Diploma Teledidattico in Telecomunicazioni: Esercitazioni dal...

Diploma Teledidattico in Telecomunicazioni:Esercitazioni dal corso di Trasmissione numerica I

Guido MontorsiPolitecnico di Torino - Dipartimento di Elettronica

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11 gennaio 2001

Indice

1 Vettori e Segnali 71.1 Procedura di Gram-Schmidt (GS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 I segnali visti come vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Costellazioni di segnali 132.1 Funzione del modulatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Energia media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3 Energia media per bit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4 Distanza minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.5 Approssimazione di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Probabilita di errore su canale AWGN 213.1 Il decisore ottimo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2 Il criterio di massima verosimiglianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3 Probabilita di errore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4 Confronto tra modulazioni in banda base su canale AWGN 274.1 Definizione della funzioneQ(�) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.2 Modulazione binaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.3 Modulazione M-PAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.4 Modulazione con M segnali ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.5 Modulazione con M segnali biortogonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.6 Limite dell’unione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5 Interferenza intersimbolica 335.1 Il canale a banda limitata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.2 Il segnale numerico PAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.3 Distorsione di picco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6 Analisi spettrale dei segnali numerici 396.1 Lo spettro di potenza del segnale PAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396.2 Spettro di potenza per sequenze incorrelate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406.3 Spettro di potenza per sequenze correlate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406.4 La precodifica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

7 Progetto di segnali a banda limitata 457.1 Il criterio di Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467.2 Il filtro a coseno rialzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467.3 Progetto del filtro di trasmissione e ricezione per canale distorcente. . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3

4 INDICE

8 Equalizzazione 518.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528.2 Equalizzatori non lineari a massima verosimiglianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528.3 Equalizzatori Lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

8.3.1 L’equalizzazione “zero-forcing” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528.3.2 L’equalizzazione MSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538.3.3 L’algoritmo del gradiente stocastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

9 Ripasso 59

10 Modulazioni ASK e PSK 6710.1 Modulazione di ampiezza della portante (M-ASK) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6810.2 Modulazione di fase della portante (M-PSK) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

11 Modulazioni DPSK e QAM 7311.1 Modulazione differenziale di fase (DPSK) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7411.2 Modulazione di ampiezza in quadratura (QAM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

12 Modulazioni MFSK e confronto tra modulazioni 8112.1 Modulazione di frequenza (M-FSK) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8212.2 Modulazione di frequenza non coerente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

13 Sincronizzazione 91

A Test di accertamento 97

B Test di accertamento del 29 Maggio 1996 101

C Test di accertamento del 16 Giugno 1998 105

INDICE 5

LIBRI DI TESTO:

Communication Systems Engineering (CSE)John Proakis - Masoud SalehiPrentice Hall

Teoria della Trasmissione Numerica (TTN)Sergio Benedetto – Ezio Biglieri - Valentino CastellaniGruppo Editoriale Jackson

6 INDICE

Capitolo 1

Vettori e Segnali

RIFERIMENTO LIBRO DI TESTO: Communication System Engineering (CSE): pagg.48-55, 444-453

ARGOMENTI DELL’ESERCITAZIONE:

1. Procedura di Gram-Schmidt per l’ortogonalizzazione di un insieme di vettori

2. I segnali visti come vettori

3. Norma ed energia di un segnale

4. Prodotto scalare di due segnali

5. Base ortonormale per un insieme finito di segnali

7

8 CAPITOLO 1. VETTORI E SEGNALI

1.1 Procedura di Gram-Schmidt (GS)

Dato un insieme di M vettori ai, e possibile trovare una base di N vettori ortonormali f jgN1 con N � M taleper cui:

ai =

NXj=1

�i;j j

utilizzando la seguente procedura

1. Il primo vettore a1 viene diviso per la sua norma jja1jj per originare il primo versore 1:

1 =a1

jja1jj

2. Al secondo vettore a2 viene sottratto il primo versore moltiplicato per il loro prodotto scalare.

v2 = a2 � (a2 � 1) 1 2 =

v2

jjv2jj

3. La procedura si ripete per tutti i possibili vi fino a M

vm = am �m�1Xi=1

(am � i) i

m =vm

jjvmjj

Si noti che i vettori vi generati in questa procedura possono essere nulli. Questo capita precisamente quando ilvettore ai e esprimibile come combinazione lineare dei versori precedentemente ottenuti.

La procedura GS si puo applicare a insieme di vettori per i quali siano stati definite una norma jj � jj ed unprodotto scalare.

Nel caso familiare di spazio vettoriale su l numeri reali abbiamo le seguenti definizioni:

Prodotto scalare:

a � b 4=

lXi=1

aibi

Norma:

jjajj 4=vuut lX

i=1

a2i =pa � a

dove a = [a1; : : : ; al] e b = [b1; : : : ; bl].

1.2 I segnali visti come vettori

I segnali possono essere visti come vettori in uno spazio a infinite dimensioni. Similmente ai vettori quindi sipossono trovare basi di funzioni che generano un insieme dato di segnali applicando la procedura GS. Per i segnalisi definiscono le seguenti operazioni di prodotto scalare e norma:

Prodotto scalare:

hx(t); y(t)i 4=Z 1

�1x(t)y�(t)dt

1.2. I SEGNALI VISTI COME VETTORI 9

Norma:

jjx(t)jj 4=sZ 1

�1jx(t)j2dt

Si noti che la norma di un segnale x(t) non e altro che la radice quadrata della sua energia E x.

Esercizio 1.1 (CSE pag.51 n.2.2.1):Siano a1 = 2e1 + e2 , a2 = e1 + e2 + e3 e a3 = e2 + e3 vettori in uno spazio tridimensionale. Utilizzando laprocedura GS trovare una base ortonormale per lo spazio generato da questi vettori. �Soluzione esercizio 1.1:Si veda soluzione pag.51-53 CSE.|

Esercizio 1.2 (CSE pag.446 n.7.1.2):Applicare la procedura GS all’insieme di segnali di Figura 1.1. �

0

1

2

s1(t)

t 0

1

3 t

s2(t)

-1

0

1

2

s3(t)

t 0

1

3 t

s4(t)

-1

Figura 1.1:

Soluzione esercizio 1.2:Si veda soluzione pag.446-447 CSE.|

Esercizio 1.3 (CSE pag.513 n.7.3):Si considerino le tre forme d’onda n(t) di Figura 1.2.

1. Dimostrare che sono ortonormali.

2. Esprimere la forma d’onda x(t) come combinazione lineare pesata di n(t); n = 1; 2; 3, se:

x(t) =

8<:

�1; 0 � t � 11; 1 � t � 3

�1; 3 � t � 4

e determinare i pesi.

�Soluzione esercizio 1.3:


0

1/2

ψ1(t)

0

1/2

4

t

0

1/2

4 t

-1/2

ψ2(t)

ψ3(t)

t4

Figura 1.2:

1. Per mostrare che le forme d’onda n(t), n = 1; : : : ; 3 sono ortogonali dobbiamo mostrare che il loroprodotto scalare e nullo: Z 1

�1 m(t) n(t)dt = 0 m 6= n

ovviamente:

c12 =

Z 1

�1 1(t) 2(t)dt =

Z 4

0

1(t) 2(t)dt

=

Z 2

0

1(t) 2(t)dt+

Z 4

2

1(t) 2(t)dt

=1

4

Z 2

0

dt� 1

4

Z 4

2

dt =1

4� 2� 1

4� (4� 2) = 0

similmente abbiamo,

c13 =

Z 1

�1 1(t) 3(t)dt =

Z 4

0

1(t) 3(t)dt

=1

4

Z 1

0

dt� 1

4

Z 2

1

dt� 1

4

Z 3

2

dt+1

4

Z 4

3

dt = 0

e

c23 =

Z 1

�1 2(t) 3(t)dt =

Z 4

0

2(t) 3(t)dt

=1

4

Z 1

0

dt� 1

4

Z 2

1

dt+1

4

Z 3

2

dt� 1

4

Z 4

3

dt = 0

Percio, i segnali n(t) sono ortogonali.

2. Determiniamo prima i pesi xn:

xn =

Z 1

�1x(t) n(t)dt; n = 1; 2; 3

x1 =

Z 4

0

x(t) 1(t)dt = �1

2

Z 1

0

dt+1

2

Z 2

1

dt� 1

2

Z 3

2

dt+1

2

Z 4

3

dt = 0

1.2. I SEGNALI VISTI COME VETTORI 11

x2 =

Z 4

0

x(t) 2(t)dt =1

2

Z 4

0

dt = 0

x3 =

Z 4

0

x(t) 3(t)dt = �1

2

Z 1

0

dt� 1

2

Z 2

1

dt+1

2

Z 3

2

dt+1

2

Z 4

3

dt = 0

Come osservato, x(t) e ortogonale alle forma d’onda n(t); n = 1; 2; 3 e non puo essere rappresentato comecombinazione lineare di queste funzioni.

|

Esercizio 1.4 (CSE pag.715 n.7.6):Determinare un insieme di funzioni ortonormali sufficiente per generare i segnali di Figura 1.3. �

2

0

01 t

t3

-2

0

0

2

23

2

t t

s1(t)

s2(t)

s3(t)s4(t)

Figura 1.3:

Soluzione esercizio 1.4:Un insieme di funzioni ortonormali puo essere trovato applicando la procedura di GS. Tuttavia, considerando lasemplicita delle forme d’onda in questione si puo facilmente individuare la seguente base

1(t) =

�1 0 � t < 10 otherwise

2(t) =


3(t) =


Che da origine alla seguente rappresentazione vettoriale dei segnali considerati:

s1 = [2 2 2]

s2 = [2 0 0]

s3 = [0 � 2 � 2]

s4 = [2 2 0]

Si noti che s3(t) = s2(t)� s1(t) e quindi la dimensionalita delle forme d’onda e 3. |

Esercizio 1.5 (CSE pag.- n.-):Mostrare che la correlazione di due punti adiacenti corrispondenti ai vertici di un ipercubo N -dimensionale concentro nell’origine e data da

=N � 2

2


e la loro distanza Euclidea ed = 2

pEs=N

�

Capitolo 2

Costellazioni di segnali, Energia media eDistanza minima


1. Funzione del modulatore

2. Energia media di una costellazione

3. Distanza minima di una costellazione

4. Un Esempio: la modulazione PAM

5. Approssimazione di un segnale

2.1 Funzione del modulatore

Il modulatore in un sistema di trasmissione numerico ha il compito di associare ai simboli di ingresso, provenientidalla sorgente, segnali che si adattino alle caratteristiche del canale. Gli scopi sono:

1. Minimizzare la probabilita di errore in ricezione

2. Minimizzare la potenza impiegata

3. Minimizzare la banda necessaria

I simboli in ingresso appartengono ad un insieme finito di l elementi ed i segnali generati dal modulatoreappartengono ad un insieme finito di M = lk elementi. Nella maggior parte dei casi di interesse pratico, l’alfabetoin ingresso e binario (l = 2) e l’alfabeto di segnali del modulatore ha cardinalita che e una potenza di 2 (M = 2 k).

Poiche il modulatore genera un insieme finito di M segnali possiamo sempre applicare la procedura GS perdeterminare una base di N �M versori con la quale rappresentare tali segnali

si(t) =

NXj=1

�i;j j(t)

Il numeroN viene chiamato “dimensionalita” della modulazione.

Modulazione di ampiezza (PAM):Quando N = 1 abbiamo la modulazione di ampiezza:

si(t) = �i (t) i = 1; : : : ;m

13

14 CAPITOLO 2. COSTELLAZIONI DI SEGNALI

2.2 Energia media

L’energia media di una certa modulazione e data da:

Eav =

MXi=1

jjsijj2P (si)

e rappresenta l’energia del segnale trasmesso. Supponendo che ogni segnale della modulazione sia utilizzato conla stessa frequenza si ha:

Eav , 1

M

MXi=1

jjsijj2

2.3 Energia media per bit

Per confrontare modulazioni con cardinalita diverse si definisce anche la energia media per bit:

Eb ,1

log2MEav =

1

M log2M

MXi=1

jjsijj2

2.4 Distanza minima

Il parametro fondamentale, che influenza le prestazioni di una costellazione e la minima distanza euclidea tra tradue segnali:

d2min , mini;j

jjsi � sj jj2

Il parametro, normalizzato rispetto all’energia media per bit della modulazione, consente di confrontare modu-lazioni con cardinalita diverse:

Æ2min ,mini;j jjsi � sj jj2

Eb

2.5 Approssimazione di funzioni

La forma d’onda ricevuta r(t) non appartiene in genere all’insieme di forme d’onda generate dal modulatore inquanto queste vengono distorte dal canale. Il compito del demodulatore e di stimare quale segnale sia effettivamen-te stato trasmesso. Per farlo e necessario calcolare la distanza della forma d’onda ricevuta da ognuno dei possibilisegnali del modulatore. Come prima operazione si approssima il segnale ricevuto r(t) con la sua “proiezione” r(t)sullo spazio dei segnali generato dall’insieme dei segnali del modulatore.

r(t) =

nXj=1

cj j(t)

cj = hr(t); j(t)i =Z 1

�1r(t) j(t)dt

L’errore quadratico residuo e la distanza del segnale approssimato dal segnale originale:

E =

Z 1

�1[r(t) � r(t)]

2dt

per costruzione questa e pari alla differenza delle energie dei due segnali:

E =

Z 1

�1jjr(t)jj2dt�

mXj=1

c2j

2.5. APPROSSIMAZIONE DI FUNZIONI 15

d d d dd

0

Figura 2.1: M-PAM modulaion

Esercizio 2.1 (CSE pag.513 n.7.1):Si determini l’energia media di un insieme di M segnali PAM della forma:

sm(t) = sm (t); m = 1; 2; : : : ;M 0 � t � T

dovesm =

pEgAm; m = 1; 2; : : : ;M

I segnali sono equiprobabili con ampiezze simmetriche intorno allo zero ed equispaziati con distanza d tra ampiezzeadiacenti come mostrato in Figura 2.1.

�Soluzione esercizio 2.1:Le ampiezze Am assumono i valori:

Am = (2m� 1�M)d

2; m = 1; : : : ;M

Percio l’energia media e:

Eav =1

M

MXm=1

s2m =d2

4MEg

MXm=1

(2m� 1�M)2

=d2

4MEg

MXm=1

[4m2 + (M + 1)2 � 4m(M + 1)]

=d2

4MEg 4

MXm=1

m2 +M(M + 1)2 � 4(M + 1)

MXm=1

m

!

=d2

4MEg�4M(M + 1)(2M + 1)

6+M(M + 1)2 � 4(M + 1)

M(M + 1)

2

�

=M2 � 1

3

d2

4Eg

|

Esercizio 2.2 (CSE pag.514 n.7.4):Si usino le funzioni ortonormali della Figura 1.2 per approssimare la funzione:

x(t) = sin(�t=4)

sull’intervallo 0 � t � 4 con la combinazione lineare:

x(t) =3X

n=1

cn n(t)

1. Determinare i coefficienti fcng dell’espansione che minimizzano l’errore quadratico medio:

E =

Z 4

0

[x(t) � x(t)]2dt


2. Determinare l’errore quadratico medio residuo Emin.


1. I coefficienti dell’espansione fcng, che minimizzano l’errore quadratico medio sono i prodotti scalari dellafunzione x(t) con le funzioni ortonormali i considerate:

cn =

Z 1

�1x(t) n(t)dt =

Z 4

0

sin�t

4 n(t)dt

Percio,

c1 =

Z 4

0

sin�t

4 1(t)dt =

1

2

Z 2

0

sin�t

4dt� 1

2

Z 4

2

sin�t

4dt

= � 2

�cos

�t

4

��20

+2

�cos

�t

4

��42

= � 2

�(0� 1) +

2

�(�1� 0) = 0

Similmente,

c2 =

Z 4

0

sin�t

4 2(t)dt =

1

2

Z 4

0

sin�t

4dt

= � 2

�cos

�t

4

��40

= � 2

�(�1� 1) =

4

�

e

c3 =

Z 4

0

sin�t

4 3(t)dt

=1

2

Z 1

0

sin�t

4dt� 1

2

Z 2

1

sin�t

4dt+

1

2

Z 3

2

sin�t

4dt� 1

2

Z 4

3

sin�t

4dt = 0

Si noti che c1 e c3 possone essere determinati verificando che sin �t4 e pari rispetto all’asse x = 2 e 1(t),

3(t) sono dispari rispetto allo stesso asse.

2. L’errore quadratico medio residuoEmin si trova come differenza tra la norma di x(t) e la somma dei quadratidei coefficienti ci:

Emin =

Z 1

�1jx(t)j2dt�

3Xi=1

c2i

Percio,

Emin =

Z 4

0

�sin

�t

4

�2

dt��4

�

�2

=1

2

Z 4

0

�1� cos

�t

2

�dt� 16

�2

= 2� 1

�sin

�t

2

��42

� 16

�2= 2� 16

�2� 0:38

|

Esercizio 2.3 (CSE pag.515 n.7.5):Si considerino le quattro forme d’onda di Figura 2.2.

