Disequazioni [teoria ed esericizi][santi caltabiano]

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA

FACOLTÀ DI INGEGNERIA

AUTORE: DOTT. S. Caltabiano

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)

Dott. S. Caltabiano ii

Indice Generale

1 Definizioni e Proprietà fondamentali sulle disequazioni ..................................... 1

1.1 Definizione di disequazione. Interpretazione grafica di una disequazione.

Risoluzione di una disequazione per via grafica ..................................................... 1

1.2 Applicazioni del teorema degli zeri per la risoluzione delle disequazioni ....... 2

1.3 Metodo grafico per lo studio delle variazioni del segno del prodotto di un

numero finito di funzioni reali ................................................................................ 4

1.4 Sistemi di disequazioni ................................................................................... 5

2 Disequazioni polinomiali razionali intere ........................................................... 8

2.1 Disequazioni polinomiali razionali intere di grado 1 ....................................... 8

2.2 Disequazioni polinomiali razionali intere di grado 2 ....................................... 8

2.3 Disequazioni polinomiali razionali intere di grado n ..................................... 11

3 Disequazioni logaritmiche ................................................................................ 13

3.1 Disequazioni logaritmiche in forma normale ................................................ 13

4 Disequazioni esponenziali ................................................................................ 15

4.1 Disequazioni esponenziali in forma normale ................................................ 15

5 Disequazioni trigonometriche ........................................................................... 17

5.1 Disequazioni trigonometriche elementari ..................................................... 17

5.2 Disequazioni riconducibili a disequazioni elementari ................................... 23

5.3 Metodo standard per la risoluzione di una qualunque disequazioni

trigonometrica ...................................................................................................... 24

5.4 Disequazioni trigonometriche lineari in sin, cos e tg..................................... 25

5.5 Disequazioni risolvibili applicando le formule di prostafersi ........................ 26

5.6 Disequazioni risolvibili applicando le formule di Werner ............................. 27

6 Disequazioni riconducibili allo studio di disequazioni ordinarie. Disequazioni

irrazionali. Disequazioni contenenti espressioni in valore assoluto. Disequazioni

fratte. ........................................................................................................................ 29


Dott. S. Caltabiano iii

6.1 Disequazioni riconducibili a disequazioni polinomiali grado n ..................... 29

6.2 Disequazioni irrazionali ................................................................................ 31

6.3 Disequazioni contenenti espressioni in valore assoluto ................................. 35

6.4 Disequazioni fratte ....................................................................................... 41

7 Complementi sulle disequazioni trigonometriche ............................................. 45

7.1 Disequazioni simmetriche in sin e cos .......................................................... 45

7.2 Disequazioni trigonometriche non tipiche .................................................... 45

8 Esercizi di vario tipo......................................................................................... 48


Dott. S. Caltabiano 1

1 Definizioni e Proprietà fondamentali sulle disequazioni

1.1 Definizione di disequazione. Interpretazione grafica di una disequazione.

Risoluzione di una disequazione per via grafica

Siano f=f(x) e g=g(x) due funzioni reali. Si dice disequazione:

f(x)g(x) oppure f(x)g(x)

nel caso:

f(x)<g(x) oppure f(x)>g(x)

si parla di disequazione in senso stretto. In seguito per comodità di scrittura e per

linearità di discorso, le suddette scritture, saranno compendiate rispettivamente con:

f(x) g(x) e f(x)

g(x)

Risolvere una disequazione, significa trovare (se esistono) gli intervalli nei cui punti

la disequazione è soddisfatta.

Diciamo che due disequazione sono equivalenti se sono soddisfatte dalle medesime

soluzioni.

E’ interessante dare un’interpretazione grafica delle disequazioni. Consideriamo ad

esempio il caso in cui il verso della disequazione è “<” cioè:

f(x)<g(x)

dire che un x0 soddisfa a tale disuguaglianza, evidentemente equivale ad affermare

che l’ordinata della f in x0, sta al disotto dell’ordinata della g in x0 e quindi la

disequazione è soddisfatta in tutti gli intervalli, in corrispondenza dei quali il grafico

della funzione f sta al disotto, di quello della funzione g.

L’interpretazione grafica appena data, risulta uno strumento validissimo, nei casi in

cui le funzioni f e g hanno un’espressione analitica molto diversa e di conseguenza

molto difficile da trattare analiticamente. Riportiamo qui di seguito i punti che

bisogna seguire per risolvere graficamente una disequazione:



in un sistema di riferimento cartesiano Oxy si rappresentano i grafici delle

funzioni f e g.

si considerano gli intervalli corrispondenti alle porzioni di grafico della f che

stanno sotto o sopra il grafico della g, a seconda che il verso della disuguaglianza

sia < oppure >

Vediamo un esempio pratico. Consideriamo f(x)=x2–2 che è una parabola con

concavità verso l’alto, e g(x)=2x+6 che è una retta e consideriamo il caso in cui il

verso della disuguaglianza sia <. Rappresentiamo tali funzioni sul piano cartesiano e

vediamo chi è l’insieme delle x che soddisfa alla disequazione:

x2–4<2x+6

Figura 1

proiettando le intersezioni delle due funzioni, sull’asse delle ascisse, si ottiene

immediatamente la visione dell’intervallo, che nel caso considerato è ]-2,4[, i cui

punti soddisfano alla nostra disequazione, poiché in esso il grafico della parabola sta

al disotto del grafico della retta.

1.2 Applicazioni del teorema degli zeri per la risoluzione delle disequazioni

Richiamiamo il teorema degli zeri:

“sia I è un intervallo reale, sia f:IR una funzione continua e supponiamo che x,yI

t.c. f(x)f(y)<0 allora z]x,y[ t.c. f(z)=0”

y=x2–4

y=2x+6

x

y



Se x,yI sono degli zeri per la f cioè f(x)=f(y)=0 e se non esistono altri zeri della f

nell’intervallo aperto ]x,y[ allora per il teorema degli zeri la funzione f nell’intervallo

aperto ]x,y[ deve avere segno costante. Questa semplice osservazione è un

validissimo strumento nello studio delle variazioni di segno di una funzione continua

per la quale siano noti tutti gli zeri. Vediamo qualche esempio pratico.

Consideriamo la funzione polinomiale:

f::RR con f(x):=(x+1)(x–1)(x–3)(x–5)

Lo studio della variazione di segno della f è sarà fatto nel paragrafo 2.3. Vediamo

adesso come si può accelerare notevolmente il procedimento con il metodo suddetto.

Le radici della f sono –1, 1, 3, 5, e quindi il domino della f (in questo caso R) viene

spezzato in cinque intervalli:

]–,–1[ ; ]–1,1[ ; ]1,3[ ; ]3,5[ ; ]5,+[

ed in ognuno la f mantiene segno costante. Evidentemente per scoprire il segno della

f in uno di questi intervalli basta calcolare la f in un punto interno all’intervallo in

questione:

preso –2]–,–1[ f(–2)=105>0 f strettamente positiva in ]–,–1[

preso 0]–1,1[ f(0)=–15<0 f strettamente negativa in ]–1,1[

preso 2]1,3[ f(2)=9>0 f strettamente positiva in ]1,3[

preso 4]3,5[ f(4)=–15<0 f strettamente negativa in ]3,5[

preso 6]5,+[ f(6)=105>0 f strettamente positiva in ]5,+[

Vediamo un altro esempio semplice, ma meno banale del precedente. Consideriamo

la funzione:

f::RR con f(x):=x+arctg(x)

La f è la somma della funzione identità e della funzione arcotangente. E quindi lo

studio delle variazioni di segno della f non può essere fatto con i metodi usuali.

Osserviamo che f(0)=0 ed è l’unico zero poiché la f è strettamente crescente.

