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Comportamento meccanico dei materiali Definizione algebrica dello stato di tensione

© 2006 Politecnico di Torino 1

Stato di tensione e di deformazione

2

Definizione algebrica dello stato di tensione

PremessaTensione e rapporto bivettorialeIl tensore della tensioneEquilibrio e relazioni tra componentiDirezioni e tensioni principali




4

Premessa (1/8)

La costruzione dei cerchi di Mohr permette di trovare le tensioni , su superfici speciali:quelle appartenenti a un fascio di piani aventecome asse un asse principale

nσ nτ



5

Premessa (2/8)

1, 2, 3 assi principali

3α

3

2

1 3α n

1σ

2σ

1σ 2σ

Fascio di piani avente asse 3Fascio di piani avente asse 3Superficie Superficie ⊥⊥ allall’’asse 1: sola tensioneasse 1: sola tensioneSuperficie Superficie ⊥⊥ allall’’asse 2: sola tensioneasse 2: sola tensione

6

Premessa (3/8)

2α


1

2

3

2α

n

3σ1σ

3σ1σ




7

12

3

Premessa (4/8)


1α1α

n

2σ

3σ

2σ 3σ


8

Osservazione: nel caso del provino di trazione, 1-dimensionale, queste tre superfici principali erano definite naturalmente

2

13

Premessa (5/8)

1σ 0≠

2σ 0≠

3σ 0=



9

Abbiamo poi implicitamente assunto che esistesse un caso più generale “bidimensionale”

1σ 0≠

2σ 0≠

3σ 0=

Premessa (6/8)

3σ

2σ

1σ

10

Possiamo quindi estrapolare l’esistenza di:

Cioè di tre superfici:Tra loro ortogonaliSu cui agisce solo σ (trazione/compressione) e τ nulla

Premessa (7/8)

3σ

2σ

1σ

1σ 0≠

2σ 0≠

3σ 0=



11

È un’assunzione molto forte, che a questo punto deve essere provata

Premessa (8/8)

È quanto ci proponiamo dalla prossima sezione

13

2

3σ

2σ

1σ1σ 0≠

2σ 0≠

3σ 0=




13

Corpo: parte

Definizione della superficie interna (1/5)

Punto P sul piano di sezione

Piano di sezione

Corpo: parte

P β

β

α

α

π

π

14

Rimozione

della parte


P

ββ

π



15

Area infinitesima dA sul piano π e contenente P;

si riduce al punto P per dA ⇒ 0


π

P

16

: verso normale al piano n

π


π

P



17

Sulla superficie, la parte rimossa esercitava,prima della rimozione, la forza in corrispondenza del punto P sull’area dA

P

dA

nFd

n

βnFd

Il vettore della tensione (1/2)

18

Vettore della tensione, indipendente dal valore dA

z

x

ydA

dAFd

t nn = nFd

n

Relazione bi-vettorialetra e nFdn

Il vettore della tensione (2/2)




20

Il tensore della tensione (1/18)

ObiettivoLo stato di tensione in un punto è noto quando siano noti i vettori delle tensioni associati a tutte le possibili direzioni

Conoscendo i vettori delle tensioni su tre superfici distinte è possibile conoscere il vettore delle tensioni associato a una direzione qualunque (noi utilizzeremo però solo le tre superfici ortogonali a tre assi cartesiani)

ntn

nt n



21

Prendiamo tre punti sugli assi e costruiamo tre aree triangolari, ortogonali agli assi x, y, z (tetraedro di Cauchy)


y

x

z

22

Le aree sono , , sui piani coordinati, e sul piano obliquo di normale

y

x

z

dAz

dAndAy

dAx

n


dAx

dAzdAydAn n

dx

dz

dy



23

y

x

z

dAz

dAndAy

dAx

yt~

n

zt~

xt~nt


Sul piano obliquo è applicato al sistema di massa contenuto nel tetraedro il vettore della tensione nte inoltre

su

su

sudalla parte“entrante”

dAz

dAy

dAxxt~

yt~

zt~

24

Sulla superficie perpendicolare a x, dalla parte “uscente”, agisce:

y

x

z

xx t~t −=

xt


xt~



25

y

x

z

xxσ

xzτ

xyτ


xt

Il vettore della tensione si scompone secondo i tre assi coordinati:

xt

26

: componente di secondo l’asse x: componente di secondo l’asse y: componente di secondo l’asse z

y

x

z

xt

xxσ

xzτ

xyτ

xxσ

xyτ

xzτ

xt

xt




27

Significato degli indici:

kiτ Secondo indice: direzione secondo cui la tensione agisce

Primo indice: direzione della normale alla superficie su cui la tensione agisce


iiσ

28

sono tensioni definite positive se applicate sulla faccia da cui l’asse i esce; cioè se la materia del corpo al quale si applicano le forze prodotte dalle tensioni sta dalla parte dei valori negativi dell’asse i

( )kji,,,t ikijiii ≠≠ττσ




29

Equilibrio delle forze:

0dAtdAtdAtdAt nnzzyyxx =+−−−

y

x

z

zzdAt−

yydAt−

nn dAt

xx dAt−

n


30

La forza di volume:

è infinitesima di ordine superiore (3) rispetto alle forze d’area, infinitesime di ordine (2), pertanto viene omessa:

n

zzn

yy

n

xxndAdA

tdAdA

tdAdA

tt ⋅+⋅+⋅=

dzdydxgdVg ρ≡ρ




31

Le aree si proiettano come vettori

OHAC21dA;BHAC

21dA zn ⋅⋅=⋅= zcosBHOH α⋅=

zz cosn α≡


x

y

z

O

H

P C

B

A O H

BP

n

n

zα

zn

32

= ⋅ = ⋅ ⋅ =z z

n

1 1dA AC OH AC BH cosα

2 2dA

14243znzn ndAcosdA ≡α⋅

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

z

y

x

nnn

n , versore e sue componenti secondo gli assi (x,y,z)

n


x

y

z

O

H

P C

B

A O H

BP

n

n

zα

zn



33

zzyyxx ntntnt ++=

=++=n

zzn

yy

n

xxndAdAt

dA

dAt

dAdAtt

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

z

y

x

n

z

y

x

nnn

dAdAdAdA


znz ndAdA =Generalizzando ai tre assi la:

34

si scompone in tre equazioni scalari:

nzzyyxx tntntnt =++

nxzzxyyxxxx tntntnt =++

nyzzyyyyxxy tntntnt =++

nzzzzyyzxxz tntntnt =++


L’equazione vettoriale di equilibrio alla traslazione:



35

Nella notazione usuale al settore delle scienze applicate:

nxzzxyyxxxx tnnn =τ+τ+σ

nyzzyyyyxxy tnnn =τ+σ+τ

nzzzzyyzxxz tnnn =σ+τ+τ


36

=Rappresentazione matriciale del tensore delle tensioni (tensore di Cauchy):

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

στττστττσ

nz

ny

nx

z

y

x

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

ttt

nnn

[ ]σ




37

Noto si assegnano i valori di , cioè e quindi la posizione del piano obliquo, e si trovano le tre componenti del tensore della tensione agente sul piano obliquo

Applicare questo algoritmo permette di “conoscere lo stato di tensione”

xx yx zx x

xy yy zy y

nx ny nz z

t nt nt n

σ τ ττ σ ττ τ σ

⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦

x

y

z

n[ ]σ

,nz,ny,nx ttt

,z,y,x nnn


nt




39

Le componenti del tensore ovvero gli elementi della matrice:

sono funzioni di (x,y,z) legate tra di loro da relazioni dovute alle equazioni di equilibrio:

Equazioni di equilibrio alla traslazioneEquazioni di equilibrio alla rotazione

[ ]σ

Equilibrio e relazioni tra componenti (1/14)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

