20_determinazione Delle Caratteristiche Di Sollecitazione Con Il Plv

7/25/2019 20_determinazione Delle Caratteristiche Di Sollecitazione Con Il Plv

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Corso di Laurea: INGEGNERIA CIVILE EAMBIENTALEInsegnamento: Meccanica delle strutturen Lezione: 20Titolo: Determinazione delle caratteristiche di sollecitazione

con il Principio dei Lavori Virtuali

FACOLT DI INGEGNERIA

LEZIONE 20 Determinazione delle caratteristiche di

sollecitazione con il Principio dei Lavori Virtuali.

Nucleotematico

Lez. Contenuto

6 20Determinazione delle caratteristiche di sollecitazione con ilPrincipio dei Lavori Virtuali. Osservazioni. Esempi.

Le caratteristiche di sollecitazione, introdotte nelle precedenti lezionisono state finora determinate utilizzando le Equazioni Cardinali dellaStatica. In questa lezione si mostrano i criteri per la determinazione didette caratteristiche con il Principio dei Lavori Virtuali.

Impostazione

I vincoli impongono restrizioni agli spostamenti assoluti (vincoliesterni) e relativi (vincoli interni) dei punti vincolati.Come visto nella lezione 5, un vincolo interno pu essere ancheconsiderato come una sconnessione tra gli elementi da esso collegatipensati inizialmente come un unico corpo rigido. La sconnessioneimplica condizioni sulla forza che gli elementi vincolati si scambianoattraverso il vincolo, cio sulla reazione vincolare. Ad esempio lareazione vincolare di una cerniera interna ha retta di azione passante

per la cerniera; la reazione di un doppio pendolo interno ha retta diazione ortogonale alla direzione dello spostamento relativo consentitodal vincolo. Queste condizioni possono essere imposte attraversocondizioni sulle caratteristiche di sollecitazione nelle sezioni vincolate.

Si considerino due elementi I e II le cui sezioni estreme A e Bsono collegate da un pendolo interno (figura 20.1). La reazioneesercitata dal vincolo alla sezione A dellelemento 1 una forza Rpassante per A ed avente retta di azione ortogonale alla direzionenella quale consentito lo spostamento relativo tra A e B. Lecaratteristiche di sollecitazione NA, TA sono le componenti della

reazioneR

nelle direzioni tangente ed ortogonale allassedellelemento 1 ed MA il momento di R rispetto al baricentro dellasezione A. Queste caratteristiche devono quindi soddisfare

0MA= I

A

Atan

N

T= (20.1)

essendo I langolo acuto formato dallasse dellelemento e dalladirezione della reazione del pendolo. La prima delle (20.1) impone ilpassaggio della reazione vincolare per A; la seconda impone che larisultante R delle caratteristiche di sollecitazione nella sezione A

abbia retta di azione parallela alla reazione del pendolo. Ovviamenteanaloghe condizioni devono essere soddisfatte dalle caratteristiche disollecitazione NB, TBe MBnella sezione B.
mailto:[email protected]:[email protected]


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La linea delle pressioni (r infigura 20.1)relativa alle sezioni A e

B la retta di azione della reazione vincolare. Passa quindi per i puntivincolati ed ha la direzione in cui il pendolo impedisce gli spostamentirelativi.

Figura 20.1.

Si considerino due elementi I e II le cui sezioni estreme A e Bsono collegate da una cerniera interna (figura 20.2). La reazioneesercitata dal vincolo alla sezione A dellelemento 1 una forza R

passante per A che pu avere retta di azione qualunque. Lecaratteristiche di sollecitazione NA, TA sono le componenti dellareazione R nelle direzioni tangente ed ortogonale allassedellelemento 1 ed MA il momento di R rispetto al baricentro dellasezione A. Queste caratteristiche devono quindi soddisfare

0MA= (20.2)

La (20.3) impone il passaggio della reazione vincolare per A, mentrenessuna restrizione imposta ad NA e TA. Ovviamente una analogacondizione deve essere soddisfatta dalle caratteristiche disollecitazione NB, TBe MBnella sezione B.

Figura 20.2.

A B

I

II

r

BAI

II

R R

RR

r

I

NA

TA

MA=0

RTA

NA

r

IIMB=0

TB

NB

RTB

NB

A

B

r

I

II

r

Br A

I

II

RR

RR

I

II

rI

NA

TA

MA=0

RTA

NAr

IIMB=0

TB

NB

RTB

NB


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La linea delle pressioni (r infigura 20.2)relativa alle sezioni A e

B ha la direzione della reazione vincolare. Passa quindi per la cernierae pu avere direzione qualunque.

