PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE Numeri Complessi Bruna Consolini Liceo Norberto Rosa - Indirizzo...
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PROGETTOPROGETTOLAUREE LAUREE
SCIENTIFICHESCIENTIFICHE
Numeri ComplessiNumeri ComplessiBruna ConsoliniBruna Consolini
Liceo “Norberto Rosa” - Indirizzo Scientifico e Scientifico TecnologicoAnno Scolastico 2006-07
EQUAZIONI E EQUAZIONI E SOLUZIONISOLUZIONI
2
1 2
2
1 0
1 1
1 0
x
x x
x
nessuna soluzione in
ESTENDERE …ESTENDERE …L’AMBITO DELLE L’AMBITO DELLE
SOLUZIONISOLUZIONI Occorre poter risolvere l’equazioneOccorre poter risolvere l’equazione Per calcolare Per calcolare Si definisce un nuovo numeroSi definisce un nuovo numero
In questo modo diventa In questo modo diventa
Quindi, l’equazione ha soluzione Quindi, l’equazione ha soluzione
2 1 0x
1x 2 1i
1x 2x i
1 2x i x i
ALTRE EQUAZIONIALTRE EQUAZIONI
Dall’equazione il discorso si estende Dall’equazione il discorso si estende a tutte le equazioni che sono decomponibili in a tutte le equazioni che sono decomponibili in fattori di secondo grado con fattori di secondo grado con <0<0
2 1 0x
INFATTI,UNA QUALUNQUE RADICE DEL TIPO
PUO’ ESSERE TRASFORMATA INa
2 2( 1)a a i a i a i a
ESEMPIOESEMPIO
EQUAZIONE 5° GRADO
SOLUZIONI REALI:x = -4 molteplicità 1x = -2 molteplicità 2
SOLUZIONI COMPLESSE:x = 2i molteplicità 1x = -2i molteplicità 1
ESEMPIO ESEMPIO
EQUAZIONE 4° GRADO
SOLUZIONI REALI:x = -4 molteplicità 1x = 2 molteplicità 1
SOLUZIONI COMPLESSE:x = 1+3i molteplicità 1x = 1-3i molteplicità 1
Le soluzioni complesse sono sempre presenti in coppia
VERSO …VERSO …UN NUOVO INSIEME DI UN NUOVO INSIEME DI
NUMERINUMERI Dall’insieme Dall’insieme NN si passa a si passa a ZZ, insieme degli interi , insieme degli interi
relativirelativi Dall’insieme Dall’insieme ZZ si passa a si passa a QQ, insieme di tutti i , insieme di tutti i
numeri esprimibili come rapporto di numeri interi numeri esprimibili come rapporto di numeri interi relativirelativi
Dall’insieme Dall’insieme QQ si passa a si passa a RR, insieme di tutti i , insieme di tutti i numeri decimali (anche illimitati non periodici)numeri decimali (anche illimitati non periodici)
Dall’insieme Dall’insieme RR si passa a si passa a CC, insieme di tutti i , insieme di tutti i numeri esprimibili come coppie di numeri reali numeri esprimibili come coppie di numeri reali che identificano una parte reale e una parte che identificano una parte reale e una parte immaginariaimmaginaria
UN NUOVO INSIEME DI UN NUOVO INSIEME DI NUMERINUMERI
C
R
Q Z
N
I NUMERI COMPLESSII NUMERI COMPLESSII numeri complessi sono espressioni del tipo z = a + ib dove- a e b sono numeri reali- i è l’unità immaginaria
Il numero a denota la parte reale e viene indicato con Re(z)Il numero b denota la parte immaginaria e viene indicato con Im(z)
I numeri complessi z = a + ib individuano le coppie (a,b)che rappresentano le coordinate di punti nel piano R2
chiamato piano di Gauss
PIANO DI GAUSSPIANO DI GAUSS
asse reale
ass
e i
mm
ag
inari
o
a
bP(a,b)
z = a + i b z = a + i b CC
LE OPERAZIONI:LE OPERAZIONI: ADDIZIONE
SOTTRAZIONE
MOLTIPLICAZIONE
DIVISIONE2
2 2 2 2 2 2 2
a ib a ib c id ac adi bci bdi ac bd bc adi
c id c id c id c d i c d c d
( ) ( ) ( ) ( )a ib c id a c b d i
( ) ( ) ( ) ( )a ib c id a c b d i
2( )( ) ( ) ( )a ib c id ac adi bci bdi ac bd ad bc i
ESERCIZIESERCIZI
R SOTTOINSIEME DI CR SOTTOINSIEME DI C
Ogni numero complesso z ha il suo coniugato Ogni numero complesso z ha il suo coniugato
Ogni numero ha il modulo Ogni numero ha il modulo
I numeri reali sono numeri complessi in cui b I numeri reali sono numeri complessi in cui b = 0= 0
I numeri immaginari sono numeri complessi I numeri immaginari sono numeri complessi in cui a = 0in cui a = 0
Il numero reale 0 corrisponde a 0 + 0iIl numero reale 0 corrisponde a 0 + 0i Il numero reale 1 corrisponde a 1 + 0iIl numero reale 1 corrisponde a 1 + 0i
z a ib z a ib
2 2| |a ib a b
ESERCIZIESERCIZI
PROPRIETA’ DELLA PROPRIETA’ DELLA SOMMASOMMA
La regola La regola dell’addizione dell’addizione corrisponde alla corrisponde alla regola del regola del parallelogrammparallelogramma relativa alla a relativa alla risultante dei risultante dei vettorivettori
(4, 2)
(5, 5)
(1, 3)
(4+2i) + (1+3i)=5+5i
RELAZIONE D’ORDINERELAZIONE D’ORDINE
Non si può parlare di numeri positivi e Non si può parlare di numeri positivi e negativinegativi
Se si cerca di introdurre qualche forma di Se si cerca di introdurre qualche forma di ordinamento (ad esempio: un numero è ordinamento (ad esempio: un numero è minore in base alla parte reale e a parità di minore in base alla parte reale e a parità di parte reale in base alla parte immaginaria) parte reale in base alla parte immaginaria) tale ordinamento non permane con le tale ordinamento non permane con le operazioni.operazioni.
NON HA SENSO L’ORDINAMENTO IN C. NON HA SENSO L’ORDINAMENTO IN C.
DEFINIZIONE DEFINIZIONE ASSIOMATICA DEI ASSIOMATICA DEI
NUMERI COMPLESSI (1)NUMERI COMPLESSI (1) Il numero complesso z è una coppia Il numero complesso z è una coppia
ordinata (a,b) con aordinata (a,b) con aR e b R e b R R Vale la relazione di uguaglianzaVale la relazione di uguaglianza
(a,b) = (c,d) (a,b) = (c,d) a=c a=c b=d b=d Risultano chiuse le seguenti operazioniRisultano chiuse le seguenti operazioni
Addizione: (a,b)+ (c,d)= (a+c, b+d)Addizione: (a,b)+ (c,d)= (a+c, b+d) Moltiplicazione m(a,b) = (ma, mb)Moltiplicazione m(a,b) = (ma, mb)
(a,b)(c,d)= (ac-bd, ad+bc)(a,b)(c,d)= (ac-bd, ad+bc)
DEFINIZIONE DEFINIZIONE ASSIOMATICA DEI ASSIOMATICA DEI
NUMERI COMPLESSI (2)NUMERI COMPLESSI (2) Valgono le seguenti proprietà:Valgono le seguenti proprietà:
Commutativa dell’addizioneCommutativa dell’addizione Associativa dell’addizioneAssociativa dell’addizione Commutativa della moltiplicazioneCommutativa della moltiplicazione Associativa della moltiplicazioneAssociativa della moltiplicazione Distributiva della moltiplicazione rispetto Distributiva della moltiplicazione rispetto
all’addizioneall’addizione Esistenza dell’elemento neutro dell’addizioneEsistenza dell’elemento neutro dell’addizione Esistenza dell’elemento neutro della moltiplicazioneEsistenza dell’elemento neutro della moltiplicazione Esistenza dell’inverso rispetto all’addizioneEsistenza dell’inverso rispetto all’addizione Esistenza dell’inverso rispetto alla moltiplicazioneEsistenza dell’inverso rispetto alla moltiplicazione
ESERCIZIESERCIZI
Dimostrare le seguenti proprietà:Dimostrare le seguenti proprietà: 1/z = z / |z|1/z = z / |z|
zz1 1 (z(z22 + z + z33) = z) = z11zz22 + z + z11zz33
| z| z1 1 zz22 | = | z | = | z11| || | zz22 | |
zz1 + 1 + zz22 = z = z11 + + zz22
LE EQUAZIONI IN CLE EQUAZIONI IN CTEOREMA FONDAMENTALE TEOREMA FONDAMENTALE
DELL’ALGEBRADELL’ALGEBRAOgni equazione polinomiale di grado Ogni equazione polinomiale di grado nn a coefficienti a coefficienti
reali xreali xnn + a + a11xxn-1n-1 + a + a22xxn-2n-2+…a+…an-1n-1x + ax + an n = 0= 0
ha n soluzioni complesse eventualmente coincidenti ha n soluzioni complesse eventualmente coincidenti 11 22 33 ………… …………nn
Il polinomio P(x)=xIl polinomio P(x)=xnn + a + a11xxn-1n-1 + a + a22xxn-2n-2+…a+…an-1n-1x + ax + an n
è decomponibile in P(x)=(x-è decomponibile in P(x)=(x-11)(x-)(x-22)…………(x-)…………(x-nn))
QUINDI
ESERCIZIESERCIZI