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Prof. Francesco RagusaUniversità degli Studi di Milano

Anno Accademico 2017/2018

Elettromagnetismo

FerromagnetismoEquazioni di Maxwell nella materia

Esempi

Lezione n. 32 – 8.05.2018

Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 303

Il campo H• Calcoliamo la divergenza di H

• Otteniamo

• La condizione sulla componente tangenziale si ottiene come nel caso di B

• Per la componente normale calcoliamo il flusso di Hattraverso la superficie di un cilindro di altezza trascurabile• Abbiamo

• Contribuiscono solo le superfici circolari A

0μ= −

BH M

0μ⋅

⋅ = − ⋅B

H M∇∇ ∇

⋅ = − ⋅H M∇ ∇

fK

L

1H

2H

fC S

d d⋅ = ⋅∫ ∫H l J a

1t 2t fH H K− =

f× =H J∇

fK

A1H

2H

⋅ = − ⋅H M∇ ∇ ˆ ˆS S

da da⋅ = − ⋅∫ ∫H n M n

( )sopra sotto sopra sotto⊥ ⊥ ⊥ ⊥− = − −H H M M

1M

2M


Esempio: solenoide con nucleo• Consideriamo un lungo solenoide avvolto su un materiale lineare con suscettività χm

• Le spire per unità di lunghezza sono n• La corrente è I• Per la simmetria del problema le linee delcampo H sono parallele all'asse del cilindro• Il campo è nullo all'esterno• Utilizzando la legge di Ampère con il camminoin figura (la corrente esce dal piano)

• Usando la permeabilità del mezzo• Osserviamo che nel vuoto si ha B = μ0nI• L'effetto del mezzo è di generare un campo della stessa forma dovuto a una corrente χmnI

• La magnetizzazione è• Pertanto la corrente di magnetizzazione genera il campo magnetico aggiuntivo• Se il materiale è paramagnetico il campo è più intenso• Se il materiale e diamagnetico il campo è meno intenso

fC

i=∫ H

l

nlI= H l= H nI=

H

( )0 m1B Hμ χ= + ( )0 m1 nIμ χ= +

mχ=M H ˆ= ×K M n mK nIχ=


Ferromagnetismo• Abbiamo già dato le caratteristiche essenziali delle forze nei materiali ferromagnetici• Facendo riferimento alle misure con il solenoide• La forza è attrattiva e molto intensa• La forza dipende linearmente dalla corrente• La forza dipende solo dal gradiente del campo

• La forza si calcola utilizzando la formula

• Per i materiali diamagnetici e paramagnetici abbiamo visto che m ∼ B• La dipendenza lineare della forza dalla corrente (dal gradiente del campo)

nel caso dei materiali ferromagnetici indica che m non varia più con B• Si è raggiunto un limite di saturazione nell'allineamento dei dipoli magnetici• La forza è attrattiva e quindi i dipoli si allineano nella direzione del campo• Infine osserviamo che i materiali ferromagnetici possono essere magnetizzati

anche in assenza di campo• È importante notare che il fenomeno dipende dalla temperatura• In particolare il ferromagnetismo scompare al di sopra di una certa

temperatura caratteristica per ogni sostanza (Temperatura di Curie Tc )

F

( )= ⋅F m B∇


Il campo di un magnete permanente• Consideriamo un cilindro di materiale uniformemente polarizzato• Non ci sono correnti di magnetizzazione

all'interno dato che JM = ∇×M = 0• Le correnti superficiali sono date da

• Non ci sono correnti superficiali sulle basi del cilindro:• C'è una corrente sulla superficie laterale:• Il campo magnetico generato dalla corrente superficiale è quello generato da un solenoidedi lunghezza finita

• Osserviamo che B e M non sono paralleli• Inoltre• Neppure H e M sono paralleli• Evidentemente non è solo B a determinarea determinare la direzione dei dipoli

