dr. Armando Careri Equazioni e disequazioni algebriche · Universit a della Calabria Facolta di...

Universita della Calabria

Facolta di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali

dr. Armando Careri

Equazioni e disequazionialgebriche

Una raccolta di esercizi

dr. Armando Careri: Equazioni e disequazioni algebriche, Unaraccolta di esercizi. Novembre 2009

Sito web:http://www.mathematicsempire.com

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Il codice digitale del testo ed i grafici relativi sono stati progettatidall’autore attraverso i software open-source LATEX 2ε e Inkscape.

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“ . . . And you will come to find that we are all one mindand capable of all that’s imagined and inconceivable . . . ”

- James Maynard

Ringraziamenti

Per aver contribuito all’arricchimento dei contenuti di questo lavo-ro, ringrazio i docenti dei corsi di matematica del potenziamento2009/2010 della Facolta di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturalidell’Universita della Calabria ed i tutor/assistenti matematici che vihanno collaborato. Fra i docenti di cui prima, desidero ringraziarein particolar modo la gentilissima dr.ssa Rosanna Caira per i suoipreziosi consigli e per il materiale fornitomi da cui ho parzialmentepreso spunto ed il dr. Francesco Dell’Accio, la cui conoscenza profes-sionale, mi ha arricchito con nuove straordinarie idee d’insegnamentodella matematica.Un dovuto ringraziamento va anche a Patrizia Genova, per aver datoun contributo alla stesura materiale di questo lavoro nonche alla sceltadelle soluzioni grafiche piu appropriate.

Indice

1 Algebra di primo grado 11.1 Equazioni di primo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Equazioni numeriche e letterali, intere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Equazioni numeriche e letterali, fratte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.3 Sistemi di equazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Disequazioni di primo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.1 Disequazioni numeriche intere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.2 Disequazioni letterali intere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.3 Disequazioni numeriche fratte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.4 Sistemi di disequazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Problemi di primo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.1 Problemi di algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.2 Problemi di geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Algebra di secondo grado 172.1 Equazioni di secondo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.1 Equazioni numeriche intere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.2 Equazioni numeriche fratte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.3 Applicazioni sul discriminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.1.4 Relazioni fra soluzioni e coefficenti di una equazione di secondo grado . . . . . . . . . . . 18

2.2 Disequazioni di secondo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.1 Disequazioni numeriche intere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.2 Disequazioni letterali intere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.3 Disequazioni numeriche fratte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3 Problemi di secondo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3.1 Problemi di algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3.2 Problemi di geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Algebra di grado superiore al secondo 253.1 Equazioni di grado superiore al secondo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.1 Equazioni numeriche scomponibili, intere e fratte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2 Disequazioni di grado superiore al secondo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2.1 Disequazioni numeriche scomponibili, intere e fratte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4 Equazioni e disequazioni riconducibili a quelle algebriche 294.1 Equazioni e disequazioni con il valore assoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.1.1 Equazioni numeriche, intere e fratte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.1.2 Disequazioni numeriche, intere e fratte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2 Equazioni e disequazioni irrazionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.2.1 Equazioni numeriche, intere e fratte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.2.2 Disequazioni numeriche, intere e fratte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33



1Algebra di primo grado

1.1 Equazioni di primo grado

1.1.1Equazioni numeriche e letterali, intere

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Linee guida allo svolgimento degli Esercizi 1.1.1 e gli Esercizi 1.1.2.

Sfruttando il 1° ed il 2° principio di equivalen-za per equazioni, si trasforma l’equazione in altreequivalenti e via via piu “semplici”. L’obbiettivo eottenere al primo membro i termini in x ed al secon-do i termini noti per pervenire alla forma canonicaax = b. Poi si distinguono tre casi:

a = 0 ∧ b = 0 L’equazione diventa del tipo 0 = 0ed e dunque risolta per ogni valore di x, ossiae indeterminata.

a = 0 ∧ b 6= 0 Il primo membro si annulla ed il se-condo e diverso da zero ossia si perviene ad unaequazione del tipo 0 = b 6= 0 cioe 0 6= 0 che eimpossibile.

a 6= 0 Applicando il secondo principio di equiva-lenza, si possono dividere ambo i membri pera ottenendo l’equazione x = b/a che e la so-luzione di quella iniziale chiamata, in tal caso,determinata.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Esercizi 1.1.1. Risolvere le seguenti equazioni numeriche intere.

1 3x = 6 [x = 2]

2 2(x− 2) + 5 = −(x + 3)[x = −4

3

]3 8x− (3 + 5x) = 9 [x = 4]

4 2x− 3 = −3 [x = 0]

5 7(x− 2) + x = 3(x− 8)− 5 [x = −3]

6 x− 3− (x− 2) = −2x + 2(x− 1) [x ∈ ∅]

7 2x + 3 = 2x + 3 [x ∈ R]

8 (x− 1)(x + 1) + 3 = 5x + (x− 1)2[x =

13

]9 (x+1)2−4 = 2x+(x−2)(x+2)+1 [x ∈ R]

10 7(x− 2) + x = 3(x− 8) + 5x [x ∈ ∅]

11 −(x−2)(x+2)(x2+4)+3 = 19−x4 [x ∈ R]

12x

5+ 3 =

65− x

[x = −3

2

]

13x + 3

2− 3− x

3=

x− 32

+ 3 [x = 3]

143(t− 5)

4− t + 3

12=

t− 18

+ 1 [t = 9]

15t

2− 3 +

4t− 14

=2t + 9

4+

54− t

[t =

278

]

16 x− 3 =

((x− x− 1

3

)− x− 2

3

)[x = 6]

17x− 0.2

2+

x + 0.44

=2x− 0.4

3

[x = −8

5

]

180.5x + 0.3x

0.5− 0.5x− 0.3x

0.2= 1

[x =

65

]19 (a− 1)2 + 4a− 1 = (a + 1)2 [a ∈ ∅]

20a√2

+a2 − 2√

3=

(a−√

2)(a +√

2)√3

[a = 0]



2 1.1. Equazioni di primo grado

Svolgimento di alcuni esercizi.

1 Si effettuano i seguenti passaggi:

3x = 6 l’equazione e in forma canonica

�3x

�3=

6

3

applicando il 2° principio di equivalenza, al fine diisolare l’incognita, si dividono ambo i membri per ilcoefficiente premoltiplicativo di essa

x = 2l’equazione ottenuta, equivalente alla altre, fornisce lasoluzione


8x− (3 + 5x) = 9 l’equazione non e in forma canonica

8x− 3− 5x = 9togliendo le parentesi e svolgendo i calcoli ad ambo imembri dell’equazione

8x− 5x = 9 + 3applicando il 1° principio di equivalenza, si trasportanotutti i termini contenenti l’incognita al primo membroe tutti i termini noti al secondo


�3x

�3=

12

3




7(x− 2) + x = 3(x− 8)− 5 l’equazione non e in forma canonica

7x− 14 + x = 3x− 24− 5togliendo le parentesi e svolgendo i calcoli ad ambo imembri dell’equazione

7x + x− 3x = −24− 5 + 14applicando il 1° principio di equivalenza, si trasportanotutti i termini contenenti l’incognita al primo membroe tutti i termini noti al secondo

5x = −15 l’equazione e in forma canonica

5x

5=−15

5


x = −3l’equazione ottenuta, equivalente alla altre, fornisce lasoluzione


2x + 3 = 2x + 3poiche ambo i membri delle equazioni sono uguali,l’equazione e una identita

x ∈ R l’equazione e soddisfatta per ogni valore attribuitoall’incognita


(x + 1)2 − 4 = 2x + (x− 2)(x + 2) + 1 l’equazione non e in forma canonica

x2 + 2x��+1− 4 = 2x + x2 − 4 + 1togliendo le parentesi e svolgendo i calcoli ad ambo imembri dell’equazione

x2 + 2x− 3 = x2 + 2x− 3poiche ambo i membri delle equazioni sono uguali,l’equazione e una identita



[email protected]


1. Algebra di primo grado 3

−(x− 2)(x + 2)(x2 + 4) + 3 = 19− x4 togliendo le parentesi e svolgendo i calcoli ad ambo imembri dell’equazione

−(x2 − 4)(x2 + 4) + 3 = 19− x4 togliendo le parentesi e svolgendo i calcoli ad ambo imembri dell’equazione

−(x4 − 16) + 3 = 19− x4 togliendo le parentesi e svolgendo i calcoli ad ambo imembri dell’equazione

−x4 + 19 = −x2 + 19poiche ambo i membri delle equazioni sono uguali,l’equazione e una identita


13 Si effettuano i seguenti passaggi:x + 3

2− 3− x

3=

x− 3

2+ 3 l’equazione presenta termini frazionari

6

„x + 3

2− 3− x

3

«= 6

„x− 3

2+ 3

« applicando il 2° principio di equivalenza, al fine di li-berare l’equazione dai denominatori, si moltiplicamoambo i membri per il loro mcm

3(x + 3)− 2(3− x) = 3(x− 3) + 18togliendo le parentesi e svolgendo i calcoli ad ambo imembri dell’equazione

��3x + 9− 6 + 2x = ��3x− 9 + 18semplificando i termini uguali che sono ai membriopposti dell’equazione

2x = −9 + 18− 9 + 6applicando il 1° principio di equivalenza, si trasportanotutti i termini contenenti l’incognita al primo membroe tutti i termini noti al secondo


�2x

�2=

6

2



15 Si effettuano i seguenti passaggi:t

2− 3 +

4t− 1

4=

2t + 9

4+

5

4− t l’equazione presenta termini frazionari

8

„t

2− 3 +

4t− 1

4

«= 8

„2t + 9

4+

5

4− t

« applicando il 2° principio di equivalenza, al fine di li-berare l’equazione dai denominatori, si moltiplicamoambo i membri per il loro mcm

�2t− 12 + 4t− 1 = �2t + 9 + 5− 4tsemplificando i termini uguali che sono ai membriopposti dell’equazione

4t + 4t = 9 + 5 + 12 + 1togliendo le parentesi e svolgendo i calcoli ad ambo imembri dell’equazione

8t = 27 l’equazione e in forma canonica

8t

8=

27

8


t =27

8

l’equazione ottenuta, equivalente alla altre, fornisce lasoluzione

Esercizi 1.1.2. Discutere la risoluzione delle seguenti equazioni letterali intere nella variabile x.

21 5x− 3a = 0[x =

35a

]22 3x + 2b = 0

[x = −2

3b

]23 6x− 2a = 2x + 8a

[x =

52a

]

24 ax = a

[a 6= 0 ⇒ x = 1a = 0 ⇒ x ∈ R

]

25 ax = a2

[a 6= 0 ⇒ x = a

a = 0 ⇒ x ∈ R

]

26 a2x = a

[a 6= 0 ⇒ x = 1

a

a = 0 ⇒ x ∈ R

]

27 bx = b− x

[b 6= −1 ⇒ x = b

b+1

b = −1 ⇒ x ∈ ∅

]




28 3x− 6 = a(x− 3) + a

[a 6= 3 ⇒ x = 2a = 3 ⇒ x ∈ R

]

29 mx + (m− 1)(m + 1) = (m + 1)2 − x

[m 6= −1 ⇒ x = 2m = −1 ⇒ x ∈ R

]

30 mx + 4n = 2nx−m

m 6= 2n ⇒ x = 4n+m2n−m

a = 2n ∧ n = 0 ⇒ x ∈ Ra = 2n ∧ n 6= 0 ⇒ x ∈ ∅

31 (m− x)(n− x) = (m + x)(n + x)− 2

[m 6= −n ⇒ x = 1

m+n

m = −n ⇒ x ∈ ∅

]

32 a(x + b) + b(x− b) = b(a− b) + 2

[a 6= −b ⇒ x = 2

a+b

a = −b ⇒ x ∈ ∅

]

33 3(ax + b) = ax + 5b

a 6= 0 ⇒ x = ba

a = 0 ∧ b 6= 0 ⇒ x ∈ ∅a = 0 ∧ b = 0 ⇒ x ∈ R

34

3x− 2a

3+ 6b = x + 5b− 2a

3

[b 6= 0 ⇒ x ∈ ∅b = 0 ⇒ x ∈ R

]

35 b(a− b) + 2(3a + x)− x(a + 2) = a(b− x)− 3(

b2

3− 2a

)[x ∈ R]

3612

(x + a)− 2(

x +b

3

)=

56(3(a− 2b)− x

)− 2

3(x + b)

[a 6= 5b

2 ⇒ x ∈ ∅a = 5b

2 ⇒ x ∈ R

]

37 −(x− a− b)2 + (a− b)2 = (2a− x)(3b + x) + 5ab

[b 6= 0 ⇒ x = 3a

b = 0 ⇒ x ∈ R

]

38 −(a + b)(x + b)− (a2 − b2) = (b− a)(x + a)

[b 6= 0 ⇒ x = −a

b = 0 ⇒ x ∈ R

]

39 (a− 1)(b + 1)x = 0

[a 6= 1 ∧ b 6= 1 ⇒ x = 0

a = 1 ∨ b = −1 ⇒ x ∈ R

]

40 b(x− 2) = a

b 6= 0 ⇒ x = 2b+ab

b = 0 ∧ a = 0 ⇒ x ∈ Rb = 0 ∧ a 6= 0 ⇒ x ∈ ∅


25 L’equazione e gia in forma canonica quindi sidistinguono subito due casi:

a = 0 In tal caso si ha

ax = a2 l’equazione di par-tenza

0 · x = 02 sostituendo cona = 0

0 = 0 svolgendo i calcoli

x ∈ R l’equazione e inde-terminata

a 6= 0 In tal caso si ha

ax = a2 l’equazione di par-tenza

�ax

�a=

a�2

�a

dividendo amboi membri per a(operazione lecitapoiche a 6= 0)

x = al’equazione e de-terminata

27 Si riconduce l’equazione alla forma canonica:

[email protected]



bx = b− xl’equazione di par-tenza

bx + x = btrasportando −x al1° membro e cam-biandolo di segno

(b + 1)x = bmettendo in eviden-za la x al primomembro

A questo punto si distinguono due casi:

b + 1 = 0 ossia b = −1. In tal caso si ha

(b + 1)x = bl’equazione di par-tenza

0 · x = −1sostituendo b +1 = 0

0 = −1 svolgendo i calcoli

x ∈ ∅ l’equazione e im-possibile

b + 1 6= 0 ossia b 6= −1. In tal caso si ha

(b + 1)x = bl’equazione di par-tenza

��(b + 1)x

��b + 1=−1

b + 1

dividendo ambo imembri per b + 1(operazione lecitapoiche b + 1 6= 0)

x = − 1

b + 1

l’equazione e de-terminata

29 Si riconduce l’equazione alla forma canonica:

mx + (m− 1)(m + 1) = (m + 1)2 − x

mx +��m2 − 1 = ��m

2 + 2x + 1− x

mx− 2x + x = 1 + 1

(m− 1)x = 2.