Si considerino due elementi I e II le cui sezioni estreme A e Bsono collegate da un doppio pendolo interno (figura 20.3). La reazioneesercitata dal vincolo alla sezione A dellelemento 1 una forza R avente retta di azione ortogonale alla direzione nella quale consentito lo spostamento relativo tra A e B. Le caratteristiche disollecitazione NA, TA sono le componenti della reazione R nelledirezioni tangente ed ortogonale allasse dellelemento 1 ed MA ilmomento di R rispetto al baricentro della sezione A. Queste

caratteristiche devono quindi soddisfare

I

A

Atan

N

T= (20.3)

La(20.3) impone che la risultante delle forze applicate alla sezione Aabbia la retta di azione parallela alla reazione del doppio pendolo,mentre nessuna restrizione imposta alla distanza tra la retta diazione di R ed il baricentro della sezione A. Ovviamente una analogacondizione deve essere soddisfatta dalle caratteristiche disollecitazione NB, TBe MBnella sezione B.

Figura 20.3.

La linea delle pressioni (r infigura 20.3)relativa alle sezioni A eB ha la direzione della reazione vincolare. Ha quindi la direzione in cuiil doppio pendolo impedisce gli spostamenti relativi e pu averequalunque distanza da A e B.

Si considerino infine due elementi I e II le cui sezioni estreme Ae B sono collegate da un incastro interno (figura 20.4).

R

A

I

d

B

II

d

R

R

R

d

r

I

IIA

B

r

III

r

d

I

NA

TA

MA=Rd

RTA

NA

r

IIMB=Rd

TB

NB

R TB

NB


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Figura 20.4.

La reazione esercitata dal vincolo alla sezione A dellelemento 1 unaforza R che pu avere retta di azione qualunque. Le caratteristiche disollecitazione NA, TA e MA nella sezione A non devono quindisoddisfare alcuna condizione. Lo stesso vale ovviamente per lecaratteristiche di sollecitazione NB, TBe MBnella sezione B.

La linea delle pressioni (r infigura 20.4)relativa alle sezioni A eB la retta di azione della reazione vincolare. Non possono quindistabilirsi a priori restrizioni relativamente alla sua posizione.

Nelle lezioni 13 - 15 stato mostrato come il Principio deiLavori Virtuali possa essere utilizzato per la determinazione dellereazioni vincolari nelle condizioni di equilibrio sia nel caso di vicoliesterni che nel caso di vincoli interni. Le precedenti considerazionipuntualizzano le evidenti relazioni tra le reazioni dei vincoli interni e lecaratteristiche di sollecitazione. In particolare lafigura 20.4 mostra checomponenti della reazione vincolare di un incastro interno secondo ledirezioni normale e tangente alla sezione sono le caratteristiche disollecitazione delle sezioni vincolate. Siccome ogni sezione di unatrave pu essere pensata come sede di un incastro interno (lincastro

interno impone gli stessi spostamenti ai punti ad esso collegati) le cuicomponenti di reazione vincolare sono le caratteristiche disollecitazione e siccome le reazioni di un vincolo possonodeterminarsi con il Principio dei Lavori Virtuali, questo strumento puessere utilizzato per la determinazione delle caratteristiche disollecitazione in ogni sezione. Per determinare una caratteristica disollecitazione in un sezione di una struttura isostatica sufficienteridurre il grado di vincolo della struttura sostituendo nella sezionelincastro interno con un vincolo interno che consente lo spostamentorelativo che fa compiere lavoro alla componente di reazione vincolare(e quindi alla caratteristica di sollecitasione) incognita ed imporre

lequilibrio del sistema attraverso luguaglianza a zero del lavorovirtuale che le forze compiono relativamente agli spostamenti virtualidi ogni configurazione spostata del sistema. Si rimarca che utilizzando

I

NA

TA

MA=Rd

RTA

NA

r

IIMB=Rd

TB

NB

RTB

NB

A B

I

II

r

d

AB

R

A

I

d

B

II

d

RR

R

d

r


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il procedimento delineato per la determinazione delle caratteristiche di

sollecitazione non necessaria la preventiva determinazione dellereazioni vincolari, operazione che invece , in generale, necessariaoperando con le Equazioni Cardinali della Statica. Gli esempi seguentichiariscono il modo di procedere descritto.

Esempio 20.1

Relativamente al sistema di travi difigura 20.5 si determinino lecaratteristiche di sollecitazione nella sezione S, identificatadallascissa s a partire dallestremo A, con il Principio dei LavoriVirtuali.

Figura 20.5.

Momento flettente

Si introduce una cerniera interna nella sezioneSe si numeranoda 1 a 3 gli elementi rigidi da cui costituita la nuova struttura (figura20.6a).

Figura 20.6.

In questo modo le caratteristiche di sollecitazione che possonosussistere nella sezioneSsono solo il taglio e lo sforzo normale. Laconfigurazione precedente viene ripristinata applicando ad entrambi

gli estremi delle aste che concorrono nella cerniera il momento Mincognito (figura 20.6b) che le aste si scambiavano nellaconfigurazione originaria che il momento flettente nella sezioneS.

