunarotazionedi unangolop intornoall’asse in sensoantiorario(fig. 5.1),si ottiene: ¹º» º¼ T � = T cos p + ¶ sin p¶!¶ � = )[T sin p + ¶ cosp¶!¸ � = ¸F+ (5 + 1)

Naturalmentela stessarotazionesi ottieneperunangolop � = p + 2I o , con o intero.Se p e pari aunangoloinfinitesimale,si dicechela rotazionee infinitesimale.

La piu generalerotazione del sistemadi riferimentointornoa µ puo essereespressamediantetre successive rotazioni intorno a opportuniassi(fig. 5.2): unarotazionedi � intornoall’asse , seguitadaunarotazionedi ½ intornoall’asse¶ � = ¶ �g�e da unarotazionedi ¾ intorno all’asse ¸ �g� . Gli angoli �x!·½x! ¾ sonodetti angoli diEulero dellarotazionee l’operazionedi rotazionevieneindicatacon ´ = ´ ( �¿½O¾ ).

282

¢ ��m��Q��9h��j�m��Q�� ,

Fig. 5.2.Rotazionein tredimensioni.

Indicandocon T�{ (�

= 1 ! 2 ! 3) le coordinatedi

ªnel sistemaoriginalee con T �{

quellenel sistemaruotato,il legametra Tj{ e T �{ e,comeperla (5.1),ancoralineare,T �{ =~ * ´ { * T * ! (5 + 2)

dove ´({ * sonogli elementidellamatricecherappresentala rotazione ( �O½¿¾ ).Peresempio,per la rotazioneintorno all’asse ¸ descrittadall’eq. (5.1) risulta� = p¶!·½ = ¾ = 0 e ´ ( � 00) = @@@@@

cos� sin � 0) sin � cos� 00 0 1 @@@@@ + (5 + 3)

Similmente,perunarotazionedi ½ intornoall’asse¶ , si ha´ (0½ 0) = @@@@@cos½ 0 ) sin ½

0 1 0sin ½ 0 cos½ @@@@@ + (5 + 4)

La piu generalerotazionedel tipo descritto in fig. 5.2 risulta dall’applicazionesuccessivadi tre rotazioni:´ ( �¿½O¾ ) = ´ (00¾ ) ´ (0½ 0) ( � 00)+ (5 + 5)

Esplicitamentesi ottiene

283

�� ´ ( �O½¿¾ ) =

= @@@@cos

{cosÀ cosÁÃÂ sin

{sin Á sin

{cosÀ cosÁ + cos

{sin Á Â sin À cosÁÂ cos

{cosÀ sin Á%Â sin

{cosÁÄÂ sin

{cosÀ sin Á + cos

{cosÁ sin À sin Á

cos{

sin À sin{

sin À cosÀ @@@@ +(5 + 6)La matrice(5.6) e reale, ortogonaleeunimodulare, cioe´ = ´��J! ´jÅ = ´ C 1 ! det ´ = 1 + (5 + 7)

Esercizio 5.1

Verificarela (5.6)e le (5.7).

In meccanicaquantisticale rotazionivannoapplicateallo statodi un sistemafisicocheerappresentatodaunvettorenellospaziodi Hilbert. Perstudiarnel’effettoconvieneutilizzareil puntodi vistaattivo econsiderareunsistemafisicocostituitodaunaparticelladescrittadallostatoVYSO0 edall’associatafunzioned’ondaS (r). Eseguitala rotazione

�delsistemae indicaticon VYS1��0 econ S(� (r) rispettivamentelo statoe la

funzioned’ondachedescrivonoil sistemaruotato,si deveavereVYS1��0 =

� VYS$0_! S(� (r) =

�[ S (r)] + (5 + 8)

Dire che VYS(�Q0 e lo statoottenutoda VYSO0 mediantela rotazione

�effettuatasulsistema

significachel’insiemedi misurazionidi osservabili fisichechesi potevanofaresulsistemaoriginale descrittoda VYSO0 forniscegli stessirisultati per le corrispondentimisurazionifattesul sistemadescrittoda VYS1�Q0 .

In particolare,se si e interessatia una misuradi posizione,la distribuzionedi probabilita di presenzaper la particellae datain origine da VYS (r) V 2 e, dopo larotazione,da VYS(� (r) V 2. DalladefinizioneS (r) = - r VYS�0 (5 + 9)

segue S(� (r) = - r V � VYSO0 = - � C 1r VYSO0= -'´ r VYS�0 = - r � VYS$0

e quindi S(� (r) = S (r � ) ! (5 + 10)

cioe,dopola rotazione

�del sistemafisico, la funzioned’ondaper la particellain r

halo stessovaloredella funzioned’ondadellaparticella,primadella rotazione,nelpuntor � chevieneraggiuntoa partiredar pereffettodellarotazione =

� C 1:

284

¢ ��m��Q��9h��j�m��Q�� ,S(� (r) = S ( ´ r) + (5 + 11)

Allora deveancheessere VYS(� (r) V 2 = VYS (r � ) V 2 ! r � = ´ r + (5 + 12)

In generale,indicatocon � l’operatorequantisticoassociatoa un’osservabilefisicachesi vuolemisuraresulsistemaoriginaleecon � � l’operatorecorrispondentealla stessaosservabilefisicachesi vuolemisuraresul sistemaruotato,si deveavere-�S(��V � � VYS(�Q0 = -�SDV ��VYS$0�! (5 + 13)

cioe,perla (5.8), � � � � � = ��+ (5 + 14)

Siccomela rotazionedeve conservarela normadi VYSO0 , l’operatore

�associatoalla

rotazione(5.8)deveessereunoperatoreunitario,� � =

� C 1 ! (5 + 15)

e quindi la (5.14)edello stessotipo della(4.13):� � =

� � � C 1 + (5 + 16)

Perla costruzioneesplicitadell’operatore

�convieneconsideraredapprimala

rotazioneparticolareintornoall’asse di unangolo p ,

�hÆ( p ). Perla (5.11)e la (5.1)

questarotazione(

� C 1 = ´ ) trasformaS (r) nelmodoseguente:�hÆ( p ) S ( T¶!·¶�!�¸ ) = S ( T cos p + ¶ sin p¶!|)[T sin p + ¶ cosp¶!�¸ ) + (5 + 17)

Sela rotazionee infinitesimale( p = � ), si ottiene�hÆ( � ) S ( T¶!·¶�!�¸ ) ÇsS ( T + �·¶j!|)%�aT + ¶j!�¸ )ÇsS ( T@!·¶j!�¸ ) + � ¬ ¶ � S� T )T � S� ¶ ®

= â 11 ) �-� �ÉÈ Æ

å S ( T¶!·¶�!�¸ ) !dove si e utilizzatala definizione(IV.2.25)per l’operatorecorrispondentealla com-ponentedel momentoangolarelungol’asse ¸ . Pertantorisulta� Æ

( � ) = 11 ) �-� �·È Æ ! (5 + 18)

285

�� cheedellaforma(4.21).

Si passafacilmentedaunarotazioneinfinitesimaleaunarotazionefinita intornoall’asse ¸ , tenendopresentecheogni rotazionefinita intorno a un assepuo essereottenutacomeapplicazionesuccessivadi rotazioniinfinitesimali. Percio� Æ

( p +� p ) =

� Æ(� p )

� Æ( p )

= â 11 ) �-� � p]È Æ

å�hÆ

( p ) !cioe �� p

�OÆ( p ) = ) �

-�ÊÈ ÆË�OÆ( p ) + (5 + 19)

La (5.19)eun’equazionedifferenzialeperl’operatore

�OÆ( p ). In virtu del fattochele

rotazioniintornoaunassecommutano,la (5.19)puo essereintegrataconil seguenterisultato: �OÆ

( p ) = z C { Ì�ÍZÎ G -H + (5 + 20)

Il risultato(5.20)confermache

�hÆ( p ) eunoperatoreunitarioeche È Æ

e il generatoredellerotazioniintornoall’asse .

A questeconsiderazionisi puo darepiu ampiageneralizzazionesostituendoaÈ Æl’operatoreÏ Æ introdottonell’Esempio1.4e,in generaleperunarotazioneintorno

all’asseu, l’operatoreÏ_Ð � J Ñ u. In tal modovengonocosideratele rotazionidi unsistemafisico chepuo ammettereancheautovalori seminteridel momentoangolaresecondola (1.61). Si puo cosı definirel’operatoredi rotazioneintornoall’asseu:� Ð ( p ) = z C { Ì�ÒÔÓ G -H + (5 + 21)

Se Ï 2 ammetteautovalori interi,unarotazionedi 2I intornoau equivaleall’operatoreidentita,mentreperautovalori seminteridi Ï 2 occorreunarotazionedi 4I intornoau perriprodurrel’identita.

L’operatorecorrispondentealla piu generalerotazionecon centro fisso µ ,definita dagli angoli di Eulero ( �¿½O¾ ), puo esserecostruitomediantegli operatoricherappresentanole trerotazioniintornoaunassecorrispondentiai treangoli( �O½¿¾ )della fig. 5.2. Facendoattenzioneall’ordine di applicazionesuccessiva, in quantorotazioniintornoadassidiversiin generalenoncommutano,si ottiene�

( �O½¿¾ ) =

�hÆ?4? ( ¾ )

��Õ?4? ( ½ )

�OÆ( � )

= z C {nÖ�Ò Î ?4? G -H z C {,×_ÒÔØ ?4? G -H z C {��Ò\Î G -H + (5 + 22)

Questooperatorepuo essereriscritto coinvolgendosolole componentidel mo-mentoangolarelungogli assioriginali ( T¶!·¶�!�¸ ). Infatti l’operatoreÏ Õ ?4? si deducedaÏ Õ perrotazione

�hÆ( � ) in basealla (5.16):

286

¢ ��m��Q��9h��j�m��Q�� ,Ï Õ ?4? =

�hÆ( � ) Ï Õ8� C 1

Æ( � )

= z C {��Ò\Î G -H Ï Õ z + {Q��Ò\Î G -H +Pertanto z�C {,×_ÒÔØ ?4? G -H = z�C {��Ò\Î G -H zKC {,×_Ò Ø G -H z + {��Ò\Î G -H + (5 + 23)

Similmente,Ï Æ ?4? si ottieneda Ï Æ perrotazionisuccessive

�hÆ( � ) e

��Õ?4? ( ½ ). Percio

z C {,Ö�Ò Î ?4? G -H = z C {�×8Ò Ø ?4? G -H z C {��Ò\Î G -H z C {,Ö�Ò\Î G -H z + {��Ò\Î G -H z + {,×_Ò Ø ?4? G -H + (5 + 24)

Inserendo(5.23)e (5.24)nella(5.22),si ottieneinfine�( �O½¿¾ ) = z C {��Ò\Î G -H z C {�×8Ò Ø G -H z C {nÖ�Ò\Î G -H + (5 + 25)

Una rappresentazioneparticolarmenteutile dell’operatore

�( �¿½O¾ ) si ottiene

mediantei vettori V +�¥"0 , autostatisimultaneidi Ï 2 e Ï Æ , che,comesi e rilevatoallafinedell’Esempio1.4,perfissato+ costituisconounsottospazioa2+ + 1 dimensioni,chesi trasformain seperapplicazionedegli operatoriÏ F !ÙÏ Õ !ÙÏ Æ . Pertantoapplicando�

( �¿½O¾ ) a V +,¥"0 , si ottieneunacombinazionelinearedi stati V +,¥ � 0 ,�( �O½¿¾ ) V +,¥"0 =

~ ¦ ? ¡ * ¦ ? ¦ ( �¿½O¾ ) V +�¥ � 0_! (5 + 26)

e il sottospazio# V +,¥"0�% vienedettosottospazioinvarianterispettoalla rotazione

�.

I coefficienti di sviluppo ¡ * ¦ ? ¦ ( �¿½O¾ ) sonoproprio gli elementidella matricedirotazionecherappresenta

�( �O½¿¾ ):¡ * ¦ ? ¦ ( �¿½O¾ ) = -�+�¥ � V � ( �O½¿¾ ) V +,¥"0= -�+�¥ � Vgz C {Q��Ò Î G -H z C {,×_Ò Ø G -H z C {,Ö�Ò Î G -H V +�¥"0;+ (5 + 27)

La dipendenzada � e ¾ di ¡ * ¦ ? ¦ ( �¿½O¾ ) e subitoesplicitatafacendoagireglioperatoridi rotazioneintornoa ¸ (adestraquellodi unangolo¾ easinistraquellodiunangolo � ): ¡ * ¦ ? ¦ ( �¿½O¾ ) = z C {�� ¦ ? -�+�¥ � VYz C {�×8Ò Ø G -H V +�¥"0�z C {nÖ ¦ + (5 + 28)

Il calcolodell’elementodi matrice� * ¦ ? ¦ ( ½ ) = -�+�¥ � VYz C {,×_Ò Ø G -H V +�¥"0 (5 + 29)

e immediatoperunarotazioneinfinitesimale( ½ = � ) intornoall’asse¶ . Dalla (1.52)e

287

�� 11 ) �

-�E�\Ï Õ = 11 +�

2-� ( Ï C )ÚÏ +) (5 + 30)

e quindi � * ¦ ? ¦ ( � ) = © ¦[¦ ? +�

2-�4-,+,¥ � VÛÏ C )ÚÏ + V +�¥"0_! (5 + 31)

cheperla (1.65)diventa� * ¦ ? ¦ ( � ) = © ¦[¦ ? + 12 � # � + (+ + 1) )�¥ ( ¥ ) 1) © ¦ ? Ü ¦ C 1) � + (+ + 1) ) ¥ ( ¥ + 1) © ¦ ? Ü ¦ +1 %,+ (5 + 32)

L’espressionegeneraleper� * ¦ ? ¦ ( ½ ) e stataottenutadaWigner17:� * ¦ ? ¦ ( ½ ) =

�(+ + ¥ )!( +�)�¥ )!( + + ¥ � )!( +�) ¥ � )!Ý ~KÞ

( ) )

Þ â cos12 ½ å 2

*+ ¦ C ¦ ? C 2

Þâ ) sin 1

2 ½ å ¦ ? C ¦ +2

Þ(+�)�¥ � )5ß )!( + + ¥ )5ß )!( ß + ¥ � )¥ )! ß !

! (5 + 33)

dove la sommainclude i valori interi di ß e quindi l’argomentodei fattoriali nondiventanegativo. Dall’unitarietadellatrasformazionediscendela seguenteproprieta:� * ¦ ? ¦ ( ½ ) =

� * ¦[¦ ? ( )à½ ) + (5 + 34)

Inoltre valgonole relazioni� * ¦ ? ¦ ( ½ ) = ( ) )¦ ? C ¦ � * ¦[¦ ? ( ½ ) ! (5 + 35)� * ¦ ? ¦ ( ½ ) = ( ) )

¦ ? C ¦ � * C ¦ ? Ü C ¦ ( ½ ) + (5 + 36)

Questerelazionipermettonodi ricavaresimili relazioni di simmetriaancheper lamatrice¡ * ¦ ? ¦ ( �¿½O¾ ): ¡ * ¦ ? ¦ ( )à¾@!|)à½Ç!|) � ) = ¡ * �¦[¦ ? ( �O½¿¾ ) ! (5 + 37)

¡ * �¦ ? ¦ ( �¿½O¾ ) = ( ) )¦ ? C ¦ ¡ * C ¦ ? Ü C ¦ ( �¿½O¾ ) + (5 + 38)

E utile il casoparticolare

¡ $¦ 0( �¿½ 0) = < 4I2" + 1 á �$ ¦ ( ½Ç!�� ) ! (5 + 39)

17 Cfr. n. 4 p. 252;p. 180dell’edizionetedesca,p. 167dellatraduzioneinglese.

288

¢ ��m��Q��d�� d��;f ��d��h�e�n �,â �Hf �dacui si ottieneanche

¡ $00(0½ 0) = < 4I

2" + 1 á $ 0( ½ 0) + (5 + 40)

In questocaso,perla (IV.2.47),si ritrova allorail polinomiodi Legendre:� $00( ½ ) =

ª $ (cos½ ) + (5 + 41)

Le matrici di rotazionesoddisfanole relazionidi ortonormalita:~ ¦ ¡ * �¦ ? ¦ ( �¿½O¾ ) ¡ * ¦ ?4? ¦ ( �¿½O¾ ) = © ¦ ? ¦ ?4? ! (5 + 42)~ ¦ ¡ * �¦[¦ ? ( �¿½O¾ ) ¡ * ¦[¦ ?4? ( �¿½O¾ ) = © ¦ ? ¦ ?4? + (5 + 43)

Questerelazioni esprimonoil fatto che ¡ * ¦[¦ ? ( �¿½O¾ ) rappresentanouna trasfor-mazioneunitariachefa passaredall’insiemedi 2+ + 1 autostati

# V +,¥"0_% all’insiemedi autostatiruotati

# ´ ( �¿½O¾ ) V +,¥"0;% .Infinevalela proprieta di ortogonalita sullasferaunitaria,À �_ã ¡ * �¦

1¦

2( �¿½O¾ ) ¡ * ?¦ ?1 ¦ ?2( �¿½O¾ ) =

8I 2

2+ + 1© * * ? © ¦ 1

¦ ?1 © ¦ 2¦ ?2 ! (5 + 44)

dove l’integrale si estendesull’intervallo completodei tre angoli di Eulero dellarotazione: À �Jã

=À 2�

0

� � À �0

� ½ sin ½ À 2�0

� ¾�+ (5 + 45)

Esercizio 5.2

Trascriverela (5.26)nellarappresentazionedelleposizioniperunafunzione�ö � =¸ r ° ø ðù² .Esercizio 5.3

Conl’ausilio dellerelazionidi ortogonalitadellematricidi rotazione,verificarechela normadellafunzione�ö � dell’Esercizioprecedentesi conserva.

798;:°ä,:²±s³.M;A�G8�m?A;KQ��M;L�!�?A;K�G�E§KxKQA;A;K�N�C.R�K�å;K�E§KLa (5.26)esprimela proprieta di sottospazioinvarianterispettoalla rotazione

da partedell’insiemedi autovettori# V +,¥"0�% con + fissato. Analogamentee utile

289

�� considerareancheun insiemedi operatorichesi trasformain se per effetto di unarotazione.Sianodati2( + 1 operatori,

� 3æ ( V �ÁV�çx( ), che,in virtu di unarotazione

�,

obbedisconoallaseguenteleggedi trasformazione:� � 3æ � C 1 =~ æ ? ¡ 3æ ? æ � 3æ ? + (6 + 1)

Si diceallorachegli operatori� 3æ costituisconole 2( +1 componentidi unoperatore

tensorialeirriducibile di ordine ( , T3. Analogamentealla leggedi trasformazione

(5.26),l’indice ( puo assumerevalori interi o seminteri18.Per ( = 0, l’unico operatorein gioco,

� 00 , e un operatorescalarerispettoalle

rotazionie,dalla(6.1),segueappunto

[

� ! � 00 ] = 0 + (6 + 2)

Per ( = 1 si possonocostruiregli operatoritensorialiirriducibili di ordine1,� 1æ , mediantele componenticartesianez F !_z Õ !_z Æ di un operatorevettoriale,e. Glioperatori zËè 1 = é 1:

2( z F 6 � z Õ ) ! z 0 = z Æ ! (6 + 3)

costituisconoi treoperatoritensorialiirriducibili di ordine1, cioe� 1æ = z æ ( � = 0 !Ô6 1) + (6 + 4)

Perla dimostrazionedella(6.4)si rilevi chegli z æ sonoottenuticomecombinazionilineari delle componenticartesianez F !_z Õ !_z Æ allo stessomodoin cui le armonichesfericheá 1¦ sonocostruitemediantele componenticartesianedelvettorer (cfr. Tab.IV.2). Ma in generalele armonichesfericheá $ ¦ (

� p ), consideratecomeoperatori,sipossonoriconoscerecomele 2" +1 componentidi unoperatoretensorialeirriducibiledi ordine " , Y

$. Infatti, ricordandochele armonichesferichesonoil rappresentativo

degli autostatidelmomentoangolarenellarappresentazionedelleposizioni,á $ ¦ (� p ) = - � p�V "�¥"0_! (6 + 5)

e che,perla (5.26),l’applicazionedellarotazione

�allo stato V "�¥"0 fornisce� V "�¥"0 =

~ ¦ ? ¡ $¦ ? ¦ ( �O½¿¾ ) V "�¥ � 0_! (6 + 6)

si ottiene

18 Il concettodi operatoretensorialeirriducibile fu introdottonel1931daWignernel libro citatoallan. 4p. 252,mafu ampiamentestudiatodaGiulio Racah(1909–1965).G. Racah: Theoryof Complex Spectra. I. II. III. [Teoria degli spettri complessi. I. II. III.] , PhysicalReview 61 (1942)186–197;62 (1942)438–462;63 (1943)367–382.

290

¢ ��m��Q��d�� d��;f ��d��h�e�n �,â �Hf �- � pkV � V "�¥"0 =

~ ¦ ? ¡ $¦ ? ¦ ( �¿½O¾ ) - � pkV "�¥ � 0_+ (6 + 7)

D’altra partee - � pkV � V "�¥"0 = - � � p � V "�¥"0 = á $ ¦ (� � p � ) ! (6 + 8)

e quindi á $ ¦ (� � p � ) =

~ ¦ ? ¡ $¦ ? ¦ ( �O½¿¾ ) á $ ¦ ? ( � p ) + (6 + 9)

Esercizio 6.1

Partendodalla(6.9)edalla(5.39),verificarela (IV.2.53).

La (6.1) vale per qualunquerotazionee dunqueancheper una rotazionein-finitesimaledel tipo �

= 11 ) �-� �ÙÏ Ð + (6 + 10)

Perla (4.25),la (6.1)puo essereallorariscrittanellaforma� 3æ ) �-� � [ Ï Ð ! � 3æ ] =

~ æ ? ¡ 3æ ? æ � 3æ ? + (6 + 11)

La conoscenzadellamatrice¡ 3æ ? æ associataallarotazioneinfinitesimale(6.10)deter-minaquindi il commutatore[ Ï_Ðj! � 3æ ].

Esercizio 6.2

Ricavarele seguentiregoledi commutazionedegli operatoritensorialiirriducibiliê ëë congli operatoridi momentoangolare:

[ ó õ Î ê ëë ] = -ä � ê ëë Î (6 ¹ 12)

[ ó ú Î ê ëë ] = -ä � æ(æ

+ 1) Ïì� ( � û 1)ê ëë ú 1 ¹ (6 ¹ 13)

7�8;:1íJ:�8_LZîM;A\!_K/?L9Mï��M;B³Á?�A�GE�MSi verificanoanchesimmetrienondescrittedaoperatoriunitari. Qui interessa

la possibilita di invertireil sensodi scorrimentodel tempo. In fisicaclassicaperun

291

�� sistemasoggettoaforzeconservativeleequazionidelmotoprevedonolapossibilitadisoluzioniche,perinversionetemporale,riproduconola stessatraiettorianellospaziodelle fasipercorsaa ritroso: l’operazionedi inversionetemporale,

� ' ) � , cambiadi segnogli impulsiprovocandoun’inversionedelmoto. In meccanicaquantisticasipuo definireunoperatoredi inversionetemporale, ð , che,agendosullo stato VYS (

�) 0

soggettoall’equazionedi Schrodinger,� -� �� VYS (�) 0 = VYS (

�) 0�! (7 + 1)

lo trasformanellostato V S (�) 0 = ðrVYS (

�) 0�! (7 + 2)

chedescrive la stessasituazionedi VYS (�) 0 , macongli impulsi cambiatidi segno.

La hamiltoniana e invarianteper un cambiamentodi segnodegli impulsi equindi commutacon ð , ð� = ñð ! (7 + 3)

cioe ð� ñð C 1 = "+ (7 + 4)

Allora V S (�) 0 soddisfa l’equazione) � -� �� V S (

�) 0 = V S (

�) 0�! (7 + 5)

dove il segnonegativo e dovutoalla derivatatemporale.D’altra parte,agendocon ð sulla(7.1)etenendopresentecheil parametroreale�

commutacon ð , si ottieneð � ð C 1 -� �� ðrVYS (�) 0 = ð� òð C 1 ðrVYS (

�) 0�! (7 + 6)

checoincideconla (7.5)sesi imponeð � ð C 1 = ) � + (7 + 7)

Questarelazionee un casoparticolaredella relazioneche definisceun operatoreantilineare � : �ôó � 1 VYS 1 0 + � 2 VYS 2 0;õ = � �1 ��VYS 1 0 + � �2 ��VYS 2 0_+ (7 + 8)

Ognioperatoreantilineare� puoessererappresentatocomeil prodottodi unoperatorelineare È e l’operatoreö di complessaconiugazione:� = ÈTö"+ (7 + 9)

292

÷��ø� �d�d�H��,Ç�� c��/�;fºIn particolare,sel’operatorelineareÈ utilizzatonelprodottocon ö eunitario, È =

�,

l’operatoreantilinearerisultanteeunoperatoreantiunitario. E convenientescegliereð antiunitario: ð =

� ö^! � � =

� C 1 + (7 + 10)

In tal modo il prodotto scalaretra due stati V ù ¤ 0 e V ù ¢ 0 , ottenuti per inversionetemporaledagli stati V ù ¤ 0 e V ù ¢ 0 , risulta:- ù ¤ V ù ¢ 0 = - � öúù ¤ V � öúù ¢ 0

= -'öúù ¤wV � � � V öúù ¢_0= -�ù ¤FV ù ¢;0 � !

cioe - ù ¤ V ù ¢ 0 = -�ù ¢JV ù ¤�0�+ (7 + 11)

In particolarela norma, - ù ¤ V ù ¤ 0 = -�ù ¤.V ù ¤�0 � = -'ù£¤.V ù ¤�0_! (7 + 12)

rimaneinalteratain quantoeunnumeroreale.Percostruireesplicitamenteð occorredefinire

�. Perla (7.3)deveessere� � = � + (7 + 13)

L’espressionedi

�quindi dipendedal tipo di hamiltonianae dallarappresentazione

scelta.Sela hamiltonianadipendesolodagli operatoridi posizioneedi impulso,nella

rappresentazionedelleposizionie � = ; in assenzadi campoelettromagnetico,senzaperditadi generalita si puo allora scegliere

�= 11 (cfr. EsercizioIII.3.7) e,

comein fisicaclassica,quandosi inverteil sensodeltempole coordinatedi posizionenoncambiano,mentregli impulsi e i momentiangolaricambianosegno:

r ' r � = ð r ð C 1 = r !p ' p� = ð pð C 1 = ) p !

L = r Ý p ' L � = ð L ð C 1 = ) L + (7 + 14)

Nella rappresentazionedegli impulsi invece � w= e quindi occorreconsiderareesplicitamenteunoperatore

�=

�p cheinvertegli impulsi.

In presenzadi un campoelettromagneticodescrittodaun potenzialevettoreA,perlasciareinvariantela hamiltonianaoccorrescambiare,oltrechep in ) p, ancheAin ) A. Percionellarappresentazionedelleposizionioccorreunoperatore

�=

�A che

inverteA in ) A, mentrenellarappresentazionedegli impulsisi deveavere

�=

�A

�p.

293

VII. EVOLUZIONE TEMPORALEIN MECCANICA QUANTISTICA

L’evoluzione temporale in meccanica quantistica e governata dall’equazione diSchrodinger: essa e postulata come equazione d’onda per determinare la funzioneche descrive il sistema in esame al variare del tempo. Nella sua costruzione inter-viene in modo essenziale la hamiltoniana del sistema: nella trattazione elementaresi parte dalla hamiltoniana classica e la si reinterpreta in termini operatoriali se-condo regole di quantizzazione che associano a ogni variabile dinamica classica unoperatore autoaggiunto. Il tempo, che non e un osservabile, rimane anche in mec-canica quantistica un parametro che serve a etichettare la funzione del sistema neisuccessivi istanti della sua evoluzione. Questo modo di procedere, che va sotto ilnome di quantizzazione canonica, e quello seguito finora anche nella formulazionedi Dirac basata sullo spazio di Hilbert astratto: il ket che rappresenta il sistema esoggetto all’equazione di Schrodinger che lo modifica nel tempo. Siccome pero, permotivi interpretativi, la norma di questo ket deve mantenersi costante, l’evoluzionetemporale in definitiva puo essere visualizzata come una rotazione nello spazio diHilbert dello stato che descrive il sistema. Tuttavia, l’analisi di questa rotazionee il rispetto dei postulati fondamentali della meccanica quantistica permettono diindividuare descrizioni alternative equivalenti, in cui la dipendenza dal tempo puoessere convenientemente attribuita non solo allo stato del sistema, come nell’usualedescrizione di Schrodinger, ma anche agli operatori o contemporaneamente agli statie agli operatori. Si ottengono cosı due altri tipi di descrizione: quella di Heisenberge quella di Dirac.

D’altra parte puo essere utile approfondire l’esame del formalismo per compren-dere meglio i legami con la descrizione classica e scoprire che anche in meccanicaquantistica, accanto a una formulazione hamiltoniana, e possibile una formulazionebasata sulla lagrangiana. Questa e la via seguita da Richard Phillips Feynman (1918–1988) con la tecnica dell’integrale su tutti i possibili cammini nello spazio delle fasiper ottenere l’ampiezza di probabilita di un certo evento. In questo modo, il concetto

295

�� !� �"#�!�%$&�'� �"��)( �*#�!�

di traiettoria su cui si fondava tutta la meccanica classica, e che era stato demolitodalla critica di Heisenberg, riemerge come caso limite, fisicamente realizzabile conla massima probabilita fra tutti quelli possibili 1.

Il capitolo, si conclude con un accenno all’estensione della trattazione quantisticaa sistemi non descrivibili mediante un vettore di stato nello spazio di Hilbert: questasituazione si verifica quando l’informazione sul sistema non e la massima consentitadai postulati quantistici, per cui occorre coinvolgere aspetti statistici classici che sisovrappongono a quelli quantistici. Dopo la discussione dei cosiddetti casi puri ecasi miscela, viene percio introdotto l’operatore densita associato al sistema: essoconsente una descrizione unificata dell’evoluzione temporale sia dei casi puri, siadei casi miscela, con un naturale collegamento con la termodinamica e la meccanicastatistica classica.

+-,,�.�/�.1032 46567�8#968�:�;�23<=8?>�5�@A7CB:A<=8D;AEA267

Nella descrizione di Schrodinger l’evoluzione temporale di un sistema quanti-stico isolato e governata dall’equazione

F -GIHHKJ

LNM( J ) O = P LNM

( J ) O6Q (1 R 1)

in cui per ipotesi la hamiltoniana P del sistema non dipende esplicitamente daltempo e il ket

LNM( J ) O e un elemento dello spazio di Hilbert astratto. L’equazione di

Schrodinger (1.1) e un’equazione differenziale del primo ordine nel tempo: percio,una volta noto il ket

LNM( J 0) O a un istante particolare J 0, che viene assunto come

istante iniziale, essa permette di ricavare il ketLNM

( J ) O a ogni successivo istante. Inquesto senso l’evoluzione dello stato del sistema risulta perfettamente deterministica,almeno fintanto che il sistema rimane sottoposto alla sola sua hamiltoniana e nonviene perturbato dall’osservatore, per esempio attraverso un processo di misura cheintroduce effetti incontrollabili e irreversibili come quello della riduzione di

LNM( J ) O .

Secondo i requisiti interpretativi, il ketLNM

( J ) O deve mantenersi normalizzato du-rante la sua evoluzione temporale all’interno dello spazio di Hilbert. Allora l’insiemedei ket di norma unitaria che rappresentano il sistema nei vari istanti successivipuo essere riguardato come le successive posizioni nello spazio di Hilbert occupatedal ket iniziale, come se l’evoluzione temporale fosse una rotazione indotta da unatrasformazione unitaria dipendente dal tempo. Determinare questa trasformazionedeve risultare equivalente alla risoluzione della (1.1).

Si scelga come istante iniziale J 0 = 0. Allora deve essere

1 R.P. Feynman: The Space-Time Approach to Non-relativistic Quantum Mechanics [L’approccio spazio-temporale alla meccanica quantistica non relativistica], Reviews of Modern Physics 20 (1948) 367–387.R.P. Feynman e A.R. Hibbs: Quantum Mechanics and Path Integrals, Mc-Graw Hill, New York, 1964.Feynman condivise il premio Nobel per la Fisica del 1965 con Sin-Itiro Tomonaga (1906–1979) e JulianSeymour Schwinger (1918–1994) per il fondamentale contributo dato all’elettrodinamica quantistica.

296

� ��(&�&�!��#� � �� =�� )�� LNM

( J ) O = �� ( J ) LNM (0) O Q (1 R 2)

dove l’operatore �� ( J ) e un operatore unitario,

� � ( J ) = �� 1 ( J ) Q (1 R 3)

con l’ovvia condizione iniziale

�� (0) = 11 R (1 R 4)

Con l’inserimento della (1.2) nella (1.1), questa si traduce in un’equazione didefinizione per �� ( J ),

F -G H �� H J = P�� CQ (1 R 5)

la cui soluzione risulta

�� ( J ) = � � �� -� R (1 R 6)

La (1.6) rappresenta dunque un operatore unitario che soddisfa la (1.4) e che costitu-isce l’operatore di evoluzione temporale nella descrizione di Schrodinger.

Esercizio 1.1

Verificare che, se si sceglie come istante iniziale per la descrizione di Schrodingerl’istante � = � 0, l’espressione dell’operatore di evoluzione temporale diventa�!

( �#"$� 0) = %'&)(+* ( , & , 0) - -.�/ (1/7)

Esercizio 1.2

Tenendo presente che la forma esponenziale dell’operatore di evoluzione temporalenella (1.6) (o nella (1.7)) e solo simbolica per indicare uno sviluppo in serie,�!

( � ) =0 1 12 ! 3 "�4657�-8 9 1): (1

/8)

verificare che�!

( � ) e unitario.

Esercizio 1.3

Verificare che, se 5 non dipende esplicitamente dal tempo,�

( � ) commuta con 5 :

[ 5 : �; ( � )] = 0/

(1/9)

297

�� !� �"#�!�%$&�'� �"��)( �*#�!�

Esercizio 1.4

Verificare che per una hamiltoniana 5 ( � ) dipendente dal tempo, l’operatore dievoluzione temporale puo scriversi nella seguente forma simbolica:�!

( � : � 0) = exp � " 4-8�� ,, 0 � �� 5 ( �� ) � /

(1/10)

Esercizio 1.5

Perche nella (1.7) l’operatore di evoluzione temporale��

( � " � 0) dipende solo dalladifferenza �#" � 0?

La (1.2) e perfettamente equivalente all’equazione di Schrodinger nel fornire lostato

LNM( J ) O , una volta noto lo stato

LNM(0) O iniziale. In particolare e facile ritrovare la

soluzione generale (IV.3.11) per l’equazione di Schrodinger. Si supponga infatti chesia

P L � O = � L � O Q (1 R 11)

dove per semplicita si considera uno spettro puramente discreto; allora lo stato inizialepuo essere sviluppato sulla base � L � O � ,

LNM(0) O =

0 �� L � O Q (1 R 12)

e, per la (1.2) e la (1.6), lo stato all’istante J diventa

LNM( J ) O = � � �� -� 0 �� L � O

=0 �� -� L � O Q (1 R 13)

in accordo con la (IV.3.11).

Esercizio 1.6

Fissati gli istanti � 1 e � 2, con � 2 � � 1, verificare che se, per una hamiltonianaindipendente dal tempo, all’istante � 1 la funzione d’onda fosse �� (r : � 2), all’istante � 2sarebbe �� (r : � 1). Qual e il significato di questo risultato?

+�,,�.�� .1, ��7 :�� E � !�:=7 2�<A2"�#�%$ 2'&)(��968�:�;�23<=8?> 56@A7CB: <�8 ; EA2�7

L’equivalenza tra la (1.2) e la (1.1) puo essere messa in miglior luce nella rappre-sentazione delle posizioni, mostrando che la (1.2) e la forma integrale dell’equazione

298

�!� �=�� &�)�� $&�'� �� )�� differenziale (1.1). A tale scopo, si costruisca nello spazio delle posizioni la funzioned’onda che descrive la particella nel punto r2 all’istante J 2 a partire dallo stato inizialeLNM

( J 1) O all’istante J 1:

M(r2 Q J 2) =

�r2

LNM( J 2) O

=�r2

L � � �� (�

2 � � 1)� -� LNM

( J 1) O�R (2 R 1)

Inserendo la spettralizzazione dell’operatore identita nello spazio delle posizioni, siha

M(r2 Q J 2) = �� r1

�r2

L � � �� (�

2 � � 1)� -� L

r1 O � r1LNM

( J 1) O= � � r1 � (r2 Q J 2

Lr1 Q J 1)

M(r1 Q J 1) Q

(2 R 2)

dove si e definito

� (r2 Q J 2Lr1 Q J 1) =

�r2

L � � �� (�

2 � � 1)� -� L

r1 O R (2 R 3)

La forma (2.2) mostra chiaramente che la soluzione dell’equazione di Schrodingerall’istante J 2 puo essere ottenuta dalla soluzione di un’equazione integrale: se siconosce all’istante iniziale J 1 la particolare soluzione dell’equazione di SchrodingerM

(r1 Q J 1), la funzione d’onda per la particella nel punto r2 all’istante J 2 e ottenibilesommando tutti i contributi che provengono dalle varie posizioni r1 iniziali, ciascunopesato con la funzione � della (2.3). Questa funzione e l’elemento di matricedell’operatore di evoluzione temporale nella rappresentazione delle posizioni e, percostruzione, rappresenta l’ampiezza di probabilita che la particella, localizzata in r1

all’istante J 1, si trovi all’istante J 2 nel punto r2. Con la sua dipendenza dal tempo,� costituisce il nucleo dell’equazione integrale che descrive la propagazione dellasoluzione da r1 all’istante J 1 verso r2 all’istante J 2. Per questo motivo � vieneindicato come il propagatore associato all’equazione di Schrodinger.

Nella sua forma integrale la (2.2) ricorda quanto succede in ottica col principiodi Huyghens, che stabilisce il criterio con cui ricostruire il fronte d’onda a un certoistante come inviluppo di tutte le onde emanate dai punti del fronte d’onda a un istanteprecedente. In questa analogia, l’equazione differenziale di Schrodinger corrispondealle equazioni di Maxwell.

Ricorrendo agli autostati della hamiltoniana individuati dalla (1.11) e possibiledare una forma esplicita al propagatore:

� (r2 Q J 2Lr1 Q J 1) =

0 �� r2

L � O � � L � � �� (�

2 � � 1)� -� L O � L

r1 O�Qcioe

� (r2 Q J 2Lr1 Q J 1) =

0 � (r2) � � (r1) � � �� (�

2 � � 1)� -� Q (2 R 4)

299

�� !� �"#�!�%$&�'� �"��)( �*#�!�

dove

� (r) =�rL � O (2 R 5)

sono gli autostati della hamiltoniana nella rappresentazione delle posizioni. La (2.4)indica che il propagatore coinvolge tutto lo spettro della hamiltoniana e percio la suadeterminazione e equivalente a risolvere l’equazione agli autovalori per P .

Il propagatore soddisfa l’equazione di Schrodinger, come si puo verificare ap-plicando a � , scritto nella forma (2.4), l’operatore

F -G HHKJ 2 � P 2 Q

dove P 2 va inteso come l’operatore hamiltoniano in cui gli operatori di posizione re di impulso p = � F -G�� agiscono sulla coordinata di posizione 2. Si ottiene infatti� F -G H

HKJ 2 � P 2 � � (r2 Q J 2Lr1 Q J 1) = 0 R (2 R 6)

Per questa ragione e grazie al suo uso in un’equazione del tipo della (2.2), il propa-gatore costituisce la soluzione fondamentale dell’equazione di Schrodinger.

Da un punto di vista strettamente matematico la (2.2) vale anche per J 2 � J 1.Tuttavia l’evoluzione temporale regolata dall’equazione di Schrodinger ha signifi-cato solo per J 2 � J 1, perche J 1 deve coincidere con l’istante in cui il sistema vienepreparato inizialmente. Percio conviene esplicitamente indicare questa limitazionesui valori di J nella definizione (2.3) del propagatore e definire il propagatore ri-tardato:

˜� (r2 Q J 2Lr1 Q J 1) =

�r2

L � � �� (�

2 � � 1)� -� L

r1 O�� ( J 2 � J 1) Q (2 R 7)

dove la funzione � ( J 2 � J 1) e la funzione gradino di Heaviside2:

� ( J 2 � J 1) = � 1 Q J 2 � J 1,0 Q J 2 � J 1.

(2 R 8)

Tenendo presente la (2.6) e la proprieta (cfr. eq. (A.31))

HH J 2

� ( J 2 � J 1) = ( J 2 � J 1) Qil propagatore ritardato ˜� soddisfa l’equazione

3 F -G HHKJ 2 � P 2 9 ˜� (r2 Q J 2

Lr1 Q J 1) =

F -G ( J 2 � J 1) � (r2 Q J 2Lr1 Q J 1) R

2 Oliver Heaviside (1850–1925) introdusse la funzione gradino, che prende il suo nome, per descriveresegnali transienti di tensione nello studio della risposta di un circuito elettrico.O. Heaviside: On operators in physical mathematics. I. & II. [Sugli operatori in fisica matematica. I. &II.], Proceedings of the Royal Society of London 52 (1893) 504–529; 54 (1893) 105–143.

300

�!� �=�� &�)�� $&�'� �� )�� Per la presenza della ( J 2 � J 1) si puo sostituire J 2 � J 1 con zero nell’espressioneesplicita (2.4) del propagatore � e quindi eseguirvi la somma su

�,0 � (r2) � � (r1) = (r2 � r1) Q

col risultato finale:

3 F -G HH J 2 � P 2 9 ˜� (r2 Q J 2

Lr1 Q J 1) =

F -G ( J 2 � J 1) (r2 � r1) R (2 R 9)

La (2.9) va risolta con la condizione al contorno

˜� (r2 Q J 2Lr1 Q J 1) = 0 Q J 2 � J 1 R (2 R 10)

La soluzione di equazioni del tipo (2.9), in cui l’operatore lineare derivativo applicatoa una funzione nel primo membro dell’equazione risulta proporzionale a una delta diDirac, viene chiamata funzione di Green 3. Per quanto detto in precedenza, le funzionidi Green servono a trovare le soluzioni della corrispondente equazione differenzialein cui il secondo membro sia zero, trasformandola in equazione integrale.

Esercizio 2.1

Verificare che per una hamiltoniana indipendente dal tempo � e ˜� dipendono solodalla differenza � 2 " � 1.

Esercizio 2.2

Nelle condizioni dell’Esercizio precedente costruire � (r1

:r2; � ) e ˜� (r1

:r2; � )

mediante una trasformata di Fourier (spaziale) di � (r2

: � 2 �r1

: � 1) e ˜� (r2

: � 2 �r1

: � 1), rispet-tivamente.

Esercizio 2.3

Verificare che per un sistema con invarianza traslazionale e con hamiltonianaindipendente dal tempo (come nel caso della particella libera) � e ˜� dipendono solodalle differenze r2 " r1 e � 2 " � 1.

3 Il nome deriva da quello del matematico George Green (1793–1841) che introdusse questo metodo per larisoluzione di equazioni differenziali in un saggio pubblicato a Nottingham nel 1828 (An Essay on the Ap-plication of Mathematical Analysis to the Theory of Electricity and Magnetism [Saggio su un’applicazionedi analisi matematica alla teoria dell’elettricita e del magnetismo]), in cui Green sottolineava il ruolodella funzione potenziale nello studio dei fenomeni elettrici e magnetici. Nello stesso saggio compareanche il lemma di Green relativo all’integrale di volume di una divergenza che si trasforma in un integraledel flusso attraverso la superficie che racchiude il volume stesso.

301

� � �� &�� D�� )�� "�� $&�"� �'�*�(!��

Esercizio 2.4

Nelle condizione dell’Esercizio precedente costruire � (p:

� ) e ˜� (p:

� ) cometrasformata di Fourier (spazio-temporale) di � (r2

: � 2 �r1

: � 1) e ˜� (r2

: � 2 �r1

: � 1), rispettiva-mente.

Esercizio 2.5

Verificare che ˜� (p:

� ) ottenuto nell’Esercizio precedente soddisfa l’equazione

( � " 5 ) ˜� = 11/

[Suggerimento: si tenga presente per confronto la (2.9).]

�� In questo esempio si calcola il propagatore per la particella libera: 5 = � 2 � 2 � .

Partendo dalla definizione (2.3), si ha

� (r2

: � 2 �r1

: � 1) = � r2�

exp

� " 4-8 � 2

2 � ( � 2 "$� 1) � �r1 �

= � � p �� p � � � r2�p � � � � p � � �

exp

� " 4-8 � 2

2 � ( � 2 " � 1) � �p � � � p � �

r1 �= � � p �� r2

�p � � exp

� " 4-8 � � 22 � ( � 2 " � 1) � � p � �

r1 � :dove si e inserita una completezza mediante gli autostati simultanei dell’impulso e dellahamiltoniana. Tenendo presente che nella rappresentazione delle posizioni questi sono(Esempio VI.1.2)

� r �p � =

1(2 � -8 )3 - 2

% ( p � r - -. : (2/11)

si ottiene

� (r2

: � 2 �r1

: � 1)

=1

(2 � -8 )3� � p � exp � 4

-8 �p �� (r2 " r1) " � � 2

2 � ( � 2 " � 1) � � / (2/12)

L’integrale nella (2.12) puo essere eseguito analiticamente. Aggiungendo e sottraendonell’esponente dell’integrando la stessa quantita, si trova

� (r2

: � 2 �r1

: � 1) =1

(2 � -8 )3exp

� 4-8 � 2 (r2 " r1)2

( � 2 " � 1)�

� � � p � exp � " 4-8 � 2 "$� 1

2 � � p � " � (r2 " r1)� 2 " � 1 � 2 � /302

�!� �=�� &�)�� $&�'� �� )�� Con la sostituzione di variabile

P � = p � " � (r2 " r1)� 2 "$� 1l’integrazione su � p � si trasforma in un integrale semplice su 4 �� 2 � � � :

� (r2

: � 2 �r1

: � 1) =4 �

(2 � -8 )3exp

� 4-8 � 2 (r2 " r1)2� 2 " � 1 � � �

0

� � 2 � � � %'&�� 2 �� 2 :dove si e posto

� 2 =4-8 � 2 "$� 1

2 � /D’altra parte

� �

0 � �� 2 %'&� 2 � 2=

� �4 3

:per cui infine si ottiene

� (r2

: � 2 �r1

: � 1) = � �2 � 4 -8 ( � 2 " � 1) � 3 - 2

exp

� 4-8 � 2 (r2 " r1)2� 2 " � 1 � / (2

/13)

Si noti la dipendenza temporale secondo � & 3 - 2 del fattore che moltiplica l’esponenziale,tipica di un problema tridimensionale.

Esercizio 2.6

Calcolare il propagatore nel caso di una particella libera in una dimensione econfrontarne la dipendenza temporale con quella del caso tridimensionale.

303

� � �� &�� D�� )�� "�� $&�"� �'�*�(!��

Esercizio 2.7

Per un moto libero classico la velocita della particella risulta

v =r2 " r1� 2 "$� 1 /

Verificare allora che la (2.13) puo porsi nella forma

� (r2

: � 2 �r1

: � 1) = 3 �2 � 4 -8 ( � 2 "$� 1)

9 3 - 2 %( (r2 � , 2 ;r1 � , 1) - -. : (2/14)

dove

�(r2

: � 2; r1

: � 1) = � , 2, 1 � � �� (r:v):

(2/15)

e l’azione della particella libera con lagrangiana

� (r:v) = 1

2 �� 2/

(2/16)

�� La (2.13) rappresenta l’ampiezza di probabilita di trovare la particella localizzata

in r2 all’istante � 2, se all’istante � 1 era localizzata in r1. In questo esempio si vuole invececostruire la funzione d’onda della stessa particella che all’istante � 1 = 0 e descritta daun’onda piana, autofunzione di 5 appartenente all’autovalore � = � 2 � 2 � ,

� (r:0) = exp 3 4-8 p � r 9 / (2

/17)

Per la (2.2) e la (2.13), a un istante � successivo si ottiene

� (r: � ) = 3 �

2 � 4 -8 � 9 3 - 2 � � r � exp � 4-8 � 2 (r " r � )2� � exp 3 4-8 p � r � 9 / (2/18)

Siccome

p � r � +�2

(r " r � )2� =�2 � � r � " 3 r " p �� 9 � 2

+ p � r " � 2

2 � � :la (2.18) diventa

� (r: � ) = exp � 4

-8 �p � r " � 2

2 � � � � 3 �2 � 4 -8 � 9 3 - 2

� � � r � exp � 4-8 �2 � � r � " 3 r " p �� 9 � 2 � / (2

/19)

Con la sostituzione

304

� ��(&�&�� ?�&�(��!�� R = r � " 3 r " p �� 9

e con lo stesso procedimento di integrazione che ha portato alla (2.13), dalla (2.19) siottiene

� (r: � ) = exp � 4

-8 �p � r " � 2

2 � � � � 3 �2 � 4 -8 � 9 3 - 2

4 � � �

0

� 2 � � exp 3 4-8 �2 � � 2 9= exp � 4

-8 �p � r " � 2

2 � � � � / (2/20)

Percio la particella libera viene rappresentata ancora da un’onda piana, evoluta con ilcorretto fattore di fase dipendente dal tempo e dall’autovalore di energia � = � 2 � 2 � . La(2.20) ha la richiesta forma, exp[ 4 � (r

: � ) � -8 ], con la fase data dall’azione della particellalibera:

�= p � r " � � .

+-,,�.��A.1032 46567�8#968�:�;�23<=8�� 2�8 4626; 267�E

Esistono altri tipi di descrizione dell’evoluzione temporale paralleli ed equiv-alenti a quella della descrizione di Schrodinger. Queste formulazioni alternativerisultano possibili riconoscendo cio che e fisicamente rilevante nella teoria, in quantoconfrontabile con il risultato di un’osservazione del sistema. Gli enti matematici dellateoria, come i vettori di stato e gli operatori, non sono quantita accessibili medianteun processo di misura; lo sono invece gli autovalori degli operatori e le ampiezzedi probabilita che si ottengono dal prodotto scalare tra due vettori nello spazio diHilbert. Percio risulta accettabile ogni formulazione che preservi i prodotti scalaritra i vettori e lo spettro posseduto dagli operatori corrispondenti alle osservabili nelladescrizione di Schrodinger. Queste condizioni sono soddisfatte in generale dalletrasformazioni unitarie discusse nel paragrafo VI.4: percio una qualunque trasfor-mazione unitaria dipendente dal tempo puo essere applicata ai vettori di stato e aglioperatori della descrizione di Schrodinger per costruirne un’altra in cui l’evoluzionetemporale avviene secondo leggi equivalenti.

In questo paragrafo viene presentata la descrizione di Heisenberg, in cui ladipendenza dal tempo e imposta agli operatori, mentre i vettori di stato sono indipen-denti dal tempo. In tale descrizione il vettore di stato

LNM � O , indipendente dal tempoJ , puo essere scelto coincidente con quello della descrizione di Schrodinger

LNM (0) Oall’istante J = 0, in cui si e preparato il sistema. Alternativamente,

LNM � O e ottenutodal vettore di stato

LNM ( J ) O all’istante generico J mediante l’applicazione della trasfor-mazione inversa dell’operatore di evoluzione temporale � ( J ) della descrizione diSchrodinger:

LNM � O = � � 1 ( J ) LNM ( J ) O R (3 R 1)

305

�� !� �"#�!�%$&�'� �"��)( �*#�!�

Di conseguenza, la dipendenza temporale va imposta agli operatori in modo daconservare inalterata la dipendenza temporale dei loro valori di aspettazione. Infatti,in accordo con la (VI.4.13), la trasformazione (3.1) impone che gli operatori � � nelladescrizione di Heisenberg siano definiti dalla seguente trasformazione sugli operatori�� della descrizione di Schrodinger:

� � ( J ) = � � 1 ( J ) �� ( J )= � �� -� �� -� R (3 R 2)

Anche se nella descrizione di Schrodinger gli operatori �� associati alle osservabilifisiche sono indipendenti dal tempo, nella descrizione di Heisenberg i corrispondentioperatori � � ( J ) dipendono dunque dal tempo.

Esercizio 3.1

Verificare che, se non dipende esplicitamente dal tempo nella descrizione diSchrodinger, 5 continua a non dipendere dal tempo anche nella descrizione di Heisen-berg.

L’evoluzione temporale nella descrizione di Schrodinger puo essere visualiz-zata come una rotazione che il vettore di stato normalizzato esegue nello spazio diHilbert. Invece nella descrizione di Heisenberg il vettore di stato resta immobile:sono gli operatori che ruotano. Ma il fatto che l’operatore unitario responsabile dellatrasformazione (3.1) sia l’inverso dell’operatore di evoluzione di Schrodinger indicache questa rotazione nello spazio di Hilbert avviene in senso opposto a quella diSchrodinger. La situazione ricorda quella delle rotazioni spaziali di un corpo rigidorispetto al sistema di riferimento: si puo tenere fermo il sistema di riferimento eruotare il corpo oppure tenere fermo il corpo e ruotare il sistema di riferimento.

Derivando rispetto al tempo la (3.2), si puo stabilire l’equazione di moto per glioperatori � � ( J ) nella descrizione di Heisenberg:

� � �� J =

� � � 1 ( J )� J �� #�� ( J ) + � � 1 ( J ) �� ( J )

� J=

F-G � � 1 ( J ) P�� ( J ) �

F-G � � 1 ( J ) � P�� ( J )

=F-G � � 1 ( J )[ P Q�� ] �� ( J ) R

In virtu della (1.9), si puo quindi scrivere l’equazione di moto

F -G � � �� J = [ � � Q P ] Q (3 R 3)

che corrisponde alle equazioni del moto classiche (I.1.19): secondo la prescrizione(IV.10.10) per il passaggio dal classico al quantistico, al posto delle variabili di-namiche classiche si sostituiscono i corrispondenti operatori e al posto della par-entesi di Poisson compare il commutatore. Nella (3.3) manca un eventuale termine

306

� ��(&�&�� ?�&�(��!�� H � �� HKJ , perche per ipotesi manca una dipendenza esplicita dal tempo in �� . In virtudi questa analogia, la descrizione di Heisenberg puo considerarsi la reinterpretazionedelle equazioni del moto classiche in termini operatoriali, proprio secondo quantosuggerito da Heisenberg stesso nel costruire la cosiddetta meccanica delle matrici,in cui gli operatori quantistici sono rappresentati appunto da matrici 4. Tuttavia, la(3.3) ha validita generale, anche quando all’operatore � non corrisponde un’analogavariabile dinamica classica.

Esercizio 3.2

Per una hamiltoniana

5 =� 2

2 � + � (r):

verificare che anche in meccanica quantistica si ottengono formalmente le seguentiequazioni

� p

� � = "�� (r):

(3/4)

� r

� � =p� :

(3/5)

dove pero le quantita vanno intese nella descrizione di Heisenberg.

Esercizio 3.3

Utilizzando i risultati dell’Esercizio precedente, ritrovare gli enunciati del teoremadi Ehrenfest.

Esercizio 3.4

Definito l’operatore di distruzione ( � ), associato all’oscillatore armonico linearenella descrizione di Heisenberg, verificare la sua esplicita dipendenza temporale

( � ) = (0) % & (�� , : (3/6)

risolvendo l’equazione del moto

4 -8 � ( � )� � = [ ( � ) : 5 ]

= -8�� [ ( � ) : � ( � ) ( � )] / (3/7)

4 Cfr. n. 4 p. 106.

307

�� !� �"#�!�%$&�'� �"��)( �*#�!�+-,,�.��.10 2�4�5 7 8�9�8 :=;-23<=8?8D; ! 2�7 ��968�:�;�2

In molti problemi di interesse fisico e vantaggioso separare la hamiltoniana nellasomma di due contributi,

P = P 0 + � Q (4 R 1)

quando si conoscano autostati e autovalori di P 0. La separazione (4.1) e in linea diprincipio sempre possibile e puo essere utilizzata per costruire un tipo di descrizioneintermedio tra quella di Schrodinger (in cui la dipendenza temporale e totalmenteattribuita ai vettori di stato) e quella di Heisenberg (in cui tale dipendenza e totalmenteattribuita agli operatori). Tale descrizione, detta descrizione di Dirac o di interazione,si caratterizza per la ripartizione della dipendenza temporale sia sui vettori di statoLNM��

( J ) O , sia sugli operatori ��( J ). Posto

� 0( J ) = � � �� 0� � -� Q (4 R 2)

analogamente alla (3.1) si definisce:

LNM��( J ) O = �� 1

0 ( J ) LNM ( J ) O R (4 R 3)

L’equazione di Schrodinger (1.1) si traduce in un’equazione perLNM��

( J ) O ,F -G H

H JLNM��

( J ) O = � � ( J ) LNM�� ( J ) O6Q (4 R 4)

dove

� � ( J ) = � � 10 ( J ) �7� 0( J )

= � � � 0�� -� � � � �� 0

�� -� R (4 R 5)

Nella descrizione di interazione dunque lo statoLNM��

( J ) O evolve secondo un’equazionedi Schrodinger, in cui compare la hamiltoniana � � ( J ) costruita secondo la (4.5). Siaper la � � ( J ) che per un qualsiasi operatore nella descrizione di interazione,

��( J ) = � � 1

0 ( J ) �� #� 0( J ) Q (4 R 6)

vale un’equazione del moto della forma (3.3), ma con la sostituzione di P con P 0:si verifica infatti che dalla (4.6) si ottiene

F -G � � �� J = [ �

�( J ) Q P 0] Q (4 R 7)

cioe gli operatori evolvono alla Heisenberg con la hamiltoniana P 0.

308

� ��(&�&�!��#� � �� "�D�&� � ��

Esercizio 4.1

Verificare che per un qualunque istante � si ha

� � ( � ) � � � � ( � ) � = � � * � � * ( � ) � � * � = � �� ( � ) � �� ( � ) � �� ( � ) � / (4

/8)

La soluzione dell’evoluzione temporale nella descrizione di interazione si puoottenere a partire dalla conoscenza dello stato

LNM��( J 0) O all’istante J 0 e considerando

LNM��( J ) O = � ( J Q J 0)

LNM��( J 0) O Q (4 R 9)

dove lo stato all’istante J e ottenuto per applicazione dell’operatore di evoluzionetemporale � ( J Q J 0). Esso puo ottenersi partendo dalla definizione (4.3), in cui lostato di Schrodinger viene riferito all’istante J 0 mediante l’operatore di evoluzionetemporale (1.7), e applicando poi l’inversa della (4.3):

LNM��( J ) O = � �� 0

� � -� LNM ( J ) O= � �� 0

� � -� � � � � (� � � 0)

� -� LNM ( J 0) O= � �� 0

� � -� � � � � (� � � 0)

� -� � � � � 0�

0� -� LNM �

( J 0) O RDal confronto di questo risultato con la (4.9) si ottiene un’espressione esplicita perl’operatore di evoluzione temporale della descrizione di interazione:

� ( J Q J 0) = � � � 0� � -� � � �� (

� � � 0)� -� � � �� 0

�0� -� R (4 R 10)

L’espressione (4.10) non puo ulteriormente semplificarsi, perche in generaleP e P 0 non commutano. Dalla sua definizione e pero facile verificare le seguentiproprieta di � ( J Q J 0):

� ( J Q J ) = 11 Q (4 R 11)

� ( J Q J � ) � ( J � Q J 0) = � ( J Q J 0) ( J 0� J � � J ) Q (4 R 12)

� � ( J Q J 0) � ( J Q J 0) = � ( J Q J 0) � � ( J Q J 0) = 11 R (4 R 13)

D’altra parte, sempre dalla definizione (4.10), risulta anche

� ( J Q J 0) � ( J 0 Q J ) = 11 Q (4 R 14)

da cui

� � 1( J Q J 0) = � ( J 0 Q J ) (4 R 15)

e quindi, per la (4.13),

309

�� !� �"#�!�%$&�'� �"��)( �*#�!�

� � ( J Q J 0) = � � 1( J Q J 0) R (4 R 16)

La (4.11) rappresenta la condizione iniziale per l’operatore di evoluzione tempo-rale. La (4.12) stabilisce la possibilita di decomporre l’evoluzione temporale di unsistema in contributi intermedi, mentre la (4.15) sottolinea l’aspetto deterministicodell’equazione di Schrodinger, per la quale, in assenza di osservazione, e possibileinvertire il senso di scorrimento del tempo e ritrovare lo stato

LNM( J 0) O a partire dallo

statoLNM

( J ) O . Infine, la (4.16) conferma che � ( J Q J 0) e un operatore unitario.Derivando la (4.10) rispetto a J , si ottiene

F -G H � ( J Q J 0)H J = � P 0 � ( J Q J 0) + � �� 0

�� -� P � � �� (� � � 0)

� -� � � �� 0�

0� -�

= � � � 0� � -� �� 0

�� -� � ( J Q J 0) Qcioe

F -G H � ( J Q J 0)HKJ = � � ( J ) � ( J Q J 0) R (4 R 17)

Questa puo ritenersi un’equazione di definizione per � ( J Q J 0). Per integrazione della(4.17) stessa, soggetta alla condizione iniziale (4.11), si ha infatti:

� ( J Q J 0) = 11 �F-G � ��

0

� J � � � ( J � ) � ( J � Q J 0) R (4 R 18)

La soluzione (4.18) e solo formale e traduce la (4.17) in forma integrale, inglobandoautomaticamente la condizione iniziale (4.11): la sua utilita e pero notevole nelcaso in cui l’interazione � si possa considerare piccola, tale da produrre solo unaperturbazione sulla situazione descritta da P 0 nella (4.1). In tal caso infatti ha sensoriscrivere la (4.18) con procedimento iterativo, sostituendo nell’integrale a secondomembro la stessa espressione (4.18) per � ( J � Q J 0),

� ( J Q J 0) = 11 �F-G � ��

0

� J 1 � � ( J 1) + 3 � F-G 9 2 � ��

0

� J 1 � �1�

0

� J 2 � � ( J 1) � � ( J 2) + R6R6R Q (4 R 19)

ottenendone quindi uno sviluppo in serie di � � ( J ). I limiti di integrazione non sonopero gli stessi per tutti gli integrali: l’integrale su J' e limitato superiormente da J% � 1.Inoltre nella (4.19) l’ordine con cui compaiono gli operatori � � ( J ) e importante, perchenon commutano tra di loro.

All’espressione (4.19) si puo pero dare una forma piu simmetrica 5. A talescopo si consideri l’integrale doppio nella (4.19). Scambiando dapprima l’ordine di

5 Freeman John Dyson (n. 1923): The Radiation Theories of Tomonaga, Schwinger, and Feynman [Leteorie della radiazione di Tomonaga, Schwinger e Feynman], Physical Review 75 (1949) 486–502; The �Matrix in Quantum Electrodynamics [La matrice � in elettrodinamica quantistica], Physical Review 75(1949) 1736–1755.

310

� ��(&�&�!��#� � �� "�D�&� � ��

Fig. 4.1. Regioni di integrazione per la (4.20).

Fig. 4.2. Regione di integrazione per la (4.22).

integrazione (ma conservando J 2� J 1) e scambiando poi i nomi delle variabili di

integrazione, si ottiene

3 � F-G 9 2 � ��

0

� J 1 � �1�

0

� J 2 � � ( J 1) � � ( J 2)

= 3 � F-G 9 2 � ��

0

� J 2 � ��2

� J 1 � � ( J 1) � � ( J 2)

= 3 � F-G 9 2 � ��

0

� J 1 � ��1

� J 2 � � ( J 2) � � ( J 1) Q

(4 R 20)

come si puo verificare dalla fig. 4.1, per quanto riguarda i limiti e le regioni diintegrazione. Di fatto si osserva che si puo integrare sul triangolo tratteggiato infig. 4.1 e ottenere sempre lo stesso risultato, pur di considerare bene i limiti el’ordine di integrazione. Conviene allora introdurre l’operatore � , detto operatore di

311

�� !� �"#�!�%$&�'� �"��)( �*#�!�

ordinamento cronologico, che ha l’effetto di riordinare gli operatori secondo tempidecrescenti:

� [ � � ( J 1) � � ( J 2)] = � � � ( J 1) � � ( J 2) Q J 1 � J 2 Q� � ( J 2) � � ( J 1) Q J 1

� J 2 Q (4 R 21)

In tal modo l’integrale (4.20) puo riscriversi:

3 � F-G 9 2 � ��

0

� J 1 � �1�

0

� J 2 � � ( J 1) � � ( J 2)

=12! 3 � F

-G 9 2 � ��0

� J 1 � ��0

� J 2 � [ � � ( J 1) � � ( J 2)] Q(4 R 22)

in cui ora i limiti sono sempre fissati a J 0 e J . L’integrazione sull’intero quadrato (fig.4.2) coinvolge una regione di integrazione doppia rispetto al triangolo originale: diqui il fattore 2 a denominatore nella (4.22). Inoltre l’operatore cronologico garantisceche i due triangoli contribuiscano all’integrale in uguale misura.

Generalizzando questo ragionamento al caso di un integrale�

-plo si puo infinescrivere lo sviluppo di Dyson per l’operatore di evoluzione temporale nella forma

� ( J Q J 0) = 11 +

�0 =1

1�! 3 � F

-G 9 � ��0

� J 1 R6R6R � ��0

� J � [ � � ( J 1) R6R6R � � ( J )] Q (4 R 23)

in cui tutti gli integrali sono estesi tra J 0 e J . Il fattore�

! tiene conto della molteplicitadelle regioni di uguale contributo nell’integrale

�-plo. In modo simbolico, la (4.23)

puo essere riscritta

� ( J Q J 0) = exp��

F-G � ��

0

� J � � [ � � ( J � )] � Q (4 R 24)

dove l’esponenziale va inteso nel senso dello sviluppo in serie (4.23).

Esercizio 4.2

Scrivere il propagatore nella descrizione di interazione.

+-,,�.��A.�� :�7� ( � ��968�:�;�2 <=8� 2��"; � �=;La formulazione di Feynman si basa sul riconoscimento che la quantita rilevante

in meccanica quantistica e l’ampiezza di probabilita che si verifichi un certo eventonello spazio–tempo. Per esempio, l’evento puo essere la registrazione dell’arrivo di

312

� � �� &�� A��"�1� �

un elettrone su di uno schermo: la probabilita di questo evento si ottiene dal moduloquadrato dell’ampiezza di probabilita, che in generale e un numero complesso.

Lavorare con le ampiezze di probabilita, anziche direttamente con le probabilitacome in fisica classica, comporta una descrizione dei fenomeni notevolmente diversa.Se l’elettrone nel suo percorso verso lo schermo ha dovuto attraversare una delle duefenditure praticate in una parete interposta tra la sorgente di elettroni e lo schermo,come nell’esperimento di Young gia discusso nel paragrafo III.5, classicamente esi-stono due cammini alternativi corrispondenti allo stesso evento, ciascuno dei qualicaratterizzato quantisticamente da una sua ampiezza di probabilita. Se l’alternativa ereale e non si sa davvero quale sia il cammino effettivamente percorso dall’elettrone,i postulati quantistici impongono che l’ampiezza di probabilita totale sia la sommadelle ampiezze di probabilita relative a ciascun cammino. Di conseguenza, nellaprobabilita totale compaiono dei termini di interferenza tra le alternative, come nella(III.5.4), responsabili delle frange di diffrazione rivelate sullo schermo (fig. III.5.2).

Fig. 5.1. Possibili cammini parziali tra r0 e r1 nell’attraversamento successivo di due pareticon fenditure.

D’altra parte, se tra sorgente e schermo sono interposte in successione duepareti con le fenditure (fig. 5.1), l’evento dell’arrivo dell’elettrone sullo schermo puoessere decomposto in due stadi intermedi: dapprima l’elettrone deve attraversare laprima parete secondo uno dei cammini possibili dalla sorgente alla prima parete equindi, attraversata la prima parete, l’elettrone raggiunge lo schermo attraversando laseconda parete secondo uno dei possibili cammini dalla prima parete allo schermo.A ciascuno dei cammini parziali e associata un’ampiezza di probabilita; l’ampiezzadi probabilita totale risulta il prodotto delle due ampiezze di probabilita relative aidue stadi intermedi del cammino percorso. Questa legge di composizione delleampiezze di probabilita e contenuta per esempio nella proprieta (4.12) dell’operatoredi evoluzione temporale della descrizione d’interazione, ma e una proprieta generaledella meccanica quantistica, soddisfatta anche dall’operatore di evoluzione temporale(1.6) o (1.7) associato all’equazione di Schrodinger:

313

�� !� �"#�!�%$&�'� �"��)( �*#�!�

�� ( J � J 0) = � � � � (� � � 0)

� -�= � � � � (

� � � 1)� -� � � � � (

�1 � � 0)

� -�= �� ( J � J 1) �� ( J 1 � J 0) R

(5 R 1)

Se si vuole studiare nello spazio–tempo il verificarsi di un certo evento, comel’arrivo dell’elettrone sullo schermo, ci si puo allora ricondurre alla determinazionedel propagatore (2.3) e utilizzarne le proprieta caratteristiche delle ampiezze di prob-abilita. In particolare, se si vuole l’ampiezza di probabilita che l’elettrone, emessoall’istante J 0 nel punto r0, giunga all’istante J nel punto r, occorre valutare il propaga-tore � (r Q J L r0 Q J 0): per la (5.1) si puo pensare di decomporre l’intervallo di tempo J � J 0

in intervalli parziali, scegliendo � istanti intermedi J � (F

= 1 Q 2 Q6R6R6R Q�� ), equispaziatidi � J ,

J 0 � J 1 � J 2 � R6R6R � J�� 1 � J�� J R (5 R 2)

Corrispondentemente, il cammino da r0 a r viene spezzato nei contributi parzialirelativi alle varie posizioni intermedie r � (

F= 1 Q 2 Q6R6R6R�Q�� ), raggiunte negli istanti

J � . Allora, utilizzando la spettralizzazione dell’identita nella rappresentazione delleposizioni, si ottiene

� (r Q J L r0 Q J 0) = � � r � � � r � � 1 R6R6R � � r2 � � r1 � (r Q J L r � Q J � )

� � (r � Q J�� Lr � � 1 Q J�� 1) R6R6R � (r2 Q J 2

Lr1 Q J 1) � (r1 Q J 1

Lr0 Q J 0) R

(5 R 3)

La (5.3) e coerente col fatto che le ampiezze di probabilita relative ai vari camminisi sommano, mentre l’ampiezza relativa a un particolare cammino e il prodotto delleampiezze che si riferiscono ai vari tratti di cammino.

L’ampiezza di probabilita totale deve risultare dalla somma dei contributi relativia tutti i possibili cammini che congiungono il punto iniziale a quello finale: percionon basta considerare un numero finito di intervalli temporali tra J 0 e J , ma si devefar tendere �� (e quindi � J � 0).

Per realizzare questo programma conviene considerare dapprima il contributoal propagatore che proviene da un cammino parziale per un intervallo di tempo� J = J � � � J � infinitesimo:

� (r� � Q J � � L r � Q J � ) =

�r� � L � � �� (

� � � � � � ) � -� Lr� O

=�r� � L

[11 � F� P ]Lr� O�Q

= � � p� � �

r� � L

[11 � F� P ]Lp� � O � p � � L r � O Q

(5 R 4)

dove si e inserita la spettralizzazione dell’unita nella rappresentazione degli impulsie si e posto

314

� � �� &�� A��"�1� �

=

J � � � J �-G R (5 R 5)

La (5.4) puo essere espressa in termini della hamiltoniana classica P�� , definita dallarelazione

�r� � L P L

p� � O =

�r� � L

p� � O�P�� (p � � Q r � � ) R (5 R 6)

La (5.6) e in accordo con le usuali regole di quantizzazione che permettono di farcorrispondere un operatore quantistico a una variabile dinamica classica, purche nellahamiltoniana classica non figurino prodotti tra le variabili di posizione e di impulso:questa e la consueta situazione in cui la hamiltoniana classica e costituita dalla sommadell’energia cinetica e di un’energia potenziale dipendente solo dalla posizione 6.

Allora, con la (5.6) e ricordando che e (Esempio VI.1.2)

�r� � L

p� � O =

1(2 � -G )3

�2� � � p � �� r � � � -� Q (5 R 7)

la (5.4) diventa

� (r� � Q J � � L r � Q J � ) = � � p

� � �r� ��L

p� � O � p � � L r � O [1 � F� P�� (p � � Q r � � )]

=1

(2 � -G )3� � p

� � � � p � � � (r � � � r � ) � -� [1 � F� P�� (p � � Q r � � )] R (5 R 8)

Nella (5.8) non si fa piu alcun riferimento agli stati o agli operatori nello spazio diHilbert, ma si e ricondotto il calcolo del propagatore a un’espressione che coinvolgeesclusivamente la hamiltoniana classica.

A questo punto si puo inserire la (5.8) nella (5.3), con l’intesa che � debbatendere a � :

� (r Q J L r0 Q J 0) =1

(2 � -G )3( � +1)� � p � � r � � � p � R6R6R � � r1 � � p1

� exp

� F-G�0 =0

p +1(r +1 � r ) � =0

[1 � F� P�� (p +1 Q r +1)] Q(5 R 9)

6 Tuttavia si possono incontrare casi in cui ci siano prodotti tra le variabili di posizione e di impulso e occorradare una prescrizione di ordinamento. Qui si prevede di disporre tutti gli operatori di impulso a destradegli operatori di posizione, in modo da poter soddisfare la (5.6). In realta, esistono infinite prescrizionipossibili. L’unica che permette al propagatore di continuare a soddisfare l’equazione di Schrodinger anchein presenza di campo elettromagnetico e quella di Weyl, in cui per esempio alla variabile classica � � si facorrispondere l’operatore quantistico simmetrizzato 1

2 ( � � + �� ).Maurice M. Mizrahi: The Weyl correspondence and path integrals [La corrispondenza di Weyl e gliintegrali sui cammini], Journal of Mathematical Physics 16 (1975) 2201.Per una discussione su questo punto, oltre che in generale sulla formulazione di Feynman, si veda adesempio il quaderno di Marco Roncadelli e Antonio Defendi: I cammini di Feynman, Quaderni di FisicaTeorica, Universita di Pavia, 1992.

315

�� !� �"#�!�%$&�'� �"��)( �*#�!�

con le condizioni

r � +1 = r Q p � +1 = p R (5 R 10)

Se, come nelle ipotesi, � � 1 � P �� (p Q r ) nel limite � � � tende a un limitefinito, si puo sostituire 1 � F� P � � con exp( � F� P �� ). Percio, avendo in mente di farepoi questo limite, si puo riscrivere la (5.9) nella forma:

� (r Q J L r0 Q J 0) =1

(2 � -G )3( � +1)� � p � � r � � � p � R6R6R � � r1 � � p1

� exp

� F-G � J

�0 =0

�p +1(r +1 � r )

� J � P�� (p +1 Q r +1) �� R(5 R 11)

Nel limite � � � l’insieme delle variabili discrete r e p diventa l’insieme deivalori successivi assunti dalle funzioni r( J ) e p( J ) e la somma sull’indice

�diventa

un integrale sul tempo. Percio finalmente l’ampiezza di transizione diventa

� (r Q J L r0 Q J 0) = � (Dr) � (Dp) exp � F-G � ��

0

� J � [p � .r � P�� (p Q r)] � Q (5 R 12)

dove (nel limite � � � )

(Dr)(Dp) =1

(2 � -G )3( � +1)

� =1

� r � p� =1

� p �R (5 R 13)

L’integrale temporale nella (5.12) e l’azione classica � calcolata lungo la genericatraiettoria che collega la posizione iniziale a quella finale:

� = � ��0

� J � [p � .r � P�� (p Q r)] R (5 R 14)

Per ottenere il propagatore occorre dunque sommare su tutte le possibili traiettorie,cioe su tutti i cammini p( J ) nello spazio degli impulsi e su tutti i cammini r( J )nello spazio delle posizioni, pesando ogni traiettoria con il corrispondente fattore� � � -� : tutti i cammini contribuiscono ugualmente in modulo, mentre la fase deiloro contributi e l’azione classica (5.14) in unita di -G . Nel calcolo dell’ampiezza diprobabilita viene cosı coinvolto l’insieme di tutte le traiettorie all’interno dell’interospazio delle fasi e non solo la traiettoria che una particella classica effettivamentedescriverebbe. In questo senso il propagatore diventa un integrale funzionale suicammini 7.

7 Come lo stesso Feynman precisava nel suo lavoro originale, in realta danno un contributo non nullo soloi cammini per i quali la traiettoria � ( � ) e tale che sia � �� ( �� )1 - 2 e che corrispondono a zig-zag tipichedel moto browniano.Va inoltre precisato che la denominazione in uso di integrale funzionale sui cammini e impropria, percheda un punto di vista strettamente matematico l’integrale di Feynman non e un’integrale su uno spazio difunzioni, ma piu semplicemente una somma su un insieme di funzioni.

316

� � �� &�� A��"�1� �

Per una hamiltoniana classica del tipo

P�� (p Q r) = �2

2 + � (r) (5 R 15)

e possibile effettuare l’integrazione sugli impulsi esplicitamente, in quanto (cfr. E-sempio 2.1)

� � p exp

� F-G � J

�p � .

r � �2

2 � � =

�2 � -G F � J � 3

�2

exp

� F-G 1

2

.� 2 � J � R (5 R 16)

Percio risulta

� (Dp) exp � F-G � ��

0

� J � [p � .r � P�� (p -Q r )] �

= 3 2 � -G F � J 9 3( � +1)

�2

exp � F-G � ��

0

� J �� (r Q .r) � Q

(5 R 17)

dove

�(r Q .

r) = 12

.� 2 � � (r) (5 R 18)

e la lagrangiana classica. Allora, per una hamiltoniana classica del tipo (5.15), la(5.12) diventa

� (r Q J L r0 Q J 0) = � � (Dr) exp � F-G � ��

0

� J � � (r Q .r) � Q (5 R 19)

che e la formula di Feynman per il propagatore come integrale funzionale sui cam-mini. La costante di normalizzazione � deriva dal fattore [

� 2 � -G F � J )]3( � +1)�

2 ediverge nel limite � � � , � J � 0, ma cio e irrilevante per i risultati. Infatti lequantita fisicamente interessanti sono elementi di matrice di operatori � del tipo

�r Q J L � L

r0 Q J 0 O�r Q J L r0 Q J 0 O =

�r Q J L � L

r0 Q J 0 O� (r Q J L r0 Q J 0)

Qdove anche il numeratore puo essere ottenuto come un integrale funzionale,

�r Q J L � L

r0 Q J 0 O = � � (Dr) � � � exp � F-G � ��

0

� J � � (r Q .r) � Q (5 R 20)

in cui compare l’espressione della variabile dinamica classica � � � corrispondenteall’operatore � . Percio la costante di normalizzazione � si elimina nel rapporto.

La formulazione di Feynman e dunque basata sulla lagrangiana, piuttosto chesulla hamiltoniana; essa percio ha il pregio di poter essere applicata anche in contesti

317

�� !� �"#�!�%$&�'� �"��)( �*#�!�

Fig. 5.2. I cammini di Feynman.

piu generali della meccanica quantistica non relativistica, quali ad esempio si pre-sentano in una teoria dei campi quantistici, in cui la teoria viene costruita a partiredalla lagrangiana. La presenza inoltre dell’integrale d’azione nell’espressione delpropagatore permette di ritrovare in modo intuitivo il limite classico della mecca-nica quantistica. Infatti la situazione della fisica classica corrisponde al caso in cuiin generale piccole variazioni della traiettoria producono variazioni d’azione grandirispetto a -G , mentre tipicamente la meccanica quantistica affronta problemi in cui an-che grandi variazioni di traiettoria comportano solo variazioni d’azione confrontabilicon -G . Dunque classicamente il contributo � � � -� di una traiettoria puo essere ingenerale cancellato dal corrispondente contributo � � � � -� di una traiettoria vicina con� �� + � -G . Tuttavia esiste una sola traiettoria effettivamente descritta dal sistemae che viene individuata dal principio di minima azione: per costruzione, traiettorievicine a questa hanno un’azione di poco diversa e producono quindi un’interferenzacostruttiva nella somma sui possibili cammini. Allora, siccome il contributo prin-cipale al propagatore proviene dai cammini vicini alla traiettoria classica e siccometutti contribuiscono approssimativamente con lo stesso ammontare, in prima approssi-mazione si puo porre:

� (r Q J L r0 Q J 0)�

exp � F-G � ��

0

� J �� (r � ��Q .r �� ) � Q (5 R 21)

dove interviene solo la lagrangiana valutata lungo la traiettoria classica. In realta peroall’integrale funzionale contribuisce tutta una fascia di cammini vicini alla traiettoriaclassica, nella quale l’azione varia meno di � -G (fig. 5.2): per un problema al limiteclassico questa fascia e molto stretta, mentre per un tipico problema quantistico lafascia diventa molto ampia e il concetto di traiettoria classica perde di significato.In queso modo la formulazione lagrangiana di Feynman mette a fuoco l’essenzialedifferenza tra la fisica classica e quella quantistica, riappropriandosi dei risultati dellafisica classica come caso particolare.

318

� � ( �=� ��-� �!� ( � )(��&� �+-,,�.�� .�� "4�8 ��( 7�8�2�5 �"4 8 � 8*465�2)� �

Finora la descrizione quantistica di un sistema fisico ha riguardato casi in cuilo stato del sistema e definito assegnando un ket nello spazio di Hilbert o la suacorrispondente funzione d’onda in una rappresentazione prescelta. Il sistema risultacompletamente caratterizzato se il suo stato e autostato simultaneo dell’insieme com-pleto di operatori che commutano tra di loro, ivi compresa la hamiltoniana. Questostato infatti corrisponde alla preparazione del sistema con la massima informazionepossibile, come risultato di un complesso di misurazioni sulle osservabili compati-bili associate a questo insieme completo di operatori che commutano. L’evoluzionetemporale del sistema e poi governata dall’equazione di Schrodinger.

Se la preparazione del sistema e invece incompleta, ma lo stato del sistema eancora assegnato con un vettore

LNM O nello spazio di Hilbert, si puo sempre esprimereLNM O come sovrapposizione lineare di vettori appartenenti a una base completa ortonor-male:

LNM O =0�

� � L � O R (6 R 1)

Se la base � L � O�� e l’insieme degli autostati dell’operatore � , i coefficienti com-plessi � � , normalizzati in modo che sia � � L � � L 2 = 1, rappresentano l’ampiezzadi probabilita che una misura della variabile dinamica associata ad � coincida conl’autovalore

�. Questo significa che, se si compie la misurazione di � su un insieme

di numerose repliche identiche del sistema descritto daLNM O , la frequenza statistica

con cui compare il valore�

e pari aL � � L 2. Ma per il sistema nello stato

LNM O in generalesi puo solo calcolare il valore di aspettazione di un qualunque altro operatore ,

� O =� M L LNM O

=0��

� �� L L � � O�Q (6 R 2)

che rappresenta il valore medio delle misure di su ciascun elemento dell’insiemedi repliche identiche del sistema.

La comparsa nella (6.2) dei coefficienti � � nella forma quadratica � �� , chepuo assumere valori sia positivi sia negativi, e responsabile di un’interferenza fra idiversi termini della sovrapposizione lineare (6.1): questa e una situazione tipica-mente quantistica, mentre classicamente, di fronte a diverse possibilita alternativeriguardanti un insieme statistico, il valor medio viene costruito come somma di solitermini positivi dati dalle probabilita relative alle varie possibilita.

I casi visti finora, in cui gli aspetti statistici sono esclusivamente di natura quan-tistica, sono denominati casi puri. Essi non esauriscono pero tutte le situazioni chesi possono verificare per un sistema quantistico. L’incompletezza dell’informazionesullo stato iniziale puo coinvolgere aspetti statistici simili a quelli classici e dareorigine ai cosiddetti casi miscela.

319

�� !� �"#�!�%$&�'� �"��)( �*#�!�

Per esempio gli elettroni emessi da un filamento caldo hanno valori di energiacinetica dispersi in modo statistico; similmente i fotoni emessi da una sorgente di lucetermica hanno una polarizzazione distribuita secondo le leggi della statistica classica.Se si vuole dare una descrizione quantistica di questi sistemi, occorre incorporare nelformalismo della meccanica quantistica anche questo tipo di informazione incom-pleta. La situazione puo essere descritta pensando che esiste una certa frazione � 1

di elementi dell’insieme che si trovano nello statoLNM

1 O , un’altra frazione � 2 nellostato

LNM2 O , e cosı via: percio lo stato del sistema ha una certa probabilita � 1 di essere

individuato dallo statoLNM

1 O , una certa probabilita � 2 di essere individuato dallo statoLNM2 O , ecc. Allora in questo caso la descrizione coinvolge una miscela degli statiLNM1 O Q LNM 2 O Q6R6R6R , pesati con dei numeri reali positivi, � 1 Q � 2 Q6R6R6R , che rappresentano le

probabilita che questi stati hanno di comparire nella miscela. Naturalmente si deveavere

0�

� 1 Q � 2 Q6R6R6R � 1 Q (6 R 3)0 � = 1 R (6 R 4)

Occorre inoltre tenere presente che la miscela non coinvolge necessariamentestati

LNM1 O�Q LNM 2 O�Q6R6R6R reciprocamente ortogonali. Per esempio si puo pensare a un

fascio di luce con componenti di polarizzazione dirette secondo direzioni alternative,piu numerose delle due linearmente indipendenti realizzabili: lo stato

LNM � O di cia-scuna componente di polarizzazione puo essere espresso come combinazione linearedegli stati che descrivono le due polarizzazioni linearmente indipendenti, senza perquesto essere ortogonale allo stato

LNM�� O di un’altra componente di polarizzazione.Ogni componente poi interviene nella miscela con il peso �

� che caratterizza la suaprobabilita.

La situazione e dunque ben diversa da quella fornita da uno sviluppo del tipo(6.1). Nel confronto delle previsioni con i risultati di una misurazione effettuata su unsistema descritto da un caso miscela, l’aspetto probabilistico interviene a due livellidiversi: la probabilita associata al verificarsi di un certo risultato contiene un aspettoquantistico e un aspetto classico. Si supponga di volere misurare la quantita � . Laprobabilita quantistica riguarda la probabilita � � ( � ) di trovare il valore

�se il sistema

fosse descrivibile in termini di un solo statoLNM � O . Pensando di sviluppare

LNM � O comenella (6.1),

LNM � O =0�

� � � L � O Q (6 R 5)

questa probabilita e

� � ( � ) =L � � � L 2 R (6 R 6)

La (6.6) puo anche scriversi in una forma,

320

� �'�&� � �D� �� &�'(!)�� ( � ) =

� M � L � � LNM � O�Q (6 R 7)

che ne evidenia l’interpretazione come valore medio dell’operatore di proiezionesullo stato

L � O ,� � =

L � O �� L R (6 R 8)

Ma l’eventualita che � � ( � ) sia la frequenza statistica con cui compare il valore�deve essere pesata dalla probabilita classica �

� con cui lo statoLNM � O interviene nella

miscela che caratterizza il sistema. Per avere la probabilita totale di trovare il valore�occorre dunque pesare ogni � � ( � ) con il suo peso statistico �

� e sommare su tutti icontributi della miscela:

� (�

) =0 � �

� � � ( � ) R (6 R 9)

Da questa relazione si vede che il caso puro e recuperato come caso particolarequando tutte le �

� sono nulle, eccetto una, che per la (6.4) risulta pari a 1.Nel prossimo paragrafo viene presentato un metodo unificato per la descrizione

dell’evoluzione temporale dei casi puri e dei casi miscela, che permette anche ilcollegamento diretto con la statistica classica.

+�,,�.��.�� 2�7 � !�:�7 2�< 2�; 4 8#!��La (6.2) coinvolge le espressioni quadratiche

� � �� =� � � LNM O � M L � O Q (7 R 1)

che si possono considerare gli elementi di matrice sulla base � L � O�� dell’operatore diproiezione sullo stato

LNM O : =

LNM O � M L R (7 R 2)

La (6.2) puo dunque riscriversi anche nella forma seguente:

� O =0� � �

� � � �� L L � � O=0� �

�� L L � � O�RIntroducendo il simbolo Tr per indicare la traccia di una matrice, cioe la somma

dei suoi elementi diagonali, si ottiene dunque

� O = Tr ( ) R (7 R 3)

321

�� !� �"#�!�%$&�'� �"��)( �*#�!�

Dalla condizione di normalizzazione diLNM O ,

1 =0�

L � � L 2 =0�� LNM O � M L � O Q

segue la condizione di normalizzazione per l’operatore :

Tr = 1 R (7 R 4)

Quando si considera l’evoluzione temporale del sistema descritto daLNM O , in

osservanza dell’equazione di Schrodinger,

F -G HH J

LNM( J ) O = P LNM

( J ) O Q (7 R 5)

anche l’operatore ( J ) viene corrispondentemente a dipendere dal tempo e la suaevoluzione temporale puo essere dedotta ancora dall’equazione di Schrodinger:

HH J ( J ) =

� HH J

LNM( J ) O � � M

( J ) L +LNM

( J ) O� H

HKJ� M

( J ) L �=

1F -G�P LNM( J ) O � M ( J ) L � 1F -G LNM

( J ) O � M ( J ) L P Qcioe

F -G HH J ( J ) = [ P Q ( J )] R (7 R 6)

L’uso dell’operatore , determinato dalla (7.6) con la proprieta (7.4), e dunquesufficiente a caratterizzare completamente lo stato del sistema e a costruire, secondo la(7.3), i valori di aspettazione delle osservabili. Incidentalmente, l’uso dell’operatore , grazie alla sua definizione (7.2), elimina l’eventuale arbitrarieta nella fase � �� concui viene definito lo stato

LNM O .Questa trattazione, sviluppata per i casi puri, offre il vantaggio di poter essere

convenientemente estesa anche ai casi miscela. Si definisca infatti il proiettore sullostato

LNM � O , che interviene nella miscela:

� =LNM � O � M � L R (7 R 7)

Allora, secondo la (6.7) e la (7.3), la probabilita � � ( � ) di trovare su questo stato ilvalore

�per l’osservabile � e

� � ( � ) = Tr ( � � � ) R (7 R 8)

La probabilita totale (6.9) relativa al caso miscela si ottiene sommando le varieprobabilita parziali (7.8), pesate ciascuna con i pesi statistici �

� della miscela:

322

� �'�&� � �D� �� &�'(!)�� (

�) =

0 � �� ( � )

=0 � �

� Tr ( � � � ) Qcioe

� (�

) = Tr ( � � ) Q (7 R 9)

dove si e posto

=0 � �

� � R (7 R 10)

Per la (7.7) l’operatore , che viene indicato come operatore densita 8, risulta definitodalla relazione:

=0 � LNM � O � � � M � L R (7 R 11)

Se gli statiLNM � O sono un insieme completo ortonormale, la (7.11) fornisce la riso-

luzione spettrale della in termini dei suoi autovalori �� e dei suoi autostati

LNM � O .Dato che i pesi �

� sono numeri reali positivi, dalla (7.11) e dalla (6.3) seguono lecondizioni:

�

= Q (7 R 12)

�!M L LNM O � 0 Q �LNM O�R (7 R 13)

Inoltre la traccia di vale

Tr =0 � �

� Tr � =0 � �

� Qcioe

Tr = 1 R (7 R 14)

Dunque l’operatore densita e un operatore autoaggiunto, definito positivo e a tracciaunitaria.

8 Anche se e propriamente un operatore, e non una matrice, spesso � viene anche chiamato matrice densita:evidentemente cio presuppone di darne una rappresentazione matriciale. L’operatore densita fu introdottoda J. von Neumann: Mathematische Begrundung der Quantenmechanik, loc. cit. (n. 3 p. 251).

323

�� !� �"#�!�%$&�'� �"��)( �*#�!�

Se tutti i �� sono nulli eccetto uno, la somma nella (7.11) si limita a un solo

termine come nella (7.2), valida per il caso puro. In questo caso l’operatore densitarisulta un proiettore: 2 = . In generale pero

2 �= R (7 R 15)

Come nel caso puro, anche nel caso miscela la misurazione di un’osservabile hal’effetto improvviso di una proiezione nel sottospazio corrispondente all’autovaloremisurato. Se l’osservazione effettuata sul sistema ha mostrato che si trova in unautostato dell’operatore � appartenente al sottospazio � � , l’operatore densita dopola misura viene ridotto a operare esclusivamente in questo sottospazio, cioe diventaquella che si chiama la sua restrizione al sottospazio � � . Da un punto di vistamatematico, se �� e il proiettore sul sottospazio � � , a meno di una costante di nor-malizzazione, la restrizione di risulta �� . La costante di normalizzazionee fissata dal fatto che anche la traccia della restrizione deve essere unitaria e quindideve essere uguale all’inverso di Tr ( �� ) = Tr ( �� ) = � � , dove � � e ilpeso originale con cui il sottospazio � � entra nella definizione della miscela descrittada . Percio l’effetto di una misurazione e quello indicato nella relazione seguente:

� misurazione � � �� Tr ( � �� )

R (7 R 16)

Con l’operatore densita si puo calcolare il valore di aspettazione di un qualsiasioperatore , generalizzando anche al caso miscela la formula (7.3), ricavata per ilcaso puro. Infatti in questo calcolo, coerentemente con i postulati generali dellameccanica quantistica, occorre valutare la media degli autovalori di , pesaticiascuno con la probabilita di trovare per l’autovalore . Ma questo, per la (7.9),comporta

� O =0� � ( )

=0� Tr ( � � )

= Tr 3 0� � � 9 R

D’altra parte 0� � � =

0�

L ?O� � L

e la rappresentazione spettrale dell’operatore . Percio

� O = Tr ( ) R (7 R 17)

324

� �'�&� � �D� �� &�'(!)��Questa formula e analoga a quella dell’equazione (I.2.43) per il calcolo del valor

medio di un’osservabile mediante la funzione densita (� Q�� ) dell’insieme statisticoclassico, dove l’integrazione sulle variabili canoniche sostituisce l’operazione di trac-cia. Percio, come in fisica classica il sistema fisico viene completamente caratterizzatodalla conoscenza della funzione densita, cosı in meccanica quantistica l’informazionesul sistema e tutta contenuta nell’operatore densita.

