1 CAPITOLO 8 EQUAZIONI DIFFERENZIALI Introduzione In questo capitolo ci occuperemo di particolari equazioni in cui l’incognita è una funzione, che compare all’interno dell’equazione insieme alle sue derivate. Equazioni di questo tipo si dicono differenziali. Il ruolo di queste equazioni è di fondamentale importanza nello sviluppo di modelli per la risoluzione di problemi in vari ambiti. Lo studio approfondito delle equazioni differenziali è materia per un corso avanzato di Analisi matematica. Il nostro obiettivo consiste nella risoluzione di particolari equazioni suggerite dallo studio di fenomeni significativi, tra i quali segnaliamo, per la loro generalità, la crescita di una popolazione e i moti oscillatori. Un minimo di terminologia è necessario. Si dice che l’equazione differenziale è del primo ordine se nell’equazione, oltre eventualmente la funzione y, è presente la derivata prima; in generale l’equazione si dice di ordine n se n è il massimo grado con cui è presente la derivata all’interno dell’equazione. In particolare, sono esempi di equazioni differenziali del primo ordine quelle scaturite dallo studio della crescita di una popolazione, mentre le equazioni legate allo studio dei moti oscillatori sono esempi di equazioni del secondo ordine. Successioni e modelli Richiamiamo sinteticamente i modelli di crescita di una popolazione, riconducibili a progressioni geometriche. Questi modelli discreti possono essere considerati alla base di quelle particolari equazioni differenziali che descrivono i modelli di crescita in ipotesi di continuità. L’accrescimento geometrico Una popolazione aumenta ogni anno in proporzione al numero di individui presenti. Il coefficiente di proporzionalità sia

€

λ . Indicato con Nn il numero d’individui presenti all’inizio dell’n-esimo anno, si definisce la successione per ricorrenza che esprime il numero di individui

Nn+1 = Nn +λNn , il cui termine generale è rappresentato dalla relazione

Nn = N 0 (1+λ )n ,

dove N 0è il numero di individui presenti all’inizio.

2 E’ possibile associare a questo modello un’equazione differenziale, la cui soluzione esprime la numerosità della popolazione in corrispondenza di un istante di tempo qualsiasi (una crescita continua). Nel modello discreto sopra descritto, la velocità di variazione del numero d’individui è calcolata su un intervallo di tempo Δt =1anno : in altre parole è come se avessimo scritto Nn+1 − Nn

1anno= λNn . Quest’osservazione sta alla base del modello continuo di

crescita, dato dall’equazione differenziale:

N t +Δt( )− N t( )Δt

= λN t( )⇒ $N = λN .

L’accrescimento con risorse limitate Il modello di crescita visto nell’esempio precedente è consistente solo se le risorse sono illimitate. Nella realtà, questo non accade praticamente mai. Una correzione ragionevole può essere apportata supponendo una quantità di risorse limitata ad un numero M di individui della popolazione, e l’accrescimento annuale è proporzionale alle risorse non ancora sfruttate:

Nn+1 = Nn +λ(M − Nn ) . In questo caso la ricerca del termine generale richiede qualche ragionamento supplementare. Poiché la successione è limitata da M, possiamo pensare di assumere come incognita il termine

xn = M − Nn . Con questa scelta risulta Nn+1 = M − xn+1 = M − xn +λxn ⇒ xn+1 = xn (1−λ ) . Il termine generico della successione così definita è quindi

xn = x0 (1−λ )n ,

da cui segue Nn = M − (M − N 0 )(1−λ )

n . L’equazione differenziale associata a questo modello è la seguente:

N t +Δt( )− N t( )Δt

= λM −λN t( )⇒ $N = λM −λN .

La legge del decadimento radioattivo E’ noto dalla fisica che la maggior parte dei nuclei è instabile: essi decadono spontaneamente emettendo delle radiazioni, e trasformandosi in altre sostanze (per esempio l’uranio dopo un certo numero di decadimenti radioattivi si trasforma in piombo). Il decadimento radioattivo è un processo casuale regolato dalle leggi della meccanica quantistica, la cui

3 complessità ci suggerisce di spostare lo studio sul piano statistico, attraverso la legge del decadimento radioattivo. Secondo questa legge, se un campione contiene N nuclei, il tasso al quale questi decadono (rapidità di

variazione…) − ΔNΔt

, è proporzionale a N, dove il segno meno è

rappresentativo del decremento:

−ΔNΔt

= λN .