A questo punto si distinguono due casi:

m− 1 = 0 ossia m = 1. In tal caso si ha

(m− 1)x = 2⇔ 0 · x = 2⇔ 0 = 2⇔ x ∈ ∅.

m− 1 6= 0 ossia m 6= 1. In tal caso, dividendo

ambo i membri per m− 1 si ha

(m− 1)x = 2⇔ x =2

m− 1.

1.1.2Equazioni numeriche e letterali, fratte

Esercizi 1.1.3. Risolvere le seguenti equazioni numeriche fratte.

411x

= 1 [x = 1]

421

x− 1= 1 [x = 2]

431x

= 0 [x ∈ ∅]

44x

x= 1 [x 6= 0]

45x

x2 + 1= 0 [x = 0]

463x + 9x− 3

= 0 [x = −3]

474

x + 1=

3x + 1

[x ∈ ∅]

48−(x + 6)x2 − 25

= 0 [x = −6]

49 1− x− 1x + 2

− 1x + 1

= − 1x2 + 3x + 2

[x ∈ ∅]

5012− 1

x=

4x + 36x

− 13

[x = 9]

51x + 7x− 1

+x− 7x + 1

= 2 [x ∈ ∅]

5213

(1x− 1)− 3 = −x + 2

x[x = 1]

53t− 5t− 1

=t− 1t− 5

[t = 3]

54x− 1x + 3

− 1x2 + 5x + 6

= −x + 1x + 2

[x ∈ ∅]

55−(1− x)

x− 2− x− 2

x− 1=

1x2 − 3x + 2

[x ∈ ∅]

56 x + 3− 6x

2x− 1= x− 3

2x− 1

[x 6= 1

2

]

572

t− 5− 1

t=

2(t− 1)2

5t− t2+ 2 [t = −1]

582(x + 2)(x− 4)

x2 − 5x + 6=

x− 3x− 2

+2− x

3− x

[x =

296

]

59 − 8a + 4

=a

2 +a

2

−(

1 +14

)23

5[a 6= −4]

600.3xx√9

+x2 − 4

(x− 2)(x + 2)= 2

[x 6= 0 e x 6= 2 e x 6= −2]





41 Affinche 1x

= 1 abbia senso, si deve imporre x 6= 0che rappresenta la condizione di accettabilita del-l’equazione. Dunque

1

x= 1 l’equazione iniziale

x1

x= x · 1

moltiplicando ambo imembri per x (ope-razione lecita percheper ipotesi x 6= 0)

1 = xl’unica candidata so-luzione

Poiche x = 1 soddisfa la condizione di accettabili-ta x 6= 0 allora x = 1 e soluzione dell’equazione dipartenza.

43 Affinche 1x

= 0 abbia senso, si deve imporre x 6= 0che rappresenta la condizione di accettabilita del-l’equazione. Dunque

1

x= 0

l’equazione di par-tenza

x1

x= x · 0

moltiplicando ambo imembri per x (ope-razione lecita percheper ipotesi x 6= 0)

1 = 0non e verificata pernessun valore di x

x ∈ ∅ l’equazione e impos-sibile

45 Affinche xx2+1

= 0 abbia senso, si deve imporre

x2 + 1 6= 0 che rappresenta la condizione di accet-tabilita dell’equazione. Dunque

x

x+1= 0

l’equazione di par-tenza

��(x2 + 1)x

��x2 + 1= (x2 + 1) · 0

moltiplicando amboi membri per x2 +1 (operazione leci-ta perche per ipotesix2 + 1 6= 0)

x = 0rappresenta l’unicacandidata soluzione

Poiche x = 0 soddisfa la condizione di accettabilitax2 + 1 6= 0, in quanto 02 + 1 = 1 6= 0, allora x = 0e soluzione dell’equazione di partenza.

Esercizi 1.1.4. Discutere la risoluzione delle seguenti equazioni letterali fratte nella variabile x.

61a + x

1− x= a

[a 6= −1 ⇒ x = 0a = −1 ⇒ x ∈ R

]

623 + ax

x− a− 2 = 0

[a 6= 2 ⇒ x = 2a+3

2−a

a = 2 ⇒ x ∈ ∅

]

632

a + x=

3a− x

[a 6= 0 ⇒ x = −a

5

a = 0 ⇒ x ∈ ∅

]

64a

x− 1+

3x

x + 1=

3x2

1− x2

[a 6= 3 ∧ a 6= 3

2 ⇒ x = − a3−a

a = 3 ∨ a = 32 ⇒ x ∈ ∅

]

652a− x

x− 3− 2ax + 3

6− 2x= a

[a 6= 3

10 ⇒ x = − 10a+32

a = 310 ⇒ x ∈ ∅

]

66−x

1− x− a + b

x− 1= a

a 6= 1 ∧ a 6= −b + 1 ⇒ x = b1−a

a = 1 ∧ b 6= 0 ⇒ x ∈ ∅a = 1 ∧ b = 0 ⇒ x ∈ R

67

2a2 − 1

+ 1 =x

ax + a + x + 1− x

ax + a− x− 1

[a 6= 1 ⇒ x = −a2+1

a2+3

a = 1 ⇒ x ∈ ∅

]

68x

bx− b+

b− 1x2 − bx + b− x

= − b− 1b(x− 1)

+x− b− 1bx− b2

[b 6= −1 ⇒ x ∈ ∅b = −1 ⇒ x ∈ R

]

1.1.3Sistemi di equazioni

Esercizi 1.1.5. Risolvere i seguenti sistemi di equazioni numeriche intere.

[email protected]



69

{x + y = 6x− y = 4

[{x = 5y = 1

]

70

{x2 − y = 0x4 + y = 3

[{x = 4y = 2

]

71

{3x− y = 92x + 5y = 23

[{x = 4y = 2

]

72

{x5 + y

3 = −2x− y = −2

[{x = 5y = −3

]

73

{x3 + y

2 = 43

x2 −

y4 = 0

[{x = 1y = 2

]

74

{3x + 3y = 6x + y = 1

[impossibile]

75

{2x− y = 64x− 2y = 12

[{x ∈ Ry = 2x− 6

]

76

{−x + 2y = 12x− 4y = −2

[{x ∈ Ry = 1

2x + 12

]

77

{−x− y = −1x + y = 2

[impossibile]

78

{x + y = 0x− y = 0

[{x = 0y = 0

]

Esercizi 1.1.6. Risolvere i seguenti sistemi di equazioni numeriche fratte.

79

x + 1

y=

14

x

y + 1=

15

[{x = 5y = 24

]

80

x− y + 4

x= −3

2x + y − 4y

=54

[{x = 5y = 24

]

81

3x− 4y

x + 2y= 7

2(x− y)3x− 5

= 1

[{x = 9y = −2

]

82

x− y

x + y=

117

−3x− y

2(x + 1)= −5

4

[{x = 9y = −2

]

83

7(x + y)− 5

3x + 2y=

187

20(x− y)2x− 3y

= −203

[{x = 6y = 5

]

84

2x− y

y + 3=

78

2y − x

x + 3=

49

[{x = 6y = 5

]

85

3x + 5y − 26x− 3y + 5

=114

x− y

x + y − 1=

103

[{x = 7y = −3

]

86

x− y + 1

x− y=

x + y − 2x + y

x + y

xy+

1y

=4x

4y

[{x = 4y = 12

]

87

4x− 6y + 153x + y − 2

=127

x + y − 45x− 2y + 6

=911

x = −34

y =52

88

x− 1y + 2

=x + 1y − 2

+ 2

x + 2y + 2

+x− 1y + 3

= 1

[{x = 1y = 1

]

1.2 Disequazioni di primo grado

1.2.1Disequazioni numeriche intere

Esercizi 1.2.1. Risolvere le seguenti disequazioni numeriche intere.

89 2x + 3 < 5x [x > 1]

90 3 > 5 + 2(2− x) [x > 3]

91 3(x− 1) < 1− 2x

[x <

45

]

92 1 > 2(x− 1)[x <

32

]



8 1.2. Disequazioni di primo grado

93 2(x− 7) > 3(4− x)[x >

265

]

94 3− 4x < x− 2(2 + x)[x >

73

]

95 2− 3x + 2(1 + 5x) > 10[x >

67

]

96 (x + 2)2 < (1− x)2[x < −1

2

]97 (2x + 1)2 − 8 ≤ (2x− 1)2 [x ≤ 1]

98 x2 − (3− x)2 ≥ 0[x ≥ 3

2

]99 (x + 1)2 + 2 >

(6− (1− x)

)x [x < 1]

100 (x + 5)(x + 3) < (x + 9)(x + 1) [x > 3]

101 (2 + 3x)2 + x ≥ 3− 2(1− 5x) [x ≤ 1]

102 (10x + 1)2 > 4(4x + 1)2 + (6x + 1)2 [x < −1

6

]

1032x− 1

3>

x− 42

+ 1 [x > −4]

10412(2x− (1 + x)

)> x− 1

3(1− 3x)

[x < −1

9

]105 5

((x− 2)2 − x(x− 2)

)≤ 2(1− 5x) [x ∈ ∅]

10612

(x−

(1 +

2526

))− 2

13(1− 3x) > x[

x < −592

]107 (2x + 1)3 − 4x2(2x + 1) < 2(2x− 1)2[

x <114

]1.2.2

Disequazioni letterali intere

Esercizi 1.2.2. Discutere la risoluzione delle seguenti disequazioni intere letterali nella variabile x.

108 1 + 2ax <1 + ax

2con a > 0

[x < − 1

3a

]109 1 + ax <

2 + ax

4con a < 0

[x > − 2

3a

]110

x− a

2+

4ax− 14

− a < ax− 14

[x < 3a]

111x− a

b− b− x

a< 1 con a > 0 e b > 0

[x <

a2 + b2 + ab

a + b

]

112 x(a + 2)− (a + 2)(2− a) > 0

[a ≶ −2 ⇒ x ≶ 2− a

a = −2 ⇒ x ∈ ∅

]

113ax

a− 1− x + 1

2<

2x + 14

[a ≶ 1 ⇒ x ≷ 3(a−1)

4

a = 1 ⇒ x ∈ ∅

]

114 (a− 1)(x− 1)− (x− 2)(a + 1) > ax

[a ≶ −2 ⇒ x ≷ a+3

a+2

a = −2 ⇒ x ∈ R

]

1152 + kx

k + 1≤ x +

13

[k ≶ −1 ⇒ x ≶ 5−k

3

k = −1 ⇒ x ∈ ∅

]

116x

a + 1≤ x +

1− x

3a + 3

[a ≶ −1 ⇒ x R 1 + 3

4a

a = −1 ⇒ x ∈ ∅

]

117 (x + a)(x− b) < (x− a)(x + b)

[a ≶ b ⇒ x ≶ 0a = b ⇒ x ∈ ∅

]Esercizi 1.2.3. Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false motivando la risposta.

118 La soluzione di 3x(x−a+1)+13 = a(2− x) + x2 e minore di −2 per a < − 5

6 . V F

119 L’insieme delle soluzioni di ax(3− a) ≤ 3a(x− a) + 1 e (−∞, 3a2−1a2 ]. V F

[email protected]



120 La soluzione dell’equazione x + 5− k = x2−k(3+x)+2x e maggiore di 1

2 per k < 16 . V F

121 Per k ≤ 9 l’equazione x2 − 9 + k = 0 ammette soluzioni. V F

122 Per k < −1 l’equazione 4x2 − k + 1 = 0 non ammette soluzioni. V F

123 Per a = 0 la disequazione a(x + 1) + 2a < 2ax + 1 non ammette soluzioni. V F

1.2.3Disequazioni numeriche fratte

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Linee guida allo svolgimento degli Esercizi 1.2.4.

Mediante il 1° principio di equivalenza per dise-quazioni ed il 2° a patto che coinvolga termini disegno costante (ad esempio quelli numerici in cuinon compaiono l’incognita e/o altri parametri), siriconduce la disequazione fratta nella forma

A(x)B(x)

Q 0,

detta forma normale, con A e B polinomi di primo

grado. Poi si studiano separatamente i segni di A e Bin funzione di x. A tale scopo si calcolano le radici e icoefficienti direttori di A e B applicando la seguenteregola: un polinomio di primo grado assume a de-stra della sua radice lo stesso segno del coefficientedirettore e discorde a sinistra. Procedendo con lacomposizione dei segni di A e B, si ottengono i se-gni di A/B mediante i quali si puo rispondere alladisequazione iniziale.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Esercizi 1.2.4. Risolvere le seguenti disequazioni numeriche fratte.

1242x

3x + 3> 0 [x < −1 ∨ x > 0]

1252 + x

3x< 0 [−2 < x < 0]

1263− x

x− 1≥ 0 [1 < x ≤ 3]

1271− 2x

2x + 1< 0

[x < −1

2∨ x >

12

]

1282x− 3x− 5

> 2 [x > 5]

129 6 >1

4x− 3

[x <

34∨ x >

1924

]

130

√3− 1

x− 1>

1√2

[1 < x < 1 +

√6−√

2]

13116

2x− 5> 3

[52

< x <316

]

132 1− 32x

+34

(1x− 1)

>2 + 3x

x[−1 < x < 0]

133x− 4

3− 3

x− 4>

13x

[74

< x < 4]


124 La disequazione e gia in forma normale, pertan-to, si studiano subito i segni di numeratore edenominatore della funzione al primo membro:

2x Lo zero di 2x si ottiene da 2xi= 0 ⇔ x = 0.

Il coefficiente direttore di 2x e 2 > 0.

Segue dunque che 2x e strettamente positivoa destra di 0 e strettamente negativo a si-nistra (in quanto esso assume a destra dellaradice lo stesso segno di 2 ed il segno discordea sinistra).

3x + 3 Lo zero di 3x + 3 si ottiene da 3x + 3i=

0 ⇔ x = − 33

= −1. Il coefficiente direttoredi 3x + 3 e 3 > 0.

Segue dunque che 3x + 3 e strettamente posi-tivo a destra di −1 e strettamente negativo asinistra (in quanto esso assume a destra dellaradice lo stesso segno di 3 ed il segno discordea sinistra).

Allora, per la funzione al primo membro delladisequazione, segue il seguente prospetto dei segni

da cui si evince che x ∈ (−∞,−1) ∪ (0, +∞).


3− x Lo zero di 3− x si ottiene da 3− xi= 0⇔

x = − 3−1⇔ x = 3. Il coefficiente direttore di

3− x e −1 < 0 (in quanto 3−x = 3+(−1)x).

Segue dunque che 3− x e strettamente nega-tivo a destra di 3 e strettamente positivo a



10 1.2. Disequazioni di primo grado

sinistra (in quanto esso assume a destra del-la radice lo stesso segno di −1 ed il segnodiscorde a sinistra)..

x− 1 Lo zero di x− 1 si ottiene da x− 1i= 0⇔

x = 1. Il coefficiente direttore di x−1 e 1 > 0(in quanto x− 1 = 1 · x− 1).

Segue dunque che x− 1 e strettamente posi-tivo a destra di 1 e strettamente negativo asinistra (in quanto esso assume a destra dellaradice lo stesso segno di 1 ed il segno discordea sinistra).


da cui si evince che x ∈ (1, 3].

128 Si riconduce la disequazione ad un’altra equivalen-te ma in forma normale:

2x− 3

x− 5− 2 > 0

trasportando tuttii termini al primomembro

��2x− 3��−2x + 10

x− 5> 0

sommando i terminie semplificando

7

x− 5> 0

l’equazione e ora informa normale.

Si studiano ora i segni del numeratore e deldenominatore della funzione al primo membro:

7 Per quanto riguarda il segno di 7 si ha, indi-pendentemente dal valore di x, che 7 > 0.Cio significa che nel prospetto del segno di 7vi sara una sequenza di soli “+”.



Segue dunque che x− 5 e strettamente posi-tivo a destra di 5 e strettamente negativo asinistra (in quanto esso assume a destra dellaradice lo stesso segno di 1 ed il segno discordea sinistra).


da cui si evince che x ∈ (5, +∞).

1.2.4Sistemi di disequazioni

Esercizi 1.2.5. Risolvere i seguenti sistemi di disequazioni numeriche intere.

134

{2x− 1 > 03− x < 0

[x > 3]

135

{5x ≤ 07− 2x > 0

[x ≤ 0]

136

{1 + 2x > 0√

3− x > 5x

[−1

2< x <

√3

6

]

137

{x + 2 > 5x− 5 > 0

[x > 5]

138

x + 3

2>

x + 73

x− 15

+ 1 < 0[x ∈ ∅]

139

12x + 3 >

x− 52

x− 3− x

2> 1

[x >

53

]

140

x− 1

5+

x− 43

< x

x + 1 < −1

[−23

7< x < −2

]

141

3x + 1

3> 3

x2 < (x + 5)2

[x >

83

]

142

3x− 1 < 7− 2x

2x + 5 < x− 44x + 7 > x− 1

[x ∈ ∅]

143

3x < 01− x > 0(2 + x)2 < x2

[x < −1]

[email protected]



1.3 Problemi di primo grado

1.3.1Problemi di algebra

Esercizi 1.3.1. Risolvere i seguenti problemi mediante equazioni di primo grado ad una incognita.

144 Se al triplo di un numero si toglie 1, si ottie-ne il doppio del numero stesso aumentato di 3.Determinare tale numero.

145 Un ragazzo dice a un suo amico: “pensa adun numero intero; aggiungigli il numero suc-cessivo; aggiungi 9 alla somma; dividi il risul-tato per 2; sottrai il numero pensat”. A questopunto il ragazzo dice all? esterrefatto amico:“il risultato e 5!”. Il risultato ottenuto e quellocorretto?

146 I tre quinti di un certo numero sommati a cin-que valgono quanto il numero stesso diminuitodi 3. Determina il numero.

147 Di quanto si deve diminuire il numero 1.5 perottenere il suo reciproco?

148 Quanti litri di vino sono contenuti in una bot-te se togliendo 12 litri ed aggiungendo i 13/7della quantita rimasta si raddoppiano i litricontenuti?

149 Una fune lunga 113 m e stata tagliata in quat-tro parti in modo che ogni parte risulti 5.5 mpiu lunga della precedente. Trova la lunghezzadella parte maggiore.

150 Due giovani iniziano a giocare con 14e e 18e.Alla fine il primo giocatore possiede il triplodell’altro. Quale somma ha perso il secondogiocatore?

151 Determina due numeri sapendo che la lorosomma e il triplo della loro differenza, mentrela somma del primo con il doppio del secondoe 52.

152 Dieci anni fa la somma delle eta di un padre edi un figlio era 50. Oggi l’eta del padre e parial triplo di quella del figlio meno 6 anni. Qualisono le due eta oggi?

153 Determina le misure dei lati di un rettangolosapendo che la somma di due lati disuguali e 7cm e che la differenza fra il triplo del primo ei del secondo e 10 cm.

154 L’area di un rettangolo e 48 cm2. Se le di-mensioni aumentano di 4 cm l’area del nuovorettangolo e 120 cm2. Trovare le dimensionidel rettangolo originale.

155 Durante una vendita promozionale mi vengonofatte due offerte: se compero 5 paia di pantalo-ni e 2 giacche spendo 821e mentre se comprotre completi giacca e pantalone spendo 826e.Quanto costa ogni giacca e ogni pantalone?

156 Trova due numeri naturali di cui sai che la divi-sione da quoziente 7 e resto 3, mentre la som-ma del doppio del dividendo con il quadratodel divisore e uguale alla differenza fra il qua-drato della somma del divisore aumentato di 6e il numero 16.

157 Un dietologo compila una tabella che illustrail contenuto nutritivo del pane bianco, delformaggio e dei pomodori:

Energia (Kcal) 2,53 4,12 0,14Proteine (g) 0,083 0,254 0,009Grassi(gr) 0,017 0,345 0,0

Quale dieta dovrebbe proporre il dietologo perfornire esattamente 2000Kcal, 80g di proteinee 45g di grassi al giorno usando soltanto questialimenti?

158 Trova i numeri tali che la loro meta diminuitadi 2 superi il numero 5 aumentato del doppiodei numeri suddetti.

159 Trova per quali numeri il triplo della sommadei numeri stessi con 7 non supera la meta delladifferenza fra i numeri e 8.

160 Trova i numeri tali che il loro quadrato au-mentato di 2 non sia minore del prodotto deinumeri per i numeri stessi aumentati di 5.

161 Laura, studentessa di psicologia, ha sostenu-to 4 esami riportando i punteggi: 28, 30, 27 e26. Quali votazioni puo accettare come risul-tato per il quinto esame se vuole garantirsi unamedia che non sia inferiore a 27?

162 La signora Rossi va al supermercato e vuole ac-quistare 3 confezioni di pasta a 1.55e ciascu-na, 2 barattoli di caffe a 8.25e ciascuno e dellescatolette di tonno che costano 2.45e ciascu-na. La signora Rossi ha nel portamonete 32e.Quante scatolette puo acquistare? Se compe-ra il numero massimo di scatolette consentitedalla somma a disposizione, quanto resta nelportamonete?



12 1.3. Problemi di primo grado

163 Trova i numeri che soddisfano contemporanea-mente la seguenti condizioni:

(a) Il loro triplo diminuito di 1 supera il lorodoppio aumentato di 5;

(b) La meta della somma fra tali numeri e 4non supera 10.

164 Trova i numeri che soddisfano contemporanea-mente la seguenti condizioni:

(a) Il doppio dei numeri diminuiti di 1 nonsupera il triplo dei numeri;

(b) La meta di tali numeri aumentata di 3supera i numeri diminuita di 2;

(c) La terza parte della somma dei numericon 1 e minore della meta della differenzatra i numeri e 1.

165 Il serbatoio della mia auto contiene fino a 55litri di benzina. Vado dal benzinaio con la som-ma di 90e. Sapendo che la benzina verde co-sta 1.8e il litro, qual e la quantita massima dibenzina che posso mettere nel serbatoio?

166 Una famiglia di tre persone sostiene spese ditrasporto per il tram non inferiori a 15e men-sili per persona. Nel bilancio della famigliae prevista una spesa massima settimanale di20e. Quali possono essere le spese mensilidella famiglia per il tram?

167 Un’azienda manifatturiera trasforma dei pez-zi semilavorati che acquista a 7.50e l? uno.Sapendo che i costi fissi mensili ammontano a300000e, che i pezzi vengono riveduti a 15el’uno e che la produzione non puo superare le60000 unita, determina quanti pezzi possonoessere prodotti per non andare in perdita.

168 Qual e quel numero che sommato a 42 da i 10/3del numero stesso? [18]

169 Sommando 15 al doppio di un numero si otten-gono i 7/2 del numero stesso. Qual e il nume-ro? [10]

170 Dividere il numero 42 in due parti in modo chei 7/8 della prima parte superano di 3 la secon-da. [24, 18]

171 Determinare due numeri consecutivi pari taliche dividendo il doppio del maggiore per il mi-nore si ottenga per quoziente 2 e per resto 2.

[impossibile]

172 Determinare due numeri consecutivi pari sa-pendo che dividendo il doppio del maggiore peril minore si ottiene per quoziente 2 e per resto4. [indeterminato]

173 Dividendo tra loro due numeri si ottiene perquoziente 3 e per resto 2; determinare i duenumeri sapendo che il maggiore supera di 7 ildoppio del minore. [5, 17]

174 L’eta di una madre supera di 18 anni la som-ma dell’eta delle due figlie e l’eta della figliamaggiore e i 5/3 dell’eta della sorella. Deter-minare le loro eta sapendo che fra 2 anni l’etadella madre sara il triplo di quella della figliamaggiore. [34, 10, 6]

175 Un negoziante vende prima 1/4 di una pezzadi stoffa, poi i 2/3 della stoffa rimasta; deter-minare la lunghezza della pezza sapendo che,dopo le due vendite, rimangono 15 m.

[60 m]

176 Un asta alta 15 m deve essere divisa in 3 partiin modo che la prima parte superi la secondadi 21 dm e la seconda parte superi di 26 dmi 3/5 della terza. Determinare la lunghezza diciascuna parte. [6.8m, 4.7m, 3.5m]

177 In un numero di due cifre, la somma delle cifree 10 e la cifra delle unita supera di 8 quelladelle decine. Trovare il numero. [19]

178 Trovare un numero di due cifre sapendo che lacifra delle unita supera di 2 la cifra delle deci-ne e che il numero e il quadruplo della sommadelle sue cifre. [24]

179 In un numero di due cifre la cifra delle deci-ne supera di 1 quella delle unita; dividendo ilnumero per la somma delle cifre si ottiene perquoziente 6 e per resto 2. Trovare il numero.

[32]

180 Un negoziante vende prima 1/3, poi i 2/5 diuna pezza di stoffa e successivamente 1/4 dellaparte rimasta; sapendo che complessivamentevende 48 m, determinare quanti metri riman-gono ancora da vendere. [12 m]

181 Un negoziante vende i 2/5 di una partita di olioad un primo compratore; ad un secondo vende1/3 della quantita rimasta e ad un terzo com-pratore la meta della quantita d’olio rimastadopo le prime due vendite; alla fine rimangonoancora 16 litri da vendere. Quanti litri ha ven-duto complessivamente il negoziante? [64 l]

182 Una somma di 50.000e e formata con banco-note da 50e, 100e e 200e; il numero dellebanconote da 200e e i 3/2 del numero dellebanconote da 100e. Determinare il numerodelle banconote da 50e sapendo che e i 4/5del numero complessivo delle altre banconote.

[200]

[email protected]



183 Una somma di denaro viene divisa fra tre per-sone; la prima prende il doppio della seconda,che prende i 4/3 della terza. Determinare ilvalore della somma sapendo che la prima per-sona prende 5000 piu della terza. [15000e]

184 Si narra che sulla tomba del celebre matema-tico greco Diofanto fosse scolpita la seguenteiscrizione:

“Qui Diofanto ha la sua tomba che ate rivela con l’aritmetica quanti anniegli visse. Egli passo 1/6 della vitanell’infanzia, 1/12 adolescenza, 1/7nella giovinezza. Poi si ammoglio edopo 5 anni ebbe un figlio che fissela meta della vita del padre; il pa-dre gli sopravvisse ancora 4 anni mi-tigando il suo dolore con lo studiodell’aritmetica.”

