LEZIONI ED ESERCITAZIONI DI MATEMATICA

Prof. Francesco Marchi 1

Appunti ed esercizi su:

Disequazioni di II grado e loro discussione grafica

15 aprile 2012

1 Per altri materiali didattici o per informazioni:

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Tabella 1: Confronto tra tecniche di soluzione di equazioni e disequazioni di I e II grado. L’ultima casella, quella relativaalla soluzione della disequazione x2 > 5 e volutamente errata, per illustrare un errore frequente.

Grado Equazione Disequazione

I 3x = 5 ⇒ x = 53 3x > 5 ⇒ x > 5

3

II x2 = 5 ⇒ x = ±√

5 x2 > 5 ⇒ x > ±√

5

1 La discussione grafica

1.1 Le disequazioni di II grado

Le disequazioni di II grado sono spesso un argomento “mal digerito” e sono frequentemente oggetto dierrori, che hanno origini profonde. Vediamo nel prossimo paragrafo alcuni errori tipici e come superarli.

1.1.1 Il problema: un errore frequente

Uno degli errori piu frequenti (e piu gravi) nella risoluzione di disequazioni di II grado e il seguente:

x2 > 3 =⇒ x > ±√

3 (1)

La scrittura appena proposta e una vera e propria “mostruosita” matematica e dimostra che non sicapisce cio che si sta scrivendo: cosa significherebbe infatti x > ±

√3? Potremmo esser tentati di dare

due interpretazioni:

1. La scrittura sta a significare x > +√

3 ∧ x > −√

3.In tal caso, cio significa semplicemente x > +

√3; ma allora, nel nostro risultato non contemple-

remmo valori come x = −10, che pure e soluzione della disequazione data.

2. La scrittura sta a significare x > +√

3 ∨ x > −√

3.In tal caso, cio significa x > −

√3. In questo caso, staremmo facendo due errori: da un lato

escludiamo soluzioni, come x = −10; dall’altro includiamo soluzioni che in realta tali non sono (adesempio x = 0).

1.1.2 Diagnosi n.1: una mancata analogia

La causa di simili errori nella soluzione di disequazioni di II grado sta forse nella non completa analogiatra i metodi risolutivi delle equazioni e disequazioni di II grado, diversamente da quanto avviene perquelle di primo grado, come illustrato nella seguente tabella 1.

1.1.3 La rappresentazione grafica del trinomio di II grado

Per poter comprendere il corretto metodo di risoluzione delle disequazioni di II grado (e di altri tipi didisequazioni) e necessario mettere da parte un approccio puramente algebrico; puo essere, per contro,molto utile considerare la questione anche da un punto di vista grafico. Da un punto di vista grafico,risolvere una disequazione come la seguente:

2x2 − 5x+ 1 < 0 (2)

1

significa determinare per quali valori della x la quantita 2x2 − 5x+ 1 e negativa; ad esempio avremo:

x = −1 =⇒ 2 · (−1)2 − 5 · (−1) + 1 = 2 + 5 + 1 > 0

x = 0 =⇒ 2 · 02 − 5 · 0 + 1 = 1 > 0

x = 1 =⇒ 2 · (1)2 − 5 · 1 + 1 = 2− 5 + 1 = −2 < 0

e percio x = 1 e soluzione della disequazione, mentre x = −1 e x = 0 non lo sono.Per poter capire quali sono tutte le soluzioni della disequazione, rappresentiamo graficamente la parabolay = 2x2 − 5x+ 1 (vedi fig. 1).

Figura 1: Rappresentazione cartesiana della parabola di equazione y = 2x2 − 5x + 1.

1.1.4 Diagnosi n.2: un problema di linguaggio

Un’altra possibile causa di difficolta nel comprendere questo tipo di problema, nasce in realta da una sortadi pigrizia nell’articolare verbalmente l’obiettivo dell’esercizio e le operazioni necessarie per raggiungerlo.Per quanto riguarda la soluzione di una disequazione tipo quella considerata, generalmente, si ritrovanotre modi in cui si espone il problema:

1. Livello I: “Dobbiamo vedere quando e maggiore di zero”.Qui non e ben chiaro chi e il soggetto della frase.

2. Livello II: “Dobbiamo vedere quando 2x2 − 5x+ 1 e maggiore di zero”.Qui, ad esser criticabile, e l’avverbio quando; ed e proprio dall’utilizzo di tale avverbio che nasconomolti errori.

3. Livello III (dicitura corretta): “Dobbiamo vedere per quali valori della x la quantita 2x2 − 5x + 1e maggiore di zero”.In questo caso abbiamo sostituito il quando con un’espressione piu articolata, che permette di capireveramente cosa richiede la soluzione di una disequazione.

