16_Caratteristiche Di Sollecitazione.

7/25/2019 16_Caratteristiche Di Sollecitazione.

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Corso di Laurea: INGEGNERIA CIVILE EAMBIENTALEInsegnamento: Meccanica delle strutturen Lezione: 16Titolo: Caratteristiche di sollecitazione

FACOLT DI INGEGNERIA

LEZIONE 16 Caratteris tiche di sollecitazione.

Nucleotematico

Lez. Contenuto

6 16 Definizione delle caratteristiche di sollecitazione per le travi.

In questa lezione sono introdotte le Caratteristiche di Sollecitazioneper le travi. Queste quantit, che sono forze e momenti,rappresentano sinteticamente le azioni interne che due parti di una

trave si scambiano mutuamente attraverso una sezione. Sono difondamentale importanza sotto il profilo tecnico, in quanto sulla basedi queste che viene formulato il giudizio sullidoneit di una struttura a

sopportare i carichi ad essa applicati. Nel seguito, con particolareriferimento ad i sistemi piani, vengono date le definizioni dellecaratteristiche di sollecitazione e vengono presentate le convenzionicomunemente adottate.

Impostazione e definizioni

Si consideri una trave non necessariamente piana soggetta adun sistema di forze n21 F...,,F,F in equilibrio. Anche le forze

n21 F...,,F,F non giacciono necessariamente sullo stesso piano.Alcune di queste forze possono essere reazioni vincolari che sono

state preventivamente determinate (figura 16.1).

Figura 16.1.

Si immagini di sezionare la trave con un piano passante per un

punto G del suo asse e ortogonale allasse stesso. Per definizione di

S

G

F1

F2

F3

F4

G1

G0

F5

F6

F7

F8

M21

R21

S

G

G1F5

F6

F7

F8T2

s = 0

s

G0

F1

F2

F3

F4

S

G

R12

M12

T1s = 0

s
mailto:[email protected]:[email protected]


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trave questo piano contiene la sezione trasversale della trave (lezione

1) di cui G il baricentro; si indichi con Stale sezione.

La sezione operata suddivide la trave in due parti, talvolta dettitronchi o tratti, indicate con T1 e T2, essendo ognuna di questedelimitata ad un estremo dal piano e quindi dalla sezione S. Siindichino con S ed S la sezione S pensata appartenente alle dueparti T1 e T2, rispettivamente e con G e G il baricentro G pensatoappartenente alle sezioni S ed S, rispettivamente; S ed S sonotalvolta dette anche faccerelativamente ai solidi T1e T2. Si suppongainoltre che delle n forze applicate m < n siano applicate al tronco T1ele restanti n m siano applicate al tronco T2. Nel caso difigura 16.1 la

trave soggetta a n = 8 forze di cui m = 4 sono applicate a T1 e4mn =

sono applicate a T2.La trave in equilibrio per ipotesi, pertanto le forze applicate (forzeattive e reazioni vincolari) soddisfano le Equazioni Cardinali dellaStatica:

=

=

0M

0R)e(

Q

)e(

(16.1)

in cui)e(

R la risultante delle forze esterne applicate ed)e(

QM ilmomento risultante delle forze esterne applicate rispetto ad un punto

Q arbitrario, detto polo. Per il presente caso, nulla vieta di assumerecome polo per la valutazione dei momenti delle forze applicate ilbaricentro G della sezione S; questo senza perdere alcuna generalit,essendo la scelta del polo arbitraria. La condizione di equilibrio(16.1)pu quindi riscriversi come

=

=

0M

0R)e(

G

)e(

(16.2)

in cui)e(

GM il momento risultante delle forze esterne rispetto a G.Equivalentemente:

=+++ =+++ 0M...MM

0F...FFn21

n21 (16.3)

avendo indicato con iM (i = 1, 2, . n) il momento della forza iF

rispetto al polo G.

Ognuna delle due parti T1e T2in cui la trave divisa dal pianonon , in generale, in equilibrio, cio le forze ad essa applicate nonsoddisfano la (16.3). Questo evidente in quanto la (16.3) puriscriversi come

( )

( )

+++=+++

+++=+++

+

++

n2m1mm21

n2m1mm21

M...MMM...MM

F...FFF...FF (16.4)

In altre parole, con riferimento al caso di figura 16.1, le 8 forzeapplicate costituiscono un sistema equilibrato mentre n prime 4,


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applicate a T1, n le seconde 4, applicate a T2, considerate da sole,

costituiscono un sistema equilibrato.

Dal fatto che prima della sezione con il piano la trave fosse inequilibrio si deve dedurre che, prima della sezione, il tronco T2esercitava sul tronco T1un sistema di forze in grado di equilibrare leforze applicate a questultimo, cio le prime m forze del sistemaassegnato; equivalentemente il tronco T1esercitava sul tronco T2unsistema di forze in grado di equilibrare le forze applicate questultimo,cio le ultime n - m forze del sistema assegnato. Con riferimento alcaso di figura 16.1, prima della sezione con il piano il tronco T2esercitava sul tronco T1un sistema di forze in grado di equilibrare le

forze 1F , 2F , 3F ed 4F , mentre il tronco T1esercitava sul tronco T2unsistema di forze in grado di equilibrare le forze 5F , 6F , 7F ed 8F .

