Spazi di hilbert [santi caltabiano]

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI

DI MESSINA FACOLTÀ DI SCIENZE MM.FF.NN.

Corso di Laurea in Matematica

SPAZI DI HILBERT

Tesina di:

SANTI CALTABIANO

ANNO ACCADEMICO 1997-1998

i

Indice Generale

Capitolo 1 .......................................................................................................... 1

1.1 Nozioni di algebra lineare propedeutiche ................................................ 1

1.2 Nozioni topologiche propedeutiche ........................................................ 6

Capitolo 2 ........................................................................................................ 36

2.1 Spazi a prodotto scalare. Proprietà. Esempi. ......................................... 36

2.2 Spazi di Hilbert. Proprietà. Esempi. ...................................................... 52

2.3 Funzionali lineari e continui di uno spazio di Hilbert. Teorema

fondamentale degli spazi di Hilbert. Teorema di rappresentazione di Riesz.. 61

2.4 Operatori autoconiugati. Proiettori. Teorema delle proiezioni. .............. 77

2.5 Disuguaglianza di Bessel. Serie di Fourier. Identità di Parseval. Criterio

di convergenza di una serie di Fourier .......................................................... 87

2.6 Teorema di Gram-Schmidt. Teorema di Riesz-Fischer. Spazi di Hilbert

separabili di dimensione infinita ................................................................... 95

Bibliografia ................................................................................................... 103

Indice Analitico ............................................................................................ 104

1

CCaappiittoolloo 11

Nozioni e strumenti propedeutici

1.1 Nozioni di algebra lineare propedeutiche

Definizione 1.1.1

Sia E un K-spazio vettoriale e siano F,GE due sottospazi vettoriali, diciamo

allora che la somma F+G è diretta e scriviamo FG se ogni vettore del

sottospazio vettoriale F+G si può scrivere in modo unico come somma di un

vettore di F e uno di G.

Teorema 1.1.1

Sia E un K-spazio vettoriale e siano F,GE due sottospazi vettoriali

Ts: F+G è diretta FG={E}

Definizione 1.1.2

2

Sia E un K-spazio vettoriale e sia AE un insieme non vuoto, diciamo allora che

l’insieme A è convesso se:

x+(1-)yA x,yA e [0,1]

Banalmente ogni sottospazio vettoriale è convesso.

Proprietà 1.1.1

Sia E uno spazio vettoriale su K, sia AE un insieme convesso e sia x0E

Ts: x0+A è un convesso

Definizione 1.1.3

Sia E uno spazio vettoriale sul corpo K e AE un sottoinsieme non vuoto,

diciamo allora inviluppo lineare dell’insieme A e lo indichiamo con span(A)

l’intersezione di tutti i sottospazi di E contenenti A. :E quindi per definizione

span(A) è il più piccolo sottospazio vettoriale di E contenente A.

Proprietà 1.1.2

Sia E uno spazio vettoriale, sia AE un sottoinsieme non vuoto

Ts: span(A)={1x1++nxn : nN , x1,...,xnA , 1,...,nK}

3

Definizione 1.1.4

Sia E uno spazio vettoriale su K, sia AE un insieme non vuoto allora l’insieme

A si dice linearmente indipendente (brevemente l.i.) se comunque preso un

numero finito di vettori distinti di A questi sono linearmente indipendenti cioè:

x1,...,xnA con xixj se ij e 1,...,nK t.c. 1xi++nxn=E i=0 i=1,...,n

Ovviamente EA.

Definizione 1.1.5

Sia E uno spazio vettoriale su K, sia AE un insieme non vuoto, diciamo allora

che A è una base di Hamel per E se è linearmente indipendente e se span(A)=E.

Definizione 1.1.6

Sia E uno spazio vettoriale su K, allora si può dimostrare che lo spazio E

ammette almeno una base di Hamel. Inoltre si può dimostrare che tutte le basi di

Hamel dello spazio E hanno la stessa cardinalità. Si definisce dimensione

algebrica dello spazio E e la si denota con dim(E), la cardinalità di una qualsiasi

base di Hamel di E.

4

Teorema 1.1.2

Sia E un K-spazio vettoriale di dimensione infinita e sia {xn}nN una succ. in E

Ts: {knx }kN l.i. t.c. span({xn : nN})=span({

knx : nN})

Definizione 1.1.7

Sia E un K-spazio vettoriale e sia p:EK un funzionale. Diciamo allora che:

p è sub-additivo se p(x+y)p(x)+ p(y) x,yE

p è positivamente omogeneo se p(x)= p(x) xE e >0

p è assolutamente omogeneo se p(x)=|| p(x) xE e K

p è una seminorma se è sub-additivo e assolutamente omogeneo. Si verifica

facilmente che ogni seminorma è non negativa.

p è una norma se è una seminorma e se p(x)=0 x=E. Usualmente per

denotare il funzionale norma si riserva il simbolo E

Proprietà 1.1.3

Sia E un K-spazio vettoriale e sia p:E[0,+[ una seminorma

5

Ts: |p(x)-p(y)|p(x-y) x,yE

Definizione 1.1.8

Siano E ed F due spazi vettoriali sul medesimo corpo K e sia T:EF un

operatore, diciamo allora che tale operatore è lineare se:

T(x+y)=T(x)+T(y) x,yE e ,K

Nel caso particolare in cui F=K allora a T si riserva il nome di funzionale

lineare. Si definisce nucleo di un operatore lineare l’insieme:

Ker(T):=T -1(0)

Si dimostra facilmente che Ker(T) è un sottospazio vettoriale di E.

Proprietà 1.1.4

Siano E, F e G tre spazi vettoriali sul medesimo corpo K e siano S:EF e

T:FG due operatori lineari

Ts: L’operatore TS è lineare

6

1.2 Nozioni topologiche propedeutiche

Definizione 1.2.1

Sia X uno spazio topologico diciamo allora che tale spazio è di Hausdorff se:

x,yX con xy UX intorno di x e VX intorno di y t.c. UV=

Definizione 1.2.2

Sia X uno spazio topologico e sia AX un insieme non vuoto, diciamo allora

che tale insieme A è denso in X se clX(A)=X.

Definizione 1.2.3

Sia X uno spazio topologico, diciamo allora che X é separabile se ammette un

sottoinsieme denso al più numerabile, cioè se:

{xn}nN in X t.c. clX({xn : nN})=X

Definizione 1.2.4

Sia X uno spazio topologico, sia x0X e sia {xn}nN una successione ordinaria in

X, diciamo allora che tale successione converge a x0 se:

UX intorno di x0 N t.c. xnU n

7

e scriviamo:

nlim xn=x0

Teorema 1.2.1 (unicità del limite)

Sia X uno spazio topologico di Hausdorff e sia {xn}nN una successione in X

Ts: Se {xn}nN ammette limite allora questo è unico

Definizione 1.2.5

Sia X un insieme non vuoto e sia A una famiglia di parti di X, diciamo allora che

la famiglia A è un ricoprimento di X se l’unione dei membri di A è uguale ad X.

Una sottofamiglia di A che ricopre X prende il nome di sottoricoprimento. Un

ricoprimento si dice finito se contiene un numero finito di membri.

Definizione 1.2.6

Diciamo che uno spazio topologico è compatto se ogni ricoprimento aperto

ammette un sottoricoprimento finito.

Teorema 1.2.2 (di Heine-Pincherle-Borel)

8

Sia KR n un insieme

Ts: K è compatto K è chiuso e limitato

Definizione 1.2.7

Siano X ed Y due spazi topologici, sia f:XY una funzione e sia x0X, diciamo

allora che f è continua in x0 se:

VY intorno di f(x0) UX intorno di x0 t.c. f(U)V

Diciamo che f è continua su X se è continua in ogni punto di X. Denotiamo con

C0(X,Y) l’insieme delle funzioni continue da X in Y. Diciamo che una funzione

bigettiva definita tra X ed Y è un omeomorfismo se è continua assieme alla sua

inversa. In tal caso X ed Y si dicono omeomorfi.

Teorema 1.2.3

Siano X ed Y due spazi topologici, sia f:XY una funzione

Ts: Sono allora equivalenti:

(1) f è continua

(2) AY aperto f -1(A) è aperto

(3) CY chiuso f -1(C) è chiuso

9

Proprietà 1.2.1

Siano X, Y e Z tre spazi topologici, sia xX, siano f:XY e g:YZ funzioni

continue rispettivamente in x ed y:=f(x)

Ts: La composizione g f è continua in x

Teorema 1.2.4 (di Weierstrass)

Sia X uno spazio topologico compatto e sia f:XY una funzione continua

Ts: f è dotata minimo e massimo

Definizione 1.2.8

Sia X uno spazio topologico e sia AX un insieme non vuoto, diciamo allora

che A è un retratto se:

f:XA funzione continua t.c. f|A = idA

La funzione f prende il nome di retrazione relativa ad A.

Definizione 1.2.9

10

Sia X un insieme non vuoto e siano 1 e 2 due topologie su X diciamo allora che

1 è meno fine di 2 e scriviamo 12 se 12. Diciamo che le topologie 1 e 2

sono equivalenti se 1=2.

Teorema 1.2.5

Sia X un insieme non vuoto e siano 1 e 2 due topologie su X

Ts: 12 Ogni 1-intorno è un 2-intorno

Definizione 1.2.10

Sia X un insieme non vuoto e sia a una famiglia di parti di X. Si verifica

facilmente che in generale data una famiglia di topologie su X allora

l’intersezione di queste topologie è ancora una topologia su X. Tenendo conto di

quanto detto si definisce topologia generata dalla famiglia a e la si denota con

a, l’intersezione di tutte su X, contenenti la famiglia a (di queste topologie

ovviamente ne esiste almeno poiché ad esempio basta considerare la topologia

discreta). E quindi per definizione a è la topologia meno fine contenente la

famiglia a. Se denotiamo con F la famiglia di parti di X costituita da tutte le

possibili intersezioni finite dei membri della famiglia a e con G la famiglia di

11

parti di X costituita da tutte le possibili unioni dei membri della famiglia F allora

si può dimostrare che:

a={,X}G

Sia osserva che nel caso in cui la famiglia a è chiusa rispetto all’intersezione

finita alla a=G e quindi in tal caso i membri della topologia a si riducono

all’unione dei membri della famiglia a.

Definizione 1.2.11

Siano (X1,1), …, (Xn,n) n spazi topologici, si considera allora sul prodotto

cartesiano X:=X1Xn la topologia generata dalla famiglia:

{AX : A11,…,Ann t.c. A=A1An}

che prende il nome di topologia prodotto. Si verifica agevolmente che in questo

caso la famiglia generante è chiusa rispetto all’intersezione finita e quindi gli

aperti della topologia prodotto sono definiti come unione di prodotti cartesiani di

aperti. In seguito per comodità alcuni risultati relativi al prodotto cartesiano di

spazi topologici verranno enunciati nel caso n=2 tuttavia tali risultati si

estendono in maniera naturale al caso n>2 e quindi continuano a valere.

Teorema 1.2.6

12

Siano X ed Y spazi topologici, sia WXY non vuoto, sia (x,y)XY

Ts: W è intorno di (x,y) UX intorno di x e VY intorno di y t.c. UVW

Teorema 1.2.7

Siano X ed Y spazi topologici, sia {(xn,yn)}nN in XY e sia (x0 ,y0)XY

Ts:n

lim (xn,yn)=(x0 ,y0) n

lim xn=x0 e n

lim yn=y0

Definizione 1.2.12

Sia X un insieme non vuoto e sia d:XXR una funzione, diciamo allora che

tale funzione è una metrica su X se soddisfa alle seguenti proprietà:

(1) d(x,y)=d(y,x) x,yX

(2) d(x,y)d(x,z)+d(z,y) x,y,zX

(3) d(x,y)=0 x=y

Si veridica facilmente che la metrica d è non negativa. La coppia (X,d) prende il

nome di spazio metrico. Fissato un x0X e un r>0 si definisce sfera aperta di

centro x0 e raggio r, l’insieme:

B(x0,r)={xX : d(x, x0)<r}

13

Fissato un x0X e un r>0 si definisce sfera chiusa di centro x0 e raggio r,

l’insieme:

B (x0,r)={xX : d(x, x0)r}

Si definisce topologia indotta dalla metrica d la topologia generata dalla

famiglia di sfere:

{B(x,r) : xX e r>0}

ed è la topologia che si considera sullo spazio metrico (X,d). Se d e sono due

metriche su X allora diciamo che d è meno fine di se la topologia indotta da d

è meno fine della topologia indotta da . Diciamo quindi che le metriche d e

sono equivalenti se lo sono le rispettive topologie indotte. Vediamo qualche

esempio concreto di spazio metrico, necessario per la nostra trattazione. Sulla

retta reale si considera:

dR:RR[0,+[ con d(a,b):=|a-b| a,bR

che si verifica essere una metrica su R inducente la topologia standard di R, ed è

detta metrica standard reale. Sul corpo complesso C si considera:

dC:CC[0,+[ con d(w,z):=|w-z|=[(Re(w-z))2+(Im(w-z))2]1/2 w,zC

14

che si verifica essere una metrica su C ed è detta metrica standard complessa,

inoltre la topologia da essa indotta è quella che si considera su C. Quindi

possiamo sempre considerare il corpo K munito della metrica standard.

Teorema 1.2.8

Sia (X,d) uno spazio metrico, sia xX e sia UX insieme non vuoto

Ts: U è un intorno di x r>0 t.c. B(x,r)U

Proprietà 1.2.2

Sia X uno spazio metrico

Ts: X è di Hausdorff

Teorema 1.2.9

Sia X uno spazio metrico, sia {xn}nN successione in X e sia x0X

Ts: n

lim xn=x0 n

lim d(xn,x0)=0

Teorema 1.2.10

15

Sia X uno spazio metrico, si AX un insieme non vuoto e sia x0X

Ts: x0clX(A) {xn}nN in A t.c. n

lim xn=x0

Teorema 1.2.11

Sia X un insieme non vuoto, siano d,:XX[0,+[ due metriche su X

Ts: d è meno fine di Ogni successione in X -convergente è d-convergente

Definizione 1.2.13

Sia (X,d) uno spazio metrico e sia {xn}nN una successione ordinaria in X,

diciamo allora che tale successione è di Cauchy se:

>0 N t.c. d(xn,xm)< n,m

o equivalentemente se:

>0 N t.c. d(xn+p,xn)< n e pN

Proprietà 1.2.3

Sia (X,d) uno spazio metrico e sia {xn}nN una successione in X, sia {an}nN una

successione in R infinitesima t.c. d(xn+p ,xn)an n,pN

16

Ts: {xn}nN è di Cauchy

Proprietà 1.2.4

Sia (X,d) uno spazio metrico e sia {xn}nN una successione in X convergente

Ts: {xn}nN è di Cauchy

Proprietà 1.2.5

Sia (X,d) uno spazio metrico e sia {xn}nN una successione in X di Cauchy che

ammette un’estratta convergente

Ts: La successione {xn}nN è convergente

Definizione 1.2.14

Diciamo che uno spazio metrico è completo se ogni successione di Cauchy è

convergente.

Teorema 1.2.12

17

Sia X un insieme non vuoto e siano d,:XX[0,+[ due metriche su X e

supponiamo che ,k>0 t.c. d(x,y)c(x,y) x,yX e denotiamo con d e le

topologie indotte rispettivamente da d e

Ts: Valgono allora le seguenti affermazioni:

() La metrica d è meno fine della metrica

() Se una successione in X è -di Cauchy allora è d-di Cauchy

Teorema 1.2.13

Sia X un insieme non vuoto e siano d,:XX[0,+[ due metriche su X e

supponiamo che c,k>0 t.c. k(x,y)d(x,y)c(x,y) x,yX


() Le metriche d e sono equivalenti

() Una successione in X è -di Cauchy se e solo se è d-di Cauchy

() X è d-completo se e solo se X è -completo

Definizione 1.2.15

Sia (X,d) uno spazio metrico e sia AX un sottoinsieme, diciamo allora che

l’insieme A è limitato se:

18

>0 e x0X t.c. AB(x0,)

Proprietà 1.2.6

Sia (X,d) uno spazio metrico e sia {xn}nN una successione di Cauchy in X

Ts: {xn}nN è limitata

Corollario 1.2.1

Sia (X,d) uno spazio metrico e sia {xn}nN una successione in X convergente

Ts: {xn}nN è limitata

Proprietà 1.2.7

Sia AR insieme non vuoto e è limitato inferiormente

Ts: {n}nN in A t.c. n

lim n=inf(A)

Dim

Per ipotesi A è limitato inferiormente e questo significa che la quantità inf(A) è

finita, poniamo allora per comodità di scrittura e=inf(A). Vogliamo dimostrare

che eA da ciò per il Teorema 1.2.10 seguirà l’asserto. Dobbiamo provare che

19

e è di aderenza per A, fissiamo quindi UR e facciamo vedere che AU.

Per il Teorema 1.2.8 segue che >0 t.c. ]-e , e+[U. In corrispondenza ad

per la seconda proprietà dell’inf tA t.c. t< e+ e pertanto osservando che e-

<et< e+ cioè t]-e ,e+[U si ha tAU e quindi AU.

Teorema 1.2.14 (di Bolzano-Weierstrass)

Sia {an}nN una successione in R limitata

Ts: {an}nN ammette un’estratta convergente

Teorema 1.2.15

Siano (X,d) ed (Y,) due spazi metrici, sia f:XY una funzione e sia x0X


(1) f è continua in x0

(2) >0 >0 t.c. (f(x),f(x0))< xX con d(x,x0)<

(3) {xn}nN in X t.c. n

lim xn=x0 allora n

lim f(xn)=f(x0)

Teorema 1.2.16

20

Siano X, Y e Z spazi metrici, siano xX e yY, sia f:XYZ funzione continua

Ts: Le funzioni f(,y) e f(x,) sono continue

Definizione 1.2.16

Sia (X,d) uno spazio metrico, sia AX un insieme non vuoto e sia xA, si

definisce allora distanza del punto x dall’insieme A, la quantità non negativa:

d(x,A)=A

infx

d(x,y)

Definizione 1.2.17

Siano (X,d) e (Y,) due spazi metrici, sia f:XY una funzione, diciamo allora

che f è lipschitziana se:

L>0 t.c. (f(x),f(y))Ld(x,y) x,yX

dove la costante L prende il nome di costante di lipschitz.

Proprietà 1.2.8

Siano (X,d) e (Y,) due spazi metrici, sia f:XY una funzione lipschitziana

Ts: f è continua

Dim

21

Sia L>0 la costante di lipschitz di f. Fissiamo un qualunque x0E proviamo che

f è continua in x0, e quindi fissiamo un arbitrario >0 e dimostriamo che:

>0 t.c. (f(x),f(x0))< xX con d(x,x0)<

Scegliamo :=/L allora per la lipschitzianetà di f si ha:

(f(x),f(x0)) Ld(x,x0) < L = LL = xX con d(x,x0)<

Definizione 1.2.18

Siano (X,d) e (Y,) due spazi metrici, sia f:XY una funzione, diciamo allora

che f è un’isometria se:

(f(x),f(y))=d(x,y) x,yX

cioè se f preserva le distanze. Nel caso in cui f è pure surgettiva gli spazi X ed Y

si dicono isometrici. Si osserva immediatamente che un’isometria è in

particolare una funzione di lipschitziana con costante di lipschitz 1.

Proprietà 1.2.9

Siano (X,d) e (Y,) due spazi metrici, sia f:XY un’isometria


() f è iniettiva

22

() f –1:f(X)X è un’isometria

() f:Xf(X) è un omeomorfismo

() Se f è surgettiva X ed Y sono omeomorfi.

Teorema 1.2.17

Siano (X,d) ed (Y,) due spazi isometrici e sia f:XY un’isometria surgettiva

Ts: Y è completo X è completo

Dim

Sia {xn}nN una successione di Cauchy in X. Essendo f un’isometria allora:

(1) (f(xn),f(xm))=d(xn,xm)) n,mN

e da questa si deduce agevolmente che la successione {f(xn)}nN è di Cauchy in

Y che è completo e quindi yY t.c. {f(xn)}nN converge ad y ed inoltre per la

suriettività di f xX t.c. y=f(x). Per la (1) e per il Teorema 1.2.9 segue che:

nlim d(xn,x)=

nlim (f(xn),f(x))=0

e quindi segue dal Teorema 1.2.9 che {xn}nN converge ad x.

Dim

23

Basta osservare che per la Proprietà 1.2.9 la funzione f –1:YX è un’isometria

surgettiva e ripetere quindi il ragionamento fatto nell’implicazione precedente.

Definizione 1.2.19

Siano (X1,d1), (X2,d2),..., (Xn,dn) n spazi metrici, e chiamiamo X:=X1X2Xn.

Vogliamo fare osservare che a partire dalle metriche di si possono definire delle

metriche sul prodotto cartesiano X. Introduciamo le seguenti tre funzioni

1,2,3:XXR così definite:

1(x,y) := 1 i nmax

di(xi,yi) x=(x1,....,xn),y=(y1,...,yn)X

2(x,y) :=

n

1i

2iii )),(( yxd x=(x1,....,xn),y=(y1,...,yn)X

3(x,y) := i

n

1di(xi,yi) x=(x1,....,xn),y=(y1,...,yn)X

E’ facile verificare che le tre funzioni appena definite sono delle metriche sul

prodotto X e vengono dette metriche canoniche. In particolare la 2 viene detta

metrica euclidea. Si verifica inoltre che:

1(x,y)2(x,y)3(x,y)n1(x,y)n2(x,y)n3(x,y) x,yX

e quindi per il Teorema 1.2.13 valgono i seguenti fatti:

24

le tre metriche canoniche sono equivalenti cioè inducono ad una stessa

topologia e si dimostra facilmente facendo uso del Teorema 1.2.5 e del

Teorema 1.2.6 che tale topologia è proprio la topologia prodotto su X.

se una successione in X è di Cauchy rispetto ad una delle tre metriche

canoniche allora lo è anche rispetto alle altre due.

se X è completo rispetto ad una delle tre metriche canoniche allora lo è anche

rispetto alle altre due.

Lemma 1.2.1

Siano (X,d) ed (Y,) spazi metrici, sia {(xn,yn)}nN in XY

Ts: {(xn,yn)}nN è di Cauchy {xn}nN e {yn}nN sono di Cauchy

Dim

Consideriamo XY munito della metrica canonica 1 e quindi:

1((xn,yn),(x0,y0))=d(xn,x0)+(yn,y0) nN

e da questa si deduce agevolmente la tesi.

Teorema 1.2.18

Siano (X,d) e (Y,) due spazi metrici

25

Ts: XY è completo X ed Y sono completi

Dim

Sia {(xn,yn)}nN una successione in XY allora per il Lemma 1.2.1 tale

successione è di Cauchy se e solo se le successioni {xn}nN e {yn}nN sono di

Cauchy rispettivamente in X ed Y e per il Teorema 1.2.7 tali successioni sono

convergenti se e solo se la successione {(xn,yn)}nN è convergente.

Teorema 1.2.19

Il corpo (K,dK) è uno spazio completo

Dim

Consideriamo dapprima il caso K=R. Sia {an}nN una successione di Cauchy in

R che è quindi limitata per la Proprietà 1.2.6 segue allora dal teorema di

Bolzano-Weierstrass la successione che {an}nN ammette un’estratta

convergente e quindi in definitiva per la Proprietà 1.2.5 segue che {an}nN è

convergente. Resta quindi dimostrato che R è completo. Sia adesso il caso K=C.

Poiché R è completo per il Teorema 1.2.18 segue che R2 è completo.

Consideriamo R2 munito della metrica canonica euclidea 2. Ci proponiamo di

26

dimostrare che (C,dC) è isometrico ad (R2,2) seguirà quindi dal Teorema 1.2.17

che (C,dC) è completo. Evidentemente basta considerare la funzione:

f:R2C con f(x,y)=x+iy (x,y)R2

infatti è banalmente surgettiva ed inoltre:

dC(f(x1,y1),f(x2,y2)) = dC(x1+iy1,x2+iy2) =…= [(x1-x2)2+(y1-y2)2]1/2 =

= 2((x1,y1),(x2,y2)) (x1,y1),(x2,y2)R2

come volevasi.

Definizione 1.2.20

Sia E un K-spazio vettoriale e sia E una norma su E, diciamo allora che la

coppia (E, E ) è uno spazio normato. Consideriamo la funzione:

d:EER con d(x,y):= x-y E x,yE

si verifica agevolmente che tale funzione è una metrica su E e prende il nome di

metrica indotta dalla norma E . La topologia che si considera su E è quella

indotta dalla metrica.

Definizione 1.2.21

27

Sia (E, E ) uno spazio normato e sia xE\{E} diciamo allora vettore

normalizzato di x il vettore:

Exx

tale vettore ha evidentemente norma 1.

Proprietà 1.2.10

Sia (E, E ) uno spazio normato

Ts: La norma E è un funzionale continuo

Teorema 1.2.20

Sia (E, E ) uno spazio normato, siano {xn}nN e {yn}nN due successioni di E

convergenti e siano {n}nN e {n}nN due successioni di K convergenti

Ts: n

lim [nxn+nyn ]=n

lim nn

lim xn+n

lim n n

lim yn

Proprietà 1.2.11

Sia E uno spazio normato; sia AE un insieme chiuso e sia x0E

Ts: x0+A è un chiuso

28

Definizione 1.2.22

Sia E uno spazio normato e sia AE un insieme non vuoto, si definisce allora

chiusura lineare di A e la si denota con span (A), l’intersezione di tutti i

sottospazi chiusi contenente A.

Proprietà 1.2.12

Sia E uno spazio normato e sia AE un insieme non vuoto

Ts: span (A)= )A(span

Definizione 1.2.23

Diciamo che uno spazio normato è di Banach se è completo.

Definizione 1.2.24

Sia (E, E ) uno spazio normato, allora si può dimostrare che:

(1) (E~ , E~ ) spazio di Banach e :EE~ isometria lineare t.c. )E( = E~

29

In tali condizioni si dimostra che lo spazio E~ è unico a meno di isometria

lineare nel senso che se esiste un altro spazio di Banach che soddisfa alla (1)

allora questo deve necessariamente essere linearmente isometrico ad E~ . Lo

spazio ( E~ , E~ ) prende il nome di completamento dello spazio (E, E ).

Teorema 1.2.21

Sia E uno spazio normato e sia FE sottospazio vettoriale di dimensione finita

Ts: F è chiuso

Corollario 1.2.2

Sia E uno spazio normato e sia x1,…,xnE e poniamo F:=span({x1,…,xn})

Ts: F è un sottospazio vettoriale chiuso

Dim

L’insieme {x1,...,xn} contiene al più n vettori linearmente indipendenti e questo

significa che lo spazio F ha al più dimensione n cioè dim(E)n e quindi segue

dal Teorema 1.2.21 che F è chiuso.

Definizione 1.2.25

30

Sia E uno spazio normato e sia {xn}nN una successione ordinaria in E. Diciamo

allora serie associata a {xn}nN la somma degli infiniti termini di {xn}nN cioè:

x1+x2++xn+=

1nxn

Fissato kN poniamo:

Sk=

k

1nxn

che prende il nome di ridotta n-esima o somma parziale. Nasce così in

maniera naturale la successione {Sn}nN detta successione delle ridotte

associata alla serie data. Diciamo che la serie è convergente se la successione

delle ridotte ad essa associata è convergente, cioè se:

yE t.c. lim

k Sk=y

dove il vettore y è la somma della serie e scriviamo quindi:

1nxn=y

Diciamo che la serie è di Cauchy se lo è la successione delle ridotte ad essa

associata.

Proprietà 1.2.13

31

Sia E uno spazio normato, sia {xn}nN successione in E

Ts: n

1xn é di Cauchy >0 N t.c.

p+k

1knxn

E< k> e k,pN

Teorema 1.2.22

Siano E ed F due spazi normati, sia x0E, sia f:EF un operatore e sia y0F

Ts: f è continuo in x0 y0+f è continuo in x0

Teorema 1.2.23

Siano E ed F due spazi normati, sia T:EF un operatore lineare.


(1) T è continuo

(2) k0 t.c. T(x) F k x E xE

(3) T è lipschitziano

Dim (1)(2)

Poiché T(E)=F allora per x=E la tesi è vera per ogni costante k>0, e quindi

possiamo supporre nel seguito xE. Per la continuità di T l’insieme:

(1) T -1( B (F,1))={xE : T(x) F 1}

32

è intorno di E e quindi:

(2) >0 t.c. B (E,)T -1( B (F,1))

Per la linearità di T la tesi è vera se esiste una costante k>0 tale che:

T

Ek xx

F1 xE\{E}

questa per la (1) è vero se e solo se:

Ek xx

T -1( B (F,1)) xE\{E} xE\{E}

per la (2) condizione sufficiente affinché tale affermazione sia vera è che:

Ek xx

B (E,) xE\{E}

cioè:

Ek xx

E =

E

E

k xx

= k1 < xE\{E}

e quindi per ottenere la tesi basta scegliere ad esempio k=2 .

Dim (2)(3)

Per la linearità di T e dall’ipotesi segue che:

T(x)-T(y) F = T(x-y) F k x-y E x,yE

Dim (3)(1)

33

Conseguenza della Proprietà 1.2.8.

Teorema 1.2.24

Siano E ed F due spazi normati, sia T:EF un operatore lineare

Ts: T è un’isometria T(x) F = x E xE

Definizione 1.2.26

Siano E ed F due spazi normati, denotiamo allora con L(E,F) l’insieme di tutti

gli operatori lineari e continui da E in F. Si verifica facilmente che con le ovvie

operazioni di somma e prodotto L(E,F) è un sottospazio vettoriale di FE. Inoltre

si dimostra che il funzionale:

: L(E,F)K con (T)= E\E

supx E

F)T(xx

T L(E,F)

è una norma su L(E,F) che prende il nome di norma operatoriale e si denota

quindi con F)(E,L . Fissato T L(E,F) allora per il Teorema 1.2.23 segue che:

k0 t.c. T(x) Fk x E xE

si evince che per definizione la quantità T )FE,(L é la più piccola costante k

affinché valga tale disuguaglianza. Nel caso particolare in cui F=K allora lo

34

spazio L(E,K) cioè lo spazio di tutti i funzionali lineari e continui su E, si denota

con E* e prende il nome di duale topologico di E.

Definizione 1.2.27

Sia (E, E ) uno spazio normato, diciamo allora che E è uno spazio

uniformemente convesso se:

]0,2[ >0 t.c. x,yB(E,1) con x-y E R

yx2

1-

Definizione 1.2.28

Sia E uno spazio di Banach, diciamo allora che E è uno spazio riflessivo se:

E* zB (E,1) t.c. (z)= *E

Enunciamo un fondamentale risultato della teoria degli spazi di Banach,

del qual però omettiamo la dimostrazione perché troppo tecnica e lontana dalla

presente trattazione.

Teorema 1.2.25 (di Milliman-Pettis)

35

Sia E uno spazio di Banach uniformemente convesso

Ts: E è riflessivo

36

CCaappiittoolloo 22

Spazi di Hilbert

2.1 Spazi a prodotto scalare. Proprietà. Esempi.

Definizione 2.1.1

Sia H uno spazio vettoriale su K. Diciamo che la funzione (,)H:HHK è un

prodotto scalare o prodotto interno se soddisfa alle seguenti:

(x+y,z)H=(x,z)H+(y,z)H x,y,zH

(x,y)H=(x,y)H K e x,yH

(x,y)H= Hxy ),( x,yH

(x,x)H0 xH

(x,x)=0 x=H

La e ci dicono che il prodotto scalare è lineare rispetto alla prima variabile;

la ci dice che il prodotto scalare di una coppia è uguale al coniugato della

37

coppia con l’ordine invertito; la ci dice che il prodotto scalare è non negativo

sulla diagonale del quadrato HH e infine la ci dice che sulla diagonale del

quadrato HH il prodotto scalare si annulla solo in corrispondenza della coppia

(H,H). Si osserva subito che facendo uso delle cinque proprietà si dimostra che

la funzione prodotto scalare soddisfa alle ulteriori due proprietà:

* (x,y+z)H=(x,y)H+(x,z)H x,y,zH

* (x,y)H=(x,y)H K e x,yH

Si osserva chiaramente dalla * che nel caso in cui lo spazio H sia reale (cioè

H è un R-spazio vettoriale) la funzione prodotto scalare è lineare anche rispetto

alla seconda variabile (basta osservare che il coniugato di un numero reale

coincide con il numero reale). Lo spazio H munito del prodotto scalare si dice

spazio pre-hilbertiano o spazio a prodotto scalare e si indica con la coppia

(H,(,)H). Facciamo presente che in seguito faremo riferimento alle proprietà

caratteristiche del prodotto scalare mediante , , , , , *, *.

Proprietà 2.1.1

Sia (H,(,)H) un C-spazio pre-hilbertiano

Ts: (x,y)H = Re(x,y)H-iRe(x,-iy) x,yH

38

Dim

Sappiamo che:

(1) (x,y)H = Re(x,y)H+iIm(x,y)H x,yH

moltiplicando ambo i membri per i, per la proprietà * del prodotto scalale

otteniamo:

(x,-iy)H = iRe(x,y)H-Im(x,y)H x,yH

passando alla parte reale otteniamo Re(x,-iy)H=-Im(x,y)H da cui segue che

Im(x,y)H=-Re(x,-iy)H e quindi in definitiva sostituendo nella (1) otteniamo

quanto voluto.

Proprietà 2.1.2

Sia H un C-spazio vettoriale e sia :HHC un funzionale tale che

(x,y):=Re(x,y)-iRe(x,-iy) (x,y) HH


(1) è un prodotto scalare su H considerato come C-spazio vettoriale

(2) Re è un prodotto scalare su H considerato come R-spazio vettoriale

Dim

Conseguenza immediata delle proprietà dei numeri complessi.

39

Corollario 2.1.1

Sia H un C-spazio pre-hilbertiano e sia :HHR un funzionale e

consideriamo :HHC con (x,y):=(x,y)H -i(x,-iy) (x,y) HH

(1) è un prodotto scalare su H considerato come C-spazio vettoriale

(2) è un prodotto scalare su H considerato come R-spazio vettoriale

Dim

Basta osservare che Re= ed applicare di peso la Proprietà 2.1.2.

Proprietà 2.1.3 (disuguaglianza di Cauchy-Schwarz)

Sia H uno spazio a prodotto scalare

Ts: (x,y)H Hxx ),( Hyy ),(

Dim

Se y=H la disuguaglianza è banale poiché ambo i membri sono nulli.

Consideriamo x,yH con yH e consideriamo inoltre un qualunque K si ha:

0(x+y,x+y)H=(x,x)H+(x, y)H+(y,x)H+(y,y)H=

=(x,x)H+(x,y)H+(y,x)H+ 2(y,y)H=(x,x)H+(x,y)H+ Hyx ),( + 2(y,y)H

40

posto:

=-H

Hyyyx

),(),(

otteniamo:

0 (x,x)H–H

H

yyyx

),(),( (x,y)H-

H

Hyyyx

),(),(

Hyx ),( +2

2

),(

),(

H

H

yy

yx(y,y)H =

= (x,x)H –H

H

yyyx

),(),( 2

-H

H

yyyx

),(),( 2

+H

H

yyyx

),(),( 2

= (x,x)H-H

H

yyyx

),(),( 2

da cui segue immediatamente la disuguaglianza promessa dalla tesi.

Definizione 2.1.2

Sia (H,(,)H) uno spazio pre-hilbertiano, e consideriamo il funzionale:

H :H[0,+[ con x H := Hxx ),( xH

vogliamo allora provare che questo funzionale è una norma su H.

Verifichiamo che:

x H = x H xH e K

Per le proprietà , e * del prodotto scalare segue che:

x H = Hxx ),( = Hxx ),( = Hxx ),( = Hxx ),(2 =

41

= Hxx ),( = x H xH e K

Verifichiamo che:

x+y H x H + y H x,yH

Per le proprietà , *, del prodotto scalare e per la disuguaglianza di

Cauchy-Schwarz segue che:

2Hyx = (x+y,x+y)H= (x,x)H+(x,y)H+(y,x)H+(y,y)H =

= (x,x)H+(x,y)H+ Hyx ),( +(y,y)H =

= (x,x)H+(y,y)H+2Re(x,y)H (x,x)H+(y,y)H+2|(x,y)H|

(x,x)H+(y,y)H+2 Hxx ),( Hyy ),( =

= 2Hx + 2

Hy +2 x H y H =( x H + y H )2

e quindi passando alle radici otteniamo quanto voluto. La proprietà:

x H =0 x=H

segue direttamente dalla .

Resta quindi dimostrato che H è una norma su H ed è detta norma indotta dal

prodotto scalare. Diciamo metrica indotta dal prodotto scalare e la

indichiamo con dH la metrica indotta dalla norma H . La topologia che si

considera sullo spazio H è quella indotta dalla metrica dH.

42

Teorema 2.1.1

Sia H uno spazio pre-hilbertiano

Ts (,)H:HHK è continuo

Dim

Per dimostrare che il prodotto scalare è una funzione continua adoperiamo il

Teorema 1.2.15. Fissato un arbitrario (x0,y0)HH consideriamo una

successione {(xn,yn)}nN in HH convergente a (x0,y0) e proviamo quindi che la

successione {(xn,yn)H}nN converge a (x0,y0)H e per fare ciò adoperiamo il

Teorema 1.2.9 e dimostriamo che:

(1) lim n(xn,yn)H-(x0,y0)H=0

Per la disuguaglianza Cauchy-Schwarz

(xn,yn)H-(x0,y0)H = (xn,yn)H-(xn,y0)H+(xn,y0)H-(x0,y0)H

(xn,yn)H-(xn,y0)H+(xn,y0)H-(x0,y0)H =

= (xn,yn-y0)H+(xn-x0,y0)H

xn H yn-y0 H + xn-x0 H y0 H nN

e quindi abbiamo ottenuto che:

43

(2) (xn,yn)H-(x0,y0)H xn H yn-y0 H + xn-x0 H y0 H nN

Osserviamo adesso che per il Teorema 1.2.7 la successione {xn}nN è

convergente e quindi per il Corollario 1.2.1 è limitata e sempre per il Teorema

1.2.7 la successione {yn}nN è convergente a y0 e quindi per il Teorema 1.2.9 la

successione ordinaria reale { yn-y0 H }nN è infinitesima e pertanto da un noto

teorema di analisi 1 che ci dice che il prodotto di una successione infinitesima

per una successione limitata è ancora una successione infinitesima, si ha

(3) n

lim xn H yn-y0 H =0

Analogamente:

(4) n

lim xn-x0 H y0 H =0

E quindi per la (3) e per la (4) passando al limite nella (2) otteniamo la (1) come

volevasi.

Definizione 2.1.3

Siano (H1, 1H),( ), …, (Hn, nH),( ) n spazi a prodotto scalare e poniamo

H:=H1Hn. Si dimostra facilmente che il funzionale:

(,)H:HHK con (x,y)H:=

n

1iiHii ),( yx x=(x1,…,xn), y=(y1,…,yn)H

44

è un prodotto scalare sul prodotto cartesiano H. Esplicitando la metrica indotta

da (,)H si osserva che questa è la metrica canonica euclidea.

Definizione 2.1.4

Uno spazio normato si dice unitario se esiste su di esso un prodotto scalare

inducente la norma dello spazio. Banalmente ogni spazio a prodotto scalare è

unitario.

Definizione 2.1.5

Sia (E, E ) uno spazio normato, diciamo allora che la norma E soddisfa

l’uguaglianza o la legge del parallelogramma se:

x+y 2E + x-y 2

E =2( x 2E + y 2

E ) x,yE

Teorema 2.1.2

Sia (E, E ) uno spazio normato

Ts: E è uno spazio unitario E soddisfa la legge del parallelogramma)

Dim

Per ipotesi:

45

(,)E:EEK prodotto scalare t.c. x E = E),( xx xE

Per le proprietà del prodotto scalare segue che:

x+y 2E + x-y 2

E = (x+y,x+y)E+(x-y,x-y)H = … =

= 2(x,x)H+2(y,y)H=2 x 2E +2 y 2

E =

= 2( x 2E + y 2

E ) x,yH

Dim

Consideriamo dapprima il caso in cui E è uno spazio normato reale. Vogliamo

provare allora che il funzionale:

(1) :EER con (x,y):=41 [ x+y 2

E- x-y 2E ] x,yE

è un prodotto scalare che inducente la norma E . Verifichiamo che soddisfa

alla proprietà del prodotto scalare. Fissati x,y,zE allora per definizione:

(2) (x+y,z)=41 [ x+y+z 2

E- x+y-z 2E ]

Facendo uso dell’uguaglianza del parallelogramma osserviamo che:

(3) x+y+z 2E = (x+z)+y 2

E = 2 x+z 2E +2 y 2

E- x+z-y 2E

Analogamente

(4): x+z-y 2E = z-y+x 2

E = 2 z-y 2E +2 x 2

E- z-y-x 2E =

46

= 2 z-y 2E +2 x 2

E- x+y-z 2E

ed ancora:

(5) 2 x 2E = x+z 2

E + x-z 2E-2 z 2

E

2 y 2E = y+z 2

E + y-z 2E-2 z 2

E

Sostituendo la (4) nella (3), e successivamente sostituendo in tale espressione le

due relazioni della (5) ed in conclusione sostituendo il tutto nella (2) otteniamo:

(x+y,z)=41 [ x+z 2

E- x-z 2E ]+

41 [ y+z 2

E- y-z 2E ]=(x,z)+(y,z)

Con procedimenti analoghi si prova che soddisfa alla proprietà del prodotto

scalare. La proprietà è immediata poiché il coniugato di un numero reale è se

stesso. Per quanto riguarda la verifica della e della basta osservare che:

(6) (x,x)=41 [ x+x 2

E- x-x 2E ]=

41 2x 2

E =41 4 x 2

E = x 2E xE

E quindi resta dimostrato che è un prodotto scalare reale che ovviamente

induce alla norma di E, basta infatti passare alle radici nella (6). Consideriamo

adesso il caso in cui E uno spazio normato sul corpo complesso che possiamo

riguardare come un R-spazio vettoriale e quindi per quanto dimostrato possiamo

considerare su di esso il prodotto scalare definito nella (1), prendiamo allora

in considerazione il funzionale:

47

:HHC con (x,y) = (x,y)-i(x,-iy) x,yE

che per il Corollario 2.1.1 è un prodotto scalare sul C-spazio vettoriale H e che

induce alla norma di E, infatti:

(x,x)=(x,x)-i(x,-ix)=41 [ x+x 2

E- x-x 2E ]+

41 i[ x+ix 2

E- x-ix 2E ]=

= x 2E +

41 i[ (1+i)x 2

E- (1-i)x 2E ]= x 2

E +41 i[|1+i| x 2

E-|1-i| x 2E ] =

= x 2E +

41 i[ 2 x 2

E- 2 x 2E ] = x 2

E +0 = x 2E xE

e quindi estraendo le radici otteniamo quanto voluto.

Il seguente semplice ma importante risultato ci mostra una classe

notevolissima di spazi uniformemente convessi che è quella degli spazi a

prodotto scalare.

Teorema 2.1.3

Sia H uno spazio pre-hilbertiano

Ts: H è uniformemente convesso

Dim

Dobbiamo dimostrare che:

48

]0,2[ >0 t.c. x,yB(H,1) con x–y H H

yx2

1-

Fissiamo quindi un ]0,2[ ed x,yB(H,1) tali che x-y H e andiamo a

trovare l’opportuno >0. Teniamo presente che essendo x,yB(H,1) allora:

(1) x H1 e y H1

inoltre essendo x-y H segue 2Hyx 2 e quindi:

(2) - 2Hyx -2

Dall’uguaglianza del parallelogramma dalla (1) osserviamo che:

2Hyx + 2

Hyx = 2( 2Hx + 2

Hy ) 2(1+1) = 4

segue allora dalla (2) che:

2Hyx =4- 2

Hyx 4-2

dividendo il primo e l’ultimo membro per 4 e passando alle radici otteniamo:

H2yx

1 42

e pertanto risulta evidente che la scelta opportuna è:

=1- 1 42

e si ha quanto voluto.

49

Diamo adesso alcuni esempi notevoli di spazi a prodotto scalare.

Esempio 2.1.1

Consideriamo il corpo K che come noto può essere riguardato come uno spazio

vettoriale su se stesso. Si verifica allora facilmente che il funzionale:

(x,y )K:= x y x,yK

è un prodotto scalare su K.

Esempio 2.1.2

Consideriamo lo spazio euclideo n-dimensionale H=Kn che come noto è uno

spazio vettoriale su K. Ogni fattore K è munito del prodotto scalare definito

nell’Esempio 2.1.1 e quindi per definizione sul prodotto cartesiano H si

considera il prodotto scalare:

(x,y )H:=i

n

1xi iy x=(x1,...,xn), y=(y1,...,yn)H

noto come prodotto scalare euclideo.

50

Esempio 2.1.3

Sia E uno spazio vettoriale su K di dimensione finita n, sia {x1,…,xn} una base di

Hamel per E e fissato un qualunque xE denotiamo con x1 ,…, x

n K le

componenti del vettore x rispetto alla base di Hamel {x1,…,xn}, si verifica allora

facilmente che il funzionale:

(x,y )E:=i

n

1

xi

yi x,yE

è un prodotto scalare su E. Evidentemente il prodotto scalare euclideo visto

nell’Esempio 2.1.2 è un caso particolare del prodotto scalare appena trattato.

Esempio 2.1.4

Consideriamo l’insieme:

l2:=

{xn}nN : xnK nN e

1n|xn|2<+

si verifica facilmente che con le ovvie operazioni di somma e prodotto l2 è un

sottospazio vettoriale del K-spazio vettoriale RN. Si verifica inoltre che il

funzionale:

({xn},{yn})l2:=n

1xnyn {xn},{yn}l2

51

è un prodotto scalare su l2.

Esempio 2.1.5

Consideriamo lo spazio H=C0([0,1],R), si può allora dimostrare che con le ovvie

operazioni di somma e prodotto tale spazio risulta essere un R-spazio vettoriale.

Allora si verifica facilmente che il funzionale:

(f,g)H:= 01 f(t)g(t)dt f,gH

è un prodotto scalare su H.

Esempio 2.1.6

Vogliamo dare adesso un esempio di spazio di Banach che non sia a prodotto

scalare. Poniamo E:=R2 e consideriamo su di esso il seguente funzionale che si

verifica agevolmente essere una norma:

E :E[0,+[ con x E =|x1|+|x2| x=(x1,x2)H

rispetto a tale norma lo spazio E è Banach infatti se si esplicita la metrica indotta

dalla norma E allora si osserva che questa altro non è che la metrica canonica

3 introdotta nella Definizione 1.2.19 e pertanto essendo R per il Teorema 1.2.19

52

uno spazio completo allora per il Teorema 1.2.18 segue che (E, E ) è completo.

Tuttavia lo spazio (E, E ) non è uno spazio unitario cioè non esiste un prodotto

scalare su E che induce la norma E e per dimostrare ciò facciamo uso del

Teorema 2.1.2 e dimostriamo quindi che esiste almeno una coppia di punti in

corrispondenza dei quali la norma E non soddisfa l’uguaglianza del

parallelogramma. Basta considerare ad esempio x=(0,1) e y=(1,0) infatti:

(1) x+y 2E + x-y 2

E = (0,1)+(1,0) 2E + (0,1)-(1,0) 2

E = (1,1) 2E + (-1,1) 2

E =

=22+22=4+4=8

(2) 2 x 2E +2 y 2

E =2 (0,1) 2E +2 (1,0) 2

E =2+2=4

ed è evidente che non sussiste l’uguaglianza tra (1) e (2).

2.2 Spazi di Hilbert. Proprietà. Esempi.

Definizione 2.2.1

Diciamo che uno spazio a prodotto scalare è di Hilbert se è di Banach.

Teorema 2.2.1

Sia H uno spazio di Hilbert

53

Ts: H è riflessivo

Dim

Per il Teorema 2.1.3 H è uniformemente convesso e quindi segue direttamente

dal teorema di Milliman-Pettis che H è riflessivo.

Teorema 2.2.2

Sia (H,(,)H) uno spazio a prodotto scalare

Ts: Il completamento ( H~ , H~ ) è uno spazio unitario

Dim

Facciamo uso del Teorema 2.1.2 e dimostriamo che la norma H~ soddisfa

l’uguaglianza del parallelogramma. Fissiamo quindi due arbitrari vettori u,vH~ .

Per definizione di completamento:

:HH~ isometria lineare t.c. (H) = H~

Poiché u,vH~ = (H) allora per il Teorema 1.2.10 segue che:

{un}nN e {vn}nN in (H) t.c. n

lim un=u e n

lim vn=v

Poiché un,vn(H) nN allora:

nN xn,ynH t.c. un=(xn) e vn=(yn)

Per la linearità di e per il Teorema 1.2.24 segue che:

54

un+vn2H~

+ un-vn2H~

= (xn)+(yn) 2H~

+ (xn)-(yn) 2H~

=

= (xn+yn) 2H~

+ (xn-yn) 2H~

=

= xn+yn H2 + xn-yn H

2 =2 xn H2 +2 yn H

2 =

= 2 un2H~

+2 vn2H~

nN

per il Teorema 1.2.20, per la Proprietà 1.2.10 e per il Teorema 1.2.15, passando

al limite per n otteniamo quanto voluto.

Corollario 2.2.1

Sia (H,(,)H) uno spazio a prodotto scalare

Ts: Il completamento ( H~ , H~ ) è uno spazio di Hilbert

Teorema 2.2.3

Siano (H1, 1H),( ), …, (Hn, nH),( ) n spazi a prodotto scalare e H:=H1Hn.

Ts: H è di Hilbert H1,..,Hn sono di Hilbert

Dim

55

Abbiamo già fatto osservare che la metrica indotta dal prodotto scalare (,)H è la

metrica euclidea e pertanto applicando di peso il Teorema 1.2.18 si ottiene

l’asserto.

Esempio 2.2.1

Abbiamo osservato nell’Esempio 2.1.1 che lo spazio K con:

(x,y )K:= x y x,yK

è uno spazio a prodotto scalare, ed è anche di Banach infatti la metrica indotta

dal prodotto scalare in questione è proprio la metrica standard dK(x,y)=|x-y|

x,yK e rispetto a tale metrica per il Teorema 1.2.19 il corpo K risulta essere

completo.

Esempio 2.2.2

Abbiamo osservato nell’Esempio 2.1.2 che lo spazio H=Kn con:

(x,y )H:=i

n

1xi iy x=(x1,...,xn), y=(y1,...,yn)Kn

è uno spazio a prodotto scalare, inoltre nell’Esempio 2.2.1 abbiamo osservato

che il fattore K è di Hilbert e quindi segue dal Teorema 2.2.3 che H è di Hilbert.

56

Esempio 2.2.3

Abbiamo osservato nell’Esempio 2.1.4 che lo spazio H=l2 con:

({xn}nN,{yn}nN)l2:=n

1xnyn {xn}nN,{yn}nNl2

è un prodotto scalare su l2, e rispetto ad esso lo spazio l2 risulta essere uno spazi

di Hilbert. Rimandiamo la dimostrazione della completezza dello spazio l2 al

Corollario 2.6.1.

Esempio 2.2.4

Vogliamo dare adesso un esempio di spazio a prodotto scalare che non sia di

Hilbert. Abbiamo osservato nell’Esempio 2.1.5 che lo spazio H=C0([0,1],R) con:

(f,g)H:= 10

f(t)g(t)dt f,gH

è uno spazio a prodotto scalare, vogliamo allora dimostrare che rispetto a tale

prodotto lo spazio H non è uno spazi di Hilbert. La norma indotta dal prodotto

scalare in questione è:

f H =

10

|f(t)|2dt2/1

fH

57

Dobbiamo provare che esiste una successione di Cauchy in H che non è

convergente. Per ogni fissato nN consideriamo la funzione reale:

fn:[0,1]R con fn(x):=

]1,[ se)ln(1/],0[ sen

n

n

exxex x[0,1]

e proviamo quindi che la successione {fn}nN è di Cauchy. Si tenga presente che

per costruzione le funzioni fn sono non negative. Preliminarmente vogliamo

verificare che:

(1) fn(x) ln(1/x) x]0,1] e nN

Fissato nN ed un x]0,1]. Se x]0,e -n] allora fn(x)=n ed inoltre 0<xe -n e

quindi passando al logaritmo otteniamo ln(x)-n cioè n-ln(x)=ln(1/x) e quindi

fn(x)ln(1/x). Mentre se x]e-n,1] allora per definizione fn(t)=ln(1/x).