2

Tabella 2: Tabella relativa al caso ∆ > 0, a > 0.

disequazione soluzione intervalli grafico

ax2 + bx+ c > 0 x < x1 ∨ x > x2 (−∞, x1) ∪ (x2,+∞) 2(a)

ax2 + bx+ c ≥ 0 x ≤ x1 ∨ x ≥ x2 (−∞, x1] ∪ [x2,+∞) 2(b)

ax2 + bx+ c = 0 x = x1 ∨ x = x2 {x1, x2} 2(b)

ax2 + bx+ c ≤ 0 x1 ≤ x ≤ x2 [x1, x2] 2(b)

ax2 + bx+ c < 0 x1 < x < x2 (x1, x2) 2(b)

1.1.5 Discussione di uno specifico caso ∆ > 0, a > 0

Vediamo adesso nel dettaglio la procedura di risoluzione di una disequazione di II grado; consideriamoanche l’equazione associata:

ax2 + bx+ c = 0; ∆ = b2 − 4ac

Consideriamo il caso specifico ∆ > 0, a > 0; l’esempio proposto in 2 rientra in questo caso. Ricordandocile formule relative alla parabola, avremo:

yV = −∆

4a< 0

Percio, la parabola avra vertice sotto l’asse x, ed essendo rivolta verso l’alto, lo intersechera in due puntidistinti, x1 e x2. Cio e confermato dal fatto che ∆ > 0: x1 e x2 sono le soluzioni dell’equazione associata;nel caso specifico:

x1 =5 +√

17

4; x2 =

5−√

17

4

Sempre facendo riferimento al grafico 1, possiamo capire che la soluzione della disequazione sara:

x < x1 ∨ x > x2

che possiamo scrivere anche cosı: (−∞, 5 +

√17

4

)∪(5−

√17

4,+∞

)1.1.6 Discussione degli altri casi

In generale, la disequazione puo presentarsi con ciascuno dei seguenti segni:

>; ≥; ≤; <

In tal caso, l’interpretazione grafica della disequazione e proposta nella tabella 2 e nei grafici di figura 2.Piu in generale, saranno possibili, a seconda del segno di ∆ e di a, i casi sintetizzati nella tabella 3.

Come esercizio, discutere i vari casi possibili, come fatto nel paragrafo precedente.

3

(a) (b)

(c) (d)

(e)

Figura 2: Grafici relativi al caso ∆ > 0, a > 0. DA INSERIRE I GRAFICI CORRETTI!!

Tabella 3: Sintesi dei vari casi possibili per una disequazione di II grado.

sgn(∆) sgn(a) sgn(yV )

+ + −+ − +

0 + 00 − 0

− + +− − −

4

1.2 Il caso generale

1.2.1 Disequazioni nella forma f(x) ≶ 0

La tecnica vista nella sezione precedente, relativamente alle disequazioni di II grado, puo essere applicatain generale. In generale, infatti, si consideri una disequazione del tipo:

f(x) ≶ 0

Nel caso in cui si sappia tracciare il grafico della funzione f(x), la soluzione della disequazione richiederadue passaggi:

1. Determinare le coordinate dei punti di intersezione della funzione con l’asse x: per determinare talipunti si dovra risolvere l’equazione associata f(x) = 0.

2. Dedurre dal grafico quando la funzione e positiva e quando e invece negativa.

1.2.2 Disequazioni nella forma f(x) ≶ a

In altri casi, invece, puo essere piu comodo riportare la disequazione data nella seguente forma:

f(x) ≶ a

Esercizi

2 Introduzione e disequazioni algebriche: esercizi teorici

2.1 Questioni di carattere teorico

Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false:

1. Una disequazione puo avere infinite soluzioni.

2. Una disequazione puo essere impossibile.

2.2 Intuire soluzioni

2.2.1 Esercizio 1

Si consideri la disequazione seguente:x23 + 2 sinx+ 3 > 0

Proporre almeno due sue soluzioni.

2.3 Determinazione di una soluzione

Completa la tabella 4, seguendo l’esempio che ti viene fornito nella prima riga, gia compilata.Per ciascuna disequazione indica il numero delle incognite, il grado per ciascuna incognita e forniscil’esempio di una soluzione (o riempi il campo con una sbarra, nel caso non esistano soluzioni) e di unanon soluzione.

3 Introduzione e disequazioni algebriche: esercizi calcolativi

3.1 Disequazioni di I grado

Risolvi le seguenti disequazioni:

1. −x+ 6 ≤ −2x− 8

5

Tabella 4: Tabella relativa all’esercizio 1

Equazione Grado Soluzione Non-soluzione

x3 + 5y ≥ 7y + 2 (x, y) = (3, 1) (2, 0) (0, 0)

α2 + 4α < −3α+ 5

a+ b2 ≤ c+ 1

4ψ + 4 + 3ψ ≤ 3y − 6 + 2x− 5ψ

2x+ 52α− 3 + α ≤ 4 + x− α

4

2t2 + 6t ≤ 3t2 − 4 + t

3t3 − 4η + 2µ > 3 + η2

6

3.2 Disequazioni di II grado

Risolvi le seguenti disequazioni:

x2 − 1

3+

5

6≥ 1

4x− x2 − 2

4(3)

8x+ 51x2 6 0 (4)

−2y2 − 9 < 0 nella variabile y (5)

αx2 − 34 > 0 (6)

x2 + 2x+ 1 > 0 (7)

6x+ x2 < −3x2 + 4− 10 (8)

(a+ b)x2 − fx > 0 (9)

2βx2 + x− 11 6 0 (10)

1

2at2 + v0t+ t0 > 0 nella variabile t (11)

3

5k2 + αk − 2 < 0 nella variabile k (12)

Puoi, per esercizio, risolvere ad esempio le disequazioni a pag 525 e seguenti, dalla 66 alla 107 e dalla 120alla 125, dal libro Strutture nella matematica, di Grazzi e Re Fraschini, edito da Atlas.