Questa analogia persiste anche durante l’evoluzione temporale. Per un sistemadescritto inizialmente dall’operatore densita (7.11), gli stati

LNM � O si modificano neltempo secondo l’equazione di Schrodinger, senza modificare i pesi �

� . All’istante Jl’operatore densita risulta

( J ) =0 � �

� � ( J ) Qdove gli operatori � ( J ) seguono la legge del moto (7.6) del caso puro. Percio anchein generale l’equazione del moto per l’operatore densita risulta

F -G HH J ( J ) = [ P Q ( J )] R (7 R 18)

Esattamente in accordo con le regole di quantizzazione, questa legge corrispondeall’equazione di Liouville (I.2.39) della meccanica statistica. Percio viene indicatacome equazione di Liouville quantistica o equazione di Liouville–von Neumann.

Esercizio 7.1

Verificare che la (7.18) puo essere dedotta utilizzando l’operatore di evoluzionetemporale

�! ( � ) della descrizione di Schrodinger e ponendo

� ( � ) =�;

( � ) � (0)� & 1 ( � ) / (7

/19)

Esercizio 7.2

Partendo dalla definizione (7.11), verificare che la (7.19) e la corretta espressionedi � ( � ) nella descrizione di Schrodinger.

Esercizio 7.3

Confrontare l’equazione (7.18) con l’equazione del moto (3.3) per un operatorenella descrizione di Heisenberg e discuterne la differenza.

Esercizio 7.4

Verificare che la relazione (IV.10.4) per la dipendenza temporale del valor mediodi un operatore vale anche nel caso miscela, quando il valor medio e calcolato secondo la(7.17).

325

�� !� �"#�!�%$&�'� �"��)( �*#�!�

Se la hamiltoniana P non dipende esplicitamente dal tempo, la (7.18) puo essererisolta formalmente:

( J ) = � � �� -� (0) � �� -� R (7 R 20)

Questa soluzione possiede una dipendenza dal tempo simile a quella della descrizionedi Heisenberg (3.2), ma con gli operatori di evoluzione invertiti. Cio pero non deveallarmare, in quanto l’operatore densita non e un operatore della descrizione diHeisenberg e la (7.18) non e l’equazione del moto della descrizione di Heisenberg,ma piuttosto l’analogo quantistico dell’equazione di Liouville (I.2.39).

Attraverso la definizione dell’operatore densita si possono allora trattare in modounificato sia i casi puri, sia i casi miscela; inoltre la corrispondenza tra la (7.17) e la(I.2.43) da un lato e tra l’equazione di Liouville e quella di Liouville–von Neumanndall’altro permette di estendere alla descrizione quantistica i risultati fondamentalidella fisica macroscopica ricordati nel paragrafo I.2.��

La corrispondenza tra classico e quantistico, consentita dall’uso dell’operatoredensita, permette di estendere la descrizione quantistica a sistemi in equilibrio termod-inamico con l’ambiente circostante alla temperatura � . A tal fine basta interpretare intermini di operatore quantistico la funzione densita (I.2.49),

� = � & 1 %'& � * : (7/21)

dove 5 e l’operatore hamiltoniano, � = 1 �� , con � costante di Boltzmann, e

� = Tr %'& � * (7/22)

e la funzione di partizione quantistica che normalizza la � : Tr � = 1. Scegliendo la base� � 2 � degli autostati di 5 , l’operatore densita risulta una matrice diagonale,

� 1�� = 1�� & 1 %'& �� : (7/23)

mentre la funzione di partizione risulta

� =0 1 % & �� : (7

/24)

a conferma del nome di somma sugli stati (= Zustandsumme) attribuitole da Boltzmann.Nota la funzione di partizione quantistica, i risultati della termodinamica statistica

classica possono essere trasferiti senza difficolta al caso quantistico. Per esempio sipossono ridefinire l’energia � , l’entropia

�e l’energia libera (di Helmholtz)

�, pur di

sostituire nelle corrispondenti formule (I.2.55), (I.2.59) e (I.2.62) la funzione di partizionequantistica (7.22) a quella classica. In particolare, ricordando la definizione (I.2.44) datain generale da Boltzmann per l’entropia, si puo porre

�= " � Tr ( � ln � )

/(7/25)

326

� �'�&� � �D� �� &�'(!)��Esercizio 7.5

Verificare che la funzione di partizione di un oscillatore armonico lineare in equi-librio termico con l’ambiente e

� =% & -. � - 2 ��

1 " % & -. � -�� / (7/26)

Esercizio 7.6

Verificare che la matrice densita (7.23) per un oscillatore armonico lineare inequilibrio termico con l’ambiente e

� 1�� = 1 � % & 1 -. � -�� (1 " % & -. � -�� )/

(7/27)

Esercizio 7.7

Verificare che l’energia media di un oscillatore armonico lineare in equilibriotermico con l’ambiente e

� = � 5 � = Tr ( � 5 ) =-8��2

+-8��% -. � -�� " 1

/(7/28)

Esercizio 7.8

Confrontare il risultato (7.28) con quello di Planck (II.2.25).

Esercizio 7.9

Estendere la (7.28) al caso di�

oscillatori armonici isotropi in tre dimensioni ediscuterne il limite per alte temperature. Confrontare il risultato con la (I.2.58).

327

VIII. METODI APPROSSIMATIPERGLI STATI STAZIONARI

Il problemacentraledella meccanicaquantisticaconsistenella risoluzionedell’equazionedi Schrodinger, che, per gli stati stazionari,e ricondottaalla de-terminazionedello spettrodellahamiltoniana.Si ricorrepercio in generaleametodiben noti in analisi matematicae richiamati nell’AppendiceB, che permettonoditrovarele soluzionidell’equazioneagli autovalori di unoperatoreautoaggiuntoechesonogia stati illustrati nel capitoloIV. Spessopero nei casiconcretinonsi sarisol-vereesattamente,in modoanalitico,l’equazioneagli autovalori perla hamiltoniana:o si ricorre direttamentea metodinumerici,chenon rientranonegli scopipresenti,oppure,primadi utilizzarecomunquetali metodi,si cercadi ridurrele difficolta delproblemaconl’aiuto di metodiapprossimati.

Fin dalle prime applicazionidella meccanicaquantistica,ed ancheduranteillungo periododella suagestazione,risultaronospessoutili i metodi di approssi-mazionegia utilizzati perrisolverele equazionidelmotoclassiche.Percio molti deimetodiancoroggiin voganellameccanicaquantisticahannole loro radicinellafisicaclassica.

In questocapitolone vengonopresentatidue. Il primo e il cosiddettometodovariazionaledi Rayleigh-Ritz1, che per esempioin fisica classicaera usatopertrovare il modo di vibrazionedi unamembranacon frequenzapiu bassa. Essoeadattoprincipalmentenellaricercadellasoluzioneapprossimatachedescrivelo statofondamentale:il metodofornisceunabuonaapprossimazioneall’autovaloredi ener-giapiu basso,anchesesi usanofunzioni relativamentebuone.Datochela principalerichiestad’informazionesu un sistemafisico riguardail suostatofondamentale,il

1 Il metodoe espostosostanzialmentenel�

174,vol. 1, del libro di Lord Rayleighcitatoalla n. 6 p. 234e fu ripresodaWalterRitz (1878–1909).W. Ritz: Uber eineneueMethodezur LosunggewisserVariationsproblemeder mathematischenPhysik[Un nuovo metodoper la risoluzionedi certi problemivariazionalidella fisicamatematica], JournalfurreineundangewandteMathematik(CrelleJournal)135 (1911)1–61.

329

�� !��"#��!�$%"��&��metodovariazionalee un utile puntodi partenzaperogni metodoapprossimatochesi sviluppinello studiodei sistemiquantistici.

L’altro metodoqui illustratoequellodelleperturbazioniindipendentidal tempoe trae origine dallo studio delle perturbazionisecolariprodotteda un altro corpocelestesul moto di un pianetaintorno al sole. In meccanicaquantisticaessosibasasulla possibilita di separarela hamiltonianain due contributi, per il primodei quali si sarisolvereesattamentel’equazioneagli autovalori, mentreil secondovienetrattatocomeunaperturbazionealla situazionedescrittadal primo. Il metodorisulta efficacese questaperturbazionepuo considerarsipiccola, in modo che siapossibileeffettuareuncalcoloapprossimatodellospettrodellahamiltonianaoriginalevalutandole alterazionicheil secondocontributo introducenellospettrodel primo.')(%(%( *�+,*-(/.1032�4�576,538�9;: <=9�> <?5�@#9;.A2

Il metodovariazionale,notoanchecomemetododi Rayleigh–Ritz,ebasatosulseguenteteorema: datounostatoqualsiasiBDCFEHGJI con K�CLBDCME = 1, risultasempreK�CNB OPBDC�ERQTS 0 U (1 V 1)

dove S 0 e l’autovalorepiu bassodi O .Infatti, sia OWB XYE = S[Z\B XYE (1 V 2)

e si sviluppi l’arbitrario stato BDCFE sullabase]^B XYE/_ :BDC�E = ` Zba Z\B XYE/V (1 V 3)

La condizionedi normalizzazioneper BDCME e unacondizioneperi coefficienti a Z :

1 = K�CcBDCME = ` Z B a Z�B 2 V (1 V 4)

Percio K�CLB OWBDCFE = ` Z B a Z\B 2 S[ZdQbe�` Z B a Z\B 2 f S 0 = S 0 Ucomevolevasi.

Il metodovariazionaleconsisteallora nella ricercadel minimo di K�CLB OPBDC�E ,imponendoche BDCME esplori l’intero spaziodi Hilbert I . Cio si realizzafacendodipendereBDCME da un certo numerodi parametri,al variaredei quali BDCFE percorrel’intero I . Seil minimo trovato e il minimo assoluto,il problemae risolto e dalla(1.1) risulta

330

g��h��-i��"�$�"��&;� �j�S 0 = min K�CNBDOPBDC�E/V (1 V 5)

Si puo verificarecheil metodoe equivalentea risolverel’equazionedi Schro-dinger. Infatti persoddisfarela (1.5)bisognaimporrela condizionedi stazionarietadiK�CcB OPBDC�E al variaredeiparametri,sottopostaal vincolochesia K�CLBDCME = 1. Percio sitrattadellaricercadi unminimocondizionato,cherichiedel’uso di unmoltiplicatoredi Lagrangek pergarantirela condizionesullanormadi BDC�E . Condizionenecessariaperl’esistenzadelminimo e dunquelPm K�CLB OPBDC�E�nokYK�CLBDCME�p = 0 U (1 V 6)

cioe K l CLB OWBDCFE + K�CNB OWB l CMEqnrkYK l CLBDCFEsnrk\K�CLB l CME = 0 V (1 V 7)

Assumendochela variazionedei parametriin BDCME permettadi avere B l C�E e K l CLB tradi loro analiticamenteindipendenti,la (1.7)si traducenelledueequazioniK l CNB OWBDCMEqnPk\K l CNBDC�E = 0 UK�CNBDOPB l CMEqnPk\K�CNB l C�E = 0 Uchesi riduconoalla solacondizioneOPBDCME = k�BDCFE/V (1 V 8)

La (1.8)nonechel’equazioneagli autovalori per O : essaidentificalo stato BDCME chesoddisfa la (1.6)comeautostatodi O e k comecorrispondenteautovalore.

Nell’applicazionedelmetodovariazionaleeutile scegliereunabasenota ]^B XYE/_sucui svilupparelo statodi prova:BDC�E = ` Zba Z\B XYE/V (1 V 9)

I coefficienti di sviluppo a Z sonoparametrivariazionali.La diagonalizzazionedi Osulla base]^B XYE�_ permettedi determinarlie di ottenerela soluzione. Ai fini praticipero lo sviluppo (1.9) deve esseretroncatoa un numerofinito di termini, con laconseguenzachein lineadi principio lo statodi provanonepiu in gradodi esplorarel’intero spaziodi Hilbert a disposizione.Il tal modoil metodovariazionalediventaunmetodoapprossimato.Tuttavia, seil troncamentoavvieneconcriteri ragionevoli,il sottospazioesploratocontienelo statofondamentaleesattoe il metodoriesceaindividuarlo.

Alternativamente,per la ricercadel minimo di K�CLB OWBDCFE , si puo scegliereunarappresentazioneper BDCME , per esempioquella delle posizioni, e quindi si applica

331

�� !��"#��!�$%"��&��il metodovariazionalenello spaziodelle funzioni Gut 2, facendodipenderequestefunzioni da parametri. L’abilit a nell’applicazionedel metodoconsisteallora nelloscegliere funzioni abbastanzaflessibili, in mododa riuscirea riprodurreil megliopossibilel’autofunzionedello statofondamentale.

Nella ricercadel minimo il metodovariazionaleforniscecomunquepiu ac-curatamentel’autovalorechenon lo stato: assuntodel primo ordine l’errore B l CFEcommessosull’autostato,l’errore chesi commetteneldeterminareS 0 e delsecondoordine. Infatti si indichi con S 0 = K�C 0 B OPBDC 0 E (1 V 10)

l’autovaloreesattodellostatofondamentaleBDC 0 E esiav S = K�CNBDOPBDCMEsnwS 0 (1 V 11)

l’errorerisultantesull’autovalore.Essoeprovocatodalfattocheil metodohaprodottola soluzioneapprossimata BDCME = BDC 0 E + B l C�E/V (1 V 12)

Dalle condizionidi normalizzazionedegli stati,K�CLBDCME = 1 U K�C 0 BDC 0 E = 1 Usegue K l CLBDC 0 E + K�C 0 B l C�E = nFK l CcB l CFE�VAllora la (1.11)puo riscriversiv S = K�C 0 +

l CLBDOPBDC 0 +l CMEqnwS 0

= K l CcB OPB l CFEsnxS 0 K l CLB l CME U (1 V 13)

cheepalesementedi secondoordinerispettoa B l CME .Il risultato(1.13)indicadunquechesein pratica,comespessosuccede,si e in

gradodi esploraresolounapartedellospaziodi Hilbertdovepuoanchenontrovarsilostatofondamentale,il valoredi energiaecomunqueottenutoconun’approssimazionemigliore di quantolo sialo statofondamentalecorrispondente.

Una volta ottenutol’autovalore esatto S 0 per lo statofondamentaleBDC 0 E , sipuo applicareil metodovariazionaleunasecondavoltaperdeterminarel’energiadelprimo livello eccitato. L’unica avvertenzain questocasoriguardala necessita diesploraresolo la partedi spaziodi Hilbert ortogonalea BDC 0 E , in modochein questospaziol’autovalorepiu bassosiaorail primolivello eccitatodellahamiltoniana:cosıil metodovariazionalefornira l’autovalorepiu basso,chee necessariamentequellodelprimolivello eccitatoBDC 1 E . PerescludereBDC 0 E dallostatodi provabastascegliereBDC�E e BDCzy�E tali chesia

332

g��h��!��[i/��"�$�"��&;� �j�BDCME = BDCzy!Eqn{BDC 0 E�K�C 0 BDC|y!E/V (1 V 14)

Nella(1.14)lo stato BDC|y�E vienedepuratodellaparteparallelaa BDC 0 E elo statodi provaBDC�E risultaautomaticamenteortogonalea BDC 0 E :K�C 0 BDCME = 0 V (1 V 15)

Se,al variaredeiparametridacui dipendeBDC|y!E , la ricercadelminimoconlo stato BDCFEdella(1.14)haprodottoil minimoassoluto,risulta BDCME~}�BDC 1 E . In lineadi principio,il metodopuo quindiessereestesoalladeterminazioneanchedegli statieccitatidi O .Pero in questocasoesistonoin praticagrosselimitazioni derivanti dalle inevitabiliapprossimazioni.Infatti, seil metodovariazionalehafornito in primaapplicazioneunostatofondamentaleBDC 0 E approssimato,cio si ripercuotesu BDCFE nella(1.14),chenonrisultapiu ortogonaleallo statofondamentaleesatto.Percio la soluzioneper ilprimo statoeccitatoe necessariamenteapprossimata:l’approssimazionediventaviavia peggiorepersuccessiveapplicazioninellaricercadegli altri statieccitati.

Tuttavia in qualchecasoparticolarequestedifficolta sonofacilmenteaggirateeil metodofunzionaaltrettantobeneancheperil primolivello eccitato.Cio si verificaper esempioquandola hamiltonianaO commutacon l’operatoredi parita: cosı lostatofondamentalehaparitaoppostadelprimolivello eccitatoeunasceltaopportunadellaparitadellefunzionidi provapermettedi esploraresoloil sottospaziodi Hilbertnelqualevienea trovarsiil primo livello eccitatoeperil qualequestorappresentalostatopiu bassoin energia.�q�/�/��!��!�

Puo essereinteressantevedereun’applicazionedel metodovariazionalealladeterminazionedellostatofondamentaledell’atomodi idrogeno2.

In questocaso(cfr. paragrafoV.8) si sache l’autovalored’energia si ottieneper� = 1, � = � = 0 evale �0 = �d� 2

2�~� (1 � 16)

con � =-� 2� � 2

�La corrispondenteautofunzionein coordinatepolari e�

0( � �� ) = � ( � ) � 00( �� ) �dove

2 Albert Messiah:Mecaniquequantique, Dunod,Parigi, 1959,vol. 2, pp. 656–659.

333

��!��-��"^�� "#��!�$�"��&;�� 00( �� ) =

1 4¡ �� ( � ) = 2��¢¤£�¥%¦ � (1 � 17)

Sesi sceglie in generalecomefunzionedi prova�( � �� ) = � ¢ 3 ¥ 2 § ( ¨ )¨ �^©«ª ( �� ) � (1 � 18)

conla variabileadimensionale ¨ =��

il valoredi aspettazionedellahamiltonianarisultadalla(V.8.6):�

= ¬ �| ®¯ ��°=

�0

±³²0 ´ ¨ §¶µ ( ¨ ) · ´ 2´ ¨ 2 � � ( � + 1)¨ 2 + 2¨ ¸ § ( ¨ )± ²

0 ´ ¨ § ( ¨ )2

� (1 � 19)

dove ora

�0 e datodalla (1.16). Essendointeressatiallo statofondamentale,conviene

porre � = � = 0 nella(1.18)eattribuire alla funzione § ( ¨ ) unaformaanaliticaesplicita,dipendentedaqualcheparametrovariazionale:ealtresı opportunoche § ( ¨ ) nonpresentinodi. Siscelganoadesempioleseguentitrefunzioni,tuttedipendentidaunsoloparametro¹: º»»¼ »»½ § 1( ¨ ) = ¨ � ¢¤¾=¿��§ 2( ¨ ) =

¨¹2 + ¨ 2 �§ 3( ¨ ) = ¨ 2 ��¢À¾=¿ � (1 � 20)

In questomodol’energia

�della(1.19)diventaunafunzionedi

¹:

�=

�(¹). Il metodo

variazionalesi traducedunquenella ricercadel minimo di

�(¹) in funzionedi

¹e il

valore¹ ªsÁ�Â di

¹cheminimizza

�(¹) determinail valoreapprossimatoper l’autovalore

fondamentale.In Tab. 1, insiemea quantita che intervengononel calcolo variazionale,sono

riportati i risultati per ciascunadelle scelte(1.20). Si tengapresentache § 1( ¨ ) ha ilcorrettoandamentoasintoticoper ¨�ÃÅÄ e per ¨NÃ 0, mentrela § 2( ¨ ) lo hasoloper¨�Ã 0 e la § 3( ¨ ) lo hasoloper ¨�ÃÆÄ . Questidiversicomportamentisi riflettononeivalori di

�0, ¬!� ° e Ç . Il comportamentocorrettoall’origine e importanteper

�0: dato

chesi trattadi unostatolegato,conenergia potenzialenegativa a piccoledistanze,nella(1.19)pesanosoprattuttoi piccoli valori di ¨ . Il comportamentocorrettoper ¨NÃÈÄ eimportantenel calcolodel raggiomedio ¬�� ° : il calcolodel valoredi aspettazionedi � ,¬!� °1ÉËÊ ²

0� 2 ´ � § 2( � ) �Ê ²

0� 2 ´ � § 2( � ) �

334

g��h��-i��"�$�"��&;� �j�Tab. 1§ 1 § 2 § 3Ì 2 = ¬ �| �h°

1Í (4¹ 3) ¡)Í (4¹ ) 3Í (4¹ 5)�

(¹) Í � 0 2

¹ � ¹ 2 (8¹ �Î¡ ) Í (2¡ ¹ 2)

¹ � 13

¹ 2¹ ªsÁ�Â 1 14 ¡ 3

2

min

�(¹)

�0 0 � 81

�0 0 � 75

�0

1Ï § ( ¨ ) ¾ = ¾=Ð1Ñ�Ò 2 � ¢¤¿ ¨Ó· e#Ô4 f 2

+ ¨ 2 ¸ ¢ 19 Õ 2

4 ¨ 2 � ¢ 32 ¿¬�� ° 1 � 5 � Ä 1 � 66 �Ç = 1 � ¬ � 0

�h°Ö 2 0 0 � 21 0 � 05

Fig. 1.1.Andamentoradialedelle funzioni di prova per il calcolodello statofondamentaledell’atomodi idrogeno:lineapiena,punteggiatae tratteggiataper le funzioni normalizzatecorrispondentirispettivamentealle funzioni § 1 � § 2 � § 3 definitenella(1.20).

fa interveniresoprattuttoi valori grandidi � . Anche Ç , chefornisceun’indicazionesullabontadellafunzioneottenutacomesoluzioneapprossimata,attraversoil prodottoscalare¬ � 0

�-°e sensibilealla codadi § ( ¨ ) per ¨¯Ã×Ä . Il fatto che Ç sia cosı piccolo per§ 3 indica, comesi vedein fig. 1.1, che § 1 e § 3 sonoabbastanzasimili tra di loro;

tuttavia, fra le tre funzioni di prova scelte,§ 3 fornisceil peggioreautovaloreacausadelsuocattivo comportamentoall’origine. Non deve stupireche § 1 trovi esattamente

�0,

in quantola sceltadi questafunzionedi prova e statagiudiziosa(buon comportamentoall’origine, correttoandamentoasintotico,giustonumerodi nodi, ecc.) e al variaredi

¹335

�� !��"#��!�$%"��&��si puo davveroottenerel’autofunzioneesatta.�q�/�/��!��AØ

Il metodovariazionaleconsistenella ricercadel minimo di ¬ �| ®¯ ��°facendo

variare �h°

all’internodellospaziodi Hilbert Ù . Questaricercaequivaleall’applicazionedi un operatoreunitario Ú che,ruotando

�all’interno di Ù e conservandonela norma-

lizzazione,rendanulla la variazioneprimadel valoredi aspettazionedi®

:¬ �| ®Û ��° �Ü¬ �z Ú ¢ 1 ® Ú �h°= 0 � (1 � 21)

Scegliendo Ú = 11 + Ý=Ç�Þ � (1 � 22)

dove Þ e un operatoreautoaggiuntoe Ç e unparametroinfinitesimo,cio equivaleaporre¬ �z ®Û �h° �Ü¬ �M(11 �ßÝ=Ç�Þ )

®(11 + Ý=Ç�Þ )

�[°= 0 �

cioe ¬ �M[ Þ � ® ]

�-°= 0 (1 � 23)

perqualsiasioperatoreautoaggiuntoÞ .Datal’arbitrarieta dell’operatoreÞ e tenendopresentel’equazionedi motoper Þ

nelladescrizionedi Heisenberg, Ý -� ´ Þ´�à = [ Þ � ® ] � (1 � 24)

si puo quindi riconoscereche la (1.23) e equivalentea risolvere l’equazionedi Schro-dingerper gli stati stazionari.Allo stessotempo,la sceltaparticolaredell’operatoreÞnel definire la trasformazioneunitaria Ú permettedi restringerela ricercadel minimodi ¬ �z ®¯ �-°

a unaclassedi �h°-á Ù , secondoprescelticriteri di opportunita. Questa

possibilita sarautilizzatanelparagrafoX.7 (EsempioX.7.1).

')(%(%( *"â�*-ãh2�: 4=ä�:�å9�> <?5�@À<s<�@#6;<çæ�2 @#6^2 @�4=<R6,9�.14�2�0¶æ¤5Quandononsi sarisolvereesattamentel’equazioneagli autovalori perla hamil-

tonianaO e spessoconvenientespezzareO nellasommadi duecontributi:O = O 0 + è~V (2 V 1)

La sceltadi O 0 va fatta in modochesi possanodeterminarein modoesattoi suoiautostatie autovalori. Inoltre, O 0 e è devono operareseparatamentesullo stessospaziodi Hilbert di O . Cosı si puoutilizzarel’insiemedegli autostatidi O 0 comeunabasedi riferimentoe considerareè , chequi si ritieneindipendentedal tempo,comeunterminechehapiccoli effetti sullasituazionedescrittada O 0. Secio epossibile,è

336

é1��ê��%ë��$�"��&� «&;�� &;�ì��&��"�� q�7�vienetrattatacomeunaperturbazioneindipendentedal tempocheintroducepiccolecorrezioniallo spettrodegli autovalori di O 0. La definizionequantitativa di quantopiccola deve esserela perturbazionerisulta dalla condizionedi applicabilita delmetodo,cheverra impostanelparagrafoseguenteconl’eq. (3.6).

Siadunque O 0 B XYE = S (0)Z B XYE (2 V 2)

l’equazioneagli autovalori per O 0, chesi ritienerisoltacon B XYE normalizzatoe nondegenere. Allora l’equazioneagli autovalori per O ,OPBDC�E = SÎBDC�E U (2 V 3)

si riscrive O 0 BDCME = ( Sínoè ) BDCFE V (2 V 4)

Perun î realequalsiasirisulta

( îÓnxO 0) BDCME = ( îÓnxS + è ) BDCME U (2 V 5)

cioeanche,formalmente, BDCFE =1î~nxO 0

( îsnwS + è ) BDCFE/V (2 V 6)

La (2.6) e solo una soluzioneformale, in quanto BDCME compareanchea secondomembro; inoltre la presenzadel denominatoreîMnïO 0 fa perderedi significatoall’espressioneogni qual volta si scegliesse î in coincidenzadi un autovalore diO 0. Perdaresignificatoalla (2.6) ancheper un valoredi S in prossimita di S (0)Z ,convieneintrodurrel’operatoredi proiezione,ð

= 11 nñB XYE K=X3B U (2 V 7)

cheescludelo stato B XYE . Allora, assumendoperlo stato BDCFE la condizionedi norma-lizzazione K=X3BDCFE = 1 U (2 V 8)

l’identita BDCME = B XYE +ð BDCME (2 V 9)

puo essereriscrittasostituendola (2.6)a secondomembro:BDCFE = B XYE +ðî~nwO 0

( î~nwS + è ) BDCFE/V (2 V 10)

337

�� !��"#��!�$%"��&��Sesuccedessecheper î = S (0)Z lo stato( îRnPS + è ) BDCFE fosseproporzionalea B XYE ,l’operatore

ðnella (2.10) e in gradodi cancellarela singolarita conseguente,in

quanto ðî~nxO 0B XYE = 0 U (2 V 11)

e la (2.10)risultaregolare.Alla (2.10)si puodaresoluzioneesplicitaconmetodoiterativo, sostituendocioe

a BDCME nel secondomembrol’intera espressionedi BDCFE per iterazionisuccessive. Siottienecosı unosviluppoin serie:BDCME = ò` ó

=0 ô ðî~nwO 0( î~nwS + è ) õ ó B XYE�V (2 V 12)

La convergenzadi talesviluppoin seriee ovviamentelegataal caratteredi “piccolaperturbazione”che è assumerispettoa O 0.

Lo stato B XYE e unoqualsiasidegli autostatidi O 0 equindi il metodoconsenteditrovarequalsiasiautostatodi O apartiredagliautostatidi O 0. Si tengapresenteche,perla (2.8) lo stato BDC�E non e normalizzatoa1.

Peril corrispondenteautovalore S di energiabastafareil prodottoscalaredella(2.4)con K=X3B : K=X3B O 0 BDCFE = K?X3B SïnPè3BDC�E U (2 V 13)

cioe SínxS (0)Z = K=X3BDèÎBDCFE U (2 V 14)

dovesi e fruito dellacondizionedi normalizzazione(2.8). Si puo alloraottenereunosviluppoin serieancheper S , sostituendola (2.12)nella(2.14):S = S (0)Z + K=X3B è ò` ó

=0 ô ðî~nwO 0( îÓnxS + è ) õ ó B XYE�V (2 V 15)

A secondadella sceltadi î nella (2.12)e nella (2.15),si possonoavereformediversedi sviluppo.Per î = S (0)Z (2 V 16)

si ottienelo sviluppodi Rayleigh–Schrodinger3, mentreperî = S (2 V 17)

3 J.W. Strutt(BaronRayleigh):TheTheoryof Sound, loc. cit. (n. 6. p. 234),vol. 1, p. 113–114.E.Schrodinger:QuantisierungalsEigenwertproblem(Dritte Mitteilung)[Quantizzazionecomeproblemaagli autovalori (Terzacomunicazione)], AnnalenderPhysik80 (1926)437–490.

338

ö iA� êÖ��7�|��÷��ø �j��j�Öù7ú ö;û ù��ü��&��ì��si ricava lo sviluppodi Brillouin–Wigner 4. Questisviluppi vengonoesaminatineiprossimiparagrafi.')(%(%( *�ý^*hþ15cÿ�8�<�. ä7æ,æÀ5d6�<��h9��."2 <�� ^:��5,6�<�@��^2 :

Nello sviluppodi Rayleigh–Schrodingersi assumela (2.16),per cui la (2.12)diventa BDCFE = ò` ó

=0 ô ðS (0)Z nwO 0

� S (0)Z nwS + è�� õ ó B XYE= BDC (0) E + BDC (1) E + BDC (2) E + V�V�VRV (3 V 1)

Il termine � -esimo BDC (

ó) E dello sviluppo (3.1) contieneil contributo della potenza� -esimadellaperturbazioneè . E immediatotrovareBDC (0) E = B XYE U (3 V 2)

cioe all’ordine zero nella perturbazioneè lo stato BDCFE coincide con l’autostatoimperturbatoB XYE di O 0 dacui si parte.Al primoordinein è si ottieneBDC (1) E =

ðS (0)Z nxO 0

� S (0)Z nrS + è��HB XYE=� S (0)Z nwS�� ðS (0)Z nxO 0

B XYE +ðS (0)Z nxO 0

è3B XYE=

ðS (0)Z nxO 0

è B XYE= `�� ðS (0)Z nxO 0

B �¯E�K��rBçèÎB XYE= `��

= Z K��rBDè B XYES (0)Z nxS (0)� B �¯E�V

Questorisultatopuo ancheriscriversi

4 L.N. Brillouin: Lesproblemesdeperturbationsetleschampsself-consistents[ I problemidi perturbazioneei campiautoconsistenti], JournaldePhysiqueet le Radium3 (1932)373–389;E.P. Wigner: MatematikaiesTermeszettudomanyi Ertesito (Budapest)[Mathematischerund naturwissenschaftlicherAnzeigerderungarischenAkademiederWissenschaften(Budapest)]53 (1935)475.Perun’estensionedel teoremadi Wigner nella soluzionedel problemaagli autovalori, si vedail lavorodi Per–Olov Lowdin: Studiesin PerturbationTheory. IV. Solutionof EigenvalueProblemby ProjectionOperator Formalism[Studi in teoria delle perturbazioni. IV. Soluzionedel problemaagli autovalorimedianteil formalismodegli operatori di proiezione], Journalof MathematicalPhysics3 (1962)969–982.

339

�� !��"#��!�$%"��&��BDC (1) E = `��

= Z�� (1)� B �¯E U (3 V 3)

dove i coefficienti � (1)�

sonocosı definiti:

� (1)�

=K��rBDè B XYES (0)Z nxS (0)

� V (3 V 4)

Naturalmenteperchelo sviluppo(3.1)convergai terminidellosviluppodevonodarecontributi via via decrescenti.Cio e garantitodallaseguentecondizionenecessaria:B � (1)

� B � 1 V (3 V 5)

Essaequivaleaporre B�K��rBçèÎB XYEìB � B S (0)Z nxS (0)� B V (3 V 6)

La (3.6) rappresentala condizionedi applicabilitaalla (2.1)delmetododellepertur-bazioniindipendentidal tempo. La (3.6) significachela perturbazionesi limita adalterarei livelli energetici imperturbatidi O 0, senzasconvolgernel’ordine.

Corrispondentemente,con la scelta(2.16), lo sviluppo(2.15)per l’energia di-venta S = S (0)Z + K?X3BDè ò` ó

=0 ô ðS (0)Z nxO 0

� S (0)Z nrS + è!� õ ó B XYE= S (0)Z + S (1)Z + S (2)Z + V�V�VìV (3 V 7)

Si trovasubitola correzioneS (1)Z al primoordinein è ,S (1)Z = K=X3BDèÎB XYE U (3 V 8)

checonferma,perla (3.6),il caratteredi sempliceperturbazioneallasuccessionedeilivelli energeticidi O 0 introdottada è . Al secondoordinein è si ottieneS (2)Z = K?X3BDè ðS (0)Z nwO 0

� S (0)Z nxS + è��B XYE= ` " �

= Z B�K=X3BDè B$#ÀE�B 2S (0)Z nwS (0)" V (3 V 9)

Si osservicheperl’autovalorepiu basso,S (0)Z = S (0)0 , si ottienesempreS (2)Z&% 0.

Naturalmentesi puo spingereancheil calcolodi BDCFE al secondoordinenellaperturbazioneè :

340

ö iA� êÖ��7�|��÷��ø �j��j�Öù7ú ö;û ù��ü��&��ì��BDC (2) E =

ðS (0)Z nwO 0

� S (0)Z nxS + è�� ðS (0)Z nwO 0

� S (0)Z nwS + è��B XYE= ` " �

= Z ` ' �= Z 1S (0)Z nxS (0)

" B$#ÀE( K�#1B � S (0)Z nxS + è � B )�E 1S (0)Z nrS (0)' K*)B � S (0)Z nwS + è � B XYE

= ` " �= Z ` ' �

= Z l "+' � S (0)Z nxS � K,#1BDèÎB XYEe S (0)Z nxS (0)" f 2 B$#ÀE

+ ` " �= Z ` ' �

= Z K,#1B è B )?E K-)%BDè B XYEe�S (0)Z nwS (0)" f e�S (0)Z nxS (0)

' f B$#�E= ` " �

= Z � S (0)Z nxS�� K�#1B èÎB XYEe S (0)Z nwS (0)" f 2 B$#ÀE

+ ` " �= Z ` ' �

= Z K,#1B è B )?E K-)%BDè B XYEe S (0)Z nwS (0)" f e S (0)Z nxS (0)

' f B$#�E�VIn questorisultatocompareancorail valoreincognito S . D’altra parte BDC (2) E deveesseredi secondoordinein è , percuisipuoapprossimareS conil suovaloreottenutoal primoordinein è , cioe S (0)Z nrS = nFK=X3B è B XYE Uconil risultatofinale: BDC (2) E = ` " �

= Z.� (2)" B$#ÀE U (3 V 10)

� (2)"

= `' �= Z0/ " K,#1B è B )�E�K*)BDèÎB XYEe�S (0)Z nwS (0)

" f e�S (0)Z nxS (0)' f +

K,#1B è B XYE m K�#1B è3B$#ÀEsnuK=X3BDè B XYE pe�S (0)Z nxS (0)" f 2 V (3 V 11)

In definitiva,al secondoordinein è , lo stato(3.1)diventaBDCFE = `�� B �¯E U (3 V 12)

dove

� � = � (0)�

+ � (1)�

+ � (2)� U (3 V 13)

341

��!��-��"^�� "#��!�$�"��&;�� (0)�

=l Z � U (3 V 14)

e � (1)�

, � (2)�

sonodati in (3.4) e in (3.11). Percostruzione,datala (2.8), BDCFE non e apriori normalizzato,madeveesserenormalizzatoaposteriori.�q�/�/��!��1��!�

Questoesempiodimostral’analogiaesistentetra gli sviluppi classiciin seriedipotenzee lo sviluppodi Rayleigh–Schrodinger.

Si considerila hamiltonianadi oscillatorearmonicolineare,®0 = 2 2

2� + 12 354 2 � (3 � 15)

cui vieneaggiuntoun piccoloterminedi potenziale,ancoraarmonico:6= 1

2

¹ 4 2 � ¹87 3 � (3 � 16)

E ovvio in questocasoil risultatoesattoperlo spettrodi®=®

0 +6 � (3 � 17)

cioe � Â = -� 9�: � � + 12 � � (3 � 18)

con 9�:=

; 3 +¹� =

9 ;1 +

¹3 � (3 � 19)9=

; 3� � (3 � 20)

E pero interessanteconsiderare6

comeuna perturbazione,applicareil metododelleperturbazioniindipendentidal temposecondolo sviluppo di Rayleigh–Schrodingereconfrontarnei risultati ai vari ordini in

6con quelli che si ottengonosviluppandola

(3.19)in seriedi potenzedi¹ Í 3 . Perl’energia (3.18)lo sviluppoin seriefornisce:� Â = -� 9 e � + 1

2f · 1 +

12

¹3 � 18

¹ 23 2+ �Ö�� ¸ � (3 � 21)

Al primo ordinein6

nellosviluppodi Rayleigh–Schrodingerrisulta�(1)Â = ¬ � 6 � ° = 1

2

¹ ¬ � 4 2 � ° �Ricordandola relazione(VI.3.11) e le proprieta degli operatoridi creazionee di distru-zione(VI.2.16), (VI.2.17)e (VI.2.14),si ha

342

ö iA� ê/��7�[�� ÷��ø��j��j�Öù7ú ö;û ù��^ü��&��ì��¬ � 4 2 <,° =

-�2� 9

º»¼ »½ (<

+ 1)(<

+ 2) � � =<

+ 2,(2<

+ 1) � � =<, <

(< � 1) � � =

< � 2,0 � altrimenti,

(3 � 22)

percui infinerisulta�(1)Â = -� 9 e � + 1

2f 1

2

¹� 92

= -��9 e � + 12f 1

2

¹3 � (3 � 23)

Similmente,al secondoordinesi trova�(2)Â = -��9 e � + 1

2f e � 1

8

¹ 23 2f � (3 � 24)

che,comeprevisto, e negativo. Ordineperordine,ogni terminedello sviluppodi Ray-leigh–Schrodingerper il valoredi energia perturbatocoincidecon il corrispondenteter-minedellosviluppo(3.21)in seriedi potenzedi

¹ Í 3 .Anchegli autostatidi

®sononotiesattamente.In particolare,lo statofondamentale

(VI.2.23) risulta =0( 4 ) = ¬ 4 0° =

; > : ¡ � ¢@?BA 2 C 2 ¥ 2 � (3 � 25)

dove > : 2=

� 9 :-� =

>2

;1 +

¹3 � (3 � 26)>2 =

� 9-� � (3 � 27)

Procedendocomeper l’energia, si puo svilupparein seriedi potenzedi¹ Í 3 . Al primo

ordine,la (3.25)diventa=0( 4 ) =

; > ¡ � ¢D? 2 C 2 ¥ 2 · 1 � 14

¹3 e > 2 4 2 � 12f ¸ � (3 � 28)

Il calcoloperturbativo al primo ordinein6

secondola (3.4) fornisceE (1)F =¬ <À 6�

0°�

(0)0 � �

(0)F = � 12

¹ ¬ <� 4 2 0°< -��9e,perla (3.22),si ha E (1)F = � 1

2

¹ 1< -��9 -�2� 9

2G F 2

= � 2

8

¹3 G F 2 �Pertanto,al primo ordinein

6, la funzionedellostatofondamentalediventa

343

��!��-��"^�� "#��!�$�"��&;��= :0( 4 ) = ¬ 4 0° �

28

¹3 ¬ 4 2°=

; > ¡ � ¢D? 2 C 2 ¥ 2 � 2

8

¹3 ; >8 ¡ (4

>2 4 2 � 2)� ¢D? 2 C 2 ¥ 2

=

; > ¡ � ¢D? 2 C 2 ¥ 2 · 1 � 14

¹3 e > 2 4 2 � 12f ¸ �

checoincideconla (3.28).�q�/�/��!��1��AØSi consideriunaparticellasoggettaalla hamiltoniana5 (fig. 3.1)®

=

º»¼ »½ 2 2

2� + 12 � 9 2 4 2 � 4 �H � ,2 2

2� + 12 � 9 2 � 2 � 4 �I � .

(3 � 29)

Fig. 3.1.

Talehamiltonianapuo riscriversi ®=®

0 +6 � (3 � 30)

dove ®0 = 2 2

2� + 12 � 9 2 4 2 (3 � 31)

el’usualehamiltonianadi unoscillatorearmonicolineareconautofunzioni

= Â ( 4 ) = ¬ 4 � °eautovalori

�(0)Â = -��9 � � + 1

2 � . Il potenziale

5 Harry A. Mavromatis: Exercisesin QuantumMechanics. A Collectionof Illustrative ProblemsandTheir Solutions, D. ReidelPubl. Co.,Dordrecht,1987,pp. 120–121.

344

J � � û � �ç�Ó��"ê��%ë��«i��Ó��ê��H� �i��%�«� #i û �&�6

= K 0 � 4 �H � ,� 12 � 9 2( 4 2 �d� 2) � 4 �I � ,

(3 � 32)

puo essereconsideratounpotenzialeperturbativo.Al primo ordinein

6i livelli di

®risultano

� Â =

�(0)Â + ¬ � 6 � ° � (3 � 33)

dove ¬ � 6 � ° = � 12 � 9 2 2

± + ²¦ ´ 4 ( 4 2 �ß� 2)

=2Â ( 4 ) � (3 � 34)

Anchesela hamiltoniana®

possiedeunaporzionedi spettrocontinuo,la teoriadelleperturbazioniindipendentidal tempoal primo ordine forniscesolo valori discreti perl’energia. Questoe un esempiodelle limitazioni intrinsechedel metodo. In realta essopuo essereapplicatosoloperenergie

� 7 12 � 9 2 � 2; solonel limite �zÃ + Ä , percui si

ritrova l’oscillatorearmonicolineare,essoforniscegli autovalori corretti

�(0)Â . Inveceper� H

+ Ä si ha

� Â H �(0)Â . Cio edovutoal fattochela particellapuo trovarsinellaregione4 I � conmaggioreprobabilitanelcasodi unpotenziale

6= 1

2 � 9 2 � 2 chenonnelcasodi unpotenziale

6= 1

2 � 9 2 4 2: di conseguenza,l’associatalunghezzad’ondaemaggioree il vettored’onda

<= 1ÍML eminore.Percio anchel’energia,cheeproporzionalea

< 2, eminore.

Esercizio 3.1

Risolverel’EsercizioV.4.3perlo statofondamentalecolmetododelleperturbazioniindipendentidal tempoal secondoordineeconfrontareil risultatoconquelloesatto.

' (%(%( *ON#*QPs9;.R /5�.A5FæÀ2�: 4=ä�:�å9,4=<!8�5MæÀ2 : 6�ä�2F. <�8�2�.!.«<Ó87<� ì<!@À<Il metododelleperturbazioniindipendentidaltempoespostoal paragrafoVIII.2

si basasull’ipotesifondamentalechelo spettroimperturbatononsiadegenere.Cio erilevantein particolarenel casodello sviluppodi Rayleigh–Schrodinger, siaperchealtrimentinonsi puo soddisfarela (3.6),siaperchein tutti i denominatoridei terminidello sviluppocompaionodifferenzetra valori di energia imperturbatachepossonoannullarsiin presenzadi degenerazione.

Si suppongaadesempiocheci sianoduevalori S (0)1 e S (0)

2 prossimitra di loro.Sesi e interessatia conoscerela perturbazionedel livello B 1E al primo ordine,nellasommache comparenella (3.3) il contributo dello stato B 2E diventadominantesututti gli altri, in quantoil corrispondentecoefficiente � (1)

2 della (3.4) diventamoltomaggioredegli altri. In praticaallora la soluzione BDC�E diventasemplicementeunasovrapposizionedi B 1E e B 2E : BDCME = a B 1E + S�B 2E/V (4 V 1)

345

�� !��"#��!�$%"��&��Perconoscerei coefficienti a e S none necessarioquindi ricorrereal metodopertur-bativo, in quantol’equazioneagli autovalori (2.3)diventaunsistemadi dueequazionialgebricheperle dueincognite a e S :º¼ ½ · S (0)

1 nwS + K 1 B è B 1E ¸ a + K 1 BDèÎB 2ETS = 0 UK 2 BDèÎB 1E a + · S (0)2 nxS + K 2 B è B 2E ¸ S = 0 V (4 V 2)

La condizionedi risolubilita peril sistema(4.2) imponeUUUU S (0)1 nwS + K 1 BDèÎB 1E K 1 BDèÎB 2EK 2 BDè3B 1E S (0)

2 nwS + K 2 BDèÎB 2E UUUU = 0 V (4 V 3)

La(4.3)si traducein un’equazionedi secondogradoper S , lecuisoluzionisipossonoindicarecon S 1 e S 2 esonodatedallarelazioneS 1 / 2 = 1

2( O 11 + O 22) V 12 · ( O 11 nxO 22)

2 + 4 B O 12 B 2 ¸ 1 W 2 V (4 V 4)

Nella (4.4) il segno+ ( n ) si riferisceal livello 1 (2) e intervengonosolole quantitaS (0)1 + K 1 B è B 1E = K 1 B OWB 1EL}ñO 11 US (0)2 + K 2 B è B 2E = K 2 B OWB 2EÓ}ñO 22 U (4 V 5)

che rappresentanola correzioneal primo ordine in è per l’energia dei due livelliinteressati,e l’elementodi matricedell’interazione,K 1 B è B 2E = K 1 B OWB 2EÓ}ñO 12 = OYX21 U (4 V 6)

Fig. 4.1.Separazionedi duelivelli imperturbatidegeneriprovocatadallaperturbazione.

346

J � � û � �ç�Ó��"ê��%ë��«i��Ó��ê��H� �i��%�«� #i û �&�cheaccoppiatradi loro i duelivelli imperturbati.Le soluzioni(4.4)sonoriportateinfig. 4.1 in funzionedellaseparazionel

= O 11 nwO 22 (4 V 7)

tra i due livelli perturbatial primo ordine. L’effetto dell’accoppiamentoe dunquequellodi separarele duesoluzioni.

Una volta noti i valori di energia (4.4), si puo trovareper ciascunodi essilasoluzione(4.1)chesoddisfaal sistema(4.2). Dalla primadelle(4.2)si ricavaa S =

O 12SínxO 11V (4 V 8)

Sostituendoi valori di S dalla(4.4),si ottiene

a S = O 12 K 12( O 11 + O 22) V 1

2 Z ( O 11 nxO 22)2 + 4 B O 12 B 2 nxO 11 []\ 1

= O 12 K 12( O 22 nwO 11) V 1

2 Z ( O 11 nxO 22)2 + 4 B O 12 B 2 [^\ 1

=2O 12O 22 nxO 11

º¼ ½1 _ 1 +

4 B O 12 B 2( O 11 nxO 22)2 `$ab \ 1 V

Convienedefinire

tan c =2O 12l U (4 V 9)

in modocheil rapportoa0d S si puo riscriverea S = n tan c · 1 _fe 1 + tan2 c ¸ \ 1

= n tan chg 1 _ 1coscji \ 1

= n sin ccosck_ 1

= n 2sin 12 c cos1

2 ccos2 1

2 cJn sin2 12 cl_ 1

Ue quindi in definitiva la (4.8) forniscein corrispondenzadei duevalori S 1 e S 2 lesoluzioni e a S f 1

= cot 12 c U e a S f 2

= n tan 12 c U (4 V 10)

cioe

347

�� !��"#��!�$%"��&��m BDC 1 E = cos12 cRB 1E + sin 1

2 c�B 2E UBDC 2 E = n sin 12 cRB 1E + cos1

2 c�B 2E U (4 V 11)

chesonoautomaticamentenormalizzatie ortogonalitradi loro.La sovrapposizionedegli stati B 1E e B 2E cheforniscela soluzione(4.11)dipende

dall’angolo 12 c , cioe dal rapportotra l’accoppiamentoO 12 e la separazione

ldei

livelli perturbatial primoordine.Si possonoalloradistinguereduecasiestremi.

1) Sia B O 12 B � B l B .Questocasosi riferisceaun deboleaccoppiamentotra i livelli imperturbatie rientranelleipotesiperla validita dellosviluppoperturbativo. Infatti la (4.4)fornisceS 1 = O 11 +

B O 12 B 2l US 2 = O 22 n B O 12 B 2l U (4 V 12)

chee un risultatoin accordoconle (3.7), (3.8)e (3.9). Corrispondentementeper lostatoperturbatorisulta con 0 (4 V 13)

e quindi,comeprevedibile,BDC 1 E�n B 1E U BDC 2 E�n B 2E V (4 V 14)

2) Sia B O 12 B p B l B .In questocasol’accoppiamentoemolto forterispettoallaseparazionedeiduelivelli,ancheperturbatial primoordine.La (4.4) fornisceS 1 / 2 = 1

2( O 11 + O 22) V K B O 12 B + l 2

8 B O 12 B [ U (4 V 15)

che,nel limite B l B q 0, produceS 1 nwS 2 = 2 B O 12 B V (4 V 16)

La perturbazioneintroduceun effetto repulsivo chee in gradodi rimuoverela dege-nerazione(fig. 4.1). Inoltre,orae con 1

2 r U (4 V 17)

percui si ottieneil massimomiscelamentotra gli stati imperturbati:

348

ö iA� ê/��7�|��ts��ç��ê7«&�ú�uzj��&,��º»»¼ »»½ BDC 1 E =1v2

m B 1E + B 2E p UBDC 2 E =1v2

m B 2Eqn{B 1E�pYV (4 V 18)

Naturalmentequestometodo,essenzialmentebasatosullarisoluzionedell’equa-zionesecolare(4.2),puo facilmenteestendersiin lineadi principioal casodi w livellivicini o degeneri,sviluppandosudi essila soluzionecomesi e fattonella(4.1)periduelivelli qui considerati.')(%(%( *yx�*-þ153ÿ�8�<�. ä7æ,æÀ5 6�<�zh: <!.�.A5�ä�<!@�|{d<��@ 2�:

Nello sviluppodi Brillouin–Wignersi assumela (2.17)pergli sviluppi (2.12)e(2.15). Percio la (2.12)si riscriveBDC�E = ò` ó

=0 ô ðSïnrO 0è õ ó B XYE

= BDC (0) E + BDC (1) E + BDC (2) E + V�V�V U (5 V 1)

dove BDC (0) E = B XYE UBDC (1) E =ðSínwO 0

è B XYE UBDC (2) E =ðSínwO 0

è ðSïnwO 0è B XYE�V (5 V 2)

Corrispondentemente,dalla(2.15)perl’energia si haS = S (0)Z + K=X3B è ò` ó=0 ô ðSínwO 0

è õ ó B XYE= S (0)Z + S (1)Z + S (2)Z + V�V�V U (5 V 3)

dove S (1)Z = K=X3BDèÎB XYE U (5 V 4)

S (2)Z = `��= Z B�K��rBDè B XYE�B 2SïnwS (0)

� V (5 V 5)

349

�� !��"#��!�$%"��&��Al primo ordinedunquela correzioneall’energia S (1)Z nello sviluppodi Brillouin–Wigner e il valore di aspettazionedi è sullo stato imperturbatoe coincide conquelladello sviluppo di Rayleigh–Schrodinger. Invecein generalenello sviluppodi Brillouin–Wignercomparenel denominatoreil valore S esatto.Apparentementecio e unadifficolta, in quantolo sviluppo(5.3) diventaun’equazioneimplicita perS : le soluzionivannoin un certosensoricercatein modoauto–compatibile,cioel’energia che risolve lo sviluppo perturbativo e la stessache deve comparireneidenominatoridei termini dello sviluppo. Pero in qualchecasoil metodoe lo stessoutile. Si consideriadesempioil casodi livelli moltovicini tra di loro, conunvaloredi aspettazionedi è su entrambigli stati imperturbatichesia identicamentenullo:K 1 BDè3B 1E = K 2 BDèÎB 2E = 0. Allora, al secondoordinein è , la (5.3) fornisceS = S (0)

1 +B�K 1 BDèÎB 2E�B 2SínwS (0)

2U (5 V 6)

chepuo scriversinellaformaUUUU SínxS (0)1 K 1 BDèÎB 2EK 2 B è B 1E SïnrS (0)

2

UUUU = 0 V (5 V 7)

Confrontandola (5.7)conla (4.3)si vedechesi eritrovatalacondizionedi risolubilitaper il casodi statidegenerio quasidegenerinello schemadi Rayleigh–Schrodinger.Pero le due radici dannoin questocasogli autovalori esattie la soluzionenelloschemadi Brillouin–Wignerfornisceunrisultatopiu accuratodel termineall’ordineperturbativo corrispondentedellosviluppodi Rayleigh–Schrodinger.

Lo schemadi Brillouin–Wignerallorasi prestabeneperunostudiopreliminaredi sistemiper i quali il contributo al primo ordine in è all’energia sia nullo e lasituazioneimperturbatapresentilivelli degenerio quasidegeneri. Cio si verificaperesempionello studiodi sistemia molteparticellequandosi vogliono introdurrecorrezioniperturbative al metododi Hartree–Fock (v. paragrafoX.7). Inoltre, lasoluzione(5.1),chederivadalla(2.10)conla (2.17),puo riscriversiin generalenellaforma BDCME = B XYE +

ðSïnwO 0èÎBDCME U (5 V 8)

chepermettedi estenderela suaapplicabilitanonsoloallapartediscreta,maancheaquellacontinuadello spettrodi O 0. Cometale,la (5.8)vieneperesempioutilizzataperla soluzionedi problemid’urto (v. paragrafoXII.3, eq. (XII.3.1)).

350

IX. LO SPIN

Lo studio quantistico di una particella carica sottoposta all’azione di un campomagnetico pone interessanti problemi da un punto di vista sia concettuale, sia formale.L’equazione di Schrodinger per una particella viene a dipendere esplicitamente dalpotenziale vettore che origina il campo magnetico e che classicamente non e osser-vabile. Ne risulta una sensibilita al potenziale vettore da parte della funzione d’ondache, per salvaguardare i postulati interpretativi e l’equazione di continuita associataall’equazione di Schrodinger, richiede una ridefinizione contestuale della funzionestessa quando si operino trasformazioni di gauge sui potenziali elettromagnetici.D’altra parte la dipendenza della soluzione particolare dal potenziale vettore adottatoapre la strada a uno studio dell’effetto prodotto dal campo magnetico che va sotto ilnome di effetto di Aharonov–Bohm 1 e che e tuttora oggetto d’indagine sperimentalee di discussione.

Un secondo aspetto importante messo in luce dall’azione del campo magneticosu di una particella carica e l’evidenza di un nuovo grado di liberta interno, chiam-ato spin, senza analogo classico, di cui sono dotate particelle come per esempiol’elettrone. L’effetto di un campo magnetico su particelle cariche in moto era bennoto anche prima dell’avvento della meccanica quantistica. In particolare le ricerchedi Pieter Zeeman (1865–1943) sulle proprieta magneto–ottiche della materia ave-

1 Yu. Aharonov e D. Bohm: Significance of Electromagnetic Potentials in the Quantum Theory [Sig-nificato dei potenziali elettromagnetici nella teoria quantistica], Physical Review 115 (1959) 485–491;Further Considerations on Electromagnetic Potentials in the Quantum Theory [Ulteriori considerazionisui potenziali elettromagnetici nella teoria quantistica], Physical Review 123 (1961) 1511–1524.Tuttavia, il problema associato all’arbitrarieta del potenziale vettore era gia stato affrontato nel calcolodell’indice di rifrazione in ottica elettronica e del cammino ottico di un elettrone in presenza di campomagnetico.W. Ehrenburg e R.E. Siday: The refractive index in electron optics and the principles of dynamics [L’indicedi rifrazione in ottica elettronica e i principi della dinamica], Proceedings of the Physical Society (London)B62 (1949) 8–21.

351

��

vano messo in luce negli anni 1896–1897 un infittirsi delle righe degli spettri atomicidovute a sdoppiamenti multipli delle righe stesse in presenza di campo magnetico 2.In questa sede non e possibile entrare nei dettagli della fenomenologia di questo ef-fetto: come hanno mostrato Hendrik Antoon Lorentz (1853–1928) e Joseph Larmor(1857–1942), in larga misura l’effetto e spiegabile anche in termini classici ipotiz-zando che l’orbita dell’elettrone sottoposta al campo magnetico si comporti comeuna spira percorsa da corrente 3. In questo capitolo si considera l’effetto Zeeman alpuro scopo di capirne soprattutto alcuni aspetti collegati con quello definito anomaloda Alfred Lande (1888–1975) 4 e interpretabili solo postulando il nuovo grado diliberta di spin.

L’ipotesi dello spin dell’elettrone fu introdotta nel 1925 da George EugeneUhlenbeck (1900–1988) e Samuel Abraham Goudsmit (1902–1978) 5. L’idea sibasava anche sui risultati dell’esperimento, condotto da Otto Stern e Walter Gerlach(cfr. paragrafo II.5): oltre a permettere la prima misura del magnetone di Bohr, losdoppiamento del fascio atomico provocato dall’interazione degli elettroni con uncampo magnetico chiaramente indicava la quantizzazione a due valori dei possibiliorientamenti della direzione dello spin nello spazio 6.

Il fisico viennese Wolfgang Pauli (1900–1958) ha studiato per primo lo spinin un ambito non relativistico, introducendolo nella formulazione quantistica comeun operatore senza analogo classico e scrivendo l’equazione di Schrodinger per unaparticella dotata di spin in interazione col campo magnetico 7. In realta lo spin haun’origine relativistica, messa in luce da Paul Adrien Maurice Dirac (1901–1984) neldiscutere l’equazione relativistica da lui proposta per l’elettrone; una riduzione non

2 P. Zeeman: On the influence of magnetism on the nature of the light emitted by a substance [Influenzadel campo magnetico sulla natura della luce emessa da una sostanza], Philosophical Magazine 43 (1897)226–239.3 H.A. Lorentz: Uber den Einfluss magnetischen Krafte auf die Emission des Lichtes [Influenza dellaforza magnetica sull’emissione della luce], Annalen der Physik 63 (1897) 278–284.J. Larmor: On the theory of the magnetic influence on spectra; and on the radiation from moving ions[Teoria dell’influenza magnetica sugli spettri e sulla radiazione da parte di ioni in moto], PhilosophicalMagazine 44 (1897) 503–512.4 Lo sdoppiamento delle righe provocate dalla presenza di un campo magnetico esterno poteva esserein larga misura spiegato mediante le leggi dell’elettromagnetismo classico. Tuttavia lo sdoppiamento dialcune righe dei metalli alcalini, come le righe D1 e D2 del sodio, non e comprensibile classicamente,come sottolineato da Lande.A. Lande: Uber den anomalen Zeemaneffekt. I [Effetto Zeeman anomalo. I], Zeitschrift fur Physik 5(1921) 231–241; Uber den anomalen Zeemaneffekt. II [Effetto Zeeman anomalo. II], Zeitschrift furPhysik 7 (1921) 398–405.5 G.E. Uhlenbeck e S.A. Goudsmit: Ersetzung der Hypothese vom unmechanischen Zwang durch eineForderung bezuglich des inneren Verhaltens jedes einzelnen Elektrons [Sostituzione dell’ipotesi di unosforzo non meccanico con un postulato riguardante il comportamento interno di ogni singolo elettrone],Die Naturwissenschaften 13 (1925) 953–954.Per una breve storia sulle discussioni provocate da questa idea, v. Max Jammer, The Conceptual Develop-ment of Quantum Theory (McGraw Hill, New York, 1966), p. 149–151.6 Cfr. n. 65 p. 99.7 W. Pauli: Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons [Meccanica quantistica dell’elettronemagnetico], Zeitschrift fur Physik 43 (1927) 601–623.

352

�� relativistica dell’equazione di Dirac per l’elettrone in presenza di campo magneticodiventa l’equazione di Pauli 8.

Lo spin ha le proprieta di un momento angolare intrinseco e si somma al momentoangolare classico. Si pone percio il problema della composizione di due momentiangolari e dello studio degli effetti di interazione tra il moto della particella e il suogrado di liberta interno di spin, responsabili di una struttura fine delle righe deglispettri atomici.

��! " �#�$�%��'&(%*),+.-0/1$2-3+54.%��6 �&�),$7�'&(%98:+.#;&"+.%=<>+@?�&A4+�B�4C�Nell’Esempio I.3.3 e stata studiata la hamiltoniana classica di una particella

di carica D sottoposta a un campo elettromagnetico e si e visto che la semplicesostituzione minimale (I.3.58) permette di ottenere la corrispondente hamiltoniana(I.3.57), che qui si riscrive per un elettrone di carica D = E�F ( F'G 0),H

=1

2 I Jp +

F KA L 2 EMFONQP (1 R 1)

dove A e il potenziale vettore e N il potenziale scalare del campo elettromagnetico.Una volta nota la hamiltoniana, si puo scrivere l’equazione di Schrodinger nellospazio delle coordinate:S

-TVUXWUZY =H W

= [9E -T 2

2 I J6\ \\+

SF

-T K A L 2 EMFON^] W R (1 R 2)

Nello sviluppare il quadrato a secondo membro occorre prestare attenzione al fattoche l’operatore

\ \\in generale non commuta con A, in quanto A puo dipendere dalle

coordinate. Pertanto

J;\ \\+

SF

-T K A L 2 W =\

2 W +

SF

-T K \ \\`_(A W ) +

SF

-T K A_ \ \\ W E F 2

-T 2K

2 a 2 W R (1 R 3)

Conviene porsi nel gauge di Coulomb, che e adatto anche al caso di radiazione nelvuoto, \ \\b_

A = 0 R (1 R 4)

Percio la (1.3) diventa

8 P.A.M. Dirac: The quantum theory of the electron [Teoria quantistica dell’elettrone], Proceedings of theRoyal Society of London A117 (1928) 610–624; 118 (1928) 351–361.

353

��

J \ \\+

SF

-T K A L 2 W =\

2 W +2

SF

-T K A_ \ \\ W E F 2

-T 2K

2 a 2 W (1 R 5)

e quindi l’equazione di Schrodinger si scriveS-T UXWUZY = [ZE -T 2

2 I \2 E

SF -TI K

A_ \ \\

+F 2

2 I K2 a 2 E FON ] W R (1 R 6)

Nell’equazione di Schrodinger compaiono i potenziali A e N del campo elettro-magnetico e non il campo elettrico E e il campo magnetico B, che sono le quantitaclassicamente osservabili. D’altra parte i potenziali sono sempre definiti a meno diuna trasformazione di gauge e gli stessi campi E e B sono ottenuti con i potenziali(cfr. eq. (I.3.25)):

A�

= A +\ \\ � PN � = N E 1K U �U9Y P (1 R 7)

dove�

=�

(r P Y ) e una funzione arbitraria purche derivabile. Percio, in presenza deglistessi campi E e B, la soluzione W viene a dipendere dai potenziali A e N utilizzatinella (1.2). Per questa ambiguita nella definizione della funzione d’onda W , legataalla scelta dei potenziali del campo elettromagnetico, si potrebbe allora insinuareil dubbio che i risultati della teoria vengano a dipendere dalla scelta di A e N . Inrealta pero questa ambiguita puo essere risolta se, accanto alla trasformazione (1.7),si definisce la funzione d’onda W � mediante la seguente trasformazione

W � = expJ E

SF

-T K � L W P (1 R 8)

perche allora l’equazione di Schrodinger (1.2) resta invariata in forma. Infatti, quandosi utilizzano simultaneamente le due trasformazioni (1.7) e (1.8) valgono le seguentileggi di trasformazione

J \ \\+

SF

-T K A L W�� J \ \\+

SF

-T K A� L W � = exp

J ESF

-T K � L J \ \\ +

SF

-T K A L W PJ S-T UU9Y + F5N L W�� J S

-T UUZY + FON � L W � = expJ E

SF

-T K � L JS-T UUZY + FON L W R (1 R 9)

Percio l’uso combinato della (1.7) e della (1.8) nella (1.2), scritta per W � con A�e N � ,

fa comparire un inessenziale fattore di fase comune exp( ESF �� -T K ).

La (1.8) si chiama trasformazione di gauge di prima specie, mentre la (1.7) edetta trasformazione di gauge di seconda specie.

L’applicazione simultanea delle due trasformazioni di gauge garantisce la cor-retta interpretazione quantistica e mantiene inalterata in forma anche l’equazione di

354

�X�� continuita (III.3.23) associata all’equazione di Schrodinger. Cio si puo verificare con-frontando la densita di probabilita di presenza � � e la densita di corrente di probabilitaj�, corrispondenti a una W � che risolve l’equazione di Schrodinger con il potenziale

vettore A�, con la � e la j corrispondenti a una W ottenuta col potenziale A. Infatti,

per un potenziale vettore A�

= 0, che si puo pensare ottenuto da A mediante la (1.7),si ha

� � = � W � � 2 = � W � 2 = � R (1 R 10)

Dalla definizione di densita di corrente di probabilita si ottiene inoltre

j�

= ES-T

2 I ( W �� \ \\ W � E W � \ \\ W �� )

= ES-T

2 I ( W � \ \\ W E W \ \\ W �) +

FI KA � W � 2 R (1 R 11)

Ma se si utilizza sulla (1.2) lo stesso procedimento che ha prodotto la (III.3.23), sipuo costruire l’equazione di continuita in presenza di un potenziale vettore A:U �UZY +

\ \\ _j = 0 P (1 R 12)

dove

� = � W � 2 P (1 R 13)

j = ES-T

2 I ( W � \ \\ W E W \ \\ W �) +

FI KA � W � 2 R (1 R 14)

Percio anche j = j�

e l’equazione di continuita resta invariata.La (1.11) si puo riscrivere nel modo seguente:

j =1I Re [ W � J

p +F K

A L W ] R (1 R 15)

Il confronto con l’espressione

j =1I Re [ W �

p W ] P (1 R 16)

equivalente alla (III.3.25) e valida in assenza di campo elettromagnetico, chiarisceil significato della sostituzione minimale: in entrambi i casi, al limite classico, sipuo far corrispondere la densita di corrente di probabilita j con la velocita v dellaparticella.

355

�� In questo Esempio ci si propone di verificare un’interessante proprieta di

invarianza per trasformazioni di fase locali della funzione d’onda. Essa deriva dalla leggedi trasformazione (1.9) e ha per conseguenza la necessita di introdurre il potenziale delcampo elettromagnetico nell’equazione di Schrodinger per una particella carica, anche seoriginariamente non era previsto.

Si vuole dunque che la teoria sia invariante per una trasformazione di fase del tipo�(r) � ��

(r) = �� (r) � -�� (r) � (1 � 17)

Se la fase non dipendesse dalla posizione, non ci sarebbe nulla di nuovo: un fattoredi fase costante per tutte le

�non modifica l’interpretazione quantistica, che coinvolge

piuttosto il modulo quadrato della�

, indipendente da questo fattore di fase. Invece quisi pretende che la teoria non sia alterata da una trasformazione (1.17) con dipendentedalla posizione r. In questo senso la (1.17) e detta trasformazione di fase locale.

L’equazione di Schrodinger e il calcolo di molti valori di aspettazione di opera-tori quantistici implicano derivazioni sulla

�. Per trasformazioni di fase locali queste

derivazioni si trasformano in un modo che non e una semplice trasformazione di fase:! !! �(r) � ! !! �"�

(r) = �� (r) � -��$# ! !! � (r) %'& �-(*),+ ! !! (r) - � (r) ./� (1 � 18)

Se pero si stabilisce di sostituire sempre! !!

con una forma di gradiente covariante digauge, 0 00

=! !!

+ & �-(*) A(r) 1 (1 � 19)

cioe 0 00�0 00 �

=! !!

+ & �-(*) A�(r) 1 (1 � 20)

quando

A(r) � A�(r) = A(r) +

! !! 21 (1 � 21)

allora 0 00 �(r) �

0 00 � � �(r) = � � �3�4� (r) � -�5� 0 00 � (r) (1 � 22)

e quantita come�76 0 00 �

risultano invarianti per trasformazioni di fase locali. Ma la trasfor-mazione (1.21) e la trasformazione di gauge di seconda specie (1.7) dell’elettrodinamicacon 8 = e la definizione di gradiente covariante di gauge (1.19) corrisponde allasostituzione minimale (I.3.58). Percio la forma dell’accoppiamento tra materia e campoelettromagnetico nella hamiltoniana e quindi nell’equazione di Schrodinger (1.2) e dettatadall’invarianza per trasformazioni di fase locali.

356

��A�� O�� >��'� �=� ��0�! " $��1+.#�$.%�$.8��0$��C-Il fatto che i potenziali del campo elettromagnetico compaiano esplicitamente

nell’equazione di Schrodinger fa pensare alla possibilita di realizzare situazioni chepermettano una misura di tali potenziali.

Si immagini di limitare la regione in cui la W e diversa da zero a quella in cui ilcampo magnetico

B =\ \\��

A (2 R 1)

e identicamente nullo, come all’esterno di un solenoide infinitamente lungo e impene-trabile. Cio significa permettere che la particella, per esempio un elettrone, si muovasolo nella regione in cui non c’e comunque campo magnetico. Data l’arbitrarieta suA, questa situazione all’esterno del solenoide si puo realizzare in due modi distinti.In un primo caso si puo porre:

A = 0 R (2 R 2)

La corrispondente equazione di Schrodinger eS-T U�W 0UZY = E -T 2

2 I \2 W 0 + N W 0 P (2 R 3)

in cui N e un eventuale potenziale scalare esterno, inessenziale nelle considerazioniseguenti.

D’altra parte, la condizione B = 0 puo essere soddisfatta anche coinvolgendo unpotenziale vettore del tipo

A =\ \\ � R (2 R 4)

Allora l’equazione di Schrodinger acquista la forma (1.2) e la sua soluzione e

W = exp

� ESF

-T K �� W 0 P (2 R 5)

in accordo con la (1.8).Ora, se A e il gradiente di

�, (2.4), noto

�in un certo punto r0 e ivi posto uguale

a zero,

�(r0) = 0 P (2 R 6)

si puo conoscere�

(r) come circuitazione del campo conservativo A(r), cioe

�(r) = � r

r0

A(r�)_��

r� R (2 R 7)

Questa circuitazione non dipende dal cammino di integrazione se esso appartiene auna regione semplicemente connessa in cui B = 0. Percio la circuitazione lungo una

357

��

linea chiusa si azzera se questo circuito non racchiude regioni in cui B sia diverso dazero. Altrimenti risulta �

A_��

r = �� (\ \\ �

A)_n��

= � � B_n��

(B) P (2 R 8)

dove� �

(B) e il flusso del campo magnetico B attraverso una superficie�

qualsiasidelimitata dal circuito chiuso. Pertanto, se si suppone che il cammino da r0 a r siavviluppi volte intorno al solenoide, all’interno del quale e B = 0, la (2.5) si riscrive

W = exp ��ESF

-T K � r

r0

A_��

r� � W 0

= exp � ESF

-T K � � (B)� W 0 R (2 R 9)

In tal modo la fase di W resta definita a meno di multipli di� �

(B).

Fig. 2.1. Schema di Young con solenoide per lo studio dell’effetto di Aharonov–Bohm.

Si puo allora pensare ad un esperimento alla Young in grado di rivelare l’eventua-le presenza o meno del campo magnetico all’interno del solenoide attraverso gli effettidel suo potenziale vettore sull’equazione di Schrodinger. Si disponga un solenoideestremamente sottile come in fig. 2.1, immediatamente alle spalle dello schermo conle due fenditure 1 e 2. Si indichino con W 01 e W 02 le funzioni d’onda che, in assenzadi campo magnetico all’interno del solenoide, si riferiscono al cammino � 1 o � 2, conpassaggio degli elettroni attraverso la fenditura 1 o la fenditura 2, rispettivamente.Esse possono essere poste nella forma (cfr. la formula di Feynman (VII.5.19)):

W 0 1 � 2 = W (0)1 � 2 F�� 1 � 2 � -� P (2 R 10)

358

��A�� O�� >�dove

�1 � 2 rappresenta l’azione relativa a uno dei due cammini � 1 � 2 che si possono

percorrere per raggiungere lo schermo successivo, a partire da una delle due fenditure.Percio, in assenza di campo magnetico all’interno del solenoide, la funzione d’ondarisulta

W 0 = W 01 + W 02 P (2 R 11)

con conseguente formazione di frange di interferenza che modulano la densita diprobabilita di rivelare gli elettroni sullo schermo successivo. La condizione perla localizzazione dei massimi di tale frange e la solita condizione che deriva dalladifferenza di fase (e di azione) introdotta dai diversi cammini percorsi:

2 �� ( � 1 E�� 2) = 2 � R (2 R 12)

Con campo magnetico acceso all’interno del solenoide le corrispondenti funzionid’onda W 1 e W 2 sono:

W 1(r) = exp ��ESF

-T K � � r

r0

A_ �

r� �

1

� W 01(r) PW 2(r) = exp � E

SF

-T K � � r

r0

A_ �

r� �

2

� W 02(r) R (2 R 13)

Percio, quando sono aperte entrambe le fenditure, la funzione d’onda e:

W = W 1 + W 2

= exp � ESF

-T K � � r

r0

A_��

r� �

1

�� W 01 + exp � ESF

-T K�

A_��

r� � W 02 �

= exp � ESF

-T K � � r

r0

A_��

r� �

1

�� W 01 + exp � ESF

-T K � � (B)� W 02 � R (2 R 14)

Allora, accendendo la corrente nel solenoide e avendo B = 0 al suo interno, lacondizione di massimo viene influenzata dallo sfasamento addizionale introdottonella (2.14) dal flusso di campo magnetico:

2 �� ( � 1 E�� 2) E F-T K � � = 2 � R (2 R 15)

Pertanto, sebbene le particelle cariche non attraversino la regione in cui e B = 0, siprevede un’alterazione delle frange di interferenza che permetterebbe di determinare ilpotenziale vettore A della (2.4). Questo fenomeno, di natura prettamente quantistica,va sotto il nome di effetto Aharonov–Bohm.

359

��

Sperimentalmente, la situazione e di difficile realizzazione, perche, per evitareeffetti di bordo, il solenoide deve essere molto lungo e sottile 9. Tecniche di in-terferometria olografica applicate a un fascio di elettroni che attraversa un biprismasembrano meglio adatte 10. Comunque, nonostante qualche controversia, l’effettosembra essere accertato 11. Resta il fatto che la presenza dei potenziali nell’equazionedi Schrodinger puo essere eliminata con opportuni accorgimenti: per esempio il ter-mine locale dipendente da A nell’equazione di Schrodinger puo essere sostituito inmodo equivalente da un termine non locale mediante la relazione

A(r) = � �r�\ \\ � �

B(r�)

� r E r� � P (2 R 16)

facendo cosı ricomparire in modo esplicito il campo magnetico che e l’unica quantitamisurabile in termini classici 12. Allo stesso tempo pero l’uso della (2.16) evidenzial’intriseca non localita del formalismo quantistico che e all’origine di molti aspettiimprevisti e paradossali sulla base di una visione classica.

��'��C��0�! " $�� ;-3+�%In questo paragrafo viene considerato il moto di un elettrone nell’atomo sotto-

posto a un campo magnetico uniforme diretto lungo l’asse � :

B = � u ��P (3 R 1)

� =U a��U E U a��U � R (3 R 2)

Si puo senz’altro scegliere il potenziale vettore nella forma (cfr. Esercizio I.3.3):

A�

( a�� P a�� P a � ) = ( E 12 � � P 1

2 � P 0) P (3 R 3)

che riproduce la (3.2). Allora, per quanto visto in (1.1), l’equazione di Schrodingerper l’elettrone di un atomo sottoposto al campo magnetico esterno (3.1) coinvolge lahamiltoniana

9 Il primo esperimento e dovuto a R.G. Chambers: Shift of an Electron Interference Pattern by EnclosedMagnetic Flux [Spostamento delle frange di interferenza d’elettrone da parte di un flusso magneticoracchiuso], Physical Review Letters 5 (1960) 3–5.10 A. Tonomura, T. Matsuda, R. Suzuki, A. Fukuhara, N. Osakabe, H. Umezaki, J. Endo, K. Shinagawa,Y. Sugita, H. Fujiwara: Observation of Aharonov–Bohm Effect by Electron Holography [Osservazionedell’effetto Aharonov–Bohm per mezzo di olografia elettronica], Physical Review Letters 48 (1982) 1443–1446.11 Per una recente rassegna sulla situazione teorica e sperimentale, si veda il testo di M. Peshkin eA. Tonomura: The Aharonov–Bohm Effect, Lecture Notes in Physics 340, Springer, Berlino, 1989.12 S. Mandelstam: Quantum Electrodynamics without Potentials [Elettrodinamica quantistica senzapotenziali], Annals of Physics 19 (1962) 1–24.

360

�� 1� �� H

=1

2 I [ J � � E F2K � � L 2

+J�� +

F2K � L 2

+ � 2� ]^E FONQP (3 R 4)

che si puo riscrivere nella formaH=H

0 +F

2 I K �� +F 2

8 I K2� 2( 2 + � 2) P (3 R 5)

con H0 =

12 I � 2 E FON R (3 R 6)

La hamiltonianaH

0 rappresenta la hamiltoniana dell’elettrone imperturbato in as-senza di campo magnetico. I termini aggiuntivi nella (3.5) possono considerarsi unaperturbazione introdotta dal campo magnetico. Come nel caso classico, il termine li-neare in � nella hamiltoniana rappresenta il contributo paramagnetico (cfr. EsercizioI.3.4): esso deriva dall’interazione magnetica di un momento magnetico orbitale � � � ,

� �� = E F2 I K

L P (3 R 7)

cui corrisponde l’energia di interazioneE�� _ B = �� P (3 R 8)

dove la frequenza � � e proporzionale all’intensita del campo magnetico:

� � =F

2 I K �3R (3 R 9)

La situazione ricorda quella in cui l’orbita, che l’elettrone percorre in un modelloclassico, venga assimilata ad una spira percorsa da corrente che, sottoposta all’azionedel campo magnetico, si vede associato un momento magnetico: il momento angolareorbitale dell’elettrone precede intorno alla direzione di B come un giroscopio, la cuivelocita angolare di precessione �� , nota come frequenza di Larmor, e data dalla(3.9). La quantita F � 2 I K

viene detta, in accordo con la (3.7), rapporto giromagneticoe interviene nella definizione del magnetone di Bohr:

� � =F -T

2 I K= 5 R 788 382 63(52)

�10 � 5 eV T � 1 R (3 R 10)

Il secondo termine aggiuntivo nella (3.5) e quadratico nel campo magnetico B ecorrisponde al contributo diamagnetico classico provocato dal momento magneticoindotto da B (cfr. Esercizio I.3.4). Per campi magnetici poco intensi la sua efficaciae modesta e in generale trascurabile rispetto al termine paramagnetico, i cui effettisullo spettro di

H0 invece possono essere studiati col metodo delle perturbazioni

indipendenti dal tempo. In particolare, al primo ordine in � la correzione � (1) ailivelli imperturbati di

H0 si ottiene dal valore di aspettazione della (3.8):

361

��

� (1) = � �� P (3 R 11)

Se N inH

0 e a simmetria sferica, gli autostati diH

0 hanno come buoni numeriquantici i numeri ( P ��P I ) e, al primo ordine in � , la perturbazione provocata dalcampo magnetico non modifica gli stati, ma solo l’energia. La (3.11) fornisce inquesto caso

� (1) = I -T � � R (3 R 12)

Dalla (3.12) appare ora chiara l’azione di separazione prodotta dal campo ma-gnetico sui livelli degeneri con uguale � e diverso I : ogni livello degenere si separain 2 � + 1 livelli distanziati di -T � � . Pertanto le righe dello spettro in presenza dicampo magnetico si modificano di conseguenza, dando origine a quello che e notocome effetto Zeeman.

Pero sperimentalmente anche i livelli con � = I = 0, che a priori non sarebberoinfluenzati dalla presenza del termine paramagnetico (3.12), subiscono uno sdoppia-mento in due livelli, come se in origine costituissero un doppietto degenere. E questofenomeno che e all’origine di quello che si chiama effetto Zeeman anomalo.

Esercizio 3.1

Valutare al primo ordine in � 2 il contributo del termine diamagnetico per lo statofondamentale dell’atomo di idrogeno, esplorando l’eventuale possibilita di attribuire aquesto termine la responsabilita dell’effetto Zeeman anomalo.

�� & $�/Z�;#�+� $�#�& ?�& /X&(%Per spiegare l’effetto Zeeman anomalo occorre postulare un nuovo grado di

liberta per l’elettrone, senza analogo classico. Tale grado di liberta e descrivibilein termini quantistici come un momento angolare, denominato col vocabolo inglesespin (= trottola) e indicato col simbolo s. Conseguentemente l’elettrone possiedeanche un momento magnetico intrinseco proporzionale a s, cosı come il momentomagnetico orbitale � �� e proporzionale a L secondo la (3.7).

In generale conviene introdurre il rapporto giromagnetico tra momento mag-netico e momento angolare mediante la relazione

� ��

= E�� F2 I K

s P (4 R 1)

dove il numero � entra nella definizione del rapporto giromagnetico:

rapporto giromagnetico = E�� F2 I K R (4 R 2)

Esso ha per esempio i seguenti valori:

362

� � � � �O��"�� =

�� 1 P per il momento angolare orbitale L,2 P per lo spin s dell’elettrone,5 R 58 P per lo spin del protone ( I = I�� ),E 3 R 86 P per lo spin del neutrone ( I = I ).

(4 R 3)

Esercizio 4.1

Scrivere il termine introdotto dall’ipotesi dello spin nella hamiltoniana di unaparticella carica posta in campo magnetico.

Con la definizione (4.1), in presenza di campo magnetico lo spin introduceun’energia di interazione E�� _

B. Il suo contributo e analogo alla (3.11) e, perrendere conto dei dati sperimentali, in particolare quelli dell’esperimento di Stern–Gerlach, deve essere pari a � 1

2 � -T � � . Cio indica che � � puo avere solo gli autovalori� 12

-T . Allo stesso tempo pero questo fatto ha conseguenze notevoli sulle proprietamatematiche degli operatori di spin. Infatti deve essere

� 2

� = � 2

� = � 2� = 14

-T 2 (4 R 4)

e in generale, per una direzione qualsiasi indicata dal versore n,

(s_n)2 = 1

4-T 2 P (4 R 5)

cioe

14

-T 2 = ( � � � + � � � + � �� )2

= � 2

� 2

� + � 2

� 2

� + � 2� 2� + ( � � � � + � � � � ) � �+ ( � � � � + � � � � ) � � + ( � � � � + � � � � ) � �

= 14

-T 2 + ( � � � � + � � � � ) � �+ ( � � � � + � � � � ) � � + ( � � � � + � � � � ) � ��R

Quindi, data l’arbitrarieta di n, si deve avere:�� + � � � � = 0 P� � � � + � � � � = 0 P� � � � + � � � � = 0 R (4 R 6)

Introducendo il simbolo �a P �� a � + � a (4 R 7)

per indicare l’anticommutatore tra i due operatori a e � , le (4.4) e le (4.6) si possonocompendiare nelle seguenti relazioni di anticommutazione per le componenti dellospin:

363

��

�� P � � � = 1

2-T 2 � � � R (4 R 8)

Accanto a queste relazioni di anticommutazione naturalmente vanno anche con-siderate le normali regole di commutazione valide per il momento angolare, in quantotale e per ipotesi anche lo spin. Percio si ha anche

[ � � P � � ] =

S-T�� R (4 R 9)

L’evidenza sperimentale impone per l’elettrone, cosı come per il protone e ilneutrone, uno spin il cui modulo quadrato,

� 2 = � 2

� + � 2

� + � 2� P (4 R 10)

ha autovalori

-T 2 � ( � + 1) = 34

-T 2 (4 R 11)

e quindi � = 12 . Si realizza dunque la possibilita di autovalori con � semintero,

prevista nell’Esempio VI.1.4, equazione (VI.1.61). Nel caso dello spin � = 12 qui in

considerazione, spesso conviene tenere gia conto del fattore 12

-T e definire un nuovooperatore di spin � �� , secondo la relazione

s = 12

-T � �� R (4 R 12)

In tal caso le (4.8) e (4.9) diventano�� P� � � = 2 � � � P (4 R 13)

[ � � P� � ] = 2

S� � �� R (4 R 14)

Come caso particolare della (4.13) si ottiene

� 2

� = � 2

� = � 2� = 1 P (4 R 15)

con la conseguenza che, per esempio, gli autovalori di � � sono � 1.

Esercizio 4.2

Verificare la relazione

� � � � = � � � + &�� (4 � 16)

364

� � � � �O��"�� Esercizio 4.3

Dati gli operatori vettoriali A e B che commutano con � � � , verificare le seguentirelazioni:

� �� ( � �� A) = A % & � �� A 1 (4 � 17)

( � �� A) � �� = A + & � �� A 1 (4 � 18)

( � �� A)( � �� B) = A � B + & � �� (A � B) 1 (4 � 19)

[ � �� 1 � �� A] = % 2 & � �� A � (4 � 20)

Esercizio 4.4

Verificare che gli operatori

��= 1

2 (11 � �� n) (4 � 21)

sono operatori di proiezione. Scegliendo n diretto come l’asse , verificare che� �

proietta sull’autostato di �� appartenente all’autovalore 1.

Esercizio 4.5

Verificare che gli operatori � = � �� , con & = � 1��1� , si possono esprimere nellaforma

� = � �� = 11 cos + & � � sin 2� (4 � 22)

Volendo costruire una rappresentazione per gli operatori di spin, si osserva cheil sistema completo di operatori che commutano in questo caso e dato da � 2 e � �(o un’altra qualsiasi delle componenti di � �� ) e che lo spazio in cui questi operatorioperano deve essere uno spazio lineare complesso bidimensionale, indicato con � 2. Ivettori in questo spazio vengono spesso indicati col nome di spinori e i vettori di basedi questo spazio si possono indicare come dei ket i cui rappresentativi in notazionematriciale hanno l’aspetto di un vettore colonna con due righe (cfr. eq. (C.3)),

��10

�� P ��01

�� P (4 R 23)

che corrispondono agli autovettori di � � :

� ��10

�� =

��10

�� P � ��01

�� = E ��01

�� R (4 R 24)

365

��

In questo spazio il piu generale stato e uno spinore che si ottiene da una sovrappo-sizione degli spinori di base (4.23):K

1

��10

�� +K

2

��01

�� =

��

K1K2

�� R (4 R 25)

Per soddisfare la (4.24), � � deve avere forma diagonale e quindi risulta

� � =

��1 00 E 1

�� R (4 R 26)

Per trovare i rappresentativi di � � e � � conviene procedere in modo simile a quantofatto nell’Esempio VI.1.4, definendo gli operatori

�� = 12 ( � � �

S� � ) R (4 R 27)

In questo caso, fruendo delle (4.13) e (4.14), si verificano le seguenti relazioni:

� 2+ = � 2

� = 0 P (4 R 28)

[ � + P� � ] = � � P (4 R 29)

[ � �P�� ] = � 2 ��VR (4 R 30)

In particolare la (4.30), analoga alla (VI.1.54), mostra che � + ( � � ) ha l’effetto diaumentare (diminuire) l’autovalore di � � . Infatti e

� � �� = �� ( � � � 2)

�� R (4 R 31)

Allora, se�� =

�� 10�� l’azione di � � � 2 provoca la moltiplicazione per 3 o per E 1,

per cui � +

�� 10�� e autostato di � � appartenente a un inesistente autovalore 3 e � �

�� 10��

e autostato di � � appartenente all’autovalore E 1. Dunque � +

�� 10�� = 0 e � �

�� 10�� e

proporzionale a�� 01�� . Similmente si dimostra che � +

�� 01�� e proporzionale a

�� 10�� e

� �� 01�� = 0.

A questo punto e facile trovare la rappresentazione di �� che rispetti questa loroproprieta di alzare e abbassare la terza componente dello spin:

� + =

��0 10 0

�� P � � =

��0 01 0

�� R (4 R 32)

Dalla definizione (4.27) si ottiene cosı anche la rappresentazione di � � e � � :

366

� � � � �O��"�� =

��0 11 0

�� P � � =

��0 E

SS0

�� R (4 R 33)

Le matrici (4.26) e (4.33) sono dette matrici di Pauli.

Esercizio 4.6

Trovare autostati e autovalori dell’operatore �� +� �� + � � � , dove 2 +

� 2 + � 2 = 1e �� , �� , � � sono le matrici di Pauli.

Esercizio 4.7

Verificare che, sulla base degli autostati di � � , gli autostati dell’operatore � �� n sono�� cos 1

2 � � � ��sin 1

2 �� 1 �� % sin 1

2 � � � ��cos 1

2 �� 1 (4 � 34)

dove � e 8 sono gli angoli polari del versore n.

Esercizio 4.8

Verificare che le matrici di Pauli sono a traccia nulla.

Esercizio 4.9

Verificare che la piu generale matrice 2 � 2 puo essere espressa come combinazionelineare di quattro matrici 2 � 2 fondamentali, costituite per esempio dalla matrice identitae dalle tre matrici di Pauli:

=��

11

1221

22

��= � 011 + � 1

�� + � 2�� + � 3

� � � (4 � 35)

Esercizio 4.10

Tenendo presente il risultato dell’Esercizio 4.5 e dell’Esercizio precedente, es-primere gli operatori � , � , � in forma di matrici 2 � 2.

Esercizio 4.11

Ricordando la (VI.5.21), che cosa rappresentano gli operatori � = � �� , � =� �� , � = � �� ?

367

�� '�� 8O$�� B<;&"$.%X�� ;-0/1$�#�+.��'?�& B % $ � + $ ?.& /�& %Gli operatori di spin, essendo associati a gradi di liberta intrinseci, commutano

con gli operatori di posizione e di impulso. Pertanto quando si vuole costruire lafunzione d’onda W di un sistema con spin si deve tenere presente che questa funzioned’onda dipende da variabili spaziali e da variabili di spin, tra di loro indipendenti.Utilizzando la notazione (4.25), si puo caratterizzare la W come uno spinore sottoforma di vettore colonna,

W =

��W +(r P Y )W � (r P Y ) �� = W +(r P Y ) �� 10 �� + W � (r P Y ) �� 01 �� P (5 R 1)

in cui W � (r P Y ) e l’ampiezza di probabilita di trovare la particella all’istante Y in rcon spin parallelo (antiparallelo) rispetto all’asse � . Alternativamente, indicando con� � ( � ) � il vettore di spin (4.25), lo stato � W � totale puo essere espresso come il prodottotra il ket � W (r P Y ) � e uno spinore del tipo (4.25), che si puo indicare con il ket � � ( � ) � :

� W � = � W (r P Y ) � � � ( � ) �!R (5 R 2)

Il vettore � � ( � ) � e un elemento dello spazio lineare complesso � 2 � +1�� 2, mentre

il vettore � W (r P Y ) � appartiene a � 2( � � 3); la (5.2) indica allora che lo stato comples-sivo � W � risulta un elemento dello spazio che si ottiene facendo il prodotto diretto� 2( � � 3) � � 2 � +1.

Naturalmente l’evoluzione temporale dello stato � W � deve essere governatadall’equazione di Schrodinger: S

-T UU9Y � W � =H � W ��P (5 R 3)

dove oraH

e un operatore che opera nello spazio � 2( � � 3) � � 2 � +1. Nello schema(5.1)

He da considerarsi una matrice 2

�2 nello spazio di spin � 2 con elementi che

operano in � 2( � � 3). Come ogni matrice 2�

2,H

puo essere sviluppata sulla basedelle matrici di Pauli e della matrice identita:H

= 12 ( � 011 + W

_� �� ) P (5 R 4)

dove in generale � 0 e W risultano funzioni degli operatori di posizione e di impulso.

Esercizio 5.1

Verificare che l’equazione di Schrodinger per un elettrone in presenza di campomagnetico diventa l’equazione di Pauli:

& -( �� =� 1

2 Jp +

� ) A L 2

+ � ( � ) + �� B � � � (5 � 5)

368

� � �;� �� ;�� (�� 5��In questo Esempio si mostra che, una volta assunta l’esistenza dello spin

dell’elettrone, l’equazione di Pauli (5.5) potrebbe essere ricavata in meccanica quantisticanon relativistica sulla sola base di proprieta generali della hamiltoniana 13.

Si assuma la hamiltoniana libera,

�=� 2

2 1e si introducano gli operatori di proiezione

� �definiti nella (4.21), scegliendo n = p � p :

��= 1

2

�11

� �� p p

� � (5 � 6)

Questi operatori proiettano lo spin parallelo o antiparallelo alla direzione di moto dell’e-lettrone secondo quello che si suole indicare l’elicita (positiva o negativa) dell’elettrone:percio

� �vengono detti operatori di elicita. Risulta

[� � 1 � ] = 0 � (5 � 7)

Allora lo spazio di Hilbert � associato a�

per l’azione di� �

si decompone in duesottospazi che restano invarianti durante il moto dell’elettrone libero:

� = � + + � � 1�� =� � � 1 (5 � 8)�

=�

+ +� �� ,1 � �

=� � �

�� (5 � 9)

D’altra parte, per la (4.19) e ricordando che p � p = 0, l’equazione agli autovalori per�

puo anche scriversi

� 1�2

� �� p % � � � � 1�2

� �� p +� � � �

= 0 � (5 � 10)

Eseguendo la sostituzione minimale p � p + ( �� ) )A e sviluppando successivamenteil prodotto tra operatori entro le parentesi quadrate, la (5.10) diventa proprio la (5.5),nell’ipotesi di un elettrone soggetto esclusivamente a un campo magnetico statico B =! !! � A. Il termine di momento magnetico intrinseco dell’elettrone scaturisce dunquecome risultato della pura sostituzione minimale.

Si consideri lo spinore,

� � ( � ) � =K

1

��10

�� +K

2

��01

�� =��

K1K2

�� P (5 R 11)

con

13 A. Galindo e C. Sanchez del Rio: Intrinsic Magnetic Moment as a Nonrelativistic Phenomenon[Momento magnetico intrinseco come un fenomeno non relativistico], American Journal of Physics 29(1961) 582–584.

