1 GEOMETRIA. 2 Come consultare lipertesto GEOMETRIA Benvenuti ! Per navigare e muoversi...

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GEOMETRIAGEOMETRIA

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Come consultare l’ipertesto “GEOMETRIA”Come consultare l’ipertesto “GEOMETRIA”

Benvenuti !Benvenuti ! Per navigare e muoversi nell’ipertesto Per navigare e muoversi nell’ipertesto “GEOMETRIA”“GEOMETRIA” dovete dovete semplicemente fare clic sui pulsanti riportati sul lato destro.semplicemente fare clic sui pulsanti riportati sul lato destro.

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GEOMETRIA

INTUITIVA RAZIONALE

OSSERVAZIONIPROVE

TENTATIVI

CONCETTI

PRIMITIVIASSIOMI

Può essere

Si basa su Parte da

Definiti mediante

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DALLA GEOMETRIA

INTUITIVA

ALLA GEOMETRIA

RAZIONALE

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IndiceIndice

Gli elementi fondamentali della geometria euclidea Postulati e teoremi Punto Retta Piano Postulati riguardanti gli enti elementari Nuovi enti definiti tramite gli enti elementari (semirette, segmenti, angoli

Gli obiettiviGli obiettivi

Comprendere il significato di “dimostrazione” Cogliere la differenza fra postulato e teorema Approfondire la conoscenza degli enti geometrici fondamentali Operare con segmenti ed angoli

I contenutiI contenuti

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Di che cosa tratta la geometriaDi che cosa tratta la geometria

Il termine Il termine geometriageometria deriva dal greco ( deriva dal greco (gheghe: “terra”, e : “terra”, e metron:metron: “misura”) e “misura”) e

significa significa ««misuramisura delladella Terra». Terra».

Già gli antichi egiziani erano abili nell’arte di misurare la terra, perché Già gli antichi egiziani erano abili nell’arte di misurare la terra, perché

costretti a ripristinare ai vari proprietari i confini dei terreni periodicamente costretti a ripristinare ai vari proprietari i confini dei terreni periodicamente

invasi dalle inondazioni del Nilo.invasi dalle inondazioni del Nilo.

Le conoscenze geometriche egiziane, di natura tipicamente pratica, furono Le conoscenze geometriche egiziane, di natura tipicamente pratica, furono

portate in Grecia da portate in Grecia da Talete di MiletoTalete di Mileto (624-548 a. C.) e servirono agli antichi (624-548 a. C.) e servirono agli antichi

greci per creare quella branca della matematica che ancora oggi si chiama greci per creare quella branca della matematica che ancora oggi si chiama

Geometria.Geometria.

Rimane però il fatto che l’uomo è stato spontaneamente portato a creare Rimane però il fatto che l’uomo è stato spontaneamente portato a creare

questa scienza, osservando l’ambiente e questa scienza, osservando l’ambiente e astraendoastraendo dagli oggetti circostanti dagli oggetti circostanti

quelle proprietà (forma ed estensione) che non dipendono dalla sostanza di quelle proprietà (forma ed estensione) che non dipendono dalla sostanza di

cui essi sono fatti.cui essi sono fatti.

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I punti di partenza della geometriaI punti di partenza della geometria

Gli enti primitivi della Geometria sono:

PUNTO

RETTA

PIANO

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Gli elementi fondamentali della Gli elementi fondamentali della geometria geometria

Gli enti fondamentaliGli enti fondamentali della geometria sono: il della geometria sono: il punto, la retta, il piano dei

quali non è data definizionenon è data definizione: la loro natura risulta però determinata da : la loro natura risulta però determinata da

particolari affermazioni che sono chiamati assiomi o postulati.particolari affermazioni che sono chiamati assiomi o postulati.

(Sui postulati o assiomi non si discute: li si considera veri!!!)(Sui postulati o assiomi non si discute: li si considera veri!!!)

Mediante questi enti elementari si definiscono tutte le altre figure Mediante questi enti elementari si definiscono tutte le altre figure

geometrichegeometriche.