Vediamo quindi il segno che la f assume a sinistra ed a destra dello 0:



preso – 3]–,0[ f(– 3 )=– 3 –3 <0 f strettamente negativa in ]–,0[

preso 3]0,+[ f( 3 )= 3 +3 >0 f strettamente positiva in ]0,+[

1.3 Metodo grafico per lo studio delle variazioni del segno del prodotto di un

numero finito di funzioni reali

Siano f1=f1(x), f2=f2(x), …, fn=fn(x) n funzioni reali e denotiamo con f(x)=

f1(x)f2(x)f2(x) il prodotto di queste n funzioni. Le variazioni di segno della funzione f

si ottengono confrontando le variazioni di segno delle singole funzioni. Per ottenere

graficamente tali variazioni di segno, si costruisce una tabella opportuna, procedendo

nel seguente modo:

si riportano lungo una retta orizzontale, in ordine crescente, i punti in

corrispondenza dei quali le singole funzioni variano di segno

si tracciano delle perpendicolari a partire dai punti in cui le singole funzioni

variano di segno

per ogni funzione si traccia parallelamente una retta, che deve essere continua nei

tratti dove la funzione è non negativa, e tratteggiata nei tratti dove la funzione è

negativa

si ottiene così una tabella, che ci consente tramite il prodotto dei segni, di ottenere le

variazioni di segno della f. Facciamo un esempio pratico. Consideriamo:

f1(x)=(x–2)(x+2) ; f2(x)=3–x ; f1(x)=x+5

e poniamo:

f(x)=f1(x)f2(x)f3(x)=(x–2)(x+2)(3–x)(x+5)

che è una funzione polinomiale. Si fa quindi lo studio delle variazioni segno delle

singole funzioni f1, f2, f3 (tale trattazione sarà fatta in seguito) e si costruisce la tabella,

secondo lo schema mostrato sopra:



Figura 2

1.4 Sistemi di disequazioni

Siano f1= f1(x), g1= g1(x), f2= f2(x), g2= g2(x),…, fn= fn(x), gn= gn(x) n coppie di

funzioni reali. Si definisce sistema di disequazioni:

)()(. . . . . . . . . . . . . . . . .)()(

)()(

22

11

xgxf

xgxfxgxf

nn

la soluzione del sistema è data dall’intersezione delle soluzioni delle singole

disequazioni. Per ottenere tale intersezione graficamente, si costruisce una tabella

opportuna, procedendo nel seguente modo:

si riportano lungo una retta orizzontale, gli estremi degli intervalli (o un solo

estremo nel caso in cui l’intervallo sia non limitato inferiormente o superiormente)

delle soluzioni che soddisfano le singole disequazioni

si tracciano delle perpendicolari a partire dai punti riportati sulla retta

per ogni disequazione si tracciano dei tratti continui paralleli alla retta, in

corrispondenza delle soluzioni della medesima

il segmento continuo comune (se esiste) è proprio la soluzione del sistema assegnato.

Facciamo un esempio pratico. Consideriamo il sistema:

31142

252

xxx

x

f f3 f2

–5 –2 2 3

f1



si risolvono le singole disequazioni che compaiono nel sistema (tale trattazione sarà

fatta in seguito) e si costruisce la tabella, secondo lo schema mostrato sopra:

Figura 3

I seguenti quattro principi ci consentono di ottenere una disequazione

equivalente a partire da un’assegnata disequazione.

Teorema 1.1 (Primo principio di equivalenza)

Sommando algebricamente ad ambo i membri di una disequazione una stessa

espressione algebrica, che non perda di significato in corrispondenza di soluzioni

della disequazione data, si ottiene una disequazione equivalente.

Teorema 1.2 (Secondo principio di equivalenza)

Moltiplicando ambo i membri di una disequazione, per una stessa espressione

algebrica avente sempre lo stesso segno (cioè sempre positiva o sempre negativa), e

che non perda di significato in corrispondenza di soluzioni della disequazione data, si

ottiene una disequazione equivalente, rispettivamente con verso concorde se

l’espressione è strettamente positiva e con verso discorde se l’espressione è

strettamente negativa.

Teorema 1.3 (Terzo principio di equivalenza)

Assegnato n intero positivo. Elevando ambo i membri di una disequazione alla

potenza n o alla potenza 1/n:

se n è dispari si ottiene una disequazione equivalente

soluzione x–1<3

2x+4>x+1

–5 –3 4 5

x2<25



se n è pari si ottiene una disequazione equivalente se e solo se ambo i membri

della disequazione assegnata sono non negativi

Teorema 1.4 (Quarto principio di equivalenza)

Componendo ambo i membri di una disequazione con una funzione strettamente

monotona (cioè strettamente crescente o strettamente decrescente), si ottiene una

disequazione equivalente, con verso di disuguaglianza concorde se la funzione è

strettamente crescente, e con verso di disuguaglianza discorde se la funzione è

strettamente decrescente

Corollario 1.1

Se ambo i membri di una disequazione non si annullano mai ed hanno entrami lo

stesso segno (cioè sono entrambi strettamente positivi o strettamente negativi) allora

passando ai reciproci si ottiene una disequazione equivalente con verso di

disuguaglianza discorde

Dimostrazione

Conseguenza del secondo principio.



2 Disequazioni polinomiali razionali intere

Il termine “intere” è riferito al fatto che l’incognita compare soltanto con potenza

positiva, cioè non compare al denominatore. Le disequazioni razionali non intere,

sono dette disequazioni razionali fratte e verranno tratte in seguito. Il termine

“razionale” è riferito al fatto che non compaiono espressioni sotto il segno di radice.

Le disequazioni nelle quali compaiono espressioni sotto il segno di radice sono dette

irrazionale e verranno trattate in seguito.

2.1 Disequazioni polinomiali razionali intere di grado 1

Si definisce disequazione razionale intera di grado 1:

ax+b 0 (1)

più precisamente in questo in caso la disequazione si dice in forma normale. Si

capisce immediatamente che grazie al primo principio ci si può sempre ricondurre

alla forma normale, ad esempio se abbiamo:

ax+b cx+d

allora per il primo principio otteniamo:

(a–c)x+b–d 0

Per il primo e per il secondo principio la (1) è soddisfatta per:

abx se a>0 ;

abx se a<0

Esercizi

1. 5x–3>0

2. 2x–3>3–x

3. x+1<0

4. 2x+3=1

5. 3x+1=3–2x

6. 7x–5=4+x

2.2 Disequazioni polinomiali razionali intere di grado 2

Si definisce disequazione razionale intera di grado 2 (in forma normale):



ax2+bx+c 0

Per risolvere questa disequazione bisogna studiare il segno del polinomio di secondo

grado P2(x):=ax2+bx+c. Vogliamo fare osservare a priori che P2(x) si può scrivere

come prodotto di due polinomi di primo grado:

P2(x)=ax2+bx+c=a

acx

abx2 = a

ac

ab

abx

abx 2

2

2

22

44=

=a

ac

ab

abx 2

22

42= a

2

22

44

2 aacb

abx =

=a

2

2

42 aabx = a

22

22 aabx =

= a

aabx

aabx

2222=a

abx

abx

22

con :=b2–4ac. Ed inoltre posto:

abx

21

e a

bx22

che sono quindi le radici del polinomio P2(x), e possono essere: reali e distinte se

>0, reali e coincidenti se =0 e complesse e coniugate se <0. In definitiva:

P2(x):=a(x–x1)(x–x2) (2)

quindi in questo caso lo studio delle variazioni di segno P2(x), si riconducono allo

studio delle variazioni di segno del prodotto di due polinomi di grado uno. Posto

:=b2–4ac dalla (2) si ricava:

se >0 allora per la (2) P2(x) ha segno discorde al coefficiente a nell’intervallo

]x1,x2[, mentre ha segno concorde negli intervalli ]–,x1[ e ]x2,+[.

se =0 allora per la (2) P2(x) ha ovunque segno concorde al coefficiente a, tranne

che nella radice –b/2a, poiché in essa P2(x) si annulla.

se <0 allora per la (2) P2(x) ha ovunque segno concorde al coefficiente a.



Un’analisi sistematica di questo tipo, ci consente di costruire una tabella, che descrive

le variazioni di segno del trinomio di secondo grado ax2+bx+c al variare dei

parametri a,b,cR:

:=b2–4ac ax2+bx+c<0 ax2+bx+c>0 a<0 a>0 a<0 a>0

<0 È sempre soddisfatta

Non ammette soluzioni


È sempre soddisfatta

=0

È soddisfatta per ogni valore di x, tranne che per

x=–b/2a



È soddisfatta per ogni valore di x, tranne che per

x=–b/2a

>0

È soddisfatta dai valori della x che

sono esterni all’intervallo che ha per estremi le

radici di P2(x)


sono interni all’intervallo che ha per estremi le

radici di P2(x)


sono interni all’intervallo che ha per estremi le

radici di P2(x)


sono esterni all’intervallo che ha per estremi le

radici di P2(x)

Tabella 1

Esercizi

1. (x–2)(x+2)<0

2. –3(x–2)(x–1)<0

3. 4(x+2)(x+3)>0

4. x2–1>0

5. x2+2>0

6. x2–2>0

7. x2–3x>0

8. x2+2x>0

9. x2–5x+4>0

10. (x+1)2>3x+3

11. x2–2x–1>0

12. x2–x–1<0

13. 3

12 x +(x–2)2>2

22 x

14.

023

032

2

xx

xx

15.

