Lezione 5-Strutture Algebriche

8/20/2019 Lezione 5-Strutture Algebriche

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STRUTTURE ALGEBRICHE

Paolo DulioPolitecnico di Milano


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Definizione

A = insieme

∗ : A × A −→ A operazione binaria interna

a 1 ∗ a 2 ∈ A ∀a 1, a 2 ∈ A

↓(A, ∗) = struttura algebrica

Più in generale, possiamo dotare A di tante operazioni interne

∗1, . . . , ∗m , ottenendo strutture algebriche più complesse.

Paolo Dulio, Dip. Matematica, Politecnico di Milano STRUTTURE ALGEBRICHE


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Strutture Algebriche

Esempio.

A = Insieme dei colori

∗ = miscelamento

* =



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Strutture Algebriche

Esempio. Lavoriamo ora con un insieme infinito.

Per esempio, immaginiamo che esista una scatola di costruzioni

dotata di infiniti pezzi.

A = Insieme di tutte le costruzioni possibili a partire dalla dotazione.∗1, . . . , ∗m = regole di incastro.



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Principali Strutture Algebriche



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Gruppi

• Se per ogni a , b , c ∈ A : a ∗ (b ∗ c ) = (a ∗ b ) ∗ c ,

allora si dice che l’operazione interna è associativa

• Se esiste u ∈ A tale che u ∗ a = a ∗ u = a per ogni a ∈ A⇒ u = elemento neutro per l’operazione ∗

• Se u = elemento neutro, a ∈ A, ed esiste a ∈ A tale chea ∗ a = a ∗ a = u , allora a = elemento inverso di a

•(A, ∗) con ∗ associativa = semigruppo•(A, ∗) semigruppo con elemento neutro ⇒ (A, ∗) = monoide• (A, ∗) monoide, con inverso per ogni elemento = gruppo• Se (A, ∗) = gruppo, ed a ∗ b = b ∗ a ∀a , b ∈ A

⇒ (A, ∗) = gruppo abeliano


S


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GRUPPO

MONOIDE

SEMIGRUPPO


P i i li S Al b i h


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•••• GRUPPO

ABELIANO

GRUPPO

MONOIDE

SEMIGRUPPO


G i


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Gruppi

Esempi

• A = Insieme delle funzioni non identiche f : R → R∗ = composizione di funzioni.

Si ha in tale caso un semigruppo.

Osservazione. Ogni semigruppo S può essere fatto diventareun monoide aggiungendo un elemento u non appartenente ad

S , e definendo u ∗ u := u ed u ∗ s := s =: s ∗ u per ogni s ∈ S .

• L’insieme P (X) delle parti di X è un monoide (∗ = )• (N, +) è un monoide• (R, ·) è un monoide

• (Z, +), (R, +) sono gruppi abeliani


G i


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Gruppi

• A = Rototraslazioni nel piano.∗ = composizione di rototraslazioni.

Si ha in tale caso un gruppo non commutativo.

T

R

R*T ≠≠≠≠ T*R

R*T

T*R


G i


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Gruppi

L’insieme di tutte le permutazioni (funzioni biunivoche) su n

oggetti, munito dell’operazione binaria di composizione di

funzioni, è un gruppo, dotato di n ! elementi.

Questo gruppo prende il nome di gruppo simmetrico su n

elementi e si indica con S n .

Il nome deriva dal fatto che gioca un ruolo fondamentale per lo

studio delle simmetrie.

Se n > 2 il gruppo simmetrico non è abeliano.


Gruppi


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Gruppi

Due qualsiasi configurazioni sono ottenibili una dall’altra tramite

una sola delle permutazioni delle 6 × 9 = 54 caselle colorate.

Il gruppo S 54 possiede 54! elementi (circa 2, 3 × 1071).Ovviamente molte delle permutazioni generiche non sono

possibili in un cubo di Rubik.

Il gruppo del cubo di Rubik, generato da 6 rotazioni di base,

possiede circa 4,

3 × 10

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elementi.Paolo Dulio, Dip. Matematica, Politecnico di Milano STRUTTURE ALGEBRICHE

Anelli e Campi


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Anelli e Campi

•

(A, +) = gruppo abeliano

(A, ·) = semigruppo

a · (b + c ) = a · b + a · c ∀a , b , c ∈ A

(b + c ) · a = b · a + c · a ∀a , b , c ∈ A

⇒ (A, +, ·) = anello




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•••• GRUPPO

ABELIANO

GRUPPO

MONOIDE

SEMIGRUPPO

••••ANELLO


Anelli e Campi


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Anelli e Campi

• Anello unitario se esiste elemento neutro rispetto a ·• Anello commutativo se · è commutativa.•

