elettromagnetismo 1 (2019-2020);1ragusa/2019-2020/elettromagnetismo... · 2019. 12. 16. · Prof....

Prof. Francesco RagusaUniversità degli Studi di Milano

Anno Accademico 2019/2020

Elettromagnetismo

Scarica del condensatoreGeneratori di tensione e di corrente

Generatori ideali e reali

Lezione n. 19 – 19.12.2019

Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 409

Carica del condensatore• Consideriamo adesso un problema leggermente differente• Carichiamo un condensatore ad una tensione V0

utilizzando un generatore di tensione• La resistenza R può essere introdotta diproposito oppure può essere la resistenza interna del generatore• In quest'ultimo caso indesiderata ma

inevitabile in un circuito reale• L'interruttore viene chiuso al tempo t = 0• È equivalente ad un generatore che fornisce

una tensione come nel grafico• Notiamo che la stessa corrente I circola sia nella

resistenza sia nel condensatore• L'equazione della maglia è

• Otteniamo l'equazione differenziale

C

RV

CV+ R0V I

0 0R CV V V+ − = RV RI=CdVI Cdt

=

0C

C

dVV RC V

dt= + 0

CC

dVV V

dtτ + =

gradino

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-1 0 1 2 3 4 5

C

0

VV

/t τ


Carica del condensatore

• La condizione iniziale è VC(0) = 0 • Il condensatore inizialmente è scarico

• Si verifica immediatamente che l'equazione è soddisfatta dalla funzione

• Confrontiamo la tensione del condensatore conla tensione applicata alla resistenza ("ingresso")• Possiamo dire che il condensatore non riesce

a raggiungere V0 con la stessa velocità dellatensione applicata per caricarlo• Il prodotto τ = RC determina la velocità con cui il sistema resistenza - condensatore raggiungela tensione di carica voluta

carica

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-1 0 1 2 3 4 5/t τ

C

0

VV

0

VV

gradino

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-1 0 1 2 3 4 5/t τ

0 0 0 1t t

CV V V e V eτ τ− −⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= − = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

C

RV

CV+ R0V

0C

C

dVV V

dtτ + =


Carica del condensatore• Osservazioni• La velocità con cui si riesce a caricare un condensatore dipende dalla

resistenza del conduttore che trasporta la corrente per caricarlo• Resistenza interna del generatore• Resistenza dei conduttori (lunghezza)• Naturalmente a parità delle altre condizioni capacità più elevate richiedono

tempi più lunghi per raggiungere la tensione voluta• Dispositivi elettronici molto veloci richiedono capacità parassite piccole

• La tensione fra le armature di un condensatore non può cambiare istantaneamente di un valore finito• Ci vorrebbe una corrente infinita tale che Q = Idt (I → ∞, dt → 0)

• Circuiti RC possono essere usati per generare ritardi• Un circuito elettronico può generare un segnale ritardato quando il suo ingresso supera un valore di riferimento

carica

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-1 0 1 2 3 4 5

tΔ

CR


Partitore di tensione• Un circuito molto semplice ma molto importante è il partitore di tensione• Vogliamo calcolare la tensione ai capi della

resistenza R2 (fra i punti a e b)• Chiamiamo i la corrente che circola nella maglia

• Ovviamente

• Il partitore fornisce fra i punti a e b una tensioneinferiore a quella della forza elettromotrice• Il fattore di riduzione f (o di partizione) è

• Notiamo che

• La tensione appare ai capi delle resistenze più grandi• Tuttavia occorre tenere presente la differenza fra partitore e generatore di forza elettromotrice ideale di valore E/2 • Diversa resistenza interna. Approfondiamo questo punto

a1R

2R

E i+

b

i

a+

1R

2REb

Lo stesso circuito

1 2

iR R

=+E

2 2V R i=2

1 2

RR R

=+

E

2

1 2

RfR R

=+

Ad esempio se R1 = R2 1

1

12 2R

fR

= =

2 0R → 0f → 2 0V = 1 1V Ri= = E

1V

2V1 2 1 2V V Ri R i= + = +E


Generatore di tensione ideale

a

+E

b

LR

v

i

E

QV

C=

C

• Ricordiamo la definizione di generatore di tensione ideale• Un dispositivo capace di mantenere fra i sui due

terminali una differenza di potenziale costante,indipendentemente dalla corrente erogata

