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GEOMETRIA 1Corso di Geometria 1 (prima parte)

anno acc. 2009/2010

Maria Dedò e Cristina Turrini GEOMETRIA 1

Richiami: vettori geometrici

Ricordo che un vettore applicato v, (sulla retta, o nel piano, o nellospazio) è un segmento orientato. Se il segmento orientato è di estremiA e B ed il verso è da A verso B, si scrive anche v =

−→AB, oppure

v = B − A.

A viene detto punto di applicazione o punto di partenza, mentre Bviene detto punto di arrivo

-A B−→AB

retta di applicazione di−→AB = retta per A e B

verso di−→AB = uno dei due possibili orientamenti per la retta per A e B.


Tra i vettori applicati vanno anche considerati i vettori nulli v =−→AA,

di estremi coincidenti.

Nell’insieme dei vettori applicati può essere considerata la seguenterelazione di equivalenza: i vettori

−→AB e

−→CD si dicono equipollenti se

1 sono entrambe nulli (ovvero A = B e C = D), oppure2 hanno la stessa retta di applicazione, la stessa lunghezza (rispetto

ad un’unità di misura prefissata) e lo stesso verso, opppure3 ABDC, (in quest’ordine!) è un parallelogrammo di cui AB e CD

sono lati opposti (mentre ABCD, in quest’ordine, non è unparallelogrammo).

��

��7

pA

��

��7

pC

B D


ESERCIZIO: verificare che la relazione di equipollenza è unarelazione di equivalenza

Le classi di equivalenza di vettori applicati vengono dette vettori, ovettori liberi. Si scrive anche v = [

−→AB], per denotare il vettore libero v

rappresentato dal vettore applicato−→AB.

Si può parlare di direzione e verso di un vettore libero. La direzionedi un vettore libero è la classe di equivalenza per parallelismoindividuata dalla retta di applicazione di uno dei suoi rappresentanti.

Il vettore libero [−→AA] viene denotato con 0 e detto vettore nullo o

vettore zero. Non si parla di direzione e verso per il vettore nullo.

OSSERVAZIONE - Dati comunque un vettore libero v ed un punto P(della retta, o del piano, o dello spazio) esiste un unico vettoreapplicato

−→PQ tale che sia v = [

−→PQ], (si dice che

−→PQ è ottenuto

applicando v in P).


Tra i vettori liberi considereremo le seguenti operazioni.

SOMMA DI VETTORI

La somma u + v del vettore u = [−→AB] e del vettore v = [

−→CD] è il

vettore libero u + v = [−→AQ], dove Q è il punto di arrivo del vettore che

si ottiene applicando v in B.

-pA

u ��

��7

pB

C�

��

�7v

DQ

regola del parallelogramma

OSSERVAZIONE - La definizione di somma è ben posta(indipendente dai rappresentanti).


PRODOTTO DI UNO SCALARE PER UN VETTORE

Il prodotto λv del numero reale λ (detto scalare) per il vettorev = [

−→AB] è il vettore libero λv = [

−→AQ], dove,

se λ 6= 0, allora−→AQ è il vettore che ha la stessa direzione di v, verso

uguale o opposto a quello di v a seconda che λ sia positivo o negativoed inoltre tale che il rapporto tra la misura del segmento

−→AQ e quella

del segmento−→AB (rispetto ad una fissata unità di misura) sia | λ |;

se λ = 0, allora−→AQ è il vettore nullo (ovvero A = Q).

��7p

A�

��

�7

pA

B

Qλ = 2

��

��/

pA

Q

λ = −2


OSSERVAZIONE - La definizione di prodotto di uno scalare per unvettore è ben posta.

PROPRIETÀ DELLE OPERAZIONI

∀u, v, w (vettori liberi) e ∀λ, µ (numeri reali) si ha

1 (proprietà commutativa) u + v = v + u2 (proprietà associativa) u + (v + w) = (v + u) + w3 (esistenza dell’elemento neutro) v + 0 = v4 (esistenza dell’opposto di un qualsiasi dato vettore a) ∃b tale

che a + b = 05 λ(u + v) = λu + λv6 (λ + µ)v = λv + µv7 (λµ)v = λ(µv)8 1v = v.