010652

xxx

16.

xxx

xxx

21

221

45

41

223

2

17.

xxxx

3210652



2.3 Disequazioni polinomiali razionali intere di grado n

Generalizziamo i due casi di disequazioni appena trattati. Si definisce disequazione

razionale intera di grado n (in forma normale):

anxn+an-1xn-1+…+ a1x+ a0 0

Un polinomio Pn(x)=anxn+an-1xn-1+…+ a1x+ a0 ammette al più n radici reali, che

denotiamo con x1,…,xmR dove mn, allora facendo uso della regola di Ruffini,

sappiamo che si può scrivere:

Pn(x)=an(x–x1)(x–x2)…(x–xm)Q(x)

dove Q=Q(x) è un polinomio positivo non scomponibile nel campo reale (cioè non

ammette radici reali, ad esempio Q(x)=x2+1). E quindi la studio del segno del

polinomio Pn(x) si ottiene confrontano i segni dei singoli fattori.

Una particolare disequazioni di grado n si ha quando:

Pn(x)=xn+a

e si parla di disequazioni binomie di grado n. Se n è dispari per il terzo principio la

variazione di segno di Pn(x) sono equivalenti a quelle del polinomio di primo grado:

P1(x)=x+ n a

Se n è pari, nel caso a>0 Pn(x) è sempre strettamente positivo (poiché in tal caso Pn(x)

non ammette radici reali), mentre nel caso a<0, scomponendo Pn(x) si trova

facilmente che:

Pn(x)=(x– n a )(x+ n a )Q(x)

dove Q=Q(x) è un polinomio positivo non scomponibile nel campo reale, e quindi in

questo caso le variazioni di segno di Pn(x) sono equivalenti alle variazioni di segno di

un polinomio di secondo grado avente radici n a .

Un’altra particolare disequazioni di grado n si ha quando:

P2m(x)=ax2m+bxm+c

dove m è un numero intero positivo, nel caso m=2 si parla di disequazioni

biquadratiche. Si pone y=xm e si ottiene ay2+by+c che è un polinomio di secondo

grado nella variabile y e quindi dette y1 e y2 le sue radici si ha:



P2m(x)= a(y–y1)(y–y2)= a(xm–y1)(xm–y2)

e pertanto in questo caso lo studio del segno del polinomio P2m(x) si riconduce allo

studio del segno del prodotto di due equazioni binomie.

Esercizi

1. x3–6x2+11x–6>0

2. x5–x4–x+1<0

3. x4+3x3–14x2–48x–32<0

4. x4+x3–7x2–x+6>0

5. x3–3x+2>0

6. x4–5x3+5x2+5x–6<0

7. x5+2>

8. x6+2<0

9. x4–16<0

10. x4–5x2+4<0

11. x4–10x2+9>0

12. x8–17x4+16>0



3 Disequazioni logaritmiche

3.1 Disequazioni logaritmiche in forma normale

Siano f=f(x) e g=g(x) due funzioni reali e sia a un numero reale compreso tra 0 e 1

oppure strettamente maggiore di 1. Una disequazione logaritmica in forma

normale è del tipo:

loga f(x) loga g(x) (3)

Il logaritmo ha senso se l’argomento è strettamente positivo e quindi dobbiamo

imporre che f(x)>0 e g(x)>0. E quindi in definitiva per il quarto principio, passando

all’esponenziale nella (3) e ricordando che se a>1 l’esponenziale è strettamente

crescente, mentre se 0<a<1 l’esponenziale è strettamente decrescente, il sistema

equivalente alla (3) è:

10 se )()( oppure 1 se )()(

0)(0)(

axgxfaxgxfxgxf

Si osserva che nel sistema la base a influenza il verso della disuguaglianza, ma non

compare in esso.

Assegnata una costante bR un caso particolare della (3) è la disequazione:

loga f(x) b (4)

infatti per ricadere nel caso della (3) basta porre g(x)=ab e di conseguenza il sistema

equivalente alla (4) è:

10 se )( oppure 1 se )(

0)(b aaxfaaxf

xfb

Nella maggior parte dei casi il logaritmo considerato è quello di Neperio, cioè il

logaritmo con base e e lo si denota con ln ed è detto per l’appunto logaritmo

neperiano.

Esercizi



1. log3(3x+6)>log3(x–2)

2. log1/2(3x–4)<log½(3x–4)

3. log½(2x–4)<2

4. 2ln(x–1)<1

5. ln(x+1)+ln(x)<2ln(1–x)

6. log3log2(x+1)>0

7. log10(x2–x+98)>2

8. log10log10(2x-5)<0

9. log1/3log2(x+1)<1

10. log10(x2–7x+11)<0

11. 2log3(2–x)–log3(x+4)>log3(3x+14)

12. ln(x)–2ln(x+3)<ln(x3+15)

13. ln(x2–6x+9)<ln(x)–ln(4)

14. 3ln(x–2)>ln(x)+ln(x2–14)

15. 02

15

1ln

xx



4 Disequazioni esponenziali

4.1 Disequazioni esponenziali in forma normale

Siano f=f(x) e g=g(x) due funzioni reali, siano a, b numeri reali positivi e siano c,

dR.. Una disequazione esponenziale in forma normale è del tipo:

caf(x)

dbg(x) (5)

Si presentano i seguenti casi:

a) Se c>0 e d>0 allora fissato un numero h reale compreso tra 0 e 1 oppure

strettamente maggiore di 1, la disequazione equivalente alla (5) si ottiene

applicando ad ambo i membri il logaritmo in base h:

logh(c)+f(x) logh(a) logh(d)+g(x)logh (b)

che è una disequazione concorde alla (5) se h>1 e discorde se 0<h<1

b) Se c0 e d>0 la disequazione (5) è sempre soddisfatta se il verso della

disuguaglianza è <, mentre è impossibile se il verso della disuguaglianza è >

c) Se c>0 e d0 la disequazione (5) è sempre soddisfatta se il verso della

disuguaglianza è >, mentre è impossibile se il verso della disuguaglianza è <

d) Se c<0 e d<0 si moltiplicano ambo i membri per –1 e si ricade nel caso a)

Un caso particolare della (5) si ottiene ponendo b=c=1:

af(x)

d (6)

si presentano i seguenti casi:

a) Se d>0 allora fissato un numero h reale compreso tra 0 e 1 oppure strettamente

maggiore di 1, la disequazione equivalente alla (6), per la tabella precedente è:

f(x)logh(a) logh(d)

b) Se d0 la disequazione (6) è sempre soddisfatta se il verso della disuguaglianza è

>, mentre è impossibile se il verso della disuguaglianza è <

Esercizi



1. 22x–3>5

2. (1/3)x+1>5

3. 2x+4<–5

4. 32x+7>–5

5. 32x–113x–7+28<0

6. 156 )2/1()2/1(2 xx

7. 2x–13x+1>9

8. 52x>87x–2

9. 352(2x–7)–452x–7+1>0

10. 52x–65x–7+5>0



5 Disequazioni trigonometriche

Per la risoluzione delle disequazioni trigonometriche non esistono norme di

carattere generale. Esiste però una serie di disequazioni trigonometriche tipiche,

esposte di seguito, per le quali è possibile dare un criterio di risoluzione. La

conoscenza della risoluzione delle disequazioni tipiche, è necessaria se si vuole

impostare la soluzione di una qualsiasi disequazione trigonometrica.

5.1 Disequazioni trigonometriche elementari

Sono disequazioni trigonometriche elementari (in forma normale):

sin(x) m (7)

cos(x) m (8)

tg(x) m (9)

dove mR.. La risoluzione di queste disequazione, avviene per via grafica. Esistono

due metodi. Il primo metodo è quello mostrato nel paragrafo 1.1 nel caso in cui f è

una funzione trigonometrica e g vale costantemente m (cioè il grafico della g è la retta

parallela all’asse delle ascisse, di equazione y=m). Descriviamo dettagliatamente il

secondo metodo, detto metodo trigonometrico, singolarmente per la (7), per la (8) e

per la (9).

Metodo trigonometrico per la (7):

si disegna la circonferenza trigonometrica (cioè la circonferenza di raggio 1, con

origine nel centro degli assi coordinati O=(0,0))

se m–1 la (7) non è mai verificata o è sempre verificata, a seconda che il verso

della disuguaglianza sia rispettivamente < o >. Se m1 la (7) è sempre verificata o

non è mai verificata, a seconda che il verso della disuguaglianza sia

rispettivamente < o >. Se –1<m<1 si traccia la retta y=m, e si riportano

(procedendo in verso antiorario) gli intervalli di [0,2], corrispondenti agli archi



che stanno sotto o sopra, la retta, a seconda che il verso della disuguaglianza, sia

rispettivamente < o >

si aggiunge agli estremi degli intervalli, la periodicità 2k con kZ..