στττστττσ

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

40

Si studia ora l’equilibrio alla traslazione, applicato a un parallelepipedo infinitesimo con spigoli paralleli agli assi coordinati

z

xy

zzσ

yyσ

xxσ

zxτ zyτ

xzτ

xyτyxτ

yzτ


dxdy

dz



41


Approfittiamo di questa figura per identificare gli elementi su righe e colonne della matrice : [ ]σ

zzσ

yyσ

xxσ

zxτ zyτ

xzτ

xyτyxτ

yzτ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

στττστττσ

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

yyσ

42

Equilibrio alla traslazione secondo l’asse i-mo per :

dAj

dAk

xi

dAi

iii

iiii dAdx

x21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂σ∂

−σ−

iii

iiii dAdx

x21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂σ∂

+σ+

2xd

x ii −

2xd

x ii +

iiσ


ij

k



43


jjj

jiji dAdx

x21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

τ∂+τ+

xj

jjj

jiji dAdx

x21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

τ∂−τ−

2

xdx j

j −

2

xdx j

j +

jiτ

ij

k


44


xj

kkk

kiki dAdx

x21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂τ∂

−τ−

2

xdx j

j −

2

xdx j

j +

kkk

kiki dAdx

x21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂τ∂

+τ+

kiτ


ik

j



45

Forza di volume:


dzdydxdV Φ≡Φ

46

Sommando gli effetti di :

0dV

dAdxx2

1dAdx

x21

dAdxx2

1dAdxx2

1

dAdxx2

1dAdx

x21

i

kkk

kikikk

k

kiki

jjj

jijijj

j

jiji

iii

iiiiii

i

iiii

=Φ+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂τ∂

+τ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂τ∂

−τ−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

τ∂+τ+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

τ∂−τ−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂σ∂

+σ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂σ∂

−σ−

ikijiii ,,, Φττσ




47

Tenuto conto di: dVdAdxdAdxdAdx kkjjii ===

0xxx i

k

ki

j

ji

i

ii =Φ+∂τ∂

+∂

τ∂+

∂σ∂

Valida, naturalmente,Per i=x, j=y, k=zPer i=y, j=z, k=xPer i=z, j=x, k=y

Sono quindi tre equazioni scalari di equilibrio


48

ij

k

jiτ

ijτ

Equilibrio alla rotazione: asse k

Le sole e danno momento rispetto all’asse k; le altre sono o incidenti l’asse k o parallele a esso


jiτ ijτ



49

xi

2xd

x ii − 2

xdx i

i +

j

i

jjj

jiji dAdx

x21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

τ∂+τ+

jjj

jiji dAdx

x21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

τ∂−τ−

iii

ijij dAdx

x21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

τ∂−τ− ii

i

ijij dAdx

x21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

τ∂+τ+


Equilibrio alla rotazione: asse k

50

02

dxdAdx

x21

2

dxdAdx

x21

2dx

dAdxx2

12

dxdAdx

x21

jjj

j

jiji

jjj

j

jiji

iii

i

ijij

iii

i

ijij

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

τ∂−τ−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

τ∂+τ−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

τ∂−τ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

τ∂+τ


Momento rispetto all’asse k, positivo antiorario:



51

jiijjiij dVdV τ=τ⇒τ−τ

Segue:

02

dxdA

2

dxdA

2dx

dA2

dxdA j

jjij

jjii

iiji

iij =τ−τ−τ+τ

Quindi: l’equilibrio alla rotazione implica uguaglianza dei valori delle tensioni tangenziali con indici scambiati


52

Pertanto la matrice che rappresenta il tensore della tensione è simmetrica:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

σττστ

σ≡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

στττστττσ

zzyzxz

yyxy

xx

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxxsimmsimmsimm

[ ]σ





54

Direzioni e tensioni principali (1/15)

Direzioni e tensioni principaliSi è visto che scelta una normale per P, cioèscelto il piano di sezione passante per il punto P, sulla superficie (infinitesima) contenente P èapplicato il vettore della tensione (finito)

n

nt

x

z

nt

n

yP



55


Dato quindi , in scrittura matriciale {n}, esiste un , ovvero {t}, ad esso coniugato, che si trovacon l’algoritmo:

tn

[σ] {n}= {t}

56


In generale il vettore delle tensioni non ècollineare con la normale alla superficiema ha componenti secondo la normale e

sulla superficie

nt

x

y

z

ntn

nσ

nτ

nσnτ

nn



57


Esistono però direzioni privilegiatedette DIREZIONI PRINCIPALIil cui vettore delle tensioni è collineare con la normale alla superficie (componente tangenziale = 0)

