Decadimento Decadimento

2

Decadimento Decadimento Decadimento -: Nuclei che nel piano N-Z hanno

un eccesso di neutroni rispetto a quanto previsto dalla curva di stabilità, tendono a “trasformare” un neutone in un protone

Decadimento +: Nuclei che nel piano N-Z hanno

un eccesso di protoni rispetto a quanto previsto dalla curva di stabilità, tendono a “trasformare” un protone in un neutrone

eeAZAZ ),1(),(

eeAZAZ ),1(),(

3

Cattura elettronicaCattura elettronicaUn nucleo ricco di protoni può catturare un elettrone atomico e trasformare un protone in un neutrone Stesso effetto di un decadimento +

L’elettrone viene tipicamente catturato dalla shell K che è caratterizzata da una funzione d’onda sensibilmente diversa da zero nel volume del nucleo

Nota: La cattura elettronica ha un Q-valore più alto del decadimento

+ e quindi più energia cinetica a disposizione delle particelle nello stato finale

Ci sono casi in cui la differenza di massa tra (Z,A) e (Z-1,A) è troppo piccola (<1.022 MeV) per consentire il decadimento +, ma la cattura elettronica può invece avvenire, ad esempio: 83Rb decade in 83Kr (M = 0.9 MeV) solo attraverso cattura elettronica

eAZAZe ),1(),(

4

Dal modello a goccia (1)Dal modello a goccia (1)Dalla formula della massa di un nucleo, per A fissato si vede una dipendenza parabolica da Z:

che ha un minimo per:

5

Dal modello a goccia (2)Dal modello a goccia (2)Nuclei con A dispari: Il parametro vale 0 e quindi M(A,Z) ha un solo valore Fissato A esiste un solo isobaro stabile con Z=Z0

6

Dal modello a goccia (3)Dal modello a goccia (3)Nuclei con A pari M(A,Z) assume due valori diversi per nuclei pari-pari e dispari-dispari Possono esserci fino a 3 isobari stabili per i nuclei pari-pari Tutti i nuclei dispari-dispari devono essere instabili

Uniche eccezioni sono: 2H, 6Li, 10B e 14N in cui le parabole sono disposte come in figura b)

nucleipari-pari

nucleidispari-dispari

7

Dal modello a goccia (4)Dal modello a goccia (4)Nuclei con A pari Caso particolare in cui A=14

8

Teoria elementare di FermiTeoria elementare di FermiModello del 1934 basato sulla teoria di Fermi delle interazioni deboli Si usa la seconda regola d’oro di Fermi per calcolare il rate di

decadimento:

Ipotesi: La hamiltoniana di interazione è un operatore che agisce sui

campi fermionici mediante assorbimento o emissione di fermioni L’interazione è a corto raggio d’azione (interazione a contatto)

Spiegato nella teoria elettro-debole dall’alto valore di massa dei mesoni W che mediano l’interazione debole

)(||2 2

int fif EHw

9

Densità degli stati finali (1)Densità degli stati finali (1)Il termine di densità degli stati finali determina la forma dello spettro beta, cioè la distribuzione delle energie degli elettroni (positroni) emessi Il numero di stati in cui l’elettrone ha quantità di moto

compresa nell’intervallo tra pe e pe+dpe e il neutrino nell’intervallo compreso tra pν e dpv è dato da:

Integrato su tutte le possibili direzioni della quantita’ di moto ( ∫d=4) Integrato su tutte le possibili coordinate all’interno del volume di

normalizzazione ( ∫d3x=V ) Il volume della celletta di quantizzazione vale h3

10

Densità degli stati finali (2)Densità degli stati finali (2)Si introduce l’energia Ef a disposizione nello stato finale:

dove si è trascurata l’energia cinetica di rinculo del nucleo

Da cui per Ee fissato:

11

Densità degli stati finali (2)Densità degli stati finali (2)Il termine di densità degli stati finali determina la forma dello spettro beta, cioè la distribuzione delle energie degli elettroni (positroni) emessi

Sostituendo

Si ricava:

12

Densità degli stati finali (3)Densità degli stati finali (3)La densità degli stati finali per i quali l’elettrone ha una quantità di moto compresa tra pe e pe+dpe quando l’energia totale è compresa tra Ef e Ef+dEf è quindi:

che in caso di massa nulla del neutrino si riduce a:

m=0 m>0

End point:Ef=Ee

pmax=√(Ef2-me

2c4)