L L L/2L

FA B C DS

E

(a)

(b)

M M

N

T

M

N

M

T

A S

M

FB C DS

EM

FA B C DS

E

1 2 3

1 2 3

1 2 3

s

L L L/2L

FA B C DS

Es


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La cerniera impedisce gli spostamenti relativi delle sezioni estreme

delle aste, mentre ne consente le rotazioni relative; la scelta diintrodurre inSuna cerniera stata operata per rendere possibile lacomponente di spostamento relativo (rotazione) che fa compierelavoro alla caratteristica di sollecitazione (momento flettente)incognita. Si osserva che il momento flettente incognito statoarbitrariamente applicato con verso positivo, secondo la consuetaconvenzione; in questo modo un valore positivo dellincognita M che sidetermina imponendo lequilibrio del sistema mediante ilsoddisfacimento del Principio dei lavori Virtuali indica cheeffettivamente il momento flettente nella sezioneS positivo.La struttura cos ottenuta ha un grado di libert ( una volta labile) equindi una sua configurazione spostata identificata da un soloparametro di spostamento in funzione del quale sono determinabili glispostamenti di tutti i suoi punti. Si considera come parametro dispostamento indipendente la rotazione 1 dellelemento 1; si facompiere allelemento 1 la rotazione 1, arbitraria purch piccola. Puallora essere tracciato il diagramma degli spostamenti (che sonopiccoli spostamenti) verticali applicando i criteri esposti nella lezione 8(gli spostamenti orizzontali sono evidentemente nulli). Ricordando lepropriet di allineamento dei centri di rotazione immediato stabilireche A C1 il centro di rotazione assoluto dellelemento 1, che il

baricentro della sezioneS il centro di rotazione relativo C12 tra glielementi 1 e 2, che B il centro di rotazione assoluto C2dellelemento2, che C C23 il centro di rotazione relativo tra gli elementi 2 e 3 eche D il centro di rotazione assoluto dellelemento 3. Si ottienequindi il diagramma degli spostamenti verticali difigura 20.7.

Figura 20.7.

Per il sistema di travi difigura 20.7 i momenti M applicati agli estremidelle aste concorrenti nella sezioneS sono da considerarsi come

forze attive, in quanto i vincoli che li esercitano sono stati rimossi dalsistema. Il sistema in equilibrio se il lavoro delle forze attive nulloper gli spostamenti virtuali dei punti di applicazione delle forze

L L L/2L

F

1

3

A = C1 B = C2 C = C23 D = C3

x

v(x)

E

FA B C D

E

E

xC2

xC23

xC3

vE2 3

M M

12 3

C12 2

xC1 xC12

1

s

s

12


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relativamente alle configurazioni spostate cui il sistema suscettibile

nel rispetto dei vincoli. Con considerazioni geometriche suldiagramma degli spostamenti verticali si trovano i moduli dellerotazioni 2e 3degli elementi 2 e 3 in funzione del modulo 1dellarotazione dellelemento 1

12sL

s

= 123

sL

s

== (e.1.1)

Relativamente agli spostamenti virtuali di figura 20.7 la forza F compie il lavoro

13EF LF

sL

s

2

1

2

LFvFEFL

==== (e.1.2)

il momento M applicato allestremo dellasta 1 compie il lavoro

11M ML = (e.1.3)

il momento M applicato allestremo dellasta 2 compie il lavoro

122MsL

sMML

== (e.1.4)

essendo E lo spostamento virtuale del punto E relativamente alpassaggio della struttura dalla configurazione iniziale a quella

spostata (figura 20.7). Il modulo della componente verticale vE dellospostamento E si legge sul diagramma difigura 20.6.I lavori(e.1.3)ed (e.1.4) sono positivi in quanto i momenti M hanno verso concordealle rotazioni delle aste.

Il sistema in equilibrio per M che rende nullo il lavoro virtualedelle forze applicate; la condizione di equilibrio pertanto:

0sL

sMMLF

sL

s

2

1

LLLL

111

2M1MF

=

++

=

=+++=

(e.1.5)

dividendo ambo i membri per 1si ottiene lequazione

0sL

sMMLF

sL

s

2

1=

++

(e.1.6)

e quindi

s2

FM = (e.1.7)

Questo risultato coincide con quanto trovato mediante le EquazioniCardinali della Statica (esempio 16.2).

Si osserva che, a meno del segno, il lavoro compiuto daimomenti M applicati agli estremi delle aste 1 e 2 pu determinarsi


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come il prodotto del momento M per il modulo 12 della rotazione

relativa tra le aste (figura 20.7)

( ) 1111212

sL

L

sL

s

=+

== (e.1.8)

Si osserva infine il momento flettente nella sezioneS statodeterminato senza la preventiva determinazione delle reazioni deivincoli esterni; per contro stato necessario tracciare il diagrammadegli spostamenti della struttura resa labile dalla rimozione di unacomponente di spostamento impedita dellincastro interno che si pensato presente nella sezioneS.

