Cerchi di Mohr tensioni!!!!!!

5/10/2018 Cerchi di Mohr tensioni!!!!!!

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G. Petrucci "Lezioni di Costruzione diMacchine"

1. LO STATO TENSIONALE NEI SOLIDIUn solido tridimensionale e un corpo continuo che occupa una regione della spazio 3D di volume V, delimitata dallasuperficie S. Una parte della superficie S puo essere vincolata all'estemo in modo che gli spostamenti dei puntiappartenenti ad essa siano impediti.TensioniConsideriamo un solido tridimensionale in equilibrio sotto l'azione di forze esteme di massa e di superficie. L'unicaipotesi fatta sul materiale e che sia continuo: non vengono considerate le azioni scambiate tra particelle e a livello didimensioni molecolari.

Si suppone valida l'ipotesi di Cauchy secondo cui le forze che si scambiano le parti del corpo in un elementoinfinitesimo di superficie sono riducibili al solo risultante applicato in un punto intemo dell'elemento stesso.

Per esaminare gli effetti del sistema di forze immaginiamo il corpo diviso in due parti: affinche ciascuna parteresti in equilibrio bisogna applicare un sistema di forze esteme distribuite sulla superficie di separazione. Questosistema di forze e equivalente all 'azione che l'altra parte del corpo applicava prima della recisione.

Fig.Ll - Forze interne agenti suun elemento di superficieM inun solido caricato da forze esterne.La fig.l mostra il corpo tagliato da un piano parallelo al piano yz. La sua giacitura e individuata dal versore

nx=[l 0 0] parallelo alla direzione x le cui componenti sono i coseni direttori della retta di direzione x. Se siconsidera un elemento di superficie M=~y~ centrato in un punta P di coordinate P=(x,y,z) e si effettua la sommadi tutte Ie forze agenti su di esso indicando i1 risultante con M', si definisce tensione Px agente nel punto P,relativamente alla giacitura di normale nx, i1 rapporto:

1. AFP = 1m _.x M... AA ' (1.1)per l'ipotesi di Cauchy si deve avere:lim AM =0.M ... O AA (1.2)

Si preferisce descrivere la tensione in termini delle sue componenti cartesiane: se consideriamo le componenti diM' nella direzione degli assi coordinati, Ie componenti della tensione sono definite dalle tre equazioni:

I"AFa = 1m-xxx M ... O AA AF'& " = lim--xy M ... O AA 1. AF'& " = 1m-Zx z M ... O AA (1.3)da cui i1 vettore Pxpuo essere espresso come:

(1.4)Con il passaggio allimite le componenti di tensione sono associate ad un singolo punta P. In generale il vettore

tensione e le sue componenti assumono valori diversi in ciascun punto della superficie di separazione e ovviamentein ciascun punto del solido cioe Px=PxCx,y ,z )=Px(P) .

M 'x e O"xxsono dirette lungo l'asse x normale all'area M e quindi sono chiamate rispettivamente forza normale etensione normale. Le forze M'y e M 'z e le tensioni 'f,y e Tu sono parallele all'area M e sono chiamaterispettivamente forze e tensioni di taglio 0 tangenziali. II primo indice si riferisce alla normale all'area ed i1 secondoalla direzione della componente. Questo doppio indice non e necessario per le tensioni normali e generalmente siscrive semplicemente 0;,.

La giacitura di un elemento di superficie e individuata dal versore n della direzione normale alla superficiestessa: una faccia si definisce positiva quando la sua normale diretta verso l'estemo del corpo ha 10 stesso verso diuno degli assi coordinati, negativa in caso contrario. Le componenti normali di tensione sono considerate positive se

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hanno verso concorde con la normale all'elementino, cioe risultano uscenti, e viceversa. Dando un senso fisico aquesta convenzione, si dice che sono di trazione se positive e di compressione se negative. I segni delle componentitangenziali sono regolati da 2 possibili convenzioni: la prima afferma che le tensioni sono positive se, agendo sufacce positive, hanno verso concorde con gli assi x, y, z, ese, agendo su facce negative, hanno verso discorde;negative nei casi opposti; l'altra convenzione le considera positive se tendono a provocare una rotazione orariadell'elemento su cui agiscono e viceversa; questa convenzione verra utilizzata nel caso dei cerchi di Mohr. Si notiche le due convenzioni attribuiscono segni differenti a stati tensionali uguali.Tensione al variare del piano di giacituraConsiderato un punto P del solido, i possibili piani di sezione passanti per esso costituiscono un insieme infinito,definito stella di piani di centro P (fig.2); a loro volta le rette d'azione dei versori n che identificano tali pianicostituiscono una stella di rette. 11 vettore tensione agente nel punto varia in modulo e direzione al variare dellagiacitura n del piano di sezione su cui agisce, cioe si ha P.=p.(P,n).

