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Comportamento Meccanico dei Materiali

2 Solido di de St Venant – Calcolo delletensioni – Geometria delle aree

© Politecnico di Torino Pagina 1 di 25Data ultima revisione 23/10/00 Massimo Rossetto

Politecnico di TorinoCeTeM

Calcolo delle componenti del tensore delle tensioni

Solido di de Saint Venant Caratteristiche di sollecitazioniSi definisce solido di de Saint Venant, o trave, un elemento:• di tipo monodimensionale (una dimensione molto maggiore delle altre)• con forma cilindrica ottenuta per traslazione di una figura piana in direzione delle

propria normale• costruito con materiale elastico, omogeneo e isotropo• in cui carichi e vincoli sono applicati solo alle basi.

G

y

xz

Il luogo dei punti che unisce i baricentri delle varie sezioni del solido è detto linea d’asse.A causa della monodimensionalità dell’elemento anche lo stato di sollecitazione èmonodimensionale, cioè si ha sempre

σxx = σyy = τxy = 0

mentre le altre componenti il tensore delle tensioni (σzz, τyz , τxz), vale a dire quelle cheagiscono su una sezione normale alla linea d’asse, possono essere diverse da zero.Data una certa distribuzione delle tensioni sulla sezione, è possibile sostituirne l’effetto conuna forza e con un momento risultante:

y

xz

F

M

σzz τxz

τyz

La forza e il momento possono essere scomposte in un riferimento cartesiano, ottenendole caratteristiche di sollecitazione sulla sezione. In figura sono riportati i versi positivi ditali caratteristiche di sollecitazione (terne destrorse).





y

xz

Mz

My

Mx

N

Ty

Tx

y

xz

Mz

My

Mx

NTy

Tx

+

-

Poiché la sezione può essere vista come appartenente ai due pezzi della trave si definiscefaccia positiva quella con asse z uscente, come faccia negativa quella con asse zentrante. Le caratteristiche di sollecitazione sulla faccia negativa sono uguali ed opposte aquelle della faccia positiva.Il legame fra le componenti il tensore delle tensioni e le caratteristiche di sollecitazioneviene riportato nelle figure seguenti:

σzzS

dS N∫ =

G

y

x

z

N

G

y

x

z

σzzdS

Sforzo normale

G

y

xz

τyzdS

( )τ τyz xzS

zx y dS M−∫ =

τxzdS

G

y

x

zMzMomento torcente

σzzdS

σzzS

xydS M∫ =

y

zx

y

zx Mx

Momento flettente (x)

z

xσzzdS

y σzzS

yxdS M∫ = −

z

x

y My

Momento flettente (y)





τxzdS

τxzS

xdS T∫ =

G

y

xz

Tx

Taglio (x)

G

y

xz

G

y

x

z

τyzdS

τyzS

ydS T∫ =

G

y

x

z

Ty

Taglio (y)

Con un procedimento inverso, date le caratteristiche di sollecitazione in una sezione diuna trave di de Saint Venant è possibile calcolare le tensioni agenti in ogni punto dellasezione.

Tensioni dovute allo sforzo normaleIn una sezione di forma qualsiasi la tensione dovuta allo sforzo normale N agiscenormalmente alla superficie ed è distribuita uniformemente.

y

z

Ny

z

σzz

y

z σzz

NS

=

dove S è l’area della sezione

Tensioni dovute al momento flettente.

Flessione semplice, piano yzPer valutare le tensioni dovute alla flessione si considerino innanzitutto un solido di deSaint Venant con sezione almeno doppiamente simmetrica:

Flessione semplicey

zx

Sezione con doppia simmetriay

x

y

xz z

Si prendano come riferimento gli assi di simmetria che passano per il baricentro dellasezione.Si assuma che durante la flessione la generica sezioni ruoti rimanendo piana di un angoloα facendo assumere alla fibra baricentrica della trave un raggio di curvatura ρ





y

zx∆z

α α

ρρ+y

∆z ∆z’

2α

Se consideriamo un tratto del solido lungo ∆z, le fibre poste ad una generica distanza ydalla linea baricentrica subiscono una deformazione pari a:

ε ρ α ρ αρ α ρzz y

z z

z

yy= − = + − = = ⋅

∆ ∆∆' ( )2 2

2

1kx

Applicando la legge di Hooke e ricordando che per il solido di de Saint Venant σxx = σyy =τxy = 0 risulta:

σzz = Eεzz => σzz = E⋅kx⋅y

Cioè l’andamento delle tensioni lungo l’asse y segue una legge lineare. Rimane dadeterminare la costante ky. Per far questo utilizziamo le formule prima viste che legano lecaratteristiche di sollecitazione alle tensioni:

M ydS Ek y dS Ek Jx zzS

xS

x xx= = =∫ ∫σ 2

dove con Jxx si intende il momento d’inerzia della sezione rispetto all’asse x. Da questaformula risulta:

kM

EJxx

xx= e quindi risulta σzz

x

xx

M

Jy=

Le tensioni ipotizzate non producono altre caratteristiche di sollecitazioni; risulta infatti:

N dSzz= =∫ σ 0 (per la simmetria della distribuzione delle tensioni)

Tx = Ty = Mz = 0 ( perchè τxz = τyz =0)

M xdS Ek xydSy zz x= − = − =∫ ∫σ 0 (a causa della simmetria delle sezioni.)

La grandezza xydS∫ viene detta momento centrifugo e nel caso di sezioni doppiamente

simmetriche risulta nullo.Come si vedrà in seguito relativo alla geometria delle aree quando il momento centrifugo ènullo gli assi x e y si dicono principali d’inerzia.La formula vista permette di calcolare le tensioni dovute al momento flettente Mx in unasezione in cui gli assi x e y siano baricentrici e principali d’inerzia. Queste tensioni sononormali alla superficie e distribuite triangolarmente:





σzzy

zx

M x

Si noti che per le sezioni che presentano delle simmetrie, gli assi di simmetria chepassano per il baricentro sono anche principali d’inerzia. L’asse in cui le tensioni dovute almomento flettente sono nulle (asse x in questo caso) viene detto asse neutro.Se il momento Mx è positivo (vedi figura), le tensioni σzz sono positive (di trazione) dal latodell’asse positivo, negative (di compressione) dal lato delle y negative.Se si è interessati solo ai valori massimo e minimo delle tensioni si utilizza il modulo diresistenza a flessione:

WJ

yfxx=

max

I valori massimo e minimo delle tensioni vengono quindi calcolate con le formule:

σmax =M

Wx

fσmin = −

M

Wx

f

Per le sezioni rettangolari piene il momento d’inerzia Jxx vale:

b

x

y

h

J y dS y dxdybh

xxS h

h

b

b

= = =∫ ∫∫−−

2 2

2

2

2

2 3

12

e il modulo di resistenza a flessione:

WJ

ybh

hbh

fxx= = ⋅ =

max

3 2

122

6

Per le sezioni circolari piene il momento d’inerzia rispetto ad un qualunque diametrovale:





x

y

G

D

Jxx=Jyy=JD=Jp/2

Jp = momento d’inerzia polare J r dS r drdD

pS

D

= = =∫ ∫∫2 34

0

2

0

2

32θ ππ

J J JD

xx yy D= = = π 4

64


WD

DD

f = ⋅ =π π4 3

642

32

Flessione semplice, piano xzAnalogamente a quanto visto nel piano yz, in una sezione in cui gli assi x e y sonobaricentrici e principali d’inerzia le tensioni dovute ad un momento flettente My sononormali alla superficie e distribuite triangolarmente.

σzz

y z

x M yσzz

y

yy

M

Jx= −

Se il momento My è positivo (vedi figura), le tensioni σzz sono positive (di trazione) dal latodell’asse negativo, negative (di compressione) dal lato delle x positive.Questa diversa formulazione rispetto al piano yz è dovuta al sistema di riferimento scelto.Nel caso si utilizzi un’altra convenzione (ad esempio considerare positivi i momenti chetendono ad allungare le fibre dal lato positivo dell’asse x o y) la formula sul piano xz èanaloga a quella del piano yz !

Per le sezioni rettangolari piene il momento d’inerzia Jyy vale:





b

x

y

h

J x dS x dxdyhb

yyS b

b

h

h

= = =∫ ∫∫−−

2 2

2

2

2

2 3

12


WJyy

x

hb

h

hbf = = ⋅ =

max

3 2

12

2

6

Per le sezioni circolari, a causa della simmetria, non vi sono differenze rispetto a quantovisto per il piano yz.

Esercizio 2-1Data una sezione rettangolare 60x100 mm soggetta ad uno sforzo normale N =- 60000 Ncalcolare la tensione normale sulla sezione

Esercizio 2-2Calcolare la tensione normale in una sezione circolare di diametro Ø 60 mm soggetta aduno sforzo normale N = 50000 N.