Dipendenza e indipendenza lineare

Dati h vettori v1, . . . , vh ed h scalari α1, . . . , αh, si dice combinazionelineare di v1, . . . , vh con coefficienti α1, . . . , αh, il vettore v cosìottenuto:

v = α1v1 + α2v2 · · ·+ αhvh =h∑

i=1

αivi.

Consideriamo un insieme di vettori S = {v1, . . . , vn}.Se n > 1, si dice S è linearmente dipendente (o equivalentemente sidice che i vettori v1, . . . , vn sono linearmente dipendenti) se almenouno di essi può essere scritto come combinazione lineare degli altri,ovvero se (a meno di ordinare i vettori) esistono scalari β1, . . . βn−1

tali che si abbia vn =∑n−1

i=1 βivi.Linearmente indipendente significa "non linearmente dipendente".Se n = 1, si dice che S = {v1} è linearmente dipendente se v1 = 0,linearmente indipendente se v1 6= 0.


ESERCIZIO: Dare un esempio di 3 vettori v1, v2, v3 linearmentedipendenti, ma tali che v3 non sia combinazione lineare di v1 e v2.

ESERCIZIO: Dati tre vettori indipendenti u = [−→OX], v = [

−→OY] e

w = [−→OZ], si stabilisca qual è la posizione del punto P tale che

u + v + w = [−→OP].

ESERCIZIO: Dimostrare che1 un vettore è linearmente dipendente se e solo se è il vettore nullo2 due vettori sono linearmente dipendenti se e solo se, una volta

applicati nello stesso punto, risultano allineati3 tre vettori sono linearmente dipendenti se e solo se, una volta

applicati nello stesso punto, risultano complanari4 quattro vettori sono sempre linearmente dipendenti.


Richiami: sistemi di riferimento nella retta e nel piano

Consideriamo ora una retta orientata r e un segmento U da assumersicome unità di misura. Sia poi dato su r un segmento orientato

−→AB.

U

-−→AB

A Br

Si dice misura con segno del segmento orientato−→AB il numero reale il

cui valore assoluto è la misura di−→AB rispetto a U e il cui segno è “+”

se−→AB è orientato concordemente al verso di r, “−” se

−→AB è discorde

col verso di r.Per convenzione, indichiamo con AB la misura con segno di

−→AB.


Proprietà della misura con segno (identità segmentarie fondamentali):

1 AB + BA = 0 ∀A, B ∈ r2 AB + BC + CA = 0 ∀A, B, C ∈ r

La prima identità segue dalla definizione. Per la seconda identità,assumiamo che A preceda C e C preceda B. Abbiamo|AB| = |AC|+ |CB|, che, a causa dell’ordine assunto, vuol direAB = AC + CB. Quindi AB − AC − CB = 0, ovveroAB + CA + BC = 0. Il ragionamento è analogo per gli altriordinamenti di A, B e C.

-

A C Br


Un sistema di riferimento cartesiano su una retta r è una ternaR = {O, verso, U}, dove O ∈ r è un punto detto origine delriferimento), il verso è uno dei due possibili su r, e U è un segmento(unità di misura):

-qO qX U r

R permette di istituire una corrispondenza biunivoca fra r e l’insiemeR dei numeri reali:

r → RX 7→ x = OX

Il numero reale x viene detto ascissa di X. Per dire che il punto X haascissa x si scrive anche X ≡ (x).Una retta r dotata di un sistema di riferimento R = {O, verso, U}viene anche detta retta affine e indicata con A1 = (r,R).


��

��

��

��

��

��

��

��3

QQ

QQ

QQ

QQ

QQ

QQ

QQ

QQkQQ �

��

O

rr′ U′ U

Un sistema di riferimento R su un piano π è dato da:due rette incidenti che si intersecano in un punto O detto originedel piano;un’orientazione su ciascuna delle due rette;un’unità di misura su ciascuna delle due rette.