Taglio

Si introduce un doppio pendolo interno nella sezioneSin mododa consentire gli spostamenti relativi in direzione ortogonale allassedella trave delle sezioni tra le quali introdotto il vincolo; questa scelta operata sulla base della necessit di ridurre il grado di vincolo dellastruttura in modo che questa sia suscettibile di assumereconfigurazioni spostate per le quali il lavoro compiuto dal taglio nellasezioneSnon nullo. Ancora, si numerano da 1 a 3 gli elementi rigidida cui costituita la nuova struttura (figura 20.8a).

Le caratteristiche di sollecitazione che possono sussistere nellasezioneS sono solo il momento flettente e lo sforzo normale. Laconfigurazione precedente viene ripristinata applicando ad entrambigli estremi delle aste che concorrono al doppio pendolo la forza ditaglio T incognita (figura 20.8b) che le aste si scambiavano nellaconfigurazione originaria. Il taglio T incognito viene arbitrariamenteassunto positivo in accordo con il lembo inferiore indicato dalla lineatratteggiata difigura 20.8b.

Figura 20.8.

L L L/2L

FA B C DS

E

(a)

(b)

T

T

T

A

S

FB C DS

E

FA B C DS

E

1 2 3

1 2 3

1 2 3

s

N

T

M

N

M

T

T


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Il doppio pendolo impedisce lo spostamento relativo in direzioneorizzontale e la rotazione relativa delle sezioni estreme delle aste,mentre ne consente lo spostamento relativo in direzione verticale. Lastruttura cos ottenuta ha un grado di libert ( una volta labile),pertanto una sua configurazione spostata identificata da un soloparametro di spostamento in funzione del quale sono determinabili glispostamenti di tutti i suoi punti. Lequilibrio del sistema viene impostomediate il Principio dei Lavori Virtuali considerando le forze di taglio Tcome forze attive applicate agli estremi delle aste concorrenti nellasezioneS. Si considera come parametro di spostamento indipendentela rotazione 1 dellelemento 1; si fa compiere allelemento 1 larotazione 1, arbitraria purch piccola. Ricordando le propriet diallineamento dei centri di rotazione, immediato stabilire che A C1il centro di rotazione assoluto dellelemento 1, che il centro dirotazione relativo C12 tra gli elementi 1 e 2 a distanza infinita sullaretta orizzontale passante per il baricentro della sezioneS, che B ilcentro di rotazione assoluto C2dellelemento 2, che C C23 il centrodi rotazione relativo tra gli elementi 2 e 3 e che D il centro dirotazione assoluto dellelemento 3. Si ottiene quindi il diagramma deglispostamenti verticali di figura 20.9, per il tracciamento dei quali necessario ricordare che il doppio pendolo impone uguali rotazioni agli

elementi 1 e 2 (rotazione relativa nulla).

Figura 20.9.

Il sistema in equilibrio se il lavoro compiuto dalle forze attive nullorelativamente agli spostamenti virtuali che i punti di applicazione delleforze possono subire in accordo con i vincoli cui il sistema soggetto.Con immediate considerazioni geometriche sul diagramma deglispostamenti verticali si trovano i moduli delle rotazioni 2 e 3 degli

elementi 2 e 3 in funzione del modulo della rotazione 1dellelemento1

F

A B C D

E

E

1 2 3

s

T

T

F

1

2A = C1 B = C2 C = C23 D = C3

E2 3

x

v(x)

xC2

xC23

xC3

vE

xC1

C12

1

2

v1

v2

v12 1 2=1

3

L L L/2L

s


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12= 123 ==

(e.1.9)essendo la prima imposta dal doppio pendolo interno.Relativamente agli spostamenti virtuali di figura 20.9 la forza F compie il lavoro

13EF2

FL

2

LFvFEFL ==== (e.1.10)

la forza T applicata allestremo dellasta 1 compie il lavoro

sTvT1TL111T

=== (e.1.11)

la forza T applicata allestremo dellasta 2 compie il lavoro( )

122T sLTvT2TL === (e.1.12)

essendo E , 1 e 2 gli spostamenti virtuali del punto E e degliestremi delle aste 1 e 2 vincolati dal doppio pendolo relativamente alpassaggio della struttura dalla configurazione iniziale a quellaspostata (figura 20.9). I moduli delle componenti verticali vE, v1 e v2degli spostamenti E , 1 e 2 si leggono sul diagramma di figura20.9.Il sistema in equilibrio per T che rende nullo il lavoro virtuale delleforze applicate; la condizione di equilibrio pertanto:

( ) 0sLTsT2

FLLLLL

1112T1TF =++=++= (e.1.13)

da cui si ottiene

2

FT = (e.1.14)


Si osserva che, a meno del segno, il lavoro compiuto dalle

forze T applicate agli estremi delle aste 1 e 2 pu determinarsi come ilprodotto della forza T per il modulo v12della componente verticaledello spostamento relativo tra gli estremi delle aste 1 e 2 afferenti aldoppio pendolo (figura 20.9)

( ) ( ) LssLv11112

== (e.1.15)

Si osserva infine che per la determinazione del taglio nellasezioneSnon stata necessaria la preventiva determinazione dellereazioni vincolari, come invece accade utilizzando le EquazioniCardinali della Statica.


