Comportamento Meccanico dei Materiali CeTeM 7 Slides...

Comportamento Meccanico dei Materiali

7 Slides Fatica Introduzione e dati di base

Politecnico di TorinoCeTeM

© Politecnico di TorinoData ultima revisione 10/02/03 Massimo Rossetto 1

Fatica - Introduzione e Dati di base 1

• L’applicazione di carichi non costanti nel tempo, in particolarecon andamento temporale ciclico, comporta la possibile rotturadei componenti anche quando la sollecitazione massima èinferiore al carico unitario di snervamento del materiale;

• il fenomeno della fatica è:– permanente (non reversibile);– progressivo (ogni applicazione di carico induce un danno);– localizzato (non è un degrado delle caratteristiche del

materiale, p.e. invecchiamento delle gomme, ma riguardasoltanto una zona limitata del componente)

Il fenomeno fatica:


• Approccio microscopico: analizza i motivi del fenomeno estudia i cambiamenti metallurgici e strutturali del materiale;

• approccio fenomenologico: cerca di fornire strumenti alprogettista per:– evitare le rotture di fatica;– valutare la durata che può essere raggiunta dal componente

prima che si verifichino pericolosi cedimenti

• La presenza di intagli influenza fortemente la resistenza afatica dei componenti.






Ten

sion

e

Tempo

σm

σ max

σm

in

σ a

∆σ

=2σ

a

σ a

Per individuare un ciclo sono necessari almeno dueparametri relativi alla tensione (UNI 3964):


2minmax σ+σ=σm

2minmax σ−σ=σa

σ=σ−σ=σ∆ a2minmax

σσ=

σσ=

m

aaRR ,

max

min

Tensione media:

Tensione alternata:

Campo di tensione (∆ di tensione):

Rapporto di tensione erapporto di ampiezza:

Numero di cicli: N

σσ min,maxTensione massima etensione minima:






≈ 01. µmSuperficiemetallica

≈01µ

Scorrimento in un metallo dovuto a carichi ciclici superficie libera

propagazione della rottura

Nucleazione e propagazione


F Fprovetta piana, materiale duttile

F’(t) F’(t)stessa provetta: rottura per fatica

Rottura statica - Rottura a fatica






A

B

C

D

N

Scorrimenti

Difetti microscopici

Difetti non propagantiDifetti visibili con PnD

Difetti visibili ad occhio nudo

Difetti visibili che si propagano

Rottura


Dati di fatica di base e strumenti per la loro rappresentazione

• I dati di fatica di base sono ottenuti da prove con sollecitazioninominali uniassiali ad ampiezza costante;

• le prove possono essere condotte sia su provette sia sucomponenti in grandezza naturale o in scala;

• i dati di fatica di base sono rappresentati nei diagrammi diWöhler o diagrammi S-N che riportano:– in ascissa - il logaritmo (in base 10) del numero di cicli N;– in ordinata - la sollecitazione applicata, solitamente come

componente alternata del ciclo applicato (scala lineare ologaritmica);

• i risultati delle prove di fatica non evidenziano differenzesignificative nel campo da 1 a circa 100 Hz






100 103 106

σD

σa

N

Resistenzaa termine

Faticaoligociclica

Resistenzao vita infinita

Fatica (ad alto numero di cicli)


ω

P

Provetta su quattro appoggi

P

Diagrammamomentoflettente

ω

P

Provetta a sbalzo

Diagrammamomentoflettente

ω

σ

t

σmax

Prove in flessione rotante






ω

Regolazione componente alternata

Regolazione componente media

ω ω

Prove in flessione piana

Prove in trazione -compressione


Possono essere effettuate anche prove in torsione alternata

Condizioni standard:−flessione rotante (σm = 0, corrispondente a R = −1),−provetta di diametro 10 mm circa,−superficie lucidata.






x: rotture o: run-outs (non rotture)104 105 106 107 108

20

40

60

80

100

120σ

a (M

Pa)

