Equazioni [teoria ed esericizi][santi caltabiano]

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA

FACOLTÀ DI INGEGNERIA

AUTORE: DOTT. S. Caltabiano

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)

Dott. S. Caltabiano i

Indice Generale

1 Definizioni e Proprietà fondamentali sulle equazioni ......................................... 1

1.1 Definizione di equazione. Interpretazione grafica di una equazione.

Risoluzione di una equazione per via grafica .......................................................... 1

1.2 Sistemi di equazioni ....................................................................................... 1

2 Equazioni polinomiali razionali intere ............................................................... 4

2.1 Equazioni polinomiali razionali intere di grado 1 ........................................... 4

2.2 Equazioni polinomiali razionali intere di grado 2 ........................................... 4

2.3 Equazioni polinomiali razionali intere di grado n ........................................... 6

3 Equazioni logaritmiche ...................................................................................... 8

3.1 Equazioni logaritmiche in forma normale ....................................................... 8

4 Equazioni esponenziali ..................................................................................... 10

4.1 Equazioni esponenziali in forma normale ..................................................... 10

5 Equazioni trigonometriche ............................................................................... 11

5.1 Equazioni trigonometriche elementari .......................................................... 11

5.2 Equazioni riconducibili ad equazioni elementari .......................................... 15

5.3 Metodo standard per la risoluzione di una qualunque equazioni trigonometrica

17

5.4 Equazioni trigonometriche lineari in sin, cos e tg ......................................... 18

5.5 Equazioni risolvibili applicando le formule di prostafersi ............................. 19

5.6 Equazioni risolvibili applicando le formule di Werner.................................. 21

6 Equazioni riconducibili allo studio di equazioni ordinarie. Equazioni

irrazionali. Equazioni contenenti espressioni in valore assoluto. Equazioni fratte. .. 22

6.1 Equazioni riconducibili a equazioni polinomiali grado n .............................. 22

6.2 Equazioni irrazionali .................................................................................... 24


Dott. S. Caltabiano ii

6.3 Equazioni contenenti espressioni in valore assoluto...................................... 26

6.4 Equazioni fratte ............................................................................................ 32

7 Complementi sulle equazioni trigonometriche .................................................. 36

7.1 Equazioni simmetriche in sin e cos ............................................................... 36

7.2 Equazioni trigonometriche non tipiche ......................................................... 36

8 Esercizi di vario tipo ........................................................................................ 39


Dott. S. Caltabiano 1

1 Definizioni e Proprietà fondamentali sulle equazioni

1.1 Definizione di equazione. Interpretazione grafica di una equazione.

Risoluzione di una equazione per via grafica

Siano f=f(x) e g=g(x) due funzioni reali. Si dice equazione:

f(x)=g(x)

Risolvere un’equazione, significa trovare (se esistono) gli intervalli nei cui punti

l’equazione è soddisfatta.

Diciamo che due equazione sono equivalenti se sono soddisfatte dalle medesime

soluzioni.

E’ interessante dare un’interpretazione grafica delle equazioni. Dire che un x0

soddisfa a l’equazione f(x)=g(x), evidentemente equivale ad affermare che l’ordinata

della f in x0, coincide con l’ordinata della g in x0 e quindi l’equazione è soddisfatta in

tutti gli intervalli, in corrispondenza dei quali il grafico della funzione f coincide con

quello della funzione g.

L’interpretazione grafica appena data, risulta uno strumento validissimo, nei casi in

cui le funzioni f e g hanno un’espressione analitica molto diversa e di conseguenza

molto difficile da trattare analiticamente.

1.2 Sistemi di equazioni

Siano f1= f1(x), g1= g1(x), f2= f2(x), g2= g2(x),…, fn= fn(x), gn= gn(x) n coppie di

funzioni reali. Si definisce sistema di equazioni:

)()(. . . . . . . . . . . . . . . . .)()(

)()(

22

11

xgxf

xgxfxgxf

nn

la soluzione del sistema è data dall’intersezione delle soluzioni delle singole

equazioni. Due sistemi si dicono equivalenti se ammettono le stesse soluzioni.



I seguenti quattro principi ci consentono di ottenere un’equazione equivalente a

partire da un’assegnata equazione.

Teorema 1.1 (Primo principio di equivalenza)

Sommando algebricamente ad ambo i membri di un’equazione una stessa espressione

algebrica, che non perda di significato in corrispondenza di soluzioni della equazione

data, si ottiene una equazione equivalente.

Teorema 1.2 (Secondo principio di equivalenza)

Moltiplicando ambo i membri di un’equazione, per una stessa espressione algebrica

che non si annulli e che non perda di significato in corrispondenza di soluzioni

dell’equazione data, si ottiene un’equazione equivalente

Teorema 1.3 (Terzo principio di equivalenza)

Assegnato n intero positivo. Elevando ambo i membri di un’equazione alla potenza n

o alla potenza 1/n:

se n è dispari si ottiene un’equazione equivalente

se n è pari si ottiene un’equazione equivalente se e solo se ambo i membri

dell’equazione assegnata sono non negativi

In effetti i precedenti tre teoremi possono essere considerati come un caso

particolare del seguente teorema.

Teorema 1.4 (Quarto principio di equivalenza)

Componendo ambo i membri di un’equazione con una funzione iniettiva, si ottiene

un’equazione equivalente

Corollario 1.1



Se ambo i membri di un’equazione non si annullano mai allora passando ai reciproci

si ottiene un’equazione equivalente

Dimostrazione

Conseguenza del secondo principio.

Enunciamo adesso il seguente teorema che ci fornisce le condizioni necessarie

e sufficiente per passare da un sistema di equazioni ad un sistema equivalente.

Teorema 5

Assegnato un sistema di equazioni allora esso è equivalente al sistema ottenuto:

1. scambiano due equazioni del sistema dato

2. moltiplicando un’equazione del sistema dato per una costante non nulla

3. sommando ad un’equazione un’altra equazione moltiplicata per una costante reale

4. risolvendo un’equazione rispetto ad una variabile e sostituita nelle rimanenti

equazioni



2 Equazioni polinomiali razionali intere

Il termine “intere” è riferito al fatto che l’incognita compare soltanto con potenza

positiva, cioè non compare al denominatore. L’equazioni razionali non intere, sono

dette equazioni razionali fratte e verranno tratte in seguito. Il termine “razionale” è

riferito al fatto che non compaiono espressioni sotto il segno di radice. Le equazioni

nelle quali compaiono espressioni sotto il segno di radice sono dette irrazionale e

verranno trattate in seguito.