Esercizio 2-3

100

60

y

x

Data la sezione rettangolare in figura soggetta ad un momento flettente Mx= 12000 Nm:a) Calcolare le tensioni minima e massima.b) Calcolare la tensione nel punto di coordinate (20,30).c) Tracciare l’andamento delle sollecitazioni lungo la sezione.d) Calcolare le deformazioni massime e minime in direzione z.e) Calcolare la lunghezza finale dei lati della sezione paralleli all’asse xSi assuma un modulo elastico E = 200000 MPa e un coefficiente di Poisson ν = 0.3





Esercizio 2-4Si ripeta l’esercizio 3 (domande a e b) considerando la sola presenza di un momentoflettente My = 12000 Nm

Esercizio 2-5Una sezione circolare di diametro Ø 60 mm è soggetta ad un momento flettente M =10000 Nm. Calcolare le tensioni minima e massima.

Flessione compostaQuando su una sezione agiscono contemporaneamente i momenti Mx e My, dove x e ysono assi baricentrici (centrali) e principali d’inerzia, si applica il principio disovrapposizione degli effetti.

My

y

x Mx

σ σ σzz zz x zz yx

xx

y

yyM M

M

Jy

M

Jx= + = −( ) ( )

si noti che se si considera il momento complessivo:

M M Mtot x y= +2 2

questo, in generale, non agisce più parallelamente all’asse neutro:

Mtoty

x

ϕ

θ

Inclinazione del vettore momento totale: tan( )ϕ =M

My

x

Asse neutro (σzz=0):

MJ

yM

Jxx

xx

y

yy− = 0 ⇒ y

M

MJJ

xy

x

xx

yy= ⋅ = 0 ⇒ tan( )θ = ⋅

M

MJJ

y

x

xx

yy

in generale quindi θ ≠ ϕ.

Quando sia presente anche uno sforzo normale si utilizza la formula





x

y Mx

x

y

My

+

=

+

x

y

x

y

N

xJ

My

J

M

S

N

yy

y

xx

xzz −+=σ

Per le sezioni circolari , poché Jxx =Jyy si ha sempre θ = ϕ. Quindi, in presenza dimomenti flettenti Mx e My, solo per le sezioni circolari, si può calcolare il momento flettentetotale e trovare le tensioni normali massime (e minime) dividendolo per il modulo diresistenza.

M

y

x

M M Mx y= +2 2

σπmax = = ⋅

⋅MW

M

Df

323

Esercizio 2-6Data la sezione rettangolare in figura calcolare le tensioni normali nei quattro spigolidovute alla presenza contemporanea dei momenti flettenti Mx = 10000 Nm, My = -4000Nm e di uno sforzo normale N = 64 kN.





80

40

y

x

A B

CD

Esercizio 2-7Data una sezione circolare di diametro ∅ 50 mm soggetta ai momenti flettenti Mx = -5000Nm e My = 3000 Nm. Calcolare la tensione massima e minima nella sezione.





Geometria delle areeAbbiamo visto che per il calcolo delle tensioni dovute alla flessione occorre conoscere gliassi baricentrici principali di inerzia . Nel caso delle sezioni che presentano unasimmetria almeno doppia gli assi di simmetria sono baricentrici e principali d’inerzia.Nel caso di sezioni di forma qualunque la posizione del baricentro e gli assi principalipossono essere determinati con la geometria delle aree.Si supponga di avere una sezione di forma qualsiasi e si prenda un sistema di riferimentoa,b:

b

a

r b

a dS

O

L’area della sezione viene calcolata con la formula:

S dSS

= ∫

Si definiscono come momenti statici della sezione rispetto agli assi a e b le grandezze:

S bdS S adSaS

bS

= =∫ ∫I momenti d’inerzia rispetto agli assi a e b vengono calcolati con le formule:

J b dS J a dSaaS

bbS

= =∫ ∫2 2

Si definiscono inoltre il momento centrifugo Jab e il momento d’inerzia polare Jo rispettoall’origine degli assi:

J abdSabS

= ∫ ( )J r dS a b dS J JoS S

aa bb= = + = +∫ ∫2 2 2

Volendo conoscere la posizione del baricentro della sezione è sufficiente dividere imomenti statici per l’area della sezione.

a fS

Sb d

S

SGb

Ga= = = =

Le relazioni fra i momenti di inerzia calcolati rispetto ad una coppia di assi baricentrici(x’,y’) della figura in esame e un’altra coppia di assi (a,b) paralleli agli assi baricentrici dellafigura sono:





b

aO

G

y’

x’bg=d

ag=f

b

a

J J d S J J f S

J J d f S J J G O S

aa x x bb y y

ab x y o G

= + = +

= + ⋅ ⋅ = + −

' ' ' '

' ' ( )

2 2

2

Si noti che, in generale, gli assi x’y’ sono baricentrici, ma non principali d’inerzia, infattiabbiamo supposto che Jx’y’ ≠ 0.