Si indichino ora con 12R ed 12M la risultante ed il momentorisultante delle forze esercitate dal tronco T2al tronco T1prima dellasezione con il piano e con 21R ed 21M la risultante ed il momentorisultante delle forze esercitate dal tronco T1 al tronco T2 prima deltaglio con il piano (figura 16.1). Si considera quindi il tronco T1

soggetta alle forze esterne ed, attraverso la sezione S, ad un sistemadi forze avente risultante 12R e momento risultante 12M . Perlequilibrio di questo tronco deve risultare

=++++

=++++0MM...MM

0RF...FF

12m21

12m21 (16.5)

cio le forze applicate al tronco T1 devono soddisfare le EquazioniCardinali della Statica. La risultante ed il momento risultante delleforze esercitate dal tronco T2al tronco T1sono quindi

( )( )

+++=+++=

m2112

m2112

M...MMM

F...FFR (16.6)

Analogamente pu considerarsi il tronco T2soggetto alle forze esterneed, attraverso la sezione S, ad un sistema di forze avente risultante

21R e momento risultante 21M . Per lequilibrio di questo tronco deverisultare

=++++=++++

++

++

0MM...MM

0RF...FF

21n2m1m

21n2m1m (16.7)

cio le forze applicate al tronco T2 devono soddisfare le EquazioniCardinali della Statica. La risultante ed il momento risultante delleforze esercitate dal tronco T1al tronco T2sono quindi

( )( )

+++=+++=

++

++

n2m1m21

n2m1m21

M...MMM

F...FFR (16.8)


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La (16.6) e la (16.8) forniscono la risultante ed il momento risultante

che le due parti T1e T1si scambiano attraverso la sezione S. Dalle(16.6) e(16.8),tenendo conto della(16.4) si ottiene anche:

+++=+++=

+

++

n2m1m12

n2m1m12

M...MMM

F...FFR (16.9)

+++=+++=

m2121

m2121

M...MMM

F...FFR (16.10)

==

2112

2112

MM

RR (16.11)

Pu quindi affermarsi che:

- la risultante ed il momento risultante 12R ed 12M del sistema diforze che il tronco T2esercita sul tronco T1costituiscono, insiemealle forze esterne applicate al tronco T1 un sistema equilibrato(cio avente risultante e momento risultante nulli); in questo senso

12R ed 12M possono determinarsi con le condizioni di equilibrio deltronco T1, come imposto dalla(16.6);

- la risultate ed il momento risultante 12R ed 12M del sistema di

forze che il troncoT

2 esercita sul troncoT

1 costituiscono unsistema equivalente (cio avente la stessa risultante e lo stessomomento risultante) al sistema di forze esterne applicate al troncoT2; in questo senso 12R ed 12M possono determinarsi valutando larisultante ed il momento risultante rispetto al polo G del sistema diforze applicate al tronco T2, come evidente dalla(16.9);

- la risultante ed il momento risultante 21R ed 21M del sistema diforze che il tronco T1esercita sul tronco T2costituiscono, insiemealle forze esterne applicate al tronco T2 un sistema equilibrato(cio avente risultante e momento risultante nulli); in questo senso

21

R ed21

M possono determinarsi con le condizioni di equilibrio deltronco T2, come imposto dalla(16.8);

- la risultate ed il momento risultante 21R ed 21M del sistema di forzeche il tronco T1 esercita sul tronco T2 costituiscono un sistemaequivalente (cio avente la stessa risultante e lo stesso momento

risultante) al sistema di forze esterne applicate al tronco T1; inquesto senso 21R ed 21M possono determinarsi valutando larisultante ed il momento risultante rispetto al polo G del sistema diforze applicate al tronco T1, come evidente dalla(16.10);

- la risultate ed il momento risultante 21R ed 21M del sistema di forze

che il troncoT

1esercita sul troncoT

2e la risultante ed il momentorisultante 12R ed 12M del sistema di forze che il tronco T2esercitasul tronco T1hanno stesso lo modulo, la stessa retta di azione e


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verso opposto come evidente dalla (16.11). Questultima

evenienza avrebbe potuto immediatamente dedursi sulla base delIII Principio della Meccanica (Principio di Azione e Reazione).

Definizione

La risultante 12R ed il momento risultante 12M del sistema diforze esercitate da una parte di trave T2 su una parte di trave T1

attraverso la sezione S che separa le due parti si dicono azioniinterne, essendo 12M valutato rispetto al baricentro della sezione S.

La stessa definizione vale per la risultante 21R ed il momentorisultante 21M , essendo queste quantit legate a 12R ed 12M dalla

(16.11).

Figura 16.2.

wv

u

G

M12

S

Mu1

Mw1

Mv12

S

G

M21

wv

u

Mu2

Mw2

Mv21

w

v

u

G

R12

Tu12 N12

Tv12

S

S

G

R21

wv

u

Tu21N21

Tv21

w

v

u

G

R12

M12

S

S

G

R21

M21

wv

u

Scomposizione diR12ed R21

Scomposizione diM12ed M21


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Si assuma ora sulla sezione Sun sistema di riferimento (Guvw)

centrato nel baricentro G, avente lasse w tangente in G allasse dellatrave e di conseguenza il piano uv sulla sezione S. Possonoscomporsi le risultanti ed i momenti risultanti 21R , 12R , 21M , 12M (figura 16.2) secondo gli assi di questo riferimento. Si ottengono lecomponenti:

[ ]1212v12u NTT componenti di 12R secondo gli assi u,v,w

[ ]12w12v12u MMM componenti di 12M secondo gli assi u,v,w

[ ]2121v21u NTT componenti di 21R secondo gli assi u,v,w

[ ]21w21v21u MMM componenti di 21M secondo gli assi u,v,w

Figura 16.3.

