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Teoria Cinetica dei gas

Una esposizione semplice

La teoria cinetica stabilisce un collegamento tra il comportamento macroscopico di un gas e il suo comportamento microscopico.

Le grandezze macroscopiche Pressione e Temperatura sono strettamente dipendenti dalle grandezze microscopiche N Numero delle molecole e Velocità delle molecole.

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Il modello meccanico di un gas

Al contrario di quel che avviene per i liquidi ed i solidi, il comportamento dei gas appare indipendente dalla specie chimica. La bassissima densità, la capacità di espandersi

illimitatamente, il comportamento semplice e regolare al variare di temperatura e pressione portano a concludere che, nello stato gassoso, le molecole siano sostanzialmente indipendenti e

libere, che le forze fra di esse agiscano, a breve distanza, solo nell’urto.

Ciò conduce a formulare un primo modello meccanico fondato sulle seguenti ipotesi:

• Le molecole sono assimilabili a sfere rigide piccolissime (punti materiali) di massa m

• Il loro numero N è così elevato da essere statisticamente significativo

• Le molecole si muovono in modo completamente casuale obbedendo alle leggi di Newton

• L’urto delle molecole con le pareti del contenitore è elastico (si conserva l’energia cinetica)

• Le loro dimensioni sono trascurabili rispetto alla distanza media fra esse; in altri termini il volume complessivo delle molecole è trascurabile rispetto al volume totale occupato dal gas

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• Tutte le molecole sono di ugual massa

• il moto delle molecole non ha direzioni privilegiate

• * le molecole non si urtano fra loro

L’abbandono di quest’ultima ipotesi porta ad un sostanziale raffinamento del modello, con conseguenze estremamente significative

e infine:

• L’urto delle molecole contro le pareti rispetta le leggi della riflessione

il modello di gas

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L’origine della Pressione

La pressione esercitata dal gas è dovuta agli urti delle molecole contro le pareti del

contenitore.

Ricordiamo dalla meccanica che:

Δt

pΔF

Δt

vΔmF amF

v

L

L

L

S Si pensi ad 1 sola molecola di massa m in moto con velocità v entro una scatola cubica di lato L

Modello di gas

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zy

x

v

L

L

L

S

Nell’urto contro la parete di destra, perpendicolare all’asse X, essa subisce una variazione della quantità di moto:

xxxif mvmvmvppp 2

v

v

vx

-vx

forza agente sulla particella in 1 urto:

forza agente sulla parete in 1 urto:

t

mvF x

x

2

t

mvF x

x

2

( 3° principio della dinamica)

La variazione della q. di moto della parete in 1 urto:

xmvp 2

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Esaminiamo attentamente l’urto contro la parte 1

L’urto è elastico: Ec iniziale = Ec finale Viniziale = V finale

La variazione della q. di moto della parete in 1 urto:

xmvp 2

L’urto rispetta le leggi della riflessione:

1- raggio incidente, raggio riflesso, normale alla sup. riflettente, nel punto d’ìncidenza, sono complanari,

2- angolo incidenza = angolo riflessione

ifififif vvvvmvmvEcEc 2222

2

1

2

1

Consideriamo la variazione della q. di moto della molecola:

x

z

v

v

vx

-vx

xzyxizyxf vmpvvvmpvvvmp 2 allora )( );(

Urto

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Dopo l’urto la molecola si muove verso la parete opposta con velocità vx, e, dopo un altro urto, torna indietro verso la parete 1

Quindi percorre la distanza 2L con velocità vx impiegando un tempo t = 2L/vx

Pertanto la forza media esercitata dalla molecola contro la parete 1 è

L

vm

L

vm

vL

vm

t

pF xx

x

x22

2

22

2

V

vm

L

vm

L

F

A

FPressione xx

2

3

2

2

Che determina la pressione

v

L

L

L

S

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La formula precedente fa riferimento ad una sola molecola. Per la pressione totale dovremo tener conto del contributo di tutte le molecole che però hanno velocità diverse e in generale variabili nel tempo. Tuttavia la distribuzione delle velocità rimane costante e, quindi, anche la velocità media rimane costante, pertanto invece della velocità vx faremo riferimento alla velocità media

