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PROGETTOPROGETTOLAUREE LAUREE
SCIENTIFICHESCIENTIFICHE
Le strutture algebriche e gli Le strutture algebriche e gli insiemi numericiinsiemi numerici
Bruna ConsoliniBruna Consolini
Liceo “Norberto Rosa” - Indirizzo Scientifico e Scientifico TecnologicoAnno Scolastico 2006-07
DEFINIZIONE DEFINIZIONE DI STRUTTURA DI STRUTTURA
ALGEBRICAALGEBRICAUn insiemeinsieme A possiede una struttura algebrica Sstruttura algebrica S quando è dotato di una o più operazioni interneoperazioni interne
che godono di determinate proprietàproprietà
S = (A, , , …)
(N, +) indica la struttura
dell'insieme N con l'operazione
addizione
(P(I), ) indica la struttura
dell'insieme delle parti di I
con l’operazione unione
ESEMPI DI STRUTTUREESEMPI DI STRUTTURE Considerando un insieme di elementi A è Considerando un insieme di elementi A è
possibile costruire strutture con una o più possibile costruire strutture con una o più operazioni operazioni INISEME A SI CHIAMA INISEME A SI CHIAMA SUPPORTOSUPPORTO
Normalmente si studiano alcune strutture Normalmente si studiano alcune strutture fondamentali con una o due operazioni fondamentali con una o due operazioni interne che soddisfano una serie di criteri e interne che soddisfano una serie di criteri e che sono basilari in diversi campi della che sono basilari in diversi campi della matematica matematica STRUTTURE SU NUMERI, STRUTTURE SU NUMERI, INSIEMI, PERMUTAZIONI, MATRICI, INSIEMI, PERMUTAZIONI, MATRICI, TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE … TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE …
DEFINIZIONE DEFINIZIONE DI OPERAZIONE BINARIADI OPERAZIONE BINARIADato un insieme A non vuoto, si definizione
legge di composizione binaria o operazione interna binaria
un’applicazione di AxA in A.Cioè una funzione che associa ad ogni coppia ordinata (a,b) di elementi appartenenti ad A
uno ed un solo elemento c appartenente ad A.
: , ,( , )
A A Af a b c A
a b c
TIPI DI OPERAZIONITIPI DI OPERAZIONI
ESISTONO ANCHE ALTRI TIPI DI ESISTONO ANCHE ALTRI TIPI DI OPERAZIONI:OPERAZIONI:
OPERAZIONI UNARIEOPERAZIONI UNARIE Esempio: RADICE QUADRATA …Esempio: RADICE QUADRATA …
OPERAZIONI BINARIEOPERAZIONI BINARIE Esempio: ADDIZIONE, MOLTIPLICAZIONE…Esempio: ADDIZIONE, MOLTIPLICAZIONE…
OPERAZIONI N-ARIEOPERAZIONI N-ARIE Esempio: MEDIA DI N NUMERI, Esempio: MEDIA DI N NUMERI,
MCD FRA N NUMERI ….MCD FRA N NUMERI ….
ESEMPIESEMPI
OPERAZIONI OPERAZIONI BINARIE INTERNEBINARIE INTERNE
+ in N * in NP (naturali
pari) - in Z / in Q0 (Q-{0}) in C
OPERAZIONI OPERAZIONI BINARIE NON BINARIE NON INTERNEINTERNE
- in N + in ND (naturali
dispari) / in Z / in Q in R
PROPRIETA’ PROPRIETA’ ASSOCIATIVAASSOCIATIVA
Una struttura (A, ) è associativa (oppure l'operazione gode della proprietà associativa )
se vale :a,b,c A, (a b) c = a (b c) = a b c
(Z, *) è
una struttura associativa
(P(I), )Insieme delle parti e
operazione intersezione
è una struttura associativa
ESEMPIESEMPI VALE PROPRIETA’ ASSOCIATIVAVALE PROPRIETA’ ASSOCIATIVA (R, +) infatti (a+b)+c = a+(b+c) =
a+b+c
NON VALE PROPR. ASSOCIATIVANON VALE PROPR. ASSOCIATIVA (Z, -) infatti (a-b)-c a-(b-c) (Q0, :) infatti (a:b) : c a : (b:c) (R, ab) infatti
(Q, ) infatti 2
a b 2 22 2
a b b cc a
( )( )cb c ba a
PROPRIETA’ PROPRIETA’ COMMUTATIVA COMMUTATIVA
Una struttura (A, ) è commutativa (oppure l'operazione gode della proprietà commutativa)
se vale :a,b A, a b = b a
(N, *) è
una struttura commutati
va
(P(I), )Insieme delle parti e
operazione intersezione
è una struttura commutativa
ESEMPIESEMPI
VALE PROPRIETA’ VALE PROPRIETA’ COMMUTATIVACOMMUTATIVA
(N, +) infatti a+b = b+a
NON VALE PROPR. NON VALE PROPR. COMMUTATIVACOMMUTATIVA
(Z, -) infatti a – b b – a (Q,ab) infatti ab ba
(R, f ) infatti f°g g°f
ESISTENZA ESISTENZA ELEMENTO NEUTROELEMENTO NEUTRO
L'operazione ammette l’elemento neutrose vale :
a A, u A, a u = u a = a
In (C, *) esiste elemento
neutro 1
(P(I), )Insieme delle parti e
operazione intersezione
l’elemento neutro è I
ESEMPIESEMPI
ESISTE L’ELEMENTO NEUTROESISTE L’ELEMENTO NEUTRO (R, +) infatti a+0 =0 + a = a (P(I)),) infatti A = A=A
NON ESISTE L’ELEMENTO NON ESISTE L’ELEMENTO NEUTRONEUTRO
(Q0, /) infatti a:1 1: a (R, - ) infatti a – 0 0 – a
ESISTENZA ESISTENZA ELEMENTO SIMMETRICOELEMENTO SIMMETRICO
L'operazione ammette l’elemento simmetricose esiste l’elemento neutro u e vale :
a A, a’ A, a a’ = a’ a = u
In (R, *) esiste l’elemento
simmetrico
In (Q, +)esiste l’elemento
simmetrico
ESEMPIESEMPI
ESISTE L’ELEMENTO SIMMETRICOESISTE L’ELEMENTO SIMMETRICO (R, +) infatti a+(-a) = - a + a = 0
NON ESISTE L’ELEMENTO NON ESISTE L’ELEMENTO SIMMETRICOSIMMETRICO
(Z, *) infatti solo ±1 possiedono simmetrico
(P(I), ) infatti solo ha simmetrico
PROPRIETA’ PROPRIETA’ DISTRIBUTIVADISTRIBUTIVA
Una struttura (A, ,* ) è distributiva di * rispetto a (oppure l'operazione * è distributiva rispetto a )
se vale :a,b,c A, (a b) * c = (a*c) (b * c) a,b,c A, c*(a b) = (c*a) (c * b)
(Z, +,*) è
una struttura distributiva del prodotto rispetto
alla somma
(P(I), , )Insieme delle parti
l’unione è distributiva rispetto
all’intersezione
ESEMPIESEMPI
VALE PROPRIETA’ DISTRIBUTIVAVALE PROPRIETA’ DISTRIBUTIVA (R, +,*) infatti (a+b)*c = (a*c)+(b*c) c*(a+b)=(c*a)+(c*b)
NON VALE PROPR. DISTRIBUTIVANON VALE PROPR. DISTRIBUTIVA (Z, +,-) infatti (a+b)-c (a-c)+(b-c) (R,*,+) infatti a+(b*c) (a+b)*(a+c)
STRUTTURE STRUTTURE ALGEBRICHEALGEBRICHE
GRUPPIGRUPPI ANELLIANELLI CORPI CORPI CAMPICAMPI
DEFINIZIONE DI DEFINIZIONE DI GRUPPOGRUPPO
Un insieme Un insieme GG dotato di una operazione binaria dotato di una operazione binaria ,, che ad ogni coppia di elementi a, b di G associa un elemento, che indichiamo con a b, appartenente a G, è un gruppoè un gruppose vengono rispettate le seguenti condizioni:G1) – proprietà associativaG2) – esistenza dell'elemento neutro G3) – esistenza del simmetrico
SEMIGRUPPI E SEMIGRUPPI E MONOIDIMONOIDI
Se una struttura gode solo della Se una struttura gode solo della proprietà associativa, si chiama proprietà associativa, si chiama semigrupposemigruppo..
Se una struttura gode solo delle Se una struttura gode solo delle proprietà associativa ed esistenza proprietà associativa ed esistenza elemento neutro, si chiama elemento neutro, si chiama monoidemonoide..
Se un gruppo gode anche della Se un gruppo gode anche della proprietà commutativa, si chiama proprietà commutativa, si chiama gruppo commutativo o abeliano.gruppo commutativo o abeliano.
INSIEMI NUMERICI & INSIEMI NUMERICI & GRUPPIGRUPPI
GRUPPIGRUPPI (Z, +) (Q, +) (Q0, *) (R, +) (R, *) (C, +) (C, *)
NON GRUPPINON GRUPPI (N, +) (N, *) (Z, *)
SOTTOINSIEMI & SOTTOINSIEMI & GRUPPIGRUPPI
Se un insieme in cui agisce un’operazione Se un insieme in cui agisce un’operazione costituisce una struttura algebrica, si può costituisce una struttura algebrica, si può pensare che cosa succede ai suoi sottoinsiemi.pensare che cosa succede ai suoi sottoinsiemi.
Se (Se (G , ) è un gruppo F G e ((F , ) è un gruppo Allora F è sottogruppo di G relativamente a
ESEMPIESEMPI NP=NP={{xxN, x=2kN, x=2k}} NP NPN (NP, +) è un monoideN (NP, +) è un monoide A=A={{xxZ, x=5kZ, x=5k} A} AZ (A,+) è un gruppo Z (A,+) è un gruppo
B= B= {{+1, -1 +1, -1 }} B B Z + non op. interna Z + non op. interna B= B= {{+1, -1 +1, -1 }} B Z (B,*) è un gruppo B Z (B,*) è un gruppo
C=C={{x,kx,kZ, x=kZ, x=k22 }} + non op. interna + non op. interna C=C={{x,kx,kZ, x=kZ, x=k22 }} (C,*) è un gruppo (C,*) è un gruppo (N, mcm) è un monoide(N, mcm) è un monoide (N, MCD) è un semigruppo(N, MCD) è un semigruppo D= D= {1,2,3,4,6,12}{1,2,3,4,6,12} (D,MCD) è un monoide (D,MCD) è un monoide
DEFINIZIONE DI DEFINIZIONE DI ANELLOANELLO
Un insieme Un insieme AA dotato di due operazioni binarie dotato di due operazioni binarie , *, * è un anelloè un anellose vengono rispettate le seguenti condizioni:A1) – la struttura (A, ) ) è un gruppo abelianoA2) – la struttura (A, *) *) è un semigruppo A3) – l’operazione * è distributiva rispetto a
DEFINIZIONE DI DEFINIZIONE DI CORPO E CAMPOCORPO E CAMPO
Un insieme Un insieme CC dotato di due operazioni binarie dotato di due operazioni binarie , *, * è un corpoè un corpose vengono rispettate le seguenti condizioni:C1) – la struttura (C, ) ) è un gruppo abelianoC2) – la struttura (C0, *) *) è un gruppo C3) – l’operazione * è distributiva rispetto a
Un insieme Un insieme CC dotato di due operazioni binarie dotato di due operazioni binarie , * , * è unè un campocampose (C, ,*) e l’operazione * è commutativa
INSIEMI NUMERICI & INSIEMI NUMERICI & ANELLIANELLI
E’ UN ANELLOE’ UN ANELLO (Z, +,*) infatti (Z,+) è un gruppo
mentre (Z,*) no
NON E’ UN ANELLONON E’ UN ANELLO (N, +,*) infatti (N,+) è (N,*) non
sono gruppi
INSIEMI NUMERICI & INSIEMI NUMERICI & CAMPICAMPI
SONO UN CAMPOSONO UN CAMPO (Q, +,*), (R, +,*), (C, +,*),
Un sottoinsieme di un campo K, chiuso rispetto alle operazioni di somma e prodotto e che è un campo con queste operazioni è chiamato sottocampo.
Quindi, Q è un sottocampo di R, che è Q è un sottocampo di R, che è a sua volta sottocampo di Ca sua volta sottocampo di C.
L’UNICITA’ DELLE L’UNICITA’ DELLE SOLUZIONI DELLE SOLUZIONI DELLE
EQUAZIONIEQUAZIONIOgni equazione di 1° grado a x = b oppure y a
= b ammette una unica soluzione x = a’ b e y = b a’ con x = y se a e b appartengono ad un gruppo abeliano.
a’ (a x) = a’ b (y a) a’ = b a’ (a’ a) x = a’ b y (a a’) = b a’ u x = a’ b y u = b a’ x = a’ b y = b a’
x = y
DISPENSA & ALTRODISPENSA & ALTRO
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