Decadimento Decadimento

2

Decadimento Decadimento Un nucleo che si trova in uno stato eccitato può decadere nel suo stato fondamentale, o in uno stato di energia più bassa mediante emissione di radiazione elettromagnetica:

Un nucleo eccitato emette fotoni quando: L’energia di eccitazione non è sufficiente a separare un

nucleone dal nucleo (circa 7-8 MeV) L’energia di eccitazione è superiore alla energia di separazione

di un nucleone ma l’emissione di un nucleone è vietata da regole di conservazione della parità o del momento angolare.

Vi sono diverse ragioni per le quali un nucleo può trovarsi in uno stato eccitato Spesso a seguito di un decadimento o il nucleo figlio non

viene creato nello stato fondamentale, ma in uno stato eccitato Transisce allo stato fondamentale tramite l’emissione di uno o più quanti Per questo non esistono puri emettitori ed esistono pochissimi emettitori puri

XX Az

Az

*

3

EsempiEsempi

NiNi

eNiCo e

60*60

*6060

BaBa

eBaCs e

137*137

*137137

4

Energia e cinematicaEnergia e cinematicaLe differenze tra i livelli di energia dei nuclei sono tipicamente comprese nell'intervallo 0.1-10 MeV. La differenza di energia si divide tra l'energia del fotone e

l'energia cinetica di rinculo del nucleo

Nella maggior parte dei casi TX<<E e quindi il rinculo è trascurabile:

quindi, per E≈ 1 MeV e 10<A<100, si ha 5 eV<TX<50 eV

Nel decadimento si conservano il momento angolare e la parità Quindi la misura delle caratteristiche della radiazione

fornisce informazioni sui livelli di energia e sullo spin e parità degli stati dei nuclei

XTEE

XX

XXXX M

E

M

PTEpPpP

220

22

5

Caratteristiche della radiazioneCaratteristiche della radiazioneLa radiazione elettromagetica può essere generata da: Una carica oscillante che causa un’oscillazione del campo

elettrico: si parla di radiazione elettrica (E) Una corrente o un momento magnetico che variano nel

tempo che dà origine a un campomagnetico oscillante: si parla in questo caso di radiazione magnetica (M)

Il campo elettromagnetico prodotto da cariche e correnti dipendenti dal tempo si può ottenere attraverso uno sviluppo in serie di multipoli caratterizzati dalla distribuzione angolare della radiazione emessa Quantisticamente i vari termini dello sviluppo in multipoli

corrispondono a diversi valori di momento angolare portato via dal fotone, caratterizzato dal numero quantico L

6

Sviluppo in serie di multipoli (1)Sviluppo in serie di multipoli (1)In elettrostatica, lo sviluppo in serie di multipoli fornisce un’approssimazione (valida a grandi distanze) del potenziale elettrico generato da un sistema di cariche elettriche Il potenziale si può pensare come scomposto nella somma dei

potenziali dovuti, nell'ordine, a una singola carica (monopolo), a un dipolo, a un quadrupolo …

Dato un sistema di n cariche q1, q2, … qn in posizioni r1,r2,…rn, il potenziale nel punto R vale:

Se R è >> di tutti gli rk, si ha:

n

k kk

kn

k k

k

RrrR

q

rR

qRV

122

01 0 cos24

1

4

1)(

...2

1cos3cos1

1...cos

2

3

2

1cos1

1

...cos28

3cos2

2

11

1cos21

1

cos2

1

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

22/1

2

2

22

R

r

R

r

RR

r

R

r

R

r

R

R

r

R

r

R

r

R

r

RR

r

R

r

RRrrR

kkkkk

kkkkkk

kk

7

Sviluppo in serie di multipoli (2)Sviluppo in serie di multipoli (2)Sostituendo lo sviluppo in serie di R- rk nell’espressione del potenziale:

Passando a una distribuzione continua di carica:

NOTA: i coefficienti dei termini della serie sono il Polinomi di Legendre Pi. Quindi, si può scrivere:

n

k

kkk

R

r

R

r

R

qRV

1

2

2

2

0

...2

1cos3cos1

4

1)(

...