2.1 Equazioni polinomiali razionali intere di grado 1

Si definisce equazione razionale intera di grado 1:

ax+b=0 (1)

più precisamente in questo in caso l’equazione si dice in forma normale. Si capisce

immediatamente che grazie al primo principio ci si può sempre ricondurre alla forma

normale, ad esempio se abbiamo:

ax+b=cx+d

allora per il primo principio otteniamo:

(a–c)x+b–d=0

Per il primo e per il secondo principio la (1) è soddisfatta per:

abx

Esercizi

1. 5x–3=0

2. 2x–3=3–x

3. x+1=0

4. 2x+3=1

5. 3x+1=3–2x

6. 7x–2=3+5x

2.2 Equazioni polinomiali razionali intere di grado 2

Si definisce equazione razionale intera di grado 2 (in forma normale):



ax2+bx+c=0

Vogliamo fare osservare a priori che P2(x) si può scrivere come prodotto di due

polinomi di primo grado:

P2(x)=ax2+bx+c=a

acx

abx2 = a

ac

ab

abx

abx 2

2

2

22

44=

=a

ac

ab

abx 2

22

42= a

2

22

44

2 aacb

abx =

=a

2

2

42 aabx = a

22

22 aabx =

= a

aabx

aabx

2222=a

abx

abx

22

con :=b2–4ac. Ed inoltre posto:

abx

21

e a

bx22

che sono quindi le radici del polinomio P2(x), e possono essere: reali e distinte se

>0, reali e coincidenti se =0 e complesse e coniugate se <0. In definitiva:

P2(x):=a(x–x1)(x–x2) (2)

Esercizi

1. (x–2)(x+2)=0

2. –3(x–2)(x–1)=0

3. 4(x+2)(x+3)=0

4. x2–1=0

5. x2+2=0

6. x2–2=0

7. x2–3x=0

8. x2+2x=0

12. x2–x–1=0

13. 3

12 x +(x–2)2=2

22 x

14. 032 xx

15. 0232 xx

16. 0652 xx

17. 0652 xx



9. x2–5x+4=0

10. (x+1)2=3x+3

11. x2–2x–1=0

18. xxx

21

2212

19. 0652 xx

2.3 Equazioni polinomiali razionali intere di grado n

Generalizziamo i due casi di equazioni appena trattati. Si definisce equazione

razionale intera di grado n (in forma normale):

anxn+an-1xn-1+…+ a1x+ a0 =0

In sostanza si tratta di trovare le radici del polinomio Pn(x)=anxn+an-1xn-1+…+ a1x+ a0

che come noto ammette al più n radici reali. Dette x1,…,xmR dove mn, tali radici

allora facendo uso della regola di Ruffini, sappiamo che si può scrivere:

Pn(x)=an(x–x1)(x–x2)…(x–xm)Q(x)

dove Q=Q(x) è un polinomio non scomponibile nel campo reale (cioè non ammette

radici reali, ad esempio Q(x)=x2+1).

Una particolare equazioni di grado n si ha quando:

Pn(x)=xn–a

e si parla di equazioni binomie di grado n. Se n è dispari per il terzo principio l’unica

radice reale di Pn(x) è n a .

Se n è pari, nel caso a<0 Pn(x) è sempre strettamente positivo e non ammette radici

reali., mentre nel caso a>0, scomponendo Pn(x) si trova facilmente che:

Pn(x)=(x– n a )(x+ n a )Q(x)

dove Q=Q(x) è un polinomio non scomponibile nel campo reale, e quindi in questo

caso le radici reali sono n a .

Un’altra particolare equazioni di grado n si ha quando:

P2m(x)=ax2m+bxm+c

dove m è un numero intero positivo, nel caso m=2 si parla di equazioni

biquadratiche. Si pone y=xm e si ottiene ay2+by+c che è un polinomio di secondo

grado nella variabile y e quindi dette y1 e y2 le sue radici si ha:

P2m(x)= a(y–y1)(y–y2)= a(xm–y1)(xm–y2)



e pertanto in questo caso le radici del polinomio P2m(x) sono le radici del prodotto di

due equazioni binomie.

Esercizi

1. x3–6x2+11x–6=0

2. x5–x4–x+1=0

3. x4+3x3–14x2–48x–32=0

4. x4+x3–7x2–x+6=0

5. x3–3x+2=0

6. x4–5x3+5x2+5x–6=0

7. x5+2=0

8. x6+2=0

9. x4–16=0

10. x4–5x2+4=0

11. x4–10x2+9=0

12. x8–17x4+16=0



3 Equazioni logaritmiche

3.1 Equazioni logaritmiche in forma normale

Siano f=f(x) e g=g(x) due funzioni reali e sia a un numero reale compreso tra 0 e 1

oppure strettamente maggiore di 1. Un’equazione logaritmica in forma normale è

del tipo:

loga f(x)=loga g(x) (3)

Il logaritmo ha senso se l’argomento è strettamente positivo e quindi dobbiamo

imporre che f(x)>0 e g(x)>0. E quindi in definitiva per il quarto principio, passando

all’esponenziale nella (3), il sistema equivalente alla (3) è:

)()(0)(0)(

xgxfxgxf

si osserva che la condizione g(x)>0 è contenuta è implicitamente contenuta nelle altre

due e quindi può essere scarta. E in definitiva il sistema equivalente alla (3) è:

)()(0)(

xgxfxf

Assegnata una costante bR un caso particolare della (3) è l’equazione:

loga f(x)=b (4)

infatti per ricadere nel caso della (3) basta porre g(x)=ab e di conseguenza il sistema

equivalente alla (4) è:

)(

0)(baxf

xf

si scarta la prima condizione, poiché la seconda impone implicitamente che le sue

soluzioni siano per f>0. E pertanto l’equazione equivalente alla (4) è:

f(x)=ab



Nella maggior parte dei casi il logaritmo considerato è quello di Neperio, cioè il

logaritmo con base e e lo si denota con ln ed è detto per l’appunto logaritmo

neperiano.

Esercizi

1. log3(3x+6)=log3(x–2)

2. log1/2(3x–4)=log½(3x–4)

3. log½(2x–4)=2

4. 2ln(x–1)=1

5. ln(x+1)+ln(x)=2ln(1–x)

6. log3log2(x+1)=0

7. log10(x2–x+98)=2

8. log10log10(2x-5)=0

9. log1/3log2(x+1)=1

10. log10(x2–7x+11)=0

11. 2log3(2–x)–log3(x+4)=log3(3x+14)

12. ln(x)–2ln(x+3)=ln(x3+15)

13. ln(x2–6x+9)=ln(x)–ln(4)

14. 3ln(x–2)=ln(x)+ln(x2–14)

15. 22

15

1ln

xx



4 Equazioni esponenziali

4.1 Equazioni esponenziali in forma normale

Siano f=f(x) e g=g(x) due funzioni reali, siano a, b numeri reali positivi e siano c,

dR.. Un’equazione esponenziale in forma normale è del tipo:

caf(x)=dbg(x) (5)