1. Determinare la dimensionalita delle forme d’onda ed una base di funzioni.


2

0

04

tt

4

-2

1

0

0

-2

1

2

43

1-1

1

t t

s1(t) s2(t)

s3(t) s4(t)

Figura 2.2:

2. Usare la base di funzioni per rappresentare le quattro forme d’onda come vettori s 1; s2; s3; s4

3. Determinare la distanza minima tra qualsiasi coppia di vettori.


1. Utilizziamo come base per le nostre funzioni l’insieme:

1(t) =


2(t) =


3(t) =


4(t) =


In notazione matriciale, le quattro forme d’onda possono essere rappresentate come0BB@

s1(t)s2(t)s3(t)s4(t)

1CCA =

0BB@

2 �1 �1 �1�2 1 1 01 �1 1 �11 �2 �2 2

1CCA0BB@

1(t) 2(t) 3(t) 4(t)

1CCA

Il rango della matrice di trasformazione e 4 e percio la dimensionalita delle forme d’onda considerate e 4.

2. I vettori che rappresentano le forme d’onda considerate corrispondono alle righe della matrice di trasforma-zione e quindi

s1 = [2 � 1 � 1 � 1]

s2 = [�2 1 1 0]

s3 = [1 � 1 1 � 1]

s4 = [1 � 2 � 2 2]

3. Le distanze di;j tra i segnali si(t) ed sj(t) si trovano valutando la norma del segnale differenza:

d1;2 =pjs1 � s2j2 =

pj[4 � 2 � 2 � 1]j2 =

p25


d1;3 =pjs1 � s3j2 =

pj[1 0 � 2 0]j2 =

p5

d1;4 =pjs1 � s4j2 =

pj[1 1 1 � 3]j2 =

p12

d2;3 =pjs2 � s3j2 =

pj[�3 2 0 1]j2 =

p14

d2;4 =pjs2 � s4j2 =

pj[�3 3 3 � 2]j2 =

p31

d3;4 =pjs3 � s4j2 =

pj[0 1 3 � 3]j2 =

p19

La distanza minima tra qualsiasi coppia di segnali e quindi dmin =p5.

|

Esercizio 2.4 (CSE pag.– n.–):Una sorgente genera simboli ternari (A;B;C) a velocita Rs simboli al secondo. Si vogliono confrontare tra loroqueste due costellazioni bidimensionali:

C1 Un segnale per simbolo; i 3 segnali hanno coordinate

~s1 =pE[1; 0]

~s2 =pE[�1=2;

p3=2]

~s3 =pE[�1=2;�

p3=2]

C2 Un segnale per ogni coppia di simboli; i 9 segnali hanno coordinate

~sik = ~si + �~sj i; k = 1; 2; 3

con

~s1 =pE[1; 0]

~s2 =pE[�1=2;

p3=2]

~s3 =pE[�1=2;�

p3=2]

e � va scelto in modo da massimizzare la distanza minima a parita di energia media della costellazione.

1. Si indichi quale delle due costellazioni e piu conveniente in termini di occupazione di banda.

2. Si stimino le probabilita di errore sul simbolo ternario (A;B;C) per le due costellazioni, in funzione diE0=N0 dove E 0 indica l’energia media di un simbolo ternario (se il sistema fosse binario occorrerebbevalutare la probabilita di errore sul bit Pb(e) in funzione dell’energia del bit Eb)

3. E possibilie usare una codifica di Gray per la costellazione C2?

4. Quale delle due costellazioni e piu conveniente in termini di potenza necessaria a garantire una data proba-bilita ?

�

Esercizio 2.5 (CSE pag.– n.–):Si considerino le quattro costellazioni QAM nella figura sottostante. La minima distanza tra due punti adiacenti sia2A. Determinare la potenza media per ciascuna costellazione assumendo che i segnali siano equiprobabili. Qualecostellazione e piu efficiente in termini di energia?


2A2A

2A

2A

2A

2A

2A

�

Esercizio 2.6 (CSE pag.– n.–):Si consideri la modulazione in Figura 2.3, costituita da 8 segnali in uno spazio a due dimensioni:

π/4

ρ1

Figura 2.3:

1. Calcolare un’espressione per la distanza minima dmin della costellazione in funzione del parametro �, con� > 1.

2. Calcolare un’espressione per l’energia mediaEav della costellazione in funzione del parametro �, con � > 1.

3. Determinare il valore della costante � che massimizza il rapporto

d2min

Eav

4. Confrontarla con il sistema in cui � = 1 (8-PSK).

�


Esercizio 2.7 (CSE pag.– n.–):Si consideri un insieme di M segnali ortogonali sm(t); 1 � m � M , 0 � t � T , tutti con la stessa energia E .Definiamo un nuovo insieme di M forme d’onda come segue:

s0m(t) = sm(t)� 1

M

MXk=1

sk(t) 1 � m �M 0 � t � T

Mostrare che gli M segnali fs0m(t)g hanno la stessa energia, data da

E 0 = (M � 1)E=M

e sono correlati con coefficiente di correlazione:

mn =1

EZ T

0

s0m(t)s0n(t)dt = � 1

M � 1

�

Capitolo 3

Probabilita di errore su canale AWGN

RIFERIMENTO LIBRO DI TESTO: Communication System Engineering (CSE): pagg.488-484, 488-495


1. Il decisore ottimo.

2. Il criterio di massima verosimiglianza.

3. Probabilia di errore.

3.1 Il decisore ottimo.

Il ricevitore per un sistema di trasmissione numerica e formato da due sottoblocchi. Nel primo blocco , chechiamiamo demodulatore, il segnale ricevuto r(t) viene proiettato sullo spazio N -dimensionale dei segnali dellamodulazione tramite un banco di N filtri adattati seguiti da N campionatori.

L’uscita del demodulatore r puo essere rappresentata come un vettore di N componenti che contiene tuttal’informazione necessaria (statistica sufficiente) per decidere sul segnale trasmesso. Quest’ultima operazione vienerealizzata dal decisore.

Per il canale gaussiano il vettore r e in realta la somma del segnale trasmesso s i con il rumore n :

n = (n1; : : : ; nN ) nj =

Z T

0

n(t) j(t)dt

si = (�i;1; : : : ; �i;N )

r = (�i;1 + n1; : : : ; �i;N + nN )

Le componenti del vettore di rumore sono v.c. Gaussiane statisticamente indipendenti con valor medio nullo evarianza �2 = N0

2

Il rapporto segnale rumore per una certa costellazione di segnali all’uscita del filtro adattato j-esimo vale:

SNRj =

PMi=1 P (si)�

2i;j

N0=2

Nel caso di segnali equiprobabili P (si) = 1=M e otteniamo

SNRj =

PMi=1 �

2i;j

MN0=2

21

22 CAPITOLO 3. PROBABILITA DI ERRORE SU CANALE AWGN

3.2 Il criterio di massima verosimiglianza

La regola generale per la decisione e il Criterio di massima probabilit a a posteriori (Inglese=“Maximum APosteriori” MAP):

s = argmaxsj

f(r; sj) = argmaxsj

f(rjsj)P (sj) (3.1)

che prevede la conoscenza delle probabilita a priori dei simboli in trasmissione.Questa regola divide lo spazio dei segnali in regioni di decisione. La regione di decisione relativa al segnale s i

e costituita da tutti i punti dello spazio tali per cui

Ri =

(r : si = argmax

sj

f(r; sj)

)

Nel caso in cui i segnali trasmessi siano equiprobabili ed il canale sia AWGN la regione di decisioneR i e sem-plicemente l’insieme dei punti che giacciono piu vicini al segnale s i che a qualsiasi altro punto della costellazione.Il criterio che considera i segnali in trasmissione equiprobabili viene chiamato Criterio di Massima Verosimiglianza(Inglese=“Maximum Likelihood ” ML):

s = argmaxsj

f(rjsj) (3.2)

3.3 Probabilita di errore

La probabilta di errore media e data da:

P (e) =MXi=1

P (si)P (r 62 Rijsi trasmesso)

Esercizio 3.1 (CSE pag. n.):Un sistema di comunicazioni impiega i segnali:

s0(t) = 0; 0 � t � T

s1(t) = A; 0 � t � T

per trasmettere l’informazione. Questo sistema di modulazione e chiamato On-Off Keying OOK. Il demodulatorecalcola la correlazione del segnale ricevuto r(t) con l’unico versore (t) che descrive lo spazio dei segnali dellamodulazione secondo lo schema gia visto.

1. Determinare il decisore ottimo per il canale AWGN e la soglia ottima, assumendo che i segnali in trasmis-sione siano equiprobabili.

2. Determinare la probabilita di errore in funzione del rapporto segnale rumore SNR. Confrontare i risultatiottenuti con la modulazione antipodale.


1. Il segnale ricevuto puo essere scritto come:

r(t) =

�n(t) se si trasmette s0(t)

A+ n(t) se si trasmette s1(t)

I campioni all’uscita del correlatore sono quindi:

r = sm + n; m = 0; 1

3.3. PROBABILITA DI ERRORE 23

dove s0 = 0, s1 = ApT e il rumore n e una variabile casuale Gaussiana con valor medio nullo e varianza

pari a:

�2n = E

"1pT

Z T

0

n(t)dt1pT

Z T

0

n(�)d�

#

=1

T

Z T

0

Z T

0

E[n(t)n(�)]dtd�

=N0

2T

Z T

0

Z T

0

Æ(t� �)dtd� =N0

2

La densita di probabilita dei campioni all’uscita del demodulatore e:

f(rjs0) = 1p�N0

e�r2

N0

f(rjs1) = 1p�N0

e� (r�A

pT)2

N0

Poiche i segnali sono equiprobabili, il decisore ottimo decide in favore di s 0 se:

PM(r; s0) = f(rjs0) > f(rjs1) = PM(r; s1)

altrimenti decide in favore di s1. La regola di decisione puo essere espressa come :

PM(r; s0)

PM(r; s1)= e

(r�ApT )2�r2N0 = e

(2r�ApT)A

pT

N0

s0><s1

1

ovvero

r

s1><s0

1

2ApT

Quindi la soglia ottima e 12ApT .

2. La probabilita di errore media e:

P (e) =1

2P (ejs0) + 1

2P (ejs1)

=1

2

Z 1

12A

pT

f(rjs0)dr + 1

2

Z 12A

pT

�1f(rjs1)dr

=1

2

Z 1

12A

pT

1p�N0

e�r2

N0 dr +1

2

Z 12A

pT

�1

1p�N0

e�(r�A

pT )2

N0 dr

=1

2

Z 1

12

q2N0

ApT

1p2�e�

x2

2 dx+1

2

Z � 12

q2N0

ApT

�1

1p2�e�

x2

2 dx

= Q

�1

2

r2

N0ApT

�= Q

hpSNR

idove

SNR =12A

2T

N0

Percio la modulazione OOK richiede un energia doppia rispetto al PAM antipodale per ottenere le stesseprestazioni in termini di probabilita di errore corrispondenti a circa 3 dB.


|

Esercizio 3.2 (CSE pag. n.):Un sistema di comunicazioni che impiega una modulazione PAM binaria utilizza impulsi di durata T b ed ampiezze�A per trasmettere informazione digitale ad una cadenza (Inglese:“Rate”)R = 10 5 bits/sec. Se la potenza spettraledi rumore del canale AWGN vale N0=2 con N0 = 10�2 W/Hz, si determini il valore di A richiesto per ottenereuna probabilita di errore P2 = 10�6. �Soluzione esercizio 3.2:Poiche la cadenza in trasmissione e R = 105 bits/sec, l’intervallo Tb vale 10�5 sec. La probabilia di errore in unsistema PAM binario e:

P (e) = Q

"r2EbN0

#

dove l’energia per bit e Eb = A2Tb. Se poniamo P (e) = P2 = 10�6, otteniamo:r2EbN0

= 4:75 =) Eb = 4:752N0

2= 0:112813

PercioA2Tb = 0:112813 =) A =

p0:112813� 105 = 106:21

|

Esercizio 3.3 (CSE pag. n.):Tre segnali s1, s2, ed s3 sono trasmessi su di un canale AWGN con densita spettrale di potenza N0=2. I messaggisono:

s1(t) =

�1 0 � t � T0 otherwise

s2(t) = �s3(t) =

8<:

1 0 � t � T2

�1 T2 � t � T

0 otherwise

1. Qual e la dimensionalita dello spazio dei segnali?

2. Trovare un base appropriata (non e necessario applicare la procedura GS)

3. Disegnare la costellazione di segnali per questo problema

4. Derivare e disegnare le regioni di decisione R1, R2 ed R3.

5. Quale dei tre segnali e piu vulnerabile agli errori e perche? In altre parole, quale delle p(errorejs i trasmesso),i = 1; 2; 3 e piu grande?


1. Poiche s2(t) = �s3(t) la dimensionalita dello spazio dei segnali e due.

2. Come base per lo spazio dei segnali consideriamo le due funzioni:

1(t) =

� 1pT

0 � t � T

0 otherwise 2(t) =

8><>:

1pT

0 � t � T2

� 1pT

T2 � t � T

0 otherwise

3.3. PROBABILITA DI ERRORE 25

(0, )T

( ,0 )

(0, - )

T

T

Figura 3.1:

R1

R2

R3

Figura 3.2:

La rappresentazione vettoriale dei tre segnali e quindi:

s1 = [pT ; 0]

s2 = [0;pT ]

s3 = [0;�pT ]

3. La costellazione di segnali e disegnata in figura 3.1

4. Le tre possibili uscite dei filtri adattati, corrispondenti ai tre possibili segnali sono (r 1; r2) = (pT +

n1; n2); (n1;pT + n2) e (n1;�

pT + n2), dove n1 e n2 sono variabili gaussiane con valor medio nul-

lo e varianza N0=2. Se tutti i segnali sono equiprobabili la regola di decisione ottima sceglie il segnale chemassimizza le “metriche”:

C(r � si) = 2r � si � jsij2

Poiche jsij2 e lo stesso per ogni iC 0(r � si) = r � si

Percio la regione di decisione ottima per s1 e l’insieme di punti r tali per cui r � s1 > r � s2 e r � s1 > r � s3.Poiche

r � s1 =pTr1

r � s2 =pTr2

r � s3 = �pTr2

le condizioni precedenti possono essere scritte come:

r1 > r2 e r1 > �r2Nella stessa maniera si trovanoR2 ed R3 come in Figura 3.2


5. Se i segnali sono equiprobabili allora,

P (ejs1) = P (jr� s1j2 > jr� s2j2js1) + P (jr� s1j2 > jr� s3j2js1)Quando si trasmette s1 allora r = [

pT + n1; n2] e quindi,P (ejs1) si puo scrivere come:

P (ejs1) = P (n2 � n1 >pT ) + P (n1 + n2 < �

pT )

Considerando che n1; n2 sono v.c. Gaussiane statisticamente indipendenti, a valor medio nullo e convarianza N0

2 , le variabil casuali x = n1 � n2 e y = n1 + n2 sono Gaussiane con varianza N0. Allora,

P (ejs1) =1p

2�N0

Z 1pT

e� x2

2N0 dx+1p

2�N0

Z �pT

�inftye� y2

2N0 dy

= Q

"rT

N0

#+Q

"rT

N0

#= 2Q

"rT

N0

#

Quando si trasmette s2 allora r = [n1;pT + n2] e

P (ejs2) = P (n1 � n2 >pT ) + P (n2 < �

pT )

= Q

"rT

N0

#+Q

"r2T

N0

#

Similmente, visto la simmetria del problema otteniamo

P (ejs3) = P (ejs2) = Q

"rT

N0

#+Q

"r2T

N0

#

Poiche Q[�] e una funzione monotonicamente decrescente

Q

"r2T

N0

#< Q

"rT

N0

#

e quindi la probabilta di errore P (ejs1) e piu grande di P (ejs2) e di P (ejs3). Il messaggio s1 e piu vulne-rabile agli errori. La stessa conclusione si poteva trarre direttamente osservando che la regione di decisioneR1 ha un area piu piccola rispetto ad R2 e R3.

|

Esercizio 3.4 (CSE pag. n.):Un segnale vocale e campionato ad una frequenza di 8 kHz, compresso logaritmicamente e codificato in formatoPCM usando 8 bit per campione. I dati PCM sono trasmessi su un canale AWGN in banda base con una modula-zioneM -PAM. Determinare la banda richiesta per la trasmissione quando (a)M = 4, (b)M = 8 e (c) M = 16. �Soluzione esercizio 3.4:La banda richiesta per la trasmissione di un segnale M-PAM e:

W =Rb

2 log2MHz

Percio

Rb = 8� 103campioni

sec� 8

bitscampione

= 64� 103bitssec

Sostituendo otteniamo

W =

8<:

(a) 16 KHz M = 4(b) 10:667 KHz M = 8(c) 8 KHz M = 16

|

Capitolo 4

Confronto tra modulazioni in banda basesu canale AWGN

RIFERIMENTO LIBRO DI TESTO:

Communication System Engineering (CSE): pagg.488-502

Esercizi svolti1 7.28 pag.5222 7.23 pag.5193 7.36 pag.5244 7.44 pag.5275 7.39 pag.525


1. Definizione della funzioneQ(�)2. Modulazione binaria

3. Modulazione M-PAM

4. Modulazione con M segnali ortogonali

5. Modulazione con M segnali biortogonali

6. Limite dell’unione (Union bound)

7. Rigeneratori

27

28 CAPITOLO 4. CONFRONTO TRA MODULAZIONI IN BANDA BASE SU CANALE AWGN

4.1 Definizione della funzione Q(�)

Q(x)4=

1p2�

Z 1

x

e�t2

2 dt

rappresenta la probabilita che una variabile casuale con distribuzione Gaussiana, valor medio nullo e varianzaunitaria assuma valori maggiori di x. Un’altra funzione che viene spesso utilizzata in alternativa alla funzioneQ(�)e la funzione di errore complementare erfc:

Q(x) =1

2erfc

�xp2

�

Per una variabile casuale gaussiana � a valor medio � e varianza � 2 si ha:

P (� > x) = Q

�x� �

�

�

4.2 Modulazione binaria

La probabilita di errore per un sistema di modulazione in banda base binario antipodale (2-PAM) e data da:

Pb(e) = P (e) = Q

r2Eb

N0

!= Q

0@s

d2122N0

1A

Per un sistema di modulazione che utilizza due segnali ortogonali di uguale energia si ottiene:

Pb(e) = P (e) = Q

rEb

N0

!