Ad esempio (fig.3) si consideri una barra di materiale omogeneo di sezione quadrata avente superficie pari ad Ae lunghezza I abbastanza grande rispetto al lato della sezione. La barra sia disposta lungo la direzione x e siasoggetta alle sezioni estreme a due distribuzione di forze di risultante rispettivamente -F ed F in direzione x. Si puointuitivamente ritenere che la tensione agente su sezioni in prossimita del centro della barra aventi qualunquegiacitura, sia costante in tutti i punti della sezione stessa. Considerando un punto P al centro della barra: se si effettua una sezione con un piano di normale parallela ad x, si trova che Px e parallelo ad x e che ilsuo

modulo e Px=FIA. Intuitivamente, per l'equilibrio in direzione x, deve essere infatti F=pxA , da cui Px=(1"x=FIA. Se si effettua una sezione con un piano di normale n a 45 rispetto all'asse x, si trova ancora che Pn e parallelo adx. In questo caso la superficie generata dal sezionamento ha un area pari a Alcos(45) e, per l'equilibrio indirezione x, deve essere F=p, .A/cos( 45), da cui p .=pnx=Fc os ( 45 )IA ;

se si effettua una sezione con un piano di normale parallela ad y si osserva che la tensione Py agente e nulla.Lo stato tensionalePer definire 10 stato tensionale in un punto del corpo non e sufficiente conoscere la tensione agente su una solagiacitura. Se si effettuano sezioni con piani xz e xy, aventi normali secondo le direzioni coordinate y (ny=[O 1 0]) e z(nz=[O 0 1]), e si considerano le forze agenti in modo analogo a quanto mostrato per la direzione x, si osserva che nelpunto P, su detti piani, agiscono le tensioni Py e pz diverse tra loro e da Px (fig.4).

In definitiva la tensione agente nel punto P nei tre piani coordinati e espressa dai tre vettori:(1.5a,b,c)

E possibile dimostrare che le 9 componenti di tensione presenti nelle eq.(5) sono sufficienti a definire 10 stato disollecitazione in un punto al variare della giacitura. Usualmente esse vengono riunite nella matrice (J che prende ilnome di tensore degli sforzi:

(1.6)

Nel seguito si mostrera che sono valide le seguenti uguaglianze tra Ie tensioni tangenziali - z ; y = z y " , ' Z X z = " z x ,- z y . . = ' Z ; _ y , per cui le grandezze indipendenti nella (6) si riducono a 6.Nel S.1. la tensione viene misurata in MegaPascal (MPa) cioe N/mm2 (1 MPa",O.l Kg/mnr').La tensione non puo essere misurata sperimentalmente. Vi sono invece molte tecniche sperimentali che possono

essere usate per misurare deformazioni. In questi casi 10 stato di tensione in un punto puo essere valutato se sononote le relazioni fra tensione e deformazione.

. - ~ - f t 9 - / 18~". _.I _ , I I , _.I ,I: I:: II: I I: Il,~~/) I," ~'___ ___'~F: = 1 L . . - _ _ [ij:XL . . . - 1 _----I~: = 1 L . . - _ _ ~~n "',-- _ __.~:: l~ ::

Fig.1.2 - Alcune delle possibili (infinite) giaciture Fig.1.3 - Variazione della tensione al variare del pianonell'intomo di un punto. di sezione in una barra soggetta a trazione.

1.2

Fig. 1.4- Tensioni agenti secondoi piani coordinati.


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Tensione al variare del piano di giacituraCi si propone di ottenere la tensione Pn agente su un piano di normale n, obliquo rispetto al sistema di assicoordinati, partendo dalla conoscenza delle tensioni agenti sui piani coordinati. In questo caso sono noti il tensoredegli sforzi a e ilversore del piano n.

