Dedica - aracneeditrice.it · 63 Capitolo II Caratteristiche di sollecitazione nelle travature...
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A09
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Marco Gherlone
Fondamenti di meccanica strutturale
Aracne editrice
Copyright © MMXVIIIGioacchino Onorati editore S.r.l. — unipersonale
via Vittorio Veneto, 2000020 Canterano (RM)
(06) 45551463
isbn 978–88–255–1182–6
I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica,di riproduzione e di adattamento anche parziale,
con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi.
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I edizione: marzo 2018
5
Indice
9 Introduzione
13 Capitolo I
Cinematica e statica dei sistemi piani di travi 1.1. Cinematica dei sistemi piani di travi, 13 – 1.1.1. Coordinate generalizzate, gra-
di di libertà e gradi di vincolo, 13 – 1.1.2. Legge fondamentale del moto rigido, 18 –
1.1.3. Definizione cinematica dei vincoli, 22 – 1.1.4. Classificazione cinematica dei
sistemi, 25 – 1.1.5. Studio algebrico della cinematica dei sistemi piani di travi, 30 –
1.2. Statica dei sistemi piani di travi, 34 – 1.2.1. Tipologia ed equivalenza dei sistemi
di carichi, 34 – 1.2.2. Equazioni cardinali della statica, 37 – 1.2.3. Definizione sta-
tica dei vincoli, 38 – 1.2.4. Classificazione statica dei sistemi, 41 – 1.2.5. Studio al-
gebrico della statica dei sistemi piani di travi, 46 – 1.3. Dualità statico-cinematica,
51 – 1.4. Calcolo delle reazioni vincolari, 51
63 Capitolo II
Caratteristiche di sollecitazione nelle travature isostatiche
piane 2.1. La trave, 63 – 2.1.1. Definizione, 63 – 2.1.2. Caratteristiche di sollecitazione, 64
– 2.1.3. Equazioni indefinite di equilibrio, 70 – 2.2. Risoluzione di travature isostati-
che, 72 – 2.3. Risoluzione di travature reticolari isostatiche, 107 – 2.3.1. Generalità,
107 – 2.3.2. Metodi di soluzione, 110
129 Capitolo III
Elementi di teoria dell’elasticità 3.1. Le deformazioni, 129 – 3.1.1. Definizione: le equazioni cinematiche, 129 –
3.1.2. Trasformazione del tensore delle deformazioni per rotazioni del sistema di ri-
ferimento, 139 – 3.1.3. Equazioni di compatibilità e condizioni di vincolo, 146 – 3.2.
Le tensioni, 147 – 3.2.1. Definizione, 147 – 3.2.2. Equazioni indefinite di equilibrio,
154 – 3.2.3. Trasformazione del tensore degli sforzi per rotazioni del sistema di rife-
rimento, 159 – 3.2.4. Stato piano di tensione, 162 – 3.3. Il Principio dei Lavori Vir-
tuali (PLV), 165 – 3.3.1. Lavoro delle forze concentrate e dei carichi distribuiti, 165
3.3.2. Sistema equilibrato e sistema congruente, 169 – 3.3.3. Lavori virtuali, 171
3.3.4. Il Principio dei Lavori Virtuali (PLV), 173 – 3.3.5. Applicazione del PLV al
calcolo di spostamenti e rotazioni, 175 – 3.4. La legge costitutiva elastica, 177 –
3.4.1. Corpo elastico, potenziale elastico e potenziale elastico complementare, 177 –
3.4.2. Elasticità lineare, 184 – 3.5. Il problema elastico lineare, 188 – 3.5.1. Formu-
lazione matematica, 188 – 3.5.2. Proprietà della soluzione, 189 – 3.6. Teoremi fon-
damentali dell’elasticità lineare, 191 – 3.6.1. Teorema di Clapeyron, 191 – 3.6.2.