M

ˆ= ×K M n

n̂

ˆ 0× =M n

n̂

K

K M=

( ) ( )0

4da

μπ

′′=

′−∫K r

A rr r

0/ μ= −H B M0/ μB

M

H


Ferromagnetismo• È interessante interpretare numericamente i dati della tabella, diapositiva• 1 Kg di ferro subisce una forza di 4000 N con ∂B/∂z = 17 T/m

• La magnetizzazione corrispondente al momento magnetico m è

• Questo è il massimo valore della magnetizzazione del ferro (saturazione)• Abbiamo anche detto che m = NμB

• Dato che nel ferro ci sono circa 1×1029 atomi/m3 concludiamo che ogni atomo contribuisce con due elettroni

945253

( )= ⋅F m B∇ BF m

z∂

→ =∂

4000235J / T

17m = =

m MV=( )31KgKg/ m

Vρ

=m

MV

=1Kg

mρ

= 37800 Kg mρ −=

3

J 1235 7800

T mM = ⋅

NB: 1 Kg

63

J 11.83 10

T m= ×

6

2924

1.83 102 10

9.3 10N

−

×= ≈ ×

×Elettroni per m3


Ferromagnetismo• Il fenomeno che stiamo descrivendo è molto complesso• Diamo adesso alcune spiegazioni qualitative• Per motivi connessi alla struttura quantistica dell'atomo di ferro due elettroni di atomi adiacenti si trovano in uno stato energeticamente conveniente quando i loro spin sono allineati• Questa circostanza tende ad allineare gli spin di tanti atomi• Si tratta di un fenomeno collettivo

• La direzione in cui si allineano è casuale• In realtà la simmetria del reticolo impone alcune direzioni• Alcune sono più favorite di altre

• L'allineamento dei momenti magnetici avviene in regioni macroscopiche chiamate domini

• https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=2172444


Ferromagnetismo• È possibile vedere i domini al microscopio• Microscopi basati sull'effetto Kerr• Riflessione della luce da superfici magnetizzate• Nella foto i domini magnetici sonole strisce chiare e scure

• Se il campo esterno cresce i domini si allineano• Succede anche che si modificano i

confini dei domini• L'animazione mostra l'evoluzione deidomini al crescere dell'intensità di uncampo esterno entrante nello schermo• Le regione bianche indicano una

magnetizzazione uscente • Le regioni scure magnetizzazione

entrante• © By Zureks, Chris Vardon - Own work, CC BY-SA 3.0,

https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=5154811


Esempio: toroide con nucleo• Consideriamo un toroide avvolto intorno ad un nucleodi materiale con permittività magnetica μ = (1+χm)μ0

• Il numero di spire è N, la corrente I• Le linee del campo H sono delle circonferenze• Utilizziamo la legge di Ampère per il campo H• Consideriamo un circonferenza C di raggio r

• Il campo B e la magnetizzazione M sono

• Le densità superficiale di corrente nei punti r = r1 e r = r2 è differente• La corrente di magnetizzazione è ovviamente costante: im = K 2πr = χmNI

NI= 2H rπ= ( )2NI

H rrπ

=fC

i=∫ H H

r

B Hμ=0

BM H

μ= − 0

0

Hμ μμ−

=

0m

0

μ μχ

μ−

=

1r

2rm 2NI

Kr

χπ

=m 2NI

Mr

χπ

=


Curva di magnetizzazione• Supponiamo adesso che il nucleo sia ferromagnetico• Studiamo sperimentalmente la curva di magnetizzazione• Per ogni valore di I conosciamo H• Con uno strumento adatto (sonda Hall) misuriamo B• Possiamo anche determinare μ = B/H• Potremmo ottenere un grafico del genere• Osserviamo che le due scale hanno unità diverse• Se nel toroide non ci fosse il ferro B = μ0 H• H ≈ 300 A/m → B = μ0 H = 4×10−4 T• Invece B ≈ 1.3 T, circa 3000 volte

più intenso• Dato che B = μ0 (H + M) e dato cheμ0 H è piccolissimo, il campo B èpraticamente dovuto tutto alla magnetizzazione del ferro• Orientamento dei domini• Osserviamo che si raggiunge un regimein cui la magnetizzazione cresce più lentamente• Si raggiunge una saturazione

