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Comportamento meccanico dei materiali Caratteristiche di sollecitazione

© 2006 Politecnico di Torino 1

Cinematica ed equilibrio del corpo rigido

2

Caratteristiche di sollecitazione

Definizione delle caratteristicheEsempio 1: trave rettilineaEsempio 2: struttura di travi nel pianoEsempio 3: carico distribuito




4

Caratteristiche su barre e travi (1/5)

I corpi che finora abbiamo considerato erano di forma qualsiasi; di essi rappresentavamo i segmenti che univano punti notevoli quali collegamenti tra corpi, punti di applicazione del carico esterno, punti di vincolo.Quando, invece, i corpi sono di forma “allungata”, cioè si estendono assialmente per lunghezze grandi rispetto alle dimensioni trasversali (10, 20, 30 volte..), il segmento può rappresentare la linea d’asse del corpo.



5

Non è detto che il solido allungato debba avere dimensione trasversale costante.

A B

lunghezza

Dimensione trasversale della sezione

A B


Ci limitiamo qui a corpi allungati ad asse rettilineo.

6

Solidi allungati rettilinei di questo tipo vengono chiamati, a seconda di forma e applicazione:

AssiAlberiBarreTravi

L’asse a cui si fa riferimento è, per ragioni che sono spiegate nelle lezioni sulle travi, la linea che contiene i baricentri di tutte le sezioni rette.




7

B

Inoltre, e anche questo sarà chiaro in seguito, il calcolo di sollecitazione / resistenza / deformazione viene eseguito a partire dalla conoscenza di forze e momenti applicati in corrispondenza del baricentro della sezione retta, …

… o sulle sezioni di estremità …

A

yz


TN

M

8

… o all’interno; forze e momenti interni al solido per essere messi in evidenza (e calcolati) richiedono che si esegua un taglio secondo una sezione retta:

A

yz

TN

M

yz

BA




9

Sulla superficie “uscente” rispetto all’asse longitudinale z questi sono i versi positivi di:

N: sforzo assiale o normaleT: taglioM: momento flettente

AzN

M

yT

Superficie entrante e uscente (1/2)

10

T

NM

… e sulla superficie entrante sono invertiti; quando i versi sono quelli indicati, i valori N, T, M, sono positivi.

B

yz

Superficie entrante e uscente (2/2)



11

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

=+++−

qdzdT

0dzdzdTTdzqT

L’equilibrio verticale e alla rotazione di un tratto di lunghezza infinitesima dz:

Relazioni differenziali

q= carico per unità di lunghezza

z

dz

q dz

dzdzdTT +

dzdzdMM +

TM

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

=++

++−−

TdzdM

0dzdzdMM...

...2dzdzqdzTM

12

Usualmente si disegna, per comodità, solo l’asse:

BAy

z

A NM

T

By

zT

NM

I valori delle “caratteristiche” della sollecitazione si determinano mediante le equazioni di equilibrio

Rappresentazione



13

Lo schema di calcolo è sempre lo stesso:Calcolo delle reazioni vincolariCalcolo delle caratteristiche di sollecitazioneTracciamento dei diagrammi di carico normale N, taglio T, momento flettente M (nel piano)

Lo studio di tre semplici strutture piane ci permetterà ora di capire le modalità di applicazione più convenienti dei principi generali enunciati. In casi tridimensionali la caratteristiche sono 6; è usuale che si debba introdurre anche il solo momento torcente.

Procedimento di calcolo




15

Esempio 1:

BAC

ab

FBFC

Esempio 1: reazioni vincolari

C

VA= babFC +

⋅

Sappiamo già che le reazioni vincolari sono:

baaFC +

⋅VB=

HA=FB

16

babFC +

⋅

FB

Nel tratto AC:

C

A

B

baaFC +

⋅

TN

Mz

T

NM

FB

z

P

P

Esempio 1: caratteristiche (1/9)



17

ab

a bab+a bb

È evidente che l’equazione contenente meno termini, e quindi più breve da scrivere e calcolare, èquella relativa al corpo (A,P).Perciò:

→=⋅+

+

−=→=+

+

=→=−

0zb

bFM

FT0b

FT

FN0FN

⋅+

−= zFM CC

CC

BB

Momento rispetto a P

Notate che il momento rispetto ad A: zTM ⋅=


18

I valori di N, T, M sono altrettante funzioni da diagrammare al variare dell’ascissa z lungo l’asse.

Diagramma di N nel tratto AC:

BA C

FB

z

a

di sopra: N positividi sotto: N negativiFB A N=FB

P




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Diagramma di N:I segmenti ricordano che il valore di N, ad ogni ascissa Z, è dato in scala dalla lunghezza dei segmenti.In questo caso: N= FB=costante.