4.3 Modulazione M-PAM

La probabilita di errore per un sistema di modulazione in banda base M-PAM e data da:

PM =2(M � 1)

MQ

s6(log2M)Ebav(M2 � 1)N0

!

4.4 Modulazione con M segnali ortogonali

PM =1p2�

Z 1

�1

(1�

�Q

�rx

N0

��M�1)e�(x�

p2Es=N0)

2=2dx

4.5 Modulazione con M segnali biortogonali

PM = 1�Z 1

�p

2Es=N0

"1p2�

Z v+p

2Es=N0

�(v+p

2Es=N0)

e�x2=2dx

#M2 �1

e�v2=2dv

4.6. LIMITE DELL’UNIONE 29

4.6 Limite dell’unione

Data una qualsiasi costellazione di M segnali, e possibile determinare un limite superiore alla probabilita di erroreconsiderando una ad una tutte le distanze tra le coppie di segnali:

PM � 1

M

MXi=1

MXj=1;j 6=i

Q

0@s jjsi � sj jj2

2N0

1A

Questo limite e tanto piu accurato quanto piu e elevato il rapporto segnale rumore sul canale. Quando le regioni didecisione sono congruenti il limite si semplifica nel seguente:

PM �MXi=2

Q

0@s jjsi � s1jj2

2N0

1A

Nel quale si considerano solo le distanze dei segnali della modulazione da un segnale di riferimento preso arbitra-riamente.

Esercizio 4.1 (CSE pag. n.):Il segnale ricevuto in un sistema di comunicazione che utilizza una modulazione binaria antipodale e:

r(t) = s(t) + n(t)

dove s(t) e mostrato in Figura 4.1 e n(t) e AWGN con densita spettrale N 0=2.

A

0 1 2 3t

s(t)

Figura 4.1:

1. Disegnare la risposta all’impulso del filtro adattato a s(t)

2. Disegnare l’uscita del filtro adattato con ingresso s(t)

3. Determinare la varianza del rumore all’uscita del filtro adattato nell’istante t = 3.

4. Determinare la probabilita di errore in funzione di A ed N 0.


1. la risposta all’impulso eh(t) = s(T � t) = s(3� t) = s(t)

infatti s(t) e pari rispetto all’asse t = 3=2.

2. L’uscita del filtro adattato e quindi:

y(t) = s(t) ? s(t) =

Z t

0

s(�)s(t � �)d�

il cui grafico e mostrato nella Figura 4.2.


A2

0 2 4 6t

2A2

1 3 5

Figura 4.2:

3. All’uscita del filtro adattato all’istante t = T = 3 il rumore vale:

nT =

Z T

0

n(�)h(T � �)d�

=

Z T

0

n(�)s(T � (T � �))d� =

Z T

0

n(�)s(�)d�

Quindi la varianza del rumore e:

�2nT = E

"Z T

0

Z T

0

n(�)n(v)s(�)s(v)d�dv

#

=

Z T

0

Z T

0

s(�)s(v)E[n(�)n(v)]d�dv

=N0

2

Z T

0

Z T

0

Æ(� � v)s(�)s(v)d�dv

=N0

2

Z T

0

s2(�)d� = N0A2

4. Per segnali equiprobabili la probabilita di errore e:

P (e) = Q

s�S

N

�o

!

dove�SN

�o

e il rapporto segnale rumore all’uscita del filtro adattato. Poiche�S

N

�o

4=y2(T )

E[n2T ]=

4A4

N0A2

otteniamo

P (e) = Q

0@s4A2

N0

1A

|

Esercizio 4.2 (CSE pag. n.):Si consideri un insieme di segnali biortogonali con M = 8 punti. Determinare il limite dell’unione per la probabi-lita di errore sul simbolo in funzione del rapporto E b=N0. Tutti i segnali sono equiprobabili. �Soluzione esercizio 4.2:Il set di segnali biortogonali ha la seguente rappresentazione vettoriale:

s1 = [pEs; 0; 0; 0] s5 = [�pEs; 0; 0; 0]

s2 = [0;pEs; 0; 0] s6 = [0;�pEs; 0; 0]

s3 = [0; 0;pEs; 0] s7 = [0; 0;�pEs; 0]

s4 = [0; 0; 0;pEs] s8 = [0; 0; 0;�pEs]

4.6. LIMITE DELL’UNIONE 31

Per il segnale s1 vi sono 6 segnali a distanza

d21;k = jjsi � skjj2 = 2Es k 6= 1; 5

ed il vettore opposto che ha distanza d21;5 = 4Es. Poiche l’insieme delle distanze e indipendente dal segnale diriferimento si puo utilizzare il secondo limite:

PUB(e) =

8Xi=2

Q

0@sd21;k2N0

1A = 6Q

r EsN0

!+Q

r2EsN0

!

Esprimendo tutto in funzione dell energia per bit E b = Es=3 otteniamo

PUB(e) = 6Q

r3EbN0

!+Q

r6EbN0

!

|

Esercizio 4.3 (CSE pag.527 n.7.44):Si consideri una linea di trasmissione che impiega n� 1 rigeneratori piu il ricevitore finale per la trasmissione diinformazione binaria. Assumiamo che la probabilita di errore al decisore di ogni ricevitore sia p e che gli errori trai ricevitori siano indipendenti.

1. Mostrare che le probabilita di errore sull’ricevitore finale e:

Pn =1

2[1� (1� 2p)n]

2. Se p = 10�6 e n = 100, determinare un valore approssimato per Pn.


1. Per n ricevitori in cascata, la probabilita che i ricevitori facciano un errore e:

Pi =�ni

�pi(1� p)n�i

Tuttavia, un errore si compie solo quando un numero dispari di rigeneratori sbaglia. Percio la probabilita dierrore totale e data da

Pn = Pdispari =X

i=dispari

�ni

�pi(1� p)n�i

La probabilita di compiere un numero pari di errori e:

Ppari =X

i=pari

�ni

�pi(1� p)n�i

chiaramentePdispari + Ppari = 1

Prendendo la differenza si ottiene

Ppari � Pdispari =X

i=pari

�ni

�pi(1� p)n�i �

Xi=dispari

�ni

�pi(1� p)n�i

=X

i=pari

�ni

�(�p)i(1� p)n�i +

Xi=dispari

�ni

�(�p)i(1� p)n�i

= (1� p� p)n = (1� 2p)n

Risolvendo il sistema si ottiene la relazione cercata


2. Espandendo la quantita (1� 2p)n intorno a p = 0 si ottiene la serie:

(1� 2p)n = 1� n2p+n(n� 1)

2(2p)2 + � � �

Usando l’approssimazione lineare si ottiene la semplice relazione:

Pn � 1

2(1� 1 + n2p) = np

che porta al risultatoPn = 100� 10�6 = 10�4

|

Esercizio 4.4 (CSE pag.525 n.7.39):Un segnale vocale e campionato ad una frequenza di 8 kHz, compresso logaritmicamente e codificato in formatoPCM usando 8 bit per campione. I dati PCM sono trasmessi su un canale AWGN in banda base con una modula-zioneM -PAM. Determinare la banda richiesta per la trasmissione quando (a)M = 4, (b)M = 8 e (c) M = 16. �Soluzione esercizio 4.4:La banda richiesta per la trasmissione di un segnale M-PAM e:

W =Rb

2 log2MHz

Percio

Rb = 8� 103campioni

sec� 8

bitscampione

= 64� 103bitssec

Sostituendo otteniamo

W =

8<:

(a) 16 KHz M = 4(b) 10:667 KHz M = 8(c) 8 KHz M = 16

|

Capitolo 5

Interferenza intersimbolica


Communication System Engineering (CSE): pagg.530-537,547-548

Esercizi svolti1 8.1.1 pag.5332 8.2 pag.6063 8.3 pag.607


1. Il canale a banda limitata.

2. Il segnale numerico PAM.

3. Distorsione di picco.

4. Probabilita di errore in presenza di interferenza intersimbolica.

33

34 CAPITOLO 5. INTERFERENZA INTERSIMBOLICA

Mapbits

( )( )� −

nn nTta

tx

δ

( )tc ( )tgR( )tgTDeltaMod.

( )( )� −

nTn nTtga

tv ( )( ) ( )tnnTtpa

ty

nn '+−�

( )( ) ( )tnnTtha

tr

nn +−�

na

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tgtctgtgthtp

tctgth

RTR

T

∗∗=∗=∗=

Modulatore Canale Rivelatore

( )mTtyym += *

Figura 5.1: Sistema di trasmissione per una costellazione mono dimensionale

5.1 Il canale a banda limitata

Il canale a banda limitata si distingue dal canale AWGN per la presenza, a monte del sommatore, di un filtro dicaratteristica C(f). La presenza di questo filtro introduce varie modifiche nei criteri di progettazione dei segnalidella modulazione e del filtro adattato.

5.2 Il segnale numerico PAM

Un tipico sistema di trasmissione che utilizza una modulazione PAM e rappresentato in Figura 5.1.In questo sistema di trasmissione i simboli vengono emessi continuativamente ad intervalli regolari diT secondi

cosicche il segnale numerico e dato da:

v(t) =

1Xn=�1

angT (t� nT )

L’uscita del canale r(t) e:

r(t) =

1Xn=�1

anh(t� nT ) + n(t)

dove h(t) = c(t) ? gT (t). L’uscita dal filtro di ricezione e data da:

y(t) =1X

n=�1anp(t� nT ) + n0(t)

La sequenza campionata assume l’espressione generale:

ym = y(t� +mT ) = p0am +

ISIz }| {Xn6=m

anpm�n+�m

con pm4= p(t� + iT ).

Il termine aggiuntivo introduce un disturbo che viene chiamato interferenza intersimbolica.L’estensione a modulazione multidimensionali si ottiene in maniera diretta come in Figura 5.2.

5.3. DISTORSIONE DI PICCO 35

Map

bits

( )tc

( )tgR1( )tgT1DeltaMod.

1na

Modulatore Canale Rivelatore

( )tgR2( )tgT 2DeltaMod.

2na

my

Figura 5.2: Sistema di trasmissione per una costellazione bi-dimensionale

W-W 0

1

f

C(f)

Figura 5.3:

5.3 Distorsione di picco

Dp4=

Pn6=m jpm�njjp0j

Rappresenta il massimo disturbo cho si puo avere su di un certo segnale dovuto all’interferenza degli altri simboli

Esercizio 5.1 (CSE pag. n.):Il segnale gT (t)

gT (t) =1

2

�1 + cos

2�

T

�t� T

2

��; 0 � t � T

e trasmesso attraverso un canale con risposta in frequenza come mostrato in Figura 5.3. Il canale e anche disturbatoda AWGN con potenza spettrale N0=2. Determinare il filtro adattato al segnale ricevuto e il rapporto segnale-rumore all’uscita.

�Soluzione esercizio 5.1:Risolviamo il problema nel dominio della frequenza. La risposta all’impulso del segnale e

GT (f) =T

2

sin�ft

�fT (1� f2T 2)e�j�fT

=T

2

sinc(fT )1� f2T 2

e�j�fT

Lo spettro jGT (f)j2 e mostrato in Figura 5.4. Percio

H(f) = C(f)GT (f)

=

�GT (f); jf j �W

0; altrimenti


1e-007

1e-006

1e-005

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

-4 -2 0 2 4

(0.5*sin(pi*x)/(pi*x*(1.-x*x)))**2.

Figura 5.4:

Quindi l’energia del segnale ricevuto sara data da

Eh =

Z W

�WjGT (f)j2df

=1

(2�)2

Z W

�W

(sin�fT )2

f2(1� f2T 2)2df

=T

(2�)2

Z WT

�WT

sin��

�2(1� �2)2d�

La varianza delle componenti di rumore e

�2n =N0

2

Z W

�WjGT (f)j2df =

N0Eh2

e quindi il rapporto segnale rumore vale �S

N

�0

=2EhN0

|

Esercizio 5.2 (CSE pag. n.):In un sistema binario PAM, l’ingresso al decisore e:

ym = am + nm + im

Dove am = �1 e il segnale utile, nm e una variabile Gaussiana con valor medio nullo e varianza � 2n e im

rappresenta l’interferenza intersimbolica (ISI) dovuta alle distorsioni del canale. Il termine ISI e una variabilecasuale che assume i valori�1=2; 0; 1=2 con probabilita 1=4; 1=2; 1=4 rispettivamente. Determinare la probabilitadi errore media in funzione di �2

n. �Soluzione esercizio 5.2:Utiizzando le probabilita di errore condizionate abbiamo che:

P (e) =1

4P (ejim = �1=2) + 1

2P (ejim = 0) +

1

4P (ejim = 1=2)

Per un sistema di modulazione binario antipodale la regola di decisione ottima impone di confrontare il campionericevuto con la soglia T = 0.

P (ejim = �1=2) =1

2P (1� 1=2 + nm < 0) +

1

2P (�1� 1=2 + nm > 0)

5.3. DISTORSIONE DI PICCO 37

=1

2P (nm < �1=2) + 1

2P (nm > 3=2)

=1

2p2��2n

"Z 1

1=2

e� x2

2�2n dx+

Z 1

3=2

e� x2

2�2n dx

#

=1

2Q

�1

2�n

�+

1

2Q

�3

2�n

�analogamente otteniamo

P (ejim = 1=2) =1

2P (1 + 1=2 + nm < 0) +

1

2P (�1 + 1=2 + nm > 0)

=1

2P (nm < �3=2) + 1

2P (nm > 1=2)

=1

2p2��2n

"Z 1

3=2

e� x2

2�2n dx+

Z 1

1=2

e� x2

2�2n dx

#

=1

2Q

�3

2�n

�+

1

2Q

�1

2�n

�Infine

P (ejim = 0) =1

2P (1 + nm < 0) +

1

2P (�1 + nm > 0)

=1

2P (nm < �1) + 1

2P (nm > 1)

=1

2p2��2n

�Z 1

1

e� x2

2�2n dx+

Z 1

1

e� x2

2�2n dx

�

= Q

�1

�n

�Sostituendo otteniamo:

P (e) =1

2Q

�1

�n

�+

1

4Q

�1

2�n

�+

1

4Q

�3

2�n

�|

Esercizio 5.3 (CSE pag. n.):In un sistema di trasmissione binario PAM, il clock che specifica il campionamento dell’uscita del filtro adattato ediscosto dall’istante di ottimo campionamento del 10%.

1. Se il segnale utilizzato e rettangolare, determinare la perdita in termini di rapporto segnale-rumore dovutaall’errore di campionamento.

2. Determinare l’interferenza intersimbolica introdotta dall’errore di campionamento ed i suoi effetti sulleprestazioni.


1. Se il segnale trasmesso e

r(t) =1X

n=�1anh(t� nT ) + n(t)

allora l’uscita del filtro adattato e:

y(t) =

1Xn=�1

anx(t� nT ) + �(t)


dove x(t) = h(t) ? h(T � t) e �(t) = n(t) ? h(T � t). Se l’istante di campionamento e sbagliato del10%, allora i campioni all’uscita del correlatore sono presi nell’istante t = (m � 1

10 )T . Allora la sequenzacampionata e:

ym =

1Xn=�1

anx((m� 1

10)T � nT ) + �((m � 1

10T )

Se il segnale e una porta di ampiezza A e durata T , allora1X

n=�1anx

�(m� 1

10)T � nT

�

e diversa da zero solo negli istanti n = m e n = m� 1 quindi la sequenza campionata diventa:

ym = amx

�� 1

10T

�+ am�1x

�T � 1

10T

�+ �

�(m� 1

10)T

�=

9

10amA

2T + am�11

10A2T + �((m� 1

10)T )

La densita spettrale del rumore all’uscita del correlatore e

S�(f) = Sn(f)jH(f)j2 =N0

2A2T 2sinc2(fT )

Percio la varianza del rumore e:

�2� =

Z 1

�1

N0

2A2T 2sinc2(fT )df =

N0

2A2T 2 1

T=N0

2A2T

e quindi il rapporto segnale rumore SNR e:

SNR =

�9

10

�22(A2T )2

N0A2T=

81

100

2A2T

N0

che comporta una perdita di 10 log 81100 = 0:915 db dovuta all’errore di campionamento.

