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Comportamento meccanico dei materiali Equilibrio esterno

© 2006 Politecnico di Torino 1

Cinematica ed equilibrio del corpo rigido

2

Equilibrio esterno

Spostamenti virtualiLavori virtuali ed equilibrioDeterminazione staticaNumero dei vincoli e determinazioneApprofondimenti: lavoro virtualeApprofondimenti: forze e momenti



Equilibrio esterno

4

Spostamenti virtuali (1/9)

In un corpo rigido i punti sono tra loro vincolati a distanze invariabili.

X

P

C



5


Ciò implica una relazione tra le velocità

qui disegnate per rappresentare gli spostamenti infinitesimi che hanno luogo nel tempo dt, altrimenti non visibili sul disegno.

X

P

CdP CP ddt dt

⋅ ϑ=

6


X

P

È possibile mettere in relazione diretta gli spostamenti infinitesimi di un punto qualsiasi X dato il moto di un punto P e la rotazione del corpo :

dX = dP + i d PX ϑ

ϑd

C



7


X

P

Si distingue ora tra gli spostamenti effettivi infinitesimi che il corpo subisce, a un dato istante, a causa di un movimento reale …

C

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… e, invece, gli spostamenti infinitesimi che il corpo potrebbe subire (variazione di posizione che si realizza senza che occorre stabilirne la durata di tempo) rispettando solamente i vincoli interni di movimento relativo tra i suoi punti, più eventuali condizioni di vincolo esterno.Questi ultimi sono spostamenti possibili rispettando solo le condizioni di vincolo cinematico, e, per distinguerli da quelli reali, vengono indicati con un simbolo diverso, “ δ “:

δX = δP + i δ PX ϑ



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Esempio 1 di moto virtuale

X

PδP

δX


X

PδP

δX

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X

PδP=0

δX

Il moto virtuale piùgenerale può essere la composizione dei tre moti qui rappresentati, ciascuno scelto con valori arbitrari, e vettorialmente si scrive:

δX = δP + i · δ · PX ϑ



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Precisiamo ancora: il moto reale del corpo rigido può essere nullo (quiete) oppure un moto uniforme, o infine un moto accelerato. A ogni istante produce, in un tempo infinitesimo, una variazione di posizione infinitesima “reale”.

Uno spostamento virtuale è invece una variazione infinitesima di posizione del corpo tra quelle cinematicamente possibili, senza che si debba effettivamente verificare.

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Gli spostamenti virtuali sono “variazioni di posizione”infinitesime tra un “prima” e un “dopo” in un tempo

irrilevante, e non producono forze d’inerzia.



Equilibrio esterno

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Lavoro virtuale (1/3)

Prendiamo un sistema rigido, e consideriamo la presenza di forze (reali) e di spostamento (virtuale).

A

C

B P

Descriviamo il moto dei punti A,B,C…., rispetto al punto P:

A P i PAB P i PBC P i PC

.........X P i PX

δ = δ + δϑδ = δ + δϑδ = δ + δϑ

δ = δ + δϑ

Pδ

Cδ

Bδ

Aδ



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Nei punti sono inoltre applicate forze:

BF

CF

PF

AF A B C PF ,F ,F .......,F


A

C

B P Pδ

Cδ

Bδ

Aδ

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Il sistema è in equilibrio se il lavoro compiuto dalle forze per uno spostamento virtuale (infinitesimo compatibile con la cinematica del corpo rigido), ènullo. Tale lavoro è la somma:

P A B CF P F A F B F C ........... 0⋅ δ + ⋅ δ + ⋅ δ + ⋅ δ + =

C P i PCδ = δ + δϑB P i PBδ = δ + δϑ

A P i PAδ = δ + δϑ

( )( )

P A B C

A B C

F F F F ... P

F i PA F i PB F i PC 0

+ + + + ⋅ δ +

δϑ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ =K K




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Siccome e possono essere dati indipendentemente, si ottengono due equazioni:

Vettoriale, equivalente a due scalari,

lavoro dovuto alla traslazione con P; dice che lasomma delle forze deve essere nulla.