Teorema di Betti, 194 – 3.6.3. Teorema di Castigliano, 197 – 3.6.4. Principio di sta-
Indice 6
zionarietà (e di minimo) dell’energia potenziale totale, 201 – 3.7. I materiali isotro-
pi, 204 – 3.7.1. Definizione, 204 – 3.7.2. Costanti ingegneristiche, 206 – 3.7.3. Ca-
ratterizzazione sperimentale, 210 – 3.7.4. Osservazioni, 216 – 3.7.5. Criteri di resi-
stenza, 217
221 Capitolo IV
Il solido di de Saint-Venant 4.1. Il problema di de Saint-Venant, 221 – 4.1.1. Premessa, 221 – 4.1.2. Assunzioni
ed ipotesi fondamentali, 222 – 4.1.3. Limiti di validità ed estensioni, 230 – 4.2. So-
luzione generale nelle tensioni normali, 231 – 4.2.1. Soluzione generale, 231 – 4.2.2.
Casi particolari, 233 – 4.2.3. Lavoro di deformazione e lavoro virtuale interno, 237
4.3. La torsione, 244 – 4.3.1. Premessa, 244 – 4.3.2. Torsione per sezioni trasversali
a simmetria circolare, 244 – 4.3.3. Torsione per sezioni trasversali generiche, 250 –
4.3.4. Torsione per sezioni in parete sottile, 256 – 4.4. Il taglio, 271 – 4.4.1. Ortogo-
nalità energetica tra taglio e torsione, 271 – 4.4.2. Taglio retto per sezioni generi-
che, 274 – 4.4.3. Taglio deviato: il caso delle sezioni in parete sottile, 280 – 4.5.
Sollecitazioni composte, 293 – 4.5.1. Tensioni, deformazioni e spostamenti, 293 –
4.5.2. Energia di deformazione e lavoro virtuale interno, 294 – 4.6. Sezioni in parete
sottile, 297 – 4.6.1. Premessa, 297 – 4.6.2. Calcolo dello stato di tensione, 297 –
4.6.3. Esempi, 299 – 4.7. Verifiche di resistenza, 324 – 4.7.1. Stato di tensione nel
solido di de Saint-Venant, 324 – 4.7.2. Criterio di Tresca, 325 – 4.7.3. Criterio di
von Mises, 326 – 4.7.4. Esempi, 326
331 Capitolo V
Calcolo di spostamenti in travature piane e risoluzione dei casi
iperstatici 5.1. Uso del Principio dei Lavori Virtuali, 331 – 5.1.1. Il Principio dei Lavori Vir-
tuali per travature piane, 331 – 5.1.2. Calcolo di spostamenti e rotazioni in travatu-
re piane isostatiche, 334 – 5.1.3. Risoluzione di travature piane iperstatiche, 359 –
5.1.4. Calcolo di spostamenti e rotazioni in travature piane iperstatiche, 387 – 5.2.
Uso del Teorema di Castigliano, 394 – 5.2.1. Teorema di Castigliano per travature
piane, 394 – 5.3. Uso dell’equazione differenziale della linea elastica, 399 – 5.3.1.
Equazione differenziale della linea elastica per travature piane, 399 – 5.3.2. Appli-
cazioni, 406 – 5.3.3. Osservazioni, 435
437 Capitolo VI
Stabilità dell’equilibrio elastico: carico critico di travi com-
presse 6.1. Sistema elastico ad un grado di libertà, 437 – 6.1.1. Sistema perfetto, 437 –
6.1.2. Sistema imperfetto, 443 – 6.2. Trave compressa, 446 – 6.2.1. Carico critico
Euleriano, 446 – 6.2.2. Instabilità in campo plastico, 452
457 Bibliografia
Indice 7
459 Appendice A
Equazione di equilibrio di una trave piana con linea d’asse
curva A.1. Equilibrio di una trave piana con linea d’asse curva, 459 – A.1.1. Caso genera-
le, 459 – A.1.2. Linea d’asse a curvatura costante, 461 – A.1.3. Linea d’asse rettili-
nea, 462
465 Appendice B
Geometria delle aree B.1. Sistemi continui di area, 465 – B.1.1. Definizione e trasformazioni del sistema
di riferimento, 465 – B.1.2. Area, 467 – B.1.3. Momenti statici, 468 – B.1.4. Mo-
menti di inerzia, 470 – B.2. Sistemi discreti di area, 476 – B.2.1. Definizione ed ipo-
tesi, 476 – B.2.2. Area, momenti statici e momenti di inerzia, 477 – B.3. Esempi, 478
B.4. Interpretazione fisica e generalizzazione delle proprietà d’area, 496 – B.4.1. Si-
gnificato fisico di area, momenti statici e momenti di inerzia, 496 – B.4.2. Genera-
lizzazione di area, momenti statici e momenti di inerzia, 497
501 Appendice C
Torsione di una trave intorno ad un asse non baricentrico C.1. Torsione di una trave intorno ad un asse non baricentrico, 501 – C.1.1. Campo
di spostamenti, 501 – C.1.2. Confronto con l’ipotesi di rotazione baricentrica, 502 –
C.1.3. Conclusioni, 504
505 Appendice D
I padri della meccanica strutturale e della scienza delle costru-
zioni
9
Introduzione
Questo libro raccoglie ed integra i contenuti del corso di Fondamenti
di Meccanica Strutturale tenuto, a partire dall’Anno Accademico
2014-2015, per gli allievi del Corso di Laurea in Ingegneria Aerospa-
ziale del Politecnico di Torino.