Consideriamo ad esempio il caso in cui in verso della disuguaglianza nella (7) sia < e

con 0<m<1. Denotiamo con l’angolo =arcsin(m), e procediamo come suddetto:

Figura 4

Quindi la disequazione è soddisfatta per:

0<x< e –<x<2

aggiungendo la periodicità:

2k<x<+2k e –+2k<x<2+2k

Un’analisi sistematica di questo tipo, ci porta a dare una scrittura generale, che

descrive tutte le soluzioni della (7), al variare di m. Nella tabella che segue, nei casi in

cui –1<m<1, denoteremo con l’angolo arcsin(m) ridotto al primo quadrante:

Studio della disequazione sin(x) m al variare di m

Valore di m Verso disuguaglianza < Verso disuguaglianza >

-1m Nessuna soluzione Sempre verificata

-1<m<0 ++2k<x<2–+2k 2k<x<++2k

2–+2k<x<2+2k

0m<1 2k<x<+2k + 2k<x<–+2k

– y=m

x

y



–+ 2k<x<+2k

m1 Sempre verificata Nessuna soluzione

Tabella 2


si disegna la circonferenza trigonometrica

se m–1 la (8) non è mai verificata o è sempre verificata, a seconda che il verso

della disuguaglianza sia rispettivamente < o >. se m1 la (8) è sempre verificata o

non è mai verificata, a seconda che il verso della disuguaglianza sia

rispettivamente < o >. Se –1<m<1 si traccia la retta x=m, e si riportano

(procedendo in verso antiorario) gli intervalli di [0,2], corrispondenti agli archi

che stanno a sinistra o a destra, la retta, a seconda che il verso della

disuguaglianza, sia rispettivamente < o >

si aggiunge agli estremi degli intervalli, la periodicità 2k con kZ..


con 0<m<1. Denotiamo con l’angolo =arccos(m), e procediamo come suddetto:

Figura 5


<x<2–


2–

x=m

x

y



+2k<x<2–+2k


descrive tutte le soluzioni della (8), al variare di m. Nella tabella che segue, nei casi in

cui –1<m<1, denoteremo con l’angolo arccos(m) ridotto al primo quadrante:

Studio della disequazione cos(x) m al variare di m


-1m Nessuna soluzione Sempre verificata

-1<m<0 –+2k<x<++2k 2k<x<–+2k

++2k<x<2+2k

0m<1 +2k<x<2–+2k 2k<x<+2k

2–+2k<x<2 +2k

m1 Sempre verificata Nessuna soluzione

Tabella 3


si disegna la circonferenza trigonometrica

si disegna la retta parallela all’asse delle ordinate passante per il punto di

coordinate (0,1) (detto origine degli archi)

si segna il punto di coordinate M=(1,m), si riportano gli intervalli rispettivamente

di [0,/2] e [3/2,2], corrispondenti agli archi per i quali la tg sta sopra o sotto il

punto M, a seconda che il verso della disuguaglianza, sia rispettivamente < o >

si aggiunge agli estremi degli intervalli, la periodicità k con kZ..

Quest’ultimo punto, ci consente di ottenere, il risultato della disequazione, anche nel

II (intervallo [/2,]) e nel IV (intervallo [,3/2]) quadrante, basta scegliere k=1

(ossia si somma agli estremi degli intervalli ).


con m0. Denotiamo con l’angolo =arctg(m), e procediamo come suddetto:



Figura 6


0<x< e 3/2<x<2


k<x<+k e 3/2+k<x<2+k


descrive tutte le soluzioni della (9), al variare di m. Nella tabella che segue,

denoteremo con l’angolo arctg(m) ridotto al primo quadrante:

Studio della disequazione tg(x) m al variare di m


m<0 23+k<x<2–+k

k<x<2 +k

2–+ k<x<2+k

m0 k<x<+k

23+k<x<2+k

+k<x<2 + k

Tabella 4

Nella trattazione delle disequazioni elementari, abbiamo considerato soltanto angoli

positivi cosicché gli intervalli che soddisfano alla disequazine siano contenuti in

m y

x



[0,2]. Tuttavia in alcuni casi per avere come soluzione un unico intervallo si

sfruttano anche gli archi negativi. Ad esempio:

cos(x)>0

in [0,2] è soddisfatta in ]0,/2[ e ]3/2,2[ oppure equivalentemente in ]–/2,/2[.

Un altro esempio:

4cos x >0

come vedremo nel paragrafo 5.2 si risolve ponendo t=x+/4 e si ottiene cos(t)>0 che

è soddisfatta per –/2<t</2 cioè –/2<x+/4</2 –/2–/4<x</2–/4 cioè –

3/4<x</4 oppure equivalentemente (riportando gli archi corrispondenti di [0,2])

3/2–/4<x<2 e 0<x</4.

Per concludere questo paragrafo, facciamo osservare che per confrontare (questo

termine è riferito al confronto del segno o delle soluzioni comuni), due o più funzioni

trigonometriche è necessario scegliere l’intervallo, la cui ampiezza è data dal minimo

comune multiplo (brevemente m.c.m.) dei periodi delle funzioni trigonometriche, la

periodicità si ottiene aggiungendo k per questo m.c.m, agli estremi degli intervalli..

Ad esempio sin(x) e tg(x) che hanno periodo rispettivamente 2 e , vanno

confrontate nell’intervallo [0,2]. Ed ancora le funzioni sin(x/3) e cos(x/2) che hanno

rispettivamente periodo 6 e 4, vanno confrontate, nell’intervallo [0,12].

Esercizi

Risolvere nell’intervallo [0,2] le seguenti disequazioni, indicando per ciascuno di

essi la soluzione in R.

1. 2sin(x)+1>0

2. 2sin(x)– 3 <0

3. 5sin(x)+2<0

4. 2 cos(x)–1>0

5. 2cos(x)+ 3 <0

18.

0)cos(01)(2

xxsin

19.

0)cos(01)(2

xxsin



6. 3 tg(x)–3<0

7. tg(x)–1>0

8. (2sin(x)+1)cos(x)<0

9. sin(2x)cos(x)>0

10. sin(4x)cos(2x)<0

11. sin(x)cos(x)>0

12. sin(x)cos(x)–2cos(x)<0

13. sin(x)cos(x)+2cos(x)>0

14. cos(x)tg(x)>0

15. cos(x)tg(x)<0

16. cos(4x)+cos(2x)>2cos(x)

17. sin(4x)–sin(2x)<sin(x)

20.

0)cos(01)(2

xxsin

21.

0)(03)cos(2

xsinx

22.

01)cos(2

02)(2xxsin

23.

0)(03)(2

xtgxsin

24.

021)(

01)(3

xsin

xtg

25.

01)(03)cos(2

xtgx

5.2 Disequazioni riconducibili a disequazioni elementari

Sia f=f(x) una funzione reale. La disequazioni in questione è del tipo:

sin[f(x)] m

cos[f(x)] m

tg[f(x)] m

dove mR.. Si pone t=f(x) e si ottiene una disequazione trigonometrica elementare, si

risolve questa disequazione, successivamente nella scrittura che descrive la soluzione

di quest’ultima, si sostituisce f(x) a t e si ottengono uno o due disequazioni del tipo:

a<f(x)<b oppure f(x) c dove a,b,cR

l’unione delle soluzioni di queste ci da la soluzione della disequazione di partenza.

Ad esempio, risolvere in [0, 2]:

4cos x >0



posto t=x+/4 –/2<t</2 –/2<x+/4</2 –/2–/4<x</2–/4

(riportando gli archi corrispondenti di [0,2]) 3/2–/4<x<2 e 0<x</2–/4.

Esercizi

1. 2sin(7x)>1

2. 21

33cos

x

3. tg(x2–1)>1

4. tg(ln(x))>1

5. cos(cos(x))+2>0

6. 2sin(ex+1)+1>0

5.3 Metodo standard per la risoluzione di una qualunque disequazioni

trigonometrica

Per risolvere una qualunque disequazione trigonometrica nella quale gli argomenti

delle funzioni trigonometriche, sono multipli o frazioni di x, si procede come segue:

si verifica se x= è soluzione o meno della disequazione

applicando le formule di addizione, di sottrazione, di duplicazione, di bisezione e

di prostafersi, si ottiene una disequazione in sin(x), cos(x) e tg(x)

si esprimo sin(x), cos(x) e tg(x) in funzione di tg(x/2)

si pone t=tg(x/2) e si ottiene così una disequazione polinomiale nella variabile t

si risolve la disequazione polinomiale nella variabile t

nella scrittura che descrive la soluzione della disequazione polinomiale, si

sostituisce tg(x/2) al posto di t e si ottiene così un certo numero di disequazioni

trigonometriche elementari. L’unione delle soluzioni di queste ci dà la soluzione

della disequazione trigonometrica assegnata.