13

Campo coulombiano del nucleo Campo coulombiano del nucleo Deformazione dello spettro beta dovuta all’interazione dell'elettrone (positrone) con il campo coulombiano del nucleo. L'effetto è diverso per il decadimento -, in cui il potenziale è

attrattivo, e per il decadimento +, in cui il potenziale è repulsivoLa distribuzione di momento degli elettroni (positroni) diventa:

F(ZD,Ee) è la funzione di Fermi che è stata calcolata e tabulata ed è apprezzabilmente diversa da 1 solo per ZD (numero di protoni nel nucleo figlio) grandi o energie piccole

14

Grafico di Fermi-Kurie (1)Grafico di Fermi-Kurie (1)Se si riscrive la distribuzione di momento degli elettroni emessi come:

Nel caso di massa nulla del neutrino si ha:

che mostra una dipendenza lineare da Ee

La retta, in caso di massa nulla del neutrino interseca l’asse x nel punto Ee=Ef

Questo modo di presentare i dati sperimentali è il grafico di Fermi-Kurie La conferma sperimentale dell'andamento previsto costituisce il

primo successo della teoria di Fermi.

15

Grafico di Fermi-Kurie (2)Grafico di Fermi-Kurie (2)

La misura della distribuzione vicino all’end-point (Emax) della distribuzione, fornisce un metodo per misurare la massa del neutrino. La misura più precisa è stata fatta studiando il decadimento

del Trizio:

Nuclei semplici, correzioni facili da valutare Energia disponibile nello stato finale è piccola (530 keV) -> aumenta la

sensibilità della misura

eeHeH 33

eeHeH 33

16

Elemento di matrice (1)Elemento di matrice (1)Elemento di matrice per un decadimento :

Ni è la funzione d’onda che descrive il nucleone “genitore” all’interno del nucleo prima del decadimento

e e n sono le funzioni d’onda dell’elettrone e del neutrino Nf è la funzione d’onda che descrive il nucleone “figlio” all’interno del nucleo

dopo il decadimento L’integrale è esteso al volume del nucleo

Nella teoria di Fermi si fa l’ipotesi che l’interazione avvenga “a contatto”, per cui l’hamiltoniana di interazione vale:

dove g è la costante di accoppiamento che ha dimensioni [energia x volume] e misura l’intensità dell’interazione

L’elemento di matrice risulta quindi:

17

Elemento di matrice (2)Elemento di matrice (2)Dall’ipotesi di raggio d’azione nullo per Hint, segue che elettrone e neutrino sono particelle in moto libero dopo il decadimento

Si trascura l’interazione coulombiana dell’elettrone con il nucleo, che è stata inclusa nel fattore di Fermi

Il volume di integrazione (il nucleo) ha un raggio di qualche fermi e le energie dell’elettrone sono dell’ordine del MeV, quindi pr<<1 e si può approssimare:

Quindi, al primo ordine, l’elemento di matrice si riduce all’integrale delle funzioni d’onda dei nucleoni coinvolti nel decadimento:

18

Rate di decadimentoRate di decadimentoLa probabilità di transizione per unità di tempo per emissione di elettroni con quantità di moto compresa tra pe e pe+dpe dalla seconda regola d’oro di Fermi vale quindi:

che in caso di massa del neutrino nulla o trascurabile diventa:

eeeDefefif dppEZFcmEEEEc

VM

V

gdw 2422

36

222

2

2

),()(1

)2(

162

eeefefeDif dppcmEEEEEZFMc

gdw 24222

373

2

)(),(2

eeefeDif dppEEEZFMc

gdw 222

373

2

),(2

19

Vita media (1)Vita media (1)La vita media è data da:

dove 0 - pmax è il range di impulso dell’elettrone nello stato finale

Per calcolare l’integrale conviene introdurre le variabili:

da cui:

e quindi:

max

0

1 pdw

max

0

222

373

2

),(2

1 p

eeefeDif dppEEEZFMc

g

cm

p

cm

E

ee

2

0422

maxmax02

max22 11 cmcmE

cpcmEE eeef

dcm

dcmdcmcmcmdppEE

e

eeeeeeef

2220

220

75

20

220

7523220

222

1122

)2()(

20

Vita media (2)Vita media (2)L’integrale che compare nella formula della vita media dipende solo dal limite superiore di integrazione pmax, o 0