In figura 16.3 ed in figura 16.4 sono rappresentateseparatamente le singole componenti di 21R , 12R , 21M , 12M rispetto al

w

S

v

u

G

Tv21

w

S

v

u

G

N21

w

S

v

u

G

Tu21

w

v

u

G

S

N12

w

v

u

G

S

Tv12

wv

u

G

S

Tu12


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riferimento assunto. In figura 16.4 le componenti dei momenti sono

rappresentate sia con la simbologia vettoriale che con la simbologiache le rappresenta come un arco con una freccia tracciati sul piano sucui giacciono le forze costituenti le relative coppie.Si osserva che nel riferimento assunto le componenti di 12R e 12M hanno segno opposto rispetto alle componenti di 21R ed 21M , cio

2112

21v12v

21u12u

NN

TT

TT

===

21w12w

21v12v

21u12u

MM

MM

MM

===

(16.12)

Per valutare queste componenti stato considerato lo stesso

riferimento (Guvw) sulle facce S ed S; in questo riferimento valgonole(16.12).La differenza di segno tra le componenti di 12R ed 12M e lecomponenti di 21R ed 21M scompare qualora si assumano invecesulle due facce S ed S due sistemi di riferimento aventi gli assiorientati in modo opposto.

Figura 16.4.

S

v

u

G

Mv21

w

wv

u

G

S

Mw12

wv

u

G

S

Mv12

wv

u

G

S

Mu12

S

wv

u

G

Mu21

S

v

u

GMw21

w


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Si assume quindi (figura 16.5):

- sulla faccia S un sistema di riferimento (Guvw) centrato nelbaricentro G della sezione, avente lasse w ortogonale al piano

della sezione e verso uscente dal solido T1e gli assi u ed v sulpiano della sezione;

- sulla faccia S un sistema di riferimento (Guvw) centrato nelbaricentro G della sezione, avente lasse w ortogonale al pianodella sezione con verso uscente dal solido T2e gli assi u ed v sulpiano della sezione orientati in modo opposto rispetto a u ed v.

Figura 16.5.

Valutando le componenti delle azioni interne 12R e 12M agenti sultronco T1attraverso la sezione S rispetto al riferimento (Guvw) e lecomponenti delle azioni interne 21R e 21M agenti sul tronco T2attraverso la sezione S rispetto al riferimento (Guvw) edindicando con un apice le componenti delle azioni interne valutaterispetto a (Guvw) e con due apici le quantit valutate rispetto a(Guvw) si ha:

2112

21v12v

21u12u

''N'N ''T'T

''T'T

===

21w12w

21v12v

21u12u

''M'M ''M'M

''M'M

===

(16.13)

Con lavvertenza di utilizzare questi sistemi di riferimento le (16.13)giustificano lutilizzo di un unico simbolo per designare le componentiomologhe sulle facce S ed S, rimanendo superfluo specificaremediante i pedici se le relative forze e coppie sono esercitate sultronco T1o sul tronco T2. Si pone quindi:

2112

21v12vv

21u12uu

''N'NN

''T'TT

''T'TT

======

21w12ww

21v12vv

21u12uu

''M'MM

''M'MM

''M'MM

======

(16.14)

Frequentemente, per motivi che saranno chiari nel seguito, convieneassumere gli assi u ed v aventi le direzioni degli assi principali diinerzia della sezione, che come noto sono tra loro ortogonali.

G0

F1

F2

F3

F4

S

G

u

v

R12

M12

uv

M21

R21 S

G

G1

x

y

F5

F6

F7

F8

T1

T2

s = 0

s

w

w


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Definizione

Le sei componenti Tu, Tv, N, Mu, Mv, Mw delle azioni interne,valutate nei riferimenti di figura 16.5 si dicono caratteristiche disollecitazione.

Figura 16.6.

In particolare:

Tu si dice taglioin direzione u;(figura 16.6)Tv si dice taglioin direzione v;

N si dice sforzo normale;Mu si dice momento flettentein direzione u;

(figura 16.7)Mv si dice momento flettentein direzione w;

Mw si dice momento torcente.Ovviamente queste componenti devono essere considerate

positive se di verso concorde agli assi del riferimento di figura 16.5.

w

v

u

G

S

Tu

w

v

u

G

S

Tv

w

v

u

G

S

N12

S

v

u

GN21

w

S

v

u

G

Tvw

S

v

u

GTu

w


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Quindi, ad esempio, nel caso di figura 16.5 il taglio Tu positivo, il

taglio Tv positivo, lo sforzo normale N negativo (figura 16.6), ilmomento flettente Mu negativo, il momento flettente Mv negativo, ilmomento torcente Mw negativo (figura 16.7).

Figura 16.7.

Quanto sopra esposto relativamente ad una sezione S puessere generalizzato ad ogni sezione della trave; infigura 16.8 sonomostrati i versi delle caratteristiche di sollecitazione positive conriferimento a due sezioni Ved Sdella trave. Si osservi che gli assi delsistema di riferimento sono orientati nello stesso modo sulle facce V eS e sulle facce V e S: assunta unascissa curvilinea s lungo lassedella trave, lorientamento degli assi lo stesso su tutte le facce che

delimitano un tronco di solido orientato verso le s crescenti e su tuttele facce che delimitano un tronco di solido orientato verso le sdecrescenti.

w

v

u

G

S

Mw

S

v

u

GMw

w

w

v

u

G

S

Mv

S

v

u

G

Mvw

w

v

u

G

S

Mu

S

w

v

u

G

Mu


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Figura 16.8.