Osserviamo che:

fn+p-fn2H =

10

|fn+p(t)-fn+p(t)|2dt= n

0e |fn+p(t)-fn+p(t)|2dt+

1ne

|fn+p(t)-fn+p(t)|2dt =

= n

0e |fn+p(t)-fn+p(t)|2dt+

1ne

|ln(1/t)-ln(1/t)|2dt=

= n

0e |fn+p(t)-fn+p(t)|2dt n,pN

cioè:

(2) fn+p-fn2H =

n

0e |fn+p(t)-fn+p(t)|2dt n,pN

58

Per la sub-additività del funzionale modulo e dalla (1) segue che:

|fn+p(x)-fn (x)| |fn+p(x)|+|fn (x)| = fn+p(x)+fn (x) ln(1/x)+ln(1/x) =

= 2ln(1/x)= -2ln(x) x]0,1]

quadrando ed integrando tra 0 e e-n, e successivamente confrontando con la (2)

otteniamo:

fn+p-fn2H

n

0e 4[ln(t)]2dt = … = 4

t[ln(t)]2-2tln(t)+2tn

0

e

=

= … = 4[(n+1)2+1]e-n n,pN

e pertanto essendo {4(n+1)2e-n}nN una successione infinitesima allora per la

Proprietà 1.2.3 segue che la successione {fn}nN è di Cauchy. Per concludere il

nostro esempio dobbiamo fare vedere che la successione {fn}nN non è

convergente e quindi fissata una qualunque funzione hH dobbiamo provare

che {fn}nN non converge ad h. A tale scopo consideriamo:

:H[0,+[ con f := 10

|f(t)|dt fH

che si verifica essere una norma su H. Vogliamo osservare che:

(3) f f H fH

59

Fissiamo una qualunque fH e consideriamo la funzione u:[0,1]R con u(x)=1

x[0,1] allora facendo uso della disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

otteniamo:

f = 10

|f(t)|dt= 10

|f(t)|u(t)dt |f| H u H = f H u H =

= f H (1-0)1/2= f H

come volevasi. Dalla (3) in particolare otteniamo che f-g f-g H f,gH

e questo per il Teorema 1.2.12 è condizione sufficiente per affermare che la

topologia indotta da è meno fine della topologia indotta da H e quest’ultima

affermazione per il Teorema 1.2.11 equivale a dire che se una successione in H

convergente rispetto a H allora è convergente anche rispetto a . Alla luce di

quanto detto se riusciamo ad dimostrare che la successione {fn}nN non converge

ad h rispetto alla norma , allora necessariamente questa non convergerà ad h

neanche rispetto alla norma H . Osserviamo che:

(4) fn-h H = 10

|fn(t)-h(t)|dt = n

0e |fn(t)-h(t)|2dt+

1ne

|fn(t)-h(t)|2dt

n

0e |fn(t)-h(t)|2dt nN

Per il Teorema di Heine-Pincherle-Borel l’intervallo [0,1] è compatto e quindi

per il Teorema di Weierstrass la f è limitata e pertanto la quantità:

60

:=]1,0[

supx

|h(x)|

è finita. Essendo come noto la funzione modulo || una norma allora per la

Proprietà 1.1.3 vale:

|fn(x)-h(x)| ||fn(x)|-|h(x)|| |fn(x)|-|h(x)| fn(x)- x[0,1] e nN

integrando tra 0 e e-, e successivamente confrontando con la (4) otteniamo:

fn-h e

0[fn(t)-]dt =

n

0e [fn(t)-]dt+

ee n [fn(t)-]dt =

= n

0e [n-]dt+

ee n [ln(1/t)-]dt =

n

0e [n-]dt-

ee n [ln(t)+]dt =

= … = [n-]e-n-

t ln(t)-t+

e

e n

=e-n[2n-2+1]+e- n

l’ultimo membro della catena tende a e->0 per n e pertanto segue che il

termine fn-h non è infinitesimo e questo per il Teorema 1.2.9 significa

proprio che la successione {fn}nN non converge ad h rispetto alla norma ,

come volevasi.

61

2.3 Funzionali lineari e continui di uno spazio di Hilbert.

Teorema fondamentale degli spazi di Hilbert. Teorema

di rappresentazione di Riesz.

Proprietà 2.3.1

Sia H spazio a prodotto scalare, sia yH e consideriamo il funzionale :HK

con (x):=(x,y)H xH

Ts: H* e *H = y H

Dim

La linearità di è conseguenza immediata delle proprietà e del prodotto

scalare mentre la continuità segue immediatamente dal Teorema 2.1.1 e dal

Teorema 1.2.16. Ci rimane da provare che la norma del funzionale coincide

con la norma del vettore y. Se y=H allora l’uguaglianza della tesi è banalmente

soddisfatta consideriamo quindi il caso in cui yH. Proviamo che:

(1) *H y H

Dalla disuguaglianza di Cauchy-Schwarz segue che:

(x):=(x,y)H Hxx ),( Hyy ),( = x H y H xH

segue:

62

H

)(x

x y H xH\{H}

e quindi passando al sup su H\{H} otteniamo la (1). Viceversa proviamo che:

(2) y H *H

Poiché il funzionale lineare è continuo allora per il Teorema 1.2.23 segue che:

(3) (x) *H x H xH

Denotiamo adesso con x0 il vettore normalizzato di y e calcoliamo il funzionale

su tale vettore:

(x0)=

Hyy

:=

Hyy

, y

H=

Hyy (y,y)H=

Hyy y H

2 = y H

e quindi dalla (3) in corrispondenza a tale vettore x otteniamo la (2).

Definizione 2.3.1

Sia H uno spazio a prodotto scalare e siano x,yH, diciamo allora che i vettori x

ed y sono ortogonali se hanno prodotto scalare nullo cioè se (x,y)H=0.

Proprietà 2.3.2

Sia H spazio a prodotto scalare e siano x1,…,xnH vettori a due a due ortogonali


63

() x1++xn H2 = x1 H

2 ++ xn H2

() 1,…,nK allora i vettori 1x1,…, nxn sono a due a due ortogonali

() Se x1,…,xn sono non nulli allora sono linearmente indipendenti

Dim

Verifichiamo la (). Consideriamo per semplicità il caso n=2, che banalmente si

estende per induzione.

x1+x2 H2 = (x1+x2,x1+x2)H=(x1,x1)H+(x1,x2)H+(x2,x1)H+(x2,x2)H=(x1,x1)H+(x2,x2)H=

= x1 H2 + x2 H

2

Verifichiamo la (). Fissati i,j{1,…,n} con in allora:

(ixi,jxj)H = i j (xi,xj)H =i j 0=0

Verifichiamo la (). Siano 1,...,nK tale che:

(1) i

n

1ixi=H

e proviamo quindi che 1=…=n=0. Fissiamo un qualunque indice j=1,...,n e

facciamo vedere che j=0. Moltiplicando ambo i membri della (1) per il vettore

xj otteniamo:

0 =

i

n

1ixi,xj

H =

i

n

1i(xi,xj)H = j(xj,xj)H = j xj H

2

64

cioè j xj H2 =0 ed essendo per ipotesi xjH xj H0 e quindi deve

necessariamente essere che j=0.

Definizione 2.3.2

Sia H uno spazio a prodotto scalare e sia AH. un insieme non vuoto Diciamo

complemento ortogonale di A e lo indichiamo con A l’insieme costituito dai

vettori di H che sono ortogonali ad ogni vettori di A cioè:

A :={yH : (y,x)H=0 xA}

In particolare nel caso A:={x} cioè nel caso in cui A è un singoletto allora:

x :={yH : (y,x)H=0}

Proprietà 2.3.3

Sia H uno spazio a prodotto scalare e siano A,BH insiemi non vuoti


() A )(A

() Se AB allora B A

() Se A B allora B A

Dim

65

Verifichiamo la (). Sia xA e proviamo quindi che x è ortogonale ad ogni

vettore di A . Sia y A e pertanto essendo xA allora (x,y)H=0.

Verifichiamo la (). Sia x B e proviamo quindi che x è ortogonale ad ogni

vettore di A. Fissato un qualunque yA allora segue dall’ipotesi che yB e

pertanto essendo x B segue che (x,y)H=0 come volevasi.

Verifichiamo la (). Poiché A B segue allora dalla () che )B( A e

quindi segue dalla () che B A .

Lemma 2.3.1

Sia H uno spazio a prodotto scalare, sia xH

Ts: x è un sottospazio vettoriale chiuso di H

Dim

Consideriamo il funzionale:

:HK con (y):=(y,x)H xH

che per la Proprietà 2.3.1 è lineare e continuo. Osserviamo allora che:

x ={yH : (y,x)H=0}=:Ker()

e pertanto x è un sottospazio vettoriale di H ed chiuso per la continuità di .

66

Proprietà 2.3.4

Sia H uno spazio a prodotto scalare e sia AH insieme non vuoto


() H A

() A A {H} e se HA allora A A ={H}

() A = Ax

x ed è un sottospazio vettoriale chiuso di H

( ) A =[span(A) ] =[ span (A) ]

Dim

Verifichiamo la (). Basta osservare che H è ortogonale ad ogni vettore.

Verifichiamo la (). Se A A = la tesi è immediata. Consideriamo quindi il

caso in cui A A . Sia xA A (x,x)H=0 x=H cioè x{H}. Per la

() e per l’ipotesi segue che {H}A A e quindi avendo già osservato che

A A {H} si ottiene quanto voluto.

Verifichiamo la (). Sia y A (y,x)H=0 xA y x xA. Infine

ricordando che l’intersezione di chiusi è un chiuso e che l’intersezione di

sottospazi vettoriali è un sottospazio vettoriale allora avendo dimostrato che A

si può scrivere come intersezione dei complementi ortogonali dei vettori di A,

per il Lemma 2.3.1 segue che A è un sottospazio vettoriale chiuso.

67

Verifichiamo la (). Proviamo che A =[span(A) ] . Poiché Aspan(A) allora

per la Proprietà 2.3.3 segue che [span(A) ] A . Viceversa sia x A

{x} A segue dalla Proprietà 2.3.3 che A{ }x = x e quindi essendo x per

Lemma 2.3.1 un sottospazio vettoriale allora span(A) x segue dalla Proprietà

2.3.3 che {x}[span(A) ] cioè x[span(A) ] . Proviamo adesso che

A =[ span (A) ] . Poiché Aspan(A) span (A) segue allora dalla Proprietà

2.3.3 che [ span (A) ] A . Viceversa sia x A e proviamo quindi che x è

ortogonale ad ogni vettore di span (A). Sia y span (A) segue allora dal

Teorema 1.2.10 che esiste {yn}nN in span(A) convergente ad y. Abbiamo già

dimostrato che A =[span(A) ] : e quindi essendo x A allora x[span(A) ]

e pertanto (x,yn)H=0 nN e quindi in definitiva passando al limite per n per

il Teorema 2.1.1 e per il Teorema 1.2.15 otteniamo che (x,y)H=0 come volevasi.

Teorema 2.3.1 (esistenza dell’elemento di minima norma)

Sia H uno spazio di Hilbert, sia KH un insieme chiuso e convesso

Ts: ! z0K t.c. z0 H :=Kx

inf x H

Dim

68

Poniamo:

:=K

infx

x H

Per la Proprietà 1.2.7 segue che:

(1) {zn}nN in K t.c. n

lim zn H =

Essendo K un convesso allora:

(2) 2

yx =2x +

2y =

21 x+

1-21

yK x,yK

Per la disuguaglianza del parallelogramma, per la (1) e per la (2) segue che:

x-y H2 = 2( x H

2 + y H2 )- x+y H

2 = 2( x H2 + y H

2 )-42

E2yx

2( x H2 + y H

2 )-42 x,yK

cioè:

(3) x-y H2 2( x H

2 + y H2 )-42 x,yK

E quindi in corrispondenza a {zn}nN dalla (3) otteniamo:

zn-zm H2 2( zn H

2 + zm H2 )-42 n,mN

per la (1) passando al limite:

zn-zm H2

mn 0

69

e questo evidentemente ci dice che lo successione {zn}nN è d Cauchy in H che è

completo per ipotesi e quindi:

z0H t.c. n

lim zn=z0

Essendo K un chiuso per il Teorema 1.2.10 segue che z0K. Per la Proprietà

1.2.10 il funzionale norma è continuo e quindi segue dal Teorema 1.2.15 che:

(4) n

lim zn H = z0 H

e quindi confrontando la (1) con la (4) otteniamo z0 H =. Ci rimane da

verificare l’unicità dell’elemento di minima norma. Supponiamo che esistano

z1,z2K tali che z1 H = z2 H = allora per la (3) osserviamo che:

z1-z2 H2 2( z1 H

2 + z2 H2 )-42 = 2(2+2)-42 = 42-42 = 0

e quindi passando alle radici si ha z1-z2 H =0 e questo per una proprietà

caratteristica della norma ci dice proprio che z1=z2 come volevasi.