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Sforzo normaleSi introduce un doppio pendolo interno nella sezioneSin modo

da consentire gli spostamenti relativi delle sezioni tra le quali introdotto il vincolo nella direzione allasse della trave; questa scelta operata sulla base della necessit di ridurre il grado di vincolo dellastruttura in modo che sia suscettibile di assumere configurazionispostate per le quali il lavoro compiuto dallo sforzo normale nellasezioneSnon nullo. Ancora, si numerano da 1 a 3 gli elementi rigidida cui costituita la nuova struttura (figura 20.10a).Le caratteristiche di sollecitazione che possono sussistere nella

sezioneS

sono ora solo il taglio ed il momento flettente. Laconfigurazione precedente viene ripristinata applicando ad entrambigli estremi delle aste che concorrono nel doppio pendolo lo sforzonormale N incognito (figura 20.10b) che le aste si scambiavano nellaconfigurazione originaria. Il doppio pendolo impedisce lo spostamentorelativo in direzione verticale e la rotazione relativa delle sezioniestreme delle aste, mentre ne consente lo spostamento relativo indirezione orizzontale, sicch lo sforzo normale incognito compirlavoro non nullo per gli spostamenti orizzontali dei punti vincolati.

Figura 20.10.

Anche in questo caso lo sforzo normale incognito statoarbitrariamente applicato con verso positivo, secondo la consuetaconvenzione.La struttura cos ottenuta ha un grado di libert ( una volta labile),pertanto una sua configurazione spostata identificata da un soloparametro di spostamento in funzione del quale sono determinabili gli

spostamenti di tutti i suoi punti. Si considera come parametro dispostamento indipendente la componente orizzontale dellospostamento del punto E; immediato rilevare che in questo caso A

L L L/2L

FA

B

C DS

E

(a)

(b)NN

F

FA B C D

S

E

1 2 3

1

2 3

s

N

T

M

N

M

TA

SB

C D

SE1

2 3NN


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il centro di rotazione assoluto C1dellelemento 1, il centro di rotazione

relativo tra gli elementi 1 e 2 a distanza infinita sulla verticale per ilbaricentro della sezione S, il centro di rotazione assolutodellelemento 2 a distanza infinita sulla verticale per B, il centro dirotazione relativo C23tra gli elementi 2 e 3 la cerniera C ed il centrorotazione assoluto dellelemento 3 a distanza infinita sulla verticaleper D. La generica configurazione spostata del sistema rappresentata infigura 20.11 e prevede uguali spostamenti orizzontalidi tutti i punti degli elementi 2 e 3 mentre gli spostamenti dei puntidellelemento 1 sono tutti nulli.

Figura 20.11.

Per il sistema di travi difigura 20.11 le forze N applicate agli estremidelle aste concorrenti nella sezioneS sono da considerarsi comeforze attive. Il sistema in equilibrio se il lavoro delle forze attive nullo relativamente agli spostamenti virtuali che i punti di applicazionedelle forze possono compiere in accordo con i vincoli cui il sistema soggetto.Relativamente agli spostamenti virtuali di figura 20.11 la forza F compie il lavoro

0EFLF

== (e.1.16)

essendo la direzione della forza ortogonale a quella dellospostamento. La forza N applicata allestremo dellasta 1 compie illavoro

01NL1N

== (e.1.17)

essendo nullo lo spostamento 1 dellestremo dellasta connesso aldoppio pendolo.La forza N applicata allestremo dellasta 2 compie il lavoro

===22N

uN2NL (e.1.18)

essendo E e 2 gli spostamenti virtuali del punto E e dellestremodellasta 2 vincolato dal doppio pendolo relativamente al passaggio

A = C1 B C = C23

C12

L L L/2L

FD

S

E1

2 3

NA

S

1

F

B

C D

E

2 3

s

EN

2

C2

C3


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della struttura dalla configurazione iniziale a quella spostata (figura

20.11)ed essendo u2il modulo della componente orizzontale di 2 .Il sistema in equilibrio per N che rende nullo il lavoro virtuale delleforze applicate; la condizione di equilibrio pertanto:

0uNLLLL22N1NF

==++= (e.1.19)

da cui, essendo u2non nullo, si ottiene

0N= (e.1.20)


Si osserva che, a meno del segno, il lavoro compiuto dalleforze N applicate agli estremi delle aste 1 e 2 pu determinarsi come ilprodotto della forza N per il modulo u12della componente orizzontaledello spostamento relativo tra gli estremi delle aste 1 e 2 afferenti aldoppio pendolo

21212 uuuu == (e.1.21)

Si osserva infine che per la determinazione dello sforzonormale nella sezione S non stata necessaria la preventivadeterminazione delle reazioni vincolari, come invece accade

utilizzando le Equazioni Cardinali della Statica.


