Giornate di Geometria Algebrica

IntroduzioneDimostrazione e considerazioni

Uno forme olomorfe sui moduli di curve

Sara TorelliUniversità di Hannover

Giornate di Geometria Algebrica

30 Aprile 2021

Sara Torelli Uno forme olomorfe sui moduli di curve


Il problema del giorno

Mg spazio (coarse) di moduli di curve complesse proiettive lisce digenere g , g ≥ 2

è una varietà complessa quasi proiettiva di dimensione 3g − 3è singolare su un sottoinsieme dei punti [C ] ∈Mg tali cheAut(C ) 6= Id. Per g > 3, ha dimensione 2g − 1 (data dalluogo iperellittico).

M0g ⊂Mg luogo dei punti lisci, Ω1

M0gcotangente olomorfo.

Domanda

H0(M0g ,Ω

1M0

g) = 0?

Ossia, è vero che non ci sono uno forme olomorfe suM0g?



Osservazione alla domanda

M0g liscia MA non compatta significa:

1 è ben definito il complesso di de Rham olomorfo (Ω∗M0g, d)

2 MA kerd : H0(Ω1M0

g)→ H0(Ω2

M0g) ⊂ H0(M0

g ,Ω1M0

g) può

essere propria.Ossia: le uno forme olomorfe non sono tutte chiuse.

Sul punto 2: Imd : H0(OM0g)→ H0(Ω1

M0g) 6= 0 a priori. Ossia,

varietà non compatte possono avere funzioni olomorfe non costanti.

Esempio:M1 ' A1. Ci sono funzioni f ∈ H0(OM1) tali che df èforma olomorfa non nulle.



Evidenze storiche

Mumford (J.Analyse Math. 18, 1967): Γg gruppo modulare diTeichmüller di genere g . Allora Γg/[Γg , Γg ] è ciclico finito di ordineun divisore di 10, per g ≥ 2.Pertanto:Mg = Dg/Γg , dove Dg spazio di Teichmüller, ha varietàdi albanese Alb(Mg ) banale.Ossia: non ci sono funzioni razionali non-banaliMg → A, A varietàabeliana.Attenzione: Se X liscia proiettiva, Alb(X ) = H0(Ω1

X )/H1(X ,Z).Ossia Alb(X ) banale significa non ci sono uno forme olomorfe(tutte e sole chiuse qua!).MaMg non è liscio e non è compatto,M0

g non è compatto ...



Evidenze storiche - come usarle suM0g

Dal risultato di Mumford segue: H1(M0g ,Z) è di torsione, per

g > 3.

Infatti: in π : Dg →Mg = Dg/Γg l’azione è propriamentediscontinua ma non libera.Sia D0

g = π−1(M0g ). L’azione di Γg su D0

g è libera per costruzione.Pertanto π : D0

g →M0g è un rivestimento topologico.

Inoltre, π : D0g →M0

g è il rivestimento universale: infatti D0g è

contraibile, essendo Dg contraibile e Dg \ D0g di codimensione 2.

Concludendo π1(M0g ) = Γg e

da Mumford H1(M0g ,Z) = Γg/[Γg , Γg ] è di torsione.



Evidenze storiche - come usarle suM0g

Tensorizzando per C e utilizzando il complesso di De-Rham:

0 = H1(M0g ,C) =

kerd : H0(Ω1M0

g)→ H0(Ω2

M0g)

Imd : H0(OM0g)→ H0(Ω1

M0g)

Conclusione: Non ci sono uno forme olomorfe chiuse (numeratore)non esatte (denominatore).Facile: V = Imd : H0(OM0

g)→ H0(Ω1

M0g) = 0.

η ∈ V , η = d f , f ∈ H0(OM0g). Si ha inaffti η = ∂f + ∂f con

∂f = 0, essendo η uno forma olomorfa. Da ∂f = 0, si ha che f èolomorfa. f restringe a una funzione costante su ogni curvacompatta diM0

g , pertanto è costante suM0g . Quindi η = 0.

Conclusione: Non ci sono forme olomorfe chiuse suM0g .