Lemma 2.3.2

Sia H uno spazio di Hilbert, sia FH un sottospazio vettoriale chiuso, sia xH

Ts: ! zxF t.c. x-zx H :=Fx

inf x-x H e x-zx F

Dim

70

Per ipotesi F è un sottospazio vettoriale e quindi in particolare è un convesso

segue allora dalla Proprietà 1.1.1 che il traslato F-x è un convesso ed inoltre per

la Proprietà 1.2.11 è pure un chiuso e quindi segue direttamente dal teorema di

esistenza dell’elemento di minima norma che esiste un unico vettore zxF la cui

distanza da x e eguaglia la distanza di x da F. Proviamo adesso che il vettore x-

zx F . Per semplicità poniamo w:=x-zx e dimostriamo quindi che tale vettore è

ortogonale ad ogni vettore di F. Prendiamo quindi un arbitrario vettore yF e

facciamo vedere che (w,y)H=0 e chiaramente possiamo supporre yH poiché nel

caso y=H l’asserto è banale. Sia un qualunque scalare di K e quindi essendo F

un sottospazio vettoriale allora il vettore zx+yF e poiché per costruzione la

quantità w H è l’inf delle distanze dei vettori di F da x, allora:

w 2H x-(zx+y) 2

H = x-zx-y 2H = w-y 2

H = (w-y,w-y)H =

=…= (w,w)H-(w,y)H- H),( yw + 2 (y,y)H

posto:

:=H

H

),(),(

yyyw

e sostituendo:

71

w H2 (w,w)H-

H

H

),(),(

yyyw

(w,y)H-H

H

),(),(

yyyw

Hyw ),( +2

H

2H

),(

),(

yy

yw(y,y)H =

= (w,w)H-H

2H

),(),(yy

yw-

H

2H

),(),(yy

yw+

H

2H

),(),(yy

yw= w H

2 -H

2H

),(),(yy

yw

segue:

H

2H

),(),(yy

yw0

essendo yH allora (y,y)H>0 ed essendo 2H),( yw una quantità non negativa

allora necessariamente deve essere che 2H),( yw =0 segue (w,y)H=0 cioè il

vettore w ortogonale a al vettore y come volevasi.

Teorema 2.3.2 (fondamentale degli spazi di Hilbert)

Sia H uno spazio di Hilbert e sia FH un sottospazio chiuso

Ts: H=F F e F=( F )

Dim

Per la Proprietà 2.3.4 si ha che F F ={H} e per il Teorema 1.1.1 questo

significa che F+ F è somma diretta. Ci rimane da provare che H=F+ F .

Banalmente F+ F H.. Viceversa per il Lemma 2.3.2 esiste un vettore zxF tale

72

che x-zx F e quindi banalmente x=zx+(x-zx)F+ F . Ci rimane da dimostrare

che F=( F ) . Segue direttamente dalla Proprietà 2.3.3 che F( F ) .

Viceversa sia x( F ) , allora essendo H=F F esistono unici zxF e wx F

tali che x=zx+wx e quindi risulta evidente che se riusciamo a dimostrare che

wx=H allora otteniamo quanto voluto, poiché in tal caso si avrebbe che x=zxF.

Essendo x( F ) osserviamo allora che:

0 = (x,wx)H = (zx+wx,wx)H = (zx,wx)H+(wx,wx)H = 0+(wx,wx)H = (wx,wx)H

e questo per la proprietà del prodotto scalare è vero se e solo se wx=H.

Corollario 2.3.1

Sia H uno spazio di Hilbert, sia AH un insieme non vuoto

Ts: span (A)=H A ={H}

Dim

Per la Proprietà 2.3.4 e dall’ipotesi segue che A =[ span (A) ] = H ={H}.

Dim

Per la Proprietà 2.3.4 e dall’ipotesi osserviamo che [ span (A) ] = A ={H} e

quindi segue dal teorema fondamentale degli spazi di Hilbert che:

73

H = span (A)+[ span (A) ] = span (A)+{H} = span (A)

Nelle applicazioni della teoria generale riveste grande importanza la

conoscenza della forma generale dei funzionali lineari negli spazi concreti. Per

forma generale dei funzionali lineari di una data classe si intende un'espressione

analitica che contiene parametri di vario genere (numeri, vettori, funzioni, ecc.)

la quale, per valori fissati dei parametri, dà un funzionale della classe data;

inoltre i funzionali cosi ottenuti esauriscono tutti i funzionali considerati. Qui di

seguito è riportato uno dei più noti teoremi di rappresentazione dovuto al

matematico ungherese Frederic Riesz.

Lemma 2.3.3

Sia H uno spazio a prodotto scalare siano y,zH

Ts: Se (x,y)H=(x,z)H xH allora y=z

Dim

Per ipotesi (x,y)H=(x,z)H xH che (x,y-z)H=0 xH y-z H ={H}

y-z=H cioè y=z.

Lemma 2.3.4

74

Sia H uno spazio di Hilbert e sia FH un sottospazio vettoriale chiuso

Ts: F {H}

Dim

Supponiamo per assurdo che F ={H} allora per il teorema fondamentale degli

spazi di Hilbert segue che H=F+ F =F+{H}=F e siamo ad un assurdo.

Teorema 2.3.3 (di rappresentazione di Riesz)

Sia H uno spazio di Hilbert, sia H*

Ts: ! yH t.c. (x):=(x,y)H xH

Dim

Se è identicamente nullo allora evidentemente basta scegliere y=H.

Consideriamo quindi il caso in cui non è identicamente nullo. Poniamo:

F:=-1(0)={xH : (x)=0}

che come sappiamo è un sottospazio vettoriale di H ed è chiuso per la continuità

di ed inoltre F è contenuto propriamente in H, infatti se per assurdo F=H allora

essendo per definizione F il nucleo del funzionale segue che Ker()=H cioè

è identicamente nullo e siamo ad un assurdo. Per il Lemma 2.3.4 segue che

z F con zH e denotiamo con z0 il vettore normalizzato di z che ovviamente

75

appartiene ancora ad F essendo questo per la Proprietà 2.3.4 un sottospazio

vettoriale. Osserviamo che evidentemente (z0)0 infatti se per assurdo (z0)=0

z0Ker()=F e pertanto essendo z0 F segue che z0 F F ma per la

Proprietà 2.3.4 F F={H} e quindi z0=H e siamo ad un assurdo.

Consideriamo un generico vettore xH e prendiamo in considerazione il vettore:

wx:=x(z0)-z0(x)

che ovviamente appartiene ad F infatti per la linearità di segue che:

(wx) = x(z0)-z0(x)

= (x)(z0)-(z0)(x)=0

E pertanto essendo z0 F si ha allora che:

0 = (wx,z0)H = (x(z0)-z0(x),z0)H = (x(z0),z0)H-(x)(z0,z0)H =

= (x, )( 0z z0)H-(x) z0 H2 = (x, )( 0z z0)H-(x) xH

e quindi scelto y:= )( 0z z0 dalla precedente otteniamo (x)=(x,y)H xH. Ci

rimane da provare l’unicità del vettore rappresentativo y del funzionale . Sia

quindi y~H tale che (x)=(x, y~ )H xH dobbiamo provare allora che y= y~ .

Poiché (x)=(x,y)H xH e (x)=(x, y~ )H xH (x,y)H=(x, y~ )H xH segue

allora dal Lemma 2.3.3 che y= y~ . Ed il teorema è dimostrato.

76

Facendo uso del teorema di rappresentazione di Riesz vogliamo

dimostrare il seguente risultato che in particolare ci dice che ogni spazio di

Hilbert reale è linearmente isometrico al suo duale topologico.

Teorema 2.3.4

Sia H uno spazio di Hilbert reale e consideriamo l’operatore

:(H, H )(H*, *H ) tale che ad ogni fissato yH fa corrispondere il

funzionale reale lineare e continuo (y):HR con (y)(x):=(x,y)H xH.

Ts: è un’isometria surgettiva

Dim

La surgettività di è conseguenza immediata del teorema di Riesz. Proviamo la

linearità di . Si tenga presente che H è uno spazio di Hilbert su R e quindi

come già osservato in questo caso il prodotto scalare è lineare anche rispetto alla

seconda variabile. Si ha allora che:

(y1+y2)(x) = (x,y1+y2)H = (x,y1)H+(x,y2)H = ((y1)+(y2))(x) =

= (y1)(x)+(y2)(x) y1,y2H e ,R

Ci rimane da provare che è un’isometria. Segue dalla Proprietà 2.3.1 che:

(y) *H = y H yH

77

e questo per il Teorema 1.2.24 equivale ad affermare che è un’isometria.

2.4 Operatori autoconiugati. Proiettori. Teorema delle

proiezioni.

Lemma 2.4.1

Sia H uno spazio a prodotto scalare, sia yH e sia TL(H,H)

Ts: Il funzionale (T(),y)H è lineare e continuo

Dim

Per la Proprietà 2.3.1 il funzionale (,y)HH* e quindi (T(),y)H risulta essere

composizione di applicazioni lineare e continue segue allora dalla Proprietà

1.1.4 e dalla Proprietà 1.2.1 che (T(),y)HH*.

Definizione 2.4.1

Sia H uno spazio di Hilbert, sia T:HH un operatore lineare e continuo,

vogliamo allora dimostrare che esiste un unico operatore da H in H che

denotiamo con T* detto coniugato di T, tale che:

(1) (T(x),y)H = (x,T*(y))H x,yH

78

Fissiamo un qualunque yH e consideriamo il funzionale (T(),y)H che per il

Lemma 2.4.1 è lineare e continuo segue allora dal teorema di rappresentazione

di Riesz che esiste unico vettore zyH tale che:

(T(x),zy)H = (x,zy)H xH

L’elemento zy è univocamente definito dal funzionale (T(),y)H e di conseguenza,

in ultima analisi dall’elemento y. In tal modo possiamo definire l’operatore

T*:HH che all’elemento yH fa corrispondere l’elemento zy. Ovviamente per

costruzione T* soddisfa la (1). Ci rimane da verificare l’unicità di T*. Sia

S:HH un altro operatore che soddisfa alla (1) e proviamo quindi che

S(y)=T*(y) yH. Fissato un yH dalla (1) nel caso di T* e dalla (1) nel caso S

e successivamente confrontando otteniamo (x,T*(y))H=(x,S(y))H xH segue

allora dal Lemma 2.3.3 che T*(y)=S(y) come volevasi.

Teorema 2.4.1

Sia H uno spazio di Hilbert e sia T:HH un operatore lineare e continuo


() L’operatore T* è lineare e continuo

() T**=T

() T* L(H,H)= T L(H,H)

79

Dim

Verifichiamo la (). Proviamo che T* è lineare. Fissati ,K e y1,y2H, per

le proprietà del prodotto scalare

(x,T*(y1+y1))H = (T(x),y1+y2)H = (T(x),y1)H+ (T(x),y2)H =

= (x,T*(y1))H+ (x,T*(y2))H

= (x,T*(y1)+T*(y2))H xH

segue allora dal Lemma 2.3.3 che T*(y1+y1)=T*(y1)+T*(y2). Proviamo che

T* è continuo. Per la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e per il Teorema 1.2.23

osserviamo che:

|(T(x),y)H| T(x) H y H T )HH,(L x H y H x,yH

segue:

H

H)),(T(x

yx T )HH,(L y H xH\{H} e yH

e pertanto tenendo conto del fatto che per ogni fissato yH il funzionale

(T(),y)HH* allora passando al sup su H\{H} otteniamo:

(1) (T(),y)H *H T )HH,(L y H yH

E quindi in definitiva per la Proprietà 2.3.1 e per la (1) segue che:

(2) T*(y) H = (,T*(y))H *H = (T(),y)H *H T )HH,(L y H yH

80

segue allora dal Teorema 1.2.23 che T* è continuo.

Verifichiamo la (). Per le proprietà del prodotto scalare segue che:

(T(x),y)H = (x,T*(y))H = H)),(*T( xy = H))(**T,( xy = (T**(x),y)H x,yH

segue allora dal Lemma 2.3.3 che T(x)=T**(x) xH.

Verifichiamo la (). Nella (2) dividendo per y H con yH e successivamente

passando al sup su H\{H} otteniamo:

(3) T* )HH,(L T )HH,(L

Viceversa applicando la (3) nel caso di T* per la () otteniamo:

T )HH,(L = T** )HH,(L T* )HH,(L

Definizione 2.4.2

Sia H uno spazio di Hilbert e sia T:HH un operatore lineare e continuo.

Diciamo allora che l’operatore T è autoconiugato se T=T*.

Teorema 2.4.2

Sia H uno spazio di Hilbert e sia T:HH un operatore lineare e continuo

Ts: T è autoconiugato (T(x),y)H = (x,T(y))H x,yH

Dim

81

Conseguenza dell’unicità dell’operatore T*.

Vogliamo adesso introdurre una classe di operatori che gioca un ruolo

fondamentale nella teoria degli spazi di Hilbert.