2

1cos3cos1

)(

4

1)(

2

2

2

0

R

r

R

r

R

dVrRV

...

)(

4

1)( 22

2

100

PR

rP

R

rP

R

dVrRV

8

Sviluppo in serie di multipoli (3)Sviluppo in serie di multipoli (3)Il primo termine è chiamato monopolo ed è il termine classico del potenziale per una carica puntiforme

Il secondo termine ha la forma del potenziale di un dipolo elettrico:

dove si è definito il momento di dipolo della distribuzione di carica:

Il terzo termine ha la forma del potenziale generato da una distribuzione di quattro cariche equidistanti, dotate a due a due di cariche opposte (quadrupolo fondamentale)

R

dVrRV

)(

4

1)(

00

30

300

1 4

1)(

4

1cos

)(

4

1)(

R

RpdV

R

rRrdV

R

r

R

rRV

dVrrp)(

dV

R

RrRrr

R

r

R

dVrRV

5

222

0

2

2

2

02

)(3)(

4

1

2

1cos3)(

4

1)(

9

Sviluppo in serie di multipoli (4)Sviluppo in serie di multipoli (4)In realta’ lo svipuppo in multipoli e’ piu’ complesso se si tiene in mente che il dipolo e’ in realta’ un vettore, il qualdropolo un tensore…I polinomi di Legendre vengono rimpiazzati dalle armoniche sferiche Yl

m(,)

Termine l m Pl Ylm(,)

Monopolo 0 0 1

Dipolo 1 0

Quadripolo 2 02

1cos3 2

41

cos

4

3

)1cos3(16

5 2

cos

10

Emissione di onde e.m.Emissione di onde e.m.Approccio semiclassico: si calcola la potenza emessa in forma di onde elettromagnetiche da una sorgente costituta da una distribuzione non stazionaria di cariche e correnti Questa sorgente è descrivibile da un densita’ di corrente

variabile nel tempo. Facciamo i calcoli per il caso di un dipolo elettrico oscillante

nella zona di radiazione, cioe’ per punti a distanza r >> delle dimensioni della sorgente e >> della lunghezza d’onda della radiazione:Queste condizioni sono sicuramente verificate nel caso della radiazione gamma

emessa nei decadimenti dei nuclei, che hanno energie tipicamente di 1 MeV, quindi lunghezza d’onda:

molto maggiore delle dimensioni di un nucleo (dell’ordine di qualche fm) e molto minore della distanza a cui si osserva la radiazione

fm1200MeV1

fmMeV19728.62

E

c

p

h

11

Potenziali elettromagneticiPotenziali elettromagneticiSi parte dalle equazioni di Maxwell nel vuoto:

Dal fatto che B ha divergenza nulla, lo si può esprimere come il rotore di un vettore A(r,t) detto potenziale vettore:

da cui, sostituendo nella terza equazione di Maxwell:

Dal fatto che E+A/t ha rotore nullo, lo si può esprimere come il gradiente di una funzione scalare V(r,t) detto potenziale scalare. Il campo elettrico risulta quindi essere dato da:

0

t

AE

t

AA

tt

BE

AB

t

AVE

t

EjB

t

BEBE

0000 0/

12

Trasformazioni di gaugeTrasformazioni di gaugeLa scelta dei potenziali A(r,t) e V(r,t) non è univoca: I campi elettrico e magnetico rimangono invariati se si applica

una trasformazione:

detta trasformazione di gauge (r,t) è una funzione scalare

Se si scegle la funzione in modo da soddisfare la condizione di gauge di Lorentz:

le equazioni per i potenziali elettromagnetici diventano:

e consentono di determinare il campo elettromagnetico in funzione delle cariche e delle correnti che danno origine al campo

tVVVAAA

012

t

V

cA

jt

A

cA

t

V

cV

02

2

22

02

2

22 11

13

Potenziali ritardatiPotenziali ritardatiUsando il metodo dei potenziali ritardati Si tiene conto della velocità finita di propagagazione (la

velocità della luce c) dei campi e dei potenziali dalla sorgente in movimento al punto in cui si osservano i campi stessi

