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Comportamento meccanico dei materiali Legami tra tensioni e deformazioni
© 2006 Politecnico di Torino 1
Stato di tensione e di deformazione
2
Legame tra tensioni e deformazioni
Deformazioni-tensioni, in assi principali, dei materiali isotropiDeformazioni-tensioni in assi non principali IComponenti sferica e deviatriceDeformazioni-tensioni in assi non principali IITensione piana, deformazione pianaRelazioni grafiche tra cerchi di Mohr di tensione e di deformazione
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Legame tra tensioni e deformazioni
4
Assi principali: esistono sempre, per tensioni e deformazioniMateriale isotropo: comportamento indifferente alla direzione
Se l’asse 1 è principale per le tensioni: segmentidiretti secondo l’asse 1 subiscono spostamenti secondo l’asse 1; infatti, per simmetria, non ci sono spostamenti ortogonali all’asse 1…
1
23
Deformazioni sotto tensione uni-assiale (1/4)
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…l’asse 1 è principale anche per le deformazioni:
Prima dell’applicazione della tensione:
Dopo che la tensione è stata applicata
11 dA⋅σ
1dX
1 1dXε
Deformazioni sotto tensione uni-assiale (2/4)
6
La funzione che esprime la dipendenza di dalla che la produce si trova sperimentalmente essere, per i materiali detti “lineari elastici”:
1σ1ε
( ) 111 E1
σ=σε
dove: E è il modulo di elasticità
Deformazioni sotto tensione uni-assiale (3/4)
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Sperimentalmente si trova anche che secondo le direzioni 2 e 3:
( ) 1212 b σ=σε
( ) 1313 b σ=σε
dove deve necessariamente essere per l’isotropia del materiale, e dove si trova che si tratta di “contrazioni”, quindi negative, espresse usualmente come:
32 bb =
Ebb 32
ν−==
in cui: ν è il coefficiente di Poisson
Deformazioni sotto tensione uni-assiale (4/4)
8
( )
( )
( )
1 1 1
1 2 1 1
3 1 1
1E
E
E
ε σ σ
νσ ε σ σ
νε σ σ
⎧⎪⎪ =⎪⎪⎪⎪⎪⎪→ =−⎨⎪⎪⎪⎪⎪ =−⎪⎪⎪⎩
Per l’isotropia:
( )
( )
( )
1 2 2
2 2 2 2
3 2 2
E1E
E
νε σ σ
σ ε σ σ
νε σ σ
⎧⎪⎪ =⎪⎪⎪⎪⎪⎪→ =−⎨⎪⎪⎪⎪⎪ =−⎪⎪⎪⎩( )
( )
( )
1 3 3
3 2 3 3
3 3 3
E
E1E
νε σ σ
νσ ε σ σ
ε σ σ
⎧⎪⎪ =⎪⎪⎪⎪⎪⎪→ =−⎨⎪⎪⎪⎪⎪ =−⎪⎪⎪⎩
Effetto delle tensioni tri-dimensionali (1/3)
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Ammettiamo ora che la deformazione dovuta all’applicazione delle tre tensioni principali sia additiva, e non dipenda quindi dall’ordine di applicazione Così stando le cose, la legge generale:
( ) kjikjii EEE1
,, σν
−σν
−σ≅σσσε
Notiamo quindi che il nostro modello del materiale isotropo dipende da due assunzioni: la linearità e l’additività. Ci accontentiamo qui del fatto che ambedue siano supportate dalla sperimentazione
Effetto delle tensioni tri-dimensionali (2/3)
10
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
σσσ
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ν−ν−ν−ν−ν−ν−
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
εεε
3
2
1
3
2
1
11
1
E1
Da questa relazione lineare è agevole, invertendo, ricavare le in funzione delle Rimandiamo questa operazione
iσ kji ,, εεε
Il modello del materiale isotropo stabilisce quindi la seguente relazione (legge costitutiva)tra deformazioni e tensioni:
Effetto delle tensioni tri-dimensionali (3/3)
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Invece, ci proponiamo ora di conoscere il legame tra tensioni e deformazioni non in assi principali (1,2,3), ma in assi qualsiasi (x1, x2, x3). Troveremo che i materiali isotropi hanno relazioni tra le σ e le ε della stessa struttura indipendentemente dai tipi di assi si riferimentoSi noti, per ora, che le relazioni ottenute in assi principali dipendono da due soli parametri: il modulo elastico “E”, detto anche “modulo di Young”, e il coefficiente ν, detto coefficiente di “Poisson”
Numero dei parametri del materiale
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Al fine di ottenere le relazioni in assi qualsiasi, notiamo che l’equazione in assi principali si può anche scrivere come segue:
( )4434421
σ
σ+σ+σν
−σν+
=ε
1I
kjiii EE1
dove: è, come già sappiamo, un invariante del tensore della tensione al variare del sistema di riferimento, ovvero la traccia della matrice
= tensione (normale) media
σ1I
1 m mI 3 ; σ ≡ σ σ
[ ]σ
Invariante della tensione
14
Da:
sommando per i,j,k :
( ) m
3
kji
I
kji E9
E1
m1
σν
−σ+σ+σν+
=ε+ε+ε
σε443442143421
ε1I
( ) mikjiii 3EE
1EE
1σ
ν−σ
ν+=σ+σ+σ
ν−σ
ν+=ε
dove: invariante del tensore della deformazione
= variazione relativa di volume, o dilatazione volumica
VV1 ;I εε≡ε
Invariante della deformazione
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Dilatazione volumica:
321 dXdXdXdV
:inizialevolume
⋅⋅=
⇒ ( )33 1dX ε+
( )22 1dX ε+( )11 1dX ε+
( )( ) ( ) ( )
.......)1(
dXdXdX
111
dXdXdX1dV
:finalevolume
321
321
321
321v
+ε+ε+ε+⋅
⋅⋅⋅=
=ε+⋅ε+⋅ε+⋅
⋅⋅⋅=ε+⋅
1dX 2dX3dX
⇒( )VdV 1 + ε
⇒
Significato dell’invariante della deformazione
16
…quindi: , che sarà utile in seguito
Si noti che una dilatazione volumica nulla implica:
mentre significa dilatabilità massima (contrazione trasversale nulla in trazione semplice)
V m1 2
3E
− νε = σ
5.0
021
=ν
=ν−
0=ν
Valori estremi del coefficiente di Poisson
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Le tre equazioni (per i=1,2,3):
i i m
1 3E E
ν νε σ σ
+= −
moltiplicate ciascuna per il suo , e sommate termine a termine:
2in
2 2 2i i i i m i
i i i
1n n 3 n
E Eν ν
ε σ σ∀ ∀ ∀∑ ∑ ∑
+⋅ = ⋅ −
Trasformazione (1/7)
18
{ovvero ovvero
nε nσ
invarianti
{ } [ ]{ } { } [ ]{ } 13E
nnE
1nn m
TT ⋅σν
−σν+
=ε
Ovvero:
quindi:
mnn E3
E1
σν
−σν+
=ε
Trasformazione (2/7)
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{ } [ ]{ } { } [ ]{ } { } { }nn3E
nnE
1nn T
mTT σ
ν−σ
ν+=ε
Alla relazione tra invarianti si poteva arrivare anche partendo da assi non principali:
( )2z
2y
2xm
zyyzzxxzyxxy
2zzz
2yyy
2xxx
zyyzzxxzyxxy2zzz
2yyy
2xxx
nnn3E
nn2nn2nn2
nnn
E1
nnnnnnnnn
++σν
−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
τ+τ+τ
+σ+σ+σν+=
=γ+γ+γ+ε+ε+ε
Trasformazione (3/7)
20
La relazione vale per qualsiasi direzione , quindi anche per ,(cioè per le direzioni di ciascuno degli assi non principali):
n1ni = 0nn kj ==
2 2 2i ii i ii i m
1 3n n n
E Eν ν
ε σ σ+
= −
Fatto notevole: le sono legate alle sole con la stessa legge che lega tra loro deformazioni e tensioni principali
iiε iiσiε
iσ
i
j
k
Trasformazione (4/7)
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Riorganizzata l’equazione di partenza:
( )2z
2y
2xm
zyyzzxxzyxxy
2zzz
2yyy
2xxx
zyyzzxxzyxxy2zzz
2yyy
2xxx
nnn3E
nn2nn2nn2
nnn
E1
nnnnnnnnn
++σν
−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
τ+τ+τ
+σ+σ+σν+=
=γ+γ+γ+ε+ε+ε
Trasformazione (5/7)
22
In modo da mettere il evidenza i termini prima trovati:
( ) [ ]zyyzzxxzyxxy
zyyzzxxzyxxy
z,y,xi
2imiiii
nnnnnnE
12
nnnnnn
n3EE
1
τ+τ+τν+
=
=γ+γ+γ+
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ σ
ν+σ
ν+−ε∑
=
=0
Trasformazione (6/7)
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Che dovendo valere per tutte le direzioni e quindi anche per quelle giacenti su piani coordinati:
Si ottiene una relazione tra le sole e :
( )jkjk E
12τ
ν+=γ
;0ni = ;0nj ≠ 0nk ≠
dà le tre relazioni:
ikγ jhτ
( )[ ]zyyzzxxzyxxy
zyyzzxxzyxxy
nnnnnnE
12
nnnnnn
τ+τ+τν+
=
=γ+γ+γ
i
j
k
Trasformazione (7/7)
24
[ ]( ) ( ) ( ) ( )
( )
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
τν+
=γ
=
νσ−νσ−σ=σν
−σν+
=ε
yz,xz,xyjk:perE
12
y,x,z,x,z,y,z,y,xk,j,i:perE1
E3
E1
jkjk
kkjjiimiiii
In conclusione, abbiamo trovato che per unmateriale isotropo, in assi qualsiasi le componenti di deformazione sono legate a quelle di tensione secondo le 6 equazioni:
“modulo di taglio”( ) G12E
=ν+
Relazioni deformazioni-tensioni
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Legame tra tensioni e deformazioni
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Invertire queste 6 equazioni relazioni non pone grossi problemi.