Il numero

€

λ rappresenta la cosiddetta costante di disintegrazione ed è caratteristica del tipo di nucleo considerato. Si chiama tempo di dimezzamento T12

, quello impiegato dalla metà di un nucleo iniziale per decadere, cioè

N =12N 0 quando t =T1

2

. Per esempio, se vogliamo conoscere quanti “tempi

di dimezzamento” occorrono per ridurre il numero di nuclei ad 164

di

quello iniziale, è sufficiente risolvere l’equazione esponenziale 12!

"#$

%&

n

=164

⇒12!

"#$

%&

n

=12!

"#$

%&

6

⇒ n = 6 .

Il seguente schema riassume le idee che stanno alla base del modello di crescita esponenziale, che abbiamo visto durante lo studio delle funzioni esponenziali e logaritmiche.

4 Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili Poniamoci adesso la questione di risolvere le particolari equazioni differenziali scaturite dall’analisi dei modelli presi in considerazione.

Sono equazioni del tipo !y = f (x ) g( y) . L’espressione !y = dydx

permette di

scrivere l’equazione nella forma dyg y( )

= f x( )dx , che si risolve integrando i

due membri: dyg( y)∫ = f (x )dx + c∫ . La soluzione sarà ovviamente data

dall’uguaglianza delle primitive G y( ) e F x( )+ c . • Legge malthusiana: !N = λN . E’ un esempio di equazione differenziale a

variabili separabili, e si risolve così: dNN

= λdt⇒ lnN = λt + c⇒ N (t ) = eλt+c . Tra le infinite soluzioni dipendenti

dal parametro c si seleziona quella che all’istante t = 0 corrisponde alla popolazione iniziale: N 0 = N 0( ) = ec , da cui segue

N t( ) = N 0eλt

. Non passa inosservata l’uguaglianza di questa soluzione con quella ottenuta ragionando sul modello discreto richiamato sopra. • Equazione logistica: !N = N λ − kN( ) . Si tratta ancora una volta di

un’equazione a variabili separabili: dNN λ − kN( )

= dt

⇒1λ1N+

kλ − kN

#

$%

&

'(dN = dt⇒ lnN − k ln λ − kN( ) = λt + c , da cui segue

ln Nλ − kN"

#$

%

&'= ln ceλt . Indicato con N 0 il numero di abitanti all’inizio

delle rilevazioni, il numero di abitanti all’anno t è

N t( ) = λN 0eλt

λ − kN 0 1− eλt( ) .

Nel diagramma seguente sono riportati i due modelli di crescita analizzati.

5

• La pressione atmosferica. Il modello che prenderemo in considerazione è

da considerarsi “a validità limitata” in quanto non è molto ragionevole ipotizzare una temperatura costante su differenze di quota sufficientemente grandi. Come sappiamo dalla fisica, la distribuzione delle molecole nell’atmosfera varia considerevolmente con l’altezza rispetto alla superficie terrestre per effetto della forza di gravità. Di conseguenza la pressione varia con la quota h; se consideriamo l’atmosfera come un gas ideale, possiamo dedurre dall’equazione di stato per i gas ideali la relazione:

P (h) = N (h)V

kT =m ⋅ N (h)V ⋅m

kT =ρ(h)mkT

dove m è la massa di una molecola, N è il numero di molecole alla quota h, ρ(h) è la densità alla quota h, e T è la temperatura dell’atmosfera, sempre alla quota h. La differenza di pressione tra h e h+Δh può essere dedotta dalla legge di Stevino P (h+Δh)− P (h) = −ρ gΔh , da cui risulta

ΔP = −ρ(h) gΔh = −mgΔh ⋅ P (h)kT

⇒ %P = −mgkTP .