Il problema di oggi, dopo le evidenze storiche

Problema: H0(M0g ,Ω

1M0

g) è non banale? Ossia dopo le evidenze

storiche, esistono forme olomorfe NON CHIUSE?

Teorema (F.Favale, G.P. Pirola, –)

Per g ≥ 5, H0(M0g ,Ω

1M0

g) = 0.

La domanda guida alla dimostrazione: Come controllare esistenza diforme olomorfe non chiuse?Per avere controllo sulla loro geometria

ci riduciamo a testarle su certe specifiche superfici complessemolto legate alla geometria della compattificazione di DeligneMumfordMDM

g .dimostriamo un criterio astratto soddisfatto da tali superfici,utilizzando mappe di line bundle big e nef.



Superfici test

MDMg =Mg ∪∆ compattificazione di Deligne Mumford

Il divisore di bordo ∆ = ∪[g/2]i=0 ∆i tale che:[C ] ∈ ∆0 generale, C curva irriducibile con un nodo di generearitmetico g

[C ] ∈ ∆i generale, C = Ci ∪ Cg−i curva con un nodo data da duecurve lisce Ci e Cg−i di genere i e g − i risp., attaccate in un punto

ASatg = ∪gi=1Ai compattificazione di Satake di Ag , Ai spazio di

moduli di varietà abeliane di dimensione i .



Superfici test

Il morfismo di Torelli estende a ψ :MDMg → ASat

g , [C ] 7→ [JC ν ],C ν normalizzazione di C .

MSatg := ψ(MDM

g ) compattificatione di Satake diMg .

Proprietà:[C = Ci ∪ Cg−i ] ∈ ∆i , i > 1, ψ−1(ψ([C ])) ' Ci × Cg−i ,dimψ(∆i ) = 3g − 6[C ] ∈ ∆0, ψ−1(ψ([C ])) ' Sym2(C ), dimψ(∆0) = 3g − 6[C = C1 ∪ Cg−1] ∈ ∆1, ψ−1(ψ([C ])) ' Cg−1,dimψ(∆i ) = 3g − 5(C1 ellittica, muovo il punto con automorfismi)



Superfici test

H classe di Hodge di ASatg , H è ampia, induce ψH : ASat

g → Pn

isomorfismo sull’immagine e componendo con ψ:

ψL :MDMg → Pn, L = ψ−1

L (OPn(1)) ∈ Pic(MDMg )

Proprietà:ψL è birazionale sull’immagine, contrae ∆i come ψL = αH ′ + α0[∆0], α, α0 > 0, H ′ classe di Hodge suMDM

g



Superfici test

DefinitionS è Superficie test se è controimmagine per ψ di una intersezionecompleta di 3g − 5 multipli di H, equivalentemente (a posteriori)per ψL di 3g − 5 multipli di iperpiani.

Proprietà di S generale:1 S ⊂MDM

g \ Sing(MDMg ), liscia, S ∩∆i = ∅, i 6= 1,

E = S ∩∆1 divisore effettivo, unione disgiunta di curve digenere g − 1

2 ωS = OS(kH − 3/2E ), ωE = OE (−1/2E )

3 ψL|S è birazionale sull’immagine, è iso fuori da E , EH ′|S = 0 econtrae E a un numero finito di punti

4 H0(Ω1S) = H0(Ω1

S(mE )) = 0, per ogni m > 0



Superfici test

Sketch of the proof:Punto 1. S generale è disgiunta da Sing(MDM

g ) per motividimensionali, dato che i punti generali di ∆i , i 6= 1 sono lisci edim Sing(∆1) ≤ 3g − 4, quindi dimψ(Sing(MDM

g )) ≤ 3g − 6.H ′ = ψ−1(H) è semiampio, quindi la S generale è liscia perBertini.dimψ(S) = 2 e dimψ(∆i ) = 3g − 6 per i 6= 1, quindiS ∩∆i = ∅, i 6= 1.H ampio, dimψ(∆1) = 3g − 5, quindi ψ(S) ∩ ψ(∆1) è unnumero finito di punti, quindi S ∩∆1 = E è il divisore effettivodato dalle fibre di questi punti, ossia curve di genere g − 1,lisce per S generale.