369

��

�K

1 � 2 + �K

2 � 2 = 1 R (5 R 12)

Esso rappresenta uno stato di spin in cui c’e la probabilita �K

1 � 2 di trovare lospin allineato secondo l’asse � e la probabilita �

K2 � 2 di trovarlo allineato in di-

rezione opposta. La dipendenza temporale dei coefficientiK

1 eK

2 viene determinatadall’equazione di Schrodinger: S

-T �� .c1.c2

�� =H ��

K1K2

�� R (5 R 13)

In presenza di campo magnetico, questa equazione coincide con quella di Pauli (5.5).Trascurando per il momento i gradi di liberta spaziali, la (5.13) diventaS

-T �� .c1.c2

�� = � � � ��_B

��

K1K2

�� P (5 R 14)

che per un elettrone sottoposto a un campo magnetico uniforme diretto come l’asse� si scrive S

-T �� .c1.c2

�� = -T �� K 1K2

�� P (5 R 15)

con � � dato dalla (3.9). Percio S��

.c1.c2

�� = � ��

K1E K 2

�� Pcioe

.c1 = E

S� �

K1 P .

c2 =

S� �

K2 P

da cui K1( Y ) =

K1(0) F � �� P K

2( Y ) =K

2(0) F �� R (5 R 16)

Allora se inizialmente lo spin puntava nella direzione n e quindi lo stato (5.11)all’istante Y = 0 era espresso dal primo spinore della (4.34), all’istante Y si trova

� � ( �XP Y ) � =

��F � �� cos 1

2

� F � ��F �� sin 12

�� R (5 R 17)

Il valore di aspettazione dello spin su questo stato risulta

� � ��

� � � ��P � � � �;P � � � ��= (cos(2 � � Y +

�) sin

� P sin(2 � � Y +�

) sin� P cos

�) R (5 R 18)

370

�� ;� �� ;�� (��

Fig. 5.1. Precessione di spin in campo magnetico.

Questo risultato indica che la componente � dello spin, parallela al campo magnetico,si mantiene costante nel tempo, mentre le componenti normali al campo magneticovariano periodicamente con pulsazione doppia della frequenza di Larmor. Il vettoredi spin dunque compie una precessione intorno alla direzione del campo magnetico(fig. 5.1) con frequenza doppia di quella con cui precederebbe il momento angolare:questo fattore 2 e dovuto al rapporto giromagnetico � = 2 dell’elettrone.��5��

In questo Esempio viene costruito l’operatore di inversione temporale � peruna particella dotata di spin. Il problema si riconduce alla determinazione dell’operatoreunitario che compare nella definizione (VI.7.10) di � .

Lo spin ha le caratteristiche di un momento angolare, per cui per inversione tempo-rale deve avere un comportamento simile. Secondo la (VI.7.14) deve essere dunque:

s � s�

= � s � � 1 = % s � (5 � 19)

D’altra parte, si ha

�r�

= r 1 �p�

= % p 1 (5 � 20)

mentre per le matrici di spin si puo sempre sceglierne due reali, per esempio � � e � � , euna immaginaria pura, per esempio � � :

� � � � = � � 1 � � � � = %�� 1 � � � � = � � � (5 � 21)

Tenendo presente che per la (VI.7.10) si ha

= � � 1 � 1 =� � � 1 1 (5 � 22)

la (5.20) e la (5.21) impongono

371

��

r � 1 = r 1 p � 1 = p 1 (5 � 23)

� � 7� 1 = % � � 1 � � � 1 = � � 1 � � � 1 = % � � � (5 � 24)

La (5.23) e la (5.24) sono le relazioni di trasformazione per una rotazione di � intornoall’asse � . Percio, a meno di un fattore di fase costante che non ha significato fisico e puoessere scelto uguale a uno, si trova

= � � �� -� � (5 � 25)

Di conseguenza l’operatore di inversione temporale per una particella con spin risulta

� = � � �� -� � 1 (5 � 26)

che per una particella a spin 12 diventa

� = % & �� (5 � 27)

L’evoluzione temporale puo essere studiata altrettanto bene introducendo l’o-peratore densita � , definito nel paragrafo VII.7 e regolato dall’equazione di moto diLiouville–von Neumann (VII.7.18). Nello spazio di spin � 2, l’operatore densita euna matrice 2

�2, i cui elementi nel caso puro (5.11) sono espressi in accordo con la

(VII.7.1). Percio � risulta

� =

��K

1 � 2K

1

K �2

K �1

K2 �

K2 � 2

�� P (5 R 28)

con

Tr � = 1 P (5 R 29)

� 2 = �ZR (5 R 30)

Come ogni matrice 2�

2, la � puo essere sviluppata sulla base delle matrici di Paulie della matrice identita. Dato che � e hermitiana 14 e a traccia unitaria, deve essere

� = 12 (11 + P

_� �� ) P (5 R 31)

dove le componenti�

� P � � P � � del vettore P risultano numeri reali,

�

� = 2 Re (K �

1

K2) P �

� = 2 Im (K �

1

K2) P � � = �

K1 � 2 E �

K2 � 2 P (5 R 32)

e il vettore P e in realta un versore:

14 Ricordiamo che in uno spazio di Hilbert a numero finito di dimensioni hermitiano e autoaggiunto sonosinonimi.

372

� � �;� �� ;�� (�� P_P =

� 2

� +� 2

� +� 2� = 1 R (5 R 33)

Per riconoscere il significato fisico di P si valuti per esempio il valore di aspettazionedi � � :

� � � � = Tr ( � � � )

= 12 Tr � � + 1

2 P_Tr ( � �� )

= 12

�

� Tr ( � 2

� ) Pdove si e tenuto conto del fatto che le matrici di Pauli sono a traccia nulla. Essendopoi � 2

� = 11, si ha infine

� � � � =�

� R (5 R 34)

Percio in generale P fornisce il valore di aspettazione dello spin:

P = � � �� = Tr ( � � �� ) R (5 R 35)

Inoltre lo spinore (5.11) risulta autostato di P_� �� :

P_� �� ( � ) � = � � ( � ) �;R (5 R 36)

Dunque P puo essere indicato a buon diritto come un versore che punta nella di-rezione dello spin del sistema descritto dalla (5.11): esso viene chiamato versore dipolarizzazione dello stato (5.11).

Esercizio 5.2

Utilizzando le (5.32) verificare la (5.36).

Nel caso miscela l’operatore densita e dato dalla (VII.7.11), ma e ancora unamatrice 2

�2 nello spazio di spin � 2, come nel caso puro: ancora si puo quindi

definire un vettore di polarizzazione P attraverso un’equazione analoga alla (5.31).Tuttavia ora la � non e idempotente (cfr. eq. (VII.7.15)) e P non e piu un versore.Dalla condizione

0 � Tr ( � 2) � (Tr � )2 = 1 P (5 R 37)

che deriva dal fatto che � e un operatore autoaggiunto, definito positivo e a tracciaunitaria, segue

0 � � � 1 R (5 R 38)

Se�

= 0, � = 12 11, il sistema e non polarizzato. Se

�= 1, allora � 2 = � e gli

autovalori di � sono 0 oppure 1: in questo caso il sistema e polarizzato e non puoche essere descritto da un caso puro del tipo (5.11), corrispondente all’autovalore 1di P

_� �� . In generale, per

��1 il sistema e parzialmente polarizzato e corrisponde

a un caso miscela con polarizzazione�

.

373

��

Esercizio 5.3

Scrivere l’operatore densita nel caso di un fascio di elettroni polarizzato al 70%nella direzione dell’asse e al 30% nella direzione dell’asse � .

��5��Si vuole stabilire l’equazione di evoluzione del versore di polarizzazione per il

caso puro (5.11). Dalla (5.35) e dall’equazione di Liouville-von Neumann riferita al casopuro, eq. (VII.7.6), si ha

& -(�� P� � = & -( ��

� �= & -( Tr

J ��

� �� L= Tr ([

� 1 � ] � �� )

= Tr ( � [ � �� 1 � ]) 1dove nell’ultimo passaggio si e utilizzata l’invarianza della traccia rispetto a una permu-tazione ciclica dell’ordine con cui compaiono gli operatori sotto il segno di traccia (cfr.eq. (C.27)). Esprimendo � e

�sotto forma di matrici con le (5.31) e (5.4) e tenendo

presente la (4.20), si ottiene

& -( � P� � = 1

2 Tr ( � [ � �� 1 W � � �� ])

= % & Tr ( � � �� ) � W �Percio

-( � P� � = W � P � (5 � 39)

Esercizio 5.4

Verificare che il modulo di P si mantiene costante, cioe

� P2

� � = 0 � (5 � 40)

Esercizio 5.5

Verificare che se W e un vettore costante, W � P e ( � P � � � )2 sono costanti del moto.

Esercizio 5.6

Ritrovare il risultato (5.18) a partire dalla (5.39).

374

� �� .� � �� :� � � >� �;� �� '��Q$.-0/9$ �& <!&�$�%��?.& ?�BZ� -3$�-2�;%Z �& +�%C4$�� +�#;&Il fatto che lo spin sia rappresentato da un operatore che ha le stesse proprieta di

un momento angolare, pur agendo su variabili diverse da quelle spaziali, suggeriscel’idea di un momento angolare risultante dalla somma del momento di spin s e delmomento angolare orbitale L. Di conseguenza si impone il problema di costruirel’appropriata rappresentazione.

In modo totalmente generale, si possono considerare due operatori J1 e J2,corrispondenti a due momenti angolari che, come gli operatori L e s, commutano tradi loro, cioe

[ � 1 � P�� 2� ] = 0 R (6 R 1)

In queste condizioni l’insieme di operatori � 21 P�� 1 �.P�� 2

2 P�� 2 � e un insieme di opera-tori autoaggiunti che commutano. Pertanto esiste un insieme completo di autostatisimultanei dei quattro operatori, che possono essere individuati mediante i relativiautovalori. Con ovvio significato dei simboli, si ha:��

� 21 � � 1 I 1; � 2 I 2 � = -T 2 � 1(� 1 + 1) � � 1 I 1; � 2 I 2 ��P

� 1 � � � 1 I 1; � 2 I 2 � = -T I 1 � � 1 I 1; � 2 I 2 �,P� 2

2 � � 1 I 1; � 2 I 2 � = -T 2 � 2(� 2 + 1) � � 1 I 1; � 2 I 2 ��P� 2 � � � 1 I 1; � 2 I 2 � = -T I 2 � � 1 I 1; � 2 I 2 �,R (6 R 2)

D’altra parte, si verifica subito che l’operatore

J = J1 + J2 (6 R 3)

e ancora un momento angolare, cioe

[ � � P�� ] =

S-T�� R (6 R 4)

Inoltre si verifica facilmente che valgono le seguenti regole di commutazione:

[ � 2 P�� ] = 0 P (6 R 5)

[ � 2 P�� 21 ] = [ � 2 P�� 2

2 ] = 0 R (6 R 6)

Siccome e

2J1

_J2 = � 2 E�� 2

1 E�� 22 P (6 R 7)

si ha anche

[ � 2 P J1

_J2] = [ � 2

1 P J1

_J2] = [ � 2

2 P J1

_J2] = 0 R (6 R 8)

375

��

Percio anche l’insieme di operatori � 2 P�� P�� 21 P�� 2

2 e un insieme di operatori autoag-giunti che commutano e possiedono un insieme completo di autostati simultanei:

�� 2

1 � � 1 � 2; ��I � = -T 2 � 1(� 1 + 1) � � 1 � 2; �I ��P� 2

2 � � 1 � 2; ��I � = -T 2 � 2(� 2 + 1) � � 1 � 2; �I ��P� 2 � � 1 � 2; ��I � = -T 2 � (� + 1) � � 1 � 2; �I ��P� � � � 1 � 2; ��I � = -T I � � 1 � 2; �I ��R (6 R 9)

Naturalmente esistono dei limiti di variabilita dei numeri quantici in gioco. Pergli stati (6.2) valgono le relazioni

� I 1 � � � 1 P � I 2 � � � 2 P (6 R 10)

con � 1 e � 2 che possono assumere valori interi (compreso lo zero) e seminteri inaccordo con la (VI.1.61). Allora, una volta fissati � 1 e � 2, il sottospazio corrispondenteagli stati (6.2) e un sottospazio a (2� 1 + 1)(2� 2 + 1) dimensioni.

Per gli stati (6.9) valgono le relazioni

I = I 1 + I 2 P � I � � �R (6 R 11)

Inoltre e

� � 1 E � 2 � � � � � 1 + � 2 R (6 R 12)

D’altra parte, siccome e

�

� =0

(2 � + 1) = + 1

2[(2 + 1) + 1] = ( + 1)2 P

si ottiene che la dimensionalita del sottospazio corrispondente agli stati (6.9) risulta

�1+�

2��

= � � 1 ��

2 �(2� + 1) =

�1+�

2��

=0

(2� + 1) E � � 1 ��

2 � � 1��

=0

(2� + 1)

= [(� 1 + � 2) + 1]2 E [( � � 1 E � 2 �.E 1) + 1]2

= (2� 1 + 1)(2� 2 + 1) Pcioe, al variare di (�I ) per (� 1 � 2) fissati, gli stati (6.9) percorrono lo stesso sottospaziodegli stati (6.2).

376

� �� .� � �� :� � � >� �;� ��

Fig. 6.1 Fig. 6.2Nella rappresentazione (6.2), in cui lo stato e caratterizzato dai buoni numeri

quantici (� 1 I 1 � 2 I 2), i due vettori J1 e J2 precedono in modo indipendente intorno a�

, mantenendo fisso il valore della loro componente lungo � e lasciando indeterminatoJ (fig. 6.1). Invece nella rappresentazione (6.9), i due vettori J1 e J2 sono accoppiatiper dare un vettore risultante J che precede intorno a

�con la sua componente lungo

� fissata, mentre le componenti lungo � di J1 e J2 restano indeterminate (fig. 6.2).Queste due rappresentazioni sono evidentemente equivalenti: deve essere pos-

sibile passare dall’una all’altra mediante una trasformazione unitaria. La trasfor-mazione e resa esplicita utilizzando la spettralizzazione dell’identita nel sottospazioin considerazione:

� � 1 � 2; ��I � =�

�1�

2

� � 1 I 1; � 2 I 2 � � � 1 I 1; � 2 I 2 � � 1 � 2; ��I �;R (6 R 13)

I coefficienti della trasformazione (6.13),

(� 1 � 2 I 1 I 2 � ��I )�� 1 I 1; � 2 I 2 � � 1 � 2; �I �;P (6 R 14)

rappresentano gli elementi della cercata trasformazione unitaria e sono chiamaticoefficienti di Clebsch–Gordan 15.

Dall’ortonormalita degli stati,

� � 1 � 2; � � I � � � 1 � 2; �I � = � � �� P (6 R 15)

segue la corrispondente condizione di ortogonalita per i coefficienti di Clebsch–Gor-dan:

�

�1�

2

(� 1 � 2 I 1 I 2 � �I )(� 1 � 2 I 1 I 2 � � � I � ) = � �� R (6 R 16)

15 Rudolf Friedrich Alfred Clebsch (1833–1872), Paul Gordan (1837–1912).

377

��

La trasformazione lineare (6.13) e invertibile:

� � 1 I 1; � 2 I 2 � =�� 1 � 2; �I � � � 1 � 2; ��I � � 1 I 1; � 2 I 2 �

=�� (� 1 � 2 I 1 I 2 � ��I ) � � 1 � 2; �I ��R (6 R 17)

Allora dall’ortonormalita degli stati,

� � 1 I 1; � 2 I 2 � � 1 I �1; � 2 I �2 � = � �1� �

1

� �2� �

2P (6 R 18)

segue un’altra condizione di ortogonalita per i coefficienti di Clebsch–Gordan:

�� (� 1 � 2 I 1 I 2 � �I )(� 1 � 2 I �1 I �2 � �I ) = � �

1� �

1

� �2� �

2R (6 R 19)

In tutte queste considerazioni i coefficienti di Clebsch–Gordan sono stati assunti reali.Infatti si puo dimostrare che lo sono, a meno di un fattore di fase arbitrario che sipuo porre uguale a uno. Le due condizioni (6.16) e (6.19) confermano altresı che latrasformazione che connette le due rappresentazioni e unitaria.

Un’espressione esplicita dei coefficienti di Clebsch–Gordan e la seguente 16:

(� 1 � 2 I 1 I 2 � ��I ) = � � � � 1+ � 2

�(� 1 � 2 � ) [ (2j + 1)(j1 + j2 � j)!(j1 � j2 + j)!( � j1 + j2 + j)!

(j1 + j2 + j + 1)! ] 1 � 2

� [(j1 + m1)!(j1 % m1)!(j2 + m2)!(j2 % m2)!(j + m)!(j % m)!]1 � 2

��n

( � 1)n

n!(j1 + j2 � j � n)!(j1 � m1 � n)!(j2 � m2 � n)!(j � j2 + m1 + n)!(j � j1 � m2 + n)! R(6 R 20)

dove�

(� 1 � 2 � ) = 0 se non e soddisfatta la condizione (6.12). La delta di Kroneckere la

�(� 1 � 2 � ) garantiscono quella che viene chiamata la proprieta triangolare dei

coefficienti di Clebsch–Gordan, in base alla quale i coefficienti sono automaticamentenulli se non sono rispettate le (6.11) e la (6.12).

Un’utile relazione di ricorrenza tra i coefficienti di Clebsch–Gordan si ottieneper applicazione degli operatori � � a entrambi i membri della (6.13) e usufruendodelle relazioni (VI.1.65):

�� (� + 1) E I ( I � 1)(� 1 � 2 I 1 I 2 � ��I � 1)

=�

� 1(� 1 + 1) E I 1( I 1 � 1)(� 1 � 2 I 1 � 1 P I 2 � �I )

+�

� 2(� 2 + 1) E I 2( I 2 � 1)(� 1 � 2 I 1 I 2 � 1 � ��I ) R (6 R 21)

Esistono alcune relazioni di simmetria per i coefficienti di Clebsch–Gordan, dicui le piu usate sono le seguenti:

16 G. Racah: Theory of Complex Spectra. II [Teoria degli spettri complessi. II], Physical Review 62(1942) 438–462.

378

� �� .� � �� :� � � >� �;� �� (� 1 � 2 I 1 I 2 � ��I ) = ( E )

�1+�

2 ��(� 1 � 2 E I 1 E I 2 � � E I ) P

= ( E )�

1+�

2 ��(� 2 � 1 I 2 I 1 � �I ) P

= ( E )�

1 ��

12� + 12� 2 + 1

(� 1 ��I 1 E*I � � 2 E I 2) R (6 R 22)

Tab. 1. Coefficienti di Clebsch–Gordan (� 112 1 2 � )

� I 2 = 12 I 2 = E 1

2

� 1 + 12

� �1+ � + 1

22j1+1

� �1 �� + 1

22j1+1

� 1 E 12 E � �

1 �� + 1

22j1+1

� �1+ � + 1

22j1+1

Tab. 2. Coefficienti di Clebsch–Gordan (� 11 1 2 � )

� I 2 = 1 I 2 = 0 I 2 = E 1

� 1 + 1�

(�

1+ � )(�

1+ � +1)(2�

1+1)(2�

1+2)

�(�

1 �� +1)(

�1+ � +1)

(2�

1+1)(�

1+1)

�(�

1 �� )(

�1 �� +1)

(2�

1+1)(2�

1+2)

� 1 E �(�

1+ � )(�

1 �� +1)

2�

1(�

1+1)

�� 1(�

1+1)

�(�

1 �� )(

�1+ � +1)

2�

1(�

1+1)

� 1 E 1�

(�

1 �� )(

�1 �� +1)

2�

1(2�

1+1) E �(�

1 �� )(

�1+ � )�

1(2�

1+1)

�(�

1+ � +1)(�

1+ � )2�

1(2�

1+1)

379

��

I valori di alcuni coefficienti di Clebsch–Gordan di uso frequente sono riportatiin Tab. 1 e Tab. 2. Esistono tabulazioni piu ampie 17 che ricorrono agli associatisimboli a 3-� di Wigner, definiti dalla relazione:

(� 1 � 2 I 1 I 2 � ��I ) = ( E )�

1 ��

2+ ��

2� + 1J � 1 � 2 �I 1 I 2 E�I L R (6 R 23)

I simboli a 3-� di Wigner hanno proprieta di simmetria di piu facile memorizzazione:J � 1 � 2 � 3I 1 I 2 I 3L =

J � 2 � 3 � 1I 2 I 3 I 1L =

J � 3 � 1 � 2I 3 I 1 I 2L

= ( E )�

1+�

2+�

3

J � 1 � 3 � 2I 1 I 3 I 2L P (6 R 24)

J � 1 � 2 � 3E I 1 E�I 2 E I 3L = ( E )

�1+�

2+�

3

J � 1 � 2 � 3I 1 I 2 I 3L R (6 R 25)

Esercizio 6.1

Sapendo che e (� 0 0 � ) = 1, valutare (� � % 00).

Esercizio 6.2

Conoscendo il risultato dell’Esercizio precedente e utilizzando le proprieta diortogonalita dei coefficienti di Clebsch–Gordan, verificare il seguente risultato:

�

�(� � 0 � ) = �� 0(2� + 1) � (6 � 26)

��'��5��,%Z �!#�+5<;&"$.%X� /�& % �=$.#��;&� +La presenza dello spin ha conseguenze anche sulla hamiltoniana che descrive il

moto di un elettrone in un atomo, in quanto l’elettrone in movimento vede a sua voltail nucleo atomico in moto e ne subisce il campo magnetico. Se il moto relativo fosserettilineo e uniforme, secondo la legge di Ampere–Laplace il campo magnetico vistodall’elettrone sarebbe (nel sistema di Gauss, cfr. Tab. D.2.):

B = E 1Kv�

E

=1I K

p� \ \\ � R (7 R 1)

17 M. Rotenberg, R. Bivins, N. Metropolis e J.K. Wooten, jr.: The 3- and 6- Symbols, The TechnologyPress, MIT, Cambridge, Mass., 1959.

380

� O�� (�Il momento magnetico di spin dell’elettrone percio provoca un termine addizionalenella hamiltoniana: H �

= E�� _ B = � F2 I 2

K2

s_p� \ \\ � R (7 R 2)

Nello spazio delle configurazioni � 2( � � 3) � � 2 � +1 , cioe nello spazio che si ottienefacendo il prodotto diretto tra lo spazio delle posizioni e lo spazio di spin,

H �deve

essere uno scalare: la sua forma e proprio la piu semplice che si possa costruirea partire dai possibili ingredienti, che sono l’impulso p, lo spin s e il potenzialeN ( � ) = E�F � ( � ). Ponendo

E0F \ \\ � ( � )� \ \\ N ( � ) =

1�

� N�� r P (7 R 3)

si ottiene infine H �= � � 1

�

� N�� s

_L P (7 R 4)

dove il coefficiente � risulta positivo:

� =1

2 I 2

K2R (7 R 5)

In realta, se si tiene conto che il moto relativo elettrone–nucleo non e rettilineo euniforme e in linea di principio deve essere trattato relativisticamente, si ottiene nella(7.4) un coefficiente che per l’elettrone ( � = 2) e due volte piu piccolo 18:H �

= � 1�

� N�� s

_L R (7 R 6)

La hamiltonianaH �

dunque rappresenta fisicamente l’interazione tra il momentomagnetico di spin dell’elettrone e il campo magnetico B “visto” dall’elettrone stessonel suo moto nel campo elettrostatico generato dal nucleo atomico. D’altra parte,in condizioni simili, una qualunque particella con momento magnetico di spin puosubire l’interazione (7.4) tra il suo spin s e il suo momento angolare orbitale L. Essapercio viene detta interazione spin–orbita. E curioso che per i nucleoni all’internodel nucleo atomico il coefficiente � risulta negativo.

La conseguenza piu importante dell’interazione spin–orbita e che lo stato chedescrive la particella deve includere anche lo spin. Accanto allo spazio di Hilbert� 2( � � 3) occorre considerare anche lo spazio complesso a 2 � + 1 dimensioni � 2 � +1: lostato totale e un elemento dello spazio prodotto � 2( � � 3) � � 2 � +1.

D’altra parte e

18 A causa del moto non uniforme e non rettilineo, lo spin compie una rotazione, detta precessione diThomas, responsabile del fattore 1

2 .Llewellyn Hilleth Thomas (n. 1903): The motion of the spinning electron [Il moto dell’elettrone rotante],Nature 117 (1926) 514.

381

��

s_L = 1

2 ( � 2 E � 2 E � 2) P (7 R 7)

dove J = L + s e il momento angolare totale. Percio

[H � P�� 2] = [

H � P � 2] = [H � P � 2] = 0 R (7 R 8)

Se anche il termine originaleH

0 della hamiltoniana commuta con � 2 P � 2 e � 2, gliautostati della hamiltoniana totale

H=H

0 +H �

si possono porre nella forma

� � � ; �I � =�

�� ( � � ; I��(I � � ��I ) � � I�� 6I � ��P (7 R 9)

dove i coefficienti di Clebsch–Gordan permettono di costruire la rappresentazionein cui sono diagonali � 2 P � 2 e � 2 (oltre che � � ) a partire da stati � � I�� 2( � � 3) e� �6I � �� 2 � +1.

Il vantaggio di usare gli stati (7.9) e evidente: oltre ad essere autostati diH

0 peripotesi, essi sono anche autostati di

H �, in quanto

s_L � � � ; �I � = 1

2-T 2[� (� + 1) E � ( � + 1) E � ( � + 1)] � � � ; �I �;R (7 R 10)

In particolare, per � = 12 , si ha

s_L � � � ; �I � = 1

2-T 2 � ��P per � = � + 1

2 ,E ( � + 1) P per � = �XE 12 .

(7 R 11)

Pertanto, al primo ordine della teoria delle perturbazioni indipendenti dal tempo,H �

introduce una correzione ai livelli energetici diH

0, senza modificarne gli stati. Talecorrezione risulta

�� ; ��I � H � � � � ; ��I � = �� 1

�

� N�� 1

2-T 2 � � P per � = � + 1

2 ,E ( � + 1) P per � = �XE 12 ,

(7 R 12)

dove il valore di aspettazione di (1� � )

� N � � � e calcolabile se si sceglie il sistema e siconosce N . Per l’atomo idrogenoide ( N ( � ) = E�� F 2 � � ) gli autostati sono della forma

� � 12 ; �I � =

�

�� ( � 12 I�� I � � ��I ) � � I�� 1

2 I � �,R (7 R 13)

Quindi

1�

� N�� = � F 2 1

� 3 � P (7 R 14)

dove

382

� O�� (� 1

� 3 � =�

��

� � � � � � ( � 12 I�� I � � ��I )( � 1

2 I � � I � � � ��I ) � 12 I � � 1

2 I � � � � � I�� 1� 3

� � I � � �=

�

��

� � � � � � ( � 12 I � I � � ��I )( � 1

2 I � � I � � � ��I ) � ��

r � �r� � � I�� r � � r � 1

� 3� r � � � r � � � I � � �

=�

��

� � � � � � ( � 12 I�� I � � ��I )( � 1

2 I � � I � � � ��I ) � ��

r � � � ( � ) � �� ( � � )1

� 3 � � ( � ) � � � � � ( � � )

=�

�� ( � 12 I�� I � � ��I )( � 1

2 I�� I � � �I ) � �� ( � )

1� � � ( � ) R

Nell’ultimo passaggio si e eseguito l’integrale angolare e si sono utilizzate le delta.Inoltre, in virtu della (6.16) le somme sui coefficienti di Clebsch–Gordan si possonoora eseguire, ottenendo

1� 3 � = � �

�� ( � )1

� � � ( � ) R (7 R 15)

Inserendo le funzioni radiali dell’atomo idrogenoide (cfr. eq. (V.8.40)), si ottieneinfine il risultato:

1� 3 � =

� 3

� 30[ � ( � + 1)( � + 1

2 ) 3]P (7 R 16)

dove �0 = -T 2 � I F 2 e il raggio di Bohr.

Pertanto la correzione energetica (7.12) diventa ( � = F 2 � -T K�� 1�137):

�� =

� 4 � 4 I K2

4 � ( � + 1)( � + 12 ) 3

� � P per � = � + 12 ,E ( � + 1) P per � = �XE 12 .

(7 R 17)

In realta l’interazione spin–orbita e un effetto relativistico. Percio, se lo si con-sidera, occorre coerentemente considerare anche l’espressione relativistica classicaper l’energia in funzione dell’impulso e modificare di conseguenza la hamiltoniana.Il primo termine correttivo alla hamiltoniana non relativistica, che deriva da unosviluppo dell’energia in serie di � �

K= �� I K

(cfr. eq. (III.3.10), e:H � = E 18

� 4I 3

K2R (7 R 18)

383

��

Fig. 7.1. I primi livelli dell’atomo di idrogeno alterati dal contributo dell’interazione spin–orbita e da effetti relativistici.

Esercizio 7.1

Calcolare la correzione relativistica all’energia dei livelli dell’atomo idrogenoideal primo ordine in �� ) = � � ) , verificando il seguente risultato:� �

= % � 2 2� �� 1�+ 1

2

% 34 � � 1 (7 � 19)

dove

��= % � 2 2

2 � 2 ) 2 (7 � 20)

sono gli autovalori (V.8.17) per l’energia dell’atomo idrogenoide non relativistico.Il calcolo e facilitato considerando la hamiltoniana totale

�=�

0 +��

, dove�

0

e la hamiltoniana non relativistica dell’atomo idrogenoide col potenziale (V.8.1) e� �

edata dalla (7.18) con � 4 = [2 (

�0 % � )]2.

Considerando dunque ancheH � , la correzione ai livelli � dell’atomo idroge-

noide (7.20) diventa ora:

�� =

� 2 � 2 � 1

� + 12

E 34 �� R (7 R 21)

La situazione per i primi livelli dell’atomo di idrogeno ( � = 1) e raffigurata infig. 7.1. Anche il livello = 1 ( 2 � +1 � � = 12

�1 � 2), pur non essendo influenzato dalla

correzione di spin–orbita, si abbassa un po’ per effetto relativistico. Sperimental-

384

� O�� (�mente i livelli 22

�1 � 2 e 22 �

1 � 2 sono distanziati di 5 R 81�

10 � 6 eV. Tale spostamento,noto come spostamento di Lamb (Lamb shift), e dovuto a effetti di elettrodinamicaquantistica che non possono essere qui considerati 19.

19 L’americano Willis Eugene Lamb jr. (n. 1913) fu insignito del premio Nobel per la Fisica nel 1955per la scoperta della struttura fine dello spettro dell’atomo di idrogeno, condividendo il premio con iltedesco Polykarp Kusch (n. 1911) che aveva determinato il momento magnetico dell’elettrone. Lo stessoLamb riconobbe di avere ripreso l’idea da un lavoro di Luigi Giulotto (1911–1986) che studiava gli effettirelativistici sulle righe dello spettro dell’atomo di idrogeno.L. Giulotto: Struttura fine nella � � , Ricerca Scientifica e Ricostruzione, Anno 17 (1947) 209–216; FineStructure of � � [Struttura fine nella riga � � ], Physical Review 71 (1947) 562.W.E. Lamb, jr. e R.C. Retherford: Fine Structure of the Hydrogen Atom by a Microwave Method[Struttura fine dell’atomo di idrogeno con un metodo a microonde], Physical Review 72 (1947) 241–243;Fine Structure of the Hydrogen Atom. Part I. [Struttura fine dell’atomo di idrogeno. Parte I.], PhysicalReview 79 (1950) 549–572; Fine Structure of the Hydrogen Atom. Part II. [Struttura fine dell’atomo diidrogeno. Parte II.], Physical Review 81 (1951) 222–232.

385

X. SISTEMIDI MOLTE PARTICELLE

Lo studiodi un sistemacostituitoda molte particellee il casochesi presentapiu frequentementein fisica. Ogni sistemafisico,al di la di schematizzazioniideali,e in generaleun sistemacomposito,le cui proprieta globali sonopilotatedal com-portamentomicroscopicoe dalladinamicadei suoicostituenti.Fin dalleorigini, lameccanicaquantisticaha trovato alcuni sistemisu cui cimentarei suoi postulatieverificarele suepredizioni: i successiavuti in fisicaatomicaemolecolaredapprima,epoi nellostudiodegli staticondensatidellamateriae in fisicanucleare,hannorapi-damenteconquistatoallameccanicaquantisticaanchei piu scetticiricercatori.Anzi,proprioquestisuccessihannosemmaiconvintol’ambientescientificodell’utilit adellameccanicaquantisticacomealgoritmoper formulareprevisioni di comportamentodella materia,finendoper far passarein secondopiano le esigenzedi fondo sullacoerenzae la completezzadellateoriacostruitaconla meccanicaquantistica.

Applicare la meccanicaquantisticaa un sistemadi molte particellesignificastabilire e risolvere l’equazionedi Schrodinger che fornisce la funzione d’ondadell’intero sistema. Il metodoper postularel’equazionedi Schrodinger ricorre,comenelcasodi unasolaparticella,allaquantizzazionedellahamiltonianaclassica.Anchel’associazionedi operatorialle variabili dinamicheclassicheseguegli stessiprincipi. La complicazionecheinsorgederiva dal fattochelo spaziodelleconfigu-razionicoinvolgeorale coordinatedi posizionedi tutteleparticelledelsistema:nellarappresentazionedelle posizioni, cio significache la funzioned’onda,pur semprea quadratosommabile,e definitasu

� � 3 � e, in generale,lo statodel sistemavieneindividuatodaun elementodi unospaziodi Hilbert costruitocomeprodottodirettodi spazidi Hilbert associatialle varieparticelle.

Inoltre,accantoaigradidi libertaclassici,comelaposizione,occorreconsiderareanchei gradi di liberta interni, come lo spin. Questi introduconouna modificaessenzialesul tipo di stati permessi.Infatti ci si accorgeche,in virtu del principiodi indeterminazione,le particellequantistichenonsonodistinguibili unadall’altra,

387

�� !�"con la conseguenzache gli stati del sistemasonosimultaneamenteautostatidellahamiltonianae dell’operatorechescambiale coordinatedi dueparticellequalsiasi.In naturasi realizzanosistemidi particelledescrittisolodastatisimmetricioppuredastati antisimmetrici. Le duecategoriedi particellesonodistintedai valori possibiliper il loro spin: stati simmetrici sonoassociatia particellecon spin intero, statiantisimmetricia particellecon spin semintero. Le proprieta statistichedegli statidelleparticelleaspininterosonostatestudiatedaSatyendraNathBose(1894–1974)e da Albert Einstein1, mentrequellerelative a particellecon spin seminterosonostatestudiateda Enrico Fermi (1901–1954)e Paul Dirac 2. Conseguentementesiparladi statisticadi Bose–Einsteinper i bosonie di statisticadi Fermi–Diracper ifermioni per rappresentarerispettivamentele particellea spin interoe quellea spinsemintero3.

Immediataconseguenzadi questeproprietadi simmetriael’instaurarsidi untipodi correlazionetra le particelledel sistema,chee di naturaprettamentequantistica:lo statodel sistemadeve soddisfareun requisitocheva sotto il nomedi principiodi esclusionee chefu enunciatodaWolfgangPauli 4: fermioni dello stessosistemanonpossonoesseredescrittisingolarmentedaunafunzionecaratterizzatadaglistessinumeriquantici. L’efficaciadi questoprincipio si e dimostrataper esempionellaclassificazionedegli spettriatomicienucleari.

Pero la risoluzionedell’equazionedi Schrodinger, gia spessoproblematicanelcasodi unasolaparticella,diventaper lo piu irrealizzabilein modoesattonel casodi un sistemadi molte particelle. Sorge quindi la necessita di svilupparemetodigeneralidi approssimazione,adattatipoi di volta in volta a secondadel particolaresistemafisico in esame. Il principio ispiratoredi alcuni di questimetodi e quellodi ridurre il problemaa quello di unasolaparticella,simulandol’azione di tutte le

1 S.N.Bose: PlancksGesetzundLichtquantenhypothese[Legge di Planck e ipotesidei quanti di luce],Zeitschrift fur Physik26 (1924)178–181.Questoarticolo,originalmentescrittoin ingleseesottopostoaEinsteinperunparere,fu tradottoin tedescoe raccomandatoalla rivista per la suapubblicazioneda Einsteinstesso,chesviluppo l’idea di Boseinsuccessivi lavori.A. Einstein: Quantentheoriedeseinatomigen idealenGases[Teoria quantisticadel gasperfettomono-atomico], SitzungsberichtederPreussischenAkademiederWissenschaften(Berlin) 22 (1924)261–267;23 (1925)3–14,18–25.2 E. Fermi: Sulla quantizzazionedel gasperfettomonoatomico, Rendicontidella realeAccademiadeiLincei 3 (1926)145–149;Zur QuantelungdesidealeneinatomigenGases[Sulla quantizzazionedel gasperfettomonoatomico], Zeitschrift fur Physik36 (1926)902–912.P.A.M. Dirac: Onthetheoryofquantummechanics[Sullateoriadellameccanicaquantistica], Proceedingsof theRoyal Societyof LondonA112 (1926)661–677.Il lavorodi Dirac,ultimoin ordinedi tempo,ancheseindipendentedaquellodi Fermi,studialaconnessionegeneraletraspine statistica,definendole proprieta di simmetriadellafunzioned’onda.3 Perunapresentazionedeicitati lavori tradottiin italianosivedail quadernodi FulvioPiccinini: L’originedellestatistichequantistiche, Quadernidi FisicaTeorica,Universita di Pavia, 1993.4 W. Pauli: Uber denZusammenhangdesAbschlussesder Elektronengruppenim Atommit der Kom-plexstruktur des Spektren [Connessionetra il completamentodei gruppi di elettroni nell’atomo e lastruttura complessadegli spettri], Zeitschrift fur Physik 31 (1925)765–783;TheConnectionbetweenSpinandStatistics[La connessionetra spine statistica], PhysicalReview 58 (1940)716–722.

388

# ��$�%�'&(�"��)�)��*��+�$�altre attraversola definizionedi un potenzialemedioe quindi esaltandoi gradi diliberta individuali rispettoa quelli collettivi checoinvolgonotutte le particelledelsistemasimultaneamente.Questimetodi,iniziati coni contributi di LlewellynHillethThomasedi EnricoFerminelladescrizionedi quellochevienericordatocomeatomodi Thomas–Fermi5, hannotrovatola loro formapiu completanelmetododi Hartree–Fock, suggeritonel 1928daDouglasRaynesHartree(1897–1958)6 e perfezionatodueannidopodaVladimir Alexsandrovich Fock (1898–1974)7. Il metodo,basatosul principio variazionale,risultadellamassimautilit a per la definizionedello statofondamentale,mariesceancheadeterminareunoschemadi riferimentointeressanteperla costruzionedei primi livelli eccitati.

Un’esposizionesistematicadegli approccial problemadi un sistemacostituitodamolteparticelleecompitodi trattazionispecialistichedellafisicadeimolti corpiein uncertosensoesuladagliscopipresenti.Tuttaviaquisembraopportunorichiamarealcuni concettidi basee ricordarebrevementequalcheloro applicazionealla fisicaatomicae nucleare.In questocapitolosi illustranole conseguenzedel principio diPauli,conparticolareinteresseperladeterminazionedellostatofondamentale.Vienediscussopercio il metododi Hartree–Fock, chepermettedi ricondurrelo studiodiun sistemadi molte particellea quello di unasola,sottopostaal potenzialemedioprovocatodalla presenzadi tutte le altre particelle. Si passanoquindi in rassegnabrevementealcunirisultatidell’applicazionedel metodoalla fisicaatomicaenucleare.,.-0/1-�2436587 9;:�3�<�=?>@>BA$C�<.DE91758F

Il casopiu semplicedi sistemacostituitoda piu di unaparticellae quello didueparticelledi massaG 1 e G 2. Classicamentequestosistemanonoffre difficoltaparticolaririspettoalproblemadi unasolaparticella,purchelo sistudiin unopportunosistemadi riferimento.Nel laboratoriole dueparticelle,interagenticonunpotenzialeH

(r), dove r = r1 I r2 e il vettoreposizionedella particella1 relativamenteallaparticella2, sonogovernatedallahamiltoniana

5 L.H. Thomas: The calculation of atomic fields [Il calcolo dei campi atomici], Proceedingsof theCambridgePhilosophicalSociety23 (1927)542–598.E.Fermi: EinestatistischeMethodezurBestimmungeinigerEigenschaftendesAtomsundihreAnwendungauf die TheoriedesperiodischenSystemsder Elemente[Un metodostatisticoper la determinazionedialcuneproprieta dell’atomo e la loro applicazionealla teoria del sistemaperiodico degli elementi],Zeitschrift fur Physik48 (1928)73–79.6 D.R. Hartree: Thewavemechanicsof an atomwith a non-Coulombcentral field. Part I. Theoryandmethods[Meccanicaondulatoriadi un atomocon campocentrale non coulombiano.Parte I. Teoria emetodi], Proceedingsof theCambridgePhilosophicalSociety24 (1928)89–110;Thewavemechanicsofanatomwitha non-Coulombcentral field. Part II. Someresultsanddiscussion[Meccanicaondulatoriadiun atomoconcampocentrale noncoulombiano.Parte II. Alcuni risultati e discussione], ibid. 24 (1928)111–132.7 V.A. Fock: Naherungsmethodezur LosungderquantenmechanischenMehrkorperproblems[Metododiapprossimazioneper la risoluzionedel problemadi molti corpi in meccanicaquantistica], Zeitschrift furPhysik61 (1930)126–148.

389

�� !�"JLK

=M 2

1

2G 1+

M 22

2G 2+

H(r) N (1 N 1)

E convenientepero passaredalle coordinater1 e r2 e dai corrispondentimomenticoniugatip1 e p2 alle coordinaterelativaebaricentrale,OPRQ r = r1 I r2 S

R =G 1r1 + G 2r2G 1 + G 2

S (1 N 2)

coni rispettivi momenticoniugati,OP Q p =G 2p1 I G 1p2G 1 + G 2

SP = p1 + p2 S (1 N 3)

cherappresentanogli impulsi relativo e totale. In tal modola hamiltoniana(1.1)puoriscriversicomesommadi un terminechedescriveil motoliberodelcentrodi massae di un terminechedescrive il motodi unaparticelladi massaridotta G ,

1G =1G 1

+1G 2

S (1 N 4)

in presenzadel potenzialeH

(r): J K=

J?T�U+

J S (1 N 5)JVTU= W 2

2(G 1 + G 2) S (1 N 6)J=

M 2

2G +H

(r) N (1 N 7)

Il problemaecosı ricondottoa quelladi unasolaparticelladi massaG .Quantisticamentesi puo procederein modo analogo. Una volta definita la

hamiltonianaclassica(1.5) comesommadel contributo del centrodi massaJ T�U

e di quello del moto relativoJ

, le solite regole di quantizzazionepermettonodiinterpretareposizionieimpulsicomeoperatoriedi assegnarelecorrispondentiregoledi commutazionetra le loro componenti:

[ XZY S []\ ] = [ M Y S W \ ] = [ X^Y S W \ ] = [ [ Y S M \ ] = 0 S[ X Y S M \ ] = _ -`ba Y \ S [ [ Y S W \ ] = _ -`ba Y \ N (1 N 8)

Anche la hamiltonianaJ K

diventaun operatorequantistico,i cui autostatinellarappresentazionedelleposizionidevonodipenderedallecoordinatebaricentraleR erelativa r. Tuttavia i duecontributi

J?T�UeJ

operanosuvariabili R e r indipendenti

390

# �c�$�d�'& �"��)�e��*��$�e quindi commutanotra di loro. Le soluzionidel problemaagli autovalori per

J Ksi

possonoalloraricercarea variabili separate:gli autostatidiJ K

sonocostruiticomeprodotti di autostatidi

JVTUe di autostatidi

J. Ne risultachelo spaziodi Hilbert

associatoal sistemadelledueparticelleeunospaziovettorialeottenutodal prodottodirettodei duespazidi Hilbert associatia

J?TUea

J.

Il motodel centrodi massaesubitorisolto: gli autostatidiJ?T�U

corrispondonoa ondepianeche caratterizzanoil moto libero del centrodi massa. Invecetuttal’informazionefisicasul sistemadelledueparticellee contenutanellahamiltonianaJ

chegovernail motorelativo: questaediventataunahamiltonianaperunaparticelladi massaG , chenon offre difficolta maggioridi quelle incontratefinora, e le sueautofunzionivannoricercatecongli stessimetodiutilizzati finora. Percio la funzioned’ondatotaledel sistemadelle dueparticellerisulta il prodottotra quelladel motorelativo e l’ondapianachedescrive il motoliberodel centrodi massa.fhg4i4jlk6m+npocq+o

Si suppongadi averedueparticelledi massar , soggetteentrambeauncomunepotenzialearmonicoe interagentipureconun potenzialearmonico,secondola seguentehamiltoniana: sVt

= u 21

2r + 12 v$w 2

1 + u 22

2r + 12 v$w 2

2 + 12 x (r1 y r2)

2 z (1 z 9)

Passandoacoordinaterelative ebaricentrali,questahamiltonianadiventas t=

s {%| +

s } (1 z 10)

dove s {%| = ~ 2

2� + 12 v t�� 2 } (1 z 11)s

= u 2

2� + 12 x t w 2 } (1 z 12)

con � = 2r } v t = 2v } � = r�� 2 } x t = x + 12 v z (1 z 13)

Il cambiamentodi coordinateha trasformatola hamiltoniananella sommadi duecon-tributi, entrambidi oscillatorearmonico,uno per il centrodi massae uno per il motorelativo. Lo spettrodi

s trisultadallasomma,in tutti i modi possibili,di un contributo

di centrodi massaedi unodelmotorelativo. Nell’ipotesi cheil centrodi massarimanganel suostatofondamentale,lo spettrorisulta(cfr. eq. (V.7.19))�

= 32

-�6� + -�$� ( � + 32 ) } (1 z 14)

dove � = 2� + � ( � } � = 0 } 1 } zEz�z ) e il numeroquanticochedeterminal’eccitazionedelmotorelativo e

391

��!�� "�

= � v t� = � vr }�= � x t� =

� � 1 +2xv z (1 z 15)

Corrispondentemente,leautofunzionidi

s tsonoil prodottodi un’autofunzionedi

s {%| edi unadi

s. Ancoranell’ipotesicheil centrodi massarimanganelsuostatofondamentale,

le autofunzionidel sistemasono�6�c� (R } r) = �� 3 � 4 � � 3 � 2 � �� 2 � 2 � 2 � �� ( w ) � � | ( � } � ) } (1 z 16)

dove � = � -� �E� �e le funzioni radiali delmotorelativo,

� �� ( w ), sonodatein Tab. V.3

con � = � -� �� .L’interessedi questoEsempiostanellasuaapplicabilita anchenel casochele due

particelleinteragiscanocon un potenziale� (r) piu complicato,ma comunquein gradodi permettereunaposizionedi equilibrio r0. Perpiccoli spostamentidar0 si puo sempresvilupparel’energia potenzialein seriedi Taylor intornoa r0:� (r) = � 0 + � 1 + � 2 + � 3 + z4z4z } (1 z 17)

dove � 0 e un’inessenzialecostante,� 1 e identicamentenulla e i termini � 3 e successivipossonoesseretrascuratiper l’ipotesi di piccoli spostamenti.In primaapprossimazionesopravvivecosı il solotermine� 2: essohala formadelpotenzialedi interazionearmonicachecomparenella(1.9)eal qualepuo dunqueessereapplicatoil metodoqui esposto.fhg4i4jlk6m+npocq¡

Perunahamiltonianaclassica,quadraticanelle coordinatee negli impulsi, esemprepossibiletrovarela giustatrasformazionedi coordinatechepermettedi separarlain contributi indipendentidi tipooscillatorearmonico.Il metododell’Esempioprecedentesi riferisceal casodi dueparticelle,mamedianteun opportunocambiamentodi variabilipuoessereutilmenteestesoal casodi unsistemadi � particelleinteragenticonpotenzialearmonico.

Fig. 1.1.Un elementodellacatenalinearearmonica.

Si suppongapersemplicita di avereunacatenalinearedi � particelledi massar ,equispaziatealla distanza¢ e collegatedamolle ugualidi costanteelasticax (fig. 1.1).La hamiltonianaclassicadellacatenalinearearmonicarisultas

= £¤ �=1

u 2�2r + 1

2 x £¤ �=1

( �6� y �6�+1)

2 } (1 z 18)

392

# �c�$�d�'& �"��)�e��*��$�dove u � e l’impulso e �;� lo spostamentodella � -esimaparticelladalla suaposizionediequilibrio,postanel puntodi ascissa�¡¢ lungola catena.Perevitareeffetti di bordo,si einoltresuppostochela catenasiachiusasusestessa.

Si introducala seguentetrasformazionedi variabili:¥§¦=

1¨ � £¤ �=1

�6� �'© ¦ ��ª } ~ ¦=

1¨ � £¤ �=1

u � � � © ¦ �!ª z (1 z 19)

La(1.19)eunosviluppoin seriedi Fourier degli spostamentiedegliimpulsidelleparticellee definiscenuove variabili

¥�¦e ~ ¦

che dipendonocollettivamentedalle coordinatecanonichedi tutte le particelle. L’introduzionedel numerod’onda v e associato,daunpuntodi vistamatematico,all’invarianzatraslazionaledellacatenalineare,ipotizzatadilunghezza« = �V¢ . Percio v risultaquantizzato,v¬®v � = � 2�« } (1 z 20)

con � intero. Se � e molto grande,le sommenella (1.19) diventanoin praticadegliintegrali chepermettonola trasformazioneinversa:�6� =

1¨ � £¤ ¦=1

¥�¦ � � © ¦ �!ª } u � =1¨ � £¤ ¦

=1~ ¦ �'© ¦ �!ª } (1 z 21)

dove le sommesu v vannofattesututti i valori distinti di v dell’insiemepermessodalla(1.20),cioe per l’intero � cheva da y 1

2 � a +12 � , con la convenzionedi escludereuno

dei valori estreminel casodi � dispari.Perinterpretare

scomeoperatorequantisticooccorrestabilirele regoledi quantiz-

zazionepergli spostamentiegli impulsi delleparticelle:

[ �6� } u �!¯ ] = ° -�l± �²�²¯ z (1 z 22)

Di conseguenzasi ha

[¥�¦ } ~ ¦ ¯ ] =

1� £¤�´³ �²¯=1

[ �6� } u � ¯ ] �'© ( ¦ � � ¦ ¯ � ¯ ) ª= ° -� 1� £¤ �

=1

�'© ( ¦ � ¦ ¯ ) �!ª }cioe

[¥§¦ } ~ ¦ ¯ ] = ° -�µ± ¦4¦ ¯ z (1 z 23)

I nuovi operatori¥�¦

e ~ ¦nonsonoautoaggiunti.Si hapiuttostoO¶P ¶Q ¥�·¦ =

1¨ � £¤ �=1

� ·� � � © ¦ ��ª =1¨ � £¤ �

=1

�;� � � © ¦ �!ª =¥ � ¦ }~ ·¦ = ~ � ¦ z (1 z 24)

393

�� !�"Questanon e pero una difficolta; si sarebbepotuto simmetrizzareopportunamentelevariabili collettivepercostruireoperatoriautoaggiunti.Alternativamente,si puo pensaredi simmetrizzarelahamiltonianain modocheogniprodottodi operatorisiaesplicitamenteautoaggiunto:peresempiosi poneu 2 = u · u . Si ottienecomunques

=¤ ¦¹¸ 1

2r ~ ·¦ ~ ¦+ 1

2 r � 2¦ ¥�·¦ ¥�¦�º } (1 z 25)

dove � ¦= 2 » xr sin 1

2 ¼ v ¢ ¼ z (1 z 26)

Nella relazionedi dispersione(1.26),cheda la frequenzain funzionedelnumerod’onda,si e convenutodi prenderetuttele frequenzepositive, identificando

� � ¦ con� ¦

.

La (1.25)e unahamiltonianadi un’assembleadi oscillatoriarmoniciindipendenti,associatiai gradidi liberta di vibrazionedellacatena,chevengonoindicati comemodinormali di vibrazione(o fononi): la (1.26)e la relazionedi dispersioneperle frequenzedeimodi normalidi vibrazionedellacatenalinearearmonica.

In lineadi principio, il procedimentoqui seguito e applicabileanchein tre dimen-sioni al casodi un reticolo di particellenello spazio,comegli atomi in un cristallo.La dinamicacristallina vienecosı ricondottaalle eccitazionidei fononi. Tuttavia, nelcasotridimensionalel’insieme dei valori permessiper il vettored’onda k deve esserecompatibileconle proprieta di simmetriaspazialedel reticolo8.

Esercizio 1.1

In analogiaconle (VI.2.12)e (VI.2.13),si introducanogli operatori¢ ¦ = » r � ¦2-� ¥�¦

+ ° 1¨2r -�½� ¦ ~ ·¦ } (1 z 27)¢ ·¦ = » r � ¦

2-� ¥ ·¦ y ° 1¨2r -�½� ¦ ~ ¦ z (1 z 28)

Verificarechesoddisfanole seguentiregoledi commutazione:

[ ¢ ¦ } ¢ ¦ ¯ ] = [ ¢ ·¦ } ¢ ·¦ ¯ ] = 0 } [ ¢ ¦ } ¢ ·¦ ¯ ] =± ¦E¦ ¯ z (1 z 29)

8 Perunatrattazioneclassicadelladinamicareticolare,chetraeoriginedai lavori di Born e von Karmandel 1912–1913(cfr. n. 42 p. 89), si vedail testofondamentaledi Max Born e Kun Huang: DynamicalTheoryof CrystalLattices, TheClarendonPress,Oxford,1954.

394

¾ ��¡� �+��¿��¿1�À��*c¿Á��0��)��Z�� ´�¡�� "Esercizio 1.2

Verificareche la hamiltoniana(1.25) della catenalinearearmonicasi puo porrenellaforma s

=¤ ¦ -�½� ¦

( ¢ ·¦ ¢ ¦ + 12) } (1 z 30)

comeovvia estensionedella(VI.2.15). Gli operatori¢ ·¦ e ¢ ¦ sonooperatoridi creazioneedi distruzionedi unquantodi energia -�$� ¦

peril v -esimomododi vibrazione.

,.-�Â6-ÄÃÅ>1=]F+3�Æd9$ÇÈF%>$Ç^>BA$FÉC6ÇLÊ4F+Ê�Æ<�=?>BA1Fµ=?9$3�Æ<Ä5�>17�Æ0F%D4<'3+3�<Da un puntodi vistaclassicoun sistemadi Ë particelletra di loro interagenti

vienedescrittoin ambitonon relativistico dalle coordinatecanoniche,per esempiole coordinater Y e gli impulsi p Y , con _ = 1 S 2 S N'N'N S Ë . Il potenzialedi interazionesolitamentevieneassuntofunzionedellecoordinatedi duesoleparticelle,in quantosi ritiene,fino aprovacontraria,chele forzesianoprincipalmenteforzea duecorpi.Pertantola hamiltonianaclassicarisultaJ

=�¤ Y =1

M 2Y2G + 1

2

¤ Y Ì=\ H(r Y S r \ ) S (2 N 1)

dovesi eimmaginatocheleparticellesianotutteidentichetradi loro equindiabbianotutte la stessamassaG . Nella (2.1) il terminedi potenzialecoinvolge la sommasututtele Ë ( Ë I 1)Í 2 possibilicoppiedistintedi particelle.

Il passaggioalla formulazionequantisticaavvienein modonaturalesecondoilmetododella quantizzazionecanonica, reinterpretandocioe le variabili dinamicheclassichein termini di operatorie imponendole opportuneregoledi commutazione.In particolare,occorretenerepresentechele variabili dinamichechesi riferisconoa particellediverse,comela posizionee l’impulso, descrivono gradi di liberta in-dipendenti;percio i corrispondentioperatori,cheagisconosuvariabili indipendenti,commutanofra di loro. Invece per la posizionee l’impulso relativi a una dataparticellasi devonoimporrele usualiregoledi commutazione.Quindi,si deveavere

[ X Y S M \EÎ ] = _ -`ba Y \ S [ Ï Y S M \EÐ ] = _ -`ba Y \ S [ Ñ Y S M \4Ò ] = _ -`ba Y \ S (2 N 2)

mentretutti gli altri commutatoritra operatoridi posizionee di impulsosi annul-lano. Naturalmente,nella rappresentazionedelleposizionil’operatoredi posizionenella direzioneX per l’ _ –esimaparticella, X Y , e un operatoremoltiplicativo, mentrel’operatoredi impulsonelladirezioneX e unoperatorederivativo: M Y Î = I _ -`ZÓ Í Ó X Y .

Lo statoassociatoal sistemaeunelementodellospaziodi Hilbert Ô cherisultail prodottodirettodegli spazidi Hilbert di singolaparticella:

395

�� !�"

Fig. 2.1.A causadelprincipiodi indeterminazioneognipuntoall’internodellacellaelementaredello spaziodellefasi rappresentain modolegittimo l’atto di motodellaparticellaa un certoistantee si perdedefinizionedella traiettoriadescrittanello spaziodelle fasi duranteil suomoto. ÕRÖÅ×

=Õ1 S 2 S N'N'N S Ë ×�Ø Ô = Ô (1)ÙÚÔ (2)ÙÛN'N'N'ÙÚÔ ( Ë ) N (2 N 3)

Il suo rappresentativo nella rappresentazionedelle posizioni, e una funzionedellecoordinater1 S r2 S N'N'N S r � ,Ö

(r1 S r2 S N'N'N S r � ) = Ü r1 S r2 S N'N'N S r � Õ1 S 2 S N'N'N S Ë × S (2 N 4)

cheperragioniinterpretativedeverisultareaquadratosommabile,cioeappartenenteallo spaziodelle funzioni

ÖÝØßÞ 2(� � 3 � ). Infatti cosı si puo attribuire alla quantitaÕRÖ

(r1 S r2 S N'N'N S r � )Õ 2 à r1

à r2 N'N'N à r � il significatodi unaprobabilita di presenzaper leË particelle. Tuttavia, contrariamentea quantosuccedenella meccanicaclassica,nella trattazionequantisticale particelle, tutte identichetra di loro, non sonopiudistinguibili singolarmente.Infatti classicamentesi puo seguireil motodi ciascunaparticella,descrittadallaposizioner edall’impulsop, rappresentandolanellospaziodellefasiconun puntodi coordinate(r S p). La traiettoriapercorsadal puntorappre-sentativo dellaparticella _ -esimae perfettamentedistinguibile,in lineadi principio,daogni altra traiettoriarelativa alle altreparticelle. In unateoriaquantisticasi puoanalogamentepensareadunospazio delle fasi.Perodevevalereil principiodi indeter-minazione.Cio significachenonsi puo piu associareunpuntodellospaziodellefasiall’atto di moto istantaneodellaparticella;piuttostosi deve pensarea un volumettodi dimensioni á r â½á p ã ` 3, entro il qualeogni puntopuo essererappresentativodellaparticellain esame.Statidel sistemaquantistico,chesonorappresentatidaunpuntodello spaziodelle fasiall’interno dello stessovolumetto á r â�á p, sonotra diloro indistinguibili (fig. 2.1). La perditadi significatodella traiettoriaindividuale

396

¾ ��¡� �+��¿��¿1�À��*c¿Á��0��)��Z�� ´�¡�� "nellospaziodellefasirendeindistinguibili le particelleidentichein meccanicaquan-tistica. Percio si puo solodire che

ÕRÖ(r1 S r2 S N'N'N S r � )

Õ 2 à r1à r2 N'N'N à r � rappresentala

probabilita congiuntadi trovareunaparticellanell’elementodi volume à r1, un’altraparticellanell’elementodi volume à r2, ecc. Inoltre questaindistinguibilita imponedei requisitiaddizionalialla

Öcheverrannodiscussineiprossimiparagrafi.

L’evoluzionetemporaledel sistemasi ottienefacendodipenderelo statodalparametrotempoä eimponendochelo statoobbediscaall’equazionedi Schrodinger,in cui la hamiltonianaorae datadalla(2.1):_ -` ÓÓ ä Ö (r1 S r2 S N'N'N S r �ÁS ä ) =

J Ö(r1 S r2 S N'N'N S r �S ä ) N (2 N 5)

La soluzionedi questaequazionenonefacilee,in ultimaanalisi,lo studiodelproble-maamolti corpi consisteproprionell’esplorarepossibilimetodidi approssimazioneche,a secondadei casi,si presentanomigliori per trovare la soluzionedella (2.5)o addiritturaper aggirareil problemastessorinunciandoalla conoscenzacompletadella

Ö.

Un casoparticolarmentesemplice,ma illuminante per gli sviluppi possibili,e costituito dal sistemaidealedi Ë particellenon interagenti. In questocasolahamiltoniana(2.1) diventaunahamiltoniana

J0, sommadi Ë hamiltoniane

J Y diparticellasingola,ciascunaagentesulle variabili della solaparticella _ –esima. Lahamiltoniana

J Y della _ –esimaparticellaeeventualmentesomma,oltrechedellasuaenergiacinetica,anchedi un’energiapotenziale,å Y (r Y ), dovutaa uncampoesterno:J

0 =�¤ Y =1

J Y =�¤ Y =1 æ M 2Y

2G + å Y (r Y ) çÀN (2 N 6)

Il fattocheJ

0 siasommadi contributi indipendentipermettela ricercadellesoluzionidella(2.5) in formaa variabili separate,cioeÖ

(r1 S r2 S N'N'N S r �ÅS ä ) = è (r1 S ä ) è (r2 S ä ) N'N'N4è (r �ÁS ä ) N (2 N 7)

Si inseriscala (2.7)nella(2.5)esi dividanoamboi membridella(2.5)perla funzio-ne

Ö(r1 S r2 S N'N'N S r �ÁS ä ) scritta nella forma (2.7). Si riescecosı a spezzarel’unica

equazionedi Schrodinger(2.5) in unsistemadi Ë equazioniindipendenti,_ -` Ó è (r Y S ä )Ó ä =J Y è (r Y S ä ) ( _ = 1 S 2 S N'N'N S Ë ) S (2 N 8)

chesi riferisconociascunaaunasolaparticella.La soluzionegeneraledelproblemaperla hamiltoniana(2.6)e unasovrapposizionedi funzionidi tipo (2.7),provenientidallasoluzionedel sistemadi equazioni(2.8).

In generale,quandonon e possibiletrascurarel’interazionetra le particelle,cisi puo semprericondurreallo studiodi unahamiltonianadel tipo (2.6)perparticellenon interagenti,pur di scegliere un potenzialedi particellasingola å Y opportuno.

397

��!�� "Infatti, aggiungendoe togliendoil contributodi å Y allahamiltonianaoriginale(2.1),la si puo riscriverenellaformaJ

=�¤ Y =1 é M 2Y

2G + åêY�ë + é 12

¤ Y Ì=\ H Y \ìI �¤ Y =1

åêY0ëí J0 +

HÈî4ï(ð N (2 N 9)

Il primo contributo nella (2.9) e unahamiltonianadi particelleindipendenti,comela (2.6); il secondocontributo e un’interazioneresiduatra le particelle,che,perunasceltagiudiziosadel potenzialeausiliario å Y , puo diventareancheopportunamente“piccola”. Pertanto

H î4ï(ðpuo veniretrattatocomeunaperturbazionealla soluzione

del problemaa particelleindipendenti.fhg4i4jlk6m+nÅ �q+oSi suppongaadesempioche

¥ © siaasimmetriasferica.Allora

[

s © } « 2© ] = [

s © } « ©�ñ ] = 0 (2 z 10)

e le equazioniagli autovalori perle

s © ,s © ¼ ��¡r�ò =� ( © )�� ¼ ��¡r�ò } (2 z 11)

si possonorisolvereconfunzioni la cui parteangolareedatadallearmonichesferiche:ór ¼ ��¡r�ò =

� �� ( w ) � � | ( � � ) z (2 z 12)

Percio le funzioni cherisolvonoil sistema(2.8)sonoô(r © }�õ ) =

� �c� ( w © ) � � | ( � © � © ) � � ©¡ö ( ÷ )ø�ù�ú � -û (2 z 13)

e la (2.7)si scriveü(r1 } r2 } z�zEz } r £ }�õ ) = � � ©¡ö ú � -ûÉý © � �c� ( w © ) � � | ( � © � © ) } (2 z 14)

dove l’energia del sistemae datadalla sommadelleenergie dei livelli ( �� ) in cui sonostatesistematele � particelle: �

= £¤ © =1

� ( © )�c� z (2 z 15)

Volendooraconsiderarel’effetto dell’interazioneresidua�6þ ÿ�� , si puo utilizzarela basedelle funzioni ottenutedal prodottodi funzioni di particellasingola(2.11)o (2.12)perdiagonalizzarel’intera hamiltoniana(2.9). Il primo terminedella(2.9) e ovviamentegiadiagonale;bastaquindi diagonalizzare� þ ÿ�� sutalebase.D’altra parte � þ ÿ�� e peripotesiun operatorea due corpi, per cui gli elementidi matricedi �6þ ÿ�� coinvolgono solo lefunzioni di dueparticelle.Seperesempioanche�6þ ÿ�� e asimmetriasferica,

398

� �� !�"l��¿��Ä��$��¿$� � �$��)�� *�� ;þ ÿ�� = 1

2

¤ ©��= � �6þ ÿ�� ( ¼ r © y r � ¼ ) } (2 z 16)

gli elementidi matricenecessarihannola seguentestruttura:ó � 1 � 1 r 1 } � 2 � 2 r 2 ¼ �6þ ÿ�� ( ¼ r © y r � ¼ ) ¼ � t1 � t1 r t1 } � t2 � t2 r t

2 ò z (2 z 17)

L’estensionedelleconsiderazioniprecedentie immediataal casoin cui ci siadipen-denzadallo spin. Se

¥ © contieneancheun terminedipendentedallo spin, comeperesempioun terminedi interazionespin–orbita,con

[¥ © }�� 2© ] = 0 } (2 z 18)

dove J © = L © + s © , si puo ripeterelo stessoprocedimentoconsiderandostatidi particellasingoladel tipo ¼ ��r�ò =

¤| ù |� ( ��r � r�� ¼ ��r ) ¼ ��¡r � ò ¼ �r��4ò z (2 z 19)

Pero, considerandolo spindelle particelle,si accentuanoalcuni problemiconnessiconl’indistinguibilit aquantisticadelleparticelleidentichechevengonodiscussineiprossimiparagrafi.

,.-��;-��>$7'Æ0F%D4<'3+3�<ÁF0A;<�Ç�Æ0F%D��È<p<�5^7�F+Ç^D'F"5^F%9@A1F��>1C;3!FDa un puntodi vistaclassicoe possibileseguireil motodelle Ë particelleche

costituisconoil sistemain esameosservandol’evoluzionetemporaledellecoordinatecanonichedi ciascunaparticella. Classicamenteogni particella conserva la suaindividualita ed e perfettamentedistinguibile dalle altre attraverso la conoscenzasimultanea,istanteper istante,dellasuaposizionee del suoimpulso. In meccanicaquantisticacio non e piu possibile: in conseguenzadella descrizioneondulatoriaedelle relazionidi indeterminazione,le particelleidentichein meccanicaquantisticanonsonopiu distinguibili e si puo solodarela probabilita congiuntadi trovareunaparticellain r1, unasecondaparticellain r2, unaterzain r3, ecc.

La hamiltoniana(2.1) di un sistemadi particelle identiche,sia classicachequantistica,e invarianteper lo scambiodi dueparticelle: secioe W Y�� e l’operatorechescambial’ _ –esimaparticellaconla � –esima,risulta

[ W Y�� S J ] = 0 N (3 N 1)

Questofattohain meccanicaquantisticala rilevanteconseguenzachegli autostatidiJdevonoesseresimultaneamenteancheautostatidi W Y�� , con _ S � = 1 S 2 S N'N'N S Ë .

Si consideripersemplicitaunsistemacostituitodaduesoleparticelleidentiche.Allora lo statocorrispondentedeveessereautostatodi W 12:

399

�� !�"W 12

ÕRÖ(1 S 2)

×= � ÕRÖ (1 S 2)

×=

ÕRÖ(2 S 1)

× N (3 N 2)

Iterandol’applicazionedi W 12, si haW 212

ÕRÖ(1 S 2)

×= � 2 ÕRÖ (1 S 2)

×í ÕRÖ(1 S 2)

× N (3 N 3)

Percio deveessere � 2 = 1 S (3 N 4)

cioe, a secondadella simmetriarispettoallo scambiodelle dueparticelle,si deveavere � =

�+1 S perstatisimmetrici,I 1 S perstatiantisimmetrici.

(3 N 5)

In termini di funzioni, la (3.5) imponefunzioni pari o funzioni disparirispettoalloscambiodellecoordinatedelledueparticelle.

Sesi partedaunostatochenonhaproprietadefinitarispettoallo scambiodelledueparticelle,

ÕRÖ��(1 S 2)

×, e semprepossibilecostruireunostatosimmetrico,

ÕRÖ ð ×, e

unostatoantisimmetrico,ÕRÖ��$×

, ottenutirispettivamentecomesommaedifferenzadiÕRÖ �(1 S 2)

×edi

ÕRÖ��(1 S 2)

× í W 12ÕRÖ��

(1 S 2)×:! ÕRÖ ð ×

=ÕRÖ��

(1 S 2)×

+ÕRÖ��

(1 S 2)× SÕRÖ��1×

=ÕRÖ��

(1 S 2)× I ÕRÖ��

(1 S 2)× N (3 N 6)

Infatti W 12ÕRÖ ð ×

= W 12 " ÕRÖ�� (1 S 2)×

+ÕRÖ��#�

(1 S 2)×%$

=ÕRÖ ��

(1 S 2)×

+ÕRÖ �

(1 S 2)× SW 12

ÕRÖ��$×= W 12 " ÕRÖ�� (1 S 2)

× I ÕRÖ��(1 S 2)

× $=

ÕRÖ��#�(1 S 2)

× I ÕRÖ��(1 S 2)

× Scioe ! W 12

ÕRÖ ð ×=

ÕRÖ ð × SW 12ÕRÖ ��×

= I ÕRÖ��$× N (3 N 7)

Lo spaziodi Hilbert Ô per gli stati del sistemavienecosı decompostoin duesottospazicorrispondentiagli statisimmetricieagli statiantisimmetricirispettoalloscambiodelle due particelle, rispettivamenteÔ ð

e Ô � : Ô = Ô ð'& Ô � . I duesottospazisonotra di loro ortogonalie, datal’invarianzadellahamiltonianarispetto

400

� �� !�"l��¿��Ä��$��¿$� � �$��)�� *�� a talescambio,none possibileconnetterei duesottospazimediantela hamiltonianastessa: Ü Ö(�ÈÕ J ÕRÖ ð ×

= 0 N (3 N 8)

Cio significacheseunsistemaedescrittoauncertoistantedaunostatoconsimme-tria definitarispettoa W 12, l’evoluzionetemporaleconserva tale simmetria. Perciorisultanoconsentitisolosistemidi particelleidentichedescrittio dastatisimmetricio dastatiantisimmetrici.

In naturasi verificaeffettivamentequestasituazione.Tuttele particelleelemen-tari fin qui conosciutesi possonoclassificarein duecategorie: quelleconspinintero(compresolo zero) sonoassociatea stati simmetrici, quelle con spin seminteroastatiantisimmetrici.In particolare,i costituentifondamentalidellafisicasubnuclearequali i leptoni (elettrone,leptone ) , leptone * e associatineutrini) e i quark (nellevarianti + , à , , , - , ä e . ) sonotutti aspin 1

2, mentrei mediatoridellaforzaelettrodebole(fotonee particelle /10 e 2 0) e della forza forte nucleare(gluoni) sonotutti a spinintero. Anchealivellodellafisicanuclearei protoniei neutroniall’internodelnucleoatomicosonoparticellea spin 1

2 cheinteragisconoin primaapprossimazionescam-biandosiunpione,chehaspinzero.Sistemipiu complessi,comei nucleiatomici,gliatomie le molecole,hannounospintotalecherisultacomunquedall’addizionevet-torialedi momentiangolariorbitali (interi) e di spin(seminteri)dei loro costituenti:percio anchein questocasosi ottengonosemprespintotali interi o seminteri.

Datocheleproprietastatistichedegli statidelleparticelleaspininterosonostatestudiatedaBosee Einstein9, mentrequellerelative a particelleconspinseminterosonostatestudiatedaFermi e Dirac 10, si parladi statisticadi Bose–Einsteinper ibosonie di statisticadi Fermi–Dirac per i fermioni per indicarerispettivamenteleparticelleaspininteroe quelleaspinsemintero.

Allora, indicandocon 3 il complessodei numeriquanticichecaratterizzanolostatodi unaparticellacon spin , , in accordocon la (3.6), gli stati di dueparticelleidentichepossonoavereunadelledueseguentiforme:+ ð (1 S 2) =

1Ë [ +54 1(r1 S , 1) +64 2(r2 S , 2) + +64 1(r2 S , 2) +54 2(r1 S , 1)] S (3 N 9)

+ � (1 S 2) =1Ë [ +54 1(r1 S , 1) +64 2(r2 S , 2) I +64 1(r2 S , 2) +54 2(r1 S , 1)] S (3 N 10)

dove il coefficientedi normalizzazioneË valeË =

�2 S per 3 1 = 3 2,7

2 S per 3 1 8= 3 2.(3 N 11)

9 Cfr. n. 1 p. 388.10 Cfr. n. 2 p. 388.

401

��!�� "Ovviamenteduebosonidevonoesseredescrittidafunzionidi tipo(3.9)eduefermionidafunzionidi tipo (3.10). E importanterilevarechese3 1 = 3 2 = 3 S (3 N 12)

cioei numeriquanticidelleduefunzionidi particellasingolasonogli stessi,si verifica+ ð (1 S 2) = +64 (r1 S , 1) +64 (r2 S , 2) S (3 N 13)+ � (1 S 2) = 0 N (3 N 14)

In particolare,la (3.14) mostral’impossibilita di attribuire lo stessostato a duefermioni: cio e notocomeprincipio di esclusionedi Pauli 11.

Leconsiderazionisvoltefinorapossonoesseresubitoestesealcasodi unsistemadi Ë particelle. Nel casodi bosoni, lo statodel sistemadeve risultaretotalmentesimmetricorispettoallo scambiodi dueparticellequalsiasi,mentrelo statodi unsistemadi fermionideverisultaretotalmenteantisimmetrico. L’estensionedella(3.9)e della(3.10)percio e datadalleseguentifunzioni:+ ð (1 S 2 S N'N'N S Ë ) =

17 Ë !

¤:9 W�; +64 1(r1 , 1) N'N'N#+54=< (r � , � ) > S (3 N 15)+ � (1 S 2 S N'N'N S Ë ) =17 Ë !

¤ 9@? 9 WA; +54 1(r1 , 1) N'N'N#+54 < (r � , � ) > S (3 N 16)

dove W indicala permutazione,pario disparirispettoaquelladi base(1 S 2 S N'N'N�Ë ), daprendersinelcasoantisimmetricorispettivamentecol segno+ o col segno I indicatoda? 9

.I vari termini che intervengononella (3.16) si possonoricavare anchedallo

sviluppodi undeterminante,dettodeterminantedi Slater12, costruitoconle funzionidi particellasingola:

+ � (1 S 2 S N'N'N S Ë ) =17 Ë ! BBBBBBB

+54 1(r1 , 1) +54 1(r2 , 2) N'N'N +64 1(r � , � )+54 2(r1 , 1) +54 2(r2 , 2) N'N'N +64 2(r � , � )N'N'N N'N'N N'N'N N'N'N+54=< (r1 , 1) +54=< (r2 , 2) N'N'NC+64=< (r � , � )BBBBBBBN (3 N 17)

La forma a determinantedi Slaterpermettedi verificarea vista il soddisfacimentodelprincipiodi Pauli, perche il determinantesi azzeraautomaticamenteseduerighesonouguali.

11 Cfr. n. 4 p. 388.12 JohnClarke Slater(1900–1976):The Theoryof Complex Spectra [Teoria degli spettri complessi],PhysicalReview 34 (1929)1293–1322.La funzionescrittain formadi determinantefu pero usataper la primavolta daDirac (On the theoryofquantummechanics,loc. cit. (n. 2 p. 388)).

402

� �� "l��¿��§�$��¿1� � �$��b�� * � �fhg4i4jlk6m+nED q+oIn molti casisipresentanosistemidensidi fermionitrai qualisi verificaunadebole

interazionereciproca.Questoe quantosuccedein primaapprossimazioneagli elettronidi conduzionein unmetallooppureai nucleoniall’internodellamaterianucleare.Alloragli effetti delprincipiodi Pauli diventanodominantineldefinirela dinamicadi quellochesi chiamaun gasdi Fermi.

Si suppongadi avere � fermioni di spin = 12 , non interagentie dispostiin una

scatolacubicadi volume� = « 3. Lahamiltoniana

s0 della(2.6)elasommadeicontributi

indipendentidelleenergiecinetichedegli � fermioni. Gli autostatidi ognifermionesonoquindi ottenibili estendendoa tredimensionii risultati dell’EsercizioIV.2.13,� �GF�³ �IH ³ �GJ (r) = ¸ 2« º 3 � 2

sin(v �KFML ) sin(v �IHMN ) sin(v �KJPO ) z (3 z 18)

Gli autovalori di energia perogni fermionesono�=

-� 2 v 2

2r } (3 z 19)

dovek hacomponentivGQ = � Q �^��« , vMR = � R �^�'« , v ñ = � ñ �^��« , con � Q , � R e � ñ numeriinteri positivi. L’energia dello statofondamentalecorrispondea quella che si ottienesistemandogli � fermioni nei livelli (3.19) piu bassirispettandoil principio di Pauli:cio significapermettereche ogni livello, a partire dal piu basso,sia occupatosolo dadue fermioni, uno con lo spin paralleloe uno con lo spin antiparalleloa un’assegnatadirezione,fino a raggiungereil livello massimo�TS

=-� 2 v 2S2r } (3 z 20)

chevieneindicatocomeenergia o livello di Fermi e a cui corrispondeun impulsodettomomentodi Fermi, v S . Essovienefissatodunquedallacondizione� =

¤¦VU�¦#W 2 z (3 z 21)

Nel limite per « ¬YX , la (3.21)diventa(cfr. eq. (A.73))� = 2�

(2� )3 Z ¦�UÈ¦#W\[ k } (3 z 22)

cioe � = � v 3S3� 2

z (3 z 23)

Il sistemadunquesi disponeconunadensitamediadi fermioni,]0 =

� � = v 3S3� 2

} (3 z 24)

determinatadall’energia di Fermi(3.20).Percio si ha

403

��!�� "�^S

=-� 2

2r (3� 2 ]0)

2 � 3 z (3 z 25)

L’energia totalesi ottienesommandoi contributi cheprovengonodaivari livelli occupatifino al livello di Fermi: �

0 = 2�

(2� )3 Z ¦�UÈ¦ W [ k -� 2 v 2

2r=

35

-� 2 v 2S2r � z (3 z 26)

A questaenergiacorrispondeunadensita di energia perfermioneparia_0 =

�0� =

35�^S z (3 z 27)

Nello spaziodegli impulsi risultacosı definitala sfera di Fermi, di raggio v S , entrola qualetutti gli statirisultanooccupatinellostatofondamentale(3.26). Gli statieccitatidel sistemadi fermioni si ottengonopromuovendodi volta in volta un fermionein livellipiu alti, compatibilmentecol principio di Pauli: il primo livello eccitato,per esempio,vienegeneratopopolandounlivello esternoallasferadi Fermi( va` v S ) conunfermionesottrattoad essae producendocontemporaneamenteuna lacuna, nella sferadi Fermi.Talestatovienepercio indicatocomeunostatoa 1-particella–1-lacuna.fhg4i4jlk6m+nED q¡

Si suppongadi voleretenerecontodell’interazionereciprocatra i fermioni inun gasdi Fermi. Secondola (2.9),si puo pensaredi limitare la trattazioneagli effetti diun potenziale

¥(r) cheagiscesul singolofermionecomerisultatodella presenzadegli

altri, trascurandoperora l’interazioneresidua�6þ ÿ�� . Allora, nello schemadell’Esempioprecedentesi deve inserireancheun terminedi energia potenziale;essoha l’effetto direnderedipendentidalla posizioner sia la densita ] (r), sia l’impulso di Fermi v S (r).Invecedella(3.24)si devepercio adottarela relazione] (r) = v 3S (r)

3� 2(3 z 28)

eal postodella(3.20)si ha �^S=

-� 2 v 2S (r)2r +

¥(r) z (3 z 29)

Dunque,in generale,all’energia�

( ` ¥) si ottiene] (r) =

13� 2 ¸ 2r

-� 2 [� y ¥

(r)]º 3 � 2 z (3 z 30)

Si trattadi determinare¥

(r). Si suppongadi avereachefareconungasdi elettroni,qualipossonoesserein primaapprossimazionegli elettroniin unatomopesanteo in unamolecolao in un solido. Se la loro densita non e uniforme,si generanocampidovuti

404

� �� "l��¿��§�$��¿1� � �$��b�� * � �alla distribuzionedi caricaspaziale,il cui effetto puo essererappresentatosul singoloelettronedaun potenziale

¥(r) chesoddisfa l’equazionedi Poisson:b 2 ¥ (r) = y 4� � 2 ] (r) z (3 z 31)

D’altra partela densita ] (r) e determinataa suavolta dal potenzialetramitela (3.30): siponedunqueun problemadi compatibilita tra la (3.30)e la (3.31)cheimponeb 2 ¥ (r) = y 4� 2

3� ¸ 2r-� 2 [

� y ¥(r)]

º 3 � 2 z (3 z 32)

La (3.32)e l’ equazionedi Thomas–Fermi 13. La suaintegrazione(numerica)deveessereeseguita con opportunecondizionial contorno. Peresempioin un modellodi atomoasimmetriasfericaconcarica c � si puo porre¥

(r) ¬ � y c � 2 � w } per w�¬ 0,0 } per w�¬YX .

(3 z 33)

I risultati del metododi Thomas–Fermisonoin generaleun buonpuntodi partenzaperapprossimazionisuccessive. Tuttavia il metodohaunsuolimite intrinseconell’ipotesidiunadensita localechenondevevariaretropporapidamenteconla posizione.fhg4i4jlk6m+nED qD

In questoEsempiosi vuoleaccennareaunapossibiledescrizionedi un’assembleadi bosonio di fermioni mediantestati in unospazioastratto,dettospaziodi Fock 14, chepermettedi tenerecontoautomaticamentedelprincipiodi Pauli edellecorretteproprietadi simmetria.

I risultatidell’Esercizio1.1,validi peruninsiemedi � oscillatoriarmoniciidentici,suggerisconol’idea che si possaindividuareunivocamentelo statodel sistemacom-plessivo assegnandoil numero � ¦

di quanti di energia che competonoa ogni ecci-tazionedi fonone.Il genericoautostatodellahamiltoniana(1.30)e infatti definitopropriodall’insiemedi valori d�� ¦Me

, autovalori ciascunodell’operatore¢ ·¦ ¢ ¦ checontail numerodi quantidi energiaattribuiti al v -esimofonone,esattamentecomesuccedeperil singolooscillatorenella rappresentazionedell’operatorenumero ¢ · ¢ (cfr. paragrafoVI.2). Sipossonoalloraintrodurregli stati ¼ � 1 } � 2 } z�zEz } � ¦ } z4z�z ò perrappresentareil sistemadegli� oscillatori. Essirisultanoautostatidegli operatorinumero ¢ ·¦ ¢ ¦ ,¢ ·¦ ¢ ¦ ¼ � 1 } � 2 } z4z4z } � ¦ } z4z4z ò = � ¦ ¼ � 1 } � 2 } z4z4z } � ¦ } z�z4z ò z (3 z 34)

L’azionedegli operatoridi creazione,¢ ·¦ , edi distruzione,¢ ¦ , suquestistatihal’effetto,rispettivamente,di innalzareo di diminuire di una unita il valore del corrispondentenumero di occupazione� ¦

:¢ ·¦ ¼ � 1 } � 2 } z4z4z } � ¦ } z4z4z ò =¨ � ¦

+ 1 ¼ � 1 } � 2 } z�zEz } � ¦+ 1 } z�zEz ò }¢ ¦ ¼ � 1 } � 2 } z4z4z } � ¦ } z4z4z ò =

¨ � ¦ ¼ � 1 } � 2 } z�zEz } � ¦ y 1 } z4z4z ò } (3 z 35)

13 Cfr. n. 5 p. 389.14 V.A. Fock: KonfigurationsraumundzweiteQuantelung[Spaziodelleconfigurazionie secondaquan-tizzazione], Zeitschrift fur Physik75 (1932)622–647.

405

��!�� "dove i fattori

¨ � ¦+ 1 e

¨ � ¦sonointrodotti pernormalizzazionecomenelle(VI.2.16)

e (VI.2.17).Questoprocedimentopuo essereestesoa un qualsiasisistemadi bosoniidentici

noninteragenti.Unavolta definitolo statodelgenericobosoneattraversol’insieme f dinumeriquanticinecessari,si definisconogli operatoridi creazione,¢ ·g , e di distruzione,¢ g , conle seguentiregoledi commutazione:

[ ¢ g } ¢ g ¯ ] = [ ¢ ·g } ¢ ·g ¯ ] = 0 } [ ¢ g } ¢ ·g ¯ ] =± gMg ¯ z (3 z 36)

La basedegli statinellospaziodi Fockvienecostruitaassegnandoil numerodi bosoni� gcheoccupanoil livello individuatodall’insiemedi numeriquantici f . Questistati sonoalloraautostatidegli operatorinumero,� g = ¢ ·g ¢ g } (3 z 37)

cioe � g ¼ � 1 } � 2 } z4z4z } � g } zEz�z ò = � g ¼ � 1 } � 2 } z4z4z } � g } zEz�z ò z (3 z 38)

In generalerisulta

[ � g } ¢ g ¯ ] = y ¢ g ± gMg ¯ } [ � g } ¢ ·g ¯ ] = ¢ ·g ± gGg ¯ z (3 z 39)

Cosı lo statodi vuoto, lo statocioe senza“particelle” e¼ 0ò = ¼ 0 } 0 } zEz�z ò } (3 z 40)

mentregli statiaunaparticellasonodel tipo¢ ·g ¼ 0ò = ¼ 0 } 0 } z�zEz } 1 } zEz�z ò } (3 z 41)

in cui la singolaparticellapresenteviene “creata” nel livello individuato dai numeriquantici rappresentatida f . Ovviamentenon esistealtra limitazione sui valori di � gse non quella che sianonumeri interi non negativi. Inoltre, per l’indistinguibilit a deibosoni,si puo solodire quantisianoi bosoninello stato f , manonquali: nello spaziodelle posizioni, gli stati (3.38) devono infatti corrisponderealle funzioni (3.15). Conun’estensionedellaprescrizione(VI.1.32) si puo alloradisporrel’identificazione� � (1 } 2 } z4z4z } � ) =

ór1 } r2 } zEz�z } r £ ¼ � 1 } � 2 } zEz�z } � g } z�zEz ò z (3 z 42)

Si assumeinfine chel’insiemedi tutti i possibilistatidi tipo (3.38)costituiscaunabasecompletanello spaziodi Fock in mododaessereutilmenteadottataanchequandopoi siintroducanointerazionitra i bosoni.

Ancheperi fermionisi puo definireunospaziodi Fock in modoanalogo.Orapero,peril principiodi Pauli, i numeridi occupazione� g possonosoloessereugualia0oppurea1: � g ¼ � 1 } � 2 } z4z4z } � g } z4z4z ò = � g ¼ � 1 } � 2 } z�z4z } � g } zEz�z ò } � g = 0 } 1 z (3 z 43)

Ci si rendesubitocontochesesiadottanole regoledi commutazione(3.36)e(3.39)nonsiriesceasoddisfarequestacondizione.Infatti, sesi vuoleaggiungereunaparticellaauno

406

� �� "l��¿��§�$��¿1� � �$��b�� * � �statodi tipo (3.41),ponendolasullostessolivello giaoccupatodallaprima,nelloschemadi questeregoledi commutazionesi trovachelo statoottenutoeautostatodell’operatorenumero� g appartenenteall’autovalore2:� g ¢ ·g h ¢ ·g ¼ 0ò�i = ¢ ·g ( � g + 1)

h ¢ ·g ¼ 0ò�i = 2 ¢ ·g�h ¢ ·g ¼ 0ò%i zNel casodi fermioni si dovrebbetrovareinveceun risultatoidenticamentenullo. Cio eil casose,invecedelleregoledi commutazione(3.36),si impongonopiuttostoregoledianticommutazionetra gli operatoridi creazioneedi distruzione,d�¢ g } ¢ g ¯ e = d�¢ ·g } ¢ ·g ¯ e = 0 } d�¢ g } ¢ ·g ¯ e =

± gMg ¯ } (3 z 44)

dove il simbolo d�j } � elk j � + � j } (3 z 45)

rappresental’ anticommutatore tragli operatorij e � .Le (3.44) garantisconoancorala validita delle (3.39). Graziealle regole di anti-

commutazione(3.44)si imponeche ¢ ·g ¢ ·g applicatoallo statodi vuoto facciazerocosıdaproibire lo statoconduefermioni identici nello stessolivello. Invecelo statodi duefermioni cambiasegnoperlo scambiodell’ordineconcui si creanoi duefermioni:¢ ·g ¢ ·g ¯ ¼ 0ò = y ¢ ·g ¯ ¢ ·g ¼ 0ò z (3 z 46)

Le (3.44)dunquepermettonodi soddisfareil principio di Pauli.Ancheper i fermioni, datala loro indistinguibilita, si puo solo dire quanti siano

nello stato f , ma non quali: nello spaziodelleposizioni,gli stati (3.43)devono infatticorrisponderealle funzioni (3.16),disponendol’identificazione� ª (1 } 2 } z4z4z } � ) =

ór1 } r2 } z�zEz } r £ ¼ � 1 } � 2 } z�zEz } � g } zEz�z ò z (3 z 47)

Si assumeinfine cheanchel’insiemedi tutti i possibilistatidi tipo (3.43)costituiscaunabasecompletanello spaziodi Fock per i fermioni, in mododaessereutilmenteadottataanchequandopoi si introducanointerazionitra i fermioni.fhg4i4jlk6m+nED qnm

Le diverseproprieta di simmetriarispettoallo scambiodi dueparticellechecaratterizzanol’insiemedi bosonie quello di fermioni si riflettono anchein un diversocomportamentodi tali insiemi in equilibrio termicocon l’ambientealla temperaturao .Persemplicitasi suppongadi avereachefareconungasperfettodi � particelleidentichenoninteragenti.Comenell’EsempioVII.7.1, perdescrivereil sistemadaunpuntodi vistaquantisticosi puo definireun operatoredensita] = c � 1 � �=pKq } (3 z 48)

dove r = 1� v o , con v costantedi Boltzmann,ec = Tr � �spKq (3 z 49)

407

��!�� "e la funzione di partizionequantisticache normalizzala ] : Tr ] = 1. L’operatorehamiltoniano

snella(3.48)e la hamiltonianadelleparticelledelgas:sesi indicanocon_ g le energie dei livelli f di particellasingola,si puo scriveres

=¤ g _ g � g } (3 z 50)

dove � g = ¢ ·g ¢ g (3 z 51)

e l’operatorenumerochecontale particellenel livello f ; gli operatoridi creazionee didistruzionesoddisfanoregoledi commutazione,(3.36),o di anticommutazione,(3.44),asecondachesiaabbiaun gasdi bosonio di fermioni. La funzionedi partizionediventaallora c =

¤ g � �=pGtvu � u z (3 z 52)

Il numeromediodi particellecheoccupanoogni livello risultaó � g ò = Tr ( ] � g )=

1c Trh � �spKq]¢ ·g ¢ g i } (3 z 53)

Perlavalutazionedellatraccianella (3.53)si faricorsoauncasoparticolaredella relazione(IV.1.47), �Vw�� w = �Vx�� } (3 z 54)

chevaletuttele volte chesia

[ j } � ] = y �Åz (3 z 55)

Identificandoj con y r s e � con ¢ ·g , perle (3.39)risulta y = y r _ g . Percioó � g ò =1c � �=pKt u Tr

h ¢ ·g � �=pGq ¢ g i=

1c � �=pKt u Trh � �spKq?¢ g ¢ ·g i

=1c � �=pKtzu Tr " � �=pKq (1 {L¢ ·g ¢ g ) $ }

dove, in accordocon le (3.36) e (3.44), il segno + ( y ) vale per i bosoni (fermioni).Iterandoil procedimentoconla (3.54),si ottienelo sviluppoó � g ò = � �spKt u { � � 2pGt u + � � 3pKt u { z�z4z }cherisultaunaseriegeometricadi ragione{ � �=pGt u . Quindi in definitivasi trovaó � g ò =

1� pGt u�| 1} (3 z 56)

408

� �� "l��¿��§�$��¿1� � �$��b�� * � �checonil segnonegativocoincideconla relazione(II.2.39)cheestatautilizzatadaPlanckperil gasdi fotoni echevalein generaleperungasdi bosoni,mentreil segno+ riguardail gasdi fermioni.

Similmente,perle fluttazionidi � g si ottiene} � 2g =ó � 2g ò y ó � g ò 2 = � pKt u ó � g ò 2 } (3 z 57)

cioe } � 2g =ó � g ò " ó � g ò~{ 1

$ } (3 z 58)

con il segno + ( y ) chesi riferiscea bosoni(fermioni). Si trova dunqueun risultatoinaccordocon la (II.2.41) per il gasdi fotoni e si disponeanchedi unaformulavalidaperfermioni.

Esercizio 3.1

Facendousodei risultati del precedenteEsempio,trovarel’espressionedel caloremolarea volume costanteper un gasperfettomonoatomicodi bosonie di fermioni.Confrontarei risultati conquellodell’EsempioI.2.2.fhg4i4jlk6m+nED q��

Il formalismodegli operatoridensita puo essereutilmenteimpiegato anchequando,comeperun sistemadi � particelle,lo spaziodi Hilbert e il prodottotensorialedi � spazidi Hilbert di particellasingola. In questoEsempiosi sottolineail vantaggiodell’introduzionedi unoperatoredi densitacheagiscenelsottospaziodi particellasingola:la suaconoscenzapermettedi calcolareil valoredi aspettazionedi operatoriassociatiaunaqualsiasiosservabiledel sistemachedipendadallecoordinatedi unasolaparticellaallavolta,senzabisognodi ricorrereall’interafunzioned’ondadelsistemadi � particelle,la cui determinazionee in generaleun problemamolto piu complicato. Il metodoe quipropostoperfermioni 15, mapuo essereopportunamenteestesoal casodi bosonieancheaquelloin cui il sistemasiain equilibrio termicoconun termostato16.