Vale tuttavia la pena di compiere uno sforzo per trovare una strada ancora più elegante, che passa attraverso l’utile introduzione di due nuovi concetti:
La parte “media” (anche detta “idrostatica”o “sferica”)La parte “deviatrice” di un tensore.
Introduzione
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⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
σ−στττσ−στττσ−σ
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
σσ
σ=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
στσττσ
mzzyzxz
yzmyyxy
xzxymxx
m
m
m
zz
yzyy
xzxyxx
000000
simsimsim
:parte
media, o sferica,
o idrostaticadella
tensione
: parte deviatricedella tensione
[ ]1mσ
[ ]σ′
Componenti sferica e deviatrice della tensione
28
[ ] [ ] [ ]σ′+σ=σ 1m
con:
33I zzyyxx1
mσ+σ+σ
==σσ
Analogamente per il tensore della deformazione:
[ ] [ ] [ ]ε′+ε=ε 1m
con:
zzyyxx1V I ε+ε+ε==ε ε
333I Vzzyyxx1
mε
=ε+ε+ε
==εε
Componenti sferica e deviatrice della deformazione
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( )
iimiim
miimiim
E1
E21
E3
E1
σ′ν++σ
ν−=ε′+ε
σν
−σ′+σν+
=ε′+ε
Per le componenti a indici uguali:
iimii
iimii
σ′+σ=σ
ε′+ε=ε
che sostituite nelle equazioni del materiale:
⇓
Relazioni tra componenti deviatrici (1/2)
30
Poiché:
da:
resta:
mV
m E21
3σ
ν−=
ε≡ε
iiii E1
σ′ν+=ε′
iimiim E1
E21
σ′ν++σ
ν−=ε′+ε
Relazioni tra componenti deviatrici (2/2)
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Ricordiamo ora che le relazioni tra γ e τ erano:( )
jkjk E12
τν+
=γ
Conviene notare che, abbandonando la notazione usuale nelle scienze applicate e adottando quella più compatta:
( )kjE
121
jkjkjk ≠σν+
=γ=ε
Notiamo anche che:,jkjk ε′≡ε ( )kjjkjk ≠σ′=σ
Forma compatta deformazione-tensione (1/2)
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Allora le 6 equazioni del materiale hanno, per la parte deviatrice, una forma unica:
jkjk E1
σ′ν+=ε′
Mantenendo invece la notazione delle scienze applicate:
( ) ( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≠τν+
=γ
σ′ν+=ε′
kjE
12E
1
jkjk
iiii
E inoltre:
mm E21
σν−
=ε
Forma compatta deformazione-tensione (2/2)
34
A questo punto l’inversione è veramente banale:
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
γν+
=τ
ε′ν+
=σ′
jkjk
iiii
12E
1E ( )miimii 1
Eε−ε
ν+=σ−σ⇒
mm 21E
εν−
=σ
con:
Tensione-deformazione
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dove: .