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PUNTOPUNTO

PUNTOPUNTO

Se poggiate la punta di una matita su un foglio di carta la traccia Se poggiate la punta di una matita su un foglio di carta la traccia lasciata dalla matita vi dà l’idea approssimativa di un lasciata dalla matita vi dà l’idea approssimativa di un punto.punto.

Il punto geometrico lo dovete però pensare senza dimensioni; esso Il punto geometrico lo dovete però pensare senza dimensioni; esso indica soltanto una posizione.indica soltanto una posizione.

Per distinguere un punto dall’altro, si pone accanto a ciascuno di essi Per distinguere un punto dall’altro, si pone accanto a ciascuno di essi la lettera maiuscola dell’alfabeto; diremo perciò: la lettera maiuscola dell’alfabeto; diremo perciò: punto A, punto B, ecc.punto A, punto B, ecc.

•A

•B

•C•D

1010

RETTARETTA

RETTA

Un filo molto sottile, teso per i due estremi, dà l’immagine concreta di Un filo molto sottile, teso per i due estremi, dà l’immagine concreta di una retta.una retta.

A differenza di questa, la retta geometrica si deve pensare illimitata e A differenza di questa, la retta geometrica si deve pensare illimitata e senza spessore.senza spessore.

Su di una retta si possono segnare infiniti puntiSu di una retta si possono segnare infiniti punti

Per distinguere una retta dall’altra si pone accanto a ciascuna di esse Per distinguere una retta dall’altra si pone accanto a ciascuna di esse Una lettera dell’alfabeto minuscolo; si dirà: Una lettera dell’alfabeto minuscolo; si dirà: retta a, retta b, ecc.retta a, retta b, ecc.

retta aretta a

1111

PIANOPIANO

PIANO

Un sottile foglio di carta, la superficie dell’acqua stagnante di un lago, Un sottile foglio di carta, la superficie dell’acqua stagnante di un lago, forniscono delle immagini concrete di un piano.forniscono delle immagini concrete di un piano.

Si tratta naturalmente di immagini molto approssimative perché il Si tratta naturalmente di immagini molto approssimative perché il piano geometrico, oltre a non avere spessore, si deve pensare come piano geometrico, oltre a non avere spessore, si deve pensare come indefinitamente esteso in tutti i sensiindefinitamente esteso in tutti i sensi

I piani si indicano generalmente con le lettere dell’alfabeto greco: I piani si indicano generalmente con le lettere dell’alfabeto greco: αα (alfa), (alfa), ββ (beta), (beta), γγ (gamma), ecc. (gamma), ecc.

ααPiano Piano αα

1212

Postulati riguardanti gli enti elementariPostulati riguardanti gli enti elementari

Alla retta appartengono infiniti puntiAlla retta appartengono infiniti punti

Al piano appartengono infinite rette e quindi infiniti puntiAl piano appartengono infinite rette e quindi infiniti punti

Esistono infinite retteEsistono infinite rette

1313

Postulati riguardanti gli enti elementariPostulati riguardanti gli enti elementari

Per Per due puntidue punti distinti passa distinti passa unauna sola retta sola retta

•A

•B

Per Per un puntoun punto passano passano infiniteinfinite rette ( rette (l’insieme di tale rette è chiamato l’insieme di tale rette è chiamato fascio fascio poprio)poprio)

A

Una retta può essere percorsa in Una retta può essere percorsa in due versidue versi, l’uno opposto all’altro, l’uno opposto all’altro

La retta è La retta è illimitataillimitata e e continuacontinua, vale a dire non ha fine né inizio; fra due , vale a dire non ha fine né inizio; fra due suoi punti qualunque ne esistono infiniti altri e non ha “buchi”.suoi punti qualunque ne esistono infiniti altri e non ha “buchi”.

