La teoria cinetica dei gasA cura di Enrica MaraglianoLiceo Classico C.Colombo

Genova

Le tappe fondamentali dell’interpretazione cinetica del calore

1738Daniel Bernoulli : spiegazione della legge di Boyle col modello cinetico (pressione di un gas come risultato degli urti delle molecole sulle pareti del contenitore)(ignorata per il prevalere del modello ‘statico’ proposto da Newton)

1820 John Herapath: riproposta dei risultati di Bernoulli,• calcolo della velocità di una molecola d’idrogeno

1827 Robert Brown: scoperta del moto “Browniano”

1848 J.R.Joule: equivalenza tra calore ed energia meccanica• abbandono definitivo della teoria del calorico• riproposta del lavoro di Herapath

1856 R.Clausius :”sulla natura di quel particolare moto che chiamiamo calore” [fondamenti della moderna teoria cinetica]

1861J.C.Maxwell - Ludwig Boltzmann : sviluppo dettagliato della teoria matematica [Meccanica statistica]

Le tappe fondamentali dell’interpretazione cinetica del calore

1900J.Perrin: studio del moto browniano e determinazione del numero di Avogadro

1920Otto Stern - Zartmann - etc.: conferme sperimentali della legge di Maxwell per la distribuzione statistica delle velocità molecolari

nascita e sviluppo della Meccanica Quantistica

La teoria cinetica classicaLa teoria cinetica “classica” costituisce l’

ultimo trionfo della meccanica newtoniana nella descrizione dei fenomeni naturali:

anche i fenomeni microscopici possono essere affrontati e spiegati sulla base delle leggi di

Newton e dei principi di conservazione

Limiti della teoria cinetica “classica”

Alcune previsioni della teoria cinetica “classica” non sono in accordo con i dati sperimentali

lo sviluppo della meccanica quantistica ha potuto fornire una descrizione pienamente soddisfacente dei fenomeni su scala atomica

Le caratteristiche di un gas• Bassissima densità• Capacità di espandersi illimitatamente• Comportamento semplice e regolare al variare

di temperatura e pressione

• Le molecole sono sostanzialmente indipendenti e libere

• Le forze fra di esse agiscono, a breve distanza, solo nell’urto

Ipotesi alla base del modello• le molecole del gas sono punti materiali in moto casuale e

con distribuzione uniforme nello spazio • gli urti con le pareti del recipiente sono perfettamente

elastici → si conserva l’energia cinetica• il numero delle molecole è grande → si possono usare

metodi statistici• il volume totale delle molecole dei gas è trascurabile

rispetto al volume del contenitore → le loro dimensioni sono trascurabili rispetto alla distanza media fra esse

• l'interazione tra le molecole è trascurabile• le molecole sono perfettamente sferiche ed hanno tutte la

stessa massa• gli effetti relativistici e quantistici sono trascurabili

Attenzione!!!

In questa prima approssimazione del modello ipotizziamo che le molecole

non si urtino fra loro.L’abbandono di quest’ultima ipotesi porterà,

come vedremo, ad un sostanziale raffinamento del modello, con conseguenze

estremamente significative.

Verifichiamo il modello…

Immaginiamo di avere un contenitore cubico, con lo spigolo di lunghezza L, in cui si muove una particella che ha velocità v.

La particella può colpire una qualunque delle pareti del contenitore in modo ugualmente probabile, quindi possiamo considerare il suo moto lungo l’asse x.

v

L

L

L

S

zy

x

Conservazione della quantità di moto

Nell’urto contro la parete di destra, perpendicolare all’asse x, essa subisce una variazione della quantità di moto solo per quanto riguarda la componente orizzontale, mentre quella verticale rimane invariata.

v

v

vx

-vx

Avremo allora:

Le leggi di Newton

Abbiamo appena visto che vale:

forza agente sulla particella in 1 urto:

forza agente sulla parete in 1 urto:

( 3° principio della dinamica)

Ricordiamo il teorema dell’impulso:

Calcoliamo la pressioneIn un intervallo di tempo macroscopico possiamo

supporre che 1/3 degli urti avvengano nella direzione dell’asse x, 1/3 nella direzione dell’asse y ed 1/3 nella direzione dell’asse z.

