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C. Piccardi e F. Dercole – Politecnico di Milano – ver. 27/11/2012 1/17

COME APPARE IL CAOS DETERMINISTICO

• Serie temporale

• Spettro di potenza

• Quadro delle traiettorie

• Sezione di Poincaré

• Auto-somiglianza

• Sensibilità alle condizioni iniziali


SERIE TEMPORALE E’ la registrazione dei valori assunti da una (o più) variabili al passare del tempo. Ad esempio, in un sistema a tempo continuo

))(()())(()(

txgtytxftx

==&

In generale, l’uscita è una funzione delle variabili di stato (spesso coincide con una delle variabili di stato). In regime caotico, )(ty ha un comportamento non periodico e apparentemente casuale.


Esempio (a tempo continuo): “barriera di potenziale” con sollecitazione periodica (Moon and Holmes, 1979)

))(1

212

21

tsinUhxx(Fm

x

xx

+−=

=

&

&

)1()()( 2xxdx

xdPxF −=−≈

La variabile misurata è la posizione: )()( 1 txty = .

)(xP


Esempio (a tempo discreto): la “mappa logistica”: (May, 1976)

( ))(1)()1( txtxrtx −=+ Per 9.3=r l’andamento di )(tx è non periodico.


SPETTRO DI POTENZA

Il segnale )(ty può essere scritto, utilizzando la trasformata di Fourier )()()( ωφωω ieYY = ,

nella forma

∫∞+

+=0

))(cos()(1)( ωωφωωπ

dtYty

cioè come la somma di un’infinità (non numerabile, in generale) di sinusoidi: la sinusoide di frequenza ω ha ampiezza proporzionale a )(ωY .

La funzione )(ωY si dice spettro di ampiezza. La funzione 2)()( ωω YP = si dice spettro

di potenza.


Se )(ty è periodico, con periodo ϖπ /2=T , utilizzando la serie di Fourier kikk eYY φ= , si

può scrivere )(ty nella forma

( )∑+∞

=++= 1 cos2)0()( k kk tkYYty φϖ

Lo spettro è “ad impulsi” (= non nullo solo per ω multiplo di ϖ ).


Un segnale caotico è caratterizzato da uno spettro “a banda larga”. Esempio: esperimento di Taylor-Couette:

)(ty è la velocità del fluido misurata in un punto prefissato. regime periodico quasi-periodico caotico


Esempio: sistema di Duffing (1918):

tqxhxxx

xx

sin23112

21

+−−−=

=

βα&

&


Esempio: sistema di Lorenz (1963)

xybzzxzyrxyyxx

+−=−−=σ+σ−=

&

&

&

serie temporale )(tx spettro di potenza


QUADRO DELLE TRAIETTORIE In regime caotico, le traiettorie

• rimangono limitate

• non ripassano mai da uno stato già visitato (= non periodicità) ma transitano arbitrariamente vicino ad esso

• sono caratterizzate da geometrie complesse

Esempio: sistema di Lorenz (simulazione)

xybzzxzyrxyyxx

+−=−−=σ+σ−=

&

&

&


Esempio: sistema di Rössler (1976) (simulazione)

zcxbzayxy

zyx

)( −+=+=−−=

&

&

&

Esempio: traiettoria “ricostruita” da una serie temporale ottenuta sperimentalmente (concentrazione di un componente in una reazione chimica)


Esempio: sistema (“mappa”) di Henon (1976) (a tempo discreto).

)()1()(1)()1( 2

tbxtytaxtytx

=+−+=+

Nel piano di stato ),( yx , la traiettoria è la successione di punti ( ))(),( tytx , K,1,0=t .


SEZIONE DI POINCARE’ Per il sistema a tempo continuo )(xfx =& di ordine n , la sezione di Poincaré è una superficie

)1( −n -dimensionale P, la quale è trasversale (in un punto z ) ad un ciclo limite γ . La traiettoria che parte da ∈)0(z P riattraverserà P nei punti K),2(),1( zz . Quindi )(xfx =& definisce (vicino a γ ) un sistema a tempo discreto (mappa di Poincaré)

))(()1( tzPtz =+

dove 1−∈ nRz , )(zPz = .


La mappa di Poincaré può essere definita anche per un sistema a tempo continuo ))(,()( txtftx =& periodico rispetto a t (con periodo 0>T ):

),(),( xTtfxtf += , per ogni xt,

E’ sufficiente considerare la mappa di periodo T (o “mappa stroboscopica”):

))(()1( kzPkz =+ dove )()( kTxkz = ,

K,2,1,0=k . Sulla sezione di Poincaré, si visualizza quindi la traiettoria del sistema a tempo discreto

))(()1( kzPkz =+


In regime caotico, la sezione di Poincaré evidenzia un insieme limitato caratterizzato da geometria complessa. Esempio: barriera di potenziale con sollecitazione periodica. Esempio: laser: sezione di Poincaré ricavata mediante esperimenti.


AUTO-SOMIGLIANZA In regime caotico, la traiettoria possiede geometria “auto-somigliante”: la sua struttura geometrica si riproduce a scala arbitrariamente piccola. Esempio: “zoom” nella traiettoria della mappa di Henon. La struttura “a 6 bande” si ripete all’infinito.


SENSIBILITÀ ALLE CONDIZIONI INIZIALI In regime caotico, stati iniziali arbitrariamente vicini danno luogo a traiettorie che, in tempo finito, risultano tra loro distanti.

Evoluzione di un piccolo insieme contenente 104 stati iniziali. Dopo un po’ di tempo, le traiettorie sono praticamente incorrelate (parametri: 10=σ , 3/8=b , 28=r ).

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