Consideriamo un tetraedro avente tre facce con giaciture parallele agli assi cartesiani (fig.S), aventi area dAi(i=x,y,z), e una faccia inclinata con normale in direzione n, avente area dAn. Sia n il versore della direzione n dellaquale contiene i coseni direttori:

(1.7) y

x

i=x,y,z

deve essere ricordato che una direzione nellospazio pub essere identificata mediante 2 soleinformazioni, ad esempio 2 delle 3 componentidel versore (1.7), essendo la terzaunivocamente determinata dal fatto che ilversore ha modulo unitario. Si pub dimostrareche vale la seguente relazione:

(1.8)II vettore tensione Pn pub essere scomposto

secondo gli assi di riferimento cartesiani(fig.S):

Fig. 1.5- n tetraedro in3D e 2D e le scomposizioni di pn secondo le direzionicartesiane e la direzione di nonnale n.

(1.9)o secondo le direzioni normale e parallela (tangenziale) al piano:

(1.10)Da un punto di vista ingegneristico le componenti normale e tangenziale sono piu significative in quanto

costituiscono sollecitazioni fisicamente differenti sui materiale. Le componenti cartesiane vengono ricavate solocome passaggio intermedio per ottenere le componenti normale e tangenziale.

Le componenti cartesiane di PnMettiamo in relazione le componenti cartesiane di Pn con il tensore degli sforzi a.Le equazione di equilibrio alia traslazione nelle tre direzioni coordinate del tetraedro possono essere scritte in

forma matriciale come segue:(1.11)

ricordando che Ie forze agenti sulle facce si ottengono moltiplicando le tensioni per Ie superfici su cui agiscono eche ilsegno attribuito a ciascuna forza coincide con ilsegno della faccia su cui agisce (in questo caso le facce didirezione parallele agli assi cartesiani sono negative). Dividendo per An e ricordando la (8) si ottiene:

(1.12)La (12) scritta per esteso fomisce:

(1.13)

(1.14)

cioe:P, = e n (US)

1.3


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11modulo del vettore Pn e dato da:

La componente normale di PnLa componente di Pn lungo la direzione n si ottiene effettuandone la proiezione con la nota espressione del prodottoscalare fra vettori:(in = fiPn = L . e; = ,; + ,; + ,r; (1.17)

i=x,Y,znella quale il soprasegno significa trasposto. Ricordando la (IS), la (17) puo essere riscritta come

(in = fiPn = fian (1.18)che, per esteso, fomisce:

(1.19)In questa espressione le componenti cartesiane di Pn non compaiono piu,E bene ricordare che nella relazione (19) le componenti di tensione cartesiane sono funzioni dello spazio, rna,fissato ilpunto nel quale si considera 10 stato tensionale, sono valori costanti, mentre i termini variabili sono lecomponenti del versore n. Poiche, come detto, le componenti indipendenti del versore indipendenti tra loro sono 2,ilvalore di C Tn (19) e una funzione di due variabili.

Per ottenere a., il vettore componente di Pn in direzione n,basta moltiplicare la componente C Tn per il versore n:an = (inn = (fian) n (1.20)

La componente tangenziaie di PnLa componente di Pn lungo la direzione tangenziale si ottiene come differenza tra il vettore Pn stesso e il componentenormale an:

(1.21)In base alle (15) e (20) questa re1azione puo essere riscritta come segue:

Tn = a n-(in n = (a-I (in) n = Snn (1.22)essendo

(1.23)

Scritta per esteso la (22) fornisce:

(1.24)

La direzione del vettore 'tn puo essere esplicitata mediante le componenti del suo versore n'. Tenuto conto delle(20), (16) e (19), ilmodulo e ilversore del vettore 'tn,possono essere scritti come:

Tn = L T;i =~ P; - (i;i=x,y,z

(1.25a,b)

1.4


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Direzioni principaliLe direzioni prineipali sono le direzioni dei versori dei piani sui quali le tensioni tangenziali risultano nulle, dovecioe si verifica:

(1.26a)cioe:

(1.26b)

Le (26) costituiscono un sistema di equazioni lineari omogeneo nelle variabili nx, ny ed nz; essendo incognitoanche il val ore O "n associato a ciascuna soluzione del sistema. Affinche il sistema (26) ammetta soluzioni diverse daquella identicamente nulla, deve essere:

(1.27)Sviluppando la (27) si ottiene la cosiddetta equazione seeolare 0 degli autovalori che permette di valutare i

valori O "n(1.28)

essendo h2ed 13gli invarianti della matrice e cosi definiti:

(1.29a-c)Fissato il punto del solido, al variare dell'orientamento della tema x, y, z, tutte le componenti della matrice e

assumono valori differenti, mentre le quantita (29) rimangono invariate.L'equazione secolare (28) ammette 3 radici reali indicate con 0 " 1 0 0"2 e 0"3. Tali valori di tensione sono detti

tensioni principali. Sostituendo uno alIa volta questi valori nella (26) e possibile ottenere i versori dellecorrispondenti direzioni principali nh n2, n3. Se le tensioni principali sono distinte si puo dimostrare che sonoortogonali a due a due. Se due tensioni principali coincidono, tutte le direzioni ortogonali all'altra sono direzioniprincipali (es. 0"1=0"2 e 0"3#), tutte le direzioni normali ad n3 sono direzioni principali). Se 0"1=0"2=0"3 tutte le direzioniuscenti dal punto sono principali. Ire valori scalari delle tensioni principali e i tre versori sono rispettivamente gliautovalori e gli autovettori della matrice e, per cui, per la loro determinazione, e conveniente utilizzare gli algoritmiappositamente sviluppati nel campo del calcolo numerico.

Se si sceglie una tema di riferimento cartesiana i cui assi coincidono con le direzioni principali nel puntoconsiderato del solido, la matrice e diventa:

o o(1.30)

La (14), che consente di ottenere la tensione agente sulla generica giacitura n, si trasforma come segue:

(1.31)

La componente normale (19) diventa:222a n = a l n ; + a 2 n2 + a 3 n3 .

La componente tangenziale, utilizzando la (24), diventa:(1.32)

(1.33)oppure:

(1.34)1.5


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Cerchi di MohrFissato un punto del solido, si consideri una terna di riferimento (Xlo X2, X3) con gli assi paralleli alle direzioniprincipali. In tale riferimento il tensore diventa quello descritto dalla (30). Si consideri il fascio di piani i cui versorin sono perpendicolari a X3 (fig.6): essendo n3=0, le eq.(32) e (34) assumono la seguente forma

(1.35,36)

nl = cosa,Se ae l'angolo che n forma con l'asse XI si ha:

n2 = sena, (1.37,38,39)Se si introducono nelle (35) e (36) vari valori di a e si riportano le ae 1:ottenute su unpiano cartesiano di assi x = l J " n ed Y = ' Z ; " i punti ottenuti si dispongono su una circonferenza

Fig.1.6 - fascio di piani di come si vede, ad esempio, in fig.7. L'equazione di tale circonferenza si ottiene eliminandoassers. nl ed n2 dalle (35, 36) nelle seguenti forme:

(1.40a)

(0 " 1 + 0" 2 ) 2 2 ( 0 " 1 - 0" 2 ) 2 00" - +1" - ="2 n 2

Le (40) sono le equazioni di una circonferenza nel piano l J " n o ' Z ; , -la (a) del tipo ( x - a ) ( x - b ) + y = O - i cui punti sonoi valori di l J " n e ' Z ; , che si ottengono al variare della direzione n (cioe dell'angolo a). La circonferenza ha il centrosull'asse a in posizione ( l J " I + l J " 2 ) / 2 e raggio pari a ( l J " 1 - l J " 2 ) / 2 . Questo valore coincide con quello della massimatensione tangenziale nel punto ' Z ; " a x = ( l J " 1 - l J " 2 ) / 2 , che agisce nel piano a 45 rispetto ad n 1 (a=45).

