Appunti su spazi di Banach e Hilbert e serie di Fourier ... · 6 Spazi di Banach e di Hilbert 1.4...

courtesy by Onofrio de Bari

Appunti su spazi di Banach e Hilberte serie di Fourier astratte

(versione riveduta da Pierluigi Colli)

13 ottobre 2015

Indice

Indice 1

1 Spazi di Banach e di Hilbert 31.1 Spazi vettoriali normati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Spazi di Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Operatori lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Sottospazi normati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5 Esempi di spazi normati a dimensione infinita . . . . . . . . . . 8

1.5.1 Le funzioni continue su un compatto . . . . . . . . . . . 81.5.2 Funzioni integrabili su un sottoinsieme misurabile . . . . 10

1.6 Spazi di Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.7 Spazi Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.7.1 Disuguaglianze notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.7.2 Inclusioni fra spazi Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.8 Spazi di successioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.8.1 Inclusioni fra spazi `p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.9 Operatori lineari continui e limitati . . . . . . . . . . . . . . . . 231.9.1 Altri spazi di successioni . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.10 Teorema delle proiezioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.11 Proiezioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.12 Il teorema di rappresentazione di Riesz . . . . . . . . . . . . . . 34

2 Serie di Fourier 392.1 Serie di Fourier astratte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.2 Il teorema di Fischer–Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.3 Ortonormalizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.4 Serie trigonometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.4.1 Gli spazi Lp(T) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.4.2 Polinomi e serie trigonometriche . . . . . . . . . . . . . 502.4.3 Serie di seni e coseni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.4.4 Il nucleo di Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

1

2 INDICE

2.4.5 Il nucleo di Fejér . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Bibliografia 57

CAPITOLO

1

Spazi di Banach e di Hilbert

1.1 Spazi vettoriali normatiDefinizione 1.1. Sia V uno spazio vettoriale reale. Si chiama norma in Vun’applicazione ‖·‖ : V → R che verifica le condizioni

‖u‖ ≥ 0 (1.1)‖u‖ = 0 se e solo se u = 0 (1.2)‖λu‖ = |λ| ‖u‖ (1.3)‖u+ v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖ (disuguaglianza triangolare) (1.4)

comunque scelti u, v ∈ V e comunque scelto λ ∈ R.

Esempio 1.1. Dato 1 ≤ p <∞, la funzione ‖·‖ : Rn → R definita da

‖x‖p =(|x1|p + · · ·+ |xn|p

)1/pper ogni x ∈ Rn

è una norma e si dice norma p. L

Esempio 1.2. La funzione ‖·‖ : Rn → R definita da

‖x‖∞ = max|x1| , . . . , |xn|

per ogni x ∈ Rn

è una norma e si dice norma infinito. L

3

4 Spazi di Banach e di Hilbert

Definizione 1.2. Uno spazio vettoriale V su cui è definita una norma si dicespazio normato.

Definizione 1.3. Si consideri la funzione

d : V × V → R(u, v) 7→ ‖u− v‖

che associa a una coppia di elementi di V il numero reale ‖u− v‖ detto distanza;la funzione d si chiama metrica indotta dalla norma ‖·‖ su V .

Definizione 1.4. Uno spazio vettoriale dotato di una metrica si dice spazio me-trico.

Nota 1.1. Ogni spazio normato è anche uno spazio metrico rispetto alla metricaindotta dalla norma ‖·‖, ossia rispetto alla distanza

d(u, v) = ‖u− v‖ per ogni v ∈ V.

+ [2, p. 366] I concetti di intorno di un punto, di punto interno, esterno, fron-tiera –e tutti gli altri– per uno spazio euclideo si trasferiscono a uno spazio nor-mato semplicemente sostituendo il modulo dei vettori con la norma e le distanzaeuclidea con la distanza indotta dalla norma.

Definizione 1.5. Due norme ‖·‖ e ‖|·‖| definite in uno spazio vettoriale V sidicono equivalenti se esistono due costanti positive c1 e c2 tali che

c1 ‖v‖ ≤ ‖|v‖| ≤ c2 ‖v‖

per ogni v ∈ V .

Proposizione 1.1. Dato lo spazio vettoriale X , ogni norma ‖·‖ : X → R è unafunzione continua in X .

Dimostrazione. Vogliamo dimostrare che per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale cheper ogni x con ‖x− x0‖ < δ risulta |‖x‖ − ‖x0‖| < ε o, equivalentemente,

‖x0‖ − ε < ‖x‖ < ‖x0‖+ ε. (1.5)

Se si sceglie in particolare δ = ε si ha

‖x‖ = ‖x− x0 + x0‖ ≤ ‖x− x0‖+ ‖x0‖ < δ + ‖x0‖ = ‖x0‖+ ε

dimostrando così la disuguaglianza destra di (1.5); allo stesso modo si ricava

‖x0‖ − ε = ‖x0 − x+ x‖ − ε ≤ ‖x0 − x‖+ ‖x‖ − ε < ε+ ‖x‖ − ε

provando in tal modo la sussistenza della disuguaglianza sinistra di (1.5) e otte-nendo pertanto la tesi.

1.2 Spazi di Banach 5

1.2 Spazi di BanachDefinizione 1.6. Sia V uno spazio normato. Una successione un di elementidi V si dice successione di Cauchy se per ogni ε > 0 esiste n ∈ N tale che perogni m,n ≥ n si ha ‖un − um‖ ≤ ε, cioè

limm,n→∞

‖un − um‖ = 0.

Definizione 1.7. Una successione un a valori nello spazio normato V si diceconvergente a un elemento u di V se

limn→∞

‖un − u‖ = 0.

Definizione 1.8. Uno spazio metrico V si dice completo se ogni successione diCauchy in V converge a un elemento di V .

Definizione 1.9. Uno spazio vettoriale V dotato di una norma si dice spaziodi Banach se è completo rispetto alla metrica indotta dalla norma, cioè se ognisuccessione di Cauchy in V risulta convergente.

+ In uno spazio di Banach i concetti di successione convergente e di successionedi Cauchy coincidono.

Esempio 1.3. L’insieme R con la norma del valore assoluto è uno spazio diBanach. L

Esempio 1.4. L’insieme Rn con la norma euclidea è uno spazio di Banach. L

1.3 Operatori lineariDefinizione 1.10. Dati due spazi vettoriali X e Y , una funzione f : X → Y sidice un’operatore lineare se

f(λx+ µy) = λf(x) + µf(y)

per ogni x, y ∈ X e per ogni λ, µ ∈ R.

Esempio 1.5. Tutti e soli gli operatori lineari che operano da R3 in R5 sono letrasformazioni lineari

T : (x1, x2, x3)→ (y1, y2, y3, y4, y5)

rappresentati da una matrice A ∈M(R)5,3 (5 righe e 3 colonne). L

Se un operatore lineare è definito fra due spazi normati di dimensione finita, taleoperatore è sempre continuo; se invece si ha a che fare con spazi di dimensioneinfinita, allora la continuità andrà volta per volta verificata.


1.4 Sottospazi normatiPremettiamo che in uno spazio normato le nozioni di punto, punto interno, puntodi frontiera, punto esterno, parte interna, frontiera, chiusura, insieme aperto ochiuso o limitato, limite di successsione, somma di una serie e funzione continuaa valori in un altro spazio normato sono analoghe a quelle degli spazi euclidei; èsufficiente, infatti, sostituire i moduli dei vettori e le distanze considerate con lenorme e con le distanze indotte.

Definizione 1.11. Dato uno spazio normato X , un sottoinsieme Z di X tale cheper ogni x, y ∈ Z e per ogni λ, µ ∈ R si ha λx + µy ∈ Z si dice sottospazio diX .

Definizione 1.12. Sia V uno spazio normato. Un sottoinsieme C di V è chiusoquando ogni punto x ∈ Rn\C ha un intorno disgiunto da C.

La definizione 1.12 si basa su quella esposta in [2, p. 115]; in tale definizionel’intorno va, quindi, considerato come intorno rispetto alla metrica indotta dallanorma e quindi si parla di sottoinsieme chiuso rispetto alla metrica indotta dallanorma.

Definizione 1.13. [2, p. 443] Un sottoinsieme S di dimensione infinita di unospazio vettoriale V di dimensione infinita è indipendente se è indipendente ognisuo sottoinsieme non vuoto finito.

Definizione 1.14. [2, p. 444] Un sottoinsieme S di dimensione infinita di unospazio vettoriale V di dimensione infinita genera V se ogni elemento di V puòessere scritto come combinazione lineare finita di elementi di S.

Definizione 1.15. Dato uno spazio vettoriale V , il sottospazio generato da unsottoinsieme S di V è il sottospazio che, visto come spazio vettoriale, ha Scome sistema di generatori e coincide con l’insieme delle combinazioni linearidi elementi di S.

Definizione 1.16. Dato S sottoinsieme di uno spazio normato V , con i simboli

spanS e spanS

si indicano il sottospazio generato da S e la chiusura di spanS (ricordiamo chela chiusura di un sottoinsieme A di uno spazio euclideo V è l’insieme dei puntidi V che non sono esterni ad A, dove per punto esterno intendiamo un punto xper il quale esiste un intorno di x disgiunto da A).

Definizione 1.17. Un sottoinsieme S di uno spazio normato V si dice densoquando la sua chiusura è V .

1.4 Sottospazi normati 7

Ricordiamo adesso la caratterizzazione di un sottoinsieme chiuso di uno spazionormato [2, p. 366].

Proposizione 1.2. Sia V uno spazio normato. Un sottoinsieme C di V è chiusose e solo se gode della proprietà seguente: se vn è una successione di punti diC convergente in V , allora anche il limite di vn appartiene a C.

I sottospazi di spazi normati a dimensione finita sono sempre chiusi, mentre ciònon vale per spazi di dimensione infinita.

Proposizione 1.3. Sia dato uno spazio di Banach X e sia Z un suo sottospaziochiuso; allora Z è uno spazio di Banach.

Dimostrazione. L’ipotesi implica l’esistenza di una successione di Cauchy xna elementi in Z tale che esiste n ∈ N tale che per ogni m,n ≥ n si ha

limn→∞

‖xn − xm‖ = 0.

Una successione di Cauchy xn in uno spazio di BanachX è anche convergenteper n → ∞ ad un elemento x ∈ X; essendo Z un sottospazio chiuso, si ha chex ∈ Z a norma della Proposizione 1.2 e

limn→∞

‖xn − x‖ = 0

cioè xn tende a x elemento di Z.

Proposizione 1.4. Tutte le norme in Rn sono equivalenti.

Dimostrazione. È solo un’idea della dimostrazione: per provare la tesi, bastadimostrare che qualsiasi norma ‖·‖ definita su Rn è equivalente alla norma ‖·‖1,per esempio. Una delle diseguaglianze

‖x‖ ≤n∑i=1

|xi| ‖ei‖ ≤ max‖ei‖ , i = 1, . . . , n ‖x‖1

per ogni x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn,

dove ei denota il vettore con i-esima componente uguale a 1 e le altre uguali a0, si ottiene facilmente. L’altra disuguaglianza può essere provata per contraddi-zione, sviluppando un ragionamento più laborioso.


1.5 Esempi di spazi normati a dimensione infinita

1.5.1 Le funzioni continue su un compattoDato un sottoinsieme K compatto di Rn, un esempio di spazio vettoriale a di-mensione infinita è l’insieme C0(K) delle funzioni continue f : K → R. Se siconsidera ad esempio K = [0, 1] ⊂ R, si possono introdurre le norme

‖f‖1 =

∫ 1

0

|f(x)| dx e ‖f‖∞ = maxx∈[0,1]

|f(x)| .