Gli argomenti trattati non esauriscono ovviamente tutti gli aspetti
della Scienza delle Costruzioni e della Meccanica Strutturale ma rap-
presentano le conoscenze di base con le quali gli studenti di Ingegne-
ria Aerospaziale sono introdotti all’analisi delle strutture. La sequenza
degli argomenti è quella classica. Si parte dalla cinematica e dalla sta-
tica di travi e travature piane per introdurre i concetti di grado di liber-
tà, reazioni vincolari e caratteristiche di sollecitazione (almeno nei ca-
si isostatici). Si passa poi ad alcuni cenni di teoria dell’elasticità per
fornire gli ingredienti di base dell’analisi strutturale anche in casi
geometricamente più complessi (ma sempre relativi a materiali elasti-
ci, lineari, isotropi ed omogenei): deformazioni, tensioni, Principio dei
Lavori Virtuali e formulazione del problema elastico lineare (compresi
i teoremi fondamentali). Grazie a queste nuove conoscenze, il lettore
può tornare allo studio delle travi, ora inquadrato nel cosiddetto pro-
blema di de Saint-Venant, per analizzarne lo stato di tensione ed il
modo di deformarsi sotto diverse condizioni di carico. Viene poi spie-
gato come analizzare travi e travature nei casi staticamente indetermi-
nati. Conclude la trattazione un breve capitolo dedicato alla stabilità
dell’equilibrio elastico, in particolare per travi compresse. Le Appen-
dici forniscono dettagli su alcuni aspetti teorici importanti ma che non
sono trattati nei capitoli canonici per non “rallentare” troppo la “narra-
zione” principale. Vengono in particolare forniti gli strumenti per lo
studio della geometria delle aree.
L’intera trattazione si concentra su semplici componenti strutturali,
schematizzabili come sistemi di travi. Viene comunque fornito un
quadro completo di quali sono i requisiti di verifica e dimensionamen-
to statico (e dei relativi metodi di calcolo) validi anche per strutture
più complesse: robustezza, rigidezza e stabilità.
Introduzione
10
La trattazione dei vari argomenti è ispirata ad alcuni dei più noti e
diffusi testi di Scienza delle Costruzioni: il libro di Carpinteri per la
cinematica delle travi, i cenni di teoria dell’elasticità e sul solido di de
Saint-Venant, il libro di Nunziante, Gambarotta e Tralli per alcuni
aspetti relativi all’applicazione del Principio dei Lavori Virtuali e lo
storico testo di Belluzzi per la sezione dedicata ai teoremi fondamen-
tali dell’elasticità lineare.