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LEZIONE 20 Sessione di studio 1

Determinazione delle caratteristiche di sollecitazione con ilPrincipio dei Lavori Virtuali.

Sono proposti nel seguito alcuni esempi. Si consiglia il lettore dirisolverli autonomamente e di confrontare i risultati con le soluzionidescritte nella prossima sessione di studio.

Esempio 20.2

Relativamente al sistema di travi difigura 20.12 si determininole caratteristiche di sollecitazione nella sezione H, distante L/3 dalle

sezioni B e C, con il Principio dei Lavori Virtuali.

Figura 20.12.

Esempio 20.3

Relativamente al sistema di figura 20.13 si determinino lecaratteristiche di sollecitazione nella generica sezione Q dellasta EGcon il Principio dei Lavori Virtuali.

Figura 20.13.

L/2 L/2 L

L

L

L

F

A B

C

D

E

G

H

M

Q

L/2 L/3 2L/3 2L/3 L/3

A B C DqL q

E

G

H

L/3 L/3


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Esempio 20.4

Relativamente al sistema di figura 20.14 si determinino lecaratteristiche di sollecitazione nella sezione B con il Principio deiLavori Virtuali.

Figura 20.14.

L/2 L/2L

F

L/2

L/2

A

B

C

1 2

D


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Sono discusse nel seguito le soluzioni degli esempi proposti nellaprecedente sessione di studio.

Soluzione dell esempio 20.2

Momento flettente

Si introduce una cerniera interna nella sezione H, evidenziando

i momenti incogniti applicati agli estremi delle aste concorrenti in H(figura 20.15b).

Figura 20.15.

Si ottiene cos una struttura una volta labile la cui genericaconfigurazione spostata rappresentata in figura 20.15c insieme alcorrispondente diagramma degli spostamenti verticali, con il consuetosignificato dei simboli. Relativamente a questi spostamenti lacondizione di annullamento del lavoro virtuale

0M2

LqLL 11 == (e.2.1)

da cui si ricava il momento flettente nella sezione H

2

qLM

2

= (e.2.2)

Questo risultato coincide con quanto determinato con le EquazioniCardinali della Statica nellesempio 18.3.

L/2 L/3 2L/3 2L/3 L/3

A B C D

qLq

E

G

H

L/3 L/3

A C1 C D

qL

EG

M M

2qL/3 qL/3

B C12

H C2

qL

G

GA

B

CH

M M

DE

2qL/3 qL/3

v(x)

x

x1 x12 x2vG 1

2

(a)

(b)

(c)

1 2 3 4


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Taglio

Si introduce un doppio pendolo interno nella sezione H in mododa consentire solo la componente verticale dello spostamento relativodegli estremi delle aste concorrenti in H, evidenziando le forze ditaglio incognite applicate agli estremi delle aste (figura 20.16b). Siottiene cos una struttura una volta labile la cui genericaconfigurazione spostata rappresentata in figura 20.16c insieme alcorrispondente diagramma degli spostamenti verticali, con il consuetosignificato dei simboli.

Figura 20.16.

Relativamente a questi spostamenti la condizione di annullamento dellavoro virtuale

03

LT

2

LqLL 11 == (e.2.3)

da cui si ricava il taglio nella sezione HqL

2

3T = (e.2.4)


Sforzo normale

Si introduce un doppio pendolo interno nella sezione H in mododa consentire solo la componente orizzontale dello spostamentorelativo degli estremi delle aste concorrenti in H, evidenziando losforzo normale incognito applicato agli estremi delle aste. immediato rilevare che nella generica configurazione spostata dellastruttura labile che si ottiene tutti i punti tra G ed H traslanoorizzontalmente della stessa quantit, mentre gli spostamenti dei punti

L/2 L/3 2L/3 2L/3 L/3

A B C D

qLq

E

G

H

L/3 L/3

A C1 C D

qL

EG

T

T

2qL/3 qL/3

B C12

H

x

(a)

(b)

(c)

C12

qL

G

G

A

B

CH2

T

T

DE

2qL/3 qL/3

v(x)

x1 x12vG 1

2= 0

1 2 3 4

H


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tra H e E sono nulli. Il lavoro virtuale della forza qL applicata in G

quindi nullo (forza e spostamento ortogonali); conseguentementedeve essere nullo anche il lavoro compiuto dallo sforzo normaleincognito. Non essendo nullo lo spostamento orizzontale dellestremoH dellasta 2 si deve concludere che per essere nullo il lavorocompiuto dallo sforzo normale deve essere nullo lo sforzo normalestesso.


La generica sezione Q del tratto GE pu identificarsi mediantela sua distanza t dal nodo G, cio introducendo unascissa tcoincidente con lasse dellasta GE ed avente origine in E.

Momento flettente

Si introduce una cerniera interna nella generica sezione Q,evidenziando i momenti incogniti applicati agli estremi delle asteconcorrenti (figura 20.17b).

Figura 20.17.