Ci chiediamo se tali norme sono equivalenti; per rispondere a tale quesito, dob-biamo determinare se esistono due costanti c1, c2 > 0 tali che

c1 ‖f‖1 ≤ ‖f‖∞ ≤ c2 ‖f‖1 . (1.6)

Si osserva immediatamente che

‖f‖1 =

∫ 1

0

|f(x)| dx ≤ ‖f‖∞

quindi per c1 = 1 la disuguaglianza sinistra in (1.6) è verificata. Per verificare ladisuguaglianza destra consideriamo la successione di funzioni

fn(x) =

1− nx se 0 ≤ x ≤ 1/n

0 se 1/n ≤ x ≤ 1

per la quale risulta

‖f‖∞ = 1 per ogni n e ‖f‖1 =1

2n;

poiché non esiste c2 > 0 tale che per ogni n

1 ≤ c22n

le norme non sono equivalenti.Ci chiediamo ora se l’insieme C0([0, 1]) è uno spazio di Banach rispetto allanorma infinito, cioè se per ogni ε > 0 esiste n ∈ N tale che per ogni n,m ≥ n siha ‖fn − fm‖∞ ≤ ε, cioè

supx∈[0,1]

|fn(x)− fm(x)| ≤ ε.

1.5 Esempi di spazi normati a dimensione infinita 9

Per x fissato, la successionefn(x)

è una successione di Cauchy in R, quindi

ammette limite per n → ∞ (che indichiamo con f ); fissando n e passando allimite per m→∞ si ottiene

|fn(x)− f(x)| ≤ ε

quindi per ogni ε > 0 esiste n ∈ N tale che per ogni n ≥ n si ha

|fn(x)− f(x)| ≤ ε per ogni x ∈ [0, 1]

cioè la convergenza uniforme di fn a f . Quanto scritto implica la conseguenzache f è continua, pertanto f ∈ C0[0, 1]; questo dimostra che C0([0, 1]) è unospazio di Banach rispetto alla norma infinito.Lo spazio C0([0, 1]) non è di Banach rispetto alla norma ‖·‖1. Definendo infattila successione fn come

fn(x) =

1− nx se 0 ≤ x ≤ 1/n

0 se 1/n ≤ x ≤ 1

si ottiene (fissato n > m) che∫ 1

0

|fn(x)− fm(x)| dx m,n→∞−−−−→ 0;

la successione fn è di Cauchy, però tende a una funzione discontinua, quindi lospazioC0([0, 1]) non è uno spazio di Banach rispetto alla norma ‖·‖1.%cite[p. 68]to-relli.+ Se uno spazio normato X ha due norme equivalenti, allora lo spazio ècompleto rispetto a una norma se e solo se è completo rispetto all’altra.+ Se uno spazio normato X è completo rispetto a due norme diverse non èdetto che le due norme siano equivalenti.

Esempio 1.6. Consideriamo lo spazio normato(C0(K), ‖·‖∞

), conK compatto

di R. Seguono alcuni esempi di sottospazi di(C0(K), ‖·‖∞

).

• le funzioni costanti;

• l’insieme

S = f ∈ C0([0, 1]) tale che f(x) = a1 + a2 sinx+ a3ex, ai ∈ R

è un sottospazio chiuso di(C0(K), ‖·‖∞

)di dimensione 3;


• U =f ∈ C0([0, 1]) tale che f è un polinomio

è un sottospazio di(

C0(K), ‖·‖∞)

ma non è chiuso, dato che

pn(x) =n∑k=0

xk

k!∈ U

pn(x) −−−→n→∞

ex

però ex /∈ U . L

Vediamo ora esempi di operatori lineari T : C0([0, 1])→ C([1, 3]):

• operatore identicamente nullo;

• f(x)→ e−xf(1 + 2x);

• fissata una funzioneg(t), t ∈ [1, 3],

ad esempio continua, l’operatore

T : f(x)→∫ x

1

g(t)f(1 + 2t)dt, x ∈ [0, 1],

è ancora lineare.

Si dimostra che lo spazio C1([0, 1]) con la norma infinito non è completo.

Esempio 1.7. Non è invece lineare l’operatore T : C0([0, 1]) → C0([0, 1]) defi-nito da

T (f)(x) =

∫ x

0

f(t)dt+ 3.

L

1.5.2 Funzioni integrabili su un sottoinsieme misurabileSia dato uno spazio di misura (A, E ,m) e sia B ⊆ A. Consideriamo l’insieme

X = f : B → R integrabili su B.

Definiamo la funzione

‖·‖1 : X → R

f 7→ ‖f‖1 =

∫B

|f(x)| dm

e verifichiamo che si tratta di una norma: si ha

1.5 Esempi di spazi normati a dimensione infinita 11

1.∫B|f(x)| dm ≥ 0 per ogni f ;

2.∫B|f(x)| dm = 0 se e solo se f = 0, infatti se

∫B|f(x)| dm = 0 si ha

f = 0 m-q.o. e se si prende come elemento dello spazio X non la singolafunzione f , ma la classe di tutte le funzioni g : B → R integrabili taliche g = f m-q.o. allora tale proprietà della norma sussiste, mentre ilviceversa è ovvio;

3.∫B|λf(x)| dm = |λ|

∫B|f(x)| dm;

4. ∫B

|f(x) + g(x)| dm ≤∫B

(|f(x)|+ |g(x)|

)dm

=

∫B

|f(x)| dm+

∫B

|g(x)| dm.

Lo spazio vettoriale X , costituito dalle classi di funzioni integrabii e tra lorouguali quasi ovunque, dotato della norma

‖f‖1 =

∫B

|f(x)| dm

si indica con L1(B). L1(B) risulta essere uno spazio di Banach; considerata in-fatti una successione di Cauchy fn di elementi di L1(B), cioè una successioneper la quale per ogni n,m ≥ n si ha

‖fn − fm‖1 −−−−→n,m→∞0,

ossia ∫B

|fn(x)− fm(x)| dm −−−−→n,m→∞

0,

esiste f integrabile su B tale che∫B

|fn(x)− f(x)| dm −−−→n→∞

0;

quindi la successione ‖fn − f‖1 tende a 0 per n → ∞; si è così dimostrato cheL1(B) è uno spazio normato e completo, cioè uno spazio di Banach.


1.6 Spazi di HilbertDefinizione 1.18. Sia X uno spazio vettoriale reale e

( , ) : X ×X → R

un’applicazione (detta prodotto scalare) verificante le condizioni seguenti:

1. (x, x) ≥ 0 per ogni x ∈ X ,

2. (x, x) = 0 se e solo se x = 0,

3. (x, y) = (y, x) per ogni x, y ∈ X

4. (λx+µy, z) = λ(x, z) +µ(y, z) per ogni x, y, z ∈ X e per ogni λ, µ ∈ R.

La coppia(X, ( , )

)si dice spazio prehilbertiano reale.

In uno spazio prehilbertiano X risulta definita in modo naturale per ogni x ∈ Xla norma

‖x‖ =√

(x, x). (1.7)

Disuguaglianza di Cauchy–Schwarz. Per ogni x, y ∈ X con X spazio prehil-bertiano reale, si ha

|(x, y)| ≤ ‖x‖ ‖y‖ .

Dimostrazione. Dalle proprietà del prodotto scalare si deduce che

0 ≤ ‖x+ y‖2 = (x+ y, x+ y) = (x, x) + (x, y) + (y, x) + (y, y)

= ‖x‖2 + 2(x, y) + ‖y‖2

quindi0 ≤ ‖x+ y‖2 ≤ ‖x‖2 + 2(x, y) + ‖y‖2 (1.8)

e che0 ≤ ‖x− y‖2 = ‖x‖2 − 2(x, y) + ‖y‖2 . (1.9)

Da entrambe le disuguaglianze si ottiene

−2 |(x, y)| ≤ ‖x‖2 + ‖y‖2 e 2 |(x, y)| ≤ ‖x‖2 + ‖y‖2

ossia2 |(x, y)| ≤ ‖x‖2 + ‖y‖2 per ogni x, y ∈ X.

Se x, y sono versori, cioè vettori di norma unitaria, si ottiene

2 |(x, y)| ≤ 1 + 1 = 2

1.6 Spazi di Hilbert 13

o, che è lo stesso,|(x, y)| ≤ 1 = ‖x‖ ‖y‖ (1.10)

quindi la disuguaglianza di Cauchy–Schwarz è valida per i versori; ancora piùsemplicemente si dimostra che è valida se x = 0 oppure y = 0.Consideriamo adesso x, y ∈ X \ 0 non necessariamente versori e definiamo

z =x

‖x‖e w =

y

‖y‖.

I vettori z e w così definiti sono versori, quindi per la (1.10)

|(z, w)| ≤ 1

cioè ∣∣∣∣∣(

x

‖x‖,y

‖y‖

)∣∣∣∣∣ ≤ 1.

Dalla bilinearità del prodotto scalare si ricava che

1

‖x‖· 1

‖y‖|(x, y)| ≤ 1

quindi|(x, y)| ≤ ‖x‖ ‖y‖ .

Relazione del parallelogramma. Per ogni x, y ∈ X con X spazio prehilber-tiano reale, si ha

‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 = 2(‖x‖2 + ‖y‖2

).

Dimostrazione. Si ottiene dalla somma delle equazioni (1.8) e (1.9).

Proposizione 1.5. Per ogni x, y ∈ X con X spazio prehilbertiano reale, si ha

(x, y) =1

4

(‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2

).

Dimostrazione. Si ottiene dalla differenza delle equazioni in (1.8) e (1.9).

Mostriamo infine che la funzione definita in (1.7) è una norma; si osserva facil-mente che

√(x, x) ≥ 0 per ogni x ∈ X e che ‖x‖ = 0 se e solo se x = 0 ∈ X .

Inoltre per ogni x ∈ X

‖λx‖ =√

(λx, λx) =√λ2(x, x) = |λ|

√(x, x) = |λ| ‖x‖


e infine, presi comunque x, y ∈ X , vale la disuguaglianza triangolare

0 ≤ ‖x+ y‖2 = ‖x‖2 + 2(x, y) + ‖y‖2

≤ ‖x‖2 + 2 ‖x‖ ‖y‖+ ‖y‖2 =(‖x‖+ ‖y‖

)2quindi

‖x+ y‖2 ≤(‖x‖+ ‖y‖

)2;

da ciò segue che‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖

ed è così dimostrato che la funzione in (1.7) è una norma.

Definizione 1.19. Uno spazio prehilbertiano completo rispetto alla norma indot-ta dal prodotto scalare si dice spazio di Hilbert.

Esempio 1.8. Lo spazio vettoriale Rn, dotato del prodotto scalare

(x, y) =n∑i=1

xiyi

e della norma indotta‖x‖ =

√(x, x)

è uno spazio di Hilbert. L

1.7 Spazi Lp

Consideriamo in questo paragrafo e nei sottoparagrafi uno spazio di misura(A, E ,m) e B ⊆ A. Se 1 < p <∞ si definisce l’insieme

Lp(B) = classi di f : B → R misurabili , uguali tra loro q.o.e tali che |f |p è integrabile

e su esso si introduce la norma

‖f‖p =

(∫B

|f |p dm

)1/p

.

Se p =∞ si definisce l’insieme delle funzioni essenzialmente limitate

L∞(B) = classi di f : B → R misurabili, uguali tra loro q.o.e tali che esiste c ≥ 0 tale che |f(x)| ≤ c q.o. in B

con norma‖f‖∞ = infc ≥ 0 : |f(x)| ≤ c q.o. in B.

1.7 Spazi Lp 15

1.7.1 Disuguaglianze notevoliDefinizione 1.20. Due numeri p, q ∈ [1,∞] si dicono esponenti coniugati se

1

p+

1

q= 1

con l’intesa che q =∞ se p = 1.

Disuguaglianza di Young. Siano a, b ∈ R, a, b > 0, 1 < p < ∞, con p, qesponenti coniugati; allora

ab ≤ ap

p+bq

q.

Dimostrazione. Si può scrivere

ln(ab) = ln a+ ln b =1

pln ap +

1

qln bq ≤ ln

(ap

p+bq

q

);

quest’ultima disuguaglianza sussiste grazie alla proprietà di concavità della fun-zione logaritmo, secondo la quale se A,B > 0 e ϑ ∈ (0, 1) si ha

ln(ϑA+ (1− ϑ)B

)≥ ϑ lnA+ (1− ϑ) lnB.

Si deduce allora che

ab ≤ ap

p+bq

q.

