Comportamento meccanico dei materiali Spostamenti e tensioni di origine termica

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Spostamenti delle travi

2

Spostamenti e tensioni di origine termica

Dilatazioni termicheTensioni dovute a spostamenti assiali impeditiSpostamenti flessionaliSpostamenti e tensioni con vincoli alla flessione

Comportamento meccanico dei materiali Spostamenti e tensioni di origine termica

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Spostamenti e tensioni di origine termica

4

Effetto della temperatura – 1D – (1/3)

Variazioni uniformi di temperatura (1D)

∆Tm=Tf-Ti

L ∆L

Comportamento meccanico dei materiali Spostamenti e tensioni di origine termica

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5

Effetto della temperatura – 1D – (2/3)

Variazioni uniformi di temperatura (1D)

∆Tm=Tf-Ti

L ∆L

∆L = αL∆Tm α = coefficiente di dilatazione termica lineare

6

Effetto della temperatura – 1D – (3/3)

Variazioni uniformi di temperatura (1D)

∆Tm=Tf-Ti

L ∆L

∆L = αL∆Tm α = coefficiente di dilatazione termica lineare

mL T

L∆ε = = α∆

Comportamento meccanico dei materiali Spostamenti e tensioni di origine termica

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7

Effetto della temperatura – 3D – (1/4)

Variazioni uniformi di temperatura (3D)

∆Tm

8

Effetto della temperatura – 3D – (2/4)

Variazioni uniformi di temperatura (3D)

∆Tm xx m

yy m

zz m

T

T

T

ε = α∆

ε = α∆

ε = α∆

Comportamento meccanico dei materiali Spostamenti e tensioni di origine termica

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9

Effetto della temperatura – 3D – (3/4)

Variazioni uniformi di temperatura (3D)

∆Tm xx m

yy m

zz m

T

T

T

ε = α∆

ε = α∆

ε = α∆

No scorrimenti

No tensioni

10

Effetto della temperatura – 3D – (4/4)

Variazioni uniformi di temperatura (3D)

∆Tm xx m

yy m

zz m

T

T

T

ε = α∆

ε = α∆

ε = α∆

No scorrimenti

No tensioni

( )ii ii jj kk m ik ik

1 TE

1G

γε = σ − νσ − νσ + α∆

= τ

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11

Valori di α

Valori “tipici” di α per i materiali più comuni

6

6

6

6

6

6

Acciai al C 12 10Acciai legati 11 10Acciai Inox 14 10Leghe Al 22 10Ottone 19 10Bronzo 20

Materia

1

l

0

e−

−

−

−

−

−

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

α

12

Effetto della temperatura

Se gli spostamenti dovuti alla dilatazione termica sono impediti…

…nascono tensioni di origine termica

Comportamento meccanico dei materiali Spostamenti e tensioni di origine termica

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Spostamenti e tensioni di origine termica

14

Asta soggetta a ∆Tm

Esempio: asta di sezione A soggetta ad un aumento di temperatura ∆Tm – libera

Materiale acciaio (E = 200000 MPa)α = 12 · 10-6 1/° CA = 100 mm2L = 1000 mm∆Tm = 80°C

L

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15

Asta soggetta a ∆Tm- spostamenti – (1/2)

L

∆Tm

∆L

∆L = α⋅L⋅∆Tm = 12·10-6 · 1000 · 80 = 0.96 mm

16

Asta soggetta a ∆Tm- spostamenti – (2/2)

L

∆Tm

∆L

∆L = α⋅L⋅∆Tm = 12·10-6 · 1000 · 80 = 0.96 mm

6 4m

L T 12 10 80 9.6 10 960L

− −∆ε = = α∆ = ⋅ ⋅ = ⋅ = µε

Comportamento meccanico dei materiali Spostamenti e tensioni di origine termica

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17

Asta incastrata con ∆Tm – tensioni – (1/5)

Se l’asta è incastrata la deformazione è nulla

∆Tm

L

18

Asta incastrata con ∆Tm – tensioni – (2/5)