B

μ/μ0

1.6

1.2

0.8

0.4

0.00 200 400 600 800

1000

0

2000

3000

4000

5000

6000

1000H, amp/m

B, T

μ/μ

0


Isteresi• Supponiamo adesso di volere ritornare allo statoiniziale O, cioè lo stato H = 0, B = 0• Riduciamo quindi la corrente nell'avvolgimento

fino a raggiungere il valore H = 0• Si raggiunge lo stato b e si scopre che il campo magnetico B non è tornato a zero• Ricordiamo che B = μ0 (H + M)• Il materiale rimane magnetizzato anche

senza eccitazione esterna M = B /μ0

• Per riportare a zero la magnetizzazionebisogna eccitare il toroide con una correnteinversa a quella utilizzata inizialmente• In questo modo si può riportare a zero

la magnetizzazione quando si raggiunge lo stato c in cui μ0(H+M) = 0• Continuando a ridurre H si raggiunge un'altra regione di saturazione• Se a questo punto si fa crescere di nuovo H si raggiunge nuovamente la regione di saturazione nello stato a ma percorrendo una traiettoria nel piano H – B diversa da quella precedente

• Si ha pertanto un comportamento in cui lo stato del sistema dipende dalla sua storia precedente

H

B

O

ab

c


Equazioni di Maxwell nella materia• Vogliamo riformulare le equazioni di Maxwell nel caso in cui ci sia materia• Naturalmente le equazioni nel vuoto sono sempre valide• Tuttavia diventa molto complesso tenere conto di tutte le sorgenti• Cariche e correnti dovute a fenomeni di polarizzazione e magnetizzazione• Risulta conveniente utilizzare i campi D e H

• Abbiamo già visto la legge di Gauss quando si tiene conto della polarizzazione

• Avevamo inoltre visto che la polarizzazione fa comparire cariche di volume e cariche superficiali

• Se la polarizzazione è funzione del tempo le cariche di polarizzazione fanno comparire delle correnti• Consideriamo un cilindretto di materia polarizzata• Per costruzione le basi siano perpendicolari a P• Sulle due basi c'è una densità di carica ±σP = ±P• La carica sulle due basi è q = ±σPda = ±Pda• Se il campo elettrico varia nel tempo varierà anche la polarizzazione

• La carica varia nel tempo

fρ⋅ =D∇ 0ε= +D E P

Pρ = − ⋅ P∇ ˆPσ = ⋅n P

P

bσ− bσ+da

dq Pda

dt t∂

= ±∂


Equazioni di Maxwell nella materia• Se la carica sulle basi varia vuol dire che c'è una corrente che trasporta carica da una base all'altra• La corrente è il flusso di una densità di corrente

• Il vettore JP ha le proprietà di una densità di corrente• In particolare soddisfa l'equazione di continuità

• Pertanto in presenza di materia le cariche e le correnti totali sono

• Come abbiamo già visto in elettrostatica si tiene conto di ρP

introducendo il campo D nella legge di Gauss

dq Pi dadt t

∂= =

∂

P

Pσ− Pσ+da

P t∂

=∂P

J Pi d= ⋅J aPdat

∂=

∂

P t∂

⋅ = ⋅∂P

J∇ ∇t

∂ ⋅=

∂P∇ P

t

ρ∂= −

∂P

P t

ρ∂⋅ = −

∂J∇

f Pρ ρ ρ= + f M P= + +J J J J f t∂

= + × +∂P

J M∇fρ= − ⋅ P∇

0ε ρ⋅ =E∇ f Pρ ρ= + fρ= − ⋅ P∇

0 Pε ρ⋅ + ⋅ =E P∇ ∇ 0ε= +D E P Pρ⋅ =D∇


Equazioni di Maxwell nella materia• Si può procedere analogamente per la legge di Ampère