Disuguaglianza di Hölder. Siano p e q due esponenti coniugati e siano f ∈Lp(B), g ∈ Lq(B); allora la funzione fg appartiene a L1(B) e inoltre

‖fg‖1 ≤ ‖f‖p ‖g‖q .

Dimostrazione. Se fg = 0 quasi ovunque la disuguaglianza è immediatamentedimostrata. Il caso limite è per p = 1 e q =∞; si ha

|f(x)g(x)| ≤ |f(x)| ‖g‖∞ per q.o. x ∈ B,

con |fg| integrabile perché maggiorata da un’altra funzione integrabile, pertantosi può scrivere∫

B

|f(x)g(x)| dm = ‖fg‖1 ≤ ‖g‖∞∫B

|f(x)| dm = ‖g‖∞ ‖f‖1


e così si è dimostrato il caso limite. Se, infine, consideriamo il caso 1 < p <∞,dalla disuguaglianza di Young si ha che

|f(x)g(x)| ≤ 1

p|f(x)|p +

1

q|g(x)|q per q.o. x ∈ B.

Integrando ambo i membri si ottiene

‖fg‖1 ≤‖f‖ppp

+‖g‖qqq

e per ogni t > 0 si può scrivere∥∥∥∥∥(tf)(g

t

)∥∥∥∥∥1

≤ tp

p‖f‖pp +

1

qtq‖g‖qq .

Definiamo ora la funzione

ϕ(t) =tp

p‖f‖pp +

1

qtq‖g‖qq (t > 0)

e determiniamo i valori che la minimizzano, calcolando a tal fine

ϕ′(t) = tp−1 ‖f‖pp − t−q−1 ‖g‖qq ;

si trova come zero di ϕ′(t) il valore

t =‖g‖1/pq

‖f‖1/qp

;

che, sostituito nell’espressione di ϕ, fa ottenere dopo semplici (anche se un po’lunghi) calcoli il risultato

ϕ(t)

= ‖f‖p ‖g‖q .

Riguardo allo spazio L∞(B) dotato della norma

‖f‖∞ = infc > 0 | |f(x)| ≤ c per q.o. x ∈ B

si può affermare che:

• ‖f‖∞ è in realtà un minimo dell’insieme cui si riferisce;

• ‖f‖∞ è una norma;

• vale la disuguaglianza triangolare.

1.7 Spazi Lp 17

L’insieme L∞(B) è pertanto uno spazio normato.Scriviamo ora la disuguaglianza triangolare in termini di norma ‖·‖p.

Disuguaglianza di Minkowski. Sia p ∈ (1,+∞) e siano f, g ∈ Lp(B); alloraf + g ∈ Lp(B) e inoltre

‖f + g‖p ≤ ‖f‖p + ‖g‖p .

Dimostrazione. Consideriamo la relazione

|(f + g)(x)|p ≤(|f(x)|+ |g(x)|

)p≤ 2p |f(x)|p + 2p |g(x)|p (1.11)

che implica che la funzione |(f + g)(x)|p è integrabile perché maggiorata dallasomma di funzioni integrabili. Poi integriamo, riscrivendo quindi la prima partedella (1.11) come∫

B

|f + g|p dm ≤∫B

|f + g|p−1(|f(x)|+ |g(x)|

)dm.

Se q è l’esponente coniugato di p, la funzione |f + g|p−1 appartiene a Lq(B);infatti in tal caso si ha(

|f + g|p−1)q

= |f + g|pq−q = |f + g|p

che, come abbiamo visto, è integrabile. Si ottiene dunque

‖f + g‖pp =

∫B

|f + g|p dm ≤∫B

|f + g|p−1(|f |+ |g|

)dm

≤∫B

|f + g|p−1 |f | dm+

∫B

|f + g|p−1 |g| dm

≤∥∥|f + g|p−1

∥∥q‖f‖p +

∥∥|f + g|p−1∥∥q‖g‖p

= ‖f + g‖p−1p

(‖f‖p + ‖g‖p

)e pertanto

‖f + g‖p ≤ ‖f‖p + ‖f‖p .

A questo punto si verifica agevolmente che l’applicazione da Lp(B) in R

‖f‖p =

(∫B

|f |p dm

)1/p

;

è una norma.+ Non si considerano gli spazi Lp per 0 < p < 1 perché in tal caso gli insiemidel piano del tipo ‖x‖p ≤ r, r > 0, non sono convessi, quindi non vale ladisuguaglianza triangolare se p < 1.


Teorema 1.1. Sia (A, E ,m) uno spazio di misura, B un sottoinsieme misurabilediA e p ∈ [1,∞]; allora l’insieme Lp(B) è uno spazio di Banach. In particolareL2(B) è uno spazio di Hilbert con prodotto scalare

(f, g) =

∫B

f(x)g(x)dm f, g ∈ L2(B).

Dimostrazione. Consideriamo 1 ≤ p <∞ e sia fn una successione di Cauchya elementi in Lp(B), cioè per ogni ε > 0 esiste n ∈ N tale che per ogni n,m ≥ nsi ha

‖fn − fm‖p ≤ ε.

È facile controllare che, per provare la tesi, basta trovare una sottosuccessionefnk convergente a una funzione f in Lp(B). Notiamo ora che, se prendiamo

ε = 1/2 nella condizione di Cauchy, esisterà un indice n1 tale che per ognin ≥ n1

‖fn − fn1‖p ≤1

2.

Se poi prendiamo ε = 1/22, esiste n2 (che scegliamo maggiore di n1) tale cheper ogni n ≥ n2

‖fn − fn2‖p ≤1

22

e così via fino a considerare ε = 1/2k per il quale esiste nk > nk−1 tale che perogni n ≥ nk

‖fn − fnk‖p ≤

1

2k.

Si è in tal modo costruita una sottosuccessione fnk tale che per ogni k∥∥fnk+1

− fnk

∥∥p≤ 1

2k.

Vogliamo ora provare che tale sottosuccessione risulta convergente in Lp(B).Consideriamo per k = 1, . . . , n le funzioni

gk(x) =k∑j=1

∣∣fnj+1(x)− fnj

(x)∣∣ ;

la successione gk è monotona crescente e inoltre, usando la disuguaglianzatriangolare, si controlla che

‖gk‖p ≤k∑j=1

∥∥fnj+1(x)− fnj

(x)∥∥p≤

k∑j=1

1

2k≤ 1.

1.7 Spazi Lp 19

Se ora si applica il teorema di Beppo Levi, si ricava che gn(x) converge m-q.o.alla funzione limite

g(x) =∞∑j=1

∣∣fnj+1(x)− fnj

(x)∣∣ ;

con g ∈ Lp(B); tale funzione è di potenza p-esima integrabile. Se poi j > i siha ∣∣fnj

(x)− fni(x)∣∣ ≤ ∣∣fnj

(x)− fnj−1(x)∣∣+ · · ·+

∣∣fni+1(x)− fni

(x)∣∣

=

j−1∑k=i

∣∣fnk+1(x)− fnk

(x)∣∣ ≤ ∞∑

k=i

∣∣fnj+1(x)− fni

(x)∣∣

≤ g(x)− gi−1(x)

cosicchè ∣∣fnj(x)− fni

(x)∣∣ ≤ g(x)− gi−1(x) −−−→

i→∞0

cioè per q.o. x ∈ B la successione fnk(x) è di Cauchy, e dunque converge a un

limite che chiameremo f(x). Risulta in tal modo definita (quasi ovunque) unafunzione f su B. Facendo tendere j a infinito si ottiene

|f(x)− fni(x)| ≤ g(x)− gi−1(x) ≤ g(x)

ed elevando a p|f(x)− fni

(x)|p ≤ |g(x)|p

con la funzione a primo membro che è integrabile e, dato che fni∈ Lp(B),

anche f ∈ Lp(B). A questo punto, applicando il teorema di Lebesgue dellaconvergenza dominata, si ottiene

limi→∞

∫B

|f(x)− fni(x)|p = ‖f − fni

‖pp = 0,

il che conclude la dimostrazione del caso 1 ≤ p <∞.Dimostriamo ora il caso p =∞. Per ogni k ∈ N esiste un indice nk tale che perogni n,m ≥ nk

‖fn − fm‖∞ ≤1

k;

esiste quindi un insieme trascurabile Ck tale che per ogni n,m ≥ nk si ha

|fn(x)− fm(x)| ≤ 1

k


per ogni x ∈ B\Ck. L’insieme

C =⋃k∈N

Ck

è ancora trascurabile; infine, si ha che per ogni k ∈ N esiste nk tale che per ognin,m ≥ nk e per ogni x ∈ B\C si ha

|fn(x)− fm(x)| ≤ 1

k.

La successione fn risulta, pertanto, essere una successione di Cauchy in B\Crispetto alla metrica della convergenza uniforme; esiste allora una funzione ftale che fn → f uniformemente in B\C. Estendendo f a tutto B con valorenullo per gli x ∈ C si ottiene la tesi.La verifica che L2(B) è uno spazio di Hilbert con il prodotto scalare definito èimmediata.

Corollario 1.1. Sia fn una successione convergente in Lp(B) a una funzionef ; allora esistono una sottosuccessione fnk

e una funzione h ∈ Lp(B) taliche

1. fnk→ f quasi ovunque in B;

2. |fnk(x)| ≤ h(x) per q.o. x ∈ R.

Dimostrazione. Se fn → f in Lp, allora fn è una successione di Cauchy inLp(B), quindi esiste una sottosuccessione fnk

convergente quasi ovunque a f inLp; per il teorema di Lebesgue esiste una funzione g tale che∣∣f(x)− fnk

(x)∣∣ ≤ g(x);

quindi|fni

(x)| ≤∣∣f(x)

∣∣+ g(x),

e possiamo porre h =∣∣f ∣∣ + g. Dobbiamo infine verificare che f = f ; poiché

fnk→ f in Lp(B) per k → ∞, l’unicità del limite in Lp(B) assicura che

f = f .

In generale, la convergenza in Lp non implica la convergenza q.o.; va però os-servato che se una successione di funzioni fn tende a f in L∞, allora al tenderedi n a∞ si ha anche fn → f q.o.+ La norma p è indotta dal prodotto scalare se e solo se p = 2; inoltre Lp(B) èuno spazio di Hilbert se e solo se p = 2, perché solo in tal caso vale la regola delparallelogramma. Si ha, infatti, che l’uguaglianza

‖u+ v‖2p + ‖u− v‖2p = 2(‖u‖2p + ‖v‖2p

), u, v ∈ Lp(B),

sussiste solo se p = 2.

1.8 Spazi di successioni 21

1.7.2 Inclusioni fra spazi Lp

Ci poniamo ora la seguente domanda: dato B sottoinsieme di uno spazio di mi-sura (A, E ,m), l’insiemeLp(B) è incluso inLq(B) per qualche q? In particolare,se B = R, si ha L∞(R) ⊂ L1(R), cioè per ogni f ∈ L∞(R) si ha f ∈ L1(R)?La risposta è negativa; basta considerare f funzione costantemente uguale a 1.Viceversa, vale L1(R) ⊂ L∞(R)? La risposta è ancora negativa; se infatti siconsidera la funzione

f(x) =

1/ |x|1/2 se |x| ≤ 1

0 se |x| > 1

si verifica che f ∈ L1(R) ma f /∈ L∞(R).Se B = (1,+∞) si ha L2(B) ⊆ L1(B)? Anche in questo caso la rispostaè negativa, basta considerare la funzione f(x) = 1/x. Invece, nel caso di uninsieme B di misura finita si ha il seguente risultato.

Proposizione 1.6. Sia (A, E ,m) uno spazio di misura e B ⊆ A, B misurabile.Se m(B) <∞, si ha

Lp(B) ⊂ Lq(B)

per ogni 1 ≤ q ≤ p ≤ ∞.

1.8 Spazi di successioniSe p ∈ [1,+∞) si definisce l’insieme

`p =

x = (xn) ⊂ R :

∞∑n=1

|xn|p < +∞

mentre se p = +∞ si definisce l’insieme

`∞ =

x = (xn) ⊂ R : sup

n∈N|xn| < +∞

.