(1.40b)

Fig.1.7- Posizione delle coppie a e '!"Suicerchio diMohr al variare della giacitura nel caso di stato tensionale monoassiale.Introducendo le (37,38) nella (36) si ottiene questa equazione:

2 sen a cos a = sen 2a = _ 2 _ 1 " - , , " , - - (1.41)0 " 1 - 0" 2dalla quale si osserva che l'angolo a formato tra la direzioneprincipale n 1 e la normale al piano le cui tensioni sono rappresentatedal punto prescelto del cerchio di Mohr (ad es. A in fig.8), e pari allameta dell'angolo formato tra il raggio del cerchio passante per ilpunto e l'asse orizzontale l J " n . Se si considerano due punti qualunquedel cerchio di Mohr, l'angolo formato tra i raggi passanti per essisono pari al doppio dell'angolo formato tra i versori dei piani di cui idue punti rappresentano 10 stato tensionale. In particolare se lenormali dei due piani formano un angolo di 90 i puntirappresentativi l J " n o 1:. risultano diametralmente opposti (a 180) (ades. A e Bin fig.8).

Ovviamente per tracciare il cerchio di Mohr e necessario0" 1 conoscerne alcuni parametri. Non e necessario conoscere le tensioni e

Fig.I.S - n cerchio diMohr le direzioni principali, anzi il caso tipico e quello nel quale si conosce10 stato tensionale su due piani non principali disposti a 90, purche ladirezione del fascio a cui i due piani appartengono sia principale. In questo caso, essendo i punti corrispondentidiametralmente opposti sui cerchio di Mohr, e possibile l'identificazione del centro e del diametro. Si ricorda che laconvenzione relativa al segno delle tensioni tangenziali nel cerchi di Mohr prevede che esse siano consideratepositive se tendono a provocare una rotazione oraria dell'elemento su cui agiscono e viceversa.

Sui cerchio di Mohr e possibile identificare un punto N detto polo delle normali (fig.9) che gode di una utileproprieta, A partire da due punti diametralmente opposti del cerchio di Mohr si tracciano due rette a e b parallele aiversori dei piani cui i punti si riferiscono (ad es. gli assi xed y) ; il punto di intersezione di tali rette e N e gode dellaseguente proprieta: la congiungente di tale punto con un punto C (qualsiasi) del cerchio forma con a un angolo pariall'angolo formato tra il versore parallelo ad a e il versore del piano cui si riferisce C.

1.6


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0 - ,


Le fig.9-13 si riferiscono a vari casi disollecitazione caratterizzati da differenticombinazioni delle tensioni principali. Inparticolare vengono mostrati il cerchio diMohr, l'elementino con i lati i cui versorisono paralleli agli assi x ed y e lecorrispondenti tensioni e un'elementinocon i lati i cui versori sono paralleli alledirezioni principali e le tensioni(principali) agenti. I cerchi sono tracciatia partire dalle tensioni agenti sui piani dinorrnale x ed y (ritenute note) erappresentati nei punti A e B del cerchio ele direzioni principali sono ottenute

Fig.I.9 - Cerchio di Mohr ne! caso di 0. ,>0 e 0;>0. utilizzando il polo delle norrnali.In modo del tutto analogo a quanto fatto per il fascio di piani avente per asse X3 (fig.7), e possibile tracciare i

cerchi di Mohr per i piani i cui versori n sono perpendicolari a Xl e ad X2' I 3 cerchi (fig.14-16) risultano tangenti adue a due in corrispondenza dei punti rappresentativi delle tensioni principali. Il cerchio piu esterno erappresentativo degli stati di sollecitazione piu onerosi, cui corrisponde la massima tensione tangenziale. Inparticolare nelle fig.16-17 si puo osservare che il fascio di piani pin pericoloso e quello di asse X2 contenente letensioni principali 0i e U3. Tutte le altre possibili coppie Un e t;" relative aIle giaciture non facenti parte dei tre fascirappresentati dai cerchi di Mohr, sono comprese all'intemo dell'area compresa tra i 3 cerchi, che prende il nome diarbelo di Mohr. I cerchi di Mohr costituiscono una rappresentazione bidimensionale dello stato di tensione comoda

Fig.l.10 - Cerchio di Mohr ne! caso di 0" ,>0 e 0;0 e 0;=-0" , (tangenz.).