Benché questo metodo rappresenti uno strumento validissimo, nella risoluzione delle

disequazioni trigonometriche, in molti casi esso riconduce a delle disequazioni

polinomiali di grado elevato e di conseguenza tediose da trattare. Tratteremo in

seguito alcuni tipi di disequazioni trigonometriche, aventi ognuna un metodo



risolutivo opportuno, che consente di risolvere il tipo di disequazione in questione, in

maniera più sbrigativa rispetto al metodo standard descritto sopra.

I seguenti esercizi non sono finalizzati alla risoluzione, ma servono soltanto a

titolo di esempio, per mostrare come il suddetto metodo standard, nella maggior parte

dei casi, conduca a delle espressioni difficili, se non addirittura impossibili da trattare

analiticamente.

Esercizi

1. 3sin2(x)>1

2. 3cos2(x)+sin(x)>0

3. sin(x)cos(x)>0

5.4 Disequazioni trigonometriche lineari in sin, cos e tg

Una disequazione trigonometrica lineare è del tipo:

asin(x)+bcos(x)+ctg(x)+d

0 (10)

dove a,b,c,dR. Per risolvere questo tipo di disequazioni, bisogna ricorrere al metodo

descritto nel paragrafo 5.3. Esiste tuttavia un caso particolare della (10) riconducibile

immediatamente a disequazioni di tipo elementare. Se a=1, b= 1, c=0, la diventa:

sin(x) cos(x)+d 0

moltiplicando ambo i membri per 2 /2 (ricordando che sin(/4)=cos(/4)= 2 /2),

dalle formule di addizione e sottrazione del seno, segue che:

02

24

dxsin

facilmente risolvibile.

Esercizi

1. sin(x)–cos(x)>0

2. sin(x)+cos(x)>0

10. sin(x)–cos(x)>0

11. sin(x)+cos(x)– 2 >0



3. 4sin(x)–2cos(x)+ 3 –2>0

4. sin(x)–cos(x)+1>0

5. sin(x)+cos(x)–1<0

6. cos(x)+sin(x)– 2 >0

7. sin(x)+cos(x)–22 >0

8. 3 sin(x)–cos(x)>0

9. 4sin(x)–3cos(x)>0

12. 4sin(x)–2cos(x)+ 3 –2<0

13. 3sin(x)–cos(x)<3

14. 2 3 cos(x)+2sin(x)> 6 + 2

15. 13

cos3

xxsin

16. 2 3

22 xsin +sin(x)+ 3 –2<0

17. 2

2cos2 x +sin(x)–2>0

5.5 Disequazioni risolvibili applicando le formule di prostafersi

In molti casi, l’applicazione delle formule di prostafersi consente di trasformare una

disequazione trigonometrica complessa, in una disequazione equivalente, facilmente

risolvibile. In genere, la formula di prostafersi si applica fra due termini, in modo che

si ottenga un prodotto contenente una funzione con lo stesso argomento di una già

esistente nella disequazione data.

Le seguenti disequazioni sono risolvibili applicando le formule di prostafersi:

xbacbxsinaxsin

2sin)()(

xbacbxsinaxsin2

cos)()(

xbacbxax

2cos)cos()cos(

xbacbxax

2sin)cos()cos(

cbxsinaxsin )()(

cbxax )cos()cos(

dove a,b,cR. Ad esempio se applichiamo la formula di prostafersi alla prima

disequazione otteniamo:



xbacxbaxba

2sin

2cos

2sin

e quindi:

02

cos2

sin

cxbaxba

che una disequazione che sappiamo risolvere. Analogamente si procede per le

rimanenti tre disequazioni.

Esercizi

1. cos(4x)+cos(2x)<2cos(x)

2. sin(4x)–sin(2x)>sin(x)

3. sin(5x)+sin(3x)>–sin(x)

4. sin(5x)+sin(3x)>cos(x)

5. sin(7x)–sin(x)<cos(4x)

6. sin(7x)+sin(x)<sin(4x)

7. sin(5x)–sin(x)<sin(2x)

8. sin(3x)+sin(5x)<sin(4x)

9. sin(3x)+sin(5x)<–cos(x)

10. sin(5x)–sin(x)>cos(3x)

11. cos(5x)+cos(x)<cos(3x)

12. cos(5x)–cos(x)<–sin(3x)

13. cos(3x)+cos(5x)>–cos(4x)

14. cos(8x)–cos(4x)<2sin(6x)

15. cos(2x)+cos(4x)<2cos(x)

16. 22

44

xsinxsin

17. 14

cos3

xxsin

18. 23

65

xsinxsin

19. 4

262

cos6

cos

xx

20.

xx

4cos

4cos6 <

2sin(2x)

5.6 Disequazioni risolvibili applicando le formule di Werner

In molti casi, l’applicazione delle formule di Werner consente di trasformare una

disequazione trig. complessa, in una disequazione equivalente, facilmente risolvibile.

Le seguenti disequazioni sono risolvibili applicando le formule di Werner:

sin(x+a)sin(x+b) c

cos(x+a)cos(x+b) c



sin(x+a)cos(x+b) c

Esercizi

1. 2sin(2x+)sin(2x)>0

2. 41)2cos(

62

xxsin

3. 42)3(

123cos

xsinx



6 Disequazioni riconducibili allo studio di disequazioni

ordinarie. Disequazioni irrazionali. Disequazioni contenenti

espressioni in valore assoluto. Disequazioni fratte.

6.1 Disequazioni riconducibili a disequazioni polinomiali grado n

Sia f=f(x) una funzione reale. La disequazioni in questione è del tipo:

an [f(x)]n+an–1 [f(x)]n–1+…+ a1 f(x)+a0 0 (11)

Si pone t= f(x) e si ottiene le seguente disequazione polinomiale:

antn+an–1tn–1+…+ a1t+a0 0 (12)

detta disequazione ausiliaria. Si risolve questa disequazione di grado n nella

variabile t, successivamente nella scrittura che descrive la soluzione della (12), si

sostituisce f(x) al posto di t e si ottiene così un certo numero di disequazioni del tipo:

a<f(x)<b oppure f(x) c dove a,b,cR

l’unione delle soluzioni di queste ci da la soluzione della (11).

Vediamo un caso particolare della (11). Ricordiamo che un polinomio si dice

omogeneo se tutti i monomi che lo costituiscono hanno lo stesso grado, essendo il

grado di un monomio la somma degli esponenti delle incognite che lo costituiscono.

Una disequazione omogenea di grado n, nella quale le incognite sono due funzioni, di

cui una non si annulla mai, per il secondo principio, si scinde in due sistemi

contenenti disequazioni del tipo (11). Il primo sistema è costituito dalla funzione non

nulla posta maggiore di zero e dalla disequazione di partenza divisa per la funzione

non nulla, elevata ad n, che è quindi del tipo (11) e concorde a quella di partenza. Il

secondo sistema è costituito dalla funzione non nulla posta minore di zero e dalla

disequazione di partenza divisa per la funzione non nulla elevata ad n, che è quindi

del tipo (11) e discorde a quella di partenza. A titolo d’esempio consideriamo il caso



n=3. Siano f=f(x) e g=g(x) due funzioni reali e supponiamo che la g e non si annulli

mai e consideriamo:

af3(x)+bf2(x)g(x)+ cf(x)g2(x)+ dg3(x) 0

che è una disequazione omogenea di grado tre, nelle variabili f(x) e g(x), ed è

equivalente ai sistemi (cioè le sue soluzioni sono date dall’unione delle soluzioni dei

due sistemi):

0)()()(

0)(23 dxchxbhxah

xg e

0)()()(

0)(23 dxchxbhxah

xg

dove si è posto per comodità h(x)=f(x)/g(x). Evidentemente nel caso n pari il secondo

sistema non ha soluzioni, poiché in tal caso gn(x)>0 sempre e per lo stesso motivo,

nel primo sistema possiamo togliere la condizione g(x)>0.