A che eta morı Diofanto? [84]

185 Da un blocco di ferro di 21 kg si ricavano deichiodi, ciascuno dei quali pesa 15 g. Determi-nare il numero di chiodi che si possono ricava-re, sapendo che nella lavorazione c’e uno scartoche e pari ai 2/5 del peso dei chiodi prodotti.

[1000]

186 Un tondino di ferro lungo 4.6 m deve essere di-viso in 3 parti, tali che la prima sia 2/3 dellaseconda e 3/4 della terza. Determinare la lun-ghezza delle tre parti.

[1.2 m, 1.8 m, 1.6 m]

187 Due mattoni pesano un chilogrammo piu 3/2mattoni. Quanto pesa un mattone, supponen-do che tutti i mattoni considerati siano di ugualpeso? [2 kg]

188 Una persona impiega una parte del suo capitaleal 7% per 2 anni e 4 mesi e la parte rimanente,che e doppia della prima, all’8% per 3 anni e 6mesi. Alla fine riscuote l’interesse complessivodi 2170e. Qual era il capitale impiegato.

[9000e]

189 Un capitale di 36000e dopo un certo tempo ediventato coi suoi interessi 38340e. Per metadel tempo e stato impiegato al 3%, per 1/5 deltempo al 4.5% e per il tempo rimanente al 5%.Per quanto tempo e stato impiegato quel capi-tale? [1 anno e 8 mesi]

190 Il fatturato di un’azienda, nel 2007, e aumenta-to del 20% rispetto al 2006. Nel 2008 il fattu-rato e aumentato ancora del 5% rispetto all’an-no precedente. Sapendo che in quei due anni

il fatturato e aumentato di 52000e, calcolareil fatturato nel 2008. [252000e]

191 Due macchine producono complessivamente 72pezzi in un certo tempo. Per confezionare unpezzo, la prima macchina impiega 40 secondie la seconda 50 secondi. Determinare quan-ti pezzi ha prodotto ciascuna macchina e perquanto tempo ciascuna ha lavorato.

[40, 32, 26 minuti e 40 secondi]

192 Un ingranaggio e composto di due ruote denta-te, rispettivamente con 24 e 72 denti. Quandole due ruote hanno compiuto complessivamen-te 160 giri, quanti giri ha compiuto ciascunadelle due? [120, 40]

193 Due tubi di ferro di eguale calibro sono lun-ghi rispettivamente 8.4 m e 5.6 m. Calcolarela lunghezza del pezzo che si deve togliere dalprimo tubo e saldare poi al secondo perche ildoppio del primo risulti i 3/2 del secondo.

[2.4 m]

194 Un litro di una certa soluzione salina contienesale al 4�; si vuol diluire la soluzione fino al2.5�. Quanti litri d’acqua bisogna aggiunge-re? [0.6 l]

195 Si devono preparare 2 quintali di una lega diferro, nichel e carbonio. Sapendo che il pesodel ferro adoperato e 5 volte quello del carbo-nio che e, a sua volta, 1/4 del peso del nichel,determinare il peso di ciascun componente ado-perato. [100 kg, 80 kg, 20kg]

196 Una biblioteca acquista nuovi volumi incre-mentando cosı del 25% la sua dotazione. L’an-no successivo vengono effettuati ulteriori ac-quisti, incrementando in tal modo la dotazionedel 10% rispetto ai volumi posseduti al mo-mento dell’acquisto. Sapendo che nei due annisono stati acquistati 6000 volumi, quanti volu-mi possiede ora la biblioteca?

[22000 volumi]

197 Pierino ha aperto il rubinetto della vasca dabagno, e sa che per riempirla occorreranno 10minuti. Si e pero dimenticato di sistemare be-ne il tappo sul fondo. In queste condizioni lavasca, se fosse gia piena e se i rubinetti fosse-ro chiusi, si svuoterebbe in 15 minuti. Quantotempo occorre per riempirla col tappo cosı si-stemato? [30 minuti]



14 1.3. Problemi di primo grado

1.3.2Problemi di geometria

Problemi di geometria piana

Esercizi 1.3.2. Risolvere i seguenti problemi.

198 Determinare gli angoli di un triangolo isoscelesapendo che l’angolo al vertice e doppio di cia-scuno degli angoli adiacenti alla base.

[90°, 45°, 45°]

199 Determinare l’ampiezza degli angoli di untriangolo isoscele sapendo che ciascuno degliangoli alla base e i 2/5 dell’angolo al vertice.

[100°, 40°, 40°]

200 Il perimetro di un rettangolo e 120 cm; calco-lare l’area del rettangolo sapendo che la base etripla dell’altezza.

[675 cm2

]201 Determinare le diagonali di un rombo sapendo

che la maggiore e i 15/8 della minore e la lorodifferenza e 21.14 m. [45.30 m, 24.16 m]

202 Determinare il perimetro e l’area del rettan-golo ABCD sapendo che AB ∼= 20

9 BC e che35AB − 34 cm = 4

9BC + 316AB.[

464 cm, 11520 cm2]

203 Nel triangolo isoscele ABC, la base BC superadi 22 cm l’altezza AH. Determinare il perime-tro del triangolo sapendo che 4

5BC+ 74AH = 38

cm. [64 cm]

204 Nel trapezio rettangolo ABCD, AB e la basemaggiore e AD il lato perpendicolare alle ba-si. Si sa che AD ∼= 3

4AB e CD ∼= 1112AD; la

somma delle basi e 54 cm. Dopo aver determi-nato la base maggiore AB, determinare l’areadel trapezio ed il perimetro.[

32 cm, 648 cm2, 104 cm]

205 Nel trapezio rettangolo ABCD, la base mino-re CD e di 9 cm e la diagonale AC, perpen-dicolare al lato obliquo BC, e i 3/5 della basemaggiore AB. Si sa che AC + 2BC = 55 cm.Determinare il lato obliquo e la base maggioredel trapezio. Successivamente calcolare il peri-metro e l’area del trapezio.[

20 cm, 25 cm, 66 cm, 204 cm2]

206 Il perimetro di un triangolo isoscele e di 98 cme l’altezza e i 7/25 di ciascuno dei due lati con-gruenti. Determinare l’area del triangolo.[

168 cm2]

207 Sia O il punto d’incontro delle diagonali delrombo ABCD di cui si conoscono le seguen-ti relazioni: AD ∼= 25

7 OD e 43AO + 2

5AD =76AC− 14 cm. Determinare l’area del rombo.[

336 cm2]

Problemi di geometria solida


208 In un parallelepipedo rettangolo, avente il peri-metro della base di 22.4 dm, un lato della basee i 3/5 dell’altro. Determinare gli spigoli delparallelepipedo, sapendo che la superficie late-rale e di 224 dm2. [7 dm, 4.2 dm, 10 dm]

209 In un parallelepipedo rettangolo, la somma del-le tre dimensioni e di 50 cm, una dimensionee la m eta della maggiore e il triplo della mi-nore. Trovare l’area della superficie totale e ilvolume del solido.

[1350 cm2, 2250 cm3

]210 Un parallelepipedo retto ha per base un ret-

tangolo di perimetro 44.8 cm, i cui lati sono inrapporto 3/5. Determinare il volume del paral-lelepipedo, sapendo che l’area della superficietotale e 1131.20 cm2.

[2352 cm3

]211 La somma del lato di base e dell’altezza di una

piramide quadrangolare regolare e 70 cm e illoro rapporto e 3/2. Determinare il volumedella piramide.

[16464 cm3

]

212 In una piramide quadrangolare regolare il latodi base e i 10/13 dell’apotema e la loro diffe-renza e di 1.2 cm. Determinare la superficietotale e il volume della piramide.[

57.6 cm2, 25.6 cm3]

213 Un solido e formato da un cubo sormontato dauna piramide retta avente per base una facciadel cubo. Lo spigolo del cubo e i 5/7 dello spi-golo laterale dell piramide e la somma di tuttigli spigoli del solido e di 352 cm. Determinaregli spigoli del solido. [20 cm, 28 cm]

214 Un solido e formato dalla somma di due pira-midi regolari avanti in comune la base che e unquadrato di lato 8 cm; il rapporto delle altezzedelle due piramidi e 13/50 e la distanza dei duevertici e di 9.45 cm. Determinare il volume delsolido e le altezze delle due piramidi.[

201.6 cm3, 7.5 cm, 1.95cm]

215 L’altezza di un cilindro e i 3/2 del raggio della

[email protected]



sua base e la loro somma e 40 cm. Determinareil volume del cilindro.

[19292.16 cm3

]216 Determinare il raggio di un cilindro sapendo

che l’altezza e i 5/3 del raggio e che la sommadell’altezza con i 3/4 del diametro e di 5.7 cm.

[1.8 cm]

217 La somma dell’altezza di un cono con il raggiodi base e 51 cm e 1/4 dell’altezza e congruenteai 3/5 del raggio. Determinare il peso del so-lido supposto che sia formato da ferro di pesospecifico 7.8 kg/dm3. [66.13 kg]



2Algebra di secondo grado

2.1 Equazioni di secondo grado

2.1.1Equazioni numeriche intere

Esercizi 2.1.1. Risolvere le seguenti equazioni numeriche intere.

218 x2 = 1 [x = ±1]

219 x2 + 25 = 0 [x ∈ ∅]

220 x2 − 6x = 1[x = 3±

√10]

221 (x− 2)(x + 2) = 0 [x = ±2]

222x + 1

2− x2 + 3

3=

x2 − 36

[x = 0 ∨ x = 1]

223 x2 − 3x = 5

[x =

3±√

292

]

224 x2 + x = 6 [x = 2 ∨ x = −3]

225 x2 − 2√

3x− 9 = 0[x = −

√3 ∨ x = 3

√3]

226 (2− x)2 +x2 − 1

3= 2((x− 1)2 + 1

)[x ∈ ∅]

227 3x2 = 2(1 +√

3x2)− (x2− 2)[±(√

3 + 1)]

228 3x2 − 6x = 5[1± 2/3

√6]

229 x2 + 2x− 35 = 0 [x = −7 ∨ x = 5]

230(

x +12

)2

=2536

[x =

13∨ x = −4

3

]

231 (2x + 1)2 − x2

2= 4x− x2

2[x ∈ ∅]

232x2

9+

2x

3+ 1 = 0 [x = −3]

233 (x + 1)2 = (x− 1)2 + 4x [x ∈ R]

23423

=x2 − 1

6+

23− x− 1

3[x = 1]

235 x2 − 2√

3x + 2 = 0[x =√

3± 1]

236 (2x− 1)2 + 18 = 4(2− x)(x + 2) [x ∈ ∅]

237√

5x2− 4x−√

5 = 0[x =√

5 ∨ x = − 1√5

]2.1.2

Equazioni numeriche fratte

Esercizi 2.1.2. Risolvere le seguenti equazioni numeriche fratte.

2381

1− x+

x

1 + x+

1x2 − 1

= 0 [x = 0 ∨ x = 2]

2393

x + 3= 1− 2

x + 2

[x±√

6]

240 x− 32

+4

2x + 3= 0

[x = ±1

2

]241

x + 11− x

=x + 1

2

x− 12

, con x ∈ Q [x ∈ ∅]

2424 + x

3− 5

x=

7− x

6, con x ∈ N [x = 3]

2431

x + 2− 2 + x

4x− 8=

10 + 3x

4− x2[x = 14]



18 2.1. Equazioni di secondo grado

244x2 + 1

4x2 + 4x + 1− x

6x + 3=

512(2x + 1)2

− x− 14x + 2

[x =

12∨ x =

18

]

245x− 1x2 − 4

12x− 24x2 − 1

+ 2(

x +1

x− 2

):

x2 − 13x− 6

=3 + x

2x + 4

[x =

311

]

246(

2x− 1 + 2x2

x + 3

)x2 + 4x + 3

4x2 − 9− 13 + 6x

24x− 36=(

3x + 3

− 1)

:2x2 − 3x

x2 − 9

[x = −53

42

]

247

(x√

28− 1−

√2

4

):√

2x− 2

+(

1 +1x

):

(√2 + 1

)2x

= 0[x = 2

(√2 + 1

)∨ x = 2

(9√

2− 11)]

2.1.3Applicazioni sul discriminante

Esercizi 2.1.3. Dire per quali valori di k le seguenti equazioni ammettono soluzioni reali e coincidenti.

248 x2 − 2(k − 1)x + k2 = 0 [k = 1/2]

249 x2 + (2k − 1)x + k2 = 0 [k = 1/4]

250 k2x2 − 2kx + 1 = 0 [k 6= 0]

251 4k2x2 − 12kx + 9 = 0 [k 6= 0]

Esercizi 2.1.4. Dire per quali valori di k le seguenti equazioni ammettono soluzioni reali e distinte.

252 x2 − 2x + k = 0 [k < 1]

253 x2 + 2kx + (k − 1)2 = 0 [k > 1/2]

254 x2 − (2k + 1)x + (k2 + k − 2) = 0 [k ∈ R]

255 (k− 2)x2 + 2kx + k− 2 = 0 [k > 1 ∧ k 6= 2]

256 x2 − (k − 4)x + 2k = 0

257 x2 + k2 + 1 = 0 [k ∈ ∅]

Esercizi 2.1.5. Dire per quali valori di k le seguenti equazioni ammettono soluzioni complesse coniugate.

258 x2 − 2x + k = 0 [k > 1]

259 x2 + 2(k − 1)x + k2 − k = 0 [k > 1]

260 4x2 + 4x + 4k2 + 5 = 0 [k ∈ R]

261 x2 − 2kx + k2 + 4 = 0 [k ∈ R]

262 x2 + k = 0 [k > 0]

263 x2 − (k2 − 1) = 0

2.1.4Relazioni fra soluzioni e coefficenti di una equazione di secondo grado

Esercizi 2.1.6. Risolvere i seguenti problemi inerenti equazioni di secondo grado dove con x1 e x2 sono statedenotate le eventuali soluzioni corrispondenti.