Data una funzione normalizzatadi � particelle,

ü(r1 } r2 } z4z4z } r £ ), si definisce

matricedensita a un corpo il seguenteintegrale:] (r1 } r t1) = Z [ r2z4z4z Z [ r £ ü

(r1 } r2 } zEz�z } r £ )

ü\�(r

t1 } r2 } z�zEz } r £ ) z (3 z 59)

Il significatofisico della matricedensita a un corpoe piu trasparentesesi assumecheü

siaun determinantedi Slatercostruitocon � funzioni di particellasingola � © (r). Inquestocasorisulta

15 A.J. Coleman: Structure of FermionDensityMatrices [Struttura delle matrici densita di fermioni],Reviews of ModernPhysics35 (1963)668–689.16 D. ter Haar: Theoryand Applicationsof the DensityMatrix [Teoria e applicazionidella matricedensita], ReportsonProgressin Physics24 (1961)304–632.

409

�� !�"] (r } r t ) =

1� £¤ © =1

� © (r) � �© (r

t) (3 z 60)

e gli elementidiagonali] (r } r) rappresentanola densita di probabilita di presenzain r diunaparticelladel sistema:si giustificacosı il nomeattribuito allamatrice] .

Si puo alloraintrodurrein generaleun operatoredensita a un corpo,] = � © ¼ °%ò�� © ó ° ¼ } (3 z 61)

in cui d ¼ °dò e e un insiemecompletoortonormaledi stati chedipendonodallevariabili diunasolaparticella.Si verificache ¼ °%ò e autostatodi ] e � © e il corrispondenteautovalore.Quandola

üe un determinantedi Slater(normalizzato)la (3.60)e la rappresentazione

matricialedell’operatoredensita ] nellospaziodelleposizioni,con� © =

OP Q 1� } °�� ,

0 } altrimenti,

(3 z 62)

e � © (r) =ór ¼ °dò .

Nellecondizioni(3.62)l’operatore� ] , oltrecheautoaggiunto,eancheidempotente,

( � ] )2 = � ] z (3 z 63)

Inoltre

Tr ] = � © � © = 1 z (3 z 64)

Invecein generale,perunarbitrariostatoantisimmetrico(normalizzato)di � parti-celle,la (3.59)e la rappresentazionematricialedi unoperatoredensitaauncorpodefinitoin (3.61), per il qualee ancoraTr ] = 1, ma 0 �� © � 1� � . Infatti, siccomela ] edefinitapositiva, deve essere� ©�� 0 }�� ° . D’altra parte,dallacondizionedi tracciauni-taria,chederiva dallanormalizzazionedella

üseguechedeve ancheessere� © � © = 1,

cioe � © � 1�(� . Percio in generalesi ha ] 2 �= ] .La conoscenzadi ] permettedi calcolareil valoredi aspettazionedi un operatore

a un corpo j = � £© =1 j © , associatoa unaqualsiasiosservabiledel sistemachedipendadallecoordinatedi unasolaparticellaallavolta:ó jÄò =

ó ü ¼ � £© =1j © ¼ ü ò

= � £© =1 Z [ r1 Z [ r2z�zEz Z [ r £ ü �

(r1 } r2 } zEz�z } r £ ) j © ü (r1 } r2 } z4z4z } r £ )

= � £© =1Tr ( ] j © ) }

cioe ó jÄò = Tr ( ] j ) z (3 z 65)

410

� ��'�$��ì�¿��^� '�G�La (3.65), valida per ogni operatorea un corpo,ha la stessastrutturaformaledell’eq.(VII.7.17).

,.-��^-��ìD4DE9�5½5^F%>$=V<'Ç�Æ0F �T� < �G�Nello studiodi un sistemadi particelleintervieneil calcolodegli elementidi

matricedell’interazione,chee stataassuntaa coppie. Percio si ha a chefareconelementidi matricetra statidi dueparticelle. Non si puo inoltre ignorareche,oltreal momentoangolareorbitale,questeparticellesonodotatedi spin. Percio occorrein generaleassegnareallo statodi due particelle i buoni numeri quantici dei varimomentiangolariedi spinchecaratterizzanolo statostesso.

Siconsiderinoinizialmentelevariepossibilitapergli statidi spindi duefermioniconspin , = 1

2. Gli statidi basepergli statidi spindi unadi tali particellesonodatidalla(IX.4.23): � í BBBB 10 BBBB S � í BBBB 01 BBBB N (4 N 1)

Corrispondentemente,si possonocostruiretrestatidi spinsimmetricieunoantisim-metricorispettoallo scambiodi duefermioni:� � (1 S 2) =

172

[

�(1)� (2) I � (2)� (1)] S (4 N 2)O¶¶¶P ¶¶¶Q � ð

1(1 S 2) =

�(1)

�(2) S� ð

0(1 S 2) =172

[

�(1)� (2) +

�(2)� (1)] S� ð��

1(1 S 2) = � (1)� (2) S (4 N 3)

dove gli indici � S , indicanoantisimmetriae simmetria,mentreil secondoindice,G ð= 0 S#� 1, serveperil momentoa distinguerei trestatisimmetrici.Lo spintotaleperi duefermioni e

S = s1 + s2 (4 N 4)

e il suomoduloquadratorisulta,perla (IX.4.11),� 2 = , 21 + , 22 + 2s1 â s2

= 34

-` 2 + 34

-` 2 + 12

-` 2 � ��1 â � �� 2 S (4 N 5)

che,utilizzandola (IX.4.27),si puo ancheriscrivere� 2 = 32

-` 2 + 12

-` 2( � 1Î � 2Î + � 1Ð � 2Ð + � 1Ò � 2Ò )= 3

2-` 2 + 1

2-` 2[2( � 1

� �2+ + � 1+

�2�

) + � 1Ò � 2 Ò ] N (4 N 6)

411

�� !�"E allora immediatoriconoscereche � � (1 S 2) e autostatodi

� 2 e di� Ò appartenente

all’autovalorenullo: � Ò � � (1 S 2) = 0 S (4 N 7)� 2 � � (1 S 2) = 0 S (4 N 8)

cioe � � (1 S 2) eunostatodi singolettoantisimmetricocon�

= 0.Similmentesi puo riconoscerechevalgonole relazioni� Ò � ð U (1 S 2) = -` G ð � ð U (1 S 2) S (4 N 9)� 2 � ð U (1 S 2) = -` 2 � (

�+ 1)� ð U (1 S 2) S (4 N 10)

con�

= 1, cioe � ð U (1 S 2) e autostatodi� 2 e di

� Ò e costituisceun triplettosimmetricoappartenentea

�= 1 conautovalori di

� Ò pari a G ð= 0 S#� 1.

Esercizio 4.1

Gli stati(4.2)e(4.3)si potrebberoanchecostruiremediantela trasformazionedallabasenonaccoppiatadi statidi spindi particellasingoladel tipo ¼ 12 �^ò allabasein cui i duespin sonoaccoppiatia uno spin totale � . Utilizzandoi coefficienti di Clebsch–Gordandati nellaTab. IX.1, verificarechelo stato¼ 12 1

2 ��r��(ò =¤ �P� ¯ ( 1

212 �È� t ¼ ��r�� ) ¼ 12 �8ò

1 ¼ 12 � t ò 2} (4 z 11)

per � = r � = 0 corrispondeal singolettoantisimmetrico(4.2) e per � = 1 al triplettosimmetrico(4.3).

Esercizio 4.2

Calcolarela separazioneenergeticatra gli stati di singolettoe di tripletto di duefermioniaspin 1

2 provocatadallahamiltonianas t= ¢�� 1 � � �� 2

z (4 z 12)

Esercizio 4.3

Costruiregli operatoridi proiezionesugli stati di singolettoe di tripletto per unsistemadi dueparticelleidenticheconspin 1

2 .

Per costruirela funzioned’onda totale del sistemadi due particelleoccorreconsiderareanchela partespaziale.

Sela hamiltonianadel sistemasi componedi dueparti separatamentesimme-triche nelle coordinatedi posizionee di spin e non c’e accoppiamentotra il moto

412

� ��'�$��ì�¿��^� '�G�spazialeequellodi spin,

� 2 e� 2 sonocostantidelmotoela funzioned’ondatotaledei

duefermioni deveessereantisimmetrica.In questocasosi puo utilizzarelo schemadi accoppiamento

�T�o di Russell–Saunders 17, imponendochela funzioned’onda

totalesia il prodottodi unapartespazialee di unapartedi spin con le appropriateproprieta di simmetria.Sesi costruiscela partespazialeutilizzandola (3.9),si deveconseguentementescegliereil singolettodi spinantisimmetrico(4.2);viceversa,perunapartespazialeantisimmetricacomela (3.10)occorreil triplettosimmetrico(4.3).Si ottienedunque Ö

(1 S 2) = + ð (1 S 2)� � (1 S 2) S (4 N 13)

oppure �(1 S 2) = + � (1 S 2)� ð U (1 S 2) N (4 N 14)

D’altra parte questedue funzioni, pur essendoautofunzionidi� 2 e di

� Ò , nonpossiedonovalori definiti di momentoangolaretotale.SeO¶P ¶Q L = L1 + L2 S

S = s1 + s2 SJ = L + S S (4 N 15)

con

[J S � 2] = [

J S � 2] = [J S�� 2] = 0 S (4 N 16)

puo essereconvenienteutilizzarelo schema�^�

in cui gli statidi duefermioni,oltrecheautostatidi

� 2 comele (4.13)e le (4.14),sianoancheautostatidi� 2 e � 2. Cio

comportaper esempioche la partespaziale+ ð o + � sia autostatodi� 2 e venga

accoppiataalla partedi spin con gli opportunicoefficienti di Clebsch–Gordanperprodurreuno statocomplessivo autostatoanchedi � 2. Piu in generale,indicatocon

Õ � ,�G¡ ´G ð ×lo stato di un fermione, si costruiscelo stato di due fermioni in

accoppiamento�T�

nel modoseguente:Õ �1�2 , 1 , 2 �T� ��¢ ×

=¤U ù

1

U ù2

¤U 1

U 2

¤£ ¤¥£ ¦ ( � 1 � 2 G¡ 1 G¡ 2 Õ � ¢¨§ )( , 1 , 2 G ð1 G ð

2

Õ � ¢ ð)© (

�^� ¢¨§�¢«ª Õ ��¢ )Õ �

1 , 1 G¡ 1 G ð1

×�Õ �2 , 2 G¡ 2 G ð

2

× S (4 N 17)

in cui i momentiangolariL1 eL2 sonoaccopppiatiaL, gli spins1 es2 aS einfineL eS sonoaccoppiatial momentoangolaretotaleJ. In questomodo,oltrechedaisingoli

17 HenryNorris Russell(1877–1957)e FrederickAlbert Saunders(1875–1963):New Regularitiesin theSpectra of AlkalineEarths[Nuoveregolarita negli spettridelleterre alcaline], AstrophysicalJournal61(1925)38–69.

413

�� !�"momentiangolariedi spin(

�1 S � 2 S , 1 S , 2) delledueparticelle,lo statorisultantefinale

vienecaratterizzatodainumeriquanticicorrispondential momentoangolareorbitaletotale

�, lo spintotale

�, il momentoangolaretotale � ela suaterzacomponente¢ .

Alternativamentesi potrebbeutilizzareil cosiddettoschemadi accoppiamento�G�, definendo O¶P ¶Q J1 = L1 + s1 S

J2 = L2 + s2 SJ = J1 + J2 N (4 N 18)

Questoschemaeutile sela hamiltonianadelsistemacommutacon � 21 e � 2

2 , oltrechecon � 2,

[J S�� 2

1 ] = [J S�� 2

2 ] = [J S�� 2] = 0 S (4 N 19)

perche allora servono autostatidi dueparticelleche sianoancheautostatidi � 21 e

di � 22 . Partendodagli stessistati di particellasingola,

Õ � ,�G¡ +G ð ×, nello schemadi

accoppiamento�G�

si accoppianol1 con s1 perottenerej1 e l2 con s2 perottenerej2,perpoi accoppiarej1 con j2 aun J totale,conil seguenterisultato:Õ �

1�2 , 1 , 2 � 1� 2 ��¢ ×

=¤U ù

1

U 1

¤U ù2

U 2

¤U1

U2

(�1 , 1 G 1 G ð

1

Õ �1 G 1)(

�2 , 2 G 2 G ð

2

Õ �2 G 2)© (

�1�

2 G 1 G 2Õ ��¢ )

Õ �1 , 1 G¡ 1 G ð

1

×cÕ �2 , 2 G¡ 2 G ð

2

× N (4 N 20)

Nell’accoppiamento�K�

dunqueil momentoangolaretotaleJ e ottenutodall’accop-piamentodei duemomentiangolaritotali J1 e J2 delle dueparticelle,eq. (4.18),mentrein accoppiamento

�T�lo stessomomentoangolarerisultadall’accoppiamento

del momentoorbitaleangolaretotaleL edallo spintotaleS, eq. (4.15).L’opportunita della sceltadello schema

�^�o dello schema

�K�dipendedalla

hamiltonianadel sistemae dal verificarsi delle (4.16) o delle (4.19). Pero da unpuntodi vista geometricoi dueschemisonoperfettamenteequivalenti e, fissatoilsottospazioindividuatodainumeriquantici(

�1�2 , 1 , 2), sipassadaunoschemaall’altro

con unasemplicetrasformazioneunitaria18. Procedendoin modosimile a quantofattonelparagrafoIX.6, si trovaÕ �

1�2 , 1 , 2 �^� ��¢ ×

=¤ \ 1 \ 2

� (2�

+ 1)(2�

+ 1)(2�

1 + 1)(2�

2 + 1)© ! � 1 , 1 �1�

2 , 2 �2� � �¨¬ Õ �

1�2 , 1 , 2� 1� 2 ��¢ × S (4 N 21)

18 GeorgeH. Shortley: TheTheoryof Complex Spectra [Teoriadegli spettricomplessi], PhysicalReview40 (1932)185–203;Transformationsin theTheoryof Complex Spectra [Trasformazioninella teoriadeglispettricomplessi], PhysicalReview 43 (1933)451–458.

414

� ��'�$��ì�¿��^� '�G�dovecompareil simboloa 9-

�cosı definito:! �

11�

12�

13�21

�22

�23�

31�

32�

33 ¬=

¤(U ÷® ) ¯ � 11

�12

�13G 11 G 12 G 13 ° ¯ � 21

�22

�23G 21 G 22 G 23 ° ¯ � 31

�32

�33G 31 G 32 G 33 °© ¯ � 11

�21

�31G 11 G 21 G 31 ° ¯ � 12

�22

�32G 12 G 22 G 32 ° ¯ � 13

�23

�33G 13 G 23 G 33 ° N

(4 N 22)Il simbolo a 9-

�e scritto in termini di simboli a 3-

�di Wigner (eq. (IX.6.23))

che indicanole varie possibilita di accoppiamentodei nove momentiangolaricheintervengononella trasformazione(4.21). Le proprieta del simboloa 9-

�derivano

quindi direttamenteda quelledei simboli a 3-�. Percio senon sonosoddisfattele

proprieta triangolaridei simboli a 3-�, il simbolosi annullaidenticamente.Inoltre

sesi scambianoduerighe o duecolonnenel simboloa 9-�, le proprieta (IX.6.24)

comportanola comparsadel fattoredi faseseguente:

( I )\ 11+\ 12+\ 13+\ 21+\ 22+\ 23+\ 31+\ 32+\ 33 N (4 N 23)

Esercizio 4.4

Dimostrarela (4.22)esplicitandola trasformazione(4.21).

Esercizio 4.5

Dimostrarela seguenteproprieta dei simboli a9-� :! � 11 � 12 � 13� 21 � 22 � 23� 31 � 32 � 33 ¬ =

! � 11 � 21 � 31� 12 � 22 � 32� 13 � 23 � 33 ¬ z (4 z 24)

Esercizio 4.6

Dimostrarela relazionedi ortogonalita trasimboli a9-� :¤� 31 � 32

(2� 31 + 1)(2� 32 + 1)

! � 11 � 12 � 13� 21 � 22 � 23� 31 � 32 � 33 ¬ ! � 11 � 12 � t13� 21 � 22 � t23� 31 � 32 � 33 ¬=

± � 13� 13

± � 23 � 23

(2� 13 + 1)(2� 23 + 1)z (4 z 25)

415

�� !�"Esercizio 4.7

Tenendopresentela relazionedi ortogonalita (4.25)dei simboli a 9-� , dimostrarela relazioneinversadella(4.21):¼ � 1 � 2 1 2 � 1� 2 � � ò =

¤�±K² � (2� + 1)(2« + 1)(2� 1 + 1)(2� 2 + 1)³ ! � 1 1 � 1� 2 2 � 2« � � ¬ ¼ � 1 � 2 1 2 «´� � � ò z (4 z 26)

fhg4i4jlk6m+n\m;q+oUtilizzandole proprietadeisimbolia9-� si possonoprevederei numeriquantici

degli statidi dueparticellepermessidalprincipiodi Pauli. Seperesempiosi considerailcasodi dueparticelleidentiche,a spin = 1

2 , il principio di Pauli imponeunafunzioned’ondachecambiasegnoperlo scambiodelledueparticelle. In accoppiamento«µ� ciosignificariarrangiarei primi duecoefficienti di Clebsch–Gordannella(4.17). Se � 1 = � 2,cio comportal’introduzionedellaseguentefase:

( y )�1+�2 � ² + � 1+ � 2 � ± = ( y )

²+

±+1 } (4 z 27)

dacui risulta « + � = pari} (4 z 28)

con � = 0 } 1 e « = 0 } 1 } z4z4z } 2� . Se � = pari, ci sonoallora tre stati globalmenteantisimmetrici: il singolettopari con � = 0, « = � e il tripletto dispari con � = 1,« = � { 1. Se � = dispari, c’e soloil tripletto disparicon � = 1, « = � .

In accoppiamento�V� , lo scambiodelledueparticellenella(4.20)imponeil riarran-giamentodel terzocoefficientedi Clebsch–Gordan:cio comportala fase

( y ) � 1+ � 2 �~¶ z (4 z 29)

Sesi haanche� 1 = � 2, la (4.29)imponestaticon � = pari.

,.-�· -�243 =V<'Æd9�A½9 A$F§ÃÁ>$7'Æ07E<E<Si suppongadi voler conoscerelo statofondamentaledi un sistemadi Ë parti-

celle identiche,di cui per il momentosi ignoranogli effetti di spine le proprieta disimmetriaderivantidallaloro indistinguibilita. La hamiltonianadelsistemaela (2.1)e il calcolodellostatofondamentalepuo essereaffrontatoconil metodovariazionaleespostoal paragrafoVIII.1. Si trattadi scegliere in modoopportunola funzionediprova chedescrive lo statofondamentale.Nel 1928Hartree19, ancheseinteressato

19 Cfr. n. 6 p. 389.

416

# � �� +�(�'�e�� ¾ ��´�d�allo studio degli elettroni in un atomo,proposedi usareun sempliceprodottodifunzioninormalizzatedi particellasingola,Ö

(r1 S r2 S N'N'N S r � ) = ¸54 1(r1) ¸54 2(r2) N'N'N�¸54 < (r � ) S (5 N 1)

dove l’indice _ = 1 S 2 S N'N'N S Ë indica la particelladescrittadai numeriquantici 3 Y .Comeavvieneconla (2.7)nelcasodipendentedal tempo,questapropostaequivaleapretenderechein primaapprossimazionele particellesianotra di loro indipendenti.

Il valoredi aspettazionedellahamiltoniana(2.1)sullo stato(5.1) risulta¹= Ü Ö]Õ J ÕRÖÅ×=

�¤ Y =1

Ü�¸~4 ÷ Õ M 2Y2G Õ ¸54 ÷ × + 1

2

¤ Y Ì=\ Ü�¸54 ÷ ¸54 Õ H Y \ Õ ¸54 ÷ ¸54 × S (5 N 2)

dovegli elementidi matricedellaparteaunoea duecorpi dellahamiltonianasonoÜ�¸54 ÷ Õ M 2Y2G Õ ¸54 ÷ × = Z à r ¸»º4 ÷ (r) M 2

2G ¸54 ÷ (r) S (5 N 3)

Ü�¸54 ÷ ¸54 Õ H Y \ Õ ¸54 ÷ ¸54 × = Z à r Z à rK ¸ º4 ÷ (r) ¸ º4 (r K ) H (r S r K ) ¸~4 ÷ (r) ¸54 (r K ) N (5 N 4)

Il metodovariazionaleconsistenellaricercadelminimodi¹

al variaredellefunzioni¸54 ÷ (r) utilizzate, con la condizionesupplementareche questefunzioni rimanganonormalizzate.Questacondizionesi realizza(cfr. eq. (VIII.1.6)) aggiungendoa

¹un

terminechetengaconto,medianteopportunimoltiplicatori di Lagrange? Y , degli Ë

vincoli impostidallanormalizzazionedellefunzionidi particellasingola:a é Ü Ö�Õ J ÕRÖÅ× I �¤ Y =1

? Y Ü�¸~4 ÷ Õ ¸54 ÷ × ë = 0 N (5 N 5)

La variazioneva fattasiasui ket chesuibra,masi puo ritenerechele duevariazionisianoanaliticamenteindipendenti.Percio bastachesia�¤ Y =1

Ü a ¸54 ÷ Õ M 2Y2G Õ ¸54 ÷ × +

¤ Y Ì=\ Ü a ¸~4 ÷ ¸54 Õ H Y \ Õ ¸54 ÷ ¸54 × I �¤ Y =1

? Y Ü a ¸54 ÷ Õ ¸54 ÷ × = 0 S (5 N 6)

e quindi

é M 2

2G +¤\ ( Ì= Y ) Z à r

K ¸»º4 (r K ) H (r S r K ) ¸54 (r K ) I ? Y ë ¸~4 ÷ (r) = 0 ( _ = 1 S 2 S N'N'N S Ë ) N (5 N 7)

417

�� !�"La (5.7)eunsistemadi Ë equazioni,notecomeequazionidi Hartree. Essepossonoancheriscriversinellaformadi unsistemadi equazioniagli autovalori,` ¸54 ÷ (r) =

? Y ¸54 ÷ (r) ( _ = 1 S 2 S N'N'N S Ë ) S (5 N 8)

dovela hamiltonianadi Hartree risultaunoperatoredi particellasingolacheagiscesullafunzionedella _ -esimaparticella,`

=M 2

2G +H

( ¸ ) S (5 N 9)

edecostruitacomesommadell’energiacineticadi quellaparticellaedi unpotenzialeH( ¸ ), notocomepotenzialedi Hartree,H

( ¸ ) =¤\ ( Ì= Y ) Z à r

K ¸»º4 (r K ) H (r S r K ) ¸54 (r K ) N (5 N 10)

Il potenzialedi Hartree,cheagiscesullaparticella _ -esimanel puntor, risultadallasommadi tutti i contributi

H(r S r K ) chequestaparticellasubisceperl’interazionecon

ogni altrachesi trovi nel puntorK; ogni contributo pero e mediatocon la densita di

probabilitaÕ ¸~4 (r K ) Õ 2 chel’altra particellasi trovi localizzatain r

K. Percio la struttura

diH

( ¸ ) lo definiscecomeil potenzialemediochel’ _ -esimaparticellaapprezzapereffettodell’interazionecontuttele altre.

La presenzadel potenzialedi Hartree(5.10)rendeil sistemadi equazioni(5.8)unsistemadi Ë equazioniaccoppiateenonlineari nelle Ë funzioni ¸~4 ÷ : c’e quindiunproblemadi compatibilitanellarisoluzionedelleequazioniagli autovalori (5.8),lecui soluzionidevonoesserele stessefunzionichedeterminanoil potenzialecheentranella definizionedella hamiltoniana(5.9). In questosensole equazionidi Hartreesonoequazioninon lineari e il metododi Hartreeviene detto autocompatibileoautoconsistente.

I moltiplicatoridi Lagrange? Y , adottatiperla ricercadelminimodi

¹sottoposto

alla condizioneche le ¸54 ÷ si mantenganonormalizzate,acquistanonella (5.8) ilsignificatodi autovalori della hamiltonianadi Hartree

`e rappresentanol’energia

dello statodi particellasingolacorrispondenteall’orbitale descrittoda ¸54 ÷ . Dalla(5.8)deriva chequesteenergie di particellasingolasi possonoscriverecomevaloredi aspettazionedellahamiltonianadi Hartreesullostato ¸ 4 ÷ :? Y = Ü�¸~4 ÷ Õ ` Õ ¸54 ÷ ×

= Ü�¸~4 ÷ Õ M 2Y2G Õ ¸54 ÷ × +

¤\ ( Ì= Y ) Ü�¸54 ÷ ¸54 Õ H Y \ Õ ¸~4 ÷ ¸54 × N (5 N 11)

LasoluzioneÖ

0(r1 S r2 S N'N'N S r � ) cheapprossimalo statofondamentalehadunquela struttura(5.1), ottenutacomeprodottodelle Ë funzioni di particellasingolacherisolvonole equazionidi Hartree.Essarisultaautofunzionedellahamiltoniana

418

# � �� +�(�'�e�� ¾ ��´�d�J

0 =�¤ Y =1

` Y =�¤ Y =1 æ M 2Y

2G +H Y ( ¸ ) ç S (5 N 12)

appartenenteall’autovalore ?=

�¤ Y =1

? Y N (5 N 13)

La (5.12)hala stessaformadella(2.6),comesommadi contributi di particelleindipendenti,in cui pero il potenzialeausiliario å Y vieneora definito in modononarbitrariomedianteil potenzialeautoconsistentedi Hartree.Dunquela hamiltoniana(5.12)noncoincidecon la hamiltonianatotale

J, manedifferiscesecondola (2.9)

perun’interazioneresidua,H îEï(ð= 1

2

¤ Y Ì=\ H Y \ I �¤ Y =1

H Y ( ¸ ) S (5 N 14)

chepuo esseretrattatasuccessivamentecomeunaperturbazione.Al primo ordinedella teoria delle perturbazioniindipendentidal tempo,si puo calcolarel’energia¹

0 dello statofondamentalediJ

aggiungendoal valore?

della (5.13) il valorediaspettazionedi

H îEï(ðsullo stato

Ö0(r1 S r2 S N'N'N S r � ) che deriva dalla risoluzionedel

metododi Hartree:

Ü H îEï(ð × = 12

¤ Y Ì=\ Ü�¸54 ÷ ¸54 Õ H Y \ Õ ¸~4 ÷ ¸54 × I �¤ Y =1

¤\ ( Ì= Y ) Ü�¸~4 ÷ ¸54 Õ H Y \ Õ ¸54 ÷ ¸54 ×= I 1

2

¤ Y Ì=\ Ü�¸54 ÷ ¸~4 Õ H Y \ Õ ¸54 ÷ ¸54 × N (5 N 15)

Percio, al primoordineinH îEï(ð

, si ottiene¹0 =

? I 12

¤ Y Ì=\ Ü�¸54 ÷ ¸54 Õ H Y \ Õ ¸~4 ÷ ¸54 × Sche,perla (5.11),diventa¹

0 = 12

�¤ Y =1 æ ? Y + Ü�¸54 ÷ Õ M 2Y2G Õ ¸54 ÷ × çÀN (5 N 16)

A questorisultatosi arriva ancheutilizzandodirettamentenella (5.2) la soluzioneÖ0(r1 S r2 S N'N'N S r � ).

419

��!�� "Perrisolverele equazionidi Hartreeconvieneprocedereconmetodoiterativo,

partendodaun insiemedi Ë funzioni di prova ; ¸ (0)4 ÷ > , concui costruireil potenzialedi Hartree,

H( ¸ (0)), e risolvendounaprima volta le (5.8). Cio equivale in pratica

a diagonalizzarela hamiltonianadi Hartreeadottatain partenza.A questopuntosipossiedeunospettrodi autovalori

?(1)Y dellahamiltonianadi Hartreeconi corrispon-

dentiorbitali ; ¸ (1)4 ÷ > . Occorreuncriterioperdeciderele Ë funzioni ¸ (1)4 ÷ dautilizzaredi nuovoperricostruireil potenzialedi Hartree,

H( ¸ (1)), eprocedereaunasuccessiva

iterazione. Il criterio con cui popolaregli orbitali dipendedal tipo di particelleinesame.Anchesefinora si sonoignoratele conseguenzedell’indistinguibilita delleparticelle,si puo lo stessopretendereche il metododi Hartreesia un buon puntodi partenzaperdescrivereun sistemaquantisticodi molteparticelle. Sesi haa chefareconbosoni,si possonodisporretutte le Ë particellenell’orbitaledi energia piubassa;nelcasodi fermionisi popolanogli Ë orbitali rispettandoil principiodi Pauli.Una volta decisoquali sianogli Ë orbitali occupati,si puo ricostruirecon questenuove funzioni il potenzialedi Hartree,

H( ¸ (1)), e risolvere di nuovo le (5.8). Il

metodoprosegueiterativamentefino adottenereconvergenzatra le funzionidi prova,; ¸ (îP�

1)4 ÷ > e ; ¸ (î)4 ÷ > , ottenutein duecicli successivi. Ad ogni ciclo di iterazione,nel

costruireH

( ¸ ) e opportunosceglierele Ë ; ¸54 ÷ > checorrispondonoagli autovalori? Y piu bassidel ciclo precedente,in modochel’energia¹

0 sia la minima possibilea quello stadiodi iterazione. Con unasceltagiudiziosadegli orbitali di partenza,; ¸ (0)4 ÷ > , il metodoin generaleconverge rapidamentealla soluzioneautoconsistente:conpocheiterazionile ; ¸ 4 ÷ > chesi ricavanodalla risoluzionedelle (5.8) finisconopercoincidereconquelleutilizzateper la costruzionedi

H( ¸ ), all’interno dei limiti

di precisionenumericaadottata.fhg4i4jlk6m+n¼��q+oPerunesamedellabontadelmetododi Hartree,si vuoledeterminarelo statofon-

damentaledelsistemadi dueparticellesottoposteaunpotenzialedi oscillatorearmonicocomuneeinteragenticonunaforzaelastica20. Il problemariguardala hamiltoniana(1.9),s t

= u 21

2r + 12 v$w 2

1 + u 22

2r + 12 v$w 2

2 + 12 x (r1 y r2)

2 }edegiastatorisoltoin modoesattonell’Esempio1.1. Qui si assumela seguentefunzionedi provaperlo statodelledueparticelleü

(r1 } r2) = � (r1) � (r2) z (5 z 17)

Le equazionidi Hartree(5.7)si riduconoallasolaequazione

æ u 21

2r + 12 v$w 2

1 ç � (r1) + æ Z [ r2 � � (r2) 12 x (r1 y r2)

2 � (r2) ç � (r1) = _ 1 � (r1) z20 MarcosMoshinsky: How good is the Hartree–Fock Approximation[Bonta dell’approssimazionediHartree–Fock], AmericanJournalof Physics36 (1968)52–53;E 763.

420

# �½�ì��+�E�'�b�� ¾ ��Perconsiderazionisulla parita dell’integrandosi puo eliminareil terminechecontiener1 � r2:

æ u 21

2r + 12( v + x ) w 2

1 ç � (r1) + 12 x æ Z [ r2 � � (r2) w 2

2 � (r2) ç � (r1) = _ 1 � (r1)z (5 z 18)

Datala simmetriasfericadellahamiltoniana,la dipendenzaangolaredellefunzioni � (r © )e determinatadalle armonichesferiche. Essendointeressatiallo statofondamentale,eragionevole assumereche intervengasolo la � 00. Inoltre, nella prima iterazioneperrisolverela (5.18)si puo scegliereunafunzionedi prova � (r2) corrispondenteallo statofondamentaledi un oscillatorearmonicotridimensionale:� (r) =

�( w ) � 00 } �

( w ) = 2� � 1 � 4 r � 3 � 2 � � þ 2 � 2p 2 } (5 z 19)

dove r e unparametrovariazionale.Cosı l’equazione(5.18)diventaun’equazioneperlasolaparteradiale

�( w 1) = w 1

�( w 1) di � (r1), chein questocasocoincideconquellaradiale

perlo statofondamentaledi un oscillatorearmonicotridimensionale(cfr. eq. (V.7.5)):� [ 2[ w 21

+2r-� 2 " _ 1 y 1

2( v + x ) w 21 y 3

4 r 2 x $¾½ �( w 1) = 0 z (5 z 20)

Percio, sesi sceglie r 2 =-�¨ r ( v + x )

} (5 z 21)

si trova _1 =

32

-� � v + xr 3x + 2v2x + 2v } (5 z 22)

e il metodoconverge gia alla prima iterazione: la soluzionedi Hartreeper lo statofondamentalerisulta ü

0 = � � 3 � 2 rê� 3 � � ( þ 21+ þ 2

2) � 2p 2

= � � 3 � 2 rê� 3 � � ( � 2+ þ 2 � 4) � p 2 z (5 z 23)

L’energiadellostatofondamentalesi ottiene,secondola (5.16),sottraendoa2_ 1 il valoredi aspettazionedell’interazione:�

0 = 3-� � v + xr = 3-�6� » 1 + x v } (5 z 24)

dove�

e lo stessodefinitonella(1.15).Sesi confrontaquestorisultatoconquelloesatto(1.14)dell’Esempio1.1,cheperlo statofondamentaleepari a�

= 32

-� (�

+�

) = 32

-�;�À¿ 1 + � 1 +2xvAÁ } (5 z 25)

421

�� !�"si trova coincidenzadi valori solonel limite di x¼Â v :�

0 Ã 3-�;� ¸ 1 + x2v º z (5 z 26)

Cio e naturaleperche per xÄÂ v si approssimail limite di dueparticelleindipendenti.Tuttavia ancheper x = v , cioequandol’interazioneedellastessaintensitadelpotenzialein cui ciascunaparticellasi muove, il valoreesatto

�di energia eancorail 96.5%di

�0,

adimostrazionedellabontadelmetodovariazionaleperdeterminarel’energiadellostatofondamentale.

Per quantoriguardala funzioned’onda, questocasosi presentaparticolarmentefortunato,perche ancheper x = v , il quadratodell’integraledi sovrapposizionetra lafunzioneesattaequelladi Hartreeepari a0.94.

,Á-zÅ1-��eÆd91=?9 A$Fl<�3!F%9Si vuoleapplicareil metododi Hartreeallo studiodell’atomodi elio, con 2 = 2

elettroni.La hamiltonianae la seguente:J=

J0 +

H12 S (6 N 1)J

0 =M 2

1

2G +M 2

2

2G I 2(Æ 2Ç1

I 2ÈÆ 2Ç2

S (6 N 2)H12 =

Æ 2Ç12

N (6 N 3)

Sesi trascural’interazioneH

12 tra i dueelettroni,la hamiltonianasi limita aJ

0, chee la sommadi duehamiltonianedi atomoidrogenoide.I dueelettronipossonoalloraesseredescrittidafunzionidel tipo¸54¥ U (r) = ÉG4¥ ( Ç ) Ê' U ( Ë¾¸ ) S (6 N 4)

dovela É 4¥ ( Ç ) edatadalla(V.8.26);corrispondentemente,la loro energiadi particellasingolae ? 4 = I 2 2 Æ 2

2�Ì3 2 S (6 N 5)

dove � e il raggiodi Bohr: � = -` 2 Í GÍÆ 2.In questaapprossimazione,lo statofondamentaledell’atomodi elio e formato

daidueelettronipostinel livello piu basso,1, ( 3 = 1,�

= 0). L’autovaloredi energiarisultaquindi ¹

0 = 2?1 = I 2 2 Æ 2� (6 N 6)

422

� �+��e��8 � ��e l’autofunzionecorrispondentee il prodottodi duefunzioni (6.4)perlo stato1, :�

0(1 S 2) = ¸ 1ð(1) 1

ð(2)

=1Î ¸ 2 � º 3

exp é I 2 � ( Ç 1 + Ç 2) ë N (6 N 7)

Pero occorreconsiderareancheil principiodi Pauli. Nonessendocidipendenzadallospinnell’interahamiltoniana

J, sipuousarel’accoppiamento

�^�perdescrivere

i dueelettroni. Allora la funzionedello statofondamentalediventaun prodottodeltipo (4.13) in cui la funzionedi singolettodi spin (

�= 0) e moltiplicata per una

funzionedellecoordinatespazialiottenutasimmetrizzandola (6.7):Ö0(1 S 2) = + ð (1 S 2)� � (1 S 2) N (6 N 8)

C’e solo la possibilita di un singolettodi spin, in quantoil tripletto di spindovrebbeessereaccoppiatoadunafunzioneantisimmetricanellecoordinatespaziali,chepero e identicamentenulla perla (3.14).

L’energiadellostatofondamentalesi puo oracalcolarecol metodovariazionaleapplicatoalla (6.8)oppurecol metodoperturbativo, fermandosial primo ordine. Se+ ð (1 S 2) e costruitasimmetrizzandola (6.7),il risultatoin ogni casoe¹

=¹

0 + Ï S (6 N 9)

dove¹

0 e datodalla(6.6)eÏ = Z à r1 Z à r2Õ ¸ 1

ð(r1)

Õ 2 Æ 2Ç12

Õ ¸ 1ð(r2)

Õ 2 (6 N 10)

e il cosiddettointegrale coulombiano, cheforniscel’energia dovutaall’interazionecoulombianamediatra i dueelettroni.

Si puo continuarecol metodovariazionaleper studiareancheil primo livelloeccitatodell’atomodi elio. A talescopoe naturalescegliereunafunzionedi prova,costruitaponendoun elettronesul livello fondamentale( 3 = 1) e un elettronesulprimo livello eccitato( 3 = 2) dellospettrodi energiadi particellasingola.Si ottienecosı unafunzionedi provacon

�= 0, sicuramenteortogonaleaquellachehafornito

il minimo di energia per lo statofondamentale.In accordoconla (4.13)e la (4.14),ci sonoduepossibilita,corrispondentiaunostatodi singolettoo di triplettodi spin:Ö

(1 S 2) =172

[ ¸ 1ð(r1) ¸ 2

ð(r2) + ¸ 1

ð(r2) ¸ 2

ð(r1)]

� � (1 S 2) S (6 N 11)�(1 S 2) =

172

[ ¸ 1ð(r1) ¸ 2

ð(r2) I ¸ 1

ð(r2) ¸ 2

ð(r1)] � ð (1 S 2) N (6 N 12)

Nel calcolodel valoredi aspettazionedellahamiltonianaJ

, chenondipendedallospin, la partedi spindella funzioned’ondaproduceun fattorepari a uno. Inveceil

423

�� !�"segno + o I del terminedi scambionella partespazialesi riflette sul segno di uncontributo dell’energiadi interazione.Si ottiene:¹ ð

= Ü Ö (1 S 2)Õ J ÕRÖ

(1 S 2)×

=?1 +?2 + Ï + Ð S (6 N 13)¹ �

= Ü � (1 S 2)Õ J Õ �

(1 S 2)×

=?1 +?2 + Ï I Ð S (6 N 14)

Fig. 6.1. Schemadei livelli eccitatidi tripletto (3 � ) e di singoletto(1 � ) dell’atomodi elio,costruitiapartiredalprimo livello eccitatonelloschemadi Hartree(1 } 2 ).dove

?1 e?2 sonole energiedel livello fondamentaleedelprimolivello eccitatonello

spettrodi particellasingola(6.5). Ï e ancoral’integralecoulombiano,Ï = Z à r1 Z à r2Õ ¸ 1

ð(r1)

Õ 2 Æ 2Ç12

Õ ¸ 2ð(r2)

Õ 2 S (6 N 15)

chederivadal primo termine(diretto)dellafunzioned’onda,mentrel’integraleÐ = Z à r1 Z à r2 ¸»º1 ð (r1) ¸Ñº2 ð (r2)Æ 2Ç12¸ 1

ð(r2) ¸ 2

ð(r1) (6 N 16)

e il cosiddettointegrale di scambio, in quantoscaturisceproprio dal termine discambionellafunzioned’onda. Naturalmenteil segnooppostoconcui taletermineintervienenelle (6.13)e (6.14) traeorigine dal diversosegnocon cui il terminediscambioentranelle funzioni (6.11) e (6.12) e causala separazionedei due livellicorrispondential singolettoeal triplettodi spin. SiccomeÐÓÒ 0, nerisulta(fig. 6.1)¹ �ÕÔ ¹ ð S (6 N 17)

cioe lo statodi tripletto (2 ª +1 � = 3 � ) corrispondea un’energia piu bassadi quelladello statodi singoletto(2 ª +1 � = 1 � ). Questaseparazionetra livelli di spindiversinonhaun’originedinamica,perchela hamiltonianae indipendentedallospin;essae

424

# �½�ì��+�E�'�)�� ¾ ��×Ö�Ø½�(��Ùpiuttostodovutaauntipo di correlazioneparticolaretra le particelle,introdottanellafunzioned’ondadalprincipio di Pauli.

Deiduestatioriginariamentedegeneri(¹

=?1+?2), quellochesiabbassarispetto

all’altro quandosi consideranol’interazioneH

12 e il principio di Pauli, e quelloconsimmetriaspazialeantisimmetrica,cui necessariamentedevecorrispondereunostatodi spin simmetricoe quindi con

�massimo: il tripletto con

�= 1. Si verifica

qui un casoparticolaredella regola di Hund 21 chehaun ruolo fondamentalenellaclassificazionedegli statielettronicinegli atomi(cfr. paragrafoX.8 e Tab. 1).

In assenzadi interazionidipendentidallospin,la diversasimmetriaspazialetragli statidi singolettoedi triplettodi spinimpediscedi miscelarestatidi triplettoconstati di singoletto: la configurazionedi tripletto per l’elio (ortoelio) risulta percioparticolarmentestabile,anchese corrispondea uno statoeccitato; invecelo statodi singoletto(paraelio) puo decadereversolo statofondamentale,che e pure unsingolettosi spin.

Esercizio 6.1

Valutaregli integrali coulombiano(6.15)edi scambio(6.16)utilizzandole funzionidell’atomoidrogenoidecon c = 2.

,Á-�Ú�-Ä243 =V<�Æd9cA½9 A1FêÃÅ>17'Æ07(<4<VÛMÜ�9�D�ÝIl metododi Hartreenontienecontodellegiusteproprietadi simmetriaimposte

dal principio di Pauli alla funzioned’ondadi un sistemadi fermioni. D’altra partel’esempiodell’atomodi elio dimostrachel’uso di funzioni totalmenteantisimme-triche rispettoallo scambiodi dueparticellecomporta,oltre a un integraledirettodell’interazione,comel’integralecoulombianoÏ della (6.15),anchel’integralediscambioÐ della(6.16),conimportanticonseguenze.

Nel 1930Fock 22 hapropostoun miglioramentodel metododi Hartreeperuninsiemedi fermioni. Comefunzionedi provanelmetodovariazionalevieneutilizzatoundeterminantedi Slater, (3.17),costruitoconfunzionidi particellasingoladel tipo¸ 4 ÷ (� ) í ¸ 4 ÷ (r \ , \ ) N (7 N 1)

Allora il valoredi aspettazione(5.2)dellahamiltoniana(2.1)diventa:

21 FriedrichHund(n. 1896): Zur Deutungverwickelter Spektren, insbesondere der ElementeScandiumbisNickel [Spiegazionedi spettricomplessi,conparticolare riferimentoa quelli dallo scandioal nichel],Zeitschrift fur Physik33 (1925)347–371.

22 Cfr. n. 7 p. 389.

425

�� !�"¹

= Ü Ö�Õ J ÕRÖÅ×=

�¤ Y =1

Ü�¸ 4 ÷ (1)Õ M 2Y2G Õ ¸ 4 ÷ (1)

×+ 1

2

¤ Y Ì=\ Ü�¸ 4 ÷ (1) 4 (2)Õ H Y \ (1 S 2)

Õ ¸ 4 ÷ (1) 4 (2) I ¸ 4 ÷ (2) 4 (1)× S (7 N 2)

dove l’elementodi matricedelpotenziale(eventualmentedipendentedallo spin),Ü�¸54 ÷ (1)54 (2)Õ H Y \ (1 S 2)

Õ ¸~4 ÷ (1)~4 (2) I ¸54 ÷ (2)54 (1)×

=¤(ð)Z à r1 Z à r2 ¸ º4 ÷ (r1 , 1) ¸ º4 (r2 , 2) H Y \ (r1 , 1 S r2 , 2) ¸ 4 ÷ (r1 , 1) ¸ 4 (r2 , 2)I ¤

(ð)Z à r1 Z à r2 ¸ º4 ÷ (r1 , 1) ¸ º4 (r2 , 2) H Y \ (r1 , 1 S r2 , 2) ¸ 4 ÷ (r2 , 2) ¸ 4 (r1 , 1) S

(7 N 3)e la differenzatra l’integralediretto e l’integraledi scambioe risulta cosı antisim-metrizzatorispettoallo scambiodelle due particelle. Applicando ora il metodovariazionalesecondola (5.5),si trova�¤ Y =1

Ü a ¸54 ÷ (1)Õ M 2Y2G Õ ¸54 ÷ (1)

×+

�¤ Y =1

¤\ ( Ì= Y ) Ü a ¸54 ÷ (1)54 (2)Õ H Y \ (1 S 2)

Õ ¸54 ÷ (1)54 (2) I ¸54 ÷ (2)54 (1)×

I �¤ Y =1

? Y Ü a ¸54 ÷ Õ ¸54 ÷ × = 0

(7 N 4)

e quindi si ottieneil seguentesistemadi equazioni

é M 21

2G +¤\ ( Ì= Y ) ¤ ( ð ) Z à r2 ¸Ñº4 (2)

H Y \ (1 S 2)54 (2) I ? Y0ë ¸54 ÷ (1)I é ¤\ ( Ì= Y ) ¤ ( ð ) Z à r2 ¸ º4 (2)H Y \ (1 S 2) 4 ÷ (2)ë ¸ 4 (1) = 0 ( _ = 1 S 2 S N'N'N S Ë ) S (7 N 5)

notocomesistemadi equazionidi Hartree–Fock. La presenzadell’integraledi scam-bio rendequesteequazionimoltopiucomplicatedelsistemadi equazionidifferenziali

426

# �½�ì��+�E�'�)�� ¾ ��×Ö�Ø½�(��Ùnonlineariaccoppiatedi Hartree(5.7):nell’integrandodell’integraledi scambiocom-pareanchela funzioneincognita ¸54 ÷ (2), soluzionedella stessa_ –esimaequazione.Percio il sistemadiventaoraunsistemadi equazioninonlineari integro-differenziali.

La tecnicadi risoluzionepuo essereancoraquelladelmetodoiterativo, manonsemprequestosi puo facilmenteapplicarenella rappresentazionedelle posizioni.Spessopuo essereconvenientecambiarerappresentazione,utilizzandounabasenotadi funzionidi particellasingola; +6Þ5> , esvilupparesuquestabaselefunzioni incognite(7.1): ¸54 ÷ =

¤ Þ [ YÞ +'Þ�N (7 N 6)

In tal modole incognitesonodiventatei coefficienti di sviluppo [ YÞ , chein lineadiprincipio sonoinfiniti, ma in praticapossonoesserein numeromolto ridotto, sesiesegueunasceltaopportunadellabase ; + Þ > . Il vantaggiodellarappresentazione(7.6)e cheil problemadi risolverele equazionidi Hartree–Fockdiventaoraun problemadi diagonalizzazionedellamatricecherappresentala hamiltonianadi Hartree–Focksullabase; +6Þ»> : ¤ Þ Üz+5ß Õ ` Õ + Þ × [ YÞ =

? Y [ Yß ( _ = 1 S 2 S N'N'N S Ë ) S (7 N 7)

dove

Üz+6ß Õ ` Õ + Þ × = Üz+5ß (1)Õ M 2

2G Õ + Þ (1)×

+¤\ ( Ì= Y ) ¤áàGâ Üz+6ß (1)+ â (2)

Õ H Y \ (1 S 2)Õ + Þ (1)+ à (2) I + Þ (2)+ à (1)

× [ \ ºâ [ \à N (7 N 8)

Il problemarestanonlineare,perlapresenzadeicoefficienti incognitinellacostruzio-nedellahamiltonianadi particellasingola , pero ediventatounproblemaalgebrico,chepuo essererisolto con diagonalizzazioniiterate,a partireda unasceltainizialedei coefficienti [ YÞ concui costruire perla primaiterazione.

Nella pratica,la base; +'Þ»> haunadimensionalita ¢ maggioredi Ë . Percio ladiagonalizzazionedellamatrice(7.8)produce¢ autostatiecorrispondentiautovaloria ogni iterazione. Nel ricostruireil potenzialedi Hartree–Fock per la successivaiterazione,si facilita la ricercadelminimodi

¹sesi popolanogli Ë orbitali piu bassi

in accordocol principiodi Pauli. A convergenzaottenuta,entroi limiti di precisionenumericaimposti ai coefficienti [ YÞ , si disponedi uno spettrodi ¢ orbitali di cuisologli Ë piu bassirisultanopopolati: lo statofondamentaledi Hartree–Fock e undeterminantedi Slater

Ö0 costruitoconquestiË orbitali.

Analogamentealla (5.13)per il metododi Hartree,l’energia di Hartree–Fock?

risultadallasommadelleenergiedegli orbitali occupati,

427

�� !�"?=

�¤ Y =1

? Y S (7 N 9)

e rappresental’autovaloredellahamiltonianadi Hartree–FockJ0 =

�¤ Y =1

` Y S (7 N 10)

cui appartienel’autostatoÖ

0. Su questostatola hamiltonianaoriginaleJ

ha unvaloredi aspettazione

¹0 cheesommadi

?edelvaloredi aspettazionedell’interazione

residuaH îEï(ð

=J I J

0,Ü H îEï(ð × = I 12

¤ Y Ì=\ Ü�¸54 ÷ (1)54 (2)Õ H Y \ (1 S 2)

Õ ¸54 ÷ (1)54 (2) I ¸~4 ÷ (2)54 (1)× S (7 N 11)

e cherappresental’energia dello statofondamentaleottenutaal primo ordinedellateoriadelleperturbazioniindipendentidal tempo:¹

0 =�¤ Y =1

? Y I 12

¤ Y Ì=\ Ü�¸54 ÷ (1)54 (2)Õ H Y \ (1 S 2)

Õ ¸54 ÷ (1)~4 (2) I ¸54 ÷ (2)54 (1)×

= 12

�¤ Y =1 æ ? Y + Ü�¸54 ÷ (1)Õ M 2

2G Õ ¸54 ÷ (1)× ç N

(7 N 12)

Esercizio 7.1

Verificarechela (7.12)puo porsinellaforma�0 = 1

2 � æ Tr ( ] � ) + Tr ¸ ] u 2

2r º ç } (7 z 13)

dove ] e l’operatoredensita a un corpo, definito nell’Esempio3.5 (cfr. eq. (3.60)),corrispondenteal determinantedi Slater

ü0 cherisolve il problemadi Hartree–Fock 23.

23 In realta la (7.12)e la (7.13)sonoun casoparticolaredi unaformapiu generale,notacomeregola disommaper l’energia, ã

= 12 ä é � ©zå ©væ© + Tr ¸VçAè 2

2é º ë=êchevale per unahamiltonianacon forze al piu a duecorpi e per uno statoantisimmetricoqualsiasidi

428

# �½�ì��+�E�'�)�� ¾ ��×Ö�Ø½�(��Ù

Fig. 7.1.Configurazionidiverseottenutepopolandodiversamentegli orbitali di Hartree–Fock.

A partiredalla basedegli ¢ orbitali di Hartree–Fock ottenutidalla diagona-lizzazionedella (7.8) e dal determinantedi Slatercheha minimizzatol’energia, sipossonocostruiregli statieccitatidel sistemadi Ë particellepromuovendo1 S 2 S N'N'Nparticellein orbitali di energia superiore,nel rispettodel principio di Pauli. In talmodosi provocano1 S 2 S N'N'N lacunenella configurazioneoccupazionaledi Hartree–Fock, andandoa popolarecontemporaneamente1 S 2 S N'N'N orbitali chenello statodiHartree–Fock sonovuoti. I corrispondentideterminantidi Slatersonodetti stati a1-particella–1-lacuna,2-particelle–2-lacune, N'N'N ecostituisconounabaseadattaperlo sviluppodi unostatoeccitatodi Ë particelle(fig. 7.1).

Esercizio 7.2

Lo statoa 1-particella–1-lacuna,ottenutoa partiredaun determinantedi Slater, eancoraun determinantedi Slater?

Esercizio 7.3

Sceltaunabased � © e di funzionidi particellasingola,l’insiemedi tutti i determinantidi Slaterchesi possonocostruirepopolando� di questistati di particellasingolae uninsiemecompleto?

All’ordine zeroinH îEï(ð

l’energia di eccitazionedi tali stati e semplicementeladifferenzatra le energie

?�ë ÷ dei nuovi orbitali di particellaoccupatie le energie?íì ÷

degli orbitali di lacunaresivacanti.ä particelle,cui corrispondeun operatoredensita ç definito in (3.61)e con ( ä ç )2 î= ä ç in generale.Proprieta di particellasingola,comel’operatoreç e i livelli di energia æ © , determinanoquindi nonsolo ivalori di aspettazionedi osservabili aun corpo,maanchel’energia checontieneinterazioniacoppie.S. Boffi: On the One–Particle Nuclear–DensityMatrix [La matricedensita nucleare a una particella],Lettereal NuovoCimento1 (1971)931–933;D.S.Koltun: TotalBindingEnergiesofNuclei,andParticle–Removal Experiments[Energie di legametotale dei nuclei e esperimentidi rimozionedi particella],PhysicalReview Letters28 (1972)182–185.

429

��!�� "Esercizio 7.4

Dimostrareil teoremadi Koopmans24, per il qualel’energia� t

0 dello statofonda-mentaledi un sistemadi � y 1 particellerisulta� t

0 =�

0 y _ © } (7 z 14)

dove _ © e l’energiadell’orbitalemancantenellostatodi � y 1 particellerispettoallo statofondamentaledi � particelle.Percio _ © acquistail significatodi energia di separazionedell’ ° –esimaparticella.[Suggerimento:si assumanougualigli orbitali dei sistemicon � e � y 1 particelle.]

fhg4i4jlk6m+nAï�q+oAll’interno dell’insiemecompletodi determinantidi Slaterperle � particellein

esame,il metododi Hartree–Fockscopreil determinantedi Slatercheminimizzal’energiadello statofondamentale.Cio vienefatto, secondola (7.4), facendovariaredi volta involta una sola funzionedi particellasingolatra le � checompongonoil determinantedi Slaterdi prova. Le equazionidi Hartree–Fock (7.5)chenederivanosonoequivalentia risolvere la (VIII.1.23) nell’EsempioVIII.1.2 con la sceltaper j di un operatorediparticellasingola, j = � £© =1

j © z (7 z 15)

Infatti in questocasola (VIII.1.23) diventa

0 =ó ü ¼ é � £© =1

j © } s ë ¼ ü ò= � £© =1

� � " ó ü ¼ j © ¼ �Zò ó � ¼ s ¼ ü ò y ó ü ¼ s ¼ �^ò ó � ¼ j © ¼ ü ò $ } (7 z 16)

dove si e inseritala spettralizzazionedell’identita in termini di stati ¼ �Zò di � particelle.Siccomepero j © agiscesolosullecoordinatedell’ ° –esimaparticella, l’elementodi matriceó � ¼ j © ¼ ü ò risultadel tipoó � ¼ j © ¼ ü ò = �

( � ) Z [ r ô �� ÷ (r ) j © � � ÷ (r ) (7 z 17)

equindigli stati ¼ �^ò , in lineadi principiosovrapposizionedi statia1-particella–1-lacuna,2-particelle–2-lacune,z�zEz , possonointerveniresolosesonostatia 1-particella–1-lacuna.Ma questistatisonodeterminantidi Slaterchedifferisconoda ¼ ü ò perla solasostituzionedellafunzionedi particella � © con

ô © echequindi appartengonoalla classedi statientrola qualesi compiel’esplorazionedel minimo di

�nel metododi Hartree–Fock. Percio

la condizione

24 T.H. Koopmans:UberdieZuordnungvonWellenfunktionenundEigenwertenzudeneinzelnenElektro-neneinesAtoms[Assegnazionedellefunzionid’ondae degli autovalori ai singoli elettroni di un atomo],Physica1 (1933)104–113.

430

# �½�ì��+�E�'�)�� ¾ ��×Ö�Ø½�(��Ùó � ¼ s ¼ ü ò = 0 } (7 z 18)

che garantiscela (7.16), equivale anchealla condizionedi Hartree–Fock. Il risultato(7.18),notocometeoremadi Brillouin 25, indicainoltreesplicitamentechelahamiltonianatotaledel sistemadi � particellenon e in gradodi connetterelo statodi Hartree–Fockconstatia1-particella–1-lacuna.

Esercizio 7.5

Scegliendoper j l’operatoredensitaauncorpo] dell’Esempio3.5(cfr. eq. (3.60)),verificarechela (7.16)equivaleallacondizione

[� } ] ] = 0 } (7 z 19)

cioe l’operatoredensita a un corpo ] e la hamiltonianadi Hartree–Fock�

possiedonolostessoinsiemecompletodi autofunzioniepossonoesserediagonalizzatesullastessabasedi particellasingola.

Esercizio 7.6

Verificarechel’operatoredensita a un corporelativo allo statodi Hartree–Fock eidempotente.

Siail metododi Hartree,siail metododi Hartree–Focksonofondatisulmetodovariazionale: dunquesonometodi che permettonodi raggiungereuna buonaap-prossimazioneper l’energia dello statofondamentaleanchepartendoda una fun-zioned’ondarelativamentebuona. Infatti, sesi riscrive la hamiltoniana(2.1) nellaforma (2.9) utilizzandoil potenzialedi Hartreeo di Hartree–Fock comepotenzialeausiliario,l’interazioneresidua

H îEï(ðcheneconseguepuo esseretrattataconmetodi

perturbativi, sia per migliorare l’approssimazioneallo statofondamentale,sia percostruiregli stati eccitati del sistemadi molte particelle. E interessanteche, permigliorarel’approssimazione(7.12)per l’energia dello statofondamentaleoccorreandareal secondoordinein

H îEï(ð; ma,cosı facendo,per la (7.18)la correzionedeve

coinvolgerestati del tipo almeno2-particelle–2-lacune.Tale correzionee negativaper la (VIII.3.9) e abbassacorrettamentel’energia calcolataper lo statofondamen-tale. Cio confermala bonta del metodoper la valutazionedell’energia. Altri criterisonoinvecepiu utili sesi e interessatiadavereunabuonafunzioned’ondaperpoterdescrivereconaccuratezzaaltreosservabili del sistema26, maperquestoargomentosi rimandaa testispecialisticidi teoriadei molti corpi 27.

25 L.N. Brillouin: Lesproblemesdeperturbationset les champsself–consistents,loc. cit. (cfr. n. 4 p.341).26 WernerKutzelniggeVedeneH.Smith,jr.: OnDifferentCriteria for theBestIndependent–ParticleModelApproximation[Dif ferenti criteri per la migliore approssimazionedi modelloa particelle indipendenti],Journalof ChemicalPhysics41 (1964)896–897.27 Si vedaadesempioil testodi N.H. March,W.H. Younge S.Sampanthar:TheMany–BodyProbleminQuantumMechanics, TheCambridgeUniversityPress,Cambridge,1967.

431

�� !�"Comunque,il metododi Hartree–Fock haprodottonotevoli successinellade-

scrizionedeisistemiatomicienuclearierappresentala basedi partenzaperqualsiasiteoriadi unsistemadi molti corpi: neiprossimiparagrafivienepresentataunabreverassegnadi questisuccessi.

Fig. 8.1.Potenzialedi ionizzazionedegli atomiin funzionedelnumeroatomico c .,Á-�ð -lñ 9cA <'3+3¡9B>?Ê��È<�3�3§>1Æd91=]F0D49Se si osserva l’ammontaredi energia necessariaper ionizzaregli atomi, si

scopronoquantita particolarmenteelevate in corrispondenzadi ben precisi valoridel numero 2 di elettronipresentinell’atomostesso: 2 = 2 S 10S 18S 36S 54S 86 (fig.8.1). Questinumeri,perla loro particolarita,sonostatidefinitinumerimagici 28. Essicorrispondonoaltresı adatomidi gascosiddettiinertiperlaloroscarsaaffinitachimicaconaltri elementi.Questaloroparticolarestabilitapuoessereinterpretataproprioallalucedelleconsiderazionifatteperdeterminarelo statofondamentaledi unsistemadiparticelleechesonoallabasedelmodelloashellatomico.Sesi risolvonoleequazionidi Hartree–Fock per un sistemadi elettroni tra di loro interagenti,in presenzadelcampocoulombianogeneratodagli 2 protonipresentinelnucleoatomico,i possibililivelli energetici perognunodi questielettronisi succedonoconunasequenzaassaisimile a quelladell’atomodi idrogeno(fig. 8.2). In particolare,senonsi consideral’interazionespin–orbitadegli elettroni,la sequenzae taledapermetterelivelli conugualenumeroquanticoprincipale 3 , ma diversonumeroquanticoorbitale

�, in

regioni energeticheristrette,quasia formaredegli strati(in inglese:shell). Perogni

28 L’evidenzadeinumerimagicierastataaffermatagiadaBohrin connessioneconla classificazionedeglispettriatomicie fu unadellepremesseper l’enunciatodel principio di esclusionedi Pauli. Lo schemaamultipletti fu definitodaEdmundC. Stonere successivamenteripresodaPauli.N. Bohr: AtomicStructure [Struttura atomica], Nature107 (1921)104–107.E.C.Stoner:TheDistributionofElectronsamongAtomicLevels[La distribuzionedegli elettroni nei livelliatomici], PhilosophicalMagazine48 (1924)719–726.

432

ò �(�� b�b�ó�� ;��+��7M (6)6à (10)5É (14)7, (2) ¬ (32) N'N'NcN'N'N [118] ?

6M (6)5à (10)4É (14)6, (2) ¬ (32) N'N'NcN'N'N [86] Rn

5M (6)4à (10)5, (2) ¬ (18) N'N'NcN'N'N [54] Xe

4M (6)3à (10)4, (2) ¬ (18) N'N'NcN'N'N [36] Kr

3M (6)3, (2) ô (8) N'N'NcN'N'N [18] Ar

2M (6)2, (2) ô (8) N'N'NcN'N'N [10] Ne

1, (2) > (2) N'N'NcN'N'N [2] He

Fig. 8.2. Schemadei livelli di particellasingolaenumerimagiciatomici.

livello, o orbitale, fissaticioe 3 e�, in accordocon il principio di Pauli si possono

sistemare2(2�+ 1) elettroni.La configurazionefondamentale,soluzionedelmetodo

di Hartree–Fock,si ottienepopolandocongli 2 elettronigli 2 orbitali di energiapiubassa.Ad esempio,per lo statofondamentaledell’atomodi sodio,con 2 = 11, sipossonoriempirecon2 elettronil’orbitale 1, , con2 l’orbitale 2, , con6 l’orbitale 2Me infine l’undicesimoelettronenonpuo cheandarenell’orbitale3, , immediatamentesuperiorenellascaladi energia. Pertantola configurazionefondamentaledel sodio(Na)edatadallasequenza(1, )2(2, )2(2M )63, . In Tab. 1 vengonoindicatele sequenzefondamentalidegli atomi della tabelladi Mendeleev, in accordocon lo schemadipopolamentopropostopergli orbitali di Hartree–Fock.

433

�� !�"Esercizio 8.1

Dimostrareche,per uno statoa shell completa,e nulla la terzacomponentedelmomentoangolaretotale,di quelloorbitaleedi quellodi spin.

Dallospettrodi particellasingolarisultaoraevidentel’origine deinumerimagiciatomici, in quantoatomi con un numerodi elettronipari a uno dei numerimagicicompletanoconi loro elettroniil popolamentodi unostratodi orbitali. Aggiungereun altro elettronea questiatomicostamoltaenergia rispettoperesempioal casodelNa, il quale,infatti, cometutti i metalli alcalini, prediligela perditadel suoultimoelettroneper raggiungerela piu stabileconfigurazioneelettronicadel Ne. Questomeccanismodi ionizzazioneha un parallelonella facile catturadi un elettronedapartedell’atomodi Cl ( 2 = 17) perconfigurarsipiu stabilmentecomegli elettroninell’atomo di Ar ( 2 = 18). Questoscambiodi elettroni tra uno ione positivo(Na) e uno ione negativo (Cl) da origine a composticomeil cristallo ionico NaCl.Percio questotipo di legamee detto legameionico. In generale,tutte le proprietachimichesonointerpretabiliallalucedelleproprietadegli elettroni di valenza, cioediquegli elettronichepopolanol’ultima shellincompletaechesonodotatidi maggioremobilita di quelli checompletanounashell.

La funzioned’onda di Hartree–Fock non ha la giustaproprieta di simmetriarispettoalle rotazioni ne nello spazioordinario, ne in quello di spin. E pero pursemprepossibileda essacostruirelo statocon i buoni numeriquanticiassociatiaivari momentiangolariorbitali e di spin. Tra i possibili accoppiamentidi momentiangolari,la naturadelleforzein gioconelcasoatomicofapreferirel’accoppiamento�T�

. Inoltre, sperimentalmentesi puo verificarela seguenteregola, dettaregola diHund: lo spin

�, risultantedall’accoppiamentodeivari spindegli elettroninellostato

fondamentaledi un atomo,ha il piu grandevalorepossibilecompatibilmenteconilprincipio di esclusionedi Pauli.

Questaregola e gia stataverificatanel casodell’atomodi elio (paragrafoX.6)e puo essereriscontratanella Tab. 1. Essapuo esserecompresaconsiderandochenello statofondamentalela repulsionetra gli elettronideve essereminima permassimizzarel’energia di legame. Cio richiedemassimaantisimmetrianella parteorbitaledellafunzioned’ondarispettoallo scambiodi duequalunquedegli elettroni:corrispondentemente,la partedi spindeve possederemassimasimmetriarispettoaquestoscambio.La situazionedi massimasimmetriasi ottieneallineandotradi loroquantopiu epossibilegli spindegli elettroni,ottenendoquindi il valoremassimoperlo spin

�risultante29.

29 Perla strutturadegli spettriatomicisi rimandaal classicotestodi E.U.CondoneG.H.Shortley: Theoryof Atomic Spectra, The University Press,Cambridge,1935, e successive edizioni. In particolareunariedizioneampliataestatacuratadaHalis Odabasi,alla memoriadi Condon.

E.U.Condone H. Odabasi:AtomicStructure, TheUniversityPress,Cambridge,1980.

434

ò �(�� b�b�ó�� ;��+��Tab. 1. Configurazioneelettronicae energia di ionizzazionedegli atomi

·.

Elemento Configurazione 2¦

+1 §5õ ö (eV)

1 H Idrogeno (1ð) 2 ª 1 ÷ 2 13.5984

2 He Elio (1ð)2 1 ª 0 24.5874

3 Li Litio (He)(2ð) 2 ª 1 ÷ 2 5.3917

4 Be Berillio (He)(2ð)2 1 ª 0 9.3227

5 B Boro (He)(2ð)2(2

ë) 2

91 ÷ 2 8.2980

6 C Carbonio (He)(2ð)2(2

ë)2 3

90 11.2603

7 N Azoto (He)(2ð)2(2

ë)3 4 ª 3 ÷ 2 14.5341

8 O Ossigeno (He)(2ð)2(2

ë)4 3

92 13.6181

9 F Fluoro (He)(2ð)2(2

ë)5 2

93 ÷ 2 17.4228

10 Ne Neo (He)(2ð)2(2

ë)6 1 ª 0 21.5646

11 Na Sodio (Ne)(3ð) 2 ª 1 ÷ 2 5.1391

12 Mg Magnesio (Ne)(3ð)2 1 ª 0 7.6462

13 Al Alluminio (Ne)(3ð)2(3

ë) 2

91 ÷ 2 5.9858

14 Si Silicio (Ne)(3ð)2(3

ë)2 3

90 8.1517

15 P Fosforo (Ne)(3ð)2(3

ë)3 4 ª 3 ÷ 2 10.4867

16 S Zolfo (Ne)(3ð)2(3

ë)4 3

92 10.3600

17 Cl Cloro (Ne)(3ð)2(3

ë)5 2

93 ÷ 2 12.9676

18 Ar Argo (Ne)(3ð)2(3

ë)6 1 ª 0 15.7596

19 K Potassio (Ar) (4ð) 2 ª 1 ÷ 2 4.3407

20 Ca Calcio (Ar) (4ð)2 1 ª 0 6.1132

21 Sc Scandio (Ar)(3ø ) (4ð)2 2 ù

3 ÷ 2 6.561522 Ti Titanio (Ar)(3ø )2 (4

ð)2 3 ú

2 6.828123 V Vanadio (Ar)(3ø )3 (4

ð)2 4 ú

3 ÷ 2 6.746324 Cr Cromo (Ar)(3ø )5 (4

ð) 7 ª 3 6.7665

25 Mn Manganese (Ar)(3ø )5 (4ð)2 6 ª 5 ÷ 2 7.4340

26 Fe Ferro (Ar)(3ø )6 (4ð)2 5 ù

4 7.902427 Co Cobalto (Ar)(3ø )7 (4

ð)2 4 ú

9 ÷ 2 7.881028 Ni Nichel (Ar)(3ø )8 (4

ð)2 3 ú

4 7.639829 Cu Rame (Ar)(3ø )10(4

ð) 2 ª 1 ÷ 2 7.7264

30 Zn Zinco (Ar)(3ø )10(4ð)2 1 ª 0 9.3942

31 Ga Gallio (Ar)(3ø )10(4ð)2(4

ë) 2

91 ÷ 2 5.9993

32 Ge Germanio (Ar)(3ø )10(4ð)2(4

ë)2 3

90 7.8994

33 As Arsenico (Ar)(3ø )10(4ð)2(4

ë)3 4 ª 3 ÷ 2 9.7886

34 Se Selenio (Ar)(3ø )10(4ð)2(4

ë)4 3

92 9.7524

35 Br Bromo (Ar)(3ø )10(4ð)2(4

ë)5 2

93 ÷ 2 11.8138

36 Kr Cripto (Ar)(3ø )10(4ð)2(4

ë)6 1 ª 0 13.9996

37 Rb Rubidio (Kr) (5ð) 2 ª 1 ÷ 2 4.1771

38 Sr Stronzio (Kr) (5ð)2 1 ª 0 5.6949

39 Y Ittrio (Kr)(4ø ) (5ð)2 2 ù

3 ÷ 2 6.217140 Zr Zirconio (Kr)(4ø )2 (5

ð)2 3 ú

2 6.633941 Nb Niobio (Kr)(4ø )4 (5

ð) 6 ù

1 ÷ 2 6.758942 Mo Molibdeno (Kr)(4ø )5 (5

ð) 7 ª 3 7.0924

43 Tc Tecnezio (Kr)(4ø )5 (5ð)2 6 ª 5 ÷ 2 7.28

44 Ru Rutenio (Kr)(4ø )7 (5ð) 5 ú

5 7.360545 Rh Rodio (Kr)(4ø )8 (5

ð) 4 ú

9 ÷ 2 7.458946 Pd Palladio (Kr)(4ø )10 1 ª 0 8.336947 Ag Argento (Kr)(4ø )10(5

ð) 2 ª 1 ÷ 2 7.5762

48 Cd Cadmio (Kr)(4ø )10(5ð)2 1 ª 0 8.9938

49 In Indio (Kr)(4ø )10(5ð)2(5

ë) 2

91 ÷ 2 5.7864

50 Sn Stagno (Kr)(4ø )10(5ð)2(5

ë)2 3

90 7.3439

51 Sb Antimonio (Kr)(4ø )10(5ð)2(5

ë)3 4 ª 3 ÷ 2 8.6084

52 Te Tellurio (Kr)(4ø )10(5ð)2(5

ë)4 3

92 9.0096

53 I Iodio (Kr)(4ø )10(5ð)2(5

ë)5 2

93 ÷ 2 10.4513

54 Xe Xeno (Kr)(4ø )10(5ð)2(5

ë)6 1 ª 0 12.1298

435

ûMüáý�þvÿ��^ü��:ü�� þvÿ�� %þü��ÿ��ÿTab. 1. (Continua)

Elemento Configurazione 2 � +1 �� (eV)

55 Cs Cesio (Xe) (6ð) 2 �

1 � 2 3.893956 Ba Bario (Xe) (6

ð)2 1 �

0 5.211757 La Lantanio (Xe) (5ø ) (6

ð)2 2 ù

3 � 2 5.577058 Ce Cerio (Xe)(4 � ) (5ø ) (6

ð)2 1 �

4 5.538759 Pr Praseodimio (Xe)(4 � )3 (6

ð)2 4 �

9 � 2 5.46460 Nd Neodimio (Xe)(4 � )4 (6

ð)2 5 �

4 5.525061 Pm Promezio (Xe)(4 � )5 (6

ð)2 6 �

5 � 2 5.5862 Sm Samario (Xe)(4 � )6 (6

ð)2 7 ú

0 5.643663 Eu Europio (Xe)(4 � )7 (6

ð)2 8 �

7 � 2 5.670464 Gd Gadolinio (Xe)(4 � )2 (5ø ) (6

ð)2 9 ù

2 6.149865 Tb Terbio (Xe)(4 � )9 (6

ð)2 6 �

15 � 2 5.863866 Dy Disprosio (Xe)(4 � )10 (6

ð)2 5 �

8 5.938967 Ho Olmio (Xe)(4 � )11 (6

ð)2 4 �

15 � 2 6.021568 Er Erbio (Xe)(4 � )12 (6

ð)2 3 �

6 6.107769 Tm Tulio (Xe)(4 � )13 (6

ð)2 2 ú

7 � 2 6.184370 Yb Itterbio (Xe)(4 � )14 (6

ð)2 1 �

0 6.254271 Lu Lutezio (Xe)(4 � )14(5ø ) (6

ð)2 2 ù

3 � 2 5.425972 Hf Afnio (Xe)(4 � )14(5ø )2 (6

ð)2 3 ú

2 6.825173 Ta Tantalio (Xe)(4 � )14(5ø )3 (6

ð)2 4 ú

3 � 2 7.549674 W Tungsteno (Xe)(4 � )14(5ø )4 (6

ð)2 5 ù

0 7.864075 Re Renio (Xe)(4 � )14(5ø )5 (6

ð)2 6 �

5 � 2 7.833576 Os Osmio (Xe)(4 � )14(5ø )6 (6

ð)2 5 ù

4 8.438277 Ir Iridio (Xe)(4 � )14(5ø )7 (6

ð)2 4 ú

9 � 2 8.967078 Pt Platino (Xe)(4 � )14(5ø )9 (6

ð) 3 ù

3 8.958779 Au Oro (Xe)(4 � )14(5ø )10(6

ð) 2 �

1 � 2 9.225580 Hg Mercurio (Xe)(4 � )14(5ø )10(6

ð)2 1 �

0 10.437581 Tl Tallio (Xe)(4 � )14(5ø )10(6

ð)2(6� ) 2 �

1 � 2 6.108282 Pb Piombo (Xe)(4 � )14(5ø )10(6

ð)2(6� )2 3 �

0 7.416783 Bi Bismuto (Xe)(4 � )14(5ø )10(6

ð)2(6� )3 4 �

3 � 2 7.285584 Po Polonio (Xe)(4 � )14(5ø )10(6

ð)2(6� )4 3 �

2 8.416785 At Astato (Xe)(4 � )14(5ø )10(6

ð)2(6� )5 2 �

3 � 286 Rn Rado (Xe)(4 � )14(5ø )10(6

ð)2(6� )6 1 �

0 10.748587 Fr Francio (Rn) (7

ð) 2 �

1 � 2 4.072788 Ra Radio (Rn) (7

ð)2 1 �

0 5.278489 Ac Attinio (Rn) (6ø ) (7

ð)2 2 ù

3 � 2 5.1790 Th Torio (Rn) (6ø )2(7

ð)2 3 ú

2 6.306791 Pa Protoattinio (Rn)(5� )2 (6ø ) (7

ð)2 4

11 � 2 5.8992 U Uranio (Rn)(5� )3 (6ø ) (7

ð)2 5 �

6 6.194193 Np Nettunio (Rn)(5� )4 (6ø ) (7

ð)2 6 �

11 � 2 6.265794 Pu Plutonio (Rn)(5� )6 (7

ð)2 7 ú

0 6.026295 Am Americio (Rn)(5� )7 (7

ð)2 8 �

7 � 2 5.973896 Cm Curio (Rn)(5� )7 (6ø ) (7

ð)2 9 ù

2 5.991597 Bk Berchelio (Rn)(5� )9 (7

ð)2 6 �

15 � 2 6.197998 Cf Californio (Rn)(5� )10 (7

ð)2 5 �

8 6.281799 Es Einsteinio (Rn)(5� )11 (7

ð)2 4 �

15 � 2 6.42100 Fm Fermio (Rn)(5� )12 (7

ð)2 3 �

6 6.50101 Md Mendelevio (Rn)(5� )13 (7

ð)2 2 ú

7 � 2 6.58102 No Nobelio (Rn)(5� )14 (7

ð)2 1 �

0 6.65103 Lr Lawrencio (Rn)(5� )14 (7

ð)2(7� )? 2 �

1 � 2?104 Rf Rutherfordio (Rn)(5� )14(6ø )2(7

ð)2? 3 ú

2? 6.0?!Dati ripresidallaraccoltadi Particle Data Group: Review of ParticleProperties, TheEuropeanPhysicalJournalC 15 (2000)1–878.

436

" �� $#�ÿ&%(')��ÿ*�� ü+-,/.0,�132547698;:=<=>@?�8BAC4�DPer poterstudiareun sistemadi molte particellecon i metodifin qui esposti

e preliminarela conoscenzadell’interazionedi due di questeparticelle,ancheseoccorresottolinearechein generalel’interazionetra dueparticellenel vuotonon ela stessachele dueparticellesubisconosesonopostein presenzadi altre. Tuttavial’interazionea duecorpi da porrenella hamiltoniana(2.1) puo esserecostituitainprimaapprossimazionedaquellanel vuoto.

Nel casodi dueparticelleall’interno del nucleoatomico,sianoesseprotoni oneutroni,collettivamenteindicati col nomedi nucleoni, questaavvertenzae partico-larmenteimportantedatala tuttorascarsa,operlo menoincompleta,conoscenzadelleforzenucleari.Si possonocomunqueindividuarealcunecaratteristichefondamentalidel potenzialedi interazionetraduenucleoni.

1. Il potenzialenuclearee a corto raggiod’azione. Il raggiodi efficaciadi talepotenzialenon superai 3 fm, oltre i quali i duenucleonipossonoin praticaignorarsi.

2. Il potenzialenucleareha un nocciolofortementerepulsivo alle cortedistanze,tipicamenteper distanzeinferiori a E 0 F 4 fm. Cio e indicato dal fatto chel’energia di legamedei nucleiatomicie il volumenuclearesonoproporzionalial numeroG (= H + I ) di nucleonipresentinelnucleo.

3. L’interazionenuclearenon e puramentecentrale. Selo fosse,l’unico sistemalegatodi duenucleoni,il deutone,costituitoda un protonee da un neutrone,sarebbedescrittodaun’onda J isotropanello spazio,incapacedi renderecontodel momentomagneticoe del momentodi quadrupoloelettrico del deutonestesso.

4. L’interazionenuclearedipendedallo spin. Infatti il deutonecon K = 1 e unsistemalegato,mentreprotonee neutronein unostatocon K = 0 nonformanounostatolegato.

5. Il potenzialenuclearee indipendentedalla caricaelettrica. Infatti tutti i datisperimentaliriguardantii sistemiprotone–protone,protone–neutronee neutro-ne–neutronevengonoacoincideresevengonospogliatidegli effetti elettromag-netici dovuti allapresenzadi unacaricanelprotone.Quest’ultimaproprietagiustificail nomedi nucleoneeunatrattazioneunificata

perprotonie neutroni,propostadaHeisenberg subitodopola scopertadel neutrone,avvenutanel1932peroperadi Chadwick30.

Heisenbergproposedi trattareprotonieneutronicomeduestatiquantisticidellastessaparticella,il nucleone,dotatadi un gradodi liberta a duevalori comelo spinechiamatospinisotopicoo isospin. In perfettaanalogiaformalecongli operatoridispin,equazioni(IX.4.12) – (IX.4.14),si puo introdurrel’operatore

30 JamesChadwick(1891–1974):PossibleExistenceof a Neutron [Possibileesistenzadel neutrone],Nature129 (1932)312.W. Heisenberg: UberdenBauder Atomkerne[Costituzionedeinucleiatomici], Zeitschrift fur Physik77(1932)1–11;78 (1932)156–169;80 (1933)587–596.

437

ûMüáý�þvÿ��^ü��:ü�� þvÿ�� %þü��ÿ��ÿt = 1

2 L LLNM (9 F 1)

con caratteristichedi momentoangolaree con autovaloredi O 2 pari a O ( O + 1), conO = 12. Analogamentealla (IX.4.24)si possonointrodurregli autostatidi LQP ,L P RRRR 10 RRRR = RRRR 10 RRRR (9 F 2)

perindicarelo statodi neutrone,e

L P RRRR 01 RRRR = S RRRR 01 RRRR (9 F 3)

perindicarelo statodi protone31.Naturalmente,la rappresentazionedi L@T M L@U e LQP , cheobbedisconoalla stessa

algebradi V T M V U e V P , puo essereadottataugualeaquelladellematrici di Pauli:

L@T =

RRRR 0 11 0

RRRR M L@U =

RRRR 0 SXWW 0

RRRR M LQP =

RRRR 1 00 S 1

RRRR F (9 F 4)

La funzioned’ondacomplessiva di un nucleonevienequindi a dipendere,oltre chedalle coordinatespazialie di spin, anchedalla coordinatadi isospin: lo spaziodiHilbert in giocoe quindi il prodottodiretto Y 2( Z 3) []\ 2

ð+1 [^\ 2_ +1.

Perlo statodi duenucleonioccorreconsiderarel’isospin totale

T = t1 + t2 F (9 F 5)

I possibili autostatidi ` 2 e di ` P , analogamentea quantosuccedeper lo spin didueparticelle,equazioni(4.2) e (4.3), sonoil singolettodi isospincon ` = ` 3 = 0e il tripletto di isospincon ` = 1, ` 3 = 0 Mba 1. Naturalmenteil singolettoe unostatoantisimmetricodi un neutronee un protone,mentreil tripletto e un sistemasimmetricodi un neutronee di un protone( ` 3 = 0) oppuredi dueneutroni( ` 3 = 1)o di dueprotoni( ` 3 = S 1).

La proprieta5 indicache 2 commutaconil potenzialenucleare,cioe i nucleonisentonola stessaforza nei vari stati di tripletto ( ` = 1), mentresentonounaforzadiversanello statodi singoletto( ` = 0).

In una teoria del nucleoatomicofondatasull’equazionedi Schrodingernonrelativistica, le forze nuclearisonoderivabili da un potenzialeche deve obbedirealle caratteristiche1–5primaelencate;di conseguenzarisultachequestopotenzialedeveessereunoscalarenellospazioY 2( Z 3) [c\ 2

ð+1 [c\ 2_ +1. Trascurandoterminidi

minoreimportanza,unaformaabbastanzageneraledi questopotenzialeelaseguente:d(1 M 2) =

dfe(1 M 2) +

d=g(1 M 2) +

d � � (1 M 2) M (9 F 6)

31 Ovviamentee del tutto arbitrarioscegliere l’uno o l’altro autostatodi hBi perdescrivereil neutrone.Inletteraturainfatti spessola sceltae oppostaaquellaqui adottataconle (9.2)e (9.3).

438

" �� $#�ÿ&%(')��ÿ*�� üdove

dfe(1 M 2) =

d0( j ) +

d�k( j )V VV 1 l V VV 2 +

d�m( j )L LL 1 l L LL 2 +

d�k)m( j )V VV 1 l V VV 2 L LL 1 l L LL 2 M (9 F 7)

con j = n r1 S r2 n e il terminecentrale,d g(1 M 2) = o d g 0( j ) +

d gfm( j ) L LL 1 l L LL 2 p K 12 M (9 F 8)

e il terminetensorialein cui apparel’operatore K 12 che da il caratteretensorialeall’interazione,

K 12 = 31j 2

( V VV 1 l r)( V VV 2 l r) SqV VV 1 l V VV 2 M (9 F 9)

e infine d � � (1 M 2) =d � � ( j )L l S M (9 F 10)

e il terminedi spin–orbitain cui S = s1 + s2 e lo spintotaledei duenucleonie L e illoro momentoangolareorbitalerelativo:

L = (r1 S r2) r (p1 S p2) F (9 F 11)

In questedefinizioni si e messain evidenzala parteoperatorialechedipendedaglioperatoridi spin e di isospin,lasciandosolo indicatacomefunzionedella distanzareciprocaj la dipendenzaspaziale. Il termine

d0( j ) nella (9.7) e l’unico termine

puramentecentrale,ma ancheper lui la forma esplicitae poconota. Nella teoriamesonicadelle forze nucleari32, responsabiledella mediazionedella forza cheunnucleoneesercitasull’altro e unaparticelladi massas , intermediatra quelladelnucleoneequelladell’elettroneepercio chiamatamesone; la funzione

d0( j ) acquista

l’espressionedelpotenzialedi Yukawa:d0( j ) =

d0 tCu�v îw j M (9 F 12)

dove w = syxQz -{ e l’inversodella lunghezzad’ondaCompton S | del mesonescam-biato. Tale mesonesi saoggi chee il pione,la cui massae circa 280 volte quella

32 La teoriafu propostanel 1935dal fisico giapponeseHideki Yukawa (1907–1981):On theInteractionof ElementaryParticles. I. [Sull’interazionedelleparticelleelementari.I.] Proceedingsof thePhysico–MathematicalSocietyof Japan17 (1935)48–57.

439

ûMüáý�þvÿ��^ü��:ü�� þvÿ�� %þü��ÿ��ÿdell’elettrone33. In effetti in una teoria quantisticadel camponucleare,basatasullateoriarelativisticadei campiquantistici,scaturiscein modonaturalel’idea chel’interazionetradueparticellesiaimputabilealloscambiodi altreparticelleacaratterebosonicocomeil pione.Nel limite nonrelativistico taleinterazioneproducesempreun contributo del tipo (9.12), il cui raggiod’azionee determinatodalla lunghezzad’ondaComptonS | = 1z w , associataallaparticellascambiata:nelcasodelpioneperle forzenuclearirisulta S |~} 1 F 4 fm e infatti pergrandivalori di j tutti i potenzialinuclearifenomenologicihannoun comportamentodel tipo (9.12). Perdistanzepiupiccole,diventanopossibiliscambidi dueo piu pioni o anchescambidi oggettipiucomplessieunateoriaadeguatanone ancoradisponibile.Si ricorrepercio a formu-lazioni fenomenologiche,parametrizzandole variefunzioni

d��( j ) cheintervengono

nelladefinizionedid

(1 M 2), in mododariprodurrei dati sperimentali34.A talescopoeforsepiu opportunoriscrivereil terminecentrale(9.7)nellaformad e

(1 M 2) =d��

( j ) +df�

( j ) � � +df�

( j ) � � +d � ( j ) � � M (9 F 13)

in cui intervengonogli operatori di Majorana � � , di Bartlett � � e di Heisenberg� � , conle seguentiproprieta:�� (r1 J 1 M r2 J 2) =�

(r2 J 1 M r1 J 2) M� �� (r1 J 1 M r2 J 2) =�

(r1 J 2 M r2 J 1) M� � � (r1 J 1 M r2 J 2) =�

(r2 J 2 M r1 J 1) F (9 F 14)

Gli operatori� � , � � e � � sonodunqueoperatori di scambio, rispettivamentedellecoordinatespaziali,di spine di tuttele coordinate.

33 Nella ricercadelmesonedi Yukawa,fu identificatoa RomadaMarcelloConversi(1917–1988),EttorePancini (1915–1981)e OrestePiccioni (n. 1915)il leptone� , o muone, chesi presentasiapositivo chenegativo con massa�� 2 = 105� 658 39(6) MeV. Essopero non e in gradodi interagirecon i nucleonisenon per via elettromagneticao debolee quindi, anchese inizialmenteidentificatocon il mesonediYukawa,none il mediatoredellaforzafortenucleare.Il mesone� , o pione, si presentanella varieta neutra( � 0) e carica,sia positiva chenegativa ( �� ), conmassa�� 2, rispettivamente,pari a134.9734(25)MeV e139.56755(33)MeV. Essofu scopertoaBristoldal gruppodi Cecil FrankPowell (1903–1969),CesareMansueloGiulio Lattes(n. 1924)e GiuseppePaoloStanislaoOcchialini(1907–1993)medianteanalisidi lastredi emulsioninucleari,impressionatedaraggicosmici.M. Conversi, E. Pancini e O. Piccioni: On the Disintegration of NegativeMesons[Disintegrazionedimesoninegativi], PhysicalReview 71 (1947)209–210.C.M.G. Lattes, H. Muirhead,G.P.S. Occhialini e C.F. Powell: ProcessesInvolving Charged Mesons[Processiconmesonicarichi] , Nature159 (1947)694–697.

34 Va inoltre dettochedaquestistudi fenomenologicirisultasemprepiu evidentechele forzenucleariaduecorpi nonsonosufficienti per renderecontodell’energia di legamedei nuclei. Occorreconsiderareancheun piccolo, ma determinante,contributo di forze a tre corpi, sulla cui naturaper altro c’e ancoramoltadiscussione.

440

" �� $#�ÿ&%(')��ÿ*�� üEsercizio 9.1

Verificarechel’operatore ��= 1

2(11 + � �� 1 � � �� 2) (9 � 15)

hal’effetto di scambiarele coordinatedi spin.

Esercizio 9.2

Verificarechel’operatore ��= 1

2(11 + � �� 1 � � �� 2) (9 � 16)

hal’effetto di scambiarele coordinatedi isospin.

In basea un principio di Pauli generalizzatola funzioned’onda�

(1 M 2) di duenucleoninellospazioY 2( Z 3) [ \ 2

ð+1 [ \ 2_ +1 deveesseretotalmenteantisimmetrica

rispettoallo scambiodeiduenucleoni.Dunquedeveessere� � � m0� (1 M 2) =�

(2 M 1) = S � (1 M 2) M (9 F 17)

cioe � � � (1 M 2) = S�� m � (1 M 2) F (9 F 18)

Quindi,operandosufunzioni�

(1 M 2) antisimmetriche,si ha� � = S 12(11 + L LL 1 l L LL 2) F (9 F 19)

Inoltre � � = 12(11 + V VV 1 l V VV 2) = 1

2 o 11 +2-{ 2 (S2 S s2

1 S s22) p =

1-{ 2 S2 S 11

e quindi l’azionedi � � equivalea� � = � 1 M negli statidi triplettodi spin,S 1 M negli statidi singolettodi spin.(9 F 20)

Allora, siccomee � � � (1 M 2) = � � � � � (1 M 2) M (9 F 21)

sesi operasufunzioni�

(1 M 2) antisimmetricherisulta� � = S 14(11 + V VV 1 l V VV 2)(11 + L LL 1 l L LL 2) F (9 F 22)

441

ûMüáý�þvÿ��^ü��:ü�� þvÿ�� %þü��ÿ��ÿConle espressioniesplicite(9.15),(9.19)e (9.22),il confrontodella(9.13)con

la (9.7)permettedi correlarele funzionid

0( j ), d�k ( j ), d=m ( j ) ed�k)m

( j ), costruendoleseguenticombinazioni:d��

( j ) =d

0( j ) S d k( j ) S d m

( j ) +d k)m

( j ) Md �( j ) = S 4

d�k)m( j ) Md �

( j ) = 2d�k

( j ) S 2d�k)m

( j ) Md � ( j ) = S 2d=m

( j ) + 2d�k�m

( j ) M (9 F 23)

chevengonoindicaterispettivamentecomeforzadi Wigner 35, forzadi Majorana36,forzadi Bartlett 37 e forzadi Heisenberg 38, giustificandoquindi l’indice corrispon-dente.

Tab. 2.

tripletto singoletto tripletto singolettopari pari dispari dispari� ��

1 � � �� 2 1 � 3 1 � 3h hh 1 � h hh 2 � 3 1 1 � 3� ��1 � � �� 2 h hh 1 � h hh 2 � 3 � 3 1 0� �

1 � 1 1 � 1�& 1 � 1 � 1 1�¢¡1 1 � 1 � 1

D’altra parte,sperimentalmenteil sistemadi duenucleonipuo trovarsidescrittodaun singolettoo daun tripletto di spin,accoppiatoa unacorrispondentefunzioned’ondaspazialepari o disparirispettoallo scambiodei duenucleoni,in modotaleche l’intera funzioned’onda sia antisimmetrica. Cio pero rendepiu comodaunadistinzionedell’interazioneneivari statipossibili. Si introducanoi proiettori

35 E.P. Wigner: On the MassDefectof Helium[Difetto di massadell’elio], PhysicalReview 43 (1933)252–257;Uber die Streuungvon Neutronenan Protonen[Dif fusionedi neutroni da parte di protoni],Zeitschrift fur Physik83 (1933)253–258.36 EttoreMajorana(1906–1938):Uber die Kerntheorie[Teoria del nucleo], Zeitschrift fur Physik 82(1933)137–145.37 JamesH. Bartlett,jr.: Exchange ForcesandtheStructure of theNucleus[Forzedi scambioe strutturadel nucleo], PhysicalReview 49 (1936)102.38 W. Heisenberg: loc. cit. (n. 30p. 437).

442

" �� $#�ÿ&%(')��ÿ*�� ü£ kð

= 12(11 S¤� � ) M £ k_ = 1

2(11 + � � ) M£ mð= 1

2(11 S¤� m ) M £ m_ = 12(11 + � m ) M£ îø = 1

2(11 S¤� � ) M £ î� = 12(11 + � � ) M (9 F 24)

cheproiettanosugli statidi singoletto( J ) o di tripletto ( O ) di spin( V ) o di isospin( L )e sulle parti spaziali( j ) pari (¥ ) o dispari( ¦ ) della funzioned’onda. Si puo alloraequivalentementeriscriverela (9.13),o la (9.7),nellaformad�e

(1 M 2) =d _§� ( j ) £ î� £ k_ +

d ð � ( j ) £ î� £ kð +d _�ø ( j ) £ îø £ k_ +

d ð ø ( j ) £ îø £ kð M (9 F 25)

dove d _¨� ( j ) =d

0 S d k S 3d m S 3

d k)m=d��

+df�

+d��

+d � Md ð � ( j ) =

d0 S 3

d�k+

d�m S 3d�k)m

=d �

+d � S d � S d � Md _zø ( j ) =

d0 +

d�k+

d�m+

d�k)m=d � S d �

+d � S d � Md^ð ø ( j ) =

d0 S 3

d k S 3d m

=d�� S df� S d��

+d � F (9 F 26)

Conl’aiuto dellaTab. 2 epossibileverificareil caratteredi proiettoredegli operatori£. Il vantaggiodellascrittura(9.25)e la visualizzazioneimmediatadei quattrocasi

possibilidi triplettoo singoletto,pari o dispari.