Se l’asta è incastrata la deformazione è nulla

Eεzz = σzz + αE∆Tm= 0∆Tm

L

Comportamento meccanico dei materiali Spostamenti e tensioni di origine termica

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19

Asta incastrata con ∆Tm – tensioni – (3/5)

Se l’asta è incastrata la deformazione è nulla

Eεzz = σzz + αE∆Tm= 0

σzz = - αE∆Tm

∆Tm

L

20

Asta incastrata con ∆Tm – tensioni – (4/5)

Se l’asta è incastrata la deformazione è nulla

Eεzz = σzz + αE∆Tm= 0

σzz = - αE∆Tm

σzz = -12·10-6 · 200000 · 80 = -192 MPa

∆Tm

L

Comportamento meccanico dei materiali Spostamenti e tensioni di origine termica

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21

Asta incastrata con ∆Tm – tensioni – (5/5)

La forza esercitata dal vincolo sull’asta è:

Se l’asta è incastrata la deformazione è nulla

Eεzz = σzz + αE∆Tm= 0

σzz = - αE∆Tm

σzz = -12·10-6 · 200000 · 80 = -192 MPa

zzF A 192 10 1920 NPa= σ = − ⋅ = −

L

∆Tm

Spostamenti e tensioni di origine termica

Comportamento meccanico dei materiali Spostamenti e tensioni di origine termica

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23

Temperature non uniformi nelle travi

Trave con una differenza di temperatura fra intradosso ed estradosso

(sezione rettangolare, altezza h).

T2

T1

L

24

Profilo temperatura (1/4)

y

z

T2

T1

T0

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25

Profilo temperatura (2/4)

y

z

∆Tm

∆Tm= Tm - T0

T2

T1

T0

26

Profilo temperatura (3/4)

y

z

∆Tm

∆T

∆T∆Tm= Tm - T0

2∆T = T2 - T1

T2

T1

T0

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27

Profilo temperatura (4/4)

y

z

∆Tm

∆T

∆T∆Tm= Tm - T0

2∆T = T2 - T1

T2

T1

T0

m2 TT(y) T y

h∆= + ⋅

28

Scomposizione profilo temperatura (1/3)

y

z

T(y)

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29

Scomposizione profilo temperatura (2/3)

y

z

T(y)

=y

z

Tm +

30

Scomposizione profilo temperatura (3/3)

y

z

T(y)

=y

z

y

z

Tm +

2 T yh∆ ⋅

2∆T = T2 - T1 +

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31

Trave soggetta a ∆T: def. e spostamenti (1/5)

z

y

∆T

32

Trave soggetta a ∆T: def. e spostamenti (2/5)

zz2 TT(y) yh∆ε = α = α

z

y

∆T

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33

Trave soggetta a ∆T: def. e spostamenti (3/5)

zz2 TT(y) yh∆ε = α = α

z

y

∆T

zz xk yε = ⋅

34

Trave soggetta a ∆T: def. e spostamenti (4/5)

zz2 TT(y) yh∆ε = α = α

z

y

∆T

x2 Tk

h∆= α

zz xk yε = ⋅

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35

Trave soggetta a ∆T: def. e spostamenti (5/5)

zz2 TT(y) yh∆ε = α = α

z

y

2x

x2

dd v kdz dz

θ= − = −

∆T

x2 Tk

h∆= α

zz xk yε = ⋅

Spostamenti e tensioni di origine termica

Comportamento meccanico dei materiali Spostamenti e tensioni di origine termica

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37

Mensola libera soggetta a ∆T (1/3)

zA BT2

T1

L

z

y

Tm = T0 2∆T = T2 - T1

38

Mensola libera soggetta a ∆T (2/3)

zA B

V(L)

θx(L)

T2

T1

L

z

y

Tm = T0 2∆T = T2 - T1

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39

Mensola libera soggetta a ∆T (3/3)

zA B

V(L)

θx(L)

T2

T1

L

z

y

Tm = T0 2∆T = T2 - T1

x2 Tk

h∆= α

40

Mensola libera con ∆T – spostamenti – (1/5)

x x 12 T(z) k dz z C

h∫

∆θ = = α +

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41

Mensola libera con ∆T – spostamenti – (2/5)