3.2.1 Verifica con GeoGebra

Per esercizio, dopo aver svolto ciascuna delle disequazioni proposte nella sezione precedente, controlla ilrisultato che hai ottenuto con il software GeoGebra.

4 Intermezzo: tecniche di soluzione

4.1 Discussione grafica

4.1.1 Esercizio 1

Completare la tabella 5, completando le parti mancanti (a seconda dei casi grafico, soluzione, . . . ). Nota:alcuni esempi sono svolti.

4.1.2 Esercizio 2

Completare la tabella 6, completando le parti mancanti (a seconda dei casi grafico, soluzione, . . . ). Nota:alcuni esempi sono svolti.

7

Tabella 5: Tabella relativa all’esercizio 1 della sezione 4.1.

disequazione ∆ a yV grafico soluzione

−3x2 + 2x− 3 < 0 − − − 3(a) (−∞,+∞)

−x2 + 5x+ 2 > 0

−x2 + 8x− 16 < 0

−x2 + 8x− 16 ≤ 0

−x2 + 8x− 16 ≥ 0

−x2 + 8x− 16 > 0

x2 − 8x+ 16 > 0

x2 − 8x+ 16 ≤ 0

3(b)

x2 + 5 < 0 − + + ∅

x2 + 5 ≥ 0

x2 − 5 > 0 (−∞,−√

5) ∪ (+√

5,+∞)

x2 − 5 ≤ 0

−x2 − 3 ≤ 0

−x2 + 6 ≥ 0

−x2 + 6 < 0

7x2 + 5x < 0

7x2 − 5x ≥ 0

8

(a) (b)

Figura 3: Grafici relativi all’esercizio 1 della sezione 4.1.

(a) (b)

Figura 4: Grafici relativi all’esercizio 2 della sezione 4.1.

9

Tabella 6: Tabella relativa all’esercizio 2 della sezione 4.1.

disequazione ∆ a yV grafico soluzione

ax2 + bx+ c ≥ 0 + −

ax2 + bx+ c ≥ 0 0 −

ax2 + bx+ c ≤ 0 − ∅

ax2 + bx+ c ≤ 0 − (x1, x2)

ax2 + bx+ c ≤ 0 + + − 4(a) (−∞, x1] ∪ [x2,+∞)

ax2 + bx > 0 + +

ax2 + c > 0 + 4(b)

ax2 + c > 0 + −

ax2 + c > 0 R

ax2 + c ≤ 0 [x1, x2]

+ + ∅

0 − {x±}

0 + {x±}

ax2 + bx+ c ≤ 0 − ]−∞, x−] ∪ [x+,+∞[

ax2 + bx+ c > 0 − +

10

4.2 Discussione con GeoGebra

In questa sezione vogliamo discutere gli esercizi della sezione precedente con GeoGebra.

4.2.1 Disequazioni numeriche

1. Inserisci nella barra di inserimento ciascuna delle disequazioni numeriche della sezione precedente.Guarda la parte di piano che viene evidenziata. Perche? Cosa puoi notare in relazione alla variabiley?

2. Adesso fai tracciare a GeoGebra le curve relative ai trinomi associati alle equazioni (ad es. f(x) =−3x2 + 2x− 3 e cosı via)

3. Determina, tramite l’apposito comando, le coordinate dei punti di intersezione fra la parabola el’asse x.

4. Introduci un punto C vincolato all’asse x

5. Introduci P (xC , f(C))

6. Clicca con il dx su P e mostra la traccia se e soddisfatta la condizione f(P ) > 0

7. Adesso inserisci del testo: Vogliamo risolvere la disequazione . . . (dove al posto dei puntini useraila lettera corrispondente all’oggetto disequazione)

4.2.2 Disequazioni con parametri liberi

Fai la stessa cosa dell’esercizio precedente, usando pero i parametri introdotti tramite slider a, b, c. Nelcommento del testo, puoi anche inserire delle osservazioni relative al segno di a, b, c, del vertice etc.

4.2.3 Ulteriori miglioramenti

Puoi migliorare il file creato ad esempio ispirandoti a questo http://www.geogebratube.org/student/

m6131. In particolare puoi:

1. Inserire una casella di testo in cui compaia la soluzione

2. Inserire dei checkbox in modo da poter scegliere a posteriori il verso della disequazion voluto

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