IL PROBLEMAIL PROBLEMA

Somma fra frazioni algebriche

by Dipartimento di MatematicaITAer “De Pinedo” Roma Esci

Come facevi finora?Come facevi finora?Fra frazioni Fra frazioni numeriche:numeriche:

Fra espressioni letterali semplici:Fra espressioni letterali semplici:

Es:

1 5 ── − ── = 6 9

──── = …..

Es:

1 5 ── − ── = ab b2

────b − 5a

ab2

Cosa fai?Cosa fai?

Scomponi in fattori primi i denominatori:

6 = 2·3

9 = 32

Poi calcoliil mcm: 2·32 = 18

Quindi procedicome di consuetocon i numeratori

────3 − 10

18

Cosa fai?Cosa fai?

Scomponi in fattori primi i denominatori:

ab = a·b

b2 = b2

Poi calcoliil mcm: a·b2 = ab2

Quindi procedicome di consuetocon i numeratori

──── = …..

Esci

Procediamo in modo analogoProcediamo in modo analogoanche per le frazioni anche per le frazioni

algebrichealgebricheFra frazioni algebriche:Fra frazioni algebriche:Fra frazioni Fra frazioni

numeriche:numeriche:Es:

1 5 ── − ── = 6 9

──── =…..

Cosa hai fatto ?Cosa hai fatto ?

Hai scomposto in fattoriprimi i denominatori:

6 = 2·3

9 = 32

Poi hai calcolatoil mcm: 2·32 = 18

Quindi hai proceduto come diconsueto con i numeratori

────3 − 10

18

Es:

1 5 ──── − ──── = (2x+2) (x2+x)

───?

??

Cosa faresti?Cosa faresti?

Devi scomporre in fattori primi i denominatori !!!

Potresti poi calcolare il mcm

Quindi procederesti come di consueto con i numeratori

Ma i denominatorisono polinomi!!!

Ma allora….Ma allora….Esci

MA ALLORA…

IL PROBLEMA E’ IL PROBLEMA E’ CAMBIATO:CAMBIATO:

MA COME SI FA??

SI DEVONO SCOMPORRE I POLINOMI!!

Esci

Cosa significa quindi …Cosa significa quindi …scomporre un polinomio scomporre un polinomio

in fattori?in fattori?Significa scrivere il polinomio

x2 + x

Polinomio di 2° grado

Tramite il metodo di scomposizione in fattori

Forma additivaForma additiva Forma moltiplicativaForma moltiplicativa

come prodotto di polinomi di grado minore o uguale a quello del polinomio

dato ossia:In altri terminiIn altri termini::

Addendo Addendo

x (x+1)

2 Polinomi di 1° grado

FattoreFattore

sommamoltiplicazione

Esci

Formula additiva Formula additiva Formula Formula moltiplicativa Alcuni esempimoltiplicativa Alcuni esempi

Forma additivaForma additiva Forma moltiplicativaForma moltiplicativa

2 Polinomi di 1° grado

3a (1+2b)

Addendo Addendo

somma

FattoreFattore

moltiplicazione

(a+1) (a+2)

2 Polinomi di 1° grado

Fattore Fattore

moltiplicazione

3a 6ab

Polinomio di 1° grado

+

a2 3a 2

Polinomio di 2° grado

++

AddendoAddendo Addendo

sommasomma

Esci

Polinomi Riducibili o Polinomi Riducibili o Irriducibili ?Irriducibili ?

3a + 6ab = 3a (1+2b) (verifica:3a·1+3a·2b=3a + 6ab)

• 3a (1+2b) sono due fattori irriducibili

a2 + 3a + 2 = (a+1) (a+2) (verifica: a2+2a+a+4= a2+3a+2)

• (a+1) e (a+2) sono due fattori irriducibili

Un polinomio che si può scrivere come prodotto di polinomi ciascuno

dei quali di grado minore o al più uguale al polinomio dato

Riducibile

Un polinomio che non può essere scritto come prodotto di polinomi

Irriducibile

Esci

Ma come si fa a Ma come si fa a scomporre un polinomio scomporre un polinomio

in fattori?in fattori?Come ti sarai reso contoil problema della fattorizzazione è diventato molto più

complesso.Lavorando con i numeri le difficoltà insorgono quando

si trattano numeri “abbastanza grandi”,invece quando si lavora con i polinomisi possono incontrare notevoli difficoltà

anche quando consideriamo polinomi di grado “piccolo” Perché accade questo ?Perché non esistono delle regole che consentono, in

generale, di trovare la scomposizione di un polinomio

E allora come facciamo ?

Prima di tutto: NON TI SCORAGGIARE

Vai avanti e lo scoprirai !!!!Esci

Linee guida per la Linee guida per la scomposizione (1)scomposizione (1)

Non esistono delle regole ben precise per la scomposizione dei polinomi

MA

Esistono, in ogni caso, dei metodi da scegliere in

modo opportuno, in funzione del polinomio

Come si fa a scegliere il metodo più opportuno ?

Ci si basa principalmente su due criteri guida

Raccogliere a fattor comune il M.C.D., se esiste e se è diverso

da 1, tra tutti termini del polinomio Contare i termini che

compongono il polinomio

Nota Bene:L’abilità nella scelta del metodo più opportuno e nella combinazione dei vari metodi possono

essere acquisite solo con l’esperienza e

l’esercizio

Esci

Linee guida per la Linee guida per la scomposizione (2)scomposizione (2)

Contare i termini

del polinomio

2° Passo

Sono Due ?

Applica la tecnica

•Differenza di due quadrati•Somma o differenza di due cubi

Sono Tre ?

Applica la tecnica

•Sviluppo del quadrato di un binomio•Un trinomio di secondo grado

SI POI

NONO COME ?

3° Passo

Esci

Tentare con la tecnica di

Scomposizione Parziale

Tentare con il Teorema e la

Regola di Ruffini

Non sono due, né tre, né quattro o sei

oppure

Non è possibile applicare

nessuna delle tecniche

suggerite

Applica la tecnica

•Cubo di un binomio•Differenza di due quadratidi cui uno è il quadrato di un binomio

Sono Quattro?

Applica la tecnica

•Cubo di un binomio•Differenza di due quadratidi cui uno è il quadrato di un binomio

•Quadrato di un trinomio•Differenza dei quadratidi due binomi

Applica la tecnica

•Quadrato di un trinomio•Differenza dei quadratidi due binomi

Sono Sei ?

Applica la tecnica

1° PassoVerificare se è possibile applicare il Metodo di

Raccoglimento a Fattor Comune (o

Totale)

Applicare la tecnica di Raccoglimento

Totale

Verificare se il polinomio è

ulteriormente scomponibile

Per continuare, seleziona una tecnica