Per convenzione, si assume come I asse (asse delle ascisse) quello chesi sovrappone sull’altro (asse delle ordinate) nel verso positivo con laminore rotazione antioraria.

(π,R riferimento) = A2 piano affine

-

��

��

��

��

��

O�

��

P

X I asse

Y

II asse

Per P: retta parallela all’asse x che taglia l’asse y in Y e retta parallelaall’asse y che taglia l’asse x in X.È possibile instaurare una corrispondenza biunivoca:

A2 → R2 = R× R P 7→ (x, y)x = OX (ascissa di P), y = OY (ordinata di P)


Lo spazio affine A3

Un sistema di riferimento R nello spazio è costituito da3 rette, non complanari, passanti tutte e tre per un punto O cheverrà detto origine del riferimento;un’orientazione su ciascuna retta;un’unità di misura su ciascuna retta.

-��

��

�

O

I II

III

Convenzione per stabilire qual è il primo asse (e il secondo, e il terzo):

• si fissa arbitrariamente una delle tre rette come terzo asse ,• si immagina una persona posta in piedi lungo il terzo asse (asse z)con la testa verso la freccia che osserva il piano degli altri due assi


• si individua la rotazione ρ di ampiezza minima in verso antiorarioche manda uno nell’altro gli altri due assi• il primo asse (asse x) è quello che tramite ρ viene mandato nelsecondo asse (asse y).

(Spazio,R) = A3 spazio affine

Un sistema di riferimento R permette di istituire una corrispondenzabiunivoca:

A3 → R3,

nel seguente modo.

Dato un punto P, si considerino: il piano per P parallelo alpiano(x, y), che interseca l’asse z in Z; il piano per P parallelo alpiano(x, z), che interseca l’asse y in Y; il piano per P parallelo alpiano(y, z), che interseca l’asse x in X.


-��

��

�

O

Xq

asse x

Pq

La corrispondenza sopra citata associa a P la terna di numeri reali(x, y, z), dove

x = OX (ascissa di P) y = OY (ordinata di P) z = OZ (quota di P)

(x, y, z) vengono dette coordinate di P e si scrive P ≡ (x, y, z).


Componenti di un vettoreConsideriamo lo spazio affine A3, in cui si è fissato un sistema diriferimento R ed un vettore v = [

−→AB] = [

−→OP]. Con le notazioni

introdotte in precedenza si ha:−→OP =

−→OX +

−→OY +

−→OZ.

Le coordinate (x, y, z) = (OX, OY, OZ) di P vengono anche dettecomponenti del vettore v nel sistema di riferimento R.

Posto A ≡ (xA, yA, yA) e B ≡ (xB, yB, zB), si ha(x, y, z) = (xB − xA, yB − yA, zB − yA).

Pertanto le componenti del vettore v = [−→AB] nel riferimento R sono

(xB − xA, yB − yA, zB − yA).

OSSERVAZIONE - Due vettori non nulli u = [−→AB] e v = [

−→CD] sono

linearmente dipendenti (ovvero−→AB e

−→CD sono paralleli) se e solo se

hanno componenti proporzionali (dimostrarlo per ESERCIZIO: uningrediente fondamentale è il teorema di Talete), ovvero se e solo seesiste un numero reale λ tale che sia(xB − xA, yB − yA, zB − yA) = λ(xD − xC, yD − yC, zD − yC).


Rappresentazione parametrica di una retta

Nello spazio affine A3, dotato del sistema di riferimento R,consideriamo un vettore non nullo v, un punto P0, e la retta r passanteper P0 e parallela a v.

Poniamo P ≡ (x, y, z) e P0 ≡ (x0, y0, z0). Il vettore−−→P0P ha

componenti (x − x0, y − y0, z − z0).Indichiamo con (a, b, c) le componenti del vettore v((a, b, c) 6= (0, 0, 0)).

