MARCELLINI*ESERCIT ANALISI 2 VOL.2 ISBN 978-88-08-19145-8

9 788808 1914589 0 1 2 3 4 5 6 7 (60B)

Al pubblico 24,00

In caso di variazione Iva o cambiamento prezzo consultare il sito o il catalogo dell’editore

www.zanichelli.it

Marcellini

Sbordone

Paolo Marcellini, Carlo Sbordone

Seconda parte

Gli autoriPaolo Marcellini, professore ordinario di Analisi Matematica presso l’Università di Firenze, fa parte del Consiglio Scientifico dell’Istituto Nazionale di Alta Matematica (INdAM) ed è stato Presidente del Gruppo Nazionale per l’Analisi Matematica, la Probabilità e le loro Applicazioni (GNAMPA). È stato professore visitatore presso numerosi atenei e centri di ricerca internazionali, tra i quali: University of California, Berkeley; Collège de France, Paris; Institute for Advanced Study, Princeton; Center for Nonlinear Analysis, Carnegie Mellon University, Pittsburgh; Mathematical Institute of the University of Oxford; University of Texas, Austin; Institut Mittag-Leffler, Stockholm.Carlo Sbordone, professore ordinario di Analisi Matematica presso l’Università Federico II di Napoli, è socio dell’Accademia Nazionale dei Lincei. È stato Presidente dell’Unione Matematica Italiana (UMI), Presidente dell’Accademia Pontaniana e professore visitatore presso istituzioni scientifiche italiane, in particolare presso la Scuola Normale Superiore di Pisa, ed estere tra cui: Collège de France, Paris; Institut fur Mathematik, Universität Zürich; Center for Nonlinear Analysis, Carnegie Mellon University, Pittsburgh; University of California, Berkeley; Mathematical Institute of the University of Oxford; University of Helsinki.

L’operaI due volumi dedicati alle Esercitazioni di Analisi Matematica Due propongono brevi cenni di teoria e un ricco corredo di esercitazioni svolte, che riguardano i seguenti argomenti:

Prima parte1. Successioni e serie di funzioni2. Spazi metrici e spazi normati3. Funzioni di più variabili4. Equazioni differenziali lineari5. Equazioni differenziali non lineari del primo ordine6. Equazioni differenziali non lineari di ordine superiore al primo

Seconda parte1. Massimi e minimi per le funzioni di più variabili2. Misura e integrazione in ℝn

3. Metodi di calcolo per gli integrali multipli4. Funzioni implicite5. Integrali su curve e superfici6. Forme differenziali

Esercitazioni di Analisi Matematica Due

Paolo Marcellini, Carlo Sbordone

Esercitazioni di Analisi Matematica DueSeconda parte

Esercitazioni di

Analisi M

atematica D

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econdaparte

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Paolo Marcellini Carlo Sbordone

Seconda parte

Esercitazioni diAnalisi Matematica Due

Indice

Capitolo 1. Massimi e minimi per le funzioni di piu variabili 11A. Massimi e minimi relativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11B. Criteri per lo studio di massimi e minimi relativicon Hessiano nullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151C. Massimi e minimi relativi con Hessiano nullo . . . . . . . . 201D. Massimi e minimi vincolati . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361E. Massimi e minimi assoluti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421F. Massimi e minimi delle funzioni di tre o piu variabili . . . . 50

Capitolo 2. Misura ed integrazione in Rn 552A. Cenni di topologia in Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552B. Misura di Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662C. Integrale di Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832D. Misura di Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952E. Integrale di Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Capitolo 3. Metodi di calcolo per gli integrali multipli 1133A. Integrali doppi su insiemi normali. Formule di riduzione . . 1133B. Cambiamento di variabili negli integrali doppi: da coordi-nate cartesiane in coordinate polari . . . . . . . . . . . . . . . . 1283C. Altri cambiamenti di variabili negli integrali doppi . . . . . 1473D. Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1573E. Integrali tripli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