• Supponiamo di effettuare una verifica sperimentale• Colleghiamo una resistenza di carico RL ai terminali• Misuriamo la differenza di potenziale v fra a e b• Misuriamo la corrente che attraversa RL: i = E/RL• Ripetiamo per tanti valori differenti di RL• Avremo tante correnti differenti

• Riportiamo i risultati in un grafico• La differenza di potenziale è costante• Non dipende dalla corrente erogata: Generatore ideale• Un generatore reale: Generatore di Van de Graff• La tensione fornita è Q/C• La corrente erogata fa diminuire Q: dQ = i dt• Nel tempo dt la cinghia ricarica il condensatore: dQ'• Se dQ > dQ' ( i "elevata") la tensione si abbassa• In queste condizioni non è un generatore ideale


Generatore di tensione reale• In un generatore reale la tensione diminuisce sela corrente erogata aumenta• Un comportamento analogo al partitore di tensione• Avevamo trovato la tensione fra a e b

• Elaboriamo la relazione per v

• La relazione trovata è una retta nel piano v−i• La pendenza dipende da ri• L'intercetta all'origine è la forza elettromotrice ideale E• Un generatore reale è schematizzabile come un generatore ideale con in serie una resistenza ri: la resistenza interna

a

+

ir

E

b

v

i

E

LR

L

i L

Rvr R

=+

E

iL

i L

ir rRvr R+ −

=+

E

e la corrente in RLi L

ir R

=+E

L i i

i L i L

R r rr R r R

+= −

+ +E E

ii L

rr R

= −+E

E iv ri= −E

resistenza interna ri

tg irα = −

α


Generatori di corrente• Un altro elemento di circuito importante è il generatore di corrente• Meno utilizzato nei circuiti elementari• Meno diffuso come strumento di laboratorio• Molto importante per modellare componenti elettronici• Ad esempio transitors, rivelatori di particelle …

• Un generatore di corrente ideale mantiene la corrente data fra i suoi terminali quale che sia la tensione che si stabilisce fra i suoi terminali• Sul piano v−i la sua relazione Volt-Ampere è

una retta parallela all'asse delle ordinate• Analogamente al generatore di tensione …• In un generatore di corrente reale si sviluppa una

tensione ai suoi terminali che è funzione della corrente che circola• Ricordiamo che anche per un generatore di tensione

reale si aveva una retta• Vediamo pertanto che la distinzione fra un generatore reale di corrente o di tensione è in qualche modo arbitraria• Dipende dal valore della resistenza interna paragonata

alle resistenze del circuito

I

v

iI

v

iI

E


Partitore di corrente• Un circuito molto semplice, analogo al partitore ditensione è il partitore di corrente• La legge di Kirchhoff per i nodi dice che

• Inoltre le tensioni ai capi di R1 e R2 devono essere uguali

• Introducendo nella prima equazione

• E per finire

• Osserviamo che

• La corrente preferenzialmente sceglie i rami con resistenza più bassa

I 1i 2i1R 2R

1 2I = i i+

1 1 2 2v R i R i= = da cui ovviamente 11

vi

R= 2

2

vi

R=

1 2

v vI =R R

+ 1 21 2

R R= v

RR+ 1 2

1 2

RRv = I

R R+

21

1 2

Ri = I

R R+1

21 2

Ri = I

R R+

1 0R → 1i I→ 2 0i → 2 0R → 1 0i → 2i I→


Generatore di corrente reale• Analizziamo ancora il risultato appena trovato• Chiamiamo RL la resistenza R2 e ri la resistenza R1• La corrente che circola in RL

• La corrente erogata è inferiore• Parte della corrente finisce nella resistenza interna

• Pertanto• Un generatore di corrente reale fornisce una corrente inferiore• Il valore esatto dipende dai valori relativi di RL e ri