Superfici test

Punto 2. Dalla formula di aggiunzione per intersezionecompletaωS = OS(13H − 3/2∆1 − 2∆0 − 2Σ

[g/2]i=2 ∆i + Σ3g−5

j=1 ajH) =OS(kH − 3/2E ).Per aggiunzione, ωE = OE (KS + E ) = OE (kH − 3/2E + E ),infatti H|E = 0 dato che H contrae E .Punto 3. Per costruzione.



Superfici test

Punto 4, H0(Ω1S) = 0.Infatti, in una desingolazizzazione

τ : M ′ →MDMg si vede che H1(OM′) = 0, S si realizza come

intersezione completa in M ′ usando multipli di Hτ pullback diH ′ big e nef.Applichiamo iteratamente tagliando M ′ con Hτ KawamataViewheg vanishing: Z varietà liscia, dimZ ≥ 3 e H1(OZ ) = 0,D divisore big e nef su Z . Allora il generale Y ∈ |D| è liscio eH1(OY ) = 0.Otteniamo: H0(Ω1

S) = H1(OS) = .... = H1((O)M′∩m1Hτ ) = 0



Superfici test

Punto 4, H0(Ω1S(E )) = H0(Ω1

S) = 0.Consideriamo l’isomorfismoα : H0(OE)→ H0(Ω1

S(E )|E ),indotto da0→ H0(OE)→ H0(Ω1

S(E )|E )→ H0(ωE (E ))→,H0(ωE (E )) = H0(OE (−1/2E + E )) = H0(OE (1/2E )) = 0,dato che OE (1/2E ) ha grado negativo.Costruiamo il diagramma

0 H0(Ω1S) H0(Ω1

S(log E )) H0(OE) H1(Ω1S)

0 H0(Ω1S) H0(Ω1

S(E )) H0(Ω1S(E )|E ) H1(Ω1

S)

// // // ∂ // _

α

// // // ∂′//

Si conclude mostrando che ∂ = α ∂′ è iniettivo. Infatti∂ : ⊕iH

0(OEi)→ H1(Ω1

S) è la mappa che invia alla classe diChern-Atiyah, iniettiva essendo Ei effettivi, disgiunti e E 2

i = 0.Sara Torelli Uno forme olomorfe sui moduli di curve


Superfici test

Punto 4, H0(Ω1S((m + 1)E )) = H0(Ω1

S(mE )) = 0, m > 0.Consideriamo0→ Ω1

S(mE )→ Ω1S((m + 1)E )→ Ω1

S((m + 1)E|E )→ 0.Mostriamo che H0(Ω1

S((m + 1)E )|E ) = 0.Questo segue da0→ OE (mE )→ Ω1

S((m + 1)E )|E → ωE ((m + 1)E )→ 0e H0(OE (mE )) = H0(ωE ((m + 1)E )) = 0 essendo i due linebundle di grado negativo.



Superfici test, come usarle

Per assurdo sia η 6= 0 ∈ H0(ΩM0g ).

Allora esiste p ∈M0g e v ∈ TM0

gt.c. ηp(v) 6= 0.

Sia S ⊂MDMg superficie test generale per p tale che v ∈ Tp,S

Vorremmo testare η su S ma S ⊂M0g ∪∆1, E = S ∪∆1 e η non è

definita su E .Quindi come usare S?Ricordiamo che

ψL|S : S → Pn è birazionale sull’immagine e contrae solo E apuntiψL|S è indotta da OS(H ′), dato che S è intersezione completadi multipli della classe di hodge, H ′E = 0H0(Ω1

S(mE )) = 0, per ogni m ≥ 0.Cerchiamo un criterio per spostare il test da S alla curvaC = SH ′ ⊂ S , utilizzando le proprietà sopra.



Superificie test, come usarle

Dimostriamo il seguente risultato di comparazione di sezioni.

Teorema (F.Favale, G.P. Pirola, -)

X proiettiva, F fibrato vettoriale su X , L line bundle big e nef,D ∈ |La|, a >> 0, E il divisore contratto a punti da φD : X → Pn

(morfismo birazionale sull’immagine). Allora sono equivalenti:1 H0(F)→ H0(F|D) isomorfismo2 H0(F)→ H0(F(mE )) isomorfismo, per ogni m ≥ 0.