La relazione:
detta anche “forma di Lamé”, viene scritta anche:
Viiii 2 λε+ε⋅µ=σ
G≡µ
( )( )( ) ( ) ( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
γ⋅=τ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ εν−
ν+ε
ν−ν
+εν−ν+
ν−=σ
jkjk
kkjjiiii
G
112111E
In forma espansa:
( )( ) miiii 2113
E1
Eε
ν−ν+ν
+εν+
=σ
Forma e coefficienti di Lamé
coefficienti di Lamé
Legame tra tensioni e deformazioni
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Caso speciale: tensione piana zz 0σ =
( )( )
( )( )
zz xx yy
zz xx yy
01
1
νε ε ε
ν
νε ε ε
ν
= + + ⇒−
⇒ =− +−
che sostituita nelle altre produce:
( )
( )
xx xx yy2
yy yy xx2
E
1
E
1
σ ε νεν
σ ε νεν
⎧⎪ ⎡ ⎤⎪ = +⎪ ⎣ ⎦⎪ +⎪⎪⎨⎪⎪ ⎡ ⎤= +⎪ ⎣ ⎦⎪ +⎪⎪⎩
xy xy
con inoltre :Gτ γ=
Tensione piana (1/2)
38
Mentre la relazione inversa si ottiene direttamente dalle ponendo:( )ii ii ii jj kk, ,ε ε σ σ σ= zz 0σ =
( )
( )
( )
xx xx yy
yy yy xx
zz yy xx
1E1E
e :
E
ε σ νσ
ε σ νσ
νε σ σ
⎧⎪⎪ = −⎪⎪⎪⎨⎪⎪ = −⎪⎪⎪⎩
=− +xy xy
con inoltre :1G
γ τ=
Tensione piana (2/2)
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( )2xx xx yy xx yy
2
xx xx yy
2
yy yy xx
1E1
E 1
1E 1
ε σ νσ ν σ σ
ν νε σ σ
ν
ν νε σ σ
ν
⎡ ⎤= − − + =⎢ ⎥⎣ ⎦
⎛ ⎞− ⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠−⎛ ⎞− ⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠−
Dalla terza delle : zz 0ε =Caso speciale: deformazione piana
( ) ( )zz xx yy zz xx yy0 σ ν σ σ σ ν σ σ= − + ⇒ = +
( )ii ii ii jj kk, ,ε ε σ σ σ=
che sostituita nelle due altre produce:
xy xy
con inoltre:1
Gγ = τ
Deformazione piana (1/4)
40
…che ha la medesima struttura del caso di tensione piana:
( )
( )
xx xx yy
yy yy xx
1E1E
ε σ νσ
ε σ νσ
⎧⎪⎪ = −⎪⎪⎪⎨⎪⎪ = −⎪⎪⎪⎩
%%
%%
ν−ν
=νν−
=1
~;1
EE~ 2
avendo posto:
Deformazione piana (2/4)
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41
Quindi la relazione inversa è della stessa forma già trovata per la tensione piana:
( )
( )
xx xx yy2
yy yy xx2
E1
E1
σ ε νεν
σ ε νεν
⎧⎪⎪ = +⎪⎪ −⎪⎨⎪⎪⎪ = +⎪ −⎪⎩
%%
%%
%%
che sostituendo:
( )
2
22
EE
1
11 2
11
νν
νν
νν
ν
⎧⎪⎪⎪ =⎪ −⎪⎪⎪⎪⎪ =⎨⎪ −⎪⎪⎪ −⎪ − =⎪⎪ −⎪⎪⎩
%
%
%
Deformazione piana (3/4)
42
( )( )( ) ( )
( )( )( ) ( )
xx xx yy
yy yy xx
E 11 1 2 1
E 11 1 2 1
ν νσ ε ε
ν ν ν
ν νσ ε ε
ν ν ν
⎧ ⎡ ⎤⎪ −⎪ ⎢ ⎥= +⎪⎪ ⎢ ⎥+ − −⎪ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎪⎨⎪ ⎡ ⎤−⎪ ⎢ ⎥⎪ = +⎪ ⎢ ⎥⎪ + − −⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎩
…produce infine:
xy xy
con inoltre :Gτ γ=
Deformazione piana (4/4)
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Legame tra tensioni e deformazioni
44
Il passaggio tra tensioni e deformazioni sui cerchi di Mohr è facile se si considerano le componenti media, o sferica, e deviatrici:
mm E21
σν−
=ε⎩⎨⎧
σ−σ=σ′
ε−ε=ε′
miiii
miiii
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
τν+
=γ
σ′ν+=ε′
jkjk
iiii
E12
E1
Componenti media e deviatrici
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45
nτ
3σ 2σ 1σ
1'σ2'σ
nσ
mσ3'σ
Cerchi di Mohr della tensione
0
46
nn 21
γ≡ϕ
nε
mm E21
σν−
=ε
11 'E
1' σ
ν+=ε
...'3 =ε
...'2 =ε
nn E1
21
τν+
=γ
( )3,0=ν
Cerchi di Mohr della deformazione
0
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47
nτ
032 =σ=σ
2σ 1σ
11 32
' σ=σ2'σ
nσ
3/1m σ=σ3'σ
0
Caso della trazione 1-assiale(1/2)
1'32 3
1' σ−=σ=σ
48
nε
3E21 1
mσν−
=ε
11 32
E1' σ
ν+=ε
3'ε
2'ε
0
Caso della trazione 1-assiale(2/2)
131
E1... σ
ν+−=
E1σ
E1σ
ν−
nn 21
γ≡ϕ
( )3,0=ν