Definita P 0( ) = P0 la pressione atmosferica a livello del mare, giungiamo alla relazione che esprime la legge esponenziale con cui decresce la pressione con la quota:

P (h) = P0e−mghkT .

6

• Scarica di un condensatore. Sia Q 0 la carica inizialmente presente su un condensatore. Colleghiamo il condensatore con un utilizzatore R tramite fili conduttori di resistenza trascurabile. In corrispondenza della chiusura del circuito, si ha trasferimento di carica dall’armatura positiva a quella negativa: il condensatore inizia così a scaricarsi. In linea di principio, la corrente che inizia a circolare non è costante. La rapidità con cui varia (diminuisce) la carica sul condensatore costituisce l’intensità della corrente circolante:

I = − ΔQΔt

.

Il segno meno ci dice che, la quantità di carica che fluisce nell’unità di tempo, diminuisce progressivamente d’intensità, in seguito alla diminuzione di carica sulle armature del condensatore. Per la prima

legge di Kirchhoff, al potenziale QC

tra le armature del condensatore,

corrisponde un potenziale IR : QC= IR = − ΔQ

ΔtR⇒ ΔQ

Δt= −

QRC

.

L’ultima relazione può essere vista come un’equazione differenziale a variabili separabili. L’integrazione di questa equazione con la condizione iniziale Q 0( ) =Q maxpermette di esprimere la legge oraria che stabilisce il valore della carica sulle armature del condensatore:

Q t( ) =Q maxe−tRC .

Di conseguenza la corrente varia, durante la scarica, in base alla

legge I t( ) = !Q t( ) = −Q max

RCe−tRC = −

V0Re−tRC = −I0e

−tRC .

• Carica di un condensatore. In questo caso il condensatore è inizialmente scarico, e nel circuito viene inserita una sorgente di f.e.m.ε0 . Tale differenza di potenziale permette l’accumulo di carica sul condensatore, e il passaggio di corrente nel circuito:

ε = IR+QC= !QR+Q

C⇒ !Q =

ε0R−QRC

.

Ci troviamo di fronte ad un’equazione differenziale a variabili separabili, la cui integrazione permette di determinare la legge che descrive l’accumulo di carica sulle armature del condensatore. La carica sulle armature varia con la legge:

7

Q t( ) =Cε0 1− e−tRC

"

#$$

%

&'' .

Notiamo che, a regime, la carica sulle armature del condensatore raggiunge il valore massimo Q max =Cε .

• Circuiti RL. In un circuito alimentato da una differenza di potenziale

ε0 , sono presenti un elemento resistivo, R, ed uno induttivo, L. All’atto di chiusura del circuito, la legge delle maglie di Kirchhoff, quella di Ohm, e quella di Faraday-Neumann-Lenz permettono di scrivere l’equazione del circuito:

ε0 +ε = IR⇒ ε0 −ΔΦB

Δt= IR⇒ ε0 − L

ΔIΔt

= IR .

Questa equazione rappresenta un modello con cui è possibile studiare la variazione della corrente in funzione del tempo.

Infatti, sostituendo −L ΔIΔt

con −LI ' , l’equazione del circuito diventa

un’equazione differenziale, la cui soluzione si ottiene per integrazione con la condizione che all’istante iniziale il valore della corrente è uguale a zero:

I t( ) = ε0R 1− e−RLt"

#$$

%

&'' .

Il termine tra parentesi (in cui è contenuta la dipendenza dal tempo) ben presto assume valori “prossimi” (per difetto!) a 1: siamo in un

8 regime di corrente approssimativamente continua, data dall’espressione

I =ε0R

.

Osserviamo che questo risultato poteva essere ottenuto direttamente

dall’equazione del circuito, privata del termine −L ΔIΔt

.

Nell’istante in cui, a regime, si scollega il generatore, la corrente

circolante è I = ε0R

. L’equazione che descrive la variazione della

corrente dall’istante in cui viene scollegato il generatore è

−L dIdt= IR⇒ #I = − R

LI .