Applicando a F = Ω1S , D = aC , L = OS(H ′), essendo la seconda

condizione soddisfatta (H0(ΩS(mE )) = 0, ∀m ≥ 0), deduciamo0 = H0(Ω1

S) = H0((Ω1S |C )) da cui η|C = 0. Questo assurdo nel

caso v ∈ TS|C ,p.



Sul teorema di comparazione delle sezioni

Per chiarezza: le mappe del teorema sono tutte date da shift di0→ OX (−Z )→ OX → OZ → 0, Z divisore di OX .

Considerazioni e evidenze al teorema precendente:H0(F )→ H0(F|D) isomorfismo per L ampio, anzi(n − 2)−ampio (risultati classici di Vanishing:Grothendick-Serre , generalizzazione)nei casi sopra non ci sono divisori contratti: (n − 2) ampio sela fibra ha codimensione almeno 2H0(F )→ H0(F|D) banalmente iniettiva appena a >> 0(H0(F (−D)) = 0 per a >> 0)la dimostrazione studia la suriettività in termini dellageometria del divisore contratto a punti.



Sketch della dimostrazione

1⇒ 2 è immediata:

H0(F ) H0(F|D)

H0(F (mE − D)) H0(F (mE )) H0(F (mE )|D))

ρ //

τm

// ρ′ //

Per ipotesi ρ suriettiva, quindi ρ′ τm suriettiva. Da questo usandoancora il diagramma, τm suriettiva se H0(F (mE − D)) = 0, chevale per a >> 0.




Il viceversa (2⇒ 1) non è immediato: per mostrare la suriettività diH0(F )→ H0(F|D), studiamo l’iniettività di H1(F (−D))→ H1(F ).Per dualità e Serre, se r = dimX , equivalente alla suriettività di

ν∗ : Hn−1(ΩrX ⊗ F ∗)→ Hn−1(Ωr

X ⊗ F ∗(D))

Si dimostra: sia W = ΩrX ⊗ F ∗, pi = φD(Ei )

Hn−1(W (D)) ' H0(Rn−1(φD)∗(W )) ' ⊕iRn−1(φD)∗(W )pi .

Il primo isomorfismo usa Leray e il secondo che le fibre fuori da pihanno dimensione < n − 1.




Per la suriettività di ν∗ : Hn−1(ΩrX ⊗ F ∗)→ ⊕iR

n−1(φD)∗(W )pi :Consideriamo due sistemi inversi di spazi vettoriali(Hn−1(W ), id) banale,(Hn−1(W|kE ), ck : Hn−1(W|kE )→ Hn−1(W|(k−1)E )) dato da

0 W (−kE )) W W|kE 0

0 W (−(k − 1)E W W|(k−1)E 0

// // // ∂ // _

ck

// // // //

In particolare ck suriettiva essendo E un divisore.




Consideriamo la naturale mappa di sistemi inversiδm : Hn−1(W )→ Hn−1(W|kE ).Si dimostra che δm suriettiva è equivalente a τm suriettiva (qualchediagramma!), il che vale per ipotesi.A) Nella categoria di spazi vettoriali (vale ML), otteniamoδ : Lim←−−Hn−1(W )→ Lim←−−Hn−1(W|kE ) suriettivo.B) Dal teorema delle funzioni formali, come Opi−moduli,Lim←−−Hn−1(W|kEi

) = (Rn−1(φD)∗(W )pi )∧ =

(Rn−1(φD)∗(W )pi )⊗ (Opi )∧

Da A) e B),δ∧ : ⊕iH

n−1(W )⊗ (Opi )∧ → ⊕i (R

n−1(φD)∗(W )pi )⊗ (Opi )∧

suriettiva come moduli, ma quindi per costruzione restringe aν∗ : Hn−1(W )→ (Rn−1(φD)∗(W )pi ) suriettiva di spazi vettoriali,c.v.d.



Grazie perl’attenzione!


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