Figure composteQuando si è in presenza di sezioni che sono composte da figure “semplici”, di cui è facilericavare posizione del baricentro e momenti d’inerzia baricentrici, diventa agevole ricavarei momenti rispetto al baricentro complessivo utilizzando le formule appena viste.Si noti che se si conoscono i momenti di tutte le parti che compongono la figura rispetto aduno stesso sistema di riferimento, i momenti complessivi (dell’intera sezione) risultanouguali alla somma dei singoli momenti.

b

a

G1 S1

f1

f2 G2

S2

d1

d2

Si prenda ad esempio una figura composta da due rettangoli di cui si conoscono laposizione dei baricentri rispetto ad un sistema di riferimento a,b. L’ area totale saràovviamente pari alla somma delle due aree:

S S S= +1 2

I momenti statici dei due rettangoli rispetto all’asse b saranno:

S f S S f Sb b( ) ( )1 21 1 2 2= =

e il momento statico complessivo della sezione rispetto all’asse b sarà:





S S S f S f Sb b b= + = +( ) ( )1 2 1 1 2 2

Analogamente per l’asse a

S d S S d Sa a( ) ( )1 21 1 2 2= =

S S S d S d Sa a a= + = +( ) ( )1 2 11 2 2

La posizione del baricentro complessivo G risulta quindi essere:

aS f S f

S Sb

S d S d

S SG G= ++

= ++

1 1 2 2

1 2

1 1 2 2

1 2

Si considerino quindi gli assi A,B che passano per il baricentro dell’intera sezione.

B

A

G1S1

G2

S2 d1G

d2GG

f2G

f1G

I momenti d’inerzia dei due rettangoli rispetto all’asse A, risultano:

J J d S J J d SAA x x G AA x x G( ) ( ) ( (' ' " "1 1 2) 2)12

1 22

2= + = +

e i momenti d’inerzia dei due rettangoli rispetto all’asse B:

J J f S J J f SBB y y G BB y y G( ) ( ) ( (' ' " "1 1 2) 2)12

1 22

2= + = +

dove con x’y’ si è indicato il sistema di riferimento passante per il baricentro del rettangolo(1) parallelo ad A,B e con x”y” si è indicato il sistema di riferimento passante per ilbaricentro del rettangolo (2).Il momento d’inerzia complessivo rispetto all’asse A si può quindi ottenere semplicementesommando i momenti d’inerzia riferiti a tale asse delle figure in cui è stato scomposta lasezione:

J J J J d S J d SAA AA AA x x G x x G= + = + + +( ) ( ( ) (' ' " "1 2) 1 2)12

1 22

2

Analogamente si ottiene il momento d’inerzia dell’intera sezione rispetto all’asse B:

J J J J f S J f SBB BB BB y y G y y G= + = + + +( ) ( ( ) (' ' " "1 2) 1 2)12

1 22

2

Anche li momento centrifugo della sezione si ottiene come somma dei momenti centrifughidelle figure in cui è stata scomposta la sezione rispetto agli assi AB:

J J J J d f S J d f SAB AB AB x y G G x y G G= + = + + +( ) ( ( ) (' ' " "1 2) 1 2)1 1 1 2 2 2





Si noti che pur essendo, nel nostro caso, Jx’y’(1) e Jx”y”(2) nulli, il momento centrifugodell’intera sezione rispetto agli assi AB non è nullo e quindi gli assi AB sono baricentricima non principali d’inerzia e i momenti JAA e JBB non sono principali d’inerzia ; quindiquesti momenti non possono essere utilizzati nel calcolo delle tensioni dovute ai momentiflettenti con le formule prima viste

La posizione degli assi principali (X,Y) può essere determinata ruotando attorno albaricentro in senso orario il sistema di riferimento AB di un angolo α determinato con laseguente formula:

tan2J J

AB

AA BBα =

−2J

Noto l’angolo α i momenti d’inerzia rispetto al sistema di riferimento principale XY risultanoessere:

JJ J J J

J

JJ J J J

J

XXAA BB AA BB

AB

YYAA BB AA BB

AB

= + + − +

= + − − −

2 22 2

2 22 2

cos sen

cos sen

α α

α α

Ovviamente per poter utilizzare le formule del calcolo delle tensioni viste anche il momentoflettente complessivo agente sulla sezione deve essere scomposto secondo le duedirezioni principali XY.