F1

F2

F3

F4

F5

F6

F7

F8

S

V

s = 0

s1s2

s

V

w

v

u

N

TuTv

w

V

v

u

Mu

V

w

v

u

Mv

V

w

v

u

Mw

w

v

u

V

N

Tu

Tv

S

w

v

u

N

TuTv

w

v

u

Mu

V

S

w

v

u

Mu

w

v

u

Mv

V

S

w

v

u

Mv

w

v

u

Mw

V

S

w

v

u

Mw

w

u

v

N

Tu

Tv

S

w

u

v

S

Mu

w

u

v

S

Mv

w

u

v

S

Mw


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Si osserva infine che i valori delle caratteristiche disollecitazione sono, in generale, diversi per le diverse sezioni di unatrave. Ad esempio, nel caso di figura 16.8, sebbene indicate con lostesso simbolo, le caratteristiche di sollecitazione calcolate nellasezione Ssaranno diverse dalle corrispondenti calcolate nella sezione

V. Assunta unascissa curvilinea s sullasse della trave (figura 16.8),ad ogni valore di s tra 0 ed L (essendo L la lunghezza della trave)resta associata una sezione trasversale in corrispondenza della qualepossono essere valutate le caratteristiche della sollecitazione. Adesempio, nel caso difigura 16.8 ad s = s1resta associata la sezioneV, mentre ad s = s2resta associata la sezione S. Ad ogni valore di stra 0 ed L resta dunque associato un valore di ognuna delle seicaratteristiche di sollecitazione; in altre parole le caratteristiche disollecitazione sono funzioni dellascissa curvilinea s; in simboli:

( )( )

( )sNNsTT

sTT

vv

uu

===

( )( )

( )sMMsMM

sMM

w

vv

uu

===

(16.15)


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LEZIONE 16 Sessione di stud io 1

Caratteristiche di sollecitazione.Nella lezione sono state definite per una trave generica le azioniinterne e le caratteristiche di sollecitazione. In questa sessionevengono puntualizzati i procedimenti per la determinazione dellecaratteristiche di sollecitazione. Vengono inoltre introdotte lecaratteristiche di sollecitazione relativamente ai sistemi piani di travi.

Determinazione delle caratteristiche di sollecitazione

Scelta una sezione Sche divide una trave nei due tronchi T1eT2, e dette S ed S la sezione Spensata appartenente ai tronchi T1e

T2 rispettivamente, le caratteristiche di sollecitazione possonodeterminarsi:

a) imponendo le condizioni di equilibrio del tronco T1 soggetto alleforze esterne applicate a T1ed alle caratteristiche di sollecitazionepensate applicate alla faccia S (16.6);

b) imponendo lequivalenza tra il sistema di forze esterne applicate aT1 ed il sistema di forze costituito dalle caratteristiche disollecitazione pensate applicate alla faccia S (16.10);

c) imponendo le condizioni di equilibrio del tronco T2 soggetto alleforze esterne applicate a T2ed alle caratteristiche di sollecitazione

pensate applicate alla faccia S (16.8);d) imponendo lequivalenza tra il sistema di forze esterne applicate a

T2 ed il sistema di forze costituito dalle caratteristiche disollecitazione pensate applicate alla faccia S (16.9).

Ovviamente le procedure descritte forniscono tutte gli stessi risultati.Pi in dettaglio, scegliendo ad esempio di operare come descritto alpunto b)

- per determinare lo sforzo normale N nella sezione S necessariosommare le componenti secondo la direzione degli assi w e w ditutte le forze che precedono la sezione S; il segno di N sar poi

stabilito confrontando il verso di detta somma di componenti con ilverso dellasse w;

- per determinare il taglio Tvnella sezione S necessario sommarele componenti secondo la direzione degli assi v e v di tutte leforze che precedono la sezione S; il segno di Tvsar poi stabilitoconfrontando il verso di detta somma di componenti con il versodellasse v;

- per determinare il momento flettente Mu nella sezione S necessario sommare le componenti nella direzione degli assi u eu dei momenti rispetto al baricentro G di S di tutte le forze che

precedono la sezione S; il segno di Mu sar poi stabilitoconfrontando il verso di detta somma di momenti con il versodellasse u;


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- per determinare il momento torcente Mw nella sezione S

necessario sommare le componenti secondo la direzione degli assiw e w dei momenti rispetto al baricentro G di Sdi tutte le forzeche precedono la sezione S; il segno di Mw sar poi stabilitoconfrontando il verso di detta somma di momenti con il versodellasse w.

Per Tued Mvsi procede in modo analogo.

Tutto quanto sopra vale anche se in una sezione del tratto T1(odel tratto T2) presente un vincolo interno. Se invece in una sezionedel tratto T1 (o del tratto T2) presente un vincolo esterno, per lavalutazione delle caratteristiche di sollecitazione necessario

considerare la relativa reazione vincolare esterna insieme alle altreforze esterne applicate, come anticipato precedentemente.

Caratteristiche di sollecitazione per sistemi piani

Quanto visto finora vale per una trave generica. Nel caso di unatrave piana parte di un sistema piano di travi tutte le forze hanno rettadazione giacente sullo stesso piano (figura 16.9).

