Universit degli Studi di Messina Facolt di Ingegneria A.A. 2006/2007

Statica e Sismica delle Costruzioni Murarie

Docente: Ing. Alessandro Palmeri

Lezione n. 3: Circonferenze di Mohr

Cerchio di Mohr Sia P un punto generico del continuo e z una generica retta passante per esso. Fissato un riferimento cartesiano {x, y, z}, siano n=[nx ny 0]T ed m=[mx my 0]T due versori ortogonali nel piano {x, y}. Il cerchio di Mohr consente di conoscere la tensione normale n e la componente della tensione tangenziale nm su uno qualunque degli elementi piani del fascio di sostegno z; ci una volta note le suddette tensioni su due qualunque piani ortogonali al fascio.2

tn nm my

P n

x

n

zmy nynx

mmx

y

n x

Cerchio di Mohr Se la coppia di versori {m, n} si sovrappone alla coppia di versori {i, j} degli assi x ed y mediante la rotazione oraria , le componenti del versore n si possono esprimere come segue:nx = cos() = my ; ny = sin() = mx ; n z = 0 = mz

Si ricavano cos le equazioni parametriche del cerchio di Mohr nel piano delle tensioni {n, nm}:n = n T n = x cos2 () + y sin 2 () + 2 xy sin()cos() = 1 [x + y ] + 1 [x y ]cos(2 ) + xy sin(2 ) 2 2 nm = m T n = [y x ]sin()cos() + xy cos2 () sin 2 () = 1 [x y ]sin(2 ) + xy cos(2 ) 2avendo utilizzato le identit:2 sin()cos() = sin(2 ) ; sin 2 () = 1 cos(2 ) 1 + cos(2 ) ; cos2 () = 3 2 2

Cerchio di Mohr Dopo semplici passaggi, si pu ricavare anche lequazione in forma implicita del cerchio di Mohr:2 x + y 2 x y 2 2 + nm = + xy n 2 2

nm r O n

da cui si possono evincere le coordinate del centro O: O

{

x + y 2

,0

}

ed la misura del raggio r:2 x y 2 r + xy 2

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Cerchio di MohrI punti del cerchio di Mohr rappresentano tutti i possibili stati di tensione sulle giaciture aventi normale n appartenente al piano {x, y}. Nel rappresentare il cerchio di Mohr si adottano le seguenti convenzioni: 1. la tensione normale n positiva se di trazione; 2. la componente della tensione tangenziale nm positiva se tende a far ruotare in senso orario lelemento di volume a cui applicata. Cos facendo alla rotazione oraria della giacitura di normale n corrisponde sul cerchio di Mohr una rotazione oraria 2 del punto An rappresentativo dello stato di tensione su tale giacitura.

y

y y m xy x +x

=0

n + x

m + n

nm

nm

n

n nm + = 2

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Cerchio di MohrCostruzione del cerchio di Mohr Note le componenti x, y e xy il cerchio di Mohr corrispondente al fascio di piani aventi per sostegno lasse z si pu costruire come segue: 1. Nel piano {n, nm} si individua il punto X{x, xy}, rappresentativo dello stato di tensione nel piano ortogonale allasse x. 2. Si individua il punto Y{y, xy}, rappresentativo dello stato di tensione nel piano ortogonale allasse y. 3. Si traccia il diametro XY. Si individua, quindi, il punto medio O (allintersezione con lasse delle ascisse), centro del cerchio di Mohr. 4. La retta orizzontale passante per il punto X e la retta verticale passante per il punto Y si intersecano nel punto N del cerchio di Mohr, detto polo delle normali. 5. Il punto M, diametralmente opposto sul cerchio di Mohr, detto polo delle giaciture e si trova allintersezione tra la retta verticale passante per il punto X e la retta orizzontale passante per il punto Y. 6

Cerchio di MohrPolo delle normali Lindividuazione del polo delle normali N consente di valutare la tensione normale n e la componente della tensione tangenziale nm su una generica giacitura di normale n=[cos() sin() 0]T, inclinata dellangolo rispetto allasse x. Infatti, conducendo da N una retta inclinata dellangolo rispetto allorizzontale si intercetta sul cerchio di Mohr il punto An{n, nm}, rappresentativo dello stato di tensione sulla giacitura ad essa ortogonale (di normale n). Polo delle giaciture Analogamente, conducendo da M una retta inclinata dellangolo rispetto alla verticale si intercetta sul cerchio di Mohr il punto An{n, nm}, rappresentativo dello stato di tensione sulla giacitura ad essa parallela.7