264 Nell’equazione x2 − 2(k + 1) − (k − 1) = 0,determinare k in modo che risulti:

(a) x1 = x2; [k = 0]

(b) x1 = 2. [k = −3]

265 Nell’equazione x2 − (3k − 2)x + (k2 − 1) = 0,determinare k in modo che sia x2 = 3x1

[k = 14/11 ∨ k = 2]

266 Nell’equazione x2−2(m+2)x+(2m2−8) = 0,determinare m in modo che sia:

(a) x1 = 0; [m = ∓2]

(b) x1 = −x2; [m = −2]

(c) x1 + x2 = 4/3. [m = −4/3]

267 Nell’equazione (m−1)x2 +5mx+11m−8 = 0,determinare m in modo che sia:

(a) una radice nulla; [k = 8/11](b) una radice il quadruplo dell’inversa del-

l’altra. [k = 4/7]

268 Nell’equazione 8mx2−2(3m−2)x+m−1 = 0,determinare m in modo che:

(a) le radici siano reali e coincidenti;(b) le radici siano opposte;(c) le radici siano reciproche;(d) la somma degli inversi delle radici sia 4;(e) il prodotto delle radici sia doppio della

loro somma.

269 Nell’equazione (2x−1)x2−2(k−1)x+3k = 0,determinare k in modo che:

(a) una radice sia eguale a− 1;(b) la somma dei quadrati delle radici sia 4;

[email protected]


2. Algebra di secondo grado 19

(c) la somma degli inversi delle radici sia 1/3.

270 Nell’equazione x2 − 3x + (k − 1) = 0,determinare k in modo che x3

1 + x32 = 81.

271 Nell’equazione x2 + (k − 2)x + (k − 1) = 0,determinare k in modo che sia:

(a) x1 + x2 = 3; [k = −1]

(b) x1x2 = 8; [k = 0]

(c) x1 = 0; [k = 1]

(d) x21 + x2

2 = 1; [k = 1]

(e) x31 + x3

2 = 1.

272 Senza risolvere l’equazione ax2 + bx + c = 0,esprimere, per mezzo dei coefficienti, la sommadei cubi dei reciproci delle radici.

273 Nell’equazione 2(h−1)x2+2(h−3)x−(h+1) =0, determinare h in modo che sia:

(a) x1 = x2; [h ∈ ∅]

(b)x1 + x2

x1x2=

1713

;[h =

959

](c) x1(x1 + x2) + x2(2x1 + x2) = −1/2;

[h = 2 ∨ h = 5]

274 Nell’equazione x2 − 2(k − 3)x − (3 − k) = 0,determinare k in modo che sia:

(a) x1 = x2; [k ∈ ∅](b) x1 = −1; [k = 1]

(c) x21 + x2

2 =8515

;[k =

38∨ k =

98

]275 Nell’equazione (k + 1)x2− 2mx + km = 0, con

m 6= 0, determinare k in modo che sia:

(a) x1 = 0; [k = 0]

(b) x1 + x2 = m; [k = 1]

(c)1x1

+1x2

= 3m;[k =

23m

](d) −m(x1 + x2) + x1x2 = 0; [k = 2m]

2.2 Disequazioni di secondo grado

2.2.1Disequazioni numeriche intere

Esercizi 2.2.1. Risolvere le seguenti disequazioni numeriche intere.

276 4x2 > 0 [x 6= 0]

277 x2 > 1 [x < −1 ∨ x > 1]

278 x2 + 4 > 0 [x ∈ R]

279 −3x2 < 0 [x 6= 0]

280 x− 3x2 > 0[0 < x <

13

]281 5x2 − 4x > 0

[x < 0 ∨ x >

45

]282 x2 + 2 < 0 [x ∈ ∅]

283 x2 − x > 0 [x < 0 ∨ x > 1]

284 2x− x2 ≥ 0 [0 ≤ x ≤ 2]

285 x2 − 2x + 1 > 0 [x 6= 1]

286 x2 − 5x + 5 > 0 [x < 2 ∨ x > 3]

287 −x2 + 2x− 5 > 0 [x ∈ ∅]

288 4x(x− 2) ≤ 11 + (x− 4)2 [−3 ≤ x ≤ 3]

289 2x2 + 16x + 32 > 0 [x 6= −4]

290 4x + 21− x2 > 0 [−3 < x < 7]

291x2

4− x <

214

[−3 < x < 7]

292 4(x2 − 1) < 4x− 1[

12

< x <32

]293 (3x + 2)2 ≥ (3x− 2)3 [x ∈ R]

294 x2 < 4√

3(x−√

3) [x ∈ ∅]

295 x− (2x−√

5)(x +√

5) +√

5 ≤ 0

[x ≤ −

√5 ∨ x ≥ 1 +

√5

2

]

2.2.2Disequazioni letterali intere

Esercizi 2.2.2. Discutere la risoluzione delle seguenti disequazioni intere letterali nella variabile x.



20 2.2. Disequazioni di secondo grado

296 x2 −mx ≤ 0

m < 0 ⇒ m ≤ x ≤ 0m = 0 ⇒ x = 0m > 0 ⇒ 0 ≤ x ≤ m

297 x2 − 4mx + 4m2 > 0 [x 6= 2m]

298 x2 ≤ 4a4[−2a2 ≤ x ≤ 2a2

]299 a2x2 − 2a2x + a2 − 1 > 0 con a > 0

[x <

a− 1a∨ x >

a + 1a

]

300 3x2 − 2bx− b2 > 0

b < 0 ⇒ x < b ∨ x > − b3

b = 0 ⇒ x 6= 0b > 0 ⇒ x < − b

3 ∨ x > b

301 ax2 − (a2 − 2)x− 2a > 0

a < −2 ⇒ x < a ∨ x > −2a = −2 ⇒ x > 0a > −2 ⇒ x < −2 ∨ x > a

302 x2 + (2− a)x− 2a > 0

a < −2 ⇒ x < a ∨ x > −2a = −2 ⇒ x 6= −2a > −2 ⇒ x < −2 ∨ x > a

303 2x2 − (a− 1)x− a(a + 1) ≤ 0

a < − 1

3 ⇒ a ≤ x ≤ −a+12

a = − 13 ⇒ x = − 1

3

a > − 13 ⇒ −a+1

2 ≤ x ≤ a

304 (x + a)(x− a) ≥ 1− 2a

a < 1 ⇒ x ≤ a− 1 ∨ x ≥ 1− a

a = 1 ⇒ x ∈ Ra > 1 ⇒ x ≤ 1− a ∨ x ≥ a− 1

305 2a(x− 1)2 − x(1− 4a)− 2a ≤ 0

a < 0 ⇒ x ≤ 12a ∨ x ≥ 0

a = 0 ⇒ x ≥ 0a > 0 ⇒ x ≤ 0 ≤ x ≤ 1

2a

2.2.3

Disequazioni numeriche fratte


Mediante il 1° principio di equivalenza per dise-quazioni ed il 2° a patto che coinvolga termini disegno costante (ad esempio quelli numerici in cuinon compaiono l’incognita e/o altri parametri), siriconduce la disequazione fratta nella forma

A(x)B(x)

Q 0,

detta forma normale, con A e B polinomi di primo

e/o secondo grado. Poi si studiano separatamentei segni di A e B in funzione di x. A tale scopo sicalcolano le radici e i coefficienti direttori di A e Bapplicando la seguente regola: un polinomio di se-condo grado assume all’esterno delle sue radici lostesso segno del coefficiente direttore e discorde al-l’interno. Procedendo con la composizione dei segnidi A e B, si ottengono i segni di A/B mediante iquali si puo rispondere alla disequazione iniziale.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Esercizi 2.2.3. Risolvere le seguenti disequazioni numeriche fratte.

306(x− 1)3x

2x− 6≥ 0 [0 ≤ x ≤ 1 ∨ x > 3]

3074x2 + 4x + 1x2 + x + 5

≥ 0[x = −1

2

]308

x− 1x2 + 2x + 2

< 0 [x < 1]

3093x2 − x− 26x2 − x− 7

< 0[−1 < x < −2

3∨ 1 < x <

76

]

[email protected]



310x2 + 5x + 4x2 − 5x− 6

< 0 [−4 < x < 6 ∧ x 6= −1]

311 x >1

3− 4x

[x <

34∨ x >

1924

]312

1x2 + 1

> 0 [x ∈ R]

3132

x2 + 1> 1 [−1 < x < 1]

314x + 1x2 − 4

− 1x + 2

− 2− x

x2 + 4x + 4≤ 0

[x < 2 ∧ x 6= −2]

315x2 − 3x2 + 3

− x2 + 3x2 − 3

> 0 [−√

3 < x <√

3 ∧ x 6= 0]





Segue dunque che x− 1 e positivo a destra di1 e negativo a sinistra.

3x Lo zero di 3x si ottiene da 3xi= 0 ⇔ x = 0.

Il coefficiente direttore di 3x e 3 > 0.

Segue dunque che 3x e positivo a destra di 0e negativo a sinistra.

2x− 6 Lo zero di 2x− 6 si ottiene da 2x− 6i=

0 ⇔ x = −−62

= 3. Il coefficiente direttoredi 2x− 6 e 2 > 0.

Segue dunque che 2x− 6 e positivo a destradi 3 e negativo a sinistra.


da cui si evince che x ∈ [0, 1] ∪ (3, +∞).




Segue dunque che x− 1 e positivo a destra di1 e negativo a sinistra.

x2 + 2x + 2 Si calcola preliminarmente il discri-

minante di x2 + 2x + 2 che e ∆ = 22−4·1·2 =4 − 8 = −4 < 0. Ne segue che x2 + 2x + 2non ha zeri.

Il coefficiente direttore di x2 + 2x + 2 e 1 > 0(in quanto x2 + 2x + 2 = 1 · x2 + 2x + 2).

Segue che il segno di x2 + 2x + 2 e sempreuguale a quello del suo coefficiente direttore

1, ossia strettamente positivo su tutto l’assereale.


da cui si evince che x ∈ (−∞, 1).


x2 + 5x + 4 Si calcola preliminarmente il discri-

minante di x2 + 5x + 4 che e ∆ = 52−4·1·4 =25− 16 = 9 > 0. Dunque x2 + 5x + 4 ha duezeri che si ottengono da

x =−5±

√9

2 · 1 ⇐⇒ x =−5− 3

2∨ x =

−5 + 3

2

⇐⇒ x = −4 ∨ x = −1.

Il coefficiente direttore di x2 + 5x + 4 e 1 > 0(in quanto x2 + 5x + 4 = 1 · x2 + 5x + 4).

Segue che il segno di x2 + 5x + 4 e uguale aquello del suo coefficiente direttore 1 all’in-terno dei suoi zeri −4 e −1 e discorde al-l’esterno, ossia e strettamente positivo nel-l’intervallo (−4,−1) e negativo sull’insieme(−∞,−4) ∪ (−1,∞).

x2 − 5x− 6 Calcoliamo preliminarmente il di-

scriminante di x2 − 5x− 6 che e ∆ = (−5)2−4 · 1 · (−6) = 25 + 24 = 49 > 0. Dunquex2 − 5x− 6 ha due zeri che si ottengono da

x =5±√

49

2 · 1 ⇐⇒ x =5− 7

2∨ x =

5 + 7

2

⇐⇒ x = −1 ∨ x = 6.

Il coefficiente direttore di x2− 5x− 6 e 1 > 0(in quanto x2 − 5x− 6 = 1 · x2 − 5x− 6).

Segue che il segno di x2 − 5x− 6 e ugua-le a quello del suo coefficiente direttore 1all’interno dei suoi zeri −1 e 6 e discor-de all’esterno, ossia e strettamente positivonell’intervallo (−1, 6) e negativo sull’insieme(−∞,−1) ∪ (6,∞).



22 2.3. Problemi di secondo grado


da cui si evince che x ∈ (−4,−1) ∪ (−1, 6).

2.3 Problemi di secondo grado

2.3.1Problemi di algebra


316 Trovare due numeri interi consecutivi tali chela somma dei loro quadrati sia 761.

317 Trovare l? eta di una persona sapendo che fradue anni la sua eta sara uguale al quadratodella quarta parte dell? eta che aveva tre annifa.

318 Utilizzando 240 m di filo spinato si vuole re-citare un appezzamento di terreno, di formarettangolare, della superficie di 3200 . Qualidimensioni dovra avere tale appezzamento?

319 Trova i numeri tali che la somma tra il loro qua-drato e il triplo dei numeri stessi e superiore a4.

320 Trova i numeri x tali che il quadruplo del loroquadrato e inferiore ai numeri che si ottengonoaggiungendo 90 al doppio dei numeri x.

321 Determinare per quali valori di x la somma deltriplo del quadrato di x e il doppio di x superala differenza fra 1 e x.

322 Se un? industria produce x unita di un pro-dotto e il profitto e dato da x2 − 50x − 5000,per quali valori di x si avra un guadagno?

323 Calcolare quel numero di cui il quadrato au-mentato di 3 e uguale al quadruplo del numerostesso. [3]

324 Dire perche non esiste nel campo reale un nu-mero il cui quadrato sia eguale al doppio delnumero stesso diminuito di 17.

325 Determinare quel numero che si ottiene som-mando a 2 prima la meta del numero stesso,

poi la sua quinta parte ed infine il quozientetra 80 e il numero stesso. [−40/3; 20]

326 Determinare tre numeri interi consecutivi sa-pendo che la somma del prodotto del primoper il secondo e del prodotto del primo per ilterzo e 199. [7; 8; 9]

327 Determinare due numeri sapendo che la lorosomma e 2 e che la somma dei loro quadrati e34. [−3; 5]

328 Due frazioni sono reciproche; la loro somma e29/10 e il prodotto dei numeratori e 10. De-terminare le frazioni. [2/5; 5/2]

329 Determinare due numeri sapendo che la som-ma dei loro reciproci e 6 e che la somma deiquadrati di quest’ultimi e 26.

[(1/5, 1); (1, 1/5)]

330 Determinare tre numeri, la cui somma e 24,sapendo che il quadrato del primo e uguale al-la somma dei quadrati degli altri due e che lasomma dei loro quadrati e 200.