2. Si ricordi dal punto precedente che la sequenza campionata e:

ym =9

10amA

2T + am�11

10A2T + �m

Il termine am�1A2T10 esprime l’interferenza intersimbolica introdotta dal sistema. Se am = 1 e trasmesso,

allora la probabilita di errore e:

P (ejam = 1) =1

2P (ejam = 1; am�1 = 1) +

1

2P (ejam = 1; am�1 = �1)

=1

2p�N0A2T

Z �A2T

�1e� �2

N0A2T d� +

1

2p�N0A2T

Z � 810A

2T

�1e� �2

N0A2T d�

=1

2Q

0@s2A2T

N0

1A+

1

2Q

0@ 8

10

s2A2T

N0

1A

Poiche i simboli sono equiprobabili ed il sistema di modulazione 2-PAM gode della proprieta di erroreuniforme questa espressione non cambia assumendo che venga trasmesso l’altro possibile segnale am = �1.Confrontando quindi questa espressione con la probabilita di errore del sistema senza ISI otteniamo:

Pdiff(e) =1

2Q

0@ 8

10

s2A2T

N0

1A� 1

2Q

0@s2A2T

N0

1A

|

Capitolo 6

Analisi spettrale dei segnali numerici



Esercizi svolti1 8.1.2 pag.5402 8.1.3 pag.5423 8.4 pag.6074 8.5 pag.608


1. Lo spettro di potenza del segnale PAM

2. Spettro di potenza per sequenze incorrelate.

3. Spettro di potenza per sequenze correlate.

4. La precodifica.

6.1 Lo spettro di potenza del segnale PAM

Il segnale numerico generato da una modulazione PAM ha la seguente espressione:

v(t) =1X

n=�1angT (t� nT )

ed il suo spettro di potenza ha la seguente espressione

SV (f) = 1

TSa(f)jGT (f)j2

dove Sa(f) e lo spettro di potenza della sequenza di informazione definito come:

Sa(f) =1X

m=�1Ra(m)e�j2�fmT :

La funzione Ra(m) viene chiamata funzione di autocorrelazione della sequenza famg1m=�1:

Ra(m) = E[ana?n+m]

39

40 CAPITOLO 6. ANALISI SPETTRALE DEI SEGNALI NUMERICI

T0

A

t

( )tgT

Figura 6.1:

6.2 Spettro di potenza per sequenze incorrelate.

Quando la sequenza famg1m=�1 e costituita da simboli incorrelati con varianza � 2a e valor medio ma lo spettro di

potenza per il segnale numerico PAM diventa

SV (f) = �2aTjGT (f)j2 +

spettro discretoz }| {m2a

T 2

1Xm=�1

��GT

�mT

��2 Æ �f � m

T

�

6.3 Spettro di potenza per sequenze correlate.

Quando la sequenza famg1m=�1 e costituita da simboli correlati modellabili attraverso una catena di Markov conprobabilita di transizione P lo spettro assume la seguente espressione generale:

S(f) = 1

T 2

1Xn=�1

��KXi=1

piSi

�nT

��2

Æ�f � n

T

�+

1

T

KXi=1

pi jS0i(f)j2 ++2

T<24 KXi=1

KXj=1

piPij(f)S0�i (f)S0j(f)

35

Dove:

� K e il numero di stati del modulatore.

� si(t) e il segnale associato allo stato i.

� Si(f) e il suo spettro.

� s0i(t) e il segnale normalizzato si(t)�PK

k=1 pksk(t).

� Pij(f) e la trasformata di Fourier della sequenza pij(n).

Pij(f) =

1Xn=1

pij(n)e�j2�nfT

� pij(n) sono i coefficienti della matrice Pn.

Esercizio 6.1 (CSE pag. n.):Determinare la densita spettrale di potenza del segnale numerico PAM quando g T (t) e l’impulso rettangolare diFigura 6.1 ed i simboli in ingresso sono incorrelati con valor medio m a e varianza �2a. �

6.4 La precodifica

L’espressione dello spettro di potenza di un segnale numerico indica che questo puo essere opportunamente sago-mato agendo sullo spettro di potenza dei dati Sa(f) e quindi imponendo una certa funzione di autocorrelazione

6.4. LA PRECODIFICA 41

T0

A

t

( )tg

2T0

A

t

( )tg2

Figura 6.2:

sulla sequenza famg1m=�1. Quando la sequenza di informazione si presenta incorrelata al modulatore si puo intro-durre appositamente una correlazione tra i dati tramite una precodifica. L’operazione di precodifica non introducein genere ridondanza e quindi non diminuisce l’efficienza spettrale del sistema di modulazione.

Esercizio 6.2 (CSE pag.542 n.8.1.3):Si consideri la sequenza binaria fbng, dalla quale sono derivati i simboli

an = bn + bn�1

La sequenza fbng e formata da variabili incorrelate, con varianza unitaria e valor medio nullo. Determinare ladensita spettrale di potenza del segnale trasmesso. �Soluzione esercizio 6.2:(Si veda soluzione pag.542 CSE)|

Esercizio 6.3 (CSE pag.607 n.84):Gli elementi della sequenza fang1n=�1 sono variabili casuali binarie indipendenti che assumono i valori �1 conuguale probabilita. Questa sequenza di informazione e utilizzata per modulare l’impulso base g(t) mostrato inFigura 6.2. Il segnale modulato e:

X(t) =

1Xn=�1

ang(t� nT )

1. Trovare la densita spettrale di X(t).

2. Se g1(t) e utilizzato al posto di g(t), come cambierebbe lo spettro trovato nel punto precedente?

3. Si assuma di voler imporre uno zero alla frequenza f = 13T nello spettro trovato al punto precedente. Questo

puo essere fatto con una precodifica della forma bn = an+�an�3. Si trovi il valore di � che genera lo zerodesiderato.

4. E’ possibile utilizzare una precodifica del tipo bn = an +PN

i=1 �ian�i in modo tale che lo spettro finalerisultante sia identicamente zero per 1

3T � jf j � 12T ? Se e possibile come? Se non e possibile perche?

(Suggerimento: utilizzare le proprieta delle funzioni analitiche.)


1. La potenza spettrale di X(t) e data da

Sx(f) = 1

TSa(f)jG(f)j2

La trasformata di Fourier dell’impulso g(t) e

G(f) = F [g(t)] = ATsin�fT

�fTe�j�fT


PerciojG(f)j2 = (AT )2sinc2(fT )

e quindiSx(f) = A2TSa(f)sinc2(fT ) = A2T sinc2(fT )

2. Se g1(t) e utilizzato al posto di g(t) ed il periodo di segnalazione e T allora:

Sx(f) =1

TSa(f)jG2T (f)j2

=1

T(A2T )2sinc2(f2T ) = 4A2T sinc2(2fT )

3. Se la sequenza di ingresso e bn = an + �an�3, allora

Rn(m) =

8<:

1 + �2 m = 0� m = �30 altrimenti

e quindi, la potenza spettrale Sb(f) e data da:

Sb(f) = 1 + �2 + 2� cos(2�f3T )

Per ottenere uno zero in f = 13T , il parametro � deve essere tale che

1 + �2 + 2� cos(2�f3T )jf=1=3T = 0) � = �1

4. La risposta alla domanda e no. Questo perche S b(f) e una funzione analitica e, a meno che non sia identica-mente nulla, deve avere un numero contabile di zero. Questa proprieta delle funzioni analitiche viene ancheindicata come “teorema degli zeri isolati”.

|

Esercizio 6.4 (CSE pag.608 n.8.5):La sequenza di informazione fang1n=�1 e una sequenza di variabili casuali indipendenti che assumono i valori +1e �1 con la stessa probabilita. Questa sequenza deve essere trasmessa in banda base con uno schema di codificabifase, descritto da:

s(t) =1X

n=�1ang(t� nT )

dove g(t) e mostrato in Figura 6.3.

1. Trovare la densita spettrale di potenza di s(t).

2. Si assuma di volere ottenere uno zero nello spettro di potenza in f = 1=T . A questo scopo si usa uno schemadi precodifica tramettendo la sequenza bn = an + kan�1, dove k e una costante. E’ possibile scegliere kin modo da ottenere lo zero in f = 1=T ? Se la risposta e affermativa qual e il valore appropriato per k e lospettro di potenza risultante?

3. Si assuma ora di volere avere zeri per tutti i multpli di f0 = 14T . E’ possibile scegliere k in modo da ottenere

tutti questi zeri nello spettro di potenza? Se non e possibile si suggerisca una precodifica che ottenga loscopo desiderato.


6.4. LA PRECODIFICA 43

T/20

A

t

( )tg

T-A

Figura 6.3:

1. La potenza spettrale di s(t) e

Ss(f) = �2aTjGT (f)j2 = 1

TjGT (f)j2

La trasformata di Fourier dell’impulso g(t) e

GT (f) = F"�

t� T

4T2

!��

t� 3T

4T2

!#

=T

2sinc(fT=2)e�2�jfT=4 � T

2sinc(fT=2)e�2�jf3T=4

=T

2sinc(fT=2)e�2�jfT=2

hej2�jfT=4 � e�j2�jfT=4

i=

T

2sinc(fT=2)e�2�jfT=2 sin(2�fT=4)2j

2. Se viene utilizzato lo schema di precodifica bn = an + kan�1, allora

Rb(m) =

8<:

1 + k2 m = 0k m = �10 altrimenti

Allora,Ss(f) = (1 + k2 + 2k cos(2�fT ))T sinc2(fT=2) sin2(2�fT=4)

Per ottenere uno zero in f = 1T , il parametro k deve essere tale che

1 + k2 + 2k cos(2�fT )jf=1=T = 1 + k2 + 2k = 0) k = �1

3. Se lo schema di precodifica del punto precedente e utilizzato per imporre zeri alle frequenze f = n4T , il

valore di k dovrebbe essere scelto in modo tale che

1 + k2 + 2k cos(2�fT )jf=1=4T = 1 + k2 = 0

Per la quale non e possibile trovare soluzioni reali. Si consideri il seguente schema di precodifica:

bn = an + kan�2

In questo caso

Rb(m) =

8<:

1 + k2 m = 0k m = �20 altrimenti

PercioSb(f) = 1 + k2 + 2k cos(2�2fT )

che vale zero negli zero voluti quando k = 1.

|

Capitolo 7

Progetto di segnali a banda limitata



Esercizi svolti1 8.27 pag.6122 8.28 pag.6133 8.4.1 pag.5334 8.7 pag.608


1. Il criterio di Nyquist

2. Il filtro a coseno rialzato

3. Progetto del filtro di trasmissione e ricezione per canale distorcente.

45

46 CAPITOLO 7. PROGETTO DI SEGNALI A BANDA LIMITATA

7.1 Il criterio di Nyquist

La risposta del sistema di trasmissione X(f) si ottiene moltiplicando la funzione di trasferimento del filtro di tra-smissioneGT (f), la funzione di trasferimento del canale C(f) e la funzione di trasferimento del filtro di ricezioneGR(f).

X(f) = GT (f)C(f)GR(f)

Condizione necessaria e sufficiente perche il segnale x(t) non presenti interferenza intersimbolica nel dominiodel tempo puo essere espressa come segue:

x(nT ) =

�1 n = 00 n 6= 0

e che la sua trasformata di Fourier X(f) sia tale che

1Xm=�1

X�f +

m

T

�= T

Supponiamo che il canale sia limitato nella banda�W allora abbiamo le seguenti situazioni

T < 12W

Non si puo eliminare l’interferenza intersimbolica

T = 12W

L’unica soluzione e:

X(f) =

�T jf j < W0 altrove

T > 12W

Varie soluzioni possibili.

7.2 Il filtro a coseno rialzato

Lo spettro piu frequentemente utilizzato che soddisfa il criterio di Nyquist e lo spettro a coseno rialzato:

Xrc(f) =

8<:

T 0 � jf j � (1� �)=2TT2

�1 + cos �T� (jf j � 1��

2T )�

1��2T � jf j � 1+�

2T0 altrove

Il parametro � viene chiamato fattore di roll-off ed assume valori compresi nell’intervallo [0; 1]. Il segnalecorrispondente ha la seguente espressione:

x(t) = sinc(t=T )cos(��t=T )

1� 4�2t2=T 2

7.3. PROGETTO DEL FILTRO DI TRASMISSIONE E RICEZIONE PER CANALE DISTORCENTE. 47

7.3 Progetto del filtro di trasmissione e ricezione per canale distorcente.

a) C(f) = ��

f2W

�GT (f) =

pjXrc(f)je�j2�ft0

GR(f) = G�T (f)

b) C(f) generico, rumore bianco

jGT (f)j = K1jXrc(f)j1=2jC(f)j1=2 ; jf j �W

jGR(f)j = K2jXrc(f)j1=2jC(f)j1=2 ; jf j �W

c) C(f) generico, rumore Sn(f)

jGT (f)j = KjXrc(f)j1=2

[Sn(f)]1=4jC(f)j1=2 ; jf j �W

jGR(f)j =1

K

jXrc(f)j1=2[Sn(f)]1=4jC(f)j1=2 ; jf j �W

Il massimo rapporto segnale rumore ottenibile con un canale distorcente e dato da:

SNR = PavT

"Z W

�W

jXrc(f)j[Sn(f)]1=2jC(f)j df

#�2

Esercizio 7.1 (CSE pag.612 n.8.27):Un canale radio ha la seguente risposta in frequenza:

C(f) = 1 + 0:3 cos 2�fT

Determinare la risposta in frequenza dei filtri di trasmissione e ricezione che azzerano l’interferenza intersimbolicaad un rate di 1=T simboli/sec con un eccesso di banda del 50%. Si assuma che lo spettro del rumore sia piatto. �Soluzione esercizio 7.1:Siano GT (f) e GR(f) le funzioni di trasferimento dei filtri di trasmissione e ricezione. Allora, la condizione perannullare l’interferenza intersimbolica implica:1

GT (f)C(f)GR(f) = Xrc(f) =

8<:

T 0 � jf j � 14T

T2 [1 + cos(2�T (jf j � 1

4T )]14T � jf j � 3

4T0 jf j > 3

4T

Poiche il rumore additivo e bianco, Le funzioni di trasferimento dei filtri di trasmissione e ricezione sono date da:

jGT (f)j = jXrc(f)j 12jC(f)j 12 = jGR(f)j

Percio otteniamo:

jGT (f)j = jGR(f)j =

8>>><>>>:

hT

1+0:3 cos 2�fT

i 12

0 � jf j � 14Th

T [1+cos(2�T (jf j� 14T )]

2(1+0:3 cos 2�fT )

i 12 1

4T � jf j � 34T

0 altrove1Il valore del roll-off e � = 0:5


|

Esercizio 7.2 (CSE pag.613 n.8.28):Una modulazione 4 PAM e utilizzata per trasmettere ad un bit rate di 9600 bits/sec su di un canale con una rispostain frequenza

C(f) =1

1 + j f2400

per jf j � 2400 e C(f) = 0 altrimenti. Il rumore additivo e AWGN con densita spettrale di potenza N 0=2 W/Hz.Determinare la ampiezza della risposta in frequenza dei filtri di trasmissione e ricezione ottimi. �Soluzione esercizio 7.2:Una modulazione 4-PAM associa k = 2 bits ad ogni segnale trasmeeso. Quindi, la durata di un intervallo disegnalazione e:

T =k

9600= 20:83 ms

Poiche la banda del canale e W = 2400 = 12T , per ottenere la massima velocita di trasmissione, Rmax = 1

2T , lospettro del segnale dovrebbe essere:2

X(f) = T�

�f

2W

�

Allora, l’ampiezza della funzione di trasferimento dei filtri di ricezione e trasmissione ottimi e data da:

jGT (f)j = jGR(f)j ="1 +

�f

2400

�2# 1

4

�

�f

4W

�=

8<:�1 +

�f

2400

�2� 14

; jf j � 2400

0 altrove

|

Esercizio 7.3 (CSE pag.575 n.8.4.1):Si determinino il filtro di trasmissione e ricezione ottimi per un sistema di comunicazioni binario che trasmette datiad un rate di 4800 bits/sec su di un canale con risposta in frequenza:

jC(f) = 1r1 +

�fW

�2 ; jf j �W

Dove W = 4800 Hz. Il rumore additivo e AWGN con densita spettrale N0=2 = 10�15 W/Hz. �Soluzione esercizio 7.3:Poiche W = 1=T = 4800, usiamo un impulso con spettro del tipo a coseno rialzato con roll-off � = 1. Percio

Xrc(f) =T

2[1 + cos(�T jf j)] = T cos2

��jf j9600

�

Allora,

jGT (f)j = jGR(f)j ="1 +

�f

4800

�2# 1

4

cos

��jf j9600

�; jf j � 4800

2La funzione �(x) rappresenta una porta centrata nell’origine e di ampiezza unitaria

7.3. PROGETTO DEL FILTRO DI TRASMISSIONE E RICEZIONE PER CANALE DISTORCENTE. 49

e jGT (f)j = jGR(f)j = 0 altrove. |

Esercizio 7.4 (CSE pag.608 n.8.7):La risposta in frequenza di un canale passa basso puo essere approssimata da:

H(f) =

�1 + � cos 2�ft0; j�j < 1; jf j �W0 altrove

DoveW e la banda del canale. Un segnale di ingresso s(t), il cui spettro e limitato inW Hz, e trasmesso su questocanale.

1. Mostrare che:

y(t) = s(t) +�

2[s(t� t0) + s(t+ t0)]

Cioe il canale produce un doppio eco.