nm

Cerchio di MohrjY { y , xy }

A n { n , nm }

y

O

2

n

n

y xy xx N

iX { x ,- xy }8

nm

Cerchio di Mohr

j

Y { y , xy }

M

O2 A n { n , nm }

n

NX { x ,- xy }

n

i

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Cerchio di MohrDirezioni delle tensioni normali estreme possibile determinare graficamente le giaciture su cui, al variare dellangolo , si hanno le tensioni normali massima 1 e minima 2. Queste giaciture, in cui risulta nm=0, sono ortogonali ai segmenti che congiungono il polo delle normali N con i punti A1{1, 0} ed A2{2, 0} in cui il cerchio di Mohr interseca lasse delle ascisse. Direzioni delle tensioni tangenziali massime anche possibile determinare le giaciture su cui si ha la tensione tangenziale massima max=r/2. Queste giaciture sono ortogonali ai segmenti che congiungono il polo delle normali N con i punti A3{(x+y)/2, max} ed A4{(x+y)/2, max}.

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nm

Cerchio di Mohr

2

1

Y { y , xy }

n2OA 2 { 2 , 0}

n1A 1 { 1 , 0}

n

N

X { x ,- xy }

11

nm

Cerchio di Mohr n3

m axY { y , xy } A3

{

x

+ y 2

, m ax

}

O

n

NA4

X { x ,- xy } , m ax

{

x

+ y 2

}

n4

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Cerchio di Mohr z Se la retta z, sostegno del fascio di piani di normale n, coincide con una direzione principale di tensione, allora le tensioni normali massima 1 e minima 2 fornite dal cerchio di Mohr al variare dellangolo , sono tensioni principali. Solo cos, infatti, risulta nz=0: nella giacitura di normale n, cio, risulta nulla la componente della y tensione tangenziale parallela alla retta z.

z m n nm nm m

x

n

Si definiscono, quindi, cerchi principali di Mohr quelli relativi ai fasci di piani che si appoggiano alle direzioni principali di tensione. In questo caso le tensioni n e nm descrivono completamente il vettore tensione: tn = n n + m nm.13

Cerchio di MohrSiano , , e le tre tensioni principali nel generico punto P del continuo. possibile costruire nel piano {n , nm} i tre cerchi principali di Mohr, ciascuno dei quali relativo alle tre direzioni principali di tensione , , e . I tre cerchi hanno centro nei punti: O1{ +,0}, O2{+,0} ed O3{+,0} e, rispettivamente, hanno raggio: r1 /2, r2 /2 ed r3 /2. Larea delimitata dai tre cerchi principali di Mohr si chiama arbelo di Mohr (dal nome di un antico attrezzo artigianale greco per la lavorazione del cuoio, che aveva la lama di forma simile). Si dimostra che lo stato tensionale in termini di tensione normale n e di tensione tangenziale nm su una giacitura di normale n comunque orientata nello spazio, risulta descritto da un punto interno a questa regione.14

nm

Cerchio di Mohr

r2O2

r1 O 3O1

n

r3

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Cerchio di MohrStato tensionale piano = 0

Stato tensionale idrostatico

= = 0

Stato tensionale monoassiale = = 0 = 0

Stato tensionale cilindrico

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z

Cerchio di MohrSi vogliono tracciare i cerchi principali di Mohr per una parete muraria soggetta a: peso proprio; carichi verticali trasmessi dalle strutture orizzontali (solai e copertura). I paramenti laterali sono scarichi. La parete snella, nel senso che lo spessore b piccolo rispetto allaltezza h: b h.

h b

xy

Si assimila la parete ad un continuo omogeneo.

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Cerchio di MohrCon buona approssimazione si pu assumere che in tutti i punti della muratura la tensione sul piano di normale x sia nulla: x=xy =zz=0. Le componenti di tensione non nulla sono, quindi, le tensioni normali y e z, nonch la tensione tangenziale yz. Essendo xy =zz=0, la tensione x= tensione principale. Inoltre, essendo x=0, lo stato tensionale piano. Di conseguenza, il cerchio di Mohr tracciato attraverso le componenti di tensione y, z, e yz un cerchio principale, e consente la determinazione delle altre due tensioni principali e . Il disegno degli altri due cerchi principali immediato, dovendo passare per i punti A {,0} e A{,0} e per A{0,0}, coincidente con lorigine degli assi. Infine, spesso le componenti di tensione y, e yz risultano trascurabili rispetto alla tensione normale z: questo perch i carichi sono on genere verticali e pressoch costanti ad una data quota.18

Cerchio di MohrSulla base delle precedenti considerazioni, lo stato tensionale nella parete muraria in esame si presenta in prima approssimazione come monoassiale, completamente definito dalla sola componente normale di compressione z