Si pone:

E quindi:

La vita media risulta essere il prodotto di: Una costante (mec2)5/23ħ(ħc)6 = 1.46104 MeV-2fm-6s-1

Il quadrato della costante di accoppiamento, dimensioni: MeV2fm6

Il quadrato dell’elemento di matrice adimensionale Mif

La funzione adimensionale f(ZD,0) che dipende dalla carica del nucleo e del limite superiore di integrazione 0=pmax/mec

0

0

2220

2200 1122),(),(

dZFZf DD

),(2

10

752

373

2

Deif ZfcmM

c

g

),(

)(2

)(10

2263

52

Dif

e ZfMgc

cm

21

Costante di accoppiamentoCostante di accoppiamentoIl rapporto G=g/(ħc)3 è la costante di Fermi che ha le dimensioni di [Energia-2] Dal decadimento beta del neutrone si misura:

Dalla misura della vita media del muone si ricava:

che è detta costante universale di Fermi

Si conclude che l’accopiamento del campo debole con i leptoni non è esattamente uguale a quello con i quark L’origine di questa differenza è dovuta al mixing dei sapori dei

quark attraverso l’angolo di Cabibbo L’accoppiamento debole tra quark u e d vale gcos C

253F 1000201401)(

G GeV..c

g -

25F 1000001.016639.1G GeV

C cosGG FF

22

f(Zf(ZDD,,00))I valori della funzione f(ZD,0) sono stati calcolati e tabulati Risulta molto sensibile all’energia dell’end-point

23

Legge di SargentLegge di SargentIn decadimenti in cui l’energia disponibile Ef è >> mec2, si ha: 0=pmax/mec>>1 e F(Z,)≈1. Si può quindi approssimare:

E quindi (essendo pmaxc ≈ Emax=Ef):

Questa approssimazione ci dà la legge di Sargent che dice che la vita media è inversamente proporzionale alla quinta potenza dell’energia a disposizione nello stato finale Questo è uno dei motivi alla base delle diverse vite medie dei

decadimenti dei nuclei

302

1

5

1

3

1

42

532

21122),(

505

0

0

4

0

0

5

0

3200

30

4220

0

2220

2200

2220

2200

000

0

00

d

ddZf D

2263

5max

50

2263

52

)(60

)(

30)(2

)(1ifif

e Mgc

cpMg

c

cm

22

63

5

)(60

1if

f Mgc

E

24

Legge di SargentLegge di SargentLegge di Sargent che dice che la vita media è inversamente proporzionale alla quinta potenza dell’energia a disposizione nello stato finale

2263

5

)(60

1if

f Mgc

E

Valore di log-ftValore di log-ftSi possono usare le misure della vita media dei nuclei per ricavare il valore di g|Mif| che contiene l’informazione sulla struttura nucleareE’ conveniente introdurre il valore ft (ft-value) definito come il prodotto di f(Z,0) e del tempo di dimezzamento t1/2=ln2

25

Può essere interpretato come la vita media corretta per gli effetti nucleari (Z) e per l’energia a disposizione (0)

Il valore di ft varia tra un minimo di 103 s e un massimo di 1022 s, per cui di solito si usa il log-ft value che è il logaritmo il base 10 del ft-value

222252

63

2/10

costante1

)(

)(2),(

ififeD

MgMgcm

ctZfvalueft

26

Momento angolareMomento angolareConservazione del momento angolare nel decadimento beta:

JP e JD sono lo spin dei nuclei genitore e figlio, L (=Le+L) il momento angolare orbitale dei leptoni, e S (=Se+S) lo spin dei leptoni

Un ragionamento semiclassico ci dice che il momento angolare orbitale dell’elettrone e del neutrino è dato da:

dove b è il parametro di impatto e R il raggio del nucleo Si ricava:

dato che R è dell’ordine di qualche fm e pe è al più dell’ordine di qualche MeV/c

I decadimenti con l=0 si chiamano permessi, quelli con l>0 proibitiI leptoni sono emessi preferenzialmente senza momento angolare orbitale La somma degli spin dei leptoni deve bilanciare la variazione di momento

angolare del nucleo

pRpbL )1(

0110)1( 2

Rpe

SLJJ DP

27

Spin nel decadimento betaSpin nel decadimento betaGli spin dell’elettrone (positrone) e del neutrino possono essere paralleli o anti-paralleli.