-��

�

OR�

��v

��

��

��

qqP

P0r


Un punto P ∈ A3 appartiene alla retta r se e solo se il vettore−−→P0P è

parallelo a v, ovvero se e solo se esiste λ ∈ R tale che(x − x0, y − y0, z − z0) = λ(a, b, c), ovvero se e solo se esiste λ ∈ Rtale che

(∗) x = x0 + λa, y = y0 + λb, z = z0 + λc.

In breve le (∗) si scrivono anche così:

P = P0 + λv.

P = P0 + λv, viene detta rappresentazione parametrica della retta r.In tale rappresentazione i punti P di r sono in corrispondenzabiunivoca con i valori λ del parametro reale.


Abbiamo visto che ogni retta dello spazio ammette unarappresentazione parametrica della forma (∗).Viceversa, dati x0, y0, z0, a, b, c ∈ R, con (a, b, c) 6= (0, 0, 0),l’insieme dei punti dello spazio le cui coordinate si esprimono nellaforma (∗), al variare di λ ∈ R è una retta (la retta per P0 ≡ (x0, y0, z0)parallela a v = (a, b, c)). Ne segue che

OSSERVAZIONE: Tutte e sole le rette dello spazio ammettono unarappresentazione parametrica della forma (∗).

PROBLEMA: Può accadere che due diverse rappresentazioni dellaforma (∗) rappresentino la stessa retta?


Rappresentazione parametrica di un pianoNello spazio affine A3, dotato del sistema di riferimento R,consideriamo due vettori linearmente indipendenti u e v, un punto P0,e il piano π passante per P0 e parallelo a u e v (u e v vengono dettivettori di giacitura di π).Poniamo P0 ≡ (x0, y0, z0).Indichiamo con (a, b, c) e con (m, n, p) le componenti dei vettori u e v(rispettivamente).Un punto P ≡ (x, y, z) ∈ A3 appartiene al piano π se e solo se ilvettore

−−→P0P è combinazione lineare dei vettori u e v, ovvero se e solo

se esistono λ, µ ∈ R tali che(x − x0, y − y0, z − z0) = λ(a, b, c) + µ(m, n, p) ovvero se e solo seesistono λ, µ ∈ R tali che

(∗∗) x = x0 +λa +µm, y = y0 +λb +µn, z = z0 +λc +µp.

In breve le (∗∗) si scrivono anche così:

P = P0 + λu + µv.


P = P0 + λu + µv, viene detta rappresentazione parametrica delpiano π. In tale rappresentazione i punti P di π sono in corrispondenzabiunivoca con le coppie ordinate di numeri reali (parametri) (λ, µ).

OSSERVAZIONE: Tutti i piani dello spazio ammettono unarappresentazione parametrica della forma (∗∗) e tutti i sottoinsiemidello spazio che ammettono una rappresentazione parametrica dellaforma (∗∗) sono piani (dimostrazione per ESERCIZIO).

PROBLEMA: Quando due diverse rappresentazioni della forma (∗∗)rappresentano lo stesso piano?


Rappresentazione cartesiana di un piano

Partiamo da un esempio. Consideriamo il piano π di rappresentazioneparametrica

(∗∗) x = 2 − λ + 3µ, y = −5 + 2λ + µ, z = λ− 4µ.

Dalla prima relazione si può ricavare λ = 2 + 3µ− x e sostituirlanelle altre due:

y = −5 + 2(2 + 3µ− x) + µ, z = (2 + 3µ− x)− 4µ,

ovvero

y = 7µ− 2x − 1, z = −µ− x + 2.

Dalla seconda si può ricavare µ e sostituirla nella prima ottenendo

y = 7(−z − x + 2)− 2x − 1,

equazione di primo grado in x, y e z in cui si sono "eliminate" λ e µ.


Consideriamo ora in generale un piano π di rappresentazioneparametrica

(∗∗) x = x0 +λa +µm, y = y0 +λb +µn, z = z0 +λc +µp.