Esercizio 9.3

Verificarechel’operatoretensoriale© 12, datodalla(9.9),puo scriversianchenellaformaseguente: © 12 = 6

1ª 2(S � r)2 « 2S2 � (9 � 27)

Esercizio 9.4

Utilizzandogli statidi singolettoedi triplettodi spin,(4.2)e(4.3),e la definizione(9.9)dell’operatoretensoriale© 12, verificareche © 12 ¬� = 0 e

© 12

RRRRR ¬�® 1¬�® 0¬�®�¯ 1

RRRRR= ° 16±

5

RRRRRRRR²

20( ³)´ ) ¬ ® 1 + µ 3²

2 ¯ 1( ³)´ ) ¬ ® 0 + µ 6²

2 ¯ 2( ³)´ ) ¬ ®�¯ 1« µ 3²

21( ³(´ ) ¬¶® 1 « 2²

20( ³(´ ) ¬¶® 0 « µ 3²

2 ¯ 1( ³(´ ) ¬¶®�¯ 1µ 6²

22( ³)´ ) ¬�® 1 + µ 3²

21( ³(´ ) ¬¶® 0 +²

20( ³(´ ) ¬¶®�¯ 1

RRRRRRRR �443

ûMüáý�þvÿ��^ü��:ü�� þvÿ�� %þü��ÿ��ÿEsercizio 9.5

Verificarei seguentivalori di aspettazionedell’operatoretensoriale© 12, datodalla(9.9),sugli statidi tripletto di spin:· ¬�® � 1 ¸ © 12 ¸ ¬¶® � 1 ¹ = 3cos2 ³ « 1 º· ¬�® 0 ¸ © 12 ¸ ¬¶® 0 ¹ = 2(1 « 3cos2 ³ ) ºdove ³ e l’angolo tra r e l’asse » di quantizzazione.

Per quantoriguardail termine tensoriale(9.8), occorrericordareche il suoruolo e essenzialeper spiegarele proprieta del deutone,la cui funzioned’onda ecaratterizzatada K = 1, ` = 0 e quindi deve esserequelladi un tripletto pari. Seci fossesolo l’interazionecentrale,la partespazialesarebbeun’onda J con ¼ = 0,invecela presenzadel terminetensorialeimponeancheun contributo di onda ¦ con¼ = 2. Agendosuunostatodi singolettodi spin, l’operatoreK 12 da risultatonullo(Esercizio9.4);agendosuunostatodi triplettoessodavaloremassimougualea2 segli spinsonoentrambiallineati con r (Esercizio9.5). Inoltre la mediaangolaredelterminetensorialesi azzera,

14½¿¾ ¦ÁÀ r K 12 = 0 M (9 F 28)

a confermadellanecessita di unadistribuzionenonsfericamentesimmetrica,comenel casodell’onda ¦ , perapprezzareil contributodel terminetensoriale.

Esercizio 9.6

Usufruendodella(9.27)verificarela (9.28).

Il terminedi spin–orbita(9.10)e essenzialeperspiegarela distribuzioneango-lare dei nucleonidiffusi dopol’urto con un altro nucleonequandosi e in gradodimisurarneanchela polarizzazione,cioe il gradodi orientazionedello spin in unadirezioneprefissata.In termini microscopicil’origine del terminedi spin–orbitaecollegataanch’essaallo scambiodi mesoniequindi,comenelcasoatomico,aeffettirelativistici. E pero tuttora incerta l’intensita di questocontributo all’interazionenucleare,chevieneperlo piu fissatasolodaun’analisifenomenologica.E pensabilechein ultimaanalisil’interazionenuclearespin–orbitasiaspiegabile,unavoltacapitala dinamicaaquarkegluonidel nucleone.

+Â,ÄÃ0Å0,ÇÆ¤29ÈÉ8�?/?¨2ÊAÌË7Í=8�?/?¶:=<=>@?�8BAC478Lo studiodel nucleoatomicoin termini di un sistemacostituitodi G = H + I

nucleoni non ebbeinizio subito dopo la scopertadel neutroneper varie ragioni.L’interesseperil neutroneavevafattoconcentrareprincipalmentela ricercasuinuclei

444

Î �B�Pÿ��Ï�� ýÑÐMÿ��¨�Á%(')��ÿ*�� óÿpesantie sui fenomenidi fissione,col risultatochefurono propostimodelli di tipocollettivo in cui i nucleoniavevanopersocompletamentela loro individualita. Ilcosiddettomodelloagoccia,propostonel1939daBohreWheeler39, trattava infattiil nucleoatomicocomeunagocciadi liquido in gradodi subirerotazionievibrazionidi superficie:pergrandideformazionila gocciapuo spezzarsie simularela fissionenucleare.La lungaparentesidellasecondaguerramondialenonpermisedi studiarein mododettagliatole proprieta deinuclei,senonconfinalita extrascientifiche.

Fig. 10.1.Numerodi nuclidi stabili in funzionedel numerodi protoni (a) e del numerodineutroni(b).

Fig. 10.2.Sezioned’urto di catturadi neutroneda partedi un nucleopari in funzionedelnumerodi neutroni.

39 N. BohreJohnArchibaldWheeler(n. 1911):TheMechanismof NuclearFission[Il meccanismodellafissionenucleare], PhysicalReview 56 (1939)426–450.

445

ûMüáý�þvÿ��^ü��:ü�� þvÿ�� %þü��ÿ��ÿ

Fig. 10.3.Energia del primo livello eccitatodei nuclei pari–pariin funzionedel numerodineutroni.

D’altra parteun’esamedei nuclidi stabili in funzionedel numero I di protonie del numero H di neutroni indica chiaramenteche per certi valori di I e di Hl’abbondanzae superiore40 (fig. 10.1). Si presentanoanchein fisica nucleareinumerimagici: H M I = 2, 8, 20, 28,50, 82, 126. Essisonoconfermatiperesempioosservandola probabilitadi catturareunneutronein funzionedelnumerodi neutronigiapresentinelnucleo41 (fig. 10.2).Questaprobabilitahaminimi in corrispondenzadei numerimagici,quasicheil sistemanonvogliaalterarela suastabilita. Cio trovariscontronell’energiadelprimolivello eccitatodeinumeripari–pari,cioecon H e Ipari,peri quali la configurazionemagicaeparticolarmentestabile42 (fig. 10.3).

L’ideadi usareil metododi Hartree–Fockperspiegarei numerimagicinuclearinonvenneimmediatamenteaccettata,perchenonesistenelnucleoatomicouncentrodi forzecomunichepossacostituirel’origine di un sistemadi riferimentonel qualedescrivere il moto dei nucleoni,cosı comenell’atomo il nucleocreail potenzialecoulombianopergli elettroni.Nel nucleotutti i nucleonisonoequivalentie risultavadifficile accettarel’idea di un campomedio solidalecol centrodi massa. Per dipiu l’interazionenucleare,repulsiva alle cortedistanzereciprochee a breve raggiod’azione,hacaratteristichechenonrendonointuitivalapossibilitadi uncampomediochesi estendesututto il nucleo,conunapiccolainterazioneresidua.

Pero l’esistenzadei numerimagici,e quindi di unastrutturaa stratiper i livellidi particellasingolanucleare,e la migliore prova che gli effetti di campomedio

40 B.H. Flowers: TheNuclearShellModel [Il modelloa shell nucleare], Progressin NuclearPhysics2(1952)235–270.41 B.H. Flowers: loc. cit.42 GertrudeScharff–Goldhaber:ExcitedStatesof Even–EvenNuclei [Stati eccitatidei nucleipari–pari],PhysicalReview 90 (1953)587–602.

446

Î �B�Pÿ��Ï�� ýÑÐMÿ��¨�Á%(')��ÿ*�� óÿ6-Ò)Ó 3Ô

2Õ1Ö0×

0Ø 15Ù 2 (16)2Õ 3 Ù 2 (4)

3Ô 1 Ù 2 (2)1Ö 7 Ù 2 (8)

0× 11Ù 2 (12)2Õ 5 Ù 2 (6)

1Ö 9 Ù 2 (10)

��Ú�� [184]

5-Ò�Ó 2Û1 Ü0Ò

0× 13Ù 2 (14)2Û 1 Ù 2 (2)

2Û 3 Ù 2 (4)1 Ü 5 Ù 2 (6)

1 Ü 7 Ù 2 (8)0Ò

9 Ù 2 (10)

�� [126]

4-Ò�Ó 2Ô1Õ0Ö

0Ò

11Ù 2 (12)2 Ô 1 Ù 2 (2)

1Õ 3 Ù 2 (4)1Õ 5 Ù 2 (6)

0Ö 7 Ù 2 (8)

�Ú�� [82]

3-Ò�Ó 1Û0 Ü 0Ö 9 Ù 2 (10)

1Û 1 Ù 2 (2)0 Ü 5 Ù 2 (6)

1Û 3 Ù 2 (4)

0 Ü 7 Ù 2 (8)

�� [50]

�� [28]

2 -Ò)Ó 1Ô0Õ 0Õ 3 Ù 2 (4)

1 Ô 1 Ù 2 (2)

0Õ 5 Ù 2 (6)

�� [20]

1 -Ò)Ó 0Û 0Û 1 Ù 2 (2)

0Û 3 Ù 2 (4)

��Ú�� [8]

0-Ò�Ó 0Ô 0Ô 1 Ù 2 (2) �� [2]

Fig. 10.4.Schemadei livelli di particellasingolaenumerimagicinucleari.

447

ûMüáý�þvÿ��^ü��:ü�� þvÿ�� %þü��ÿ��ÿsonoimportanti. Secondoun suggerimentodi Fermi 43, sesi inserisceun terminedi spin–orbitain unahamiltonianadi particellasingola,in cui il potenzialee quellodi un oscillatorearmonicotridimensionaleisotropo,la disposizionedei livelli, rag-gruppati in strati con energia di eccitazioneÝ -{ÉÞ , si arricchisceper la rimozionedelladegenerazioneprodottadal potenzialedi spin–orbita:la strutturaa strati risul-tantespiegaperfettamentel’esistenzadei numerimagici (fig. 10.4). Naturalmentein questoschemaesisteunospettrodi particellasingolaperprotoni e unoperneu-troni, chepero differisconodi poco,essenzialmentepercorrezionidovuteagli effetticoulombiani.

Il successodel modelloa shell nucleareindussela scuoladi Copenhagen44 atentarneun’unificazionecol modelloa goccia,validapernucleinonsferici, in cui igradidi liberta collettivi di rotazioneedi vibrazionesi accoppianoai gradidi libertadi eccitazionedi particellasingola.

Una giustificazionedel modello a shell nuclearefu possibilesolo negli anni’60, con l’avventodi tecnichedi calcoloautomaticoapplicatealla risoluzionedelleequazionidi Hartree–Fockeall’usodi potenzialinucleariefficaci,in cui la repulsionealle corte distanzee soffice oppureviene simulataintroducendouna dipendenzadall’impulso.Lacostruzionedi questipotenzialiefficacifaricorsoaraffinatetecnichedi teoriadeimolti corpi.

E interessanterilevarechela parteradialelocaledelpotenzialedi Hartree–Fockassomigliaal cosiddettopotenzialedi Woods–Saxon45 (fig. 10.5),la cui espressioneanaliticae la seguente:

43 Nel 1949 Fermi diedequestosuggerimentoa Maria Mayer–Goppert(1906–1972),che ne sviluppol’idea. Peraveredimostratola strutturaa stratidei livelli nucleari,la Mayere HansDanielJensen(1907–1973)condiviseroil premioNobelperla Fisicadel1963conWigner, chequell’annovedevariconosciutala suaapplicazionedei principi di simmetrianellacostruzionedi unateoriadei nuclei e delle particelleelementari.M.G. Mayer: On ClosedShellsin Nuclei [Shell chiusenei nuclei], PhysicalReview 74 (1949)235–239;On ClosedShellsin Nuclei. II [Shell chiuseneinuclei. II] , PhysicalReview 75 (1949)1969–1970.O. Haxel, J.H.D.Jensene H.E.Suess:Onthe“Ma gic Numbers” in NuclearStructure [“Numeri magici”nella struttura nucleare], PhysicalReview 75 (1949)1766.

44 Negli anni 1952–1953AageNiels Bohr (n. 1922),figlio di Niels Bohr, e Ben Mottelson(n. 1926)svilupparonoun’ideadi JamesRainwater(n. 1917)cheli portoallo sviluppodellateoriadeinucleiatomicibasatasullaconnessionetramoti collettivi emoti di particellasingola:perquestoi tre furonoinsigniti delpremioNobelperla Fisicadel1975.J.Rainwater:NuclearEnergyLevelArgumentfor a Spheroidal NuclearModel[Un argomentobasatosuilivelli energetici nucleariperun modellonucleare sferoidale], PhysicalReview 79 (1950)432–434.A. Bohr: The Coupling of Nuclear SurfaceOscillations to the Motion of Individual Nucleons[L’ac-coppiamentodi oscillazioninuclearidi superficieal motodi nucleoniindividuali], Matematisk–FysiskeMeddelelserdetKongeligeDanske VidenskabernesSelskab26 n. 14 (1952)1–40.A. BohreB. Mottelson:CollectiveandIndividual–ParticleAspectsofNuclearStructure[Aspetticollettivie di particella individuale della struttura nucleare], Matematisk–Fysiske Meddelelserdet KongeligeDanske VidenskabernesSelskab27 n. 16 (1953)1–174.45 GogerD. Woodse David S. Saxon: DiffuseSurfaceOptical Model for Nucleon–NucleonScattering[Modellootticoconsuperficiediffusaperl’urto nucleone–nucleone], PhysicalReview 95 (1954)577–578.

448

Î �B�Pÿ��Ï�� ýÑÐMÿ��¨�Á%(')��ÿ*�� óÿ

Fig. 10.5.Il potenzialedi Woods–Saxon.

d( j ) =

d0 o 1 + exp

jßSàZá p u 1(10F 1)

e chenella regionedi minimo ha un andamentosimile a quello di un potenzialedioscillatorearmonico(fig. V.4.1). Pero il fatto che

d( j ) vadaa zero per j~â Z

permettedi avereanchestatinel continuo.Tipici valori dei parametridel potenzialedi Woods–Saxonsono: Z = j 0 G 1 ã 3 M j 0 = 1 F 2 fm Md

0 = S 50MeV M á = 0 F 5 fm M (10F 2)

Tale potenzialeriflette la distribuzionedi materianucleareall’interno del nucleo,ä ( j ), chesi atteggiaaunafunzionedi Woods–Saxoncambiatadi segno.

449

XI. PERTURBAZIONI DIPENDENTI DAL TEMPO

Perconoscereunsistemafisico l’informazionefondamentalee la suarispostaaunasollecitazioneesternachesi sappiacontrollare.Dall’esamedi questarispostasipuo risalirealla determinazionedegli autostatie degli autovalori dellahamiltonianache descrive il sistema. Questoe uno dei problemi centrali dell’indaginefisica epresupponela conoscenzasicuradell’interazionechesimulal’azioneesterna.

I metoditeoriciutilizzati perdescriverel’interazioneconunsistema,cui questocapitolo e dedicato,preferisconorovesciarel’impostazionedel problemae partiredall’ipotesi che al sistemasia associatauna hamiltoniana

�0 di cui si conoscono

a priori autostatie autovalori. La sollecitazioneesterna,in generaledipendentedaltempo� esufficientementemorbidapernonalteraredistruttivamentelecaratteristichedel sistemaallo studio,vienedescrittamedianteun potenziale� ( � ) cherappresental’interazionesubitadal sistema.Pereffetto di tale interazioneil sistemapuo com-pieretransizionidaun autostatodi

�0 a un altro. In questoschemal’equazionedi

Schrodinger, chedescrive l’evoluzionetemporaledel sistema,coinvolgeunahamil-tonianadipendentedal tempoe la suarisoluzionediventain generaleun problemaformidabile. Tuttavia, sel’interazionesubitadal sistemapuo considerarsipiccola,epossibiletrattarlaconmetodoperturbativo. Il capitoloe dedicatoallo sviluppodellateoriadelleperturbazionidipendentidal tempo,chepermettedi fareprevisioni sullepossibili transizioniindottedalla sollecitazioneesterna,valutandola probabilita ditransizionedaunoautostatoa un altro del sistema.Siccomenontutte le transizionisonoconsentitedaunospecificopotenzialed’interazione,sorgecosı il problemadiriconoscerele regoledi selezionechepilotanoquestetransizioni.

Tipico casoqui discussoe l’interazione radiazione-materia.La trattazionequantisticadi questainterazionerichiederebbeunaquantizzazionedelcampoelettro-magneticochequi nonsi puo fare.Cio nonostante,unateoria,chedescriveil campodi radiazionein termini classicie il sistemaallo studioin termini quantistici,risultaefficacee fornisceespressioniper le probabilita di emissionee di assorbimentodi

451

�� !�#"$��radiazionechesonoin accordoconi risultati dell’elettrodinamicaquantistica.%'&�(!)*(,+.-�/�0213/54�6�7�829;:<->=�8?13:A@B8C@�0D-�EF6G6G=�1H-JIK8!L�-�ICIM8

Il problemadi risolverel’equazionedi Schrodingerconunahamiltonianadipen-dentedaltempoein generalemoltodifficile. Tuttavia,spessoneicasiconcretisi riesceadistinguerenellahamiltoniana

�uncontributo

�0, operantenellostessospaziodi

Hilbert di�

e indipendentedal tempo,per il qualesi sarisolverel’equazioneagliautovalori. Allora la differenza

�ONP�0, dipendentedal tempo,hasolo l’effetto di

ruotarela QSRUT nello spaziodi Hilbert di�

0, senzauscirne.Perillustrare il procedimentodi principio e convenientelimitarsi in un primo

momentoal casodi unsistemagovernatodallahamiltoniana�=�

0 + � ( � ) V (1 W 1)

cheposseggasoloduestatistazionaridi�

0 conautovalori X (0)1 Y X (0)

2 :�0 Q 1T = X (0)

1 Q 1T�V �0 Q 2T = X (0)

2 Q 2TBW (1 W 2)

Allora l’equazionedi Schrodinger,Z -[G\\ � QSR]T =� QSR]T�V (1 W 3)

puo essererisoltasviluppandola QSRUT sullabasedegli autostatidi�

0:QSR]T = ^ 1( � ) _�`<aCb (0)1 ced -f Q 1T + ^ 2( � ) _;`gaCb (0)

2 chd -f Q 2TBW (1 W 4)

Nello sviluppo(1.4), analogoalla (VII.1.13), i coefficienti ^ i ( � ) dipendonooradaltempoacausadellapresenzadelpotenziale� ( � ): nei coefficienti dellosvilupposi epreferitometterein evidenzail fattoredi fasecherappresental’evoluzionetemporaledegli stati stazionariin assenzadel potenziale� ( � ). Inserendola (1.4) nella (1.3) emoltiplicandoscalarmenteper j 1 Q o per j 2 Q , si ottieneklm ln Z -[po ^ 1( � )o � _ `<aCb (0)

1 ced -f = � 11( � ) ^ 1( � ) _ `<aCb (0)1 chd -f + � 12( � ) ^ 2( � ) _ `gaCb (0)

2 chd -f VZ -[po ^ 2( � )o � _ `<aCb (0)2 ced -f = � 21( � ) ^ 1( � ) _ `<aCb (0)

1 chd -f + � 22( � ) ^ 2( � ) _ `gaCb (0)2 chd -f V (1 W 5)

dove �Hq*r ( � ) = jhs,QS� ( � ) Q t?T�W (1 W 6)

Le (1.5) sonoun sistemadi dueequazionidifferenzialidel primo ordinenel tempo,la cui soluzionepermettedi ricavare i coefficienti ^ 1 u 2( � ) dello sviluppo (1.4) in

452

�v�#�#��5�w D��w�x��*�y��g5�UzD�{zD�!��"y�|�'��}� �{~��{� �funzionedel tempo. Le dueequazionirisultanoaccoppiatea causadella presenzadegli elementinon diagonali dell’interazione � : e proprio questapresenzacheall’istante � permettedi avere per esempio ^ 2( � ) �= 0, anchese inizialmenteera^ 2(0) = 0, con la corrispondentepossibilita di unatransizionedel sistemadal suostatofondamentaleQ 1T allo statoeccitato Q 2T .�$�B�B�}�3�C�>�5�C�

Prima di procederepuo essereistruttivo considerareil sistemadi equazioni(1.5) quandoil potenziale� ( � ) �� 0 sia indipendentedal tempo. In questocasosi puorisolvereil sistema(1.5)esattamente.Si pongaperbrevita

-�;�0 = � (0)

2 � � (0)1 � (1 � 7)

Dalla hermiticitadi � segue � 12 = ��21 � (1 � 8)

Allora il sistema(1.5)diventaklm lnp� -�� 1( � )� � = � 11 � 1( � ) + � 12 � 2( � ) ��{� 0 �� -� �� 2( � )� � = ��12 � 1( � ) � �{� 0 � + � 22 � 2( � ) � (1 � 9)

le cui soluzionisonodel tipo� 1( � ) = � ��3�{� �� 2( � ) = ¡¢�� ( �£�� 0) � � (1 � 10)

I coefficienti � e ¡ eil valoredi�

si ottengonoinserendola soluzione(1.10)nelsistema(1.9): ¤

( � 11 � -�;� ) � + � 12 ¡ = 0 �� 12 � + ( � 22 � -�;� + -�*�0) ¡ = 0 � (1 � 11)

L’azzerarsideldeterminantedeicoefficienti di questosistemadi equazioniforniscei duevalori di

�chelo risolvono:

-�*�1 ¥ 2 = 1

2( � 11 + � 22 + -�*�0) ¦ -�}§ � (1 � 12)

con

-�¨§ = © 14 ( � 11 � � 22 � -�;�

0)2 + ª � 12 ª 2 � (1 � 13)

Corrispondentemente, ¡ 1 ¥ 2 =-�*�

1 ¥ 2 � � 11� 12� 1 ¥ 2 � (1 � 14)

Quindi la soluzionedel sistema(1.9)risulta

453

�� !�#"$��km n � 1( � ) = � 1 ��3�{� 1 � + � 2 ��M� 2 �w�� 2( � ) =

1� 12� �{� 0 �$« ( -�;�

1 � � 11) � 1 � �3�{� 1 � + ( -�*�2 � � 11) � 2 � �3�{� 2 �!¬ � (1 � 15)

Le costanti� 1 ¥ 2 vengonofissatedallecondizioniiniziali. Sesi imponecheper � = 0 ilsistemasi trovi nellostatofondamentaleª 1 , cioe � 1(0) = 1, � 2(0) = 0, si ottieneinfineklm ln � 1( � ) = exp ® � � ( � 11 + � 22 + -��

0) �2-� ¯U° cos

§ � + � � 22 � � 11 + -�*�0

2-�±§ sin§ �² �� 2( � ) = � � � 12

-�¨§ exp ® � � ( � 11 + � 22 � -�;�0) �

2-� ¯ sin§ � � (1 � 16)

Tenendopresentechei coefficienti � 1 ¥ 2( � ) nella (1.4) rappresentano,a parteil fattoredifaseunitario, l’ampiezzadi probabilita di trovare all’istante � lo statodiretto comelostatodi baseª 1 � 2 , la probabilita di trovareall’istante � il sistemanel suostatoeccitatoedunque ª � 2( � ) ª 2 =

ª � 12 ª 2-� 2 § 2

sin2 § � � (1 � 17)

mentrela probabilitadi ritrovarlo nel suostatofondamentaleeª � 1( � ) ª 2 = cos2§ � +

( � 22 � � 11 + -�*�0)2

4-� 2 § 2sin2 § � �

Percio ª � 1( � ) ª 2 = 1 � ª � 2( � ) ª 2 (1 � 18)

e il sistemacontinuaaoscillaretra lo stato ª 1 e lo stato ª 2 conperiodo³<´ § .Esercizio 1.1

Se nell’Esempioprecedente� 12 = 0, qual e la probabilita di trovare il sistemaancoranel suostatofondamentaleall’istante � ?Esercizio 1.2

Valutareil periododi oscillazionetra i due stati di spin lungo l’asse µ per unaparticellaaspin 1

2 sottopostaauncampomagneticostaticodirettocomel’asse¶ .

In generaleepossibileanalizzarein seriedi Fourieril potenziale� ( � ) associatoalla perturbazionedipendentedal tempo. In questomodolo studiodei suoi effettipuo esserericondottoal casodi unaperturbazioneperiodicacon frequenza· . Sipongadunquenelleequazioni(1.5)unpotenzialedipendentedal tempodel tipo� ( � ) = � 0 _ ax¸ c W (1 W 19)

454

�� *�,��H��JzD�{z�!�#"¹�'�.��¨� �{~��w�M� �Si ottiene klm ln Z -[ o ^ 1( � )o � = � 11 ^ 1( � ) _ ax¸ c + � 12 ^ 2( � ) _ a�º?¸ c VZ -[po ^ 2( � )o � = �¼»12 ^ 1( � ) _;`gaCº�¸ c + � 22 ^ 2( � ) _5ax¸ c V (1 W 20)

dove �Hq*r = jDspQS� 0 Q t?TBV (1 W 21)½ · = · N · 0 (1 W 22)

e · 0 e definitonella(1.7). La risoluzionedi questosistemadi equazionie facilitatasela frequenzadellaperturbazioneeprossimaalla frequenzapropria · 0 delsistema,cioe se Q ½ ·|Q;¾¿· 0 W (1 W 23)

Allora nelle(1.20)i termini oscillanticonla frequenza· si medianoazerosutempiconfrontabilicon il periododi oscillazione2À = 2ÁÃÂ�· e possonoesseretrascuratirispettoaquelli lentamenteoscillanticonla frequenza

½ · . Percio, introducendodeicoefficienti mediatisul tempo,Ä

1 u 2( � ) =12ÀÆÅ c + Çc ` Ç o ��È�^ 1 u 2( �#È ) V (1 W 24)

il sistemadi equazioni(1.20)diventasemplicementeklm ln Z -[ o Ä 1( � )o � = � 12

Ä2( � ) _5a�º$¸ c VZ -[po Ä 2( � )o � = � »12

Ä1( � ) _ `ga�º?¸ c W (1 W 25)

Si riesceadisaccoppiarele duevariabili

Ä1 u 2( � ) derivandorispettoal tempociascuna

delledueequazioni(1.25)e ricorrendoallestesseequazionipereliminarein ognunal’altra variabile: kllm lln o 2

Ä1( � )o � 2 N Z ½ · o Ä 1( � )o � + É 2

Ä1( � ) = 0 Vo 2

Ä2( � )o � 2 +

Z ½ · o Ä 2( � )o � + É 2

Ä2( � ) = 0 V (1 W 26)

dove

-[ 2 É 2 = QS� 12 Q 2 W (1 W 27)

455

�� !�#"$��Le soluzionisonopercio del tipoÊ Ä

1( � ) = _ a�ºË¸ ced 2 «{Ì cos Í 12 sÃ��Î + Ï sin Í 1

2 sv�wÎ ¬ VÄ2( � ) = _ `<a�º�¸ chd 2 «{Ð cos Í 1

2 sÃ� Î + Ñ sin Í 12 sv� Î ¬ V (1 W 28)

dove s = © (½ · )2 + 4É 2 W (1 W 29)

Seinizialmenteil sistemasi trovanel suostatofondamentale,Ä1(0) = 1 V Ä

2(0) = 0 V (1 W 30)

si deveavere Ì = 1 V Ð = 0 W (1 W 31)

Inserendoquindi la soluzione(1.28)nel sistema(1.25)si determinanogli altri coef-ficienti Ï e Ñ : Ï =

N Z ½ ·s V Ñ =N

2Z � »12

-[ s W (1 W 32)

I coefficienti

Ä1 u 2( � ) permettonodi calcolarela probabilita di trovareall’istante � lo

stato QSRJT direttocomelo statodi baseQ 1 V 2T . La probabilita di trovareil sistemanelsuostatoeccitatoedunque

Q Ä 2( � ) Q 2 =4É 2

(½ · )2 + 4É 2 sin2 Í 1

2 sÃ� Î V (1 W 33)

mentrequelladi trovarloancoranel suostatofondamentaleeQ Ä 1( � ) Q 2 = cos2 Í 12 sv� Î +

(½ · )2

(½ · )2 + 4É 2 sin2 Í 1

2 sv� Î W (1 W 34)

L’andamentodella (1.33)presentaun massimomolto pronunciatonel limite in cui½ ·ÓÒ 0. E quindi un andamentotipicamenterisonante,conseguentealla (1.23),chepermettedi individuarela spaziaturadei livelli del sistemamediantela correttasintonizzazionedella frequenzadella perturbazioneapplicata. Naturalmenteconlo scorreredel tempoil sistemaoscilla tra statofondamentalee statoeccitatoconfrequenzas�Â 2Á .

456

Ô�Õ��*�,��HÖ;×Ø5�£Ù��M�5Ú��p×D��.��!�#�5�w�x��Û�,�� 2�,��*�!��"��Esercizio 1.3

Si considerila perturbazionedovutaaun campomagneticoperiodico,� ( � ) = Ü<Ý�Þ ÞÞ>ß B ��{� ��suun elettronedescrittodaunahamiltonianaà

0 = Ü<ÝÃ¡ 0 Þ3á �Studiarel’evoluzionetemporalenei vari casiin cui B siadirettolungounodei treassi¶ ,â , µ .

%'&�(�ã£(yä¹å�1�6�7�8e9�:<->=;8±ægç�è /vé9*=;8C: ê£-�/JçB9�: ë�9*0D-�:£7�826;Ix->=;8ìëH-�:g=£-�:H0D-í= 6�Iv0D-�E|ë�9In lineadi principio si puo cercaredi estendereal casopiu generalele conside-

razioniqui svolteperunsistemaaduelivelli. Siadunqueassegnatala hamiltoniana�=�

0 + � ( � ) V (2 W 1)

conl’ipotesi chesianotolo spettrodi�

0,�0 Q îËT = X (0)i Q îËT�V (2 W 2)

e chel’interazione � ( � ) non modifichi lo spaziodi Hilbert associatoa�

0. Alloral’equazionedi Schrodinger, Z -[ \\ � QSR]T =

� QSR]T�V (2 W 3)

puo essererisoltasviluppandola QSRUT sullabaseï£Q îËT�ð :QSR]T = ñ i ^ i ( � ) _ `ga!b (0)ò ced -f Q îËT�W (2 W 4)

A parteil fattoredi faseunitarioexp(N Z X (0)i �wÂ -[ ) cheregolerebbel’evoluzionetempo-

ralein assenzadi perturbazione,i coefficienti ^ i ( � ) rappresentanol’ampiezzadi prob-abilita cheall’istante � lo stato QSRJT del sistemasiaorientatocome Q îËT . L’interazione� ( � ), modificandonei pesi ^ i ( � ), modificanel tempola sovrapposizionedegli statiQ îËT checompongonoQSR]T , dandoorigineaunarotazionedi QSR]T nellospaziodi Hilbert.La risoluzionedell’equazionedi Schrodinger(2.3)edunquericondottaalladetermi-nazionedeicoefficienti ^ i ( � ). Questisoddisfanounsistemadi equazionidifferenzialiaccoppiatedelprimoordinenel tempo,chesi ottienesostituendola (2.4)nella(2.3),Z -[ ñDó o ^ ó ( � )o � _ `<aCb (0)ô ced -f Q õöT = ñDó ^ ó ( � ) � ( � ) _ `gaCb (0)ô chd -f Q õöT�V

457

�� !�#"$��e moltiplicandoamboi membriscalarmenteper j2î Q :Z -[,o ^ i ( � )o � = ñó ^ ó ( � ) j2î QS� ( � ) Q õöT�_5ax¸ ò�ô c V (2 W 5)

dove

-[ · i ó = X (0)i N X (0)ó W (2 W 6)

La (2.5)puo ancheessereriscrittain formapiu compatta,Z -[ o ^ i ( � )o � = ñ ó ^ ó ( � ) j2î QS�g÷ ( � ) Q õöT�V (2 W 7)

facendocomparirenel secondomembrol’elementodi matricedell’operatore� ÷ ( � ) = _ aCø 0 ced -f � ( � ) _ `<aCø 0 chd -f V (2 W 8)

cherappresentala perturbazionenelladescrizionedi interazione.Integrandola (2.7)sul tempotra0 e � , si ottiene^ i ( � ) = ^ i (0)

N Z-[ùñ ó Å c

0o � È ^ ó ( � È ) j2î QS� ÷ ( � È ) Q õöT�W (2 W 9)

Naturalmentela (2.9) forniscel’ î -esimocoefficiente ^ i dello sviluppo(2.4) sesiconosconole condizioni iniziali, ^ i (0), e anchetutti gli altri ^ ó ( � ) nell’intervallo(0 Vw� ). La (2.9)eperciosolounasoluzioneformaledelsistema(2.7),chenelprossimoparagrafosi dimostraequivalentea quellabasatasugli operatoridi evoluzionetem-poraleintrodotti nel capitoloVII.%'&�(�ú£(|æûL58!IM15ë ë�9JëH-�/�0213/�4ü6;028!L�9

Perrisolvereesplicitamenteil sistemadi equazioni(2.7)eopportunoipotizzareche il contributo � =

�ýNþ�0 possaritenersi “piccolo”, in modo da ricondurre

l’evoluzionetemporaledella QSR]T alla risoluzionedi un processoperturbativo checoinvolgela partedi

�dipendentedal tempo1.

Siaassegnataperesempiola condizioneiniziale^ i (0) = ^ (0)i W (3 W 1)

All’istante � si puo porre^ i ( � ) = ^ (0)i + ^ (1)i ( � ) + ^ (2)i ( � ) + W�W�W5V (3 W 2)

1 P.A.M. Dirac: Onthetheoryof quantummechanics,loc. cit. (n. 2 p. 388).

458

Ö�~��x� ü��}�� {~B�dove i contributi dipendentidal tempo, ( ÿ )i ( � ), svanisconoper � = 0,^ (1)i (0) = ^ (2)i (0) = W�W�W = 0 V (3 W 3)

e rappresentanoall’istante � la correzioneall’ordine � nelpotenziale� ( � ), introdottanello sviluppo(2.4). I coefficienti all’ordine � + 1, ^ ( ÿ +1)i ( � ), si possonoottenereperiterazionedalla(2.7),unavolta noti i coefficienti all’ordine � , ^ ( ÿ )i ( � ):Z -[ o ^ ( ÿ +1)i ( � )o � = ñ ó ^ ( ÿ )ó ( � ) j2î QS� ÷ ( � ) Q õöT�V (3 W 4)

dacui ^ ( ÿ +1)i ( � ) =N Z

-[ ñ ó Å c0o � È ^ ( ÿ )ó ( � È ) j2î QS� ÷ ( � È ) Q õöT�W (3 W 5)

Al primoordinenelpotenziale� si ottienedunque^ (1)i ( � ) =N Z

-[ ñó ^ (0)ó Å c

0o � È jeî QS� ÷ ( � È ) Q õöT�W (3 W 6)

Al secondoordinesi ha

^ (2)i ( � ) =N Z

-[Æñ � Å c0o � È ^ (1)� ( � È ) j2î QS� ÷ ( � È ) Q � T

= ° N Z-[ ² 2 ñ � ñ ó ^ (0)

ó Å c0o � È Å c��

0o � ÈìÈ j2î QS� ÷ ( � È ) Q � T�j � QS� ÷ ( � ÈÛÈ ) Q õöT�W

Questaespressionepuo essereriformulata utilizzando l’operatorecronologicodiDyson(VII.4.21):

^ (2)i ( � ) =12!

° N Z-[ ² 2 ñ � ñ ó ^ (0)

ó Å c0o � È Å c

0o � ÈìÈ�� ® j2î QS� ÷ ( � È ) Q � T�j � QS� ÷ ( � ÈÛÈ ) Q õöT ¯ W (3 W 7)

In generaleall’ordine � si ha

^ ( ÿ )i ( � ) =1� !° N Z

-[ ² ÿ ñ ó1

W�W�W ñ ó � ^ (0)ó �� Å c

0o � 1 W�W�W Å c

0o � ÿ � ® j2î QS� ÷ ( � 1) Q õ 1 T<W�W�W�j2õ ÿ ` 1 QS� ÷ ( � ÿ ) Q õ ÿ T ¯ W (3 W 8)

459

�� !�#"$��Allora la soluzione(3.2) risulta

^*i ( � ) = ^ (0)i +

ñ ÿ =1

1� !° N Z

-[ ² ÿ ñ ó1

W�W�W ñ ó � ^ (0)ó �� Å c

0o � 1 W�W�W Å c

0o � ÿ � ® j2î QS� ÷ ( � 1) Q õ 1 T�W�W�W�j2õ ÿ ` 1 QS� ÷ ( � ÿ ) Q õ ÿ T ¯ W

(3 W 9)Naturalmentelo schemaperturbativo in cui ci si epostifapresumerecheai fini praticinonsianecessariovalutaretutta la seriechecomparenella (3.9), bensı solo i primitermini,al limite soloil primo.

La soluzione(3.9)acquistaun’espressioneparticolarmentesignificativasenellarisoluzionedell’equazionedi Schrodinger(2.3)si imponecheper � = 0 lo stato QSRJTcoincidaconlo stato Q Z T , autostatodi

�0 appartenenteall’autovalore X (0)a . Allora la

(3.1)diventa ^ (0)i = i a (3 W 10)

e la (3.8)si semplifica:

^ ( ÿ )i ( � ) =1� !° N Z

-[ ² ÿ ñ ó1

W�W�W ñó �� 1� Å c0o � 1 W�W�W Å c

0o � ÿ � ® j2î}QS� ÷ ( � 1) Q õ 1 T<W�W�W�j2õ ÿ ` 1 QS� ÷ ( � ÿ ) Q Z T ¯ W (3 W 11)

Percio, per esempio,i coefficienti al primo e al secondoordinenell’interazione�diventano ^ (1)i ( � ) =

N Z-[ Å c

0o ��ÈDj2î QS� ÷ ( ��È ) Q Z T�V (3 W 12)

^ (2)i ( � ) =12!

° N Z-[ ² 2 ñ ó Å c

0o ��È Å c

0o ��ÈìÈ � ® jeî QS� ÷ ( �#È ) Q õöT�j2õPQS� ÷ ( ��ÈìÈ ) Q Z T ¯ W (3 W 13)

Ne seguechela soluzionegenerale(3.9) risulta

^*i ( � ) = �i a + ñ ÿ =1

1� !° N Z

-[ ² ÿ ñ ó1

W�W�W ñó �� 1� Å c0o � 1 W�W�W Å c

0o � ÿ � ® j2î QS� ÷ ( � 1) Q õ 1 T<W�W�W�jeõ ÿ ` 1 QS� ÷ ( � ÿ ) Q Z T ¯ W (3 W 14)

460

�g�h�� x� �M�� |��g��h��zD�Û��*�y�¨�h�CÚ��ì�|�� h�Invocandola definizionedi esponenzialedi un operatore,la (3.14)si puo riscriverenellaforma ^ i ( � ) = j2î Q exp

� N Z-[ Å c

0o ��È � [ � ÷ ( �#È )] �$Q Z T�V (3 W 15)

cioe, ricordandola (VII.4.24), i coefficienti ^ i ( � ) si ottengonocomeelementidimatricedell’operatoredi evoluzionetemporaledelladescrizionedi interazionetra lostatoiniziale Q Z T all’istante0 e il particolarestatofinale Q îËT all’istante � :^ i ( � ) = j2î Q�� ( ��V 0) Q Z T�W (3 W 16)

A partiredallostato Q Z T , la QSR]T all’istante � si ricostruisceattraversolo sviluppo(2.4)in cui intervengonoanchele componenti i ( � ) lungole altredirezioni Q îËT'�= Q Z T , datedalla(3.16).Questorisultatoconfermal’ideachelo stato QSR]T all’istante� siaottenutocomerotazionedello statoiniziale Q Z T , indottadall’operatoreunitariodi evoluzionetemporalenelladescrizionedi interazione,� ( ��V 0).

Esercizio 3.1

Dimostrarela (3.16) utilizzando l’operatoredi evoluzione temporaledella de-scrizionedi interazioneper calcolare ª � ( � ) , sviluppandolocome nella (2.4), con lacondizioneinizialechesia ª � (0) = ª � .Esercizio 3.2

Sullabasedell’Esercizioprecedente,ritrovarele espressioni(3.12)e (3.13).

%|&�(��g(¹+y/w9£4�6£4�8!IK820��6ù=�8¨02/�6�:û@B8�7�8e9�:<-í-U/ü-hê 9�Ix6ù=�� 9�/�9I coefficienti ^ i ( � ) dello sviluppo(2.4) rappresentanoil pesoall’istante � con

cui lo stato Q îËT entranella sovrapposizionechecostruisceQSRUT . Di conseguenzalaprobabilita di trovarelo statodel sistemaQSRUT nelladirezionefinale Q��T all’istante � edatada � a�� ( � ) = Q ^ � ( � ) Q 2 W (4 W 1)

Sedunqueinizialmentee QSRJT = Q Z T , si puo interpretare2 � a�� ( � ) comela probabilitache il sistemacompiala transizionedallo stato Q Z T allo stato Q��T per effetto dellaperturbazione� ( � ) tra l’istante0 e l’istante � .2 La definizionedi probabilita di transizionefu introdottaindipendentementeda Dirac nel lavoro citatoalla n. 2 p. 388,ricevuto dallarivistail 26 agosto1926,e daMax Born.M. Born: DasAdiabatenprinzipin der Quantenmechanik [Il principio adiabaticoin meccanicaquanti-stica], Zeitschrift fur Physik40 (1926)167–192,ricevuto dallarivistail 16ottobre1926.

461

�� !�#"$��

Fig. 4.1.Illustrazionedeicontributi all’ampiezzadi probabilitadi transizioneal primo(a)ealsecondo(b) ordinenell’interazione.

Si puo visualizzarela transizionedallo stato Q Z T allo stato Q��T considerandonel’ampiezzadi probabilitaagli ordini successivi cheintervengononella(3.14).

Il diagrammaa) in fig. 4.1rappresental’ampiezza � ( � ) exp(N Z X (0)� �wÂ -[ ), relati-

vaallo stato Q��T nellasovrapposizione(2.4)raggiuntoall’istante� ecalcolataalprimoordinesecondola (3.12). I segmentifornisconol’evoluzionetemporaledel sistemasecondola hamiltoniananonperturbata

�0: dall’istante0 all’istante � È , compresotra

0 e � , il sistemarestanello stato Q Z T e il suovettoree semplicementemoltiplicatoperil fattoredi faseexp(

N Z X (0)a � È Â -[ ). All’istante � È , la perturbazione� ( � È ) lo fa passaredallo stato Q Z T allo stato Q��T : cio comportal’elementodi matrice j �?Q � ( � È ) Q Z T e unfattore

N Z Â -[ . Infineil sistemaevolvenellostatofinale Q��T dall’istante� È all’istante � ,ancorasecondola hamiltonianaimperturbata

�0: cio produceil fattoredi evoluzione

exp[N Z X (0)� ( � N � È ) Â -[ ]. Datochel’istante � È e ungenericoistantecompresotra0 e � ,

occorresommaresututti i possibili � È , comenella(3.12):

^ (1)� ( � ) _ `ga!b (0)! ced -f =N Z

-[ Å c0o �#È5_ `gaCb (0)! ( c ` c"� ) d -f j �?QS� ( ��È ) Q Z Tg_ `<aCb (0)# c � d -f

=N Z

-[ Å c0o �#È;j �?QS� ÷ ( ��È ) Q Z T?_ `ga!b (0)! chd -f W (4 W 2)

Allo stessomodoil diagrammab) rappresentala stessaampiezzacalcolataalsecondoordine secondola (3.13). In questocasoci sonodue interazionicon laperturbazione,all’istante � ÈìÈ eall’istante � È%$ � ÈìÈ . La primainterazionefacompierealsistemala transizionedallostato Q Z T allo statointermedioQ õöT , mentrela secondalo fapassaredallo stato Q õöT allo statofinale Q��T . Nello statointermedioil sistemaevolvetra � ÈìÈ e � È secondola hamiltonianaimperturbata;� È e sempreun istantesuccessivo a� ÈìÈ pereffetto dell’operatoredi ordinamentocronologico� . Sia lo statointermedioQ õöT , siagli istanti � È e � ÈìÈ vannosommatiin tutti i modi possibili,comenella(3.13).Lo statointermedioe dunqueuno statovirtuale, uno degli infiniti stati intermedi

462

�<�h�� D�� x� �{�& �'��g��e��z�ì�w��;�,�¨�D��Ú��ì�'�� h�attraversoi quali il sistemapuo passareper raggiungerelo statofinale Q��T e checontribuisconoall’ampiezzadi probabilita dellatransizione.

Limitandosial primoordinein � ( � ), eq. (3.12),la probabilitadi transizione� a��(4.1) risulta � a�� ( � ) =

1-[ 2 ''' Å c

0o � È j �?Q � ÷ ( � È ) Q Z T ''' 2

=1-[ 2 ''' Å c

0o � È j �?Q � ( � È ) Q Z TB_ a�¸ ! # c � ''' 2 W (4 W 3)

�$�B�B�}�3�C�)(£�C�Sela perturbazionehaduratafinita, cioe � ( � ) *= 0 per0 + �,+.- , e quindi si ha/"0 ª � ( � ) ª � = 0 per � = 0 e � = - , la (4.3) puo essereintegrataperparti con il seguente

risultato 1 �32 ( - ) =1

-� 2 � 22�� ''' Å540

� �g� �{� ! # � �� /"0 ª � ( � ) ª � ''' 2 � (4 � 4)

Hannointeressei seguenticasilimite.

a) Accensioneespegnimentoadiabaticidellaperturbazione

Lavariazionedi energiadi interazioneduranteunperiododi oscillazionedelsistemae in questocasopiccolarispettoal saltoenergeticotragli staticoinvolti, cioe''' �� /�0 ª � ( � ) ª � '''76 -�*� 22�� (4 � 5)

Allora, siccomela derivatatemporaledell’elementodi matricedellaperturbazionee in praticacostantenell’intervallo (0 � - ), il fattore� �M� ! # � nella(4.4)e l’unico importantenel calcolodell’integrale:1 �32 ( - ) =

4-� 2 � 42�� ''' �� /"0 ª � ( � ) ª � ''' 2 sin2 Í 1

2

� 2�� - Î � (4 � 6)

Percio nell’ipotesi(4.5)si ha 1 �32 ( - ) 6 1 � (4 � 7)

cioe lo stato ª � nonvienepraticamenteabbandonatonel tempo- .

b) Accensioneimprovvisadellaperturbazione

In tal casoe ''' �� /�0 ª � ( � ) ª � '''78 -�*� 22�� (4 � 8)

Allora nell’integrale (4.4) il maggior contributo proviene dal valore dell’integrandoall’istantein cui si accendela perturbazione.Indicandocon � 2B� il corrispondentevaloredi piccoperl’elementodi matricedellaperturbazione,si ottienedunque

463

�� !�#"$��1 �32 ( - ) =1

-� 2 � 22�� ª � 2�� ª 2 � (4 � 9)

Occorrerilevarechel’uso della (4.9) e limitato comunqueal casoin cui siaapplicabilela teoriadelleperturbazionidipendentidal tempotroncataal primoordinedellosviluppo(3.11). Puo succedereinfatti che l’improvvisa accensionedella perturbazione,pur inaccordoconla (4.8),nonsiapero trattabilein questoschema.

In generaleepossibileanalizzarein seriedi Fourierla perturbazionedipendentedal tempo.In questomodolo studiodei suoieffetti puo esserericondottoal casodiunaperturbazioneperiodicaconfrequenza· . Sesi ponedunque� ( � ) = � 0 _:9�ax¸ c V (4 W 10)

dalla(4.3)si ottiene

� a�� ( � ) = Q{j;�?QS� 0 Q Z T�Q 2 4sin2 « 12( · �5a=< · ) � ¬

-[ 2( · �5a=< · )2W (4 W 11)

In funzionedi · , il fattoretemporaledella(4.11)presentaunpiccomoltopronunciatoin corrispondenzadi · = > · �5a . Cio indicachelaprobabilitadi transizioneall’istante� esensibilmentediversadazeropervalori di energiadellostatofinale Q��T concentratiintorno all’energia dello statoiniziale Q Z T , aumentatao diminuita di -[ · . In questecondizionisi dicechec’e risonanzaper · = >�· �5a . Oltre chedal fattoretemporale,il valoredi taleprobabilita e poi determinatodall’elementodi matrice j �?QS� 0 Q Z T .

Fig. 4.2. Andamentoin funzionedi�

della probabilita di transizione

1 �32 associataa unaperturbazioneperiodicadi pulsazione

�aun istante� fissato.

La fig. 4.2mostral’andamentodi � a�� in funzionedi · aun istante� fissato,nelcasoci siarisonanzaper · = · �5a@? 0. In condizionidi risonanza,� a�� raggiungeilsuomassimo,paria Q{j �?QS� 0 Q Z T�Q 2 � 2 Â -[ 2. Unamisuradell’ampiezza

½ · dellarisonanza

464

�g�h�� x� �M�� |��g��h��zD�Û��*�y�¨�h�CÚ��ì�|�� h�e fornita dalla condizionedi annullamentodi � a�� , chesi verificaper il valoredi ·piu prossimoa · ��a , cioe Q · N · �5a Q = 2ÁÃÂ�� . Percio:½ · =

4Á� WAl cresceredi Q · N · ��a Q , � a�� oscilla tra il valore4 Q{j;�?QS� 0 Q Z T5Q 2 Â -[ 2( · N · ��a )2 e zero,conunandamentotipico dellecurvedi diffrazione.

Tuttavia,perunostatofinale Q��T fissato,� a�� dipendedaltempo:ciosignificache,al cresceredi � , l’altezzadelpiccodi risonanzacrescecon � 2, mentrela larghezza

½ ·decrescelinearmenteconl’inversodi � . Perche la risonanzasiapronunciataoccorrechesia

½ · ¾¿· �5a , cioe �BA 1· ��a W (4 W 12)

Cio implicachela perturbazione� ( � ) agiscaduranteun intervallo di tempo� granderispettoa1Â�·DC 1Â�· ��a , cherappresentail tempopropriodi oscillazionedelsistematrastatoinizialeefinale. La duratafinita � determina

½ · equindi l’indeterminazioneconcui vienefissato· �5a . Tuttavia � nonpuo crescereindefinitamente,perche altri-menti cresceindefinitamenteanche� a�� in condizionidi risonanza.Per la validitadell’approssimazioneal primo ordinedellateoriadelleperturbazionidipendentidaltempooccorrechesia � a�� ¾ 1, cioe�¨¾ -[Q{j;�?QS� 0 Q Z T�Q W (4 W 13)

Dalle (4.12)e (4.13)discendeallora la condizionedi applicabilita dell’approssima-zioneal primoordine: Q{j;�?QS� 0 Q Z T�Q;¾ -[ · ��a W (4 W 14)

Questacondizionecoincideconla (VIII.3.6) cheassicural’applicabilita dellateoriadelle perturbazioniindipendentidal tempo,ma qui vale solo per la teoriaal primoordine.

Qualoralo statofinale Q��T appartengaallo spettrocontinuodi�

0, � a�� rapp-resentaunadensita di probabilita: per avereuna probabilita da confrontarecon irisultati sperimentalioccorreeseguire unasommasu un gruppodi stati finali, cuiappartieneQ��T , compatibiliconla risoluzioneenergeticasperimentale.Cio permettedi rimuovere le limitazioni (4.12) e (4.13) sulla duratadella perturbazione,allun-gandoindefinitamente� . Allora il fattoretemporaledella(4.11),nel limite �yÒFE ,convergea Á��G [ 1

2( · ��aH< · )] perche rientranellaclassedi funzioni (cfr. eq. (A.21))chepermettonodi definirela deltadi Dirac. Infatti, per s �= 0,

limcJI sin2 sv�s 2 � = 0 V465

�� !�#"$��mentre,per s = 0,

sin2 sÃ�s 2 � = ��Vcheper �¨ÒKE diverge. Inoltre

1ÁAÅ + ` o s sin2 sv�s 2 � =1ÁAÅ + ` oML sin2 LL 2

= 1 WPercio nel limite per �¨ÒKE , la (4.11)diventa� a�� ( � ) =

Á-[ 2 Q{j;�?QS� 0 Q Z T5Q 2 �N « 1

2( · ��a=< · ) ¬=

2Á-[ Q{j �?Q � 0 Q Z T5Q 2 �� ° X (0)� N X (0)a < -[ · ² W (4 W 15)

E convenienteconsiderarela probabilita di transizioneperunita di tempo,O a��QP o � a�� ( � )o � V (4 W 16)

cheperla (4.15)risultaO a�� =2Á-[ Q{j;�?QS� 0 Q Z T5Q 2 ° X (0)� N X (0)a < -[ · ² W (4 W 17)

La presenzadelladeltanella(4.15)enella(4.17)garantiscela conservazionedell’e-nergiae confermacheil saltoenergeticocompiutodal sistemae determinatodallafrequenzadellaperturbazione.

Il caratteresingolaredelladeltaela dipendenzalineareda � della(4.15)rendonomaggioredi 1 la densitadi probabilita � a�� ( � ), manoncreanoproblemiinterpretativiquandosicalcolalaprobabilitadi transizione.In realtalo statofinale Q��T ein generaleimmersoin unadistribuzionecontinuadi stati Q X>T , distribuiti conunadensita R ( X ).Allora nel calcolodella probabilita di transizioneper unita di tempo, O a�� , occorrepartiredalla (4.11)divisa per � e sommaresu tutti gli stati finali Q X>T pesaticon ladensita R ( X ). Cio comportal’espressione

O a�� = Å o XSR ( X ) Q{jeXÆQM� 0 Q Z T�Q 2 4sin2 ® 12( X N X (0)a < -[ · ) ��Â -[ ¯

( X N X (0)a < -[ · )2 � Vdacui, nel limite per �¨ÒKE , si ottieneO a�� =

2Á-[PQ{j �?QS� 0 Q Z T�Q 2 R ( X (0)� ) V (4 W 18)

dovesi deveintendereX (0)� = X (0)a > -[ · .

466

�g�h�� x� �M�� |��g��h��zD�Û��*�y�¨�h�CÚ��ì�|�� h�In tal modola probabilita di transizionerisulta regolarizzata.La (4.18)e stata

definitadaFermicomela regola d’oro per il calcolodellaprobabilita di transizioneperunita di tempo:il suousoemoltoutile in numeroseapplicazioni3.�$�B�B�}�3�C�)(£�3T

Peril calcolodella densita degli stati e utile ricondursiallo spaziodelle fasi.Occorrericordarechein unateoriaquantisticala rappresentazionenellospaziodellefasipermettedi individuareesclusivamenteunvolumettodi dimensioniU r ß U p V � 3, entroil qualeogni puntopuo essererappresentativo della stessaparticellain esame.Inoltre,stati del sistemaquantistico,chesonorappresentatida un puntodello spaziodelle fasiall’internodellostessovolumetto U r ß U p, sonotradi loro indistinguibili.

Allora la frazionedi tali statinell’elementodi volumedellospaziodellefasie�XW =1�3� r � p =

1(2³ -� )3

� r � p � (4 � 19)

Quandouna particellasubisceuna transizionedallo stato ª � allo stato ª 0 , nelcalcolodellaprobabilita di transizioneperunita di tempointervienela densita degli statifinali compatibiliconla conservazionedell’energia. Seci si riferisceall’unitadi volume,il numerodi statifinali risultaY ( � ) =

1� Å �XW § Í � (0)2 � � (0)� ¦ -�� Î=

1(2³ -� )3 Å � p

§ Í � (0)2 � � (0)� ¦ -�*� Î � (4 � 20)

Perunaparticellalibera, � (0) = Z 2 ´ 2[ , percui � p = Z 2 � Z �7\ = [)Z � � �7\ . Allorasi ottiene: Y ( � ) =

1(2³ -� )3

[ Å Z � � Å �7\ § Í � (0)2 � � (0)� ¦ -�*� Î � (4 � 21)

Nel casodi un fotone,percui Z = -�;� ´^] , si haY ( � ) =1

(2³ -� )3 Å ° -�*�] ² 2 � ° -�;�] ² Å �7\ § Í � (0)2 � � (0)� ¦ -�;� Î � (4 � 22)

La trattazionesi estendefacilmenteal casodi piu particellein cui lo spaziodellefasie lo spazioprodottodegli spazidellefasidi singolaparticella.Percio per _ particellesi ha:Y ( � ) =

1�a` Å �XW § ( � (0)2 � � (0)� ¦ �)

=1

(2³ -� )3 ` Å � p1 �ü�� Å � p ` § Í � (0)2 � � (0)� ¦ -�*� Î § Ícb p Î � (4 � 23)

3 EnricoFermidefinı la (4.18)in questomodonellesuelezioni di fisicanucleare:NuclearPhysics, TheUniversityof ChicagoPress,Chicago,1950.

467

�� !�#"$��dove la

§ ° b p ² indica chegli integrali sugli impulsi sonoda eseguirsi rispettandola

conservazionedell’impulsototale,cioe vannofatti solosugli impulsi indipendenti.

%|&�(�d*(¹&BIÃ0D-ü9�/ü-�EF6ù=;8feG8{ê;:<-�/hghä¹ç^i�6�/�0Il calcolodellaprobabilita di transizionevienenotevolmentesemplificatosesi

riescearicondurrel’operatoredi transizione� 0 aunacomponentejlkm di unoperatoretensorialeirriducibile. Molto spessogli stati che intervengononell’elementodimatricedellatransizionesonoesprimibiliin terminidi autostatisimultaneidelmoduloquadrato n 2 e della terzacomponenten�o del momentoangolare. L’elementodimatricestessorisulta in questocasodel tipo jDs È�p È õ È Q j km Q s p õöT , dove s , s È servonoadindicarela dipendenzadaognialtro numeroquantico(peresempiol’energia X oil numeroquanticoprincipale î ) necessarioa caratterizzarecompletamentegli statiin esame.

Il teoremadi Wigner-Eckart 4 stabiliscechetaleelementodi matriceeugualealprodottodi un coefficientedi Clebsch-Gordanperunaquantita indipendenteda õ ,õ È , q : jDs È�p È õ È Q j km Q s p õöT = (p�r õsq�Q p È õ È ) jhs È�p È Q�QT k QxQ s p T�W (5 W 1)

La quantita jDs È�p È QxQT k QxQ s p T e dettaelementodi matriceridotto di T k .Perla dimostrazionedel teoremaoccorreconsiderarei (2r + 1)(2p + 1) vettorijlkm Q s p õöT , ( Q q�Q�t r , Q õPQ�t p ) e le loro seguenticombinazionilineari:Q t p ÈìÈ õ ÈÛÈ T = ñ m ó j km Q s p õöT (p�r õsq�Q p ÈìÈ õ ÈìÈ ) W (5 W 2)

Non e dettochei vettori jlkm Q s p õöT sianotra di loro linearmenteindipendentiperchealcuni vettori Q t p ÈÛÈ õ ÈìÈ T costruiti con la (5.2) possonorisultareidenticamentenulli.Infatti, utilizzandole relazionidi ortogonalita (IX.6.19)peri coefficienti di Clebsch-Gordan,la (5.2)puo essereinvertita:j km Q s p õöT = ñu �� ó �� (p�r õsq3Q p ÈìÈxõ ÈÛÈ ) Q t p ÈìÈ õ ÈìÈ T�W (5 W 3)

D’altra parte,in virtu dellerelazioni(VI.1.65) e (VI.6.13),si ha:

4 Un primoenunciatodel teoremaedovutoaCarlEckart(n. 1902).Il teoremaeun’eleganteconseguenzadell’uso della teoriadei gruppi in meccanicaquantistica,un programmasviluppatoda Wigner nel suolibro citatoalla n. 4 p. 252.C. Eckart: TheApplicationof GroupTheoryto theQuantumDynamicsof MonoatomicSystems[Appli-cazionedella teoria dei gruppi alla dinamicaquantisticadi sistemimonoatomici], Reviews of ModernPhysics2 (1930)305–380.

468

v�*�!�D��D�#"¹�.��Bw'�ÛÚ��*�#�yxCÔ�×;z��n 9 j km Q s p õöT = [ n 9 Vyj km ] Q s p õöT + j km n 9 Q s p õöT

= -[�{ r ( r + 1)N q ( q < 1)j km 9 1 Q s p õöT

+ -[ { p (p + 1)N õ ( õ < 1)j km Q s p õ < 1TBV (5 W 4)

dacui

n 9 Q t p ÈìÈ õ ÈìÈ T =

= ñ m ó j km Q s p õöT -[ � { r ( r + 1)N q ( q|> 1)(p�r õsq}> 1 Q p ÈìÈ{õ ÈìÈ )

+{ p (p + 1)

N õ ( õ~> 1)(p�r õ�> 1q�Q p ÈìÈ õ ÈìÈ ) � W (5 W 5)

Mediantele relazionidi ricorrenza(IX.6.21) tra coefficienti di Clebsch-Gordanla(5.5)si semplifica,n 9 Q t p ÈìÈ õ ÈìÈ T = -[ { p ÈÛÈ (p ÈÛÈ + 1)

N õ ÈìÈ ( õ ÈìÈ < 1) Q t p ÈìÈ õ ÈìÈ < 1TBV (5 W 6)

in accordoconla (VI.1.65). Inoltre en�o Q t p*ÈìÈ õ ÈÛÈ T = -[ õ ÈìÈ Q t p*ÈìÈ õ ÈìÈ T�W (5 W 7)

Dalle (5.6) e (5.7) segueallorachei (2p ÈÛÈ + 1) vettori Q t p ÈÛÈ õ ÈìÈ T corrispondentiallostessop ÈìÈ sonotutti nulli oppuresonoautostati(non normalizzati)di n 2 e n�o chesottendonounsottospazioinvarianteperrotazioni.I prodottiscalarijhs È p È õ È Q t p ÈìÈ õ ÈìÈ Tpossonoessereperciodiversidazerosolose p È = p ÈìÈ , õ È = õ ÈìÈ einoltrenondipendonoda õ È , õ ÈÛÈ .

Dalla (5.3)si ottieneallorajhs È p È õ È Q j km Q s p õöT = ñu �� ó �� (p�r õsq�Q p ÈìÈ õ ÈÛÈ ) jhs È p È õ È Q t p ÈìÈ õ ÈìÈ T= (p�r õsq�Q p È�õ È ) jhsËÈ p È{õ È#Q t p È õ È T (5 W 8)

e quindi seguel’asserto(5.1),conjhs È p È QxQT k QxQ s p T = jhs È p È õ È Q t p È õ È T�W (5 W 9)

Nella (5.1)devonoesseresoddisfattele proprieta triangolariimplicite nel coef-ficientedi Clebsch-Gordan:õ È = õ + q V Q p N r Q�t p È t p + r W (5 W 10)

Dalle (5.10) dunquesegue che il teoremadi Wigner-Eckart limita il numerodielementidi matricediversi da zeroper un operatoretensorialeirriducibile, con la

469

�� !�#"$��conseguenzadi imporreregoledi selezionesulle transizionichetale operatorepuoindurre. In particolareperunoperatorescalarej 0

0 il teoremaimponeõ = õ È , p = p Ènella(5.1),chediventajhs È�p*È õ È Q j 0

0 Q s p õöT = uyu � óyó � ( j 00 ) q*q � W (5 W 11)�$�B�B�}�3�C�Q��C�

Si suppongacheil sistemain esamesiadescrittodaunahamiltonianainvarianteper rotazioni; i suoi autostati ª �N�X[í,�Óª W�� [í sonoquindi rappresentabilinello spaziodelleposizionidafunzionid’ondachesi fattorizzanoin unaparteradiale

0��ein unaparte

angolarefornita dallearmonichesferiche� ��. Si vuoleapplicareil teoremadi Wigner–

Eckartal casodi unoperatoredel tipo ¶N� â7� µX� , che,apartefattori numericiinessenziali,e pureesprimibilein termini di armonichesferiche: �&�7� �h� , con � = � + � + � , ª ÜËªM�� .

Gli elementidi matricedi un taleoperatoresugli statidel sistemasi fattorizzanoinunintegraleradialeein unintegraleangolare.L’integraleangolarerichiedel’integrazionesututto l’angolosolidodelprodottodi trearmonichesferiche:�

= Å �X\ � �� ! � ! � �h� � � # � # � (5 � 12)

Il calcolodi questointegralee facilitatodall’usodel teoremadi addizionevettorialedellearmoniche sferiche, che qui non si dimostra5. Tale teoremaconsentedi riscrivere ilprodottodi duearmonichesferiche,funzioni datedegli stessiangoli( � �y� ), in termini disommedi armonichesferichepesateconopportunicoefficienti:

� �1

�1( � �y� ) � �

2

�2( � �G� ) =

= ñ �� (2� 1 + 1)(2� 2 + 1)4³ (2� + 1)

( � 1 � 200ª � 0)(� 1 � 2 [ 1 [ 2 ª �� ) � ��( � �G� ) � (5 � 13)

Utilizzandola(5.13),nell’integrale(5.12)sipuo fruiredell’ortonormalitadellearmonichesferiche,eliminandola sommasu � eottenendo�

= � (2� � + 1)(2� + 1)4³ (2� 2 + 1)

( � � � 00ª � 2 0)(� � ��[ � ÜËª � 2 [ 2 ) � (5 � 14)

Questorisultato e un casoparticolaredel teoremadi Wigner-Eckart (5.1) applicatoaltensoreirriducibile �� = � �h� . Confrontandocon la (5.1), risulta che l’elementodimatriceridotto dellearmonichesferichee/ �¢¡ ª{ªY � ªKª � = � (2� + 1)(2� + 1)

4³ (2� ¡ + 1)( � � 00ª � ¡ 0) � (5 � 15)

5 Cfr. p. es.M.E. Rose:ElementaryTheoryof AngularMomentum, J.Wiley & Sons,New York, 1957,p.61.

470

£ �e��z�ì�w��<�{�;��!�,��{�ì�¹�h��*��$�B�B�}�3�C�Q��3TIl teoremadi Wigner–Eckarteutile perstabilireregoledi selezionesullepossibili

transizioni indotte da un operatoreche si possaesprimerecomeoperatoretensorialeirriducibile. Qui si utilizzano i risultati dell’esempioprecedente,validi quandotaleoperatoree riconducibileaun’armonicasferica.

Dalla (5.15) segue che l’integrale�

della (5.14) si annulla, a meno che sianosoddisfattele seguentirelazioni:ª � � � ��ª7� � 2 � � � + � � (5 � 16)

( � )� !

= ( � )� # + � � (5 � 17)

Inoltre nella(5.14)deve essere [ 2 = [ � + Ü � (5 � 18)

La (5.16) e la (5.18) sonoconseguenzadiretta delle proprieta triangolari del co-efficientedi Clebsch–Gordan( � � ��[ � ÜËª � 2 [ 2 ). La (5.17) deriva dalla prima dalle pro-prietadi simmetria(IX.6.22)deicoefficienti di Clebsch–Gordanapplicataal coefficiente( � � � 00ª � 2 0).

Le (5.16)e (5.18)stabilisconoi momentiangolarie le loro terzecomponentiperstaticollegatidatransizionipermesse,mentrela (5.17)imponela parita ( � )

� !dellostato

finaleconsentito,apartiredaquella,( � )� #

, dellostatoiniziale.

%|&�("¤;(¦¥û/�6�:�@�8x7�829;:û8¨8!:g=*9*0e0D->=*6;ICIx6 /w6 =�8e6�7�829;:<-Nello studio delle proprieta di un sistemafisico uno dei metodi piu efficaci

consistenel sottoporreil sistemaall’interazionecon la radiazioneelettromagnetica.L’interazioneradiazione–materiaeun fenomenochepuo esseretrattatoconla teoriadelle perturbazionidipendentidal tempo. Una trattazionecompletamentequanti-stica richiede lo sviluppo dell’elettrodinamicaquantistica,che e oggettodi corsipiu avanzati. Qui viene delineatauna trattazionesemiclassica,in cui il campodi radiazioneviene descrittoclassicamentedalle equazionidi Maxwell, mentreilsistemasottopostoalla radiazioneviene descrittoquantisticamente.I risultati diquestoe dei prossimiparagrafipero nonvengonoinficiati daquestoapproccio:essitrovanopiuttostocompletagiustificazione,sesi trattail campodi radiazionein terminiquantistici.

Si consideridunqueil campodi radiazioneelettromagneticanel vuoto. Essopuo esseredescrittonel gaugedi Coulomb,§ §§©¨

A = 0 V (6 W 1)

con la sceltadi un potenzialescalareidenticamentenullo. Il potenzialevettoresoddisfa l’equazionedi d’Alembert:

471

�� !�#"$��§2A

N 1

Ä2

\ 2A\ � = 0 W (6 W 2)

Volendoavereunpotenzialevettorereale,si hapercio

A(r Vw� ) = A0 _5a (k ª r `H¸ c ) + A »0 _�`<a (k ª r `H¸ c ) V (6 W 3)

dove · =

Ä r V (6 W 4)

A0 P Ì0 « «« W (6 W 5)

Perla (6.1), A risulta trasverso,cioe la polarizzazione« «« del campoe ortogonalealvettored’ondak:

k

¨ « «« = 0 W (6 W 6)

Allora, notoil potenzialevettore,dalla(I.3.24)si puo ricavareil campoelettrico,

E =N 1

Ä \ A\ � =Z ·Ä « «« ® Ì 0 _ a (k ª r `H¸ c ) N Ì »0 _ `ga (k ª r `g¸ c ) ¯ V (6 W 7)

e dalla(I.3.23)si ottieneil campomagnetico,

B =

§ §§ � A =Zk � « «« ® Ì 0 _ a (k ª r `H¸ c ) N Ì »0 _ `<a (k ª r `H¸ c ) ¯ W (6 W 8)

Nel sistemadi unita di misuradi Gauss,la densitadi energia risulta� =1

8Á ( X 2 + Ï 2) V (6 W 9)

cui corrispondeil vettoredi Poynting

S =

Ä4Á E � B W (6 W 10)

L’intensitamediadellaradiazione,¬ , edatadallamediatemporaledelmodulodi S suunperiododi oscillazionedelcampo;cosı i terminioscillantinella(6.10)si medianoa zeroesi ottiene ¬ ( · ) P =

· 2

2Á Ä Q Ì 0 Q 2 W (6 W 11)

D’altra parte,l’intensitamediadellaradiazionedi frequenza· e interpretabilecomel’energia -[ · portatadaunadensitadi fotoni,

472

£ �e��z�ì�w��<�{�;��!�,��{�ì�¹�h��*�î ( · ) =

1_ -f ¸ d kh® N1V (6 W 12)

cheincidono(convelocita

Ä) nelladirezionein cui puntaS:¬ ( · ) = î ( · ) -[ · Ä W (6 W 13)

Da (6.11)eda(6.13)si ottiene Ì0 P Ì

0( · )

= � 2Á Ä 2 -[ î ( · )· W (6 W 14)

Noto il campodi radiazioneattraversoil suopotenzialevettore,si puo oracostruirela hamiltonianadi interazione� ( � ) tra tale campoe una particelladi massaõ ecarica

N _ . Trascurando,comesempresi e fattofinora,termini in Q Ì Q 2, si ha(cfr. eq.(IX.1.6)) � ( � ) =

_õ ÄA

¨p W (6 W 15)

La dipendenzadi � dal tempoe dovutaal potenzialevettorechedipendeperiodica-mentedal tempo. Si puo dunquestudiarela probabilita di transizioneda unostatoiniziale Q Z T aunostatofinale Q��T dellaparticellacaricain interazioneconla radiazionemediantela teoriadelleperturbazionidipendentidal tempo.

Al primoordinenellaperturbazione(6.15),dalla(3.12)si ha^ (1)� ( � ) =N Z

-[ Å c0o � È j;�?QS� ( � È ) Q Z Tg_�ax¸ ! # c"�

=N _ Ì 0õ -[ Ä j;�?Q _ a k ª r « «« ¨

p Q Z T _ a ( ¸ ! # `g¸ ) c N 1· �5a N ·N _ Ì »0õ -[ Ä j;�?Q _ `ga k ª r « «« ¨p Q Z T _ a ( ¸ ! # + ¸ ) c N 1· �5a + · W (6 W 16)

I dueterminirisultantidalla(6.16)hannounandamentorisonantein funzionedi · , manondiventamomai grandicontemporaneamenteperunastessafrequenza· , perchesesi azzeraun denominatore,l’altro e senz’altrodiversodazero. Il primo terminecorrispondeall’assorbimentodi unfotonedi energia -[ · , in quantoX (0)� = X (0)a + -[ · .Il secondoterminesi riferisceall’emissionedi un fotonedi energia -[ · indottadallaradiazione:X (0)� = X (0)a N -[ · .

Il calcolodellaprobabilitadi transizioneperunitadi temposi puo faresecondole lineedel paragrafoXI.4 in quantociascunodei duetermini della (6.16)conduceseparatamentea un’espressionedel tipo (4.11).

Tenendopresentila (6.14) e la (6.16), dalla (4.17) si ottienela probabilita diassorbimentodi un fotoneperunita di tempo,

473

�� !�#"$��O°¯ =

4Á 2 _ 2õ 2 · î ( · ) ''' j �?QS_�a k ª r « ««¨p Q Z T ''' 2 ° X (0)� N X (0)a N -[ · ² V (6 W 17)

e la probabilita di emissioneindottadi un fotoneperunita di tempo,O°± a =4Á 2 _ 2õ 2 · î ( · ) ''' j �?Q _;`ga k ª r « ««

¨p Q Z T ''' 2 ° X (0)� N X (0)a + -[ · ² W (6 W 18)

I dueprocessidi assorbimentoe di emissioneindottasonoentrambiregolati daunaprobabilita proporzionalea î ( · ): piu intensae la radiazione,maggiorerisultala probabilita di transizione. Cio sembraovvio nel casodell’assorbimento,ma la(6.18)mostrachepropriola presenzadi radiazione( î ( · ) �= 0) e responsabiledi unatransizioneconemissionedi fotone. Inoltre, in ogni caso,la transizionedeveessereenergeticamentepossibileesoddisfarela deltadi conservazionedell’energia. Il tassocon cui il sistemapuo assorbireo emettereun fotone in presenzadi radiazioneegovernatodall’elementodi matricedel corrispondenteoperatoretra statoiniziale efinale.

Unosguardoalle(6.17)e(6.18)mostrachetaletassoelo stesso,sela transizionecoinvolge sempregli stessiduestati. Si suppongainfatti chel’assorbimentodi unfotone facciacompierela transizionedallo stato Q ^3T allo stato Q�²�T (fig. 6.1). Cioavvienecon probabilita proporzionalea Q{j ²�Q exp(

Zk

¨r) « «« ¨

p Q ^£T�Q 2, secondola (6.17).L’emissionedi un fotone indotta sullo stato Q�²�T riporta il sistemain Q ^3T con unaprobabilitaproporzionalea Q{jh^<Q exp(

N Zk

¨r) « «« ¨

p Q�²�T�Q 2, secondola (6.18).D’altra partee j ²�QS_ a k ª r « «« ¨

p Q ^3T =N Z -[ Å o r ³ »´ (r) _ a k ª r « «« ¨ § §§ ³ ¯ (r) V

dove ³ ¯ (r) e ³ ´ (r) sonole funzioni d’ondachedescrivono la particellainteragenteconla radiazionenegli stati Q ^£T e Q�²�T , rispettivamente.Integrandoperpartie tenendopresentela condizione(6.6)riguardantela trasversalitadel campo,si haj ²�QS_�a k ª r « «« ¨

p Q ^£T =N Z -[ Å o r ³Ã»´ (r) _5a k ª r « «« ¨ § §§ ³ ¯ (r)

=Z -[ Å o r ³ ¯ (r) « «« ¨ § §§ ° ³ »´ (r) _ a k ª r ²

=Z -[ Å o r ³ ¯ (r) _ a k ª r « «« ¨ § §§ ³ »´ (r)

=Z -[�µ Å o r ³ »¯ (r) _ `ga k ª r « «« ¨ § §§ ³ ´ (r) ¶ »

= jh^�QS_ `ga k ª r « «« ¨p Q�²�T » W

Cioe in definitiva

474

· ��h��zDzD�{"¹��*�,��ûÚ��h��<� 5�5ÚüØ��h��ü�,�� ;��''' j ²�QS_ a k ª r « ««

¨p Q ^3T ''' 2 = ''' jh^�QS_ `<a k ª r « ««

¨p Q�²�T ''' 2e quindi O ¯ ( ^íÒ¸² ) = O ± a ( ²yÒý^ ) W (6 W 19)

Pertantoi dueprocessiavvengonoconugualetasso.

Fig. 6.1.Processidi assorbimentoedi emissionedi un fotonetraduestati.

%'&�(;¹�(@ºpë ë</�9�@B@B8!EF6�7�829;:<- =�8Ëê;/w6;:g=�8?IM13: ê�èû-ü7B75-í=»� 9;:g=*6Peril calcolodellaprobabilita di assorbimentoo di emissionedi radiazioneda

partedi unsistemafisicospessosi riscontrachela lunghezzad’ondadellaradiazionecoinvolta e molto maggioredelledimensionitrasversalidel sistemacheinteragisceconla radiazione.Ad esempio,per l’atomo di idrogenoin interazioneconil campoelettromagnetico,l’ordine di grandezzadelle dimensionitrasversali e definito dalraggio di Bohr ^ , mentreil modulo r del vettored’onda della radiazionerisultadefinitodal saltoenergeticosubitodall’elettrone:r =

1-[ Ä Q X (0)� N X (0)a Q = _ 2

2 -[ Ä ''' 1î 2a N 1î 2� ''' WDunquee

k

¨r C Y r ^¼C _ 2

-[ Ä =1

137W

Similmente,neinucleiatomici,dovela spaziaturadeilivelli edell’ordinedelMeV, letransizionicoinvolgonoradiazione½ , la cui lunghezzad’ondaeal piu confrontabileconil raggionuclearechee dell’ordinedi 10 11 m.

Pertantospessosi verificala condizione

k

¨r ¾ 1 V (7 W 1)

475

�� !�#"$��chepermetteun’approssimazionedi grandi lunghezzed’ondadella radiazione. Inquestocasosi puo svilupparel’esponenzialecheapparenelcalcolodegli elementidimatricenella(6.17)enella(6.18),troncandola serieai primissimitermini:_5a k ª r = 1 +

Zk

¨r + W�W�W5W (7 W 2)

Nell’esempiodell’atomodi idrogenoil secondoterminedello sviluppo(7.2) con-tribuira conunpesodell’ordinedellacostantedi strutturafine, s = _ 2 Â -[ Ä , rispettoalpeso1 delprimo termine.

Si adottidunquel’approssimazione_ a k ª r ¾ 1 V (7 W 3)

percui j �?Q _5a k ª r « «« ¨p Q Z T ¾ j �?Q « «« ¨

p Q Z T�WD’altra parte

[�

0 V r] =N Z -[õ p W

Percio j �?Q « «« ¨p Q Z T =

Z õ-[ j �?Q « «« ¨

[�

0 V r] Q Z T=Z õ-[ ® X (0)� N X (0)a ¯ j �?Q « «« ¨

r Q Z T�W (7 W 4)

Nelle (6.17) e (6.18) si e ricondotti dunqueal calcolo dell’elementodi matricedell’operatore

N _ r, cherappresental’ operatore di dipolo elettricoassociatoadunacaricaelettrica

N _ postain r. Pertale ragionela (7.3) vienedettaapprossimazionedi dipoloelettrico.

In taleapprossimazionela probabilitadi emissioneindottadi unfotoneperunitadi tempo,(6.18),puo riscriversiO°± a =

1(2Á -[ )3 Å o p ° X (0)� N X (0)a + -[ · ²� 4Á 2 _ 2õ 2 · î ( · )

õ 2

-[ 2® X (0)� N X (0)a ¯ 2 Q{j �?Q « «« ¨

r Q Z T�Q 2 Vdove si e regolarizzatala delta di energia con la densita degli stati finali (4.20).Pertantoconla (7.4)e la (4.22)si haO°± a =

1(2Á -[ )3 Å ° -[ ·Ä ² 2 o ° -[ ·Ä ² Å o É¿ ° X (0)� N X (0)a + -[ · ²� 4Á 2 _ 2õ 2 · î ( · )

õ 2

-[ 2® X (0)� N X (0)a ¯ 2 Q{j �?Q « «« ¨

r Q Z T�Q 2 W (7 W 5)

476

· ��h��zzD�{"¹��*�,��3Ú��h��;��<� ��5ÚüØ��h�D�B�p�� ;��L’integraleangolarecomportaun fattore4Á . Perl’integralesu -[ · si puo utilizzarela deltasull’energia,ottenendoinfineO°± a =

2_ 2 · 3

-[ Ä 3î ( · ) Q�j �?Q « «« ¨

r Q Z T5Q 2 V (7 W 6)

dovesi deveintendere

-[ · = X (0)a N X (0)� W (7 W 7)�$�B�B�}�3�C�ÁÀ��C�L’operatoreresponsabiledellatransizionedi dipolo elettricochecomparenella

(7.6)puo essereutilmenteriespressousandocoordinatepolariÂ ÂÂ ß r = ÂyÃ � sin � cos� + ÂGÄ � sin � sin � + Â á�� cos� �dove � e � sonogli angolipolaridelladirezionedi r. Anchele componenticartesianedelversoredi polarizzazioneÂ ÂÂ sonoesprimibili in termini dei suoiangolipolari ( Å e Æ ):km n ÂGÃ = sin Å cosÆ �ÂGÄ = sin Å sin Æ �Â á = cosÅ �Ricordandol’espressionedelle armonichesferichein coordinatepolari (Tab. IV.2), siottiene

Â ÂÂ ß r = � 4³3

� ° Â áÇ� 10( � �y� ) + � ÂGÃ + � ÂGÄÈ2

� 11( � �G� ) +ÂGÃ + � ÂGÄÈ

2� 1 � 1( � �G� ) ² �

cioe Â ÂÂ ß r = � 4³3

� ñ � ( � )� Â � � � 1

�( � �y� ) � (7 � 8)

dove le componentisferichedi Â ÂÂ ,Â�É1 = Ê 1È

2( ÂGÃ ¦ � ÂyÄ ) = Ê 1È

2sin ÅÆ� É �3Ë �Â

0 = Â á � (7 � 9)

hannola seguenteproprieta: Â � � = ( � )� Â �� (7 � 10)�$�B�B�}�3�C�ÁÀ��3T

477

�� !�#"$��Perottenereunaformaesplicitadellaprobabilitadi emissioneindotta(7.6)occorre

precisareil sistemacheinteragiscecon la radiazione.Seil sistemain esamee descrittodaunahamiltoniana

à0, invarianteperrotazioni,nella rappresentazionedelleposizioni

gli stati ª � e ª 0 sonodescrittidafunzionid’ondachesi fattorizzanoin unaparteradiale0&��e in unaparteangolarefornita dallearmonichesferiche� ��

. Pertanto,mediantela(7.8), il calcolodell’integraleangolarenella (7.6) e ricondottoall’integrazionesu tuttol’angolo solidodelprodottodi trearmonichesferiche,�

= Å �X\ �J�� ! � ! � 1� � � # � # � (7 � 11)

dove [ = 0 � ¦ 1, a secondadell’orientazionedellapolarizzazioneÂ ÂÂ . Il calcolodi questointegralee facilitato dall’uso del teoremadi Wigner–Eckarted e ricondottoal risultato(5.14)con � = 1. Allora perun sistemaconhamiltonianainvarianteperrotazionirisulta

/"0 ª Â ÂÂ ß r ª � = � 2� � + 12� 2 + 1

( � � 100ª � 2 0)Ì ñ � ( � )� Â � � ( � � 1[ � [Gª � 2 [ 2 ) Å � 2 � � 0 �� ! � ! � 0&� # � # �

Percio in questocasola (7.6)diventa

ÍÏÎ � =2� 2 � 3

-� ] 3W (�

)2� � + 12� 2 + 1

( � � 100ª � 2 0)2Ì ''' ñ � ( � )� Â � � ( � � 1[ � [ùª � 2 [ 2 ) ''' 2 ''' Å � � 0 �� ! � ! � 3 0&� # � # ''' 2 � (7 � 12)

In praticasi utilizza radiazionenon polarizzata,per cui occorremediaresulle di-rezionidi Â ÂÂ . Inoltre,senonsi osserva la direzionedelmomentoangolareinizialeefinaledel sistema,occorreanchemediaresu [ � e sommaresu [ 2 . Infine occorresommaresulleduepolarizzazionipossibilidel fotoneemesso.In questecondizionisi haÍÐÎ � � 1

4³ Å �X\ Â ÂÂ 12� � + 1

ñ � # ñ � ! 2 ÍÐÎ � � (7 � 13)

D’altra parte,utilizzandola relazionedi simmetria(IX.6.22)ela relazionedi ortogonalita(IX.6.16)dei coefficienti di Clebsch–Gordan,risulta

12� � + 1

ñ � # ñ � ! ( � � 1[ � [Gª � 2 [ 2 )( � � 1[ � [ ¡ ª � 2 [ 2 ) =2� 2 + 1

3(2� � + 1)§ �,� � �

Inoltre

478

· ��h��zzD�{"¹��*�,��3Ú��h��;��<� ��5ÚüØ��h�D�B�p�� ;��ñ � ª Â � � ª 2 = 1 �

percui infinesi ottieneÍ Î � =4� 2 � 3

3-� ] 3W (�

)( � � 100ª � 2 0)2 ''' Å � � 0 �� ! � ! � 3 0�� # � # ''' 2 � (7 � 14)

Esercizio 7.1

Noti i numeriquanticidello statoiniziale,dedurredalla(7.14)i possibilivalori dimomentoangolareeparita dellostatofinale.

Esercizio 7.2

Valutarela(7.14)perunatransizioneallostatofondamentaledell’atomodi idrogeno.

Nell’Esempio7.2,si verificachein approssimazionedi dipolo elettricole tran-sizioni permessecoinvolgono uno statofinale che possiedeparita (

N1)

� !diversa

dallaparita (N

1)� #

dellostatoiniziale,altrimentisi annullail coefficientedi Clebsch–Gordan(

� a 100Q � � 0) nella (7.14). Inoltre, per lo stessomotivo, il momentoangolarefinale

� � devedifferire di unaunita dalmomentoangolareiniziale� a :

0 t � � =� a=< 1 W (7 W 15)

Se questecondizioni non sono soddisfatte e quindi l’approssimazionedi dipoloelettricoda un risultatonullo, il secondoterminedello sviluppo(7.2), per quantopiccolo,none piu trascurabile.La transizioneallorae determinatadall’elementodimatrice Z j �?Q (k ¨

r)( « «« ¨p) Q Z T�W (7 W 16)

L’operatorechegovernala transizionepuo scriversi

(k

¨r)( « «« ¨

p) = 12[(k

¨r)( « «« ¨

p) + ( « «« ¨r)(k

¨p)]

+ 12[(k

¨r)( « «« ¨

p)N

( « «« ¨r)(k

¨p)]

cioe

(k

¨r)( « «« ¨

p) = 12[(k

¨r)( « «« ¨

p) + ( « «« ¨r)(k

¨p)]

+ 12(k � « «« ) ¨

(r � p) W (7 W 17)

Il primo terminee associatoad unadistribuzionedi tipo quadrupolaredella caricaelettricae vienepercio dettooperatore di quadrupoloelettrico. Il secondoterminee proporzionaleal prodottoscalaretra il campomagneticoB, chee proporzionalea k � « «« , e il momentoangolareL = r � p. Pertantorappresental’interazionedi undipolo magneticocol campomagneticoe vienedettoappuntooperatore di dipolomagnetico.

479

�� !�#"$��$�B�B�}�3�C�ÁÀ��¢ÑSi supponganoÂ ÂÂ paralleloall’asseâ e k paralleloall’asse¶ . Allora l’elemento

di matrice(7.16)conla (7.17)diventa

� /�0 ª (k ß r)( Â ÂÂ ß p) ª � = -��Ò 12 ® /�0 ª ¶sÓÓ â + â ÓÓ ¶ ª � + �-� /"0 ª ��á�ª � ¯ � (7 � 18)

Siccome

[ ¶ â � à 0] =-� 2[ ° ¶ÔÓÓ â + â ÓÓ ¶ ² �

la (7.18)puo riscriversi

� /"0 ª (k ß r)(Â ÂÂ ß p) ª � =Ò [2-� Í � (0)� � � (0)2 Î /�0 ª ¶ â ª � + � 1

2

Ò /"0 ª ��á�ª � � (7 � 19)

Similmente,sesi fosseroscelti Â ÂÂ paralleloa µ ek paralleloa â , nella(7.19)comparirebberoâ µ al postodi ¶ â e � Ã al postodi ��á . Scegliendo Â ÂÂ paralleloa ¶ e k paralleloa µ , siavrebberoinveceµ�¶ e � Ä .

Esercizio 7.3

Verificarecheil contributo di quadrupoloelettricopuo essereriscritto in terminidielementidi matricedi un’armonicasferica: � 2 � 2

�.

Esercizio 7.4

Invocandoil teoremadi Wigner–Eckart, verificareche dalle (5.16) e (5.17) sipossonodedurrele seguentiregoledi selezioneperle transizionidi quadrupoloelettrico:

( � )� #

= ( � )� !

0 � � 2 = � � � � � ¦ 2 � (7 � 20)

480

Õv��Ú��ì�'��Hz��","y�'�� ì�|��Û��#�x×�Esercizio 7.5

Il contributodi dipolomagneticocoinvolgegli elementidi matricedellecomponentidel momentoangolare.Ricordandochesu stati del tipo ª W�� [¼ gli elementidi matricenonnulli degli operatori� É = � Ã ¦ � � Ä sono(cfr. eq. (VI.1.65))/ W � � � [ ¦ 1 ª � É ª W�� [¼ = -� { � ( � + 1) � [ ( [ ¦ 1) � (7 � 21)

verificarei seguenticontributi:/"0 ª � Ã ª � = 12

-� � { � � ( � � + 1) � [ � ( [ � + 1)§ � # � ! § � # � ! § � ! ¥ � # +1

+{ � � ( � � + 1) � [ � ( [ � � 1)

§ � # � ! § � # � ! § � ! ¥ � # � 1 � � (7 � 22)

/"0 ª � Ä ª � = � � 12

-� � { � � ( � � + 1) � [ � ( [ � + 1)§ � # � ! § � # � ! § � ! ¥ � # +1� { � � ( � � + 1) � [ � ( [ � � 1)

§ � # � ! § � # � ! § � ! ¥ � # � 1 � � (7 � 23)

/�0 ª �Ëá�ª � = -� [ � § � # � ! § � # � ! § � # � ! � (7 � 24)

Lo sviluppo(7.2)puo esserecontinuatoaterminisuccessivi. I relativi contributisi separanoin multipoli elettrici e magneticidi ordinesuccessivo, la cui importanzava rapidamentedecrescendonel calcolodelleprobabilita di transizione,con regoledi selezionechesonosempredettatedal teoremadi Wigner–Eckart. IndicandoconX¼Ö l’operatoredi multipolo elettrico di ordine Ö ( X 1 = dipolo elettrico, X 2 =quadrupoloelettrico,ecc.) e con ×ØÖ l’operatoredi multipolo magnetico( × 1 =dipolomagnetico,ecc.),laprobabilitadi transizioneall’ordine Ö coinvolgein generalei termini puri XQÖ ( Ö = 1 V 2 V�W�W�W ) e ×ØÖ ( Ö = 1 V�W�W�W ), maanchetermini di interferenzaX¼Ö - ×ØÖ . Il ruolo di questitermini di interferenzae spessorilevante. Infatti, anchesei termini puri X 2 e × 1 sonopiccoli rispettoal terminepuro X 1, l’interferenzaX 1-X 2 e X 1-× 1 puo essereimportante.%'&�(ÚÙ£(|Û -Dê*9�Ix6G=�8$@�9�EíEF6ù=�8¨=;8ìëû9�Ix9G-�I�-�0e02/�82çB9

La probabilita di assorbimentoper unita di tempodi un fotonedallo stato Q Z Tallo stato Q��T e datadallaregolad’oroO°¯ =

2Á-[ Q{j �?QS� ( � ) Q Z T5Q 2 R ( X ) V (8 W 1)

conil potenzialedi interazione(6.15).

481

�� !�#"$��In approssimazionedi dipoloelettrico,conpolarizzazionedel fotone « «« parallela

a L e flussodi fotoni incidenti pari a

Ä î ( · ), la probabilita di assorbireun fotone,integratasuun intervallino di energiapari alla larghezzadel livello Q��T , diventaO°¯ =

2Á-[ _ 2õ 2

Ä2

2Á Ä 2 -[· î ( · )1

Ä î ( · )Q{j �?Q Ü�Ý<Q Z T�Q 2 W (8 W 2)

Comesi e fattoperla (7.4),si puo sostituirel’operatoreÜ�Ý con(Z õöÂ -[ )[

�0 V L ] e fare

agiredirettamente�

0 sugli stati Q Z T e Q��T , ottenendoO°¯ = 4Á 2 s ° X (0)� N X (0)a ² Q{j;�?Q L Q Z T�Q 2 V (8 W 3)

dove s =_ 2

-[ Ä (8 W 4)

e la costantedi strutturafine.Senon si rivela il particolarestatofinale della transizione,ma si e interessati

soloaconoscerela probabilitatotaledi assorbimentodi unfotoneindipendentementedallostatofinale Q��T , occorresommarela (8.3)sututti gli statifinali Q��T possibili. Laprobabilita totaledi assorbimentorisultaallora:O = 4Á 2 s>ñ � ( X (0)� N X (0)a ) Q{j �?Q L Q Z T�Q 2 W (8 W 5)

Conalcunipassaggisi puo fareassumerea O un’espressioneparticolarmentesem-plice: O = 4Á 2 s ñ � j Z Q L Q��T ° X (0)� N X (0)a ² j �?Q L Q Z T

= 4Á 2 s ñ � 12

� j Z Q L Q��T�j �?Q [ � 0 V L ] Q Z T N j Z Q [ � 0 V L ] Q��T5j �?Q L Q Z T �= 2Á 2 spj Z Q [ L V [ � 0 V L ]] Q Z T= 2Á 2 spj Z Q µ L V N Z -[õ Ü=ÝX¶]Q Z T�W

Percio in definitivasi ottiene O = 2Á 2 s -[ 2õ W (8 W 6)

Il vantaggiodella sommasu tutti gli stati finali e che O diventaun valore di a-spettazionesullostato Q Z T di uncertooperatore:l’approssimazionedi dipoloelettricoconsentedi scriveretaleoperatorecomeil doppiocommutatorecon

�0 dell’operatore

di dipoloelettrico.Taledoppiocommutatoree statoqui valutatonell’ipotesiche�

0

482

Õv��Ú��ì�'��Hz��","y�'�� ì�|��Û��#�x×�siasommadi uncontributodi energiacinetica,responsabiledeltermine(

N Z -[ Â�õ )Ü=Ý ,e di un contributo di energia potenzialedipendentedalla posizione,checommutaquindi con L . Il risultato(8.6) e un numerochedipendeesclusivamentedallamassadellaparticellacheinteragisceconla radiazioneedallacostantedi strutturafinechedeterminal’accoppiamentotra radiazionee materia.