Spin di e antiparalleli (S=0) -> transizioni di Fermi Elettrone e neutrino sono in uno stato di singoletto

Spin di e paralleli (S=1) -> transizioni di Gamow-Teller Elettrone e neutrino sono in uno stato di tripletto

Entrambi i tipi di transizione possono avvenire Un singolo decadimento beta può essere una mistura dei due tipi di transizione

28

Transizioni permesse e proibiteTransizioni permesse e proibiteI decadimenti con l=0 si chiamano permessi, quelli con l>0 proibiti NOTA: questa non è un vera e propria regola di selezione:

decadimenti con l>0 sono possibili, anche se improbabiliLe funzioni d’onda dell’elettrone e del neutrino:

possono essere viste come uno sviluppo in serie nel numero quantico l

Il prodotto pr/ħ è dell’ordine di 10-2: i termini della successione diventano via via più piccoli

Il valore log-ft dipende dal modulo quadrato di M if, quindi ogni unità di l porta un fattore di soppressione del rate di decadimento dell’ordine di 10-3-10-4

Il primo termine della serie (=il valore di l più basso) che rispetta la conservazione del momento angolare domina in Mif e quindi determina il valore di log-ft e il rate di transizione

29

ParitàParitàPer transizioni permesse (l=0) la parità del nucleo deve rimanere immutata, visto che f=i (-1)l

L’elemento di matrice al prim’ordine si annulla se la parità del nucleo cambia

Transizioni in cui cambia la parità del nucleo devono essere quindi descritte dai termini successivi dello sviluppo:

Il primo termine corrisponde a transizioni con l=1 e cambio di parità -> decadimenti primo-probiti (first-forbidden)

Soppresse di un fattore 10-4 vita media più lunga di un fattore 104

Il termine successivo corrisponde a transizioni con l=2 senza cambio di parità -> decadimenti doppio-probiti (double-forbidden)

30

Regole di selezioneRegole di selezioneLe regole che mettono in relazione le caratteristiche del decadimento (=variazione di momento angolare e parità del nucleo) con l’ordine della transizione (permessa, primo proibita …) si chiamano regole di selezione La transizione con il valore di l più basso che non viola le regole di

selezione determina il rate di decadimento e il valore di log-ft

31

Transizioni permesseTransizioni permesseTransizioni permesse: Il momento angolare orbitale della coppia elettrone-neutrino è

0, lo spin è 1/2, quindi il momento angolare totale portato via della coppia elettrone neutrino può essere J=0 o J=1

Quindi nei decadimenti beta permessi, la variazione di momento angolare tra nucleo padre e figlio sarà J=0 o J=1

Transizioni permesse di Fermi (S=0, ): Le transizioni permesse lasciano immutati il momento

angolare e la parità del nucleo

Transizioni permesse di Gamow-Teller (S=1, ): Le transizioni beta permesse lasciano immutata la parità del

nucleo, ma c’è un cambio di momento angolare:

Il caso 00 è escluso perché non c’è momento angolare da portare via

NoJ 0

NoJ )00nonma(1,0

32

Esempi di transizioni permesseEsempi di transizioni permesse

Pura transizione di Gamow-Teller

Pura transizione di Fermi

Transizioni miste (J=0, ma Ji0)

Il rate di decadimento e l'elemento di matrice Mif dipendono da:•overlap dalle funzioni d’onda dei nucleoni nel nucleo.•principio di esclusione di Pauli che impedisce che il nuovo nucleone vada in uno stato già occupato

33

Transizioni super-permesseTransizioni super-permesseTransizioni super-permesse: Se le funzioni d’onda nel nucleo dei nucleoni genitore e figlio si

overlappano perfettamente, il probabilità di decadimento diventa grande

Caso in cui il protone e il neutrone coinvolti nel decadimento hanno gli stessi numeri quantici

I valori ft per questo tipo di decadimento sono simili a quelli del decadimento del neutrone libero

Sono tipicamente decadimenti + (eccezione il decadimento del 3H in 3He)