• Per quanto riguarda la relazione Volt-Ampere• Ai terminali di un generatore reale si sviluppa una tensione v

che determina quanta corrente fluisce nel circuito esterno

• Il valore di v non dipende solo dalla resistenza di carico RL ma anche da ri

iL

i L

ri = I

r R+L Li

i L

r= I

r RR R−++

L

i L

R= I I

r R−

+

L i

i L i

R r Ii = I

r R r−

+ i

v= I

r− L i

i L

R rv Ir R

=+

i

v

Itg 1 / irα = −

α

I 1i Liir LR


Generatori reali: riepilogo• Un generatore di tensione reale è caratterizzato da una forza elettromotrice E e da una resistenza interna ri• Il generatore ideale ha ri = 0• Generatori da laboratorio hanno ri ≈ 0.01 Ω• E si può determinare misurando la tensione frai morsetti a e b senza carico (i = 0): v = E• La resistenza interna ri si può determinate stimandola corrente di corto circuito (RL = 0 ): iCC = ri

• Un generatore di corrente reale è caratterizzato da unasorgente di corrente ideale I e da una resistenza interna ri• Il generatore ideale ha ri = ∞• Generatori da laboratorio hanno circa ri > 1 MΩ• I si può determinare stimando la corrente di corto circuito iCC fra i morsetti a e b (RL = 0): iCC = I• La resistenza interna ri si può determinate misurandola tensione in assenza di carico (iL = 0): v= ri I

a

+

ir

E

b

LR

/ CCv i ( )/ / ir= E E ir=

I 1i Liir LR

a

b

/ CCv i /ir I I= ir=

E+


Teoremi di Thevenin e di Norton• Nella teoria dei circuiti lineari risultano molto utili due teoremi• Il teorema di Thevenin e il teorema di Norton• Ne diamo gli enunciati senza dimostrarli

• Il valore della forza elettromotrice Eeq si determina come il valore della tensione misurata fra A e B quando RL → ∞ (tensione a circuito aperto)• Il valore della resistenza req si calcola determinando prima la corrente iCC

che circola in RL quando la resistenza tende a zero: RL → 0 (corrente di corto circuito)• La resistenza req è

Teorema di TheveninUn qualsiasi circuito lineare visto da due terminali AB è equivalente ad

un generatore di tensione ideale Eeq e una resistenza req in serie

A

+

B

LR+

A+

eqr

eqE

B

LRLi

eqeq

CC

ri

=E


Teoremi di Thevenin e di Norton

• Il valore della corrente Ieq si determina come la corrente iCC che circola in RL quando la resistenza tende a zero: RL → 0 (corrente di corto circuito)• Il valore della resistenza req si calcola determinando prima il valore della

tensione VCA misurata fra A e B quando RL → ∞ (tensione a circuito aperto)• La resistenza req è

Teorema di NortonUn qualsiasi circuito lineare visto da due terminali AB è equivalente ad

un generatore di corrente ideale Ieq e una resistenza req in parallelo

A

+

B

LR+

eqCA

CC

Vr

i=

eqI Lieqr LR

A

B

eq CCI i=


Teoremi di Thevenin e di Norton• Abbiamo visto che le relazioni v−i dei generatori di tensione e di corrente reali sono rette• La distinzione fra i due è in qualche modo arbitraria• Dipende dai circuiti nei quali sono impiegati• Sono generatori di tensione se ri RL• Sono generatori di corrente se ri RL

• Interpretiamo l'arbitrarietà con i teoremi di Thevenin e di Norton• In particolare un generatore di corrente reale può essere

rappresentato come un generatore di tensione reale con opportune forza elettromotrice Eeq = riI e resistenza interna ri

• La tensione di circuito aperto (RL → ∞): Eeq = riI• La corrente di corto circuito (RL → 0): iCC = I• La resistenza equivalente

v

iI

E

I 1i Liir LR

a

b

a

+

b

LRLi

eqeq

CC

ri

=E

ir II

= ir=

ir

eq ir I=E


Teoremi di Thevenin e di Norton• Verifichiamo che il circuito trovato utilizzando il teorema di Thevenin è equivalente a quello originale• Con questo intendiamo che facendo misure ai morsetti a e b

non vediamo differenze

• Nella diapositiva abbiamo calcolato la relazione v−i per il generatore di corrente reale• La tensione v ai capi di RL è

