Teoria cinetica dei gas Interpretazione microscopica della temperatura e della pressione.
Cenni di Teoria Cinetica dei Gas - users · Teoria cinetica dei gas Ipotesi di base: Il gas e'...
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Introduzione● La termodinamica descrive i sistemi termodinamici tramite i
parametri di stato (p, T,...)
● Sufficiente per le applicazioni: impostazione e progettazione di sistemi
● I parametri di stati sono in relazione con valori mediati di grandezze microscopiche (moto delle molecole che costituiscono il sistema)
● Utile e interessante stabilire queste relazioni per comprendere il significato fisico delle grandezze macroscopiche
● Introduzione alla Teoria Cinetica applicata a sistemi gassosi
● Ci baseremo sulla meccanica Newtoniana e sull'analisi statistica del moto delle molecole
● Modello sviluppato nell'800 principalmente da Maxwell e Boltzmann
Teoria cinetica dei gas
● Ipotesi di base:
● Il gas e' costituito da molecole identiche e di massa m e con dimensioni trascurabili
● Le molecole sono sferette rigide che compiono urti completamente elastici tra loro e con la parete del recipiente
● si conservano P e Ek
● Non si hanno interazioni a distanza tra le molecole
● Epotenziale=0, Ek0
● Le pareti (di massa ) garantiscono urti elastici privi di attrito
● e' rilevante solo F, non si manifestano forse tangenziali F||=0
● Distribuzione spaziale delle molecole e' uniforme e le direzioni di moto delle molecole sono distribuite in modo isotropo
Interpretazione microscopica di P (1)● Consideriamo N molecole di massa m
all'interno di una scatola di lato a
● Velocita' della i-esima particella
● In ogni collisione con le pareti, la particella rimbalza ed inverte la componente della velocita' normale alla superficie
● F|| =0 -> Dq||=0
● Ad esempio, urto contro la parete (1)
● Variazione della quantita' di moto Dq della particella
● Impulso comunicato alla parete e' -Dq
Interpretazione microscopica di P (2)● Tempo t che intercorre tra due urti successivi
con la stessa parete
● Numero di urti/secondo sulla parte (1) e' dato da
● Componente x della forza esercitata sulla parete (1) da una particella e' pari all'impulso medio comunicato in 1 secondo
Interpretazione microscopica di P (3)● La risultante dovuta alle N molecole e':
● Pressione sulla parete (1), di area S=a2 esercitata dagli urti molecolari
Media del quadrato della componente x della velocita'
● Per l'ipotesi di isotropia spaziale, lo stesso valore medio che ha vx
2, devono averlo anche vy2 e vz
2
Interpretazione microscopica di T (1)
● Le molecole di un gas perfetto sono assimilabili a particelle libere, per cui ci aspettiamo una relazione tra moto delle particelle e la temperatura T
● L'unica forma di energia che possono avere e' quella cinetica
● Quindi l'energia interna U del gas deve essere legata all'energia cinetica media delle sue molecole
● Per un gas perfetto U=U(T), per cui deve esistere una relazione tra la temperatura e l'energia cinetica media
Interpretazione microscopica di T (2)● Introduciamo l'energia cinetica media di traslazione Ek
● Per un gas ideale
KB e' dettacostante di Boltzmann
La temperatura T (assoluta!) di un gas ideale e' proporzionale all'energia cinetica media di una molecola associata al moto casuale nel gas
L'energia interna U (1)● Per un gas ideale (le molecole non interagiscono tra loro) l'energia
interna deve essere legata all'energia posseduta dalle molecole
● Per un gas monoatomico (He, Ne, Ar...), U puo' solo dipendere dall'energia cinetica traslazionale. Per un campione di n moli (nNA e' il numero di molecole)
Per un gas ideale monoatomico
● Una molecola di un gas monoatomico ha solo 3 gradi di liberta', possiamo assumere che ognuno contribuisca all'energia cinetica media di 1/2KBT
Dove ℓ e' il numerodi gradi di liberta'
L'energia interna U (2)● La validita' della relazione tra energia cinetica
media e numero di gradi di liberta' ℓ molecolari e' valida anche per gas biatomici.
● Principio di equipartizione dell'energia:
● A ogni grado di liberta' della molecola compete una energia cinetica media pari a (1/2)KBT
● E l'energia internaAl moto di rotazionecompetono 2 gradi di liberta'
Per le molecole monoatomiche
Per le molecole biatomiche
Per le molecole poliatomiche (6 gradi di liberta') Per le molecole poliatomiche
l'accordo con i dati sperimentali non e' buono. Sono rilevanti anche i gradi di liberta' vibrazionali
Velocita' molecolari
● Se le velocita' quadratiche medie sono cosi' alte, perche' la diffusione di un gas in un altro e' cosi' lento?
● Per esempio il profumo di caffe' dalla cucina alla camera da letto non arriva con velocita' cosi' elevate...
Le velocita' sono molto alte: sul Sole T=2•106 K, vqm delle molecole di H2 e' 82 volte più grande che a T=300K
Se consideriamo una misceladi due gas, l'energia cineticamedia delle due speciedi molecole e' uguale, quindi
Cammino libero medio
Cammino libero medio l: distanza media percorsa tra due collisioni successive, quindi dipende dalla densita' e dalledimensioni efficaci (d) delle molecole
Numero di molecole nel volume Vspazzato nel tempo Dt e' pari a
Per un gas perfetto la densita' N/V si ricava da
(e tenendo conto che anche lealtre molecole si muovono)
Molecole d'aria:- livello del mare: l0.1 mm- 100 km: l16 cm- 300 km: l20 km
Distribuzione delle velocita' molecolari (1)● Vogliamo conoscere come le velocita'
si distribuiscono attorno alla velocita' quadratica media
● La distribuzione delle velocita' fu ricavata da Maxwell (1860)
● Per un gas costituito da N particelle di massa m, alla temperatura T
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N(v)dv e' il numero di molecole con velocita' compresa tra v e v+dv
Distribuzione delle velocita' molecolari (3)N(v)/N fornisce la distribuzione dellaprobabilita' P(v)
P(v)dv e' la probabilita'di trovare una molecola con velocita' tra v e v+dv
Molecole di O2 a T=300 K
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Distribuzione delle velocita' molecolari (4)Molecole di O2 a due diverse temperature
Perche' nell'atmosfera terrestre l'idrogeno ha una bassa concentrazione? Dipendenza della velocita' delle particelle dalla massa molecolare
Dipendenza dalla temperatura e dallamassa
Conclusione● Abbiamo determinato la relazione tra p, V e T
● E tra T ed energia cinetica media delle molecole. Questa relazione permette di comprendere il significato fisico cella temperatura
● Abbiamo trovato il legame tra l'energia interna di un gas perfetto e i gradi di liberta' molecolari
● Illustrato come il cammino libero medio e' legato alla pressione e a T e alle dimensioni molecolari
● Illustrato (senza dimostrazioni) la distribuzione delle velocita' di Maxwell