• Non richiedono modifiche le equazioni

• Infatti in queste equazioni non appaiono le sorgenti ρ e J

0 0 0 tμ μ ε

∂× = +

∂E

B J∇ 0 f 0 0t tμ μ ε

⎛ ⎞∂ ∂⎟⎜= + × + +⎟⎜ ⎟⎟⎜ ∂ ∂⎝ ⎠P E

J M∇

f 00 t t

εμ

∂ ∂× − × = + +

∂ ∂B P E

M J∇ ∇

( )f 00 t

εμ

⎛ ⎞ ∂⎟⎜× − = + +⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠B

M J P E∇0μ

= −B

H M

f t∂

× = +∂D

H J∇

0⋅ =B∇t

∂× = −

∂B

E∇

0ε= +D E P


Equazioni di Maxwell nella materia• Riassumiamo le equazioni di Maxwell nella materia

• Queste equazioni devono essere complementate• Dalle relazioni fenomenologiche che definiscono i campi D e H• Ad esempio per i mezzi lineari omogenei

• Dalle condizioni al contorno nel passaggio da un materiale all'altro

fρ⋅ =D∇

t∂

× = −∂B

E∇

0⋅ =B∇

f t∂

× = +∂D

H J∇

ε=D E1μ

=H B

1 2 fD D σ⊥ ⊥− =

1 2B B⊥ ⊥=

1 2=E E

1 2 f ˆ− = ×H H K n

1 1 2 2 fE Eε ε σ⊥ ⊥− =

1 2B B⊥ ⊥=

1 2=E E

1 2 f1 2

1 1ˆ

μ μ− = ×B B K n

1 1 2 2E Eε ε⊥ ⊥=

1 2B B⊥ ⊥=

1 2=E E

1 21 2

1 1μ μ

=B B

mezzo lineare σf = 0 Kf = 0


Soluzione di problemi con materiali• Abbiamo visto che le equazioni fondamentali della magnetostatica sono

• Si tratta di equazioni molto complesse che richiedono metodi di soluzionedifferenti a seconda della complessità del problema

• Passiamo in rassegna alcuni casi importanti

• Problemi che richiedono l'uso del potenziale vettore A• In questi problemi la densità di corrente J(r) è data• Inoltre occorre definire le condizioni al contorno sulle superfici che

delimitano il volume in cui si cerca la soluzione• Occorre definire la componente tangenziale di A• Per questi problemi le equazione per il potenziale sono

• Combinando

• In generale un'equazione la cui soluzione analitica è praticamente impossibile

f× =H J∇ 0⋅ =B∇ ( )=H f B

= ×B A∇f× =H J∇ ( )=H H B

( ) f⎡ ⎤× × =⎣ ⎦H A J∇ ∇


Uso del potenziale vettore• Si ha una notevole semplificazione del problema se il mezzo è lineare

• In questo caso

• Questa equazione può essere messa nella forma (vedi diapositiva )

• Sappiamo che il potenziale vettore è definito a meno di ∇f(r) (f arbitraria)• Possiamo utilizzare questa indeterminazione per richiedere che ∇⋅A = 0• L'equazione diventa

• Vediamo pertanto che ciascuna delle componenti di A soddisfa l'equazione di Poisson• Tuttavia la richiesta ∇⋅A = 0 rende le equazioni dipendenti• Bisogna inoltre fissare le condizioni al contorno (all'infinito o su confini)• In coordinate curvilinee le equazioni per Ak non sono separate• Infine, se ci sono più mezzi, ciascuno di permeabilità μi allora in ogni mezzo

il potenziale vettore soddisfa l'equazione ∇2Ai = μi J • Le varie soluzioni nei diversi mezzi devono essere raccordate utilizzando le condizioni di discontinuità al confine fra i materiali differenti

79381

( ) 2fμ⋅ − =A A J∇ ∇ ∇

( )=H H B μ=B H

( ) f⎡ ⎤× × =⎣ ⎦H A J∇ ∇ fμ× × =A J∇ ∇f

1μ

× =B J∇

2fμ= −A J∇


Il problema della magnetostatica• Nella diapositiva abbiamo trovato l'equazione differenziale che definisce il potenziale vettore• Imponendo il gauge di Coulomb ∇⋅A = 0 si ottiene l'equazione

• Somiglia molto all'equazione di Poisson• È un'equazione vettoriale• In coordinate cartesiane ( e SOLO in coordinate cartesiane) equivale a

• Nota la densità di corrente si trova una soluzione particolare

• La soluzione generale è la somma della soluzione particolare e di una soluzione dell'equazione omogeneache permette di soddisfare le condizioni al contorno

• Normalmente le condizioni al contorno sono le discontinuità all'interfaccia e campi nulli all'infinito• Normalmente le correnti J non sono modificate dalla presenza di materia

79381 ( ) 20μ⋅ − =A A J∇ ∇ ∇

20μ= −A J∇

20x xA Jμ= −∇ 2

0y yA Jμ= −∇ 20z zA Jμ= −∇

0 ( )( )

4dV

μπ

′′=

′−∫ J rA r

r r0 ( )

( )4

kk

JA dV

μπ

′′=

′−∫ rr

r r

2 =A O∇


Il problema della magnetostatica• Studiando l'elettrostatica abbiamo visto che le coordinate curvilinee permettono di semplificare molto le condizioni al contorno o all'interfaccia• In elettrostatica l'equazione di Laplace è per il potenziale scalare• In magnetostatica abbiamo il potenziale vettore• Il grosso problema è che in coordinate curvilinee i versori dipendono dalle coordinate stesse

• Ad esempio la forma esplicita dell'equazione del potenziale vettore in coordinate sferiche

• Osserviamo che ciascuna delle tre equazioni contiene tutte tre le componenti• Inoltre deve essere anche soddisfatta ∇⋅A = 0• In pratica risolubile quando per simmetria alcune delle componenti sono nulle

20μ= −A J∇

20

20

20

( )

( )

( )

r rJ

J

Jθ θ

φ φ

μμμ

= −

= −

= −

AAA

∇∇∇

2 22 2 2 2

2 2 2ˆ

tg sinr

r r

AA A AA

r r r rφθ θ

θ φθ θ

⎡ ⎤∂∂⎢ ⎥= − − − − +⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦A e∇ ∇

22 2 2

2 2ˆ

sin sin tgr

AA AA

r r rφθ

θ θθ φθ θ θ

⎡ ⎤∂∂⎢ ⎥+ − + − +⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦e∇

22 2 2 2

2 2ˆ

sin sin sin tgr

AA AA

r r rφ θ

φ φφ φθ θ θ θ

⎡ ⎤∂ ∂⎢ ⎥+ + − +⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦e∇


Esempio: guscio sferico di corrente• Per illustrare i concetti precedenti risolviamo un problema che abbiamo già visto• Un guscio sferico di carica che ruota intorno

all'asse con velocita angolare ω• La corrente superficiale è • Calcoliamo il prodotto vettoriale

• Otteniamo

• Il problema possiede una simmetria rotazionale intorno all'asse z• Il potenziale vettore non dipende da φ• Si può verificare che in coordinate sferiche il potenziale vettore ha solo la componente Aφ(r,θ)