Capitolo 4. Funzioni implicite 1764A. Funzioni implicite in due variabili . . . . . . . . . . . . . . 1764B. Massimi e minimi delle funzioni implicite . . . . . . . . . . 1874C. Il teorema del Dini nel caso generale . . . . . . . . . . . . . 192

ii Indice

4D. Il teorema di invertibilita locale . . . . . . . . . . . . . . . 203

Capitolo 5. Integrali su curve e superfici 2075A. Curve in Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2075B. Lunghezza di una curva regolare . . . . . . . . . . . . . . . 2115C. Integrali curvilinei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2235D. Area di una superficie regolare . . . . . . . . . . . . . . . . 2315E. Integrali superficiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

Capitolo 6. Forme differenziali 2516A. Integrali curvilinei di una forma differenziale . . . . . . . . 2516B. Forme differenziali esatte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2596C. Formule di Gauss-Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2716D. La formula di Stokes ed il teorema della divergenza . . . . 291

Capitolo 1

MASSIMI E MINIMI PER LE FUNZIONI DI PIU’ VARIABILI

1A. Massimi e minimi relativi

Consideriamo preliminarmente massimi e minimi relativi per funzioni didue variabili reali e rimandiamo al paragrafo 1F la trattazione dei massimi eminimi delle funzioni di tre o piu variabili.

Sia f(x, y) una funzione di due variabili reali, definita in un inseme A diR2 e sia (x0, y0) un punto di A.

Si dice che (x0, y0) e un punto di massimo relativo per la funzione f(x, y)se esiste un intorno U di (x0, y0) tale che

f(x0, y0) ≥ f(x, y) , ∀ (x, y) ∈ U ∩A .

Analogamente (x0, y0) ∈ A e un punto di minimo relativo per f(x, y) seesiste un intorno U di (x0, y0) per cui

f(x0, y0) ≤ f(x, y) , ∀ (x, y) ∈ U ∩A .

Un punto di coordinate (x0, y0) ∈ A si dice punto critico per la funzionef(x, y) se f ammette derivate parziali fx, fy in (x0, y0) e se risulta fx(x0, y0) =fy(x0, y0) = 0; in altre parole, un punto critico per una funzione e un puntoin cui si annulla il gradiente della funzione.

Per la determinazione dei punti di massimo o di minimo relativo di unafunzione f(x, y) sono utili le proprieta 1) e 2) che elenchiamo di seguito:

1) se (x0, y0) e un punto di massimo o di minimo relativo internoall’insieme A e se f(x, y) e dotata di derivate parziali in (x0, y0), allora risulta

2 1A. Massimi e minimi relativi

fx(x0, y0) = 0 ; fy(x0, y0) = 0 .

In modo equivalente, se (x0, y0) e un punto di massimo o di minimo internoad un insieme A dove la funzione f(x, y) e derivabile (o differenziabile), allora(x0, y0) e un punto critico per f .

2) Per una funzione f(x, y) di classe C2 in A, si definisce il determinanteHessiano H(x, y) (o semplicemente, Hessiano) :

H(x, y) =

∣∣∣∣ fxx(x, y) fxy(x, y)fyx(y, x) fyy(x, y)

∣∣∣∣ = fxxfyy − (fxy)2 .

Talvolta, per ricordare la funzione f , si usa la notazione Hf(x, y) =H(x, y).

Se risulta {fx(x0, y0) = fy(x0, y0) = 0H(x0, y0) > 0 ; fxx(x0, y0) > 0 ,

allora (x0, y0) e un punto di minimo relativo per f(x, y). Se{fx(x0, y0) = fy(x0, y0) = 0H(x0, y0) > 0 ; fxx(x0, y0) < 0 ,

allora (x0, y0) e un punto di massimo relativo per f(x, y). Se infine

H(x0, y0) < 0 ,

il punto (x0, y0) non e ne di massimo, ne di minimo per f(x, y). In questocaso si dice anche che (x0, y0) e un punto a sella per f(x, y).

In base alla proprieta 1), i punti di massimo o di minimo relativo inter-ni all’insieme di definizione A di una funzione differenziabile f(x, y) vannoricercati tra i punti di coordinate (x, y) che risolvono il sistema{

fx(x, y) = 0fy(x, y) = 0

.