Lo spirito, per quanto possibile innovativo, che ho cercato di intro-
durre riguarda il tentativo di accompagnare il lettore nella compren-
sione. E per far questo ho cercato di tenere conto dei dubbi che avevo
da studente nell’affrontare determinati argomenti, così come delle
domande che gli studenti hanno poi rivolto a me in alcuni anni di in-
segnamento. Conseguenza di questo approccio è stata la volontà di
aggiungere molti esempi ed esercizi svolti (più di 80), non inseriti sol-
tanto come applicazioni di formule ma anche come occasioni per im-
parare più di quanto la canonica trattazione teorica possa fare. In que-
sto senso è importante che gli esercizi siano di complessità crescente
ed incrementino, ciascuno, il bagaglio di conoscenze del lettore. Se-
guendo questa logica, ho curato gli esercizi relativi al calcolo delle
reazioni vincolari, al tracciamento dei diagrammi delle caratteristiche
di sollecitazione, all’analisi dello stato di tensione ed alla determina-
zione di spostamenti e rotazioni in travi e travature. Altro aspetto che
ho cercato di curare è quello relativo alle figure (più di 400), non sem-
plici raccolte di simboli e schemi ma riassunti visivi di concetti e di-
mostrazioni.
Spero che, partendo da autorevoli fonti di ispirazione e grazie a
queste accortezze didattiche ed espositive, il libro ottenga il suo obiet-
tivo: essere utile ed interessante.
Scrivere un libro non è impresa semplice per cui voglio ringraziare
molte persone e scusarmi con altrettante.
Ringrazio in primo luogo il prof. Enrico Cestino con il quale ho
condiviso la faticosa ma entusiasmante avventura del primo anno di
corso e la scrittura delle iniziali, “rustiche” dispense. Una collabora-
zione così stretta e sincera è cosa rara e preziosa.
Ringrazio il prof. Marco Di Sciuva per aver trasmesso al sottoscrit-
to (e a generazioni di studenti) la passione per la ricerca e per
l’insegnamento. Lo ringrazio poi per avermi consigliato su come or-
ganizzare la sequenza degli argomenti del corso e di questo libro.
Introduzione
11
Ringrazio il prof. Pietro Cornetti per avermi fornito alcuni suoi ap-
punti sulla torsione nelle travi di sezione trasversale generica e
sull’ortogonalità energetica tra taglio e torsione.
Ringrazio il Dr. Massimiliano Mattone per aver realizzato le figure
più belle di questo libro, quelle tridimensionali e colorate che non
avrei mai potuto fare io.
Ringrazio gli studenti Giuseppe Zaccaro e Sean Bazzocchi per aver
collaborato alla iniziale trasformazione delle “rustiche” dispense in fi-
le ordinati.
Ringrazio gli studenti del corso che con le loro domande ed il loro
interesse hanno rafforzato in me impegno ed entusiasmo.
Ringrazio Daniela e Gabriella per avermi sopportato due intere set-
timane; ho cercato di fare piano (e mi pare di non aver disturbato
troppo). E ringrazio Massimo, che ha contribuito non sapendolo.
Ringrazio Gianpaolo che mi ha incoraggiato ed aiutato, sebbene
all’inizio insistesse per un libro completamente diverso.
Mi scuso infine con tutte le persone che, in questi ultimi tempi, ho
fatto attendere più del dovuto.
Qualcuno sostiene che i libri parlino in primo luogo del loro autore.
Se è vero, quello che state sfogliando è pieno di difetti ed errori e vi
sarò grato se avrete la pazienza di segnalarmeli.
Ma è anche frutto della grande passione per le strutture e per il loro
insegnamento.
Marco Gherlone
Torino, febbraio 2018
13
Capitolo I
Cinematica e statica dei sistemi piani di travi
In questo capitolo analizzeremo la cinematica e la statica di semplici
sistemi piani, cioè insiemi di corpi che si trovano, si possono muovere
e sono sollecitati in un piano. I singoli corpi costituenti sono rigidi
(cioè indeformabili) e nella maggior parte dei casi di forma allungata
(cioè travi e travature, come impareremo nel Capitolo 2). Va però pre-
cisato che i concetti e le relazioni che introdurremo in questo capitolo
valgono qualunque sia la forma dei corpi piani considerati.
Per cinematica si intende lo studio del moto di un sistema indipen-
dentemente dalle forze che lo generano, cioè lo studio di quali sono i
gradi di libertà del sistema e di come i vincoli possano impedirne il
movimento.
