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Cenni di Teoria Cinetica dei Gas

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Cenni di Teoria Cinetica dei Gas

Introduzione● La termodinamica descrive i sistemi termodinamici tramite i

parametri di stato (p, T,...)

● Sufficiente per le applicazioni: impostazione e progettazione di sistemi

● I parametri di stati sono in relazione con valori mediati di grandezze microscopiche (moto delle molecole che costituiscono il sistema)

● Utile e interessante stabilire queste relazioni per comprendere il significato fisico delle grandezze macroscopiche

● Introduzione alla Teoria Cinetica applicata a sistemi gassosi

● Ci baseremo sulla meccanica Newtoniana e sull'analisi statistica del moto delle molecole

● Modello sviluppato nell'800 principalmente da Maxwell e Boltzmann

Teoria cinetica dei gas

● Ipotesi di base:

● Il gas e' costituito da molecole identiche e di massa m e con dimensioni trascurabili

● Le molecole sono sferette rigide che compiono urti completamente elastici tra loro e con la parete del recipiente

● si conservano P e Ek

● Non si hanno interazioni a distanza tra le molecole

● Epotenziale=0, Ek0

● Le pareti (di massa ) garantiscono urti elastici privi di attrito

● e' rilevante solo F, non si manifestano forse tangenziali F||=0

● Distribuzione spaziale delle molecole e' uniforme e le direzioni di moto delle molecole sono distribuite in modo isotropo

Interpretazione microscopica di P (1)● Consideriamo N molecole di massa m

all'interno di una scatola di lato a

● Velocita' della i-esima particella

● In ogni collisione con le pareti, la particella rimbalza ed inverte la componente della velocita' normale alla superficie

● F|| =0 -> Dq||=0

● Ad esempio, urto contro la parete (1)

● Variazione della quantita' di moto Dq della particella

● Impulso comunicato alla parete e' -Dq

Interpretazione microscopica di P (2)● Tempo t che intercorre tra due urti successivi

con la stessa parete

● Numero di urti/secondo sulla parte (1) e' dato da

● Componente x della forza esercitata sulla parete (1) da una particella e' pari all'impulso medio comunicato in 1 secondo

Interpretazione microscopica di P (3)● La risultante dovuta alle N molecole e':

● Pressione sulla parete (1), di area S=a2 esercitata dagli urti molecolari

Media del quadrato della componente x della velocita'

● Per l'ipotesi di isotropia spaziale, lo stesso valore medio che ha vx

2, devono averlo anche vy2 e vz

2

Interpretazione microscopica di T (1)

● Le molecole di un gas perfetto sono assimilabili a particelle libere, per cui ci aspettiamo una relazione tra moto delle particelle e la temperatura T

● L'unica forma di energia che possono avere e' quella cinetica

● Quindi l'energia interna U del gas deve essere legata all'energia cinetica media delle sue molecole

● Per un gas perfetto U=U(T), per cui deve esistere una relazione tra la temperatura e l'energia cinetica media

Interpretazione microscopica di T (2)● Introduciamo l'energia cinetica media di traslazione Ek

● Per un gas ideale

KB e' dettacostante di Boltzmann

La temperatura T (assoluta!) di un gas ideale e' proporzionale all'energia cinetica media di una molecola associata al moto casuale nel gas

L'energia interna U (1)● Per un gas ideale (le molecole non interagiscono tra loro) l'energia

interna deve essere legata all'energia posseduta dalle molecole

● Per un gas monoatomico (He, Ne, Ar...), U puo' solo dipendere dall'energia cinetica traslazionale. Per un campione di n moli (nNA e' il numero di molecole)

Per un gas ideale monoatomico

● Una molecola di un gas monoatomico ha solo 3 gradi di liberta', possiamo assumere che ognuno contribuisca all'energia cinetica media di 1/2KBT

Dove ℓ e' il numerodi gradi di liberta'

L'energia interna U (2)● La validita' della relazione tra energia cinetica

media e numero di gradi di liberta' ℓ molecolari e' valida anche per gas biatomici.

● Principio di equipartizione dell'energia:

● A ogni grado di liberta' della molecola compete una energia cinetica media pari a (1/2)KBT

● E l'energia internaAl moto di rotazionecompetono 2 gradi di liberta'

Per le molecole monoatomiche

Per le molecole biatomiche

Per le molecole poliatomiche (6 gradi di liberta') Per le molecole poliatomiche

l'accordo con i dati sperimentali non e' buono. Sono rilevanti anche i gradi di liberta' vibrazionali

Velocita' molecolari

● Se le velocita' quadratiche medie sono cosi' alte, perche' la diffusione di un gas in un altro e' cosi' lento?

● Per esempio il profumo di caffe' dalla cucina alla camera da letto non arriva con velocita' cosi' elevate...

Le velocita' sono molto alte: sul Sole T=2•106 K, vqm delle molecole di H2 e' 82 volte più grande che a T=300K

Se consideriamo una misceladi due gas, l'energia cineticamedia delle due speciedi molecole e' uguale, quindi

Cammino libero medio

Cammino libero medio l: distanza media percorsa tra due collisioni successive, quindi dipende dalla densita' e dalledimensioni efficaci (d) delle molecole

Numero di molecole nel volume Vspazzato nel tempo Dt e' pari a

Per un gas perfetto la densita' N/V si ricava da

(e tenendo conto che anche lealtre molecole si muovono)

Molecole d'aria:- livello del mare: l0.1 mm- 100 km: l16 cm- 300 km: l20 km

Distribuzione delle velocita' molecolari (1)● Vogliamo conoscere come le velocita'

si distribuiscono attorno alla velocita' quadratica media

● La distribuzione delle velocita' fu ricavata da Maxwell (1860)

● Per un gas costituito da N particelle di massa m, alla temperatura T

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N(v)dv e' il numero di molecole con velocita' compresa tra v e v+dv

Distribuzione delle velocita' molecolari (3)N(v)/N fornisce la distribuzione dellaprobabilita' P(v)

P(v)dv e' la probabilita'di trovare una molecola con velocita' tra v e v+dv

Molecole di O2 a T=300 K

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Distribuzione delle velocita' molecolari (4)Molecole di O2 a due diverse temperature

Perche' nell'atmosfera terrestre l'idrogeno ha una bassa concentrazione? Dipendenza della velocita' delle particelle dalla massa molecolare

Dipendenza dalla temperatura e dallamassa

Conclusione● Abbiamo determinato la relazione tra p, V e T

● E tra T ed energia cinetica media delle molecole. Questa relazione permette di comprendere il significato fisico cella temperatura

● Abbiamo trovato il legame tra l'energia interna di un gas perfetto e i gradi di liberta' molecolari

● Illustrato come il cammino libero medio e' legato alla pressione e a T e alle dimensioni molecolari

● Illustrato (senza dimostrazioni) la distribuzione delle velocita' di Maxwell