• Il campo B ha solo due componenti

x

y

zω

Rˆ ˆz rRσω= ×K e e

sin cos

ˆ sin sin

cosr

θ φθ φ

θ

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

e0

ˆ 0

1z

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

esin

ˆ ˆ ˆsin cos sin

0z r φ

φθ φ θ

⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟× = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

e e e

ˆ( ) sinR φθ σω θ=K e

1( ) (sin )

sinr rB Ar φθ

θ θ∂

× = =∂

B∇ 1( ) ( )B rA

r rθ θ φ

∂× = = −

∂B∇

ˆ( , ) sin ( )r R r R φθ σω θδ= −J e


Esempio: guscio sferico di corrente• Utilizzando la formula della diapositiva si ha

• Introducendo la formula del laplaciano in coordinate sferiche l'equazione diventa

• Per trovare una soluzione si può procedere nel modo seguente• All'interno (r < R regione 1) della sfera e all'esterno (r > R, regione 2)

il potenziale Aφ soddisfa l'equazione omogenea• Con il metodo della separazione delle variabili si trovano le soluzioni

dell'equazione omogenea• Saranno delle serie infinite, come nel caso della sfera in elettrostatica• Si impongono continuità, andamento per r → 0 e r → ∞• Si calcolano le componenti tangenziali di B (Bθ) per r = R+ e r = R−

• Si eguaglia la discontinuità alla corrente superficiale

x

y

zω

R

202 2 2 2

1 1( ) (sin ) sin ( )

sin sin

A A Ar R r R

r rr r rφ φ φθ μ σω θδ

θ θθ θ

∂ ∂∂ ∂+ − = − −

∂ ∂ ∂ ∂

20 02 2

ˆ ˆ( , ) sin ( )sin

AA r R r R

rφ

φ φ φμ θ μ σω θδθ

⎡ ⎤⎢ ⎥− = − = − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

e J e∇

1377320

2 1 0 ˆμ− = ×B B K n 2 1 0B B Kθ θ μ− =0 0ˆ ˆ ˆrK Kφ θμ μ= × =e e e


Esempio: guscio sferico di corrente• Si dimostra che la soluzione generale dell'equazione omogenea ha la forma

• Le funzioni P1l(θ) sono le funzioni associate di Legendre

• Nella regione interna alla sfera poniamo Dl = 0 altrimenti il potenziale divergerebbe nell'origine• Analogamente, all'esterno Cl = 0 altrimenti il potenziale divergerebbe all'infinito• In definitiva

• La continuità per r = R implica Dl = Cl

• Si verifica che le componenti radiali di B (normale alla superficie sferica) sono automaticamente continue

1

1 1( , ) ( ) ( )l l

l l l ll

r RA r C P D P

R rφ θ θ θ+⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜= +⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑

11 ( ) sinP θ θ= − 1

2 ( ) 3 sin cosP θ θ θ= − ( )1 23

3( ) sin 5 cos 1

2P θ θ θ= − −

1

1

1

( )( , )

( )

l

l ll

l

l ll

rC P r RRA rR

D P r Rr

φ

θθ

θ+

⎧⎪ ⎛ ⎞⎪ ⎟⎜⎪ <⎟⎜ ⎟⎪ ⎟⎜⎝ ⎠⎪⎪= ⎨⎪ ⎛ ⎞⎪ ⎟⎜⎪ >⎟⎜⎪ ⎟⎟⎜⎪ ⎝ ⎠⎪⎩

∑

∑

1( )lP θ =…


Esempio: guscio sferico di corrente• Calcoliamo le componenti tangenziali Bθ

• Notiamo che la densità superficiale di corrente è proporzionale a sinθ• Avremo pertanto un sistema di equazioni per l ≠ 1 e una equazione per l = 1• Per l ≠ 1