Definizione 2.4.3

Sia H uno spazio di Hilbert, sia FH un sottospazio vettoriale chiuso e sia

x0H, per il Lemma 2.3.2 segue che:

!zxF t.c. d(x0,zx)=d(x0,F)

Il vettore zx prende il nome di proiezione ortogonale del vettore x0 sul

sottospazio F ed è quindi per definizione quell’unico vettore di F la cui distanza

da x0 e eguaglia la distanza di x0 da F. Per l’unicità della proiezione è lecito

considerare l’operatore F:HF che ad ogni vettore xH fa corrispondere la

sua proiezione ortogonale zx, tale operatore prende il nome di proiezione o

proiettore su F. Ovviamente tale operatore per costruzione è unico.

Teorema 2.4.3 (delle proiezioni)



82

() Ogni xH si può esprimere in modo unico come x=F(x)+ F (x)

() x H2 = F(x) H

2 + F (x) H2 xH

Dim

Verifichiamo la (). Teniamo presente il teorema fondamentale degli spazi di

Hilbert che ci dice che ogni vettore di H si può esprimere in modo unico come

somma di un vettore di F e di un vettore di F e che il complemento ortogonale

di F è F. Fissato un qualunque xH allora banalmente:

(1) x = F(x)+(x-F(x))

per il Lemma 2.3.2 il vettore (x-F(x)) F . Analogamente possiamo scrivere:

(2) x = (x- F (x))+ F (x)

per il Lemma 2.3.2 il vettore (x-F(x))( F ) =F e quindi confrontando la (1)

con la (2) per l’unicità di rappresentazione del vettore x deve necessariamente

essere che F(x)=(x- F (x)) e pertanto x=F(x)+ F (x) ed ovviamente tale

scrittura è unica sempre per il suddetto teorema fondamentale degli spazi di

Hilbert.

Verifichiamo la (). Per la () e per la Proprietà 2.3.2 segue che:

x H2 = F(x)+ F (x) H

2 = F(x) H2 + F (x) H

2 xH

come volevasi.

83

Teorema 2.4.4


Ts: L’operatore F soddisfa alle seguenti proprietà:

() F è una retrazione lineari relativa ad F

() Ker(F)= F

() Se F{H} allora F )HH,(L =1

Dim

Verifichiamo la (). Proviamo che F è lineare. Fissati ,K e x,yH allora

per il teorema delle proiezioni possiamo esprimere il vettore x+y come:

(1) x+y = F(x+y)+ F (x+y)

e tale vettore sempre per il teorema delle proiezioni applicata a i vettori x ed y,

lo possiamo esprimere anche nel seguente modo:

(2) x+y = [F(x)+ F (x)]+[F(y)+ F (y)] =

= [F(x)+F(y)]+[ F (x)+ F (y)]

E quindi confrontando la (1) con la (2) per l’unicità di scrittura deve essere :

F(x+y) = F(x)+F(y)

F (x+y) = F (x)+ F (y)

84

Verifichiamo la continuità dell’operatore F. Per il teorema delle proiezioni

segue che:

F(x) H2 = x H

2 - F (x) H2 x H

2 xH

passando alle radici:

(3) F(x) H x H xH

e questo per il Teorema 1.2.23 equivale ad affermare che F è continuo.

Verifichiamo che F è una retrazione relativa ad F. Fissato xF allora

banalmente x=x+H e quindi essendo per il teorema delle proiezioni

x=F(x)+ F (x) per l’unicità di scrittura deve necessariamente essere che

F(x)=x come volevasi.

Verifichiamo la (). Sia xKer(F) F(x)=H segue allora dal teorema delle

proiezioni che x= F (x) F . Viceversa sia x F allora banalmente x=H+x e

quindi essendo per il teorema delle proiezioni x=F(x)+ F (x) per l’unicità di

scrittura deve necessariamente essere che F(x)=H cioè xKer(F).

Verifichiamo la (). Dalla (3) otteniamo:

H

HF )(x

x1 xH\{H}

85

e quindi passando al sup su H\{H} otteniamo F )HH,(L 1. Viceversa

essendo per ipotesi F{H} allora xF\{H} e denotiamo con z il vettore

normalizzato di x, che ovviamente appartiene ancora ad F essendo questo un

sottospazio vettoriale. E pertanto tenendo conto della () segue che:

1 = z H = F(z) H = 1

)( HF z =

H

HF )(z

z F H

come volevasi.

Vediamo adesso come individuare i proiettori di uno spazio di Hilbert.

Lemma 2.4.2

Sia E uno spazio normato, sia T:EE uno operatore lineare e continuo

Ts: L’insieme F:={xE : T(x)=x} è un sottospazio vettoriale chiuso.

Dim

Consideriamo l’operatore S:EE con S(x):=T(x)-x xE che è continuo per il

Teorema 1.2.22 ed inoltre si verifica facilmente che tale operatore è lineare. Si

osserva allora subito che F=S-1(E)=Ker(S) e pertanto F è un sottospazio

vettoriale ed chiuso per la continuità di S.

86

Teorema 2.4.5

Sia H uno spazio di Hilbert, sia T:HH un operatore lineare e continuo e

poniamo F:={xH : T(x)=x}

Ts: T=F T è autoconiugato e T(T(x))=T(x) xH

Dim

Verifichiamo che T è autoconiugato. Dall’ipotesi e per il teorema delle

proiezioni segue che:

(T(x),y)H=(F(x),y)H=(F(x),F(y)+ F (y))H=(F(x),F(y))H+(F(x), F (y))H=

=(F(x),F(y))H=(F(x),F(y))H+0=(F(x),F(y))H+( F (x),F(y))H=

=(F(x)+ F (x),F(y))H= (x,F(y))H=(x,T(y))H x,yH

e pertanto segue dal Teorema 2.4.2 che T è autoconiugato. Infine dall’ipotesi ed

essendo per il Teorema 2.4.4 il proiettore F una retrazione, segue che:

T(T(x)) = F(F(x)) = F(x) = T(x) xH

Dim

Fissiamo un qualunque xH e proviamo che T(x)=F(x). Per il teorema delle

proiezioni il vettore x si può esprimere in modo unico come x=F(x)+ F (x) e

poiché banalmente x=T(x)+(x-T(x)) allora se riusciamo a dimostrare che

T(x)F e x-T(x) F per l’unicità di rappresentazione dovrà necessariamente

87

essere che T(x)=F(x) e x-T(x)= F (x). Dall’ipotesi T(T(x))=T(x) e quindi per

definizione T(x)F. Proviamo adesso che x-T(x) è ortogonale ad ogni vettore di

F. Fissato un arbitrario yF allora essendo T autoconiugato segue che:

(x-T(x),y)H = (x,y)H-(T(x),y)H = (x,y)H-(x,T(y))H = (x,y)H-(x,y)H = 0

come volevasi dimostrare.

2.5 Disuguaglianza di Bessel. Serie di Fourier. Identità di

Parseval. Criterio di convergenza di una serie di Fourier

Definizione 2.5.1

Sia H uno spazio pre-hilbertiano e {en}nN una successione ordinaria in H.

Diciamo che la successione {en}nN è ortonormale se:

en H =1 nN e (ei,ej)H=0 i,jN con ij

Proprietà 2.5.1

Sia H uno spazio a prodotto scalare, sia {en}nN una base ortonormale, sia

{n}nN una successione in K e poniamo Sk:=

k

1nnen kN

88


() mN (Sk,em)H=0 se k=1,..,m-1 e (Sk,em)H=m km

() Se xH t.c.

1nnen=x allora m=(x,em)H mN

Dim

Verifichiamo la (). Basta osservare che:

(Sk,em)H =

k

1nnen,em

H

=

k

1nn(en,em)H m,kN

Verifichiamo la (). Fissato quindi mN allora per le proprietà del prodotto

scalare, per il Teorema 2.1.1, per il Teorema 1.2.15 e per la ( ) segue che:

(x,em)H =

k

1kek,em

H =

lim

k Sk,em

H =

lim

k (Sk,em)H= m

Lemma 2.5.1

Sia H spazio a prodotto scalare, siano e1,e2,...,enH a due a due ortogonali e

ei H =1 i=1,...,n, sia F:=span({e1,e2,...,en}) e sia x0F

Ts: x0=i

n

1(x0 ,ei)H ei

Dim

89

Poiché x0F allora x0 è combinazione lineare dei vettori e1,...,en e quindi:

(1) 1,...,nK t.c. x0=i

n

1iei

Fissato un qualunque indice j{1,...,n} facciamo vedere che j=(x0,ej)H.

Moltiplichiamo ambo i membri della (1) per ej:

(x0,ej)H =

i

n

1iei ,ej

H=

i

n

1i(ei,ej)H = j(ej,ej)H = j ej H

2 = j

come volevasi.

Lemma 2.5.2

Sia H uno spazio di Hilbert, siano e1,e2,...,enH a due a due ortogonali e

ei H =1 i=1,...,n, sia F:=span({e1,...,en}) e sia x0H

Ts: valgono allora le seguenti affermazioni:

() (F(x0),ei)H=(x0 ,ei)H i=1,…,n

() F(x0)=i

n

1(x0 ,ei)H ei

() F(x0) H2 =

i

n

1(x0 ,ei)H

2

() x0 H2 =

i

n

1(x0 ,ei)H

2+ F (x0) H

2

90

() x0-i

n

1(x0 ,ei)H ei

H

2

= x0 H2 -

i

n

1|(x0 ,ei)H |2

Dim

Verifichiamo la (). Per il teorema delle proiezioni segue che:

(F(x0),ei)H = (x0- F (x0),ei)H = (x0,ei)H-( F (x0),ei)H

= (x0,ei)H-0 = (x0,ei)H i=1,…,n

Verifichiamo la (). Facciamo osservare che per il Teorema 1.2.21 F è un

sottospazio chiuso. Per il Lemma 2.5.1 e per la () si ha:

F(x0) = i

n

1(F(x0),ei)Hei =

i

n

1(x0,ei)Hei

Verifichiamo la (). Per la () e per la Proprietà 2.3.2 segue che:

F(x0) H2 =

i

n

1(x0,ei)Hei

H

2

= i

n

1(x0,ei)Hei H

2 = i

n

1(x0,ei)H

2ei H

2 =

= i

n

1(x0,ei)H

2

Verifichiamo la (). Per il teorema delle proiezioni e per la () segue che:

x0 H2 = F(x0) H

2 + F (x0) H2 =

i

n

1(x0,ei)H

2+ F (x0) H

2

Verifichiamo la (). Per la (), per il teorema delle proiezioni e per la () si ha:

x0-i

n

1(x0,ei)H ei

H

2

= x0-F(x0) H2 = F (x0) H

2 = x0 H2 -

i

n

1(x0 ,ei)H

2

91

Teorema 2.5.1

Sia H uno spazio di Hilbert, sia {en}nN una succ. in H ortonormale e sia x0H


() La serie n

1(x0 ,en)H

2 è convergente

() n

1(x0 ,en)H

2 x0 H

2 (disuguaglianza di Bessel)

Dim

Verifichiamo la (). Sia {Sk}kN la successione delle ridotte associata alla serie

n

1(x0 ,en)H

2 che è quindi una successione reale non negativa e monotona non

decrescente, e pertanto segue da un noto teorema di analisi uno che tale

successione è convergente e converge al suo estremo superiore, e questo in

definitiva per definizione significa che la serie n

1(x0 ,en)H

2 è convergente.

Verifichiamo la (). Per ogni fissato nN poniamo Hn:=span({e1,...,en}), segue

allora dal Lemma 2.5.2 che:

i

n

1(x0,ei)H

2 = x0 H

2 - nH (x0) H

2 x0 H2 nN

92

e quindi passando al limite per n otteniamo la tesi.

Teorema 2.5.2

Sia H uno spazio di Hilbert, sia {en}nN una succ. ortonormale in H e sia xH

Ts: La serie n

1(x,en)H è convergente e la sua somma è la proiezione di x sul

sottospazio F:= span ({en : nN})

Dim

Per la Proprietà 2.3.2 osserviamo che::

(1) n=k+1

k+p (x,en)Hen

H

2

= n=k+1

k+p (x,en)H

2 k,pN

Per Teorema 2.5.1 la serie n

1(x,en)H

2 è convergente e quindi per la Proprietà

1.2.4 è pure di Cauchy allora dalla Proprietà 1.2.13 e dalla (1) si deduce

agevolmente che la serie di Fourier è di Cauchy e quindi convergente essendo

per ipotesi H completo, cioè:

zH t.c. n

1(x,en)H=z

Ci rimane da provare che z=F(x). Per il teorema delle proiezioni sappiamo che

il vettore x si può esprimere in modo unico come x=F(x)+ F (x) e pertanto

93

essendo x=z+(x-z) se riusciamo a dimostrare che zF e x-z F per l’unicità di

scrittura dovrà necessariamente essere che z=F(x) e x-z= F (x). Sia {Sk}kN

la successione delle ridotte associata alla serie n

1(x,en)H. Per la Proprietà 1.1.2

Skspan({en : nN}) kN segue allora dal Teorema 1.2.10 e dalla Proprietà

1.2.12 che z span ({en : nN})=F. Proviamo adesso che il vettore x-z F e

questo per la Proprietà 2.3.4 equivale a dimostrare che il vettore x-z{en :

nN } . Fissiamo un qualunque mN e proviamo quindi che il vettore x-z è

ortogonale al vettore em. Per la Proprietà 2.5.1 segue che:

(x-z,em)H = (x,em)H-(z,em)H = (z,em)H-(z,em)H = 0

come volevasi.

