Appunti elettromagnetismo

7/29/2019 Appunti elettromagnetismo

1/86

Argomentidi Elettromagnetismo

Appunti da alcune lezioni

per il Corso di Elettromagnetismo

e per il Corso tenuto

per il Percorso di Eccellenza in Fisica.

F.Lacava

14 giugno 2013


2/86

Versione provvisoria da completare.

Commenti e segnalazione di errori a :

[email protected]

ii


3/86

Indice

1 Coordinate curvilinee ortogonali. 11.1 Coordinate curvilinee ortogonali. . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Gradiente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Divergenza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Rotore. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5 Laplaciano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.6 Coordinate sferiche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.7 Coordinate cilindriche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Sviluppo in serie di multipoli. 72.1 Sviluppo in serie di multipoli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Osservazioni sul momento di dipolo. . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Il tensore momento di quadrupolo. . . . . . . . . . . . . . . 102.4 Esempio di quadrupolo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Metodo delle cariche immagine. 133.1 Metodo delle cariche immagine. . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2 Carica puntiforme e piano conduttore. . . . . . . . . . . . . 143.3 Carica puntiforme e superficie sferica conduttrice. . . . . . 163.4 Sfera conduttrice in un campo elettrico uniforme. . . . . . 183.5 Problemi suggeriti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4 Cariche immagine e dielettrici. 254.1 Problemi di elettrostatica con dielettrici. . . . . . . . . . . . 254.2 Carica presso la superficie di separazione tra due dielettrici. 264.3 Problemi suggeriti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5 Elettrostatica e funzioni analitiche. 315.1 Premessa: le funzioni analitiche. . . . . . . . . . . . . . . . . 315.2 Elettrostatica e funzioni analitiche. . . . . . . . . . . . . . . 345.3 La funzione f(z) = z: quadrupolo, cuneo, piano, lamina. . 34

iii


4/86

5.4 Altri casi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.5 Appendice: soluzione dellequazione di Laplace per una

distribuzioni di cariche con dipendenza bidimensionale. . 41

6 Trasformazione dei campi E e B. 436.1 La quadridensita di corrente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.2 Corrente in un filo e particella in moto. . . . . . . . . . . . 456.3 Trasformazioni dei campi E e B. . . . . . . . . . . . . . . . . 476.4 Invarianza della carica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

7 Covarianza relativistica dellelettromagnetismo. 517.1 Introduzione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517.2 Quadrivettori, componenti covarianti e controvarianti. . . 527.3 Covarianza relativistica dellelettromagnetismo. . . . . . . 557.4 Quadripotenziale ed equazioni dellelettrodinamica. . . . . 55

7.5 Equazione di continuita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567.6 Tensore elettromagnetico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567.7 Trasformazione dei campi E e B. . . . . . . . . . . . . . . . . 577.8 Equazioni di Maxwell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

7.8.1 Equazioni non omogenee. . . . . . . . . . . . . . . . . 587.8.2 Equazioni omogenee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

7.9 Equazioni dei potenziali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597.10 Trasformazioni di gauge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607.11 Fase dellonda e.m.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607.12 Equazioni del moto per una particella carica. . . . . . . . . 60

8 Energia e quantita di moto del campo elettromagnetico. 638.1 Il vettore di Poynting. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638.2 Alcuni esempi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

8.2.1 Resistore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658.2.2 Solenoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658.2.3 Condensatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

8.3 Il tensore degli sforzi di Maxwell. . . . . . . . . . . . . . . . 688.4 Alcuni esempi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

8.4.1 Pressione della radiazione incidente su una superficie. 728.5 Momento angolare. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

8.6 Forma covariante del tensore degli sforzi di Maxwell . . . 73

9 Condensatore ad alta frequenza e cavita risonante. 759.1 Condensatore ad alta frequenza. . . . . . . . . . . . . . . . . 759.2 Cavita risonante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

iv


5/86

Capitolo 1

Coordinate curvilinee ortogonali.

1.1 Coordinate curvilinee ortogonali.

Quando la distribuzione di carica presenta una simmetria (sferica, cilindrica, etc.)per semplificare i calcoli conviene usare un opportuno sistema di coordinate. Nelseguito vogliamo trovare le espressioni generali per scrivere nei diversi sistemi dicoordinate gli operatori differenziali presenti nelle equazioni dellelettromagneti-smo1.Consideriamo un sistema di coordinate u1, u2, u3, definite dalle relazioni cheesprimono le coordinate cartesiane x, y e z in funzione delle nuove coordinate:

x = x(u1, u2, u3)

y = y(u1, u2, u3) (1.1)

z = z(u1, u2, u3)

Limitiamoci al caso di sistemi di coordinate curvilinee ortogonali, cioe tali chein ogni punto u1, u2, u3 le superfici u1 = cost, u2 = cost, u3 = cost siano tra loroortogonali. Considerato il parallepipedo elementare in figura, limitato da super-fici u1 = cost, u2 = cost, u3 = cost, i suoi spigoli misurano h1du1, h2du2, h3du3con h1, h2, h3 funzioni eventualmente di u1, u2, u3. La lunghezza dellelementodi linea ds, diagonale del parallelepipedo, che in coordinate cartesiane e data da:

ds = dx2 + dy2 + dz21Largomento e presentato per esempio in R.Becker, Teoria dellelettricita, 20, Sansoni,

1949. Una trattazione piu dettagliata e completa si trova in J.A.Stratton, Teoria dellelettroma-gnetismo, Cap.I.6, Ed. Scientifiche Einaudi, 1952, dove sono presentati anche diversi sistemidi coordinate (sferiche, cilindriche, ellittiche, paraboliche, bipolari, sferoidali, paraboloidali,elissoidali)

1


6/86

F.Lacava - Argomenti di Elettromagnetismo.

nelle nuove coordinate sara:

ds =

h21du21 + h

22du

22 + h

23du

23

e dal confronto di queste relazioni, tenuto conto delle (1.1), si possono ricavare icoefficienti h1, h2, h3.Il volume del parallelepipedo e h1h2h3du1du2du3 .Indichiamo con f(u1, u2, u3) una funzione scalare e con A un vettore di compo-nenti A1, A2, A3 lungo le direzioni u1, u2, u3. E facile dare le espressioni generalidegli operatori differenziali in termini di h1, h2, h3 e u1, u2, u3 .

1.2 Gradiente.

Loperatore differenziale vettoriale gradiente della funzione scalare f e definitodalla relazione:

df = grad f dl

dove df e il differenziale di f per uno spostamento elementare dl di componenti(h1du1, h2du2, h3du3). Possiamo anche scrivere:

df =

f

u1 du1 +

f

u2du2 +

f

u3du3

e quindi dal confronto:

(grad f)1h1du1+ (grad f)2h2du2+ (grad f)3h3du3 =f

u1du1 +

f

u2du2 +

f

u3du3

2


7/86

Cap.1: Coordinate curvilinee ortogonali.

per le componenti del gradiente nelle nuove coordinate si trova:

(grad f)i =1

hi

f

ui.

1.3 Divergenza.

Per scrivere loperatore divergenza consideriamo il teorema di Gauss applicatoal parallelepipedo elementare. Il flusso uscente dal parallelepipedo e uguale alladivergenza del vettore integrata sul volume:

d( A) = div A d

Il flusso uscente dalla faccia OBHC sulla superficie u1 = cost e:

A1(u1) h2(u1)du2 h3(u1)du3 = A1h2h3du2du3

mentre quello uscente da AFGJ sulla superficie u1 + du1 = cost e:

A1(u1 + du1) h2(u1 + du1)du2 h3(u1 + du1)du3

che, dopo aver sviluppato in serie al primo ordine i fattori:

(A1 +A1u1

du1)(h2 +h2u1

du1)(h3 +h3u1

du1)

e trascurato i termini infinitesimi di ordine superiore, si puo scrivere:

A1h2h3du2du3 + u1(A1h2h3) du1du2du3

In definitiva il flusso totale sulle due facce opposte e:

u1(A1h2h3) du1du2du3

e infine sommando anche i flussi uscenti dalle altre facce del parallepipedo siottiene:

d( A) =

u1(A1h2h3) +

u2(A2h1h3) +

u3(A3h1h2)

du1du2du3 =

= div A h1h2h3du1du2du3

dalla quale si ricava:

div A =1

h1h2h3

u1(A1h2h3) +

u2(A2h3h1) +

u3(A3h1h2)

3


8/86


1.4 Rotore.

Per trovare lespressione delloperatore rotore, usiamo il teorema di Stokes:

A dl =

rot A n dS .

Consideriamo la circuitazione del vettore A sul cammino OBHCO del parallele-pipedo elementare. Il contributo dai cammini OB e HC e:

A2(u3) h2(u3)du2 A2(u3 + du3) h2(u3 + du3)du2 =

u3(A2h2)du2du3

avendo sviluppato in serie e conservato i termini al primordine. Dai tratti BH eCO si trova:

A3(u2 + du2) h3(u2 + du2)du3 A3(u2) h3(u2)du3 =

u2(A3h3)du2du3

e sommando i due contributi e tenendo conto del teorema di Stokes:

(rot A)1h2h3du2du3 = [

u2(A3h3)

u3(A2h2)]du2du3

dalla quale:

(rot A)1 =1

h2h3

u2(A3h3)

u3(A2h2)

E similmente per le altre due componenti. Si puo quindi scrivere:

(rot A)i =1

hjhk

uj(Akhk)

uk(Ajhj)

.

1.5 Laplaciano.

Per loperatore laplaciano da = div grad, componendo le espressioni giatrovate, abbiamo:

f =1

h1h2h3

u1

h2h3

h1

f

u1

+

u2

h3h1

h2

f

u2

+

u3

h1h2

h3

f

u3

4


9/86


10/86


1.7 Coordinate cilindriche.

x = r cos y = r sen z = z

ds2 = dr2 + r2d2 + dz2

u1 = ru2 = u3 = z

h1 = 1h2 = rh3 = 1

(grad f)r =f

r(grad f) =

1

r

f

(grad f)z =

f

z

div A = 1r

r

(rAr) +1r

A

+ Az

z

(rot A)r =1

r

Az

Az

(rot A) =Arz

Azr

(rot A)z =1

r

r(rA)

Ar

f = 1r

r

r f

r

+ 1

r22f2

+ 2fz2

6


11/86

Capitolo 2

Sviluppo in serie di multipoli.