Scalare

lavoro dovuto alla rotazione attorno a P … …

P A B CF F F F ........... 0+ + + =

A B CF i PA F i PB F i PC... 0⋅ + ⋅ + ⋅ =K

Pδ δϑ

Equazioni di equilibrio (1/2)

18{

… questa dice che la somma dei momenti rispetto al “polo” P deve essere nulla.

è il momento di rispetto a P(definizione usuale: forza x braccio) perché:

AF A

P

AF i PA⋅{

A

P⇒ ϕ

PA cosϕ

A AF i PA F PA cos⋅ = ϕ AF

ϕ

Equazioni di equilibrio (2/2)

AF HP



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Se il polo è un altro, , ovviamente il momento deve essere nullo rispetto a Q

Il lavoro virtuale compiuto in una rotazione attorno a Q più uno spostamento di Q: (abbiamo scelto un Q in cui non è applicata una forza)

dQ

( )( )

P A B C

P A B C

F F F F ...... Q

F i QP F i QA F i QB F i QC .... 0

+ + + + ⋅ δ +

+δϑ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + =

PQ ≠

X Q i QXδ = δ + δϑ ⇒ rotazione unica per tutto il corpo!

Equivalenza del polo dei momenti (1/4)

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ma:

( )( )

P A B C

P A B C

F F F F ...... Q

F i QP F i QA F i QB F i QC .... 0

+ + + + ⋅ δ +

+δϑ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + =

( )QP PA .....= +QX QP PX= +

A

X

P

Q

xF

( )QP PB .....= +

.....

}




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Sostituendo e raccogliendo:

lavoro della forza risultante applicata in Q, prodotto dalla traslazione di Q

A

( )P A B CF F F F ...... Q+ + + + ⋅ δ + =0=0!!

( )P A B CF F F F ...... i QP+δϑ ⋅ + + + + ⋅ +

lavoro della forza risultante applicata in Q, prodotto dalla rotazione attorno a P

( )A B CF i PA F i PB F i PC....... 0+δϑ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ =lavoro delle forze applicate nei punti A, B, C, …prodotto dalla loro rotazione attorno a P


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A

Le stesse equazioni già soddisfatte per la riduzione rispetto al “polo” P;

annullano il lavoro prodotto dalle stesse forze per lo stesso moto ma descritto come roto-traslatorio attorno al “polo” Q. Consegue che si potrà liberamente scegliere il punto si ritiene più comodo che come polo per il calcolo dei momenti.


P A B CF F F F ....... 0+ + + =

A B CF i PA F i PB F i PC....... 0⋅ + ⋅ + ⋅ =



Equilibrio esterno

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Una struttura bloccata, o cinematicamentesovradeterminata possiede vincoli che impediscono i movimenti.A ogni grado di libertà (cinematico) bloccato corrisponde una reazione vincolare: cioè, a ogni spostamento bloccato corrisponde una forza, ad ogni rotazione bloccata corrisponde un momento.I vincoli, esercitando forze e momenti, equilibrano i carichi esterni applicati e tengono ferma la struttura.Queste forze e momenti non sono noti, e occorre determinarli.

Vincoli e determinazione (1/3)



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Alcune strutture hanno reazioni vincolari (componenti scalari) in numero pari alle equazioni di equilibrio indipendenti che si possono scrivere. In tale caso le equazioni di equilibrio consentono di determinare le reazioni vincolari. La struttura è staticamente determinata: date le forze esterne, l’insieme delle reazioni vincolari èunico.


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Se invece le componenti scalari delle reazioni vincolari sono più delle equazioni di equilibrio che si possono scrivere, queste ultime non possono determinare le reazioni vincolari. La struttura è, in tal caso, staticamente indeterminata: date le forze esterne l’insieme delle reazioni vincolari non è unico.




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Esempio 1: struttura staticamente determinata (anche detta isostatica): tre equazioni, tre incognite.

BAC

ab

FB

BAC

FB

VBVA

HA

FC

FC

Struttura determinata (1/4)

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Equazioni:

1- Equilibrio orizzontale:0FH BA =+

2 - Equilibrio verticale:

0FVV CBA =++

3 - Momento attorno a C:

0bVaV BA =⋅−⋅

(tra tutte le scelte possibili, la scelta di C è la piùconveniente perché rispetto ad esso sia FB sia FChanno momento nullo, e quindi non compaiono nella equazione)




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Da queste equazioni si ottiene, con qualche passaggio:

BA FH −=

babFV CA +

=

baaFV CB +

=

meglio sempre verificare l’equilibrio:

CCBA Fba

aba

bFVV ≡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

+=+

come deve essere!