Se la coppia (x0, y0) e una soluzione e se f(x, y) e di classe C2, si calcolail determinante Hessiano H(x, y) in corrispondenza di (x, y) = (x0, y0). Inbase a quanto detto nel punto 2), se H(x0, y0) > 0, allora il punto (x0, y0) esicuramente di massimo (se fxx(x0, y0) < 0) o di minimo (se fxx(x0, y0) > 0)relativo. Se H(x0, y0) < 0 si puo escludere che (x0, y0) sia di massimo o diminimo relativo. Se infine H(x0, y0) = 0, allora occorre procedere oltre nellostudio della funzione f(x, y) in un intorno di (x0, y0); rimandiamo al paragrafoseguente lo studio dei casi a determinante Hessiano nullo.

Capitolo 1. Massimi e minimi per le funzioni di piu variabili 3

1.1 Sia f(x, y) una funzione di classe C2 in un intorno del punto (x0, y0), taleche fx(x0, y0) = fy(x0, y0) = 0, H(x0, y0) > 0. Per decidere se e (x0, y0) unpunto di massimo o di minimo relativo, si considera il segno di fxx(x0, y0).Verificare che si puo decidere allo stesso modo in base al segno di fyy(x0, y0),essendo:

fxx(x0, y0) ≷ 0 ⇔ fyy(x0, y0) ≷ 0 .

[Per ipotesi H(x0, y0) = fxx(x0, y0) fyy(x0, y0)−(fxy(x0, y0))2 > 0; percio, a maggior ragione

fxx(x0, y0) fyy(x0, y0) > 0 e quindi fxx(x0, y0), fyy(x0, y0) hanno lo stesso segno]

1.2 Esempi tipici di funzioni di due variabili che hanno un punto critico in(0, 0) sono le seguenti:

(a) f(x, y) = x2 + y2 (b) f(x, y) = −x2 − y2

(c) f(x, y) = x2 − y2 (d) f(x, y) = xy

In (0, 0) la funzione in (a) ammette un minimo relativo, la funzione in (b)assume un massimo relativo, mentre le funzioni in (c) e (d) non hanno nemassimo ne minimo. Verificare tali affermazioni.

[In tutti i casi risulta fx(0, 0) = 0, fy(0, 0) = 0; quindi il punto (0, 0) e critico per f(x, y). Intutti i casi il determinante Hessiano H(x, y) e costante rispetto ad (x, y) e vale:

(a) H(x, y) =

∣∣∣∣ fxx fxyfyx fyy

∣∣∣∣ =∣∣∣∣ 2 00 2

∣∣∣∣ = 4 ;

(b) H(x, y) =

∣∣∣∣ −2 00 −2

∣∣∣∣ = 4 ;

(c) H(x, y) =

∣∣∣∣ 2 00 −2

∣∣∣∣ = −4 ;

(d) H(x, y) =

∣∣∣∣ 0 11 0

∣∣∣∣ = −1 .

Nel caso (a) risulta fx(0, 0) = fy(0, 0) = 0, H(x, y) > 0, fxx > 0; percio (0, 0) e di minimoper f(x, y) = x2+y2. In figura 1.1 e rappresentato il grafico “tridimensionale” della funzionef(x, y) = x2 + y2, eseguito con l’uso di un computer; si confronti la figura 1.1 con la figura3.1 dalla prima parte del secondo volume di esercizi, che invece e stata eseguita a mano.Nel caso (b) risulta fx(0, 0) = fy(0, 0) = 0, H(x, y) > 0, fxx < 0; percio (0, 0) e di massimoper f(x, y) = −x2 − y2.Nei casi (c) e (d) risulta fx(0, 0) = fy(0, 0) = 0 e H(x, y) < 0; percio (0, 0) e un puntoa sella per entrambe le funzioni. In figura 1.2 e rappresentato il grafico della funzionef(x, y) = x2 − y2. A differenza delle altre figure, il grafico rappresentato in figura 1.2 e“trasparente”, nel senso che

4 1A. Massimi e minimi relativi

figura 1.1 - f(x, y) = x2 + y2

figura 1.2 - f(x, y) = x2 − y2

Capitolo 1. Massimi e minimi per le funzioni di piu variabili 5

figura 1.3 - f(x, y) = xy

la superficie lascia vedere anche il reticolo in secondo piano. Il lettore puo confrontare ilgrafico in figura 1.2 con quello della figura 3.6 della parte prima del secondo volume diesercizi.