2.1 Sviluppo in serie di multipoli.

Il potenziale V0(P) generato in un punto P(x,y,z) da un sistema di carichepuntiformi qi (vedi fig.2.1), e dato dalla somma dei potenziali generati nel puntoP dalle singoli cariche (principio di additivita dei potenziali):

V0(P) =i=Ni=0

V0i(P) =1

40

i=Ni=0

qiri

dove ri e la distanza del punto P dalla carica i-esima.Se la distanza del punto P dal sistema di cariche e molto maggiore delle dimen-

sioni del sistema, conviene approssimare il potenziale nel punto P similmente aquanto fatto nel caso del dipolo elettrico.Scelto un sistema di riferimento con origine in prossimita del sistema di carichee detto di il vettore che individua la posizione della carica qi, r il vettore per laposizione del punto P e ri il vettore che va dalla carica i esima al punto P,possiamo scrivere:

r = ri + di e ri = r diquindi:

1

ri=

1

|r di|=

1

[(r di) (r di)]1

2

=1

[r2 2r di + d2i ]1

2

=1

r

1

[1 +(d2i2r

di)

r2]1

2

.

Se poniamo ora: =d2i2r

dir2

, essendo r di, e molto piccola e il denominatorenellultima frazione puo essere sviluppato in serie:

1

[1 + ]1

2

= 1 1

2 +

3

82

15

483 + ...

7


12/86


Figura 2.1: Calcolo del potenziale di un sistema di cariche puntiformi localizzaterispetto alla distanza da P.

quindi, fermandosi al secondo ordine in :

1

ri=

1

r

1

1

2

(d2i 2r di)

r2+

3

8

(d2i 2r di)

2

r4+ ...

e trascurando i termini infinitesimi di ordine superiore al secondo in di/r:

1

ri=

1

r+

( di r)

r2+

1

r3

3

2( di r)

2 1

2d2i

.

Per il potenziale nel punto P si trova:m

V0(P) =1

40

i=Ni=0

qir

+1

40

i=Ni=0

qi di r

r2+

1

40

i=Ni=0

qir3

3

2( di r)

2 1

2d2i

ovvero:

V0(P) =

1

40

1

r

i=Ni=0 q

i +

1

40

1

r2

i=Ni=0 q

i

di r +

1

40

1

r3

i=Ni=0 q

i3

2(di r)

2

1

2d

2

i

.

Essendo:

QTOT =i=Ni=0

qi (2.1)

8


13/86

Cap. 2: Sviluppo in serie di multipoli.

la carica totale del sistema, e definendo:

P =i=N

i=0

qi di (2.2)

il momento di dipolo elettrico del sistema di cariche, e:

Qquadr =i=Ni=0

qi

3

2(di r)

2 1

2d2i

(2.3)

il momento di quadrupolo elettrico del sistema di cariche rispetto alla direzioner, possiamo riscrivere il potenziale nel punto P come:

V0(P) =1

40

QTOTr

+1

40

P r

r2+

1

40

Qquadrr3

.

E questo lo sviluppo in serie di multipoli (fermato al termine di quadrupolo) peril potenziale di un sistema di cariche puntiformi. Si osserva che il primo termine,che dipende dalla carica totale QTOT, va come 1/r (potenziale di una carica pun-

tiforme), il secondo termine, legato al momento di dipolo P del sistema, va come1/r2 (potenziale di un dipolo elettrico) mentre il termine di quadrupolo decrescecome 1/r3. I termini hanno quindi importanza decrescente nel loro contributo alpotenziale totale.Nel caso la carica totale del sistema QTOT sia nulla, il termine principale saraquello di dipolo e qualora anche questo fosse nullo, il potenziale sarebbe deter-minato dal termine di quadrupolo. Se tutti i termini finora esaminati fossero

nulli si dovrebbe estendere lo sviluppo in serie di multipoli a termini di ordinesuperiore.Per una distribuzione continua di carica (r) nelle (2.1), (2.2) e (2.3) allasommatoria sulle cariche si dovra sostituire lintegrale:

QTOT =

(r) d

P =

r (r) d

Qquadr = (r)

32(r r)

2

1

2(r)2

d

Si osservi che la misura del potenziale permette di avere informazioni sullastruttura del sistema di cariche che lo generano.

9


14/86


2.2 Osservazioni sul momento di dipolo.

Se la carica totale del sistema e nulla, il momento di dipolo del sistema non

dipende dal punto (o sistema di riferimento) rispetto al quale viene valutato,diventa quindi una caratteristica intrinseca del sistema.Se il vettore a = OO individua nel nuovo sistema di riferimento di origine

Figura 2.2: Momento del dipolo elettrico rispetto a diversi poli.

O la posizione dellorigine O del primo sistema di assi (vedi fig.2.2), e quindidi = a +

di, il nuovo momento di dipolo P e:

P =i=Ni=0

qi di =

i=Ni=0

qi(a + di) =

i=Ni=0

qi

a +

i=Ni=0

qi di = QTOT a + P = P

essendo QTOT = 0 .E facile vedere che quando il sistema di cariche ha un centro di simmetria ilmomento di dipolo e nullo. Per esempio nel sistema in fig.2.3:

P =i=Ni=0

qidi = qr + q(r) + (2q)0 = 0

2.3 Il tensore momento di quadrupolo.

Il momento di quadrupolo si puo scrivere come un tensore di rango 2. Infatti:

Qquadr =1

r2

i=Ni=0

qi

3

2(di r)

2 1

2d2i r

2

10


15/86

Cap. 2: Sviluppo in serie di multipoli.

Figura 2.3: Esempio di sistema di cariche con simmetria rispetto a un punto.

Qquadr =1

r2

i=Ni=0

qi

3

2

=3=1

xdi

=3=1

xdi

1

2d2i

=3=1

=3=1

xx

dove = 1 per = , = 0 per = , (delta di Kronecker) e sottintendendola sommatoria sugli indici ripetuti due volte:

Qquadr =1

r2

i=Ni=0

qi

3

2dixdix

1

2d2i xx

=

1

r2

i=Ni=0

qi

3

2didi

1

2d2i

xx

che si puo riscrivere nella forma:

Qquadr =1

r2Qxx

se si introduce il tensore momento di quadrupolo Q definito come:

Q =i=Ni=0

qi

3

2didi

1

2d2i

.

Q e un tensore simmetrico di rango 2.

Il termine di quadrupolo nello sviluppo in serie di multipoli si puo allora scriverenella forma:1

40

1

r5Qxx

11


16/86


2.4 Esempio di quadrupolo.

Scrivere il potenziale a grande distanza generato dal quadrupolo di cariche elet-

triche in fig. 2.4.La carica totale e nulla e cos il momento di dipolo poiche le cariche sono po-ste simmetricamente rispetto allorigine degli assi. Il primo termine non nul-lo dello sviluppo in serie e quello di quadrupolo. Per il tensore Q si trova:Qxx = Qyy = Qzz = Qxz = Qzx = Qyz = Qzy = 0 e i soli termini non nulli sonoQxy = Qyx =

32

qd2.Il potenziale in un punto P(x,y,z) e dunque:

V0(x,y,z) =3qd2

40

xy

(x2 + y2 + z2)5

2

chiaramente nullo sullasse z.

Figura 2.4: Quadrupolo elettrico.

12


17/86

Capitolo 3

Metodo delle cariche immagine.

3.1 Metodo delle cariche immagine.

Nel caso di un sistema di cariche puntiformi e di conduttori posti a potenzialifissati, si deve risolvere lequazione di Poisson ponendo come condizioni al con-torno i valori dei potenziali sulle superfici dei conduttori e il potenziale nulloallinfinito.

In alcuni casi fortunati se al sistema delle cariche reali si aggiungono dellecariche puntiformi, dette cariche immagine, posizionate opportunamente nellospazio occupato dai conduttori, si possono avere delle superfici equipotenzialiche coincidono,in forma e valore del potenziale, con le superfici equipotenziali

dei conduttori del problema da risolvere. In questo caso, lequazione di Poissonper il sistema formato dalle cariche reali e dalle cariche immagine, nella partedi spazio esterno a quello occupato dai conduttori nel problema reale, dipenderadalle cariche reali e poi avra come potenziali al contorno i potenziali dei con-duttori sulle superfici di questi e il potenziale nullo allinfinito. Si ha quindi,limitatamente allo spazio esterno ai conduttori, la stessa equazione con le stessecondizioni al contorno del problema originale delle cariche reali piu i conduttori.Ricordando che vale il teorema di unicita della soluzione, chiaramente allesternodei conduttori la soluzione del caso delle cariche puntiformi (reali e immagine) ela stessa del problema iniziale. Poiche nel caso di cariche puntiformi sappiamoche il potenziale in ogni punto e dato dalla sovrapposizione dei potenziali dellesingole cariche, questo e anche il potenziale, soluzione dellequazione di Poisson,nel caso del sistema delle cariche puntiformi reali e dei conduttori. Cio limitata-mente allesterno dei conduttori, al loro interno il potenziale e costante e coincidecon quello sulla loro superficie.

Si osservi che, nello spazio esterno ai conduttori, il potenziale delle cariche

13


18/86


Figura 3.1: Carica puntiforme davanti a un piano conduttore a massa;composizione dei campi sul piano.

reali rappresenta la soluzione particolare dellequazione di Poisson mentre il po-tenziale generato dalle cariche immagine rappresenta la soluzione dellequazione

omogenea (di Laplace).

3.2 Carica puntiforme e piano conduttore.

Consideriamo il caso di una carica puntiforme q a distanza d da un piano con-duttore che possiamo pensare posto a massa come in fig.3.1. Prendiamo comeasse z la normale al piano passante per la carica e poniamo il piano in z = 0.Dovremmo risolvere lequazione di Poisson per la carica puntiforme con la con-dizione che sul piano il potenziale e nullo.

Consideriamo il caso del campo formato dalla carica q posta in (0, 0, d) e diuna carica immagine q posta in (0, 0, d), speculare della carica q rispetto alpiano xy.

Il potenziale generato nel punto P(x, y, z ) dalle due cariche e:

14


19/86

Cap. 3: Metodo delle cariche immagine.

V0(x,y,z) =q

40

1

r2 + (d z)2

1r2 + (d + z)2

dove r2 = x2 + y2.

Le componenti del campo elettrico E0 sono:

E0x(x,y,z) = q

40

x

(r2 + (d z)2)3

2

x

(r2 + (d + z)2)2

3

E0y(x,y,z) = q

40

y

(r2 + (d z)2)3

2

y

(r2 + (d + z)2)2

3

E0z(x,y,z) = q

40

d z

(r2 + (d z)2)3

2

+d + z

(r2 + (d + z)2)2

3

Nel limite z 0 otteniamo il potenziale e il campo sul piano z = 0:

V0(x, y, z = 0) = 0 E0x(x,y,z= 0) = 0 E0y(x,y,z= 0) = 0

E0z(x, y, z = 0) = q

40

2d

[r2 + d2]3

2

.