• La corrente iL che scorre in RL è

• Una retta nel piano v−iL

i

vi = I

r−

L i

i L

R rv Ir R

=+

685417

v

iI

I 1i Liir LR

a

b


Teorema di Thevenin• Verifichiamo che il circuito equivalente secondoil teorema di Thevenin conduce alla stessarelazione v−i• La corrente è ovviamente

• Inoltre la tensione ai capi di RL

• Elaboriamo la relazione per iL

LL i

iR r

=+E i

L i

rIR r

=+

LL

L i

Li Ri IrRr

R+ −

=+

a

+

ir

ir I=E

b

LRLi

i

i

L

L i

RI I

R rrr

= −+

L Lv R i=

L

L i

I IR rR

= −+

L i

L i

R rI

R r=

+

1 L ii L i

R rI Ir R r

= −+ i

vIr

= − Li

vi I

r= −

Relazione identica a quella trovata per il generatore di corrente

I 1i Liir LR

a

b


Circuiti elettrici• Il problema dei circuiti di resistenze e generatori è• Noti i valori delle resistenze e delle tensioni dei generatori calcolare • Le correnti che attraversano tutti gli elementi del circuito• Le tensioni ai capi dei terminali degli elementi del circuito• Risolviamo il circuito che abbiamo già visto• Utilizzeremo la legge di Kirchhoff per le maglie• Le incognite sono le correnti

• La prima cosa da fare è determinare il numerodi maglie indipendenti• Una maglia è indipendente dalle altre se

contiene un ramo che non è parte di un'altramaglia• Ad esempio sono indipendenti le due maglie• R1 − R3 − E1• R3 − R2 − E2• È invece dipendente dalle due maglie indicate la maglia E1 − R1 − R2 − E2• Non contiene rami che non siano già compresi nelle altre due maglie

• Il numero delle correnti incognite è uguale al numero delle maglie indipendenti• Si definiscono le correnti specificando il senso positivo (arbitrario)

++3R

1R

2R

1E2E

1i 2i


Circuiti elettrici• Le correnti i1 e i2 permettono di definire lacorrente che attraversa ogni elemento• Nella maglia 1• La corrente i1 attraversa R1e il generatore E1• La corrente i1−i2 attraversa R3(secondo il verso positivo della maglia)

• Nella maglia 2• La corrente i2 attraversa R2 e il generatore E2• La corrente i2−i1 attraversa R3 (secondo il verso positivo della maglia)

• Il senso delle correnti è importante perché serve a definire il segno della differenza di potenziale ai capi dell'elemento del circuito• Le tre differenze di potenziale sono• Per la legge di Kirchhoff per le maglie la loro somma è nulla

• Analogamente per la seconda maglia• Le tre differenze di potenziale sono

++3R

1R

2R

1E2E

1i 2i+

−

−

+

−+

( )3 1 2R i i− 1−E 1 1R i

( )3 1 2 1 1 1 0R i i R i− − + =E ( )1 3 1 3 2 1R R i R i+ − = E

2 2R i

−

+

+−

−+

2−E ( )3 2 1R i i−( )2 2 2 3 2 1 0R i R i i− + − =E ( )3 1 2 3 2 2R i R R i− + + = E


Circuiti elettrici• Riepilogando, abbiamo trovato le due equazioni

• Vale la pena sottolineare la struttura delleequazioni trovati• Per ogni maglia• La corrente della maglia è moltiplicata per la somma di tutte le resistenze della maglia• Compaiono le correnti delle maglie accoppiate (una sola in questo caso)• La corrente della maglia accoppiata è moltiplicata per la somma delle

resistenze in comune (solo R3, in questo caso) con il segno negativo• Il termine noto è uguale alla somma delle forze elettromotrici nella maglia (una sola in questo caso), con il segno opposto a quello della convenzione del senso della corrente

• Queste osservazioni sono utili per• Verificare formalmente la correttezza delle equazioni scritte• Scrivere programmi automatici per la soluzione dei circuiti

++3R

1R

2R

1E2E

1i 2i

( )( )