Si presentano i seguenti casi:

a) Se c>0 e d>0 allora fissato un numero h reale compreso tra 0 e 1 oppure

strettamente maggiore di 1, l’equazione equivalente alla (5) si ottiene applicando

ad ambo i membri il logaritmo in base h:

logh(c)+f(x) logh(a)=logh(d)+g(x)logh (b)

b) Se c0 o d0 l’equazione (5) è impossibile

Un caso particolare della (5) si ottiene ponendo b=c=1:

af(x)=d (6)

si presentano i seguenti casi:

a) Se d>0 allora fissato un numero h reale compreso tra 0 e 1 oppure strettamente

maggiore di 1, l’equazione equivalente alla (6), per la tabella precedente è:

f(x)logh(a) logh(d)

b) Se d0 l’equazione (6) è impossibile

Esercizi

1. 22x–3=5

2. (1/3)x+1>=5

3. 2x+4=–5

4. 32x+7=–5

5. 32x–113x–7+28=0

6. 156 )2/1()2/1(2 xx

7. 2x–13x+1=9

8. 52x=87x–2

9. 352(2x–7)–452x–7+1=0

10. 52x–65x–7+5=0



5 Equazioni trigonometriche

Per la risoluzione delle Equazioni trigonometriche non esistono norme di

carattere generale. Esiste però una serie di Equazioni trigonometriche tipiche, esposte

di seguito, per le quali è possibile dare un criterio di risoluzione. La conoscenza della

risoluzione delle equazioni tipiche, è necessaria se si vuole impostare la soluzione di

una qualsiasi equazione trigonometrica.

5.1 Equazioni trigonometriche elementari

Sono equazioni trigonometriche elementari (in forma normale):

sin(x)=m (7)

cos(x)=m (8)

tg(x)=m (9)

dove mR.. La risoluzione di queste equazione, avviene per via grafica.

Esistono due metodi. Il primo metodo consiste nel rappresentare sul piano cartesiano

cartesiano la funzione trigonometrica considerata e la retta di equazione y=m e

prendere le eventuali intersezioni. Descriviamo dettagliatamente il secondo metodo,

detto metodo trigonometrico, singolarmente per la (7), per la (8) e per la (9).

Metodo trigonometrico per la (7):

si disegna la circonferenza trigonometrica (cioè la circonferenza di raggio 1, con

origine nel centro degli assi coordinati O=(0,0))

se m<–1 o m>1 la (7) non è mai verificata. Se –1m1 si traccia la retta y=m, e si

riportano gli angoli corrispondenti alle intersezioni.

si aggiunge la periodicità 2k con kZ..

Consideriamo ad esempio il caso in cui 0m1. Denotiamo con l’angolo

=arcsin(m), e procediamo come suddetto:



Figura 1

Quindi l’equazione è soddisfatta per:

x= e x=–

aggiungendo la periodicità:

x=+2k e x=–+2k

Un’analisi sistematica di questo tipo, ci porta a dare una scrittura generale, che

descrive tutte le soluzioni della (7), al variare di m. Nella tabella che segue, nei casi in

cui –1m1, denoteremo con l’angolo arcsin(m) ridotto al primo quadrante:

Studio dell’equazione sin(x)=m al variare di m

-1<m o m>1 Nessuna soluzione

-1m0 x=++2k e x=2–+2k

0m1 x=+2k e x=–+2k

Tabella 1

Il metodo appena descritto ci consente di trovare le soluzioni della (7) lavorando

nell’intervallo [0,2]. Tuttavia se non ci si impone questa restrizione le soluzioni

della (7) sono:

x=arcsin(m)+2k e x=– arcsin(m)+2k

dove ovviamente –1m1.


– y=m

x

y



si disegna la circonferenza trigonometrica

se m<–1 o m>1 la (8) non è mai verificata Se –1m1 si traccia la retta x=m, e si

riportano gli angoli corrispondenti alle intersezioni.

si aggiunge la periodicità 2k con kZ..

Consideriamo ad esempio il caso in cui 0m1. Denotiamo con l’angolo

=arccos(m), e procediamo come suddetto:

Figura 2


x= e x=2–


x=+2k e x=2–+2k


descrive tutte le soluzioni della (8), al variare di m. Nella tabella che segue, nei casi in

cui –1m1, denoteremo con l’angolo arccos(m) ridotto al primo quadrante:

Studio dell’equazione cos(x)=m al variare di m

-1<m o m>1 Nessuna soluzione

-1m0 x=–+2k e x=++2k

0m<1 x=+2k e x=2–+2k

Tabella 2

2–

x=m

x

y



Il metodo appena descritto ci consente di trovare le soluzioni della (8) lavorando

nell’intervallo [0,2]. Tuttavia se non ci si impone questa restrizione le soluzioni

della (8) sono:

x= arccos(m)+2k

dove ovviamente –1m1.


si disegna la circonferenza trigonometrica

si disegna la retta parallela all’asse delle ordinate passante per il punto di

coordinate (0,1) (detto origine degli archi)

si segna il punto di coordinate M=(1,m), si riporta l’angolo corrispondente

all’intersezione

si aggiunge la periodicità k con kZ..

Consideriamo ad esempio il caso in cui m0. Procedendo come suddetto:

Figura 3


x==arctg(m)


x=+k

m y

x




descrive tutte le soluzioni della (9), al variare di m. Nella tabella che segue,

denoteremo con l’angolo arctg(m) ridotto al primo quadrante:

Studio dell’equazione tg(x)=m al variare di m

m0 x=+k (oppure x=++k)

m0 x=2–+k (oppure x=–+k oppure x=–+k)

Tabella 3

Esercizi

Risolvere nell’intervallo [0,2] le seguenti equazioni, indicando per ciascuno di essi

la soluzione in R.

1. 2sin(x)+1=0

2. 2sin(x)– 3 =0

3. 5sin(x)+2=0

4. 2 cos(x)–1=0

5. 2cos(x)+ 3 =0

6. 3 tg(x)–3=0

7. tg(x)–1=0

8. (2sin(x)+1)cos(x)=0

9. sin(2x)cos(x)=0

10. sin(4x)cos(2x)=0

11. sin(x)cos(x)=0

12. sin(x)cos(x)–2cos(x)=0

13. sin(x)cos(x)+2cos(x)=0

14. cos(x)tg(x)=0

15. cos(x)tg(x)=0

16. cos(4x)+cos(2x)=2cos(x)

17. sin(4x)–sin(2x)=sin(x)

5.2 Equazioni riconducibili ad equazioni elementari

Sia f=f(x) una funzione reale e mR. Le seguenti equazioni sono riconducibili ad

equazioni elementari:

sin[f(x)]=m

cos[f(x)]=m

tg[f(x)]=m



dove mR.. Si pone t=f(x) e si ottiene un’equazione trigonometrica elementare, si

risolve questa equazione, successivamente nella scrittura che descrive la soluzione di

quest’ultima, si sostituisce f(x) a t e si ottengono una o due equazioni del tipo:

f(x)=a con aR

l’unione delle soluzioni di queste ci dà la soluzione dell’equazione di partenza.

Altri tipi di equazioni riconducibile ad equazioni elementari, sono le seguenti:

sin[f(x)]=sin[g(x)] (10)

cos[f(x)]=cos[g(x)] (11)

tg[f(x)]=tg[g(x)] (12)

dove f=f(x) e g=g(x) sono funzioni reali.