Le tensioni agenti sui piani ortogonali alle direzioni principali (piani principali) sono dette TENSIONI PRINCIPALI

nt

58


Per una direzione principale deve essere:

{ } { } [ ]{ }n1nt λ=λ=

Ma per definizione:{ } [ ]{ }nt σ=

Segue:( ){ } { }⎡ ⎤ ⎡ ⎤− =⎣ ⎦ ⎣ ⎦1 n 0σ λ

{ }⎡ ⎤ ⎧ ⎫− ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥− =⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥− ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭⎣ ⎦

xx xy xz x

xy yy yz y

xz yz zz z

nn 0n

σ λ τ ττ σ λ ττ τ σ λ

x

y

z

ntn

λ=σn

0n =τ



59


Segue:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

λλ

λ−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

σττστ

σ

000

nnn

000000

simmsimmsimm

z

y

x

zzyzxz

yyxy

xx

Siccome non è una soluzione accettabile perchè:

1n3

1i

2i =∑

=

0nnn zyx ===

60


…deve allora essere

0det

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

λ−στττλ−στττλ−σ

che stabilisce la dipendenza lineare tra le equazioni



61


Il determinante è il polinomio di terzo grado in :

( )( )( )

( ) ( ) ( ) 02xyzz

2xzyy

2yzxx

yzxyxzxzyzxyzzyyxx

=τλ−σ−τλ−σ−τλ−σ−

+τττ+τττ+λ−σλ−σλ−σ

cioè:

( )( )

( ) 02xyzz

2xzyy

2yzxxzzyyxx

2yz

2xz

2xyzzyyzzxxyyxx

zzyyxx23

=τσ−τσ−τσ−σσσ−

+τ−τ−τ−σσ+σσ+σσλ+

+σ+σ+σλ−λ

λ

62


… ovvero:

0III 322

13 =−λ+λ−λ

Dove , sono coefficienti detti anche “primo, secondo e terzo invariante”Si dimostra infatti che non variano al variare del sistema di riferimento

321 I,I,I



63


Si dimostra che a causa della simmetria dellaEsistono sempre tre radici reali del determinanteA ciascuna radice (detto “autovalore”) è associata una soluzione detta autovettoreI tre autovettori sono tra loro ortogonali, e quindi costituiscono terna di riferimento cartesiano

[ ]σ( )321 ,, λλλ

iλ

{ } ( )3,2,1in i ={ }in

64


Il risultato di questa dimostrazione, qui omessa, èimportantissimo: esiste sempre una terna di riferimento cartesiana i cui assi (detti assi principali) hanno la proprietà che èparallelo a

Cioè, sulle superfici ad essi ortogonali agiscono solo tensioni normali; le tensioni tangenziali sono nulle

{ }in

{ }in{ }it



65


Siccome la terna principale esiste sempre, quando serve possiamo utilizzarla come sistema di riferimento, con notevoli semplificazioni di calcoloNel riferimento principale:

dove si sono adottati i simboli:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

σσ

σ=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

3

2

1

3

2

1

3n

2n

1n

nnn

000000

ttt

332211 ;; λ=σλ=σλ=σ

66


Infatti se si ricorda l’equazione di partenza, per un asse principale ovvero :

iiiii nnt σ≡⋅λ=

x

y

z

ntn

ii λ=σin { }in



67


Le tre tensioni sono state chiamate:dove il pedice a una sola cifra convenientemente si riserva alle sole tensioni principali

z

x

y

321 ,, σσσ

1

2

3

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧σ=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

σσ

σ=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

0

0

010

000000

ttt

2

3

2

1

3n

2n

1n

Esempio, per l’asse 2:

68


Esempio, per i=y asse principale:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧σ=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

στσ

τσ

0

0

010

000

0

yy

zzxz

yy

xzxx

Nota bene Se in , in assi (x,y,z) compare una coppia riga-colonna intersecate su , e con le rispettive

allora la direzione dell’asse i è principale

[ ]σiiσ

0, ikij =ττ

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