Dal punto di vista analitico, la funzione che descrive la variazione di corrente nel (breve) periodo è ancora la funzione esponenziale:

I (t ) =ε0Re−RLt

.

Esercizio. Dopo quanto tempo il valore della corrente è metà di quello a regime?

Si pone I t( ) = ε02R

nell’espressione I t( ) = ε0R 1− e−RLt"

#$$

%

&'' , e si risolve l’equazione

esponenziale nell’incognita t: ε02R

=ε0R1− e

−RLt"

#$$

%

&''⇒ e

−RLt=12⇒ t = L

Rln2 .

Equazioni differenziali del second’ordine. Cenni Abbiamo detto che i fenomeni oscillatori occupano una posizione di rilievo nel repertorio dei modelli che conducono a equazioni differenziali del secondo ordine. Richiamiamo alcuni concetti fondamentali, partendo da quello di successione di Fibonacci, la cui utilità sarà chiara in seguito. La ricerca del termine generale della successione di Fibonacci La rapidità di crescita della successione di Fibonacci

€

a0 = 0; a1 =1an = an−1 + an−2; n >1# $ %

suggerisce la ricerca di un termine generico

dall’andamento esponenziale. Poniamo an := xn e sostituiamo nella legge

ricorsiva an+1 = an + an−1 . Otteniamo

9

xn+1 = xn + xn−1⇒ xn−1 x2 − x −1( ) = 0⇒ α := 1+ 52

; β =1− 52

. Si hanno quindi

ben due candidati termini generali, an =αn e an = β

n , ma nessuna delle due soddisfa le condizioni iniziali a0 = 0 e a1 =1della definizione di successione di Fibonacci. Per dirimere la questione, si osserva innanzitutto che se una successione an soddisfa la legge ricorsiva, allora la soddisferà anche la successione Aan . In particolare, se bn è un’altra successione “buona”, allora lo sarà anche la combinazione Aan + Bbn := Aα

n + Bβ n (verificare quest’ultima affermazione). L’utilizzo della combinazione delle due soluzioni dell’equazione di secondo grado è suggerito anche dalle due condizioni iniziali; è proprio nel rispetto di queste che vengono determinati i coefficienti A,B della combinazione lineare:

Aα 0 + Bβ 0 = 0Aα1 + Bβ1 =1

!"#

$#⇒

B = 1β −α

=−15

A = 1α −β

=15

!

"

##

$

##

⇒ an =151+ 52

'

())

*

+,,

n

−151− 52

'

())

*

+,,

n

.

La molla orizzontale Consideriamo una massa attaccata all’estremità di una molla fissata su un piano orizzontale, privo d’attrito, e allunghiamo la molla di una quantità iniziale A . Dalla definizione di moto armonico seguono, per proiezione sul diametro, le leggi orarie della massa oscillante.

s = Acosωtvs = −ωAsinωt

as = −ω2Acosωt = −ω2s

10

L’argomento della funzione si chiama fase e potrebbe, in partenza, non coincidere con l’angolo corrispondente al punto sulla circonferenza. In tal caso, indicato con ϕ lo sfasamento, la fase si scrive nella forma generale ωt +ϕ e le leggi orarie assumono la forma

s = Acos(ωt +ϕ )vs = −ωAsin(ωt +ϕ )

as = −ω2Acos(ωt +ϕ ) = −ω2s

.

Dall’espressione dell’accelerazione della massa, e dalla legge di Hooke F = −ks che rappresenta bene il modello di mezzo elastico soggetto a forze di richiamo, segue per la seconda legge della dinamica F = −mas :

mas = −ks⇒−mω2Acosωt = −kAcosωt⇒ω2 =km .

In particolare, l’ultima relazione trovata permette di calcolare il periodo di

oscillazione della massa: ω = 2πT −1⇒T = 2π mk

.

Dove entrano le equazioni differenziali del second’ordine? Nell’espressione della seconda legge della dinamica, dove l’accelerazione è scritta come derivata seconda della posizione (la nostra incognita, detta anche legge del moto):

11

m !!x + kx = 0 .

