Generalità Spettro di potenza e autocorrelazione Proprietà...

Teoria dei segnali Rappresentazione in frequenza

© 2005 Politecnico di Torino 1

Lezione 2: rappresentazione in frequenza

Segnali a potenza media finita e conversione A/D

2

Rappresentazione in frequenza

GeneralitàSpettro di potenza e autocorrelazioneProprietà dello spettro di potenzaLarghezza di bandaSpettri mutuiMedie temporali



generalità


4

Introduzione

La potenza media riassume le caratteristicheenergetiche del segnale, quindi in ultima analisiporta informazione sulla distribuzione delle sue ampiezzeEssa tuttavia non esaurisce le informazioni cheservono per studiare un sistema di telecomunicazioniInfatti, esistono segnali che hanno la stessapotenza media ma caratteristiche (anchemacroscopiche) molto differenti!



5

Introduzione

Le differenze più evidenti riguardano la velocità di variazione temporale del segnaleIn questo esempio, ci sono evidenti differenze in questo senso tra x(t) e y(t), anche a parità di potenza media

t

X(t)

t

y(t)

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Introduzione

Si può verificare sperimentalmente che la velocitàdi variazione nel tempo del segnale ha un enormeimpatto sulla qualità delle telecomunicazioniI canali di comunicazione convogliano i segnali con un’affidabilità fortemente dipendente dalla velocitàdi variazione temporaleDa questo parametro dipendono l’attenuazione e la distorsione imposte dal canale fisico sul segnaleche viene posto al suo ingresso



7

Introduzione

Intuitivamente, associamo la velocità di variazionetemporale alla larghezza di banda del segnale, e diciamo che “y(t) ha banda più larga di x(t)”Tuttavia questa affermazione va fondata dal puntodi vista matematicoÈ dunque necessario trovare modo di quantificarequesta informazione; per questo ricorriamoall’analisi (o rappresentazione) in frequenza

8


Nel caso di segnali a energia finita, la funzioneprincipale su cui si basa la rappresentazione in frequenza è la trasformata di Fourier:

2( ) ( ) j ftX f x t e dtπ∞

−

−∞

= ∫



9


Tuttavia, le condizioni di esistenza dellatrasformata di Fourier prevedono che il segnalesia assolutamente sommabile:

/ 2

/ 2

lim | ( ) |T

TT

x dτ τ→∞−

< ∞∫

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La rappresentazione in frequenza

Questo in pratica significa che la trasformata di Fourier di segnali a potenza media finitageneralmente non convergeQuindi, in generale, non possiamo usare la trasformata di Fourier come strumento per l’analisi in frequenza di questi segnaliÈ necessario trovare altri strumenti che cipermettano di individuare le caratteristichesalienti del segnale nel dominio della frequenza



11

La rappresentazione in frequenza

Precisazione: la condizione enunciata è sufficiente ma non necessaria. Vedremo in seguitoche, nel caso di segnali periodici, che non la soddisfano, la trasformata di Fourier esiste, seppure come distribuzione

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Obiettivi

Ricordiamo che i principali obiettivi dell’analisi in frequenza sono

ridefinire il concetto di larghezza di banda per segnali a potenza media finita, associandolo a un ben preciso significato fisico (la velocità di variazione nel tempo)prevedere e misurare la distorsione di un segnale a potenza media finita qualora esso venga elaboratoda un sistema lineare e stazionario (per esempio, ilcanale di comunicazione)



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Invertibilità

Nel caso di segnali a energia finita, la rappresentazione in frequenza tramitetrasformata di Fourier gode della proprietà di essere invertibileNell’identificazione di una nuovarappresentazione in frequenza per i segnali a potenza media finita, dovremo rinunciare al fattoche questa funzione sia invertibile, ovvero chedalla rappresentazione in frequenza sia possibilericostruire esattamente x(t)

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Procedimento

Dobbiamo definire una funzione che esista per i segnali a potenza media finita, e che “svolga il ruolo” della trasformata di Fourier, la quale invece non convergePer fare ciò, possiamo ricordare che i segnali a supporto temporale limitato ammettono sempre trasformata di Fourier



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Procedimento

Inizieremo quindi limitando l’osservazione del segnale a potenza media finita ad un supporto temporale limitatoSu questo segnale ausiliario (segnale troncato) definiremo le ben note rappresentazioni in frequenzaInfine, proveremo a estendere le definizioni facendo tendere a infinito il supporto temporale con opportune normalizzazioni

spettro di potenza e autocorrelazione




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Segnale troncato

Considerazione 1: il segnale a potenza media finita ha supporto illimitatoConsiderazione 2: i segnali a supportotemporale limitato sono a energia finitaIdea: definiamo un segnale troncato

( ) | | / 2( )

0 | | / 2T

x t t Tx t

t T≤

=>

18

Segnale troncato

t0

( )txT

( )tx

2T

+2T

−



19

Segnale troncato

Questo segnale:è identico a x(t) entro l’intervalloha energia finita

/ 22

/2

| ( ) |T

T

xT

E x dτ τ−

= < ∞∫

| | / 2t T≤

20

Energia del segnale troncato

Notiamo come, se eseguiamo una operazione di limite per l’energia del segnale troncato, normalizzata mediante 1/T, tende a coinciderecon la potenza media del segnale x(t):

T →∞

/ 22

/ 2

1 1lim lim | ( ) |

T

T

T x T xT

E x d PT T

τ τ→∞ →∞−

= =∫



21

Energia del segnale troncato

Di conseguenza, introducendo la normalizzazione1/T e facendo tendere T a infinito, le considerazioni sull’energia del segnale troncato sipossono trasferire sulla potenza media di x(t)

22

dove

è la trasformata di Fourier del segnale troncato

Periodogramma

Valutiamo quindi la densità spettrale normalizzatadi energia del segnale troncato:

/ 22

/ 2

( ) ( )T

j fuT

T

X f x u e duπ−

−

= ∫

21( ) | ( ) |TX TS f X f

T=



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Periodogramma

La funzione SxT(f) viene anche detta

periodogrammaInfatti, questa funzione può essere valutata per via numerica usando campioni misurati del segnale, e visualizzataL’eventuale presenza di componenti quasi sinusoidali (quindi, quasi periodiche) nei datimisurati è evidenziata sotto forma di picchi in questo diagramma, da cui il nome

24

Spettro di potenza

Definiamo densità spettrale di potenza (o, per brevità, spettro di potenza) del segnalex(t)

Questa funzione è una buona candidata per la rappresentazione in frequenza di x(t)

21

( ) lim ( ) lim | ( ) |Tx T x T TG f S f X f

T→∞ →∞= =



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Spettro di potenza

Abbiamo definito uno spettro di potenza; tuttavia, è necessario che operiamo alcuneverifiche per essere certi che questa funzione siautile come rappresentazione in frequenza del segnaleInfatti, essa deve soddisfare alcuni requisiti, cheverificheremo, per potersi fregiare del nome di densità spettrale di potenza

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Funzione di autocorrelazione

Per poter eseguire le verifiche necessarie, dobbiamo prima introdurre la funzione di autocorrelazione, quale controparte temporaledello spettro di potenzaEssa infatti è utile per dimostrare le proprietàdello spettro di potenza



27


Ricordiamo che, nel caso di segnali a energiafinita, la densità spettrale di energia è la trasformata di Fourier della funzione di autocorrelazionePer analogia, definiamo quindi funzione di autocorrelazione del segnale a potenza media finita l’antitrasformata di Fourier della densitàspettrale di potenza

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Definizione di funzione di autocorrelazione per segnali a potenza media finita con spettro di potenza Gx(f):

2

2 2

( ) ( )

1lim | ( ) |

j fx x

j fT T

G f e df

X f e dfT

π τ

π τ

τ∞

−∞

∞

→∞−∞

Φ = =

=

∫

∫



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Supponiamo di poter commutare gli operatori di integrale e di limite:

Applicando il teorema di Parseval e notando che

1 * 2 *[ ( ) ] ( )j fT TF X f e df x tπ τ τ− = −

* 21( ) lim ( ) ( ) j f

x T T TX f X f e dfT

π ττ∞

→∞−∞

Φ = ∫

Otteniamo dopo alcuni passaggi/ 2

/ 2

1( ) lim ( ) *( )

T

x TT

x t x t dtT

τ τ→∞−

Φ = +∫

30


Possiamo notare le analogie formali tra questafunzione e l’analoga definita per i segnali a energia finita, di cui richiamiamo qui la definizione:

*( ) ( ) ( )xR x t x t dtτ τ∞

−∞

= +∫



31

Proprietà

1. ha un massimo assoluto in 2. coincide con la potenza media di x(t):

( )x τΦ

(0)xΦ

/ 2*

/2

1(0) lim ( ) ( )

T

x T xT

x t x t dt PT→∞

−

Φ = =∫

0τ =

32

Proprietà

3. Se x(t) è reale, è reale e pari

4. Se x(t) è un segnale a valori complessi, allora

( )x τΦ

*( ) ( )x xτ τΦ − = Φ



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Le dimostrazioni di queste proprietà sono moltosempliciEsse comportano semplici cambi di variabile e considerazioni sul limite per T tendente a infinitoQui le omettiamo per brevità

proprietà dello spettro di potenza




35

Proprietà dello spettro di potenza

Vediamo finalmente se la funzione da noi definita come densità spettrale di potenza gode delle proprietà adeguate per potersi fregiare di questo nomeUseremo anche la funzione di autocorrelazioneper le nostre dimostrazioni

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Proprietà 1Gx(f) è una funzione reale maggiore o uguale a zero per qualunque valore di f

Questo deriva direttamente dalla definizione: la densità spettrale di potenza è il limite del periodogramma, che è definito per mezzo di un’operatore di modulo quadro



37


Proprietà 2Se il segnale x(t) è reale, la densità spettrale di potenza è una funzione reale e pari

Dim. Se x(t) è reale, la sua funzione di autocorrelazione è reale e pari; quindi la trasformata di Fourier di un segnale reale e pari è ancora una funzione reale e pari

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Proprietà 3Per il significato stesso di densità spettrale di potenza, dev’essere

Infatti, la densità di una certa grandezza fisica in un certo dominio dà la distribuzione di questa grandezza in funzione della variabile indipendenteIntegrando una densità su tutto il dominio, si ottiene la quantità totale (qui, la potenza media totale)

( )x xG f df P∞

−∞

=∫



39


Dimostrazione della proprietà 3:

1 2( ) [ ( )] ( )

(0) ( )

j fx x

x x x

F Gx f G f e df

G f df P

π ττ∞

−

−∞

∞

−∞

Φ = =

Φ = =

∫

∫

40


Proprietà 4Supponiamo che il segnale x(t) venga posto all’ingresso di un filtro ideale a banda stretta, con funzione di trasferimento H(f) come riportato in figura:

( )fH

f020

∆−f

1

20∆

+f0f



41


Coerentemente con il concetto intuitivo di densità, la potenza del segnale y(t) in uscita da tale filtro dovrebbe potersi calcolare come

/ 2

/ 2

( )fo

y xfo

P G f df+∆

−∆

= ∫il che significa che, delle componenti in frequenza presenti in x(t), solamente quelle comprese nella banda passante di H(f) contribuiscono alla potenza del segnale di uscita y(t)

42

Spettro dei segnali filtrati

Per dimostrare la proprietà 4, è necessario trovare un’espressione della densità spettrale di potenza del segnale y(t) all’uscita di un sistema LTI con funzione di trasferimento H(f) e risposta all’impulso h(t), al cui ingresso è posto il segnale a potenza media finita x(t)Sia quindi

( ) ( ) ( )y t x t h dθ θ θ∞

−∞

= −∫



43


Vediamo la funzione di autocorrelazione del segnale filtrato y(t):

/ 2

/2

/ 2* *

1 2 1 2 1 2/ 2

/ 2* *

1 2 1 2 1 2/2

1( ) lim ( ) *( )

1lim ( ) ( ) ( ) ( )

1lim ( ) ( ) ( ) ( )

T

y TT

T

TT

T

TT

y t y t dtT

x t x t h h d d dtT

h h x t x t dtd dT

τ τ

θ τ θ θ θ θ θ

θ θ θ τ θ θ θ

→∞−

∞ ∞

→∞− −∞−∞

∞ ∞

→∞−∞−∞ −

Φ = − =

= − − − =

= − − −

∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

44


Scambiando gli integrali con il limite, e con opportuni cambiamenti di variabile, otteniamo

*1 2 1 2 1 2

*

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

y x

x

h h d d

h h

τ θ θ τ θ θ θ θ

τ τ τ

∞ ∞

−∞−∞

Φ = Φ − +

= ∗ − ∗Φ

∫ ∫



45


A questo punto la densità spettrale di potenza del segnale filtrato y(t) si ottiene operando una semplice trasformazione di Fourier:

*

* 2

( ) [ ( )] [ ( ) ( ) ( )]

( ) ( ) ( ) ( ) | ( ) |y y x

x x

G f F F h h

H f H f G f G f H f

τ τ τ τ= Φ = ∗ − ∗Φ =

= =

46


La funzione opera come funzione peso sulla distribuzione di potenza dell’ingresso per dare la distribuzione di potenza dell’uscita

2| ( ) |H f

f

f

f

Gx(f)

|H(f)|2

Gy(f)



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Verifica della proprietà 4

Possiamo ora applicare questo importante risultato generale al caso in cui H(f) sia un filtro a banda stretta La potenza di y(t) si calcola integrando la corrispondente densità spettrale di potenza:

0

0

/ 22

/ 2

( ) ( ) | ( ) | ( )f

y y x xf

P G f df G f H f df G f df+∆∞ ∞

−∞ −∞ −∆

= = =∫ ∫ ∫

che è il risultato che si voleva dimostrare

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Di conseguenza….

Viste tutte le considerazioni fatte finora, siamo convinti che la densità spettrale di potenza sia la funzione giusta per dare informazioni sul segnale, nel dominio della frequenzaInfatti, essa:

è una funzione reale e positivaintegrata su tutto il dominio f, dà la potenza media del segnaleintegrata su un intervallo dell’asse f, dà la potenza media associata alle componenti spettrali del segnale che cadono in tale intervallo



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Di conseguenza….

Rispetto alla trasformata di Fourier, questo strumento ha un difetto: non è invertibileInfatti, effettuando la trasformata di Fourier inversa su Gx(f), troviamo la funzione di autocorrelazione di x(t) e non x(t) stessoQuesto tuttavia non limita l’utilità di Gx(f) come strumento di analisi del segnale

larghezza di banda




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Considerazioni fisiche

Cerchiamo un’interpretazione fisica della funzionedi autocorrelazioneNota importante: per quanto il nome sia lo stesso, questa funzione è matematicamentediversa dalla sua omologa definita per i segnali a energia finitaTuttavia questa funzione gode di proprietàstrettamente simili a quelle dell’analoga funzionedefinita per segnali a energia finita

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Consideriamo un segnale a potenza media finita x(t), per semplicità a valori reali, e la sua versione traslata , come in figuraEsprimiamo la differenza tra questi due segnali:

( )x t τ−

( , ) ( ) ( )t x t x tτ τ∆ = − −



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t

)(tx

0 τ

)( τ−tx

54


Calcoliamo la potenza media del segnale differenza:

/ 221

/ 2

/ 2 / 22 21 1

/2 / 2

/21

/ 2

( ) lim | ( ) ( ) |

lim | ( ) | lim | ( ) |

2lim ( ) ( ) 2[ ( )]

T

T TT

T T

T TT TT T

T

T x xTT

P x t x t dt

x t dt x t dt

x t x t dt P

τ τ

τ

τ τ

∆ →∞−

→∞ →∞− −

→∞−

= − − =

= + − +

− − = − Φ

∫

∫ ∫

∫



55


Supponiamo ora di avere due segnali; x1(t) ha variazioni lente, mentre x2(t) ha variazioni relativamente più veloci I due segnali hanno la stessa potenza media Chiaramente, a parità di ritardo t , il segnale differenza avrà potenza inferiore rispetto al corrispondente segnale differenza