Esercizi

1. 06)(log5)(log 222 xx

2. 03)(log4)(log 323 xx

3. 04)(log)(log 22/1

32/1 xx

4. 22x–32x+2>0

5. 372x+7x–4<0

6. 22x–122x+320

7. 2sin2(x)–1<0

8. 4sin2(x)–2( 3 +1)sin(x)+ 3 <0

9. 2sin2(x)+(2+ 2 )sin(x)+ 2 <0

10. 2sin4(x)–3sin2(x)+ 1<0

11. 7sin(x)+2cos2(x)–5>0

12. cos2(x)+5sin2(x)–sin(x)<0

13. 3cos(x)+sin2(x)–3>0

24. 2sin2(x)+5cos2(x)–4 >0

25. 0112

2

xtg

26. 2tg2(x)+3tg(x)–1<0

27. 3tg2(x)–2 3 tg(x)–3>0

28. 3 tg3(x)+(4– 3 )tg2(x)–(4– 3 )tg(x)–

3 <0

29. tg4(x)+2tg2(x)–3>0

30. 3 sin(x)–cos(x)>0

31. 4sin(x)–3cos(x)<0

32. 6sin2(x)– 3 sin(x)cos(x)–cos2(x)>0

33. sin3(x)– 3 sin2(x)cos(x)–cos3(x)>0

34. sin4(x)–4sin2(x)cos2(x)+3cos4(x)>0

35. (1+ 3 )sin2(x)–( 3 –1)sin(x)cos(x)–



14. 03)cos(32

4 2

xxsin

15. 4sin4(x)+cos2(x)–3<0

16. 2sin3(x)–(3 2 +2)sin2(x)–

(3 2 +2)sin(x)–2<0

17. 4cos2(x)–2( 3 + 2 )cos(x)+ 6 <0

18. 8cos4(x)–10cos2(x)+ 3<0

19. 2 cos3(x)–(3– 2 )cos2(x)–(3–

2 )cos2(x)+ 2 <0

20. 021)cos(2

cos4 2

xx

21. 2 3

2cos2 x +cos(x)+ 3 –2<0

22. 2

22 xsin +cos(x)–2>0

23. 2cos2(x)–sin2(2x)+ 2 >0

1>0

36. 4sin4(x)+4sin2(x)cos2(x)>1

37. 3cos2(x)+2 sin(x)cos(x)>3

38. 2sin2(x)–5sin(x)cos(x)–+3cos2(x)>0

39. 3 cos2(x)–2sin(x)cos(x)–

3 sin2(x)>0

40. 3 sin2(x)–2sin(x)cos(x)–

3 cos2(x)>0

41. sin2(x)–4sin(x)cos(x)+ 3cos2(x)>0

42. 2sin2(x)–4sin(x)cos(x)–3cos2(x)<0

43. 2sin2(x)+(3+ 3 )sin(x)cos(x)+3(1–

3 )cos2(x)<0

44. sin4(x)+3sin2(x)cos2(x)–cos4(x)>0

45. cos(2x)+sin(x)–1<00

6.2 Disequazioni irrazionali

Una disequazione irrazionale è del tipo:

n xf )( g(x) (13)

dove f=f(x) e g=g(x) sono funzioni reali ed nN. Se n è dispari allora per il 3o

principio, elevando ambo i membri della (13) ad n otteniamo la disequazione

equivalente:

f(x) gn(x)

Se n è pari si distinguono due casi. Consideriamo il caso in cui il verso della

disuguaglianza nella (13) sia <. Per l’esistenza della radice bisogna imporre f(x)0 ed

inoltre affinché abbia senso la (13), dobbiamo imporre pure che sia g(x)>0. In queste



condizioni per il terzo principio, una disequazione equivalente alla (13), si ottiene

elevando ambo i membri della (13) ad n:

f(x)<gn(x)

E quindi in definitiva la (13) con verso di disuguaglianza <, è equivalente al sistema:

)()(

0)(0)(

xgxf

xgxf

n

Consideriamo adesso il caso in cui il verso della disuguaglianza nella (13) sia >. Per

l’esistenza della radice bisogna imporre f(x)0. In queste condizioni si osserva che la

(13) è sicuramente soddisfatta quando g(x)<0. Quindi un insieme di soluzioni della

(13) è dato dal sistema:

0)(0)(

xfxg

Se adesso imponiamo che sia g(x)0, per il terzo principio, una disequazione

equivalente alla (13), si ottiene elevando ambo i membri della (13) ad n:

f(x)>gn(x)

cioè altre soluzioni della (13) sono date dal sistema:

)()(

0)(0)(

xgxf

xgxf

n

si osserva che la prima disequazione, è contenuta implicitamente nelle altre due, e di

conseguenza può essere omessa da quest’ultimo sistema. E quindi in definitiva le

soluzioni della (13) con verso di disuguaglianza >, sono date dall’unione delle

soluzioni dei seguenti due sistemi:

0)(0)(

xfxg

e

)()(

0)(

xgxf

xgn

Vediamo alcuni casi particolare della (13).

Se la funzione g è costante e vale costantemente kR la (13) diventa:



n xf )( k

se n è dispari il sistema equivalente è:

f(x) kn

Se n è pari distinguiamo i versi < e >. Per il verso < la disequazione non è mai

soddisfatta se k0, mentre nel caso k>0 il sistema equivalente è:

nkxf

xf

)(

0)(

Per il verso > la disequazione è soddisfatta per gli stessi valore d’esistenza della

funzione irrazionale (cioè per f(x)0) se k<0, mentre nel caso k0 il sistema

equivalente è:

f(x)>kn

Un altro caso particolare della (13) è il seguente:

)()()( xCxBxA (14)

con A=A(x), B=B(x) e C=C(x) funzioni reali. Posto h(x)=C(x) )(xB si ottiene:

)(xA h(x)

che è una disequazione del tipo (13), si costruisce quindi il sistema equivalente,

successivamente si esplicita la definizione della h=h(x) e di conseguenza si

aggiungono le disequazioni che essa comporta. Si ottiene così un sistema equivalente

alla (14). Nel caso di una disequazione, nella quale compaiono più di due espressioni

sotto il segno di radice, non esiste un procedimento standard. Quello che bisogna fare

è usare i tre principi (soprattutto il terzo principio), per cercare di ricondursi a un

sistema equivalente, contenente disequazioni del tipo (13), (14).

Fissati m,nN un’espressione apparentemente più generale della (13) è la seguente:

nmxf /)( g(x)

infatti quest’ultima la possiamo scrivere come:

n mxf )( g(x)



In effetti l’espressione più generale della (13) è:

mn xgxf )()( (15)

dove m,nN. Analogamente a quanto visto per la (13), si distinguono i casi n, m pari

o dispari, si impongono le opportune condizioni d’esistenza e si applica il terzo

principio d’equivalenza. Risolviamo ad esempio la (15) nel caso n=m=2. Imposte le

condizioni d’esistenza per il terzo principio d’equivalenza possiamo quadrare ambo i

membri della (15) e di conseguenza il sistema equivalente è:

)()(0)(0)(

xgxfxgxf

Si osserva che la seconda disequazione è implicitamente contenuta nella prima e nella

terza disequazione e quindi in definitiva il sistema equivalente è:

)()(0)(

xgxfxf

Esercizi

1. 2352 2 xxx

2. xxx 23 2

3. 125 2 xx

4. 082 xx

5. 0123 2 xxx

6.

013

12

1

02452 xx

xx

7.

02

243

xx

xx

11. )(211)cos(2 2 xsinx

12. 01)(2)2cos( xsinx

13. )(cos43)(21 2 xxsin

14. 2)cos()(4

xxsinxsin

15. 3582 xxx

16. 22211 xxx

17. 33582 2 xxxx

18. 1321 2 xxx

19. 2cos(x)–1<



8. )1lg()1lg()lg( 2 xxx

9. 1+ )ln(2)ln(3))(ln(2 2 xxx

10. )1lg()1lg( 22 xx

)cos(11)cos(2 xx

20. ln(x2–1)<

)1ln()1(ln 222 xx

6.3 Disequazioni contenenti espressioni in valore assoluto

Ricordiamo che la funzione modulo è così definita:

0 se 0 se

xxxx

x

Dalla definizione si evince, che valgono le seguenti identità:

2xx =max{–x,x} xR (16)

x=sgn(x) x

x =sgn(x)x

yxxy x,yR

Inoltre assegnato un numero reale m>0, valgono le seguenti relazioni:

mx se e solo se –m<x<m (17)

mx se e solo se x<–m o x>m (18)

Assegnata una disequazione, in cui compaiono due o più espressioni in valore

assoluto, si procede come segue:

si studiano le variazioni di segno di ogni espressione in modulo

in corrispondenza ad ogni variazione, si scrive la diseq. data, esplicitando i moduli

le soluzioni della diseq. assegnata, sono date dall’unione delle soluzioni dei

sistemi suddetti.

Consideriamo ad esempio la disequazione:

075342 xxxx

costruiamo la tabella che ci dà le variazioni di segno delle espressioni in modulo:



Figura 7

Quindi le soluzioni della disequazione data, sono date dall’unione delle soluzioni dei

seguenti sistemi:

07)2()3()4(

52 xxxx

x

07)2()3()4(

32 e 252 xxxx

xx

07)2()3()4(

222 xxxx

x

07)2()3()4(

32 xxxx

x

Vediamo un altro esempio:

)(12 xsinx >0

costruiamo la tabella che ci dà le variazioni di segno delle espressioni in modulo:

Figura 8


seguenti sistemi:

x+5

3–x

–5 –2 2 3

x2–4

x2–1

–1 0 1

x



0)()1(

12 xsinx

x

0)()1(

012 xsinx

x

0)()1(

102 xsinx

x

0)()1(

12 xsinx

x

Vediamo un ultimo esempio:

1321124 22 xxxxxx

si studiano le variazioni di segno, rispettivamente delle funzioni:

42 x

112 xxx

32 x

si costruisce la tabella che descrive le variazioni di segno delle espressioni in modulo:

Figura 9


seguenti sistemi:

1)32(1124

2 e 222 xxxxxx

xx

3/2 –1 –3/2 –2

32 x

0

x2–4 2

112 xxx



1)32(112)4(

22/3 e 2/3222 xxxxxx

xx

1)32(112)4(

2/32/322 xxxxxx

x

L’analisi fatta ci mostra che in generale un a disequazione contenete espressioni in

valore assoluto, si riconduce alla soluzione di più sistemi.