Questultima si puo scrivere:

E0z(x,y,z= 0) = 2q

40

1

[r2 + d2]

d

[r2 + d2]1

2

= 2 E0 cos

in modo da evidenziare i contributi delle due cariche (vedi fig.3.1).Per z > 0 il potenziale delle due cariche deve soddisfare lequazione di Poissoned inoltre si hanno le stesse condizioni al contorno del caso della carica e delpiano conduttore: potenziale nullo sul piano e campo normale alla superficie. LaV0(x, y, z ) per z > 0 e quindi anche la soluzione del problema della carica postadifronte al piano conduttore .Dal teorema di Coulomb la densita di carica sul piano conduttore e:

(r) = 0 E0z(r, z = 0) = q

2

d

[r2 + d2]3

2

Il suo integrale sul piano e uguale a q, la carica immagine posta in z = d:

0

(r) 2rdr = q d1

(d2 + r2)1

2

0

= q

15


20/86


Figura 3.2: Carica puntiforme e superficie sferica conduttrice.

come aspettato per il teorema di Gauss (il flusso uscente dalla carica puntiformeentra interamente nel piano).Volendo la forza esercitata dal piano sulla carica puntiforme basta sostituire alpiano la carica immagine e considerare la forza tra le due cariche:

F =1

40

q2

(2d)2

.

Si osservi che lenergia elettrostatica nel caso di carica e piano conduttore e soloquella nel semispazio z > 0 e quindi e pari a meta di quella del sistema delle duecariche puntiformi.

3.3 Carica puntiforme e superficie sferica con-duttrice.

Consideriamo il caso di un a carica puntiforme q a distanza d dal centro di unasuperficie sferica conduttrice di raggio r (d > r) che supponiamo messa a massa(vedi figura 3.2). Sulla sfera e indotta una distribuzione di carica ed il campoesterno alla superfice sferica e dato dalla carica puntiforme e dalla carica indotta.

16


21/86


Possiamo pensare di descrivere il sistema ponendo una carica immagine q sullaretta congiungente la carica q al centro della superficie sferica a distanza x dalcentro1. Il potenziale generato dalle cariche qe q deve essere nullo sulla superficiesferica:si ricava anche

V0(r) =1

40

q

R1+

q

R2

= 0

e quindi da: R21 = d2 + r2 2rdcos e R22 = r

2 + x2 2xrcos :

V0(r) =1

40

q

[d2 + r2 2rdcos]1

2

+q

[r2 + x2 2xrcos]1

2

= 0

Ponendo q = yq dalla precedente relazione si ottiene:

V0(r) = q40

1

[d2 + r2 2rdcos]1

2

y[r2 + x2 2xrcos]

1

2

= 0

Questa e nulla se per ogni valore di e verificata la relazione:

y2 (d2 + r2 2rdcos) = (r2 + x2 2xrcos) .

Risolvendo si trova y2 = xd

e per x le due soluzioni: x1 = d e x2 =r2

d. La

prima soluzione pone una carica q = q sulla carica q annullando il problema,

1Nel testo e data la soluzione piu semplice, si puo arrivare piu velocemente a risolvere ilproblema ricordando che la superficie sferica e il luogo geometrico dei punti le cui distanze da

due punti dati stanno in rapporto costante. Riferendosi alla figura 3.2, dette rispettivamenteR1 e R2 le distanze dei punti della supeficie dalle cariche q e q, imponendo che il potenzialesia nullo sulla superficie sferica:

V0(r) =1

40

q

R1+

q

R2

= 0

si trova la condizione:R2R1

= q

q= cost .

Per quanto detto questa relazione individua una superficie sferica. Imponendo il suo raggio red esaminando il rapporto nei punti A e B si trova la posizione x:

R2(A)R1(A)

= R2(B)R1(B)

r + xd + r

= r xd r

R2R1

= rd

x = r2

d

ed il valore della carica q:

q = qr

d.

17


22/86


la seconda pone una carica immagine: q = qrd

a distanza x = r2

ddal centro

della superfice sferica.Il potenziale allesterno della sfera si puo quindi scrivere come somma dei poten-ziali generati dalla carica reale q e dalla carica immagine q ora determinata. Al

suo interno il potenziale e nullo.La carica q e la carica totale indotta dalla carica q sulla superficie sferica. Se

la superficie sferica e isolata la sua carica totale e nulla; sulla superficie e presenteuna carica q = q distribuita uniformente che si aggiunge alla carica indottaq. Il potenziale del conduttore e allora quello generato da una carica q postanel suo centro:

V0 =1

40

q

r

Se sulla superficie isolata e presente inizialmente una carica Q, e per induzione

viene indotta una carica q

, rimane distribuita uniformemente una carica q

=Q q che si puo posizionare al centro della superficie sferica e ne determina ilpotenziale.Se invece la superficie conduttrice viene mantenuta a un potenziale V0 da ungeneratore, oltre alla carica immagine q che lascia il potenziale nullo, si deveposizionare al centro del conduttore sferico una carica q = 40rV0 per portarloa quel potenziale.

La forza tra la carica puntiforme e il conduttore sferico e data dalla sommadelle forze tra la carica q e le cariche q e q.

3.4 Sfera conduttrice in un campo elettrico uni-forme.

Due cariche puntiformi di carica opposta generano nellintorno del punto mediodel segmento che le unisce un campo elettrico uniforme. Per trattare il caso diuna sfera conduttrice, di raggio R, in un campo elettrico uniforme E0 possiamopensare di porla al centro tra due cariche opposte poste a grande distanza ri-spetto alle dimensioni della sfera e di mandare poi a distanza infinita queste duecariche.Posta la sfera col suo centro nellorigine degli assi, poniamo una carica q a di-stanza d sullasse z e una carica q a distanza d come in figura 3.3. Per effettodi queste due cariche avremo una carica indotta sulla superficie sferica e perquanto discusso in precedenza dovremo considerare due cariche immagine q1 e q2

18


23/86


nei punti z1 e z2 allinterno della sfera dati dalle relazioni:

q1 = qR

dz1 =

R2

dq2 = q

R

dz2 =

R2

d.

In un punto P, esterno alla sfera, individuato dalla distanza r dallorigine e

Figura 3.3: Conduttore sferico in campo elettrico uniforme.

dallangolo (vedi figura), il potenziale V e dato dalla sovrapposizione

2

del po-tenziale V generato dalle cariche a grande distanza e del potenziale V delle due

2E possibile trovare lespressione del potenziale con un conto piu dettagliato riportato diseguito. Il potenziale V generato dalle due cariche poste a grande distanza e:

V0

(r, ) =q

40

1

[d2 + r2 + 2rdcos ]1

2

1

[d2 + r2 2rdcos ]1

2

V0(r, ) =

q

40d

11 + ( r

d)2 + 2r

dcos

12

1

1 + ( rd

)2 2rd

cos 12

Spostando le cariche a distanza infinita, nel limite d , ( rd

) diventa infinitesimo e il

potenziale sviluppato in serie e approssimato da:

V0

=q

40d

1

1

2

rd

2+

2r

dcos

1 +

1

2

rd

2

2r

dcos

che si semplifica in:

V0 =

q

20

rd2

cos

= q

20

z

d2

19


24/86


cariche immagine.Nel limite d le due cariche devono generare un campo uniforme E0 e quindiil loro potenziale e:

V = E0z = E0 r cos .

essendo z = rcos .Dallespressione del campo elettrico E0 :

E0 = V

z=

q

20

1

d2

si ricava il valore della carica q per ottenere un campo E0: q = 20d2E0 .

Il potenziale e chiaramente

V0 = E0z = E0rcos .

Calcoliamo ora il potenziale V generato dalle due cariche immagine (vedi figura 3.3). Ledistanze d1 e d2 del punto P dalle due cariche sono:

d1 =

1

d2

r2d2 + R4 + 2rR2d cos 12

d2 =

1

d2

r2d2 + R4 2rR2d cos 12

E quindi il potenziale:

V0 (r, ) =

qR

40

1

[r2d2 + R4 + 2rR2d cos ]1

2

1

[r2d2 + R4 2rR2d cos ]1

2

V0 (r, ) = qR

40dr 1

1 + R4r2d2 +2R2rd cos

12

1

1 + R4r2d2 2R2rd cos

12

Nel limite d , (Rd

) diventa infinitesimo e il potenziale sviluppato in serie e:

V0 (r, ) = qR

40dr

1

1

2

R4

r2d2+

2R2

rdcos

1 +

1

2

R4

r2d2

2R2

rdcos

e si semplifica in:

V0 (r, ) =

q

20

R3

d2r2cos

= E0

R3

r2cos

avendo tenuto conto dellespressione per q trovata in precedenza.Il potenziale totale nel punto P risulta:

V(r, ) = V + V = E0

r

R3

r2

cos .

Sulla superficie della sfera (r = R) V = 0, e quindi anche al suo interno.

20


25/86


Le due cariche immagine q1 e q2 formano un dipolo elettrico di dimensioniinfinitesime quando d . Il momento di dipolo e:

D = qRdR2

d+qR

dR2

d = 2qR3

d2

con la carica q da determinare. Il potenziale V del dipolo e:

V =1

40

D r

r3=

1

402 q

R3

d2cos

r2

e quindi il potenziale totale risulta:

V(r, ) = E0 r cos +1

402 q

R3

d2cos

r2

Richiedendo che il potenziale sia nullo sulla superficie della sfera (per r = R) siricava per q e D:

q = 20d2E0 D = 40R

3E0

e infine lespressione del potenziale:

V(r, ) = E0

r

R3

r2

cos .

Le componenti del campo elettrico in coordinate sferiche sono:

E0r = V

r = E0

1 + 2R3

r3

cos

E0 = 1

r

V

= E0

1

R3

r3

sen

E0 = 1

rsen

V

= 0

Per r R E0 = 0 e rimane la sola componente radiale E0r = 3E0 cos normale alla superficie sferica. Da questa per il teorema di Coulomb si ricava ladistribuzione di carica indotta:

() = 3 0 E0 cos .

21


26/86


3.5 Problemi suggeriti.

1) Si determini la forza su una carica elettrica puntiforme q posta nello spigolo

retto formato da due semipiani conduttori posti a terra (figura 3.4a). Si dialespressione del potenziale in ogni punto del quadrante in cui essa si trova.