Figura 16.9.

F1

F2

F3

F4

w

v

u

w

v

u

w

v

u

w

v

u

z

y

x

w

v v

w

v

w w

vpiano yzz

y

F1

F2F3

F4


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In questo caso, assunto un riferimento (Oxyz) si supponga che lassedella trave e le forze applicate giacciano tutte sul piano yz; sullasezione generica possono essere assunti i riferimenti (Guvw) e(Guvw) in modo che gli assi u ed u siano ortogonali al piano yz egli assi v e w (e v e w) giacciano sul piano yz (figura 16.9).

Figura 16.10.

immediato rilevare che in questo caso tutte le forze hannocomponente nulla nella direzione dellasse x (giacciono sul piano yz),e quindi degli assi u e u; pertanto risulta (figura 16.10)

0M

0M

0T

w

v

u

=

=

=

(16.16)

w

v

u

w

v

u

w

v

u

w

v

u

N

M

T

N

T

M

T

T

N

N

M

M

z

y

x

w

v

piano yz

zy

F1

F2

N

T v

w w

v

N

T

N

M M

M w

v

F3F4

N

T

M

F1

F2

F3

F4


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e, delle sei caratteristiche di sollecitazione (16.15) sono non nulle solo

le tre( )( )

( )sNNsMM

sTT

uu

vv

=

=

=

(16.17)

Nel caso dei sistemi piani sono quindi non nulli soltanto:

a) il taglio agente nel piano del sistema;

b) il momento flettente avente asse momento in direzione ortogonaleal piano del sistema e quindi equivalente ad una coppia giacentesul piano del sistema;

c) lo sforzo normale.

Per questo, nel caso di sistemi piani, perde significato laspecificazione mediante il pedice della direzione del taglio e delmomento flettente e le caratteristiche di sollecitazione vengonosemplicemente indicate con

( )( )sNNsMM

sTT

=

=

=

(16.18)

essendo sottinteso che ( )sTT=

il taglio nella direzione di v e v eche ( )sMM= il momento avente asse nella direzione u e u (figura16.10).


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Caratteristiche di sollecitazione.

Relativamente alle travi piane viene illustrata nel seguito laconvenzione che comunemente si adotta per i sistemi di riferimento(Guvw) e (Guvw) rispetto ai quali si valutano le caratteristiche di

sollecitazione. Questa scelta convenzionale comporta unaconseguente convenzione sui segni delle caratteristiche disollecitazione.

Convenzione sui segni delle caratteristiche di sollecitazione

Il segno delle caratteristiche di sollecitazione si determina in

accordo con i sistemi di riferimento (Guvw) e (Guvw), con laconvenzione di orientare assi con il seguente criterio: scelto un versodi percorrenza in accordo con le ascisse curvilinee s crescenti, aquesto verso pu associarsi un lembo della trave, comunemente dettolembo inferiore, che il lembo indicato da una rotazione oraria di /2di un vettore t giacente sul piano della trave, tangente al suo asse eorientato nel verso di percorrenza (figura 16.11).

Figura 16.11.

z

y

x

F1

F2

F3

F4

w

u

v

w

u

v

N

M

T

N

T

MV

S

V

S

t

/2

s

v

w

u

v

w

u

T

T

N

N

M

M


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Un osservatore che percorre lasse della trave nel verso di

percorrenza (e quindi procede verso le ascisse s crescenti) tenendo ipiedi dalla parte del lembo inferiore, trovandosi tra due sezioni VeScorrispondenti alle ascisse s1 e s2 (con s2 > s1), relativamente allasezioneSposta di fronte osserva:

a) lasse u orientato alla sua destra;

b) lasse v orientato verso il basso (cio con orientamento dalla testaai piedi);

c) lasse w orientato nel suo verso di percorrenza.

Di conseguenza, relativamente alla sezione V posta dietro di lui,osserva (senza girarsi):

a) lasse u orientato alla sua sinistra;b) lasse v orientato verso lalto (cio con orientamento dai piedi alla

testa);c) lasse w orientato in modo opposto rispetto al suo verso di

percorrenza.

Sovente la posizione del lembo inferiore si indica con una lineatratteggiata come mostrato infigura 16.11.Si rimarca che, nel senso

sopra definito, il lembo inferiorenon necessariamente situato dellaparte della trave posta in basso; in effetti per elementi trave nonorizzontali pu non essere neanche identificabile una parte posta in

basso. Ci non toglie che nella pratica, quando la forma della strutturalo consente, il lembo inferiore viene effettivamente posto nella partebassa della trave.

Figura 16.12.

s

t

/2N N

M M

T

T

SV

T

T

NN

M M

SV

T

N

M t

/2

s

S

T

NN

M M

T

T

SV

lembo inferiore

N

M

V

lembo inferiore


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Considerando un piccolo tratto di trave tra le sezioni V eS,detto anche concio, coerentemente con le possibili scelte del lemboinferiore (e quindi del verso di percorrenza), i versi assunti positivi perle caratteristiche di sollecitazione sono indicati infigura 16.12.


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Caratteristiche di sollecitazione.

In questa sessione sono discussi alcuni esempi relativi alladeterminazione delle caratteristiche di sollecitazioni per travi rettilinee.Si anticipano inoltre alcune osservazioni che saranno riprese indettaglio nelle lezioni successive-

Esempio 16.1

Relativamente alla trave di figura 16.13, si determinino lecaratteristiche di sollecitazione nelle sezioniS1. edS2.

