Disequazioni fratte con valori assoluti

Valeria Merenda

Premessa

● Il procedimento da attuare per risolvere una disequazione con valore assoluto è molto simile a quello per le equazioni.

● Per comprendere ciò che segue, bisogna avere le adeguate conoscenze sulle equazio-ni con valore assoluto.

Ricordiamo...

● In una qualsiasi espressione algebrica A(x), il suo valore assoluto |A(x)| dipende dal se-gno di A(x):

● Se A(x)≥0 |A(x)|=A(x)→

● Se A(x)<0 |A(x)|=-A(x)→

Come procederePer risolvere le disequazioni con valore assoluto bisogna preliminarmente studiare il segno di ciascuna espressio-

ne in cui compare il valore assoluto.

Esempio:|x-1| > 4-2x

Studiamo l'espressione con il valore assoluto: |x-1|

●Quando x-1≥0 x≥1 il valore assoluto vale →

x-1●Quando x-1<0 x<1 il valore assoluto vale →

-x+1Quindi il valore assoluto assume valori diversi nei due

intervalli

● Ottenuti i due valori x≥1 e x<1 li mettiamo a sistema

Ora vanno studiati entrambi gli intervalli separatamente.● Nel caso dell'intervallo x≥1 la disequazione diventa:

“ x-1>4-2x (il segno del v.a è quindi positivo)”● Nel caso dell'intervallo x<1 la disequazione diventa:

“ -x+1>4-2x (il segno del v.a è negativo e cambiamo i segni)”

A differenza delle equazioni, nel caso delle disequazioni utilizzeremo precisamente due sistemi, uno per il primo caso( x≥1) e un altro

per il secondo caso(x<1)

Perciò risolvere la disequazione con il valore assoluto

|x-1|>4-2xVuol dire risolvere due sistemi, contenenti le

“forme diverse” della disequazione negli intervalli determinati del v.a

E la soluzione finale si ottiene unendo le soluzione dei due sistemi

S=S1 U S2

Andiamo a svolgere il primo sistema

S1=

Risolviamo adesso

il secondo sistema

S2=

La soluzione finale data dall'unione dei due sistemi è

Nel caso in cui i valori assoluti siano più di uno...

Il ragionamento da seguire non cambia. Si studiano i singoli valori assoluti, si ricavano le “forme diverse” di disequazioni e si ricavano i

sistemi da risolvere. In questo caso però i sistemi da risolvere aumentano.

L'unione di tutte le soluzioni dei sistemi determinerà la soluzione finale.

Facciamo un esempio...

Questa è la nostra disequazione con due valori assoluti:

|x|-2|x+3|<0

Studiamo il primo valore assoluto |x|

Quando x≥0 il valore assoluto vale “x”

Quando x<0 il valore assoluto vale “-x”

Quindi il valore assoluto |x| assume valori diversi nei due intervalli

Studiamo il secondo valore assoluto

Quando x+3≥0 ossia x≥-3 il valore assoluto vale x+3

Quando x+3<0 ossia x<-3 il valore assoluto vale -x-3

Quindi il valore assoluto |x+3| assume valori diversi nei due intervalli

se consideriamo insieme i due valori assoluti e i loro intervalli si ricava

si può notare come la disequazione assume TRE “forme diverse” in tre intervalli

Quando x<-3 la disequazione assume la forma –x-2(-x-3)<0

Quando -3≤x<0 la disequazione assume la forma –x-2(x+3)<0

Quando x≥0 la disequazione assume la forma –x-2(x+3)<0

Perciò dobbiamo studiare tre sistemi:

E la soluzione finale si ricaverà unendo le soluzioni dei tre sistemi

S=S1 U S2 U S3

Risolviamo il primo sistema

S1 = x<-6

Risolviamo il secondo sistema

S2 = -2<x<0

Risolviamo il terzo sistema

S3 = x≥0

La soluzione finale:

S=S1 U S2 U S3 X<-6 U -2<x<0 U x≥0

=

x<-6 U x>-2

FINEFINE