Se, invecedi unasolaparticellainteragentecon la radiazione,ve ne sono Þ ,comegli elettroni in un atomo, la trattazionequi presentatasi sviluppain modoperfettamentesimile. Anziche partiredal potenzialedi interazione(6.15),occorreutilizzareil potenziale � ( � ) =

Nàßñ u=1

_õ ÄA

¨pu W (8 W 7)

L’unica differenzarisultaalloranellasommasu p cheproduceÞ contributi identicia quelli della(8.6): O ®%áãâ = 4Á 2 s -[ 2

2õ Þ¹W (8 W 8)

La (8.8) rappresentala cosiddettaregola di sommadi Thomas–Reiche–Kuhn perl’assorbimentototaledi radiazionedapartedi unatomoin approssimazionedi dipoloelettrico6.

Nel casodi asssorbimentodi radiazioneda partedi un nucleoatomicovaleancorauna regola di sommaanaloga. Nel casonuclearepero, anchese solo iprotonisonodotatidi carica( _ ? 0) e quindi possonointeragirecol campoelettricoapplicato,l’operatoredi dipoloelettricovariferito al centrodi massadelnucleo,conla conseguenzadi far intervenireanchei neutroni.Indicandocon

R =1Ì äñ a =1

r a (8 W 9)

la posizionedel centrodi massadel nucleocon Ì nucleoni( Ì = å neutroni+ Þprotoni),l’operatoredi dipolo elettricoefficacerisulta

6 La (8.8) eunrisultatoottenutonellostudiodelladispersioneotticaedellasuainterpretazionein termininon classici,che fa seguito al lavoro di N. Bohr, H.A. Kramerse J.C.Slater: Thequantumtheoryofradiation[Teoria quantisticadella radiazione], PhilosophicalMagazine47(1924)785–822.La regola e spessoindicatacon l’acronimoTRK costruitocon le iniziali dei nomi di colorochel’hannoproposta:Fritz Reiche(1883–1969),conil suostudenteWilly Thomas,eWernerKuhn(1899–1963).W. Thomas:Uber die Zahl der Dispersionselektronen,die einemstationaren Zustandezugeordnetsind[Numero di elettroni di dispersioneappartenentia uno statostazionario], Die Naturwissenschaften13(1925)627; F. Reichee W. Thomas: Uber die Zahl der Dispersionselektronen,die einemstationarenZustandezugeordnetsind, Zeitschrift fur Physik34 (1925)510–525;W. Kuhn: Uber die Gesamtstarkeder von einemZustandeausgehendenAbsorptionslinien[Intensita totale delle righe di assorbimentoprodottea partire daunostato], Zeitschrift fur Physik33 (1925)408–412.

483

�� !�#"$��D = _ ßñ a =1

r a N Þ|_ R V (8 W 10)

cioe

D =_�åÌ ßñ a =1

r a N _:ÞÌ æñ a =1

r a V (8 W 11)

dove la primasommacoinvolgei protonie la secondai neutroni. Il risultatomostrache,depurandodal calcolo il centrodi massa,si puo procederecomesei protonipossedesserounacarica efficace _�åFÂ Ì e i neutroniunacarica efficace

N _�ÞpÂ Ì . Diconseguenza,la regoladi sommaTRK (8.8)peri nucleidiventerebbeO ®%áãâ = 4Á 2 s -[ 2

2õ åçÞÌ W (8 W 12)

Tuttavia nel casonucleareoccorreconsiderareun altro effetto: nella valutazionedel doppiocommutatoredell’operatoredi dipolo elettricocon

�0 compaionocon-

tributi cheprovengonodatermini dipendentidall’impulsopresentinel potenzialediinterazionetra i nucleoni. Tali termini dipendentidall’impulsohannooriginedalloscambiodi pioni tra i nucleoniinteragentie sonoessenzialiperspiegareil compor-tamentodel nucleoatomicoe in particolarela suaenergia di legame.Indicandoconè

tali contributi, il risultatofinaleperi nucleie dunque7:O ®%áãâ = 4Á 2 s -[ 2

2õ å.ÞÌ (1 +è

) W (8 W 13)

Il coefficienteè

, chenel casoatomicoe identicamentenullo, nel casonuclearevalecirca 0.5 e costituisceunadelle piu sicureindicazionisperimentalidell’importanteruolo giocatodalloscambiodi pioni tra i nucleoninel nucleoatomico8.%|&�(�é*(¹äyEí8�@B@B8e9�:<-J@Dë�9�:g0h6�:<-ü6

Si consideriunostatoeccitatodi unsistemachepuo interagireconla radiazioneelettromagnetica.In generalele regoledi selezioneproibisconoalcune,manontuttele transizionia livelli di energia inferiore,conil risultatocheil sistemahaunacertaprobabilitafinita di diseccitarsi.Lo statoinizialepertantosi puo in realtaconsiderare

7 JosephS.Levinger(n. 1921)eHansA. Bethe(n. 1906):DipoleTransitionsin theNuclearPhoto-Effect[Transizionidipolari nel foto–effettonucleare], PhysicalReview 78 (1950)115–129.8 Perunarecenterassegnasulla rispostadi un nucleoatomicoalla sollecitazioneesternaprodottadauncampoelettromagneticoe sul ruolo dei pioni in fisica nucleare,si vedail testodi S. Boffi, C. Giusti,F.D. Pacatie M. Radici: ElectromagneticResponseof AtomicNuclei, Oxford UniversityPress,Oxford,1996.

484

Ô<",�MzzD��*�}z��C��*�D�uno statoquasi-stazionariodel tipo (IV.4.10). Trascorsoun tempo � , la probabilitadi trovareancoralo statoeccitatoiniziale e diminuitaesponenzialmentesecondola(IV.4.8),dove « rappresental’incertezzachesi riscontranelladefinizionedell’energiadellostatoecostituiscequindila larghezzadi bandaassociataadunamisuradi energiadi quellostato.Pertempibrevi rispettoal tempodi vita medio,j =

-[ « V (9 W 1)

si puo svilupparel’esponenzialee troncarelo sviluppo:_;`ëê chd -f ¾ 1N �j W (9 W 2)

Il tempodi vitamediopuoesserecalcolato:il suoinversoinfatti epariallaprobabilitaper unita di tempoche il sistemaemettafotoni, eseguendotransizionidallo statoiniziale eccitatoad uno qualsiasidegli stati di energia inferiore. Limitandosi atransizionidiretteconemissionedi unsingolofotone,taleprobabilitadi emissionesipuo calcolareal primoordineconla regolad’oro:

1j =2Á-[ ñ i È Q{j2î Qì� ( j ) Q Z T�Q 2 R ( X ) V (9 W 3)

dovela sommasu î vaintesariferita atutti gli stati Q îËT conenergia inferioreaquelladello statoiniziale Q Z T eccitato.

Il fattochela (9.3)nonsiain generalezerofası chesperimentalmentesi verifichila possibilita di emissionespontaneadi fotoni dapartedi un sistemachenon e nelsuostatofondamentale.Infatti, in equilibriotermicoconl’ambientealla temperaturaj , sulla basedella distribuzionecanonicaclassica(I.2.49) o dell’operatoredensitaquantistico(VII.7.21) il sistemapossiedeunaprobabilita non nulla di trovarsi nelsuostatoeccitatoconenergia X : taleprobabilita e proporzionaleal fattoredi Boltz-mannexp(

N X>Â r j ). Allora l’emissionespontaneava ad aggiungersiall’eventualeemissioneindottadallaradiazionegia presente.Si indichi conO ± = O ± a + O ±íì (9 W 4)

la probabilita totaledi emissionedi un fotoneperunita di tempoqualerisultadallasommadi emissioneindotta( O ± a ) e di emissionespontanea( O ±íì ). Seil sistemaein equilibrio termicoconla cavita cheracchiudela radiazionealla temperaturaj , sideve avereequilibrio tra i processidi assorbimentoe di emissionetra gli stati Q ^3T eQ�²�T conenergia X (0)´ ? X (0)¯ . Il processodi emissionesara regolatodallaprobabilitacongiuntadi popolazionedel livello Q�²�T e di emissionedi un fotonee quindi saradatadal prodottoexp(

N X (0)´ Â r j ) O°± . Similmenteper il processodi assorbimentola probabilita e il prodottotra la probabilita di assorbimentoO°¯ di un fotonenellostato Q ^£T per la probabilita exp(

N X (0)¯ Â r j ) chetale statosia popolato. Pertantoinequilibriodeveessere:

485

�� !�#"$��O°± _ `�b (0)î d k^® = O°¯ _ `�b (0)ï d kh® V (9 W 5)

dacui O°±O ¯ = _ -f ¸ d kh® V -[ · = X (0)´ N X (0)¯ W (9 W 6)

Ricordandola (6.12),la (9.6)si puo riscrivereO°±O°¯ =î ( · ) + 1î ( · )

W (9 W 7)

D’altra parte,si evistoconla (6.17)ela (6.18)chesia O ± a , sia O ¯ sonoproporzionalia î ( · ) attraversolo stessofattore. Allora la (9.7) diceche O°±íì deve averela stessaformadella(6.18),conla solasostituzionedi î ( · ) con1. Percio risultaO ± = O ± a + O ±íì

=4Á 2 _ 2õ 2 · [ î ( · ) + 1] ''' jh^�QS_�`<a k ª r « ««

¨p Q�²�T ''' 2 ( X (0)¯ N X (0)´ + -[ · ) W (9 W 8)

Questorisultatoe statoottenutoin unateoriasemiclassicadell’interazioneradiazio-ne-materiaricorrendoanchea considerazionitermodinamiche.Va sottolineatocheil risultato (9.8) con il coefficiente [1 + î ( · )] sarebbescaturitoin modo naturaledescrivendoil processodi emissionein unatrattazionecompletadi elettrodinamicaquantistica9.

La possibilita di emissionespontanea,con successiva emissioneindotta, hatrovato interessantiapplicazionitecnichenellacostruzionedi dispositivi di amplifi-cazionecon emissionestimolatadi radiazione.Nel 1954Townese, indipendente-mente,Basov e Prochorov inventaronoil MASER utilizzandotransizionitra livellidellamolecoladi ammoniaca10. Nel 1958lo stessoTownesproposela realizzazione

9 Qui si e seguito il ragionamentoeuristicocon cui e statoottenutoquestorisultatoper la prima voltada A. Einstein: Zur Quantentheorieder Strahlung[Teoria quantisticadella radiazione], PhysikalischeZeitschrift18 (1917)121–128.10 L’americanoCharlesHardTownes(n. 1915)e i russiNikolaj Gennadievic Basov (n.1922)eAleksandrMihailovic Prochorov (n. 1916) furono premiati per questonel 1964 col premio Nobel. L’acronimoMASERderivadalladefinizioneingleseMicrowave–oMolecular–AmplificationbyStimulatedEmissionof Radiation(= amplificazionedi micro-onde– o molecolare– peremissionestimolatadi radiazione).J.P. Gordon,H.J.Zeigere C.H. Townes: MolecularMicrowaveOscillator andNew HyperfineStructurein theMicrowaveSpectrumof ðòñ 3 [Oscillatore molecolarea microondeenuovastruttura iperfinenellospettro a microondedi ðòñ 3] , PhysicalReview 95 (1954)282–284;TheMaser– New Typeof MicrowaveAmplifier, FrequencyStandard,andSpectrometer[Il maser– unnuovotipo di amplificatorea microonde,standard di frequenzae spettrometro], PhysicalReview 99 (1954)1264–1274.N.G.Basov eA.M. Prochorov: ZhurnalEksperimental’noii Teoretichiskoi Fiziki 27 (1954)431;28 (1955)249 (traduzioneinglese: PossibleMethodsof Obtaining Active Moleculesfor a Molecular Oscillator[Possibili metodiper ottenere molecoleattive per un oscillatore molecolare], Soviet PhysicsJEPT1(1955)184–185.Il primo laser, a rubino,fu costruitodaT.H. Maiman: StimulatedOptical Radiationin Ruby[Radiazioneottica stimolatanel rubino] Nature187 (1960)493–494;Optical MaserAction in Ruby[AzioneMaserottica nel rubino], British Communicationsin Electronics7 (1960)674.

486

Ô<",�MzzD��*�}z��C��*�D�

Fig. 9.1.Schemadi unacella interferometricadi Fabry-Perotper la produzionedi un fasciolaserdall’eccitazionedi unamisceladi gasdi elio eneo.

di unLASERa gas11.In unadelle versionipiu semplici, la luce laserorigina da unacella in cui e

racchiusaunamisceladi elio edi neo.La cellaepostaall’internodi dueparetisemi-riflettentichecostituisconouninterferometrodi Fabry–Perot(fig. 9.1). Attraversolacellaunascaricaelettricatradueelettrodieccitagli atomidi elio cheurtano,ea lorovolta eccitano,gli atomi di neo. Fotoni vengonoemessidalla diseccitazionedegliatomidi neo.Lo schemadei livelli atomiciinteressatie riportatoin fig. 9.2.

Fig. 9.2.Schemadei livelli degli atomidi elio edi neocoinvolti nellatransizionelaser.

La distanzatrale paretisemiriflettentiesintonizzataallalunghezzad’ondadellaradiazioneassociataalla transizioneprescelta:cosı la radiazioneemessadalleprimediseccitazionispontaneerestaintrappolataall’internodell’interferometroestimolaasuavoltaaltrediseccitazioni( î ( · ) �= 0), conun meccanismodi amplificazione.

11 L’acronimoLASER deriva dalla definizioneingleseLight Amplification by StimulatedEmissionofRadiation(= amplificazionedi luceperemissionestimolatadi radiazione).A.L. Schawlow e C.H. Townes: Infraredandoptical masers [Maser a luceinfrarossae ottica], PhysicalReview 112 (1958)1940–1949.

487

�� !�#"$��Il funzionamentoschematicocoinvolge quattro livelli, la cui popolazionein

condizionidi equilibrio termodinamicovadecrescendoconl’energia di eccitazione,in quantoproporzionaleal fattoredi Boltzmann. Con riferimento alla fig. 9.3 eindicandocon å a la popolazionedell’

Z-esimolivello, in condizionidi equilibrio eåQó Y å¼ô Y å ´ Y å ¯ W

Pompandoenergia nel sistema,si induconotransizioni da Q ^3T a Q o T . Se letransizionida Q o T a Q Ä T sonorapiderispettoa quelleda Q Ä T a Q�²�T , il risultatonettodelpompaggioeun’inversionedi popolazione:åQô}Aõå ´ W

Fig. 9.3.Modelloschematicoaquattrolivelli perunatransizionelaser.

La diseccitazionespontaneada Q Ä T a Q�²�T da partedi qualcheatomocreaunapopolazionedi fotoni ( î ( · ) �= 0) con energia -[ · = X (0)ô N X (0)´ , cheinduceemis-sionestimolatain fasedapartedi altri atominello stato Q Ä T . L’ampiezzadel campoelettricorisultantee la sommacoerentedelleampiezzesingoleprodottedallevariediseccitazioni;pertantol’ampiezzadel campoelettrico e proporzionaleal numeroå di atomi in Q Ä T chesi diseccitano.L’intensita della radiazioneemessae quindiproporzionalea å 2, anzicchea å , comesuccedenel casodellaradiazioneprodottadaunasorgentetermica,in cui le singolediseccitazioniavvengonoin modocasualesenzaalcunacorrelazionereciproca.L’emissionestimolatain fasedunquee respon-sabiledelle particolaricaratteristichedi intensita e di coerenzadella luce laser. Alivello microscopicoessasi puo giustificarealla lucedi tre equazionidi evoluzione,accoppiatein modononlineare,cheregolanole trequantita importantinel processo:l’ampiezzadel campoelettrico,l’inversionedi popolazionee la polarizzazionedelmezzoottico. Tenendocontocheil campoelettricovarianel tempopiu rapidamentedelle altre due quantita, e possibileridurre il problemaa un’unica equazionedif-ferenzialedel secondoordineper l’ampiezzadel campoelettricodella radiazione,del tipo

488

Ô<",�MzzD��*�}z��C��*�D�o 2Eo � 2 + ( ½ N�ö

0N t,QE Q 2)

o Eo � + · 2E = ÷ ( � ) V (9 W 9)

in cui il coefficientedella derivataprima contienele perdite( ½ ) e un contributo diguadagnononlineare(

ö0 + tyQE Q 2). Quandoil guadagnosuperale perdite,si innesca

la radiazionelaserdi frequenza· . L’annullarsidel coefficientedi o E Â o � stabilizzal’ampiezzadel campoE. La forzante ÷ ( � ) tiene conto di processistocasticinelsistemain interazioneconle pareti12.

La luce lasersumodosingolo,corrispondentecioe a unaradiazionemonocro-matica,edescrittadauncampoelettricoche,in unatrattazionequantisticadelcampo,risulta in un autostatoQ s$T dell’operatoredi distruzione ^ relativo alla transizioneresponsabiledellaradiazionestessa,transizioneassimilataaunsaltotra livelli di os-cillatorearmonico.Pertantole proprietastatistichedellaradiazionelaserdiscendonodalleproprietadegli staticoerentiï£Q s$T�ð , gia discusseal paragrafoVI.3.

12 La transizionedi faselaserfu dimostratadaRobertGrahame HermannHakenedaVittorio Degiorgioe MarlonO. Scully.R. Grahame H. Haken: QuantumTheoryof Light Propagation in a FluctuatingLaser–ActiveMedium[Teoria quantisticadella propagazionedi lucein un mezzofluttuanteattivo in faselaser], Zeitschrift furPhysik213 (1968)420–450;Laserlight– First Exampleof a Second–Order PhaseTransitionFar Awayfrom ThermalEquilibrium [Luce laser – Primo esempiodi una transizionedi fasedel secondoordinemoltolontanadall’equilibrio termico], Zeitschrift fur Physik237 (1970)31–46.V. Degiorgio e M.O. Scully: Analogy betweenthe LaserThresholdRegion and a Second–Order PhaseTransition[Analogia tra la regionedi soglia lasere unatransizionedi fasedelsecondoordine], PhysicalReview A2 (1970)1170–1177.

489

XII. PROCESSID’URTO

Una delle procedurepiu utili per ottenereinformazioni sulla dinamicadi unsistemafisico e quelladi sollecitarloconunasondaesterna,adesempioun fasciodiparticelle(o onde)cheincidonosul bersagliocostituitodal sistemain esame.La ri-velazionedelleparticelle(o onde),diffusenellediversedirezionidopoaverinteragitocon il sistemaallo studio,nedefiniscela risposta.Nel capitoloprecedentesi e giaaffrontatoquestoproblemanel casoparticolaredell’interazioneradiazione–materia,dovela radiazionepotevaesseretrattatain modosemiclassico.Ma in generaleanchela descrizionedel proiettile deve esserequantistica:questae un’esigenzachedeveesseresoddisfattapropriodaquelleparticellechedenuncianounaspettoondulatorio,comegli elettronie le altreparticelledel mondoatomicoe subatomico.

La descrizionedell’interazionetra proiettile e bersagliodeve dunquericorrereall’equazionedi Schrodingere deveesserein gradodi riprodurrel’urto elastico,peril qualela distribuzioneangolaredelleparticellediffuseforniscein primaapprossi-mazioneunamappadelpotenzialedi interazionetraproiettileebersaglio.Ma l’urtopuo essereancheanelasticoe provocarereazionicheportanoa unostatofinalecondei prodottidiversidal proiettilee dal bersaglio.Il formalismosviluppatoin questocapitoloeadatto,in lineadi principio,perstudiaretuttequestepossibilitaeriprodurrela situazionesperimentaleraffiguratain fig. 1.1.

Dopola definizionedellequantitanecessarieperunconfrontoconl’esperienza,la teoriasi sviluppaprincipalmentenel casodell’urto elastico,esaminandometodidi approssimazioneutili. Incidentalmente,fu proprio l’applicazionedell’equazionedi Schrodingeral casodi un processod’urto chepermisea Max Born 1 di intuire lacorrettainterpretazionedellafunzioned’ondain terminidi ampiezzadi probabilitaedi stabilireancheunodeicriteripiu efficaciperun’utileapprossimazionenelrisolvereil problemad’urto.

1 Cfr. n. 18p. 109.

491

�� L’approfondimentodi aspettipiu formali della teoriaportaa stabilireunacon-

nessionetragli statiimperturbatidelproiettileedelbersagliononinteragentiequellicheli descrivonoin interazione.Questaconnessionepermettedi definirelamatricediscattering2, o matrice � , checontienein generalel’informazionefisicasul processoe checonsentedi estenderela trattazioneal casopiu generale.�� !#"%$'&)(�!+*-, .�/�0�&

Lo sperimentatore,cheutilizza il dispositivo raffiguratoin fig. 1.1perlo studiodi uncertoprocesso1 , conle suemisureaccedealle seguentiquantita:2 ( 1 ) = numerototaledi eventi 1 , registrati attraversoil conteggio del rivelatore,

taratoin mododaselezionaresolole particellein arrivo chehannoparteci-patoal processo1 ,3

= numerodelle particelle incidenti, misuratoin pratica dal catturatoredifasciopostoalle spalledelbersaglio,4 = numerodi centri diffusori del bersaglioper unita di superficieoffertaall’arrivo del fascioincidente.

Fig. 1.1.Schemadelladisposizionesperimentaleperla diffusionedi particelle.

Conquestiingredienti,lo sperimentatorepuo costruireil rapporto5 ( 1 ) =2 ( 1 )3 476 (1 8 1)

che, tenendoconto delle definizioni e riferendonumeratoree denominatoredella(1.1)all’unita di tempoe al singolocentrodiffusore,puo esserecosı interpretato:5 ( 1 ) =

numerototaledi eventi 9 perunitadi tempoe percentrodiffusore

numerodi particelleincidentiperunita di tempoeperunitadi superficie8 (1 8 2)

2 E ormaientratonell’usocorrenteil nomedi gergoscatteringperindicareil processod’urto; letteralmentescatteringsignificadiffusione.

492

: �;<�=�?>��@ �� A��La (1.2) ha le dimensionidi unasuperficie:la superficie,di area5 ( 1 ), rappresentala sezioneoffertadal bersaglioal fascioincidenteresponsabiledei processidi tipo1 . Percio 5 ( 1 ) vienedettasezioned’urto totaleper l’evento 1 e usualmentevienemisuratain sottomultiplidi barn: 1barn= 10B 28m2.

Qualoraladisposizionesperimentaledelrivelatore,invecedi abbracciarel’interoangolosolidodi 4C , siasensibilesoloa unaporzioneDFE , si puo definirela sezioned’urto differenziale:D 5DGE =

numerodi eventi perunitadi angolosolido3 4=

numerodi eventi perunitadi tempoe percentrodiffusorenell’unita di angolosolido

numerodi particelleincidentiperunita di tempoeperunitadi superficie8(1 8 3)

Lasezioned’urtodifferenzialeelegatadunquealladistribuzioneangolaredeiprodottidi reazioneedain generaleun’informazionepiudettagliatadellasezioned’urtototale.Naturalmentesi ha 5 =

H DFE D 5DFE 8 (1 8 4)

La definizione(1.2) e la secondariga della (1.3) indicanocheil datosperimentale,ottenutoapartiredallemolteparticelledelfascioedelbersaglio, puoesserericondottoalla singolainterazioneelementaretra unaparticelladel fascioe unaparticelladelbersagliocheagiscedacentrodiffusoreper il processo.Nel sistemadi riferimentodel laboratoriosi hala situazionedellafig. 1.2.

Fig. 1.2.La diffusionedi particellenel sistemadel laboratorio.

Un processod’urto puo esserealloradescrittoin termini quantisticiinvocandola hamiltonianaIKJ associataalledueparticelledi massa2 1 e 2 2, interagenticonunpotenzialeL (r), dover = r1 M r2 e il vettoreposizionedellaparticella1 relativamentealla particella2:

493

�� I J = N 2

1

22 1+ N 2

2

22 2+ L (r) 8 (1 8 5)

Fig. 1.3.L’urto di dueparticellenel sistemadel loro centrodi massa.

Nel sistemadel laboratorio,il problemaagli autovalori per la hamiltoniana(1.5) eun problemaa duecorpi che,comesi e fattonel paragrafoX.1, vienesemplificatopassandoal sistemadi riferimentodel centrodi massa(fig. 1.3). In tal modo lahamiltoniana(1.5) puo riscriversi comesommadi un terminechedescrive il motolibero del centrodi massae di un terminechedescrive il moto di unaparticelladimassaridotta 2 ,

12 =12

1+

1226 (1 8 6)

in presenzadel potenzialeL (r): I J = IPO�Q + I 6 (1 8 7)

IROQ = S 2

2(2 1 + 2 2) 6 (1 8 8)

I = N 2

22 + L (r) 8 (1 8 9)

L’informazionefisicasulladinamicadelsistemaproiettile-bersaglioecontenutanellahamiltonianaI delmotorelativo e il problemaaduecorpi si spezza,comenel casoclassico,nel moto libero del centrodi massa(ched’ora innanzisara ignorato)e nelproblemadi una sola particella(di massaridotta 2 ). A secondadella forma delpotenzialeL (r), l’equazioneagli autovalori perla hamiltoniana(1.9)puo ammettereanchesoluzioniaenergianegativacorrispondentiastatilegati chesi stabilisconotra

494

: �;<�=�?>��@ �� A��proiettilee bersaglio.Pero in generaletaleequazionehasempresoluzionia energiapositiva ( TUWV 2) chedescrivonostatinon legati appartenentiallo spettrocontinuodiI .

Si escludera nel seguito il casodi un potenzialea lungoraggiod’azionequaleil potenzialecoulombiano,peril qualeperaltroepossibiletrovarela soluzioneesattadel problemaagli autovalori a energie positive in termini di serie ipergeometricaconfluente,comes’e visto per l’atomo di idrogeno(paragrafoV.8). Pertantonella(1.9)verraadottatal’ipotesiX L (r) Y 0 per

X Y[Z 6 (1 8 10)

corrispondenteal fattochel’interazionetra proiettilee bersaglioe confinataadunaregionedellospazioin prossimitadelbersagliostesso,cosı cheleparticelleemergentidopol’urto, contatedal rivelatore,vi arrivino praticamenteconmotolibero.

Esercizio 1.1

Verificarela bontadell’ipotesi(1.10)nelcasodell’urto nucleone–nucleone(cfr. eq.(X.9.12)).

Limitandola trattazioneperil momentoal casodell’urto elastico, nellaricercadelle soluzioni dell’equazioneagli autovalori per la (1.9), che nello spaziodelleposizionie un’equazionedifferenziale,occorrefissarele condizionial contorno. Eopportunoimporrechela soluzionea energia positiva si comportia grandidistanzeX

nelmodoseguente3: \(r) ]_^a`�bac + d ( e 6gf )

^ `hbaiX 8 (1 8 11)

La (1.11) riflette la situazionesperimentaledi un fasciodi particelleincidenti (de-scritteda un’ondapiana ^ `hbac chesi propagalungo l’asse j ) e di particellediffusedopol’urto in tutte le direzioni(descrittedaun’ondasferica ^ `hb%iak X , modulatadauncoefficienteangolared ( e 6gf )). Cio si puo verificarecalcolandola densitadi corrente(III.3.25),

j = Mml -n22 (

\pogq qq \ M \rq qq \po ) 6 (1 8 12)

associataa ciascunodei duetermini in (1.11)e ricordandol’interpretazionedataadessanel paragrafoIV.2 in connessionecon lo spettrocontinuo(cfr. eq. (IV.2.87)).Allora ^ `hbac corrispondea un flusso s = -n�t k 2 di particellechesi muovono nelladirezionepositivadell’assej convelocitacostantes 4. Il flussoassociatoal secondo

3 Questocomportamentoasintoticodellafunzioned’ondaperi processid’urto estatopropostodaM. Bornnei lavori citati alla n. 18p. 109.4 Senella(1.11)si fossenormalizzatala funzionein accordoconle prescrizionidelparagrafoIV.2, l’ondapianaincidente(2u ) v 3 w 2 x#y{z�| corrisponderebbea un flussodi (2u ) v 3 } particelle. La normalizzazione

495

��~ �� terminedella (1.11) e relativo a un angolosolido DGE attornoalla direzione( e 6gf )prescelta,e ottenibiledalladensitadi corrente,�

= M l -n22�� do( e 6gf )

^�B `hb%iX DD Xp� d ( e 6gf )^ `�b%iX�� M d ( e 6gf )

^ `hb%iX DD X�� do( e 6gf )

^)B `hb%iX ��=

-n�t2 1X

2 � d ( e 6gf ) � 2 6cioe �

= s 1X

2 � d ( e 6gf ) � 2 8 (1 8 13)

Il flussocheattraversala superficie

X2 DGE e pertanto� X 2 DFE = s � d ( e 6gf ) � 2 DGE (1 8 14)

e rappresentail numerodi particelleche attraversanotale superficienell’unita ditempo.Dividendodunquela (1.14)per il flussos di particelleincidenti,si recuperaesattamentela definizione(1.3)di sezioned’urto differenzialesecondolo sperimen-tatore.Pertantoe D 5DGE = � d ( e 6gf ) � 2 8 (1 8 15)

La (1.15)fornisceil legamefondamentaletra la misurasperimentalee la descrizionedel processod’urto nella teoria quantisticanon relativistica basatasull’equazionedi Schrodinger. L’ingredientefondamentaledella teoria e costituito dunquedallaquantita d ( e 6gf ), che viene detta ampiezzadi diffusione5. Trovate le soluzionidell’equazioneagli autovalori per la hamiltonianadel problemad’urto (a energiepositive),soluzionichedevonocomportarsiasintoticamentecomela (1.11),il modu-lo quadratodell’ampiezzadi diffusione d ( e 6gf ) produceimmediatamentela sezioned’urto differenziale. Naturalmentela sezioned’urto totalesi ottienepoi per inte-grazionesull’angolosolido,comenella(1.4).��g�g�@��+��

Nelladerivazionedella(1.15)si sonoconsideratiseparatamenteil flussoincidenteequellodiffusorelativi aunafunzioned’ondaconil comportamentoasintotico(1.11). Ilprocedimentoe legittimo perangoli ��= 0, per i quali puo esserea priori evidentecheagrandidistanzedalcentrodiffusorenonci sianocontributi apprezzabilid’interferenzatral’onda incidentelungo la direzione� e l’onda diffusaa un angolo ��= 0. Puo restareildubbiochel’interferenzasiaefficaceadangoli � molto piccoli. Il dubbiopuo esserequirisolto,calcolandoesplicitamentetuttele componentidelladensitadi corrente(1.12)perl’intera � (r) checomparenella(1.11)edimostrandochetaleinterferenzaetrascurabile6.

globaledella(1.11)epero inessenzialenelcalcolodellasezioned’urto, cheeunrapportotraflussodiffusoe flussoincidente(cfr. la derivazionedellasuccessiva eq. (1.15)).5 Nel gergo correntel’ampiezzadi diffusionevienespessoindicatacomeampiezzadi scattering.6 Siegfried Flugge:PracticalQuantumMechanics, Springer, Berlino,1971,vol. 1, p. 208.

496

: ��;<�=�?>�� Utilizzandocoordinatepolari, il gradientehacomponenti(EsercizioIII.7.1):��

= ��~ �¢¡=

1� �� ¢£=

1� sin � ��¥¤�¦ (1 ¦ 16)

Corrispondentemente,le componentidelladensitadi correntesono:§ �=

-¨�©ª « cos� + ¬ ~¬ 2� 2 ®+

-

2ª°¯ [© � (1 + cos� ) + ± ] ² y{z ( � v | )� 2

+ �³ [ © � (1 + cos� ) ´µ± ] ² v y{z ( � v | )� 2 ¶ (1 ¦ 17)

§ ¡= ´ -¨F©ª sin �´ ± -¨

2ª°¯¸· � � � ´µ± © � sin �A¹µ² y{z ( � v | )� 2´ « � ³� � + ± © � ³ sin � ® ² v y{z ( � v | )� 2 ¶´ ± -¨

2ª 1� 3 « � � � ³ ´ � ³� � ® (1 ¦ 18)§ £= ´ ± -¨

2ª 1� 2 sin � « � �¥¤ ² yºz ( � v | ) ´ � ³�¥¤ ² v yºz ( � v | ) ®´ ± -¨2ª 1� 3 sin � « � �¥¤ ³ ´ � ³�¥¤ ® ¦ (1 ¦ 19)

Nella (1.19)e �»�= 0, altrimentiper � = 0 risulta indipendenteda ¤ e§ £

= 0.A grandidistanze,�½¼�¾ , i termini in � v 3 presentiin

§ ¡e§ £

diventanotrascurabilirispettoaglialtri. Inoltre,peravereun’intensitafinitadelfasciodi particellerivelatein unacertadirezione( � ¤ ), occorredisporredi un rivelatorechenecessariamentesottendeunangolosolido ¿aÀ finito, perquantopiccolopossaessere.Cio comportaun’integrazionedella densita di correntesull’angolo solido di accettanzadel rivelatore. Allora tutti itermini checontengonoi fattori oscillanti exp[ Á�± © ( � ´Â� )] = exp[ Á�± © � (1 ´ cos� )] siintegranoazeroper �½¼°¾ . Le (1.17)– (1.19)percio si riduconoalla formaÃÄÄÄÅ ÄÄÄÆ § � =

-¨�©ªÇ· cos� + ¬ ~¬ 2� 2¹ § ¡

= ´ -¨�©ª sin � § £= 0

(1 ¦ 20)

in cui nonc’e piu tracciadei termini di interferenzatra ondaincidentee ondadiffusa. Ilcontributo dell’ondadiffusain

§ �coincideconla (1.13). Gli altri contributi in

§ �e in

§ ¡sonole componenti� e � dellacorrenteassociataall’ondapianaincidente.

In questosensoil procedimentoper giungerealla definizionedellasezioned’urtodifferenziale(1.15) e legittimo. Tuttavia va tenutopresenteche il flussodi particelle

497

�� diffuse in tutte le direzioni dello spazio,diverseda quella in avanti lungo il fascioincidente,e accompagnatoda unadiminuzionedi flussoin avanti. Questae provocatadall’interferenzadistruttiva, anchesepiccola, tra le ondeincidenti e le ondediffuse inavanti. E proprio graziea questainterferenzachevienegarantitala conservazionedelflussototalee la validita del teoremaottico (cfr. paragrafoXII.8).

��hÈG�½ÉÊ.G(�"�$Ë&�(�!+*)$rÌ�/#!#!%(W!¸Í)Î Ï�$�!#"#"�Í�*�$@*)$ Ð½.GÑ?$'&)(�!Il problemadi basedella teoria dell’urto e il calcolo dell’ampiezzadi diffu-

sionecheintervienenella condizioneasintotica(1.11). Non sempretale problemae esattamenterisolubile. Qui vienepresentatoun metodogeneraledi risoluzionedell’equazioneagli autovalori che permettedi inglobareautomaticamentele con-dizioni al contornodesiderate.

Siadatala hamiltoniana I = I 0 + L (2 8 1)

e si suppongadi conoscerele soluzioniper I 0,I 0 �ÓÒ�ÔÖÕ = × Ô-�ÓÒ�ÔÖÕ 6 (2 8 2)

dove 4 e un indice che caratterizzail complessodi numeri quantici necessariperdistinguerele soluzioni,mentre × Ô in generaleappartieneallo spettrocontinuodiI 0. L’equazioneagli autovalori per I ,

( × M I 0) �\Õ = L �

\Õ 6 (2 8 3)

nellarappresentazionedelleposizionie un’equazionedifferenzialecheva corredataconla condizioneal contorno(1.11).Peringlobareautomaticamentetalecondizione,e convenienteintrodurrel’operatoreØ

0 Ù 1× M I 06 (2 8 4)

talechesia Ø0( × M I 0) = ( × M I 0)

Ø0 = 11 8 (2 8 5)

L’operatore

Ø0, impropriamentechiamatospessofunzionedi Green7, e perfetta-

mentedefinitodallaconoscenzadellesueautofunzionie dei suoiautovalori. Le sueautofunzionicoincidonoconquelledella(2.2). Infatti, si ha

7 Ú0 e un operatore indicato dai matematicicome risolvente, in quantopermettela risoluzionedella

(2.3) (cfr. le successive eq. (2.20)e (2.24)),mavienespessoindicato(soprattuttodai fisici) conil nomeimproprio di funzionedi Greenassociataalla (2.2). Spessoi fisici usanoancheil nomedi propagatore,perchepermettedi trovarela soluzionefondamentaledell’equazionedi Schrodinger(cfr. paragrafoVII.2).

498

Û��>�;��{�?>��Ü ?�ÞÝÊ��>¸��ß?à�á��h��;�;�ß ?�� ?� â~�A�=�?>��( × M I 0) �ÓÒ Ô Õ = ( × M × Ô ) �ÓÒ Ô Õ 6

dacui, moltiplicandoamboi membriper

Ø0, si ottieneØ

0( × M I 0) �ÓÒ Ô Õ = �ÓÒ Ô Õ= ( × M × Ô ) Ø 0 �ÓÒ Ô Õ 6

cioe Ø0 �ÓÒ�ÔÖÕ =

1× M × Ô �ÓÒ�ÔÖÕ 8 (2 8 6)

Viceversasi puo mostrarein modoanalogochele autofunzionidi

Ø0 sonoautofun-

zioni anchedi I 0.Dunquel’operatore

Ø0 hala seguenterisoluzionespettrale:Ø

0 = ã Ô �ÓÒ Ô Õ 1× M × Ôåä Ò Ô � 8 (2 8 7)

L’operatore

Ø0 dipendedal parametro× , che pero non puo essereassegnatoad

arbitrio. Infatti, quandonella(2.6)o nella(2.7)si verificachee × = × Ô , si presentaun polo e la definizionedell’operatore

Ø0 perdedi significato,a menodi assegnare

qualchecriterio peraggirarela singolarita.��g�g�@��æç��In questoesempiovienecostruitala funzionedi Greenper la particellalibera.

Siadunquedatala hamiltonianadellaparticellalibera,è0 = é 2

2ª (2 ¦ 8)

di cui sononoti autostati¬ k ê eautovalorië z =-¨ 2 © 2

2ª ¦ (2 ¦ 9)

Nella rappresentazionedelleposizionigli autostatisonoondepiane,ìr ¬ k ê =

1(2í )3 w 2 ² y k î r (2 ¦ 10)

e la funzionedi Greenedefinitamediantela matricecherappresental’operatore(2.4):ï0(r r ð ) ñ ì r ¬ 1

ë ´ è 0 ¬ r ð ê ¦ (2 ¦ 11)

La matricenondiagonaleï

0(r r ð ) indicacheï

0 nellarappresentazionedelleposizionie in generalenon locale, in quantodipendeda r e r ð simultaneamente.La (2.11)puoriscriversi

499

��~ �� ï

0(r r ð ) =

Hóòk

Hôòk ð ì r ¬ k ê ì k ¬ 1

ë ´ è 0 ¬ k ð ê ì k ð ¬ r ð ê=

1(2í )3

H òk

H òk ð ² y k î r ì k ¬ 1

ë ´ è 0 ¬ k ð ê ² v y k õ�î r õ=

1(2í )3

H òk

H òk ð ² y k î r 1

ë ´ ë z ² v y k õ�î r õ ¿ (k ´ k ð ) dacui si ottienela risoluzionespettraleper

ï0:ï

0(r r ð ) =1

(2í )3

Hôòk ² y k î (r v r õ )ë ´ ë z ¦ (2 ¦ 12)

Si verificasubitocheï

0(r r ð ) soddisfaall’equazione

(

ë ´ è 0)ï

0(r r ð ) =1

(2í )3

H òk ² y k î (r v r õ )

= ¿ (r ´ r ð ) (2 ¦ 13)

checorrispondealla (2.5) riscrittanello spaziodelleposizioni,analogamentealla (2.12)chetrascrive la (2.7)nellarappresentazionedelleposizioni(cfr. ancheEsercizioVII.2.5).

Nella(2.12)l’integrazionesu©

= ¬ k ¬ noneimmediatamentepossibileperlapresenzadi poli nell’integrando.Infatti, tenendopresentecheanche

ëhala stessaforma(2.9)di

ë z echiamando© ð la variabiledi integrazione,la (2.12)diventaï

0(r r ð ) =1

(2í )3

2ª-¨ 2

H òk ð�² y k õ î (r v r õ )©

2 ´ © ð 2 (2 ¦ 14)

chepresentaappuntozeri del denominatorein corrispondenzadi© ð = Á © .

Si possonoevitare le divergenzenell’integrazione(2.14)adottantoperesempiolaseguenteprescrizione:ï

0(r r ð ) = limö�÷ 0+

1(2í )3

2ª-¨ 2

Hóòk ð ² y k õ î (r v r õ )©

2 ´ © ð 2 + ±'ø (2 ¦ 15)

dove ø e unaquantitapositivadafar tendereazerodopoavereeseguito l’integrazione.Ilsuoeffetto e quello di spostarele singolarita dell’integrandonel pianocomplessodi

© ðfuori dall’assereale: © ð = Árù © 2 + ±�øûúüÁ · © +

±�ø2© + ý ( ø 2) ¹ (2 ¦ 16)

con©ÿþ

0. In tal modol’integrale(2.15) e regolaree puo essereeseguito. Integrandodapprimasugli angolipolari di k ð si ottiene

500

Û��>�;��{�?>��Ü ?�ÞÝÊ��>¸��ß?à�á��h��;�;�ß ?�� ?� â~�A�=�?>��ï

0(r r ð )= limö�÷ 0+

1(2í )3

2ª-¨ 2 2í H��

0

ò © ð © ð 2 1©2 ´ © ð 2 + ±'ø ² yºz õ � r v r õ � ´ ² v y{z õ � r v r õ �± © ð ¬ r ´ r ð ¬

= limö�÷ 0+

1(2í )3

2ª-¨ 2

2í± ¬ r ´ r ð ¬ H �0

ò © ð © ð©2 ´ © ð 2 + ±�ø · ² y{z õ � r v r õ � ´ ² v y{z õ � r v r õ � ¹

= limö�÷ 0+

1(2í )3

2ª-¨ 2

2í± ¬ r ´ r ð ¬ H��v � ò © ð © ð ² y{z õ � r v r õ �©2 ´ © ð 2 + ±'ø ¦

(2 ¦ 17)

Graziealla (2.16) l’integrale su© ð si puo ora eseguire nel piano complessodi

© ð =©1 + ± © 2,

©2þ

0. Aggiungendoall’integralesull’asserealedi© ð l’integralelungo una

semicirconferenzadi raggio infinito nel semipiano©

2þ

0, nulla cambiain quantoilfattore ² y{z�õ � r v r õ � = ² y{z 1 � r v r õ � v z 2 � r v r õ �

Fig. 2.1.Il pianocomplessodi k ð e le singolaritadellafunzionedi Green.

smorzaa zeroil contributo lungo la semicirconferenzadi centro ý e raggio©

2 ¼ + ¾(fig. 2.1). Si puo cosı valutarel’integralenella (2.17)utilizzandoil teoremadi Cauchyapplicatoal residuodelpolo � 1:H �v � ò © ð © ð ² y{z õ � r v r õ �©

2 ´ © ð 2 + ±'ø =

�óò © ð © ð ² y{z õ � r v r õ �©2 ´ © ð 2 + ±'ø

= 2í�±%² y�� z 2+ y ö � r v r õ �´ 2 ù © 2 + ±�ø ù © 2 + ±'ø= ´ í�± ² y � z 2+ y ö � r v r õ � ¦

Pertantola (2.17)diventaï0(r r ð ) = limö�÷ 0+

1(2í )3

2ª-¨ 2

2í± ¬ r ´ r ð ¬ ( ´ íÖ± ) ² y�� z 2+ y ö � r v r õ � 501

�� cioe ï

0(r r ð ) = ´ 2ª-¨ 2 ² y{z � r v r õ �

4í ¬ r ´ r ð ¬ ¦ (2 ¦ 18)

Il risultato(2.18)semplificala strutturanon localedella funzionedi Green,cheapparefunzionedi ¬ r ´ r ð ¬ solamente,e non di (r r ð ). Di conseguenza

ï0 e invarianteper

traslazionedel sistemadi riferimento, in accordocol fatto che si sta descrivendounaparticellalibera. Inoltre,

ï0 risultaancheinvarianteperrotazioni.

Sesi fosseadottatala prescrizione(2.15)con ø� 0, all’integrale(2.17)avrebbecontribuito il polo � 2 conil risultatoseguente:ï

0(r r ð ) = ´ 2ª-¨ 2 ² v y{z � r v r õ �

4í ¬ r ´ r ð ¬ ¦ (2 ¦ 19)

La soluzionegeneraledella (2.3) puo scriversicomesommadi duecontributi.Uno e datoda un integraleparticolaredell’equazionedifferenzialecompleta(2.3)chepuo porsinellaforma

1× M I 0L �\Õ =

Ø0 L �

\Õ ;

l’altro contributoprovienedallasoluzionegeneraledell’equazionedifferenzialeomo-geneacorrispondente,cioe della(2.2),chesi puo indicarecon �ÓÒ½Õ . Pertantola (2.3)hacomesoluzionegenerale �

\Õ = �ÓÒ½Õ +

Ø0 L �

\Õ 8 (2 8 20)

La (2.20) e solo una soluzioneformale per la �\Õ . Tradotta nella rappresen-

tazionedelleposizioni,la (2.20)e piuttostola trasformazionein equazioneintegraledell’equazionedifferenzialecorrispondentealla (2.3). Si riscriva infatti la (2.20)nellarappresentazionedelleposizioni,

ä r �\Õ = ä r �ÓÒ½Õ +

H D r J H D r J J ä r � 1× M I 0� r J Õ ä r J � L � r J J Õ ä r J J �

\Õ 6 (2 8 21)

e si tengapresentecheil potenzialeL e in generelocale,cioe

ä r J � L � r J J Õ = L (r J ) (r J M r J J ) 8 (2 8 22)

Allora, posti

ä r �\Õ Ù

\(r) 6 ä r �ÓÒ½Õ Ù Ò (r) 6 (2 8 23)

la (2.21)diventa \(r) = Ò (r) +

H D r J Ø 0(r 6 r J ) L (r J ) \ (r J ) 8 (2 8 24)

502

Û��A>�;<�=�?>�� ?�-ÝÊ��<>+�Üß?à�á��=�;;�ß� ?� ?� âÊ��=�?>)�Simultaneamentepero, nelloscriverela (2.20)(o la (2.24)),la necessitadi definireilmododi aggirarele eventualisingolarita della funzionedi Greenpermettedi tenereconto delle condizioni al contorno. Cio si puo verificarenel prossimoEsempio,fruendodei risultati ottenutinell’Esempio2.1.��g�g�@��æç�{æ

La prescrizione(2.15)perï

0 ha prodottoil risultato(2.18). Facendotendere�½¼°¾ si ha ¬ r ´ r ð ¬ = ( � 2 ´ 2r � r ð + � ð 2)1 w 2= � « 1 ´ 2r � r ð� 2

+ � ð 2� 2 ® 1 w 2= � � 1 ´ r � r ð� 2

+ ý « � ð 2� 2 ®�� ¦Siccomeil potenziale� (r) haraggiod’azionelimitato, nell’integralesur ð nella(2.24)sipossonotrascurarei contributi ý ( � ð 2 � � 2). Pertanto� (r) ´ ¼� ÷ �� (r) ´ ² y{z �� 1

4í 2ª-¨ 2

H òr ð ² v y k �aî r õ � (r ð ) � (r ð ) (2 ¦ 25)

dovesi e posto

k�

=© r� ¦ (2 ¦ 26)

La (2.25),conla scelta � (r) = ² y{z#| (2 ¦ 27)

ha proprio la struttura(1.11) corrispondentealle condizionial contornodesideratenelproblemad’urto, cioedi ondapianaincidente(2.27)piu un’ondasfericauscente,² y{z � � � ,modulataconil fattoreangolare, ( � ¤ ) = ´ 1

4í 2ª-¨ 2

Hôòr ð ² v y k �aî r õ � (r ð ) � (r ð ) (2 ¦ 28)

cherappresental’ampiezzadi diffusione.La (2.18) corrispondea imporrealla soluzioneparticolare(2.3) la condizioneal

contornodi ondasfericauscente.Sesi fossescelto ø�� 0 nellaprescrizione(2.15)conil conseguenterisultato(2.19),nella (2.25)sarebbecomparsainveceun’ondaentrante,chepuree unasoluzioneaccettabilematematicamente,ma corrispondentea condizionial contornoqui noninteressanti.

La (2.28) risolve formalmenteil problemadell’urto elasticopermettendoilcalcolodellasezioned’urto. Restaapertoil problemadi ottenerela

\(r) pertutti gli

r, unavoltanoto L (r). Comunquela strutturadell’ampiezzadi diffusione(2.28)e,apartefattori numerici,quelladi un elementodi matricedel potenzialedi interazione

503

�� tra proiettile e bersaglio. Tale elementodi matricee calcolatotra il ket �

\Õ che

descrive lo statodiffuso

\(r) con comportamentoasintotico(1.11) e il bra ä Ò b � �relativo allo statolibero ^ ` k �� r:d ( e 6gf ) = M 1

4C 22-n 2 ä Ò b � � L �

\Õ 8 (2 8 29)

La forma dell’ampiezzadi diffusionequi ottenutanel casodell’urto elasticoe piugeneralee facilmenteestendibileancheal casodi processianelastici(v. oltre alparagrafoXII.14.). � ��F��%.¥ÍA"%$'&)(�!¸*�$��û$ ÏFÏ�ÎPÍ)(¥( ��"!�#%$ $�(%&F!�/

Il metodobasatosulla funzionedi Greenespostoal paragrafoprecedenteper-mettedi ottenereformalmentele soluzionidell’equazioneagli autovalori (2.3)nellaforma (2.20). D’altra partenella definizionedella funzionedi Greenun ruolo es-senzialerivestonole condizionial contornocon cui si vuole risolverela (2.3). Daun puntodi vistamatematico,sonougualmenteaccettabilicondizionial contornodiondasfericauscenteoppureentrante:l’unica differenzaformalestanelmodoconcuisi spostanole singolaritanelpianocomplessodi × neldefinirela (2.7). A secondadiqualecondizionesi sceglie, l’insiemedegli autostatidi I appartenentialla porzionecontinuadel suospettroe costituitodastatidi tipo

�\

( ' )( Õ = �ÓÒ ( Õ +1× ( M I 0 ) l+* L �

\( ' )( Õ 8 (3 8 1)

Le opportunecondizioni al contornodi onda sferica uscente(+) o entrante( M )sonoautomaticamentegarantitedal segnodi * , comesi puo verificareriscrivendola(3.1)nellarappresentazionedelleposizionietenendopresentele considerazionifattenell’Esempio2.1.

E da rilevare che la strutturadella (3.1) e la stessadi quella prevista dallosviluppoperturbativo di Brillouin–Wigner, eq. (VIII.5.8), di cui la (3.1) costituiscel’estensionealla partecontinuadellospettrodi I .

La (3.1) vieneindicatacomeequazionedi Lippmann–Schwinger 8. Essapuoesseretrasformatain unaformaequivalente,ricorrendoalla seguenteidentita opera-toriale:

1, M 1- =1- (

- M ,)

1, 8 (3 8 2)

Ponendo

8 B. LippmanneJ.S.Schwinger:Variational Principlesfor ScatteringProcesses.I. [Principi variazionaliper i processid’urto. I.] , PhysicalReview 79 (1950)469–480.

504

. á%á��?��ºà ß�;��=�?>)�� ?�0/-�?��>,= × M I 0 ) l+* 6 -

= × M I ) l+* 6 (3 8 3)

dalla(3.2)segue

1× M I 0 ) l+* =1× M I ) l+* +

1× M I ) l+* ( M L )1× M I 0 ) l+* 8 (3 8 4)

Inoltre,perla (3.1),e

1× ( M I ) l+* L 1× ( M I 0 ) l+* L �\

( ' )( Õ =1× ( M I ) l1* L � �

\( ' )( Õ M �ÓÒ ( Õ � 8 (3 8 5)

Applicandoallorala (3.4)allo stato L �\

( ' )( Õ e tenendopresentela (3.5),si ha

1× ( M I 0 ) l+* L �\

( ' )( Õ =1× ( M I ) l+* L �ÓÒ ( Õ 6 (3 8 6)

chepermettedi riscriverela (3.1)nellaformaesplicita�\

( ' )( Õ = �ÓÒ ( Õ +1× ( M I ) l1* L �ÓÒ ( Õ 8 (3 8 7)

La (3.7) forniscele soluzionidel problemad’urto partendodalla situazioneimper-turbatae facendointervenirela funzionedi GreenØ

=1× M I 6 (3 8 8)

relativaallahamiltonianacompletaI , anzichela funzionedi Green

Ø0 checompare

nell’equazioneimplicita (3.1). Naturalmentela (3.7)equivalealla(3.1)ele difficoltadi risoluzionedel problemarestanoinalterate. Tuttavia l’equazionedi Lippmann-Schwinger(3.1)nellaforma(3.7)puo essereutile in applicazionie,comunque,tuttele volte chesiapossibilecostruireesplicitamente

Ø.� ��32��4�Ï�Ï /�&çÑ#Ñ?$�ÎPÍ "�$Ë&�(�!¸*)$65r&)/�(

Gli ingredientifondamentalinel calcolo dell’ampiezzadi diffusione(2.28) o(2.29)sonotre: l’onda incidente,in generaleun’ondapiana;il potenzialedi inter-azionetra proiettile e bersaglio,chenon sempree noto; la funzione

\cherisolve

il problemaagli autovalori per la hamiltonianacompleta(2.1) e cheintervienenelcalcolodell’ampiezzadi diffusionecon tutti i suoi valori al variaredella posizionerelativa proiettile–bersaglio.La determinazionedellafunzione

\e dunquel’aspetto

piu difficile e allo stessotempocruciale. D’altra partel’ipotesi di un potenzialea

505

�� cortoraggiod’azionesemplificail calcolodell’integrale(2.28)in quantoesalta,dellafunzione

\, la partea corte distanzedall’origine del potenziale. Il fatto poi che

l’ampiezzadi diffusionedipendadalla funzione

\solo attraversoun’integrazione

suggeriscel’idea cheancheunafunzioneapprossimatapossafornire un accettabilevaloredell’integrale.

In realta si puo tentarela valutazionedella (2.28)o della (2.29)conun proce-dimentodi tipo iterativo, simile a quelloadottatoal paragrafoXI.3 nellarisoluzionedel problemadelle perturbazionidipendentidal tempo,partendoda una funzioneapprossimatadaun’ondapiana: \

(r) 7_^ ` k � r 8 (4 8 1)

Cio equivaleadassumerechel’azionedel potenzialeL (r) e in primaapprossi-mazionepiccola,taledarenderetrascurabilela distorsioneprovocatasull’ondapianaincidente. La misuradi quantopiccoladebbaesserequestaazionesi ottienecon-frontandola normadelcontributodi diffusionenella(2.24)conla normadi Ò (r), cheper l’onda pianae ugualea uno. Inserendola (2.18)e la (4.1) nella (2.24),si devedunqueavere

224C -n 2 88888

H D r J ^ `hb:9 r B r õ 9� r M r J � L (r J ) ^ ` k � r õ 88888 ; 1 8 (4 8 2)

Allora, sesi puo accettarela condizione(4.1), l’ampiezzadi diffusione(2.28)vienescrittanell’approssimazionedi Born 9d=< ( e 6gf ) = M 22

4C -n 2

H D r ^ ` q � r L (r) 6 (4 8 3)

dove

q = k M k i (4 8 4)

rappresentail momentotrasferitodalproiettilealbersaglio.Nelcasodell’urtoelasticoqui consideratoe >

2 = 4t 2 sin2 e

28 (4 8 5)

La (4.3) mostrache nell’approssimazionedi Born l’ampiezzadi diffusionefornisce una mappadel potenzialeattraverso la sua trasformatadi Fourier: unaconoscenzadelladistribuzioneangolarepertutti i valori di q permetterebbel’inv er-sionedi Fourierequindi la determinazionedi L (r).

Perprecisarei limiti di validita dell’approssimazionedi Born e utile ricordarecheil potenzialeL (r) e efficaceentroun raggio

X ] ? D . Scegliendor = 0, si esalta

9 Anchequellachevieneoggi indicatacomeapprossimazionedi Born, fu dalui propostanei lavori citatialla n. 18p. 109.

506

. á%á��?��ºà ß�;��=�?>)�� ?�0/-�?��>il contributo di L (r) nell’integrale. Se

t Dµ] 1, gli esponenzialinella (4.2) varianolentamentenellaregionein cui L (r) contribuisceall’integraleepossonoessereritenuticostantinell’integrazione.Percio la (4.2)diventa

224C -n 2 88888

H D r J ^ `hb@9 r B r õ 9� r M r J � L (r J ) ^a` k � r õ 88888 7 22-n 2 8888 1

4C H D r J L (r J )X J 8888 ; 1 6 (4 8 6)

cioe

22-n 2 D 2 L ;

1 6 (4 8 7)

dovesi e definitala quantita L Ù 14CÊD 2 8888

H D r L (r)X 8888 (4 8 8)

comeunasortadi valor mediodel potenzialenella sferadi raggio D . Alla lucedelprincipio di indeterminazionela quantita

-n 2

22 D 27 × (4 8 9)

rappresental’energia cineticadi unaparticellain unaregionedi dimensionilineari D(cfr. EsempioIV.6.1). Percio la (4.7) implica×BA L 6 (4 8 10)

cioe l’energia cineticadel proiettile relativamenteal bersagliodeve esseregranderispettoall’interazionereciprocamedia.L’approssimazionedi Bornedunqueun’ap-prossimazionedi alta energia.

Esercizio 4.1

Definita la quantita ´ C = 1� © , che,a parteun fattore2í , rappresentala lunghezzad’ondadelproiettilenel suomotorispettoal bersaglio,quale l’ordine di grandezzadi ´ Cperche siavalidal’approssimazionedi Born?

Esercizio 4.2

Stabilirei limiti di validitadell’approssimazionedi Bornperil potenzialeasimme-tria sferica � ( � ) = � ´D� 0 �FE ò ,0 � þ ò .

507

��~ �� Comunquel’approssimazionedi Born e applicabilein concretocon successo

ancheconvincoli menorestrittivi della(4.10). Infatti, comes’edetto,eun’approssi-mazionedello stessotipo usatonellateoriadelleperturbazionidipendentidal tempoal primoordine.Anzi, la sezioned’urto differenzialein approssimazionedi Born,D 5DFE = � d=< ( e 6gf ) � 2 =

2 2

(2C -n 2)2 888H D r ^ ` q � r L (r) 888 2 6 (4 8 11)

e ottenibileutilizzandola regola d’oro. Si calcoli infatti la probabilita per unita ditempoal primoordineperla transizionedallostato � k Õ , corrispondenteall’ondapianainiziale di vettored’ondak, allo stato � k J Õ di ondapianafinaledi vettored’ondak J ,con � k � = � k J � , q = k M k J : D@G =

2C-n � ä k J � L � k Õa� 2 D@HÖ8 (4 8 12)

Nella (4.12)taleprobabilita di transizionee valutataperunadensitadegli statifinaliD@H riferita all’unita di volumee per impulsi finali k J diretti nell’angolosolido DGE .Secondola (XI.4.21),dopoavereseguito l’integrazionesull’energia, risulta:D@H =

1(2C -n )3

2 N DFE 6 (4 8 13)

dove N = -n�t (= -nÖt J ). Pertantola sezioned’urto differenzialesi ottieneriferendola(4.12)all’angolo solido DGE e dividendoper il flussodi particelleincidenti, N k 2 =-n�t k 2 : D 5DGE =

1N k 2 D@GDGE =2 2

(2C -n 2)2 � ä k J � L � k Õ%� 2 8 (4 8 14)

Esplicitandol’elemento di matrice di L nella rappresentazionedelle posizioni,l’espressione(4.14)e identicaalla (4.11) 10.��g�g�@��JIG��

Si consideriun potenzialeasimmetriasferica: � (r) ñK� ( � ). In tal casoeìk ð ¬ � ¬ k ê =

H òr ² y q î r � (r)

= 4í H �0

ò � � 2 � ( � ) sin L �L � ¦ (4 ¦ 15)

Si assumainoltre la seguenteespressioneesplicitadi � ( � ):� ( � ) = M 1 M 2 ² 2� ² v � w � 0 (4 ¦ 16)

10 Coerentementeconl’ipotesi di flussoincidentepari a NPORQ , gli stati S k T nella(4.14)sononormalizzatiin mododacorrisponderealle ondepiane x#y k î r nellarappresentazionedelleposizioni.

508

. á%á��?��ºà ß�;��=�?>)�� ?�0/-�?��>chepuo rappresentareil potenzialecoulombianotra dueparticelledi carica M 1 ² , M 2 ² ,rispettivamente,con un’azionedi smorzamentoa distanzedell’ordine di � 0. Cosı ilpotenziale(4.16)soddisfaalla condizionedi applicabilita (1.10)dellapresenteteoriadeiprocessid’urto. Il potenzialecoulombianoschermato(4.16)si riducea quelloordinarionellimite � 0 ¼�¾ . A unpotenzialeconquestotipodi dipendenzada � siarrivanellateoriadi Yukawa delle forzenucleari,secondola qualel’interazionetra duenucleoniavvienecon lo scambiodi un mesone.In tale teoria, � 0 = -¨ � ª U , dove ª e la massadel pionescambiato.Il raggiod’azionedelpotenzialeedunquetantopiu piccolo,quantomaggioree la massadelbosonescambiato:perunpionecarico,la cui massae ª U 2 = 139¦ 57MeV,risulta � 0 ú 1 ¦ 5 V 10v 15 m = 1 ¦ 5 fm, mentreper i bosoni W e M 0 si harispettivamenteª U 2 ú 80GeV e ªXU 2 ú 91 GeV,cui corrisponde� 0 ú 2 V 10v 3 fm.

Allora col potenziale(4.16)la (4.15)diventaH òr ² y q î r � (r) =

4í M 1 M 2 ² 2L 2 + � v 20

´ ¼� 0 ÷ � 4í M 1 M 2 ² 2L 2 ¦ (4 ¦ 17)

Il risultato(4.17)puo essereconsideratola trasformatadi Fourierdelpotenzialecoulom-biano,chepervianormalenonepossibilericavareacausadellasuadivergenzain � = 0 11.Adottandol’espressione(4.17)nel calcolodellasezioned’urto differenziale,si ottiene:òZYò À =

� ª M 1 M 2 ² 2

2-¨ 2 © 2 sin2 � � 2 � 2 (4 ¦ 18)

Questorisultatoe noto comeformula di Rutherford, in quantogia ottenutoin unatrat-tazioneclassicadaRutherfordnell’interpretarei risultatidelladiffusionedi particelle[ 12.E da rilevarechel’approssimazionedi Born forniscein questocasoun risultatoesatto.La (4.18)efortementepiccatain avanti ( � = 0),mapossiedevalori nontrascurabilianchea grandi angoli ( � þ\ 1

2 í ). Questofatto indusseRutherforda supporreche gli atomiabbianoun nucleocentralechealleparticelle [ incidentiapparepuntiformerispettoalledimensionidell’intero atomo. Seil bersagliofosseunasferaconcaricauniformementedistribuita, sarebbeimpeditala diffusionea grandiangoli,comenel modelloatomicodiJ.J.Thomson,in cui elettronieprotonispazianonellostessovolume.Conl’ipotesi di unnucleoatomicoconcentrato,responsabiledelladiffusione,edi elettroniesterni,semplicispettatoriinerti, si ottieneinvecela (4.18)cheriproducei dati sperimentalidi GeigereMarsden13.

11 G. Wentzel:ZweiBemerkungenuberdieZerstreuungkorpuskularer StrahlenalsBeugungerscheinung[Due osservazionisulla diffusionedi raggi corpuscolaricomefenomenodi diffrazione], Zeitschrift furPhysik40 (1926)590–593.

12 E. Rutherford:loc. cit. (cfr. n. 15p. 64).

13 H. GeigereE. Marsden:loc. cit. (cfr. n. 15p. 64);Thelawsof deflectionof 9 -particlesthroughlargeangles[Le leggi della deflessionedi particelle 9 a grandi angoli], PhilosophicalMagazine25 (1913)604–623.J.J.Thomson:loc. cit. (cfr. n. 14 p. 64).

509

�� ^]��½�R_-ÎR!a0�&�*F& *G!�_^_º&PÑa`�$^_ .AÏ�Ï¥& $�(W&)(�*F! Ï�Í)/#"�$ËÍ=_ $Nel casodi potenzialeasimmetriasfericail calcolodell’ampiezzadi diffusione

(2.28) o (2.29) puo esseresviluppatosenzaapprossimazionicon il metododellosviluppo in ondeparziali. Essoconsistenello svilupparela funzioned’ondasullabasedellesoluzionidell’equazioneagli autovalori chesianoancheautofunzionidelmomentoangolare.

Perl’onda pianavalein generalelo sviluppo(V.6.8),^�` k � r = 4C ãcb Q l b � b ( t X ) d b Q ( e 6gf ) d ob Q ( 1 6fe ) 6 (5 8 1)

dove ( e 6gf ) sonogli angoli polari di r, ( 1 6fe ) quelli di k e� b

(t X

) e unafunzionediBesselsferica, � b

( g ) = ( M )

b g b · Dg D:g ¹ b sin gg 6 (5 8 2)

chepossiedei seguentiandamentiasintotici(cfr. EsempioB.2):� b( g ) ] g b

(2h + 1)!! 6 g ; h 6 (5 8 3)� b( g ) ] 1g sin( g M 1

2 h'C ) 6 giAjh�8 (5 8 4)

Peril sistemadi riferimentoscelto,con j paralleloa k, 1 = 0, si had b Q (0 6fe ) = k 2h + 14C aQ 0 8 (5 8 5)

Siccome d b 0( e 6gf ) = k 2h + 14C S b (cose ) 6 (5 8 6)

si puo riscriverela (5.1)nellaforma^�`hbac = lã b=0 l b (2h + 1)

� b(t X

) S b (cose ) 8 (5 8 7)

Seil potenzialeeasimmetriasferica,ancheperla soluzionedelproblemad’urtosi puo utilizzareunosviluppoin ondeparzialidel tipo (5.7):\

(r) =1t X lã0b l b (2h + 1)m b ( X ) S b (cose ) 6 (5 8 8)

510

npo�àå��# %�r a�1oqo �rsr#�qo �gá%áA�å� >»�?>) a�-áAß?�Ë;��=ß�o �dove m b ( X ) k t X e la parteradialedella funzione

\(r). La funzione m b ( X ) soddisfa

all’equazioneradialedell’equazionedi Schrodingerstazionaria(V.5.12),� D 2D X 2 M h ( h + 1)X

2+t 2

� m b ( X ) =22-n 2 L (

X) m b ( X ) 6 (5 8 9)

in cui l’autovalore di energia × = -n 2 t 2 k 22 e positivo. Naturalmenteoccorreimporre alla funzione radiale condizioni di regolarita all’origine. Per potenzialiL (

X) ] 1k X 1+t , cio comportacheper

X Y 0 sia m b ( X ) ] X b +1 equindim b (0) = 0 8 (5 8 10)

Pero per conoscerel’ampiezzadi diffusione non e necessariorisolvere la (5.9):bastaconoscerel’andamentoasintoticodella m b ( X ) a grandi

X. Questosi puo ot-

tenerericonoscendoche m b ( X ) k t X deve ridursi a� b

(t X

) per L (

X) Ù 0. Pergrandi

Xl’andamentoasintotico(5.4)dellafunzionedi Besselsferica,� b

(t X

) ] 1t X sin(t X M 1

2 h�C )

= l2t X¢� ^ B ` ( bai B b3u@v 2) M ^�` ( b%i B b3u@v 2)

� 6 (5 8 11)

risultasommadi uncontributodi ondasfericaentranteedi unodi ondasfericauscente.Nel passaggiodal casolibero al casodell’urto l’effetto del potenzialesi traduceinunavariazionedi flussouscente.Percio l’onda sfericauscentevienemodificatadalpotenzialeattraversoun fattore � b , in generalecomplesso,mentrel’onda entranterisultainalterata:

1t X m b ( X ) ] l2t X � ^ B ` ( b%i B bwu@v 2) M � b ^ ` ( b%i B b3u@v 2)

� 8 (5 8 12)

La (5.12)puo ancheriscriversinellaforma

1t X m b ( X ) ] 1t X sin(t X M 1

2 h�C ) + l2t ( M l ) b (1 M � b ) ^ `hb%iX 6 (5 8 13)

chemettemeglio in evidenzala modificaintrodottadal potenzialerispettoal casolibero. Infatti, il primo terminedella (5.13)e il contributo asintoticoh -esimo(5.11)all’ondapianaincidente,mentreil secondoterminerappresentail contributo h -esimoall’ampiezzadi diffusione.Si hadunqued ( e 6gf ) Ù d ( e )

= l2t lã b=0

(2h + 1)(1 M � b ) S b (cose ) 8 (5 8 14)

Ladipendenzada f scomparenell’ampiezzadi diffusioneperlaparticolaresimmetriacilindrica attornoall’assej impostadallecondizionisperimentali:fascioincidente

511

�� nella direzione j con un potenzialeche e ancheinvarianteper rotazioni intornoall’assej .

Sel’urto e puramenteelastico,c’e conservazionedi flusso,percui � � b � = 1. Sipuo alloraporre � b = ^ 2`�x1y 6 (5 8 15)� b M 1 = 2l ^ `�x+y sin b 8 (5 8 16)

Inoltre dalla(5.12)conla (5.15)si ottienem b ( X ) ] ^ `�x1y sin(t X M 1

2 h'C + b ) 8 (5 8 17)

La (5.17)indicachela presenzadelpotenzialecheprovocal’urto puramenteelasticoha l’effetto di introdurrenell’onda parziale h -esimauno sfasamento b rispettoalcasolibero (5.11). Talesfasamento b dipendedal potenziale,mail suocalcolononrichiedeesplicitamentela risoluzionedella(5.9)pertutti gli

X.

Conla (5.15),l’ampiezzadi diffusione(5.14)si riscrivein terminidi sfasamenti:d ( e ) =1t lã b

=0

(2h + 1)a`�x1y sin b S b (cose ) 8 (5 8 18)

La sezioned’urto differenzialediventaD 5DGE = � d ( e ) � 2=

1t2ã b ã b õ (2h + 1)(2h J + 1)z cos( b M b õ ) sin b sin b õ S b (cose ) S b õ (cose ) 8 (5 8 19)

Ricordandol’ortogonalita tra i polinomidi Legendre,H DFE S b (cose ) S b õ (cose ) =4C

2h + 1 b{b õ 6 (5 8 20)

si puo ricavarel’espressionedellasezioned’urto totale:5 =H DGE D 5DGE =

4Ct2 lã b

=0

(2h + 1)sin2 b 8 (5 8 21)

Alla sezioned’urto totaleogniondaportail contributo indipendente5 b = 4C M | 2(2h + 1)sin2 b

= C M | 2(2h + 1) � 1 M � b � 2 6 (5 8 22)

512

} ��à��º>�ß�;��=�?>)�� a��~�o �Ö��ß?�ß?àå��>ç�=�Gá ��oË� ��1o ß?��=�=��dove M | = 1k t e, a parteun fattore2C , la lunghezzad’onda delle particellechesubisconol’urto elasticonel motorelativo. Il fattore(2h + 1) nella(5.22)tienecontodella molteplicita associataall’onda h -esima( � 2 �� h ) e il fattore C M | 2

rappresental’area del cerchiodi raggio M | , cioe l’area della sezioneofferta dal bersaglioallaradiazioneincidentedi lunghezzad’onda | = 2C M | . Quindilasezioned’urtototaleperl’urto elasticoe datadallasezionedel bersaglioesploratadallaradiazioneincidente,C M | 2

, ridottaperun fattorechetienecontodegli sfasamenticausatidal potenzialediinterazionetraproiettileebersaglionellevarieondeparziali. Datoche,perla (5.15),al variaredell’energia alla qualeavvienel’urto elastico,gli sfasamenti b varianotra0 e C (modulo C ), il massimodi 5 b si ottienequando b = C k 2. In tali condizioni,ilcontributo h -esimoall’ampiezzadi diffusione(5.18)epuramenteimmaginario.��^��¸!a0!�/�Î»$�(�ÍA"%$'&)(�!¸*F!�&:_ $ Ñ��%ÍçÑ�Í)ÎR!�(Ö0'$~Ï¥!�/�_<, .�/�0�&ÿ!�_ºÍ�Ñ?0'$�!#&

Perunpotenzialeasimmetriasfericail metododelleondeparzialieesattoenelcasodi urtoelasticohail pregio di fornire la sezioned’urto in termini di sfasamenti,senzail bisognodi determinarela funzioned’ondain tutti i puntidellospazio.D’altrapartelasuautilit apraticarisiedenellapossibilitadi farintervenireunnumerofinito diondeparziali,possibilmentebasso,enellacapacitaulterioredi calcolaredirettamentegli sfasamenti.

Unalimitazionesul numerodi ondeparzialinecessariepuo esserericonosciutain terminisemiclassici.Seci si poneadistanze

X A[D , dove D e il raggiod’azionedelpotenziale,nella(5.9)risultaefficacesoloil terminecentrifugorepulsivo h ( h + 1)k X 2;si puo allora calcolarela distanzarelativa di massimoavvicinamentotra proiettilee bersaglio,utilizzandola condizionechel’energia × deve esserenon inferiore alcontributo centrifugo, × =

-n 2 t 2

22 � -n 2

22 h ( h + 1)X

2 6 (6 8 1)

dacui risulta X � 1t�� h ( h + 1) 8 (6 8 2)

In terminiclassici,fissatoil momentoangolareconcui avvieneil motorelativo,la distanzadi massimoavvicinamentoe legataal parametro d’impatto (o d’urto) �relativo alla traiettoriadelproiettile(fig. 6.1),secondola relazione� r z p � = � N = � -n�t 8 (6 8 3)

Coinvolgendol’autovaloredelmomentoangolare,deveessere� -n�t ] -n h 6 (6 8 4)

513

��

Fig. 6.1.Descrizionesemiclassicadell’urto edefinizionedelparametrod’impatto � .chee in accordoconla (6.2). Pertantodalla(6.4)seguecheil contributosostanzialealla sezioned’urto provienedalleondeconh � � t 6 (6 8 5)

per le quali e sensibilel’interazione col bersaglioe apprezzabilelo sfasamento.Pertanto,perundatopotenziale,la limitazionesugli h e fissatadall’energia.

Perun’energiasufficientementebassapotrebbecontribuiresolol’onda � ( h = 0).In tal casola sezioned’urto differenziale,D 5DGE = M | 2

sin2 0 6 (6 8 6)

e isotropa.Sepuo contribuireanchel’onda N ( h = 1) si ha:D 5DGE = M | 2

�sin2 0 + 6sin 0 sin 1 cos( 0 M 1) cose + 9sin2 1 cos2 e � 6 (6 8 7)

in cui il primo terminee il purocontributo di onda � , il terzoe il purocontributo diondaN e il secondorappresentaun terminedi interferenzatra onda � e ondaN . Ladistribuzioneangolarecorrispondentealla situazione(6.7) permettequindi di avereinformazioni sui vari termini, con la possibilita di determinaresperimentalmentegli sfasamenti.E questoinfatti il procedimentoperestrarrel’informazionedai datisperimentali.Scrittala sezioned’urto nellaformageneraleD 5DGE = M | 2 ã Q�� Q cosQ e 6 (6 8 8)

si determinanoi coefficienti � Q in mododariprodurrel’andamentosperimentale.Ilvaloremassimodi 2 e fissatodall’energia. I coefficienti � Q cosı ottenutifornisconoinformazionisugli sfasamentidelleondecoinvolte.

514

} ��à��º>�ß�;��=�?>)�� a��~�o �Ö��ß?�ß?àå��>ç�=�Gá ��oË� ��1o ß?��=�=��Esercizio 6.1

Dal confrontoconi datidi un esperimentodi diffusioneelasticaaunadeterminataenergia si e trovato chebastalimitare la sommanella (6.8) a ª = 2, con U 0 = 0 ¦ 587,U

1 = 0 ¦ 611, U 2 = 0 ¦ 271. Determinaregli sfasamentidelleondeparzialicoinvolte.

Talvoltanonenecessarioricorrereallo sviluppo(6.8),perchein corrispondenzadi unaparticolareenergia × 0 si presentaun picco pronunciatodella sezioned’urtototale(fig. 6.2) e un esamedella distribuzioneangolarea questaenergia indica unandamentobendescrittoda un unico polinomio di Legendre,S b (cose ), e quindi ilprevaleredella solaondaparziale h -esima. E gia statorilevato chegli sfasamenti b ( × ), al variaredell’energia × , acquistanovalori compresitra 0 e C (modulo C )e quandoassumonoil valore C k 2 determinanoil massimocontributo alla sezioned’urto elasticoper la corrispondenteondaparzialeh -esima.Seil passaggiodi b ( × )attraversoil valore C k 2 avviene rapidamenteintorno al valored’energia × = × 0,mentretutti gli altri sfasamentivarianolentamente,il contributo dell’onda h -esimadiventadominantee fortementepiccatoin corrispondenzadell’energia × 0. Si dicein tal casocheesisteunarisonanzanell’ondaparzialeh -esima.

Fig. 6.2.Andamentorisonantedellasezioned’urto in funzionedell’energia.

Ricorrendoall’identita ^�`�x1y sin b =1

cot b M l (6 8 9)

e tenendopresenteche,mentre b variatra 0 e C , la cotangentevariatra + Z e M Ze passaper lo zeroin corrispondenzadi × 0, nell’intorno di × 0 si puo svilupparelacotangentein seriedi potenzedi × M × 0, fermandosial terminelineare:

cot b ] M 2� ( × M × 0) 6 (6 8 10)

con

515

�� M 2� Ù DD�× cot b 888w� = � 0

= M D� b ( × )D�× 888w� = � 0

8 (6 8 11)

Conquestaapprossimazionel’ampiezzadi diffusioneperl’onda h -esimachecomparenella(5.18)puo scriversid b ( e ) = M 1t (2h + 1)

� k 2× M × 0 + l � k 2 S b (cose ) 8 (6 8 12)

Di conseguenza,il contributo h -esimoallasezioned’urto totalerisulta5 b = 4C M | 2(2h + 1)

� 2 k 4( × M × 0)2 +

� 2 k 4 8 (6 8 13)

La formadel piccodi 5 b , centratoin × = × 0, e descrittadauna lorentziana, la cuilarghezzaa mezzaaltezzaepari a

�.

Questaespressionedi 5 b e la formula di Breit–Wigner 14 per unarisonanzain× = × 0. Datal’approssimazione(6.10),essaevalidasolonell’intornodi × = × 0.Da un puntodi vista fisico la presenzadi una risonanzanella sezioned’urto

causatadall’ondaparzialeh –esimapuo essereinterpretatacomela formazionedi unostatometastabilein onda h tra proiettilee bersaglio,convita mediapari a � = -n k � ,comegiadiscussoal paragrafoIV.4.

Daunpuntodi vistateoricogenerale,ladeterminazionedegli sfasamentiimplicalaconoscenzadelpotenzialeL (

X) checomparenella(5.9). Sipuoprocederenelmodo

seguente.Sianodatela (5.9),D 2 m bD X 2+ � t 2 M h ( h + 1)

X2 M 22

-n 2 L (

X) � m b = 0 6 (6 8 14)

e la corrispondenteequazioneperil casolibero,D 2 � bD X 2+ � t 2 M h ( h + 1)

X2 � � b = 0 6 (6 8 15)

conle condizioni m b (0) = 0 6 (6 8 16)� b ( t X ) =t X � b

(t X

) 6 � b (0) = 0 8 (6 8 17)

Moltiplicata la (6.15)per m b e la (6.14)per � b , le si sottragganomembroamembroesi integri il risultatotra0 e H . Si ottiene

14 Gregory Breit (1899–1981)e E.P. Wigner: Capture of Slow Neutrons [Cattura di neutroni lenti],PhysicalReview 49 (1936)519–531.

516

} �<��àÜ�º>)ß�;<�=�?>�� a��~�o �Öq��ß?<ß?à½�<> �h�Fá �<��oË� ��1o ß?�=�=�� b D�m bD X M m b D � bD X � i = � =

22-n 2

H �0D X � b ( X ) L (

X) m b ( X ) 8 (6 8 18)

Inserendogli andamentiasintoticipert X A�h delleduefunzioni coinvolte, � b e m b ,

cioe � b ( t X ) ] sin(t X M 1

2 h'C ) 6m b ( X ) ] ^ `�x1y sin(t X M 1

2 h�C + b ) 6 (6 8 19)

per H sufficientementegrandela (6.18)forniscelo sfasamento b tramitela relazionet ^ `�x+y sin b = M 22-n 2

H �0D X � b ( X ) L (

X) m b ( X ) 8 (6 8 20)��g�g�@��

Oltreallaconoscenzadi � ( � ), il calcolodell’integralenella(6.20)richiedequelladi��limitatamenteall’intervallo (0 +� ), definitoin praticadalraggiod’azionedelpotenziale� ( � ). Si puo alloracercareunastimadellosfasamentoutilizzandol’approssimazionedi

Born, senzarisolvereesplicitamentela (6.14)per��

. Cio significasostituire��

con � �nell’equazione(6.20):© ² y{� y sin ¿ � ú ´ 2ª © 2

-¨ 2

H �0

ò �û� 2 � ( � )[ § � ( © � )]2 ¦ (6 ¦ 21)

Utilizzandola (6.21),si puo verificarechegli sfasamentivannorapidamentedecrescendoal cresceredi ¡ conl’energia. Si assumainfatti persemplicitaun potenzialedel tipo� ( � ) = � ´D� 0 �FE ò ,0 � þ ò . (6 ¦ 22)

Per© ò£¢

1, comenell’ipotesi di bassaenergia, e tenendopresentela (5.3), si puoriscriverela (6.21)nellaforma

² yq� y sin ¿ � ú 2ª ò 2

-¨ 2 � 0(© ò

)2�+1

(2¡ + 3)[(2¡ + 1)!!]2 ¦ (6 ¦ 23)

Perl’onda ¤ si ottiene

sin ¿ 0 ú 2ª ò 2

-¨ 2 � 013

© ò (6 ¦ 24)

chepermettel’ulteriore approssimazione:sin ¿ 0 ú ¿ 0. Perl’onda é si ha

sin ¿ 1 ú ¿ 1 ú ¿ 0 (© ò

)2

15

¢ ¿ 0 (6 ¦ 25)

ecosı via perle ondesuccessive, i cui sfasamentisonovia via ridotti ogni ¡ successivo diun fattore(

© ò)2.

517

��~ �� g�g�@�� {æSi presentaqui un casoestremodi bassaenergia percui nelladiffusioneelastica

contribuiscesolo l’onda ¤ ( ¡ = 0). Quindi la funzioneradialeper l’urto elasticodapotenzialeasimmetriasfericasoddisfa all’equazione· ò 2ò � 2

+© 2 ¹ � 0( � ) =

2ª-¨ 2 � ( � ) � 0( � ) (6 ¦ 26)

conla condizione �0(0) = 0 ¦ (6 ¦ 27)

A grandi � l’andamentoasintoticoe�0( � ) \�¥ sin(

© � + ¿ 0) ¦ (6 ¦ 28)

Allora, peril potenziale(6.22)econle definizioni¦ 2 =© 2 +

¦ 20 ¦ 2

0 =2ª � 0

-¨ 2 (6 ¦ 29)

la soluzionedella(6.26)risulta�0( � ) = ¥

1 sin(¦ � ) �FE ò ¦ (6 ¦ 30)

Lo sfasamento¿ 0 e ottenibileimponendola continuitadellafunzioneedellasuaderivatain � =

òtra la parteinternaal potenzialeequellachesi riferisceall’andamentoasintotico.

Cio equivalea imporrela continuitadelladerivatalogaritmicadi�

0 in � =

ò, cioe©

cot(© ò

+ ¿ 0) =¦

cot¦ ò ñ�§ v 1 (6 ¦ 31)

dacui © § = tan(© ò

+ ¿ 0)equindi ¿ 0 = tanv 1(

© § ) ´ © ò ¦ (6 ¦ 32)

Perl’ipotesi di bassaenergia,© òF¢

1, la (6.32)puo essereriscritta

tan ¿ 0 ú © ( § ´ ò ) =© ò � tan

¦ ò¦ ò ´ 1

� ¦ (6 ¦ 33)

Notolo sfasamento,si puo calcolarela sezioned’urto. Tenendopresenteche ¿ 0 epiccolo,percui si puo confonderesin ¿ 0 contan ¿ 0, si haY

=4í©

2sin2 ¿ 0 ú 4í ( § ´ ò )2

= 4í ò 2

�1 ´ tan

¦ ò¦ ò �2 ¦ (6 ¦ 34)

Sesi verificala condizione

518

} �<��àÜ�º>)ß�;<�=�?>�� a��~�o �Öq��ß?<ß?à½�<> �h�Fá �<��oË� ��1o ß?�=�=��tan

¦ ò=¦ ò (6 ¦ 35)

la sezioned’urto elastico(6.34) si annulla. Cio e noto comeeffetto Ramsauer15, dalnomedi chi nel 1921noto chenell’urto elasticodi elettronidaatomidi gasinerti, comeAr, Kr, Xe, la sezioned’urto e praticamentenulla in corrispondenzadi un’energia di 0.7eV degli elettroniincidenti. La condizione(6.35)si realizzaallorapertaleenergia e ciofornisceinformazionisullaprofondita � 0 esul raggiod’azione

òdelpotenziale(6.22).

In generalepero e

tan¦ ò �= ¦ ò

(6 ¦ 36)

e la sezioned’urto nonsi annulla,maanzipuo essereriscrittanellaformaY=

4í©2

sin2 ¿ 0 ú 4í©¨ 2 (6 ¦ 37)

dove ¨ prendeil nomedi lunghezzadi diffusione(= scatteringlength). Il significatodellalunghezzadi diffusionee quello delle dimensionilineari del bersaglio,efficaci a bassaenergia nel determinarela sezioned’urto elastico. Da un puntodi vistamatematico,lalunghezzadi diffusionee deducibiledall’estrapolazioneversol’origine dell’andamentoasintotico(6.28)di

�0( � ),�

0( � ) \ª¥ sin(© � + ¿ 0)

= ¥ sin ¿ 0(cos© � + cot ¿ 0 sin

© � ) ¦Siccome

© � ¢ 1, si puo porre�0( � ) \K¥ sin ¿ 0 · 1 ´m�¨ ¹ (6 ¦ 38)

dovesi e definito

tan ¿ 0 ñm´ © ¨ ¦ (6 ¦ 39)

Dalla (6.39)seguela (6.37). Dunquela lunghezzadi diffusionee determinatadal valoredi � cheazzeral’estrapolazioneversol’origine dellaparteasintoticadi

�0( � ).��g�g�@�� ¬«

Nell’interpretazionedella(6.37)si possonodistinguerevari casi,a secondadelvaloredi

¦ ònella(6.36),equindi dellaprofondita dellabucadi potenziale.

a)0 � ¦ ò �®2Dalla (6.33)segue ¿ 0 þ 0 e quindi dalla(6.39)e ¨X� 0. La situazione,illustratain

fig. 6.3,indicachein tali condizioninonsi puo instaurareunostatolegatotraproiettileebersaglio,mentreepossibilel’urto elastico.

15 Karl Ramsauer(1879–1955):Uber denWirkungsquerschnitt der Gasmolekule gegenuber langsamenElektronen[Sezioned’urto di molecoledi gassottopostea elettroni lenti], AnnalenderPhysik64 (1921)513–540;66 (1921)546–558;72 (1923)345–352.

519

��~ ��

Fig. 6.3. Una lunghezzadi diffusionenegativa corrispondea uno statoche descrive ladiffusione.

b)¦ ò

= 2Cio comporta ¿ 0 ¼ í � 2 e quindi anche ¼ ´ ¾ (fig. 6.4),

Y ¼ ¾ , con laconseguenzachenel limite di energiachetendeazerosi puo avereancheunostatolegatotra proiettile e bersaglioin onda ¤ : cio provocaun andamentorisonantenella sezioned’urto. In generalela risonanzasi verificaper¦ ò

= (2 + 1)í2

esonopossibilistati legati in onda ¤ , di cui il primo per

ë ú 0 16.

c) 2 � ¦ ò � íIn questocaso ¿ 0 � 0 e quindi ¨ þ 0 (fig. 6.5). L’estrapolazioneall’origine,

(6.38),corrispondein questocasoaunafunzionecheper ��° òpossiedeun andamento

asintoticodel tipo ² v � wf± \ ² v z � , tipico di unostatolegato.��g�g�@�� ²ILeconsiderazionidegli Esempi6.2e6.3sipossonoapplicarealsistemanucleone–

nucleone.Lo studiodella diffusionea bassaenergia consentedi verificarechel’unicosistemalegatopossibileper l’urto neutrone–protonee quello per lo statosimmetricodispin 3 ³

1 (tripletto, ³ = 1), chepuo dareorigineallo statofondamentaledel deuterio:intal casola lunghezzadi diffusionee¨:´ = 5 ¦ 424(4)fm ¦

16 E questouncasoparticolaredel teoremadi Levinson: essostabiliscecheil numeroµ � di stati legati inonda¶ , possibiliperundatopotenziale,edatodallarelazione:· � (0) ¸¹· � ( º ) = µ � u0» dovegli sfasamenti· � ( ¼ ) sonocalcolatia energia ugualea 0 e ad altissimaenergia. D’altra partee ragionevole supporre· � ( º ) = 0, percui · � (0) forniscedirettamenteµ � .NormanLevinson(n. 1912): On theUniquenessof thePotential in a Schrodinger Equationfor a GivenAsymptoticPhase[Unicit a del potenzialein un’equazionedi Schrodinger per unadata faseasintotica],Matematisk-Fysiske Meddelelserdet KongeligeDanske VidenskabernesSelskab25 (1949), n. 9, pp.1–29.

520

} ��à��º>�ß�;��=�?>)�� a��~�o �Ö��ß?�ß?àå��>ç�=�Gá ��oË� ��1o ß?��=�=��

Fig. 6.4.Statorisonante.

Fig. 6.5.Unalunghezzadi diffusionepositivapermettela formazionedi unostatolegato.

Invecelo statoantisimmetricodi spin1 ³0 (singoletto,³ = 0) perl’urto neutrone–protone

fornisceunalunghezzadi diffusionenegativa,¨@½ = ´ 23¦ 748(10)fm ¦Ancheil sistemaprotone–protonee il sistemaneutrone–neutronehannounalunghezzadi diffusionenegativa: ¨Z¾ = ´ 7 ¦ 8098(23)fm ¨:¿ = � ´ 18¦ 45(46)fm´ 16¦ 73(47)fm ¦I duevalori forniti per ¨ ¿ sonostati ricavati dall’analisi delle reazioni § ( í v �À )2 e§ ( ¯ é )2 , rispettivamente. La minore precisionein questocasorispettoagli altri edovutaalledifficoltachesi incontranonellarivelazionedi particelleneutreenell’estrarreil contributo dei neutronipersottrazioneda quello dei protoni in un processod’urto su

521

�� deuterio17.

��sÁ ��¢$ Ð½.GÑg$Ë&�( ! !#&�(WÍ�Ñ#Ñ�&)/ÃÂ�$�ÎR!�(Ö0�&Il metododelle ondeparziali fin qui e statoutilizzato nel casodi urto pura-

menteelastico. Cio implica la definizionedi sfasamentodell’ondadiffusatramitela posizione(5.15). Essacorrispondeal fattochetutte le particelleincidenti hannosolo duepossibilita: o proseguonoindisturbateoltre il bersaglio,oppurevengonodeflesseconservandola loro energiacineticainiziale. Globalmenteil flussoentranteuguagliail flussouscente. Se, accantoall’urto elastico,puo avvenire ancheunadiffusioneanelastica,in quantocambiasemplicementel’energia cineticadellaparti-celladiffusa,oppuresi verificanoreazionidi vario tipo checoinvolgonoproiettileebersaglio,allorain un esperimentoattoa rivelaresolol’urto elasticosi haperditadiflussorispettoaquelloincidente.Cio significacheil coefficiente � b dell’ondasfericauscentenella(5.12)hain generalemoduloinferioreo al massimougualeauno,cioe� � b �Ä� 1 8Volendopreservareil concettodi sfasamento,si puo porre� b = Å b ^ 2`�x1y 6 0 � Å b � 1 8 (7 8 1)

Il coefficienterealeÅ b , dettoparametrodi anelasticita, permettedi tenerecontodellaperditadi flussonelcanaleelasticoprovocatadaiprocessianelastici.Senonvengonosingolarmenteosservati, questihannosoloun effetto di assorbimento,cheperognionda h e pari a (1 M Å 2

b).

L’ampiezzadi diffusioneelasticain presenzadi assorbimentoderivadalla(5.14)mediantela (7.1):

d ( e ) =1t lã b

=0

(2h + 1)Æ b S b (cose ) 6 (7 8 2)

dove Æ b = 12 l (1 M � b ) = 1

2 l (1 M Å b cos2 b M l Å b sin2 b ) 8 (7 8 3)

Dalle (5.21)e (5.22)conla (7.1), la sezioned’urto elasticoe:

17 O. Dumbrajs,R. Koch,H. Pilkhun,G.C.Oades,H. Behrens,J.J.De Swart e P. Kroll: CompilationofCouplingConstantsandLow-EnergyParameters[Compilazionedi costantidi accoppiamentoeparametridi bassaenergia], NuclearPhysicsB216 (1983)277–335.