2. Si supponga che il segnale ricevuto y(t) sia passato attraverso un filtro adattato ad s(t). Determinareilsegnale in uscita dal filtro adattato negli istanti t = kT per k interi, dove T e la durata del simbolo.

3. Quale sono le possibili interferenze introdotte dal canale se t0 = T ?


1. Prendendo la trasformata di Fourier inversa di H(f) otteniamo:

h(t) = F�1[H(f)] = Æ(t) +�

2Æ(t� t0) +

�

2Æ(t+ t0)

Quindi

y(t) = s(t) ? h(t) = s(t) + +�

2s(t� t0) +

�

2s(t+ t0)

2. Se il segnale s(t) e utilizzato per modulare la sequenza fang, allora il segnale trasmesso e:

u(t) =

1Xn=�1

ans(t� nT )

Il segnale ricevuto e la convoluzione di u(t) con h(t). Percio:

y(t) = u(t) ? h(t) =

1Xn=�1

ans(t� nT )

!?�Æ(t) +

�

2Æ(t� t0)

�

=

1Xn=�1

aNs(t� nT ) +�

2

1Xn=�1

ans(t� t0 � nT ) +�

2

1Xn=�1

ans(t+ t0 � nT )


Percio l’uscita del filtro adattato s(�t) nell’istante t1 e:

w(t1) =

1Xn=�1

an

Z 1

�1s(� � nT )s(� � t1)d�

+�

2

1Xn=�1

an

Z 1

�1s(� � t0 � nT )s(� � t1)d�

+�

2

1Xn=�1

an

Z 1

�1s(� + t0 � nT )s(� � t1)d�

Se chiamiamo x(t) il prodotto di convoluzione s(t) ? s(t), allora l’uscita del filtro adattato nell’istantet1 = kT e:

w(kT ) =

1Xn=�1

anx(kT � nT ) +

+�

2

1Xn=�1

anx(kT � t0 � nT ) + +�

2

1Xn=�1

anx(kT + t0 � nT )

3. Sostituendo t0 = T e k = n nella equazione precedente otteniamo:

wk = akx0 +Xn6=k

anxk�n +

+�

2akx�1 +

�

2

Xn6=k

anxk�n�1 +�

2akx1 +

�

2

Xn6=k

anxk�n+1

= ak

�x0 +

�

2x�1 +

�

2x1

�+

ISIz }| {Xn6=k

an

hxk�n +

�

2xk�n�1 +

�

2xk�n+1

i

I termini sotto sommatoria rappresentano l’interferenza intersimbolica introdotta dal canale.

|

Capitolo 8

Equalizzazione



Esercizi svolti1 8.29 pag.6132 8.4.2 pag.580Esercizio proposto3 8.31 pag.614


1. Equalizzatori ML

2. Equalizzatori lineari

3. L’equalizzazione “zero-forcing”

4. L’equalizzazione MSE

5. L’algoritmo del gradiente stocastico

51

52 CAPITOLO 8. EQUALIZZAZIONE

τ τ τc0 c1 c2 cN

Figura 8.1:

8.1 Introduzione

La funzione dell’equalizzatore e quella di eliminare l’interferenza intersimbolica agendo solo sul segnale ricevuto.Questa funzione e utile quando la risposta in frequenza del canale C(f) non e nota a priori oppure varia nel tempo.In questi casi, i filtri di trasmissione e ricezione sono progettati indipendentemente dal canale, in modo tale dasoddisfare il teorema di Nyquist:

GT (f)GR(f) = Xrc(f)

La presenza del canale C(f) rende la funzione di trasferimento complessiva del sistema di trasmissione pari a

X(f) = GT (f)C(f)GR(f) = Xrc(f)C(f)

Che non corrisponde piu ad un impulso di Nyquist e quindi presenta intereferenza intersimbolica.

8.2 Equalizzatori non lineari a massima verosimiglianza

L’approccio ottimo per la rivelazione di segnali affetti da interferenza intersimbolica e quello a massima vero-simiglianza. La presenza di ISI tuttavia rende il canale nel suo complesso con memoria ed il rivelatore ottimodeve tenere in conto di un certo insieme di simboli contemporaneamente per poter prendere la migliore decisio-ne. L’algoritmo che effettua questa procedura e chiamato algoritmo di Viterbi ed ha una complessita che dipendeesponenzialmente dal numero di segnali che interferiscono tra loro.

8.3 Equalizzatori Lineari

Gli equalizzatori lineari sono realizzati attraverso filtri digitali di Figura 8.1 che possono avere coefficienti varia-bili in maniera dipendente dal canale. Si disttinguono tra di loro a seconda del criterio utilizzato per definire icoefficienti �i del filtro.

8.3.1 L’equalizzazione “zero-forcing”

La funzione di questo equalizzatore e quella di compensare le distorsioni introdotte dal canale in assenza di rumore:

GE(f) =1

C(f)

In modo tale cheGT (f)C(f)GR(f)GE(f) = Xrc(f)

La varianza all’uscita dell’equalizzatore “zero-forcing” e data da:

�2� =N0

2

Z W

�W

jXrc(f)jjC(f)j2 df

8.3. EQUALIZZATORI LINEARI 53

Lo svantaggio principale di questa tecnica di equalizzazione consiste nell’amplificazione del rumore che puorisultare dalla presenza del filtro GE(f) = 1

jC(f)j . Se la funzione di trasferimento del canale presenta dellefrequenze fortemente attenuate, questo si traduce in una funzione di trasferimento dell’equalizzatore che amplificafortemente certe frequenze e quindi le corrispondenti componenti spettrali di rumore.

Nella realta gli equalizzatori sono implementati con filtri FIR e quindi annullano l’interferenza intersimbolicasolo su un numero finito di campioni. Il sistema di equazioni che definisce i coefficienti di un equalizzatore “zeroforcing” con spaziatura � e il sequente:

NXn=�N

cnx(mT � n�) =

�1; m = 00; m = 0;�1;�2; : : : ;�N

8.3.2 L’equalizzazione MSE

Per ovviare all’amplificazione del rumore caratteristica dell’equalizzatore zero-forcing si utilizza un criterio cheminimizza congiuntamente la varianza del termine di rumore e di interferenza intersimbolica nel segnale campio-nato:

MSE = E[zm � am]2

Questo criterio di ottimizzazione porta alla seguente relazione che definisce i coefficienti dell’equalizzatore:

NXn=�N

cnRY (n� k) = RAY (k) k = 0;�1;�2; : : : ;�N

dove le due funzioniRY eRAY rappresentano rispettivamente la funzione di autocorrelazione del segnale all’uscitadel filtro di ricezione y(t) e la funzione di mutua correlazione tra questa sequenza e la sequenza dei simbolitrasmessi:

RY (n� k) = E[y(mT � n�)y(mT � k�)]

RAY (k) = E[y(mT � k�)am]

8.3.3 L’algoritmo del gradiente stocastico

ck+1 = ck +�(ak � zk)yk

con c0 arbitrario,:

� =1

5(2N + 1)PR


zk e l’uscita dell’equalizzatore, ak e una stima del simbolo trasmesso. Un schema dell’equalizzatore MSE cheutilizza l’algoritmo del gradiente stocastico e mostrato in Figura .


Esercizio 8.1 (CSE pag.613 n.8.29):Una modulazione binaria PAM e utilizzata per trasmettere informazione su di un canale non equalizzato. Quandoil simbolo a = 1 e trasmesso i campioni all’uscita del demodulatore, in assenza di rumore, sono i seguenti:

xm =

8>><>>:

0:3; m = 10:9; m = 00:3; m = �10; altrimenti

1. Progettare un equalizzatore lineare a tre prese con il criterio “zero-forcing” in modo che l’uscita sia:

qm =

�1; m = 00; m = �1

2. Determinare qm per m = �2;�3, facendo la convoluzione della risposta all’impulso dell’equalizzatore conla risposta del canale.

�

Soluzione esercizio 8.1:

1. La risposta all’impulso equivalente discreta del canale e:

h(t) =

1Xn=�1

hnÆ(t� nT ) = 0:3Æ(t+ T ) + 0:9Æ(t) + 0:3Æ(t� T )

Se chiamiamo fcng i coefficienti dell’equalizzatore FIR1, allora il segnale equalizzato e:

qm =1X

n=�1

cnhm�n

in notazione matriciale possiamo scrivere:0@ 0:9 0:3 0

0:3 0:9 0:30 0:3 0:9

1A0@ c�1

c0c1

1A =

0@ 0

10

1A

Risolvendo il precedente sistema troviamo:0@ c�1

c0c1

1A =

0@ �0:4762

1:4286�0:4762

1A

2. I valori di qm per m = �2;�3 sono dati da:

q2 =1X

n=�1

cnh2�n = c1h1 = �0:1429

q�2 =

1Xn=�1

cnh�2�n = c�1h�1 = �0:1429

q3 =

1Xn=�1

cnh3�n = 0

q�3 =

1Xn=�1

cnh�3�n = 0

1FIR=Finite Impulse Response


|

Esercizio 8.2 (CSE pag.580 n.8.4.2):Il canale dell’Esempio 8.4.1 del CSE e equalizzato attraverso un equalizzatore “zero-forcing”. Assumendo che ifiltri di trasmissione e ricezione siano tali che:

jGT (f)jjGR(f)j = Xrc(f)

determinare il valore della varianza di rumore negli istanti di campionamento e la probabilita di errore. �

Soluzione esercizio 8.2:Quando il rumore e bianco, la varianza del rumore all’uscita dell’equalizzatore zero-forcing e data da

�2� =N0

2

Z W

�W

jXrc(f)jjC(f)j2 df

=TN0

2

Z W

�W

�1 +

�f

W

��2cos2

�jf j2W

df

= N0

Z 1

0

(1 + x2) cos2�x

2dx

= N0

�2

3� 1

�2

�

La potenza media trasmessa vale:

Pav =(M2 � 1)d2

3T

Z W

�WjGT (f)j2df

=(M2 � 1)d2

3T

Z W

�WjXrc(f)jdf

=(M2 � 1)d2

3T

L’espressione generale per la probabilita di errore e data da:

PM =2(M � 1)

MQ

sd2

�2�

!

che particolarizza nella seguente:

PM =2(M � 1)

MQ

s3PavT

(M2 � 1)(2=3� 1=�2)N0

!

Se il canale fosse stato ideale, l’argomento della funzioneQ sarebbe stato 6PavT=(M2 � 1)N0. Percio, la perdita

di prestazioni dovuta al canale non ideale equalizzato e rappresentata da un fattore:

2

�2

3� 1

�2

�= 0:54dB

. |

Esercizio 8.3 (CSE pag.614 n.8.31):Dimostrare che il gradiente per la minimizzazione dell’errore quadratico medio puo essere espresso come:

gk = �E[ekyk]


dove l’errore ek = ak � zk, e che la seguente stima di gk:

gk = �ekyksoddisfa a

E[gk] = gk

�Soluzione esercizio 8.3:L’errore quadratico medio all’istante k e dato da:

J(ck) = E

24��

NXn=�N

ck;nyk�n � ak

��235

Il vettore gradiente gk e dato da:

gk =@J(ck)

@ck

ed il suo l-esimo elemento vale:

gk;l =@J(ck)

@ck;l=

1

2E

"2

NX

n=�Nck;nyk�n � ak

!yk�l

#

= E[(zk � ak)yk�l]

|

Capitolo 9

Ripasso



Esercizi svolti1 Esercizio N.1 Test di accertamento2 Esercizio N.2 Test di accertamento3 Esercizio N.3 Test di accertamento4 9.2 pag.714

59

60 CAPITOLO 9. RIPASSO

1

1/21/4

1/2

-1/2

T/2 T T/2 T

T/2 TT/2 T

s2(t)

s4(t)s3(t)

t

tt

t

s1(t)

Figura 9.1:

Esercizio 9.1 (CSE pag. n.):Applicare la procedura di Gram-Schmidt per trovare una base di funzioni ortonormali per le quattro forme d’ondas1(t), s2(t), s3(t) ed s4(t) in Figura 9.1 prese nell’ordine.

1. Qual e la dimensionalita n di questa modulazione ?

2. Scrivere la rappresentazione vettoriale di ognuno dei segnali.

3. Rappresentare l’insieme dei segnali graficamente.


1. Il primo versore e dato da:

1(t) =s1(t)

jjs1(t)jjDove

jjs1(t)jj ="Z T=2

0

12dt+

Z T

T=2

(1=4)2dt

#1=2=

1

4�r

17T

2

61

Percio

1(t) =

8<: 4

q2

17T 0 � t � T=2q2

17T T=2 � t � T

2. Applichiamo il secondo passo della procedura GS:

v2(t) = s2(t)� < s2(t); 1(t) > � 1(t)

dove

< s2(t); 1(t) >=

Z T=2

0

1

2� 4 �

r2

17Tdt+

Z T

T=2

1

2�r

2

17Tdt =

5

4

r2T

17

Percio ricaviamo:

v2(t) = s2(t)� 5

4

r2T

17 1(t)

v2(t) =

8<:

12 � 5

4

q2T17 � 4

q2

17T = � 334 0 � t � T=2

12 � 5

4

q2T17 �

q2

17T = 1234 T=2 � t � T

Calcoliamo ora la norma di v2(t):

jjv2(t)jj ="Z T=2

0

(�3=34)2dt+Z T

t=2

(24=68)2dt

#1=2=

1

34

r153T

2

Dal quale si deriva l’espressione di 2(t).

2(t) =

8<: �3

q2

153T 0 � t � T=2

12q

2153T T=2 � t � T

3.

v3(t) = s3(t)� < s3(t); 1(t) > � 1(t)� < s3(t); 2(t) > � 2(t)

Dove

< s3(t); 1(t) >=

Z T=2

0

1

2� 4 �

r2

17Tdt�

Z T

T=2

1

2�r

2

17Tdt =

3

4

r2T

17

e

< s3(t); 2(t) >= �Z T=2

0

1

2� 3 �

r2

153Tdt�

Z T

T=2

1

2� 12 �

r2

153Tdt = �15

4

r2T

153

Quindi:

v3(t) = s3(t)� 3

4

r2T

17 1(t) +

15

4

r2T

153 2(t)

v3(t) =

8<:

12 � 3

4

q2T17

h4q

217T

i+ 15

4

q2T153

h�3q

2153T

i= 0 0 � t � T=2

� 12 � 3

4

q2T17

hq2

17T

i+ 15

4

q2T153

h12q

2153T

i= 0 T=2 � t � T

4. Naturalmente il quarto segnale ha energia nulla e quindi la dimensionalita della costellazione e due.


A

A-A

-A

ψ2

ψ1

s1s2

s3 s4

Figura 9.2:

5. Prendendo i prodotti scalari gia calcolati otteniamo:

s1 =

"1

4

r17T

2; 0

#

s2 =

"5

4

r2T

17;1

34

r153T

2

#

s3 =

"3

4

r2T

17;�15

4

r2T

153

#

s4 = [0; 0]

|

Esercizio 9.2 (CSE pag. n.):

1. Valutare un’approssimazione della probabilita di errore sul simbolo P (e) per la modulazione in Figura 9.2utilizzando il limite dell’unione (Union Bound). Si assumano i segnali equiprobabili.

2. Confrontare il risultato ottenuto con la probabilita di errore sul simbolo condizionata alla trasmissione delsegnale s1, P (ejs1).

�

Soluzione esercizio 9.2:La formula generale per lo union bound, quando i segnali della modulazione sono equiprobabili, e la seguente:

P (e) � 1

M

MXi=1

Xj 6=i

Q

0@s

d2ij2N0

1A

63

E’ quindi sufficiente calcolare le distanze tra tutte le possibili coppie di segnali per valutare questo limite:

d2ij =

0BB@

0 4A2 8A2 4A2

4A2 0 4A2 8A2

8A2 4A2 0 4A2

4A2 8A2 4A2 0

1CCA

Quindi:

P (e) � 1

4

242Q

0@s4A2

2N0

1A+Q

0@s8A2

2N0

1A35

+1

4

242Q

0@s4A2

2N0

1A+Q

0@s8A2

2N0

1A35

+1

4

242Q

0@s4A2

2N0

1A+Q

0@s8A2

2N0

1A35

+1

4

242Q

0@s4A2

2N0

1A+Q

0@s8A2

2N0

1A35

= 2Q

0@s2A2

N0

1A+Q

0@s4A2

N0

1A = P (ejs1)

Dalla quale si nota come questo limite sia indipendente dal segnale trasmesso.|

Esercizio 9.3 (CSE pag. n.):Una modulazione PAM binaria utilizza il segnale base gT (t), rappresentato in Figura 9.3 su un canale AWGN nondistorcente con densita spettrale di rumore N0=2. Il segnale numerico generato dal modulatore e quindi:

v(t) =

1Xn=�1

angT (t� nT )

I simboli in ingresso al modulatore an sono statisticamente indipendenti ed assumono con uguale probabilita ivalori�A.

1. Disegnare la risposta all’impulso h(t) del filtro adattato.

2. Determinare il modulo della funzione di trasferimento H(f) del filtro adattato.

3. Disegnare l’uscita del filtro adattato nel caso di trasmissione di un singolo impulso gT (t) (n(t) = 0).

v(t) = gT (t)

4. Si supponga ora di trasmettere la sequenza

(: : : ; a�1; a0; a1; a2; a3; a4; : : :) = (: : : ;�1; 1; 1;�1; 1;�1; : : :) :

Disegnare l’uscita del filtro adattato x(t) nell intervallo [0; 4T ] (n(t) = 0).