2x 1 2

Tv(z) dz z C z Ch

∫∆= − θ = −α − +

x x 12 T(z) k dz z C

h∫

∆θ = = α +

42

Mensola libera con ∆T – spostamenti – (3/5)

x 1 2z 0 0;v 0 C 0 C 0= ⇒ θ = = ⇒ = =

2x 1 2

Tv(z) dz z C z Ch

∫∆= − θ = −α − +

x x 12 T(z) k dz z C

h∫

∆θ = = α +

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43

Mensola libera con ∆T – spostamenti – (4/5)

x

2

2 T(z) zhTv(z) zh

∆θ = α

∆= −α

x 1 2z 0 0;v 0 C 0 C 0= ⇒ θ = = ⇒ = =

2x 1 2

Tv(z) dz z C z Ch

∫∆= − θ = −α − +

x x 12 T(z) k dz z C

h∫

∆θ = = α +

44

Mensola libera con ∆T – spostamenti – (5/5)

x

2

2 T(z) zhTv(z) zh

∆θ = α

∆= −α

x

2

2 T(L) LhTv(L) Lh

∆θ = α

∆= −α

x 1 2z 0 0;v 0 C 0 C 0= ⇒ θ = = ⇒ = =

2x 1 2

Tv(z) dz z C z Ch

∫∆= − θ = −α − +

x x 12 T(z) k dz z C

h∫

∆θ = = α +

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45

Anche in questo caso, se gli spostamenti sono impediti, nascono delle tensioni di origine termica

Mensola incastrata con ∆T – tensioni – (1/4)

L

T2

T1

46

Anche in questo caso, se gli spostamenti sono impediti, nascono delle tensioni di origine termica

Mensola incastrata con ∆T – tensioni – (2/4)

zz zzE (y) E T(y) 0ε = σ + α ∆ =

L

T2

T1

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47

Anche in questo caso, se gli spostamenti sono impediti, nascono delle tensioni di origine termica

Mensola incastrata con ∆T – tensioni – (3/4)

zz zzE (y) E T(y) 0ε = σ + α ∆ =

L

T2

T1

m2 TT(y) T(y) T y

h∆∆ = − =

48

Anche in questo caso, se gli spostamenti sono impediti, nascono delle tensioni di origine termica

Mensola incastrata con ∆T – tensioni – (4/4)

zz2 TE T(y) E yh∆σ = −α ∆ = −α

zz zzE (y) E T(y) 0ε = σ + α ∆ =

L

T2

T1

m2 TT(y) T(y) T y

h∆∆ = − =

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49

Mensola incastrata con ∆T – tensioni massime

L

T2

T1

zz2 TE y

h∆σ = −α

zz

zz

hy T E2hy T E2

⎛ ⎞σ = + = −α ⋅ ∆ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞σ = − = +α ⋅ ∆ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

50

Mensola incastrata con ∆T – reaz. vinc. (1/5)

Momento esercitato dal vincolo:

z

y

Mx

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51

Mensola incastrata con ∆T – reaz. vinc. (2/5)

Momento esercitato dal vincolo:

z

y

Mx

zz2 TE y

h∆σ = −α

52

Mensola incastrata con ∆T – reaz. vinc. (3/5)

Momento esercitato dal vincolo:

z

y

Mx

zz2 TE y

h∆σ = −α xzz

xx

My

Jσ =

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53

Mensola incastrata con ∆T – reaz. vinc. (4/5)

Momento esercitato dal vincolo:

z

y

Mx

zz2 TE y

h∆σ = −α xxx zz

JM

y⇒ = σxzz

xx

My

Jσ =

54

Mensola incastrata con ∆T – reaz. vinc. (5/5)

Momento esercitato dal vincolo:

z

y

Mx

zz2 TE y

h∆σ = −α

xx xxx

J 2 T E J2 TM E yh y h

⋅ α ⋅ ∆ ⋅ ⋅∆= −α = −

xxx zz

JM

y⇒ = σxzz

xx

My

Jσ =