1 1 1( , ) ( ) ( )t x t x tτ τ∆ = − −

2 2 2( , ) ( ) ( )t x t x tτ τ∆ = − −

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Questo è dovuto al fatto che, se il primo segnale ha variazioni più lente rispetto al secondo, a parità di traslazione le sue versioni diretta e traslata saranno maggiormente simili tra loro, dando luogo a un segnale differenza di minore ampiezzaDi conseguenza, a parità di , avremo che

1 2( ) ( )x xτ τΦ > Φ

τ



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Un segnale a variazione rapida ha una funzione di autocorrelazione molto concentrata intorno all’origine, mentre un segnale a variazione lenta ha una funzione di autocorrelazione più largaDi conseguenza un segnale a variazione rapida ha una densità spettrale di potenza più larga rispetto a un segnale a variazione lenta, ovvero èa banda più larga

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Autocorrelazione di due segnali con stessa potenza media e relativi spettri di potenza

Gx1(f)( )τφ 1x

τ0τ−

1Px

0τ

( )01 τφx

( )τφ 2x

τ0τ−

12 PxPx =

0τ

( ) ( )0102 τφτφ xx <

f

f

Gx2(f)



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Larghezza di banda

Da questa discussione emerge che la larghezza della densità spettrale di potenza è legata alla rapidità di variazione del segnaleQuesto è analogo a quanto si può constatare lavorando con lo spettro di ampiezza, qualora il segnale ammetta trasformata di Fourier

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Larghezza di banda

Di conseguenza, possiamo usare la funzione densità spettrale di potenza per misurare la larghezza di banda di un segnale a potenza media finitaSi applicano le stesse definizioni già viste discutendo lo spettro di ampiezza:

banda assolutabanda a 3dBbanda al Q%…



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Larghezza di banda

Nell’esempio, la banda a 3dB di x1(t) è minore di quella di x2(t)

( )02xG( )0

21

2xG

12 xx BB >

Gx1(f)

f

f

Gx2(f)

( )01xG

( )021

1xG

1xB

spettri mutui




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Spettro di potenza mutuo

Si abbiano due segnali a potenza media finita x(t) e y(t)Definiamo spettro di potenza mutuo di questi due segnali

*( ) ( )( ) lim T T

xy TX f Y f

G fT→∞=

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dove

e

sono le versioni troncate dei segnali x(t) e y(t)rispettivamente

Nota: non è detto che lo spettro mutuo sia una funzione reale e positiva

Spettro di potenza mutuo

( ) | | / 2( )

0 | | / 2T

x t t Tx t

t T≤

=>

( ) [ ( )]( ) [ ( )]

T T

T T

X f F x tY f F y t

==

( ) | | / 2( )

0 | | / 2T

y t t Ty t

t T≤

=>



65

Funzione di mutua correlazione

Si può dimostrare che l’antitrasformata di Fourierdello spettro mutuo, che chiameremo funzione di mutua correlazione, si può esprimere come

/ 21

/ 2

( ) lim ( ) *( )T

xy T TT

f x t y t dtτ→∞−

Φ = −∫

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Periodogramma mutuo

La quantità

è chiamata periodogramma mutuoScambiando i due segnali possiamo analogamente definire

*( ) ( )T TX f Y fT

*

/ 2

/ 2

( ) ( )( ) lim

1( ) lim ( ) *( )

( ) [ ( )]

T Tyx T

T

yx TT

yx yx

Y f X fG f

T

y t x t dtT

G f F

τ τ

τ

→∞

→∞−

=

Φ = −

= Φ

∫



67

Un caso particolare

y(t) sia l’uscita di un sistema LTI con risposta all’impulso h(t), al cui ingresso è posto x(t)In questo caso, la funzione di mutua correlazione tra y(t) e x(t) vale:

/ 2*

/ 2

1( ) lim ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

T

yx TT

x x

x t h x t d dT

h d h

τ ϑ ϑ τ ϑ τ

τ ϑ ϑ ϑ τ τ

∞

→∞− −∞

∞

−∞

Φ = − − =

= Φ − = Φ ∗

∫ ∫

∫

68

Un caso particolare

Lo spettro mutuo di potenza tra y(t) e x(t) vale:

Esso contiene un contributo dovuto all’ingresso, e uno dovuto al sistema, che determina lo scambio di potenza tra ingresso e uscita

( ) ( ) ( )yx xG f G f H f=



medie temporali


70

Medie temporali

Le medie temporali sono una classe di operatori applicabili ai segnali a potenza media finitaDato un segnale a potenza media finita x(t) e una generica funzione g[·], la media temporale di g applicata a x(t) è definita come

/ 2

/ 2

1[ ( )] lim [ ( )]

T

TT

g x t g x dT

τ τ−

→∞−

< >= ∫



71

Alcune medie temporali

La potenza media è una media temporale con

La funzione di autocorrelazione è una media temporale con

*[ ( )] ( ) ( )g x t x t x tτ= +

2[ ( )] | ( ) |g x t x t=

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Proprietà delle medie temporali

In generale, una media temporale non dipende più dal tempo t, in quanto è frutto di un’integrazione rispetto alla variabile tUna media temporale può dipendere da una variabile che dimensionalmente rappresenta un tempo Questo è il caso della variabile tdell’autocorrelazione, che fisicamente rappresenta un ritardo



73

Altre medie temporali

Il “valor medio” del segnale è una media temporale con g[x(t)] = x(t):

Esso rappresenta la componente continua eventualmente presente nel segnale. Per esempio, il valor medio di

/ 2

/ 2

1( ) lim ( )

T

x TT

x t x dT

µ τ τ−

→∞−

=< >= ∫

0( ) cos(2 )x t K f tπ= +

vale µx=K

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Lo “scarto quadratico medio” del segnale è una media temporale con

g[x(t)] = |x(t)-µx|2:

Esso rappresenta la potenza della parte variabile di x(t), ovvero di x(t) depurato dal proprio valor medio. Vale la seguente relazione:

/ 22 2

/ 2

1| ( ) | lim | ( ) |

T

x x T xT

S x t x dT

µ τ µ τ−

→∞−

=< − >= −∫

2| |x x xP S µ= +



75


La potenza media del segnale è quindi la somma della potenza della parte variabile (scarto quadratico medio) e della potenza della componente continua (modulo quadro del valor medio)

2| |x x xP S µ= +

76

Relazioni utili

Un segnale a potenza media finita x(t) si può sempre scomporre nella somma del proprio valore medio e di un segnale a valor medio nullo:

0( ) ( )xx t x tµ= +

con µx = <x(t)>



77

Relazioni utili

Riassumiamo alcune relazioni notevoli:

0

0

0

0

0

2

2

2

( ) 0

| |

( ) ( ) | |

( ) ( ) | | ( )

x x

x x x

x x x

x x x

x t

P S

P P

G f G f f

µ

τ τ µ

µ δ

< >=

=

= +

Φ = Φ +

= +

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Relazioni utili

Notiamo come, se il segnale x(t) ha valor medio non nullo, la sua densità spettrale di potenza ha una delta in f=0Infatti la componente continua si può interpretare come una componente periodica di periodo infinito, quindi frequenza nulla



79

Riepilogo (1/3)

I segnali a potenza media finita non ammettono trasformata di FourierPer la loro rappresentazione in frequenza usiamo la funzione densità spettrale di potenza Gx(f)Questa funzione è la trasformata di Fourier della funzione di autocorrelazione

80

Riepilogo (2/3)

La larghezza di Gx(f) porta informazione sulla velocità di variazione nel tempo del segnale x(t), pertanto è utile per effettuare misurazioni di larghezza di banda Nel caso il segnale x(t) venga elaborato da un sistema LTI con funzione di trasferimento H(f), la semplice relazione Gy(f) = Gx(f) |H(f)|2 ci permette di fare analisi in frequenza del segnale di uscita



81

Riepilogo (3/3)

La rappresentazione in frequenza mediante Gx(f) non è invertibile, ma questo non diminuisce il valore dello strumento di analisiAbbiamo visto come sia la potenza media sia l’autocorrelazione si possano interpretare come medie temporaliLa componente continua del segnale è a sua volta una media temporale; essa comporta la presenza di una distribuzione delta di Dirac nello spettro di potenza, centrata in f=0

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