La repulsione Coulombiana nel nucleo separa leggermente i livelli energetici dello stesso multipletto di isospin, con energie più elevate per stati con più protoni e meno neutroni

Esempio: 14O 14N

p n

1p1/2

1p3/2

14N

1s1/2

p n

1p1/2

1p3/2

14O

1s1/2

34

Permesse e super-permessePermesse e super-permesseDistribuzioni di log-ft (logf dalla teoria + logt1/2 misurato) per transizioni permesse e super-permesse: La larghezza della distribuzione di log-ft all’interno di una classe

è dovuta alla variazione dell’elemento di matrice Mif

Esempio: 14C14N (transizione permessa di Gamow-Teller pura) t1/2=5730 anni log-ft = 9.04 ( >> dei valori tipici dei decadimenti permessi )

35

Transizioni proibiteTransizioni proibiteLa transizione con il valore di l più basso che non viola le regole di selezione determina il rate di decadimento e il valore di log-ft

Per transizioni proibite (l>0) l’elemento di matrice Mif dipende dal momento dell’elettrone Ha effetto anche sulla forma dello spettro dell’elettrone emesso Un grafico di Fermi-Kurie non-lineare è un’indicazione che una

certa transizione è di tipo proibito

36

Transizioni primo-proibiteTransizioni primo-proibiteTransizioni primo-proibite: Elettrone e neutrino possono essere emessi con spin totale S

= 0 oppure S = 1 La conservazione del momento angolare, J = L+S, produce le

regole di selezione per le transizioni proibite al primo ordine

Transizioni primo-proibite di Fermi (S=0, ):

Transizioni primo-proibite di Gamow-Teller (S=1, ):

SiJ )00nonma(1,0

SiJ 2,1,0

37

Esempi di transizioni proibiteEsempi di transizioni proibite

40K : t1/2 = 1.27109 anni,f=1018s I nucleoni “un-paired” nel 40K si sommano a JP=4-, mentre gli

stati base del 40Ar e 40Ca sono 0+ -> decadimento triplo-probito Il decadimento nel più basso stato eccitato del 40Ar (JP=2+) per

cattura elettronica è primo proibito, ma lo spazio delle fasi è molto piccolo perché il Q-valore è di soli 0.049 MeV

137Cs 137Ba : J=2, f = 4109 s

p n

1f7/2

1d3/2

40Ar

1f7/2

1d3/2

p n

40K

p n

1f7/2

1d3/2

40Ca

Appendice: angolo di Appendice: angolo di CabibboCabibbo

39

Decadimenti deboliDecadimenti deboli

Decadimenti leptonici: l’interazione debole cariche fanno passare da un componente del doppietto a un altro, ma mai da un doppietto a un altro (-> conservazione del numero leptonico)Decadimenti adronici: si osservano transizioni da un doppietto a un altro: da quark s a quark u cosi come da quark d a quark u

n p p0

p0pnd

Diagrammi a livello di Quark

40

Angolo di CabibboAngolo di CabibboSoluzione di Cabibbo (1963): gli autostati della massa (cche sono anche gli autostati dell’interazione forte, non sono anche autostati dell’interazione debole NOTA: sperimentalmente si osservano particelle con massa e

vita media definite, cioè gli autostati della massa

Posposta di Cabibbo: l’autostato dell’interazione debole è una combinazione degli autostati della massa

Si può definire un doppietto di isospin debole come:

Il bosone W accoppia lo stato d’ con il quark u

CC sdd sincos'

CC sd

u

d

u

sincos'

41

Decadimenti deboliDecadimenti deboli

Introducendo l’angolo di Cabibbo:

Da cui:

p0pn

d

C

e

e

n

2

0

tanep

ep

13C

42

Costante universale di FermiCostante universale di FermiDal decadimento beta del neutrone si misura:

Dalla misura della vita media del muone si ricava:

che è detta costante universale di Fermi

Si conclude che l’accopiamento del campo debole con i leptoni non è esattamente uguale a quello con i quark Non universalità dell’interazione debole? NO! L’interazione debole è universale!

L’origine di questa differenza è dovuta al mixing dei sapori dei quark attraverso l’angolo di Cabibbo

L’accoppiamento debole tra quark u e d vale gcos C

253F 1000201401)(

G GeV..c

g -

25F 1000001.016639.1G GeV

C cosGG FF