1414

Nuovi enti definiti tramite gli enti elementariNuovi enti definiti tramite gli enti elementari

Semiretta –Semiretta – Si dice Si dice semirettasemiretta ciascuna delle due parti in cui una retta ciascuna delle due parti in cui una retta rimane divisa da un suo punto.rimane divisa da un suo punto.

•A

semiretta semiretta

origine

Segmento –Segmento – Un Un segmentosegmento è la parte di retta limitata da due suoi è la parte di retta limitata da due suoi punti che si dicono estremi del segmentopunti che si dicono estremi del segmento

A• •

Bsegmento

estremi

1515


Segmenti consecutivi - Segmenti consecutivi - Due segmenti aventi un estremo in comune si Due segmenti aventi un estremo in comune si dicono dicono consecutiviconsecutivi

•

Segmenti adiacenti - Segmenti adiacenti - Due segmenti si dicono Due segmenti si dicono adiacenti adiacenti se sono se sono consecutivi ed appartengono alla stessa rettaconsecutivi ed appartengono alla stessa retta

A• •

B

A

B

C

C• •

1616


B

A C

Una linea formata a più segmenti consecutivi prende il nome di linea spezzata

Una spezzata può essere aperta, chiusa o intrecciata

D

ESpezzata aperta

Spezzata chiusaSpezzata

intrecciata

1717


ANGOLO: ciascuna delle due parti in cui viene diviso un piano da due semirette aventi l’origine in comune

Angolo convesso

Angolo concavo

Un angolo si dice CONCAVO se contiene i prolungamenti dei suoi latiUn angolo si dice CONVESSO se non contiene i prolungamenti dei suoi lati

1818

Angoli particolariAngoli particolari

Angolo PIATTO - Quando la semiretta OA ruota intorno ad O di mezzo giro, assume la posizione OB, diventa cioè opposta ad OA. In questo caso si dice che AÔB è un angolo piatto [un lato è il prolungamento dell’altro ( 180 °)]

A O B

Angolo piatto

PIATTO:180°

1919


Angolo nullo - Se la semiretta OA rimane nella posizione iniziale coincidente con OB, cioè se ha una rotazione nulla, si dice che AÔB è un angolo nullo

O

A

B

Angolo GIRO - Se invece OA ruota di un giro completo intorno ad O, descrive tutto il piano. Si dice in tal caso che AÔB è un angolo giro [ i due lati sono sovrapposti (360°)]

O

A

BAngolo giroGIRO: 360°

2020


Un angolo si dice RETTO se è la metà di un angolo piatto

RETTO:90°

2121


Un angolo si dice OTTUSO se è maggiore di un angolo retto

Un angolo si dice ACUTO se è minore di un angolo retto

OTTUSO: > di 90°

ACUTO: < di 90°

2222


Angoli CONSECUTIVI - Due angoli si dicono consecutivi se hanno lo stesso vertice, un lato in comune e gli altri due lati situati da parte opposta rispetto al lato comune

O

A

B

CLato comune

2323


Angoli ADIACENTI - Due angoli si dicono adiacenti se oltre ad essere consecutivi, hanno i lati non comuni appartenenti ad una stessa retta

2424


Angoli OPPOSTI AL VERTICE: se i lati dell’uno sono i prolungamenti dell’altro

O

2525

Due angoli la cui somma è un angolo piatto si dicono SUPPLEMENTARI

Due angoli la cui somma è un angolo retto si dicono COMPLEMENTARI

2626

Due angoli la cui somma è un angolo giro si dicono ESPLEMENTARI

2727

Concetti o enti primitiviEnti che non definiamo esplicitamente

Assiomi o postulatiProprietà che “supponiamo” essere vere e che pertanto non dimostriamo

Teoremi

I teoremi sono proposizioni del tipo se… allora…. Le proposizioni che seguono il se sono le ipotesi del teorema, mentre quella che segue l’allora è la tesi del teorema. La tesi deve essere derivata dalle ipotesi ragionando correttamente e avvalendosi dei postulati o delle conoscenze già consolidate, vale a dire dei risultati di altri teoremi.

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