Per statica si intende lo studio dell’equilibrio di un sistema, cioè
l’analisi di come i carichi ed i vincoli agiscano su di esso per mante-
nerlo in tale condizione. Particolare spazio verrà dedicato proprio al
calcolo delle reazioni vincolari, cioè delle forze che i vincoli trasmet-
tono ai sistemi.
1.1. Cinematica dei sistemi piani di travi
1.1.1. Coordinate generalizzate, gradi di libertà e gradi di vincolo
Si definiscono coordinate (generalizzate) di un sistema, g, i parametri
geometrici necessari e sufficienti a definire univocamente la configu-
razione del sistema. Tali coordinate possono essere libere (gradi di li-
bertà), , oppure vincolate, v. Si ha in generale che:
g v (1.1)
14 Fondamenti di meccanica strutturale
Se un sistema è privo di vincoli potrà trovarsi in g configurazioni
diverse mentre, nel caso più generale, potrà assumere configura-
zioni differenti (lasciate appunto libere dai vincoli). Vediamo alcuni
esempi relativi a punti materiali e a sistemi rigidi appartenenti ad un
piano. Con tali esempi cercheremo anche di approfondire la differenza
tra coordinate generalizzate e gradi di libertà.
Esempio 1
Figura 1.1. Punto materiale nel piano.
Il sistema è costituito da un punto materiale che si può muovere nel
piano senza alcun tipo di limitazione per cui g = 2, = 0 ed = 2.
Come gradi di libertà si possono scegliere le coordinate del punto, yA e
zA.
Esempio 2
Figura 1.2. Sistema rigido nel piano.
I. Cinematica e statica dei sistemi piani di travi 15
Quello rappresentato in Fig. 1.2. è un sistema rigido, cioè un sistema
nel quale non variano le distanze relative tra le coppie di punti mate-
riali che lo costituiscono. In particolare, è un sistema rigido libero di
muoversi nel piano per cui g = 3, = 0 ed = 3. Come gradi di liber-
tà si possono scegliere le coordinate di un punto del sistema (yG e zG)
ed un angolo () che misura l’orientamento del sistema rispetto agli
assi. Un sistema rigido nel piano ha dunque 3 coordinate generalizzate
(che sono anche 3 gradi di libertà se non ci sono vincoli).
Esempio 3
Figura 1.3. Sistema piano a 2 gradi di libertà.
Si può dimostrare in diversi modi che = 2 cioè che sono 2 i gradi di
libertà del sistema:
considerando il sistema come composto da 2 punti materiali (per
un totale di 4 coordinate generalizzate) ma sottoposto a 2 vincoli
2 2 2
1
2 2 2
2
A A
B A B A
y z L
y y z z L
considerando il sistema come composto da 2 corpi rigidi allun-
gati, cioè travi (per un totale di 6 coordinate generalizzate), ma
sottoposto a 4 vincoli
16 Fondamenti di meccanica strutturale
1 2 1 2
0, 0
,
O O
A A A A
y z
y y z z
A seconda di come viene considerato il sistema (2 punti materiali
collegati tra di loro e al “terreno” oppure 2 travi vincolate tra di loro e
al terreno), cambia il conteggio delle coordinate generalizzate e dei
gradi di vincolo ma rimane invariata la differenza tra di loro, cioè il
numero di gradi di libertà. Questi ultimi possono inoltre essere scelti
in diversi modi: gli angoli e , le coordinate yA e yB, le coordinate zA
e zB, le coordinate yA e zB, le coordinate yB e zA, la coordinata yA e
l’angolo e altri ancora.
Questo esempio ci aiuta anche a capire meglio la differenza tra
coordinate generalizzate e gradi di libertà. Considerando il sistema
come composto dai due punti materiali A e B, possiamo dire che le 4
coordinate generalizzate sono i parametri geometrici con i quali de-
scriviamo univocamente la configurazione, cioè lo stato del sistema
stesso. Va però notato che bastano 2 di tali coordinate a descrivere il
moto del sistema, cioè i possibili cambi di stato, e queste 2 coordinate
sono i gradi di libertà. Possiamo ancora affermare che i gradi di libertà
sono i parametri geometrici linearmente indipendenti atti a descrivere
il moto del sistema mentre le coordinate generalizzate non sono in ge-
nerale tutte linearmente indipendenti.