Figure caveL’addittività dei momenti d’inerzia, quando riferiti agli stessi assi, può risultare utile ancheper il calcolo dei momenti d’inerzia delle sezioni cave; basterà infatti considerare ilmomento d’inerzia della figura che viene tolta dal pieno come un momento “negativo”.

X

Y

=X

Y

X

Y

-

1 2

J J J J J JXX XX XX YY YY YY= − = −( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2





Esercizio 2-8

120

100

20

20

Data la sezione in figura calcolare la posizione del baricentro, l’inclinazione del sistema diriferimento principale rispetto ai lati della figura e i valori dei momenti d’inerzia principali.





Tensioni dovute al momento torcenteLe tensioni dovute al momento torcente Mz sono calcolabili in modo esatto solo nel caso disezioni circolari, piene o cave. Negli altri casi si hanno delle soluzioni approssimate che consentono il calcolo dellatensione tangenziale massima o media. Si deve porre attenzione al fatto che non sempre ilpunto in cui agiscono queste tensioni tangenziali coincide con il punto in cui si ha lamassima tensione di flessione, quando sono presenti anche momenti flettenti.

Sezioni circolariAnalogamente al caso della flessione il legame fra il campo delle tensioni e il momentotorcente applicato si ricava ipotizzando il movimento di una sezione. In particolare sisuppone che la sezione in considerazione ruoti rimanendo piana di un angolo ∆θ rispettoad una sezione posta alla distanza ∆L. Il punto b, posto sulla circonferenza esterna diraggio R si troverà quindi nella posizione b’, mentre un generico punto d, posto al raggio r,si sposterà nel punto d’. Le lunghezze dei segmenti di circonferenza saranno bb’ = R∆θ edd’ = r∆θ.

∆θd’

d

R

r

∆Lb’

b∆L b’

b

∆θR

γR

∆L d’

d

∆θr

γr

Una fibra posta assialmente ruota di un angolo γ che varia lungo il raggio della sezione. Inparticolare l’angolo formato da una fibra posta sulla superficie esterna ruota di un angolodato dalla formula:

tanγ γR RR

L≅ = ∆θ

∆

mentre una fibra posta al raggio r ruota di un angolo dato da:

tanγ γr rr

L≅ = ∆θ

∆dove, considerando piccole rotazioni, si può confondre la tangente con il suo argomento.Considerando le due equazioni appena viste si ottiene

∆θ ∆ ∆= =γ γR rL

R

L

r, e quindi γ γ

rR

Rr=





L’andamento dell’angolo γ è quindi lineare e crescente con il raggio. Considerando lalegge di Hooke per le tensioni tangenziali (τ= G γ, G= modulo di elasticità tangenziale) siottiene che anche le tensioni tangenziali hanno un andamento lineare che va da zero alcentro della sezione ad un massimo al raggio R:

γ γ τ τr

Rr

RR

rR

r= ⇒ =

Ponendosi in un sistema di riferimento polare ed integrando le tensioni tangenziali sullasuperficie si ottiene il momento torcente Mz :

M rdSR

rz r rR= =∫ τ τ τ

MR

r dSR

Jr

JzR R

pr

p= = =∫τ τ τ2

dove Jp è il momento d’inerzia polare.Nel caso di sezioni circolari è quindi possibile calcolare il valore della tensione tangenzialedovuta al momento torcente in tutta la sezione. In particolare la tensione lungo ognuno deidiametri vale:

τrz

p

MJ

r=

dove r è la distanza dal centro della sezione e Jp è il momento d’inerzia polare dellasezione.Tutti i punti a pari distanza dal centro sono soggetti alla stessa tensione tangenzialeagente normalmente al diametro in considerazione.I momenti d’inerzia polari per le sezioni piene e circolari valgono:

JD

sezioni pienep = π 4

32( )

( )J

D d D dsezioni cavep = − =

−π π π4 4 4 4

32 32 32( )

avendo indicato con D il diametro esterno della sezione e con d il diametro interno