2) Si discuta il caso di una carica puntiforme allinterno di una cavit a sfericaconduttrice di raggio interno a. Si trovi il potenziale allinterno della sfera, la di-stribuzione di carica indotta sulla superficie interna, la forza agente sulla carica.Si esamini poi il caso della sfera a un potenziale fissato V e quello con una caricaQ sulla sfera.

3) Un filo carico con densita di carica e posto a distanza d da un piano con-duttore posto a terra. Si dia lespressione del potenziale nello spazio.

4) Si studi il caso di un cilindro conduttore di lunghezza infinita e scarico postoin un campo elettrico E0 trasversale al suo asse.

5) Un piano conduttore infinito posto a massa ha un rilievo semisferico di raggioR. Allesterno della semisfera e posta una carica q come in figura 3.4b. Si indichicome scrivere il potenziale usando il metodo delle cariche immagine.

6) Si trovi la capacita C per unita di lunghezza di un condensatore avente comearmature due superfici cilindriche di raggio R e distanza tra gli assi paralleli paria c con c > 2R (figura 3.4c) (Questo e un caso particolare del problema che segue).

C =20

log

+

2 1 = 20

acosh

dove:

=

c2

2R2 1

ricordando: acosh = ln

+

2 1

.

7) Si trovi la capacita C per unita di lunghezza di un condensatore avente comearmature due superfici cilindriche di raggi a e b con assi paralleli a distanzac > a + b (figura 3.4d).Soluzione:

C =20

acoshc2a2b2

2ab

22


27/86


(Si veda per esempio: Landau - Lifsits, Elettrodinamica dei mezzi continui, Cap.I, 3)

8) Si esamini il caso di un condensatore avente come armature due superficicilindriche di raggi a e b con assi paralleli a distanza c < (b a) (figura 3.4e).Nel caso c = 0 si ha un condensatore cilindrico.Soluzione:

C =20

acosha2+b2c2

2ab

(Si veda per esempio: Landau - Lifsits, Elettrodinamica dei mezzi continui, Cap.I, 3).

Figura 3.4: Figure dei problemi suggeriti.

23


28/86


24


29/86

Capitolo 4

Cariche immagine e dielettrici.

4.1 Problemi di elettrostatica con dielettrici.

Nel caso di un dielettrico perfetto1 esteso a tutto lo spazio il problema elettrosta-tico si riduce a risolvere lequazione di Poisson con costante dielettrica invecedi 0:

V(x, y, z ) = (x, y, z )

Si hanno le stesse soluzioni trovate nel caso del vuoto ma il potenziale e i campisono ridotti di un fattore r.

Nel caso siano presenti piu dielettrici il problema si complica: sulle superfici diseparazione2 i campi E e D sono discontinui, il potenziale non ha quindi derivataprima continua e sulle superfici di separazione lequazione di Poisson perde divalidita. La soluzione consiste nel risolvere lequazione di Poisson separatamentenei singoli dielettrici ( i, j, ...) imponendo come condizioni al contorno sullesuperfici di separazione le condizioni di raccordo dei campi:

E(i) = E

(j) D

(i) = D

(j) .

Questo di fatto e quanto faremo cercando le soluzioni nel caso di due dielettricidiversi mediante il metodo delle cariche immagine.

1Per perfetto si intende omogeneo, isotropo e con polarizzabilita indipendente dal valore delcampo elettrico

2trattate come superfici geometriche.

25


30/86


4.2 Carica presso la superficie di separazione

tra due dielettrici.

Consideriamo una carica puntiforme q posta a distanza d da un piano di separa-zione tra due dielettrici diversi. Scelto come asse z la retta passante per la caricae normale al piano posto a z = 0, la costante dielettrica relativa sia r1 per z > 0ed r2 per z < 0.

Dovremo trovare come descrivere separatamente il campo nei due semispazi.Sulla base di quanto visto nel caso di una carica puntiforme vicino a un pianoconduttore, per descrivere il campo nel semispazio z > 0 possiamo pensare diaggiungere una carica immagine q posta sullasse z in z = d e per il campo nelsemispazio z < 0 possiamo considerare una sola carica q in z = d 3. Si osserviche per z > 0 dobbiamo trovare la soluzione per lequazione di Poisson: il poten-ziale della carica q rappresenta la soluzione particolare mentre il potenziale di q

e la soluzione dellequazione omogenea (di Laplace). Per z < 0 si deve risolverelequazione di Laplace e per questo basta il potenziale della carica q posta inz > 0.

Per un punto P con z > 0, a distanza r dallasse z, il potenziale e:

Figura 4.1: Nel caso di una carica presso la superficie di separazione di duedielettrici per il potenziale in z > 0 alla carica reale si aggiunge la carica immagineq in z = d, per il potenziale in z < 0 e sufficiente la sola carica q in z = d.

V1 =1

41

q

R1+

q

R2

essendo R1 =

(z d)2 + r2 12 e R2 =

(z+ d)2 + r2

12

e le componenti z e r del campo elettrico sono:

3La scelta e suggerita dalla necessita di comprendere la soluzione per una carica puntiformeposta in un dielettrico esteso a tutto lo spazio (r1 = r2). In questo caso infatti basta porreq = 0 e q = q come si vedra anche dalle soluzioni trovate per q e q.

26


31/86

Cap. 4: Cariche immagine e dielettrici.

E(1)z = V1z

=1

41

q(z d)

R31+

q(z+ d)

R32

E(1)r = V1r= 1

41

qrR31

+ q

rR32

,

mentre per P con z < 0 il potenziale e:

V2 =1

42

q

R3

con R3 =

(z d)2 + r2 12 e le componenti del campo sono:

E(2)z = V2

z

=1

42

q(z d)

R33

E(2)r = V2r

=1

42

qr

R33.

Sul piano di separazione tra i due dielettrici devono valere le condizioni dicontinuita E

(1)

= E(2)

e D(1) = D

(2) cioe nel nostro caso E

(1)r = E

(2)r e

r1E(1)z = r2E

(2)z dalle quali essendo per z = 0 R1 = R2 = R3, si ricavano le

relazioni:q+ q

r1=

q

r2q q = q

e quindi per le cariche immagine le espressioni:

q = qr2 r1r2 + r1

q = q2r2

r2 + r1

Landamento delle linee di forza per i due casi r2 > r1 e r2 > r1 e dato infigura. Sulla superficie di separazione e presente la rifrazione delle linee di forzadei campi secondo la relazione:

tan 1tan 2

=r1r2

.

Per r2 = r1 si ha lo stesso dielettrico nei due semispazi (caso di caricapuntiforme q in un dielettrico che riempe tutto lo spazio) e dalle precedentirelazioni si ottiene q = 0 e q = qcome aspettato (vedi nota a pagina precedente).

Le densita superficiali di carica di polarizzazione sul piano di separazione

27


32/86


Figura 4.2: Linee di forza nel caso di carica in prossimita della superficie diseparazione di due dielettrici: a sinistra per r2 > r1 , a destra per r2 < r1

si ricavano dalla relazione P = P n essendo P = 0(r 1) E lintesita dipolarizzazione e n il versore della normale al piano uscente dal dielettrico:

(1)P =

qd

2R3r1 1

r1

r2r2 + r1

(2)P =

qd

2R3r1 1

r2 + r1

dove R = R1 = R2 = R3.La densita totale e la carica totale di polarizzazione sono:

P =qd

2R31

r1

r1 r2r1 + r2

Qpol =

q

r1

r1 r2r2 + r1

e risultano 0 per r1 r2.

28


33/86

Cap. 4: Cariche immagine e dielettrici.

4.3 Problemi suggeriti.

(Per le soluzioni di questi problemi si veda: Landau-Lifsits, Elettrodinamica deimezzi continui, Cap. II, 7.)

1) Si determini il campo elettrico nel caso di un filo carico di lunghezza infinitaposto a distanza h parallelamente alla superficie di separazione tra due dielettricidiversi.

2) Determinare il campo elettrico nel caso di un filo carico di lunghezza infinitaposto in un mezzo di costante dielettrica 1 a distanza d dallasse di un cilindro,di raggio R < d, di materiale di costante dielettrica 2.

3) Determinare il campo nel caso il filo carico del problema precedente si trovi

ad una distanza d < R dallasse del cilindro.

29


34/86


30


35/86

Capitolo 5

Elettrostatica e funzionianalitiche.

5.1 Premessa: le funzioni analitiche.

Lo studio delle funzioni di variabili complesse e presentato nei corsi di matematicae di metodi matematici della fisica. In questa premessa sono richiamate le nozioniessenziali per lapplicazione di queste funzioni ai problemi di elettrostatica. Peruna trattazione estesa si rimanda ai testi di metodi matematici1; un vecchio testopiuttosto interessante puo essere il volumetto di Tricomi2.

I numeri complessi z = x + iy possono essere rappresentati su un pianocartesiano O(x, y) facendo corrispondere al numero complesso z0 = x0 + iy0 ilpunto P0 di coordinate (x0, y0) (vedi fig.5.1).Possono anche scriversi con luso di coordinate polari (, ):

z = ei z = (cos + isen)

essendo: x = cos e y = sin.Una funzione di variabile complessa f(z) si puo scrivere sempre nella forma

f(z) = u + iv con u = u(x, y) e v = v(x, y) funzioni reali delle variabili realix e y.Per esempio nel caso di f(z) = z2:

f(z) = (x + iy)2 = (x + iy)(x + iy) = x2 y2 + i2xy

u(x, y) = x2 y2 e v(x, y) = 2xy (si veda la fig. 5.2).Dalla teoria delle funzioni di variabile complessa si trova che affinche f(z) sia

1Per esempio: C.Bernardini, O.Ragnisco, P.M.Santini, Metodi matematici della fisica,Carocci, Roma.

2F.Tricomi, Funzioni Analitiche, Zanichelli, Bologna.

31


36/86


Figura 5.1: Rappresentazione di un numero complesso sul piano.

-100 -50 0 50 100

-100

-50

0

50

100

Figura 5.2: Funzioni u(x, y) = x2 y2 = A in nero e v(x, y) = 2xy = B in rosso.