5. Calcolare il rapporto segnale rumore SNR all’uscita del campionatore.

6. Determinare la probabilta di errore del sistema di modulazione.


n(t)

x(t)v(t)an

x(mT)

mT

H(f)Modulatore

1

T/2 Tt

gT(t)

-1

Figura 9.3:

�


1. h(t) = gT (T � t) e disegnata in Figura 9.4.

2. Ricordiamo che la funzione di trasferimento di una porta di larghezza T , ampiezza A e centrata in d vale:

Asinc(fT ) exp[�j2�fd]Poiche h(t) e la somma di due porte di larghezza T=2 rispettivamente di ampiezza -1 centrata in T=4 e diampiezza 1 centrata in 3T=4 otteniamo:

H(f) = �sinc(fT=2) exp[�j�fT=2] + sinc(fT=2) exp[�j�f3T=2]

1

T/2 Tt

h(t)

-1

Figura 9.4:

65

T

-T/2-T/2

T 2T

x(t)

Figura 9.5:

= sinc(fT=2) [� exp[�j�fT=2] + exp[�j�f3T=2]]= sinc(fT=2) exp[�j�fT ] [� exp[j�fT=2] + exp[�j�fT=2]]= sinc(fT=2) exp[�j�fT ] � (�2j) sin(�fT=2)

Per cui il modulo della funzione di trasferimento vale:

jH(f)j = 2jsinc(fT=2)j � j sin(�fT=2)j

3. L’uscita del filtro adattato x(t) quando all’ingresso e applicato il singolo segnale g T (t) e data da:

x(t) = gT (t) ? h(t)

Il segnale x(t) e disegnato in Figura 9.5.

4. In generale:

X(t) =

1Xn=�1

anx(t� nT )

Poiche x(t) = 0 per t � 0 e per t � 2T , nell’intervallo che ci interessa abbiamo

X(t) = �x(t+ T ) + x(t) + x(t � T )� x(t � 2T ) + x(t� 3T )� x(t � 4T ) t 2 [0; 4T ]

Il grafico di X(t) per 0 � t � 4T e riportato in Figura 9.6.

5. Il rapporto segnale rumore all’uscita del campionatore e dato da:

SNR =2EsN0

In questo caso abbiamoEs = T

Per cui

SNR =2T

N0

6. Per un sistema di modulazione 2-PAM abbiamo

P (e) = Q(pSNR)

Per cui

P (e) = Q

r2T

N0

!

|


T

-T/2-T/2

T 2T

X(t)

3T 4T

T 2T

X(t)

3T 4T

Figura 9.6:

Capitolo 10

Modulazioni ASK e PSK



Esercizi svolti1 9.2 pag.7142 9.3 pag.7143 9.5 pag.7144 9.7 pag.715


1. Modulazione di ampiezza della portante (ASK)

2. Modulazione di fase della portante (PSK)

3. Codifica di Gray

67

68 CAPITOLO 10. MODULAZIONI ASK E PSK

10.1 Modulazione di ampiezza della portante (M-ASK)

Quando e necessario creare un segnale che ha uno spettro concentrato attorno ad una frequenza f c si moltiplica ilsegnale numerico trasmesso v(t)

v(t) =

1Xn=�1

angT (t� nT )

an 2 fAmg m = 1; 2; : : : ;M

Am = (2m� 1�M); m = 1; 2; : : : ;M

per un’opportuna sinusoide:u(t) = v(t)

p2 cos 2�fct

La densita spettrale di potenza di questo segnale e

SU (f) = 1

2[SV (f � fc) + SV (f + fc)]

L’energia del segnale elementare con questa scelta e uguale all’energia del segnale in banda base:

Em = A2mEg

Quando l’impulso base e rettangolare lo schema di modulazione viene chiamato “Amplitude Shift Keying” (ASK)La rappresentazione vettoriale dei segnali non e differente da quella ottenuta in banda base.

La probabilita di errore per una modulazione M-ASK ha quindi la seguente espressione:

PM =2(M � 1)

MQ

s6PAvT

(M2 � 1)N0

!

10.2 Modulazione di fase della portante (M-PSK)

L’insieme delle forme d’onda utilizzate dal modulatore e il seguente:

um(t) = gT (t)p2 cos

�2�fct+

2�m

M

�; m = 0; 1; : : : ;M � 1

L’energia dei segnali e identica ed e pari all’energia del segnale in banda base :

Em = EgLa dimensionalita di questo insieme di segnali e due per M > 2. I due versori su cui rappresentare tutti i possibilisegnali sono

1(t) =

s2

Eg gT (t) cos 2�fct

2(t) =

s2

Eg gT (t) sin 2�fct

La densita spettrale di potenza di questo segnale e

SU (f) = 1

2[SV (f � fc) + SV (f + fc)]

La probabilita di errore PM (e) e calcolabile esattamente quando M=2:

P2(e) = Q

r2EbN0

!

10.2. MODULAZIONE DI FASE DELLA PORTANTE (M-PSK) 69

e quandoM = 4:

P4(e) = 2Q

r2EbN0

!"1� 1

2Q

r2EbN0

!#

Una buona approssimazione della probabilita di errore per M � 8 e la seguente:

PM (e) = 2Q

r2kEbN0

sin�

M

!

Dove k = log2M e il numero di bit associati ad ogni intervallo di segnalazione.

Esercizio 10.1 (CSE pag.714 n.9.2):Due portanti in quadratura cos 2�fct e sin 2�fct sono usate per trasmettere informazione digitale attraverso uncanale AWGN a due frequenze dati differenti, 10 kbits/sec e 100 kbits/sec. Determinare le ampiezze relative deisegnali per le due portanti in modo tale che il rapporto E b=N0 per i due canali sia identico. �

Soluzione esercizio 10.1:L’energia del segnale trasmesso per una modulazione PAM e data da

Eb = A2T

2

Dove T e l’intervallo di segnalazione ed A e l’ampiezza del segnale. Poiche entrambe le portanti sono utilizzateper trasmettere informazione sullo stesso canale, il rapporto segnale-rumore e lo stesso se A 2T rimane costante.Percio, la relazione desiderata tra le ampiezze delle portanti e il rate di trasmissione R = 1=T e:

A1

A2=

rT2T1

=

rR2

R1

Poiche rR2

R1= 0:1

OtteniamoA1

A2= 0:3162

|

Esercizio 10.2 (CSE pag.714 n.9.3):Un canale ideale telefonico ha una risposta in frequenza di tipo passa-banda che occupa le frequenze comprese tra300 Hz e 3000 Hz.

1. Progettare un sistema che utilizza una modulazione 4-PSK per trasmettere dati ad un rate di 2400 bits/sec econ una frequenza di portante fc = 1800 Hz. Per sagomare lo spettro, si utilizzi una risposta in frequenzadel tipo a coseno rialzato. Si disegni uno schema a blocchi del sistema descrivendone le caratteristichefunzionali.

2. Si ripeta il punto 1 per un rate di 4800 bits/sec.

�


1. La larghezza di banda del canale e data da:

W = 3000� 600 = 2400Hz


Poiche ogni simbolo QPSK porta 2 bit di informazione, la frequenza di simbolo in trasmissione e:

R =2400

2= 1200 simboli/sec

Quindi, per sagomare lo spettro possiamo utilizzare un impulso con spettro a coseno rialzato e roll-off� = 1.

Xrc(f) =T

2[1 + cos(�T jf j)] = 1

2400cos2

��jf j2400

�

Se le caratteristiche del filtro sono divise simmetricamente nel filtro di trasmissione e ricezione si ha:

GT (f) = GR(f) =

r1

1200cos

��jf j2400

�jf j < 1

T= 1200

2. Se il rate di 4800 bits/sec allora la frequenza di simbolo deve essere

R =4800

2= 2400 simboli/sec

Per soddisfare al criterio di Nyquist, l’impulso elementare deve avere uno spettro a coseno rialzato conroll-off zero:

X(f) = T�

�f

W

�E quindi il filtro di trasmissione deve avere la seguente risposta in frequenza:

GT (f) = GR(f) =pT�

�f

W

�

|

Esercizio 10.3 (CSE pag.714 n.9.5):Si consideri il segnale

u(t) =

�AT t cos 2�fct; 0 � t � T0; altrove

1. Determinare la risposta all’impulso del filtro adattato al segnale.

2. Determinare l’uscita del filtra adattato nell’istante t = T .

3. si supponga che il segnale u(t) sia passato attraverso un correlatore che correla l’ingresso u(t) con u(t).Determinare il valore dell’uscita del correlatore in t = T . Confrontare il risultato con quello ottenuto alpunto 2.

�


1. La risposta all’impulso del filtro adattato e:

s(t) = u(T � t) =

�AT (T � t) cos(2�fc(T � t)) 0 � t � T0 altrove

10.2. MODULAZIONE DI FASE DELLA PORTANTE (M-PSK) 71

2. L’uscita del filtro adattato in t = T e:

g(T ) = u(t) ? s(t)jt=T =

Z T

0

u(T � �)s(�)d�

=A2

T 2

Z T

0

(T � �)2 cos2(2�fc(T � �))d�

=A2

T 2

Z T

0

v2 cos2(2�fcv)dv

=A2

T 2

�v3

6+

�v2

4� 2�fc� 1

8� (2�fc)3

�sin(4�fcv) +

v cos(4�fcv)

4(2�fc)2

��T0

=A2

T 2

�T 3

6+

�T 2

4� 2�fc� 1

8� (2�fc)3

�sin(4�fcT ) +

T cos(4�fcT )

4(2�fc)2

�

3. L’uscita del correlatore in t = T e

q(T ) =

Z T

0

u2(�)d� =A2

T 2

Z T

0

�2 cos2(2�fc�)d�

Questa espressione e identica a quella trovata all’uscita del filtro adattato campionato in t = T . Percio, ilcorrelatore puo sostituire il filtro adattato in un sistema di demodulazione e viceversa.

|

Esercizio 10.4 (CSE pag.715 n.9.7):Si consideri una modulazione 4-PSK che puo essere rappresentata dal segnale equivalente in banda base

v(t) =Xn

ang(t� nT )

dove an assume uno dei possibili valori �1�jp2

con uguale probabilita ed i simboli di informazione sono statistica-mente indipendenti.

1. Determinare e disegnare la densita spettrale di potenza di v(t) quando:

g(t) =

�A; 0 � t � T0; altrove

2. Si ripeta punto 1 quando

g(t) =

�A sin �t

2 ; 0 � t � T0; altrove

3. Confrontare gli spettri ottenuti nei punti 1 e 2 in termini della banda a -3 dB e di quella relativa al primo zeroin frequenza.

�


1. La funzione di autocorrelazione dei simboli di informazione fa ng e

Ra(k) = E[a�nan+k] =1

4� janj2Æ(k) = Æ(k)

Percio la densita spettrale di potenza di v(t) e:

SV (f) = 1

TSa(f)jG(f)j2 =

1

TjG(f)j2


doveG(f) = F [g(t)]. Se g(t) = A�( t�T=2T ), otteniamo jG(f)j2 = A2T 2sinc2(fT ) e quindi,

SV (f) = A2T sinc2(fT )

2. Se g(t) = A sin(�t=2)��t�T=2T

�, allora

G(f) = A

�1

2jÆ(f � 1=4)� 1

2jÆ(f + 1=4)

�? T sinc(fT )e�j2�fT=2

=AT

2[Æ(f � 1=4)� Æ(f + 1=4)] ? sinc(fT )e�j2�fT=2+�=2

=AT

2e�j�[(f�1=4)T+1=2]

hsinc((f � 1=4)T )� sinc((f + 1=4)T )e�j�T=2

iPercio

jG(f)j2 =A2T 2

4

�sinc2((f � 1=4)T ) + sinc2((f + 1=4)T )

�2sinc((f + 1=4)T )sinc((f � 1=4)T ) cos�T

2

�E quindi la potenza spettrale del segnale trasmesso vale

SV (f) =A2T

4

�sinc2((f � 1=4)T ) + sinc2((f + 1=4)T )

�2sinc((f + 1=4)T )sinc((f � 1=4)T ) cos�T

2

�

3. Il primo zero dello spettro ricavato al punto 1 si trova in

W0 =1

T

Mentre la banda a -3 dB si trova risolvendo l’equazione

SV (W3) =1

2SV (0)

Poiche sinc2(0) = 1 otteniamo:

sinc2(W3T ) =1

2! sin(�W3T ) =

1p2�W3T

Risolvendo numericamente otteniamo:

W3 =1:3916

�T=

0:443

T

Per trovare il primo zero dello spettro ricavato nel secondo punto assumiamo T = 1. In questo caso

SV (f) = A2

4

�sinc2(f + 1=4) + sinc2(f � 1=4)

�Per il quale si ottiene che nessun valore di f azzera lo spettro. Quindi, in questo caso W 0 =1. Per trovarela banda a -3 dB si noti che

SV (0) = A2

42sinc(1=4) =

A2

41:6212

Risolvendo numericamente l’equazione

SV (W3) =1

2

A2

41:6212

si ottiene che W3 = 0:5412.

|

Capitolo 11

Modulazioni DPSK e QAM





1. Modulazione differenziale di fase (DPSK)

2. Modulazione di ampiezza e di fase (QAM)

3. Codifica di Gray

73

74 CAPITOLO 11. MODULAZIONI DPSK E QAM

FiltroAdattato

RitardoT

Confrontafase

Oscillatore

π/2

FiltroAdattato

tfcπ2cos2

tfcπ2sin2

Campionatore

Figura 11.1:

11.1 Modulazione differenziale di fase (DPSK)

La modulazione differenziale di fase serve per eliminare le ambiguita di fase di multipli di 2�=M che sono intrin-seche nel recupero dellla portante. L’informazione e codificata nella differenza di fase tra due successivi intervallidi segnalazione. La probabilita di errore raddoppia ma lo schema di demodulazione puo essere notevolmentesemplificato.

Le prestazioni del M-DPSK demodulato come in figura 11.1 sono peggiori di quelle del PSK di circa 3 dB seM � 4. Quando M = 2 la probabilita di errore e derivabile esattamente:

P2DPSK =1

2e�Eb=N0

11.2 Modulazione di ampiezza in quadratura (QAM)

Le due portanti in quadratura vengono utilizzate come versori ortonormali percio il segnale elementare dellemodulazioni QAM e del tipo:

um(t) = AmcgT (t) cos 2�fct+AmsgT (t) sin 2�fct m = 1; 2; : : : ;M

Alternativamente le modulazioni QAM possono essere viste come modulazioni miste di ampiezza e fase:

umn(t) = AmgT (t) cos (2�fct+ �n)

Il segnale numerico in banda base associato a modulazioni QAM ha quindi la forma

v(t) =

1Xn=�1

Anej�ngT (t� nT )

Si noti che le modulazioni ASK e PSK sono due casi particolari di modulazione QAM rispettivamente quando�n = costante e An = costante.

Il demodulatore ottimo e mostrato nella figura 11.2L’energia associata ad ogni segnale e differente, percio le prestazioni si danno in funzione della potenza media:

Pav =1

M

MXm=1

1

2

�A2mc +A2

ms

�

11.2. MODULAZIONE DI AMPIEZZA IN QUADRATURA (QAM) 75

Filtro

Decisorea minimadistanza

Oscillatore

π/2

tfcπ2cos2

tfcπ2sin2

Campionatore

PLL

( )tgT

Filtro( )tgT

clock

Figura 11.2:

Le costellazioni M-QAM piu utilizzate sono quelle rettangolari equivalenti a due modulazioni PAM in quadratura.

PM � 4Q

s3kEbav

(M � 1)N0

!

Il risparmio di potenza rispetto alla modulazione PSK e dato dal rapporto

RM =3=(M � 1)

2 sin2(�=M)

Esercizio 11.1 (CSE pag.717 n.9.16):Si considerino le due costellazioni QAM nella figura sottostante. La minima distanza tra due punti adiacenti sia2A. Determinare la potenza media per ciascuna costellazione assumendo che i segnali siano equiprobabili. Qualecostellazione e piu efficiente in termini di energia? �

Soluzione esercizio 11.1:La prima costellazione ha quattro punti a distanza 2A dall’origine e quattro punti a distanza 2

p2A. Percio, la

potenza media trasmessa per la costellazione e:

Pa =1

8

h4� (2A)2 + 4� (2

p2A)2

i= 6A2

La seconda costellazione ha quattro punti a distanzap7A dall’origine, due punti a distanza

p3A e due punti a


a

b

Figura 11.3:

distanza A. Percio la potenza media trasmessa per la seconda costellazione e:

Pb =1

8

h4� (

p7A)2 + 2� (2

p3A)2 + 2A2

i=

9

2A2

Poiche Pb < Pa la seconda costellazione e piu efficiente.|

Esercizio 11.2 (CSE pag.719 n.9.20):Si considerino le costellazioni della figura 11.3 sottostante.

1. I segnali piu vicini nella costellazione 8-QAM sono separati da A unita. Determinare i raggi a e b dei cerchiinterni ed esterni.