(a) (b)

L/2 L/2 L

L

L

L

F

A B

C

D

E

G

H

M

Q

F

A B C2

C

D

E

G

H

M

Q C12t1

2

M

Mt

C1

K

y

N

T

MN

M

T

(c)

F

A B

C

D E

GH

M

1 2

M

M

C1

Q

M uM

yC1

yC12

yC2

1

2

1

2

12

x

L

L

L

t


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Si ottiene cos una struttura una volta labile la cui genericaconfigurazione spostata rappresentata in figura 20.17c insieme alcorrispondente diagramma degli spostamenti orizzontali, con ilconsueto significato dei simboli. Si osservi che il diagramma deglispostamenti verticali non necessario per la soluzione del problemaproposto in quanto la forza F compie lavoro solo per la componenteorizzontale dello spostamento virtuale del punto M ed i momentiincogniti compiono lavoro solo per le rotazioni delle aste.Relativamente a questi spostamenti la condizione di annullamento dellavoro virtuale

( ) 0MMyL3FL 211C1 =++= (e.3.1)essendo yC1lordinata del centro di rotazione C1rispetto al sistema diriferimento (xAy) indicato in figura 20.17c. Questa ordinata pudeterminarsi sfruttando la similitudine dei triangoli ABC1 e KQC1(figura 20.17c)

L

tLy

L2

y 1C1C = (e.3.2)

cio

( )tL2y 1C += (e.3.3)Il modulo 2della rotazione dellelemento 2 deve soddisfare

( ) ( )tLytL 1C12 =+ (e.3.4)

pertanto

12 = (e.3.5)

avendo tenuto conto della (e.3.2). La condizione (e.3.1) fornisce infine

( )t2L2

FM = (e.3.6)

Questo risultato coincide con quanto determinato con le EquazioniCardinali della Statica nellesempio 18.4, come pu verificarsicalcolando mediante la (e.3.6) il momento M(t) agli estremi dellastaGE, cio per t = 0 e t = L.

Taglio

Si introduce nella sezione Q un doppio pendolo internodisposto in modo da consentire solo la componente ortogonaleallasse dellasta (cio la componente orizzontale) dello spostamento

relativo dei punti vincolati, evidenziando le forze di taglio applicate agliestremi delle aste concorrenti (figura 20.18b). Si ottiene cos unastruttura una volta labile la cui generica configurazione spostata


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rappresentata in figura 20.18c insieme al corrispondente diagramma

degli spostamenti orizzontali, con il consueto significato dei simboli. Siosservi che il diagramma degli spostamenti verticali non necessarioper la soluzione del problema proposto in quanto sia la forza F che leforze di taglio T compiono lavoro solo per la componente orizzontaledegli spostamenti dei rispettivi punti di applicazione.La condizione di annullamento del lavoro virtuale

0uTuFL QM == (e.3.7)

Siccome lelemento 1 trasla in direzione x senza ruotare glispostamenti dei punti M e Q sono uguali, quindi il taglio

FT= (e.3.8)

Figura 20.18.

N

T

MN

M

T

(b)

F

A B C2

CD

E

G

H

M

Qt1

2

T

T

C1

C12

(c)

F

A B

C

DE

G H

M

1

2

T

T

Q

M

x

y

uM

yC2

1

2L

L

L

(a)

L/2 L/2 L

L

L

L

F

A B

C

D

E

G

H

M

Qt

uQ1Q2


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Questo risultato coincide con quanto determinato con le Equazioni

Cardinali della Statica nellesempio 18.4.Sforzo normale

Si introduce nella sezione Q un doppio pendolo internodisposto in modo da consentire solo la componente nella direzionedellasse della trave (cio la componente verticale) dello spostamentorelativo tra i punti vincolati, evidenziando gli sforzi normali applicatiagli estremi delle aste concorrenti (figura 20.19b).

Figura 20.19.

Si ottiene cos una struttura una volta labile la cui genericaconfigurazione spostata rappresentata in figura 20.19c insieme ai

(a)

L/2 L/2 L

L

L

L

F

A B

C

D

E

G

H

M

Qt

N

T

MN

M

T

(b)

F

B C2

CD

E

G

H

M

Qt

1

2

N

N

A C2

C12

y

(c)

F

A B

CD

E

G

H

M

1

2N

N

Q

M

xyC2

2L

L

L

uM

1

xC1 xC2vQ1

vQ2

L/2 L/2 L

Q1

Q2


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corrispondenti diagrammi degli spostamenti, con il consueto

significato dei simboli. In questo caso sono necessari i diagrammi dientrambe le componenti di spostamento in quanto la forza F compielavoro per la componente orizzontale dello spostamento del punto M elo sforzo normale compie lavoro per la componente verticale deglispostamenti degli estremi degli elementi 1 e 2 concorrenti al doppiopendolo.La condizione di annullamento del lavoro virtuale

0LN2LF3L 21 == (e.3.9)

Siccome i moduli 1 e 2 delle rotazioni degli elementi 1 e 2 sonouguali, lo sforzo normale

F2

3N = (e.3.10)



