'

&

$

%

La Geometria Algebrica

Sommario

Nell’articolo Bilanciare e Ricostruire [2], di qualche tempo fa (senon l’avete letto correte subito a cercarlo!), scrivevo di come Abu Ja’farMuhammad ibn Musa al Khwarizmi avesse inventato nuovi metodi perrisolvere le equazioni senza fare uso di costruzioni con riga e compasso.La scoperta rivoluziono il modo di concepire la matematica e cosı nacquequella che oggi chiamiamo algebra.

Tuttavia le procedure proposte dal matematico persiano non soppi-antarono del tutto le classiche costruzioni geometriche per la risoluzionedi equazioni, ed anche lo stesso al Khwarizmi si sentı in dovere digiustificare questa nuova matematica con gli strumenti della geometria.

Oggigiorno le procedure geometriche che consentono di risolvereproblemi algebrici non vengono nemmeno accennate agli studenti, ep-pure scoprire come un’equazione si possa risolvere per via grafica con-sente di riscoprire una matematica quasi dimenticata e, mettendolaa confronto con l’algebra moderna, si puo comprendere con maggiorechiarezza quanto quest’ultima risulti piu potente e piu semplice.

Origini della Geometria (2013)

1 Le regole del Gioco

Prima di buttarci a capofitto sui fogli di carta brandendo matita e com-passo, dobbiamo precisare in che termini intendiamo risolvere un’equazionegeometricamente:

1. non tutte le soluzioni di un’equazione potranno essere trovate, poiche,ad esempio, non esistono segmenti di lunghezza negativa per rappre-sentare radici negative di un’equazione;

2. non tutte le equazioni potranno essere risolte, e non solo nel sensoalgebrico del termine: solo alcuni modelli di equazioni avranno unaprocedura geometrica che ne determina le radici;

3. certe costruzioni richiederanno l’utilizzo di riferimenti cartesiani, o co-munque di rette sulle quali e definito un sistema di riferimento in unacerta unita di misura;

4. alcune costruzioni richiederanno lo svolgimento di calcoli da affiancarealla costruzione geometrica per determinare il risultato cercato.

Ora che e tutto chiaro, se non ci sono altre domande, andiamo a cominciare!

2 Come i cosisti

In realta vi faccio aspettare ancora un pochino, poiche vorrei definire megliole modalita con le quali enunceremo le equazioni da risolvere. Scrivere unaformula come:

x =2

3x + 5 (1)

toglie ogni senso ad una risoluzione grafica dal momento che la soluzione ecalcolabile anche mentalmente applicando i Principi di Equivalenza che cihanno insegnato a scuola. Tutt’altra cosa e la stessa equazione formulatacosı:

“Una cosa e equivalente ai suoi due terzi aumentati di cinque.”

2

Sebbene esprimano la stessa equazione, questa formulazione verbale ci risultaimmediatamente piu ostica.

Sicuramente c’e un problema di lessico. Osserviamo come l’incognita ven-ga indicata dalla parola cosa: per gli algebristi medioevali era questo il modomigliore per indicare l’incognita di un problema, dato che evitava di creareconfusione con parole di uso comune o tecnico. Poiche gli algebristi si occu-pavano di calcolare le cose venivano anche chiamati cosisti . Dovendo indicareil quadrato di un’incognita il vocabolo designato era censo, mentre per i nu-meri i nomi comuni andavano piu che bene. Censo e cosa venivano applicatiprincipalmente per problemi che non facevano riferimento a particolari unitadi misure: dovendo trattare problemi spaziali, ad esempio, sarebbero statirispettivamente sostituiti con le piu pratiche area e lunghezza.

3 Cominciamo dal primo . . . grado!

Le equazioni che risolveremo ora saranno quelle il cui problema rientra nellaseguente casistica:

• una cosa e equivalente ai suoi n m-esimi aumentati di q;

• una cosa meno i suoi n m-esimi e pari a q;

• una cosa diminuita di q corrisponde ai suoi n m-esimi aumentati di q;

Per maggior chiarezza elenchiamo gli elementi in ballo affiancandoli ai cor-rispondenti simboli algebrici (tabella 1). Indipendentemente da quale tipolo-

Tabella 1: Gli elementi costituenti per la formulazioni di un problema associato adun’equazione di primo grado con i corrispettivi simbolici.

Verbale Simbolico

cosa x

n m-esimin

mx

q q

3

gia di problema andremo a risolvere, saranno sempre queste le quantita dicui dovremo tenere conto, e la ragione sta nel fatto che i modelli esposticorrispondo ad equazioni equivalenti tra loro.

Per determinare il valore della cosa dobbiamo innanzitutto realizzare unsistema di riferimento cartesiano: e sufficiente il primo quadrate, purchesui semiassi vengano riportate scale ed unita di misura. Sulla bisettrice delquadrante tracciamo un segmento arbitrario con un estremo nell’origine cherappresenta la cosa.

Disegniamo il segmento che congiunge l’estremita della cosa con il pun-to ad altezza m sull’asse delle ordinate; rimanendo sull’asse scendiamo di nunita e tracciamo la parallela al segmento precedente passante per questonuovo punto. Questa retta interseca la cosa, o eventualmente un suo pro-

Figura 1

1 2 3 4 5 6 7 8

1

2

3

4

5

6

7

8

1 2 3 4 5 6 7 8

1

2

3

4

5

6

7

8

lungamento, in un punto che indichiamo con P (figura 2). Chi ha un po’di confidenza con le costruzioni con riga e compasso riconoscera in questeoperazioni i passi per la determinazione di un sottomultiplo di un segmento.Effettivamente, come anche i passi che seguiranno, e proprio la costruzionegeometrica per la divisione di segmenti che viene utilizzata opportunamenteper determinare il valore della cosa.

Eravamo giunti al punto P , Tracciamo un segmento che con giunga talepunto con il valore q sull’asse delle ascisse. Se tracciamo la parallela aquest’ultimo segmento passante per l’estremita della cosa, la sua in inter-

4

Figura 2

m

−nm

−n P

sezione con l’asse delle ascisse indichera la soluzione del problema, ovvero ilvalore della cosa cercato (figura 3).

Figura 3

m

−n P

m

−n P

Soluzione

Solitamente arrivati a questo punto i manuali ufficiali scrivono, piu omeno

“L’estensione ad altre tipologie di equazione e lasciata come sem-plice esercizio al lettore.”

cosa che molto spesso si rivela tutt’altro che semplice! Nel mio caso gradireimolto ricevere altre tipologie di equazioni con relativa soluzione, piuttosto

5

che altre procedure per risolvere i casi gia esposti, da chiunque abbia presoin mano questo articoletto e sia desideroso di dare il proprio contributo. Senon dovessi ricevere risposta, vorra dire che, con molta pazienza (e quandone avro il tempo), mi mettero a classificare nuove equazioni lineari, ma perora non dispero e confido in voi, valorosi lettori!

4 Ingraniamo la seconda

E ora di far scendere in campo i pezzi da novanta: Carl B. Boyer ed Euclidedi Alessandria!

Come descritto nel ottimo libro di Boyer ([1]) nel libro II dei suoi ElementiEuclide espone una serie di procedure risolutive utilizzate dagli algebristigeometrici greci. Le varie proposizioni enunciate descrivono variazioni diequazioni di secondo grado ma, come abbiamo gia fatto presente all’inizio,poiche ogni caso richiede una costruzione specifica e necessario trattarli comecasi distinti. In tutti questi casi la figura di riferimento e lo gnomone.

Oltre ad essere l’asta delle meridiane solari che, con la propria ombra, in-dica l’ora esatta, in geometria lo gnomone e quella figura ottenuta sottraendoda un parallelogramma un parallelogramma ad esso simile ma piu piccolo,posizionato in modo da avere un vertice in comune e due dei lati contenutinei rispettivi lati del quadrilatero maggiore. Chiaro, no? La figura 4 renderagiustizia alla definizione. Nelle costruzioni descritte da Euclide non si fara

Figura 4

Un generico gnomone . . . . . . ed uno ortogonale.

pero uso di gnomoni generici, bensı di gnomoni ortogonali, ottenuti, cioe,

6

considerando come quadrilatero iniziale un rettangolo (vedi nuovamente lafigura 4).

Alcune delle equazioni risolte da Euclide mediante l’uso di gnomoni sipossono classificare come segue:

1. ax + x2 = a2;

2. ax + x2 = b2;

3. ax− x2 = b2, con a > 2b.

Poiche l’argomento e articolato e molto interessante, entrare nei dettaglidelle procedure, per non parlare dei contenuti specifici dell’intero libro sec-ondo degli Elementi, richiederebbe molto tempo, pertanto vi forniro esclu-sivamente la costruzione, rimandando ad un successivo approfondimento lespiegazioni ed i dettagli del caso.

Quindi, mano a riga e compasso e cominciare a disegnare.

4.1 Prima costruzione: ax+ x2 = a2

“a cose aggiunte al censo equivalgon al quadrato di a.”

Cominciamo da questo caso, contravvenendo all’ordine dell’alessandrino,per la sua semplice costruzione e poiche nasconde interessanti proprieta (lasezione aurea vi dice nulla?). Ma vediamo la sua soluzione:

a

Consideriamo il segmento a . . .

a

. . . e costruiamoci un quadrato.

7

a

Prolunghiamo il lato superiore . . .

a

. . . e tracciamo il seguente arco.

a

Completiamo il quadrato minore . . .

x

a

. . . e la soluzione e trovata.

Per la precisione, il raggio dell’arco e determinato dal segmento checongiunge il vertice in basso a destra con il punto medio del lato superiore.

4.2 Seconda costruzione: ax+ x2 = b2

“a cose aggiunte al censo equivalgon al quadrato di b.”

Diagramma

a x

b

A BC

D

E

8

Protocollo

AB = a C,⊥(AB) CD,−−→AB B,E

C|AC ∼= CB D|CD = b E BE = x

Per questa soluzione sono stato ancora piu sintetico poiche ho fornitoesclusivamente il diagramma ed il protocollo di costruzione. Per comprenderequest’ultimo potete trovare delle indicazioni nel Manualetto introduttivo allaGeometria Sintetica [3].

4.3 Terza costruzione: ax− x2 = b2, (a > 2b)

“a cose meno il censo equivalgon al quadrato di b.”

Diagramma

a

b

xA BC

D

G

Protocollo

AB = a C,⊥(AB) D(AC),−−→AB B,G

C|AC ∼= CB D|CD = b G GB = x

Queste ultime equazioni sono state presentate con un costruzione piusemplice rispetto a quelle proposte da Euclide, che prevedevano quadrati erettangoli, poiche il proposito era quello di essere in grado di costruire lasoluzione, non di giustificare la correttezza.

9

5 Una nuova strada

Il matematico persiano Abu Ja’far Muhammad ibn Musa al Khwarizmi, at-torno al 800 D.C., trovo nuovi metodi per determinare le soluzioni di un’e-quazione e li espose nel suo trattato Al Kitab al jabr wa’al muqabalah: nascevacosı l’Algebra!

Questi nuovi metodi non necessitavano di costruzioni geometriche ed erasufficiente svolgere alcuni calcoli per trovare il valore dell’incognita di un’e-quazione. Tuttavia un’idea geometrica si celava dietro a queste procedure,segno di come fosse ancora forte l’impronta ellenica.

Il modello . . .

Al Khwarizmi classifico diverse tipologie di equazioni, di primo e di secon-do grado, e per ciascuna tipologia fornı la soluzione. A titolo di esempio,consideriamo l’equazione

x2 + ax = b (2)

che il matematico persiano avrebbe formulato cosı:

“Una mal aggiunta a a shay equivale a b dihram.”

La parola mal (ricchezza) sostituisce il censo, shay (oggetto) e la cosa, mentrei termini noti sono espressi usando il dihram come unita di misura.

. . . e la soluzione.

L’esposizione della procedura risolutiva avviene, nell’al kitab, mediante es-empi concreti, non generalizzati; il modello precedentemente venne inseritonell’al kitab con valori concreti:

“Una ricchezza aggiunta a 10 oggetti equivale a 39 unita.”

La soluzione (che potete leggere per esteso in Bilanciare e Ricostruire[2]) viene qui omessa, ma riportiamo i passi geometrici che ne determinanola validita. In altri termini, ad un quadrato di area ignota (mal), vengonoaggiunti due rettangoli con un lato congruente al quadrato e l’altro pari allameta degli shay ; in totale l’area di questo gnomone e di 39 dihram. Per

10

x

x

mal

1. Costruisci il quadrato di lato x.

x

x

mal

5

5

2. Prolunga i lati di 5 unita. . .

x

x

mal

5

5 shay

shay

3. . . . e completa la figura.

x

x

mal

5

5 shay

shay

25

4. L’area gialla e di 39 dihram.

completare il quadrato e sufficiente aggiungere un quadratino di area 25:sommiamo le aree (64), calcoliamo la radice quadrata (8) e sottraiamo metadegli shay per ottenere la soluzione (3).

Come si vede la costruzione geometrica ha solo una funzione di supportoalla procedura risolutiva, che viene svolta principalmente mediante il calcolodi operazione aritmetiche.

6 Un’ultima cosa prima di lasciarci

Colgo l’occasione per fare alcune considerazioni sulla pratica matematica.E idea comune che la matematica rappresenti l’orine assoluto, la preci-

sione ed il rigore, e questo non e sbagliato. A scuola gli argomenti vengonosnocciolati in modo strutturato, quasi rigido, come se fossero delle verita riv-elate. Entrambe questi aspetti, assieme anche da un modo di approcciarsi alpubblico un po’ criptico e stravagante della maggior parte dei matematici,contribuiscono a creare l’illusione che la matematica nasca bella e pulita, bendefinita in tutte le sue parti.

11

Figura 5: Bozze di costruzioni per la risoluzione di equazioni lineari.

In realta i percorsi nella matematica, che conducono a grandi scopertematematiche o a modeste procedure applicative, spesso sono tortuosi e dis-organizzati. L’ordine e la struttura son parte di una fase successiva, impor-tante quasi quanto quella della scoperta, e che spesso e celata agli occhi degliosservatori esterni.

Per per chiarire meglio il concetto, la figura 5 e una copia del foglio in cuiho scarabocchiato alcuni contenuti esposti in questo articolo. Si noti comei diagrammi siano sparpagliati in tutto il foglio senza un ordine apparente,a volte completi e altre volte appena accennati, e come le parti importantisiano poi state incorniciate per distinguerle dal guazzabuglio circostante.

La Matematica nasce (anche) dall’Uomo e come ogni opera umana deveessere costantemente rimaneggiata e rifinita per renderla migliore possibile.

Buona Matematica!

12

Riferimenti bibliografici

[1] C.B. Boyer, Storia della Matematica, Oscar Saggi mondadori

[2] M. Gasparotto, Bilanciare e ricostruire, cinquemm.wordpress.com

[3] M. Gasparotto, Manualetto introduttivo alla Geometria Sintetica,cinquemm.wordpress.com

Quest’opera di Gasparotto Matteo e stata rilasciata con licenza Creative Commons Attribuzione -Non commerciale - Condividi allo stesso modo 3.0 Italia. Per leggere una copia della licenza visitail sito web http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/it/ o spedisci una lettera a CreativeCommons, 171 Second Street, Suite 300, San Francisco, California, 94105, USA.

13