Figura 16.13.

Si rileva immediatamente che il sistema in equilibrio (si rivedalesempio 3.1). Assunta unascissa curvilinea s sullasse della traveavente origine in A e scelto il verso di percorrenza da A verso C(figura 16.14), la sezione iniziale A identificata dallascissa

0ssA== (e.1.1)

la sezione B identificata dallascissa

LssB== (e.1.2)

la sezione D identificata dallascissa

fD tanLLss +== (e.1.3)

mentre la sezione terminale C identificata dallascissa

1C LLss +== (e.1.4)

Figura 16.14.

A B

C

L

Ltanf

S1

D

L1S2

fF

P = F

s A

B

C

Ltanf

S1

D

L1S2

fF

P = F

ss

=

0

s1

s

=

0

sB= L

f

AB

C

F

P = F

Ltanf

L

S1

D

L1S2


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Siano le sezioniS1edS2identificate dai valori s1ed s2dellascissa sessendo:

( )F2

1

tan1LsL

Ls0

+

(e.1.5)

Coerentemente con la scelta del verso di percorrenza si identifica illembo inferiore, indicato infigura 16.15 dalle linee tratteggiate.

Figura 16.15.

Operando una separazione della trave in due parti incorrispondenza della sezioneS1 si evidenziano le caratteristiche disollecitazione in detta sezione, come mostrato infigura 16.16.

Figura 16.16.

Dopo aver preliminarmente determinato le componenti secondo ledirezioni di N e T delle forze applicate, si determinano lecaratteristiche di sollecitazione nella sezioneS1, pensate applicate altronco T1imponendo le condizioni di equilibrio del tronco T1(16.6)

=+=+=+

0MssinF

0sinFT

0cosFN

1F

F

F

(e.1.6)

avendo assunto nella terza equazione il baricentro della sezioneS1come polo per la valutazione dei momenti. Si trova quindi

==

=

1F

F

F

ssinFM

sinFT

cosFN

(e.1.7)

A S1

s

N

T

MB

C

Ltanf

S1

D

L1S2

F

N

TM

s1

T1

T2

F sin F

F cos F

fF

F cos F

F sin F N

T

M NM

T

A B

C

Ltanf

L

S1

D

L1S2

fF

s

t

/2

P = F


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In alternativa, applicando la (16.10) le caratteristiche di sollecitazione

nella sezioneS1, pensate applicate al tronco T2possono determinarsiimponendo lequivalenza tra queste ed il sistema di forze esterneapplicate a T1

==

=

MssinF

TsinF

NcosF

1F

F

F

(e.1.8)

Equivalentemente avrebbero potuto determinarsi le stessecaratteristiche di sollecitazione sulla base dellequilibrio del tronco T2odellequivalenza tra il sistema di forze esterne applicate a T2 e le

caratteristiche di sollecitazione pensate applicate al tronco T1.Operando una separazione della trave in due parti in

corrispondenza della sezioneS2 si evidenziano le caratteristiche disollecitazione in detta sezione, come mostrato infigura 16.17.

Figura 16.17.

Si determinano le caratteristiche di sollecitazione nella sezioneS2,pensate applicate al tronco T1imponendo le condizioni di equilibrio altronco T1(16.6)

( )

=++=+=+

0MLscosFLsinF

0cosFT

0sinFN

2FF

F

F

(e.1.9)

avendo assunto nella terza equazione il baricentro della sezioneS2come polo per la valutazione dei momenti. Si trova quindi

( )

===

LscosFLsinFM

cosFT

sinFN

2FF

F

F

(e.1.10)

In alternativa, applicando la (16.10) le caratteristiche di sollecitazionenella sezioneS2pensate applicate al tronco T2possono determinarsi

A B

L

S1s

C

D

S2

F

S2

N

T

M

NM

T

s2

T1

T2

F sin F

F cos F

fF

F cos F

F sin FN

T

M

NM

T


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imponendo lequivalenza tra queste ed il sistema di forze esterne

applicate a T1:

( )

===

MLscosFLsinF

TcosF

NsinF

2FF

F

F

(e.1.11)

Equivalentemente avrebbero potuto determinarsi le stessecaratteristiche di sollecitazione sulla base dellequilibrio del tronco T2odellequivalenza tra il sistema di forze esterne applicate a T2 e lecaratteristiche di sollecitazione pensate applicate al tronco T1.

Si pu rilevare che le caratteristiche di sollecitazione sono

espresse dalle(e.1.7) per tutte le sezioni dellasta AB; in altre parole,per ogni ascissa s tra 0 ed L si ha

( )( )( )

Ls0se

ssinFsM

sinFsT

cosFsN

F

F

F

==

=

(e.1.12)

analogamente le caratteristiche di sollecitazione sono espresse dalle(e.1.10) per tutte le sezioni dellasta BC; in altre parole, per ogniascissa s tra L ed ( )

Ftan1L + si ha:

( )( ) ( )( ) ( )[ ]

=+= =

FF

FF

F

cosLssinLFsM

tan1LsLsecosFsT

sinFsN

(e.1.13)

Ovviamente tra C e D le caratteristiche di sollecitazione sono nulle:

( )( )( )

==

=

0sM

LsLse0sT

0sN

1

(e.1.14)

Le espressioni (e.1.12) - (e.1.14) possono riassumersi per lintera

struttura

( )

=0

sinF

cosF

sNF

F

( )

=

0

cosF

sinF

sTF

F

( ) ( )[ ]

=

0

cosLssinLF

ssinF

sMFF

F

Ls0se

(e.1.15)

( )F

tan1LsLse +

( )F

tan1LsLse +

Ls0se

( )F

tan1LsLse +

Ls0se Ls0se

( )F

tan1LsLse + Ls0se


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Si osserva che le funzioni che associano allascissa s il

corrispondente sforzo normale, N(s), ed il corrispondente taglio, T(s),presentano una discontinuit in corrispondenza delle ascisse s = L e

( )F

tan1Ls += , cio in corrispondenza delle sezioni B e D. Lafunzione che associa allascissa s il corrispondente momento flettente,M(s), invece continua per tutte le ascisse s tra 0 ed L + L1.