τmax

τmax

τmax

Anche nel caso della torsione si può considerare un modulo di resistenza (a torsione)utilizzato per calcolare il valore della tensione massima, tensione che si trova sullacirconferenza esterna della sezione circolare. Il modulo di resistenza a torsione per lesezioni piene e cave varra’:

( )W

J

D

DW W

J

D

D d

DWt

pf t

pf= = = ⋅ = =

−

⋅= ⋅

2

162

2

162

3 4 4π π

(sezioni piene) (sezioni cave)





Esercizio 2-9Data una sezione circolare piena di diametro 70 mm soggetta a un momento torcente Mz =5000 Nm calcolare:a) il valore della tensione tangenziale massima;b) il valore della tensione tangenziale sulla circonferenza di diametro 55 mm;c) le componenti della tensione tangenziale τzx e τzy in un punto di coordinate (-24,18) nel

sistema di riferimento baricentrico.

Esercizio 2-10Data una sezione circolare cava con diametro esterno D = 70 mm e diametro interno d=50mm soggetta a un momento torcente Mz = 5000 Nm calcolare:a) il valore della tensione tangenziale massima;b) il valore della tensione tangenziale sulla circonferenza di diametro 55 mm;c) le componenti della tensione tangenziale τzx e τzy in un punto di coordinate (-24,-18) nel

sistema di riferimento baricentrico;

Esercizio 2-11

Sia data una barra a sezione circolare piena di diametro D = 40 mm, realizzata in39NiCrMo3. Come sistema di riferimento si assumano gli assi x e y giacenti nel piano dellasezione retta della barra e l’asse z coincidente con l’asse della barra. La barra è sollecitatada uno sforzo normale N = 3⋅104

N, da un momento flettente Mx = 500 Nm, da un momentoflettente My = 450 Nm e da un momento torcente Mz = 850 Nm costanti lungo l’asse.Tracciare i cerchi di Mohr e determinare le tensioni principali e la tensione ideale in unpunto sulla superficie della barraTracciare i cerchi di Mohr e determinare le tensioni principali e la tensione ideale in unpunto al centro della barraCalcolare il coefficiente di sicurezza contro lo snervamento e contro la rottura duttile

Sezioni rettangolariLa formula vista per le sezioni circolari non può essere utilizzata per sezioni di formadiversa. Se si considera una sezione rettangolare infatti la formula per le sezioni circolariindica che la tensione massima si raggiunge agli spigoli della sezione, dove con sempliciconsiderazioni di equilibrio si può dedurre che la tensione tangenziale in realtà deveessere nulla. In particolare si può dimostrare che la tensione massima si presenta incorrispondenza del lato maggiore della sezione (vedi figura). La spiegazione della nonvalidità della formula dipende dal fatto che la sezione rettangolare, a differenza di quellacircolare, non si mantiene piana quando viene soggetta a momento torcente.





y

xMz

τzy

a

b

Per le sezioni rettangolari esiste una soluzione esatta proposta da de St. Venant che nonviene di solito utilizzata. Viene invece utilizzata una soluzione approssimata che permettedi valutare lo stato di tensione lungo l’asse baricentrico parallelo al lato minore:

τzyz

t

MJ

x= 2dove ( )J b a at = −1

30 6 3.

Jt prende il nome di fattore di rigidezza torsionale. Nel caso di sezioni rettangolari sottili il fattore di rigidezza può essere calcolatosemplicemente come:

b a J bat>> ⇒ = 13

3

Sezioni cave a parete sottilePer questa classe di problemi si può dimostrare che la tensione tangenziale dovuta almomento torcente Mz ha un valore medio nello spessore pari a:

τ = Mtz

2Ω

linea media

Ω

t

dove Ω è l’area racchiusa dalla line media e ‘t’ è lo spessore della parete nel puntoconsiderato.

Sezioni aperte a parete sottileIn questo caso si può dimostrare che la tensione tangenziale massima dovuta la momentotorcente Mz in ognuno dei rettangoli in cui è possibile suddividere la figura vale:

τmaxiz

ti

MJ

a=

dove il fattore di rigidezza a torsione totale Jt è la somma dei fattori di rigidezza parziali diognuno dei rettangoli di cui è composta la figura:

J J b at ti i i= =∑ ∑ 1

33

o, nel caso di pareti in cui lo spessore, pur piccolo, non è trascurabile:





J J b a m at ti i i i i= = − ⋅∑ ∑1

303 3( . )

dove mi = 0 se le due estremità dell’iesimo segmento non sono libere, mi = 1 se una delledue estremità è libera e mi = 2 se entrambe le estremità sono libere (cioè nel caso giàvisto di sezione rettangolare).

b1

b2

b3

a1a2

a3

C

Esercizio 2-12Si abbia una sezione rettangolare 100 x 80 mm soggetta ad un momento torcente di10.000 Nm. Calcolare il valore della tensione tangenziale massima.