Consideriamo la (10). Fissato x e posto m=sin[g(x)] e t= f(x) si ha l’equazione

elementare:

sin(t)=m

le soluzioni sono:

t=arcsin(m)+2k e t=–arcsin(m)+2k

e pertanto osservando che arcsin(m)=g(x) si ha che le soluzioni della (10) sono:

f(x)=g(x)+2k e f(x)=–g(x)+2k

Procedendo in maniera analoga si trova che le soluzioni della (11) sono:

f(x)= g(x)+2k

Analogamente per la (12) le soluzioni sono:

f(x)= g(x)+k

Un caso particolare della (10) è la seguente:

sin[f(x)]=cos[g(x)]

infatti quest’ultima può essere scritta come:

sin[f(x)]=sin[/2–g(x)]

Esercizi

1. 2sin(7x)=1 16. 3 cos(x2–2)=–2



2. 2cos(7x)=1

3. 2tg(7x)=1

4. 21

33cos

x

5. 21

33

xsin

6. 21

33

xtg

7. sin(x2–1)=1/2

8. cos(x2–1)=1/2

9. tg(x2–1)=1

10. sin(ln(x))=1/2

11. cos(ln(x))=–1/2

12. tg(ln(x))=1

13. cos(cos(x))+2=0

14. 2sin(ex+1)+1=0

15. 3 sin(x2–2)=–2

17. 3 tg(x2–2)=–1

18. sin(7x)=sin(3x)

19. cos(7x)=cos(3x)

20. tg(7x)=tg(3x)

21. sin(7x)=cos(3x)

22.

33 xsin =

65 xsin

23.

33cos x =

65cos x

24.

33 xtg =

65 xtg

25.

33 xsin =

65cos x

26. sin(x2–1)=sin(3x2+2)

27. cos(x2–1)=cos(3x2+2)

28. tg(x2–1)=tg(3x2+2)

29. sin(x2–1)=cos(3x2+2)

5.3 Metodo standard per la risoluzione di una qualunque equazioni

trigonometrica

Per risolvere una qualunque equazione trigonometrica nella quale gli argomenti delle

funzioni trigonometriche, sono multipli o frazioni di x, si procede come segue:

si verifica se x= è soluzione o meno dell’equazione

applicando le formule di addizione, di sottrazione, di duplicazione, di bisezione e

di prostafersi, si ottiene un’equazione in sin(x), cos(x) e tg(x)

si esprimo sin(x), cos(x) e tg(x) in funzione di tg(x/2)

si pone t=tg(x/2) e si ottiene così un’equazione polinomiale nella variabile t

si risolve l’equazione polinomiale nella variabile t



nella scrittura che descrive la soluzione dell’equazione polinomiale, si sostituisce

tg(x/2) al posto di t e si ottiene così un certo numero di equazioni trigonometriche

elementari. L’unione delle soluzioni di queste ci dà la soluzione dell’equazione

trigonometrica assegnata.

Benché questo metodo rappresenti uno strumento validissimo, nella risoluzione delle

equazioni trigonometriche, in molti casi esso riconduce a delle equazioni polinomiali

di grado elevato e di conseguenza tediose da trattare. Tratteremo in seguito alcuni tipi

di equazioni trigonometriche, aventi ognuna un metodo risolutivo opportuno, che

consente di risolvere il tipo d’equazione in questione, in maniera più sbrigativa

rispetto al metodo standard descritto sopra.

I seguenti esercizi non sono finalizzati alla risoluzione, ma servono soltanto a

titolo di esempio, per mostrare come il suddetto metodo standard, nella maggior parte

dei casi, conduca a delle espressioni difficili, se non addirittura impossibili da trattare

analiticamente.

Esercizi

1. 3sin4(x)=1

2. 3cos2(x)+sin(x)=0

3. sin(x)cos(x)=1/2

5.4 Equazioni trigonometriche lineari in sin, cos e tg

Un’equazione trigonometrica lineare è del tipo:

asin(x)+bcos(x)+ctg(x)+d =0 (13)

dove a,b,c,dR. Per risolvere questo tipo di equazioni, bisogna ricorrere al metodo

descritto nel paragrafo 5.3. Esiste tuttavia un caso particolare della (13) riconducibile

immediatamente a equazioni di tipo elementare. Se a=1, b= 1, c=0, la (13) diventa:

sin(x) cos(x)+d=0

moltiplicando ambo i membri per 2 /2 (ricordando che sin(/4)=cos(/4)= 2 /2),

dalle formule di addizione e sottrazione del seno, segue che:



02

24

dxsin

facilmente risolvibile.

Esercizi

1. 4sin(x)–2cos(x)+ 3 –2=0

2. sin(x)–cos(x)+1=0

3. sin(x)+cos(x)–1=0

4. cos(x)+sin(x)– 2 =0

5. sin(x)+cos(x)–22 =0

6. 3 sin(x)–cos(x)=0

7. 4sin(x)–3cos(x)=0

8. sin(x)–cos(x)=0

9. sin(x)+cos(x)– 2 =0

10. 4sin(x)–2cos(x)+ 3 –2=0

11. 3sin(x)–cos(x)=3

12. 2 3 cos(x)+2sin(x)= 6 + 2

13. 13

cos3

xxsin

14. 2 3

22 xsin +sin(x)+ 3 –2=0

15. 2

2cos2 x +sin(x)–2=0

5.5 Equazioni risolvibili applicando le formule di prostafersi

In molti casi, l’applicazione delle formule di prostafersi consente di trasformare

un’equazione trigonometrica complessa, in un’equazione equivalente, facilmente

risolvibile. In genere, la formula di prostafersi si applica fra due termini, in modo che

si ottenga un prodotto contenente una funzione con lo stesso argomento di una già

esistente nell’equazione data.

Le seguenti equazioni sono risolvibili applicando le formule di prostafersi:

xbacbxsinaxsin2

sin)()(

xbacbxsinaxsin

2cos)()(

xbacbxax2

cos)cos()cos(



xbacbxax2

sin)cos()cos(

cbxsinaxsin )()(

cbxax )cos()cos(

dove a,b,cR. Ad esempio se applichiamo la formula di prostafersi alla prima

equazione otteniamo:

xbaxbaxba

2sin

2cos

2sin

e quindi:

02

cos2

sin

cxbaxba

che un’equazione che sappiamo risolvere. Analogamente si procede per le rimanenti

tre equazioni.