• Per l = 1

• In definitiva, nella regione interna alla sfera (r < R) abbiamo

11

1( , ) ( )

l

l ll

l rB r C P r R

r Rθ θ θ⎛ ⎞+ ⎟⎜= − <⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠∑1

12 ( , ) ( )

l

l ll

l RB r C P r R

r rθ θ θ+⎛ ⎞⎟⎜= >⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠∑

1l l

l lC C

R R+

− = 0 1lC l= ≠

1 1

2( , ) sinB R C

Rθ θ θ= 2 1

1( , ) sinB R C

Rθ θ θ= −

2 1 1

3sinB B C

Rθ θ θ− = − 0 sinRμ σω θ=2

1 0 3R

C μ σω= −

2

0( , ) sin3R r

A rRφ θ μ σω θ= 0 sin

3Rrμ σω θ= 0 ˆ( , ) sin

3R

r r φθ μ σω θ=A e


Esempio: guscio sferico di corrente• Nella regione esterna alla sfera (r > R) otteniamo

• Da confrontare con il risultato dell'integrazione diretta della formula di Biot e Savart

• Calcoliamo il campo di induzione magnetica B all'interno del guscio (r < R)• La componente polare Bθ

• La componente radiale Br

• Riassumendo

22

0( , ) sin3R R

A rrφ θ μ σω θ

⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

4

0 2sin

3

R

rμ σω θ=

4

0 2ˆ( , ) sin

3

Rr

r φθ μ σω θ=A e

1

1( )B rA

r rθ φ

∂= −

∂ 0

1( sin )

3R

r rr r

μ σω θ∂

= −∂ 0

2sin

3Rrμ σω θ= −

1

1(sin )

sinrB Ar φθ

θ θ∂

=∂ 0

1(sin sin )

sin 3Rr

rθμ σω θ

θ θ∂

=∂

20 1 sinsin 3

Rμ σω θθ θ

∂=

∂ 0

2cos

3Rμ σω θ=

( )0

2ˆ ˆ( , ) cos sin

3 rr R θθ μ σω θ θ= −B e e


Esempio: guscio sferico di corrente• Calcoliamo il campo di induzione magnetica B all'esterno del guscio (r > R)• La componente polare Bθ

• La componente radiale Br

• Riassumendo

2

1( )B rA

r rθ φ

∂= −

∂

4

0 2

1( sin )

3

Rr

r r rμ σω θ

∂= −

∂

4

0 3

1sin

3R

rμ σω θ=

2

1(sin )

sinrB Ar φθ

θ θ∂

=∂

4

0 2

1(sin sin )

sin 3

Rr r

θμ σω θθ θ

∂=

∂

4 2

0 3

1 sinsin3

R

r

θμ σω

θ θ∂

=∂

4

0 32 cos

3

R

rμ σω θ=

( )4

0 3

1ˆ ˆ( , ) 2 cos sin

3 r

Rr

r θθ μ σω θ θ= +B e e

( )0

2ˆ ˆ( , ) cos sin

3 rr R θθ μ σω θ θ= −B e e

esterno sfera

interno sfera


Esempio: guscio sferico di corrente

• All'interno della sfera il campo è uniforme• È parallelo all'asse z• Infatti, la quantità tra parentesi è il versore

• All'esterno abbiamo un campo dipolare

• Ricordiamo il campo del dipolo elettrico(diapositiva 252 parte I)

θ( , )r θ

ˆze

z

xr

( )0

2ˆ ˆ( , ) cos sin

3 rr R θθ μ σω θ θ= −B e eˆre

ˆθeˆzesin cos cos cos

ˆ ˆcos sin cos sin sin sin cos sin

cos sinr θ

θ φ θ φθ θ θ θ φ θ θ φ

θ θ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟− = −⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜ −⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

e e0

2ˆ

3 zRμ σω=B e

( )4

0 3

1ˆ ˆ( , ) 2 cos sin

3 r

Rr

r θθ μ σω θ θ= +B e e

( )30

1ˆ ˆ2 cos sin

4 r

p

r θθ θπε

= +E e e

0

ˆ0

1z

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

e

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