Esercizio 2-13Si abbia un tubo formato da una lamiera di spessore t=3 mm di sezione ellittica consemiassi, misurati all’esterno A=100 mm e B= 80 mm soggetto ad un momento torcenteMz di 2500 NmCalcolare il valore della tensione tangenziale media nello spessore.

Esercizio 2-14Le due sezioni illustrate in figura hanno dimensioni identiche ma nella prima (a) i lembiconvergenti in P sono solo accostati, nella seconda (b) sono collegati per mezzo di unasaldatura. Calcolare la massima tensione tangenziale in ciascuna delle due sezionicausata dall’applicazione di un momento torcente di 2·105 Nmm.

4

a)

b)

P

100

58





Tensioni dovute al taglio.Viene riportata la soluzione approssimata di D.J. Jourawski (1850). Si ricorda innanzituttoche le caratteristiche di sollecitazione Momento e Taglio sulla sezione non sonoindipendenti ma sono legate dalle seguenti formule:

z

y

dz

Mx

Mx+dMxTyTy

z

x

dz

My My+dMyTxTx

Piano yz TdMdzy

x= Piano xz TdM

dzxy= −

Data una sezione di forma qualsiasi soggetta a un taglio Ty la tensione tangenziale mediasu ogni segmento parallelo all’asse principale baricentrico x vale:

τzy

τzy=0

τzy=0

Ty

y

x

τzyy c

xx

T S

J c=

dove Sc è il momento statico della parte di sezione individuata dal segmento rispettoall’asse principale baricentrico ‘x’ (si noti che i momenti statici delle due parti della sezioneindividuate dal segmento c sono uguali), Jxx è il momento d’inerzia rispetto allo stessoasse e ‘c’ è la lunghezza del segmento.La tensione tangenziale τzy ha un andamento parabolico in direzione y, si annulla agliestremi della sezione e la tensione massima si trova sull’asse baricentrico.

y

x

a

bTy

τzy y

x

Ty

τzy

In particolare per le sezioni rettangolari la tensione massima vale :





( )τmax = =T S

J a

T

Ay x

xx

y3

2sez. rettangolare

e per le sezioni circolari:

( )τmax = =T S

J D

T

Ay D

D

y4

3sez circolare.

Se la sezione è soggetta ad un taglio in direzione x si hanno formule analoghe che siottengono permutando gli indici.Nel caso di sezioni circolari, e solo in questo caso, nel caso siano presenti entrambi i tagli,conviene considerare il taglio complessivo e calcolare la massima tensione tangenzialedovuta al taglio con la formula vista.

T T Tx y= +2 2 A

T

3

4max =τ

Poiché le tensioni tangenziali non sono costanti, ma variano lungo l’asse ‘y’ (‘x’), le sezionitendono ad ingobbarsi: questo ingobbamento non produce variazioni delle tensioni normaliσzz solo nel caso in cui il taglio sia costante, ma si può dimostrare che nel caso di travisnelle la variazione delle tensioni normali reali rispetto a quelle calcolate con le formuleviste in precedenza (che ipotizzano che la sezione rimenga piana) sono piccole e quinditrascurabili.

Taglio in profilatiIn un profilato con pareti sottili (vedi figura) il taglio Ty provoca sia delle tensioni tangenzialiτzy sull’anima sia delle tensioni tangenziali sulle ali ortogonali ad un segmento normale allalinea media, cioè delle tensioni τzx, come si può dedurre da semplici considerazioni diequilibrio.Il valore locale della tensione tangenziale viene calcolato utilizzando la formula già vistaanche per le ali. In definitiva l’andamento della tensione tangenziale può essere riportatoin diagrammi come quelli riportati nelle figure relativi sia al taglio Ty sia al taglio Tx.Analoghi diagrammi per altre sezioni si possono trovare su qualunque manuale. I noti cheper tutti i profilati, le dimensioni considerate sono quelle relative alle linee medie.

x

y

s2h

b

s1

s1 Ali

Ty

τzy

τzx

Anima x

y

+

+

T bJx

yy

2

8

Tx

+

+

+

y

+

x

T

s Jbs h s hy

xx2

1 22

2 8+

T bh

Jy

xx4

Ty

T bh

Jy

xx4





Sezioni non simmetriche - Centro di taglio e di torsioneSi consideri una sezione non doppiamente simmetrica formata da pareti sottili, ad esempiouna sezione a C.