La molla verticale Consideriamo adesso una molla fissata al soffitto, con una massa attaccata all’estremità libera. Vogliamo studiare il moto oscillatorio in verticale della massa, trascurando l’attrito con l’aria, utilizzando il principio di conservazione dell’energia meccanica e le leggi della dinamica. Dopo un certo numero di oscillazioni il moto si smorza completamente, e il sistema massa-molla raggiunge una configurazione di equilibrio con la molla allungata di un tratto xeq , ottenuto uguagliando a zero la risultante delle forze:

kxeq = mg⇒ xeq =mgk

.

La seconda legge della dinamica, nel sistema di riferimento scelto, assume la forma:

ma = −kx +mg . Anche questa legge può essere espressa in forma di equazione differenziale del secondo ordine:

m !!x + kx = mg .

Osservazione. Durante il corso di Fisica abbiamo studiato il problema della molla verticale anche sfruttando il principio di conservazione dell’energia meccanica. Scelto come sistema di riferimento quello rispetto al quale l’energia meccanica è zero all’istante iniziale, per la conservazione di questa (siamo in assenza di forze dissipative) durante il moto risulta:

mv2

2+kx2

2−mgx = 0 .

Con la sostituzione !x = v si perviene all’equazione differenziale del primo ordine a variabili separabili:

!x = ± 2gx − kmx2 .

Con qualche “adattamento” può essere scritta nella forma seguente. dx

1− kxmg

−1"

#$

%

&'

2= ± g m

kdt

12

La soluzione deve essere tale da rispettare le condizioni iniziali x 0( ) = 0

(scelta del sistema di riferimento), e !x 0( ) = 0 (partenza da fermo della massa oscillante):

x t( ) = mgk 1− coskmt

"

#$$

%

&''

(

)**

+

,-- .

Circuiti LC Questo tipo di circuito è di fondamentale importanza per comprendere il meccanismo di propagazione delle onde elettromagnetiche. La chiusura dell’interruttore avvia il processo di carica del condensatore, la cui durata è molto breve. Una volta caricato il condensatore si scollega il generatore dal

circuito. La tensione sulle armature del condensatore Q (t )C

è responsabile

di una corrente variabile (dovuta alla scarica del condensatore); alla variazione del flusso del campo magnetico da essa prodotto si oppone la fem indotta per la legge di Faraday-Neumann-Lenz:−L "I (t ) . Per la legge di

Kirchhoff si ha quindi: Q (t )C

= −L "I (t ) = −L ""Q (t )⇒ ""Q (t ) = −Q (t )LC

. Stavolta la

funzione che descrive l’andamento temporale della carica sulle armature del condensatore dovrà essere proporzionale e opposta alla sua derivata seconda, ovvero una funzione del tipo y = cosαx . Di conseguenza, imponendo la condizione che all’inizio del processo la carica Q (0) =Q 0 :

Q (t ) =Q 0 costLC

.

Questo circuito suggerisce un’interessante analogia “elettromeccanica” con l’oscillatore armonico semplice (massa attaccata a una molla oscillante senza attrito su un piano orizzontale):

m !!x = −kx; L !!Q = −QC

E = m !x 2

2+kx2

2; E = L !Q 2

2+Q 2

2C

13 Equazioni differenziali del secondo ordine a coefficienti costanti: “attrito e resistenza” I metodi che esporremo non verranno giustificati rigorosamente, in quanto il nostro spettro d’applicazione è molto limitato, e perché una trattazione formalmente rigorosa sarà oggetto di studio successivo. Tuttavia, qualche ragionamento “ingenuo” può aiutare la comprensione dei metodi proposti. Per questo scopo consideriamo l’equazione differenziale del circuito LC, la cui soluzione esprime la carica presente

sulle armature del condensatore in ogni istante di tempo: !!Q (t ) = −Q (t )LC

. Si

tratta di determinare una funzione Q t( ) la cui derivata seconda è proporzionale e opposta alla funzione cercata. Un esempio di funzione di questo tipo è f x( ) = cos kx( )⇒ ""f x( ) = −k2 cos kx( )⇒ ""f = −k2 f .