30

Le equazioni erano tre, ma possono essere sostituite con altre tre più “intelligenti”.Per l’equilibrio orizzontale c’è poco da fare; ma per VA e VB si possono scrivere:

Momento attorno a B:

Momento attorno ad A:

( )ba

bFV0bFbaV CACA +=→=⋅−+

( )ba

aFV0baVaF CBBC +=→=+−⋅




31

FC

Esempio 2:struttura staticamente indeterminata (anche detta iperstatica): tre equazioni, quattro incognite.

BAC

ab

FB

BAC

FB

VBVA

HA

FCMA

Struttura indeterminata

Equilibrio esterno



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Sembrerebbe che, dato che le equazioni di equilibrio nel piano sono tre (orizzontale, verticale, momento), ovvero il numero di reazioni vincolari debba essere pari a tre.

Da quanto visto fino ad ora sembra che quando i gradi di libertà bloccati siano in numero maggiore di 3 la struttura sia sempre indeterminata, che sia determinata invece se il loro numero è tre.

Invece, non è detto! Vediamolo con tre contro-esempi.

Conteggio delle reazioni vincolari nel piano

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Contro-esempio 1

B

D

A E

FC

C

FE

d d

ba

FEFC

B

A

C

D

EVDVA

HA

MA

Indeterminazione apparente (1/8)



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Ci sono 4 reazioni vincolari; ma la struttura non èindeterminata: il “trucco” sta nella cerniera interna B, che divide la struttura in due parti determinate. L’equilibrio orizzontale fornisce HA=0.

Per l’equilibrio alla rotazione del solo tratto (B,D,E):

0dFdF EB =⋅−⋅

cioè:

EB FF =


FB D

EVD

B

FE

d d

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… e inoltre per l’equilibrio verticale:

EEBDDEB F2FFV0VFF =+=→=+−−

FB= FE

ab

per l’equilibrio del tratto (A, C, B):( )

⎩⎨⎧

=+−+⋅+⋅−

0FFVbaFaFM

ECA

ECA

FC

B

A

CVA

HA

MA

FB =FE D

VD

FE




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Contro-esempio 2 (analogo al precedente)

D

B A

45°b

a

c

Apparentemente si hanno 4 componenti di reazioni vincolari

FC


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Ma, per l’equilibrio alla rotazione, il tratto BD, incernierato agli estremi, deve avere la risultante di VD e HD passante per B (il momento totale rispetto a B deve essere nullo quindi la risultante deve avere braccio nullo).

VAHA

VD

HD

D

B AFC

45°




39

D

Quindi:le reazioni vincolari effettivamente incognite sono solo 3 (VA, HA, VD). Risolvetele!

HD

VD

45°

B

VA

B AFC

HA HD = - VD


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Vale la pena di notare che è più veloce ed elegante la soluzione grafica: il corpo è soggetto a tre forze, di cui due di direzione nota (FC e la reazione in B).

VA

B AFC

HA HD = - VD

Le tre forze devono incontrarsi in un punto comune: che può essere polo dei momenti, quindi il momento rispetto ad esso deve essere nullo.

dir. nota

dir. nota




41

La costruzione del triangolo delle forze (equilibrio alla traslazione) fornisce i valori delle forze.

VA

B AFC

HA

FC

HD = - VD

dir. nota

dir. nota


42

Contro-esempio 3Ci sono infine casi di vincoli in numero apparentemente sufficiente, ma posti in strutture labili:

D

B A C

Labilità (1/2)



43

Le reazioni sono 3: VA, HA, VD ma la struttura è un meccanismo

D

B A C

VAHA

VD

Labilità (2/2)

È facile verificare che il tratto BD non può soddisfare all’equilibrio alla rotazione.