Il momento flettente nella sezione B nullo per la presenzadella cerniera interna. Il taglio e lo sforzo normale possonodeterminarsi in modo analogo a quanto visto per i casi precedenti: necessario diminuire la molteplicit del vincolo interno consentendo lacomponente di lo spostamento relativo che fa compiere lavoro allacaratteristica di sollecitazione cercata. Nei casi precedenti venivaridotto il grado di vincolo a partire da un incastro interno e quindiveniva sostituito un vincolo con molteplicit 3 (incastro interno) con unvincolo con molteplicit 2 (cerniera o doppio pendolo interni); inquesto caso deve essere ridotto il grado di vincolo a partire da unacerniera interna, che ha molteplicit 2 e quindi la cerniera interna deveessere sostituita con un vincolo interno di molteplicit 1.

TaglioPartendo dalla configurazione di figura 20.14, in cui sono

impediti gli spostamenti relativi tra le sezioni vincolate dalla cerniera Bed consentita la rotazione relativa tra i due elementi collegati dallacerniera necessario introdurre un vincolo interno che consenta glispostamenti relativi nella direzione ortogonale a quella delle asteconcorrenti in C, in modo da far compiere lavoro alle forze di tagliorelativamente ad una configurazione spostata del sistema. Sisostituisce quindi la cerniera B con un pendolo interno disposto comein figura 20.20a e si evidenziano le forze di taglio applicate agli

estremi delle aste concorrenti. Si ottiene cos una struttura una voltalabile la cui generica configurazione spostata rappresentata infigura


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20.20b insieme al corrispondente diagramma degli spostamenti

verticali, con il consueto significato dei simboli.

Figura 20.20.

Si osservi che nella configurazione spostata di figura 20.20b glispostamenti di tutti i punti dellelemento 1 sono nulli, mentre tutti ipunti dellelemento 2 si spostano in direzione verticale della stessaquantit. La condizione di annullamento del lavoro virtuale

0vTvFL 2BD == (e.4.1)

che, essendo vD= vB2fornisce il taglio

FT= (e.4.2)

Sforzo normale

Partendo dalla configurazione di figura 20.14 in cui sonoimpediti gli spostamenti relativi tra le sezioni vincolate dalla cerniera Bed consentita la rotazione relativa tra i due elementi collegati dallacerniera necessario introdurre un vincolo interno che consenta glispostamenti relativi nella direzione delle aste concorrenti in C, inmodo da far compiere lavoro alle allo sforzo normale relativamente aduna configurazione spostata del sistema. Si sostituisce quindi lacerniere B con un pendolo interno disposto come infigura 20.21a e si

evidenziano gli sforzi normali applicati agli estremi delle asteconcorrenti.

Figura 20.21.

C2

L/2 L/2L

F

L/2

L/2

B

C

1 2

DN

N

(a)

DF

A

B

C

1 2

DN

N

B2

vD

1

2

(b)

A

C2

xC2

yC2

uB2

2

2

N

TM

N

M

T

L/2 L/2L

F

L/2

L/2

A

B

C

1 2

D

T

T

F

A

B

C

1 2

D

T

T

DB2

vB2vD

1

2

(a) (b)

N

TM

NM

T


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Si ottiene cos una struttura una volta labile la cui genericaconfigurazione spostata rappresentata in figura 20.21b insieme aicorrispondenti diagrammi degli spostamenti, con il consuetosignificato dei simboli. Si osservi che nella configurazione spostata difigura 20.21b gli spostamenti di tutti i punti dellelemento 1 sono nulli,mentre lelemento 2 ruota di 2attorno al suo centro di rotazione C2.La condizione di annullamento del lavoro virtuale

02

LN

2

LFuNvFL 222BD === (e.4.3)

che fornisce lo sforzo normale

FN= (e.4.4)


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Si propongono alcuni esercizi la cui soluzione lasciata al lettore. Glischemi sono gi stessi proposti nelle lezioni 11, 12, 18 e 19, sicch sisuggerisce di controllare la coincidenza delle caratteristiche disollecitazione qui determinate con il Principio dei Lavori Virtuali con irisultati precedentemente determinati.

Esercizio 20.1

Si determinino con il Principio dei Lavori Virtuali lecaratteristiche di sollecitazione nella sezione A della struttura difigura20.22.

Figura 20.22.

Esercizio 20.2


Figura 20.23.

Esercizio 20.3


L/2

L L L

q

L/2

A

/4

L/2 LL/2 L

qA


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Pagina 26/27




Figura 20.24.

L

L/2

L L

L/2

FA


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Esercizio 20.4


Figura 20.25.

Esercizio 20.5

Si determinino con il Principio dei Lavori Virtuali lecaratteristiche di sollecitazione nella sezione A della struttura difigura

20.26.

Figura 20.26.

L

L/2L

q

A

L/2

L/2

L

L

L

F

A

L/2

20_determinazione Delle Caratteristiche Di Sollecitazione Con Il Plv

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