1 3 1 3 2 1

3 1 2 3 2 2

R R i R i

R i R R i

⎧ + − =⎪⎪⎨⎪ − + + =⎪⎩

EE


Circuiti elettrici• Riscriviamo le due equazioni in forma matriciale

• La soluzione con la regola di Cramer è immediata

1 3 3 1 1

3 2 3 2 2

R R R i

R R R i

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ = ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟− + ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

EE

1 3 3

3 2 3

R R R

R R R

+ −Δ =

− + 1 2 1 3 3 2 3 3 3 3RR RR R R R R R R= + + + −

1 2 1 3 3 2RR RR R RΔ = + +1 3

2 2 3

1

R

R Ri

−+

=Δ

EE ( )2 3 1 3 2

1 2 1 3 3 2

R R R

RR RR R R

+ +=

+ +

E E

1 3 1

3 2

2

R R

Ri

+−

=Δ

EE ( )3 1 1 3 2

1 2 1 3 3 2

R R R

RR RR R R

+ +=

+ +

E E + +3R

1R

2R

1E2E

1i 2i


Circuiti elettrici• Applichiamo il teorema di Thevenin anche al circuito che abbiamo risolto nella diapositiva

• Vogliamo trovare il circuito equivalente visto dai morsetti A B• Consideriamo il circuito senza la resistenza R3

( )2 3 1 3 21

1 2 1 3 3 2

R R Ri

RR RR R R

+ +=

+ +

E E ( )3 1 1 3 22

1 2 1 3 3 2

R R Ri

RR RR R R

+ +=

+ +

E E

++3R

1R

2R

1E2E

1i 2i

3R+

+

1R

2R

1E2E

2 1 1 23 1 2

1 2 1 3 3 2

R Ri i i

R R RR R R−

= − =+ +E E

678427

A

B

+1R

2R

1E

2EAB

+


Circuiti elettrici• Calcoliamo la tensione fra i morsetti A B• Chiamiamo i la corrente della maglia

• La tensione fra A e B risulta

• La corrente di corto circuito iCC è la differenza fra le correnti che attraversano le due resistenze quando A è in contatto con B

• La resistenza equivalente è

+1R

2R

1E

2EAB

+

i1 2

1 2

iR R

+=

+E E

1 1v R i= −E1 2

1 11 2

RR R

+= −

+E E

E 2 1 1 21 2

R RR R

−=

+E E

+1R 2R1E 2EA

B

+

1 2

1 2CCi R R

= −E E 2 1 1 2

1 2

R RRR−

=E E

A

+

eqr

eqE

B

1 2eq

1 2

RRr

R R=

+eq

eqCC

ri

=E

eq= E

2 1 1 2eq

1 2

R RR R

−=

+E E

E

1 2

1 2

RRR R

=+


Circuiti elettrici• Utilizzando il circuito equivalente il circuito inizialediventa (semplicemente)• Calcoliamo i3

• Da confrontare con il calcolo della diapositiva

A

+

eqr

eqE

B

3R3i

2 1 1 2eq

1 2

R RR R

−=

+E E

E

1 2eq

1 2

RRr

R R=

+

eq3

eq 3

ir R

=+

E2 1 1 2

1 2

1 23

1 2

R RR RRR

RR R

−+

=+

+

E E

2 1 1 2

1 2

1 2 1 3 2 3

1 2

R RR R

RR RR R RR R

−+

=+ +

+

E E

2 1 1 23

1 2 1 3 2 3

R Ri

RR RR R R−

=+ +E E

678427


Resistenza equivalente• Per concludere l'argomento dei teoremi di Norton e Thevenin osserviamo che esiste un modo molto semplice per calcolare la resistenza equivalente vista ai due morsetti A e B• Lo enunciamo senza dimostrarlo• La resistenza equivalente si calcola eliminando tutti i generatori

e calcolando la resistenza equivalente della rete così ottenuta• I generatori di tensione sono sostituiti da un corto circuito• I generatori di corrente sono sostituiti da un circuito aperto

1 2eq

1 2

RRr

R R=

+

+1R

2R

1E

2EAB

+

1R

2R

AB 1R 2R

A

B

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