[(10, 6, 8); (10, 8, 6)]

331 Determinare due numeri sapendo che il loroprodotto, aumentato del quadrato del primo,e 260 e che lo stesso prodotto e uguale a 140diminuito del quadrato del secondo.

[(13, 7); (−13,−7)]

332 Un padre ha due figli dei quali il maggiore ha 5anni piu dell’altro. Sapendo che il padre aveva25 anni quando nacque il figlio maggiore e cheora il prodotto delle eta dei figli e uguale a 1/8dell’eta del padre meno il quintuplo dell’eta delfiglio minore, calcolare le eta. [15; 10; 40]


[email protected]



322 Siano x e y tali numeri. Allora la somma dei loro reciproci e 6 ossia 1x

+ 1y

= 6 e la somma dei loro quadrati e 26

ossia x2 + y2 = 26. Quindi il problema e riconducibile al seguente sistema (con x 6= 0 ∧ y 6= 0):8><>:1

x+

1

y= 6

1

x2+

1

y2= 26

⇔

8>><>>:1

y= 6− 1

x

1

x2+

„6− 1

x

«2

− 26 = 0

⇔

8><>:1

y=

6− x

x1

x2+ 36− 12

x+

1

x2− 26 = 0

⇔

8><>:y =

x

6− x2

x2+ 10− 12

x= 0

⇔

8<: y =x

6− x

1 + 5x2 − 6x = 0⇔

8><>:y =

x

6− x

x =1

5∨ x = 1

⇔

8><>:y =

x

6− x

x =1

5

∨

8<: y =x

6− x

x = 1

⇔

8<: y = 1

x =1

5

∨

8<: y =1

5

x = 1

2.3.2Problemi di geometria


333 L’area di un triangolo rettangolo e 30 cm2; de-terminare la lunghezza dei cateti sapendo cheuno e 3/5 dell’altro.

334 Calcolare le misure dei cateti di un triangolorettangolo essendo noto il perimetro 12a e l’a-rea 6a2. [3a; 4a; 5a]

335 E’ dato un rettangolo ABCD avente AB = 3ae BC = 4a; determinare sul lato AD un puntoE in modo che dette H e K rispettivamente leproiezioni ortogonali di E sulla diagonale ACe di H su BC, si abbia: EH ·HK = 189

125a2.[AE = a

]

336 In un cerchio di diametro AB = 2r, condurreuna corda AC in modo che la sua proiezionesul diametro sia AH = 3

8r e calcolare l’area Sdel triangolo ABC. [

AC =√

38

; S =√

398

r2

]

337 Sul prolungamento del diametro AB di un cer-chio, dalla parte di B, si prende un punto Ptale che sia BP = 8a; calcolare il raggio delcerchio sapendo che il segmento PC di tangen-te al cerchio e dodici quinti del raggio. [5a]



3Algebra di grado superiore al secondo

3.1 Equazioni di grado superiore al secondo

3.1.1Equazioni numeriche scomponibili, intere e fratte

Esercizi 3.1.1. Risolvere le seguenti equazioni di grado superiore al secondo mediante scomposizione.

338 (x− 1)(x2 + x) = 0 [x = −1 ∨ x = 0 ∨ x = 1]

339 (x2 − 2x + 1)(x2 − 4x + 4) = 0 [x = 1 ∨ x = 2]

340 2x(x + 2)(x− 3) = 0 [x = −2 ∨ x = 0 ∨ x = 3]

341 x3 + 2x2 + x = 0 [x = 0]

342 x3 − 6x2 + 11x− 6 = 0 [x = 1 ∨ x = 2 ∨ x = 3]

343 2x3 + 5x− 7 = 0 [x = 1]

344 x4 − 3x3 − 7x2 + 27x− 18 = 0 [x = −3 ∨ x = 1 ∨ x = 2 ∨ x = 3]

345 2x4 − 7x3 − 5x2 + 28x− 12 = 0[x = −2 ∨ x =

12∨ x = 2 ∨ x = 3

]

346 18x4 − 45x3 + 16x2 + 5x− 2 = 0[x = −1

3∨ x =

13∨ x =

12∨ x = 2

]347 x2(x− 3)− 18(3− x) = 0 [x = 3]

348 (x2 − 4) + (3x2 − 12)x2 = 0 [x = −2 ∨ x = 2]

349 4x3 − 8x2 = x− 2[x =

12∨ x = 2 ∨ x = −1

2

]350 (x + 3)x2 + 2x2 + 7x + 3 = 0 [x = −3 ∨ x = −1]

351 x2(2x− 3) = 3x− 2[x = −1 ∨ x = 2 ∨ x =

12

]352 (2x + 1)(x− 1) = 2x− x3 − 1 [x = 1 ∨ x = 0 ∨ x = −3]

35312

(3− x) + x2 = 4x(2− 2x− x2)[x = −3 ∨ x =

14∨ x =

12

]

354 2x− 3x2(1− x4)− 2x5 = x4 − 1[x = −1 ∨ x = −1

3∨ x = 1

]



26 3.2. Disequazioni di grado superiore al secondo

355 x(x− 2) + 1 + x2 − x3(2− x) = 0 [x = 1]

356 x2 − 6x + 9 + (x− 3)(x− 6) = (3− x)3 [x = 0 ∨ x = 3 ∨ x = 4]

357 (x2 + 1)(x− 2) = x + x2 − 6 [x = −1 ∨ x = 2]


343 Si deve scomporre il polinomio p(x) = 2x3 + 5x−7al primo membro in fattori polinomiali di primoe/o secondo grado. Un possibile approccio al pro-blema sta nel ricercare fra i divisori del terminenoto quel valore x0 che annulla il polinomio p perpoi procedere alla divisione di p per il fattore x−x0

mediante la regola di Ruffini. I divisori del terminenoto −7 sono −7,−1, 1 e 7 e 1 e un siffatto valorein quanto p(1) = 2 · 13 + 5 · 1− 7 = 2 + 5− 7 = 0.Si procede dunque con la regola di Ruffini:

2 0 5 -7

1 2 2 7

2 2 7 0

Quindi 2x3 +5x−7 = (x−1)(2x2 +2x+7). Le se-guenti equazioni sono, dunque, equivalenti a quellainiziale

(x− 1)(2x2 + 2x + 7) = 0

x− 1 = 0 ∨ 2x2 + 2x + 7 = 0

x = 1 ∨ 2x2 + 2x + 7 = 0

Rimane da stabilire se 2x2 + 2x + 7 = 0 abbia so-luzioni. A tale scopo si calcola il discriminante di2x2 + 2x + 7: ∆ = 22 − 4 · 2 · 7 = 4− 4 · 2 · 7 < 0.Ne segue che 2x2 + 2x + 7 = 0 non ha soluzione equindi l’unica soluzione dell’equazione di partenzae x = 1.

3.2 Disequazioni di grado superiore al secondo

3.2.1Disequazioni numeriche scomponibili, intere e fratte

Esercizi 3.2.1. Risolvere le seguenti disequazioni di grado superiore al secondo mediante scomposizione.

358 (x− 2)(2x− 1)(x + 3) > 0[−3 < x <

12∨ x > 2

]359 (x2 − 4)(x + 1) > 0 [−2 < x < −1 ∨ x > 2]

360 (x2 − 1)(1− 4x2) > 0[−1 < x < −1

2∨ 1

2< x < 1

]361 (x2 − 3x− 4)(x2 − 25) < 0 [−5 < x < −1 ∨ 4 < x < 5]

362 x3 − 8 ≥ 0 [x ≥ 2]

363 x4 − 16 ≥ 0 [x ≤ −2 ∨ x ≥ 2]

364 3(x3 − 1) < 7x(x− 1) [x < 1]

365 x3 − 3x + 2 > 0 [x > −2 ∧ x 6= 1]

366 x4 − x2 < 0 [−1 < x < 1 ∧ x 6= 0]

367 (x2 − 1)2 − 8x2(1− x2) < 0[−1 < x < −1

3∨ 1

3< x < 1

]

3681

x2 − 2+

1x2

<34

[x < −2 ∨ −

√2 < x < −

√23∨√

23

< x <√

2 ∨ x > 2

]

3692

1− x2+

6x4 − 1

> 1− 3x2 + 1

[−√

2 < x < −1 ∨ 1 < x <√

2]

370x3 − 5x2 − x + 5x4 − 7x2 − 18

≤ 0 [x < −3 ∨ −1 ≤ x ≤ 1 ∨ 3 < x ≤ 5]

371x− 1

x2 + 5x + 6+

x− 3x2 + 3x + 2

<x2 − 12

x3 + 6x2 + 11x + 6[x < −3 ∨ −2 < x < −1]

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3. Algebra di grado superiore al secondo 27

372x2 + 1

x3 + 4x2+

x + 2x + 4

≥ x− 2x2 + 4x

[x < −4 ∨ x ≥ −1 ∧ x 6= 0]


361 La disequazione e gia in forma normale, pertanto,si studiano subito i segni dei fattori della funzioneal primo membro:

x2 − 3x− 4 Si calcola preliminarmente il discri-

minante di x2 − 3x− 4 che e ∆ = (−3)2 −4 · 1 · (−4) = 9 + 16 = 25 > 0. Dunquex2 − 3x− 4 ha due zeri che si ottengono da

x =−(−3)±

√25

2 · 1 ⇐⇒ x =3± 5

2

⇐⇒ x =−2

2∨ x =

8

2

⇐⇒ x = −1 ∨ x = 4

Il coefficiente direttore di x2− 3x− 4 e 1 > 0(in quanto x2 − 3x− 4 = 1 · x2 − 3x− 4).

Segue che il segno di x2 − 3x− 4 e uguale aquello del suo coefficiente direttore 1 all’inter-no dei suoi zeri −1 e 4 e discorde all’esterno,ossia e strettamente positivo nell’intervallo(−1, 4) e strettamente negativo sull’insieme(−∞,−1) ∪ (4,∞).

x2 − 25 Il polinomio x2 − 25 ha due zeri che siottengono da

x2 − 25i= 0⇐⇒ x2 = 25

⇐⇒ x = ±√

25

⇐⇒ x = ±5

Il coefficiente direttore di x2 − 25 e 1 > 0 (inquanto x2 − 25 = 1 · x2 − 25).

Segue che il segno di x2 − 25 e uguale a quel-lo del suo coefficiente direttore 1 all’internodei suoi zeri −5 e 5 e discorde all’esterno,ossia e strettamente positivo nell’intervallo(−5, 5) e strettamente negativo sull’insieme(−∞,−5) ∪ (5,∞).


da cui si evince che x ∈ (−5,−4) ∪ (1, 5).

367 Si fattorizza il polinomio al primo membro:

(x2 − 1)2 − 8x2(1− x2)i termini in parente-si sono uno l’oppostodell’altro

(x2 − 1)2+8x2(x2 − 1)moltiplicando la pa-rentesi a destra per il− diventano uguali

(x2 − 1)(x2 − 1 + 8x2)mettendo in eviden-za x2 − 1

(x2 − 1)(9x2 − 1) semplificando

Dunque la disequazione iniziale e equivalente allaseguente disequazione

(x2 − 1)(9x2 − 1) < 0

la quale e ora in forma normale. Si studiano ora isegni dei fattori costituenti il primo membro delladisequazione:

x2 − 1 Il polinomio x2 − 1 ha due zeri che siottengono da

x2 − 1i= 0⇐⇒ x2 = 1

⇐⇒ x = ±√

1

⇐⇒ x = ±1

Il coefficiente direttore di x2 − 1 e 1 > 0 (inquanto x2 − 1 = 1 · x2 − 1).

Segue che il segno di x2 − 1 e uguale a quel-lo del suo coefficiente direttore 1 all’internodei suoi zeri −1 e 1 e discorde all’esterno,ossia e strettamente positivo nell’intervallo(−1, 1) e strettamente negativo sull’insieme(−∞,−1) ∪ (1,∞).

9x2 − 1 Il polinomio 9x2 − 1 ha due zeri che siottengono da

9x2 − 1i= 0⇐⇒ 9x2 = 1

⇐⇒ x2 =1

9

⇐⇒ x = ±r

1

9

⇐⇒ x = ±1

3

Il coefficiente direttore di 9x2 − 1 e 9 > 0.

Segue che il segno di 9x2 − 1 e uguale a quel-lo del suo coefficiente direttore 9 all’inter-no dei suoi zeri −1/3 e 1/3 e discorde all’e-sterno, ossia e strettamente positivo nell’in-tervallo (−1/3, 1/3) e strettamente negativosull’insieme (−∞,−1/3) ∪ (1/3,∞).


da cui si evince che x ∈ (−1,−1/3) ∪ (1/3, 1).