2. I segnali della costellazione 8-PSK sono separati di A unita. Determinare il raggio r del cerchio.

3. Determinare le potenze medie trasmesse per le due costellazioni e confrontare i risultati. Qual e il risparmiodi potenza di una costellazione rispetto all’altra?

�


1. Usando il teorema di Pitagora possiamo trovare il raggio del cerchio interno:

a2 + a2 = A2 ! a =1p2A

Il raggio del cerchio esterno puo essere trovato utilizzando la regola del coseno.

b =pa2 � (A=2)2 +

pA2 � (A=2)2 =

1 +p3

2A

2.

A2 = r2 + r2 � 2r cos 45! r = A1p

2�p2

3. La potenza media trasmessa della modulazione PSK e:

PPSK = 8� 1

8� A

1p2�p2

!2

= A2 1

2�p2


mentre la potenza media trasmessa per la costellazione QAM e:

PQAM =1

8

4A2

2+ 4

(1 +p3)2A2

4

!=

"2 + (1 +

p3)2

8

#A2

Quindi il risparmio di energia della costellazione QAM rispetto alla costellazione PSK e dato da:

PPSK

PQAM

=8

(2 + (1 +p3)2)(2�p2)

= 1:5927 dB

|

Esercizio 11.3 (CSE pag.717 n.9.21):Si consideri un sistema di comunicazioni che trasmette informazione utilizzando una modulazione QAM su uncanale telefonico ad un rate di 2400 simboli/sec con rumore Gaussiano bianco.

1. Determinare il rapporto Eb=N0 richiesto per una probabilita di errore di 10�5 a 4800 bits/sec.

2. Si ripeta il punto 1 per un rate di 9600 bits/sec

3. Si ripeta il punto 1 per un rate di 19200 bits/sec

4. Commentare i risultati.

�


1. Il numero di bit per simbolo e:

k =4800

R=

4800

2400= 2

Percio, una modulazione 4-QAM puo essere utilizzata in trasmissione. La probabilita di errore per un sistemaM-QAM con M = 2k e:

PM = 1� 1� 2

�1� 1p

M

�Q

"s3kEb

(M � 1)N0

#!2

Con PM = 10�5 e k = 2 otteniamo

Q

"r2EbN0

#= 5� 10�6 ! Eb

N0= 9:7682

2. Se il rate in trasmissione e di 9600 bps allora

k =9600

R=

9600

2400= 4

In questo caso dobbiamo utilizzare una costellazione 16-QAM per la quale la probabilita di errore e:

PM = 1� 1� 2

�1� 1

4

�Q

"r3� 4Eb15�N0

#!2

Percio

Q

"r3� Eb15�N0

#=

1

3� 10�5 ! Eb

N0= 25:3688


3. Se il rate in trasmissione e di 19200 bps allora

k =19200

R=

19200

2400= 8

In questo caso dobbiamo utilizzare una costellazione 256-QAM per la quale la probabilita di errore e:

PM = 1� 1� 2

�1� 1

16

�Q

"r3� 8Eb255�N0

#!2

Dal quale si ricava per PM = 10�5:EbN0

= 659:8922

4. la tabella seguente riporta il rapporto segnale-rumore per bit, espresso in decibel, e il corrispondente numerodi bit per simbolo per ciascuna delle modulazioni dei punti 1,2,3.

k 2 4 8SNR (dB) 9.89 14.04 28.19

in questa tabella si puo osservare la perdita di circa 3 dB che ogni bit aggiuntivo comporta.

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Esercizio 11.4 (CSE pag.718 n.9.19):Un canale passabanda a 4 kHz e utilizzato per la trasmissione di dati alla velocita di 9600 bits/sec. Se N 0=2 =10�10 W/Hz e la densita spettrale di potenza del canale AWGN, progettare una modulazione QAM e determinarela potenza media che garantisce una probabilita di errore sul bit di 10�6. Utilizzare un impulso con spettro acoseno rialzato con un fattore di roll-off � � 0:5. �

Soluzione esercizio 11.4:La banda del canale e W = 4 KHz. Quindi, il rate di trasmissione dovrebbe essere minore o uguale a 4000simboli/secondo. Se utilizziamo una costellazione 8-QAM, allora il rate di simbolo richiesto e R = 9600=3 =3200. Se viene utilizzato un impulso con spettro a coseno rialzato per la sagomatura dello spettro, il massimoroll-off e determinato dalla seguente equazione:

1600(1 + �) = 2000

che comporta � = 0:25. Poiche � e minore del 50%, consideriamo una costellazione con cardinalita maggiore.Con una modulazione 16-QAM otteniamo:

R =9600

4= 2400

e1200(1 + �) = 2000! � = 2=3 > 0:5

La probabilita di errore per una costellazione M-PAM e data da:

PM = 1� 1� 2

�1� 1p

M

�Q

"s3Eav

(M � 1)N0

#!2

Con PM = 10�6 otteniamo:

2��1� 1

4

�Q

"r3Eav

15� 2� 10�10

#= 5� 10�7


Che comporta che l’energia media trasmessa sia

Eav = 24:7� 10�9

Si noti che se la caratteristica spettrale desiderata e divisa tra trasmettitore e ricevitore, allora l’energia dell’impulsoin trasmissione e: Z 1

�1g2T (t)dt =

Z 1

�1jGT (f)j2df =

Z 1

�1Xrc(f)df = 1

Quindi, l’energia Eav = PavT dipende solamente dall’ampiezza dei punti trasmessi e dall’intervallo di simbolo.Poiche T = 1=2400, la potenza media trasmessa e:

Pav =EavT

= 24:7� 10�9 � 2400 = 592:8� 10�7

Se i punti dell costellazione 16-QAM sono equispaziati con distanza minima uguale a d, allora ci sono quattropunti con coordinate (�d=2;�d=2), quattro punti con coordinate (�3d=2;�3d=2), quattro punti con coordinate(�3d=2;�d=2) e quattro punti con coordinate (�d=2;�3d=2). Percio, la potenza media trasmessa e

Pav =1

2� 16

16Xi=1

(A2mc +A2

ms) =1

32

�4� d2

2+ 4� 9d2

2+ 8� 10d2

4

�=

20

16d2

Da cui si ottiene

d =

r592:8� 10�7 � 16

20= 0:00688

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Esercizio 11.5 (CSE pag.719 n.9.22):Si considerino la costellazione QAM a 8 punti dell’esercizio 2.

1. E’ possibile trovare una codifica di Gray per questa costellazione?

2. Determinare il rate di simbolo se il bit rate desiderato e di 90 Mbits/sec.

3. Confrontare il rapporto segnale-rumore richiesto per la modulazione 8-QAM con quello della modulazione8-PSK per ottenere la stessa probabilita di errore.

4. Quale costellazione delle due e piu immune agli errori di fase?

�


1. Benche sia possibile effettuare una codifica di Gray sulla modulazione 8-PSK, questo non e possibile peruna costellazione 8-QAM. Infatti per questa costellazione esistono tre punti che chiameremo A;B;C chesono equidistanti tra loro e quindi formano un triangolo equilatero. Se assegnamo al punto A la sequenza ditutti zero, allora i punti B e C dovranno essere del tipo

B = f0; : : : ; 0; 1; 0; : : : ; 0gC = f0; : : : ; 0; 0; 1; : : : ; 0g

Con le posizioni degli uno differenti, altrimenti B = C. Quindi le sequenza B e C differiscono di due bit.

2. . Poiche ogni simbolo porta 3 bit di informazione, il rate di simbolo vale:

Rs =90� 106

3= 30� 106


3. La probabilita di errore per una modulazione M-PSK vale

PM = 2Q

"r2EsN0

sin�

M

#

mentre la probabilita di errore per una modulazione QAM e limitata da

PM = 4Q

"s3Eav

(M � 1)N0

#

trascurando il fattore della Q le due costellazioni ottengono la stessa probabilita di errore se:

p2SNRPSK sin

�

M=

r3SNRQAM

M � 1

Con M = 8 otteniamo:

p2SNRPSK sin

�

8=

r3SNRQAM

7! SNRPSK

SNRPSK

=3

7� 2� 0:38272= 1:4627

4. Assumendo che l’ampiezza dei segnali sia determinata correttamente , allora il decisore per la modulazione8-PSK fara errori quando l’errore di fase e maggiore di 22.5 gradi. Nel caso della modulazione 8-QAMinvece si incorre in un errore di decisione quando l’errore di fase e maggiore di 45 gradi. La costellazioneQAM e quindi piu immune agli errori di fase.

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Capitolo 12

Modulazioni MFSK e confronto tramodulazioni



Esercizi svolti1 9.26 pag.7202 9.24 pag.7203 9.25 pag.7204 9.27 pag.721Esercizio proposto5 9.23 pag.720


1. Modulazione di frequenza (FSK)

2. Modulazione di frequenza non coerente

81

82 CAPITOLO 12. MODULAZIONI MFSK E CONFRONTO TRA MODULAZIONI

12.1 Modulazione di frequenza (M-FSK)

Per la modulazione di frequenza si utilizza un insieme di segnali dato da:

um(t) =

r2EsT

cos(2�fct+ 2�m�ft) m = 0; 1; : : : ;M � 1 (12.1)

Quando

�f =k

2T

Le forme d’onda sono tutte ortogonali fra di loro e quindi la loro rappresentazione vettoriale e data da:

s1 =hp

Es; 0; : : : ; 0i

s2 =h0;pEs; : : : ; 0

i...

sm =h0; 0; : : : ;

pEsi

Quando la fase delle varie portanti non e nota al ricevitore la frequenza di separazione deve essere raddoppiata

um(t) =

r2EsT

cos(2�fct+ 2�m�ft+ �m) m = 0; 1; : : : ;M � 1

�f =k

T

La demodulazione coerente del segnale FSK richiede M recuperi di portante ed e quindi molto complessa. Loschema di demodulazione per l’FSK coerente e riportato nella figura 12.1.

12.2 Modulazione di frequenza non coerente

Lo schema di demodulazione che non richiede la stima della fase della portante (non coerente) e molto piu usato.Nella figura 12.2 e riportato uno schema per la decodifica non coerente del segnale FSK.

Quando i segnali sono equiprobabili la regola di decisione ottima e quella che massimizza il valore dell’invi-luppo

rm =pr2mc + r2sc

La probabilita di errore per la modulazione M-FSK non coerente e data da

PM =

M�1Xn=1

(�1)n+1

�Mn

�1

n+ 1exp

�� nkEb(n+ 1)N0

�

In particolare, quando M = 2 si ha

P2 =1

2exp

�� Eb2N0

�

Esercizio 12.1 (CSE pag.720 n.9.26):Si consideri il demodulatore non coerente per la modulazione M-FSK.

1. Si assuma che sia stato trasmesso il segnale

u0(t) =

r2EsT

cos 2�fct 0 � t � T

Determinare l’uscita degli M � 1 correlatori nell’istante t = T corrispondenti ai segnali um(t); m =

1; 2; : : : ;M � 1 dati nella 12.1 quando �M = �m.

12.2. MODULAZIONE DI FREQUENZA NON COERENTE 83

PLL ( )12cos φπ +tf c

( )dtt�0

PLL ( )( )22cos φπ +∆+ tff c

( )dtt�0

PLL

( )dtt�0

Decisore

( )( )( )212cos φπ +∆−+ tfMfc

Figura 12.1:


( )tfcπ2cos

( )dtt�0

Max

( )dtt�0

2

2( )tfcπ2sin

( )( )tffc ∆+π2cos

( )dtt�0

( )dtt�0

2

2

( )( )tffc ∆+π2sin

( )( )( )tfMfc ∆−+ 12cos π

( )dtt�0

( )dtt�0

2

2

( )( )( )tfMfc ∆−+ 12sin π

Figura 12.2:


2. Mostrare che la minima frequenza di separazione richiesta per l’ortogonalita dei segnali quando �M 6= �me �f = 1=T .

�


1. Se il segnale trasmesso e:

u0(t) =

r2EsT

cos 2�fct 0 � t � T

allora il segnale ricevuto e:

r(t) =

r2EsT

cos(2�fct+ �) + n(t) 0 � t � T

Nella demodulazione coerente il segnale ricevuto e correlato con ognuno dei possibili segnali cos(2�f ct +2�m�ft+ �m), dove �m sono le stime delle fasi delle portanti. L’uscita dell’m-esimo correlatore e:

rm =

Z T

0

r(t) cos(2�fct+ 2�m�ft+ �m)dt

=

Z T

0

r2EsT

cos(2�fct+ �) cos(2�fct+ 2�m�ft+ �m)dt

+

Z T

0

n(t) cos(2�fct+ 2�m�ft+ �m)dt

=

r2EsT

Z T

0

1

2

�cos(2�2fct+ 2�m�ft+ �m + �) + cos(2�m�ft+ �m � �)

�dt+ n

=

r2EsT

1

2

Z T

0

cos(2�m�ft+ �m � �)dt + n

Dove n e una variabile casuale con v.m. nullo e varianza N 0=2.

2. Per ottenere segnali ortogonali nel demodulatore, il valor medio di rm, E[rm] deve essere uguale a zero pertutti gli m 6= 0. poiche E[n] = 0 questo significa cheZ T

0

cos(2�m�ft+ �m � �)dt = 0 8m 6= 0

L’uguaglianza e vera quandom�f e un multiplo di 1=T . Poiche il piu piccolo valore dim e 1, la condizionenecessaria per l’ortogonalita e:

�f =1

T

|

Esercizio 12.2 (CSE pag.720 n.9.24):La condizione per l’ortogonalita dei segnali binari FSK per demodulazione coerente e che �f = 1=2T . Tuttaviasi puo ottenere una probabilita di errore minore con demodulazione coerente quando la separazione in frequenzae superiore a 1=2T . Mostrare che il valore di �f che ottimizza le prestazioni e dato da 0:715=T e calcolare laprobabilita di errore per questo scelta di �f . �

Soluzione esercizio 12.2:Si considerino le seguenti forme d’onda della modulazione FSK binaria:

u1(t) =

r2EbT

cos(2�fct)

u2(t) =

r2EbT

cos(2�fct+ 2�m�ft)


La correlazione tra i due segnali e per definizione:

12 =1

Eb

Z T

0

u1(t)u2(t)dt

=1

Eb

Z T

0

2EbT

cos(2�fct) cos(2�fct+ 2�m�ft)dt

=1

T

Z T

0

cos(2��ft)dt+1

T

Z T

0

cos(2�2fct+ 1��ft)dt

Se fc � 1=T , allora

12 =1

T

Z T

0

cos(2��ft)dt =sin(2��fT )

2��fT

Per trovare il minimo valore della correlazione, dobbiamo imporre che la derivata rispetto a �f sia uguale azero:

@ 12@�f

= 0 =cos(2��fT )2�T

2��fT� sin(2��fT )

(2��fT )22�T

e quindi2��fT = tan(2��fT )

Risolvendo questa equazione otteniamo

�f =0:7151

T

Per cui il valore di 12 e -0.2172. La probabilta di errore puo essere espressa in termini della distanza tra i puntidella costellazione con la seguente espressione:

Pb = Q

24s

d2122N0

35

I due segnali hanno uguale energia:jju1jj2 = jju2jj2 = Eb

e l’angolo �12 tra i due segnali e tale checos �12 = 12

Quindi:d212 = jju1jj2 + jju2jj2 � 2jju1jjjju2jj 12 = 2Eb(1� 12)

e quindi

Pb = Q

"rEb � 1:2172

N0

#

|

Esercizio 12.3 (CSE pag.720 n.9.25):Si considerino i tre insiemi di segnali della figura 12.3 da utilizzarsi associati a simboli equiprobabili su un canaleAWGN.

1. Classificare gli insiemi di segnali secondo gli schemi visti durante il corso.

2. Determinare l’energia media trasmessa per ciascun insieme.

3. Per il primo insieme, specificare la probabilita di errore media se i segnali sono demodulati coerentemente.

4. Per il secondo insieme, si dia un limite superiore alla probabilita di errore quando la decodifica e coerente enon-coerente.


A

3A

-A

3A

A

2/A

1

1 2 3

Figura 12.3:

5. E’ possibile utilizzare una decodifica non coerente per il terzo insieme di segnali? Motivare la risposta.

6. Quale insieme di segnali si dovrebbe scegliere se si volesse ottenere una rapporto tra bit rate e banda utilizzata(R=W ) di almeno 2? Motivare la risposta.