Sappiamo che (a, b, c) 6= (0, 0, 0) (perché?)Supponiamo ad esempio che sia a 6= 0.Dalla prima delle relazioni in (∗∗) possiamo allora ricavareλ = (x − x0 − µm)/a e sostituirlo nelle altre:

(∗∗∗)y = y0+(x − x0 − µm)b

a+µn, z = z0+

(x − x0 − µm)ca

+µp;

ovvero


(∗∗∗)y = y0+(x−x0)ba+µ

na − mba

, z = z0+(x−x0)ca+µ

pa − mca

; .

Non può essere contemporaneamente na − mb = 0 e pa − mc = 0(perché?) pertanto da una delle relazioni in (∗ ∗ ∗) possiamo ricavareµ e sostituirlo nell’altra ottenendo una relazione in cui le variabili x, ye z compaiono (al più) al primo grado, ovvero una relazione del tipo:

(?)Ax + By + Cz + D = 0

che viene detta equazione cartesiana del piano π passante per P0 edavente come vettori di giacitura i vettori u e v. Si dice anche chel’equazione (?) è ottenuta da (∗∗) eliminando i parametri.Tutti e soli i punti del piano π passante per P0 ed avente come vettoridi giacitura i vettori u e v hanno coordinate che verificano la (?)


OSSERVAZIONE - Almeno una delle variabili ha coefficiente nonnullo in (?), (cioè si ha (A, B, C) 6= (0, 0, 0)) pertanto (?) èeffettivamente un’equazione di primo grado (in tre variabili).

OSSERVAZIONE - Abbiamo visto che ogni piano dello spazioammette un’equazione del tipo (?), per opportuni A, B, C, D ∈ R con(A, B, C) 6= (0, 0, 0). Viceversa il luogo dei punti dello spazio le cuicoordinate verificano un’equazione del tipo (?) è un piano, comunquesi scelgano A, B, C, D ∈ R con (A, B, C) 6= (0, 0, 0).Infatti, se ad esempio è A 6= 0, (?) rappresenta il piano passante per ilpunto P0 ≡ (−D/A, 0, 0) e con giacitura data da u ≡ (−B/A, 1, 0) ev ≡ (−C/A, 0, 1) (ovviamente lo stesso piano potrebbe essereindividuato da un altro suo punto e da altri due vettori a lui paralleli).

OSSERVAZIONE - Ax + By + Cz + D = 0 eA′x + B′y + C′z + D′ = 0 definiscono lo stesso piano se e solo se(A, B, C, D) = ρ(A′, B′, C′, D′) per qualche ρ 6= 0.

PROBLEMA: Che cosa si può dire di un piano di equazione (?), se èD = 0? E se invece è A = 0? E se invece infine è A = B = 0?


Rappresentazione cartesiana di una retta

Consideriamo ora una retta r di rappresentazione parametrica

(∗) x = x0 + λa, y = y0 + λb, z = z0 + λc,

con (a, b, c) 6= (0, 0, 0).Se, ad esempio, è a 6= 0, si può ricavare λ = x−x0

a dalla primaequazione e sostituirlo nelle altre due, ottenendo così le due equazionicartesiane

(◦) y = y0 + (x − x0

a)b, z = z0 + (

x − x0

a)c,

Che vengono dette equazioni cartesiane della retta r e cherappresentano due (tra gli infiniti) piani passanti per r (fascio di pianidi sostegno r).


Lo spazio euclideo E3

Consideriamo lo spazio affine A3, con sistema di riferimento R.

Se le 3 rette del riferimento sono a due a due ortogonali, il sistemaviene detto ortogonale; se le 3 unità di misura coincidono il sistemaviene detto monometrico; un sistema ortogonale e monometrico vienedetto ortonormale.