Si verifica che `p e `∞ sono spazi vettoriali (con le operazioni di somma di suc-cessioni e prodotto di un numero reale per una successione) e hanno dimensioneinfinita (perché i punti di `p hanno infinite componenti). Introducendo le norme

‖x‖p =

(∞∑n=1

|xn|p)1/p

,

‖x‖∞ = supn∈N|xn| ,

si dimostra che gli spazi predetti sono spazi di Banach.


Esercizio 1.1. Lo spazio `p non è uno spazio di Hilbert se p 6= 2.

Svolgimento. Considerati x = (1, 0, 0, . . . , 0, . . . ) e y = (0, 1, 0, . . . , 0, . . . )appartenenti a `p, si ha

x+ y = (1, 1, 0, . . . , 0, . . . ),

x− y = (1,−1, 0, . . . , 0, . . . ).

Quindi, se p 6=∞ risulta

‖x‖p = 1, ‖y‖p = 1,

‖x+ y‖p = 21/p, ‖x− y‖p = 21/p.

La regola del parallelogramma

‖x+ y‖2p + ‖x− y‖2p = 2(‖x‖2p + ‖y‖2p

)esplicitando dà

22/p + 22/p = 2 · 22/p = 2(1 + 1)

che vale se e solo se p = 2. Se p =∞ si ha

‖x‖p = 1, ‖y‖p = 1,

‖x+ y‖p = 1, ‖x− y‖p = 1.

Quindi la regola del parallelogramma dà 2 6= 2(1 + 1).

1.8.1 Inclusioni fra spazi `p

Se p ≤ q, si ha `p ⊆ `q; presa infatti una successione x = (xn) ∈ `p, si ha|xn| → 0 per n → ∞, dato che una successione non divergente ha il terminegenerale che tende a 0. Per le proprietà delle potenze (tenuto conto che al limitesi è vicini a 0) si ha definitivamente

|xn|q ≤ |xn|p ,

quindi `p ⊆ `q.Un controesempio è la successione

x =

(1,

1

2, . . . ,

1

n, . . .

)

appartenente a `2 ma non a `1.

1.9 Operatori lineari continui e limitati 23

1.9 Operatori lineari continui e limitatiDefinizione 1.21. Dati due spazi normati X e Y , un operatore T : X → Y sidice limitato se esiste una costante L ≥ 0 tale che per ogni x ∈ X si ha

‖Tx‖Y ≤ L‖x‖X .

Esempio 1.9. Sia T (x) = mx con m fissato in R; per ogni x ∈ R si ha

|T (x)| ≤ |m| |x|

quindi l’operatore T è limitato. L

Non va confuso il concetto di operatore limitato con quello di funzione limitata;un operatore limitato è una funzione linearmente limitata.

Esempio 1.10. La funzione f(x) = sinx è una funzione limitata ed è un opera-tore limitato, ma non è un operatore lineare. L

Esempio 1.11. La funzione f(x) = x/ |x| se x 6= 0, f(x) = 0 se x = 0, èuna funzione limitata ma non è un operatore limitato (basta prendere valori di xvicini a 0 per rendersi conto). L

Teorema 1.2. Un operatore lineare T : X → Y è continuo se e solo se èlimitato.

Dimostrazione. È facile controllare che linearità e limitatezza implicano la con-tinuità dell’operatore. Dimostriamo che se T è continuo è anche limitato, con-siderando in particolare il punto 0 (il che non fa perdere di generalità, datoche se un operatore è continuo è continuo anche in 0). Per definizione, se T ècontinuo in 0 si ha che per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che per ogni x ∈ Xcon ‖x‖X ≤ δ si ha

‖T (x)‖X ≤ ε. (1.12)

Preso z arbitrario in X\0 si osserva che l’elemento x = δz/ ‖z‖ verifical’uguaglianza

‖x‖X =

∥∥∥∥ δz‖z‖∥∥∥∥X

= δ,

per cui applicando la (1.12) abbiamo

‖T (x)‖X =

∥∥∥∥∥T(δz

‖z‖

)∥∥∥∥∥X

=δ

‖z‖X‖T (z)‖Y ≤ ε

quindi‖T (z)‖Y ≤

ε

δ‖z‖X


disuguaglianza che vale sia per z 6= 0 che per z = 0; prendendo dunque L = ε/δsi ottiene la tesi.

Per indicare la famiglia degli operatori lineari limitati da X a Y si usa il simboloL(X, Y ); l’insieme L(X, Y ) è uno spazio vettoriale. Si può dotare della norma

‖T‖ = sup

‖Tx‖Y‖x‖X

, x ∈ X\0

e poiché tale estremo superiore esiste finito ed è minore o uguale di ogni costantedi limitatezza si ha

‖T‖ = infL ≥ 0 : ‖Tx‖Y ≤ L ‖x‖X per ogni x ∈ X.

L’elemento nullo dello spazio è l’operatore nullo, ossia quello che a ogni ele-mento di X associa lo zero di Y .

Teorema 1.3. Se Y è uno spazio di Banach, lo spazio L(X, Y ) è uno spazio diBanach.

Dimostrazione. Si abbia una successione di Cauchy Tn a valori in L(X, Y );questo significa che per ogni ε > 0 esiste n ∈ N tale che per ogni n,m ≥ n siha

‖Tn − Tm‖L(X,Y ) = supx∈Xx 6=0

‖(Tn − Tm)(x)‖Y‖x‖X

≤ ε.

Fissato x ∈ X, x 6= 0, quanto scritto significa

‖(Tn − Tm)(x)‖Y ≤ ε ‖x‖X

cioè che la successioneTn(x)

è una successione di Cauchy a valori in Y .

Essendo per ipotesi Y uno spazio di Banach (e quindi è anche completo), lasuccessione

Tn(x)

converge a un elemento di Y che indichiamo con T (x); in

questo modo si è costruito l’operatore T che a x ∈ X\0 associa il limite pern→∞ di

Tn(x)

in Y , ponendo inoltre, T (0X) = (0Y ).

L’operatore T appena costruito è lineare, infatti

T (αx+ βy) = limn→∞

Tn(αx+ βy) = α limn→∞

Tnx+ β limn→∞

Tny = αTx+ βTy

ed è limitato, dato che esiste n∗ tale che per ogni n,m ≥ n∗ si può scrivere

‖Tn − Tn∗‖ ≤ 1

quindi per ogni n ≥ n∗

‖Tn‖ ≤ 1 + ‖Tn∗‖ .


Da quanto scritto si deduce

‖Tn‖ ≤ max‖T1‖ , . . . , ‖Tn∗−1‖ , 1 + ‖Tn∗‖

ossia

‖Tx‖Y = limn→∞

‖Tnx‖Y ≤ supn∈N‖Tn‖ ‖x‖ ≤ c ‖x‖ .

Tornando a ‖Tn − Tm‖L(X;Y ) si ha, passando al limite per m→∞, che per ognix ∈ X\0

‖(Tn − T )(x)‖Y‖x‖X

≤ ε

quindi per ogni x ∈ X\0 risulta

‖Tn − T‖Y = sup‖(Tn − T )(x)‖Y

‖x‖X≤ ε

cioè lo spazio L(X;Y ) è di Banach.

Un caso particolare di operatori lineari è quello dei funzionali lineari e continui,ovvero delle applicazioni L : X → R con X spazio normato.

Definizione 1.22. Lo spazio L(X,R) si dice spazio duale dello spazio normatoX e viene indicato con X ′ o con X∗; i suoi elementi sono i funzionali lineari econtinui da X a R.

Seguono alcuni esempi di funzionali lineari.

Esempio 1.12. Sia H uno spazio di Hilbert e fissiamo u ∈ H , considerandol’operatore

L : H → Rv 7→ (u, v)

L è un operatore lineare perché è definito come prodotto scalare; è altresì conti-nuo perché è limitato.Un caso particolare si ha se H = `2. Fissato

u =

(1,

1

2, . . . ,

1

n, . . .

)consideriamo

L : `2 → R

v 7→ (u, v) =∞∑i=1

1

ivi.


L’operatore L appartiene a(`2)′

= L(`2,R

). Ci chiediamo se le norme intro-

dotte in questi spazi coincidono. Si ha

‖L‖(`2)′ = supx∈`2x 6=0

L(x)

‖x‖`2= sup

x∈`2‖x‖=1

|L(x)| ;

per ogni v ∈ `2 risulta

|L(v)| = |(u, v)| ≤ ‖u‖`2 ‖v‖`2 .

quindi‖L‖(`2)′ = sup

v∈`2‖v‖=1

|L(v)| ≤ ‖u‖`2 .

Se v ha norma 1, allora si ha

|L(v)| ≤ ‖u‖`2 ,

quindi‖L‖(`2)′ ≤ ‖u‖`2 ;

se si trova un elemento v ∈ `2 tale che ‖v‖`2 = 1 e |L(v)| = ‖u‖`2 le normecoincideranno; in particolare, considerato v = u/ ‖u‖`2 si ottiene

L(v) = ‖u‖`2

e quindi ‖L‖(`2)′ = ‖u‖`2 . L

Esempio 1.13 (Operatori di shift). Consideriamo l’operatore S : `1 → `1 dettooperatore di shift e definito per ogni x ∈ `1 da

S(x) = y

con y successione di `1 di termine generale yn = xn+1 (per ogni n ≥ 1); in altritermini, se x = (x1, x2, x3, . . . ), si ha S(x) = (x2, x3, . . . ). L’operatore S èlineare. Per verificare che è continuo verifichiamo che è limitato, cioè che

‖S(x)‖`1 ≤M ‖x‖`1 ;

tale disuguaglianza è verificata banalmente per M = 1, quindi S ∈ L(`1, `1).Verifichiamo ora che, posto

‖S‖′ = ‖S‖L(`1,`1) ,


si ha

‖S‖′ = supx∈`1

‖S(x)`1‖‖x‖`1

= supx∈`1‖x‖=1

‖S(x)‖`1

quindi ‖S‖′ ≤ 1. Cerchiamo x ∈ `1 tale che ‖S(x)‖`1 = 1 e ‖x‖`1 = 1; per

e2 = (0, 1, 0, . . . , 0, . . . )

si ha S(e2) = e1, ‖e2‖`1 = 1, ‖S(e2)‖`1 = 1 e se ne ricava che ‖S‖′ = 1. L

Esempio 1.14 (Operatori di Fredholm). Sia k : [0, 1]× [0, 1]→ R una funzionecontinua e si abbia l’operatore

T : C0([0, 1])→ C0([0, 1]),

detto operatore di Fredholm, definito per ogni u ∈ C0([0, 1]) da

T (u)(x) =

∫ 1

0

k(t, x)u(t)dt.

Si controlla che T è un operatore lineare. Introducendo in C0([0, 1]) la normainfinito definita per ogni u ∈ C0([0, 1]) da

‖u‖∞ = supx∈[0,1]

|u(x)| ,

T è continuo se e solo se è limitato, quindi se e solo se

‖T (u)‖∞ ≤M ‖u‖∞

per qualche costante M > 0. Ora si ha

‖T (u)‖∞ = supx∈[0,1]

|T (u)(x)| ≤ ‖u‖∞ supx∈[0,1]

∫ 1

0

|k(t, x)| dt

e dunque possiamo prendere

M = supx∈[0,1]

∫ 1

0

|k(t, x)| dt.

L


1.9.1 Altri spazi di successioniIndichiamo con c lo spazio vettoriale delle successioni convergenti, con c0 quellodelle successioni infinitesime e con c00 quello delle successioni definitivamentenulle, cioè quelle successioni x = (xn) tali che esiste k ∈ N tale che per ognin ≥ k si ha xn = 0. Osserviamo innanzitutto che

c00 ⊂ c0 ⊂ c

e che se p 6=∞ si hac00 ⊂ `p ⊂ c0 ⊂ c ⊂ `∞.

Gli insiemi c e c0 sono chiusi in `∞; presa infatti una successione

xn =(xn1 , x

n2 , . . . , x

nk , . . .

)∈ c per ogni n

e convergente a x =(x1, x2, . . . , xk, . . .

), si ha per ogni n

limk→∞

xnk = an

e si dimostra che x ∈ c con limk→∞

xk = limn→∞

an. Analogamente si opera per c0.

L’insieme c00 è denso in `p, se p 6= ∞ e la chiusura di c00 rispetto a ‖·‖p è `p.Per ogni x ∈ `p esiste (xn) ⊂ c00 tale che xn → x per n→∞.L’insieme c00 non è chiuso in `∞ e la chiusura di c00 in `∞ è c0. Infine, l’insieme`1 ⊂ `∞ non è chiuso in `∞; la sua chiusura è di fatto ancora c0.

1.10 Teorema delle proiezioniDefinizione 1.23. Sia H uno spazio di Hilbert. Un sottoinsieme A di H èconvesso se per ogni x, y ∈ A e per ogni t ∈ [0, 1] si ha

tx+ (1− t)y ∈ A.

Teorema 1.4 (Teorema delle proiezioni). Sia H uno spazio di Hilbert e sia K ⊂H un convesso chiuso non vuoto. Allora per ogni f ∈ H esiste un unico u ∈ Ktale che

‖f − u‖ = minv∈K‖f − v‖ = d(f,K). (1.13)

Inoltre u è anche l’unica soluzione della disuguaglianza variazionale

(f − u, v − u) ≤ 0 per ogni v ∈ K. (1.14)

Dimostrazione. La dimostrazione segue il procedimento esposto in [1, p. 127].Sia vn una successione minimizzante di elementi di K, ossia con le proprietà

1.10 Teorema delle proiezioni 29

• vn ∈ K per ogni n ∈ N,

• ‖f − vn‖ −−−→n→∞

infv∈K‖f − v‖

e proviamo innanzitutto che vn è una successione di Cauchy. Applichiamo laregola del parallelogramma agli elementi a = f − vn e b = f − vm scrivendo

‖2f − (vn + vm)‖2 + ‖−vn + vm‖2 = 2(‖f − vn‖2 + ‖f − vm‖2

),

quindi dividiamo per 4 ottenendo

‖2f − vn + vm‖2

22+

1

4‖vn − vm‖2 =

1

2

(‖f − vn‖2 + ‖f − vm‖2

),(∥∥∥∥f − vn + vm

2

∥∥∥∥)2

+1

4‖vm − vn‖2 =

1

2

(‖f − vn‖2 + ‖f − vm‖2

). (1.15)

Poiché il sottoinsieme K di H è un convesso e vn, vm sono elementi di K, anche

l’elementovn + vm

2appartiene a K (basta scegliere t = 1/2 nella definizione di

convesso); postod = inf

v∈K‖f − v‖

si ha

d2 ≤∥∥∥∥f − vn + vm

2

∥∥∥∥2quindi da (1.15) si ricava che

1

4‖vm − vn‖2 =

1

2

(‖f − vn‖2 + ‖f − vm‖2

)−∥∥∥∥f − vn + vm

2

∥∥∥∥2≤ 1

2

(‖f − vn‖2 + ‖f − vm‖2

)− d2

e allora si conclude facilmente che

‖vm − vn‖2 −−−−→n,m→∞

0,

cioè vn è una successione di Cauchy. Poiché H è uno spazio di Hilbert, esisteallora un elemento u ∈ H tale che lim

n→∞vn = u; essendo K chiuso e vn ∈ K per

ogni n, l’elemento u appartiene a K, quindi da

• limn→∞

vn = u,

• ‖f − vn‖ −−−→n→∞

infv∈K‖f − v‖


si deduce che ‖f − u‖ = d e questo prova l’esistenza di u che soddisfa (1.13).Proviamo adesso che u soluzione di (1.13) risolve anche la disuguaglianza va-riazionale (1.14). Sia v ∈ K e definiamo l’elemento

w = (1− t)u+ tv, t ∈ (0, 1],

che appartiene a K perché K è convesso; si ha allora

‖f − u‖2 ≤ ‖f − w‖2 = ‖f − (1− t)u− tv‖2 = ‖f − u+ t(u− v)‖2

= ‖f − u‖2 + t2 ‖u− v‖2 − 2t(f − u, v − u);

quindi2(f − u, v − u) ≤ t ‖u− v‖2

e se t→ 0 si ha(f − u, v − u) ≤ 0.

Viceversa, se u risolve (1.14), allora

‖u− f‖2 − ‖v − f‖2 = 2(f − u, v − u)− ‖u− v‖2 ≤ 0

e dunque

‖u− f‖2 ≤ ‖v − f‖2 per ogni v ∈ K ed f ∈ H.

Dimostriamo infine l’unicità della soluzione di (1.14). Supponiamo che u1 e u2siano due elementi di K che verificano la disuguaglianza variazionale (1.14),cioè che

(f − u1, v − u1) ≤ 0 per ogni v ∈ K, (1.16)(f − u2, v − u2) ≤ 0 per ogni v ∈ K. (1.17)

Scegliamo v = u2 in (1.16) e v = u1 in (1.17), ricavando

(f − u1, u2 − u1) ≤ 0 per ogni v ∈ K,(f − u2, u1 − u2) ≤ 0 per ogni v ∈ K.

Sommando (f − u1, u1 − u2) ≥ 0 e (u2 − f, u1 − u2) ≥ 0 si ottiene

(f − u1 + u2 − f, u1 − u2) ≥ 0,

quindi

‖u1 − u2‖2 ≤ 0

e ciò dimostra che u2 = u1.

1.11 Proiezioni 31

1.11 ProiezioniDefinizione 1.24. L’elemento u la cui esistenza e unicità è garantita dal teorema1.4 si indica con u = pf

K = PK(f) e si dice proiezione di f su K.

Proposizione 1.7. Nelle stesse ipotesi del teorema delle proiezioni sui conves-si, se f1, f2 appartengono allo spazio di Hilbert H e pf1

K , pf2K sono le rispettive

proiezioni sul convesso chiuso K, allora

‖pf1K − pf2

K ‖ ≤ ‖f1 − f2‖ .

Dimostrazione. Consideriamo

(pf1K − f1, pf1

K − v) ≤ 0 per ogni v ∈ K (1.18)(pf2

K − f2, pf2K − v) ≤ 0 per ogni v ∈ K (1.19)

scegliendo v = pf2K in (1.18) e v = pf1

K in (1.19). Sommiamo per ottenere(pf1K − f1 − pf2

K + f2, pf1K − pf2

K

)≤ 0

e quindi passando alle norme e per le proprietà del prodotto scalare si ha

‖pf1K − pf2

K ‖2 ≤ ‖pf1

K − pf2K ‖ ‖f1 − f2‖ ,

da cui semplificando‖pf1

K − pf2K ‖ ≤ ‖f1 − f2‖ .

+ L’operatore di proiezione PK : H → K è lipschitziano di costante 1, in par-ticolare continuo; non è, in generale, lineare (è lineare nel caso di un sottospazioK).+ Fra i sottoinsiemi convessi chiusi non vuoti di H vi sono in particolare isottospazi chiusi di H .

Corollario 1.2. Sia H uno spazio di Hilbert e K un sottospazio chiuso di H .Allora per ogni f ∈ H esiste ed è unico u ∈ K tale che valga (1.13); inoltretale u è anche l’unica soluzione dell’uguagliarza variazione

(u,w) = (f, w) per ogni w ∈ K. (1.20)

Dimostrazione. Dal teorema delle proiezioni si ha

(f − u, v − u) ≤ 0 per ogni v ∈ K;

scelto v = u+ w con w generico elemento di K, si ottiene

(f − u,w) ≤ 0.


Scelto ora v = u− w si ottiene

(f − u,−w) ≤ 0

quindi (f − u,w) ≥ 0, cosicché (f − u,w) = 0 per ogni w ∈ K.

Proposizione 1.8. Se K è un sottospazio chiuso di H , l’operatore PK è lineare.

Dimostrazione. Si può scrivere(PK(αf + βg), w

)= (αf + βg, w) = α(f, w) + β(g, w)

= α(PK(f), w

)+ β

(PK(g), w

)=(αPK(f) + βPK(g), w

)per ogni w ∈ K. Una proprietà del prodotto scalare ci permette di affermare chese u, v ∈ K e

(u,w) = (v, w) per ogni w ∈ K,allora u = v; si ha infatti che

(u,w) = (v, w)

implica (u− v, w) = 0 per ogni w ∈ K e la tesi si ottiene scegliendo w = u− v.L’applicazione di tale proprietà permette allora di dedurre

PK(αf + βg) = αPK(f) + βPK(g).

+ Se K è un sottospazio chiuso non vuoto di H , l’operatore PK appartiene aL(H,H) e risulta ‖PK‖ = 1; infatti da ‖PK‖ ≤ 1 ricaviamo che

‖PK(f1 − f2)‖ ≤ ‖f1 − f2‖

e ciò implica‖PK(f)‖ ≤ ‖f‖

per ogni f ∈ H; si osserva inoltre che PK(f) = f per ogni f ∈ K, quindi ilvalore

‖PK‖ = supf∈Hf 6=0

‖PK(f)‖‖f‖

= 1

viene raggiunto da tutte le f ∈ K.+ L’operatore PK è un operatore idempotente, ossia P 2

K = PK .

Definizione 1.25. Sia H uno spazio di Hilbert e K ⊆ H non vuoto. Si diceortogonale di K l’insieme

K⊥ = z ∈ H tale che (z, w) = 0 per ogni w ∈ K

1.11 Proiezioni 33

Definizione 1.26. Due vettori z, w si dicono ortogonali se (z, w) = 0.

Proposizione 1.9. L’insieme K⊥ è un sottospazio chiuso di H .

Dimostrazione. K⊥ è sicuramente un sottospazio, in base alla linearità del pro-dotto scalare; se infatti u, v ∈ K⊥ e α, β ∈ R, si ha

(αu+ βv, w) = α(u,w) + β(u,w) = 0.

Verifichiamo la chiusura, cioè che, data una successione un a elementi in K⊥

convergente a u ∈ H , l’elemento u appartiene a K⊥. Per ogni w ∈ K e n ∈ Nsi ha (un, w) = 0 con

|(un − u,w)| ≤ ‖un − u‖ ‖w‖

tendente a zero per n → ∞ perché ‖un − u‖ tende a zero per n → ∞; se nericava che al tendere di n a infinito è

(u,w) = 0

cioè u ∈ K⊥.

Teorema 1.5 (Teorema di decomposizione ortogonale). Sia H uno spazio diHilbert e sia K un suo sottospazio chiuso. Allora H = K ⊕ K⊥ (cioè H èsomma diretta di K e K⊥), ossia per ogni u ∈ H esistono z ∈ K e w ∈ K⊥ taliche u = z + w e tale decomposizione è unica.

Dimostrazione. Sia u ∈ H . PoichéK è chiuso, si può applicare il Corollario 1.2al teorema delle proiezioni, quindi l’elemento z = PK(u) verifica l’uguaglianza

(z, x) = (u, x)

per ogni x ∈ K; analogamente, l’elemento w = u− z verifica l’uguaglianza

(w, x) = (u− z, x) = 0

per ogni x ∈ K e dunque w ∈ K⊥.Per quanto riguarda l’unicità, supponiamo che esistano due decomposizioni di ucome

u = z1 + w1 = z2 + w2;

allora da z1 + w1 = z2 + w2 si ottiene

z1 − z2 = w2 − w1

con z1 − z2 ∈ K e w2 − w1 ∈ K⊥, quindi appartenenti a K ∩ K⊥ = 0; daquesto si deduce che z1 = z2 e w1 = w2, pertanto la decomposizione di u èunica.