N

M12σm=230 MPa Weibull-2p

B90

B50

B10


Il metodo stair case

i n in i2n

3 0 0 0

2 3 6 121 3 3 3

0 1 0 0

N = 7 A = 9 B = 15

M8 Prove di fatica σm = 400 MPa "senza difetti"

d= 10 MPa N = 5 10^6σa 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 0 MPa

3 0 60 1 1 14 3 50 1 1 1 0 0 0 11 3 40 0 1 0 00 1 30 0

tot 8 7 Evento meno frequente Non Rotta

esito

1 = Rotta; 0 = Non rotta

±+σ=σ 5.0

NA

0(50%) dN+ : evento meno frequente non rotto– : evento meno frequente rottura

3.0N

A-NB2

2

>se

+= 029.0

N

A-NB62.1

2

2

ds altrimenti s = 0.53·d

ss NNNN ⋅+σ=σ⋅−σ=σ 28.128.1 (50%)(90%)(50%)(10%)






• La caratterizzazione a fatica dei materiali richiede un notevolesforzo sperimentale;

• per stimare il limite di fatica si possono, utilizzare in primaapprossimazione, relazioni con il carico unitario di rottura delmateriale:

– criterio di Bach

– criterio di Fuchs(acciai legati)

( )( )003.0

15.0

minm0

maxminm1

=σ=⋅=σ

σ−=σ−=⋅=σ −

RR

RR

D

D

( )( )MPa1400MPa700

MPa14005.0

m1

mm1

≥=σ

<⋅=σ

−

−

R

RR

D

D

Limite di fatica e resistenza statica


Influenza della tensione media - Diagrammi di fatica

tσm=0

σmax

σmin

σ

σσπminσπmax

τ|τπmax|= |τπmin|

a)

τπσπ

σ

t

σ

0σσπmin σπmax

τ|τπmax|

|τπmin|

b)

σm

σmax

σmin

t

σ0

σσπmin σπmax

τc)

|τπmax|

|τπmin|σm

σmax

σmin






punti sperimentali

retta di Goodman (σD)

σa

Rm σm

σD−1

mD

DDm

D

D

RRσ

σ−σ=σ⇒=

σ+

σσ −

−− m

11

m11

Diagramma di Haigh


σm

σD−1

Rp0.2 RmRp0.2

Rm

Rp0.2

Rm

R=−∞

σa

R=0

a

aa R

RR

RR

R+−

=+−

=11

11

inoltre deve essere eHam R≤σ+σ=σmax






Goodman- Smith

σD−1

R

Rm

Rp0.2

σmax

0-1 -1/2 1/2 1

Moore-Kommer-Jasper

σmax

σD−1

Rm

Rp0.2

σmin

R =−1

Ros

σ max

, σm

in

σm

−σD−1

σD−1

Rm

Rm

Rp0.2


0

40

80 160 240 320-240 -160 -800

40

80

120

160

200

240

280

320

8012

016

020

024

028

032

0

40

80

120

160

200

240

σ mσa

σmin

σmax

Ra=1R =0

0.670.20

0.430.40

0.250.60

0.110.80

01

1.50-0.2

2.33-0.4

4.00-0.6

R = -2 MPa

Ra=∞R = -1

Diagramma master






Stima diagrammi SN

• Per una costruzione approssimata del diagramma S-N di unmateriale si possono utilizzare il limite di fatica nellecondizioni volute (ottenuto sperimentalmente, ricavato dallaletteratura o stimato) e la resistenza statica del materiale;

• si unisce con un segmento rettilineo il punto G corrispondenteal limite di fatica con il punto F al limite del campo della faticaoligociclica;

• i punti F e G hanno rispettivamente coordinate pari a:

( ) ( )( )( ) ( )D

m

NN

RN

σ=σ

σ−=σ

,,:G

9.0,10,:F

GGG

m3

FF


102 103 104 105 106100

500

1000

σa

N

σm =_____

F

G

)log()log()log(ovvero NbAAN ab

a +=σ=σ

)log()log()log(ovvero aka kBNBN σ−==σ

Diagrammi log-log






)log()log()log(ovvero NbAAN ab

a +=σ=σ

)log()log()log()log()log(

)log()log()log()log()log()log(

GFG

FDD

FG

FD NNN

ANN

b−

σ−σ−σ=

−σ−σ

=

)log()log()log(ovvero aka kBNBN σ−==σ

)log()log()log()log()log(

)log()log(1

)log()log()log()log(

DDF

FGG

DF

FG NNNB

bNN

k σσ−σ

−+=−=

σ−σ−

=


Diagrammi semi-log

102 103 104 105 106N

200

400

600

800

1000

σm =_____σa

F

G

)log(logloglog F

FG

DFFa NN

NN−−

−−−−

−−==σσ

σσ

)log(logloglog FGDF

aFF NNNN −

σ−σσ−σ

+=


7 Slides Fatica: dai provini ai componenti



Fatica - Dai provini ai componenti 1

Dai provini ai componenti

Vi sono molti fattori che influenzano la resistenza a fatica; fra i fattori cheriguardano il componente hanno particolare importanza:

−le dimensioni (CS)−la presenza di intagli (Kf)−la finitura superficiale (rugosità, CF)−i trattamenti superficiali (meccanici, termici e/o chimici, rivestimenti)

e fra quelli che riguardano le condizioni di utilizzo:−il tipo di carico: (CL)−la temperatura di esercizio−la presenza di un ambiente corrosivo.

f

iDD K

C∏⋅⋅σ=σ −−

*11


Effetto del tipo di carico (CL)

σa,eff (ZP)σf σa,eff (ZP)= σtc

Trazione-compressioneFlessione Zona di processo (ZP)

−CL ≈ 1÷0.95, nel caso della flessione piana;

−CL ≈ 0.7 (valori sperimentali 0.6÷0.8) nel caso di trazione-compressione.






Torsione(stato di tensione biassiale trattato come monoassiale)

Materiale Valori sper. Def . max Tresca Von MisesAcciai al C e legati da bonifica

0.60.77 0.50 0.58*

Ghise grigie 0.85 0.76÷0.82* 0.50 0.58Ghise malleabili 0.84 0.79* 0.50 0.58Leghe leggere (Al) 0.57 0.73 0.50 0.58*Rame 0.53 0.80 0.50* 0.58Ottone 0.57 0.70÷0.76 0.50 0.58*Bronzo 0.57 0.84 0.50 0.58*Lega TiAl6V4 0.62 0.71 0.50 0.58*

Rapporti τD−1/σD−1 sperimentali e teorici


Effetto delle dimensioni (effetto scala) (CS)

CS

0.60

0.65

0.70

0.75

0.80

0.85

0.90

0.95

1.00

10 30 50 70 90 110 130 150 170 190 d

Solo per stati di sollecitazione con gradiente (no trazione compressione)






Effetto della finitura superficiale (CF)

0.81.6

3.26.3

10

40

160

200 400 600 800 1000 1200 1400

0.8

0.6

0.4

0.9

0.7

0.5

rugosità Ra (µm

)

CF

1.0

Rm (MPa)


Effetto degli intagli Fattore di riduzione della vita a fatica

tintagliocon provino1

liscio provino11 K

D

D<

σ

σ<

−

−

intagliato provino

liscio provino

N

NfK

σ

σ= UNI 3964

intagliato provino1

liscio provino1

−

−

σ

σ=

D

DfK

… rispetto alla condizione ‘standard’






)1(1 t −+= KqK f

1 2 3 4 5 6 7 8 9 r (mm)00

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

qAcciai tempratiAcciai rinvenuti o normalizzatiLeghe di alluminio

(valori approssimati)

Non verificato con intagli profondi

Sensibilità all’intaglio


rA

q+

=1

1

Stima della sensibilità all’intaglio (NKS)

0

0.2

0.4

0.6

A (mm1/2)0.8

0 1000 2000 Reh, Rp0.2 (MPa)






Stima dei diagrammi di fatica di componentiMetodo delle tensioni medie nominali

σmRp0.2 RmRp0.2

Rm

Rp,0.2

Rm

R=-∞

σa

R=0

Componente

ProvinoσD−1

P

),(P nom nom am σσ

*1−−Dσ

f

iDD K

C∏⋅⋅σ=σ −−

*11


Stima dei diagrammi SN di componenti

102 103 104 105 106

200

400

600

800

1000

N

σa

0.9(Rm−σm) σm =_____

σD provetta

σD componente






Stima dei diagrammi di fatica di un componente per N qualunque

N102 103 104 105 106

σm =0σa

N2

σ2

N1

σ1

σD−1

σmRp0.2 Rm

σa

R=0

σ1

σ2

N2

N1

N∞

N crescenti


Teoria di Siebel e Stieler: valutazione dell’effetto del gradiente

tcaσ f

aσ maxaσy

dydσ

σχ max

1=






maxaσ

p

y

effa,σ

δσ

χσσ

maxmax

,1

1 abaeffa

A=

+=

aata

effaK βσσδδ

σσ ===max

,

β = coefficiente d’intaglio

da applicare sia alla componente alternata sia alla componente media

tc1

max

, −<=== Daata

effaK σβσσδδ

σσcon σm = 0...


σmRp0.2 RmRp0.2

Rp0.2

R=−∞

σa

R=0

Componente

Provino

A

P

),(P

),0(A

1

am

tcDFC

σβσβ

σ

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅ −−

*1−−Dσ

con σm ≠ 0...






δR

eh , Rp0.2 (M

Pa)

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

700

400

250

300

350

600

500

800

χ (mm−1)


tr

Mf D d Mf

r2

d2

++==χD dMf Mf

r

D d

r

Mf Mf

t

D d MfMf

r

r2

dD4

++++

==χ

r

t

D d

r

PP

r2

==χ r

D d PP

r

PPD d

t

r

1

dD

4++

++==χ

Flessione

Torsione

Trazione-compressione

r

D dMt MtMt

D d

r

Mt

D d PP


7 Slides Fatica Coefficienti di sicurezza



Fatica - Coefficienti di sicurezza 1

Criteri per il calcolo del coefficiente di sicurezza per vita illimitata

L’applicazione di un momento torcente costante nel tempo ad unalbero è ininfluente rispetto alla resistenza a fatica, per cui anchese lo stato di sollecitazione è multiassiale (vi sono più tensioniprincipali non nulle) questo specifico caso viene trattato comeuniassiale!

La definizione del coefficiente di sicurezza dipende dal modo incui crescono le tensioni al crescere delle prestazioni richieste

Salvo diverse prescrizioni il coefficiente di sicurezza a faticaminimo è pari a 3!


Tensione media costante – tensione alternata dipendente dalle prestazioni

Rp0.2Rp0.2

P

limDσ

Paσ

Pmσ

aσ

mσ

1−−DσP

lim

a

DCSσ

σ=

Tensione media e alternata dipendenti dalle prestazioni in modo proporzionale

Rp0.2Rp0.2

P

limDσ

Paσ

Pmσ

aσ

mσ

1−−Dσ

Pmin

limmin

Pmax

limmax

P

lim

P

lim

σ

σ=

σ

σ=

σ

σ=

σ

σ=

m

m

a

DCS


7 Slides Fatica Coefficienti di sicurezza




Tensione media in parte costante in parte proporzionale alla tensione alternata

Rp0.2Rp0.2

P

limDσ

Paσ

aσ

mσ

1−−Dσ

Pmpσ

Pmcσ

P

lim

a

DCSσ

σ=

Tensione alternata costante e tensione media che cambia

Rp0.2Rp0.2

Paσ

Pmσ

aσ

mσ

1−−Dσ

limmσ

P

lim

m

mCSσ

σ=


Tensione minima costante e tensione massima che aumenta all’aumentaredelle prestazioni richieste

Rp0.2

Plimmaxσ

pmaxσ

pminσ

maxσ

minσ

aσ mσ

Pmax

limmax

σ

σ=CS


7 Slides Fatica con sollecitazionimultiassiali



Fatica - Sollecitazioni multiassiali 1

Fatica multiassiale

• stati di tensione multiassiali semplici: quando tutte le tensioniprincipali raggiungono i valori massimi e minimi nello stessoistante e le direzioni principali non cambiano la loro direzione neltempo;

• stati di tensione multiassiali complessi: quando le varie cause disollecitazione non operano in fase e di conseguenza le direzioniprincipali non sono fisse nel tempo;

• caso intermedio: si presenta quando le cause di oscillazione sono infase ma le direzioni principali non sono fisse a causa di tensionimedie con direzioni principali non coincidenti con quelle principalidelle componenti alternate


Teoria di Sines

0 1.0

-1.0

1.01

2

−σσ

D

dati di Sawert, 1943

1

1

−σσ

D

0 1.0

-1.0

1.0

dati di Gough, 1951

acciaio Cr-Va

ghisa

1

2

−σσ

D

1

1

−σσ

D






0

100

200

300

400

0 100 200 300 400 500 600 ( )MPaaσ

30 Ni Cr Mo12Rm=900 MPa

C 15Rm=425 MPa

( )MPaaτ

Gough e Pollard

21

22

1

12

2

1

2

11

−−

−

−−

σ≤τ

τσ

+σ

≤

ττ

+

σσ

DaD

Da

D

a

D

a

122

111

3

36.0

−

−−−

σ≤τ+σ

σ≅σ≅τ

Daa

DDD

materiali duttili

12111

12

1

2

1=

σσ

τσ

−+

σσ

−

στ

+

ττ

−−

−

−− D

a

D

D

D

a

a

a

D

amateriali fragili:


τm

τa

τa

τm02,1, ==++ mm σσ

c)

τm

σa

τa

τm02,1, ==++ mm σσ

d)

σm

τa

τa

σm

02,1, ≠≠++ mm σσ

b)σ

m

σa

σa

σm

02,1, ≠≠++ mm σσ

a)

Analisi di Sines: influenza dei valori medi

( ) ( ) ( ) ( ) 13,2,1,2

3,2,2

3,1,2

2,1, 2

1−σ≤σ+σ+σ+σ−σ+σ−σ+σ−σ Dmmmaaaaaa m






( ) ( ) ( ) ( ) 13,2,1,2

3,2,2

3,1,2

2,1, 2

1−σ≤σ+σ+σ+σ−σ+σ−σ+σ−σ Dmmmaaaaaa m

Nel caso uniassaile: 11,1, −σ=σ⋅+σ Dma m

cioè l’equazione di Goodman se m

D

Rm 1−σ

=

Nel caso di alberi: 122 3 −σ≤σ⋅+τ+σ Dmaa m

Interpretazione come tensioni equivalenti:

( ) ( ) ( ))(

2

1

3,2,1,,

23,2,

23,1,

22,1,,

mmmeqm

aaaaaaeqa

σ+σ+σ=σ

σ−σ+σ−σ+σ−σ=σ


In caso di intagli...

( ) ( ) ( ) ( )f

Dmmmaaaaaa K

m 13,2,1,

23,2,

23,1,

22,1,

2

1 −σ≤σ+σ+σ+σ−σ+σ−σ+σ−σ

..e per gli alberi intagliati..