(Spazio,R) = A3 spazio affine

(Spazio,R ortonormale) = E3 spazio euclideo

-

6

��

��

O

��

��

�� P

X

Z

Y


Distanza tra due punti, angolo tra due rette in E3

Se R è ortonormale, possiamo usare il teorema di Pitagora per trovarela distanza dall’origine O di un punto P:

-

6

��

��

O

P

X P′

OP2 = PP′2 + OP′2 = PP′2 + XP′2 + OX2 = OX2 + OY2 + OZ2 =x2 + y2 + z2

E analogamente si può dedurre la distanza tra due puntiA = (xA, yA, zA) e B = (xB, yB, zB):

AB2 = (xA − xB)2 + (yA − yB)2 + (zA − zB)2


Nel caso dello spazio euclideo si può anche parlare di modulo di unvettore applicato

−→AB (ed anche di un vettore libero) inteso come

misura (assoluta) del segmento AB.

Il modulo di−→AB viene denotato con |−→AB|, analogamente il modulo di

u viene denotato con |u|.Un vettore di modulo 1 verrà detto versore

Date due rette orientate r e s nello spazio euclideo, si può parlare diangolo tra r e s (anche se queste non sono complanari), nel seguentemodo: si fissa un punto Q ∈ E3, si considerano r′ ‖ r per Q, e s′ ‖ sper Q. Le rette s′ e s′ sono complanari. Si può allora considerarel’angolo ϑ formato da r′ e s′ (0 ≤ ϑ ≤ π), che viene detto angolo trale rette orientate r e s, e che è indipendente dalla scelta di Q(ESERCIZIO: verificare questo fatto).Non ha invece senso parlare di misura con segno di angoli tra rettenello spazio.


Date due rette orientate r e s nello spazio e due punti A e B su r,consideriamo le proiezioni ortogonali A′ e B′ di A e B(rispettivamente) su s:

(piano per A ⊥ s) ∩ s = A′

(piano per B ⊥ s) ∩ s = B′.

Ha senso parlare delle misure con segno AB e A′B′ dei segmentiorientati

−→AB e

−−→A′B′ su r ed s rispettivamente e inoltre (per la

definizione di angolo data sopra) risulta:

A′B′ = AB · cos ϑ,

dove ϑ denota l’angolo tra r e s.


Misura degli angoli in E3

Consideriamo i tre versori i ≡ [(1, 0, 0)], j ≡ [(0, 1, 0)] ek ≡ [(0, 1, 0)] di E3 applicati in O e diretti come gli assi. Ogni vettorev ≡ [(a, b, c)] si può scrivere come combinazione lineare di questi tre:v = ai + bj + ck.

Introduciamo un’operazione, prodotto scalare, che associa a unacoppia ordinata di vettori (u, v) un numero reale < u, v > definito nelseguente modo:

< u, v >= 0, se almeno uno tra u e v è il vettore nullo,< u, v >= |u||v|cos(α) (dove α denota l’angolo tra i vettori u ev), altrimenti

PROPRIETÀ DEL PRODOTTO SCALAREComunque scelti tre vettori u, v e w, e comunque scelto lo scalareh ∈ R, si ha:< u, v >=< v, u >< u + w, v >=< u, v > + < w, v >< hu, v >= h < v, u >


Consideriamo due vettori non nulliu = ai + bj + ck e v = a′i + b′j + c′k.Il coseno dell’angolo α formato tra i vettori u e v può esseredeterminato così:

cos(α) = <u,v>|u||v| = <ai+bj+ck,a′i+b′j+c′k>

(a2+b2+c2)1/2(a′2+b′2+c′2)1/2 =aa′+bb′+cc′

(a2+b2+c2)1/2(a′2+b′2+c′2)1/2

L’ultima uguaglianza segue dalle proprietà del prodotto scalare e dalfatto che:

< i, i >=< j, j >=< k, k >= 1, < i, j >=< j, k >=< k, i >= 0.

In particolare u = ai + bj + ck e v = a′i + b′j + c′k sono ortogonalise e solo se aa′ + bb′ + cc′ = 0


Parametri direttori di un piano in E3

Dati in E3 un punto P0 ed un vettore non nullo w = (A, B, C), il pianoπ passante per P0 e ortogonale a w è l’insieme dei punti P dellospazio tali che

−−→P0P sia perpendicolare a w.