Poiché fra un urto e l’altro sulla stessa parete la particella percorre 2 volte il tratto lungo L dello spigolo, l’intervallo di tempo tra due urti consecutivi è:

La forza esercitata in media da una particella è dunque:

Quindi…Da questo si deduce allora che la pressione sulla faccia

di area S=L2 del contenitore (che ha volume L3) è:

• la pressione dipende da v2 perché dipende sia dalla velocità della particella che dal tempo che essa impiega per percorrere lo spigolo di lunghezza L, che è inversamente proporzionale a v

Per una particella si ha dunque:

Con N particelle, invece……queste si muoveranno in modo casuale e nuovamente

1/3 degli urti avverrà in ogni direzione. Poiché ci interessa solo l’effetto medio degli urti,

possiamo supporre che tutte le particelle abbiano la stessa velocità, pari alla loro velocità media.

Avremo, quindi:

La legge di Joule-ClausiusEssendo ogni direzione ugualmente probabile, abbiamo

che:

(teorema di Pitagora)

E quindi:

“il prodotto pressione x volume di un gas è proporzionale all’energia cinetica media delle

molecole”[Legge di Joule-Clausius]

Teoria Cinetica(ipotesi teorica)

Equazione di stato dei gas(risultato sperimentale)

La temperatura assoluta è dunque proporzionale alla sola energia cinetica media del moto molecolare:

avendo definito con k la costante di Boltzmann (costante universale):

Acquista un significato chiaro la nozione di temperatura assoluta: infatti l’energia cinetica delle molecole è nulla se solo se è la temperatura assoluta vale 0.

Alcune importanti osservazioni…

Calcolo delle velocità molecolariVisto che sappiamo dalla Meccanica che l’energia cinetica dipende dalla massa della particella e dal quadrato della velocità a cui essa si muove, possiamo calcolare la velocità molecolari:

Se:

massa molecolareVelocità quadratica media

(radice quadrata della media dei quadrati delle velocità)

Per l’Ossigeno…A che velocità si muove, in media, una molecola di

Ossigeno ( O2 ) a temperatura ambiente ? (T=27 °C = 300 K)

…e una molecola d’Idrogeno ( H2 ) ?

(a parità di temperatura l‘energia cinetica media è la stessa, ma la velocità quadratica media è inversamente

proporzionale alla radice quadrata della massa molecolare)

Se le cose stanno così allora …

… una molecola 100 volte più pesante di quella di ossigeno avrebbe comunque la rispettabile velocità di circa 50 m/s e percorrerebbe un locale di 5 metri di lunghezza ben 10 volte in 1 secondo!!!! ………… Che sia proprio così ?

Eppure l’esperienza ci dice che il profumo del caffè non ci arriva così in fretta !!

Come si possono conciliare queste osservazioni con le previsioni della teoria cinetica ?Rinunciando all’ipotesi che le dimensioni delle molecole siano infinitamente piccole, tanto piccole da rendere trascurabile la probabilità di un urto fra esse

Questo fenomeno di propagazione di un gas in un altro (diffusione) appare in realtà decisamente più lento.

Se si assume che le dimensioni delle molecole siano finite , per esempio sfere di raggio r, allora il percorso di ciascuna

molecola sarà una successione casuale di moti rettilinei uniformi, di lunghezza e direzione differenti, tra un urto e l’altro, percorsi ciascuno con velocità diversa, dipendente

dalle modalità con cui avviene l’urto con un’altra molecola.

Più grandi sono le molecole, più è probabile l’urto

reciproco!

Si può dimostrare che la frequenza d’urto (numero di collisioni al secondo) è data da:

e che il libero cammino medio (distanza media percorsa tra un urto e il successivo) è:

r = raggio molecolare

n = numero di molecole per unità di volume

= velocità media

Nel 1856 R.Clausius determinò, proprio in base alle velocità di diffusione dei gas e ad altri dati sperimentali, l’ordine di grandezza delle dimensioni molecolari:

Si tratta della prima misura indiretta delle dimensioni di particelle microscopiche, fino ad allora solamente ipotizzate.

Negli urti tra molecole si hanno continui scambi di energia cinetica ma il valore medio per molecola di tale energia e quello complessivo restano costanti.

Si deve a J.C.Maxwell il calcolo della distribuzione statistica delle velocità molecolari in un gas, il cui andamento dipende solo dalla temperatura: