Corrente di spostamento ed equazioni di Maxwell

n  Corrente di spostamento n  Modifica della legge di Ampere n  Equazioni di Maxwell n  Onde elettromagnetiche

Corrente di spostamento

n  La legge di Ampere e` inconsistente con la legge di conservazione della carica elettrica

!!"!B = µ0

!J

!! "!J = # $!

$t!! "!!#!B( ) = 0 sempre

!! "!J = 0 solo per correnti stazionarie

Corrente di spostamento n  Maxwell: l’equazione di continuita` della

carica elettrica deve valere sempre

!! "!J = # $!

$t! = "0

!! "!E

(a rigore vale nel solo caso elettrostatico)

!! "!J = #!0

!! "

$!E$t!!" #!J +!0

$!E$t

%

&'

(

)* = 0

Corrente di spostamento n  La corrente totale da considerare e`

!J +!0

!!E!t

!JS ! !0

"!E"t

n  Maxwell predisse che le variazioni nel tempo di un campo elettrico, anche in assenza di correnti di conduzione, avrebbero generato un campo magnetico

Corrente di spostamento

n  Se in un punto dello spazio la corrente di conduzione e` zero, ma esiste un campo magnetico il cui rotore e` dato da

!!E!t

" 0 #

!!"!B = µ0!0

#!E#t

Legge di Ampere-Maxwell

n  La legge di Ampere e` modificata in

!!"!B = µ0

!J +!0

#!E#t

$

%&

'

()

non associata a moto di cariche

Legge di Ampere-Maxwell

n  La legge di Ampere e` modificata in

!!"!B = µ0

!J +!0

#!E#t

$

%&

'

()

n  1887: Hertz compie esperimenti che dimostrano l’esistenza di onde elettromagnetiche, previste dalle nuove equazioni

Forma integrale

!B !d!l"" = µ0

!J +!0

#!E#t

$

%&

'

()" !!ndA = µ0 i + is( )

µ0iS = µ0!0!!E!t

"!ndA# = µ0!0

!"(!E)

!t

µ0iS ! 1.1 !10"17 #$(

"E)

#t V /ms

e` necessaria una variazione molto rapida nel tempo del campo elettrico

Corrente di spostamento

n  Durante il processo di carica si accumula la cairca dq su una armatura e viene prelevata la carica –dq dall’altra

n  Le correnti corrispondenti sono i=dq/dt entrante e i=-(-dq/dt)=dq/dt uscente

n  Si puo` usare la legge di Ohm, ma tra le armature non c’e` corrente di conduzione

n  Il flusso della densita` di corrente attraverso una superficie che racchiude entrambe le armature e` nullo (se le derivate rispetto al tempo non sono troppo grosse) come se ci fosse continuita`

Corrente di spostamento !B !d!l = i

C ("1 )"# =

dqdt

!B !d!l =

C ("2 )"#

!B !d!l

C ("1 )"#

! = !1 + !2

1Σ 2Σ

i

=!"2(!J ) = 0

poggia sullo stesso contorno

!J non e` solenoidale

Corrente di spostamento ! = !1 + !2

1Σ 2Σ

in  Il termine di corrente di spostamento risolve la contraddizione

n  Oltre alla corrente di conduzione i esiste un campo elettrico E che varia nel tempo tra le armature (supponiamo solo li’)

!J1 =

!J +!JS =

!J

!J1 =

!J +!JS = !0

!!E!t

!J +!JS e ̀solenoidale

i due flussi devono essere uguali

Equazioni di Maxwell n  Nel vuoto, in presenza di cariche e correnti di

conduzione distribuite con densita` ρ e J le equazioni che descrivono i campi elettrico e magnetico per fenomeni sia stazionari che dipendenti dal tempo sono:

!! "!E = !

"0 !!#!E = $ %

!B%t

!! "!B = 0

!!#!B = µ0

!J +µ0!0

%!E%t

Equazioni di Maxwell n  Nel vuoto, in regioni in cui sono assenti cariche e correnti

di conduzione si ha:

!! "!E = 0

!!#!E = $ %

!B%t

!! "!B = 0

!!#!B = µ0!0

%!E%t

Equazioni di Maxwell

n  Realizzano la sistemazione e unificazione dei fenomeni elettrici e magnetici

n  In generale campi elettrici e magnetici non possono essere zero simultaneamente, sono descrivibili come aspetti di un’unica interazione fondamentale legata all’esistenza della carica elettrica

n  Le equazioni di Maxwell sono invarianti per trasformazioni di Lorentz: non e` possibile stabilire il proprio stato di moto inerziale attraverso esperimenti di elettromagnetismo

Equazione delle onde (d’Alembert)

!2 f!x2

"1v2!2 f!t 2

= 0

f (t, x) = A!1(x " v t)+ B! 2(x + v t)

quantita` che si propaga lungo l’asse x positivo con velocita` v

quantita` che si propaga lungo l’asse x negativo con velocita` v

supponiamo B=0 (condizioni al contorno e iniziali)

Equazione delle onde (d’Alembert)

!(t " xv) fissato t-x/v la funzione ha un valore

costante

t ! xv" t̂ # x = v(t ! t̂ ) perturbazione che si muove con

velocita` v=dx/dt

analogamente Ψ(t+x/v) descrive una perturbazione che si muove con velocita` -v

Onde elettromagnetiche

n  Si possono derivare le equazioni delle onde per i campi elettrico e magnetico direttamente dalle equazioni di Maxwell o dalla equazione delle onde per i potenziali

!!E "µ0!0

#2!E

#t 2= 0 !

!B "µ0!0

#2!B

#t 2= 0

Onde elettromagnetiche

n  Si possono derivare le equazioni delle onde per i campi elettrico e magnetico direttamente dalle equazioni di Maxwell o dalla equazione delle onde per i potenziali

!!E " 1

c2#2!E

#t 2= 0 !

!B " 1

c2#2!B

#t 2= 0

c = 1µ0!0