�


1. Il primo insieme e una modulazione 4-PAM. I punti della costellazione sono f�A;�3Ag. Il secondo insiemerappresenta 4 segnali ortogonali, la cui rappresentazione geometrica e

s1 = [A; 0; 0; 0] s3 = [0; 0; A; 0]s2 = [0; A; 0; 0] s4 = [0; 0; 0; A]

E quindi puo essere classificato come una costellazione 4FSK. Il terzo insieme puo essere classificato comeuna costellazione 4-QAM la cui rappresentazione geometrica e:

s1 = [A=p2; A=

p2] s3 = [�A=p2; A=

p2]

s2 = [A=p2;�A=p2] s4 = [�A=p2;�A=p2]

2. La potenza media trasmessa per le tre modulazioni e la seguente:

Eav;1 =1

4

4Xi=1

jjsijj2 =1

4(A2 + 9A2 + 9A2 +A2) = 5A2

Eav;2 =1

4

4Xi=1

jjsijj2 =1

4(4A2) = A2


Eav;3 =1

4

4Xi=1

jjsijj2 =1

4(4� (A2=2 +A2=2)) = A2

3. La probabilita di errore per un segnale 4-PAM e data da

P1 =2(M � 1)

MQ

"s6Eav;1

(M2 � 1)N0

#=

3

2Q

24s2A2

N0

35

4. Quando si usa la demodulazione coerente, allora un limite superiore alla probabilita di errore e data da

P2;c � (M � 1)Q

"r EsN0

#= 3Q

24sA2

N0

35

Se la demodulazione e non coerente allora la probabilita di errore e data da

P2;n =

M�1Xn=1

(�1)n+1

�Mn

�1

n+ 1exp

�� nkEb(n+ 1)N0

�

=3

2e�A

2=2N0 � e�2A2=3N0 +1

4e�3A2=4N0

5. La tabella seguente mostra il rapporto tra bit rate ed ampiezza di banda per i vari sistemi di modulazione edil risultato per M = 4.

Tipo R=W M = 4PAM 2 log2M 4QAM log2M 2

FSK coerente (2 log2M)=M 1FSK non coerente (log2M)=M 0.5

Per ottenere un rapporto maggiore o uguale a 2 dobbiamo percio scegliere il primo o il terzo insieme disegnali.

|

Esercizio 12.4 (CSE pag.721 n.9.27):Nella demodulazione non coerente di segnali MFSK, mostrare che i 2M campioni di rumore all’uscita dei campio-natori sono variabili casuali con v.m nullo, varianza N0=2 e mutuamente indipendenti. �

Soluzione esercizio 12.4:Le componenti di rumore nell’uscita campionata dell’m-esimo segnale FSK sono:

nmc =

Z T

0

n(t)

r2

Tcos(2�fct+ 2�m�ft)dt

nms =

Z T

0

n(t)

r2

Tsin(2�fct+ 2�m�ft)dt

Ovviamente queste hanno valor medio nullo poiche:

E[nmc] = E

"Z T

0

n(t)

r2

Tcos(2�fct+ 2�m�ft)dt

#

=

Z T

0

E[n(t)]

r2

Tcos(2�fct+ 2�m�ft)dt = 0


E[nms] = E

"Z T

0

n(t)

r2

Tsin(2�fct+ 2�m�ft)dt

#

=

Z T

0

E[n(t)]

r2

Tsin(2�fct+ 2�m�ft)dt = 0

Inoltre

E[nmcnkc] = E

"2

T

Z T

0

Z T

0

n(t)n(�) cos(2�fct+ 2�m�ft) cos(2�fc� + 2�k�f�)dtd�

#

=2

T

Z T

0

Z T

0

E[n(t)n(�)] cos(2�fct+ 2�m�ft) cos(2�fc� + 2�k�f�)dtd�

=2

T

N0

2

Z T

0

cos(2�fct+ 2�m�ft) cos(2�fct+ 2�k�ft)dt

=2

T

N0

2

Z T

0

1

2(cos(2�2fct+ 2�(m+ k)�ft) + cos(2�(m� k)�ft)) dt

=2

T

N0

2

Z T

0

1

2Æmkdt =

N0

2Æmk

Infatti, quando fc � 1=T si ha Z T

0

cos(2�2fct+ 2�(m+ k)�ft)dt � 0

e, per �f = 1=T Z T

0

cos(2�(m� k)�ft)dt = 0 8m 6= k

Nella stessa maniera si ricava che

E[nms; nks] =N0

2Æmk

|

Esercizio 12.5 (CSE pag.720 n.9.23):Le due forme d’onda della modulazione FSK binaria con fase discontinue sono:

s0(t) =

r2EbTb

cos

�2�

�f � �f

2

�t+ �0

�; 0 � t � T

s1(t) =

r2EbTb

cos

�2�

�f +

�f

2

�t+ �1

�; 0 � t � T

Dove �f = 1=T � fc e �0; �1 sono variabili casuali uniformemente distribuite nell’intervallo (0; 2�). I segnalis0(t) e s1(t) sono equiprobabili.

1. Determinare la densita spettrale di potenza del segnale FSK.

2. Mostrare che la densita spettrale di potenza descresce come 1=f 2 per f � fc.

�

Capitolo 13

Sincronizzazione





1. Sincronizzazione di simbolo

2. Anello ad aggancio di fase

3. Recupero della portante

91

92 CAPITOLO 13. SINCRONIZZAZIONE

Esercizio 13.1 (CSE pag.136 n.2.51):Utilizzando l’identita

1Xn=�1

Æ(t� nT ) =1

Ts

1Xn=�1

ejn2�tTs

Mostrare che per qualsiasi segnale x(t) e per ogni Ts, vale la seguente identita:

1Xn=�1

x(t� nTs) =1

Ts

1Xn=�1

X

�n

Ts

�ejn

2�tTs

Da questo si derivi la seguente espressione nota come Formula della somma di Poissson:

1Xn=�1

x(nTs) =1

Ts

1Xn=�1

X

�n

Ts

�

�


1Xn=�1

x(t� nTs) = x(t) ?

1Xn=�1

Æ(t� nTs) =1

Tsx(t) ?

1Xn=�1

ejn2�tTs

=1

TsF�1

"X(f)

1Xn=�1

Æ(f � n

Ts)

#

=1

TsF�1

" 1Xn=�1

X

�n

Ts

�Æ(f � n

Ts)

#

=1

Ts

1Xn=�1

X

�n

Ts

�ejn

2�tTs

Se poniamo t = 0 nella ralazione precedente otteniamo la formula della somma di Poisson:

1Xn=�1

x(�nTs) =1X

m=�1x(mTs) =

1

Ts

1Xn=�1

X

�n

Ts

�

|

Esercizio 13.2 (CSE pag.715 n.9.8):Nella demodulazione di un segnale binario PSK ricevuto da una canale AWGN, un PLL e utilizzato per stimare lafase della portante �.

1. Determinare gli effetti dell’errore di fase �� sulla probabilita di errore.

2. Qual e la perdita in SNR quando l’errore di fase e �� = 45Æ?

�


1. Se il segnale ricevuto er(t) = �gT (t) cos(2�fct+ �) + n(t)

93

allora prendendo la correlazione con il segnale all’uscita del PLL

(t) =

s2

Eg gT (t) cos(2�fct+ �)

otteniamo

Z T

0

r(t) (t)dt = �s

2

Eg

Z T

0

g2T (t) cos(2�fct+ �) cos(2�fct+ �)dt

+

Z T

0

n(t)

s2

Eg gT (t) cos(2�fct+ �)dt

= �s

2

Eg

Z T

0

g2T (t)

2

hcos(2�2fct+ �+ �) + cos(�� )

idt+ n

= �rEg2

cos(� � �) + n

Se assumiamo che il segnale s1(t) = gT (t) cos(2�fct+�) sia stato trasmesso, allora la probabilita di erroree:

P (errorejs1(t)) = P

rEg2

cos(� � �) + n < 0

!

= Q

24s

2Es cos2(�� )

N0

35

Dove Es = Eg=2 e l’energia del segnale trasmesso. L’errore di fase nel recupero della portante producedunque una perdita nel rapporto segnale rumore paria a:

SNRloss = �10 log10 cos2(�� )

2. Quando �� = 45Æ, allora la perdita dovuta all’errore di fase e:

SNRloss = �10 log10 cos2(45Æ) = 3:01 dB

|

Esercizio 13.3 (CSE pag.716 n.9.9):La probabilita di errore per una modulazione binaria PSK con errore di fase � e nel recupero della portante e datada:

P2(�e) = Q

r2EbN0

cos2 �e

!

Assumendo che l’errore di fase sia una variabile gaussiana, a v.m. nullo e varianza � 2� � �, determinare l’espres-

sione della probabilita di errore media. �

Soluzione esercizio 13.3:La densita di probabilita della fase �e e data da

p(�) =1p2��

e� �2

2�2�

94 CAPITOLO 13. SINCRONIZZAZIONE

Quindi, la probabilita di errore media e

P2 =

Z 1

�1P2(�)p(�)d�

=

Z 1

�1Q

r2EbN0

cos�

!p(�)d�

=1

2��

Z 1

�1

Zq

2EbN0

cos�

exp

"�1

2

x2 +

�2

�2�

!#dxd�

|

Esercizio 13.4 (CSE pag.716 n.9.10):Si supponga che il filtro di anello per un PLL abbia la seguente funzione di trasferimento:

G(s) =1

s+p2

1. Determinare la funzione di trasferimento ad anello chiuso H(s e indicare se l’anello e stabile

2. Determinare il fattore di smorzamento e la frequenza naturale dell’anello

�


1. La funzione di trasferimento ad anello chiuso e

H(s) =G(s)=s

1 +G(s)=s=

G(s)

s+G(s)=

1

s2 +p2 + 1

I poli del sistema sono le radici del denominatore

�1;2 =�p2�p2� 4

2= � 1p

2� j

1p2

Poiche la parte reale delle radici e negativa, i poli giacciono nella parte sinistra del piano complesso e quindiil sistema e stabile.

2. Scrivendo il denominatore nella forma

D = s2 + 2�!ns+ !2n

Si ottiene che la frequenza naturale dell’anello e !n = 1 ed il fattore di smorzamento � = 1=p2

|

Esercizio 13.5 (CSE pag.716 n.9.11):Si consideri un PLL per la stima della fase di un segnale nel quale il filtro di anello abbia la seguente funzione ditrasferimento

G(s) =K

1 + �1s

1. Determinare la funzione di trasferimento ad anello chiuso H(s) ed il suo guadagno in f = 0.

2. Per quali valori di �1 e K l’anello e stabile?

95

�


1. La funzione di trasferimento ad anello chiuso e

H(s) =G(s)=s

1 +G(s)=s=

G(s)

s+G(s)=

K

�1s2 + s+K=

K=�1s2 + s=�1 +K=�1

Il guadagno in continua del sistema e quindi:

jH(0)j = 1

2. I poli del sistema sono le radici del denominatore

�1;2 =�1�p1� 4K�1

2�1

Perche il sistema sia stabile la parte reale dei poli deve essere negativa. Poiche K e maggiore di zero, questoimplica che �1 sia positivo. Se richiediamo che il fattore di smorzamento � = 1

2p�1K

sia minore di 1, allorail guadagnoK deve soddisfare alla condizione:

K >1

4�1

|

Appendice A

Test di accertamento

Esercizio 1

Applicare la procedura di Gram-Schmidt per trovare una base di funzioni ortonormali per le quattro forme d’ondas1(t), s2(t), s3(t) ed s4(t) in Figura 1 prese nell’ordine.

1. Qual e la dimensionalita n di questa modulazione ?

2. Scrivere la rappresentazione vettoriale di ognuno dei segnali.

3. Rappresentare l’insieme dei segnali graficamente.

1

1/21/4

1/2

-1/2

T/2 T T/2 T

T/2 TT/2 T

s2(t)

s4(t)s3(t)

t

tt

t

s1(t)

Figura 1

97

Esercizio 2

1. Valutare un’approssimazione della probabilita di errore sul simbolo P (e) per la modulazione in Figura 2utilizzando il limite dell’unione (Union Bound). Si assumano i segnali equiprobabili.

2. Confrontare il risultato ottenuto con la probabilita di errore sul simbolo condizionata alla trasmissione delsegnale s1, P (ejs1).

A

A-A

-A

ψ2

ψ1

s1s2

s3 s4

Figura 2

Esercizio 3

Una modulazione PAM binaria utilizza il segnale base gT (t), rappresentato in Figura 3 su un canale AWGN nondistorcente con densita spettrale di rumore N0=2. Il segnale numerico generato dal modulatore e quindi:

v(t) =

1Xn=�1

angT (t� nT )

I simboli in ingresso al modulatore an sono statisticamente indipendenti ed assumono con uguale probabilita ivalori�A.

1. Disegnare la risposta all’impulso h(t) del filtro adattato.

2. Determinare il modulo della funzione di trasferimento H(f) del filtro adattato.

3. Disegnare l’uscita del filtro adattato nel caso di trasmissione di un singolo impulso gT (t) (n(t) = 0).

v(t) = gT (t)

4. Si supponga ora di trasmettere la sequenza

(: : : ; a�1; a0; a1; a2; a3; a4; : : :) = (: : : ;�1; 1; 1;�1; 1;�1; : : :) :

Disegnare l’uscita del filtro adattato x(t) nell intervallo [0; 4T ] (n(t) = 0).

5. Calcolare il rapporto segnale rumore SNR all’uscita del campionatore.

6. Determinare la probabilta di errore del sistema di modulazione.

n(t)

x(t)v(t)an

x(mT)

mT

H(f)Modulatore

1

T/2 Tt

gT(t)

-1

Figura 3

Appendice B

Test di accertamento del 29 Maggio 1996

Esercizio 1

Si consideri la seguente coppia di segnali:

s1(t) = A sin(2�t=T )�(t=T � 1=2)

s2(t) = B cos(2�t=T )�(t=T � 1=2)

Dove

�(x)4=

�1 jxj � 1=20 jxj > 1=2

1. Dimostrare che sono ortogonali

2. Calcolare le costanti A e B necessarie per ottenere una coppia di segnali ortonormali 1(t) e 2(t).

101

Esercizio 2

Si consideri una modulazione bidimensionale che utilizza il seguente insieme di segnali:

s1(t) = �3d 1(t) + d 2(t)

s2(t) = �d 1(t) + d 2(t)

s3(t) = 3d 1(t) + d 2(t)

s4(t) = d 1(t) + d 2(t)

s5(t) = �3d 1(t)� d 2(t)

s6(t) = �d 1(t)� d 2(t)

s7(t) = 3d 1(t)� d 2(t)

s8(t) = d 1(t)� d 2(t)

Dove 1(t) e 2(t) sono due qualsiasi funzioni ortonormali

1. Disegnare la costellazione di segnali sullo spazio definito dai due versori e le regioni di decisione dei segnali.

2. Determinare il valore di d affinche la modulazione abbia energia media unitaria, assumendo che i simbli diingresso siano equiprobabili.

3. Utilizzando il valore di d precedentemente ottenuto calcolare un limite superiore alla probabilita di erroresul simbolo utilizziando il limite dell’unione.

4. Assumendo che la corrispondenza tra bit di ingresso e segnali in uscita sia data dalla seguente tabella:

Input bits Transmitted signal000 s1(t)001 s2(t)010 s3(t)011 s4(t)100 s5(t)101 s6(t)110 s7(t)111 s8(t)

Calcolare un limite superiore alla probabilita di errore sul bit.

Esercizio 3

Si consideri la modulazione che si ottiene utilizzando i segnali ottenuti al punto 2 dell’Esercizio 1 come versoriper la costellazione di segnali dell’Esercizio 2.

1. Scrivere le risposte all’impulso e le funzioni di trasferimento dei due filtri adattati in ricezione.

2. Disegnare l’uscita dei filtri adattati nel caso di trasmissione di un singolo segnale nel caso in cui si trasmettala terna (000) e nel caso in cui si trasmetta la terna (011).

3. Calcolare il rapporto segnale rumore SNR all’uscita dei due campionatori, in presenza di un canale AWGNcon densita spettrale di potenzaN0=2.

Appendice C

Test di accertamento del 16 Giugno 1998

Esercizio 1

Applicare la procedura di Gram-Schmidt al seguente insieme di segnali e disegnarne la relativa rappresentazionegeometrica. Determinare le regioni di decisione, assumendo segnali equiprobabili.

-4-5

1 2

2

1

3 s3(t)s2(t)

s1(t)

-3

105

Esercizio 2

Si consideri la modulazione in figura, costituita da 8 segnali in uno spazio a due dimensioni:

π/4

ρ1

1. Calcolare un’espressione per la distanza minima dmin della costellazione in funzione del parametro �, con� > 1.

2. Calcolare un’espressione per l’energia mediaEav della costellazione in funzione del parametro �, con � > 1.

3. Determinare il valore della costante � che massimizza il rapporto

d2min

Eav

4. Confrontarla con il sistema in cui � = 1 (8-PSK).

Esercizio 3

Un sistema binario PAM utilizza impulsi rettangolari g(t) di durata T ed ampiezza A con periodo di segnalazioneT :

x(t) =Xk

akg(t� kT )

con ak 2 f+1;�1g. Il segnale viene inviato su un canale Gaussiano additivo dove il rumore ha densita spettraledi potenza N0=2. Il ricevitore consiste in un filtro adattato seguito da un campionatore che e affetto da un errore

di sincronismo cosicche il campione rk relativo al simbolo ak e dato da:

rk = y(T + (k + �)T )

dove y(t) e l’uscita del filtro adattato e � e un variabile casuale con la seguente distribuzione:

P (� = 0:05) = P (� = �0:05) = 0:005

P (� = 0:) = 1:0� 0:01 = 0:99

1. Disegnare il diagramma ad occhio all uscita del filtro di ricezione.

2. Calcolare la perdita in rapporto segnale rumore dovuta all’errore di sincronizzazione.

3. Calcolare la distorsione di picco dovuta all’interferenza intersimbolica e calcolare la probabilita di erroreesatta includendo l’effetto dell’interferenza intersimbolica.

Diploma Teledidattico in Telecomunicazioni: Esercitazioni dal...

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