Le espressioni delle caratteristiche di sollecitazione dipendonodalla scelta dellascissa curvilinea s lungo lasse della struttura; leespressioni (e.1.15) sono coerenti con la scelta arbitraria di figura16.14. immediato verificare che scelto per lascissa curvilinea ilsenso di percorrenza opposto a quello di figura 16.14 e considerato

per la trave il lembo inferiore indicato con la linea tratteggiata infigura16.18 si otterrebbero per le caratteristiche di sollecitazione leespressioni(e.1.15) con i segni cambiati.

Figura 16.18.

Si rileva infine che per la determinazione delle caratteristiche disollecitazione non necessario assumere ununica ascissa curvilineaper tutte le aste costituenti la struttura; nel caso in esame, adesempio, potrebbero essere scelte lascissa s relativamente allastaAB e lascissa u relativamente allasta BC, come rappresentatofigura16.19. In questo caso le sezioni dellasta AB restano identificate dalparametro s tra 0 ed L mentre le sezioni dellasta BC restanoidentificate dal parametro u tra 0 ed L1.

Figura 16.19.

Esempio 16.2

Relativamente alla trave di figura 16.20 si determinino lecaratteristiche di sollecitazione nelle sezioniS1,S2,S3edS4.

A B

C

L

Ltanf

S1

D

L1S2

u

t/2

s /2

A B

C

L

Ltanf

S1

D

L1S2

s

t/2


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Figura 16.20.

Per la valutazione delle caratteristiche di sollecitazione necessario determinare preliminarmente le reazioni dei vincoli esterni.Siccome la struttura isostatica queste reazioni possono esseredeterminate con le Equazioni Cardinali della Statica o con il Principiodei Lavori Virtuali. La struttura la stessa dellesempio 11.1;

sfruttando i risultati gi trovati, si fa riferimento alle reazioni di figura11.6, qui riproposta per comodit (figura 16.21).

Figura 16.21.

Si scelgono lascissa s ed il lembo inferiore indicati in figura16.22a. Con riferimento alla figura 16.22b le caratteristiche disollecitazione N e T nella sezioneS1, identificata dallascissa s1, sideterminano sommando le corrispondenti componenti delle forzeapplicate che precedono la sezioneS1; il momento flettente M sidetermina sommando i momenti rispetto al baricentro diS1delle forzeche precedono la sezioneS1.Le forze che precedonoS1sono quelle applicate tra lestremo A e lasezioneS1 se si immagina di percorrere lasse della struttura dasinistra verso destra; sono quelle applicate tra lestremo E e lasezioneS1 se si immagina di percorrere lasse della struttura dadestra verso sinistra. Immaginando di percorrere la struttura da

sinistra verso destra lunica forza che precede la sezioneS1 lareazione F/2 applicata nel punto A (figura 16.22b), la cui componentenella direzione di N nulla, la cui componente nella direzione di T F/2 ed il cui momento rispetto al baricentro diS1 F/2s1. Pertanto

( )

( )

( )

=

=

=

11

1

1

s2

FsM

2

FsT

0sN

(e.2.1)

L L L/2L

A C DF

F/2F

3F/2

BS1 S2 S3 S4

E

L L L/2L

FA B C DS1 S2 S3 S4

E


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Figura 16.22.

Naturalmente, immaginando di percorrere la struttura da destra versosinistra si ottiene lo stesso risultato, essendo in questo caso daconsiderare, come forze che precedono la sezioneS1 la forza Fapplicata in E e le reazioni 3F/2 ed F applicate in D e B:

L L L/2L

C DF

F3F/2

BS1 S2 S3 S4

s1

N

TM

A

F/2

N

TMS1

N

TM

NM

T

A

F/2F

BS1

L L L/2L

C DF

3F/2

S3 S4

N

TMS2

S2N

TM

s2

(b)

(c)

A C

F/2 FB

S1 S2

L L L/2L

DF

3F/2

S4

s3

N

T

MS3

S2N

TM

(d)

A C D

F/2F 3F/2

BS1 S2 S3

L L L/2L

F

N

TM

S4

S4N

TM

s4(e)

E

E

E

E

L L L/2L

FA B C DS1 S2 S3 S4

E

s

(a)


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( )

( )

( ) ( ) ( )

=+

=

=+=

=

11111

1

1

s2

FsLFsL3F

2

3sL

2

7FsM

2

FFF

2

3FsT

0sN

(e.2.2)

Relativamente alla sezioneS2 (figura 16.22c), pesando di procedereda sinistra verso destra necessario considerare la reazione F/2applicata in A e la reazione F applicata in B:

( )( )

( ) ( )