Definizione 2.5.2

Sia H uno spazio di Hilbert, sia {en}nN una successione ortonormale in H e sia

xH. Chiamiamo coefficienti di Fourier del vettore x rispetto alla successione

ortonormale {en}nN, gli scalari:

(x,en)H nN

94

Chiamiamo serie di Fourier associata ad x la serie:

n

1(x,en)Hen

per il Teorema 2.5.2 tale serie è sempre convergente e la sua somma è la

proiezione ortogonale di x sul sottospazio F:= span ({en : nN}).

Teorema 2.5.3

Sia H uno spazio di Hilbert, sia xH, sia {en}nN una succ. ortonormale in H

Ts: sono allora equivalenti:

(1) n

1(x,en)Hen=x

(2) x H2 =

n

1(x,en)H

2 (identità di Parseval)

(3) x span ({en : nN})

Dim (1) (2)

Teniamo presente che per il Lemma 2.5.2 segue che:

(1) x-i

n

1(x,ei)Hei

H

2

= x H2 -

i

n

1(x,ei)H

2 nN

95

tale uguaglianza assieme al Teorema 1.2.9 ci permette di concludere che la serie

di Fourier associata ad x è convergente ad x se e solo se vale l’identità di

Parseval.

Dim (1)(3)

Sia {Sk}kN la succ. delle ridotte associata alla serie di Fourier di x, che per la

Proprietà 1.1.2 dimora in span({en : nN}) e che per ipotesi converge ad x segue

allora dal Teorema 1.2.10 e dalla Proprietà 1.2.12 che x span ({en : nN}).

Dim (3)(1)

Per ipotesi x span ({en : nN}) allora per il Teorema 2.4.4 sappiamo che la

proiezione di x sul sottospazio span ({en : nN}) coincide con x stesso e quindi

poiché per il Teorema 2.5.2 la serie di Fourier associata ad x converge alla

proiezione di x sul sottospazio span ({en : nN}) otteniamo la tesi.

2.6 Teorema di Gram-Schmidt. Teorema di Riesz-Fischer.

Spazi di Hilbert separabili di dimensione infinita

Definizione 2.6.1

96

Sia H uno spazio di Hilbert e sia {en}nN una successione ortonormale in H.

Diciamo allora che la successione {en}nN è una base ortonormale di H se:

span ({en : nN}) = H

Teorema 2.6.1 (di Gram-Schmidt)

Sia H uno spazio di Hilbert, sia {xn}nN una succ. in H linearmente indipendente

Ts: {en}nN in H succ. ortonormale t.c. span({en : nN})=span({xn : nN})

Dim

Poniamo y1:=x1 e denotiamo con e1 la sua normalizzazione. Posto

F1:=span({e1}) e tenendo conto del teorema delle proiezioni e del Lemma 2.5.2,

scegliamo:

(1) y2:= 1F (x2)=x2-

1F (x2)=x2-(x2,e1)He1

e denotiamo con e2 la sua normalizzazione. Posto F2:=span({e1,e2}) e tenendo

conto del Lemma 2.5.2, scegliamo:

y3:= 2F (x3)=x3-

2F (x3)= x3-(x3,e1)He1-(x3,e2)He2

e denotiamo con e3 la sua normalizzazione. Iterando il ragionamento poniamo

Fn:=span({e1,e2,…,en}) e scegliamo:

97

(2) yn+1:= nF (xn+1)=xn+1-

nF (xn+1)= xn+1-i

n

1(xn+1,ei)Hei

e denotiamo con en+1 la sua normalizzazione. Nasce così la successione ordinaria

{en}nN, vogliamo allora provare che tale successione è proprio quella promessa

dalla tesi. Proviamo che i vettori della successione {en}nN sono a due a due

ortogonali. Siano quindi m,nN con mn cioè m<n o m>n supponiamo ad

esempio che m<n. Facciamo osservare che per costruzione e per la Proprietà

2.3.3 si ha che:

(3) ek-1Fk-1Fk e ek+1 kF

1-kF kN

Poiché m<n mn-1 segue allora dalla (3) che en 1-nF

mF en mF e

pertanto essendo emFm allora (en,em)H=0. Analogamente si procede nel caso in

cui m>n. Ci rimane da dimostrare che span({en : nN})=span({xn : nN}).

Facciamo osservare che banalmente span({en : nN})=span({yn : nN}) e

quindi equivalentemente possiamo dimostrare che span({yn : nN})=span({xn :

nN}). Proviamo che ymspan({xn : nN}) mN cioè che {ym :

mN}span({xn : nN}) e quindi passando all’inviluppo lineare otterremo

span({ym : mN})span({xn : nN}). Procediamo per induzione. Se m=1 allora

y1:=x1 e quindi in tal caso l’asserto è immediato. Se m=2 allora dalla (1) segue

98

l’asserto. Supponiamo adesso che l’asserto sia vero per m e proviamo che è vero

per m+1. Per l’ipotesi induttiva i vettori y1,…,ymspan({xn : nN}) ed

evidentemente questo equivale ad affermare che i versori e1,…,emspan({xn :

nN}) segue allora dalla (2) che ym+1span({xn : nN}). Viceversa proviamo

che il vettore xmspan({yn : nN}) mN cioè che l’insieme {xm :

mN}span({yn : nN}) e quindi passando all’inviluppo lineare otterremo

span({xm : mN})span({yn : nN}). Fissiamo un qualunque mN ed

esplicitiamo la (2) rispetto al vettore xm+1:

xm+1 = ym+1-

m

1i(xm+1,ei)Hei = ym+1-

m

1i (xm+1,ei)H

H

i

iyy

e quindi il vettore xm+1 risulta essere combinazione lineare di y1,…,ym,ym+1 e

pertanto xm+1 span({yn : nN}). Ed il teorema è completamente dimostrato.

Teorema 2.6.2

Sia H uno spazio di Hilbert separabile e di dimensione infinita

Ts: H ammette una base ortonormale

Dim

99

Per ipotesi H è separabile e quindi esiste una succ. {xn}nN in H il cui sostegno è

denso in H. Segue dal Teorema 1.1.2 che:

(1) {knx }kN l.i. t.c. span({xn : nN}}=span{

knx : kN}

Segue allora dal teorema di Gram-Schmidt che:

(2) {en}nN ortonormale t.c. span({en : nN}}=span{knx : kN}

Vogliamo provare che span ({en : nN}}=H. Confrontando la (1) e la (2) e

successivamente passando alle chiusure lineari otteniamo:

(3) span ({en : nN}}= span ({xn : nN}}

Sappiamo che {xn : nN}span({xn : nN}} e quindi essendo {xn : nN} denso

allora passando alle chiusure, tenendo conto della Proprietà 1.2.12 otteniamo

H= span ({xn : nN}} e in definitiva confrontando con la (3) si ha quanto voluto.

Teorema 2.6.3 (di Riesz-Fischer)

Sia H uno spazio di Hilbert, sia {n}nN una successione di l2 e sia {en}nN una

successione ortonormale di H

Ts.: xH t.c. che n

1nen=x ed n=(x,en)H nN

100

Dim

Per la Proprietà 2.3.2 osserviamo che

(1) i n

n p

1iei

H

2 =

i n

n p

1iei H

2 =

i n

n p

1|i|2 ei H

2 =

i n

n p

1|i|2 n,pN

Per ipotesi {n}nNl2 e questo per definizione significa che la serie n

1|n|2 è

convergente e quindi per la Proprietà 1.2.4, è di Cauchy, da questo e dalla (1),

facendo uso della Proprietà 1.2.13 si deduce agevolmente che la serie associata a

{nen}nN è di Cauchy in H ed è quindi convergente essendo per ipotesi H uno

spazio completo. L’ultima parte della tesi è conseguenza della Proprietà 2.5.1.

Teorema 2.6.4

Sia H uno spazio di Hilbert separabile di dimensione infinita

Ts: (H, H ) è linearmente isometrico ad (l2,2l

)

Dim

La norma indotta dal prodotto scalare di l2 è:

{n}nN2l

=

n

1|n|2

1 2/

{n}nNl2

Dobbiamo dimostrare che esiste un’isometria lineare e surgettiva tra H e l2. Per

il Teorema 2.6.2 esiste {en}nN base ortonormale di H. Fissato un xH allora per

101

il Teorema 2.5.1 la serie n

1|(x,en)H|2 è convergente e questo per definizione

significa che la successione (x,en)HnNl2. Andiamo allora a considerare

l’operatore:

:H l2 con (x):=(x,en)HnN xH

Ci proponiamo di provare che è un’isometria lineare e surgettiva.

Cominciamo col provare la linearità di . Per le proprietà del prodotto scalare

segue che:

(x+y) = (x+y,en)HnN = (x,en)H+(y,en)HnN =

= (x,en)HnN+(y,en)HnN = (x,en)HnN+(y,en)H nN =

= (x)+(y) ,K e x,yH

Proviamo adesso che è un’isometria. Poiché {en}nN è una base ortonormale

allora H= span ({en : nN}) e quindi per il Teorema 2.5.3 segue che per ogni

fissato xH vale l’uguaglianza di Parseval, e pertanto:

(x)2l

= (x,en)HnN2l

= n

1|(x,en)H|2 = x 2

H xH

estraendo la radice quadrata:

(x)2l

= x H xH

102

e questo per il Teorema 1.2.24 equivale ad affermare che è un’isometria. Per

quanto concerne la surgettività deriva di peso dal teorema di Riesz-Fischer.

Corollario 2.6.1

(l2, (,)l2) è uno spazio di Hilbert

Dim

Conseguenza immediata del Teorema 2.6.4 e del

Teorema 1.2.17.

103

Bibliografia

[1] B. RICCERI, Appunti di analisi funzionale, Messina, a.a. 1995/96

[2] G. DE MARCO, Analisi due, Vol. 1, Padova, 1992

[3] LEONID V. KANTAROVIC, GLEB P. AKILOV, Analisi funzionale, Mosca, 1977

104

Indice Analitico

B

base di Hamel; 3

base ortonormale; 95

C

chiusura lineare; 28

coefficiente di Fourier; 93

complemento ortogonale; 63

completamento di uno spazio normato; 29

convergenza di una serie; 30

costante di lipschitz; 20

D

dimensione algebrica; 3

distanza di un punto da un insieme; 20

disuguaglianza di Bessel; 90

disuguaglianza di Cauchy-Schwarz; 39

F

funzionale assolutamente omogeneo; 4

funzionale lineare; 5

funzionale positivamente omogeneo; 4

funzionale sub-additivo; 4

funzione continua; 8

funzione lipschitziana; 20

I

identità di Parseval; 94

insieme convesso; 1

insieme denso; 6

insieme limitato; 17

insieme linearmente indipendente; 3

insieme retratto; 9

inviluppo lineare; 2

isometria; 21

K

Ker; 5

L

legge del parallelogramma; 44

M

metrica; 12

metrica euclidea; 23

105

metrica indotta dalla norma; 26

metrica standard complessa; 12

metrica standard reale; 12

metriche canoniche; 23

metriche equivalenti; 12

N

norma; 4

norma indotta dal prodotto scalare; 40

norma operatoriale; 33

nucleo di un operatore lineare; 5

O

omeomorfismo; 8

operatore autoconiugato; 80

operatore coniugato; 77

operatore lineare; 5

operatori lineari e continui; 33

P

prodotto interno; 36

prodotto scalare; 36

prodotto scalare euclideo; 49

prodotto scalare sul prodotto cartesiano; 43

proiettore; 81

proiezione; 81

R

retrazione; 9

ricoprimento; 7

ricoprimento finito; 7

ridotte; 30

S

seminorma; 4

serie; 30

serie di Cauchy; 30

serie di Fourier; 93

sfera aperta; 12

sfera chiusa; 12

somma diretta; 1

somma parziale; 30

sottoricoprimento; 7

span; 2

spazi isometrici; 21

spazi omeomorfi; 8

spazio compatto; 7

spazio completo; 16

spazio degli operatori lineari e continui; 33

spazio delle funzioni continue; 8

spazio di Banach; 28

spazio di Hausdorff; 6

spazio di Hilbert; 52

spazio metrico; 12

spazio normato; 26

spazio pre-hilbertiano; 36

spazio riflessivo; 35

spazio separabile; 6

spazio uniformemente convesso; 34

spazio unitario; 44

106

spazo a prodotto scalare; 36

successione convergente; 6

successione delle ridotte; 30

successione di Cauchy; 15

successione ortonormale; 87

T

teorema delle proiezioni; 81

teorema di Bolzano-Weierstrass; 19

teorema di esistenza dell'elemento di minima norma; 67

teorema di Gram-Schmidt; 95

teorema di Heine-Pincherle-Borel; 8

Teorema di Milliman-Pettis; 35

teorema di rappresentazione di Riesz; 74

Teorema di Riesz-Fischer; 99

teorema di unicità del limite; 7

teorema di Weierstrass; 9

teorema fondamentale degli spazi di Hilbert; 71

topologia generata; 10

topologia indotta dalla metrica; 12

topologia prodotto; 11

topologie equivalenti; 10

U

uguaglianza del parallelogramma; 44

V

vettore normalizzato; 27

vettori ortogonali; 62

Spazi di hilbert [santi caltabiano]

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