BA C

FB

z

a

A

P

FB N=FB


20

Diagramma di T: i segmenti rappresentano in scala i valori di T.

zba

bFT C +⋅−=

di sopra: positividi sotto: negativi

BA C




21

Diagramma di M: il momento varia linearmente

baabFM C +

⋅−=

a

BA C

⋅+

−= zba

bFM C

z


22

Diagramma di M: notate che la pendenza del diagramma di momento è il taglio,

za

TdzdM

zTM

=

⋅=

pendenza negativa → taglio negativo

A C ⋅+

−= zba

bFM C

⋅+

−= zba

bFM C

babFT C +

⋅−={




23

Nel tratto CB:A N

M

P

BFB

C

TN

M

z

a

a+b-z

T

baaFC +

⋅

( )zbaba

aFM

0ba

aFT

0FN

C

C

B

−+⋅+

⋅+

=+

⋅+−

=+−


24

( ) ( )zbaba

aFMzbaba

aFM

baaFT0

baaFT

FN0FN

CC

CC

BB

−+⋅+

⋅−=→−+⋅+

⋅+

+⋅=→=

+⋅+−

=→=+−

Segue:




25

I diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione si completano come segue:

Sollecitazione normale N

BA C

FB

Esempio 1: diagrammi (1/3)

26

Sollecitazione di taglio T:

babFC +

⋅−

baaFC +

⋅+

Nota bene: in C, dov’è applicata FC , il “salto” di T vale:

CCC Fba

bFba

aF =+

⋅++

⋅

BA C

!




27

baabFM Cmax +

−=

babFT

dzdM

C +−==

pendenza pendenza

baaFT

dzdM

C +==

BA C

Sollecitazione di momento flettente M:





29

45°

Esempio 2:

A

BFD

b/2

ba

DC

Esempio 2: reazioni vincolari (1/2)

30

VB

b/2 b/2

VAHA

( )

( )ba2ba

FV

ba2bFV

0H

DB

DA

A

+

+⋅=

+⋅=

=

45°

BFD

a

D

A

C




31

Tratto AC: caratteristiche di sollecitazione

z

( )ba2bFD +⋅

⋅

T NM

Equilibrio secondo l’asse:

( ) 0N22

ba2bFD =+⋅+⋅

⋅

Equilibrio ortogonale all’asse:

( ) 0T22

ba2bFD =+⋅+⋅

⋅45°

( ) 22

ba2bFN D ⋅+⋅

⋅−=→

P

( ) 22

ba2bFT D ⋅+⋅

⋅−=→

a


32

Momento attorno al “polo” P:

( ) 022z

ba2bFM D =⋅+⋅

⋅+

z

( )ba2bFD +⋅

⋅

T NM

45°

P

( ) 22z

ba2bFM D ⋅+⋅

⋅−=→

a

Tratto AC: caratteristiche di sollecitazione




33

( )

( ) ( )'zaba2

bFM

ba2bFT

0N

D

D

+⋅+⋅

⋅−=

+⋅⋅−=

=

Tratto CD: caratteristiche di sollecitazione

z’

NM

T

z

( )ba2bFD +⋅

⋅

45° a

C


34

b/2

( )ba2ba

FV DB +

+⋅=

B

D

Tratto DB: caratteristiche di sollecitazione

A

N

M

T




35

Nel tratto DB possiamo evitare di scrivere esplicitamente equazioni poiché sappiamo che

Lo sforzo normale N resta nullo nel passare attraverso D, perché in D non c’è un carico esterno assiale e anche perché, comunque, l’appoggio in B non può generare carichi assiali.

( )ba2ba

FV DB +

+⋅=


b/2DA

NM

B

A

NM

T

36

Nel passare attraverso D, il taglio subisce una variazione pari a FD .

Il momento varia linearmente dal valore in D al valore zero in B.

ba2/baFVT DB +

+⋅==

In B il taglio vale:


( )ba2ba

FV DB +

+⋅=

A

NM

B

A

NM

T

b/2D



37

A

C BD

0N =

( ) 22

ba2bFN D ⋅+⋅

⋅−=

0N =


( )ba2bFD +⋅

⋅

Sollecitazione normale N (1)

38

A

C BD

0N =

( ) 22

ba2bFN D ⋅+⋅

⋅−=

0N =


( )ba2bFD +⋅

⋅




39


A

C BD

0N =

( ) 22

ba2bFN D ⋅+⋅

⋅−=

0N =


( )ba2bFD +⋅

⋅

40

Sollecitazione di taglio T:

( ) 22

ba2bFT D ⋅+⋅

⋅−=

( )ba2bFT D +⋅

⋅−=

FD

( )D

a b /2T F

a b+

= ⋅+

A

C BD

( )ba2bFD +⋅

⋅




41

A

C( )ba2b

FM aD +

−=

Sollecitazione di momento flettente M:


42

A

C( )ba2b

FM aD +

−=

Il momento in C non cambia di valore …

( )ba2baFM D +

−=




43

A

C BD

…e il diagramma completo del momento M:

( )ba2baFM D +

−=

( )ba22bab

FM D +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=





45

Esempio 3:

A B

a

q

Trave con carico q uniformemente distribuito


46

Reazioni vincolari: per simmetria, uguali

A B

a

q

VA VB

2aqVV BA −==




47

Caratteristiche di sollecitazione:

A

q

z

NM

T

2aqVA =

Esempio 3: caratteristiche

22

2q

−=

−=

=

zqzzaqM

zqaT

0N

48

Diagrammi di taglio T e momento M:

a

AB

2aq−

taglio T

A Bmomento M

8aq

2+

Esempio 3: diagrammi

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