Il potenziale in un punto lontano dalla sorgente è quindi determinato dalla configurazione della sorgente a un istante t0 precedente il tempo di osservazione t:

rdrr

crrtrjtrA

rdrr

crrtrtrV

)/,(

4),(

)/,(

4

1),(

0

0

Dipolo elettrico oscillante (1)Dipolo elettrico oscillante (1)Due cariche +q e -q a distanza d. Una delle cariche oscilla lungo una direzione assegnata in modo che:

Si tratta di un dipolo con momento di dipolo oscillante dato da:

La densità di corrente associata al dipolo risulta essere:

La delta di Dirac tiene conto del fatto che la carica è puntiforme Sostituendo nell’espressione del potenziale vettore si ricava:

14

tiedd 0

titi epedqp 00

)()()( 00 rrepirredqirrddt

dqj Q

tiQ

tiQ

r

ep

c

i

r

epitrA

crticrti )/(

020

)/(

00

4

1

4),(

z

x

y

-q

d

+q

Dipolo elettrico oscillante (2)Dipolo elettrico oscillante (2)In coordinate cartesiane, orientandol’asse z lungo il dipolo, si ha:

In coordinate sferiche, assumendo la direzione di j come asse polare, le componenti di A risultano:

150),(

sin4

1),(

cos4

1),(

0cossin

sinsincoscoscos

cossinsincossin)/(

20

0

)/(

20

0

trAr

e

c

pitrA

r

e

c

pitrA

A

A

A

A

A

Acrti

crti

r

z

y

xr

p

z

x

y

r

r

e

c

pitrA

trA

trA

crti

z

y

x

)/(

20

04

1),(

0),(

0),(

Dipolo elettrico oscillante (3)Dipolo elettrico oscillante (3)Il campo magnetico si può ricavare dalla relazione B=A.In coordinate cartesiane:

In coordinate sferiche:

16

0),(

1

4),(

1

44

1),(

)/(

00

)/(

00

)/(

20

0

y

A

x

AtrB

r

x

rc

i

r

epi

x

A

z

AtrB

r

y

rc

i

r

epi

r

e

yc

pi

z

A

y

AtrB

xyz

crtizx

y

crticrtiyz

x

sin1

4),(

0),(

0),(

0cossin

sinsincoscoscos

cossinsincossin

)/(

00

rc

i

r

epitrB

trB

trB

B

B

B

B

B

B

crti

r

z

y

xr

Dipolo elettrico oscillante (4)Dipolo elettrico oscillante (4)Il potenziale scalare si ricava dalla condizione di gauge di Lorentz:

da cui:

e:

17

cos1

4

1

1

4

1

4

)/(

00

)/(

00

)/(

0

022

c

i

rr

epi

r

z

rc

i

r

epi

z

r

r

e

r

pi

z

AcAc

t

V

crti

crticrtiz

)(1

cos4

1),( 0

)/(

00

rVc

i

rr

eptrV

crti

01

),(

1sin

4

11),(

1cos

4

2),(

2

2

2

)/(

00

2

)/(

00

t

AV

rtrE

rcc

i

rr

ep

t

AV

rtrE

c

i

rr

ep

t

A

r

VtrE

crti

crtir

r

Dipolo elettrico oscillante (5)Dipolo elettrico oscillante (5)Nella zona di radiazione:

le espressioni dei campi elettrico e magnetico diventano:

E e B sono ortogonali alla direzione r E e B sono ortogonali tra loro e |B|=|E|/c mentre il campo elettrico statico di un

dipolo diminuisce come 1/r3, la radiazione che si propaga diminuisce come 1/r.