522

}Þ� âÊ��{�?>��Ü��?>»ß?<�?�1Ç�� àå��>ç��50È b = C M | 2 lã b

=0

(2h + 1) � 1 M � b � 2= C M | 2 lã b

=0

(2h + 1)(1+ Å 2b M 2Å b cos2 b ) 8 (7 8 4)

Siccomeperogni onda(1 M Å 2b) rappresentala perditadi flussonel canaleelasticoe

quindi il flussorelativo ai processianelastici,si puo ottenerela sezioned’urto totaleperil complessodi tutti i processianelasticiconla seguenteespressione:5 ( Ô È b = C M | 2 lã b

=0

(2h + 1)(1 M Å 2b) 8 (7 8 5)

Pertantola sezioned’urto totale, sommadel contributo elastico(7.4) e di tutto ilcontributo anelastico(7.5),risulta5 É�Ê1É = 5 È b + 5 ( Ô È b

= 2C M | 2 lã b=0

(2h + 1)(1 M Å b cos2 b ) 8 (7 8 6)

Fig. 7.1.La regioneombreggiatacorrispondealle situazionipossibili inpresenzadi diffusioneanelastica.

E interessanteconsiderarei contributi dell’onda h -esimaalle sezioni d’urtoelasticaeanelastica(fig. 7.1). Perle (7.4)e (7.5)si trova5 È b�Ë b = C M | 2

(2h + 1)(1+ Å 2b M 2Å b cos2 b ) � 4C M | 2

(2h + 1) 6 (7 8 7)

523

��~ �� 5 ( Ô È b�Ë b = C M | 2

(2h + 1)(1 M Å 2b) � C M | 2

(2h + 1) 8 (7 8 8)

Si possonotrarrealcuneconseguenze:a) ogni reazione,o comunqueogni processoanelastico( Å b ? 1 6 5 ( Ô È b T= 0), e

sempreaccompagnatodaurtoelastico( 50È b T= 0);b) il massimodel contributo elastico(7.7) e ottenibilesolo in assenzadi processi

anelastici( Å b = 1). Essoe quattrovolte maggioredel massimodel contributoanelasticototale(7.8), in conseguenzadellacoerenzatra ondaincidentee ondadiffusanel canaleelasticocheproduceinterferenzacostruttiva;

c) il massimodi 5 ( Ô È b�Ë b si ottieneper Å b = 0. In tal casorisulta5 ( Ô È b�Ë b = 5"È b�Ë b = C M | 2(2h + 1) ( Å b = 0) 8 (7 8 9)

Comesi puo verificareconl’aiuto dellafig. 7.2,talerisultatorappresental’areadellazonatrasversaleh -esimaoffertadalbersaglioal fascioincidentedi lunghezzad’onda| = 2C M | : C M | 2

( h + 1)2 M C M | 2 h 2 = C M | 2(2h + 1) 8

Fig. 7.2.Il bersaglioevistodal fascioincidentesecondocoronecircolari di ordine ¡ .��g�g�@��ÍÌ��L’ampiezzadi diffusione(7.3)per l’onda parziale¡ -esimapuo essereutilmente

rappresentatanel pianocomplesso(2Re ¨ � 2Im ¨ � ) ricorrendoal cosiddettografico diArgand18 (fig. 7.3). Perl’urto puramenteelastico( Î � = 1), i puntidelgraficogiaccionosu

18 G. Hohler, G. Hebele J. Zwingerberger: Applicationsof the Dispersion Relationsfor uÐÏ ForwardScattering[Applicazionedellerelazionidi dispersioneperla diffusionein avanti u%Ï ] , in TheInternationalConferenceon ElementaryParticles(Aix–en–Provence,1961),ed. E. Cremieu–Alcan,P. Falk–VairanteO. Lebey, CEA, Saclay, 1962,vol. 1, pp. 485–486.Il nomederiva daquellodel matematicosvizzeroJeanRobertArgand(1768–1822)cheinvento la rapp-

524

}�� â~�A�=�?>��?>¸ß?��?�fÇ<�ºàå��>ç��

Fig. 7.3. Graficodi Argandper la rappresentazionedell’ampiezzadi diffusione: a) casopuramenteelastico,b) risonanzadi Breit–Wignernel casoanelastico.

di unacirconferenzadi raggiounitarioconcentroin ¨ � = + ± esonoindividuatidall’angolo2¿ � . Al cresceredello sfasamento¿ � conl’energia, la circonferenzavieneripetutamentepercorsain sensoantiorario.

Sec’e unarisonanzadi Breit–Wignerall’energia

ë0, equindiperla (6.12)¨ � = ´ Ñ � 2ë ´ ë 0 + ± Ñ � 2 (7 ¦ 10)

in condizioni di risonanzaallo sfasamento¿ � = 12 í corrispondeil punto piu alto del

cerchio,mentrei punti chesi ottengonoper ¿ � = 14 í , cioe quando

ë=

ë1 =

ë0 ´ 1

2 Ñ , eper ¿ � = 3

4 í , cioequando

ë=

ë2 =

ë0 + 1

2 Ñ , corrispondonoal primoeal terzoquartodicirconferenza,determinandoconla loro posizioneil valoredi Ñ : Ñ =

ë2 ´ ë 1.

In presenzadi anelasticita ( Î � � 1), al variare dell’energia i punti del graficodescrivonounatraiettoriaspiraleggiantecontenutaall’internodel cerchiounitario elastico.Nel casoideale di un’unica risonanzadi Breit-Wigner in presenzadi anelasticita, ilpuntocorrispondentealla risonanza( ¿ � = 1

2 í ) e quello piu alto di unacirconferenzadiraggio Î � ( ë 0), centratasull’asseimmaginarioe contenentela spiraletracciatain sensoantiorarioal cresceredell’energia. Nel casopiu generaleanelastico,la risonanzapuoessereaccompagnatadacontributi nonrisonanti,lentamentevariabili con l’energia, chemodificanola situazionealterandoil comportamentodell’ampiezzadi diffusionee dellacorrispondentetraiettorianelpianocomplesso.Cio rendepiu difficoltosal’estrazionedalgraficodi Arganddel parametrodi anelasticita e dellaposizionee della larghezzadellarisonanzastessa.��g�g�@��ÍÌ��{æ

A titolo di esempiosi considerila diffusionedapartedi undisconerodi raggio

òa bordi nitidi. Cio significacheil discoassorbetotalmentetutte le ondechevi incidonofino auncertovaloremassimoÒ di ¡ :

resentazionegeometricadei numericomplessi,disponendole radici µ -esimedell’unita sudi unacircon-ferenzadi raggiounitario.J.R. Argand: Essaisur une maniere de representerles quantites imaginaires dans les constructionsgeometriques, Parigi, 1806.Il libro apparveanonimoefu ristampatocol nomedell’autoresolonel1874.

525

�� Î � = 0 ¡ E Ò ¦ (7 ¦ 11)

La condizionedi bordonitido permettedi fissareÒ mediantela considerazioneche ilparametrodi impattomassimoefficacedeveessere

ò, cioeÒ =

© ò ¦ (7 ¦ 12)

Fig. 7.4.Effettoombra.

La condizione(7.11) tuttavia non escludela possibilita di urto elastico. Anzi comegiaosservatonella(7.9),le sezionid’urto elastica(7.4)eanelastica(7.5)diventanougualitradi loro: YÄÓ �

=

Y ± ¿ Ó � = í ´ C 2 Ôã �=0

(2¡ + 1) ¦Si ha YÐÓ �

=

Y ± ¿ Ó � ú í ´ C 2 Ò 2

= í ò 2 ¦ (7 ¦ 13)

La sezioned’urto anelasticacorrispondeall’areadel disconeroe al risultatocheci siaspettaancheclassicamente.Pero anchein presenzadi assorbimentototalefino adunacertaonda¡ = Ò , il contributodi diffusioneelasticanonenullo. Anzi e taledarenderelasezioned’urto totaledoppiarispettoall’areadeldisconero:Y ´�Õ+´ =

YÐÓ �+

Y ± ¿ Ó � = 2í ò 2 ¦ (7 ¦ 14)

Il fattore2 checomparenella(7.14)enotocomeeffettoombra ededi naturatipicamenteondulatoria.In unateoriaclassicadellapropagazioneondulatoria,l’ombra prodottadaldiscosvaniscea grandidistanzedopo il discoe il disconon si vedepiu. Cio avvienead una distanza

� \ ò2 � ´ C alla quale il disco e visto da un angolo � \ ò � � . Il

fenomenosi spiega con la diffusionedell’onda elasticache compensal’ombra creata

526

Ö ��?��à½ß��?�=�=�=�� á �<��oË� ��1o ß?�=�=��dall’assorbimento:e comese il disco emettesseondeelasticheche interferisconocolfascioincidenteprovocandoil raddoppiodellasezioned’urto totale(fig. 7.4).

��×G�ÙØ�!#&�/#!�ÎPÍµ&�0Ë0'$Ú!g&�Ï¥!�/�_<, .�/�0�&µ!�_ºÍ�Ñ?0'$�!#&Molti risultati ottenuti nella trattazionequantisticadei processid’urto sono

riconducibili a situazionigia note nell’ottica classica. Questofatto non stupiscese si considerache la descrizioneondulatoriadel moto di particelleha caratter-istiche comuni con quella classicadella propagazionedi un’ondache puo subirediffusione,attenuazione,assorbimento.Un esempiodelle possibili analogiee cos-tituito dal cosiddettoteoremaottico, il cui risultatovienequi riconosciutonel casodell’urto elasticopersempliceconfrontodi relazioniscrittenei paragrafiprecedentiperl’ampiezzadi diffusionee la sezioned’urto totale.

Dalla (5.18),tenendopresentechei polinomi di Legendresi riduconoall’unitaper e = 0, segue

Im d (0) =1t lã b

=0

(2h + 1)sin2 b 8 (8 8 1)

Confrontandoquestorisultatoconla (5.21)si trova5 =4Ct Im d (0) 8 (8 8 2)

Questorisultato, noto appuntocometeoremaottico, indica che la sezioned’urtototale per l’urto elasticoe determinatadalla parte immaginariadell’ampiezzadidiffusionein avanti( e = 0). La sezioned’urto totalerappresentail flussodi particellerimossodal fascioincidente;in otticacio corrispondeallamisuradell’estinzionedelfasciodi luceincidentee si ottienedal rapportotra la potenzadissipatae la potenzaincidenteper unita di superficiedell’oggetto illuminato. La rimozionedi flusso,comemisurataa grandi distanzedal bersaglio,puo avvenire solo comerisultatodi un’interferenzadistruttiva tra l’onda incidentee quelladiffusaelasticamente.Ilcontributodi interferenzaerilevantesoloperla direzionein avanti,dovec’eeffettivasovrapposizionetra l’onda incidentee quella diffusa (Esempio1.1). Il risultato(8.2) indicachetale interferenzae linearenellaparteimmaginariadell’ampiezzadidiffusione.

Il teoremaottico e statoqui riscontratonel casodi urto puramenteelastico,mavaleancheperla diffusioneconassorbimentotrattatanel paragrafoXII.7. A tal finebastaconfrontarela (7.2) e la (7.3) per e = 0 con la (7.6) per ritrovare ancorala(8.2). Anzi il teoremaottico haunavalidita del tutto generalecheverra dimostrataal paragrafoXII.13 anchein presenzadi ogniprocessoanelasticoinclusonelcalcolodella sezioned’urto totale. Perora cio si intuiscedall’analogiacon l’ottica e conl’interpretazionedellasezioned’urto comeflussorimossodal fascioincidente.

527


L’approssimazionedi Born (4.3) per l’ampiezzadi diffusionerispettail teoremaottico?

Il risultato(8.2) indica anchela necessita di unaparteimmaginarianon nulladell’ampiezzadi diffusioneelasticain avanti. Di conseguenza,l’approssimazionediBorn,basatasull’ampiezzadi diffusione(4.3)cheper e = 0 diventapuramentereale,viola il teoremaottico. Tuttavia questagrossadifficolta di principio non ostacolal’uso generalizzatodell’approssimazionedi Born, con risultati numericiutili per ilconfrontocon i dati sperimentalia e7T= 0. D’altra parte,misuredi urto elasticoadangoli in avanti hannoun grandeinteresseproprio in virtu del teoremaottico, masonoancheestremamentedifficili per la necessita di distingueretra particellechehannosubitol’urto elasticoeparticelleappartenential fascioincidenteindisturbato.��^Û��ÝÜÞ/�0�&µ!�_ºÍ�Ñ?0'$�!#&ÿ*)$�Ï�Í�/%0'$�!g!�_�_=!p$'*G!�(Ö0'$�!�#¥!

Finorasi sonostudiatii processid’urto senzaprenderein considerazionegradidi liberta interni delleparticellein gioco. In lineadi principio none difficile tenerecontodi altri numeriquanticioltreall’energiaeall’impulsoeciosarafattoin generalenei paragrafiXII.12 – XII.14. D’altra partele particellequantistiche,sia i bosonichei fermioni,sonotradi loro indistinguibili. Pertanto,ancheaprescinderedal loroeventualespin,daun puntodi vistasperimentalenonsi e in gradodi distingueretrale duesituazioniin fig. 9.1chesi possonoverificarequandosi rivelanole particellediffuse ad un angolo e nel sistemadel centrodi massa:nel moto relativo non siavvertelo scambiotra la particella1 e la particella2.

In generalela descrizionedeve essereinvarianteper lo scambior Y M r, conr = r1 M r2, equindiper epY C M e e f Y f + C . Allora asintoticamentela funzioned’onda non puo piu esseresemplicementedatadalla condizione(1.11), ma deveessereunafunzionesimmetricaperlo scambiodelledueparticelle:\

(r) ] 3 � ^ `hbac + ^ B `hbac +

� d ( e 6gf ) + d ( C M e 6gf + C )

� ^ `�b%iX � 6 (9 8 1)

dove3

e un fattoredi normalizzazione.Sesi impone3

= 1, ognunodei duefascidi particellechesi urtanoelasticamentenelsistemadelcentrodi massahaflussoparia -nÖt k 2 .

Il flussodi particelleraccoltenell’angolosolido DGE dopol’urto risulta

-n�t2 � d ( e 6gf ) + d ( C M e 6%6gf + C ) � 2 DGEe quindi D 5DFE = � d ( e 6gf ) + d ( C M e 6gf + C ) � 2 8 (9 8 2)

528

ÞG��fo ß?�=�=�� ?��á ß?��=�=��1oqo �@�{ a�<> �h�{�+ßç�

Fig. 9.1.Urto elasticodi particelleidentiche.

Rispettoal casodi particelledistinguibili, la sezioned’urto (9.2) presenta,oltre alterminedovutoalladiffusionenelladirezioneindicatadagli angoli e e f , un termineprodottodal rinculodel bersaglionelladirezioneindicatadagli angoli C M e e f + Ceunterminedi interferenza,di naturasquisitamentequantistica,dovutoall’effettodiscambiotra particelleidentiche.��g�g�@��¹à ��

L’effetto dell’indistinguibilita puo esseremeglio apprezzatoriconsiderandoilpotenzialecoulombianoschermato(4.16). In approssimazionedi Born con � 0 ¼ ¾ , siha ( � ) =

ª M 1 M 2 ² 2

2-¨ 2 © 2 sin2 � � 2 ( í»´�� ) =ª M 1 M 2 ² 2

2-¨ 2 © 2 cos2 � � 2 (9 ¦ 3)

dacui òPYò À =

� ª M 1 M 2 ² 2

2-¨ 2 © 2

�2�

1sin4 � � 2 +

1cos4 � � 2 +

2sin2 � � 2cos2 � � 2 � ¦ (9 ¦ 4)

La (9.4) e essenzialmentela formula di Mott 19 per l’urto elasticodi particellecaricheda bersaglicarichi puntiformi. Il primo terminedella (9.4) e quello che gia compare

19 In realta Sir Neville FrancisMott (n. 1905)ricavo un’espressionedellasezioned’urto chetienecontodell’azionedel potenzialecoulombianoefficaceanchea grandi distanzetra proiettile e bersaglio. Diconseguenzail fascioincidentenon puo piu esseredescrittosemplicementeda un’ondapiana. Inoltre,considerandoelettroni,occorretenerepresenteancheil loro spin. La formuladi Mott contieneallora,alpostodel termineinterferenziale2sinv 2 á O 2cosv 2 á O 2 della(9.4), il termine¸ 4

cos( â ln tan2 á O 2)

sin2 á »dove â =

Qã 1 ã 2x 2

-ä 2 å »e Q e la massaridottadel sistemadelledueparticelleidentiche.

529

�� nellaformuladi Rutherford(4.18)ede fortementepiccatoin avanti; il secondotermineedovutoal purocontributodi scambioedetipicamentepiccatoall’indietro ( � = í ), mentreil terzo termine,che proviene dall’interferenzatra quello diretto e quello di scambio,esaltala sezioned’urto a � = í � 2 rispettoal casoin cui si trascuralo scambio.

La situazioneepiu complessasesi consideralo spin. Si suppongacheproiettilee bersagliosianofermioni identici con spin � = 1

2. In questocaso,per la partedispin,si possonorealizzarestatidi singolettoe di tripletto, in accordoconle (X.4.2)e (X.4.3). Dato che la funzioned’onda complessiva deve essereantisimmetrica,occorrecombinarela partespazialesimmetrica(antisimmetrica)con quelladi spinantisimmetrica(simmetrica).Di conseguenza,la funzioned’ondanelcasodegli statidi triplettohail seguenteandamentoasintotico\

(r) ] 3 � ^�`hbac M ^ B `�bac +

� d ( e 6gf ) M d ( C M e 6gf + C )

� ^ `hb%iX �"æèç QFé 6 (9 8 5)

mentrequellaperlo statodi singolettorisulta\(r) ] 3 � ^ `hbac + ^ B `hbac +

� d ( e 6gf ) + d ( C M e 6gf + C )

� ^ `�b%iX �©æ ( 8 (9 8 6)

Corrispondentementesi ottienela sezioned’urto di tripletto5 É = � d ( e 6gf ) M d ( C M e 6gf + C ) � 2 6 (9 8 7)

relativa al casoin cui le dueparticellehannospin parallelo( � = 1), e la sezioned’urto di singoletto 5 ç = � d ( e 6gf ) + d ( C M e 6gf + C ) � 2 6 (9 8 8)

relativaal casoin cui le dueparticellehannospinantiparallelo( � = 0).Si noti chele duediversesezionid’urto di triplettoedi singolettosonounapura

conseguenzadel principiodi Pauli, senzacheci siabisognodi unadipendenzadallospin del potenzialeresponsabiledella diffusione. Setale potenzialedipendedallospin,cio si riflette nellastrutturadell’ampiezzadi diffusione d ( e 6gf ).

Spessole particellechesi urtanoelasticamentenon sonopolarizzate:cio sig-nifica chenon si osservanogli spin iniziali e finali e quindi si misuraunasezione

N.F. Mott: Thecollisionbetweentwoelectrons[L’urto di dueelettroni], Proceedingsof theRoyal Societyof LondonA126 (1930)259–267.Le prime verifichesperimentalidella formula di Mott sonostateottenuteda JamesChadwicke PatrickMaynardStuartBlackett (1897–1974).J.Chadwick:Thescatteringof 9 -Particles in Helium[La diffusionedi particelle 9 in elio], Proceedingsof theRoyal Societyof LondonA128 (1930)114–122.P.M.S. Blackett e F.C. Champion: Thescatteringof slow alpha particles by helium [La diffusionediparticellealfa lentedapartedi elio], Proceedingsof theRoyal Societyof LondonA130 (1931)380–388.

530

ê á ��ß?��?�� ?�"ëFìío{o �<�d’urto mediatasullepossibiliorientazionidegli spin. Ci sonoquattrostatipossibili,tre conspintotale1 eunoconspintotale0, ugualmenteprobabili. Percio la sezioned’urto mediarisulta 5 = 1

45 ç + 3

45©É 8 (9 8 9)

Esercizio 9.1

Utilizzandoi dati dell’Esempio6.4,determinarela sezioned’urto medianell’urtoneutrone–protoneabassaenergia.

Esercizio 9.2

Dimostrareche nello spaziodi spin l’ampiezzadi diffusione elasticaper unaparticelladi spin 1

2 hala seguentestruttura: ( � ¤ ) = � ( � ¤ ) 11 + ± ¨ ( � ¤ )

Y YY � n (9 ¦ 10)

dove n = k V k ð � ¬ k V k ð ¬ e il versorenormaleal pianodi diffusione.

� ��'�@î��¹ï ÏÖ!�/�Í)0�&)/�$ *�$6ðòñ%_�_=!�/In questoparagrafovienepresentatoun metodopropostodaMøller 20 persta-

bilire un legametra le soluzioniadenergie positive del problemaimperturbatoe lesoluzionidi diffusionecorrispondentiallo stessovaloredi energia appartenenteallaporzionecontinuadello spettrodella hamiltonianatotale del problemad’urto. Ilrisultatoe ottenutoin uno schemaindipendentedal tempo,ma fa usodi un opera-torechee costruitoa partiredall’operatoredi evoluzionetemporaleintrodottonelladescrizionedi interazione,ó

( ô 6 ô 0) = ^ `^õ 0É v -ö ^ B `�õ (

É B É 0)

v-ö ^ B `�õ 0

É0

v-ö 6 (108 1)

dove I e I 0 sono le hamiltonianetotale (2.1) e imperturbata,rispettivamente.Sia �ÓÒ ( Õ unasoluzionedella (2.2) corrispondenteall’autovalore × ( cheappartienealla partecontinuadello spettrodi I 0: �ÓÒ ( Õ puo essereconsideratolo statochedescrive proiettile e bersaglionon interagenti,all’istante iniziale ô 0 ? 0. Per ef-fetto dell’operatoredi evoluzionetemporale(10.1),all’istante ô = 0 sotto l’azionedell’interahamiltonianaI lo statoeevolutonelmodoseguente:

20 Christian Møller (1904–1980): General Propertiesof the Characteristic Matrix in the Theory ofElementaryParticles. I & II. [Proprieta generali della matricecaratteristicanella teoria delleparticelleelementari.I & II.] , Matematisk-Fysiske MeddelelserdetKongeligeDanske VidenskabernesSelskab23(1945)no. 1, pp. 1–48;26 (1946)no. 19,pp. 1–46.

531

�� ó(0 6 ô 0) �ÓÒ ( Õ = ^ `�õ É 0 v -ö ^ B `^õ 0

É0

v-ö �ÓÒ ( Õ

= ^ B ` �0÷ É 0 v -ö ^�`�õ É 0 v -ö �ÓÒ ( Õ 8 (108 2)

L’ideadi Møller echequandoô 0 Y M Z la (10.2)produceunautostato�\Õ dell’intera

hamiltonianaI , conle giusteproprieta asintoticheimpostedalproblemad’urto.Perstudiareun’espressionedel tipo (10.2)occorreconoscerecomeagisceI su�ÓÒ ( Õ . D’altra parte,gli autostatidi I costituisconoun insiemecompleto,sullabase

del qualee possibilesviluppare�ÓÒ ( Õ . La hamiltonianaI puo averein generalesiaunospettrodiscreto,conautostati�

\øÕ , siaunospettrocontinuo.Siano�

\(+)O Õ ] �ÓÒ O Õ + ondasfericauscente (108 3)

gli autostatidel continuo,con un comportamentoasintoticodel tipo richiestoperdescriverela situazionedi diffusione. In baseall’equazionedi Lippmann–Schwin-ger, esisteunarelazionetra gli stati �

\(+)O Õ e gli stati �ÓÒ O Õ cheappartengonoad I 0

conlo stessoautovaloredi energiadello spettrocontinuo:�\

(+)O Õ = �ÓÒ O Õ +1× O M I 0 + l1* L �

\(+)O Õ 8 (108 4)

In modo simile si puo introdurre l’altro insiemedi autostatidi I per lo spettrocontinuo,corrispondenteacondizionial contornodi ondasfericaentrante,�

\( B )O Õ = �ÓÒ O Õ +

1× O M I 0 M l1* L �\

( B )O Õ 8 (108 5)

Intervienea questopuntoun’affermazionefondamentalechein generalenonedimostrata,ma checostituisceun’ipotesi ragionevole in quantosi pretendeche Isia un operatoreautoaggiunto:si ammettecioe che sia l’insieme di tutti gli stati�\�øÕ con tutti gli stati �

\(+)O Õ , sia l’insieme di tutti gli stati �

\øÕ con tutti gli stati�

\( B )O Õ costituiscanoun insiemecompleto. Naturalmentei due insiemi non sono

indipendentitradi loro.Tale ipotesi e fondamentaleper la teoria,perche permettedi disporredi una

basea scelta,a secondadelle convenienticondizionial contorno. D’ora innanzisiutilizzera l’insiemecon le condizionial contorno(10.3),ma il risultatofinalepotrafacilmenteesseretrascrittoin termini dell’insiemecon le condizionial contornodiondaentrante.Si puo allorascriverelo sviluppo�ÓÒ ( Õ = ùH O , O � \ (+)O Õ + ã ø - ø � \�ø Õ 6 (108 6)

doveil simbolo ú Oû indicalanecessitadi eseguirealmenoun’integrazionein corrispon-denzadell’indice continuodell’energia, chee mascheratonell’indice � insiemecontutti gli altri numeriquanticichecaratterizzanolo stato.Esplicitamentei coefficientidi sviluppo

, O e- ø

sonodatidallerelazioni

532

ê á ��ß?��?�� ?�"ëFìío{o �<�, O = ä

\(+)O � Ò ( Õ 6 - ø

= ä\üø� Ò ( Õ 8 (108 7)

Perla valutazionedi, O si ricorrealla (10.4):, O = ä

\(+)O � Ò ( Õ

= ä Ò O � Ò ( Õ + ä 1×rO M I 0 + l+* L\

(+)O �ÓÒ ( Õ= ä Ò O � Ò ( Õ + ä

\(+)O � L 1× O M I 0 M l+* Ò ( Õ 6

cioe , O = ( � M Æ ) +1× O M × ( M l1* ä

\(+)O � L �ÓÒ ( Õ 6 (108 8)

dovenelladeltadi Dirac sonocontenuteancheeventualideltadi Kronecker. Utiliz-zandolo sviluppo(10.6)e i coefficienti

, O e- ø

, la (10.2)diventaó(0 6 ô 0) �ÓÒ ( Õ = ùH O , O�^ ` ( �þý B � ÷ )

É0

v-ö � \ (+)O Õ + ã ø - ø ^ ` ( � ÿ B � ÷ )

É0

v-ö � \ ø Õ

= ùH O ( � M Æ ) ^ ` ( �þý B � ÷ )É

0

v-ö � \ (+)O Õ

+ ùH O ä\

(+)O � L �ÓÒ ( Õ ^ ` ( �þý B � ÷ )É

0

v-ö×rO M × ( M l+* �\

(+)O Õ+ ã ø ä

\ ø�ÓÒ ( Õ ^ ` ( � ÿ B �0÷ )

É0

v-ö � \ ø Õ 8

(108 9)

Cio chequi interessae il comportamentodella(10.9)quandoô 0 tendea M Z , cioe illim É

0� B l

ó(0 6 ô 0) �ÓÒ ( Õ . In tali condizionisi puo dimostrarecheil secondoe il terzo

addendonella(10.9)si annullano.Si consideridapprimail secondoaddendoesi ricorraal seguenteteorema: sein

un integralerispettoa � c’e nell’integrandoun fattoredel tipo ^ B ` � É 0 k ( � + l+* ), con* � 0 piccoloapiaceremanecessarioperla convergenzadell’integrale,alloraquestofattorepuo esseresostituitosottoil segnodi integralenelmodoseguente:^ B ` � É 0

� + l+* M Y ¯ M 2C l ( � ) 6 ô 0 Y + Z ,0 6 ô 0 Y M Z .

(108 10)

Il teorema(10.10)si dimostrasubitotenendopresentechee

533

�� limt � 0+

^ B ` � É 0� + l+* = M l ^ B ` � É 0 limt � 0+

H + l0

D@g ^ ( ` � B t ) �= M l H + l

0D@g ^ ` � ( � B É 0)

= M l H + lB É 0 DGj�^ ` � c 8Siccome

limÉ0� + l H + lB É 0 DFj�^ ` � c =

H + lB l DGj�^ ` � c = 2C ( � ) 6limÉ

0� B l H + lB É 0 DFj�^�` � c = 0 6

si ottienedunquela (10.10).Un fattoredel tipo (10.10)appareproprio nel secondoaddendodella (10.9).

Pertanto

limÉ0� B l

ó(0 6 ô 0) �ÓÒ ( Õ =

= �\

(+)( Õ + limÉ0� B l ã

ø ä\ø�ÓÒ ( Õ ^ ` ( � ÿ B � ÷ ) É 0 v -ö �

\�øÕ 8 (108 11)

L’ultimo terminenella (10.11)none determinatoa causadel fattoreoscillantenel tempo.D’altra parteva rilevatochela situazioneidealedi unadescrizionedellostatoconun’energiabendefinita,immersanellaporzionecontinuadellospettro,none realizzabilesenon con tempi di osservazioneinfinitamentelunghi. In praticalasituazionesperimentalepermetteunacertacollimazionein energia,checorrispondeaunadescrizionedelsistemain terminidi pacchettodi onde,piuttostochein terminidi ondemonocromatiche.Quindi e piu realisticoutilizzare un pacchettodi ondeottenutodallasovrapposizionedi statidel tipo (10.6):� ÒrÕ = ùH ( ä Ò ( � Ò½Õa�ÓÒ ( Õ 8 (108 12)

Facendoagire l’operatoredi evoluzionetemporalesulla (10.12), la (10.11)vieneriscrittain termini di pacchettidi onde:

limÉ0� B l

ó(0 6 ô 0) � ÒåÕ = �

\(+) Õ

+ limÉ0� B l ã

ø ùH ( ä Ò ( � Ò½Õ ä\üø�ÓÒ ( Õ ^�` ( � ÿ B �þ÷ )

É0

v-ö � \ ø Õ 6

(108 13)

534

ê á ��ß?��?�� ?�"ëFìío{o �<�dovesi e posto �

\(+) Õ = ùH ( ä Ò ( � Ò½Õ��

\(+)( Õ 8 (108 14)

Adessosi puo riconoscereche il secondoaddendonella (10.13) e nullo. Cio econseguenzadel teoremadi Riemann-Lebesgue, peril quale,sel’integraleH + lB l D@g � d ( g ) �e convergente,allora

lim� � + l H + lB l D:gPd ( g ) cos| g = lim� � + l H + lB l D:gPd ( g ) sin | g = 0 6cioe

lim� � + l H + lB l D:gPd ( g ) ^ ' ` � � = 0 8 (108 15)

Dunquesi puo concludereche

limÉ0� B l ùH ( ä Ò ( � Ò½Õ ä

\üø�ÓÒ ( Õ ^a` ( � ÿ B �0÷ )

É0

v-ö = 0

see convergentel’integrale ùH ( � ä Ò ( � Ò½Õa��F� ä\ ø�ÓÒ ( Õ�� 8

Ma questacondizionee realizzatasemprequandosi ha a chefarecon pacchettidionde � ÒåÕ e stati legati �

\ øÕ , chehannosemprele giusteproprietadi integrabilita.

Pertantola (10.13)diventa

limÉ0� B l

ó(0 6 ô 0) � ÒrÕ = �

\(+) Õ 8 (108 16)

Questorisultatoperi pacchettidi ondeeesatto:essodefiniscel’ operatoredi Møller,ó(0 6 M Z ) = limÉ

0� B l

ó(0 6 ô 0) 6 (108 17)

checollega il pacchettodi onde � ÒrÕ , costruitocon autostatidi I 0, al pacchettodionde �

\Õ , costruitoconautostatidi I . Si puodareunaversioneformaledella(10.16)

cheriprendegli stati �ÓÒ ( Õ e �\

(+)( Õ , immaginandodi concentrareil pacchettosemprepiu strettamenteattornoal valoredi energia × ( . Il risultatoformaleeallora:ó

(0 6 M Z ) �ÓÒ ( Õ = �\

(+)( Õ 8 (108 18)

535

��

Fig. 10.1.Azione degli operatoridi Møller (0 Á ¾ ) nel passaggioda un autostato¬ � ê diè0 aunautostato¬ � ( ) ê di

è=è

0 + � appartenentiallo stessoautovaloredi energia

ë þ0.

Sesi fossepartiti nella (10.6) con uno svilupposugli stati �\

( B )O Õ , si sarebbearrivati in modosimileal seguenterisultatofinale:ó

(0 6 + Z ) �ÓÒ ( Õ = �\

( B )( Õ 6 (108 19)

dove ó(0 6 + Z ) = limÉ

0� + l

ó(0 6 ô 0) 8 (108 20)

Anchequestorisultato,comequellonella (10.18),e puramenteformalee va intesoesattamentevalidosoloperi pacchettidi onde.In talsensoanchenelseguitoverrannoutilizzati i limiti (10.18)e (10.19).

Gli operatori

ó(0 6 ) Z ), agendosu una soluzione �ÓÒ ( Õ del continuo per la

hamiltonianaimperturbataI 0, produconole soluzioni �\

( � )( Õ della hamiltonianaperturbataI corrispondentialla stessaenergia. Gli operatoridi Møller

ó(0 6 ) Z )

dunquefornisconole soluzioni delle equazionidi Lippmann–Schwinger(10.4) e(10.5),stabilendounaconnessionetra gli autostati�ÓÒ ( Õ di I 0 e gli autostati�

\( � )( Õ

di I appartenentiallo stessoautovaloredi energia × ( dellaporzionecontinuadellospettro(fig. 10.1).

L’operatoredi evoluzionetemporale(10.1)eunitarioeagiscein tutto lo spaziodi Hilbert. Gli operatoridi Møller operanoinvecesolosustaticheappartengonoallaporzionecontinuadellospettrodi I 0. Dalle (10.18)e (10.19)si puo dedurreinfattió

(0 6 � Z ) = ùH ( � \ ( ' )( Õ ä Ò ( � 6 (108 21)

dacui appareevidentela restrizioneal sottospaziodi energiapositiva. Similmentesipossonocostruiregli operatorió

�(0 6 � Z ) =

ó( � Z 6 0) = ùH ( �ÓÒ ( Õ ä

\( ' )( � 8 (108 22)

536

ê á ��ß?��?�� ?�"ëFìío{o �<�Gli operatoridi Møller

ó(0 6 ) Z ) sonounitari a sinistra seoperanonel sot-

tospaziocorrispondenteallo spettrocontinuodi I 0:ó�(0 6 � Z )

ó(0 6 � Z ) =

ó( � Z 6 0)

ó(0 6 � Z )

= ùH ( Ë O �ÓÒ ( Õ ä\

( ' )( �\

( ' )O Õ ä Ò O �= ùH ( Ë O �ÓÒ ( Õ ( Æ M � ) ä Ò O �= ùH ( �ÓÒ ( Õ ä Ò ( � 6

cioe ó�(0 6 � Z )

ó(0 6 � Z ) = 11 8 (108 23)

Pertantoin questosottospaziol’inversoasinistradi

ó(0 6 � Z ) e

ó�(0 6 � Z ).

Invecegli operatori

ó(0 6 � Z ) nonsonounitari adestra:ó

(0 6 � Z )

ó�(0 6 � Z ) =

ó(0 6 � Z )

ó( � Z 6 0)

= ùH ( Ë O �\

( ' )( Õ ä Ò ( �ÓÒ O Õ ä\

( ' )O �= ùH ( Ë O �

\( ' )( Õ ( Æ M � ) ä

\( ' )O �

= ùH ( � \ ( ' )( Õ ä\

( ' )( � 6cioe ó

(0 6 � Z )

ó�(0 6 � Z ) = 11 M ã ø �

\ øÕ ä\ ø� 8 (108 24)

L’unitarieta a destrae possibilesolose I nonpossiedestati legati �\�øÕ . In tal caso

gli operatoridi Møller sonounitari e stabilisconounacorrispondenzabiunivocatragli autostatidi I e quelli di I 0, tutti appartenentiallo spettropuramentecontinuo.In generalepero gli operatoridi Møller non sonounitari, comee giusto,in quantodevonotrasformareunostatoimperturbatoin unoperturbato.

Esercizio 10.1

Verificarelaseguenterappresentazionenellospaziodelleposizionipergli operatoridi Møller associatiaunaparticella:ì

r ¬ (0 � ¾ ) ¬ r ð ê =1

(2í )3 w 2 H òk ² v y k î r õ � ( � )(r) ¦

537


Alla luce dell’esercizioprecedente,verificare che nella rappresentazionedelleposizionigli operatori(nonlocali) di Møller sonooperatoriintegrali.

Esercizio 10.3

Verificarela seguenteproprieta:è (0 � ¾ ) = (0 � ¾ )è

0 ¦[Suggerimento:si faccianooperareamboi membridell’equazionesuunostatoarbitrario,sviluppandolosullabase� ¬ � ± ê�� .]Esercizio 10.4

Dimostrarechegli stati ¬ � ( � )± ê soddisfanoalle stessecondizionidi ortonormaliz-zazionedegli stati ¬ � ± ê .

��F�)��ÊÍ ÎPÍ�0'/�$Ú!?!p*)$�Ñ�!gÍ)0Ë0!�/�$�(�&In unadescrizionedipendentedaltempoil processod’urtocollegaunasituazione

del passatoinfinitamenteremoto,in cui proiettilee bersaglionon interagiscono,adunasituazione,corrispondentea un istanteinfinitamentelontanonel futuro, in cuidi nuovo mancal’interazionetra i prodottidel processodi diffusione.L’interazionetra proiettilee bersagliorisultaefficacea tempifiniti: essae responsabiledellamo-difica dello statoimperturbatoiniziale edellasuatrasformazionerivelataa processoavvenuto. In termini quantitativi, per ôµY M Z , lo statodel sistemaproiettile–bersaglioe descrittoda uno statodi tipo �ÓÒ½Õ ; sia esso �ÓÒ ` Õ . L’evoluzionea tempifiniti di talestatocoinvolgel’applicazionedi unoperatoredi Møller:

ó( ô 6 M Z ) �ÓÒ ` Õ .

A tempi infinitamentelontani nel futuro, lo statodiventa

ó(+ Z 6 M Z ) �ÓÒ ` Õ . Esso

deve,d’altraparte,essereancoraunostatodi tipo �ÓÒ½Õ . Ci si chiedela probabilitacheessosiaperesempiolo stato �ÓÒ��Õ .

Perdefinizione,l’ampiezzadi probabilitadi trovareil sistemanellostato �ÓÒ��Õ e� � ` = ä Ò � �ó

(+ Z 6 M Z ) �ÓÒ ` Õ 8 (118 1)

La (11.1)puo ancheessereriguardatacomel’elementodi matricetra gli stati �ÓÒ ` Õ e�ÓÒ � Õ di unoperatore� cosı definito:� � ` = ä Ò��Ö� � �ÓÒ ` Õ 6 (118 2)� = lim�0 �� + �

ó( ô 6 ô 0) 8 (118 3)

538

��ßåà½ß?�=��=��Ü ?�Ö<�ß?�=�'��º>Ã~La(11.3),introdottanel1943daHeisenberg21, edettamatricedi scatteringomatrice� . Essacontienetuttal’informazionerelativa al processo.La (11.2)nedefinisceglielementidi matricesulla basedegli stati imperturbati. D’altra partela definizione(11.1)permettedi verificareche � � ` e strettamentelegataagli stati chedescrivonol’urto. Infatti, dalle(10.18)e(10.19)edalleproprietadegli operatoridi Møller, segue� � ` = ä Ò��

ó(+ Z 6 M Z ) �ÓÒ ` Õ

= ä Ò � �ó

(+ Z 6 0)

ó(0 6 M Z ) �ÓÒ ` Õ

= ä Ò � �ó�(0 6 + Z )

ó(0 6 M Z ) �ÓÒ ` Õ

= äó

(0 6 + Z ) Ò�� ó (0 6 M Z ) Ò ` Õ 6 (118 4)

cioe � � ` Ù ä\

( B )� �\

(+)` Õ 8 (118 5)

Un’altraformadellamatrice� eottenibiledallaterzarigadella(11.4)edalleespres-sioni (10.21)e (10.22)pergli operatoridi Møller:� = ùH ( Ë O �ÓÒ ( Õ ä

\( B )( �\

(+)O Õ ä Ò O � 8 (118 6)

In questaformavienemeglio sottolineatala relazionetrastati iniziali e finali imper-turbatichevengonocollegatidallamatrice � neldescrivereil processo.

La matrice � e unamatriceunitaria. Infatti e� � � =

ó(+ Z 6 M Z )

ó�(+ Z 6 M Z )

=

ó(+ Z 6 0)

ó(0 6 M Z )[

ó(+ Z 6 0)

ó(0 6 M Z )]

�=

ó(+ Z 6 0)

ó(0 6 M Z )

ó�(0 6 M Z )

ó�(+ Z 6 0)

=

ó(+ Z 6 0)

�11 M ã ø �

\ øÕ ä\ ø� � ó � (+ Z 6 0) 6

dovesi e tenutocontodella(10.24);quindiperla (10.23)econle espressioni(10.21)e (10.22)pergli operatoridi Møller, si ha� � � =

ó(+ Z 6 0)

ó(0 6 + Z ) M ã ø ó

(+ Z 6 0) �\øÕ ä\üø� ó (0 6 + Z )

= 11 M ã ø ùH ( Ë O �ÓÒ ( Õ ä\

( B )( �\ øÕ ä\üø�\

( B )O Õ ä Ò O � 8Il secondoterminee pero nullo perl’ortogonalita tra gli statidi tipo �

\�øÕ e quelli di

tipo �\

( B )( Ë O Õ . Percio

21 W. Heisenberg: Die “beobachtbarenGrossen”in der Theorieder Elementarteilchen[Le “gr andezzeosservabili” nella teoria delleparticelleelementari], Zeitschrift fur Physik120 (1943)513–538.

539

�� = 11 8

Similmente

� � � =

ó�(+ Z 6 M Z )

ó(+ Z 6 M Z )

= [

ó(+ Z 6 0)

ó(0 6 M Z )]

�ó

(+ Z 6 0)

ó(0 6 M Z )

=

ó�(0 6 M Z )

ó�(+ Z 6 0)

ó(+ Z 6 0)

ó(0 6 M Z )

=

ó�(0 6 M Z )

ó(0 6 + Z )

ó�(0 6 + Z )

ó(0 6 M Z )

=

ó( M Z 6 0)

�11 M ã ø �

\øÕ ä\üø� � ó (0 6 M Z )

=

ó( M Z 6 0)

ó(0 6 M Z ) M ã ø ùH ( Ë O �ÓÒ ( Õ ä

\(+)( � \ ø Õ ä

\üø�\

(+)O Õ ä Ò O � 6e quindi � � � = 11 8In definitiva e dunque � � � = � � � = 11 8 (118 7)

L’unitarieta della matrice � e importanteper la teoriaperche garantiscela conser-vazionedellaprobabilita totale. Indicatainfatti conS ` � = � � � ` � 2 (118 8)

la probabilitadi transizionedallostato �ÓÒ ` Õ inizialeallo stato �ÓÒ��FÕ finale,in accordoconla (11.1),si ha ã

� S ` � = ã� � � � ` � 2

= ã�� o� ` � � `

= ã�

( � � ) ` � � � ` 6cioe ã

� S ` � = 1 8 (118 9)

540

�û� ��áç��ß?��?�� ?�Ö�=��ß?>ç� ;<�=�?>��Tramite la (11.9), l’unitarieta della matrice � assicurala certezzache il sistema,inizialmentenello stato � l Õ , autostatodi I 0, alla fine dell’azionedel potenzialeL siritrovi ancoranello stessospaziodi Hilbert, in unodeipossibiliautostatidi I 0.��ÈG��¢, &?ÏÖ!�/�Í)0�&)/#!p*)$ 0'/�Í�(�Ñ?${"%$'&)(�!

L’espressione(11.5)perla matrice � puo essererielaboratain mododametterein evidenzail contributodellatransizionetrastatiinizialeefinale. Cio portaadefinireunanuova matrice,la matricedi transizioneo matrice � , e a dimostrareil teoremaottico nellasuapiu completageneralita. Dunque:� � ` = ä

\( B )� �\

(+)` Õ= ä\

(+)� �\

(+)` Õ + ä\

( B )� M \ (+)� �\

(+)` Õ= � ` + ä

\( B )� M \ (+)� �

\(+)` Õ 8 (128 1)

Il primoterminedella(12.1)indicachetragli statipossibilial sistemanel lontanofu-turosi puo sempreconsiderareancheunostato �ÓÒ��FÕ checoincideconlo statoiniziale�ÓÒ ` Õ e chequindi rappresentail fascioiniziale nondiffuso in presenzadi bersaglioindisturbato.Nel casodellateoriadelladiffusionedapotenzialedel paragrafoXII.1cio corrispondeall’ondapianaincidente `hbac . L’informazionefisicasul processodidiffusionee percio contenutanel secondoterminedella (12.1),chesi puo valutarericorrendoall’equazionedi Lippmann–Schwingernellaforma(3.7):

ä\

( B )� M \ (+)� �\

(+)` Õ = ä Ò��Ö� � 1× � M I M l+* L M 1× � M I + l+* L � � �\

(+)` Õ= ä Ò��Ö� L � 1× � M I + l1* M 1× � M I M l+* � �

\(+)` Õ

= ä Ò��Ö� L � 1× � M × ` + l1* M 1× � M × ` M l+* � �\

(+)` Õ= ä Ò��Ö� L M 2l+*( × � M × ` )2 + * 2 �

\(+)` Õ 8

(128 2)

Nella (12.2)occorreprendereil limite per * Y 0, percui e utile la relazione

limt � 0+*� 2 + * 2 = C ( � ) 6 (128 3)

chederivadalla(A.54). Pertantola (12.2)diventa

ä\

( B )� M \ (+)� �\

(+)` Õ = M 2C l ( × ` M × � ) ä Ò�� L �\

(+)` Õ 8 (128 4)

Convieneintrodurrela matrice� definitamediantei suoielementi:

541

�� ` = ä Ò � � L �

\(+)` Õ 8 (128 5)

In tal modola matrice � della(12.1)puo essereriespressain termini di matrice� :� � ` = � ` M 2C l ( × ` M × � ) � � ` 8 (128 6)

Lapresenzadelladeltasull’energiaindicachenellatransizioneda �ÓÒ ` Õ a �ÓÒ � Õ indottadalprocessod’urto l’energiatotalesiconserva,anchesealtri numeriquanticipossonocambiare.

Seperarrivarealla(12.6),invecedi operaresulbradella(12.1),si fossesostituitoallo stato �

\(+)` Õ lo stato �

\( B )` Õ + �

\(+)` M \ ( B )` Õ , si sarebbegiunti alla definizione� � ` = ä

\( B )� � L �ÓÒ ` Õ 6 (128 7)

equivalentealla (12.5).Come per la matrice � , ancheper la matrice � si possonoriesprimeregli

elementi(12.5)o (12.7)in termini di un operatoredi transizione� checollegastatiimperturbati �ÓÒ ` Õ e �ÓÒ��GÕ : � � ` = ä Ò�� ÓÒ ` Õ 8 (128 8)

Letreforme(12.5),(12.7)e(12.8)sonoformeequivalentichedefinisconogli elementidella matricecherappresental’operatoredi transizione� . In particolarela (12.8)mettein evidenzail significatofisico di ampiezzadi transizionechesi puo attribuireall’elementodi matrice� � ` . Ma si puo anchealtrettantobenericavareun’equazionechepermettedi definire � in terminioperatorialienonsolomediantei suoielementidi matrice.Infatti, si partaadesempiodalla(12.5)esi usi l’equazionedi Lippmann-Schwingernellaforma(3.1):� � ` = ä Ò��Ö� L �

\(+)` Õ

= ä Ò��Ö� L �ÓÒ ` Õ + ä Ò�� L 1× ` M I 0 + l1* L �\

(+)` Õ= ä Ò��Ö� L �ÓÒ ` Õ + ùH ( ä Ò��Ö� L �ÓÒ ( Õ 1× ` M × ( + l+* ä Ò ( � L �

\(+)` Õ 6

chepuo riscriversi � � ` = L � ` + ùH ( L � ( 1× ` M × ( + l+* � ( ` 8 (128 9)

Ma questaeun’equazionetraelementidi matrice,cheequivaleall’equazioneopera-toriale: � = L + L 1× ` M I 0 + l+* �å8 (128 10)

542

�û� ��áç��ß?��?�� ?�Ö�=��ß?>ç� ;<�=�?>��Introducendola funzionedi Green

Ø0 peril casoimperturbato,la (12.10)puo anche

porsinellaforma � = L + L Ø 0 �å8 (128 11)

Sesi parteinvecedalla(12.7),si ottieneequivalentemente� = L + � Ø 0 Lû8 (128 12)

Si arriva a unaterzaespressioneperl’operatoredi transizione� utilizzandol’equa-zionedi Lippmann-Schwingernellaforma(3.7)epartendoadesempiodalla(12.5):� � ` = ä Ò�� L �

\(+)` Õ

= ä Ò � � L �ÓÒ ` Õ + ä Ò � � L 1× ` M I + l+* L �ÓÒ � Õ 6e quindi � = L + L Ø L 6 (128 13)

dove

Øe la funzionedi Greendelproblemacompletodi I = I 0 + L .

Le treequazioni(12.11),(12.12)e(12.13)definisconol’operatoredi transizione� a partiredal potenzialeL chestabiliscel’interazionetra proiettilee bersaglio.La(12.11)e la (12.12)coinvolgonola funzionedi Green

Ø0 per il casoimperturbato,

chespessopuo esserenota,masonoequazioniimplicite per � . La (12.13)forniscedirettamente� , ma richiedela conoscenzadella funzionedi Green

Ødel sistema

interagenteproiettile–bersaglioe quindi implica gia la soluzionedel problemacom-pleto. Sonopercio necessarimetodidi approssimazioneperdeterminare� , basatiingeneralesusviluppiperturbativi. Seil potenzialeL edaritenersi“piccolo”, al primoordinedi uno sviluppoperturbativo in L tutte e tre le equazioni(12.11),(12.12)e(12.13)produconol’approssimazione��7_L 6 (128 14)

cheequivaleall’approssimazionedi Borndel paragrafoXII.4.

Esercizio 12.1

Per un urto puramenteelastico, verificare che con l’approssimazione(12.14)l’elemento di matrice (12.8) coincide con quello che intervienenella sezioned’urto(4.11)in approssimazionedi Born.

543

�� :�F� ��!g"�$Ë&�(�!+* , .�/%0�&µ!¸0!�&)/�!%ÎPÍ�&)0Ë0'$�!#&Unavolta notala probabilita di transizionedallo statoiniziale allo statofinale

(11.8),peril calcolodellasezioned’urto delprocessooccorrecostruirela probabilitadi transizioneperunita di tempo: G ` � =

DD:ô S ` � 8 (138 1)

Nella valutazionedi G ` � convienefar intervenirel’operatore� secondola (12.6):

G ` � =DD:ô � · ` � M 2C l ( × ` M × � ) � � ` ¹

o· ` � M 2C l ( × ` M × � ) � � ` ¹ �

=DD:ô � l ` � ( �

o� ` M � � ` ) + 2C ( × ` M × � ) � � � ` � 2 � 2C ( × ` M × � ) 8 (138 2)

Il fattore

2C ( × ` M × � ) =1-n H + lB l D:ô ^�` ( � B � ! )

É v -ö (138 3)

checomparenellasecondariga della (13.2)va valutatoper × ` = × � , a causadella ` � e dell’altradeltasull’energiachemoltiplicanoi terminientroparentesiquadrata.Allora la derivatarispettoal tempodella(13.3)introducesolounfattore-n B 1. Perciosi ha G ` � =

2-n ` � Im � `=` + 2C

-n ( × ` M × � ) � � � ` � 2 8 (138 4)

Il primoterminecoinvolgelaparteimmaginariadi � `=` , cheel’elementodell’operatore� tragli stessistati �ÓÒ ` Õ inizialeefinale: � `=` pertantononpuo chedescrivereunurtoelasticoin avanti( e = 0). Per l T= d sopravvivesoloil secondoterminee G ` � acquistaun’espressionechericordala regolad’oro (XI.4.18). Infatti per l T= d la (13.4)puoessereriscrittasostituendola deltaconla densitadegli statifinali:G ` � =

2C-n � � � ` � 2 H ( × ) ( l T= d ) 8 (138 5)

Pero la (13.5) e piu generaledella (XI.4.18), in quantoespressain termini dell’o-peratore� e nonsemplicementemediantegli elementidi matricedel potenzialediinterazioneL . D’altra partela (XI.4.18) e stataottenutanella teoriadelle pertur-bazionidipendentidaltempolimitandosiaconsiderareil primoordinedellosviluppo.Anchequi, sesi adottal’approssimazione(12.14),la (13.5)ricadeesattamentenellaregolad’oro enell’approssimazionedi Born.

Notala probabilita di transizioneperunita di tempo,G ` � , la sezioned’urto perla transizionedallo stato �ÓÒ ` Õ allo stato �ÓÒ��FÕ , l T= d , si ottienedividendo G ` � per ilflussoincidente-n�t ` k 2 , 2 essendola massaridottadel sistemabersaglio-proiettile:

544

: ��;<�=�?>��Ü �� '��?��à½ßr�?�h�=�=��5 ` � =

G ` �-nÖt ` k 2 =2C 2-n 2 t ` � � � ` � 2 H ( × ) 8 (138 6)

Esercizio 13.1

Verificareche la (13.6) coincidecon la (4.11) sesi adottal’approssimazionediBorn (12.14).

Il teoremaottico puo essereora dimostratoin tutta la suageneralita. La con-servazionedella probabilita (11.9),collegataall’unitarieta dellamatrice � , e ancheresponsabiledel teoremaottico. Infatti, sesi sommala (13.1)sututti i possibilistatifinali d e si tienepresentela (11.9),deveessereã

�G ` � =

DD@ô ã � S ` � = 0 8 (138 7)

Percio dalla(13.4)segue

2-n Im � `=` +

2C-n ã � � � � ` � 2 ( × ` M × � ) = 0 8 (138 8)

D’altra parte,perla (13.6)eã�5 ` � =

2C 2-n 2 t ` ã � � � � ` � 2 H ( × ) 8 (138 9)

Pertanto,dal confrontotra (13.8) e (13.9) e con la solita sostituzionedella deltad’energiaconla densitadegli stati,si ricavaã

�5 ` � = 5©ÉÚÊ1É

= M 22-n 2 t ` Im � `=` 8 (138 10)

Sesi riesprimel’ampiezzadi diffusioneelastica(2.29)coinvolgendol’operatore� ,cioe d ( e 6gf ) = M 1

4C 22-n 2 � � ` 6 (138 11)

si verificaimmediatamentechela forma(8.2)del teoremaotticoperl’urto elasticoeuncasoparticolaredel teoremaottico (13.10).Indicandoallorain generalecon,

� ` Ù�M 14C 22

-n 2 � � ` 6 (138 12)

545

�� l’ ampiezzadi reazioneperungenericoprocessodescrittodall’operatoredi transizione� , il teoremaotticohala seguenteespressionegenerale:5 É�Ê1É =

4Ct ` Im, `h` 6 (138 13)

dove, `h` rappresental’ampiezzadi diffusioneelasticain avanti.�� 2��¢, .�/%0�&µÍ�(�!�_ºÍ�Ñ?0'$�!#&Comeapplicazionedelleprecedenticonsiderazionivienequi discussoun caso

particolarein cui unaparticellapuntiformeincidesuunbersaglioconpossibiligradidi liberta interni. In tal casola hamiltonianaimperturbataI 0 e sommadi duecontributi: I 0 = I i + I ` 8 (148 1)

La hamiltonianaI i corrispondeall’energiacineticadelmotorelativo proiettile-ber-saglio: I i � k Õ =

-n 2 t 2

22 � k Õ 8 (148 2)

La hamiltonianaI ` descriveil motointernodelbersaglioedipendedallecoordinateinterne,collettivamenteindicatecon " :I ` � f$# Õ = × # � f%# Õ 8 (148 3)

Nello spaziodelleposizionigli autostatidi I i e I ` sono

ä r � k Õ =1

(2C )3

v2^ ` k � r 6 (148 4)

ä " � f$# Õ = f%# ( " ) 8 (148 5)

Gli stati imperturbati,autostatidi I 0,I 0 �ÓÒ½Õ = × �ÓÒrÕ 6 (148 6)

sonocostruitimedianteil prodottodirettodi autostatidi I i e I ` :�ÓÒ½Õ = � f$# ; k Õ 6 (148 7)

× Ù × b # = × # +-n 2 t 2

22 8 (148 8)

546

�û� �A�� ß?>��1o ß?��=�=��A secondadelle condizionial contornoriflessenel segno di l+* , nello spaziodelleposizionisi puo costruirela corrispondentefunzionedi Green,Ø

( ' )0 (r " ; r J " J ) = ä r " � 1× M I 0 ) l+* � r J&"�J Õ 6 (148 9)

chee fondamentalepercercarela soluzionedel problemadell’urto. Inserendonella(14.9)opportunecompletezzeperspettralizzarel’identita, si ricavaØ

( ' )0 (r " ; r J " J )

= ã#('H D k H D k J ä r " � f$# ; k Õ ä f$# ; k � 1× M I 0 ) l+* � f%' ; k J Õ ä f)' ; k J � r J " J Õ

=1

(2C )3 ã #(' H D k H D k J f$# ( " ) ^ ` k � r #(' (k M k J )× M × b # ) l+* fo' ( " J ) ^ B ` k õ � r õ 6

cioe Ø( ' )0 (r " ; r J " J ) = ã

# f$# ( " ) f o# ( " J ) 1(2C )3

H D k ^ ` k � (r B r õ )× M × b # ) l+* 8 (148 10)

Si puo confrontarequestorisultatocon la (2.15)chesi riferiscea un bersagliopuntiforme. See lecito considerare× b # indipendentedall’indice 1 , comenel casodi bersagliopuntiforme,la sommasu 1 e la relazionedi completezzaper gli statif$# ( " ): ã

# f$# ( " ) f o# ( " J ) = ( " M " J ) 8 (148 11)

Allora le variabili " diventanoridondantie la (14.10)ricadenella(2.15).In analogiaconquantofattoal paragrafoXII.2, si puo eseguirel’integralesuk

nella(14.10)eottenereØ( ' )0 (r " ; r J " J ) = M 22

-n 2 ã # f%# ( " ) f o# ( " J ) ^ ' `+*-, 9 r B r õ 94C � r M r J � 6 (148 12)

dove . # e definitodallarelazione

× M × b # Ù -n 2

22 ( . 2# M t 2) 6 . 2# =22-n 2 ( × M × # ) � 0 8 (148 13)

Comenel paragrafoXII.2, a grandi

Xsi ottienel’andamentoasintotico

547

�� ^ ' `+* , 9 r B r õ 9� r M r J � ] ^ ' `/* , iX ^ � ` k ! � r õ 6 (148 14)

dove

k � Ù . # rX 8 (148 15)

Quandosi accendel’interazione L tra proiettilee bersaglio,gli autostatidellahamiltonianatotale I = I 0 + L si devonootteneredaun’equazionedi Lippmann-Schwingerdel tipo (3.1). Nello spaziodelleposizioniinteressadunquela seguentefunzione:

ä r " � 1× ` M I 0 + l+* L �\

(+)` Õ=H D r J H D0" J Ø (+)

0 (r " ; r J " J ) ä r J&"�J � L �\

(+)` Õ= ã

#H D k H D r J H D(" J Ø (+)

0 (r " ; r J " J ) ä r J1"çJ � f%# ; k Õ ä f$# ; k � L �\

(+)` Õ 8Sostituendole (14.12),(14.4)e (14.5),si ha

ä r " � 1× ` M I 0 + l+* L �\

(+)` Õ= M 1

4C 22-n 2 ã # f%# ( " )

H D r J ^ `/*-,Ä9 r B r õ 9� r M r J � 1(2C )3

v2

H D k ^a` k � r õ ä f$# ; k � L �\

(+)` Õ 8(148 16)

Per il calcolo dell’ampiezzadi diffusione occorrel’andamentodella (14.16) pergrandi

X. Utilizzandoallorale (14.14)e (14.15),la (14.16)diventa

ä r " � 1× ` M I 0 + l+* L �\

(+)` Õ] M 14C 22

-n 2 ã # f$# ( " ) ^ `/*-,�iXz H D r J ^ B ` k ! � r õ 1(2C )3

v2

H D k ^a` k � r õ ä f$# ; k � L �\

(+)` Õ= M 1

4C 22-n 2 ã # f$# ( " ) ^ `/*-,)iX (2C )3

v2 ä f%# ; k �Ö� L �

\(+)` Õ 8

(148 17)La (14.17)puo porsinellaforma

548

�û� �=âÞ��=�� ?��#�1o �<�=�=��{��ä r " � 1× ` M I 0 + l1* L �

\(+)` Õ ] ã # , ( # )� ` ^ `/*2,çiX f$# ( " ) 6 (148 18)

dovesi e definital’ampiezzadi diffusione, ( # )� ` = M 14C 22

-n 2 (2C )3

v2 ä f%# ; k �Ö� L �

\(+)` Õ 8 (148 19)

Risulta , ( # )� ` = M 14C 22

-n 2 � � ` 6 (148 20)

in accordoconla (13.12).Unavoltanotal’ampiezzadi diffusione,la sezioned’urto si ottienedividendoil

flussouscentenell’angolosolido DFE ,

-n�t �2 � , ( # )� ` � 2 DGE 6peril flussoincidente-n�t ` k 2 . PercioD 5 ` � =

t�t ` � , ( # )� ` � 2 DFE 6

e quindi D 5 ` �DGE =2 2

(2C -n 2)2

t�t ` � � � ` � 2 8 (148 21)

La (14.21) e in accordocon la (13.6) e rispetta il teoremaottico, come si puoverificare,tenendopresentechenell’angolosolido DGE la densita degli stati finali eD@H = 2 -n�t � k (2C -n )3 DFE comenella(4.13).��@]��, !ËÐ !%0Ë0�&F�%&)0�& !�_=!%0Ë0'/�$Ú!g&

Il formalismofin qui sviluppatoperi processid’urto e applicabilea qualunquetipo di proiettile,indipendentementedalfattochein sensoclassicopossaconsiderarsiunaparticellaoppureun’onda.In particolare,i processioriginati dall’interazionetraradiazioneelettromagneticae materia,gia trattatinell’ambitodella teoriadelleper-turbazionidipendentidal temponelcapitoloXI, possonoesserestudiativalutandonela sezioned’urto secondole lineeespostein questocapitolo. Comeesempiosi puoconsiderarel’effettofotoelettrico,cioequelprocessoin cui l’urto delfotoneproiettileavvieneconun elettronein unostatolegatoatomicoe risultanell’assorbimentodelfotone stesso: la suaenergia viene totalmentecedutaall’elettroneche puo essereespulsodall’atomolasciandoloionizzato.

549

�� Il calcolodellasezioned’urto per l’emissionedell’elettrone,in accordocon le

considerazionisvolte nel paragrafoXII.13, richiedeil rapportotra la probabilita ditransizioneper unita di tempoe il flussoincidente. La probabilita di assorbimentodi un fotoneperunita di tempoe statavalutatanella(XI.6.17); qui vieneritrascrittaricorrendoalla densita degli stati finali per l’elettrone,di impulso N � = -n�t � , chesiimmaginadi rivelarenell’angolosolido DGE :D:G ( =

4C 2 ^ 22 2 �4 ( � ) 88 ä d � ^ ` k � r * ** � p � l Õ 88 2 2 -n�t �

(2C -n )3DGE 8 (158 1)

Il flussoincidentee 4 ( � ) � , percui la sezioned’urto risultaD 5DFE =14 ( � ) � D:G (DGE

=^ 2 t �

2C 2 � � 88 ä d � ^ ` k � r * ** �q qq� l Õ 88 2 8 (158 2)

Lo statofinale � d Õ appartieneallo spettrocontinuodella hamiltonianaatomica. Sipuo supporrechel’energiadel fotone -n � siasufficientementemaggioredell’energiadi ionizzazione* ` dell’atomo,cheperun atomoidrogenoidee * ` = 3 2 2 ^ 4 k 2-n 2, eq.(V.8.17),in modochel’energia cineticadell’elettroneemessosiamoltomaggioredi* ` :

-n 2 t 2�22 = -n � M 3 2 2 ^ 4

2-n 2 A 3 2 2 ^ 42-n 2 6 (158 3)

cioe t� Æ3 A 1 6 (158 4)

dove Æ = -n 2 k 2 ^ 2 e il raggiodi Bohr. Tuttavia l’energiadel fotonenondeveneppureesseretroppograndedadivenireconfrontabileconla massaa riposodell’elettroneeintrodurreeffetti relativistici chequi sonoignorati. In questecondizioninella rap-presentazionedelleposizionisi puo approssimarealloralo statofinaledell’elettroneconun’ondapiana,

ä r � d Õ = ^ ` k ! � r 8 (158 5)

Perlo statoiniziale � l Õ si assumequi lo statocorrispondenteal livello piu bassodi unatomoidrogenoide,la cosiddettashell . ,

ä r � l Õ =14 C « 3 Æ ® 3

v2 ^ B65 i v ( 8 (158 6)

Allora l’elementodi matriceche comparenella (15.2) si puo valutareintegrandodapprimaperparti:

550

�û� �=âÞ��=�� ?��#�1o �<�=�=��{��ä d � ^�` k � r * ** �

q qq� l Õ =

14 C « 3 Æ ® 3

v2 H D r ^�` (k B k ! ) � r * ** �

q qq ^ B75 i v (=

14 C « 3 Æ ® 3

v2 ls* ** � k � H D r ^a` (k B k ! ) � r ^ B65 i v ( 6

dovesi e tenutocontochel’ondaeletromagneticae trasversale,* ** � k = 0. L’integralesi puo oraeseguireconmetodielementari:H D r ^ ` (k B k ! ) � r ^ B75 i v ( =

8C ( 3 k Æ )8( 3 k Æ )2 +

>2 9 2 6

dove

q = k M k � (158 7)

e il momentotrasferitodal fotoneall’elettrone.Conquestirisultati la sezioned’urtodiventa D 5DFE =

32 2 t �2 � � ( * ** � k � )2 « 3 Æ ® 5 18( 3 k Æ )2 +

>2 9 4 8 (158 8)

Se si indica con e l’angolo di emissionedell’elettronerispettoalla direzionedelfotoneincidente,cioe l’angolo tra k � e k nel pianodi reazione,e con f l’angolo trail pianodi polarizzazioneindividuatodak e * ** e il pianodi reazioneindividuatodake k � , si ha >

2 =t 2 +

t 2� M 2t¥t� cose 6 (158 9)

( * ** � k � )2 =t 2� sin2 e cos2 f 8 (158 10)

Inoltre nellecondizionidella(15.3)si puo assumere-n �K7 -n 2 t 2� k 22 , percuit

=� � 7 -nÖt 2�

22 � = 12 e t � 6 (158 11)

dove e = -nÖt � k 2 � = s � k � ; 1. Percio, perla (15.4)eall’ordine e ,

( 3 k Æ )2 +

>2 7 t 2� (1 M e cose ) 8

Quindi, mediandosulla polarizzazionedel fotone incidente, cioe sull’angolo f[(1 k 2C ) ú 2

u0 cos2 f = 1

2], la sezioned’urto risultainfineD 5DGE = 161 -n2 � 1t 5�« 3 Æ ® 5 sin2 e

(1 M e cose )4 6 (158 12)

551

�� dovesi emessain evidenzala costantedi strutturafine 1 = ^ 2 k -n � .La sezioned’urto risultamassimaper l’emissionedi fotoelettroniin direzioneperpendicolarea quelladi incidenzadei fotoni ( e = 1

2 C 6gf = 0), parallelamentealladirezionedel vettoreelettrico del campoelettromagnetico.Il terminedipendenteda e nel denominatoreprovocaun piccolospostamentodel piccodi emissionenelladirezionein avantirispettoal fasciodi fotoni, cheaumentacol cresceredellavelocitadegli elettroni. Si presentainoltre unacrescitadella sezioned’urto secondo3 5 eunarapidadiminuzionecome� t 5� ]:� 3 ; 5 al cresceredell’energiadei fotoni. Questecaratteristichepermangonoanchein unatrattazionepiu raffinatain cui lo statofinalesiacalcolatoesattamenteesi tengacontodi effetti relativistici.��)��<�/�&�Ï�/�$Ë!a0>=ÍR*)$ûÑg$�Î»ÎR!%0'/�$ËÍµ!¢ÎPÍ�0'/�$Ú!?!+*�$ 0'/�Í�(�Ñ?${"%$'&)(�!

Le proprieta di simmetriadella hamiltoniana I 0 e del potenziale L hannoimportanticonseguenzesulla strutturadella matricedi transizionee dannooriginea semplificazionidi calcoloper la sezioned’urto. Sealla simmetriadi I 0 e L eassociatounoperatoreunitario

ó, percuió I 0

ó�

= I 0 6 ó L ó � = L 6 (168 1)

dalla (12.11)o dalla (12.13)segueimmediatamentecheanchel’operatoredi tran-sizione� godedellastessasimmetria:ó � ó � = �å8 (168 2)

Percio sesi indicanocon �ÓÒ J` Õ =

ó �ÓÒ ` Õ 6 �ÓÒ J � Õ =

ó �ÓÒ��FÕ (168 3)

gli stati trasformatisecondo

ódegli stati iniziali e finali di un problemad’urto, per

gli elementidellamatricedi transizionesi ottiene

ä Ò J � � � �ÓÒ J` Õ = ä Ò��Ö�ó� � ó �ÓÒ ` Õ

= ä Ò��Ö�ó�ó � ó � ó �ÓÒ ` Õ 6

cioe

ä Ò J � � � �ÓÒ J` Õ = ä Ò�� ÓÒ ` Õ 8 (168 4)

Peresempio,nelcasodell’urto elastico,gli statiiniziale � k Õ efinale � k J Õ possonoessereetichettaticol valoredei vettori d’onda incidentek e uscentek J , rispettiva-mente.Sela simmetriae la parita e

óe l’operatoredi parita S , gli stati trasformati

corrispondentisono � M k Õ e � M k J Õ . Allora la simmetriaimpone

552

��Ë��á��h��@?ß� ?�Ö��ºàÜàå��h��=ß�� à ß?�h��=��Ü ?��=��ß?>ç� ;<�=�?>��ä M k J � � � M k Õ = ä k J � � � k Õ 8 (168 5)

Cio significachel’ampiezzadi transizionehalo stessovaloreperil processodirettok Y k J eperquelloin cui tutti gli impulsi sonoinvertiti.

Nel metododello sviluppoin ondeparziali,utilizzatoal paragrafoXII.5 per lacostruzionedell’ampiezzadi diffusioneelasticain presenzadi potenzialeL invarianteper rotazioni,la simmetriasfericadel problemasi riflette nell’indipendenzadal nu-meroquantico2 deisingolicontributi relativi allevarieondeparziali h nell’ampiezzadi diffusione(5.14). I coefficienti � b nonsonoaltrochegli elementi(diagonali)dellamatrice � sullabasesfericachetienecontodellasimmetriadelproblema.

Simmetriedella hamiltonianaassociatea operatoriunitari implicanola possi-bilit adi costruireuninsiemecompletodi autostatisimultaneidellahamiltonianaedeigeneratoridelleoperazionidi simmetria.Suquestabasedi autostatiallorala matrice� e anchela matrice � risultanodiagonali. Nel casodella simmetriadi rotazione,percui il momentoangolarecommutaconla hamiltoniana,comeautostatisimultaneidi I e del momentoangolaresi possonoallora scegliere gli stati A � 4 h 2 ÕCB su cuirenderediagonalianche� e � . Questoeappuntoquantoestatofattoconlo sviluppoin ondeparzialinel paragrafoXII.5.

Importanticonseguenzesullamatricedi transizionesonoancheprodottequandoI 0 e L sonoinvarianti per inversionetemporale. Dato che l’operatoredi inver-sionetemporaleD e antiunitario(cfr. eq. (VI.7.10)), nella (12.11)o nella (12.13)l’inversionetemporaleprovocauncambiamentodi segnonel terminel+* checomparenellafunzionedi Green,percui

D �ED B 1 = � � 8 (168 6)

Questaproprieta permettedi collegaregli elementidella matricedi transizioneperunprocessodiretto, � ø ( = ä Ò

ø� � �ÓÒ ( Õ 6 (168 7)

congli elementidellamatricedi transizioneperil processoinverso,� ( ø = ä Ò ( � � � ÒøÕ 6 (168 8)

dove � Ò ( Õ = D �ÓÒ ( Õ 6 � ÒøÕ = D �ÓÒ

øÕ (168 9)

sono gli stati ottenuti per inversionetemporaledagli stati �ÓÒ ( Õ e �ÓÒøÕ . Infatti,

scegliendo � F ( Õ = � �ÓÒ ( Õ 6 � FøÕ = �ÓÒ

øÕ

e quindi

553

�� F ( Õ = D� �ÓÒ ( Õ = Dª�ED B 1 D �ÓÒ ( Õ = � � � Ò ( Õ 6� F ø Õ = � Ò

øÕ 6

si ottiene,graziealla (VI.7.11), � ( ø = � ø ( 8 (168 10)

Analogarelazionesussistetra gli elementidellamatrice � :� ( ø = � ø ( 8 (168 11)

La probabilita perunita di tempodi un processocheportadallostato �ÓÒ ( Õ allo stato�ÓÒøÕ eproporzionalealmoduloquadratodellamatricedi transizione� ø ( , moltiplicato

perla densitadegli statifinali H ( × ø ). Allora la (16.10)implica la relazione� � ø ( �H ( × ø ) = � � ( ø �H ( × ( ) 6 (168 12)

notacometeoremadi reciprocita, checollegala probabilitaperla transizionedirettacon quelladella transizioneinversatemporalmente.Le dueprobabilita coincidonosele densitadegli statifinali peri dueprocessisonole stesse.

Sela hamiltonianaeancheinvarianteperinversionespaziale,l’operazionecon-giuntadi inversionespazialee di inversionetemporalelasciainalteratigli impulsi,macambiadi segnole coordinateei momentiangolari.In sistemiprivi di spinallorail modulodegli elementidi matricedellatransizioneÆ+Y � edellatransizioneinversa� Y�Æ sonogli stessi,percui valel’uguaglianza� � ø ( �H ( × ø ) = � � ( ø �H ( × ( ) 6 (168 13)

notacomebilanciodettagliato.

Esercizio 16.1

Verificarela validita del bilancio dettagliatoper l’urto elasticoprovocatoda unpotenzialeinvarianteperoperazionedi parita.

Esercizio 16.2

Verificarechenell’approssimazionedi Bornvaleil bilanciodettagliato.

554

A. DISTRIBUZIONI E DELTA DI DIRAC

Perragionipratiche,ispiratedallanecessitadi considerareautofunzioniimpro-prie appartenentialla partecontinuadello spettrodi operatoricheintervengononelformalismodellameccanicaquantistica,Diracfecericorsoaunafunzionegeneraliz-zata,dettapoi deltadi Dirac, cosı definita1:�

( � ) = 0 � ��= 0 � (A � 1)� + �� ( � ) = 1 � (A � 2)

La deltadi Dirac non e unafunzionenel sensoproprio del termine; in realta essarientranella classedi oggetti che i matematicihannopoi studiatoe definito comedistribuzioni2. Essaacquistasignificatosoloin espressioniintegrali del tipo� + �� ( � )

�( � ) = � (0) � (A � 3)

o, in generale, � + �� ( � )�( �� ) = � ( � ) � (A � 4)

Nel formalismodellameccanicaquantistica,cheebasatosullavalutazionedi prodottiscalari tra funzioni, questeespressioniintegrali intervengonotutte le volte che si

1 P.A.M. Dirac: The physical interpretation of the quantummechanics[L’interpretazionefisica dellameccanicaquantistica], Proceedingsof theRoyal Societyof LondonA113 (1926)621–641.2 LaurentSchwartz(n. 1915):Theoriedesdistributions, Hermann,Parigi, 1950,vol. 1, 1951,vol. 2.

555

�� !�#"$��&%('�) �+*-,/.��0��1�2�#�3�-4 '657��$8!�&)95��abbiaa che farecon autofunzioniimproprie,appartenenticioe alla partecontinuadello spettrodi unoperatorequantistico.

In questaappendice,dopo un breve richiamo alla teoria delle distribuzioni,vengonoricordatele proprieta piu rilevanti chenederivanoperla deltadi Dirac. Inparticolaresi illustranoi vantaggidell’usodelladeltadi Diraccomegeneralizzazioneformale della delta di Kronecker e comeausilio nel calcolo delle trasformatediFourier. :<;>=?;A@<B6C�D>E/BGF�HJI/BGK�LMB

Le distribuzioni sonodei funzionali lineari e continui N ( � ) su un dominio difunzioni O opportunamentescelto.La linearita implicaN ( � 1 � 1 + � 2 � 2) = � 1 N ( � 1) + � 2 N ( � 2) � PQ� 1 �R� 2 S OT� (A � 5)

dove � 1 e � 2 possonoesserein generalenumericomplessi.La continuita indicache,perunasuccessionequalsiasidi funzioni U��VXW S O , convergentein sensoopportunoa � = lim VJY � ��V S O , si ha

limVJY � N ( ��V ) = N ( � ) � (A � 6)

L’insiemedei funzionali lineari cosı costruiticostituiscedunqueunospaziolineare,chesi chiamaspaziodualedi O .

La denominazionedi distribuzioneepiu propriamenteriservataai funzionalili-neariecontinui,definiti sull’insiemedi funzioniavalorinonnulli in undominiofinitodellelorovariabiliecheposseggonoderivatadi ogniordinerispettoaquestevariabili,cioe l’insieme Z �

0 dellefunzioniinfinitamentederivabili a supportocompatto.Si chiamanodistribuzioni temperate i funzionali lineari e continui, definiti

sull’insieme [ delle funzioni infinitamentederivabili e a decrescenzarapida, cioel’insiemedellefunzionichesonocontinuecontuttele loro derivateechesi annullanoall’infinito contuttele loro derivatepiu rapidamentedi ognipotenzacostruitaconleloro variabili. Perfunzioniaunasolavariabile,� S]\ ^ , cio significal’insieme [ ( \ ^ )percui

lim_ Ya` � �$b dc � c � ( � ) = 0 ( ef�Rg = 0 � 1 � 2 �� ) � (A � 7)

Evidentementerisulta Z �0 h [ . D’altra partela convergenzaa � S Z �

0 di unasuccessioneU��VXW implica anchela convergenzadella stessasuccessionea � S [ .Percio restringendounadistribuzionetemperataa Z �

0 si ottieneunadistribuzione:in questosensosi puo dire chele distribuzioni temperatesonounasottoclassedelledistribuzioni.

556

8!�i%j'k)(��*�,�.��0��1�A ogni funzionel ( � ) localmenteintegrabile, cioe talecheesistail suointegrale

(nelsensodi Lebesgue)suogni intervallofinito dellasuavariabile � Sm\ ^ , corrispondeunadistribuzione N ( � ), definitadallarelazioneN ( � ) =

� + �� n �ol ( � ) � ( � ) � (A � 8)

Duefunzionilocalmenteintegrabili definisconolastessadistribuzionesedifferisconoal piu suun insiemedi misuranulla. Seil tipo di funzioni � cheintervengononella(A.8) e a crescenzaalgebrica, cioe pq� ( � ) pQrts?p �!p u per p �vpQwx� con � , s e y numeripositivi, la distribuzionedefinitadalla(A.8) eunadistribuzionetemperata.

Le funzioni � dellameccanicaquantistica,cheintervengononellavalutazionediunprodottoscalare,sonoin generalefunzioniaquadratosommabile,� S]z 2. Graziealla(A.8),questefunzionidefinisconodelledistribuzioni temperate.Precisamentesiha { l pq�Q|~}�N2� ( � ) =

� + �� 7l�� ( � ) � ( � ) � (A � 9)

Le distribuzioni chesoddisfanola (A.8) sonodettedistribuzioni regolari, perdistinguerledaquellenonriducibili allaforma(A.8), chevengonodettedistribuzionisingolari. Un esempiodi distribuzione(temperata)singolaree proprio la deltadiDirac,chein questocontestoedefinitadal funzionalelineareecontinuoN ( � ) = � (0) � (A � 10)

in accordoconla (A.3).Unasuccessionedi distribuzioni (o di distribuzioni temperate)convergea una

distribuzione(o aunadistribuzionetemperata)quando

limVvY � N V ( � ) = N ( � ) � PQ� S Z �0 ( [ ) � (A � 11)

Si dimostracheogni distribuzionepuo essere sempre ottenutacomelimite diunasuccessionedi distribuzioniregolari deltipo (A.8), cioe PQN ( � ) si puo trovareunasuccessionedi funzioni U3lvV ( � ) W tali che

limVvY � � + �� n �olvV ( � ) � ( � ) = N ( � ) � (A � 12)

In particolaretale successionepuo esseresemprerealizzatacon funzioni lvV ( � ) SZ �0 .

Questoteorema,la cuidimostrazionevienequiomessa,efondamentalenell’usopratico e permettedi visualizzaretutte le distribuzioni, e quindi anchela delta diDirac, comefunzionigeneralizzate. Unito alla completezzarispettoalle operazionidi passaggioal limite, definite nello spaziodei funzionali lineari e continui checostituiscel’insiemedelledistribuzioni,questoteoremaconsenteinfatti di estendere

557

�� !�#"$��&%('�) �+*-,/.��0��1�2�#�3�-4 '657��$8!�&)95��alledistribuzionimoltedelleoperazionicaratteristichesullefunzioniordinarie,qualiperesempioquelledi sostituzionedi variabile,di derivazioneedi integrazione.

In particolare,ricorrendoalla (A.8), si verificanole seguentirelazioni� + �� 7l ( �A� ) � ( � ) =� + �� n �ol ( � ) � ( �A� ) � (A � 13)� + �� 7l ( �J� ) � ( � ) =

1� � + �� 7l ( � ) �� v� � ��w 0 � (A � 14)� + �� 7l ( � ( � )) � ( � ) =� + �� n �ol ( � )

� ( � ( � ))p �� !p � (A � 15)

checorrispondonorispettivamenteallesostituzioni�m��A�� (A � 16)��J�� w 0 � (A � 17)�� ( � ) � (A � 18)

Analogamentesi giustificala definizionedi derivatadi unadistribuzione,� + �� n �� l ( � ) �� ( � ) = � � + �� ol ( � ) � ( � ) � � (A � 19)

e la validita, ancheper le distribuzioni, di tutte le proprieta della derivata di unafunzione. Pertantole distribuzioni sonoderivabili a tutti gli ordini e la derivazione,in quantoagentesufunzionali lineari e continui,e un’operazionelinearee continuanello spaziodelledistribuzioni.

Seunadistribuzione N ( �$�-� ) dipendedaun parametro� chevariain modocon-tinuo nel dominio � e se l’integrale � ( � ) di questadistribuzioneesistesu � perqualunquefunzione � del dominio di definizionedel funzionalelinearee continuoassociato,� ( � ) risultaancoraunadistribuzione:� ( � ) =

�d� �MN ( �$�-� ) � (A � 20)

In particolare,se l ( ��-� ) eunafunzionelocalmenteintegrabilein � eintegrabilein � S � , la distribuzione N ( �$�-� ) =

� + �� n �ol ( ��-� ) � ( � )

e integrabilein � S � eil suointegrale � ( � ) e la distribuzioneassociataalla funzione

558

� 5 �3��4 '65��8!�i)95��

( � ) =� � ��l ( ��-� ) �

:a;��d;��2 �¡£¢�¤&D9 �¡?B¥@<B6E¦ J§L’usocomune,cheseguela definizionedatadaDirac,prevedela notazione

�( � )

perindicarela distribuzionedefinitanella(A.10). Persoddisfarele proprieta (A.1) e(A.2), la deltadi Diracpuo esserepensatacomelimite di unasuccessionedi funzioniU3lvV ( � ) W , dipendentida un parametroe tali da esseresignificativamentediversedazerosolosuun piccolo intervallo intornoa � = 0, conun piccochediventasemprepiu pronunciatoper ¨©��ª . Sesi mantieneugualea 1, l’integrale(A.8), calcolatocon l = l!V , nel limite ¨«�¬ª definisceunadistribuzionechesoddisfa i requisitidelladeltadi Dirac (fig. A.1).

Si considerino,adesempio,le funzioni del tipo�f( � ) =

sin( ®¯� )° � =1

2° � +� yA±³² u _ � (A � 21)

Tali funzionipermettonodi ottenere

lim_ Ya` � � ( � ) = 0 � (A � 22)� + �� n � �

( � ) =1° � + �� ?´ sin ´´ = 1 � (A � 23)

Inoltreper ®n�µª le oscillazionisi smorzanoeil piccocentraleper � = 0si innalza.Pertantosi ha �

( � ) = lim Y � � ( � ) � (A � 24)

e quindi �( � ) =

12° � + �� yA±³² u _ � (A � 25)

La (A.25)costituisceanchela rappresentazionedi Fourier delladeltadi Dirac.Un’altra possibilesuccessionedi funzioni utili per la definizionedelladeltadi

Dirac e la seguente: �3¶( � ) = · �° ± � ¶ _ 2 � (A � 26)

conle proprieta

559

�� !�#"$��&%('�) �+*-,/.��0��1�2�#�3�-4 '657��$8!�&)95��

Fig. A.1. Funzioniutilizzabili perla definizionedelladeltadi Dirac.

lim_ Y¸` � �3¶( � ) = 0 � (A � 27)� + �� ¶( � ) = 1 � (A � 28)

Pertanto �( � ) = lim¶ Y � �3¶

( � ) � (A � 29)

Un’altradefinizionedelladeltadi Dirac e legataalla funzionegradinodi Heav-iside,cosı definita: ¹

( � ) = 0 � ��r 0 �¹( � ) = 1 � ��w 0 � (A � 30)

La derivata della funzione gradino ha ovviamenteuna discontinuita per � = 0,altrimentie identicamentenulla. Pertanto�

( � ) = �¹

( � ) � (A � 31)

Anchela successionedelle funzioni costantisuun intervallo finito convergeaunadeltadi Dirac quandosi restringel’intervallo mantenendol’integralecostante:�3º

( � ) = »¼q½ 12s �¾p �!pd¿Às��0 � altrimenti.

(A � 32)

560

� 5 �3��4 '65��8!�i)95��Sonoutili le seguentiproprieta delladeltadi Dirac:�

( �A� ) =�( � ) � (A � 33)�

( �J� ) =1� �

( � ) � ��w 0 � (A � 34)�( � 2 �� 2) =

12� [

�( �� ) +

�( � + � )] � ��w 0 � (A � 35)

Questeproprietaderivanotuttedalleproprietagenerali(A.13),(A.14)e(A.15). Anzi,la (A.35) euncasoparticolaredellarelazione�

( � ( � )) = Á ² �( ��Â� ² )p � ( � ) � �!p _ = _³Ã � (A � 36)

dove � ² sonogli zeri dell’equazione:� ( � ) = 0.Altre proprieta utili sono:� ( � )

�( �� ) = � ( � )

�( �� ) � (A � 37)� JÄ �

( �� Ä )�( Ä �Å� ) =

�( �� ) � (A � 38)

In particolare,dalla(A.37) seguela possibilita di definirela deltadi Dirac mediantel’equazione � �

( � ) = 0 � (A � 39)

Dalla derivabilita delladeltaseguonoinoltre le seguentiproprieta:��Æ( � ) = � ��Æ

( �A� ) � (A � 40)� + �� ( � )��Æ

( � ) = �7� Æ(0) � (A � 41)

e, in generale, � + �� ( � )� Æ

( �� ) = �7� Æ( � ) � (A � 42)

Senella(A.42) si prende� ( � ) = � e � = 0, si ottiene� � + �� o� �fÆ( � ) = 1 � (A � 43)

561

�Q�� ?��(�Ç�#"M��i%j'�) ��*�,/.-��0��2�È�3��4 '65 ��8!�i)95��Ma �A� � Æ

( � ), consideratacomefunzionedi � , si annullasempreeccettoquandop �vpJ� 0. Percio �A� � Æ( � ) hatuttele proprietadella

�( � ) esi puo scrivere:�A� ��Æ

( � ) =�( � ) � (A � 44)

Valeinfine lo sviluppodi Fourier:� Æ( � ) = É

2° � + �� yAyo± ² u _ � (A � 45)Ê!ËRÌRÍ#ÎdÏ6Ð ÑoÒ6ÓSpessosi hala necessita di valutareintegrali del tipo

limÔ9Õ 0+

� + Ö× ÖÙØ�Ú«Û ( Ú )Ú�Ü]Ý>Þ�ß (A ß 46)

Utilizzandol’identita

1Ú�Ü]Ý>Þ = ÚÚ 2 + Þ 2 à Ý ÞÚ 2 + Þ 2 á (A ß 47)

l’integrale(A.46)puo essereriscritto

limÔ9Õ 0+

� + Ö× ÖÙØ�Ú Û ( Ú )Ú�Ü�Ý>Þ= limÔ9Õ 0+

� + Ö× ÖÙØfÚ Û ( Ú ) ÚÚ 2 + Þ 2 à Ý limÔ9Õ 0+

� + Ö× ÖÙØ�Ú Û ( Ú ) ÞÚ 2 + Þ 2 ß (A ß 48)

Il primo addendoa secondomembrodella (A.48) puo esseredecompostonellasommaseguente:

limÔ9Õ 0+

� + Ö× Ö Ø�Ú Û ( Ú ) ÚÚ 2 + Þ 2= limÔ9Õ 0+ â � × Ô× Ö ØfÚ Û ( Ú )Ú +

� + Ö+ Ô Ø�Ú Û ( Ú )Úäã

+ Û (0) limÔGÕ 0+

� + Ô× Ô Ø�Ú ÚÚ 2 + Þ 2 ß (A ß 49)

Mal’ultimo terminedella(A.49)eidenticamentenulloperchel’integrandoeunafunzionedispari. Inoltresi esoliti indicarecon å la parteprincipaledi un integrale,definitacomeå � + Ö× ÖÙØ�Ú Û ( Ú )Ú = limÔ9Õ 0+ â � × Ô× ÖÂØ�Ú Û ( Ú )Ú +

� + Ö+ Ô Ø�Ú Û ( Ú )Ú ã ß (A ß 50)

Percio la (A.49) diventa

limÔ9Õ 0+

� + Ö× ÖÙØ�Ú Û ( Ú ) ÚÚ 2 + Þ 2= å � + Ö× ÖÙØ�ÚæÛ ( Ú )Ú�ß (A ß 51)

562

� 5��3�-4 '657��$8!�&)95��Il secondoaddendodella(A.48)coinvolgefunzioni del tipoç Ô ( Ú ) =

1è ÞÚ 2 + Þ 2 á (A ß 52)

1è � + Ö× Ö Ø�Ú ÞÚ 2 + Þ 2= 1 á (A ß 53)

cheper Þoé 0+ costituisconounasuccessionedi funzioni utile per la definizionedelladeltadi Dirac:

limÔ9Õ 0+

ç Ô ( Ú ) =ç( Ú ) ß (A ß 54)

Percio il secondoaddendodella(A.48)diventaà Ý limÔ9Õ 0+

� + Ö× Ö Ø�Ú Û ( Ú ) ÞÚ 2 + Þ 2= à Ý è Û (0) ß (A ß 55)

In definitivadunquel’integrale(A.46) risulta

limÔ9Õ 0+

� + Ö× ÖÙØ�Ú Û ( Ú )Ú�Ü]Ý>Þ = å � + Ö× Ö©Ø�Ú Û ( Ú )Ú à Ý è Û (0) ß (A ß 56)

Questorisultatopuo essereriassuntoricorrendoalla formulasimbolica

limÔGÕ 0+

1Ú�ÜêÝëÞ = å 1Ú à Ý è ç( Ú ) ß (A ß 57)Ê!ËRÌRÍ#ÎdÏ6Ð ÑoÒ+ì

La deltadi Dirac si puo considerareunageneralizzazionea indici continuidelladeltadi Kronecker 3, ç�íïî

= ð 1 á Ý = ñ ,0 á ÝÇò= ñ ,

(A ß 58)

chevieneusataperesempioperindicaregli elementi(11)íóî

dellamatriceidentitaechepiuin generalevienecoinvolta nella scritturadegli elementidi unamatrice ô íóî

diagonale(cfr. AppendiceC): ô íïî

= Û íëç�íïî ß (A ß 59)

Quandosi usanomatriciconindici continuiperle righeele colonne,comesuccedenellarappresentazionematricialedi operatori quantistici cheabbianounospettrocontinuo,diventanecessarioesprimeregli elementidi matricedella matriceidentita medianteladeltadi Dirac. Infatti la matriceidentita 11 perdefinizionee la matriceche,moltiplicataper unaqualsiasimatrice ô , di elementi ô ( õ á õQö ), secondola regole del prodottodimatrici righepercolonne,deve riprodurrela matrice ô , cioe

3 LeopoldKronecker (1823–1891).

563

�� !�#"$��&%('�) �+*-,/.��0��1�2�#�3�-4 '657��$8!�&)95�� Ø õ öqö 11(õ á õ öqö ) ô ( õ öqö á õ ö ) = ô ( õ á õ ö ) ß (A ß 60)

Percio si vedechegli elementidellamatriceidentita sono

11(õ á õ ö ) =ç( õ�÷mõ ö ) ß (A ß 61)

In generaleunamatriceô ( õ á õQö ) a indici continuiediagonalesehadiversidazerosolo gli elementidiagonali,cherisultanodel tipo Û ( õ )

ç( õ�÷¯õ�ö ). A tale matricesono

peresempioriconducibili la relazionedi chiusura(IV.2.9)e la condizionedi ortonormal-izzazionetraautofunzioniimproprie(IV.2.15).