Esempio 4
Figura 1.4. Sistema piano a 3 gradi di libertà.
I. Cinematica e statica dei sistemi piani di travi 17
I gradi di libertà del sistema (che si comporta, nel suo complesso, co-
me un sistema rigido nel piano) sono in questo caso 3 e lo si può anco-
ra una volta verificare in diversi modi:
considerando il sistema come composto da 3 punti materiali (per
un totale di 6 coordinate generalizzate) ma sottoposto a 3 vincoli
2 2 2
1
2 2 2
2
2 2 2
3
B A B A
C B C B
A C A C
y y z z L
y y z z L
y y z z L
considerando il sistema come composto da 3 travi (per un totale
di 9 coordinate generalizzate) ma sottoposto a 6 vincoli
1 2 1 2
2 3 2 3
3 1 3 1
,
,
,
B B B B
C C C C
A A A A
y y z z
y y z z
y y z z
Esempio 5
Figura 1.5. Sistema piano a 3 gradi di libertà.
Rispetto all’Esempio 4 è stato aggiunto un punto materiale (e quindi 2
coordinate generalizzate) ma anche 2 collegamenti rigidi (e quindi 2
vincoli); i gradi di libertà restano quindi 3.
18 Fondamenti di meccanica strutturale
Esempio 6
Figura 1.6. Sistema a 3 gradi di libertà.
Rispetto all’Esempio 5 è stato aggiunto un collegamento rigido ma
inefficace poiché i 4 punti materiali erano già vincolati tra loro in mo-
do da non potersi spostare relativamente; i gradi di libertà sono ancora
3.
1.1.2. Legge fondamentale del moto rigido
Abbiamo visto (Esempio 2) che un sistema è rigido se durante il moto
si mantengono costanti le distanze relative tra le infinite coppie di
punti che lo costituiscono. Consideriamo ora un sistema rigido piano e
due suoi punti individuati rispettivamente dai vettori posizione Or ed
Pr (v. Fig. 1.7.). La cinematica di tale sistema rigido si può studiare
usando la seguente legge fondamentale del moto rigido:
P O P Or r (1.2)
dove O e P sono i vettori che rappresentano gli spostamenti dei
punti O e P e è il vettore rotazione a cui è sottoposto il sistema
nell’istante considerato (v. Fig. 1.7.). L’ipotesi fondamentale che fac-
ciamo è che gli spostamenti siano sufficientemente piccoli.
I. Cinematica e statica dei sistemi piani di travi 19
Figura 1.7. Sistema rigido nel piano.
Nel caso di un sistema nel piano (y,z), (v. Figg. 1.7. e 1.8.), i vettori
posizione e spostamento giacciono nel piano mentre il vettore rotazio-
ne è ad esso perpendicolare, ˆxi ( i , j e k sono i versori dei tre
assi coordinati). Dalle Figg. 1.7. e 1.8. è facile ricavare che:
ˆˆ
ˆˆ
O O O
P P P
r y j z k
r y j z k
(1.3)
da cui:
ˆˆP O P O P Or r y y j z z k (1.4)
Analogamente, per gli spostamenti:
ˆˆ
ˆˆ
O O O
P P P
v j w k
v j w k
(1.5)
e quindi:
20 Fondamenti di meccanica strutturale
ˆˆP O P O P Ov v j w w k (1.6)
Figura 1.8. Moto rigido nel piano.
Sviluppando il prodotto esterno presente nella (1.2) si ricava:
ˆˆ ˆ
ˆˆ ˆ
0 0
0
ˆˆ
P O P O x P O P O
x
P O P O
x P O x P O
r r i y y j z z k
i j k
y y z z
z z j y y k
(1.7)
Confrontando la (1.6) e la (1.7) si ricava allora:
P O x P O
P O x P O
v v z z
w w y y
(1.8)