• Equazione omogenea: !!y + p !y + qy = 0 . In generale, si cercano soluzioni seguendo la strategia che ha condotto alla determinazione del termine generico della successione di Fibonacci1, ad esempio del tipo y = e kx . Se calcoliamo le derivate prima e seconda e le sostituiamo nell’equazione omogenea !!y + p !y + qy = 0 si ottiene la cosiddetta equazione caratteristica Φ(k ) = k2 + pk + q = 0 . Questo polinomio di II° grado può presentare tre casi in base al segno del discriminante:

a) k1,k2 ∈ IR;k1 ≠ k2 ⇒ y = c1ek1x + c2e

k2x ; b) k1,k2 ∈ IR;k1 = k2 ⇒ y = (c1 + c2x )e

k2x ; c) k1,k2 ∉ IR;k1 =α + iβ;k2 =α − iβ⇒ y = (c1 cosβx + c2 senβx )e

αx .

• Equazione non omogenea: !!y + p !y + qy = f (x ) .

La soluzione si scrive nella forma y = y0 +Y dove y0 è soluzione dell’equazione omogenea associata, mentre Y è una soluzione particolare2. La

1 Non passa inosservata l’analogia tra l’equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti !!y + p !y + qy = 0 , e la successione definita per ricorrenza: an+2 + pan+1 + qan = 0 . 2 Nel caso della molla verticale una soluzione particolare è data dalla posizione

corrispondente alla configurazione di equilibrio: xeq =mgk

, mentre nel caso della caduta

14 determinazione di y0 è nota dal punto precedente, mentre quella di Y è limitata ai seguenti casi: • f (x ) = eaxPn (x ) dove Pn (x ) è un polinomio di grado n. Il fatto che a sia

soluzione o meno dell’equazione caratteristica porta a due diverse posizioni per Y : a) se Φ(a) ≠ 0⇒ Y (x ) = eaxQ n (x ) , dove Q n (x ) è un polinomio di grado n a

coefficienti indeterminati; b) se Φ(a) = 0⇒ Y (x ) = xreaxQ n (x ) , dove Q n (x ) è un polinomio di grado n a

coefficienti indeterminati; e r è la molteplicità di a come radice dell’equazione caratteristica (quindi 1 o 2);

• )sen)(cos)(()( xxQxxPexf mnax ββ += . I sotto-casi visti in precedenza

diventano: a) se )sencos()(0)( bxSbxTexYia NN

ax +=⇒≠+Φ β , con { }mnN ,max= e NN ST , polinomi di grado N a coefficienti indeterminati;

b) se )sencos()(0)( bxSbxTexxYia NNaxr +=⇒=+Φ β , con { }mnN ,max= e NN ST ,

polinomi di grado N a coefficienti indeterminati, e r molteplicità di a+ ib che è uguale a quella di a − ib , cioè 1 per le equazioni di II° grado.

Risoluzione del problema della molla orizzontale. L’equazione differenziale della molla orizzontale è del secondo ordine, a

coefficienti costanti, e omogenea: !!x + kmx = 0 . Il polinomio caratteristico ha

soluzioni immaginarie pure che restituiscono l’integrale generale3:

x t( ) = c1 coskmt

!

"##

$

%&&+ c2 sin

kmt

!

"##

$

%&& . Le costanti si determinano imponendo le

condizioni iniziali x 0( ) = Amax , e !x 0( ) = 0 : x t( ) = Amax coskmt

!

"##

$

%&& .

Risoluzione del problema della molla verticale. Si tratta di risolvere l’equazione differenziale del secondo ordine a

coefficienti costanti !!x + kmx = g , seguendo il procedimento indicato.

verticale in presenza d’attrito con l’aria, una soluzione particolare è quella relativa al

raggiungimento della velocità di regime: ʹ́x = 0⇒ mg − k ʹx = 0⇒ x = mgkt +C

3 La soluzione di un’equazione differenziale può anche essere chiamata integrale.

15

Risolviamo per prima l’equazione omogenea associata: !!x + kmx = g . Le

radici del polinomio caratteristico P λ( ) = 0 sono immaginarie

pureλ2 + km= 0⇒ λ = ±i k

m⇒ x0 = c1 cos

kmt

"

#$$

%

&''+ c2 sin

kmt

"

#$$

%

&''

(

)**

+

,--. Tra le soluzioni

particolari, si può trovare quella corrispondente alla configurazione di

equilibrio: xeq =mgk

. La soluzione generale è quindi

x = c1 coskmt

!