s2

h

b

s1

x

y

G

e

Poiché la sezione è simmetrica rispetto all’asse ‘x’ il baricentro si troverà su questo asse disimmetria ad una distanza dalla linea media che si ricava facilmente con la geometriadelle aree:

es b

bs hs=

+1

2

1 22

y

Gx

y

xG

e

Fy

Fx

Fx

T bh

Jy

xx2

Ty

T

s Jbs h s hy

xx2

1 22

2 8+

Se si considera un taglio Ty adottando i metodi già visti, si ottiene l’andamento delletensioni tangenziali normali alla linea media riportato in figura. Integrando le tensioni sulletre aree in cui si può scomporre la figura si nota come il tagli Ty sia equilibrato dalletensioni tangenziali τzy giacenti sul lato parallelo all’asse ‘y’, mentre le tensioni τzx dannoorigine ad una coppia Fxh, dove :

FT bh

Jbs

T b hs

Jxy

xx

y

xx= ⋅ =1

2 2 41

21





y

xG

e

Fy Fx

Fx

Ty

g

Ct

Poichè abbiamo ipotizzato che l’unica caratteristica di sollecitazione presente sia il taglioTy , questo deve essere applicato in un punto Ct (detto centro di taglio) ad una distanza ‘g’dal baricentro tale da generare un momento compatibile con la distribuzione delle tensionitrovata. La distanza g di Ct rispetto al riferimento baricentrico xy si trova imponendol’uguaglianza dei momenti:

T Fy g y e Fx h⋅ ⋅ + ⋅=

da cui si ricava:

gy e Fx h

y xx

F

Te

b h s

J= = +

⋅ + ⋅ 2 21

4

Se il taglio Ty è applicato lungo la retta parallela all’asse y passante per Ct la distribuzionedelle tensioni è quella trovata in precedenza; tale caso è detto di ‘taglio puro’. Nel caso incui il taglio Ty sia applicato al baricentro, oltre alle tensioni dovute al taglio sarannopresenti anche delle tensioni aggiuntive dovute al momento torcente Ty·g, e analogamentese la retta d’azione del taglio è posta ad una distanza ‘d’ qualunque dal centro di taglio,bisogna considerare anche le tensioni aggiuntive dovute ad un momento Ty·d.Il punto Ct è anche il centro di torsione della sezione, cioè il punto attorno a cui ruota lasezione quando è soggetta ad un momento torcente. Si noti che se si è in una condizionedi taglio puro la sezione non ruota.

Esercizio 2-15Si consideri una sezione rettangolare 12x40 mm in cui l’asse x è parallelo alla dimensionemaggiore. La sezione è soggetta ad un momento flettente My = -4.5·105 Nmm ed a untaglio Tx = 1.3 ·104 N.Calcolare le tensioni normali e tangenizli nei punti G(0,0), Q(10,0) e P(20,0)

y

x

G Q P12

40

10

xGA= 15 A





Esercizio 2-16Si abbia una sezione circolare di diametro ∅ = 46 mm soggetta ad un taglio Ty = 3000 Ned un taglio Tx = 4000 N. Calcolare la massima tensione tangenziale dovuta al taglio.

Esercizio 2-17La figura mostra lo schema di una sezione di un profilato IPE 120 UNI 5398 realizzato inFe 360 (tensione ammissibile σam= 160 MPa, tensione tangenziale ammissibile τam= 80MPa ). Supponendo che ogni caratteristica di sollecitazione agisca separatamentedeterminare i massimi valori sopportabili per i momenti flettenti Mx e My, e per i tagli Tx eTy.

y

x

120

64

4.4

6.3

Esercizio 2-18La sezione di un profilato a U 100 UNI 5680 schematizzata in figura viene sollecitata da untaglio Ty = 10 kN. Valutare :a) la posizione del centro di taglio;b) le massime tensioni tangenziali causate dal taglio nell’anima e nelle piattabande;c) le tensioni aggiuntive che si producono nell’anima e nelle piattabande se il taglio è

applicato nel baricentro della sezione.Caratteristiche della sezione:

y

x

100

50

g

15.5

Ct

8.5

6

A = 1.35·103 mm2 Jxx = 2.05·106 mm4 Jyy = 2.91·105 mm4

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