32


37/86

Cap. 5: Elettrostatica e funzioni analitiche.

derivabile in z0 devono essere soddisfatte le condizioni di Chauchy-Riemann o dimonogeneita:

u

x=

v

y

u

y=

v

x(5.1)

essendo u(x, y) e v(x, y) funzioni continue assieme alle loro derivate parziali pri-me.Le funzioni che soddisfano queste condizioni si dicono analitiche o olomorfeo monogenee e lesistenza della derivata prima implica lesistenza delle derivatedi tutti gli ordini della funzione e la sua sviluppabilita in serie di potenze. Inol-tre lintegrale lungo un cammino chiuso sul piano complesso e nullo e (quindi)lintegrale di linea di f(z) sul piano complesso dipende solo dai punti estremi deicammini (1 = 2):

f(z) dz = 0

1f(z) dz =

2f(z) dz

Derivando la prima delle (5.1) rispetto a x (y) e la seconda rispetto a y (x) esommandole (sottraendole) si trovano le relazioni:

2u

x2+

2u

y2= 0

2v

x2+

2v

y2= 0

ossia le funzioni u(x, y) e v(x, y) di una funzione analitica soddisfano le equazionidi Laplace:

u = 0 v = 0

cioe sono due funzioni armoniche.

Data una delle due funzioni u o v, laltra rimane fissata a meno di una costantearbitraria. Infatti, se e nota u, per le (5.1) si ha:

dv =v

xdx +

v

ydy =

u

ydx +

u

xdy

che puo essere integrata per determinare v .Poiche i vettori:

u (u

x,

u

y) v (

v

x,

v

y)

sono perpendicolari in ogni punto alle funzioni u(x, y) = cost e v(x, y) = cost,ed essendo come conseguenza delle (5.1):

u v = 0

le curve u(x, y) = cost e v(x, y) = cost nel punto di intersezione sono localmentetra loro perpendicolari.

33


38/86


5.2 Elettrostatica e funzioni analitiche.

Le funzioni u(x, y) e v(x, y) possono essere le soluzioni per lequazione di Laplace

dei potenziali nel caso di distribuzioni di carica (e quindi del campo elettrico) chedipendono solo da due coordinate e sono congruenti in tutti i piani normali alterzo asse. Si tratta di problemi di elettrostatica bidimensionale. Al variare dellacostante in u(x, y) = cost si hanno superfici equipotenziali e le linee di camposono date dalle funzioni v(x, y) = cost perpendicolari alle prime. Valendo lapossibilita di scambiare le due funzioni per rappresentare le superfici equipoten-ziali e le linee di forza.Se e dato un sistema di conduttori a potenziali Vi e si trovano le curve equipoten-ziali u(x, y) = Vi (o v(x, y) = Vi) che ne descrivono i contorni, le altre superficiequipotenziali, esterne ai conduttori, sono date dalla stessa funzione variando ilvalore del potenziale. Mentre le linee di campo sono date dalla famiglia di curve

v(x, y) (o u(x, y)). Cio e chiarito negli esempi che seguono.I casi del quadrupolo e della lamina si ritrovano per esempio nelle lezioni di Feyn-man3 mentre il caso del cuneo, presentato secondo lo stile dellautore con pocheparole nel volumetto sullElettrodinamica4 di Pauli, e nel seguito discusso un popiu estesamente.Nellappendice di questo capitolo e mostrato come, risolvendo direttamente le-quazione di Laplace con le condizioni al contorno assegnate, si trovino per ipotenziali le stesse soluzioni date dalle funzioni analitiche.

5.3 La funzione f(z) = z

: quadrupolo, cuneo,piano, lamina.

Quadrupolo: f(z) = z2

Per introdurre largomento vogliamo studiare il caso del campo elettrico tra lequattro espansioni polari di un quadrupolo come in figura 5.3. Se le funzioniu(x, y) = x2 y2 = A coincidono con le superfici delle armature equipoten-ziali di un quadrupolo5, le altre superfici equipotenziali6 sono date dalla stessa

3R.P.Feynman, R.B.Leighton, M.Sands, La Fisica di Feynman, Zanichelli, Bologna. Vol.II, Parte 1, Cap.7.1,2 .

4W.Pauli,Elettrodinamica, Boringhieri, Torino. Cap. 12.2 .5Per avere un potenziale e necessario moltiplicare la u(x,y) per una costante C = V /d2 dove

V e il potenziale delle espansioni polari e d la loro distanza dal centro.6Come e facile verificare, il potenziale dato dalla funzione u = x2 y2 corrisponde alla

configurazione di campo elettrico al centro di un quadrupolo formato da quattro fili carichiparalleli: due con densita lineare di carica che attraversano il piano x y in (d, 0) e (d, 0)

34


39/86


funzione con costante A piu piccola in modulo (si veda la figura 5.2) mentre lelinee di forza sono rappresentate dalla funzione v(x, y) = 2xy = B al variare diB (positivo e negativo).Il campo elettrico ha componenti:

E = grad u E : (2x, 2y)

e focalizza una particella carica positiva nel piano orizzontale mentre la defocaliz-za nel piano verticale (fig. 5.3). Scambiando tra loro le curve u e v il quadrupolo

Figura 5.3: Espansioni di un quadrupolo e linee di forza del campo elettrico.

e ruotato di 450.La stessa funzione descrive anche il caso di due semipiani equipotenziali a 900

con lo spigolo lungo lasse z, oppure il potenziale allinterno di una rientranza aspigolo.

Cuneo conduttore carico: f(z) = z

f(z) = z = ei = (cos + isen)

La parte immaginaria di questa funzione:

V = sen (5.2)

rappresenta il potenziale7 nel caso di un cuneo conduttore carico di apertura

e due con densita lineare di carica passanti per (0, d) e (0, d).

35


40/86


Figura 5.4: Vari casi di conduttore carico descritti dalla funzione z : a) cuneodi apertura , b) diedro retto convesso, c) diedro retto concavo, d) piano.

7La (5.2) e un espressione matematica, per trasformarla in un potenziale e necessario mol-tiplicarla per una costante C con le dimensioni V l e aggiungere una costante additiva perlarbitrarieta del potenziale:

V = Csen + VC (5.3)

dove la costante VC corrisponde al potenziale del cuneo conduttore mentre la costante Cdipende dal campo in prossimita del cuneo. Ponendosi per esempio sulla linea di forza a = 2

2, =

2, bisettrice dellangolo esterno al cuneo, si puo fissare il potenziale V1 a

distanza 1 (il potenziale non puo porsi nullo a distanza infinita quando la carica si estendeallinfinito). Si ricava:

C = (V1 VC)1

e quindi lespressione completa del potenziale diventa:

V = (V1 VC)

1

sen + VC .

Questa sulla bisettrice esterna si puo scrivere nella forma:

V VC

= V1 VC

1

Se si richiede inoltre che il potenziale valga V2 a distanza 2 dalla:

V2 VC2

=V1 VC

1

36


41/86


(fig. 5.4a).Essendo il conduttore equipotenziale deve essere :

V( = 0) = V( = 2 )

dalla quale segue il valore di :

=

2 . (5.4)

In particolare per = 2

= 23

diedro retto convesso (fig. 5.4b),

per = 32

= 2 diedro retto concavo (fig. 5.4c),

e per = = 1 piano conduttore (fig.5.4d).

Le componenti del campo elettrico (in coordinate cilindriche) sono:

E = V = V

= 1 sin

E = V = 1

V

= 1 cos

E = 0 per = 0 e per = 2 come richiesto sui due semipiani conduttoriequipotenziali.Per = 0 E =

1 (opposto a ), campo entrante normalmente nel se-mipiano a = 0, mentre per = 2 E =

1, (concorde ), campoentrante normalmente nel semipiano a = 2 .

break Dal teorema di Coulomb si puo ricavare la densita di carica superficialesui due semipiani:

= 01 .

si ricava il potenziale da applicare al cuneo:

VC =2

V1 1

V22

1

e la costante C:

C =V2 V12

1

Il voltaggio del cuneo e determinato dalla differenza di voltaggio V2 V1 che si vuole tra ipunti a distanza 2 e 1 dallo spigolo, cioe in definitiva dal valore del campo elettrico intorno alcuneo (C > 0 per una carica negativa e C < 0 per carica positiva). Nel caso di un semispazioconduttore carico ( = 1) e se positivo C = E0.Nel seguito poniamo C = 1 (come sui testi citati) ricordando che per passare al caso fisico sarasufficiente aggiungere la costante C determinata per il caso in esame.

37


42/86


Dal teoreama di Gauss, applicato a una superficie cilindrica con asse lo spigolo edi raggio , si calcola immediatamente la carica per unita di lunghezza a distanza< :

Q()

0 =20 E n dS

Q()

z= 0

20

E d = 0

20

1 sin d = 20 .

Diedro retto convesso: (fig. 5.4b)

= 2

= 23

f(z) = z2

3 V = 2

3 sen(23

) = 23

0 1

3

E = 23

13 per = 0 e E =

23

13 per = 32.

Q()

z = 2 0

2

3 .

Diedro retto concavo: (fig. 5.4c) E il caso del quadrupolo limitato al primoquadrante. = 32 = 2 f(z) = z

2 V = 2sen(2) = 2 0

E = 2 per = 0 e E = 2 per =32

.

Q()

z= 2 0

2 .

Piano conduttore: (fig. 5.4d) = = 1 f(z) = z V = sen() = 0

E = 1 per = 0 e E = 1 per = ,

Q()

z= 20 ,

e per un conduttore positivo da C = E0 (vedi nota) segue E = E0 per = 0,E = E0 per = , e per la densita = 0E0 .

Lamina conduttrice carica.Per = 0 il cuneo si chiude a formare un semipiano cioe una lamina conduttricecarica. In questo caso = 1

2e la fuzione f(z) diventa:

f(z) = z1

2 = 1

2 ei

2 = 1

2 (cos(

2) + i sen(

2)) (5.5)

38


43/86


Il potenziale V = 1

2 sen(2 ) si annulla per = 0 e = 2 mentre per = e:

V = 1

2 .

Le componenti del campo sono:

-100 -50 0 50 100

-100

-50

0

50

100

Figura 5.5: Equipotenziali (in rosso) e linee di campo (in verde) per una lamina

carica (in nero).

E = 1

2

1

2 sen(

2)

nulla per = 0 e = 2, e:

E = 1

2

1

2 cos(

2)

E = 1

2

1

2 per = 0 e E =1

2

1

2 per = 2.