"##

$

%&&+ c2 sin

kmt

!

"##

$

%&&

'

())

*

+,,+mgk

; le costanti si determinano imponendo che

all’istante iniziale la massa oscillante si trovi nell’origine del sistema di riferimento scelto, x 0( ) = 0 , e che venga lasciata cadere liberamente

!x 0( ) = 0 . Otteniamo il sistema c1 +

mgk= 0

c2km= 0

!

"

##

$

##

⇒c1 = −

mgk

c2 = 0

!

"#

$#

, da cui segue:

x t( ) = mgk 1− coskmt

"

#$$

%

&''

(

)**

+

,-- .

Ovviamente, la soluzione trovata partendo dall’equazione differenziale del second’ordine dettata dalla seconda legge di Newton, coincide con quella del prim’ordine ottenuta applicando il principio di conservazione dell’energia meccanica.

Osservazione. Il problema della molla verticale !!x + kmx = g poteva essere

risolto riconducendolo al caso omogeneo con la sostituzione kmx t( )− g = z t( )⇒ ##x =

mk##z . In questo modo, l’equazione diventa

!!z + kmz = 0⇒ z t( ) = Acos k

mt

#

$%%

&

'((⇒ x t( ) = mgk +

mkAcos k

mt

#

$%%

&

'(( . La costante

arbitraria A si determina imponendo che, all’istante iniziale,

x 0( ) = 0⇒ A = −1. Ritroviamo così la soluzione x t( ) =mgk1− cos k

mt

"

#$$

%

&''

(

)**

+

,-- .

16 La molla orizzontale con attrito Supponiamo che il piano orizzontale opponga una resistenza al moto proporzionale al modulo della velocità. La seconda legge della dinamica per questo problema è così modificata: m !!x = −kx − b !x , dove il coefficiente positivo b ha dimensioni b!" #$= kg ⋅ s

−1. L’equazione differenziale è omogenea.

Le soluzioni dell’equazione caratteristica mλ2 + bλ + k = 0⇒ λ =−b± b2 −4mk

2m

dipendono dal segno del discriminante Δ = b2 −4mk , e si hanno tre casi. 1. Δ < 0 . In questo caso b2 −4mk < 0 , e le soluzioni dell’equazione

caratteristica, complesse coniugate, sono λ1,2 =−b± i 4mk − b2

2m.

L’integrale generale della m !!x = −kx − b !x è quindi

x t( ) = c1 cos4mk − b2

2mt

"

#$$

%

&''+ c2 sin

4mk − b2

2mt

"

#$$

%

&''

(

)

**

+

,

--e−b2mt. Una soluzione si ottiene

imponendo le condizioni iniziali x 0( ) = Amax e !x 0( ) = 0 :

x t( ) = Amax cos4mk − b2

2mt

"

#$$

%

&''+

b

4mk − b2sin 4mk − b2

2mt

"

#$$

%

&''

(

)

**

+

,

--e−b2mt

2. Δ = 0 . In questo caso b2 −4mk = 0 , e le soluzioni dell’equazione

caratteristica sono reali coincidenti: λ1,2 =−b2m

. L’integrale generale della

17

m !!x = −kx − b !x è quindi x t( ) = c1 + c2t!" #$e−b2mt. Una soluzione si ottiene

imponendo le condizioni iniziali x 0( ) = Amax e !x 0( ) = 0 :

x t( ) = Amax 1+b2mt

!

"#

$

%&e

−b2mt

.