28 3.2. Disequazioni di grado superiore al secondo

338 Si porta la disequazione in forma normale:2

1− x2+

6

x4 − 1> 1− 3

x2 + 1l’equazione presenta termini frazionari

2

1− x2+

6

(x2 − 1)(x2 + 1)− 1 +

3

x2 + 1> 0 portando tutto al 1° membro e scomponendo il

denominatore del secondo termine

−2(x2 + 1) + 6− (x2 − 1)(x2 + 1) + 3(x2 − 1)

(x2 − 1)(x2 + 1)> 0

sommando tutti i termini dopo aver calcolato l’mcmdei corrispettivi denominatori

−2x2 − 2 + 6− x4 + 1 + 3x2 − 3

(x2 − 1)(x2 + 1)> 0

levando le parentesi al numeratore e sviluppando icalcoli

−x4 + x2 + 2

(x2 − 1)(x2 + 1)> 0

il numeratore e un polinomio biquadratico che si vuolefattorizzare

−x4−x2 +

2x2z }| {x2+x2 +2

(x2 − 1)(x2 + 1)> 0

sottraendo e sommando al numeratore il monomio x2

(cioe sommando una quantita nulla che non altera ladisequazione)

−x4 − x2 + 2x2 + 2

(x2 − 1)(x2 + 1)> 0

il numeratore e pronto per una messa in evidenzaparziale

−x2(x2 + 1) + 2(x2 + 1)

(x2 − 1)(x2 + 1)> 0

dopo la messa in evidenza parziale, si nota che i terminihanno un fattore comune

(x2 + 1)(−x2 + 2)

(x2 − 1)(x2 + 1)> 0

ora anche il numeratore e scomposto in fattori di gradoal piu 2

��(x2 + 1)(−x2 + 2)

(x2 − 1)��(x2 + 1)> 0

cancellando il fattore x2 + 1 comune a numeratore edenominatore poiche privo di radici

2− x2

x2 − 1> 0

la disequazione ottenuta e equivalente a quella dipartenza

Si studiano ora i segni dei fattori costituenti il primo membro della disequazione:

2− x2 Il polinomio 2− x2 ha due zeri che si ottengono da

2− x2 i= 0⇐⇒ 2 = x2

⇐⇒ x2 = 2

⇐⇒ x = ±√

2

Il coefficiente direttore di 2− x2 e −1 < 0 (in quanto 2− x2 = 2 + (−1) · x2).

Segue che il segno di 2− x2 e uguale a quello del suo coefficiente direttore −1 all’interno dei suoi zeri −√

2 e√2 e discorde all’esterno, ossia e strettamente negativo nell’intervallo (−

√2,√

2) e strettamente positivo su(−∞,−

√2) ∪ (

√2,∞).

x2 − 1 Il polinomio x2 − 1 ha due zeri che si ottengono da

x2 − 1i= 0⇐⇒ x2 = 1

⇐⇒ x = ±√

1

⇐⇒ x = ±1

Il coefficiente direttore di x2 − 1 e 1 > 0 (in quanto x2 − 1 = 1 · x2 − 1).

Segue che il segno di x2 − 1 e uguale a quello del suo coefficiente direttore 1 all’interno dei suoi zeri −1 e 1 ediscorde all’esterno, ossia e strettamente positivo nell’intervallo (−1, 1) e negativo su (−∞,−1) ∪ (1,∞).

Allora, per la funzione al primo membro della disequazione, segue il seguente prospetto dei segni

da cui si evince che x ∈ (−√

2,−1) ∪ (1,√

2).

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4Equazioni e disequazioni riconducibili a quelle algebriche

4.1 Equazioni e disequazioni con il valore assoluto

4.1.1Equazioni numeriche, intere e fratte

Questionario 4.1.1. Rispondere ai seguenti quesiti.

373 |−3| = 3 V F

374∣∣∣∣−5

2

∣∣∣∣ =52

V F

375 |6| = −6 V F

376 |A| = A V F

377 |A| = −A V F

378 |A| = |B| ⇒ A = B V F

379 |A| = |B| ⇒ A = −B V F

380 |A| = |B| ⇒ (A = B ∨A = −B) V F

381 |A| = K2 ⇒ (A = K2 ∨A = −K2) V F

382 (|A| = −K2 ∧K 6= 0)⇒ K ∈ ∅ V F

383 |A| = B ⇒ A = ±B V F

384 |A| = B ⇒ (B ≥ 0 ∨A = ±B) V F


E’ sempre possibile ricondurre le equazioni con ilvalore assoluto ad altre equivalenti algebriche. Nelpiu sfortunato dei casi si deve applicare la definizio-ne di valore assoluto e quindi discutere vari scenaria seconda del segno dell’argomento del valore asso-luto. In altri casi piu semplici si possono applicarele seguenti equivalenze:

AE1 |f(x)| = 0⇔ f(x) = 0;

AE2 ∀M ≥ 0 si ha che |f(x)| = M ⇔ f(x) = ±M ;

AE3 ∀M < 0 si ha che |f(x)| = M ⇔ x ∈ ∅;

AE4 |f(x)| = |g(x)| ⇔(f(x)

)2 =(g(x)

)2;

AE5 |f(x)|+ |g(x)| = 0⇔ f(x) = g(x) = 0.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Esercizi 4.1.2. Tenendo presente la definizione di valore assoluto e le sue proprieta, risolvere nel modo piurapido possibile le seguenti equazioni.

385 |2x− 6| = 0 [x = 3]

386 |1 + x| = 0 [x = −1]

387 |3x + 1|+ 2 = 0 [x ∈ ∅]

388 |4x2 − x| = 0[x = 0 ∨ x =

14

]389 |2− x| = −1 [x ∈ ∅]

390 |1− x2| = 0 [x = ±1]

391 1− |1 + x| = 3 [x ∈ ∅]

392 |4− x + x2|+ 5 = 0 [x ∈ ∅]

393∣∣∣∣2x +

13

∣∣∣∣− 12

= 2[x = −17

12∨ x =

1312

]394 |1− x| = |2x− 3|

[x =

43∨ x = 2

]



30 4.1. Equazioni e disequazioni con il valore assoluto

395 |x| = |1 + x|[x = −1

2

]

396 |x2 − 3x| = |x2 − 4x|[x = 0 ∨ x =

72

]397 |x|+ |x2 − 1| = 0 [x ∈ ∅]

398 |x2 + x|+ |2x| = 0 [x = 0]

399 |x− 1|+ |x2 − x| = 0 [x = 1]

400 |1− 3x| = 8[x = −7

3∨ x = 3

]401 |x2 − 5x| = 6

[x = −1 ∨ x = 6 ∨ x = 2 ∨ x = 3]

402∣∣∣∣x + 2

2x2+

12

∣∣∣∣ = 2[x = 1 ∨ x = −2

3

]403 |x2 − 1| = |x2 − 5x + 1|[

x = 0 ∨ x =25∨ x =

52

]Svolgimento di alcuni esercizi.

385 Si ha che

|2x− 6| = 0l’incognita e in unvalore assoluto

2x− 6 = 0applicando l’equiva-lenza AE1

x = −−6

2= 3 la soluzione

387 Si ha che

|3x + 1|+ 2 = 0l’incognita e in unvalore assoluto

|3x + 1| = −2portando 2 al 2°membro

x ∈ ∅ l’equazione e impos-sibile per la AE3

389 Si ha che l’equazione e impossibile per la AE3.

394 Si ha che

|1− x| = |2x− 3| l’incognita e in piuvalori assoluti

(1− x)2 = (2x− 3)2applicando l’equiva-lenza AE4

1− 2x + x2 =4x2 − 12x + 9

svolgendo i calcoli

−3x2 + 10x− 8 = 0portando tutto al 1°membro

dunque l’equazione iniziale e equivalente ad unaequazione algebrica di secondo grado. Poiche il

discriminante di −3x2 + 10x − 8 e ∆ = 100 −4(−3)(−8) = 100 − 96 = 4 > 0 allora l’equazioneammette le due soluzioni

x =−10±

√4

2(−3)=−10± 2

−6⇐⇒ x = −4

3∨ x = 2.

399 Si ha che

|x− 1|+ |x2 − x| = 0l’incognita e in piuvalori assoluti

x− 1 = 0 ∧ x2 − x = 0applicando l’equiva-lenza AE5

x = 1 ∧ x(x− 1) = 0 svolgendo i calcoli

x = 1 ∧ (x = 0 ∨ x = 1) svolgendo i calcoli

x = 1 la soluzione

400 Si ha che

|1− 3x| = 8l’incognita e in unvalore assoluto

1− 3x = ±8applicando l’equiva-lenza AE2

−3x = −1± 8portando 1 al 2°membro

x =−1± 8

−3

dividendo i membriper −3

x = −7

3∨ x = 3 le soluzioni

Esercizi 4.1.3. Risolvere le seguenti equazioni aventi, tra i loro termini, i valori assoluti di una o piu espressionicontenenti l’incognita.

404 |(1 + |x|)2| = x2 − 3|x| [x ∈ ∅]

405 |x|+ x = 4 [x = 2]

406 |x− 5|+ x = 5 [x ≤ 5]

407 1 = 2x− |1− x|[x = 0 ∨ x =

23

]408 |x2 − 6| = x [x = 2 ∨ x = 3]

409 x + 2 + |x− 1| = |2x + 1| [x = −2 ∨ x ≥ 1]

410 |1− 2x + |x + 1|| = x− 2 [x ≥ 2]

411 |1 + |2x− 1| − x| = 3[x = −1

3∨ x = 3

]

412 |x− 1|+ |x2 − x| − x2 + 2x− 1 = 0[x ≤ 0 ∨ x = 1]

413 |a + b− 2x| = b− a, con b > a[x = a ∨ x = b]

414 |2x + 1|+ |x− 3| − |x| = 1 [x = −5

2∨ x =

34

]

[email protected]


4. Equazioni e disequazioni riconducibili a quelle algebriche 31

415 |−x2 + 4x + 1| = 2x + 2[x = 1 ∨ x = 3 + 2

√3]

416 (1 + |x|)2 + x− 3 = x2

[x = −2 ∨ x =

23

]417 |−2x3 + 3x| = x [x = 0 ∨ x = 1 ∨ x = 2]

4182− x

|2x + 1|=

53

[x = −11

7∨ x =

113

]419

x + 1|x|

=25

[x = −5

7

]

420x + 4|x− 1|

=34

[x ∈ ∅]

421|x + 1|x + 1

= 2 [x ∈ ∅]

422 |x2 + 4x + 4| − |3x− 1| = 4x + 1[x = −2 ∨ x = −1]

423 |3(2+x)−x|−|x−1| = 1+|x+1|[x = −5

4

]Questionario 4.1.4. Stabilire se le seguenti proposizioni sono vere o false motivando la risposta.

424 |x + 1|+ |2x− 3| = 0⇔ x ∈ ∅ V F

425 |x− 1|+ |x2 − 1| = 0⇔ x = 1 V F

426 |x2 − x− 3| = −3⇔ x ∈ R V F

427 |x2 − 1| = −1⇔ x = 0 V F

428∣∣∣∣x− 1

x

∣∣∣∣ = 0⇔ x = 1 V F

429 |x− 3|+ 2x− 1 = 0⇔ x = −2 V F

430 |a2+1x | =

a2+12 ⇔ x = ±2 V F

431 |x2 − 4|+ |6x− 12| = 0⇔ x = 2 V F

432 |25− 10x|+ |2x− 5| = 0⇔ x ∈ ∅ V F

433 |x2 + x| = −|x| ⇔ x = 0 ∨ x = −1 V F

4.1.2Disequazioni numeriche, intere e fratte

Questionario 4.1.5. Stabilire se le seguenti proposizioni sono vere o false motivando la risposta.

434 |−3| < |−7| V F

435 |4| < |−7| V F

436 |A| ≤ |B| ⇒ A ≤ B V F

437 |A| ≤ |B| ⇒ A2 < B2 V F

438 |x− 2| ≤ |x + 2| ⇒ x ≥ 0 V F

439 |2x− 3| ≤ |2x− 9| ⇒ x ≤ 3 V F

440 |A| ≤ K2 6= 0⇒ −K2 ≤ A ≤ K2 V F

441 |A| ≥ K2 6= 0⇒ (A ≤ K2 ∨A ≥ K2) V F

442 |A| ≤ B ⇒ (B ≥ 0 ∧ −B ≤ A ≤ B) V F

443 |A| ≥ B ⇒ (A < −B ∨A > B) V F

444 (|A| ≥ B ∧B < 0)⇔ x ∈ R V F

445 A > B ⇒ (|A| ≥ B ∧B > 0) V F

446 A < −B ⇒ (|A| ≥ B ∧B > 0) V F


E’ sempre possibile ricondurre le disequazioni conil valore assoluto ad altre equivalenti algebriche. Nelpiu sfortunato dei casi si deve applicare la definizio-ne di valore assoluto e quindi discutere vari scenari aseconda del segno dell’argomento del valore assoluto.In altri piu semplici si possono applicare le seguentiequivalenze:

AD1 |f(x)| ≥ 0⇔ x ∈ dom(f);

AD2 |f(x)| > 0⇔ f(x) 6= 0;

AD3 |f(x)| ≤ 0⇔ f(x) = 0;

AD4 |f(x)| < 0⇔ x ∈ ∅;

AD5 |f(x)|+ |g(x)| > 0⇔(f(x) 6= 0 ∨ g(x) 6= 0

);

AD6 |f(x)| < 0⇔ x ∈ ∅.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Esercizi 4.1.6. Tenendo presente la definizione di valore assoluto di un numero reale, risolvere nel modo piurapido possibile le seguenti disequazioni giustificandone i procedimenti risolutivi.