E tenendo conto di tutte le molecole

V

vm x2

P

22

P xx vm

V

N

V

vmN

Distribuzione velocità

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zyx vvvv

e le tre componenti vx, vy, vz sono mediamente equivalenti, cioè, ogni direzione è ugualmente probabile,

2222

3

1vvvv zyx

(teorema di Pitagora)

avremo

Siccome vx è una delle tre componenti della velocità v

22222 3 xzyx vvvvv

22

3

1P vm

V

N

V

vmN x

vx

vy

vz

v

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(ove è il valore medio del quadrato della velocità.

Indicando con Ec = l’energia cinetica media di una molecola )

2v

2

2

1vm

cEV

Nvm

V

NP

3

2

2

1

3

2 2

La pressione di un gas è direttamente proporzionale all’energia cinetica media delle sue

molecole.

Allora, in un gas ideale, la pressione è direttamente proporzionale al numero delle molecole, inversamente proporzionale al volume e

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cENvmNPV3

2

2

1

3

2 2

E portando al primo membro il volume V

cEV

Nvm

V

NP

3

2

2

1

3

2 2

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Teoria Cinetica(ipotesi teorica)

Equazione di stato dei gas(risultato sperimentale)

cENPV3

2 NkTPV

TN

RkTE

AVc 2

3

2

3

Energia cinetica e temperatura

NkTEN c 3

2

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La temperatura assoluta è (se la deduzione è corretta !), direttamente proporzionale alla sola energia cinetica media molecolare. Scaldando un gas aumentiamo la velocità media delle sue molecole, raffreddandolo diminuiamo la velocità media delle molecole.

kTEc 2

3

Acquista un significato chiaro la nozione di temperatura assoluta !

Si ha anche: Energia di una mole

Energia totale gas

TRTNkE AVmol 2

3

2

3

TRnE gastot 2

3

Energia cinetica media di una molecola

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Calcolo delle velocità molecolari

A che velocità si muove, in media, una molecola di Ossigeno ( O2 )

alla temperatura di 27 °C ? (T=27 °C = 300 K)

kTvmkTEc 2

3

2

1

2

3 2

M

RT

mN

TkN

m

kTv

Av

Avqm

333

vvv 22

se:

Massa di 1 molecola

Velocità quadratica media

(radice quadrata della media dei quadrati delle velocità)

massa molecolare

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per l’Ossigeno : 1310322

molkgM O

m/svmolKg

KqmO 485

1032

30031,83

/

)(K))(J/(mol32

…e una molecola d’Idrogeno ( H2 ) ?

(a parità di temperatura l‘energia cinetica media è la stessa, ma la velocità media è inversamente proporzionale alla radice quadrata della

massa molecolare)

M

RTv

3

In una miscela di gas diversi (es. Azoto 14N e Ossigeno 16O) tutte le molecole possiedono la stessa en. cinetica media, ma le molecole di

azoto, essendo più leggere, sono mediamente più veloci.

m/s 20004316

16

133

16

1vv

22 O2

22

H22

MMMMMO

OH

OH

RTRTRT

16

Energia interna di un gas ideale

kTvm2

1 kTvm

2

1

kTvm2

1 kTE

xx

c

2

1

2

33

2

3

2

3

22

2

L’energia interna di una sostanza è la somma di tutte le energie: potenziali, cinetiche, rotazionali, delle molecole

che la compongono

Ad ogni grado di libertà “componente dell’energia” di una molecola è associata un’energia pari a ½ kT