Fig.l.13 - Cerchio diMohrne! caso di 0" ,=0 e 0;


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Se la tema di riferimento scelta e tale che la direzione z non e principale, come in fig.IS, e ancora possibiletracciare dei cerchi di Mohr rappresentativi dello stato tensionale. In questo caso pero, in corrispondenza delleintersezioni di ciascun cerchio con l'asse O "m si vengono a determinare le cosiddette tensioni principali secondarieo'j. Nelle giaciture di tali tensioni risultano nulle le tensioni tangenziali ortogonali all'asse del fascio cui ilcerchio diMohr si riferisce, cioe parallele al piano in cui le tensioni principali secondarie agiscono, rna sono diverse da zeroquelle parallele all ' asse del fascio, tratteggiate nell ' esempio di fig. 15.

Fig.1.16 - Cerchi diMohr. a) o pO 0 ",< 0; 0e 0",0 e 0;=0 e 0",=0 rispettivamente.

Stato di tensione pianoLo stato di tensione nel punto P di un solido si dice piano se il vettore di tensione Pn si mantiene parallelo ad unpiano fisso al variare di n. In questo caso, se si assume una tema di riferimento con gli assi x ed y paralleli a talepiano, la matrice (J assume la seguente forma:

(1.42)

essendo Ie componenti di tensione in direzione z nulle, cioe o;=; ' z= ;"=O . Si noti che ' Z " z x e - ; y , anche se parallele alpiano xy, sono nulle per ilprincipio di reciprocita essendo ; "= ; ' z=O . Per 10 stesso motivo z risulta essere direzioneprincipale. I cerchi di Mohr di fasci x ed y passano per l'origine degli assi essendo 0;=0 . In questo casol'orientazione delle direzioni principali puo essere identificata tramite un solo parametro, cioe l'angolo a tra ladirezione 0" 1 e l'asse x.Si noti che 10 stato di tensione e sempre piano sulle superfici non sollecitate da forze esteme. In tal caso, infatti,Ie tensioni agenti su di esse risultano nulle e la direzione normale ad esse e anche direzione principale.

Gli invarianti (29) assumono la seguente forma:(1.43)

e l'equazione secolare (28) puo essere risolta nel modo seguente:

(1.44)

In questo caso si e assunta come direzione 3 quella per la quale la tensione principale e nulla (0"3=0).L'eq.(I8) che permette di determinare la tensione normale secondo una giacitura generic a n si semplifica come

segue:(1.45)

In caso di stato di tensione piano, inoltre, Ie componenti 0" . e z ;, agenti su un piano ortogonale alla direzione z, lacui normale forma un angolo Bcon l'asse x, ponendo nx=co sB , n y= si nB , possono essere espresse anche come:

T = (Y -(Yx y sin2B+Txy cos2B2 (1.46,47)A sua volta, l'angolo aformato dall'asse x e la direzione principale nl e dato dalla seguente espressione:

(1.48)

1.8


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Ricordando che ilvalore della tensione tangenziale massima e pari al raggio del cerchio di Mohr z;.ax=(Oi-0"2)/2,utilizzando la (44), si ottiene:

1 'max = (1.49)Se si scelgono gli assi xed y coincidenti con le direzioni principali (x =I, )1 =2 ) le espressioni (42) e (46-49) si

modificano come segue:o ~ l ( J - ( Jl' = 1 2 sen2an 2 (1.50-53)

In fig.17 sono mostrati cerchi di Mohr rappresentativi di stati di tensione piana (nella figura le tensioni principalisono ordinate in senso decrescente per cui non e assunta la direzione 3 come direzione con tensione principalenulla). Si osserva come 2 cerchi risultano sempre tangenti in corrispondenza dell 'origine.

Un caso importante e quello di stato di tensione puramente tangenziale i cui cerchi di Mohr sono rappresentatinelle fig. 11 e 14. In questo caso esistono due piani ortogonali sui agisce solo una tensione tangenziale z;., come nelcaso della torsione pura (fig.18). Le tensioni principali agiscono su piani formanti un angolo pari a 1 T i 4 con ladirezione della z; . e risultano essere rispettivamente O " I = ' Z " m e 0"2=-0"1'La tensione tangenziale ' Z " m e quindi la massimanel punto al variare della la giacitura e risulta pari alla massima tensione principale. Lo stato di tensione puramentetangenziale e quello per ilquale il rapporto la tensione tangenziale massima e la massima tensione principale e ilpiu grande possibile, risultando in particolare ' Z " m I O " I = 1 .