32 4.1. Equazioni e disequazioni con il valore assoluto

447 |1− x| > −1 [x ∈ R]

448 |1− x2| ≤ 0 [x = ±1]

449 |x− 1| > 0 [x 6= 1]

450∣∣∣∣ 1x∣∣∣∣+ 1 > 0 [x 6= 0]

451∣∣∣∣ 2x + 5

∣∣∣∣+ 4 > 0 [x 6= −5]

452 |x2 − 6x− 1|+ 2 > 0 [x ∈ R]

453 |x2 − 4x + 8| ≤ 0 [x ∈ ∅]

454 |x2 − x| ≥ 0 [x ∈ R]

455 |x + 2| > 0 [x 6= −2]

456 |2x2 − 3x| ≤ 0[x = 0 ∨ x =

32

]457 |x3 + x2 + x| > 0 [x 6= 0]

458 |2x− 3|+ |5x− 1| > 0 [x ∈ R]

459 |x2 − x|+ |x| > 0 [x 6= 0]

460 |x + 2x2|+ 1 > 0 [x ∈ R]

461 |x2 − x|+ |x4 − x| > 0 [x 6= 0 ∧ x 6= 1]

462 2|x2 − x| > |x|[x <

12∧ x 6= 0 ∨ x >

32

]463 2− |x− 2| ≥ 0 [2 < x < 4]

464 x ≥ 2(|x| − 1

) [−2

3≤ x ≤ 2

]465 |x2 − 5x + 6| ≤ 0 [x = 2 ∨ x = 3]

466 |x7 + 2x| < 0 [x ∈ ∅]

467 |x7 + 2x| ≤ 0 [x = 0]

468 |5x + 1|+ |4x− 7| > 0 [x ∈ R]

469 |x4 + x2 + 1| > 0 [x ∈ R]

470 |x4 − 8x2 − 9| > 0 [x 6= ±1]

471 |x2 + x− 2|+ |x2 − 1| > 0 [x 6= 1]

472 |x4 + x− 2|+ |x− 1| ≤ 0 [x = 1]

Esercizi 4.1.7. Risolvere le seguenti disequazioni del tipo |f(x)| ≶ k con k > 0.

473 |3 + 4x| > 2[x < −5

4∨ x > −1

4

]474 |1− 2x| < 0 [0 < x < 1]

475 |2x + 7| < 3 [x 6= 1]

476 |x2 − (x− 3)2 + x| < 2[1 < x <

117

]

4771|x|

>23

[−3

2< x <

32∧ x 6= 0

]

478 |x2 − 5x + 6| > 6 [x < 0 ∨ x > 5]

479∣∣∣∣1 +

2− x

x

∣∣∣∣ > 2 [−1 < x < 0 ∨ 0 < x < 1]

480∣∣∣∣x2 − 3

x

∣∣∣∣ < 2 [−3 < x < −1 ∨ 1 < x < 3]

481∣∣∣∣x− 12 + x

∣∣∣∣ > 12

[< x < −2 ∨ −2 < x < 0]

482∣∣∣∣6x2 −−7x + 3

2x(3x− 1)

∣∣∣∣ < 1[x >

35

]


483 Stabilire per quali valori del parametro a l’equazionea− x

8− 3a− 2− 2x

2= 0 ammette una soluzione il

cui modulo e maggiore di 2. [a < − 6

11∨ a > 2

]

484 Determinare per quali valori del parametro k l’equazione3− 2k − 4x

3− 2x− k

4= 0 ammette una soluzione

il cui modulo e minore di 4. [−76

5< k < 20

]485 Stabilire per quali valori del parametro k l’equazione (k− 1)x− 2k + 1 = 0 ha soluzioni maggiori, in valore

assoluto, di 1. [k < 0 ∨

(k >

23∧ k 6= 1

)]

[email protected]



486 Data l’equazione x2 − 2x + 2 − 3|k| = 0, k ∈ R, si determinino i valori di k per i quali le soluzioni delleequazioni sono reali e concordi. [

−23

< k ≤ −13∨ 1

3< k <

23

]487 Determinare per quali valori del parametro k l’equazione (1 + 2k)x + 3 = k(2− x) ha una soluzione il cui

valore assoluto e maggiore di 1. [−4 < k <

25∧ k 6= −1

3

]

4.2 Equazioni e disequazioni irrazionali

4.2.1Equazioni numeriche, intere e fratte

Esercizi 4.2.1. Spiegare perche le seguenti equazioni sono impossibili.

488√

x = −√

x− 1

489√

x2 − 4 = −2

490 −1 = x2√

x

491√

x2 + 2 = 1

492√

x + 2 =√

x + 3

493√

x + 1 = −1

494√

x− 1 = −x2 − 1

495√−x = x con x 6= 0

496√

x + 1√

x− 1 < 0


497√

x + 1 = −4 [x ∈ ∅]

498√

x + 2 + 1 = x + 3 [x = −2 ∨ x = −1]

499√

16x + 96 = x + 9 [x = −5 ∨ x = 3]

500 9− x =√

10x + 6 [x = 3]

501√

4x2 − 16x + 7 = 2x + 1[x =

310

]

502

√2x− 92x− 5

= 3[x =

94

]

503√

2x + 37 +√

2x + 21 = 8 [x = −6]

504√

x +√

6 + x =√

14 + 2x [x = 2]

505√

x + 7 +√

x + 10 =6√

x + 10[x = −6]

506

√3 +√

2x− 5√3−√

2x− 5= 3

[x =

238

]4.2.2

Disequazioni numeriche, intere e fratte

Esercizi 4.2.3. Determinare il dominio D delle seguenti disequazioni irrazionali.

507√

x− 1 >√

2 [D = [1, +∞)]

508 3√

2x + 1 < 4 [D = R]

509 2n

√3

x− 2> 1 [D = (2, +∞)]

510 2n−1

√5x + 32x− 1

< 2[D = R−

{12

}]

511 4

√1− x

2x2≤ 4√

3 [D = (−∞, 0) ∪ (0, 1)]

512

√2x + 5x− 1

>14

[D = (−∞,−5/2] ∪ (1, +∞)]

513√

x− 1 <√

5x− 3 [D = [1, +∞)]

514 4√

2x2 + 1 <3

√1x

+ 3 [D = R− {0}]

515x

x− 1<√

2− x [D = (−∞, 1) ∪ (1, 2]]

516x

x + 1< 3√

2− x [D = R− {−2}]

Esercizi 4.2.4. Giustificare, senza eseguire nessun calcolo, che le seguenti disequazioni sono impossibili.

517√

x < 0

518√

x2 + 1 ≤ 0

519√

x− 2 < 0

520√

x + 2 < −11

521√

x4 + 1 ≤ 0

522√

4− x2 > 2



34 4.2. Equazioni e disequazioni irrazionali

523√

x2 + 4 < 1

524 3√

1 + x2 < 0

525√

3 + x2 + 2 < 0

526 3√

8 + x2 < 1

527√

2x2 + 1 +√

3 < 0

528√

x2 + 4 >√

x2 + 10

529√

x + x < 0

530 2n√

2x + x < 0

531 4√

16 + x2 < 2


532√

x + 1 > −1⇔ x ∈ ∅ V F

533√

1 +√

x < 0⇔ x ∈ ∅ V F

534√

x ≥ 0⇔ x ∈ R V F

535√

x ≥ 2⇔ x ≥ 4 V F

536√

x ≤ 2⇔ 0 ≤ x ≤ 4 V F

537√

x <√

7⇔ x < 7 V F

538√

1 + x2 > 0⇔ x ∈ R V F

539√

x− 1 < 5⇔ x < 6 V F

540√

x− 1 > 5⇔ x > 6 V F

541√

x2 + 7 >√

x2 + 6⇔ x ∈ R V F

542 4√

x− 1 > −1⇔ x ≥ 1 V F

543 3√

1 + x > 1⇔ x ≥ 0 V F

544 3√

4− x < 2⇔ x > 4 V F

545 −1 < 3√

2− x⇔ x < 3 V F

546 6√

4− x2 < 3√

2⇔ x 6= 0 V F

547 x ≤ 1⇒√

x2 + 1 > 0 V F

548√

x2 + 1 > 0⇒ x ≤ 1 V F

549 x = 1⇒ 10√

x− 1 ≥ 0 V F

550 x > 10⇒ 3√

x2 > 0 V F

551 x > −3⇒√

x ≤ 1 V F

Esercizi 4.2.6. Risolvere le seguenti disequazioni irrazionali.

552√

x + 3 < 4 [−3 ≤ x < 13]

553√

2x + 1 > 3 [x > 4]

554√

x− 2 + 2 > 0 [x ≥ 2]

555√

3x− 2 > −2 [x ≥ 2/3]

556 1 ≤√

x + 2 [x ≥ −1]

557√

3 + 2x > 1 [x > −1]

558√

x− 1− 14 < 0 [1 ≤ x < 17/16]

559 1−√

1− x > 0 [0 < x ≤ 1]

560√

x2 − 9 + 3 > 0 [−x ≤ −3 ∨ x ≥ 3]

561√

x2 − 4 < −3 [x ∈ ∅]

562√

x2 + x + 25 < 4 [x ∈ ∅]

563√

x3 − x + 4 < 0 [x ∈ ∅]

564 3 +√

2− 3x > 0 [x ≤ 2/3]

565 3√

2− x < 1 [x > 1]

566 3− 3√

2 + x2 > 0 [−5 < x < 5]

567 4√

2− x < 1 [1 < x ≤ 2]

568 3√

2x +−1 < 1 [x < 1]

569 5√

1− x2 ≤ 1 [x ∈ R]

570 2n√

2x− 5 < 1, con n ∈ N [5/2 ≤ x < 3]

571 2n+1√

2x− 5 < 10, con n ∈ N0 [x < 3]

572 3√

x3 − 8 ≤ 3√

x3 + x− 2 [x ≥ −6]

573 3√

4x− 4 < 3√

1− x2 [−5 < x < 1]

574 3√

x2 + 1 < 3√

x3 + x [x < 1]

575√

2x < 4√

x2 + 12 [0 ≤ x < 2]

576 3√

x3 + 1 <√

x2 + 1 [x 6= 0]

577 3√

x3 − 8 <√

x2 + 4 [x ∈ R]

578 3√

x3 + 8 ≥√

x2 + 4 [x = 0]

579√

x2 + 4 < 3√

x3 + 8 [x ∈ ∅]

580√

x2 + 4 > 3√

x3 + 8 [x 6= 0]

581√

x2 + 1 ≤ 3√

x3 + 1 [x = 0]

Esercizi 4.2.7. Risolvere le seguenti disequazioni irrazionali del tipo n√

f(x) Q g(x) con n ∈ N.

[email protected]



582 3√

x3 − 2x < x [x > 0]

583 3√

x3 + 2 > x− 1 [x ∈ R]

584 3√

1− 2x > x + 1 [x < 0]

585 3√

1 + x3 < x + 1 [x < −1 ∨ x > 0]

586 3

√1x≤ x [−1 ≤ x < 0 ∨ x ≥ 1]

587 3

√x4 − 2x3

x + 1+ 1 < x

[x < −1 ∨ x >

12

]588 3

√x3 − 9x2 > x− 3 [x < 1]

589√

4− x2 > −x + 2 [0 < x < 2]

590√

4− x2 − x > 2 [−2 < x < 0]

591 x− 1 <√

25− x2 [−5 ≤ x < 4]

592√

2x + 7 ≤ x + 1[x ≥√

6]

593 x− 1 >√

x2 − x + 4 [x ∈ ∅]

594√

x2 − 5x > 2x [x < 0]

595 1 +√

2x2 − x− 1 < x [x ∈ ∅]

596 x− 52

<√

2x2 − 5x + 3[x ≤ 1 ∨ x ≥ 3

2

]597 x >

√x2 + 2x− 3 [1 ≤ x < 3/2]

598√

x2 − 8x + 15 + 4 > x [x ≤ 3]

599 2(x−√

x2 + 2x + 5)

> 3 [x ∈ ∅]

600√

(x− 2)2 − x− x + 3 < 0 [4 ≤ x < 5]

601 x < 2 +√

4 + 3x− x2 [−1 ≤ x < 7/2]

Esercizi 4.2.8. Studiare il campo di esistenza ed i segni delle seguenti funzioni irrazionali parametriche.

602 f(x) =√

k2 − x2/4− x2

4√

k2 − x2/4


602 Il campo di esistenza della funzione f e dato dalla condizione(k2 − x2/4 ≥ 0

k2 − x2/4 > 0⇐⇒ k2 − x2/4 > 0⇐⇒ −2|k| < x < 2|k|.

Scriviamo ora la funzione come prodotti e quozienti di fattori.pk2 − x2/4− x2

4p

k2 − x2/4l’equazione e irrazionale

4`p

k2 − x2/4´2 − x2

4p

k2 − x2/4sommando i termini

4`p

k2 − x2/4´2 − x2

4p

k2 − x2/4

numeratore e denominatore sono funzione della stes-sa espressione che a sua volta determina il campo diesistenza dell’intera funzione

4(k2 − x2/4)− x2

4p

k2 − x2/4

e possibile levare le parentesi al numeratore svolgen-do i calcoli senza alterare il campo di esistenza dellafunzione che e gia determinato dalla radice presente aldenominatore

4k2 − x2 − x2

2p

22(k2 − x2/4)

al numeratore si levano le parentesi svolgendo i calcoli,al denominatore si fattorizza il 4 che premoltiplica laradice in 2 · 2 facendo entrare un 2 nella radice

4k2 − 2x2

2√

4k2 − x2svolgendo i calcoli al numeratore ed al denominatore

�2(k2 − x2)

�2√

4k2 − x2mettendo in evidenza un 2 al numeratore

k2 − x2

√4k2 − x2

la funzione e pronta per essere studiata

Ora, poiche la radice al denominatore e sempre strettamente positiva (vedi campo di esistenza), si ha che

sign

„k2 − x2

√4k2 − x2

«= sign(k2 − x2).

Lo studio del segno della funzione iniziale e riconducibile dunque allo studio del segno di k2 − x2 sull’insieme(−2|k|, 2|k|) il quale ha il seguente prospetto dei segni



36 4.2. Equazioni e disequazioni irrazionali

dal quale si evince immediatamente che:

� il campo di esistenza di f e (−2|k|, 2|k|);� f(x) = 0⇔ x = ±|k|;� f(x) < 0⇔ −|k| < x < |k| ⇔ x ∈ (−|k|, |k|);� f(x) > 0⇔ −2|k| < x < −|k| ∨ |k| < x < 2|k| ⇔ x ∈ (−2|k|,−|k|) ∪ (|k|, 2|k|);

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dr. Armando Careri Equazioni e disequazioni algebriche · Universit a della Calabria Facolta di...

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