18

rccr

cr

crrd

11

12

2

0),(sin4

),(

sin4

1),(0),(

0),(0),(

)/(2

00

)/(

2

2

00

trEr

e

cptrB

r

e

cptrEtrB

trEtrB

crti

crti

rr

p

z

x

y

rB

E

Dipolo elettrico oscillante (6)Dipolo elettrico oscillante (6)L’intensità di radiazione è data dal valor medio del vettore di Pointing su un tempo T:

da cui:

dipendenza angolare come sin2 ; decresce come r2 al crescere della distanza dalla sorgente

La potenza media irradiata dal dipolo vale quindi:

che è la formula di Larmor (a parte un cambio di variabile per esprimerla in funzione dell’accelerazione media) 19

TTT

dtr

crt

cp

TdtBEc

Tdt

TI

02

22

3

420

02

0

20

0

)/(cossin

16

1111

3

4

0

20

3

4

02

20

0

32

03

4

02

202

4 123

42

32sin

32 c

p

c

pdd

c

pdrIW

2

2

3

4

02

20 sin

32 rc

pI

Dipolo magnetico oscillanteDipolo magnetico oscillantePer una spira di area con corrente variabile nel tempo (i=i0e-it), il momento magnetico vale:

L’intensità di radiazione risulta:

analoga a quella del dipolo elettricoCompare il momento di dipolo magnetico 0 al posto di quello di dipolo

elettrico p0 Diversa la potenza a cui compare c (c5 al posto di c3)

La potenza media irradiata dal dipolo magnetico vale:

20

titi eeii 00

5

4

0

20

12 cW

2

2

5

4

02

20 sin

32 rcI

r

qv

MultipoliMultipoliIn generale la potenza irraggiata a frequenza dal termine di ordine L dello sviluppo in multipoli risulta essere:

L e’ l’ordine del multipoloL=1 : dipolo ; L=2 : quadrupolo ; L=3 ottupolo …

il doppio fattoriale (2L+1)!! = (2L+1)(2L-1) … 3 1

M(tL) è il momento di multipolo elettrico (t=E) o magnetico (t=M)Per una particella di carica q, massa m e momento magnetico =

geħ/2m

21

2

22

20

)(1

!)!12(

12tL

cL

L

L

cW

L

M

),(1

2

2)(),()( 1 m

lLm

lL Y

L

Lgr

mc

eMLYqrEL

MM

QuantizzazioneQuantizzazioneL’energia emessa è quantizzata: si passa da a E che è l’energia dei fotoni emessi:

Il rate di decadimento è dato da W/ E:

Il momento di multipolo M(tL) viene sostituito dall’elemento di matrice:

dove M(tL) è l’operatore che agisce sullo stato iniziale del nucleo |i> e produce lo stato finale |f> e un fotone in stato di momento angolare |l,m> 22

2

22

20

)(1

!)!12(

12tL

c

E

L

L

L

cW

L

M

2

12

20

)(1

!)!12(

121tL

c

E

L

L

Lw

L

M

dVtLtLM ifif )()( *M

Elemento di matriceElemento di matriceStime di Weisskopf di particella singola: Si assume che la transizione sia dovuta a un singolo

nucleone che ha una transizione tra due livelli nucleari del modello a shell

Si fattorizza la funzione d’onda in una parte angolare e una radiale: (r,,)=u(r)Yl

m(,) Si assume che la parte radiale sia costante dento il

nucleo e nulla al di fuori e che l’emissione di radiazione sia dovuta a una variazione della parte angolare della funzione d’onda

Gli elementi di matrice per transizioni E e M risultano:

dove MN è la massa del nucleone e R il raggio del nucleo23

1

3

3

2

10)(10)(

3

3

4)(

L

Nif

Nif

Lif

RLcM

eELM

cRMMLM

RL

eELM

Rate di transizione (1)Rate di transizione (1)Sostituendo le stime di Weisskopf nelle formule per i rate di transizione si ha:

Introducendo l’espressione del raggio del nucleo in funzione del numero di massa A si ricava:

24

22

122

2

2

20

2

2

122

20

2

3

31

!)!12(

1

4

20

3

31

!)!12(

1

4

2

L

L

NML

L

L

EL

Rc

E

LL

L

LcM

cew

Rc

E

LL

L

L

ew

3/23/222

0

122

2

2

20

2

3/220

122

20

2

3

31

!)!12(

1

4

20

3

31

!)!12(

1

4

2

AARc

E

LL

L

LcM

cew

ARc

E

LL

L

L

ew

LL

L

NML

LL

L

EL

Rate di transizione (2)Rate di transizione (2)Confrontando i rate di transizione elettrica e magnetica si ricava:

che è sempre minore di 1, quindi a parità di multipolarità L, una transizione M è sfavorita

La dipendenza dalla polarità L è principalmente nel termine

in cui il termine in parentesi è sempre minore di 1 per le energie in gioco.Ad esempio per un fotone di 500 keV per un nucleo con A=125, vale ≈10-2

Il rate di transizione diminuisce di diversi ordini di grandezza al crescere di ogni unità di L 25

3/23/222

3/220

2

2306.02.1

938

1971010

AAAR

cM

c

w

w

NEL

ML

LL

L

L

AMeVEc

ARER

c

E 23/13

23/102

2

][101.6

Rate di transizione (3)Rate di transizione (3)Valori numerici delle stime di particella singola di Weisskopf Queste stime approssimate riproducono i valori

misurati entro un fattore 10 Definiscono una chiara gerarchia di valori della

probabilità di decadimento per le diverse transizioni.

26

2

Rate di transizione (4)Rate di transizione (4)

La forte dipendenza da L del rate di transizione implica che la radiazione elettromagnetica verrà emessa con la multipolarità più bassa consentita dalle regole di selezione

27

Regole di selezione (1)Regole di selezione (1)Il fotone emesso porta via una quantità di momento angolare determinata dal valore L della multipolarità della transizione L può assumere un valore intero >0

Il valore del momento angolare L del fotone deve soddisfare la conservazione del momento angolare:

dove Ji e Jf sono gli spin dei nuclei iniziale e finaleQuesto porta a una regola si selezione per la multipolarità della transizione

Siccome le transizioni con L=0 non sono permesse, una transizione tra due stati con spin 0 (cosa che capita in alcuni casi come 16O, 68Ni , 90Zr) avvengono per conversione interna

28

LJJ fi

fifi JJLJJ

Regole di selezione (2)Regole di selezione (2)La conservazione della parità introdce una seconda regola di selezione.La radiazione emessa ha una parità che dipende sia dalla multipolarità L che dal tipo di radiazione emessa e vale: (-1)L per transizioni elettriche

Ad esempio nel caso di un dipolo elettrico, il momento di dipolo d=qr ha parità dispariperché si trasforma in –qr in seguito a unainversione delle coordinate (vettore polare)

(-1)L+1 per transizioni magneticheAd esempio nel caso di un dipolo magnetico,

il momento di dipolo m=qrv ha parità pariperché rimane invariato in seguito a unainversione delle coordinate (vettore assiale) 29

r

qv

r

-q

+q

Transizioni elettromagneticheTransizioni elettromagneticheLe caratteristiche principali delle transizioni elettromagnetiche sono: La probabilità di transizione descresce al crescere della

multipolarità L A parità di multipolarità L, la probabilità di una transizione

magnetica è minore rispetto a una elettrica Devono essere soddisfatte le regole di selezione del momento

angolare e della parità

Quindi: Il ruolo dominante nelle transizioni radiative tra due stati

nucleari di dati valori di Πi e Πf e ΔJ è giocato dai multipoli elettrici e/o magnetici con il più basso valore di L che soddisfano le regole di selezione di parità e momento angolare

30

Esempi (1)Esempi (1)

Nel ≈100% dei casi il decadimento beta del 60Co produce uno stato eccitato del 60Ni con JP=4+ che decade nel primo stato eccitato con JP=2+ J=2, =No Le regole di selezione

consentono E2, M3, E4, M5 e E6.