La (5.5) si puo riscrivere facilmente come funzione delle coordinate cartesiane:

f(z) = 1

2

1 + cos

2+ i

1 cos

2

=

39


44/86


=

(x2 + y2)

1

2 + x

2

12

+ i

(x2 + y2)

1

2 x

2

12

Le superfici equipotenziali sono date da:(x2 + y2)

1

2 x

2

12

= A

e le linee di campo da: (x2 + y2)

1

2 + x

2

12

= B

al variare delle costanti A e B (vedi fig. 5.5),

5.4 Altri casi.

f(z) = 20 log z campo da un filo carico con densita lineare perpendicolareal piano xy e centrato nellorigine.

f(z) =

ii20

log(zzi) campo da piu fili paralleli, perpendicolari al pianoxy, passanti per i punti zi e con densita di carica i.

f(z) = 201z

campo, in approssimazione di dipolo (a grande distanza), generatoda due fili paralleli, posti a distanza e con carica lineare opposta . Si ricordilo sviluppo in serie:

log (1 + z) = zz2

2+

z3

3

z4

4+ ..... |z| < 1 .

40


45/86


5.5 Appendice: soluzione dellequazione di La-

place per una distribuzioni di cariche condipendenza bidimensionale.

Troviamo ora la soluzione dellequazione di Laplace con condizioni al contorno peril potenziale di un sistema di cariche con dipendenza bidimensionale. In questocaso conviene usare le coordinate cilindriche cosicche lequazione di Laplace siscrive:

1

V

+

1

22V

2= 0

e si puo facilmente risolvere per separazione delle variabili ponendo:

V(, ) = R()() .

Ne seguono le equazioni:

R

= A2R

2

2= A2

Per A2 < 0 si avrebbero soluzioni esponenziali in fisicamente non accettabili.Quindi deve essere A2 0 e le soluzioni, come si trova facilmente, sono:per A2 = 0 R() = a0 + b0 log() e () = A0 + B0per A2 > 0 R() = c A + d A e () = a cosA + b senA .In caso di simmetria completa intorno allasse z e valida solo la soluzione A2 = 0e lindipendenza da impone B0 = 0. E per esempio il caso del campo tra due

armature cilindriche di diverso raggio. Il potenziale diventa:

V = A0 (a0 + b0 log )

con il noto coefficiente A0b0 =

20e A0a0 un potenziale costante.

Nel caso di un cuneo conduttore di apertura dobbiamo sommare le soluzioniper A2 0. Deve essere B0 = 0 e volendo includere il potenziale nel punto a = 0 devono essere b0 = 0 e d = 0. Il potenziale e quindi:

V = a0A0 + c A (a cosA + b senA) .

Imponendo per ogni un potenziale V0 per = 0 e per = 2 si trova che

devono essere a = 0, a0A0 = V0 e poi A =n

2 = n dove e il parametro giadefinito in 5.4.La soluzione piu generale per il potenziale e:

V = V0 +

n=1

Vnn sen n .

41


46/86


Le soluzioni con n > 1 non interessano il caso di un semplice cuneo conduttoreillimitato. Con n = 1 si ottiene A = = /(2 ) e la soluzione si riduce allasemplice espressione:

V = V0 + V1 sen

cioe alla 5.3.

42


47/86

Capitolo 6

Trasformazione dei campi E e B.

Considerando le trasformazioni relativistiche delle densita di carica e di cor-rente e possibile ricavare le trasformazioni relativistiche dei campi elettrico e ma-gnetico tra sistemi in moto relativo rettilineo uniforme. Nel seguito si esaminaquesto argomento presentato dal testo di Mencuccini e Silvestrini1 aggiungendoosservazioni e completamenti.

6.1 La quadridensita di corrente.

E verificato sperimentalmente che la quantita di carica elettrica Q e la stessa intutti i sistemi di riferimento: e un invariante relativistico, cioe e uno scalare 2.Consideriamo due sistemi di riferimento: S(x,y,z), che pensiamo fermo, e S0(x0, y0, z0)in moto con velocita v costante lungo lasse x rispetto al primo. Una carica dQe contenuta in un volumetto d0 = dx0dy0dz0 del sistema S0. In questo sistemala carica e a riposo e la sua densita e:

0 =dQ

d0=

dQ

dx0dy0dz0.

1C.Mencuccini - V.Silvestrini, Fisica 2 Elettromagnetismo - Ottica, Cap. V.8. Si veda ancheF.Lobkowicz - A.C.Melissinos, Fisica, Vol. II, Cap.13.2 .

2Cio e abbastanza plausibile: una carica e sempre un numero fissato di cariche elementariQ = N e. Cambiando il sistema di riferimento il numero N di cariche elementari contate nonpuo ovviamente cambiare, ne, per il principio di equivalenza, il valore di e puo esser diversoda un sistema allaltro altrimenti si potrebbe distinguere tra i vari sistemi e sarebbe violato ilprincipio di equivalenza.

43


48/86


Nella trasformazione al sistema S, le distanze normali al moto rimangono inva-

riate dy = dy0, dz = dz0 ma per la contrazione di Lorentz: dx = dx0

1 v

2

c2e

quindi per la densita abbiamo:

=dQd

=dQ

dxdydz=

dQdx0dy0dz0

11 v

2

c2

=0

1 v2

c2

= 0 .

Nel sistema S la carica e in moto con velocita v e quindi si vede come unacorrente con densita di corrente J = v = 0v. Possiamo comprendere che J ec sono le componenti spaziali e temporale di un 4-vettore densit a di corrente3

J = ( J,c) = (0v, 0c):

J = 0v1 v

2

c2

,0c1 v

2

c2 (6.1)

con norma |J|2 = | J|2 J24 = 20c

2.Nel sistema S0 dove la carica e a riposo la 4-densita di corrente ha compo-

nenti: (0, 0c).Le leggi di trasformazione della 4-densita di corrente da un sistema di riferi-

mento S a uno S in moto lungo lasse x con velocita V, si trovano facilmenteusando la matrice di trasformazione L :

L =

0 0 0 1 0 00 0 1 0

0 0

= Vc = 11 V2c2

.

Da J = LJ, prendendo J = (Jx, Jy, Jz, c) e J = (Jx, J

y, J

z,

c) come duematrici a colonna, e facendo il prodotto riga per colonna:

JxJyJzc

=

0 0 0 1 0 00 0 1 0

0 0

JxJyJxc

(6.2)

3Si osservi che la (6.1) si ottiene sostituendo 0 con m0 nellespressione della 4-quantita dimoto:

p =

p ,

E

c

=

m0v

1 v2

c2

,m0c1 v

2

c2

.

44


49/86

Cap. 6: Trasformazione dei campi E e B.

per le trasfornazioni delle densita di corrente e di carica si ottengono le relazioni:

Jx = (Jx V)Jy = Jy

Jz = Jz

= ( Vc2

Jx)

Passando dal sistema S0 dove la carica e ferma e J = (0, 0c) al sistema S,essendo V = v, la trasformazione (6.2) da le densita di corrente e di caricaJ = (0v, 0c) gia date in (6.1) .

6.2 Corrente in un filo e particella in moto.

Consideriamo un filo, posto sullasse x, percorso da una corrente nel verso positivodellasse. A distanza r dal filo una particella di carica Q si muove parallelamenteal filo con velocita V = (V, 0, 0) come in figura. Per la presenza del campoB, generato dalla corrente nel filo, sulla particella agisce la forza di LorentzFL = qV B che le da unaccelerazione radiale. In un sistema in moto lungolasse x con la stessa velocita della particella, questultima e ferma e quindi laforza di Lorentz non agisce. Per il principio di relativita ci dobbiamo alloraaspettare che ci sia un campo elettrostatico che accelera allo stesso modo laparticella ferma.

Dette n la densita dei portatori di carica e v (v, 0, 0) la velocita di deriva

degli elettroni nel filo, nel sistema di laboratorio S (dove il filo e fermo), le4-densita di corrente delle cariche positive e negative4 sono: J+(0, 0, 0,nqc) eJ(nqv, 0, 0, nqc) e quindi:

J = J+ + J = (nqv, 0, 0, 0) . (6.3)

Effettuando la trasformazione (6.2) al sistema S della carica Q, con = Vc

, sitrova:

J = J+ + J = (nqv, 0, 0,nqv

V

c) . (6.4)

In questo sistema oltre a una corrente di densita J = nqv x , che genera un

campo magnetico, e presente una densita di carica = nqv Vc2 che origina uncampo elettrostatico.Esaminiamo ora cosa avviene nei due sistemi in moto relativo.

4Per positive intendiamo le cariche positive generate dallallontanamento degli elettroni diconduzione dagli atomi del reticolo cristallino e per negative gli elettroni di conduzione.

45


50/86


Sistema del laboratorio (filo fermo). - Detta la sezione del filo, si ha unacorrente I = J = nqv che a distanza r genera un campo:

B0 =02

nqv

r(6.5)

e lequazione del moto e quindi:

dprdt

= QV B0 =02

nqv

rQV (6.6)

Sistema della carica in moto. - In questo sistema, come sopra trovato, il filo hauna densita di carica = nqv V

c2 ossia una densita lineare = che genera

un campo elettrico radiale:

E0 =1

20

r=

1

20

nqv

r

V

c2 (6.7)

e lequazione del moto e:

dprdt

= QE0 =1

20

nqv

r

V

c2Q =

02

nqv

rQV (6.8)

dove abbiamo ricordato che 1c2

= 00.Osservando che lintervallo di tempo proprio della carica dt e legato a dt dalla

46


51/86


relazione dt = dt lequazione (6.6) diventa:

dprdt

=02

nqv

rQV

che coincide con la (6.8).Le equazioni (6.6) e (6.8) sono le espressioni nei sistemi di riferimento S e S

dellequazione covariante del moto: .

dp

d= f

che vedremo nel seguito.

6.3 Trasformazioni dei campi E e B.

La trasformazione della densita di corrente J = J+ + J = (nqv, 0, 0, 0) dalsistema S, dove presente solo una corrente, al sistema S dove essendo J =J+ + J

= (nqv, 0, 0, nqv

Vc

) sono presenti nel filo una densita di correntee una di carica non nulla, implica che un campo B in S e visto in S come lasovrapposizione di un campo B e di un campo E. Similmente partendo in Sda una densita di carica non nulla (filo carico) J = J+ + J = (0, 0, 0,nqc)si troverebbe sul filo in S una densita di carica e di corrente J = J+ + J

=

(nqV , 0, 0,nqc), cioe al campo E in S corrisponderebbero in S un campo E

e B

. Dallanalisi di queste trasformazioni si possono derivare le trasformazionidei campi E e B da un sistema ad un altro in moto con velocit a V ( = Vc

)

rispetto al primo. Queste per V (V, 0, 0) sono:

Ex = ExEy = (Ey cBz)Ez = (Ez + cBy)

Bx = BxBy = (By +

Ezc

)

Bz = (Bz Eyc

)

oppure scritte per le componenti parallele e trasverse alla velocita V:

E =

E

E = ( E + V B) B

=

B

B = ( B 1c2 V E).