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NkT

kTN

ternaenergiaU

molecoletotalenumerolibertàdigradi

2

3

2

1)()(3

in

In un gas ideale (monoatomico) le uniche interazioni sono gli urti perfettamente elastici, non c’è energia potenziale e le molecole hanno solo energia traslazionale nelle tre direzioni dello spazio. L’energia totale del sistema è la somma dell’energia cinetica nelle tre direzioni di moto, 3 gradi di libertà

oppure

nRTkTnNNkTU A 2

3

2

3

2

3

vx

vy

vz

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NkT

kTN

ternaenergiaU

molecoletotalenumero

2

5

2

1)()(5

in

libertà di gradi

Nel caso di un gas biatomico si hanno 5 gradi di libertà complessivi: 3 traslazionali nelle tre direzioni dello spazio e 2 rotazionali.

quindi

nRTkTnNNkTU A 2

5

2

5

2

5

vx

vy

vz

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1a considerazione

•La velocità di fuga dalla Terra 11,2 km/s

• la velocità vqm di H2= 1,93 km/s 1/6 velocità di fuga

•Composizione dell’aria azoto 78%, ossigeno 21%, altri gas tra cui l’idrogeno 0,0062%

Alcune considerazioni sulle velocità molecolari

Distribuzione maxwelliana delle velocità molecolari

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0 200 400 600 800 1000

velocità (m/s)

dN

/dv p

er

mole

T=300 kIdrogeno

20

una molecola 100 volte più pesante di quella di ossigeno avrebbe comunque la rispettabile velocità di circa 50 m/s e percorrerebbe un locale di 5 metri di lunghezza ben 10 volte in 1 secondo !!!!…………che sia proprio così ?

Se le cose stanno così allora ….

Allora,……

2a considerazione:

Abbiamo calcolato che la velocità media dell’ossigeno a 27 °C è di circa 485 m/s

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L’esperienza ci dice che il profumo del caffè non ci

arriva così in fretta !!

[prova tu ad immaginare altre analoghe situazioni]

Come si possono conciliare queste osservazioni con le previsioni della teoria cinetica ?

Fai clic sulla foto

Rinunciando all’ipotesi che le dimensioni delle molecole siano

infinitamente piccole , tanto piccole da rendere trascurabile la

probabilità di un urto fra esse

Questo fenomeno di propagazione di un gas in un altro (diffusione) appare in realtà

decisamente più lento.

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Se si assume che le dimensioni delle molecole siano finite , per esempio sfere di raggio r , allora il percorso di ciascuna molecola sarà una

successione casuale di moti rettilinei uniformi, di lunghezza e direzione differenti, tra un urto e l’altro, percorsi ciascuno con velocità diversa,

dipendente dalle modalità con cui avviene l’urto con un’altra molecola.

Più grandi sono le

molecole, più è probabile

l’urto reciproco !

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r = raggio molecolare

n = numero di molecole per unità di volume

= velocità media

Si può dimostrare che la frequenza d’urto

(numero di collisioni al secondo) è data da:

vnπrf 24

e che il libero cammino medio (distanza media percorsa tra un urto e il

successivo) è : nπrf

vl

24

1

v

Nel 1856 R.Clausius determinò, proprio in base alle velocità di diffusione dei gas e ad altri dati sperimentali, l’ordine di grandezza delle dimensioni molecolari:

m 10 10 -109 rSi tratta della prima misura indiretta delle dimensioni di particelle

microscopiche, fino ad allora solamente ipotizzate !

24

Negli urti tra molecole si hanno continui scambi di energia cinetica ma il valore medio per molecola di tale energia e quello complessivo restano costanti.

Si deve a J.C.Maxwell il calcolo della distribuzione statistica delle velocità molecolari in un gas, il cui andamento dipende solo dalla temperatura :

Distribuzione maxwelliana delle velocità molecolari

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0 200 400 600 800 1000

velocità (m/s)

dN/d

v pe

r m

ole

T=300 kOssigeno