Esempio 1.15. Dato lo spazio di Hilbert H = R2 e gli spazi

K = (x1, 0) | x1 ∈ RK⊥ = (0, x2) | x2 ∈ R

(K chiuso), vale la decomposizione K ⊕K⊥. L

Esempio 1.16. Si consideri lo spazio `2 e il sottospazio c00. Quale è il sotto-spazio c00⊥? Data una successione x = (xn) ∈ `2, tale successione è in c00⊥

se∞∑n=1

xnyn = 0

per ogni y ∈ c00; in base alla densità di c00 in `2 si ha c00⊥ = 0. L

1.12 Il teorema di rappresentazione di RieszPassiamo ora a un teorema che riguarda i funzionali lineari e continui su spa-zi di Hilbert. Dato uno spazio di Hilbert H , ci si chiede se lo spazio dualeH ′ = L(H,R) è ancora uno spazio di Hilbert. Fissato un elemento y ∈ H ,l’applicazione x 7→ (x, y) che va da H in R è lineare (grazie alla linearità delprodotto scalare) e continua, ossia

‖(x, y)‖ ≤ ‖x‖ ‖y‖

essendo y fissato in H); si deduce quindi che x 7→ (x, y) è un funzionale linearee continuo, cioè un elemento dello spazio duale H ′.

Teorema 1.6 (Teorema di rappresentazione di Riesz). Sia H uno spazio di Hil-bert. Allora per ogni L ∈ L(H,R) = H ′ esiste ed è unico l’elemento y ∈ Htale che per ogni x ∈ H si ha L(x) = (x, y). Inoltre, vale l’uguaglianza‖L‖H′ = ‖y‖H .

Dimostrazione. Consideriamo l’insieme

N = x ∈ H tale che L(x) = 0

cioè il nucleo del funzionale lineare L. Sicuramente N 6= ∅ perché almeno 0appartiene a N . N è un sottospazio chiuso di H; se infatti xn → x ∈ H exn ∈ N per ogni n, risulta

L(x) = limn→∞

L(xn) = 0.

1.12 Il teorema di rappresentazione di Riesz 35

Se N ≡ H , L è il funzionale nullo, quindi scegliendo y = 0 la tesi del teoremaè immediatamente dimostrata. Se invece N ⊂ H con N non coincidente conH , esiste un elemento z 6= 0 appartenente a N⊥. Cerchiamo ora un elemento ydella forma λz, con λ scalare scelto in modo che sia

L(x) = (x, λz) (1.21)

per ogni x ∈ H . Riscriviamo (1.21) come

L(x)(z, z)

‖z‖2= λ(x, z)

cioèL(x)(z, z)

‖z‖2− λ(x, z) = 0. (1.22)

Come possiamo scegliere λ? È sufficiente che sia

L(x)

‖z‖2z − λx ∈ N

per ogni x, dato che z ∈ N⊥; occorre dunque che

L

(L(x)

‖z‖2z − λx

)= 0.

Per la linearità di L si ha che

L(x)

‖z‖2L(z)− λL(x) = 0

e dunque

λ =L(z)

‖z‖2;

un tale λ soddisfa l’uguaglianza (1.22) per ogni x; l’elemento

y =L(z)

‖z‖2z

verifica allora la proprietà

L(x) = (x, y) per ogni x ∈ H. (1.23)


Dimostriamo ora l’unicità; siano per assurdo y1 e y2 verificanti entrambi lacondizione (1.23), cioè

L(x) = (x, y1) = (x, y2)

per ogni x ∈ H; allora da(x, y1) = (x, y2)

segue(x, y1 − y2) = 0 per ogni x ∈ H.

Scelto x = y1 − y2 si ha ‖y1 − y2‖2 = 0 e quindi y1 = y2.Proviamo infine che ‖L‖H′ = ‖y‖H ; si ha

‖L‖H′ = supx∈Hx 6=0

|L(x)|‖x‖H

= supx∈Hx 6=0

|(x, y)|‖x‖H

≤ supx∈Hx 6=0

‖x‖ ‖y‖‖x‖

≤ ‖y‖H

e‖y‖2H = (y, y) = L(y) ≤ ‖L‖H′ ‖y‖H ,

quindi‖y‖H ≤ ‖L‖H′ ;

deduciamo in tal modo che ‖L‖H′ = ‖y‖H , cioè la tesi.

Osservazione 1.1. Sia H = `2. Ogni funzionale L lineare e continuo si rappre-senta nella forma

L(x) =∞∑n=1

xnyn

con y = (y1, y2, . . . ) fissato in `2.

Osservazione 1.2. Si consideri L2(B) con B ⊆ A, B insieme misurabile. Ognifunzionale L lineare e continuo su L2(B) si rappresenta nella forma

L(f) =

∫B

f(x)g(x)dx

con g fissato in L2(B).

Osservazione 1.3. Il teorema di rappresentazione di Riesz definisce un operatoreR : H ′ → H con R(L) = y dotato delle seguenti proprietà:

• R è lineare: R(α1L1 + α2L2

)è l’elemento z che verifica la relazione

(x, z) =(α1L1 + α2L2

)(x) = α1L1(x) + α2L2(x)

= α1(x, y1) + α2(x, y2) = (x, α1y1 + α2y2)

=(x, α1R(L1) + α2R(L2)

).

1.12 Il teorema di rappresentazione di Riesz 37

• R è continuo e in particolare conserva le norme, ossia

‖R(L)‖H = ‖L‖H′ ;

• R è iniettivo perché N(R) è costituito dal solo funzionale nullo;

• R è suriettivo perché, fissato y ∈ H , il funzionale x 7→ (x, y) è un ele-mento di H ′, cosicchè R è un isomorfismo isometrico tra H ′ e H . Questosi traduce in simboli come

(L1, L2)H′ : =(R(L1), R(L2)

)H.

Osservazione 1.4. Sussiste la decomposizione H = N ⊕N⊥, con dimN⊥ = 1.

CAPITOLO

2

Serie di Fourier

2.1 Serie di Fourier astratteDefinizione 2.1. Dato uno spazio di Hilbert H , un sistema ortonormale al piùnumerabile di H è una famiglia numerabile xn di vettori di H tale che

(xn, xm) =

0 se n 6= m

1 se n = m.

+ Un sistema ortonormale non contiene il vettore nullo dello spazio.

Definizione 2.2. Un sistema ortonormale xn di uno spazio di Hilbert H sidefinisce completo se la condizione

(x, xn) = 0 per ogni n ∈ N

implica necessariamente x = 0.

+ In altre parole, un sistema ortonormale è completo se l’unico vettore ortogo-nale a tutti i vettori del sistema è il vettore nullo.

Esempio 2.1. Una base ortonormale (e1, . . . , en) di Rn è un sistema completo.L

39

40 Serie di Fourier

Esempio 2.2. In `2 (spazio di dimensione infinita) si può considerare il sistemaortonormale completo ejj∈N dove ej è la successione

(0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0, . . . )

(l’elemento 1 è in j-esima posizione) definita da

(ej, ek) =

0 se j 6= k

1 se j = k.

L

Definizione 2.3. Sia H uno spazio di Hilbert e x ∈ H . Dato un sistema ortonor-male ej in H , i numeri reali xi = (x, ej) al variare di j nell’insieme di indici,si dicono coefficienti di Fourier dell’elemento x rispetto al sistema ortonormaleej.

+ Se il sistema ej è completo e x 6= 0, allora necessariamente esiste almenoun coefficiente di Fourier non nullo.

Definizione 2.4. La serie formale∞∑j=1

xjej

in H si dice serie di Fourier dell’elemento x rispetto al sistemaej

.

Si pongono due quesiti: la serie converge in H? Se converge, converge all’ele-mento x? La risposta a entrambe le domande è affermativa e si giunge ad essamediante il teorema di Fischer–Riesz.

2.2 Il teorema di Fischer–RieszTeorema 2.1 (Teorema di Fischer–Riesz). Sia H uno spazio di Hilbert e siaen un sistema ortonormale completo di H . Allora l’applicazione Λ: H → `2

che associa a f ∈ H la successione definita da(x1, x2, . . .

)è un isomorfismo isometrico, cioè è lineare, continua, iniettiva, suriettiva econserva le norme, ossia

‖x‖H =

(∞∑j=1

|xj|2)1/2

= ‖Λ(x)‖`2 .

2.2 Il teorema di Fischer–Riesz 41

+ Il teorema di Fischer–Riesz continua a valere con `2 sostituito da Rn nel casodi uno spazio di dimensione finita, fissando una base canonica in H .Per dimostrare il teorema di Fischer–Riesz sono necessari alcuni risultati preli-minari.

Lemma 2.1. Siano H uno spazio di Hilbert ed en un sistema ortonormale diH; sia inoltre x = (xn) ∈ `2. Allora la serie

∞∑n=1

xnen

converge in H .

Dimostrazione. È sufficiente provare la condizione di Cauchy sulle ridotte dellaserie, cioè ∥∥∥∥∥

(n∑j=1

xjej −m∑j=1

xjej

)∥∥∥∥∥2

H

−−−−→n,m→∞

0;

se infatti è n > m si ha

∥∥∥∥∥n∑

j=m+1

xjej

∥∥∥∥∥2

H

=

(n∑

j=m+1

xjej,n∑

i=m+1

xiei

)

=n∑

i,j=m+1

xixj(ej, ei) =n∑

i=m+1

|xi|2 −−−−→n,m→∞

0.

Teorema 2.2 (Teorema della migliore approssimazione). Sia H uno spazio diHilbert, ϕii∈N un sistema ortonormale di H e f ∈ H . Si ha allora che lasuccessione f : N → R definita da i ∈ N 7→ fi appartiene a `2. Si ha inoltreche per ogni µ = (µi) ∈ `2

0 ≤

∥∥∥∥∥f −∞∑i=1

fiϕi

∥∥∥∥∥2

H

= ‖f‖2H −∞∑i=1

∣∣∣fi∣∣∣2 ≤∥∥∥∥∥f −

∞∑i=1

µiϕi

∥∥∥∥∥2

H

. (2.1)

42 Serie di Fourier

Dimostrazione. Dimostriamo in primo luogo che la successione f appartiene a`2. Si ha per ogni m ∈ N e per ogni µ = (µi) ∈ `2∥∥∥∥∥f −

m∑i=1

µiϕi

∥∥∥∥∥2

H

=

(f −

m∑i=1

µiϕi, f −m∑j=1

µjϕj

)

= ‖f‖2H +m∑

i,j=1

µiµj(ϕi, ϕj)−m∑j=1

µi(f, ϕj)

= ‖f‖2H +m∑i=1

|µi|2 − 2m∑i=1

µifi

= ‖f‖2H −m∑i=1

∣∣∣fi∣∣∣2 +m∑i=1

(∣∣∣fi∣∣∣2 + |µi|2 − 2µifi

)= ‖f‖2H −

m∑i=1

∣∣∣fi∣∣∣2 +m∑j=1

(µi − fi

)2≥ 0. (2.2)

Se µi = fi per ogni i = 1, . . . ,m si ha

m∑i=1

∣∣∣fi∣∣∣2 ≤ ‖f‖2H ;

questo significa che la successione delle ridotte di∞∑i=1

∣∣∣fi∣∣∣2 è monotona e limi-

tata, quindi tale serie converge. Risulta allora∥∥∥f∥∥∥`2

=∞∑i=1

∣∣∣fi∣∣∣2quindi f =

fi

appartiene a `2. Prendendo ora µ = f nella (2.2) e passando allimite perm→∞, si trova l’uguaglianza in (2.1). Altrimenti, passando al limitein (2.2) per µ generico si ha facilmente la seconda disuguaglianza in (2.1).

Segue una conseguenza importante del teorema della migliore approssimazione.

Disuguaglianza di Bessel. Sia H uno spazio di Hilbert e ϕi un sistema orto-normale di H . Per ogni f ∈ H si ha

∞∑i=1

∣∣∣fi∣∣∣2 ≤ ‖f‖2H .

2.2 Il teorema di Fischer–Riesz 43

Dimostrazione. Si applica il teorema della migliore approssimazione.

Teorema 2.3. Sia H uno spazio di Hilbert e ϕi un sistema ortonormale di H .Le seguenti condizioni sono equivalenti:

1) per ogni f ∈ H si ha che

‖f‖2H =∞∑i=1

∣∣∣fi∣∣∣2 =∥∥∥f∥∥∥2

`2(uguaglianza di Bessel-Parseval);

2) ϕi è un sistema ortonormale completo di H;

3) per ogni f ∈ H si ha

f =∞∑i=1

fiϕi;

4) per ogni f, g ∈ H

(f, g)H

=(f , g)`2

=∞∑i=1

figi (identità di Parseval).