+==

===

LFs2

FLsFs

2

FsM

2

FF

2

FsT

0sN

2222

2

2

(e.2.3)

pensando invece di procedere da destra verso sinistra necessarioconsiderare la forza F applicata in E e la reazione 3F/2 applicata in D:

( )

( )

( ) ( )

+=+

=

==

=

LFs2

FsL3F

2

3sL

2

7FsM

2

F

F2

3

FsT

0sN

2222

2

2

(e.2.4)

Relativamente alla sezioneS3 (figura 16.22d), pesando di procedereda sinistra verso destra necessario considerare ancora la reazioneF/2 applicata in A e la reazione F applicata in B:

( )

( )

( ) ( )

+==

==

=

LFs2

FLsFs

2

FsM

2

FF

2

FsT

0sN

3333

3

3

(e.2.5)

Pensando invece di procedere da destra verso sinistra necessarioconsiderare ancora la forza F applicata in E e la reazione 3F/2applicata in D:

( )

( )

( ) ( )

+=+

=

==

=

LFs2

FsL3F

2

3sL

2

7FsM

2

FF

2

3FsT

0sN

3333

3

3

(e.2.6)


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Si osserva che, come anticipato, la presenza della cerniera interna

non altera la procedura descritta.Infine, relativamente alla sezioneS4, (figura 16.22e) pesando di

procedere da sinistra verso destra necessario considerare ancora lareazione F/2 applicata in A e le reazioni F e 3F/2 applicate in B e D,pertanto

( )

( )

( ) ( ) ( )

=+=

=+=

=

FL2

7sFL3sF

2

3LsFs

2

FsM

FF2

3F

2

FsT

0sN

44444

4

4

(e.2.7)

Pensando invece di procedere da destra verso sinistra necessarioconsiderare solo la forza F applicata in E, pertanto

( )( )

( )

=

=

==

FL2

7sFsL

2

7FsM

FsT

0sN

444

4

4

(e.2.8)

Le precedenti espressioni possono essere riscritte tenendo conto che

la(e.2.1) vale per Ls0


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- lentit della discontinuit che funzione taglio T(s) manifesta in

corrispondenza di una sezione in cui applicata una forzaortogonale allasse pari allintensit della forza stessa. Adesempio il taglio immediatamente a sinistra della sezione B valeF/2, mentre il taglio immediatamente a destra di detta sezione vale F/2; la discontinuit quindi pari a F che lentit della forzaapplicata in B;

- la funzione momento flettente M(s) invece definita per ogniascissa s ed inoltre continua per ogni s.

Nella lezione seguente verranno approfondite e generalizzatequeste osservazioni.

Osservazione

Si consideri un concio e si evidenzino le caratteristiche disollecitazione agenti sulle facce che lo delimitano (figura 16.23).

Figura 16.23.

Finora sono sempre state considerate travi rigide e

conseguentemente non sono stati trattati gli argomenti correlati alledeformazioni degli elementi strutturali, che saranno oggetto di lezionisuccessive. In questo contesto tuttavia utile anticipare a livello

N

N

N

N

M

T

M

TT

M

M

T

Caratteristiche disollecitazione positive

NN

M

NN

M

M

M

T

TT

T

Caratteristiche disollecitazione ngative


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intuitivo una breve descrizione della deformazione di un concio di

trave per effetto delle caratteristiche di sollecitazione. Con riferimentoad un concio di una trave rettilinea, lafigura 16.24 mostra la forma delconcio deformato pensato soggetto separatamente alle caratteristichedi sollecitazione pensate positive. In particolare

- la figura 16.24a mostra che per effetto dello sforzo normalepositivo si produce un allungamento del concio ed unaccorciamento delle dimensioni trasversali della sezione; lasse delconcio rimane rettilineo dopo la deformazione;

- la figura 16.24b mostra che per effetto del momento flettentepositivo si produce la curvatura dellasse del concio, con

conseguente allungamento delle fibre poste dalla parte del lemboinferiore (fibre tese) ed accorciamento delle fibre poste dalla partedel lembo superiore (fibre compresse);

- lafigura 16.24c mostra che per effetto del taglio positivo si produceuna traslazione relativa delle facce del concio nella direzione deltaglio, con conseguente ingobbamento delle facce stesse (ciospostamento dei punti delle facce fuori dal piano delle faccestesse).

Figura 16.24.

Per contro, lafigura 16.25 mostra le deformazioni del concio pensatosoggetto alle caratteristiche di sollecitazione negative.

Figura 16.25.

Gli schemi dellafigura 16.24 e dellafigura 16.25 possono essere utili

per identificare rapidamente il segno delle caratteristiche disollecitazione, tenendo presente che:

Caratteristiche di sollecitazione negative

N

N

M

M

T

T

(a) (b) (c)

Caratteristiche di sollecitazione positive

N

N

T

T

M

M

(a) (b) (c)


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- lo sforzo normale positivo se produce un allungamento del

concio; viceversa negativo se ne produce un accorciamento;- il taglio positivo se produce una rotazione oraria dellasse del

concio; viceversa negativo ne produce una rotazione antioraria;

- il momento flettente positivo se le fibre tese sono dalla parte dellembo inferiore (linea tratteggiata) e le fibre compresse sono dallaparte del lembo superiore; viceversa negativo se le fibre tesesono dalla parte del lembo superiore e le fibre compresse sonodalla parte del lembo inferiore (linea tratteggiata). Con menoparole, il momento flettente positivo se tende le fibre dalla partedella linea tratteggiata.

16_Caratteristiche Di Sollecitazione.

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