Con opportuna scelta degli assi cartesiani, la (42) si trasforma nella (54) e la (50) nella (55):

(J = [ 1 ' ~ l'x moo ~ l (1.54,55)

Legge di trasformazione di assi nel caso pianoSiano x, y e x' , y' due sistemi di assi con origine coincidente, giacenti nello stesso piano e formanti un angolo j3(fig. 19). Ponendo m=cos j3 e n=senj3, le componenti cartesiane della tensione riferite al primo sistema di assi possonoessere espresse in funzione di quelle riferite al secondo mediante la seguente relazione:

{( J } m2x( J = n21 ' ~ m n (1.56)-mn

L'angolo j3puo essere misurato tra la direzione x' e la direzione x, assumendo come verso positivo quello orario(nel caso di figura j3 e negativo), oppure tra la direzione x e la direzione x' , assumendo come verso positivo quelloantiorario.

YI~ l "xYOY' o O " x 'l "xy

I

Y

Fig.US - Stato di tensione puramente tangenziale sulla superficiedi un elemento sottoposto a torsione: a sinistra Ie tensionitangenziali cartesiane agenti in un punto della superficie, a destra Ietensioni principali nello stesso punto. Sotto i punti corrispondentisui cerchio diMohr.

Fig.l.19 - A sinistra Ie componenti di tensione in un punto rispetto adassi iniziali x', v', a destra Iecomponenti rispetto a nuovi assi x, y.

1.9


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Versori. coseni direttori e coordinate sfericheE' opportuno fomire alcune precisazioni riguardanti 1uso dei versori per la deterrninazione della giacitura rispettoalIa quale si desidera valutare il vettore tensione. In fig.20 e mostrato un esempio di versore nel piano (fig.20a) e unesempio di versore nello spazio (fig.20b).

Le componenti del versore di una direzione sono pari ai coseni direttori della retta parallela alIa direzione stessae sono posti in funzione degli angoli a, p e rformati dal versore con gli assi di riferimento x,y, z mediante la ovviarelazione

r n x 1 [cos(a)]n = " = cos(fJ). cos(r) (1.57)Le convenzioni sul verso di rnisura degli angoli sono mostrate in fig.20. E' interessante notare che ai fini

delI'identificazione della giacitura del piano su cui agisce la tensione, il ver so del versore non ha rilevanza, cioe unversore e il suo opposto, ottenibile cambiando di segno tutte le componenti, identificano la stessa direzione.

Nel caso piano, come gill visto in precedenza, la determinazione delle componenti del versore secondo unadirezione desiderata e molto semplice (fig.20c). Infatti, r icordando che in questo caso e sufficiente considerare unsolo angolo, ad esempio l'angolo a, in quanto l'angolo rrisulta pari a 90, si ottiene:

[cos(a)]

n= sin~a) (1.58)Nel caso tridimensionale l'identificazione delle componenti di n trarnite i coseni direttori e decisamente meno

agevole (fig.20b). Spesso puc essere opportuno utilizzare le c o or d in a te s fe r ic h e nelle quali la direzione puo essereidentificata per mezzo degli angoli ()e mostrati in fig.20d. In particolare (-1tS.9t) e l 'angolo che la proiezionedel versore sul piano xy forma con l'asse x (detto az imut ) e (kr (O: : : ;~7t ) e l'angolo che il versore forma con l'asse z(detto elevazione). In questo caso, con semplici considerazioni trigonometriche, e possibile mostrare che i1versore nassume la seguente forma:

[S in ( B )COS ( )]

n = sin ( B ) sin ( )cos(B)(1.59)

Come e ovvio e facilmente verificabile, i moduli dei versori espressi dalle (58-59) sono unitari.E utile anche la relazione che lega gli angoli ()e agli angoli a, p , r .(1.60)

Una direzione di un certo interesse e quella della t r iset t r ice, cioe la retta che forma uguali angoli con tutti e treassi coordinati (fig.21). E utile notare che, mentre nel caso piano, la bisettrice degli assi xed y forma con detti assiun angolo di 45, nel caso tridimensionale, la trisettrice del 1 quadrante forma con ~li assi angoli a= I~ r=54 .74 .Cio e facilmente dimostrabile dovendo essere 1=(nx2+n /+nz2 )o , s=(n2+n2+n2)s=(3n2 )o .s , da cui risultan=. .J (1 /3 )=0 .5774 ed a=P=r=cos-1(0.5774)=54.74. La trisettrice dell quadrante puo essere identificata con angoli() e pari rispettivamente a =45 e (kr=54 .74 (=0.7854 rad, (}=0.9553 rad). Si noti che le trisettrici dei 4quadranti n on s on o m u tu am e nte o rto go na li.