Dimostrazione. Dimostriamo innanzitutto che 1) implica 2). Se fi = 0 per ognii, allora f = 0, quindi ‖f‖2`2 = 0 e per l’uguaglianza di Bessel si ha ‖f‖2H = 0,pertanto f = 0; dire che fi = 0 per ogni i implica f = 0 significa dire che ilsistema ortonormale è completo, quindi si è dimostrata la 1).Dimostriamo che 2) implica 3). Consideriamo

g =∞∑i=1

fiϕi ∈ H;

per ogni j ∈ N si ha(g, ϕj) = gj = fj.

Osserviamo che un sistema ortonormale ϕi è completo se

(f, ϕi) = fi = 0 per ogni i

implica f = 0, quindi se e solo se – date f e g – la relazione fi = gi per ognii ∈ N implica f = g. Poiché per ipotesi il sistema è completo, si ha f = g equindi la tesi

f =∞∑i=1

fiϕi.

44 Serie di Fourier

Dimostriamo che 3) implica 4). Per ogni f, g ∈ H si ha

(f, g)H =

(∞∑i=1

fiϕi,

∞∑k=1

gkϕk

)H

=∞∑i=1

∞∑k=1

figk(ϕi, ϕk)

=∞∑i=1

figi = (f , g)`2 .

Dimostriamo infine che 4) implica 1). Per ogni f, g ∈ H si ha per ipotesi

(f, g)H = (f , g)`2 ;

scegliendo g = f si ha

‖f‖2H =∥∥∥f∥∥∥2

`2

e questo equivale ad affermare che per ogni f ∈ H

‖f‖2H =∞∑i=1

∣∣∣fi∣∣∣2cioè la 1).

Segue ora la dimostrazione del Teorema 2.1 (di Fischer–Riesz).

Dimostrazione. Per comodità di notazione scriviamo (Λf)i = fi. Proviamo lasuriettività di Λ; a tal fine, per ogni µ ∈ `2 cerchiamo un f tale che

(Λf)i = µi per ogni i ∈ N.

Scelto

f =∞∑i=1

µiϕi

si ha(f, ϕj) = fj = µj

dunque(Λf)i = µi

per ogni i ∈ N, cosicché la suriettività è provata. Per provare l’iniettività deveaversi che, dati f, g ∈ H , la relazione (Λf)i = (Λg)i per ogni i ∈ N implicaf = g; basta ricordare che per ipotesi ϕi è un sistema ortonormale completo,cioè fi = gi per ogni i ∈ N per ottenere f = g. Infine, l’applicazione Λ conservale norme perché vale l’uguaglianza di Bessel

‖f‖2H =∥∥∥f∥∥∥2

`2= ‖Λ(f)‖2`2 .

2.3 Ortonormalizzazione 45

2.3 OrtonormalizzazioneDefinizione 2.5. Sia H uno spazio di Hilbert e S un sottoinsieme di H . Sidefinisce

span(S) =

m∑k=1

akxk : ak ∈ R, xk ∈ S

l’insieme delle combinazioni lineari finite di elementi di S.

Definizione 2.6. SiaH uno spazio di Hilbert e S un sottoinsieme diH . S si dicelinearmente indipendente se ogni suo sottoinsieme finito è costituito da elementilinearmente indipendenti.

Teorema 2.4 (Teorema di ortonormalizzazione di Schmidt). Sia H uno spaziodi Hilbert e

x1, . . . , xk, . . .

una famiglia numerabile di elementi linearmente

indipendenti di H . Allora esiste un sistema ortonormale w1, . . . , wk tale che

1. spanx1, . . . , xn = spanw1, . . . , wn per ogni n ∈ N;

2. spanx1, . . . , xn, . . . = spanw1, . . . , wn, . . . .

Dimostrazione. Costruiamo un sistema ortogonale yn con

y1 = x1,

yn+1 = xn+1 −n∑j=1

(xn+1, yj)

‖yj‖2yj per n ≥ 1.

Dimostriamo in primo luogo, per induzione, che

yn 6= 0 per ogni n ∈ N. (2.3)

Si ha y1 6= 0 perché x1 ∈ x1, . . . , xk, . . . è un sistema linearmente indipen-dente. Supposto vero per ogni n ∈ N che yn 6= 0, se per assurdo fosse yn+1 = 0dovrebbe aversi

xn+1 =n∑j=1

(xn+1, yj)

‖yj‖2yj,

con yj combinazione lineare degli xj , ma questo è contro l’ipotesi di xksistema linearmente indipendente; è così dimostrata la (2.3).Dimostriamo adesso, sempre per induzione, che

(yi, yj) = 0 se i 6= j. (2.4)

46 Serie di Fourier

Si ha

(y1, y2) =

(y1, x2 −

(x2, y1)

‖y2‖2y1

)= (y1, x2)− (x2, y1)

(y1, y1)

‖y1‖2= 0;

supposto vero che per ogni k ∈ N con k ≤ n e per ogni j ∈ N con j ≤ n, j 6= ksi ha

(yk, yj) = 0

e allora risulta

(yk, yn+1) =

(yk, xn+1 −

n∑j=1

(xn+1, yj)

‖yj‖2yj

)

= (yk, xn+1)−n∑j=1

(xn+1, yj)

‖yj‖2(yk, yj)

= (yk, xn+1)−(xn+1, yk)

‖yk‖2(yk, yk) = 0

cosicché la (2.4), unita alla (2.3), dimostra che il sistema yk è ortogonale.Scegliendo

wk =yk‖yk‖

si ha ‖wk‖ = 1 per ogni k ∈ N e wk ortogonale, quindi il sistema wk èortonormale.Osserviamo infine che i vettori yj (j = 1, . . . , n) sono combinazione linearedegli xj per j = 1, . . . , n così come gli xj sono ottenibili come combinazionelineare degli yj , quindi

spanx1, . . . , xn = spany1, . . . , yn = spanw1, . . . , wn

e da ciò si deduce che anche

spanx1, . . . , xk, . . . = spanw1, . . . , wk, . . . .

Teorema 2.5. Sia H uno spazio di Hilbert e ϕin∈N un sistema ortonormale inH . Allora sono equivalenti le seguenti affermazioni:

1) ϕnn∈N è completo;

2) spanϕi, i ∈ N = H (densità di spanϕi in H).

2.3 Ortonormalizzazione 47

Dimostrazione. Dimostriamo che 1) implica 2). La tesi richiede che per ognif ∈ H esiste una successione fn ∈ spanϕi tale che fn → f per n → ∞.Dall’ipotesi di completezza del sistema ϕi si può scrivere ogni funzione fcome

f =∞∑i=1

fiϕi;

poiché si ha

f = limn→∞

n∑k=1

fkϕk = limn→∞

fn

e

fn =n∑k=1

fkϕk ∈ spanϕi per ogni n

si deduce la 2).Mostriamo che 2) implica 1). La tesi sancisce che per ogni f ∈ H tale che(f, ϕn) = 0 per ogni n ∈ N, si ha f = 0. Poiché spanϕi, i ∈ N = H e ungenerico x ∈ H può essere rappresentato come

x = limn→∞

n∑k=1

akϕk,

conn∑k=1

akϕk ∈ spanϕi, allora se (f, ϕi) = 0 per ogni i e dunque

(f,

n∑k=1

akϕk

)= 0,

passando al limite per n→∞ si ha – per la continuità del prodotto scalare – che

(f, x) = 0

e, dato che questo vale per ogni x ∈ H , si ottiene f = 0.

Definizione 2.7. Sia X uno spazio normato. X si dice separabile se esiste unsottoinsieme U di X numerabile e denso in X (cioè numerabile e tale che U =X).

Esempio 2.3. `2 è uno spazio normato separabile; basta considerare

U = combinazioni inebri finite di en a coefficienti razionali,

dove en = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . ) e l’elemento 1 occupa l’n-esima posizione. L

48 Serie di Fourier

+ Tutti gli spazi normati di dimensione finita sono separabili.

Proposizione 2.1. Sia X uno spazio normato di dimensione infinita. Allora leseguenti proposizioni sono equivalenti:

1) X è separabile;

2) esiste V ⊂ X numerabile tale che span(V ) = X;

3) esiste W ⊂ X numerabile e linearmente indipendente con la proprietàspan(W ) = X .

Dimostrazione. È immediato osservare che 3) implica 2). D’altra parte, si di-mostra facilmente che 2) implica 3) selezionando da V un sottoinsieme W li-nearmente indipendente.Dimostriamo che 1) implica 2). Per ipotesi lo spazio X è separabile, quindiesiste un sottoinsieme U di X numerabile tale che U = X . Posto

U = u1, u2, . . . , uk, . . .

sia V = U ; allora

X = U ⊆ span(U) = span(V ) ⊂ X

quindi span(V ) = X .Dimostriamo che 2) implica 1). Cerchiamo U ⊂ X numerabile e denso in X .Sia

H =

m∑i=1

qivi | m ∈ N, qi ∈ Q, vi ∈ V

dove V = v1, v2, . . . , vk, . . . ⊂ X; l’insiemeH è numerabile.

Teorema 2.6. Sia H uno spazio di Hilbert di dimensione infinita. H ammettel’esistenza di un sistema ortonormale completo ϕii∈N in H se e solo se H èseparabile.

Dimostrazione. La chiusura di spanϕn in H coincide con H , pertanto l’insie-me spanϕn è denso in H , cioè H è separabile. Viceversa, se H è separabileesiste un sottoinsieme S ⊆ H numerabile linearmente indipendente e denso inH tale che span(S) = H . A partire da S, utilizzando il teorema di ortonormaliz-zazione, si può costruire un sistema ortonormale ϕn che sarà necessariamentecompleto grazie alla densità di S.

Esempio 2.4. Sia Lp(Ω) con Ω sottoinsieme aperto di Rn:

2.4 Serie trigonometriche 49

• se 1 ≤ p < +∞, l’insieme Lp(Ω) è separabile;

• se p = +∞ l’insieme Lp(Ω) non è separabile. L

Esempio 2.5. SeK è un compatto di Rn, lo spazio normato C0(K) è separabile.L

2.4 Serie trigonometricheIntroduciamo adesso degli importanti spazi che godono delle proprietà espostenei precedenti paragrafi.

2.4.1 Gli spazi Lp(T)

Lo spazio funzionale Lp(T) è costituito dalle funzioni f : R → C misurabili, diperiodo 2π e con |f |p integrabile in (−π, π); in base alla periodicità di tali fun-zioni, è sufficiente che la funzione |f |p sia integrabile in un qualunque intervallodi lunghezza 2π.Un altro spazio da tenere presente è C0(T), costituito dalle funzioni f : R → Ccontinue e periodiche di periodo 2π. Nello spazio Lp(T) si introduce la norma

‖f‖p =

(1

2π

∫ π

−π|f(t)|p dt

)1/p

mentre in C0(T) si considera la norma

‖f‖∞ = supt∈R|f(t)| .

Gli spazi Lp(T) e C0(T) sono spazi di Banach complessi. Lo spazio L2(T), inparticolare, è uno spazio di Hilbert rispetto al prodotto scalare definito da

(f, g)L2(T) =1

2π

∫ π

−πf(t)g(t)dt.

Proposizione 2.2. Valgono le seguenti inclusioni:

• C0(T) ⊂ Lp(T);

• Lp(T) ⊂ Lq(T) se p > q

con

• ‖f‖p ≤ ‖f‖∞ per ogni f ∈ C0(T);

50 Serie di Fourier

• ‖f‖q ≤ ‖f‖p per ogni f ∈ Lp(T), se p > q.

Dimostrazione. Se f ∈ C0(T), allora si ha f ∈ Lp(T) per ogni p e vale (per ladisuguaglianza di Hölder)

‖f‖p =

(1

2π

∫ π

−π|f(t)| dt

)1/p

≤

(1

2π

∫ π

−π‖f‖∞ dt

)1/p

= ‖f‖∞ .