Ricaveremo in seguito le leggi di trasformazione dei campi con considerazioni piugenerali.

47


52/86


6.4 Invarianza della carica.

Dalle espressioni per le 4-densita di carica (6.3) e (6.4) il filo risulta neutro nel

suo sistema di riposo mentre e carico nel sistema della carica in moto e quindisembrerebbe Q = 0 mentre Q = 0 in evidente contraddizione con laffermazioneiniziale dellinvarianza della carica.Vogliamo riconsiderare le cariche presenti sul filo considerando anche il moto dideriva degli elettroni. Le espressioni complete per le 4-densita di corrente:

J+(0, 0, 0,nqc) J(nqv, 0, 0, nqc)

dove n e la densita degli elettroni di conduzione nel loro sistema di riposo(considerando il solo moto di deriva) e:

=1

1 v2c2

.

Sommando i due contributi ma tenendo separati i contributi delle cariche positivee negative abbiamo:

J = J+ + J = (nqv, 0, 0, qc(n n)) (6.9)

Trasformando la 4-densita (6.9) al sistema della carica in moto con velocita Vparallelamente al filo otteniamo la 4-densita di componenti:

J = nqV + nq(v V), 0, 0,nqc nqc1 vVc2

La densita di carica positiva nel sistema S e + = nqe la carica positiva contenutain un tratto l di filo e Q+ = nql. Nel sistema S

della carica in moto + = nqe la carica nello stesso tratto di filo e Q+ = nql

essendo l la lunghezza di lin S. Poiche l = l/ risulta Q+ = nql = Q+, la carica positiva e la stessa neidue sistemi di riferimento.La densita di carica negativa nel sistema di riposo degli elettroni di conduzionee = n

q e la carica in un tratto di filo visto dagli elettroni di lunghezza le eQ = n

qle. Nel sistema della carica in moto la densita negativa e

= n

q

1

vV

c2

e la carica nello stesso tratto di filo, visto di lunghezza le dalla carica in moto, e:

Q = nq

1

vV

c2

le .

48


53/86


Per la lunghezza le possiamo scrivere le = le/

essendo relativo alla trasfor-mazione dal sistema degli elettroni di conduzione al sistema della carica in moto.Dalla legge di composizione delle velocita si ottiene per la velocita della caricarispetto agli elettroni:

V = V v1 vV

c2

dalla quale si trova facilmente:

=1

1 V2

c2

=

1

vV

c2

e quindi

Q = nq

1

vV

c2

le

= nqle = Q

la carica negativa nel sistema della carica ferma e la stessa del sistema deglielettroni di conduzione fermi.Naturalmente essendo nel sistema di laboratorio la carica elettrica del filo nulla,possiamo scrivere Q+ = Q, e la stessa uguaglianza vale in ogni sistema diriferimento.La carica e sempre la stessa, ma passando a un altro sistema di riferimentocambiano le densita di carica e di corrente da cui, come si vede direttamentedalle (6.5) e (6.7), dipendono i campi elettrico e magnetico.In definitiva, per effetto della contrazione dei regoli varia la lunghezza del filocontenente una certa quantita di carica, ma varia in modo inverso la densita di

carica, e quindi la carica contenuta rimane invariata.

49


54/86


50


55/86

Capitolo 7

Covarianza relativisticadellelettromagnetismo.

7.1 Introduzione.

Nel capitolo precedente, dopo aver riconosciuto che la densita di corrente e dicarica sono le componenti spaziali e temporale della quadridensita di correnteJ ( J, ), applicando le trasformazioni di Lorentz, abbiamo trovato le leggi ditrasformazione dei campi E e B tra due sistemi in moto relativo uniforme. Inquesto capitolo vedremo come tutte le formule dellelettrodinamica si possonoscrivere nella stessa forma, che diremo forma covariante, in tutti i sistemi iner-ziali in moto relativo uniforme connessi da trasformazioni di Lorentz1. Cio ci

permettera, in particolare, di chiarire la natura dei campi elettrico e magneticoe di trovare come diretta conseguenza le leggi di trasformazione delle grandezzedellelettromagnetismo tra sistemi di riferimento.

Nello spazio a tre dimensioni lequazione F = ma , essendo una relazione vet-toriale, non dipende dal particolare sistema di riferimento scelto, ossia e correttain tutti i sistemi di riferimento connessi da traslazioni, rotazioni e trasformazionidi Galileo tra sistemi inerziali in moto relativo uniforme. Le componenti di Fe di a variano al variare del sistema di osservazione ma le tre relazione scalari,corrispondenti allequazione vettoriale, che si scrivono tra le componenti omolo-ghe dei due membri dellequazione, sono valide in ogni sistema di riferimento. Inquesto senso diciamo che una relazione vettoriale e scritta in forma covariante,

e rimane quindi invariata nelle trasformazioni tra i sistemi di riferimento detti.

1Si suggerisce di vedere largomento anche sui seguenti testi:E.Amaldi, R.Bizzarri, G.Pizzella: Fisica Generale, Elettromagnetismo - Relativita - Ottica.J.D.Jackson: Classical Electrodynamics, (in italiano presso Zanichelli).L.D.Landau-E.M.Lifsits: Teoria dei campi.

51


56/86


A questa proprieta corrisponde linvarianza della meccanica classica sottotrasformazioni galileiane. Diversamente le leggi dellelettromagnetismo non so-no invarianti sotto trasformazioni di Galileo ma lo sono sotto trasformazioni diLorentz, e tutte le equazioni dellelettromagnetismo si possono scrivere in forma

covariante valida in tutti i sistemi inerziali connessi da trasformazioni di Lorentz.

7.2 Quadrivettori, componenti covarianti e con-trovarianti.

In un sistema di riferimento S dello spazio quadridimensionale di Minkowski,un evento e individuato dalla posizione r (x, y, z ) del punto in cui esso avvienee dallistante di tempo t nel quale accade. r e t costituiscono le componenti

spaziali e temporale del quadrivettore x di componenti x

con = 1, 2, 3, 4 ossia(r, ct) = (x,y,z,ct). Similmente per un qualsiasi quadrivettore a dello spazio-tempo si hanno tre componenti spaziali ed una temporale: a (a, a4).Il secondo postulato della relativita, per il quale la velocita della luce e la stessain tutti i sistemi di riferimento, impone2 poi che la distanza ds (dx,dy,dz.cdt)tra due punti dello spazio-tempo sia la stessa in tutti i sistemi di rifermento inmoto relativo uniforme e in particolare per due sistemi S e S deve essere:

(ds)2 = (dx)2 + (dy)2 + (dz)2 c2(dt)2 = (dx)2 + (dy)2 + (dz)2 c2(dt)2 (7.1)

Nello spazio a quattro dimensioni il prodotto scalare di due quadrivettori A e Be definito dalla relazione:

A B = gAB (7.2)

dove g e il tensore metrico, che definisce la metrica dello spazio e si e sottintesala sommatoria su tutti i valori di un indice che compare con stessa variabile.In particolare per ds si puo scrivere:

(ds)2 = gdsds

e dal confronto di questa con la (7.1) per il tensore metrico si trova g = 1 per = = 1, 2, 3 ; g = 1 per = = 4, g = 0 per = .

2Se per i due sistemi S e S, in moto relativo uniforme luno rispetto allaltro, lorigine e gli

assi coincidono al tempo t = t

= 0 e nellorigine a quellistante e emessa unonda e.m. sferica,questa deve continuare ad essere unonda sferica che si propaga con velocit a c in ambedue isistemi di riferimento. Si deve quindi avere:

s2 = x2 + y2 + z2 c2t2 = x2 + y2 + z2 c2t2 = 0

52


57/86

Cap. 7: Covarianza relativistica dellelettromagnetismo.

Sotto forma di matrice g si puo scrivere:

g =

1 0 0 00 1 0 0

0 0 1 00 0 0 1

(7.3)

Per quanto detto si possono scrivere per esempio le relazioni:

s2 = gxx = x2 + y2 + z2 c2t2

a2 = gaa = a2x + a

2y + a

2z a

24

a b = gab = axbx + ayby + azbz a4b4 .

Dette x e x le componenti del 4-vettore x in S e S si puo scrivere:

dx = x

x dx .

Si definiscono componenti contravarianti del 4-vettore A le componenti A (Ax, Ay, Az, A4)che si trasformano da S a S secondo la relazione:

A =x

xA . (7.4)

Dovendo essere:

dx =x

xx

xdx

si ha:

x

xx

x= x

x= .

Le quantita:x

x

nella (7.4) sono gli elementi di una matrice 4 x 4 che si trovano direttamentedalle trasformazioni di Lorentz. Per le trasformazioni del quadrivettore x(x, ct)si ha:

x = Lx (7.5)

dove, nel caso lasse x del sistema S scorra con velocita v = cx sullasse x di

S e gli assi siano coincidenti al tempo t=0, L e:

L =

0 0 0 1 0 00 0 1 0

0 0

53


58/86


e il 4-vettore x si puo scrivere come un vettore colonna cosicche la trasformazione(7.5) si riduce a un prodotto tra matrici.

Si possono poi definire come componenti covarianti del 4-vettore A le componentiA che si trasformano da S a S

secondo la relazione:

A =x

xA . (7.6)

Il prodotto scalare tra i due 4-vettori A e B si puo allora riscrivere nella forma:

A B = AB =

x

xx

xAB

= AB = AB

. (7.7)

In particolare poiche deve essere:

(ds)

2

= dxdx

dal confronto con la (7.1) segue:

dx = gdx

e piu in generale, dalle (7.2) e (7.7) tra le componenti covarianti e contravariantidi un 4-vettore si ha la relazione:

A = gA .

In modo analogo a quanto fatto per un 4-vettore mediante le relazioni (7.4)e (7.6), si possono definire per un tensore di rango 2 o superiore le componenicontravarianti, covarianti o miste. Per un tensore di rango 2 si hanno componenticontravarianti:

F =x

xx

xF ,

covarianti:

F =x

xx

xF ,

miste:

F =

x

xx

xF

F =

x

xx

xF

.