Equilibrio esterno



45

Calcoliamo, a titolo d’esempio, selettivamente una reazione vincolare utilizzando gli spostamenti virtuali:

BAC

ab

BAC VB

FC

FC

Calcolo di una reazione vincolare (1/3)

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Liberiamo il vincolo in B e assegniamo uno spostamento virtuale compatibile con i vincoli residui, quindi una rotazione attorno ad A:

ab

BAC VB

FC


δϑ

Spostamento verticale in C: a

Spostamento verticale in B: (a+b)

δϑ

δϑ



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Il lavoro virtuale vale:

BAC VB

FC

δϑ

δϑa δϑ(a+b)

δϑ δϑ-FC + =0

da cui: =

a VB(a+b)

VB baa+

FC

Equilibrio esterno



49

velocità in A, compatibile, la velocità in X deve essere compatibile con ambedue. Quindi, uguali proiezioni sulle congiungenti.

La compatibilità cinematica delle leggi di corpo rigido implica che data una velocità in P, e data una

XvA

PX

Relazioni grafiche tra velocità (1/3)

Pv

Av

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Sottraendo ovunque la velocità di P (somma vettoriale col vettore verde = ) si ottengono

A

P=0

X

Pv

Pv−


i vettori blu che rappresentano il solo moto rotatorio relativo al punto P.



51

I vettori così ottenuti sono:

A

PX


ortogonali alle rispettivecongiungenti con ilpunto Pproporzionali alla distanza tra il punto (di cui sonovelocità relativa) eil punto P.

52

Indicato con il vettore blu lo spostamento relativo (virtuale) del punto A rispetto a P (moto relativo di rotazione) il lavoro della forza nella direzione dello spostamento virtuale dovuto alla rotazione è …

AF A

Pδϑ

PAδ

iPAδϑAF ⋅ =

=ϕ

AF δϑPA ϕcos

Significato del momento di una forza (1\2)



53

Nota bene: significato di “momento di una forza”

AF A

P

ϕϕ

( )i PA δϑ

AF cosϕ

ϕcosPA

AF

( )i PA cosδϑ ϕ

{iPA δϑAF ⋅ = lavoro = AF PA ϕcos δϑ

momento

Significato del momento di una forza (2\2)

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Equivalenza tra sistemi di forza (1/4)

X''F

Equivalenza per traslazione di una forza lungo la sua retta d’applicazione:

P

X

X'F

che la forza sia o (uguali in modulo) non cambia né il contributo della forza alla somma delle forze, né il suo momento rispetto a un polo P.

x'F x''F



55


Equivalenza per traslazione di una forza su una retta d’azione parallela a quella data:

Forza in :

lavoro virtuale=

'F 'X

( )P

F ' P F ' iPX '

F ' P F ' PH'

= ⋅ δ + δϑ ⋅ =

= ⋅ δ + δϑ

P

F '

X’H’P

56

Il lavoro virtuale di F’ si può scrivere:

con:


X’’P

H’’P

H’PX’

P P P PF ' P F ' PH' F ' P F ' PH'' F ' H'' H'⋅ δ + δϑ = ⋅ δ + δϑ + δϑ

F''F'F == ⇒ P P PF '' P F PH'' F H'' H'= ⋅ δ + δϑ + δϑ

dd{

F ''

F '



57

lavoro di in PF ' P F ' PH'⋅ δ + δϑ

F ' 'X

PF '' P F PH''⋅ δ + δϑ= F d+δϑ

lavoro di in F '' ''X lavoro del momento ditrasporto

Una forza Ftrasportata su una retta parallela a distanza d produce un medesimo lavoro virtuale se si aggiunge un momento di trasporto: M=F d

X’’P

F 'H’’P

H’PX’

F ''

d

M


58

P

H’’P

H’P

F

b

Coppia (1/2)

( )bF

P''HP'HF

P''HFP'HF

PP

PP

=

=−=

=−

F

Due forze di uguale modulo e di segno opposto costituiscono una “coppia”,

la cui risultante è nulla

il cui momento rispetto a un punto P vale:

Il momento di una coppia di forze è invariante al variare del polo rispetto a cui si calcola il momento



59

Trasportando le due forze della coppia parallelamente a loro stesse di una comune quantità dil momento di trasporto complessivo è: +F d – F d=0

P

b b

d

Coppia (2/2)

FF

Una coppia di forze, brevemente “coppia”, ha momento di trasporto nullo.

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