Osserviamo poi che se p > q vale l’inclusione Lp(T) ⊂ Lq(T) quindi

‖f‖1 =1

2π

∫ π

−π|f(t)| dt ≤

(1

2π

∫ π

−π|f(t)|2 dt

)1/2(∫ π

−πdt

)1/2

=1√2π

(1

2π

∫ π

−π|f(t)|2 dt

)√

2π = ‖f‖2 .

Proposizione 2.3. Lo spazio C0(T) è denso in Lp(T) per ogni p ∈ [1,+∞).

Preso un qualunque elemento f ∈ Lp(T) esiste una successione di funzionifn ∈ C0(T) tale che fn → f in Lp(T). Lo spazio L2(T) è di Hilbert rispetto alprodotto scalare (·, ·)L2(T).

2.4.2 Polinomi e serie trigonometricheRicordiamo innanzitutto la relazione di Eulero

eikt = cos(kt) + i sin(kt).

Sia data la famigliaeiktk∈Z

delle funzioni a valori complessi periodiche di

periodo 2π; sono funzioni appartenenti a C0(T) e quindi contenute in tutti gliLp(T). Si ha

∣∣eikt∣∣ = 1 per ogni t ∈ R.Un sistema ortonormale in L2(T) è dato proprio da queste funzioni:

(eikt, eint

)=

1

2π

∫ π

−πeikteintdt =

1

2π

∫ π

−πei(k−n)tdt =

1 se k = n

0 se k 6= n

Un polinomio trigonometrico si rappresenta come

n∑k=−n

akeikt. (2.5)


Definizione 2.8. Una serie trigonometrica è una serie di funzioni

∞∑k=−∞

akeikt

dove akk∈Z si dice successione dei coefficienti.

La convergenza di una serie trigonometrica va intesa nel senso seguente: la serietrigonometrica converge in . . . se la successione dei polinomi trigonometrici in(2.5) converge in . . . per n→∞.Data una funzione f ∈ L2(T), i coefficienti di Fourier di f sono dati da

fk = (f(t), eikt) =1

2π

∫ π

−πf(t)e−iktdt

e la corrispondente serie di Fourier è

+∞∑k=−∞

fkeikt =

+∞∑k=−∞

1

2π

∫ π

−πf(s)eik(t−s)ds

(si può anche parlare di polinomi di Fourier per la f ). Si ha inoltre∣∣f(t)e−ikt∣∣ = |f(t)|

A norma delle relazioni di Eulero, una serie di Fourier+∞∑

k=−∞

akeiktsi può scrivere

come

a0 ++∞∑

k=−∞

ak [cos(kt) + i sin(kt)]

= a0 ++∞∑k=1

[(ak + a−k) cos(kt) + i(ak − a−k) sin(kt)]

I polinomi trigonometrici si riscrivono allora come

a0 +n∑k=1

Ak cos(kt) +Bk sin(kt)

dove Ak = (ak + a−k) e Bk = i(ak − a−k). La convergenza di una serietrigonometrica è quindi la convergenza della serie di seni e coseni con le ridotte

52 Serie di Fourier

appena scritte e i cui coefficienti sono dati da

a0 =1

2π

∫ π

−πf(t)dt

Ak =1

π

∫ π

−πf(t) cos(kt)dt

Bk =1

π

∫ π

−πf(t) sin(kt)dt

2.4.3 Serie di seni e coseni

Data una funzione f : R→ C, consideriamo le ridotte della serie trigonometrica

Ak =1

π

∫ π

−πf(t) cos(kt)dt,

Bk =1

π

∫ π

−πf(t) sin(kt)dt.

Presentano qualche interesse i seguenti tre casi:

1. se f è a valori reali, i coefficienti di Fourier rispetto ai seni e ai coseni sonotutti reali;

2. se f è pari, si ottiene una serie di soli coseni;

3. se f è dispari, si ottiene una serie di soli seni.

2.4.4 Il nucleo di Dirichlet

Definizione 2.9. Siano date f, g ∈ L2(T). Si definisce prodotto di convoluzionedelle funzioni f e g la funzione

(f ∗ g)(t) =1

2π

∫ π

−πf(s)g(t− s)ds =

(f, g(t− · )

)Se una delle due funzioni è un polinomio trigonometrico, ad esempio

p(t) =n∑

k=−n

akeikt


il prodotto di convoluzione con una qualunque funzione f di L2(T) è ancora unpolinomio trigonometrico; si ha infatti

(p ∗ f)(t) =1

2π

∫ π

−πf(s)p(t− s)ds =

1

2π

∫ π

−πf(s)

n∑k=−n

akeik(t−s)ds

=n∑

k=−n

akeikt 1

2π

∫ π

−πf(s)e−iksds =

n∑k=−n

akfkeikt

La funzione

Dn(t) =n∑

k=−n

eikt (n ∈ N)

si dice nucleo di Dirichlet. La successione

(Dn ∗ f)(t) =n∑

k=−n

fneikt

fornisce i polinomi di Fourier di f . Ci chiediamo se tali polinomi convergono inL2(T) a f stessa, e a ciò si risponderà nel prossimo paragrafo.

2.4.5 Il nucleo di FejérLa media aritmetica dei primi n+ 1 nuclei di Dirichlet

Kn =D0 +D1 + · · ·+Dn

n+ 1

si dice nucleo di Fejér. La convoluzione di Kn con f dà(Kn ∗ f

)=

1

n+ 1

(n∑j=0

(Dj ∗ f

))(t) =

1

n+ 1

(n∑j=0

j∑k=−j

fkeikt

).

Per il nucleo di Fejér valgono le seguenti proprietà:

1)

Kn(t) =n∑

j=−n

(1− |j|

n+ 1

)eijt, t ∈ R;

2)

Kn(t) =

1

n+ 1

sin2

(n+ 1

2t

)

sin2

(t

2

) se t 6= 2kπ (k ∈ Z)

n+ 1 se t = 2kπ (k ∈ Z)

;

54 Serie di Fourier

3) Kn ∈ C∞(R), Kn(t) ≥ 0 per ogni t ∈ R;

4) Kn(t) = Kn(−t) per ogni t ∈ R;

5)1

2π

∫ π

−πKn(t)dt = 1;

6) per ϑ ∈ (0, π) si ha

0 ≤ Kn(t) ≤ 1

(n+ 1) sin2

(ϑ

2

) per ogni t ∈ [ϑ, π],

e dunque Kn tende a 0 uniformemente nell’insieme [−π,−ϑ] ∪ [ϑ, π].

Teorema 2.7. Se f ∈ C0(T) allora Kn ∗ f tende a f in C0(T), cioè uniforme-mente.

Dimostrazione. Scriviamo

(Kn ∗ f)(t)− f(t) =1

2π

∫ π

−πKn(τ)f(t− τ)dτ − 1

2π

∫ π

−πKn(τ)f(t)dτ

=1

2π

∫ π

−πKn(τ)(f(t− τ)− f(t))dτ.

Osserviamo che Kn(s) = Kn(−s); e pertanto con cambio di variabile τ = −ssi ha

1

2π

∫ 0

−πKn(τ)(f(t− τ)− f(t))dτ =

1

2π

∫ π

0

Kn(s)(f(t+ s)− f(t))ds;

scindiamo l’integrale, ottenendo

(Kn ∗ f)(t)− f(t) =1

2π

∫ π

−πKn(τ)(f(t− τ)− f(t))dτ

=1

2π

∫ 0

−πKn(τ)(f(t− τ)− f(t))dτ +

1

2π

∫ π

0

Kn(τ)(f(t− τ)− f(t))dτ

=1

π

∫ π

0

Kn(τ)

(f(t+ τ) + f(t− τ)

2− f(t)

)dτ.

Si ha dunque

|(Kn ∗ f)(t)− f(t)| ≤ In(ϑ) + Jn(ϑ) per ϑ ∈ (0, π),


dove

In(ϑ) =1

π

∫ ϑ

0

Kn(τ)

∣∣∣∣f(t+ τ) + f(t− τ)

2− f(t)

∣∣∣∣ dτJn(ϑ) =

1

π

∫ π

ϑ

Kn(τ)

∣∣∣∣f(t+ τ) + f(t− τ)

2− f(t)

∣∣∣∣ dτ.Dato ε > 0, per l’uniforme continuità di f si trova ϑ ∈ (0, π) tale che |τ | ≤ ϑimplica ∣∣∣∣f(t+ τ) + f(t− τ)

2− f(t)

∣∣∣∣ ≤ ε per ogni t ∈ R.

Per l’ultima delle proprietà di Kn, dato ϑ si riesce a trovare n ∈ N tale che perogni n ≥ n

|Kn(τ)| ≤ ε per ogni τ ∈ (ϑ, π).

Abbiamo

0 ≤ In(ϑ) ≤ ε

π

∫ ϑ

0

Kn(τ)dτ ≤ ε

π

∫ π

0

Kn(τ)dτ =ε

2π

∫ π

−πKn(τ)dτ = ε

dove l’ultima uguaglianza vale per la parità di Kn. Per quanto riguarda Jn,abbiamo

0 ≤ Jn(ϑ) ≤ ε

π

∫ π

ϑ

∣∣∣∣f(t+ τ) + f(t− τ)

2− f(t)

∣∣∣∣ dτe

Jn(ϑ) ≤ ε

2π

∫ π

ϑ

|f(t+ τ)− f(t)| dτ +ε

2π

∫ π

ϑ

|f(t− τ)− f(t)| dτ

≤ ε

2π

∫ π

0

|f(t+ τ)− f(t)| dτ +ε

2π

∫ π

0

|f(t− τ)− f(t)| dτ

=ε

2π

∫ t+π

t

|f(s)− f(t)| ds+ε

2π

∫ t

t−π|f(s)− f(t)| ds

=ε

2π

∫ t+π

t−π|f(s)− f(t)| ds ≤ ε

(1

2π

∫ π

−π|f(s)| ds+ |f(t)|

)

≤ ε

(‖f‖1 + ‖f‖∞

)≤ 2ε ‖f‖∞ ;

questo implica che

|(Kn ∗ f)(t)− f(t)| ≤ In(ϑ) + Jn(ϑ) ≤ ε(1 + 2 ‖f‖∞)

e quindi Kn ∗ f → f in C0(T).

56 Serie di Fourier

Corollario 2.1. La famiglia dei polinomi trigonometrici è densa in C0(T) ri-spetto alla metrica di C0(T).

Teorema 2.8. La famiglia di funzionieikt

con k ∈ Z costituisce un sistemaortonormale completo per lo spazio di Hilbert L2(T).

Dimostrazione. Il sistema ortonormale eiktk∈Z è completo se e solo se

span(eikti∈Z) = L2(T).

Per ogni f ∈ L2(T), dato ε > 0 occorre trovare una funzione

g ∈ spaneikti∈Z tale che ‖f − g‖2 ≤ ε.

Lo spazio C0(T) è denso in L2(T) a norma della Proposizione 2.3. Data f ∈L2(T), troviamo una h ∈ C0(T) tale che ‖f − h‖2 ≤ ε/2. Ora, per questah ∈ C0(T), servendoci del Teorema 2.7 troviamo un polinomio trigonometricog tale che ‖h− g‖∞ ≤ ε/2. Poiché si ha

‖u‖2 ≤ ‖u‖∞

per ogni u ∈ C0(T), si ricava facilmente

‖f − g‖2 ≤ ‖f − h‖2 + ‖h− g‖2 ≤ ‖f − h‖2 + ‖h− g‖∞ ≤ ε.

Esempio 2.6. Sia H = L2(T). Il sistema eikt è un sistema ortonormale com-pleto, infatti ogni f ∈ L2(T) si può scrivere come somma della sua serie diFourier rispetto al sistema eikt. Si ha

Dn ∗ f =n∑

j=−n

fjejn→∞−−−→ f

nel senso di L2(T). In modo analogo si può dimostrare che il sistema

1, sin kt, cos kt

è un sistema ortogonale e completo. L

Bibliografia

[1] Haim Brezis. Analisi funzionale. Liguori, 1986.

[2] G. Gilardi. Analisi matematica di base. McGraw-Hill, 2001.

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