Teoria cinetica dei gas

Interpretazione microscopica della temperatura e della pressione.

Modello molecolare del gas perfetto La teoria cinetica dei gas si basa sul concetto

che la materia è formata da molecole in continuo movimento; rappresenta un modello che descrive in modo approssimativo ed esemplificato un sistema fisico più complesso.

Ogni gas è formato da un numero enorme di molecoleLe molecole sono immaginate come sferette rigide indeformabili e di dimensioni trascurabili rispetto alla loro distanza mediaLe molecole non in continuo e disordinato movimentoLe forse di interazione si considerano praticamente nulle, tra un urto e l’altro il moto è rettilineoGli urti molecola-molecola e molecola-parete sono elasticiCoesione

e adesione

Modello molecolare e di interazione

10-9 m

10-7 m

Due molecole si attraggono quando si trovano ad una distanza compresa tra 10-9 m e 10-7 m. (zona gialla)Si respingono se la distanza è minore di 10-9 m, come se le molecole entrassero in collisione.Non interagiscono se la distanza è superiore ai 10-7 m, cioè fuori della zona d’azione gialla.

Da un punto di vista energetico, le molecole dei gas, in continuo e disordinato movimento, sono dotate di energia cinetica.

Se il gas è rarefatto possiamo supporre che le forze di interazioni tra molecole sia trascurabile e quindi l’unica forma di energia che contribuisce alla ENERGIA INTERNA del gas è quella cinetica (positiva)Se il gas non è rarefatto allora le molecole interagiscono tra loro e quindi occorre introdurre anche una energia potenziale. Poiché la forza di interazione è attrattiva l’energia potenziale sarà negativa .Queste considerazioni ci permettono di differenziare da un punto di vista energetico i gas reali da quelli ideali.

Urti molecolari e pressioneLa pressione di N molecole di un gas perfetto contenuto in un recipiente di volume V è il risultato di un numero elevatissimo di urti elastici delle molecole contro le pareti. Non è necessario studiare il moto di ogni singola molecola. La meccanica statistica studia i sistemi fisici formati da un enorme numero di componenti in base alle proprietà medie dei componenti stessi.

Poiché negli urti contro le pareti cambia soltanto la componente della quantità di moto perpendicolare alla parete stessa, possiamo considerare urti ideali che avvengono soltanto lungo questa direzione.

1/3 delle molecole si muove lungo l’asse x1/3 delle molecole si muove lungo l’asse y1/3 delle molecole si muove lungo l’asse zCon una velocità media uguale per tutte di

Elaborazione matematicaLa variazione di quantità di moto nell’urto è

E poiché tra un urto e l’altro rispetto una stessa parete è pari a

Per il teorema dell’impulso

Sostituendo

Per il terzo principio della dinamica se F è la forza della parete sulla particella, -F sarà la forza che la particella imprime sulla parete. La pressione , per definizione, è pari alla forza premente ortogonalmente una superficie diviso la superficie stessa. Calcolando quindi la forza totale e dividendo per la superficie

Quindi la pressione è direttamente proporzionale al quadrato della velocità media

Energia cinetica e temperatura

Grandezze macroscopicheGrandezza microscopica

Elaborazione matematica

Quindi è possibile dare un’interpretazione microscopica anche della temperatura assoluta: essa misura la rapidità del moto di agitazione delle molecolePiù è alta la temperatura più le molecole si muovono velocemente.

La costante di Boltzmann

La costane di Boltzmann è particolarmente utile quando di un gas viene dato il numero di molecole N e non di moli n.

L’equazione di stato può essere riscritta come segue:

Punti da esporre:

1. Ricavare l’espressione della T rispetto alla velocità media

2. Ricavare l’espressione della velocità media rispetto alla T

3. ricavare la dipendenza della velocità quadratica media dalla

massa molecolare

L’equipartizione dell’energia:In quali modi l’energia cinetica può venire immagazzinata dalle molecole.Caso 1: gas monoatomico

Principio di indipendenza dei moti lungo le direzioni x,y,z di Galileo

Una molecola può possedere energia cinetica lungo l’asse x indipendentemente dal fatto che la possieda rispetto le altre due direzioni y, z.

Una molecola può possedere energia cinetica lungo l’asse x indipendentemente dal fatto che la possieda rispetto le altre due direzioni y, z.

Possiamo allora “smontare l’equazione in pezzi” facendo affacciare l’idea che ad ogni modo indipendente di accumulare energia da parte delle molecole competa lo stesso quantitativo energetico

Facciamo il punto!