Vediamo un caso particolare. Siano f=f(x) e g=g(x) due funzioni reali, e

consideriamo la disequazione:

)()( xgxf (19)

Per quanto suddetto segue che le soluzioni della (19) sono date dall’unione delle

soluzioni dei sistemi:

)()(0)(

xgxfxf

e

)()(

0)(xgxf

xf

Tuttavia la (19) può essere ricondotta ad un sistema equivalente, rispettivamente nel

< e nel caso >, avente un numero inferiore di disequazione. Nel caso in cui il verso

della disuguaglianza nella (19) sia <, allora per la (17) la (19) si può scrivere come:

–g(x)<f(x)<g(x)

e questa è equivalente al sistema:

)()()()(

xgxfxfxg

Nel caso in cui il verso della disuguaglianza nella (19) sia >, allora per la (18) le

soluzioni della (17) sono date dall’unione delle disequazioni:

f(x)<–g(x) e f(x)>g(x)

Concludiamo facendo osservare, che per l’identità (16), ogni disequazione contenente

espressioni in modulo, può essere ricondotta ad una disequazione irrazionale.

Tuttavia quest’ultimo metodo non viene mai usato, poiché esso riconduce a

disequazioni irrazionali, i cui procedimenti di risoluzione, sono indubbiamente meno



standard di quelli adoperati per la risoluzione delle disequazioni contenenti

espressioni in valore assoluto.

Esercizi

1. xx 223

2. 312 x

3. 2)1(3)4()1( 2 xxxx

4. 0322 xx

5. )1)(3(43 2 xxxxx +

9x<3

6. )1(3243 22 xxxxx +

9x<3

7. xxxx 21

8. xxxx 243 22 +

39113 xxx

9. xx 2)1(

10. xx 2)1(

11. 22 )3()1( xx +

31)816( 222 xxxx

12. xx 27

13. 022322 xxx

14. 022322 xxx

35. 01)cos()( xxsin

36. 2 12 xsin

37. 23)1(2 xsin –2( 3 +1)sin(x–

1)+ 3 <0

38. 021cos2

cos4 2 xx

39. 01 xsinx

46. 2tg2 x +3 )(xtg –1<0

40. 3 sinx)– )cos(x >0

41. 4 )(xsin +cos(x)>0

42. )cos(x +2cos(x)>0

43. 6sin2(x)– 3 sin(x) )cos(x –cos2(x)>0

44. sin4 x –4sin2(x)cos2 x +3cos4(x)>0

45. (1+ 3 )sin2(x)–( 3 –1)sin x cos x –

1>0

46. 32733 23 xxxx

47. 12232 xxx

48. 2352 2 xxx

49. 125 2 xx



15. 02232234 12 xxxxx

16. 02232234 12 xxxxx

17. 0ln x

18. 125ln 2 x

19. 125ln 2 x

20. )ln(21)1ln( 2 xx –

01)3ln( x

21. )ln(21)2ln( 2 xxxx –

1133ln x

22. 11ln)1(ln 2 xx

23. 0ln)ln(ln xxx

24. 21)( xsin

25. 21)cos( x

26. 21

xsin

27. 211 xsin

28. 2

1)cos( x

29. 21cos x

50. 082 xx

51. 3582 xxx

52. 22211 xxx

53. 0123 2 xxx

54. 1321 2 xxx

55.

013

12

1

02452

2

xx

xx

56.

02

243

xx

xx

57. 1lg)1lg(lg 2 xxx

58. 1+ 2)1ln(3)1(ln2 222 xx <

1ln 2 x

59. 1ln)1(ln)1ln( 2222 xxx

60. 1719274 xxx

61. 7771172 2 xxx

62. 777117 2 xxx

63. )(211)cos(2 2 xsinx

64. )(211)(2 2 xsinxsin



30. 231cos 2 x

31. 1)( xtg

32. 12

xtg

33. 1xtg

34. 2 2)(2

cos2

xsinx >0

65. 0122cos xsinx

66. )(cos43)(21 2 xxsin

67. 2cos4

xxsinxsin

68. 2cos(x)–1<

)cos(11)cos(2 xx

6.4 Disequazioni fratte

Siano f=f(x)e g=g(x) funzioni reali. Si dice disequazione fratta (in forma normale):

0)()(

xgxf (20)

Le variazioni di segno della funzione g sono equivalenti alle variazioni di segno della

funzione 1/g a meno dei punti in cui g si annulla e quindi in definitiva lo studio della

(20) si riconduce allo studio del segno del prodotto della funzione f e della funzione

1/g (vedi paragrafo 1.3), ovvero si studia separatamente il segno del numeratore f e

del denominatore g e successivamente si costruisce la tabella che riporta le variazioni

di segno, facendo quindi il prodotto dei segni si ottengono gli intervalli di risoluzione.

Esercizi

1. 131

xx

2. 010365

2

2

xxxx

3. 06765

2

2

xxxx

4. 087

1272

2

xxxx

30.

xx

xx

211

131

31.

)4)(2(

47ln)1ln(3

xxxx

32. )25ln()2ln()12ln(2 xxx

33. 3ln(x–2)>ln(x)+ln(x2–14)



5. xx

xx

5151

5151

6. 0112

xx

7. 2312

xx

8. 253

xx

9. 13

124

xx

10. xxx

xx 3

321

2

11. xx

xzx 51

1212 2

12.

08

243

11

3x

xx

13.

0)1()1(

02

314

2

2

2

2

2

2

xxxx

xxx

xx

xx

xx

14. 11

1211

2

322

xx

xx

xx

15. 1

343

53

2

xxxx

16. 21

212

42

2

24

2

xx

xxx

34. )3ln(2)23ln(23ln xx <

12ln2 x

35. log(2x–1)+log(3x–8)–log(x)–log(x–

2)>log(5)–log(3)

36. 06)ln()(ln

1)(ln2

2

xxx

37. 0312log 2

xx

38. xxx log)1log()log(2

39. 11

1610log2

10

xxx

40. 06545log 2

2

10

xxxx

41. 0)1lg(2 2)(

xxex

xsin

42. 032 xe

43.

02

)2))(lg(1(22

2

xx

x

ee

ex

44. 03

1ln

xe

xx

45. 01)ln(

42

xx

46. 1)(

1

xsin

47. 2)cos(

1

x



17. 0243242

1617510

48

xxxx

18. 51

21

251

2

4

xxx

x

19. 11 x

xx

20. 16

xx

21. 1

11

x

x

22. 223 xx >

22316

xx

23. 5

115

xx

x

24. 1513

11513

xxxxx

25. 0132

342

xx

xx

26. 024

12

xxxx

27. 2312

xx

28. 13

632

1

xx

48. 1)(

1

xtg

49. 1)cos()cos(

1 x

x

50. 02)cos(21)(2

xxsin

51. 01)cos(22)(2

xxsin

52. 01)(31)(2

xtgxsin

53. 01)(23)(

xsin

xtg

54. 01)(

32)(

xtgxtg

55. 01cos

)cos(122

x

xxsin

56. 01)(3cos

)cos(122

xsinx

xxsin

57. 03))((lg

1)1ln(2)1(ln2

2

xsinee xx

58. 02

1)(32

xsine

xsin

59. 0)(

)(cos)( 2

xsin

xxsin

60. 0)3(

)()(25

24

xxtgxtg



29. 032 x

xx 61. 01 ))(ln(

2

xsin

xtgxtg

eee



7 Complementi sulle disequazioni trigonometriche

7.1 Disequazioni simmetriche in sin e cos

Una disequazione trigonometrica in sin(x) e cos(x) si dice simmetrica, se questa non

cambia di forma scambiano sin(x) con cos(x) e viceversa. Per risolvere questo tipo di

disequazioni si procede come segue:

si pone 4

yx

si applicano le formule di addizione e sottrazione e la formula fondamentale

sin2(y)+cos2(y)=1. Si ottiene così una disequazione del tipo (11)

si sostituisce nelle soluzioni di quest’ultima 4

xy e si ricavano quindi le

soluzioni della disequazione di partenza

Esercizi

1. 2sin(x)+2cos(x)–sin(x)cos(x)<1

2. 2 sin3(x)+ 2 cos3(x)+1<0

3. 3sin(x)+3cos(x)–5sin(x)cos(x)<3

4. sin(2x)+2 2 (sin(x)+cos(x))<5

5. sin(x)+cos(x)–sin(x)cos(x)–1<0

6. sin(x)+cos(x)–2sin(x)cos(x)<1

7. sin(x)+cos(x)+sin(x)cos(x)>1

8. 2(2 3 –1)[cos(x)+sin(x)+

2sin(x)cos(x)]–11<0

9. ( 3 –1)(sin(x)+cos(x))–2sin(2x)>0

10. sin(x)–cos(x)+2 2 sin(x)cos(x)<0

7.2 Disequazioni trigonometriche non tipiche

Abbiamo già detto che non esistono norme di carattere generale, per la risoluzione

delle disequazioni trigonometriche. Gli esercizi esposti qui di seguito sono delle

disequazioni trigonometriche che non rientrano fra quelle tipiche finora trattate, o per

lo meno non vi rientrano direttamente, nel senso che per risolverle, bisogna applicare



opportunamente uno o più volte, le varie formule trigonometriche e cercare così di

ricondurle a disequazioni aventi una forma risolvibile ovvero a disequazioni tipiche.

Esercizi

1. cos(x)–sin(x)tg(x)<33

2. 4sin(x)–cos(x)cotg(x)<21

3. sec(x)tg(x)>32

4. tg2(x)(1–sin2(x))<43

5. 3sec2(x)+2tg(x)>3

6. 2(sin4(x)– cos4(x))<1

7. cosec2(x)–3cotg2(x)>31

8. 34

64

xtgxtg

9. 3)(26

xtgxtg

10. 3cos(2x)–5 3 cos(x)+6<0

11. 1+cos(2x)<3cos2(x)–sin2(x)

12. 16sin2(2x)+4cos2(x)<15

13. 213)cos(

23

xxtg

14. 2cos(x)+3sec(x)<7

15. 2sin(x)+3cosec(x)<4 2

16. cotg2(x)+4cos2(x)>6

22. 22

)(

xtgxtg

23.

2cos2)( 2 xxsin >

2cos

23 xxsin

24. 23

)()cos()2cos(

xsinx

x

25. )2cos(1

)cos()2cos(1

)(x

xx

xsin

26.

)(2))(1(21)(cos3 2

22

xtgxtgxec <

)(cos151 2 x

>0

27. 1)(cot

)2(

xgxtg

28. 34

)cos()cos(2)()1)((

xxxsinxtg <

21

23

2 xtg

xtg

29. cos3(x)– 3 cos2(x)–(sin2(x)+sin(x)–

1)cos(x)+ 3 sin(x)<0



17.

2)cos(1)cos(21 2 xtg

xx

18.

2)cos(1)cos(1 2 xtg

xx

19. 4(sin(x)–2cos(x))2<13–8sin(2x)

20. 32

)(4

xtgxsin

21. 32

)cos(4

xtgx

30.

23

)cos(1)cos(1 2 xtg

xx

31.

23

)cos(1)( 2 xtgx

xsin

32.

23

)cos(1)( 2 xtgx

xsin

33.

xsinxxsin

xxxsinxsin

25

2cos

)3()5cos()cos()5()(



8 Esercizi di vario tipo

1. x3+x2–2<0

2. x4–6x2+8<0

3. 013 xx

4. 31 2 xx

5. 012 xxx

6. 0)1(23 xxx

7. 112 xxx

8. 3

324

1

xx

9. 3212

xx

10. )2(28

15)2(4

3)32(7

37

xxxx

11. 12

x

xx

12. 333

xx

13. 21

123

xx

14. 32

21

xx

15. 112

2

xx

16. 21221

xx

60. 03)(4)(3 2 xtgxtg

61. )(ln)ln( 2 xx

62. 1ln)1ln( 2 xx

63. 2

11)ln(

)ln(2 x

x

64. 2ln2

x

exx

65. 0)1(lg

6)ln(5)(ln2

10

2

xx

xx

66. 0)52ln(ln

11

1610lg2

10

xx

xx

67. )7(lg212lg1lg 101010 xx

68. 23ln)2ln(14ln

x

xx –

2ln x

69. 2)(lg31)(lg 22 xx

70. )1(ln2

1ln)1ln( 22

2 xaxa

con aR

71. 2)415ln()2ln(ln

xx



17. 312 xxx

18. 123 2 xxx

19.

)2)(1()4)(3(

04

12

xxxxxx

20.

xx

xxx

x

243

03

1112

21. 14

132

2

x

xxx

22. 111

xx

xx

23. 1115

xx

24. 1125

xx

25. 2113

xx

26. 116

952

2

xx

27. xxx 651 2

28. 21454 22 xxxx

29. 42158 22 xxxx

30. 1341341

xxxx

31. xx

xx 11

72. )35(lg)3264(lg 1010xx +

)9(lg10

73. 3)2(lg

)56(lg

10

310

xx

74. )4(lg1lg2)4(lg 1 xxx

xx

75. )4(lg1lg2)4(lg 1 xxx

xx

76. 2112 xtgsin

77. 231cos 2 xtg

78. 211 xsin

79. 1)()(

1)2(

xtg

xtgxsin

80. 22

2cos)cos(

xx

81. 2sin(x)–5cos(x)<5

82. 2sin(x)–cos(x)>2

83. 8cos(x)+2sin(x)<4+ 3

84. 2cos2(x)+sin2(2x)>2

85. cos(x)cos(4x)>cos(2x)cos(3x)

86. sin(5x)–sin(2x)<sin(3x)

87. sin(6x)–sin(4x)<2sin(x)

88. sin(8x)+sin(4x)<2cos(2x)

89. sin(7x)–sin(3x)>2sin(2x)

90. cos(4x)–cos(2x)<sin(x)



32. 716 xx

33. xx 49512

34. 11

21

x

xx

35. 132

5132

3

xx

36. 1123

312

xx

xx

37. 277737

xxxx

38. 12

2112

xx

x

39. 112

xxx

40. 0242

6332

2

xx

xx

41. 06353

6422

152

xx

xx

42. 0

21

21

321

2

212

xx

x

43. 023324

21

122

2

xx

xx

44. 03

8232 12

x

xx

91. cos(5x)–cos(3x)<sin(4x)

92. cos(6x)+cos(2x)>2cos(4x)

93. 2sin(x)+2cos(x)–4sin(x)cos(x)<1

94. cos(x)+sin(x)–2 2 sin(x)cos(x)>0

95. sin(x)+cos(x)–2( 2 –1)sin(x)cos(x)–

1<0

96. )(3

xsinxsin

97.

2cos

4222 xxsin

98. 0122

2 2

xsinxsin

99. 4sin2(x)–2 3 sin(x)cos(x)– 2cos2(x)–

1>0

100. sin2(x)–4 3 sin(x)cos(x)+

cos2(x)+2>0

101. /3+ 3 )sin2(x)+

( 13 )sin(x)cos(x)+2cos2(x)–3>0

102. sin(4x)+sin(x)>0

103. 12

cos)( 22

xxsin

104. 1)(3)( xsinxcoa

105.

2)cos(1 xsinx

106.

2cos2)cos(1 2 xx

107. )cos()2cos( xx



45. 033

22 2

x

xz

46. 0)352)(1( 2 xxx eee

47. xxxx 2112 2233

48. 122

xxx

49. 19)39(232)32( 12 xxxx

50. 1212 52245 xxxx

51. 06)(log5)(log 222 xx

52. 14ln2

x

x

53. 22

2ln

2

xx

54. 22ln xx

55. 22ln x

56. )(1

)(2)cos( 2 xtgxtgx

57. 3tg(x)–2cos(x)<0

58. tg(x)–tg(2x)>sin(x)

59. tg(x)tg(3x)>1

108. )cos()2( xxsin

109. 01)(2)cos(1)()(2

2

2

xsinxxsinxsin

110.

0cos)2()(7)(5)(cos3

13()cos()()13(

)(cos1

22

2

xxsinxsinxsinx

xxsin

x

111. 0)(3)2(

1)cos()()(

xtgxtgxxsinxtg

112. tg(x)tg(2x)<1

113. )(3)(cos)( 222 xsinxxtg –

0)(cos3)cos()( 2 xxxsin

114. 2)2cos(

1)cos()2cos(

x

xx

115. 03)()cos(3

1)cos(

2)(

2

2

xsinxx

xtg

116. )()(21 2 xsinxsin

Disequazioni [teoria ed esericizi][santi caltabiano]

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