z z z

p~y y y

(a) (b) (c)

a(d)

Fig. 1.20 - (a ,b) Versor i net piano e nello spazio; convenzioni sulla misura degli angoli a; pe r .(c,d) Determinazione pratica delle component i dei versor i; ! 'ango!o a(c) e gli angoliBe (d).

Fig.1.21 - La trisettrice de! primoquadrante: a=/Fr=54.74.

1.10


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Tensioni ottaedriche, tensori idrostatico e deviatorico, invariantiI 4 piani Ie cui normali sono parallele alle trisettrici degli assi principali sono detti piani ottaedrici (fig.22). Taledefinizione nasce dal fatto che disegnando 2 coppie di piani simmetrici rispetto all'origine degli assi per ciascunadelle 4 trisettrici si genera un ottaedro (sirnilmente a come, disegnando 3 coppie di piani simmetrici rispettoall'origine per ciascuna delle tre direzioni principali si genera un cubo).

Come visto nel precedente paragrafo, le trisettrici delle direzioni principali formano con gli assi principali angoliuguali di 54.77, per cui i versori n che identificano i piani corrispondenti hanno ciascuna componente pari an=..J(1/3)=O.5774 in valore assoluto. Utilizzando Ie equazioni (31) e (32) 0 (33), che consentono di ottenere Ietensioni per assegnata giacitura, si puo mostrare che Ie tensioni normali e tangenziali agenti sui piani ottaedrici(fig.22), dette tensioni ottaedriche, sono date dalle seguenti equazioni:

(1.61,62)La (62) p uo essere scritta anche come

(1.63)0, in coordinate cartesiane, come

(1.63b)E' interessante osservare che la O "h e la ' Z j , possono essere riscritte in funzione del primo e del secondo invariante

delle tensioni (29a,b) come segue:(1.64,65)

Un'altra caratteristica interessante delle tensioni ottaedriche riguarda il fatto che esse sono legate a valori medidelle tensioni agenti nel punto, valutati rispetto a tutte le giaciture, cioe considerando le direzioni che si ottengono alvariare degli angoli ()e in tutto illoro campo di definizione, In particolare, dalla (61) si osserva che la tensione O "he pari alla media delle tensioni principali O"med , mentre dalla seguente relazione

1 i 2' " i ' " 21 " . (,O) s inO d dO4 1 Z " 0 0 (1.66)si osserva che la tensione ' Z j , e pari al valor quadratico medio delle tensioni tangenziali che agiscono secondo tutte legiaciture.Tensore idrostatico, deviatorico e invariantiNel caso in cui le tre tensioni principali agenti in un punto del solido sono uguali e pari ad un valore costante 0"0 ,cioe si ha 0"1=0"2=0"3=0"0, e facile verificare che per qualunque giacitura n passante per ilpunto si ha O " .=O "O=O " h e'Tn='Zj,=O.uesto stato tensionale si definisce stato di tensione idrostatico.

Come si vedra nell'apposito capitolo, questo tipo di sollecitazione e importante nello sviluppo delle teorierelative alla resistenza dei materiali soggetti a tensioni, in quanto, in generale, i materiali possono sopportaretensioni idrostatiche estremamente rnaggiori di quelle monoassiali. Da questa osservazione sperimentale si ricava ilfatto che gli stati tensionali sono piu pericolosi quanto piu si differenziano rispetto a quello idrostatico. Qualunquestato tensionale puo essere scomposto nella somma di uno stato tensionale idrostatico e di un altro dato dalladifferenza tra 10stato di tensione originale e quello idrostatico stesso:

(1.67)

Nel caso in cui la tensione idrostatica scelta e pari alla media delle tensioni principali, ovvero alla tensioneottaedrica, cioe

3 = II = =Yh


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T Z X ]

Cerchi di Mohr tensioni!!!!!!

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