Se f e una funzione scalare, anche il suo differenziale df e scalare, quindi da:

df =f

xdx

54


59/86


essendo dx contravariante segue che fx

e un quadrivettore covariante. Scrive-

remo f =fx

e diremo che =x

e un operatore differenziale covariante.Allo stesso modo da:

df =f

xdx

segue che fx

e un quadrivettore contravariante e = x

e un operatore

differenziale contravariante.Come il prodotto scalare AB

anche e uno scalare, quindi il dalambertiano

=

x

x+

y

y+

z

z

ct

ct= 2

1

c22

t2=

ha la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento.

7.3 Covarianza relativistica dellelettromagne-

tismo.

Il primo postulato della relativita (principio di equivalenza) richiede che le leggidella Fisica siano le stesse in tutti i sistemi di riferimento in moto relativo uni-forme. Perche cio sia verificato e sufficiente che in ogni equazione i due membrisi trasformino identicamente sotto trasformazioni di Lorentz. Cio avviene se essihanno stesse proprieta tensoriali: siano ambedue o scalari, o quadrivettori op-pure piu in generale tensori di stesso rango. In tal caso si dice che le equazionisono scritte in forma covariante. Nel seguito per provare la covarianza dellelet-tromagnetismo proveremo che tutte le sue equazioni si possono scrivere in formacovariante.

7.4 Quadripotenziale ed equazioni dellelettro-

dinamica.

Le due equazioni fondamentali per i potenziali sono:

2 A 1

c2

2 A

t2

= J 2V 1

c2

2V

t2

=

Se introduciamo il 4-potenziale A = A( A, V

c) e ricordiamo J = J( J,c) le

precedenti equazioni, tenendo conto che:

c2 = 1

=

1

55


60/86


si possono scrivere nella forma:

A = J

cioe come le quattro componenti dellequazione:A = J

Questequazione, corrispondente alle equazioni fondamentali delleletrodinamica,e la stessa in tutti i sistemi di riferimento e cio sarebe gia sufficiente a provare lacovariaza relativistica dellelettrodinamica.

7.5 Equazione di continuita.

Lequazione di continuita:

J +

t= 0

Jxx

+Jyy

+Jzz

+1

c

c

x= 0

si riscrive in forma covariante come un semplice prodotto scalare:

J = 0

7.6 Tensore elettromagnetico.

Consideriamo ora i campi E e B. Da B = A considerando la componente Bx

in funzione del potenziale A abbiamo:

Bx =Azy

Ayz

che possiamo riscrivere come la componente di un tensore di rango 2 (a dueindici):

F23 = 2A3 3A2

e similmente per By e Bz. Possiamo allora introdurre un tensore F:

F = A A

Variando gli indici , = 1, 2, 3 troviamo le componenti del campo B comeindicato in tabella, mentre se uno degli indici e lindice temporale abbiamo lecomponenti del campo elettrico. Per esempio nel caso F14, abbiamo:

F14 = 1A4 4A1 =1

c

V

x+

1

c

Axx

= Exc

56


61/86


Cambiando lindice 1 in 2 e 3 si trovano le altre componenti del campo elettrico.F e il tensore elettromagnetico. E un tensore antisimmetrico come si vede dalladefinizione, ed ha come elementi le componenti dei campi E e B.

F =

0 Bz By Exc

Bz 0 Bx Eyc

By Bx 0 Ezc

Exc

Eyc

Ezc

0

Si comprende allora che i campi E e B sono intimamente legati essendo le com-ponenti di uno stesso tensore. Come vedremo nel prossimo paragrafo, cambiandosistema di riferimento cambiano le componenti del tensore, cioe le componentidi E e di B, e i campi si mescolano tra loro. In un sistema potremmo avere solocampo E, in un altro solo campo B e negli altri una combinazione dei due.

7.7 Trasformazione dei campi E e B.

Per trasformare i campi E e B dobbiamo trasformare le componenti del tensoreelettromagnetico a due indici:

F = LLF

Per esempio per F42 conservando solo i termini non nulli:

Ey

c = F42

= L4

L2

F

= L4

1L2

2F12

+ L4

4L2

2F42

= Bz +

Ey

c

e quindi:

Ey = (Ey vBz) .

Similmente si possono trovare le leggi di trasformazione per tutte le componentidei campi E e B:

Ex = ExEy = (Ey cBz)Ez = (Ez + cBy)

Bx = BxBy = (By +

Ezc

)

Bz = (Bz Eyc

)(7.8)

o in forma piu compatta per le componenti parallele e trasverse alla velocita v:E =

EE = ( E + v B)

B =

BB = ( B

1c2

v E)

57


62/86


7.8 Equazioni di Maxwell.

7.8.1 Equazioni non omogenee.

Le equazioni non omogenee scritte in forma covariante sono:

F = J (7.9)

Per = x si ha:

Fxx

x+

Fxy

y+

Fxz

z+

1

c

Fx4

t= Jx

ed essendo Fxx = 0 si trova:

Bzy

By

z 1

c2Ext

= Jx

cioe la componente x della IV equazione:

( B)x = Jx + Ex

t

e similmente per le componenti y e z.Per = 4 si ha:

F4 = J4

1

c

Exx

+1

c

Eyy

+1

c

Ezz

+1

c

F44

t= c

ed essendo F44 = 0 e c2 = 1/ la precedente relazione diventa:

E =

7.8.2 Equazioni omogenee.

Le quattro equazioni (scalari) omogenee si scrivono nella forma:

F + F + F = 0

58


63/86


usando le quattro combinazioni diverse possibili di valori dei tre indici , , essendo nulle le equazioni con due indici uguali.Per la terna di indici spaziali lequazione diventa:

xFyz + yFzx + zFxy = 0

Bxx

+Bxx

+Bxx

= 0 B

cioe la II equazione di Maxwell. Con gli indici x, y e quello temporale:

xFy4 + yF4x + 4Fxy = 0

x

Eyc

+

y

Exc

1

c

Bzt

= 0 ( E)z = Bzt

si ottiene la componente z della III equazione. Similmente per le componentix e y.

7.9 Equazioni dei potenziali.

Inserendo la relazione F

=

A

A

nellequazione di Maxwell F

=J si ottengono le quattro equazioni dei potenziali accoppiate:

A (A

) = J

dove:

A =

Axx

+Ayy

+Azz

+1

c2V

t

e invariante. Ponendosi quindi nella gauge di Lorentz A

= 0 in un sistema diriferimento questa e conservata in tutti i sistemi di riferimento.Rimangono quindi le equazioni disaccoppiate per i potenziali:

A = J A = J

59


64/86


7.10 Trasformazioni di gauge.

Le trasformazioni di gauge:

A = A + V = V t

in forma covariante si scrivono:

A = A +

7.11 Fase dellonda e.m..

Definendo come 4-vettore donda k (k,/c) essendo x (r, ct) e chiaro che:

kx = k r t

e un invariante relativistico, cioe la fase e la stessa in tutti i sistemi di riferimento.Si osservi inoltre che per londa e.m. kk

= 0.

7.12 Equazioni del moto per una particella ca-

rica.

Si ricordi che la 4-velocita e:

u = dx

d( dx

i

dt, cdt

dt) = (v, c)

dove d = dt/ e il tempo proprio. La 4-quantita di moto e p = m0u:

p (m0v, m0c) = (p,E

c)

dove E indica lenergia della particella. Definita la 4-forza:

f = ( F ,F v

c)

le equazioni del moto sono:

dp

d= f

La forza su una carica puntiforme F = qE+ qv B si scrive come la componentespaziale dellequazione:

f = qFu

60


65/86


e le equazioni del moto sono:

dp

dt= F = qE+ v B

mentre la quarta componente dellequazione del moto relativistica corrispondealla legge di variazione dellenergia E della particella:

dE

dt= qE v

61


66/86


62


67/86

Capitolo 8

Energia e quantita di moto delcampo elettromagnetico.

8.1 Il vettore di Poynting.

paragrafo da modificare (nei prossimi giorni sara pronto),si veda per il momento Mencuccini-SilvestriniConsideriamo un volume , racchiuso da una superficie S, allinterno del qualee presente un campo elettromagnetico che interagisce con delle cariche elettrichein moto. Se n e il numero di cariche q per unita di volume e v la loro velocita,la forza d f applicata dal campo elettromagnetico sui portatori in un elemento divolume d e:

d f = q( E+ v B)nd

Il lavoro elementare fatto sulle cariche contenute in d in un tempo dt e:

dL = d f ds = d f vdt = nq( E+ v B) vdtd = nqv Edtd = J Edtd

essendo (v B) v = 0. La potenza trasferita dal campo alla materia carica perunita di tempo e di volume e:

dL

ddt= w = J E

Sostituendo dalla IV equazione di Maxwell:

J = HD

t

si ottiene:

J E = E ( H) ED

t(8.1)

63


68/86


Dalla relazione:

( E H) = ( E) H E ( H)

si ricava:

E ( H) = ( E H) + ( E) He tenendo conto della III equazione di Maxwell:

E = B

t

la (8.1) si puo riscrivere come:

J E = ( E H) B

t H E

D

tche diventa:

J E = ( E H)

t1

2 E D + B H

ed essendo:

u =

1

2

E D + B H

la densita di energia elettromagnetica si ottiene:

J E = ( E H) u

tIntroducendo il vettore di Poynting:

S = E H

possiamo scrivere:

u

t= S+ J E . (8.2)

Integrando questequazione su un volume finito :

d

dt

ud =

Sd +

J Ed

ed applicando il teorema di Gauss-Green al volume , si ottiene:

dU

dt=

S nd +

( J E)d

Questa relazione stabilisce la conservazione dellenergia in presenza di campoelettromagnetico: la diminuzione di energia allinterno del volume e uguale alflusso di energia, associato al vettore di Poynting, che lascia il volume attraversola superficie che circonda il volume piu lenergia trasferita alle cariche in motonel volume . Lequazione (8.2) rappresenta la formulazione locale di questa leggedi conservazione.

64


69/86

Cap. 8: Energia e quantita di moto del campo e.m.

8.2 Alcuni esempi.

8.2.1 Resistore

Consideriamo un resistore approssimato come un cilindro con asse1

z, di raggior e lunghezza d, con resistivita uniforme. Al suo interno scorre uniformementeuna corrente I in direzione z. Per il teorema della circuitazione sulla superficielaterale e presente un campo magnetico:

2rH = I H = I

2r

In prossimita della superficie laterale (fig. 8.1a), e presente anche un campo elet-trico uguale al campo elettrico allinterno. Assumendo una caduta di potenzialeuniforme lungo il resistore, per il campo E abbiamo:

E = V

d z .

E quindi presente

Appunti elettromagnetismo

Documents

Transcript of Appunti elettromagnetismo