��

�

��

� 6wq P06

Per quanto visto in precedenza la condizione w⊥−−→P0P si traduce in

(]) A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0.

L’espressione (]) è l’equazione cartesiana del piano π; pertanto,nello spazio euclideo, i coefficienti A, B, C dell’equazione cartesianadi un piano sono le componenti di un vettore ortogonale al piano .


Coseni direttori di una retta orientata in E3

Consideriamo ora in E3 una retta r rappresentata in forma parametricadalle relazioni (∗). Scegliamo su r una (delle due possibili)orientazioni e consideriamo gli angoli α, β e γ che tale retta orientataforma rispettivamente con gli assi (orientati) x, y e z.Con le consuete notazioni, il vettore

−−→X0X è la proiezione ortogonale

sull’asse x del vettore−−→P0P quindi, indicata con t = P0P la misura con

segno di−−→P0P, si ha x − x0 = tcos(α) e analogamente

y − y0 = tcos(β) e z − z0 = tcos(γ). Pertanto

x = x0 + tcos(α), y = y0 + tcos(β), z = z0 + tcos(γ)è una rappresentazione parametrica della retta (orientata) r. I trenumeri reali cos(α), cos(β), cos(γ) vengono detti coseni direttoridella retta orientata r.Poiché t = P0P, si ha:

t2 = (x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2 = t2(cos2(α)+cos2(β)+cos2(γ))da cui si ricava:

cos2(α) + cos2(β) + cos2(γ) = 1


Se(∗) x = x′0 + λa, y = y′0 + λb, z = z′0 + λc,

con (a, b, c) 6= (0, 0, 0), è un’altra rappresentazione parametrica dellaretta r, allora i vettori di componenti (a, b, c) e(cos(α), cos(β), cos(γ)) individuano la stessa retta e pertanto sonoproporzionali. Ovvero:

OSSERVAZIONE: I parametri direttori di una retta sonoproporzionali ai coseni direttori della medesima (come rettaorientata).PROBLEMA: Come cambiano i coseni direttori se si invertel’orientazione della retta?RICHIAMO: Una retta nel piano può essere rappresentata in formaparametrica (in modo analogo a quanto avviene nello spazio) o informa cartesiana (con una sola equazione).


Distanza tra un punto e un piano

Siano P0 ≡ (x0, y0, z0) un punto e π il piano di E3 di equazionecartesiana ax + by + cz + d = 0. Vogliamo calcolare la distanza δ traP0 e π. Si ha δ = |P0H|, dove H è il piede della perpendicolarecondotta da P0 a π. Consideriamo la retta orientata n passante per P0e ortogonale a π (in cui si è fissata una orientazione a piacere). Icoseni direttori (cos(α), cos(β), cos(γ)) di n sono proporzionali a(a, b, c), ovvero si ha

(cos(α), cos(β), cos(γ)) = ± 1(a2 + b2 + c2)1/2 (a, b, c)

(si ricordi che (cos(α), cos(β), cos(γ)) è un versore).

��

�

��

�q6qP0

n

H


L’equazione cartesiana di π si può allora anche scrivere nella forma:

(◦) cos(α)x + cos(β)y + cos(γ)z + d0 = 0,

dove d0 = ± d(a2+b2+c2)1/2 . Una rappresentazione parametrica per n è

della forma

(.) x = x0 + tcos(α), y = y0 + tcos(β), z = z0 + tcos(γ),

con t = P0P. Il punto H = n ∩ π corrisponde al valore del parametrotH che si ottiene sostituendo le (.) nella (◦). Si ha cioècos(α)(x0 + tHcos(α)) + cos(β)(y0 + tHcos(β))++cos(γ)(z0 + tHcos(γ)) + d0 = 0, ovvero

x0cos(α) + y0cos(β) + z0cos(γ) + d0 + tH = 0.

Ne segue che è δ = |tH| = |x0cos(α) + y0cos(β) + z0cos(γ) + d0|, oequivalentemente

δ =|ax0 + by0 + cz0 + d|

(a2 + b2 + c2)1/2 .


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