In figura 1.3 e rappresentato il grafico della funzione f(x, y) = xy; si puo notare in modo

equivalente che la superficie e “rigata”]

1.3 Determinare i punti di massimo o di minimo relativo delle seguenti funzioni

(a) f(x, y) = x3 + y3 + xy (b) f(x, y) = x3 − y3 + xy

(c) f(x, y) = x3 + y3 − xy (d) f(x, y) = x3 − y3 − xy

[(a) I punti critici di f(x, y) = x3 + y3 + xy sono le soluzioni del sistema{fx = 3x2 + y = 0fy = 3y2 + x = 0

, cioe

{y = −3x2

27x4 + x = 0.

La seconda equazione si scompone in x(27x3 + 1) = 0 ed equivale a x = 0 e x = −1/3.In corrispondenza, dalla prima equazione si ottiene y = 0 e y = −1/3. Percio i punti dicoordinate (0, 0) e (−1/3,−1/3) sono critici per f(x, y). Il determinante Hessiano vale

H(x, y) =

∣∣∣∣ fxx fxyfyx fyy

∣∣∣∣ =∣∣∣∣ 6x 11 6y

∣∣∣∣ = 36xy − 1 .

Essendo H(0, 0) = −1, il punto (0, 0) non e ne di massimo, ne di minimo. Dato cheH(−1/3,−1/3) = 3 > 0 e fxx(−1/3,−1/3) = −2 < 0, il punto (−1/3,−1/3) e di mas-simo relativo per f(x, y). Il grafico della funzione f(x, y) = x3+ y3+xy e riportato in figura1.4.

6 1A. Massimi e minimi relativi

figura 1.4 - f(x, y) = x3 + y3 + xy

(b) Il punto di coordinate (1/3,−1/3) e di minimo relativo per f(x, y) = x3 − y3 + xy; (0, 0)e punto critico, ma non e ne di massimo ne di minimo. Il grafico della funzione e riportatoin figura 1.5.(c) Minimo relativo in (1/3, 1/3); grafico in figura 1.6.(d) Massimo relativo in (−1/3, 1/3)]

figura 1.5 - f(x, y) = x3 − y3 + xy

Capitolo 1. Massimi e minimi per le funzioni di piu variabili 7

figura 1.6 - f(x, y) = x3 + y3 − xy

figura 1.7 - f(x, y) = 4y4 − 16x2y + x

1.4 Determinare i punti di massimo o di minimo relativo della funzione

f(x, y) = 4y4 − 16x2y + x

[Si determinano i punti critici risolvendo il sistema{fx = −32xy + 1 = 0fy = 16y3 − 16x2 = 0

, cioe

{y = x2/3

1− 32x1+2/3 = 0.

Dalla seconda equazione si ricava x5/3 = 32−1 = 2−5, da cui x1/3 = 2−1, x = 2−3 = 1/8; incorrispondenza troviamo y = (2−3)2/3 = 2−2 = 1/4.Il punto di coordinate (1/8, 1/4) e quindi critico per f(x, y). Il determinante Hessiano vale

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Prima parte1. Successioni e serie di funzioni2. Spazi metrici e spazi normati3. Funzioni di più variabili4. Equazioni differenziali lineari5. Equazioni differenziali non lineari del primo ordine6. Equazioni differenziali non lineari di ordine superiore al primo

Seconda parte1. Massimi e minimi per le funzioni di più variabili2. Misura e integrazione in ℝn

3. Metodi di calcolo per gli integrali multipli4. Funzioni implicite5. Integrali su curve e superfici6. Forme differenziali

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