Esercizi


2. sin(4x)–sin(2x)=sin(x)

3. sin(5x)+sin(3x)=–sin(x)

4. sin(5x)+sin(3x)=cos(x)

5. sin(7x)–sin(x)=cos(4x)

6. sin(7x)+sin(x)=sin(4x)

7. sin(5x)–sin(x)=sin(2x)

8. sin(3x)+sin(5x)=sin(4x)

9. sin(3x)+sin(5x)=–cos(x)

10. sin(5x)–sin(x)=cos(3x)

11. cos(5x)+cos(x)=cos(3x)

12. cos(5x)–cos(x)=–sin(3x)

13. cos(3x)+cos(5x)=–cos(4x)

14. cos(8x)–cos(4x)=2sin(6x)


16. 22

44

xsinxsin

17. 14

cos3

xxsin

18. 23

65

xsinxsin

19. 4

262

cos6

cos

xx

20.

xx

4cos

4cos6 =

2sin(2x)



5.6 Equazioni risolvibili applicando le formule di Werner

In molti casi, l’applicazione delle formule di Werner consente di trasformare

un’equazione trig. complessa, in un’equazione equivalente, facilmente risolvibile. Le

seguenti equazioni sono risolvibili applicando le formule di Werner:

sin(x+a)sin(x+b)=c

cos(x+a)cos(x+b)=c

sin(x+a)cos(x+b)=c

Esercizi

1. 2sin(2x+)sin(2x)=0

2. 41)2cos(

62

xxsin

3. 42)3(

123cos

xsinx



6 Equazioni riconducibili allo studio di equazioni ordinarie.

Equazioni irrazionali. Equazioni contenenti espressioni in

valore assoluto. Equazioni fratte.

6.1 Equazioni riconducibili a equazioni polinomiali grado n

Sia f=f(x) una funzione reale. L’equazione in questione è del tipo:

an [f(x)]n+an–1 [f(x)]n–1+…+ a1 f(x)+a0 =0 (14)

Si pone t= f(x) e si ottiene la seguente equazione polinomiale:

antn+an–1tn–1+…+ a1t+a0= 0 (15)

detta equazione ausiliaria. Si risolve questa equazione di grado n nella variabile t,

successivamente nella scrittura che descrive la soluzione della (15), si sostituisce f(x)

al posto di t e si ottiene così un certo numero di equazioni del tipo:

f(x)=a dove a R

l’unione delle soluzioni di queste ci da le soluzioni della (14).

Vediamo un caso particolare della (14). Ricordiamo che un polinomio si dice

omogeneo se tutti i monomi che lo costituiscono hanno lo stesso grado, essendo il

grado di un monomio la somma degli esponenti delle incognite che lo costituiscono.

Un’equazione omogenea di grado n, nella quale le incognite sono due funzioni, di cui

una non si annulla mai, per il secondo principio, si può ricondurre ad un equazione

del tipo (14), infatti basta dividere ambo i membri per la funzione non nulla elevata

ad n. A titolo d’esempio consideriamo il caso n=3. Siano f=f(x) e g=g(x) due

funzioni reali e supponiamo che la g e non si annulli mai e consideriamo:

af3(x)+bf2(x)g(x)+ cf(x)g2(x)+ dg3(x)=0

che è un’equazione omogenea di grado tre, nelle variabili f(x) e g(x), ed è equivalente

all’equazione:

ah3(x)+bh2(x)+ ch(x)+ d=0



dove si è posto per comodità h(x)=f(x)/g(x).

Esercizi

1. 06)(log5)(log 222 xx

2. 03)(log4)(log 323 xx

3. 04)(log)(log 22/1

32/1 xx

4. 22x–32x+2=0

5. 372x+7x–4=0

6. 22x–122x+32=0

7. 2sin2(x)–1=0

8. 4sin2(x)–2( 3 +1)sin(x)+ 3 =0

9. 2sin2(x)+(2+ 2 )sin(x)+ 2 =0

10. 2sin4(x)–3sin2(x)+ 1=0

11. 7sin(x)+2cos2(x)–5=0

12. cos2(x)+5sin2(x)–sin(x)=0

13. 3cos(x)+sin2(x)–3=0

14. 03)cos(32

4 2

xxsin

15. 4sin4(x)+cos2(x)–3=0

16. 2sin3(x)–(3 2 +2)sin2(x)–

(3 2 +2)sin(x)–2=0

17. 4cos2(x)–2( 3 + 2 )cos(x)+ 6 =0

18. 8cos4(x)–10cos2(x)+ 3=0

19. 2 cos3(x)–(3– 2 )cos2(x)–(3–

2 )cos2(x)+ 2 =0

20. 021)cos(2

cos4 2

xx

24. 2sin2(x)+5cos2(x)–4=0

25. 0112

2

xtg

26. 2tg2(x)+3tg(x)–1=0

27. 3tg2(x)–2 3 tg(x)–3=0

28. 3 tg3(x)+(4– 3 )tg2(x)–(4– 3 )tg(x)–

3 =0

29. tg4(x)+2tg2(x)–3=0

30. 3 sin(x)–cos(x)=0

31. 4sin(x)–3cos(x)=0

32. 6sin2(x)– 3 sin(x)cos(x)–cos2(x)=0

33. sin3(x)– 3 sin2(x)cos(x)–cos3(x)=0

34. sin4(x)–4sin2(x)cos2(x)+3cos4(x)=0

35. (1+ 3 )sin2(x)–( 3 –1)sin(x)cos(x)–

1=0

36. 4sin4(x)+4sin2(x)cos2(x)=1

37. 3cos2(x)+2 sin(x)cos(x)=3

38. 2sin2(x)–5sin(x)cos(x)–+3cos2(x)=0

39. 3 cos2(x)–2sin(x)cos(x)–

3 sin2(x)=0

40. 3 sin2(x)–2sin(x)cos(x)–

3 cos2(x)=0

41. sin2(x)–4sin(x)cos(x)+ 3cos2(x)=0

42. 2sin2(x)–4sin(x)cos(x)–3cos2(x)=0



21. 2 3

2cos2 x +cos(x)+ 3 –2=0

22. 2

22 xsin +cos(x)–2=0

23. 2cos2(x)–sin2(2x)+ 2 =0

43. 2sin2(x)+(3+ 3 )sin(x)cos(x)+3(1–

3 )cos2(x)=0

44. sin4(x)+3sin2(x)cos2(x)–cos4(x)=0

45. cos(2x)+sin(x)–1=0

6.2 Equazioni irrazionali

Un’equazione irrazionale è del tipo:

n xf )( =g(x) (15)

dove f=f(x) e g=g(x) sono funzioni reali ed nN. Se n è dispari allora per il 3o

principio, elevando ambo i membri della (15) ad n otteniamo l’equazione

equivalente:

f(x)=gn(x)

Se n è pari per l’esistenza della radice bisogna imporre f(x)0 ed inoltre affinché

abbia senso la (15), dobbiamo imporre pure che sia g(x)0. In queste condizioni per il

terzo principio, un’equazione equivalente alla (15), si ottiene elevando ambo i

membri della (15) ad n. Pertanto la (15) è equivalente al sistema:

)()(

0)(0)(

xgxf

xgxf

n

Osserviamo che la prima condizione è implicitamente contenuta nella terza e quindi

in definitiva la (15) è equivalente al sistema:

)()(

0)(

xgxf

xgn

Vediamo alcuni casi particolare della (15).