:a;kø�;úù�E¦ �C6û�K�E/ü� ?Dj¢a¡�B¥ý�K�HdE/B9¢/EPer una qualsiasifunzione(realeo complessa)� ( � ) della variabile � Sx\ ^ ,

l’espressione

˜� ( y ) =1þ2° � + �� n � � ( � ) ± � ² u _ � (A � 62)

seesiste,e dettatrasformatadi Fourier di � ( � ) 4. Sottoopportunecondizionidiconvergenza,� ( � ) puoasuavoltaesserededottada ˜� ( y ) permezzodellatrasformatadi Fourier inversa: � ( � ) =

1þ2° � + �� y ˜� ( y ) ±³² u _ � (A � 63)

La (A.63) e dettaancherappresentazionedi Fourier della � ( � ). Questadefinizionedi trasformatadi Fourierpuo essereconsiderataunageneralizzazionedegli sviluppiin seriedi Fourier validi per funzioni a quadratosommabilesuun intervallo finito.Per � ( � ) Smz 2( �o��ÿ� ), si hainfatti� ( � ) =

1þ2� + �ÁV = � � ��Vo±³² V�� _�� ¶ � (A � 64)

coni coefficienti di Fourierdati dallarelazione��V =1þ2� � +

¶� ¶ � � ( � ) ± � ² V�� _�� ¶ � (A � 65)

Sesi pone

4 Si veda,peresempio,il testodi Georgi P. Tolstov: Fourier Series, PrenticeHall, EnglewoodCliffs, N.J.,1962(traduzioneinglesedi RichardA. Silverman).

564

� )G5�%�� 0�)��5�'ë� ��J0�,³) ��)y = yJV = ¨ ° �� y = y?V +1 ��y?V = ° ��M� ˜� ( y?V ) = · �° ��V$� (A � 66)

la (A.64) e la (A.65) diventano� ( � ) =1þ2° + �ÁV = � � ��y ˜� ( yJV ) ± ² u � _ � (A � 67)

˜� ( y V ) =1þ2° � +

¶� ¶ � � ( � ) ± � ² u�� _ � (A � 68)

Nel passaggioal limite per � � ª , in modochela distanza�Ty cheseparai valori diyJV tendaazerolasciandoy costante,la (A.67) e la (A.68)diventanorispettivamentela (A.63) e la (A.62). Tra sviluppi di Fourier e trasformatedi Fourier si puo cosıstabilireformalmenteil seguentelimite:

1þ2� + �ÁV = � � � 1þ

2° � + �� yX� (A � 69)

In realta l’esistenzadella (A.62) e della suainversa(A.63) sonogarantiteperfunzioni S [ ( \ ^ ) h z 2( \ ^ ). Ma siccome [ ( \ ^ ) e densoin z 2( \ ^ ) secondolatopologiadi z 2( \ ^ ), si possonoestenderele definizioni (A.62) e (A.63) ancheallefunzioni Smz 2( \ ^ ). Precisamente,se U�� V ( � ) W eunasuccessioneS [ ( \ ^ ) checonvergein z 2( \ ^ ) verso � ( � ), si pone� + �� ( � ) ± � ² u _ = limVvY � � + �� V ( � ) ± � ² u _ � (A � 70)

dove il limite va intesocomelimite in media,secondocioe la topologiadi z 2( \ ^ ).Questeconsiderazionisi estendonodirettamenteal casotridimensionale.Per

una � (r) S]z 2( \ ^ 3) si definiscela trasformatadi Fourier,

˜� (k) =1

(2° )3 � 2 � r � (r) ± � ² k � r � (A � 71)

e la suainversa, � (r) =1

(2° )3 � 2 � k ˜� (k) ±³² k � r � (A � 72)

Corrispondentemente,la (A.69) nel casodi uno sviluppodi Fourier su un volumefinito � diventa

1þ � + �Án = � � � 1

(2° )3 � 2 � + �� k � (A � 73)

565

�� !�#"$��&%('�) �+*-,/.��0��1�2�#�3�-4 '657��$8!�&)95��Conquestepremesse,sipuoanchedefinirela trasformatadi Fourierdi unadistri-

buzionetemperata.Se N ( ˜� ) e un funzionaledello stessotipo di N ( � ), la trasformatadi Fourier ˜N ( � ) delladistribuzionetemperataN ( � ) si definisce

˜N ( � ) = N ( ˜� ) � (A � 74)

cioe la trasformatadi FourierdelladistribuzioneN ( � ) e la distribuzioneassociataallatrasformatadi Fourierdellafunzione � .

A partel’eventualediversita con la definizione(A.63) per un fattoreþ

2° , la(A.25)costituiscela rappresentazionedi Fourierdelladeltadi Dirac:þ

2° �( � ) =

1þ2° � + �� yA± ² u _ � (A � 75)

Essapuo interpretarsicomela trasformatainversadellafunzionecostante� ( � ) = 1.E infatti perla (A.62) la suatrasformatadi Fourierrisulta

1þ2° � + �� þ 2° �

( � ) �#± � ² u _ = 1 � (A � 76)

in accordod’altraparteconla definizionedelladeltadi Dirac.Ê!ËRÌRÍ#ÎdÏ6Ð ÑoÒ��Comeprimaapplicazionedelladeltadi Dirac si consideriun pacchettodi onde

piane, �( Ú á�� ) =

� + Ö× ÖÙØ�� ö�� ( � ö ) � í ( �� ×! �" ) á (A ß 77)

esi suppongache� ( � ) abbiaunadelleformeindicatein (A.21)oppure(A.26). Nel limitein cui # é%$ (eq. (A.24)) oppure & é%$ (eq. (A.29)), il corrispondentepacchettodi onde(A.77) diventa,in virtu della (A.4), un’ondapianacon � ö = � corrispondentealvalorecentraledelladeltadi Dirac:� ( � ö ) é ç

( � ÷ � ö ) á�( Ú á�� ) é � í ( �� ×! �" ) ß (A ß 78)

L’ondapianadunque,chepurenonappartienea ' 2, si puo considerarecomelimite di unpacchettodi onde( ()' 2) quandoi coefficienti di Fourier � ( � ö ) convergonoa unadeltadi Dirac, quandocioe in termini fisici i contributi delle varie ondepianenel pacchettosonodominatidaquellodi unasingolaonda.Questoaspettodell’ondapiana,unito allaproprietadi localeintegrabilita (III.3.32), permettedi usarlaanchein luogodelpacchettodi onde,pur di sottintendereun processodi limite del tipo (A.78).

566

� )G5�%�� 0�)��5�'ë� ��J0�,³) ��)Ê!ËRÌRÍ#ÎdÏ6Ð ÑoÒ+*Si considerinoduefunzioni Û á�, (-' 2( . / ) e il loro prodottoscalare0 Û21 ,43 =

� + Ö× Ö ØfÚ Û5 ( Ú ) , ( Ú ) ß (A ß 79)

Valela proprieta � + Ö× Ö Ø�Ú Û5 ( Ú ) , ( Ú ) =

� + Ö× ÖÙØ�� ˜Û5 ( � ) ˜, ( � ) ß (A ß 80)

Anche se si puo dimostrarela (A.80) con metodi elementari,puo essereutile farloricorrendoalle proprieta delladeltadi Dirac. Perdefinizionedi trasformatadi Fourier,(A.62),si ha� + Ö× Ö Ø6� ˜Û 5 ( � ) ˜, ( � )

=

� + Ö× Ö Ø�� 172è � + Ö× Ö Ø�Ú Û 5 ( Ú ) � í �� 17

2è � + Ö× Ö Ø�Ú ö , ( Ú ö ) � × í �� =

� + Ö× Ö Ø�Ú � + Ö× Ö Ø�Ú ö Û 5 ( Ú ) , ( Ú ö ) 12è � + Ö× Ö Ø�� í � ( � × �8� ) ß

La (A.80) e dunquedimostratasesi tienecontodellarappresentazionedi Fourier(A.25)edellaproprieta (A.4) delladeltadi Dirac.

Il risultato(A.80) e interessanteper il formalismodellameccanicaquantistica,inquantonella teoriail prodottoscalarerisulta in generalelegatoai valori di aspettazionedegli operatoriquantistici;la (A.80) indicala possibilita di descriverelo stessoprodottoscalaresecondorappresentazionidiverse,peresempionellospaziodirettodelleposizionio nello spazioreciprocodelle trasformatedi Fourier, che,per il legame9 = -: � , e lospaziodegli impulsi.

567

B. EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI OMOGENEEDEL SECONDOORDINE

In questaappendicesonorichiamatialcuni risultati generalidella teoriadelleequazionidifferenziali lineari omogeneedel secondoordine, di interesseper larisoluzionedell’equazionedi Schrodinger 1. Un’equazionedifferenzialelineareomogeneadel secondoordinesi puo porrenellaforma 2 ;=< 2

+ > ( < ) ;=< + ? ( < ) ; ( < ) = 0 � (B � 1)

dove la funzione ; ( < ), integrale della (B.1), e una funzione(in generalea valoricomplessi)dellavariabilecomplessa< nel dominio @ e le funzioni > ( < ) e ? ( < ) sonofunzionianalitichein @ , coneccezioneal piu di unnumerofinito di punti isolati.

Tutti i punti di @ in cui > ( < ) e ? ( < ) sonoanalitichevengonodettipunti regolari.L’integraledella(B.1) in unpuntoregolareeunafunzioneanalitica.Ognialtropuntodi @ chenon sia regolarevienedettopuntosingolare. Si dimostrachei soli puntisingolaripossibilial finito perl’integrale; ( < ) sonoquelli individuatidallesingolaritadi > ( < ) e ? ( < ). E opportunodistinguere,tra le possibili singolarita di > ( < ) e ? ( < ),quelledenominatesingolarita fuchsiane(o inessenziali)2, caratterizzatedalfattochein tali punti > ( < ) presentaal piu un polo del primo ordinee ? ( < ) al piu un polo delsecondoordine.Pertanto,se < 0 eunpuntodi singolarita fuchsianaperla (B.1), in unintornodi < 0 deveessere> ( < ) = A ( < )< � < 0

� ? ( < ) = B ( < )( < � < 0)2� (B � 2)

1 Dimostrazionidi teoremienunciatieulteriori dettaglisi possonotrovarein testiclassici,qualiadesempioquelli di FrancescoGiacomoTricomi (Equazionidifferenziali, Einaudi,Torino,1953)edi EdmundTaylorWhittaker(1873–1956)eGeorgeNeville Watson(1886–1965)(A Courseof ModernAnalysis, CambridgeUniversityPress,4. ed.,1927).2 Il nomederiva daquellodel matematicoImmanuelLazarusFuchs(1833–1902).

569

�Q�� ?��(�DC�"$�FE�,15¦.��0��1�� G¥� )j� �³.��5/4 �dove A ( < ) e B ( < ) sonofunzioni analitichein < 0.

Ognialtropuntodi singolaritachenonsoddisfile condizioni(B.2) edettopuntodi singolarita essenziale.

Seil dominiocomprendeil puntoall’infinito, e utile eseguirela trasformazionedi variabile < =

1< Æ (B � 3)

e studiareil comportamentoper < Æ = 0. Con la trasformazione(B.3), l’equazione(B.1) diventa < Æ 4 2 ;H< Æ 2 +

�2< Æ 3 � < Æ 2>�� 1< Æ � � ;=< Æ + ?�� 1< Æ � ; = 0 � (B � 4)

Allora lacondizionepercheil puntoall’infinito siaregolareeche2< � < 2> ( < ) e < 4 ? ( < )sianoanaliticheall’infinito; si ha unasingolarita fuchsianase < > ( < ) e < 2 ? ( < ) sonoanaliticheall’infinito oppurese> ( < ) vi haunozerodel primoordinee ? ( < ) unozerodel secondoordine.I ;>=?;KJ$K?¤ HJI�B>K?LX¢¸LX¢�¤6¤ML BëL�D9K?E�LXK�¡�BvHdLONXHdL�D9K�Eÿ¢FP£K�¤+ �Eÿ¢

Nell’intorno di un puntoregolare,< = s , esisteede unicala soluzioneanaliticadella(B.1) cheper < = s assumeil valore ; ( s ) = � 0, con( ; � =< ) p º = � 1, dove � 0 e� 1 sonoduecostantiarbitrarie.

Questasoluzionepuo esserecercatasottoformadi sviluppoin seriedi potenze:; ( < ) =�Á b =0

� b ( < ��s ) b � (B � 5)

Datoche < = s e un puntoregolare,anche> ( < ) e ? ( < ) possonoesseresviluppateinseriedi potenzenell’intornodi s :> ( < ) =

�Á c =0

> c ( < ��s ) c � ? ( < ) =�Á c =0

? c ( < �Ås ) c � (B � 6)

Sostituendogli sviluppi (B.5) e (B.6) nella(B.1) si ottiene�Á b =2

e ( e � 1)� b ( < ��s ) b � 2 +�Á c =0

> c ( < ��s ) c �Á b =1

e?� b ( < ��s ) b � 1

+�Á c =0

? c ( < ��s ) c �Á b =0

� b ( < � s ) b = 0 �Eseguendoi prodottitraseriee raccogliendoi termini di ugualepotenza,si ha

570

QSR � �1'�,15/4ó��f0/4 ��)G0 � ��5��3��T/4 �X�i��'>��T�)95/4 ��Á b =0

ð ( e + 2)(e + 1)� b +2 +bÁ u =0

� > u ( e + 1 �Åy ) � b +1 � u + ? u � b � u �SU ( < �Ås ) b = 0 �Si puo pertantouguagliarea zeroi coefficienti dellevariepotenze,

( e + 2)(e + 1)� b +2 +bÁ u =0

� > u ( e + 1 �Åy ) � b +1 � u + ? u � b � u � = 0 � (B � 7)

stabilendounarelazionedi ricorrenzachepermettedi determinareil coefficiente� b +2

a partireda � 0 �ÿ� 1 �� b +1. In tal modo,noti � 0 e � 1, si possonodeterminaretutti icoefficienti � b dellaserie(B.5).

Datochela relazionedi ricorrenza(B.7) elineare,le duesoluzioni; 1( < ) e ; 2( < ),ottenuterispettivamenteponendo� 0 = 1 �ÿ� 1 = 0 e � 0 = 0 �ÿ� 1 = 1, sonotra di lorolinearmenteindipendenti. Essecostituisconoun sistemafondamentaledi integralidella(B.1). La soluzionegeneraledella(B.1) puo ottenersinellaforma; ( < ) = s 1

;1( < ) + s 2

;2( < ) � (B � 8)

dove s 1 e s 2 sonocostantiarbitrarie.Prolungandoanaliticamentela soluzione(B.8),si puo trovarela soluzionedella

(B.1) per ogni altro punto regolareche appartieneall’intersezionedei domini dianaliticitadellefunzioni > ( < ) e ? ( < ). Talesoluzioneedunqueanalitica,conunraggiodi convergenzadellaserie(B.5) noninferiorealla distanzadi s dal piu vicino puntosingolaredi > ( < ) o di ? ( < ).I ;k��;WVYX�¢/L�D>HM ?¤+¢ZNMK�¤&B>¡?E¦K�üæBG T¡�¢FP�¤&BÇBëL�Dj¢FP?E¦ �¤&B

La presenzadi puntidi singolarita in @ impediscedi prolungareanaliticamente,con risultato univoco in tutto @ , la soluzione ; ( < ) trovata nell’intorno del puntoregolare < = s . In presenzadi singolarita, il prolungamentoanaliticopuo fornirerisultatidiversiasecondadelcamminopercorsoda s fino al genericopunto < ; si dicein tal casochela funzioneottenutae polidromae la singolarita costituisceun puntodi diramazionedellafunzione.

Le eventuali polidromie degli integrali di un’equazionedifferenzialelineareomogeneadelsecondoordinesonoperodi naturasemplice.Sisuppongadi conoscereil sistemafondamentale; 1( < ) e ; 2( < ) di integrali della (B.1) nell’intorno del puntosingolare < = < 0 e siano [ 1( < ) e [ 2( < ) il risultatodel prolungamentoanaliticodi;

1( < ) e ; 2( < ) lungounqualsiasicamminochiusocheaggiri il punto < 0. Deveessere[ 1( < ) = � ; 1( < ) + \ ; 2( < ) �[ 2( < ) = s ; 1( < ) + ; 2( < ) � (B � 9)

571

�Q�� ?��(�DC�"$�FE�,15¦.��0��1�� G¥� )j� �³.��5/4 �con � �]\�s �= 0 � (B � 10)

Si dice invariantivo un integrale della (B.1) che si alteri soltantoper un fattoremoltiplicativo ^ rispettoa un qualunquecamminochiusocheaggiri < 0. Condizionenecessariae sufficienteaffinche un certointegraledella (B.1) sia invariantivo e chesia ____ �¸�]^ s\ �`^ ____ = 0 � (B � 11)

Infatti, per la lineareindipendenzadi ; 1( < ) e ; 2( < ) e di [ 1( < ) e [ 2( < ), un integraledel tipo (B.8), ; ( < ) = s 1

;1( < ) + s 2

;2( < ) �

si trasformanell’integrale [ ( < ) = s 1 [ 1( < ) + s 2 [ 2( < ) �cheperipotesideveessereinvariantivo, cioe[ ( < ) = ^ ; ( < ) �Perle (B.9) cio si traducenel sistemadi equazionialgebrichelineari omogenee,a

( �¸�]^ ) s 1 + s#s 2 = 0 �\~s 1 + ( �]^ ) s 2 = 0 �perla cui soluzionedevevalerela (B.11). Perciascunadelleduesoluzioninonnulledella (B.11), ^ 1 e ^ 2, si ottieneunacoppiadi valori s 1 e s 2 checonduconoai dueintegrali invariantivi della(B.1).

Si suppongano 1 e ^ 2 radici distintedella(B.11). La funzione

( < � < 0) b = b£b�±3²�b8ceunafunzionepolidromaper e nonintero,chesi moltiplicaper ± 2� ²�b girandointornoa < 0, cioe si moltiplicaanch’essaper ^ se e e sceltoin modochesia± 2� ²�b = ^2�Allora due integrali particolari della (B.1), linearmenteindipendentie invariantivinell’intornodel punto < 0, sonorappresentabiliconformuledel tipo;

1( < ) = ( < � < 0) b 1 N 1( < ) �;2( < ) = ( < � < 0) b 2 N 2( < ) � (B � 12)

572

d 0/4 ,/.��0��J�~�J��4i4fe �i�1'60�) �?0��$,³��,³�1'60��%(�&�gT�0/4ï5�) �i'gh5i�j,��j³%(�+5��?5dove e 1 =

12° É log ^ 1 � e 2 =

12° É log ^ 2 (B � 13)

e N 1( < ), N 2( < ) sonofunzionianalitichenell’intornodi < 0.Qualoraledueradicidella(B.11)coincidessero,lo stessoprocedimentopermette

di determinaresolo uno degli integrali invariantivi, chevienemoltiplicato per ^ =^ 1(= ^ 2). Il secondosi trova tenendopresentechedeveessere[ 1 = ^ ; 1 �[ 2 = s ; 1 + ; 2;

inoltreperla (B.11)e = ^ 1. Pertanto[ 2[ 1=;

2;1

+s^ 1

�cioe il rapporto ; 2 � ; 1 si alteraper la costanteaggiuntiva s3�k^ 1 nel prolungamentoanaliticolungo il camminocheaggira < 0. Questasituazionee simile a quelladellafunzione l log(< � < 0) equindi la funzionem ( < ) =

;2;1

�nl log( < � < 0)

non si alteraper unarotazioneintorno a < 0. Percio quandola (B.11) ammetteunaradicedoppia,il sistemafondamentaledella(B.1) e costituitodallefunzioni;

1( < ) = ( < � < 0) b 1 N 1( < ) �;2( < ) = ; 1( < )[ l log( < � < 0) + m ( < )] � (B � 14)

In ogni caso,dunque,l’eventualepolidromiadegli integrali della (B.1) si puo con-finarein fattori esplicitamentedeterminabili.Le funzioni N 1( < ), N 2( < ) e m ( < ) inoltre,pur potendopresentareunasingolarita in < 0, sonorappresentabilinell’intorno di < 0

mediantesviluppoin serie,in quantofunzionianalitiche.I ;6ø£;KJXK�¤&H?I�B>K?LX¢aLX¢�¤6¤ML BëL�D9K?E�LXKm¡�BvHdLONXHdL�D9K�¡?B!CRBëLHPJK?¤i ?E�B>D=o �û�H�§qpJC�B> ?L$ Il fattocheil punto < = < 0 siaun puntodi singolarita fuchsianaperl’equazione

(B.1) e condizionenecessariae sufficienteaffinche esistaun sistemafondamentaledi integrali ; 1( < ) e ; 2( < ) rappresentabilinell’intornodi < 0 medianteformuledel tipo(B.12)e(B.14),in cui N 1( < ), N 2( < ) e m ( < ) sonofunzionianalitichedotateal piu di unpolo in < 0.

Conquestoteoremavieneesclusala possibilita di unasingolarita essenzialein< 0 perle funzioni N 1( < ), N 2( < ) e m ( < ). Inoltre si haun criterio percercarel’integraledella(B.1) nell’intornodi < 0. Bastainfatti adottareper ; ( < ) lo sviluppoin serie

573

�Q�� ?��(�DC�"$�FE�,15¦.��0��1�� G¥� )j� �³.��5/4 �; ( < ) = ( < � < 0) r �Á b =0

� b ( < � < 0) b � (B � 15)

Tenendopresentile (B.2) e il corrispondentesviluppoin serieperle funzioni A ( < ) eB ( < ), A ( < ) =�Á c =0

> c ( < � < 0) c �B ( < ) =�Á c =0

? c ( < � < 0) c � (B � 16)

la sostituzionedello sviluppo(B.15)nella(B.1) fornisce�Á b =0

( s + e )( s + e�� 1)� b ( < � < 0) b +�Á c =0

> c ( < � < 0) c �Á b =0

( s + e ) � b ( < � < 0) b+

�Á c =0

? c ( < � < 0) c �Á b =0

� b ( < � < 0) b = 0 �Eseguendoi prodottitraseriee raccogliendoi termini di ugualepotenza,si ottiene�Á b =0

ð ( s + e )( s + e�� 1)� b +bÁ u =0

�( s + y )> b � u + ? b � u � � u U ( < � < 0) b = 0 �

Si puo pertantouguagliareazeroseparatamentei coefficienti dellevariepotenze.Inparticolareper e = 0 si ottiene

[ s ( sÂ� 1) + st> 0 + ? 0] � 0 = 0 �cioe,essendo� 0 �= 0, s 2 �us (1 �v> 0) + ? 0 = 0 � (B � 17)

chee l’ equazionedeterminante, di secondogradonell’esponentes . In corrispon-denzadelledueradicidella(B.17)si possonodeterminaretutti i coefficienti � b della(B.15)dallarelazionedi ricorrenza

[( s + e )( s + e�� 1) + ( s + e )> 0 + ? 0] � b+

b � 1Á u =0

[( s + y )> b � u + ? b � u ] � u = 0 � em�= 0 � (B � 18)

574

Q E�,�5¦.-��0��X'60�'65/4 �o� �1'ë�w�j,��xj³%j��5��J�chesi ottieneazzerandoi coefficienti dellesuccessive potenzedi ( < � < 0). Le duesoluzioni, ricavate in corrispondenzadelle due radici s 1 e s 2 della (B.17), sonolinearmenteindipendenti.

Eccezionalmentepuo verificarsichele dueradici o coincidanoo differiscanoper un intero, cioe chesia s 1 = s 2 + > con > = 0 � 1 � 2 �� . In tal caso,unavoltacostruitala soluzionedi tipo (B.15) per s = s 1, nella (B.18) con s = s 2 vieneadannullarsiil coefficiente �zy per e = > e l’equazionediventaimpossibile. Si ricorrealloraal secondointegraledel sistemafondamentale(B.14).

Il fattoche < 0 siaun puntodi singolarita fuchsianapermettedi otteneresubitol’equazionedeterminante(B.17) e di costruireesplicitamentele soluzioni (B.12)o (B.14), mentrein generaleper una singolarita essenzialepuo non esserefaciledeterminarei coefficienti cheintervengononella(B.11).I ;|{X;WVW}3H� �I/BGK�LMBÇD9KJD9 �¤&üT¢/L�Dj¢ ûRHM§�p£CRBG �LX¢

Le equazionidel tipo (B.1)consoli puntisingolariisolatidi tipo fuchsianosonodetteequazionitotalmentefuchsiane.

Indicandocon < 1 � < 2 �� < V gli ¨ punti di singolarita fuchsianaal finito epostoA V ( < ) = ( < � < 1)( < � < 2) �� ( < � < V ) � (B � 19)

i coefficienti > ( < ) e ? ( < ) della(B.1) devonoesserefunzioni dellaforma> ( < ) = B V � 1( < )A V ( < ) � ? ( < ) = ^ 2V � 2( < )A 2V ( < ) � (B � 20)

dove per rispettarele (B.2) B V � 1( < ) e ^ 2V � 2( < ) sonopolinomi qualsiasidi gradougualeai rispettivi indici ( ¨]~ 1).Ê!ËRÌRÍ#ÎdÏ6Ð��~ÒkÓ

Si consideriadesempiol’equazioneØ 2 �Ø6� 2+

:� ÷ � 0Ø �Ø6� + �( � ÷ � 0)2

� ( � ) = 0 á (B ß 21)

percui dunquee 9 ( � ) =:� ÷ � 0

á � ( � ) = �( � ÷ � 0)2 ß (B ß 22)

Il punto � = � 0 e un puntodi singolarita fuchsianain virtu della(B.2) e in accordoconla(B.20). La corrispondenteequazionedeterminante(B.17)diventaõ 2 ÷�õ (1 ÷ : ) + � = 0 á (B ß 23)

la cui soluzionepermettedi scriverel’integralegeneraledella(B.21)nellaforma

575

�Q�� ?��(�DC�"$�FE�,15¦.��0��1�� G¥� )j� �³.��5/4 �� ( � ) = � 1( � ÷ � 0) � 1 + � 2( � ÷ � 0) � 2 ß (B ß 24)

Questointegralee regolareo no in � = � 0 a secondadei valori assuntidallecostanti:

e � . Infatti � ( � ) e regolareper:

= ÷ 2 á � = 2 (da cui õ 1 = 1 á õ 2 = 2), e singolareper

:= 4 á � = 2 (da cui õ 1 = ÷ 1 á õ 2 = ÷ 2), mentre � 1( � ÷ � 0) � 1 e regolare,ma non� 2( � ÷ � 0) � 2 , per

:= 1 á � = ÷ 1 (da cui õ 1 = 1 á õ 2 = ÷ 1). Cio confermachein un

puntodi singolarita dei coefficienti 9 ( � ) e � ( � ) dell’equazione(B.1) si possono,manonnecessariamentesi devono,localizzarele singolarita dell’integraledella(B.1).

Ancheil puntoall’infinito della (B.21) e un puntodi singolarita fuchsiana,comesi puo verificarecon la trasformazione(B.3). La (B.21) e la piu generaleequazionedifferenzialelineareomogeneadel secondoordineconduesingolarita fuchsiane(unaalfinito in � = � 0 eunaall’infinito).

La condizione(B.20)garantisceancheche> ( < ) siaunozerodelprimoordinee? ( < ) unozerodelsecondoordinequando< � ª ; percio le (B.20)includonoancheilpuntoall’infinito trale singolaritafuchsianeel’equazione(B.1)conle (B.20)diventaun’equazionetotalmentefuchsianacon ¨ + 1 punti di singolarita fuchsiana(unoall’infinito e ¨ al finito in < 1 � < 2 �� < V ).

Si dimostrache per un’equazionetotalmentefuchsianacon ¨ + 1 punti disingolarita fuchsianala sommadelleradici di tuttele equazionideterminanti(B.17)e ugualea ¨ � 1.

Dalla (B.17) seguechela sommadelledueradici vale1 menoil residuo> 0 di> ( < ) nel puntodi singolarita < 0 ( s 1 + s 2 = 1 ��> 0) e il loro prodottovale s 1 s 2 =? 0 = lim � Y � 0( < � < 0)2 ? ( < ). Si possonoallora riscrivere le (B.20) in termini delleradici di tuttele equazionideterminantideipunti di singolarita al finito. Peril puntoall’infinito occorrericordareche > ( < ) deve essereunozerodel primo ordinee ? ( < )unozerodel secondoordine.

Da questeconsiderazionisegue che la piu generaleequazionedifferenzialelineareomogeneadelsecondoordineconcinquesingolarita fuchsiane,di cui quattroal finito eunaall’infinito, puo scriversinellaforma

2 ;=< 2+

4Á b =1

1 �us ( b )1 �us ( b )

2< � < b ;=< + ð 4Á b =1

s ( b )1 s ( b )

2

( < � < b )2+l < 2 + � < + Z� 4b =1( < � < b ) U ; ( < ) = 0 � (B � 25)

dove s ( b )1 e s ( b )

2 sonole dueradici relative al puntodi singolarita al finito < b e l efissatodall’equazione�

2 +

� ð 4Á b =1

� s ( b )1 + s ( b )

2 � � 3 U +4Á b =1

s ( b )1 s ( b )

2 + l = 0 � (B � 26)

cherappresental’equazionedeterminanteperil puntoall’infinito conradici

�1 e

�2.

Deveessereinoltre ( ¨]� 1 = 3)

576

Q E�,15¦.��0��1�$'ë0�'65/4 �o� �1'ë�2�j,��j³%(�+5��J�4Á b =1

� s ( b )1 + s ( b )

2 � +

�1 +

�2 = 3 � (B � 27)

Le costanti� e Z in (B.25)sonoduecostantiarbitrarie.Si presentaa volte il casoche un’equazionedifferenzialederivi da un’altra

quandosi faccianocoincideredueo piu singolaritadi quest’ultima.In tal casosi dicecheeavvenutaunaconfluenzael’equazionein esameela formaconfluentedell’altra.

Molte equazionidifferenzialidi interesseperle applicazionidi meccanicaquan-tisticasonoformeconfluentidella(B.25),conle radici dell’equazionedeterminante(B.17)perciascunasingolarita chedifferisconotra di loro di 1

2:s ( b )2 = s ( b )

1 + 12 � �

2 =

�1 + 1

2 �Percio la (B.25)divental’ equazionegeneralizzatadi Lame 3:

2 ;=< 2+

4Á b =1

12 � 2s ( b )

1< � < b ;H< + ð 4Á b =1

s ( b )1 ( s ( b )

1 + 12)

( < � < b )2+l < 2 + � < + Z� 4b =1( < � < b ) U ; ( < ) = 0 � (B � 28)

Quandoduepuntidi singolaritaconfluiscono,peresempio< 1 = < 2, la singolaritarisultantee talechele radicidell’equazionedeterminantecorrispondentesoddisfanole relazioni

1 �)> 0 = 2(s (1)1 + s (2)

1 ) �? 0 = s (1)1 ( s (1)

1 + 12) + s (2)

1 ( s (2)1 + 1

2) +l < 2

1 + � < 1 + Z( < 1 � < 3)( < 1 � < 4)

�cioe la differenzas 1 ��s 2 tra le radici non e piu in generalepari a 1

2, ma assumequalunquevalorein dipendenzadallecostantiarbitrarie� e Z . Inoltre,combinando3 o piu singolarita fuchsiane,si possonootteneresingolarita essenziali. Pertantodall’equazione(B.28)medianteconfluenzasi possonoottenereseitipi di equazioni,con g 1 singolarita fuchsianeconradici chedifferisconodi 1

2, g 2 singolarita fuchsianeconradici diversee g 3 singolarita essenziali,secondolo schemaseguente.g 1 g 2 g 3 nome

3 1 0 Lame2 0 1 Mathieu1 2 0 Legendre0 1 1 Bessel1 0 1 Weber0 0 1 Stokes

3 GabrielLame (1795–1870).

577

�Q�� ?��(�DC�"$�FE�,15¦.��0��1�� G¥� )j� �³.��5/4 �Per l’equazionedi Lame la confluenzaavviene per < 4 � ª con il punto

all’infinito che resta una singolarita fuchsiana,sia pure con radici diverse; perl’equazionedi Mathieu 4, < 3 = < 4 � ª e il puntoall’infinito diventaunasingo-larita essenziale;per l’equazionedi Legendre5, < 1 = < 2 = 1 e < 3 = < 4 = 0 sonosingolarita fuchsianecon radici diverse;per l’equazionedi Bessel6, < 1 = < 2 = 0,< 3 = < 4 � ª e quindi il puntoall’infinito diventaunasingolarita essenziale;perl’equazionedi Weber7, < 1 = 0 e le altre singolarita confluisconoall’infinito, checosı risultaunasingolaritaessenziale;l’equazionedi Stokes8 haun’unicasingolaritaessenzialenel puntoall’infinito, nelqualesonoconfluitetuttele singolarita.I ;��J;WVW}3HM fI/BGK�L�B~§ÿK�LÂD>Eÿ¢<CRBëLHP£K�¤+ �E/BëD=o �û�HM§�p£CRBG �LX¢

L’equazionedi Legendrecitataal paragrafoprecedentee un casoparticolarediequazionetotalmentefuchsianacontrepuntidi singolarita.Lapiugeneraleequazionetotalmentefuchsianacontrepunti di singolarita,di cui unoall’infinito, puo scriversinellaforma 2 ;H< 2

+ � 1 < + � 0

( < � < 1)( < � < 2) ;=< +y 2 < 2 + y 1 < + y 0

( < � < 1)2( < � < 2)2; ( < ) = 0 � (B � 29)

chederiva dalle(B.20) con ¨ = 2. Pertantole corrispondentiradici delleequazionideterminanti(B.17) ( s 1 ��s 2 per < 1, � 1 �M� 2 per < 2 e

�1 � � 2 per < �¾ª ) soddisfanola

relazione s 1 + s 2 + � 1 + � 2 +

�1 +

�2 = 1 � (B � 30)

Siccomei coefficienti � 0 � � 1 e y 0 �Ry 1 �Ry 2 sonodeterminatisesi conosconole radicidelleequazionideterminanti,si puo caratterizzarecompletamentel’equazionemedi-anteil simbolo A�� < 1 < 2 ªs 1 � 1

�1; <s 2 � 2

�2 � � (B � 31)

introdottodaRiemann9.Sei trepuntidi singolaritasonotutti al finito, la formapiu generaleela seguente

4 Emile LeonardMathieu(1835–1890).5 Adrien-MarieLegendre(1752–1833).6 FriedrichWilhelm Bessel(1784–1846).7 Wilhelm EduardWeber(1804–1891).8 GeorgeGabrielStokes(1819–1903).9 Georg FriedrichBernhardRiemann(1826–1866).

578

Q E�,�5¦.-��0��Q�j0��a'�)j�~%j�i�gT�0/4ï5�)(�i'gh5i�j,��xj³%j��5��J� 2 ;=< 2

+2< 2 + � 1 < + � 0

( < � < 1)( < � < 2)( < � < 3) ;H< +y 2 < 2 + y 1 < + y 0

( < � < 1)2( < � < 2)2( < � < 3)2; ( < ) = 0 � (B � 32)

in accordoconle (B.20)e col fattocheorail puntoall’infinito deveessereun puntoregolare.

E notevole il fattochela trasformazionedi variabile< Æ =� < + \s < + � (B � 33)

con � ��\Rs �= 0, nonmodificala naturadelle(B.29)e (B.32): solamentenespostaipuntidi singolaritasenzaalterarnele radici. Conunasceltaopportunadeicoefficienti��8\³�ÿs�� si passadalla(B.29)alla(B.32)eviceversa,conservandola (B.30). E allorasemprepossibilericondursialcasoin cui i puntisingolarisonosituatiin < 1 = 0 � < 2 = 1e nelpuntoall’infinito. Perla (B.29)cio si realizzaconla trasformazione< Æ = < � < 1< 2 � < 1

� (B � 34)

mentreperla (B.32)occorrela trasformazione< Æ =( < � < 1)( < 2 � < 3)( < � < 3)( < 2 � < 1)

� (B � 35)

Un’altra notevole proprieta e l’invarianzadella posizionedei punti singolaridella(B.29)rispettoalla sostituzionedi funzioneincognitadel tipo; ( < ) = ( < � < 1) � ( < � < 2) �M� ( < ) � (B � 36)

Cosı pureperla (B.32) la sostituzione; ( < ) = � < � < 1< � < 3 � � � < � < 2< � < 3 � � � ( < ) (B � 37)

nonalterala posizionedellesingolarita. Pero le sostituzioni(B.36)e (B.37)modifi-canole radici ( É = 1 � 2),s ² �%s ² �ub�� ² �� ² �u��

² � �² + b + �� (B � 38)

pur conservandola (B.30). Percio con trasformazionidi tipo (B.36) o (B.37) ci sipuo semprericondurreal caso s 1 = � 1 = 0 � (B � 39)

L’usocombinatodelle(B.34)o (B.35)con(B.36)o (B.37),permettedunquediridurresemprel’equazionetotalmentefuchsianacontresingolaritaalla forma

579

�Q�� ?��(�DC�"$�FE�,15¦.��0��1�� G¥� )j� �³.��5/4 �< (1 � < ) 2 ;=< 2

+ [ s � ( � + \ + 1)< ] ;=< ��\ ; ( < ) = 0 � (B � 40)

chee la cosiddettaequazioneipergeometrica, i cui punti singolarisono0 � 1 �Rª , conradici, rispettivamente, s 1 = 0, s 2 = 1 ��s , per < = 0,� 1 = 0, � 2 = s �Å�a�]\ , per < = 1,

�1 = � ,

�2 = \ , per < �µª .

(B � 41)

In termini di simbolodi Riemannsi haA � 0 1 ª0 0 � ; <1 � s s ��¸�]\ \ � � (B � 42)

Le soluzionidell’equazioneipergeometrica(B.40)nell’intornodi ognipuntodisingolaritasipossonosvilupparein seriedi potenzenellaforma(B.15),conesclusionedeicasidi s intero, s��¸�!��\ interoe �!��\ intero,in cuipossonopresentarsideiterminilogaritmici comenella (B.14). Questesoluzionisonotutte esprimibili mediantelaserie�

( �M�8\ ; s ; < ) = 1 +�Á b =1

� ( � + 1) �� ( � + e�� 1)\ ( \ + 1) �� ( \ + e�� 1)s ( s + 1) �� ( s + e�� 1) < be !� (B � 43)

che e dettaserie ipergeometrica. Nel casoparticolarissimo� = 1 �8\ = s la serie(B.43)si riducealla seriegeometrica� V < V , dondeil suonome.Se � = �i> oppure\ = �i> , essasi riduceaun polinomiodi grado> . Se \ = s , si ha

�( �M�8\ ; \ ; < ) = 1 +

�Á b =1

� �o�e]� ( � < ) b = (1 � < ) � ¶ � (B � 44)

Inoltre

�(1 � 1;2; < ) = � 1< log(1 � < ) � (B � 45)

Dunque,la soluzionedella (B.40) nell’intorno del punto < = 0 corrispondentealla radice s 1 = 0 si ottienericonoscendochela relazionedi ricorrenza(B.18)nonealtrochela relazionedi ricorrenzaperi coefficienti dellaserieipergeometrica(B.43).Inveceperl’altra soluzionedella(B.40)nell’intorno del punto < = 0 corrispondentealla radice s 1 = 1 � s , la (B.18) definiscela serieipergeometricacon i parametri�æ�� Âs + 1 �8\A��\!�Âs + 1 �ÿs�� 2 �Âs . Pertantole soluzionidella(B.40)risultano

580

Q E�,�5¦.-��0��Q�j0��a'�)j�~%j�i�gT�0/4ï5�)(�i'gh5i�j,��xj³%j��5��J�; (0)1 ( < ) =

�( �M�8\ ; s ; < ) �; (0)

2 ( < ) = < 1 � º �( �a��s + 1 �8\È��s + 1;2 ��s ; < ) � (B � 46)

Nell’intorno del punto < = 1 si puo procedereallo stessomodocon la sostituzione< Æ = 1 � < , riconducendosialla soluzioneper < = 0. Si ottienecosı; (1)1 ( < ) =

�( ��8\ ; 1 + � + \È�Ås ; 1 � < ) �; (1)

2 ( < ) = (1 � < ) º � ¶ �w� �( s ��M�ÿs��]\ ; 1 + s �Å�a��\ ; 1 � < ) � (B � 47)

Similmente,conlasostituzione< Æ = 1� < si trovanolesoluzioninell’intornodelpuntoall’infinito: ; ( � )

1 ( < ) = � 1< � ¶ � �³�� 1 + �a�Ås ; 1 + �a�]\ ; 1< � �; ( � )2 ( < ) = � 1< � �

��\3� 1 + \È��s ; 1 + \#�Å� ;

1< � � (B � 48)

La serieipergeometrica(B.43)haraggiodi convergenzaunitario;cio comportail prolungamentoanaliticodi ciascunasoluzioneper connetterlaalle altre. Le seisoluzioni (B.46) – (B.48) non sono percio tra di loro indipendenti: ciascunadiessepuo essereespressacomecombinazionelinearedi due qualsiasidelle altre.Peresempio,; (0)

1 ( < ) e ; (0)2 ( < ) si possonoprolungareanaliticamentee pensarecome

integrali particolarideducibilidaquellogeneralenell’intornodi < = 1, cioe; (0)1 ( < ) = l (1)

1; (1)

1 ( < ) + l (1)2; (1)

2 ( < ) �; (0)2 ( < ) = � (1)

1; (1)

1 ( < ) + � (1)2; (1)

2 ( < ) � (B � 49)

Si dimostrachei coefficienti sonodati dalleseguentirelazionil (1)1 = � ( s �Å�a��\ ) � ( s )� ( s �Å� ) � ( sA�]\ ) �l (1)2 = � ( � + \#�Ås ) � ( s )� ( � ) � ( \ ) �� (1)1 = � ( s �Å�a��\ ) � (2 ��s )� (1 �Å� ) � (1 ��\ ) �� (1)2 = � ( � + \~� s ) � (2 �Ås )� ( � + 1 ��s ) � ( \ + 1 ��s ) �

dove � ( < ) e la funzionespecialegamma10. Essageneralizzail fattorialeal casodiargomentononintero,

10 Perunarassegnadellefunzionispecialiedelleloro proprieta,si vedail testodi Wilhelm Magnus,FritzOberhettingereRajPalSoni: FormulasandTheoremsfor theSpecialFunctionsof MathematicalPhysics,Springer, Berlino,1966.

581

�Q�� ?��(�DC�"$�FE�,15¦.��0��1�� G¥� )j� �³.��5/4 �� ( < + 1) = < � ( < ) � (B � 50)

coni casiparticolari � (1) = 1 � (B � 51)� (12) =

þ ° � (B � 52)

Similmente,si puo porre; (0)1 ( < ) = l ( � )

1; ( � )

1 ( < ) + l ( � )2; ( � )

2 ( < ) �; (0)2 ( < ) = � ( � )

1; ( � )

1 ( < ) + � ( � )2; ( � )

2 ( < ) � (B � 53)

coni seguenticoefficienti:l ( � )1 = � ( \È�� ) � ( s )� ( \ ) � ( s �� )

±³² � ¶ �l ( � )2 = � ( �a��\ ) � ( s )� ( � ) � ( s ��\ ) ± ² � � �� ( � )1 = � ( \È�Å� ) � (2 ��s )� (1 �Å� ) � (1 + \È��s ) ±³² � (1+

¶ � º) �� ( � )

2 = � ( �¸�]\ ) � (2 ��s )� (1 ��\ ) � (1 + �¸��s ) ± ² � (1+�-� º) �I ;� J;�ýQHdL�I�B>K?LX¢aB+N�¢/EFP£¢ÿK�üT¢3D>E�BG§ÿ �§RK�L¢¡ H�¢/L�Dj¢

Quandoin un’equazionetotalmentefuchsianacon tre singolarita duepunti disingolaritaconfluiscononelpuntoall’infinito, sidaorigineaunasingolaritaessenzialeall’infinito. Sel’altra singolarita e in < = 0, la piu generaleequazionedi questotipohala forma 2 ;H< 2

+ � 1 < + � 0< ;H< +y 2 < 2 + y 1 < + y 0< 2

; ( < ) = 0 � (B � 54)

cheeffettivamenteper < = 0 presentaunasingolarita fuchsiana,mentreper < � ª icoefficienti > ( < ) e ? ( < ) nonpresentanolo zerodelprimoedelsecondoordinerichiestodaun’eventualesingolarita fuchsiana.Convieneoperarela seguentesostituzionedifunzione ; ( < ) = < r ±¢£ � N ( < ) � (B � 55)

con s chesoddisfa l’equazionedeterminanteper < = 0:

582

�,³�³.��0��J�#� �� )�T3�90 �o� 'k)(��j5 �(0��¤�,1� �1'ë�s 2 �us (1 � � 0) + y 0 = 0 � (B � 56)

Nella(B.55) � risultadall’equazionecaratteristicachesiottienesostituendola(B.55)nella(B.54)e imponendo< � ª :� 2 + � 1 � + y 2 = 0 � (B � 57)

Conl’ulteriore cambiamentodi variabile< Æ = � ( � 1 + 2� ) < � (B � 58)

l’equazione(B.54)si riconducea un’equazioneperla N ( < Æ ). Questaequazionehalastruttura < 2 ;H< 2

+ ( sA� < ) ;H< �Å� ; ( < ) = 0 (B � 59)

e viene chiamataequazioneipergeometricaconfluente. Essae una delle piu im-portantidell’analisimatematica,perche abbracciaunaclassecontenentemoltissimefunzioni specialidi interessenellafisicamatematica.

In < = 0 essaammettedueradicidell’equazionedeterminanteparia0 ea1 �¯s .Percio,ses noneintero,esistonoduesoluzionidella(B.59)linearmenteindipendenti,dellaforma ;

1( < ) =

�( ��ÿs ; < ) �;

2( < ) = < 1 � º �( �a��s + 1 � 2 ��s ; < ) � (B � 60)

dove la funzioneipergeometricaconfluente

�( ��ÿs ; < ) e datadallosviluppo

�( ��ÿs ; < ) = 1 +

�Á b =1

� ( � + 1) �� ( � + e � 1)s ( s + 1) �� ( s + e�� 1) < be !� (B � 61)

La (B.61)e il limite per \ � ª dellaserieipergeometrica(B.43)in funzionedi < �k\ :lim� Y �

�( ��8\ ; s ; < �k\ ) =

�( ��ÿs ; < ) � (B � 62)

Se s e intero,la secondadelle(B.60)hala formadellasecondadelle(B.14).Per < � ª , valelo sviluppoasintotico

�( �M�ÿs ; < ) = � ( s )� ( � )

± � < ¶ � º+ � ( s )� ( s �Å� )

( � < ) � ¶ � (B � 63)

Sonoutili le seguentirelazioni:

�( �M�ÿ� ; < ) = ± � � (B � 64)

583

��1� �?��+� �DC�"��¥E�,�5¦.-�+0��1�Q�� G�� )j� �³.-�+5/4 ��( �M�ÿs ; < ) = ± � � ( s ��M�ÿs ; � < ) � (B � 65)

�( �A¨v��s + 1; < ) = â � s + ¨¨ � ã � 1 ¦ rV ( < ) � (B � 66)

Nella(B.66) ¨ eunnumerointerononnegativoe¦ rV ( < ) eil polinomiodi Laguerre11:¦ rV ( � ) =

± _ � � r¨ ! V � V � ± � _ � V + r � � (B � 67)Ê!ËRÌRÍ#ÎdÏ6Ð��~ÒiìUn casoparticolaredi equazionericonducibileadun’ipergeometricaconfluente

e l’equazionedi Bessel12:Ø 2 �Øz� 2+

1� Ø �Øz� + � 1 ÷¨§ 2� 2 � � ( � ) = 0 ß (B ß 68)

L’equazionedeterminanteper � = 0, õ 2 ÷ § 2 = 0 á (B ß 69)

haradici õ = Ü § . L’equazionecaratteristicaper �7é©$ ,ª 2 + 1 = 0 á (B ß 70)

fornisceª

= ÜAÝ . Percio la sostituzione(B.55) e il cambiamentodi variabile (B.58),� ö = 2Ý«� , permettonodi ricondurrela (B.68)all’equazione� Ø 2 �Ø6� 2+ (1 + 2§ ÷ � ) Ø �Øz� ÷ ( § + 1

2 ) � ( � ) = 0 á (B ß 71)

chee l’equazioneipergeometricaconfluente(B.59)con& = § + 12 á � = 2& ß (B ß 72)

Soluzionispecialidella(B.68)sonole funzionidi Bessel, cosı definite:¬k( � ) =

ÖÁ ®=0

( ÷ 1)

®( ��¯ 2)

+2

®° ! ± ( § + ° + 1) ß (B ß 73)

Altre soluzioni specialisi ottengonocomecombinazionilineari di funzioni di Bessel.Precisamentesi hannole funzionidi Neumann13, ² ( � ), e le funzionidi Hankel 14 di

11 EdmondNicolasLaguerre(1834–1886).12 G.N. Watson:A Treatiseon the Theoryof BesselFunctions, TheUniversityPress,Cambridge,1922(primaedizione),1944(secondaedizione)e successive ristampe.13 CarlGottfriedNeumann(1832–1925).14 HermannHankel (1839–1873).

584

�,³�³.��0��J�#� �� )�T3�90 �o� 'k)(��j5 �(0��¤�,1� �1'ë�primaedi secondaspecie, ³ (1) ( � ) e ³ (2) ( � ). Nel caso§ ò= 9 con 9 interoinclusolo zero,essesonodefinitedallerelazioniseguenti:² ( � ) = [sin(è § )] × 1

� ¬�( � ) cos(è § ) ÷ ¬ × ( � ) � á (B ß 74)³ (1) ( � ) =

¬ ( � ) + Ý ² ( � ) á (B ß 75)³ (2) ( � ) =

¬k( � ) ÷ Ý ² ( � ) ß (B ß 76)

Nelle applicazionihannointeresseparticolarele funzioni di Besseldi argomentorealeÚedi ordinesemintero,cioe § (chein generaleeunnumerocomplesso)diventa§ = ´ + 12 ,

con ´ interononnegativo: si ottengonocosı quellechesonochiamatefunzionidi Besselsferiche, ñqµ ( Ú ) = ¶ è

2Ú ¬ µ +1· 2( Ú ) á (B ß 77)

e funzionidi Neumannsferiche,¸ µ ( Ú ) = ( ÷ 1)µ +1 ¶ è

2Ú ¬ × µ × 1 · 2( Ú ) ß (B ß 78)

Corrispondentemente,si possonodefinire le funzioni di Hankel sferiche di prima e disecondaspecie: : (1)¹ ( Ú ) = ñ ¹ ( Ú ) + Ý ¸ ¹ ( Ú ) á: (2)¹ ( Ú ) = ñ ¹ ( Ú ) ÷ Ý ¸ ¹ ( Ú ) ß (B ß 79)

Le funzioni di Besselsferichehannocomportamentoregolarenell’origine,mentrele funzioni di Neumannsferichesonoirregolari. I duetipi di funzionepossonoesseregeneratiesplicitamentericorrendoallaseguenterappresentazione:ñqµ ( Ú ) = ( ÷ 1)

µ Ú µ � ØÚdØfÚ � µ sin ÚÚ á (B ß 80)¸ µ ( Ú ) = ( ÷ 1)µ +1 Ú µ � ØÚdØ�Ú � µ cosÚÚ ß (B ß 81)

NellaTab. 1 sonoriportatele funzionidi Besseledi Neumannsfericheper ´»º 2.

Tab. 1. Funzionidi Besseledi Neumannsferichedi ordine ´¼º 2.ñ 0( Ú ) = sin ÚÚ ¸0( Ú ) = ÷ cosÚÚñ 1( Ú ) = sin ÚÚ 2 ÷ cosÚÚ ¸1( Ú ) = ÷ cosÚÚ 2 ÷ sin ÚÚñ 2( Ú ) = � 3Ú 3 ÷ 1Ú � sin Ú ÷ 3Ú 2 cosÚ ¸2( Ú ) = ÷ � 3Ú 3 ÷ 1Ú � cosÚ ÷ 3Ú 2 sin Ú

585

�Q�� ?��(�DC�"$�FE�,15¦.��0��1�� G¥� )j� �³.��5/4 �Inoltre valgonogli andamentiasintoticiper Ú¾½©¿ ,ñ ¹ ( Ú ) À Ú ¹(2¿ + 1)!! á ¸ ¹ ( Ú ) À (2¿ ÷ 1)!!Ú ¹ +1 á (B ß 82)

eper Ú¾Á©¿ ,ñ ¹ ( Ú ) À 1Ú cos� Ú ÷ è

2( ¿ + 1)� á ¸ ¹ ( Ú ) À 1Ú sin

� Ú ÷ è2

( ¿ + 1)� ß (B ß 83)

586

C. CALCOLO MATRICIALE E OPERATORI QUANTISTICI

Il calcolomatriciale,chevieneutilizzatoin meccanicaquantisticain connessioneconle rappresentazionidegli operatoriassociatialleosservabili fisiche,puo ritenersiunageneralizzazioneagli spazidi Hilbert di unalgoritmogianotonell’usualespazio\ ^ 3. Anche se c’e la necessita di principio di utilizzare uno spazioa infinite di-mensioni,in questaappendicevengonorichiamatele nozionisul calcolomatricialepiu rilevanti ai fini del formalismoquantistico,limitandola trattazionea unospaziovettoriale(o lineare)complessoa ¨ dimensioni,Â V , i cui elementiv sonodefiniti dauna ¨ -pla di numericomplessi( m 1 � m 2 �� m V ) chepossonoessereordinatisecondounoschemaacolonna:

v =

________ m 1m2...m V________ � (C � 1)

I numeri( m 1 � m 2 �� m V ) costituisconole componentidel vettorev suunabasedi ¨versori U e ² W ( É = 1 � 2 ��ÿ¨ ), linearmenteindipendentie mutuamenteortogonali:

v =

VÁ ² =1

m ² e ² � (C � 2)

Anchei versorie ² possonoessererappresentatinello stessoschemaa colonne:

e1 =

________ 10...0

________ � e2 =

________ 01...0

________ � ��³� e V =

________ 00...1

________ � (C � 3)

Si consideriorala trasformazioneindottadall’applicazione

587

�� ÄÃX"M�(5/4ï�j0/4ï0Ä��5�'�)(��5/4ó�w = l v � (C � 4)

chefacorrispondereaognivettorev S Â V ancoraunvettorew S Â V . Qui interessanoapplicazionilineari, l ( s 1v1 + s 2v2) = s 1 l v1 + s 2 l v2 � (C � 5)

con s 1 e s 2 numeri complessi. Allora la (C.4) implica un legamelineare tra lecomponentidi w e v, Å ² =

VÁ u =1

l ² u m u ( É = 1 � 2 ��-¨ ) � (C � 6)

dove gli ¨ 2 numericomplessil ² u possonoessereordinati in unoschemaquadrato,dettomatrice, cherappresental’applicazionel in Â V :l =

________ l 11 l 12 ��Æl 1Vl 21 l 22 ��Æl 2V...

.... . .

...l�V 1 l�V 2 ��Çl�V�V________ � (C � 7)

Si puo in generaledefinirematrice�ÈÊÉ (a ¨ righeea É colonne)unoschemadi numericomplessiformatoda ¨ righee É colonne:Ë

=

________ Ë 11Ë

12 �� Ë1ÌË

21Ë

22 �� Ë2Ì

......

. . ....Ë V 1

Ë V 2 �� Ë V Ì________ � (C � 8)

Se ¨ = É , comenella(C.7), la matricesi dicequadrata. La (C.1) e inveceunesempiodi matriceÍÈ 1.

In tal modola (C.4)puo ancheporsinellaformamatriciale________Å

1

Å2...

Å V________ = ________ l 11 l 12 ��Îl 1Vl 21 l 22 ��Îl 2V

......

. . ....l7V 1 l�V 2 ��l7V�V________ ________ m 1m

2...m V________ � (C � 9)

dove il prodottotra la matrice ¨©È�¨ che rappresental e la matrice ¨©È 1 cherappresentav deve intendersieseguito righeper colonne, in accordoconla (C.6).

Nei prossimiparagrafivengonoricordatele definizioniele proprietadelcalcolomatricialerelativo a matrici connumerofinito di righee colonne;si illustranopoi ilsignificatoe le conseguenzedi un cambiamentodi basenello spazio. Vieneinfinediscussala diagonalizzazionedi unamatrice,chee un’operazionedi fondamentaleimportanzanel formalismoquantistico.

588

Ï )90 ��)(�k� '�h5��3�-4&4ó�Ð��5�'�) ��Ñ ;>=?;ZÒAE¦K NXE/B9¢�D=o �¡£¢�¤6¤�¢aü� ?D>E/BG§�BData la matrice(C.8), se ne definiscela matricecomplessaconiugata,

Ë � ,quellaottenutaprendendonegli elementicomplessiconiugati:

(Ë � ) ² u = (

Ë ² u ) � � (C � 10)

La matricetrasposta,ËÔÓ

, e quellaottenutadaË

scambiandorigheconcolonne:

(Ë Ó

) ² u =Ë u ² � (C � 11)

Combinandolo scambiodi righe e colonne con la complessaconiugazione,sidefiniscela matriceconiugatahermitiana,ËÖÕ

= (Ë Ó

) � = (Ë � ) Ó � (C � 12)

cioe

(Ë Õ

) ² u =Ë �u ² � (C � 13)

Unamatricequadratal checoincidaconla suaconiugatahermitiana,l Õ = l<� (C � 14)

si dicehermitiana. Perunamatricehermitianarisultadunquel ² u = l �u ² � (C � 15)

La moltiplicazionediË

perunnumerocomplessos e ancoraunamatrice×È)É , icui elementisonodati dallarelazione

( s Ë ) ² u = s Ë ² u � (C � 16)

SeduematriciË

e Ø hannolo stessonumerodi righeedi colonne1, si puo definirela loro somma:

(Ë

+ Ø ) ² u =Ë ² u + Ø ² u � (C � 17)

Il prodottotra duematriciË

e Ø si puo definiretutte le volte cheil numeroÉ dicolonnedi

Ëe ugualeal numerodi righedi Ø . In tal casorisulta

(ËÚÙ Ø ) ² u =

ÌÁ Û=1

Ë ² Û Ø Û u � (C � 18)

1 In questocasosi dicetalvolta che Ü e Ý sonosimili.

589

�� ÄÃX"M�(5/4ï�j0/4ï0Ä��5�'�)(��5/4ó�secondola regoladel prodottorighepercolonne.Il suosignificatoconsistenell’ap-plicazionesuccessivadi Ø e

Ë: primasi applicaØ e quindi

Ë.

Nel casodi matriciquadratele (C.16),(C.17)e(C.18)definisconol’algebradelloro insieme,chee in generaleun’algebranoncommutativa, cioel Ù � �= � Ù la� (C � 19)

Invecevalgonosiala proprieta associativa,l Ù ( � Ù Z ) = ( l Ù � )Ù Z�� (C � 20)

siaquelladistributiva,

( l + � )Ù Z = l Ù Z + � Ù Z��Z Ù

( l + � ) = Z Ù l + Z Ù �� (C � 21)

Inoltre il prodotto di due matrici puo annullarsi,senzache per questosi debbanecessariamenteannullareunadelleduematrici.

Si definiscematricesimmetricala matricequadratache coincidecon la suatraspostaechequindi soddisfa la relazionel ² u = l u ² � (C � 22)

Unamatricerealesimmetricaeanchehermitiana.Si puo verificarechela matricetraspostae la matriceconiugatahermitianadel

prodottodi duematrici quadratesi ottengonodallerelazioniseguenti:

( l Ù � )Ó

= � Ó Ù l Ó � (C � 23)

( l Ù � )Õ

= � ÕÐÙ l Õ � (C � 24)

La sommadegli elementidiagonali di una matricequadrataviene chiamatatracciae si indicacol simboloTr :

Tr l =

VÁ ² =1

l ²�² � (C � 25)

E immediatoverificareche la tracciadel prodottodi due matrici e indipendentedall’ordinedei fattori:

Tr ( l Ù � ) =

VÁ²fÞ Û =1

= l ² Û � Û ² = Tr ( � Ù l ) � (C � 26)

Piu in generale,la tracciae invarianteper permutazionicicliche delle matricichecompaiononel prodottosottoil segnodi traccia.Peresempio,

590

Ï )90 ��)(�k� '�h5��3�-4&4ó�Ð��5�'�) ��Tr ( lß�æZ ) = Tr ( �æZÊl ) = Tr ( Z�lK� ) � (C � 27)

Perunamatricequadratasi definisceil determinante, chepuo essereottenutoperesempiosviluppandosecondogli elementidellaprimariga:

det l =

VÁ u =1

l 1u ˜l 1u � (C � 28)

dove ˜l 1 u e il complementoalgebricodell’elementol 1 u , cioe il minore di l consegno,chesi ottieneprendendoil determinantedellamatrice,in cui si sonosoppressela primariga e la y -esimacolonnadellamatricel , e pesandocol fattore( � 1)1+u . Ildeterminantedelprodottodi duematriciquadratee il prodottodeideterminantidelleduematrici:

det(l Ù � ) = det l Ù det �� (C � 29)

Inoltre

det l Ó = det la� (C � 30)

Unamatricesi dicediagonalesepossiedediversidazerosologli elementipostisulladiagonaleprincipale: l =

________ s 1 0 �� 00 s 2 �� 0...

..... .

...0 0 ��%s�V

________ � (C � 31)

Essaverifica ¨ relazionidel tipo l e ² = s ² e ² � (C � 32)

dovegli e ² sonoi versoridi basedefiniti nella(C.3).La matrice

11 =

________ 1 0 �� 00 1 �� 0...

..... .

...0 0 �� 1

________ (C � 33)

e la matriceidentita, conelementidati dalladeltadi Kronecker:

(11)² u =� ² u � (C � 34)

La matriceidentita e a determinanteunitario,

591

�� ÄÃX"M�(5/4ï�j0/4ï0Ä��5�'�)(��5/4ó�det11 = 1 � (C � 35)

e a tracciapari al numero dellesuerighe(o dellesuecolonne),

Tr 11 = ¨æ� (C � 36)

Inoltre essaverificala relazione

11Ù l = l Ù 11 � PSla� (C � 37)

e quindi commutaconogni matricesimile.Dataunamatricequadratal condet l«�= 0, esisteunamatrice � talechesia�¾l = lK� = 11 �

Allora la matrice� hal’effettodi annullarel’applicazionedi l equindi e la matriceinversadi l : � = l � 1 �Dunque l � 1 l = lÄl � 1 = 11 � (C � 38)

La matriceinversarisultadefinitadai suoielementi:

( l � 1) ² u =˜l u ²

det l � (C � 39)

La (C.39)si dimostrarisolvendola (C.4)rispettoa v conla regoladi Cramer.La (C.39)indicainoltrechela condizionedet l«�= 0 econdizionenecessariaper

l’esistenzadellamatriceinversal � 1. Dalla condizione

det( lÄl � 1) = det l det l � 1 = 1

segue

det l � 1 = (det l )� 1 � (C � 40)Ñ ;k��; Ñ ?üTF/BG �üT¢/L$D9K�¡?B#F¦ �C�¢

Lo spazio Â V e strutturatoa spaziodi Hilbert introducendola definizionediprodottoscalare.Indicatocon

{w p v | il prodottoscalaretraduevettoriv � w S Â V , esso

godedelleseguentiproprieta:

592

ÃX5 �A*-�+5 �o� �1'60 ��*j5�%��1)

{w p s 1v1 + s 2v2 | = s 1

{w p v1 | + s 2

{w p v2 | , con s 1 e s 2 numericomplessi,

2)

{w p v | =

{v p w | � ,

3)

{v p v |Y~ 0 , conil segnodi ugualechevalesee solosev } 0.

Coerentementecon questeproprieta e con la regola del prodotto righe percolonne,si puo utilizzarela seguentenotazionematricialeperesprimereil prodottoscalare: {

w p v | = p Å �1 � Å �2 � ��³� Å �V p Ù ________ m 1m2...m V________

=

VÁ ² =1

Å �² m ² � (C � 41)

Allora gli elementil ² u dellamatricel datadalla(C.7)si possonovisualizzarecomeil prodottoscalaretra il vettoreottenutodall’applicazionedi l al versoree u e ilversoree ² , l ² u =

{e ² p l e u |R� (C � 42)

oppurecomeil prodottoscalaretrail versoree u eil vettoreottenutodall’applicazionedellaconiugatahermitianadi l al versoree ² ,l ² u =

{ l Õ e ² p e u |R� (C � 43)

Similmentea quantoavvienein \ ^ 3 si puo eseguireun cambiamentodi baseinÂ V , sviluppandoi versoridellanuovabasesullavecchia:

eÆ² =

VÁ u =1

[ u ² e u � (C � 44)

Perl’ortogonalita dei versoridi baseU e u W ,{e u p e ² | =

� ² u � (C � 45)

i coefficienti [ u ² dellosviluppo(C.44)si possonoricavarefacendoil prodottoscalarecone u : [ u ² =

{e u p e Æ² |R� (C � 46)

Percio i coefficienti [ u ² sonola generalizzazionea Â V dei cosenidirettori dei nuoviversoririspettoai vecchiin \ ^ 3. Siccomenecessariamentela nuovabasehala stessadimensionalita della vecchia,i coefficienti [ u ² definisconouna matricequadrata¨×Èm¨ , [ . D’altra parte,perl’ortogonalita dei versoridi baseU e

Æ² W , si ha

593

�� ÄÃX"M�(5/4ï�j0/4ï0Ä��5�'�)(��5/4ó�� Û ² =

{eÆÛ p e Æ² | =

VÁ u =1

{eÆÛ p e u |�[ u ²

=

VÁ u =1

[ �u Û [ u ² �cioe VÁ u =1

( [ Õ )Û u [ u ² =� Û ² � (C � 47)

o, in notazionematriciale, [ Õ [ = 11 � (C � 48)

Anchei vecchiversoripossonoesseresviluppatisullabasedeinuovi:

e ² =

VÁ u =1

[ Æu ² e Æ u � (C � 49)

dove,perl’ortogonalita dei versori U eÆ u W , i coefficienti [ Æu ² sono[ Æu ² =

{eÆ u p e ² | = [<�² u � (C � 50)

cioe [ Æ= [ Õ � (C � 51)

D’altra parte,perl’ortogonalita dei versoridi baseU e ² W , si ha� Û ² =

{eÛ p e ² | =

VÁ u =1

{eÛ p e Æ u |�[ Æu ²

=

VÁ u =1

[ Æ �u Û [ Æu ²=

VÁ u =1

[ Û u [ �² u �cioe VÁ u =1

[ Û u ( [ Õ ) u ² =� Û ² � (C � 52)

o, in notazionematriciale,

594

ÃX5 �A*-�+5 �o� �1'60 ��*j5�%��[à[ Õ = 11 � (C � 53)

Unamatricechegodesimultaneamentedelleproprieta(C.48)e(C.53)vienedettama-triceunitaria. Datochela trasformazioneindottadalla [ Æ

nella(C.49)epalesementel’inversadellatrasformazione[ indottanella(C.44),[ Æ

= [ � 1 �la trasformazioneunitariae definitadallacondizione[ Õ = [ � 1 � (C � 54)

chegarantiscesimultaneamentela (C.48)e la (C.53).Unamatriceunitariahaautovalori di modulouno. Infatti, se [ e unamatrice

unitaria,si ha VÁ u =1

[ Õ² u [ u Û =� ² Û

e,nellarappresentazionein cui [ ediagonale( [ ² Û = � ² � ² Û , [ Õ² Û = � �² � ² Û ), deveessereVÁ u =1

� �² � ² u � Û � u Û = � �² � Û � ² Û �cioe � �² � ² = 1 equindi � ² = ±³² r Ã � (C � 55)

Ogni vettorev S Â V puo essereespressougualmentebenesullavecchiae sullanuovabase:

v =

VÁ u =1

m u e u =

VÁ ² =1

m Æ² e Æ² � (C � 56)

Le nuovee le vecchiecomponentisonolegatedallerelazionim u =

VÁ ² =1

[ u ² m Æ² � m Æ² =

VÁ u =1

[ Õ² u m u � (C � 57)

chederivanodalla(C.44)edalla(C.49).Allora gli elementidi unamatrice l , definiti nella (C.42) in dipendenzadalla

basescelta, sotto l’azione di un cambiamentodi basesi trasformanonel modoseguente:

595

�� ÄÃX"M�(5/4ï�j0/4ï0Ä��5�'�)(��5/4ó�l Æ² u =

{eÆ² p l e

Æ u | = á VÁ â=1

[ â ² e â ___ l VÁ â � =1

[ â � u eâ �Mã

=

VÁâ Þ â � =1

[ �â ² { e â p l eâ � |�[ â � u

=

VÁâ Þ â � =1

[ �â ² l âäâ � [ â � u �Percio la matrice l si trasformapertrasformazioniunitariesecondola relazionel Æ

= [ � 1 lå[#� (C � 58)

Se l e unamatricehermitiana,anchel Ælo e:l Æ Õ

= ( [ � 1 l�[ )Õ

= [ Õ l�[ = l Æ �Il prodottoscalaretraduevettoriv � w S Â V risultaindipendentedallabasescelta:{

w p v | =

VÁ u =1

Å Æ �u m Æu=

VÁ u =1

� VÁ â=1

[ Õu â Å â � � VÁ â � =1

[ Õu â � m â �=

VÁ â=1

VÁ â � =1

Å �â m â � � âæâ �=

VÁ â=1

Å �â m â �Ancheil determinantee la tracciadi unamatrice l sonoinvariantiper trasfor-

mazioniunitarie:

Tr l Æ= Tr ( [ � 1 lå[ )

= Tr ( [à[ � 1 l ) = Tr la�det l Æ

= det([ � 1 lå[ )

= det [ � 1 Ù det l Ù det [ = det la�596

8¥��5�T�0��?5/4 �ó.j.ÿ5¦.��0��J�A��,f�?5W��5�'�) ��(�Ñ ;kø�;�@<B> �PJK�LX �¤&B+IRI3 fI�B>K?LX¢ ¡�BvHdL$ �ü� JD>E/B>§�¢Il problemadi diagonalizzareunamatriceintervienein meccanicaquantistica

in occasionedel problemadella risoluzionedell’equazioneagli autovalori di unoperatore, l u = s u � (C � 59)

in cui l’applicazionedell’operatore,rappresentatodalla matrice l , al vettoreu lotrasformanello stessovettoremoltiplicato per il numero s ; il vettore u e dettoautovettore di l appartenenteall’autovalore s . In Â V l’equazione(C.59)si traducenel sistemadi ¨ equazionialgebriche,VÁ u =1

l ² u ; u = s ; ² � (C � 60)

lineari nelle incognite ; ² che rappresentanole componentidi u secondoi versoridellabasescelta.

Condizionenecessariaesufficienteperche il sistema(C.60)siarisolubilee chesia

det(l �]s 11) = 0 � (C � 61)

Cio equivalea imporre________ l 11 �us l 12 �� l 1Vl 21 l 22 �]s �� l 2V...

.... . .

...l7V 1 l7V 2 ��çl�V�Væ�]s________ = 0 � (C � 62)

La (C.62) e chiamataequazionesecolare. Essacostituisceun’equazionedi grado¨ nell’incognita s cheammette soluzioninel campodei numericomplessi. Incorrispondenzadi ciascunasoluziones ² ( É = 1 � 2 ��f�-¨ ) si trova la soluzioneperle incognite ; ² nel sistema(C.60); con questoprocedimento,la determinazionesuccessivadi tutti gli ¨ autovettori risolvecosı il problema(C.59).

Il metodoalgebricosuespostoequellochein praticasi segue,maeancheutilericonoscerechela risoluzionedelproblemaagli autovalori e in realta riconducibileaquellodi uncambiamentodi base.E ovvio chesela matricel fossegiadiagonaleinpartenza,perla (C.31)e la (C.32)il problemasarebberisolto: gli elementidiagonalidi l sonogli autovalori e i versoridella basesu cui e costruitala matrice l sonoi suoi autovettori. In generale,per risolvere la (C.59) occorreinveceoperareuncambiamentodi baseper trovarequellasucui la matrice l risultadiagonale.Dataallora la matrice l sulla baseU e ² W , si trattadi trovarela trasformazioneunitaria [cheperla (C.44)produceunanuovabaseU e

Æ² W sucui la matricetrasformatal Æ= [ � 1 lå[ (C � 63)

597

�� ÄÃX"M�(5/4ï�j0/4ï0Ä��5�'�)(��5/4ó�siadiagonale,cioe

( [ � 1 lå[ ) ² u = s ² � ² u � (C � 64)

Esplicitandole sommenella (C.64),moltiplicandoamboi membriper [ â ² e som-mandosu É , si ottieneVÁ ² =1

VÁÛ Þ Û � =1

[ â ² ( [ � 1) ² Û l ÛèÛ � [ Û � u =

VÁ ² =1

s ² [ â ² � ² u �Perl’unitarieta dellamatrice [ si puo scrivereVÁÛ Þ Û � =1

� â Û l ÛèÛ � [ Û � u = s u [ â u �dacui VÁÛ � =1

l â Û � [ Û � u = s u [ â u �cioe VÁ Û

=1 é l â Û �]s u � â Ûgê [ Û u = 0 � (C � 65)

Anchela (C.65)costituisceunsistemadi ¨ equazionialgebriche,chesi puo identifi-careconla (C.60). La condizionedi solubilita del sistema(C.65)e dunquela stessaequazionesecolare(C.62)chevaleperla (C.60). Orapero,perognivaloredell’indicey in corrispondenzadell’autovalore s u , le incognitesonoi coefficienti [ Û u , cioe glielementidella y -esimacolonnadella matriceunitaria [ , chedeterminala trasfor-mazionedi baseper ottenerel in forma diagonale.Essidunquerappresentanolecomponenti; u Þ Û } (u u )

Ûdell’autovettoreu u sullabasedi partenza:[ Û u = ; u Þ Û � (C � 66)

cioe [ =

________ (u1)1 �� (u u )1 �� (u V )1

(u1)2 �� (u u )2 �� (u V )2...

......

. . ....

(u1) V �� (u u ) V �� (u V ) V________ � (C � 67)

Questorisultato e in accordocol seguenteteorema: condizionenecessariaesufficiente perche una matrice [ sia unitaria e che gli elementidi matricedelle

598

8¥��5�T�0��?5/4 �ó.j.ÿ5¦.��0��J�A��,f�?5W��5�'�) ��(�colonne(o dellerighe)di [ sianole componentidi un sistemadi versoriortogonaliU u ² W ( É = 1 � 2 ��³�-¨ ). Infatti dalla(C.66)edalla(C.48)segue{

u ² p u u | =� ² u � (C � 68)

Similmente,postoora [ ² â = ; ²FÞ â , dalla(C.53)segueancorala (C.68).Questoteoremae d’altra parteintuitivo sesi pensachegli elementidi matrice [ ² u coincidonoconle componentidei trasformatidei versoridi base,i quali sonoortogonali,e chelerelazionidi ortogonalita e di normalizzazione,connessecol prodottoscalare,sonopreservatedaunatrasformazioneunitaria.

Conalcunecautelele considerazionisvolte in questaappendicepossonoessereestesea spazidi Hilbert ë conunnumeroinfinito di dimensioni.Se ë e separabile,percui esisteunabaseortonormalenumerabile,bastasostituirela basecostituitadaun numerofinito di versoricon unaa numeroinfinito. Di conseguenza,in tutte lerelazionidate,le sommatoriedi numericomplessio di vettori vannosostituitecondelle serie. Non esistonoproblemi di convergenzase le matrici infinite risultanoassociateaoperatorilimitati, cioeaoperatoriperi qualiesisteun s w 0, indipendenteda � S ë , talechesia p+p l �vp+pM¿ s?p+pq�vp+p , PQ� S ë .

Nel casodelladiagonalizzazionedi unamatrice,si haachefareconunsistemadi infiniteequazioniin infinite incognite:percio l’equazionesecolarenonepiu utiliz-zabiledirettamentein problemidi naturaapplicativaesi devericorrerein generaleametodidi approssimazionechepermettanoil troncamentoaunsistemadi unnumerofinito di equazioni.

599

�Q�� ?��(�#8~"wÃ$0�%('65��1'��kìM%(��j1�Tab. D.1. Costantifisiche í .

Quantita Simbolo Valore

velocita dellalucenelvuoto î 2 ï 99792458 ð 108 m s× 1

costantedi Planck ñ 6 ï 6260755(40) ð 10× 34 J scostantedi Planckridotta -ñZòóñkô 2õ 1 ï 05457266(63) ð 10

× 34 Js(accatagliata) = 6 ï 5821220(20) ð 10× 22 MeV s

modulodellacarica ö 1 ï 60217733(49) ð 10× 19 C

dell’elettrone = 4 ï 8032068(15) ð 10× 10 ues

costantedi conversione -ñzî 197ï 327053(59)MeV fm

unita di massaatomica (massaatomoC12) ô 12 1 ï 6605402(10) ð 10× 27 kg

(uma) = 931ï 49432(28)MeV/ î 2massadell’elettrone ÷åø 9 ï 1093897(54) ð 10

× 31 kg= 0 ï 51099906(15)MeV/ î 2

massadel protone ÷Kù 1 ï 6726231(10) ð 10× 27 kg= 938ï 27231(28)MeV/ î 2= 1 ï 007276470(12)uma= 1836ï 152701(37)÷ ø

costantedi strutturafine ú = ( ö 2 ô 4õ=û 0-ñ6î ) ügý 1ô 137ï 0359895(61)= ( ö 2 ô -ñzî ) þtÿ��

lunghezzad’ondaComptonperl’elettrone -� ø = -ñkô8÷åøxî 3 ï 86159323(35) ð 10× 13 m

raggiodi Bohr � = (4õ�û 0-ñ 2 ô8÷ ø ö 2) ü¢ý 0 ï 529177249(24) ð 10× 10 m

= (-ñ 2 ô8÷åøMö 2) þtÿ��costantedi Rydberg Ö 10973731ï 571(4)m

× 1

energia di Rydberg ñ6î Ö 13ï 60569820(81)eVmagnetonedi Bohr � � = ( ö -ñ4ô 2÷ ø ) ü¢ý 5 ï 78838263(52) ð 10

× 11 MeV T× 1

= ( ö -ñkô 2÷�øèî ) þÿ��magnetonenucleare � � = ( ÷åø�ô8÷Kù ) � � 3 ï 15245166(28) ð 10

× 14 MeV T× 1

costantedi gravitazione � 6 ï 67259(85) ð 10× 11 m3 kg × 1 s× 2

accelerazionedi gravitaa livello delmare � 9 ï 80665m s

× 2

numerodi Avogadro Ý 6 ï 0221367(36) ð 1023 mol× 1

costantedi Boltzmann � 1 ï 3806513(25) ð 10× 23 J K × 1

= 8 ï 617344(15) ð 10× 5 eV K

× 1

costantedi Wien � =��

2 ï 8977694(49) ð 10× 3 m K

costantedi Stephan � = 8õ 5 � 4 ô 15î 3 ñ 3 7 ï 56591(26) ð 10× 16 J m × 3 K × 4õ = 3 ï 141592653589793238

1 eV = 1 ï 60217733(49) ð 10× 19 J� 1 MeV/ î 2 = 1 ï 78266270(54) ð 10

× 30 kgí Dati ripresidallaraccoltadi Particle DataGroup: Review of Particle Properties, PhysicsLettersB239 (1990)1–516.I numerientroparentesidopoi valori fornisconol’incertezzadi unadeviazionestandardnelleultimecifre.

601

�Q�� ?��(�~8~"��2��4ï5¦.-�+0��1�Q��4ó� '�'�)90 ��5�T��J� '��j1�Tab. D.2. Relazionielettromagnetiche.

SistemaInternazionale Sistemacgsdi Gauss

unitadi carica 1 C = 1 A s = 2 ï 99792458 ð 109 uescaricadell’elettrone 1 ï 60217733(49) ð 10

× 19 C = 4 ï 8032068(15) ð 10× 10 ues

unitadi campomagnetico 1 T = 104 gauss

forzadi Lorentz F = � (E + v ð B) F = � (E + 1� v ð B)

� ��D = � ��

D = 4õ! � ��

B = 0� ��

B = 0equazionidi Maxwell � �� ð E = "$# B

# " � �� ð E = " 1� # B

# "� �� ð H = j + # D

# " � �� ð H = 4 %� j + 1� # D

# "nelmezzo D = û E � B = � H D = û E � B = � H

nelvuoto û = û 0 �&� = � 0 û = 1 �&� = 1

E = " � ��(' ")# A

# " E = " � ��(' " 1� # A

# "campiB =

� �� ð A B =� �� ð A

trasformazionirelativistiche E ö * = E * E ö * = E *

(v e la velocita del E ö + = , (E + + v ð B) E ö + = , (E + + 1� v ð B)sistemaprimatorispettoal sistemanonprimato) B ö * = B * B ö * = B *

B ö + = , (B + " 1�2 v ð E) B ö + = , (B + " 1� v ð E)û 0 � 0 = î × 2 �-� 0 = 4õ¾ð 10

× 7 N A× 2

permettivita elettrica û 0 = 8 ï 854187817 ïxïMïzð 10× 12 F m

× 1

permeabilita magnetica � 0 = 12ï 566370614 ïèïMïgð 10× 7 N A × 2

603

INDICE ANALITICO

Aaccatagliata:122accoppiamento,

di Russell–Saunderso .0/ : 413ñ�ñ : 414Aharonov–Bohm,effetto : 357,359ampiezza,

di diffusione:496,503di probabilita: 140,312di transizione:542

anticommutatore:363approssimazione,

di Born: 506di dipolo elettrico:476di grandilunghezzed’onda:475WKB: 220

Argand,graficodi: 524armoniadi fase,teoremadella: 120armonichesferiche:169atomo,

di Bohr: 95di elio: 422idrogenoide:239

BBalmer, formuladi: 94barrieradi potenzialesimmetrica:216Bartlett,

forzadi: 442

operatoredi: 440Bessel,

equazionedi: 233,584funzioni di: 233,584

bilanciodettagliato:554Bohr,

atomodi: 95magnetonedi: 361raggiodi: 242

Bohr–Sommerfeld,regoledi quantizzazionedi: 97,123

Born,approssimazionedi: 506Bose–Einstein,statisticadi: 401bosoni:401Breit–Wigner,

formuladi: 516graficodi Argandperrisonanzadi: 525

Brillouin, teoremadi: 431Brillouin–Wigner, sviluppodi: 349bucadi potenzialerettangolare:222

Ccalori specifici: 24,38,87cambiamentodi base:592camminoottico: 112caricaefficace:484casipuri ecasimiscela:319catenalinearearmonica,392

modi normalidi vibrazione:394

605

1 �?��(� 5��?5/4 �i'��j0chiusura,proprieta di: 164Clebsch–Gordan,coefficienti di: 377coefficiente,

di riflessione:214di trasmissione:214

commutabilita ecompatibilita: 203commutatore:158completezza,relazionedi: 163,259composizionedi duemomentiangolari:375Compton,

effetto: 91lunghezzad’onda:93

coniugatohermitiano:154contrazionedellelunghezze:70corponero:76Coulomb,gaugedi: 50

Ddalembertiano:51Davisson–Germer, esperimentodi: 136deBroglie, lunghezzad’ondadi: 123Debye,temperaturadi: 88densita degli statifinali: 467descrizione,

di Diraco di interazione:308di Heisenberg: 305di Schrodinger:296

descrizioni:296diagonalizzazionedi unamatrice:597dilatazionedei tempi: 71dipolo elettrico,

approssimazionedi: 476operatoredi: 476regoladi sommaTRK: 483

dipolo magnetico,operatoredi: 479Dirac,

deltadi: 555descrizionedi: 308formulazionedi: 252proprieta delladeltadi: 559

distribuzionedi Maxwell–Boltzmann:40distribuzioni: 555DulongePetit,regoladi: 40,88Dyson,sviluppodi: 312

Eeffetto,

Aharonov–Bohm: 357,359Compton:91fotoelettrico:90,549ombra:526Stark:104tunnel: 220Zeeman:103,360,362

Ehrenfest,teoremadi: 141elettronein campomagnetico:353,360elettronidi valenza:434elicita,

dell’elettrone:369operatoridi: 369

emissionespontanea:485energia,

a riposo:75di puntozero:228di Rydberg: 242di separazione:430

equazione,agli autovalori: 162dell’iconale: 113determinante:574di continuita,

in elettrodinamica:46perl’eq. di Schrodinger:128,133perl’eq. di Klein–Gordon:125

di Hamilton–Jacobi:19di Liouville: 33di Liouville–von Neumann:325di Schrodinger:124,127,128,149,178

degli statistazionari:178interpretazionedellesoluzioni: 136limite classico:131persistemidi molteparticelle:397soluzionefondamentale:300soluzionegenerale:178

di stato:23,26fondamentaledellatermodinamica:27ipergeometricaconfluente:583ipergeometrica:580secolare:597

equazioni,

606

1 �?��(� 5��?5/4 �i'��j0di Hamilton: 7di Lagrange:5di Maxwell: 44,45di stato:23,26

equazionidelmoto,formulazionehamiltoniana:7formulazionelagrangiana:5

Eulero,angolidi: 282evoluzionetemporale,

di unostatodi spin: 368operatoredi,

descrizionedi interazione:309sviluppodi Dyson:312descrizionedi Schrodinger:297

FFermi,

gasdi: 403livello di: 403sferadi: 404

Fermi–Dirac,statisticadi: 401fermioni: 401Feynman,formulazionedi: 312flussoergodico:35fluttuazionid’energia: 41,85Fock,spaziodi: 405fononi: 394forzeaduecorpi: 395Fourier, trasformatedi: 564FranckeHertz,esperimentodi: 96funzione,

di Green:301,498di partizione:36

funzioni,aquadratosommabile:129localmenteintegrabili: 130

GGalileo,trasformazionedi: 68gas,

di bosoni:408di fermioni: 408perfettoquantistico:407

gauge,

di Coulomb:50di Lorentz:50invarianzadi: 353,356

generatore,dellerotazioniintornoaun asse:286di unatrasformazione,

canonica:17unitariainfinitesimale:279

Glauber, statidi: 270Green,funzionedi: 301,498

HHamilton,principio di: 5Hankel, funzioni di: 584Hartree,

bontadelmetododi: 420equazionidi: 418metododi: 416potenzialedi: 418

Hartree–Fock,equazionidi: 426metododi: 425

Heisenberg,descrizionedi: 305forzadi: 442operatoredi: 440

Hermite,polinomi di: 227Hilbert,

spaziodi: 153separabile:163

Hund,regoladi: 425,434Huyghens,principiodi: 111

Iiconale,equazionedella: 113identitadi Jacobi:8insiemecompletodi operatori

checommutano:205insiememicrocanonico:35insiemicanonici:37integralecoulombiano:423integraledi scambio:424interazione,

residua:398

607

1 �?��(� 5��?5/4 �i'��j0spin–orbita:381

interferenzadi probabilita: 140invarianteadiabatico:13invarianzadi gauge,

in meccanicaquantistica:353invarianzapertrasformazionidi fase:356inversionetemporale,131,292

operatoredi: 292,553in presenzadi spin: 371

ipergeometricaconfluente,v. equazioneipergeometricaconfluente

ipergeometrica,v. equazioneipergeometrica

isospin:437

JJacobi,identitadi,

classica:8pergli operatoriquantistici:160

KKlein–Gordon,

equazionedi: 125equazionedi continuita: 125

Koopmans,teoremadi: 430

LLaguerre,polinomidi: 239,584Lambshift: 385Laplace–Runge–Lenz,vettoredi: 11,158,

161laplaciano:50Larmor, frequenzadi: 361laser, funzionamentoschematico:488legameionico: 434Legendre,polinomi di: 170leggedellospostamento:77Levinson,teoremadi: 520limite classico,

dell’equazionedi Schrodinger:v. equazionedi Schrodinger

Liouville,equazionequantisticadi: 325teoremidi: 33–34

Liouville–von Neumann,equazionedi: 325Lippmann–Schwinger, equazionedi: 504Lorentz,

trasformazionidi: 69gaugedi: 50

lorentziana:516lunghezzad’onda,

Compton:93di deBroglie: 123

MMajorana,

forzadi: 442operatoredi: 440

massaa riposo:75matricedensita: 323matrice / , v. scattering,matricedimatrice2 , v. transizione,matricedimatrici: 587

meccanicadellematrici: 207proprieta delle: 589unitarie: 276,595

Maupertuis,principiodi: 21Maxwell–Boltzmann,distribuzionedi: 40Maxwell, equazionidi: 44,45meccanicadellematrici: v. matricimetodovariazionale:330modelloashell,

atomico:432nucleare:444

Møller,operatoredi: 535operatoridi, unitari asinistra:537

momentoangolare,nellaformulazionedi Dirac: 261

momentotrasferito:506Mott, formuladi: 529

NNeumann,funzioni di: 234,584nucleoni:437numerimagici,

atomici: 432nucleari:446

608

1 �?��(� 5��?5/4 �i'��j0Oondeparziali:

v. sviluppoin ondeparzialioperatore,

aggiunto:154antilineare:292antiunitario:293autoaggiunto:155densita: 323

perparticelleaspin 12 : 372

di parita: 170di proiezione:256di transizione:542essenzialmenteautoaggiunto:155hermitiano:154,155numero:267simmetrico:155

operatori,di creazioneedi distruzione:266di scambio:440lineari: 154tensorialiirriducibili: 290unitari: 279

ortoelio: 425oscillatorearmonicolineare:225

teoriamatriciale:264oscillatorearmonicotridimensionale:234osservazioniripetute:186

Ppacchettodi minimaindeterminazione:195pacchettodi onde:53,124paraelio:425parametro,

di anelasticita: 522d’impatto: 513d’urto: 513

parentesidi Poisson:8particelleidentiche,

indistinguibilita quantistica:396,399statisimmetricieantisimmetrici:401

particelleindipendenti:398Pauli,

equazionedi: 368matrici di: 367principio di: 402

estatidi dueparticelle:416perturbazioni,

dipendentidal tempo:451,458indipendentidal tempo:337

casodegenere:345condizionedi applicabilita: 340

Planck,costantedi: 82formuladi: 81

Poisson,distribuzionedi: 86equazionedi: 51integraledi: 40,196,197parentesidi: 8

polarizzazione,versoredi: 373polinomi,

di Hermite: 227di Laguerre:239,584di Legendre:170

postulatielementari,dellameccanicaquantistica:208

potenziale,medio:418quantistico:135termodinamico:29

precessionedi spin: 371pressionedi radiazione:47principio,

adiabatico:98d’inerzia: 68di combinazionedellelineespettrali:94di complementarita: 123di corrispondenza,103,106

perl’oscillatorearmonicolineare:230

di esclusione:402di indeterminazione:188di minimaazione,

di Hamilton: 5di Maupertuis:21

609

1 �?��(� 5��?5/4 �i'��j0di relativita: 68di sovrapposizionelineare:53variazionaledi Hamilton: 5

probabilita di transizione:v. transizione,probabilitadi

problemaaduecorpi: 389problemaamolti corpi: 397prodottoscalare:153profilo lorentziano:181propagatore,

formuladi Feynman:317ritardato:300perl’equazionedi Schrodinger:299perla particellalibera: 302

Qquadrupoloelettrico,operatoredi: 479quantizzazionecanonica:295quantod’energia: 84

Rradiazioneelettromagnetica:46raggiodi Bohr: 242Ramsauer, effetto: 519rapportogiromagnetico:361

di spin: 362rappresentazione,

degli impulsi: 260delleposizioni: 259di Schrodinger:259di un operatore:255

rappresentazioniequivalenti: 145,277Rayleigh–Ritz,metodovariazionaledi: 330Rayleigh–Schrodinger, sviluppodi: 339Rayleigh–Jeans,formuladi: 79regolad’oro: 467regoladi DulongePetit: 40,88regoladi somma,

perl’energia: 428TRK: 483

regoledi selezione:471relazionedi indeterminazione,

perenergia e tempo:200riduzionedelpacchettodi onde:185

rotazione,operatoridi: 282rotazioni,

nellospaziodi Hilbert: 284nellospazioordinario: 282

Russell–Saunders,accoppiamentodi: 415Rutherford,formuladi: 509Rydberg, energia di: 242

Ssaltodi potenziale:211scattering,

ampiezzadi: v. ampiezzadidiffusione

matricedi: 539unitaria: 539

Schrodinger,descrizionedi: 296equazionedi: v. equazionedi

Schrodingerserieipergeometrica:580sezioned’urto: 494,544

differenziale:493e teoremaottico: 545formuladi Mott: 529formuladi Rutherford:509in approssimazionedi Born: 508totale:493

sfasamenti,determinazione:513simboli a3-ñ : 380singolaritaessenziale:570singolarita fuchsiana:569singoletto,

pari: 416sezioned’urto di: 530statodi: 412

sistemaaduelivelli: 452sistemiintegrabili: 16Slater, determinantedi: 402sostituzioneminimale:57,355spaziodellefasi: 31spaziodi Hilbert,

v. Hilbert, spaziodispin: 351

610

1 �?��(� 5��?5/4 �i'��j0spinisotopico:437spinori: 365Stark,effetto: 104staticoerenti:269

lucelasere lucetermica:273statidi particella–lacuna:404,429statistazionariemodellodi Bohr: 95statoquasi-stazionario:183statostazionario:180Stefan,leggedi: 77SterneGerlach,esperimentodi: 99sviluppo,

di Brillouin–Wigner: 349di Dyson:314in ondeparziali: 510

perl’onda piana:234,510di Rayleigh–Schrodinger:339

Ttempodi vita medio:183teorema,

del viriale: 208di Brillouin: 430di Ehrenfest:141di equipartizionedell’energia: 39di Levinson: 520di reciprocita: 554di Wigner–Eckart:468ottico: 527,545

teoremidi Liouville: 33–34termodinamica,

primo principio: 23principiozeresimo:23secondoprincipio: 25

Thomas–Fermi,equazionedi: 405Thomas–Reiche–Kuhn,

regoladi sommadi: 483transizione,

matricedi: 541proprieta di simmetria:553probabilita di: 461

transizionimultipolari: 481trasformazioneidentita: 16

trasformazionicanoniche:11funzioni generatrici:14infinitesimali: 17

trasformazionidi gauge,di primaspecie:354di secondaspecie:354in elettrodinamica:49

trasformazionireversibili: 25trasformazioniunitarie:275

ediagonalizzazionedi matrici: 278infinitesimali: 279

tripletto,dispari: 416sezioned’urto di: 530statodi: 412

Uurtoelastico:495

Vvaloredi aspettazionedi un operatore:206valoremediodi un operatore:142,206variabili angolari:16variabili d’azione:16velocitadi fase:54velocitadi gruppo:54vettoredi Laplace–Runge–Lenz:11

WWentzel–Kramers–Brillouin,

approssimazioneWKB: 220Wien,

formuladi: 81leggedi: 77

Wigner, forzadi: 442Wigner–Eckart,teoremadi: 468

YYukawa,potenzialedi: 439

ZZeeman,

effetto: 103,360effetto anomalo:362

611

(E-Book Fisica) Boffi - Un'introduzione Alla Meccanica Quantistica E Alle Sue Applicazioni

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