)( 3 122

flessioneKm

f

Dmaa

−σ≤σ⋅+τ+σ

1−σ D

fD

K1−σ

Rm


7 Slides Fatica con sollecitazioni adampiezza variabile



Fatica - Sollecitazioni ad ampiezza variabile 1

t

σ

n1, σa1, σm1 n2, σa2, σm2 n3, σa3, σm3

σ

t

Fatica con sollecitazioni ad ampiezza variabile


Cumulativi di sollecitazione – Matrici delle sollecitazioni

σa

(o ∆σ)

Nn1 n2 n3 n4 n5 n6

N

σa(o ∆σ)

40

80

120

-100-50

050

1502.02.53.03.54.04.5

5.0

5.5

Log(N)

σa (M

Pa)

σ m (M

Pa)

60

100

140160

180200

220240

260






t

1

A

300

250

200150

100

500

-50

-100-150

-200

σ (MPa)

t3

2 4

5 7

6

8

10

11

12

9

B

300

250

200150

100

50

0-50

-100

-150

-200

σ (MPa)

t

13

C 14 15

16

17

18

19

20

21

22 23

300

250

200

150

10050

0

-50

-100-150

-200

σ (MPa)

tD

24 2625

27

300250

200

150

10050

0

-50

-100

-150-200

σ (MPa)

Tabella I: Conteggi (MPa)n min max ∆σ σa σm

1 -200 300 500 250 502 0 200 200 100 1003 -150 200 350 175 254 0 100 100 50 505 -100 100 200 100 06 -150 100 250 125 -257 -100 100 200 100 08 0 150 150 75 759 50 200 150 75 125

10 -50 250 300 150 10011 -100 250 350 175 7512 100 250 150 75 17513 -50 100 150 75 2514 -100 100 200 100 015 -100 50 150 75 -2516 -150 100 250 125 -2517 0 50 50 25 2518 100 150 50 25 12519 50 200 150 75 12520 0 150 150 75 7521 50 150 100 50 10022 0 100 100 50 5023 0 200 200 100 10024 -50 50 100 50 025 -50 0 50 25 -2526 -50 50 100 50 027 50 150 100 50 100

Metodo di conteggio rainflow (versione del serbatoio)


25 50 75 100125150175250

-250

2550

75100

125175

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Cicli

σm (MPa)σa (MPa)






Danneggiamento – regola di Palmgren-Miner

i

ii N

nD = 1=== ∑∑

i

ii N

nDD ⇔ rottura

102 103 104 105 106100

500

1000

NiN

aσ

aiσ

=mσ


103 104 105 106 107100

500

1000

N

aσ =mσ

k

k

108

2k−1

k = ∞

… con la fatica ad ampiezza variabile il limite di fatica può scomparire

(Haibach)

Caso con tensione media variabile da blocco a blocco...

∑∑ ==i

ii N

nDD

DCS

1= (in termini di durata)






Caso con tensione media costante al variare dei blocchitensione e durata equivalente...

∑=i

i

eq

eq

N

n

N

nData una σa,eq... (stesso danno)

keqa

kai

i

eqeq

keqai

kai N

NNN

,,

σ

σ=⇒σ=σ..diag. log-log

102 103 104 105 106100

500

1000

Ni N

aσ

aiσ

=mσ

Neq

a,eqσ


keqa

kai

ieq nn,σ

σ= ∑

∑=i

i

eq

eq

N

n

N

nk

eqa

kai

i

eqeq

keqai

kai N

NNN

,,

σ

σ=⇒σ=σ

∑=i

ieqeq N

nNn

kai

keqa

eqi NNσ

σ= ,

∑

σ

σ=

kai

keqa

eq

ieqeq

N

nNn

,

k

eq

kaii

eqa n

n∑ σ=σ ,






Cieq Nnn == ∑Se si pone (numero complessivo di cicli)

k kaiieqa ∑ σα=σ , Cii Nn /=α

σa

(o ∆σ)

Nneq

σeq

NC


Danno (%)

25 50 75 100125150175

250-25

025

5075

100125

175

0%

10%

20%

30%

40%

50%

σm (MPa)σa (MPa)

Comportamento Meccanico dei Materiali CeTeM 7 Slides...

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