Domina E2La transizione diretta dallo stato 4+ al livello base 0+ richiederebbe una transizione E4 che è fortemente soppressa 31

NiNidaseguitoeNiCo e60*60*6060

4+

2+

0+

E2

E2

Esempi (2)Esempi (2)

Nel 94.4% dei casi il decadimento beta del 137Cs produce uno stato eccitato del 137Ba con JP=11/2- che decade sullo stato base con JP=3/2+ J=4, =Si’ La transizione emessa è

di tipo M4 Il basso rate di

transizione per radiazione di multipolarità M4 spiega la lunga vita media di questo stato eccitato del 137Ba (2.5 min)

32

BaBadaseguitoeBaCs e137*137*137137

IsomerismoIsomerismoLe vite medie per i decadimenti gamma sono solitamente molto corte (<10-9 s) se confrontate con quelle dei decadimenti e Esistono però stati eccitati con vite medie molto più lunghe Gli stati che hanno vite medie “misurabili” vengono chiamati

stati metastabili o isomeri e i relativi decadimenti sono chiamati transizioni isomeriche Le transizioni gamma osservate hanno vite medie che vanno da 10-16 a 108 secondi. Il punto da cui si comincia a chiamare uno stato metastabile è arbitrario

Le transizioni isomeriche hanno rate di transizione molto bassi -> corrispondono a grandi ΔJ e piccoli E. Il valore critico è tipicamente ΔJ ≥ 3, quindi la radiazione emessa in transizioni

isomeriche sono di tipo è E3, M3 o di multipolarità più elevata La condizione citata è soddisfatta solo per A≥39, e non si hanno isomeri di elementi

leggeri. Anche ad A più elevati, gli stati isomerici nucleari non sono distribuiti

uniformemente tra tutti i nuclei, ma sono di preferenza concentrati in “isole” con Z o N dispari subito al di sotto dei numeri magici 50, 82, 126

33

Conversione interna (1)Conversione interna (1)Un nucleo in uno stato eccitato X* può decadere allo stato fondamentale X senza emettere radiazione , ma cedendo l'energia di eccitazione a un elettrone atomico. Questo processo si chiama conversione interna Il risultato della transizione è l’emissione di un elettrone atomico che (trascurando il rinculo del nucleo) emerge con un’energia cinetica:

dove E è l’energia di eccitazione del nucleo e Be è l’energia di legame dell’elettrone atomico

Elettroni appartenenti a shell atomiche diverse emergeranno quindi con energie diverse

Il fenomeno di conversione è sempre accompagnato da emissione di raggi X caratteristici della shell atomica interessata o elettroni Auger 34

eNucleusee BcMBET 2

Conversione interna (2)Conversione interna (2)Spettro degli elettroni emessi in un decadimento seguito da una diseccitazione per conversione interna

35

Conversione interna (3)Conversione interna (3)Gli elettroni di conversione possono essere osservati assieme alla radiazione gamma, oppure senza di essa es. nel caso di transizioni 0→0

Per effetto della conversione interna la vita media di uno stato eccitato è più breve di quanto previsto dal solo processo di decadimento radiativo Le probabilità di decadimento per radiazionee

conversione interna si sommano

dove è il coefficiente di conversione interna che: è il rapporto tra la probabilità di emissione di un elettrone e la probabilità di

emissione di un fotonepuò essere espresso come somma dei coefficiente di conversione parziale per

gli elettroni della shell K, L, M ..

36

)1( wwww IC

... MLKIC

w

w

Conversione interna (4)Conversione interna (4)

Esistono tabelle dettagliate dei valori calcolati per il coefficiente di conversione interna dalla teoria La teoria mostra che il coefficiente di conversione interna: decresce all’aumentare della

energia della transizione; cresce con il numero atomico

Z del nucleo; decresce con il raggio della

shell atomica dalla quale l’elettrone è emesso;

cresce con la multipolarità della corrispondente transizione gamma.

37