Interpretiamo ancora la costante di Boltzmann

Rappresenta l’aumento energetico che si ha in ogni “serbatoio indipendente” della molecola quando la temperatura viene incrementata di un grado

Il PRINCIPIO D’EQUIPARTIZIONE DELL’ENERGIA, formulato da J. C. Maxwell (1831 – 1879), afferma che, individuato il numero di modi diversi, indipendenti tra loro, in cui ciascuna delle molecole di una sostanza può

accumulare energia, questa, mediamente, si ripartisce in maniera uguale tra essi, in modo tale che ciascuno di essi ne abbia un quantitativo pari a

Dove T è la temperatura espressa in kelvin della sostanza

Il PRINCIPIO D’EQUIPARTIZIONE DELL’ENERGIA, formulato da J. C. Maxwell (1831 – 1879), afferma che, individuato il numero di modi diversi, indipendenti tra loro, in cui ciascuna delle molecole di una sostanza può

accumulare energia, questa, mediamente, si ripartisce in maniera uguale tra essi, in modo tale che ciascuno di essi ne abbia un quantitativo pari a

Dove T è la temperatura espressa in kelvin della sostanza

L’equipartizione dell’energia:Se le molecole non sono monoatomiche, sono possibili altri “serbatoi energetici?.

Se un gas ha molecole biatomiche, si aggiungono altre due possibilità di movimento indipendenti, oltre alla traslazione. Si tratta delle rotazioni attorno ai due assi ortogonali all’asse di simmetria. L’energia potrà essere incamerata anche in essi e quindi ogni molecola avrà complessivamente:

Se le possibilità di ruotare in modo indipendente sono tre, molecole poliatomiche, allora l’energia sale a

La distribuzione delle velocità molecolari di un gas perfetto.Nel modello di gas perfetto formato da molecole in moto disordinato e continuo

abbiamo fatto l’ipotesi semplificativa che le molecole avessero velocità uguali tra loro. Ma ciò non è verosimile e non ci deve spaventare perché Il

PERFETTO DISORDINE ci permette di prevedere il futuro!

Supponiamo che le particelle di un gas a temperatura T si trovino all’inizio nella situazione altamente ordinata in cui il valore del modulo della di velocità v sia uguale per tutte. In base alla relazione che lega energia cinetica media e temperatura sarà

In breve tempo, a causa dei primi urti, alcune di esse diverranno più veloci ed altre più lente. Nell’ipotesi di urti elastici, per ogni molecola che perde velocità ve ne sarà, in corrispondenza, una che l’aumenta.

Istogramma della distribuzione di Maxwell

In un istogramma che rappresenti il numero di molecole in relazione all’intensità della loro velocità (indipendentemente dalla direzione) si assisterà ad un graduale “sparpagliamento” verso velocità immediatamente vicine a quella di partenza. Gli urti avranno l’effetto di far scavalcare a destra il valore v dalla molecola che cresce di velocità, ed a sinistra da quella che rallenta. Se attendiamo un tempo lungo, si raggiunge in questo modo una distribuzione stabile. Si tratta di una forma di equilibrio, ma non nel senso statico di questo termine:una molecola qualunque, in ogni caso, ora rallenta ed ora accelera a seconda degli urti subiti.

Lettura del graficoIl punto di massimo vp rappresenta il valore di velocità avvicinandosi al quale cresce la probabilità di trovare molecole. Ma la situazione fisica non è simmetrica attorno ad esso: mentre le intensità delle velocità a sinistra non possono scendere al di sotto dello zero, a destra, non esiste invece un limite ai valori possibili (se non quello di non superare la velocità della luce).

Spostandosi verso un qualunque intervallo di valori molto grandi, sarà quindi sempre possibile trovare molecole che si muovono a tali velocità. Il loro numero però diminuisce progressivamente: in caso contrario dovremmo avere a disposizione infinite particelle. Si dimostra che la velocità

Lettura del graficoSe aumentiamo la temperatura del gas, le velocità tendono a raggrupparsi attorno ad un nuovo valore massimo che cresce secondo la relazione vista sopra:

Quando T aumenta, inoltre, in una situazione di equilibrio statistico, la distribuzione delle velocità molecolari intorno al massimo si allarga sempre di più.Così, per effetto dell’incremento dell’energia cinetica media delle molecole, la distribuzione “viaggia” spostandosi verso destra, con le ali della campana che si fanno sempre più aperte.

Lettura del graficoBisogna pensare a questa distribuzione come ad un istogramma in cui l’area sottesa rappresenta il numero totale di molecole, mentre l’area compresa in una “fetta” verticale fra due velocità vicine rappresenta il numero di molecole che hanno velocità comprese fra questi valori.

AL CRESCERE DELLA TEMPERATURA AUMENTA IL GRADO

DELLA DISTRIBUZIONE DELL’ENERGIA COMPLESSIVA FRA

GLI STATI DI VELOCITÀ.

AL CRESCERE DELLA TEMPERATURA AUMENTA IL GRADO

DELLA DISTRIBUZIONE DELL’ENERGIA COMPLESSIVA FRA

GLI STATI DI VELOCITÀ.

Per basse temperature, la forma piccata della distribuzione fa sì che solo un piccolo intervallo di velocità attorno al valore massimo sia occupato da un numero di molecole che non sia trascurabile, e solamente poche particelle hanno velocità molto più grandi (o molto più piccole) di vp.

Aumentando la temperatura il numero complessivo di molecole non cambia quindi l’area sottesa resta equivalente. Ma ora i valori di velocità interessati in modo significativo non sono solo una fetta ristretta intorno a vp, la forma della curva si allarga in modo che una frazione più importante delle molecole totali abbiano velocità più grandi e più piccole del massimo.