Se la funzione g è costante e vale costantemente kR la (15) diventa:

n xf )( =k

se n è dispari l’equazione equivalente è:



f(x)=kn

Se n è pari l’equazione non è mai soddisfatta se k<0, mentre nel caso k0 l’equazione

equivalente è:

f(x)=kn

Un altro caso particolare della (15) è il seguente:

)()()( xCxBxA (16)

con A=A(x), B=B(x) e C=C(x) funzioni reali. Posto h(x)=C(x) )(xB si ottiene:

)(xA =h(x)

che è un’equazione del tipo (15), si costruisce quindi il sistema equivalente,

successivamente si esplicita la definizione della h=h(x) e di conseguenza si

aggiungono le equazioni che essa comporta. Si ottiene così un sistema equivalente

alla (16). Nel caso di un’equazione, nella quale compaiono più di due espressioni

sotto il segno di radice, non esiste un procedimento standard. Quello che bisogna fare

è usare i tre principi (soprattutto il terzo principio), per cercare di ricondursi a un

sistema equivalente, contenente equazioni del tipo (15), (16).

Fissati m,nN un’espressione apparentemente più generale della (15) è la seguente:

nmxf /)( =g(x)

infatti quest’ultima la possiamo scrivere come:

n mxf )( =g(x)

In effetti l’espressione più generale della (15) è:

mn xgxf )()( (17)

dove m,nN. Analogamente a quanto visto per la (15), si distinguono i casi n, m pari

o dispari, si impongono le opportune condizioni d’esistenza e si applica il terzo

principio d’equivalenza. Risolviamo ad esempio la (17) nel caso n=m=2. Imposte le

condizioni d’esistenza per il terzo principio d’equivalenza possiamo quadrare ambo i

membri della (17) e di conseguenza il sistema equivalente è:



)()(0)(0)(

xgxfxgxf

Si osserva che la seconda equazione è implicitamente contenuta nella prima e nella

terza equazione e quindi in definitiva il sistema equivalente è:

)()(0)(

xgxfxf

Esercizi

1. 2352 2 xxx

2. xxx 23 2

3. 125 2 xx

4. 082 xx

5. 0123 2 xxx

6. 0245 xx

7. 243 xx

8. 02 xx

9. )1lg()1lg()lg( 2 xxx

10. 1+ )ln(2)ln(3))(ln(2 2 xxx

11. )1lg()1lg( 22 xx

12. )(211)cos(2 2 xsinx

13. 01)(2)2cos( xsinx

14. )(cos43)(21 2 xxsin

15. 2)cos()(4

xxsinxsin

16. 3582 xxx

17. 22211 xxx

18. 33582 2 xxxx

19. 1321 2 xxx

20. 2cos(x)–1=

)cos(11)cos(2 xx

21. ln(x2–1)=

)1ln()1(ln 222 xx

6.3 Equazioni contenenti espressioni in valore assoluto

Ricordiamo che la funzione modulo è così definita:

0 se 0 se

xxxx

x



Dalla definizione si evince, che valgono le seguenti identità:

2xx =max{–x,x} xR (18)

yxxy x,yR

Inoltre assegnato un numero reale m0, valgono le seguenti relazioni:

mx se e solo se x=m

in particolare:

0x se e solo se x=0

Assegnata un’equazione, in cui compaiono due o più espressioni in valore assoluto, si

procede come segue:

si studiano le variazioni di segno di ogni espressione in modulo

in corrispondenza ad ogni variazione, si scrive l’equazione data, esplicitando i

moduli

le soluzioni dell’equazione assegnata, sono date dall’unione delle soluzioni dei

sistemi suddetti.

Consideriamo ad esempio l’equazione:

075342 xxxx

costruiamo la tabella che ci dà le variazioni di segno delle espressioni in modulo:

Figura 4

Quindi le soluzioni dell’equazione data, sono date dall’unione delle soluzioni dei

seguenti sistemi:

x+5

3–x

–5 –2 2 3

x2–4



07)2()3()4(

52 xxxx

x

07)2()3()4(

32 e 252 xxxx

xx

07)2()3()4(

222 xxxx

x

07)2()3()4(

32 xxxx

x

Vediamo un altro esempio:

)(12 xsinx =0

costruiamo la tabella che ci dà le variazioni di segno delle espressioni in modulo:

Figura 5


seguenti sistemi:

0)()1(

12 xsinx

x

0)()1(

012 xsinx

x

0)()1(

102 xsinx

x

0)()1(

12 xsinx

x

x2–1

–1 0 1

x



Vediamo un ultimo esempio:

1321124 22 xxxxxx

si studiano le variazioni di segno, rispettivamente delle funzioni:

42 x

112 xxx

32 x

si costruisce la tabella che descrive le variazioni di segno delle espressioni in modulo:

Figura 6


seguenti sistemi:

1)32(1124

2 e 222 xxxxxx

xx

1)32(112)4(

22/3 e 2/3222 xxxxxx

xx

1)32(112)4(

2/32/322 xxxxxx

x

L’analisi fatta ci mostra che in generale un’equazione contenete espressioni in valore

assoluto, si riconduce alla soluzione di più sistemi.

Vediamo un caso particolare. Siano f=f(x) e g=g(x) due funzioni reali, e

consideriamo l’equazione:

)()( xgxf (19)

3/2 –1 –3/2 –2

32 x

0

x2–4 2

112 xxx



Per quanto suddetto segue che le soluzioni della (19) sono date dall’unione delle

soluzioni dei sistemi:

)()(0)(

xgxfxg

e

)()(0)(

xgxfxg

E nel caso particolare:

mxf )(

con m0, le soluzioni sono date da:

f(x)=m

Concludiamo facendo osservare, che per l’identità (18), ogni equazione contenente

espressioni in modulo, può essere ricondotta ad un’equazione irrazionale. Tuttavia

quest’ultimo metodo non viene mai usato, poiché esso riconduce a equazioni

irrazionali, i cui procedimenti di risoluzione, sono indubbiamente meno standard di

quelli adoperati per la risoluzione delle equazioni contenenti espressioni in valore

assoluto.

Esercizi

1. xx 223

2. 312 x

3. 2)1(3)4()1( 2 xxxx

4. 0322 xx

5. )1)(3(43 2 xxxxx +

9x=3

6. )1(3243 22 xxxxx +

9x=3

7. xxxx 21

35. 01)cos()( xxsin

36. 2 12 xsin

37. 23)1(2 xsin –2( 3 +1)sin(x–

1)+ 3 =0

38. 021cos2

cos4 2 xx

39. 01 xsinx

46. 2tg2 x +3 )(xtg –1=0

40. 3 sinx)– )cos(x =0

41. 4 )(xsin +cos(x)=0



8. xxxx 24232 +

39113 xxx

9. xx 2)1(

10. xx 2)1(

11. 22 )3()1( xx +

31)816( 222 xxxx

12. xx 27

13. 022322 xxx

14. 022322 xxx

15. 02232234 12 xxxxx

16. 02232234 12 xxxxx

17. 0ln x

18. 125ln 2 x

19. 125ln 2 x

20. )ln(21)1ln( 2 xx –

01)3ln( x

21. )ln(21)2ln( 2 xxxx –

1133ln x

22. 11ln)1(ln 2 xx

42. )cos(x +2cos(x)=0

43. 6sin2(x)– 3 sin(x) )cos(x –cos2(x)=0

44. sin4 x –4sin2(x)cos2 x +3cos4(x)=0

45. (1+ 3 )sin2(x)–( 3 –1)sin x cos x –

1=0

46. 32733 23 xxxx

47. 12232 xxx

48. 2352 2 xxx

49. 125 2 xx

50. 082 xx

51. 3582 xxx

52. 22211 xxx

53. 0123 2 xxx

54. 1321 2 xxx

55. 0245 2 xx

56. 013

12

12

xx

57. 243 xx

58. 02 xx

59. 1lg)1lg(lg 2 xxx

60. 1+ 2)1ln(3)1(ln2 222 xx =



23. 0ln)ln(ln xxx

24. 21)( xsin

25. 21)cos( x

26. 21

xsin

27. 211 xsin

28. 2

1)cos( x

29. 21cos x

30. 231cos 2 x

31. 1)( xtg

32. 12

xtg

33. 1xtg

34. 2 2)(2

cos2

xsinx =0

1ln 2 x

61. 1ln)1(ln)1ln( 2222 xxx

62. 1719274 xxx

63. 7771172 2 xxx

64. 777117 2 xxx

65. )(211)cos(2 2 xsinx

66. )(211)(2 2 xsinxsin

67. 0122cos xsinx

68. )(cos43)(21 2 xxsin

69. 2cos4

xxsinxsin

70. 2cos(x)–1=

)cos(11)cos(2 xx

6.4 Equazioni fratte

Siano f=f(x)e g=g(x) funzioni reali. Si dice equazione fratta (in forma normale):

0)()(

xgxf (20)

per il secondo criteri d’equivalenza tale equazione è equivalente al sistema:

0)(0)(

xfxg



Se l’equazione fratta non è data in forma normale mediante ovvie operazioni la si

riporta in tale forma.

Esercizi

1. 131

xx

2. 010365

2

2

xxxx

3. 06765

2

2

xxxx

4. 087

1272

2

xxxx

5. xx

xx

5151

5151

6. 0112

xx

7. 2312

xx

8. 253

xx

9. 13

124

xx

10. xxx

xx 3

321

2

11. xx

xzx 51

1212 2

12. 2

431

1

x

x

31. xx

2

11

32.

)4)(2(

47ln)1ln(3

xxxx

33. )25ln()2ln()12ln(2 xxx

34. 3ln(x–2)>ln(x)+ln(x2–14)

35. )3ln(2)23ln(23ln xx =

12ln2 x

36. log(2x–1)+log(3x–8)–log(x)–log(x–

2)=log(5)–log(3)

37. 16)ln()(ln

1)(ln2

2

xxx

38. 0312log 2

xx

39. xxx log)1log()log(2

40. 11

1610log2

10

xxx

41. 06545log 2

2

10

xxxx

42. 0)1lg(2 2)(

xxex

xsin

43. 032

x

x

e



13. x

xxx

xx 314

22

2

14. 122

2

xxx

15. 11

1211

2

322

xx

xx

xx

16. 1

343

53

2

xxxx

17. 21

212

42

2

24

2

xx

xxx

18. 0243242

1617510

48

xxxx

19. 51

21

251

2

4

xxx

x

20. 11 x

xx

21. 16

xx

22. 1

11

x

x

23. 223 xx =

22316

xx

24. 5

115

xx

x

44.

02

)2))(lg(1(22

2

xx

x

ee

ex

45. 03

1ln

xe

xx

46. 01)ln(

42

xx

47. 1)(

1

xsin

48. 1)cos(

1

x

49. 1)(

1

xtg

50. 1)cos()cos(

1 x

x

51. 02)cos(21)(2

xxsin

52. 01)cos(22)(2

xxsin

53. 01)(31)(2

xtgxsin

54. 01)(23)(

xsin

xtg

55. 01)(

32)(

xtgxtg

56. 01cos

)cos(122

x

xxsin



25. 1513

11513

xxxxx

26. 0132

342

xx

xx

27. 124

12

xxxx

28. 2312

xx

29. 13

632

1

xx

30. 032 x

xx

57. 01)(3cos

)cos(122

xsinx

xxsin

58. 03))((lg

1)1ln(2)1(ln2

2

xsinee xx

59. 02

1)(32

xsine

xsin

60. 0)(

)(cos)( 2

xsin

xxsin

61. 0)3(

)()(25

24

xxtgxtg

62. 01 ))(ln(

2

xsin

xtgxtg

eee



7 Complementi sulle equazioni trigonometriche

7.1 Equazioni simmetriche in sin e cos

Un’equazione trigonometrica in sin(x) e cos(x) si dice simmetrica, se questa non

cambia di forma scambiano sin(x) con cos(x) e viceversa. Per risolvere questo tipo di

equazioni si procede come segue:

si pone 4

yx

si applicano le formule di addizione e sottrazione e la formula fondamentale

sin2(y)+cos2(y)=1. Si ottiene così un’equazione del tipo (14)

si sostituisce nelle soluzioni di quest’ultima 4

xy e si ricavano quindi le

soluzioni dell’equazione di partenza

Esercizi

1. 2sin(x)+2cos(x)–sin(x)cos(x)=1

2. 2 sin3(x)+ 2 cos3(x)+1=0

3. 3sin(x)+3cos(x)–5sin(x)cos(x)=3

4. sin(2x)+2 2 (sin(x)+cos(x))=5

5. sin(x)+cos(x)–sin(x)cos(x)–1=0

6. sin(x)+cos(x)–2sin(x)cos(x)=1

7. sin(x)+cos(x)+sin(x)cos(x)=1

8. 2(2 3 –1)[cos(x)+sin(x)+

2sin(x)cos(x)]–11=0

9. ( 3 –1)(sin(x)+cos(x))–2sin(2x)=0

10. sin(x)–cos(x)+2 2 sin(x)cos(x)=0

7.2 Equazioni trigonometriche non tipiche

Abbiamo già detto che non esistono norme di carattere generale, per la risoluzione

delle equazioni trigonometriche. Gli esercizi esposti qui di seguito sono delle

equazioni trigonometriche che non rientrano fra quelle tipiche finora trattate, o per lo

meno non vi rientrano direttamente, nel senso che per risolverle, bisogna applicare



opportunamente uno o più volte, le varie formule trigonometriche e cercare così di

ricondurle a equazioni aventi una forma risolvibile ovvero a equazioni tipiche.

Esercizi

1. cos(x)–sin(x)tg(x)=33

2. 4sin(x)–cos(x)cotg(x)=21

3. sec(x)tg(x)=32

4. tg2(x)(1–sin2(x))=43

5. 3sec2(x)+2tg(x)=3

6. 2(sin4(x)– cos4(x))=1

7. cosec2(x)–3cotg2(x)=31

8. 34

64

xtgxtg

9. 3)(26

xtgxtg

10. 3cos(2x)–5 3 cos(x)+6=0

11. 1+cos(2x)=3cos2(x)–sin2(x)

12. 16sin2(2x)+4cos2(x)=15

13. 213)cos(

23

xxtg

14. 2cos(x)+3sec(x)=7

15. 2sin(x)+3cosec(x)=4 2

16. cotg2(x)+4cos2(x)=6

22. 22

)(

xtgxtg

23.

2cos2)( 2 xxsin =

2cos

23 xxsin

24. 23

)()cos()2cos(

xsinx

x

25. )2cos(1

)cos()2cos(1

)(x

xx

xsin

26.

)(2))(1(21)(cos3 2

22

xtgxtgxec =

)(cos151

2 x =0

27. 1)(cot

)2(

xgxtg

28. 34

)cos()cos(2)()1)((

xxxsinxtg =

21

23

2 xtg

xtg

29. cos3(x)– 3 cos2(x)–(sin2(x)+sin(x)–

1)cos(x)+ 3 sin(x)=0



17.

2)cos(1)cos(21 2 xtg

xx

18.

2)cos(1)cos(1 2 xtg

xx

19. 4(sin(x)–2cos(x))2=13–8sin(2x)

20. 32

)(4

xtgxsin

21. 32

)cos(4

xtgx

30.

23

)cos(1)cos(1 2 xtg

xx

31.

23

)cos(1)( 2 xtgx

xsin

32.

23

)cos(1)( 2 xtgx

xsin

33.

xsinxxsin

xxxsinxsin

25

2cos

)3()5cos()cos()5()(



8 Esercizi di vario tipo

1. x3+x2–2=0

2. x4–6x2+8=0

3. 013 xx

4. 31 2 xx

5. 012 xxx

6. 0)1(23 xxx

7. 112 xxx

8. 3

324

1

xx

9. 3212

xx

10. )2(28

15)2(4

3)32(7

37

xxxx

11. 12

x

xx

12. 333

xx

13. 21

123

xx

14. 32

21

xx

15. 112

2

xx

16. 21221

xx

60. tg(x)–tg(2x)=sin(x)

61. tg(x)tg(3x)=1

62. 03)(4)(3 2 xtgxtg

63. )(ln)ln( 2 xx

64. 1ln)1ln( 2 xx

65. 2

11)ln(

)ln(2

x

x

66. 2ln2

x

exx

67. 0)1(lg

6)ln(5)(ln2

10

2

xx

xx

68. 0)52ln(ln

11

1610lg2

10

xx

xx

69. )7(lg212lg1lg 101010 xx

70. 23ln)2ln(14ln

x

xx –

2ln x

71. 2)(lg31)(lg 22 xx

72. )1(ln2

1ln)1ln( 22

2 xaxa

con aR



17. 312 xxx

18. 123 2 xxx

19. 14

12

xx

20. )2)(1()4)(3( xxxx

21. 03

1112

xxx

22. xx

x

243

23. 14

132

2

xx

xx

24. 111

xx

xx

25. 1115

xx

26. 1125

xx

27. 2113

xx

28. 116

952

2

xx

29. xxx 651 2

30. 21454 22 xxxx

31. 42158 22 xxxx

32. 1341341

xxxx

73. 2)415ln()2ln(ln

xx

74. )35(lg)3264(lg 1010xx +

)9(lg10

75. 3)2(lg

)56(lg

10

310

xx

76. )4(lg1lg2)4(lg 1 xxx

xx

77. )4(lg1lg2)4(lg 1 xxx

xx

78. 2112 xtgsin

79. 231cos 2 xtg

80. 211 xsin

81. 1)()(

1)2(

xtg

xtgxsin

82. 22

2cos)cos(

xx

83. 2sin(x)–5cos(x)?5

84. 2sin(x)–cos(x)=2

85. 8cos(x)+2sin(x)=4+ 3

86. 2cos2(x)+sin2(2x)=2

87. cos(x)cos(4x)=cos(2x)cos(3x)

88. sin(5x)–sin(2x)=sin(3x)

89. sin(6x)–sin(4x)=2sin(x)

90. sin(8x)+sin(4x)=2cos(2x)



33. xx

xx 11

34. 716 xx

35. xx 49512

36. 11

21

x

xx

37. 132

5132

3

xx

38. 1123

312

xx

xx

39. 277737

xxxx

40. 12

2112

xx

x

41. 112

xxx

42. 1242

6332

2

xx

xx

43. 06353

6422

152

xx

xx

44. 0

21

21

321

2

212

xx

x

45. 023324

21

122

2

xx

xx

91. sin(7x)–sin(3x)=2sin(2x)

92. cos(4x)–cos(2x)=sin(x)

93. cos(5x)–cos(3x)=sin(4x)

94. cos(6x)+cos(2x)=2cos(4x)

95. 2sin(x)+2cos(x)–4sin(x)cos(x)=1

96. cos(x)+sin(x)–2 2 sin(x)cos(x)=0

97. sin(x)+cos(x)–2( 2 –1)sin(x)cos(x)–

1=0

98. )(3

xsinxsin

99.

2cos

4222 xxsin

100. 0122

2 2

xsinxsin

101. 4sin2(x)–2 3 sin(x)cos(x)–

2cos2(x)–1=0

102. sin2(x)–4 3 sin(x)cos(x)+

cos2(x)+2=0

103. /3+ 3 )sin2(x)+

( 13 )sin(x)cos(x)+2cos2(x)–3=0

104. sin(4x)+sin(x)=0

105. 12

cos)( 22

xxsin

106. 1)(3)( xsinxcoa

107.

2)cos(1 xsinx

108.

2cos2)cos(1 2 xx



46. 03

8232 12

x

xx

47. 033

22 2

x

xz

48. 0)352)(1( 2 xxx eee

49. xxxx 2112 2233

50. 122xxx

51. 19)39(232)32( 12 xxxx

52. 1212 52245 xxxx

53. 06)(log5)(log 222 xx

54. 14ln2

x

x

55. 22

2ln

2

xx

56. 22ln xx

57. 22ln x

58. )(1

)(2)cos(2 xtgxtgx

59. 3tg(x)–2cos(x)=0

109. )cos()2cos( xx

110. )cos()2( xxsin

111. 01)(2)cos(1)()(2

2

2

xsinxxsinxsin

112. )cos()()13(

)(cos12 x

xsinx

0)13(

113. 0cos)2( xxsin

114. 0)(3)2(

1)cos()()(

xtgxtgxxsinxtg

115. tg(x)tg(2x)=1

116. )(3)(cos)( 222 xsinxxtg –

0)(cos3)cos()( 2 xxxsin

117. 2)2cos(

1)cos()2cos(

x

xx

118. 03)()cos(3

1)cos(

2)(

2

2

xsinxx

xtg

119. )()(21 2 xsinxsin

Equazioni [teoria ed esericizi][santi caltabiano]

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