3. Δ > 0 . In questo caso b2 −4mk > 0 , e le soluzioni dell’equazione

caratteristica, reali e distinte, sono λ1,2 =−b± b2 −4mk

2m. L’integrale generale

della m !!x = −kx − b !x è quindi x t( ) = c1e−b+ b2−4mk

2mt+ c2e

−b− b2−4mk2m

t. Una soluzione si

ottiene imponendo le condizioni iniziali x 0( ) = Amax e !x 0( ) = 0 :

x t( ) = Amaxb2 −4mk

be−b+ b2−4mk

2mt+ −b+ b2 −4mk( ) e

−b− b2−4mk2m

t"

#

$$

%

&

''

.

18

La molla verticale con attrito In questo caso, l’equazione differenziale è m !!x + b !x + kx = mg , dove il termine forzante è rappresentato dal peso mg . Lo studio, condotto attraverso la

risoluzione dell’equazione caratteristica mλ2 + bλ + k = 0⇒ λ =−b± b2 −4mk

2m

e l’individuazione della soluzione particolare x = mgk

, porta nuovamente a

considerare i tre casi in base al segno del determinante Δ = b2 −4mk . Con le condizioni iniziali x 0( ) = 0 e !x 0( ) = 0 otteniamo le seguenti soluzioni. 1.

Δ < 0⇒ b < 2 mk ⇒ x t( ) = mgk 1− e−b2mt b

4mk − b2sin 4mk − b2

2mt

$

%&&

'

())+ cos

4mk − b2

2mt

$

%&&

'

())

$

%

&&

'

(

))

*

+

,,

-

.

//

19

2. Δ = 0⇒ b = 2 mk ⇒ x t( ) = mgk 1− e−b2mt$

%&&

'

())−bg2kte−b2mt

3. Δ > 0⇒ b > 2 mk ⇒ x t( ) = mgk 1−b+ b2 −4mk

2 b2 −4mke−b+ b2−4mk

2mt+b− b2 −4mk

2 b2 −4mke−b− b2−4mk

2mt

$

%

&&

'

(

))

20

Il circuito RLC in serie

(Immagine tratta dal sito www.wikipedia.org) In questo circuito gli elementi (resistivo, capacitivo e induttivo) sono collegati in serie con una batteria in grado di erogare una differenza di potenziale costante. L’applicazione della legge delle maglie di Kirchhoff (e di Ohm, di Faraday-Neumann-Lenz, e dalla relazione che esprime la differenza di potenziale tra le armature di un condensatore in funzione della sua capacità e della carica presente sulle armature) conduce all’equazione differenziale:

21

ε = L !I + IR+QC

.

In questa equazione sono presenti sia la carica Q, che la corrente I. Tuttavia, queste due grandezze fisiche sono correlate dalla relazione I t( ) = !Q t( ) , di conseguenza l’equazione sopra può essere scritta in modo da presentare solo una di queste due grandezze:

LC !!I + !I RC + I = 0 . Quest’equazione è stata ottenuta derivando i due membri dell’equazione di partenza. Si tratta ancora di un’equazione differenziale del second’ordine a coefficienti costanti, dello stesso tipo di quella che ha permesso di studiare il moto di una molla che oscilla su un piano orizzontale in presenza di attrito: m !!x + b !x + kx = 0 . Esercizio. Trovare l’espressione con cui varia la corrente circolante nel tempo, sapendo che: I 0( ) = 0 , !I 0( ) = 0 , R =1Ω, L =10−6H , C =10−9F . Soluzione:

I t( ) = εR 1− e−RLt RC

4LC − R2C 2sin 4LC − R2C 2

2LCt

"

#$$

%

&''+ cos

4LC − R2C 2

2LCt

"

#$$

%

&''

"

#

$$

%

&

''

(

)

**

+

,

--

Osservazione. Se, in luogo di una differenza di potenziale costante, il circuito prevedesse la presenza di una forza elettromotrice alternata, l’equazione differenziale si scriverebbe in forma non omogenea, grazie alla presenza del termine forzante ε t( ) = ε0 sin At :

ε = L !I + IR+QC⇒ LC !!I + RC !I + I = Aε0 cos At .

In questo caso, la soluzione particolare è un’opportuna combinazione lineare di funzioni goniometriche.