(A, +) = gruppo abeliano

(A \ {0}, ·) = gruppo abeliano

a · (b + c ) = a · b + a · c ∀a , b , c ∈ A

(b + c ) · a = b · a + c · a ∀a , b , c ∈ A

⇒ (A, +, ·) = campo




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•••• GRUPPO

ABELIANO

GRUPPO

MONOIDE

SEMIGRUPPO

••••ANELLO

COMMUTATIVO

UNITARIO




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•••• GRUPPO

ABELIANO

GRUPPO

MONOIDE

SEMIGRUPPO

••••ANELLO

••••CAMPO

COMMUTATIVO

UNITARIO


Salita agli Spazi Vettoriali


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•••• GRUPPO

ABELIANO

GRUPPO

MONOIDE

SEMIGRUPPO

••••ANELLO

••••CAMPO

COMMUTATIVO

UNITARIO




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Siano Rn = R × ... × R (n volte) l’insieme delle n -ple di numerireali, ed (R, +, ·) il campo dei numeri reali.È possibile sommare due n -ple tra loro

[x 1, ..., x n ]t ⊕ [y 1, ..., y n ]

t = [x 1 + y 1, ..., x n + y n ]t

È facile vedere che la coppia (Rn , ⊕) è un gruppo abeliano.

La somma di n -ple di numeri reali è ancora una n -pla di

numeri reali (operazione interna).

L’operazione è associativa (deriva dall’associatività della

somma in R).Esiste l’elemento neutro ([0, ..., 0]t ).

Ogni n -pla ha inverso ([x 1, ..., x n ]−1 = [−x 1, ..., −x n ]).




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•••• GRUPPO

ABELIANO

GRUPPO

MONOIDE

SEMIGRUPPO

••••ANELLO

••••CAMPO

COMMUTATIVO

UNITARIO




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•••• GRUPPO

ABELIANO

GRUPPO

MONOIDE

SEMIGRUPPO

••••ANELLO

••••CAMPO

COMMUTATIVO

UNITARIO

X




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Dato un qualsiasi numero reale a , è anche possibile definire il

prodotto tra a ed una qualsiasi n -pla

a ×

x 1x 2...

x n

=

a · x 1a · x 2...

a · x n

Questa operazione × è esterna alla struttura (Rn , ⊕), ma ècompatibile con le operazioni di campo in (R, +, ·) e di gruppo

abeliano in (Rn

, ⊕), nel senso che consente di lavorarecontemporaneamente con tutte le operazioni presenti nelle due

strutture su cui agisce.


Definizione di spazio vettoriale


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p

Infatti, considerato il campo (R, +, ·), il gruppo abeliano (Rn , ⊕),e l’operazione esterna ×, abbiamo

• ∀a ∈ R, ∀v, w ∈ Rn : a × (v ⊕ w) = a × v ⊕ a × w;

• ∀a , b ∈ R, ∀v ∈ Rn : (a + b ) × v = a × v ⊕ b × v;

• ∀a , b ∈ R, ∀v ∈ Rn : (a · b ) × v = a × (b × v);

• ∀v ∈ Rn : 1 × v = v.

Definizione. Il gruppo abeliano (Rn , ⊕), corredatodell’operazione esterna ×, viene detto spazio vettorialecanonico di dimensione n sul campo R.




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g p

•••• GRUPPO

ABELIANO

GRUPPO

MONOIDE

SEMIGRUPPO

••••ANELLO

••••CAMPO

COMMUTATIVO

UNITARIO

X

•••• SPAZIO VETTORIALE




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p

Osservazione. In maniera analoga possiamo considerare lo

spazio vettoriale canonico di dimensione n su un campo K

qualsiasi.Esso è l’insieme Kn delle n -ple di elementi di K, con

l’operazione interna di somma (rispetto alla quale è un gruppo

abeliano), e corredato dell’operazione esterna × compatibilecon le operazioni di campo presenti in K.

Osservazione. La nozione di spazio vettoriale si puòulteriormente generalizzare. Si ha uno spazio vettoriale (non

più canonico) tutte le volte che, a partire da un gruppo abeliano

(V , ⊕) e da un campo K, si riesce a trovare una operazioneesterna a (V , ⊕) che sia compatibile (nel sensoprecedentemente chiarito) con le due operazioni che rendono

K un campo.

In questo caso gli elementi di (V , ⊕) si dicono vettori, e lastruttura di spazio vettoriale si indica semplicemente con V.




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p

La quaterna (V,K, ⊕, ×) è quindi uno spazio vettoriale se

(SV1) (V, ⊕) è un gruppo abeliano;

(SV2) ∀a ∈ K, ∀v, w ∈ V: a × (v ⊕ w) = a × v ⊕ a × w;

(SV3) ∀a , b ∈ K, ∀v ∈ V: (a + b ) × v = a × v ⊕ b × v;

(SV4) ∀a , b ∈ K, ∀v ∈ V: (a × b ) × v = a × (b × v);

(SV5) ∀v ∈ V: 1 × v = v,essendo 1 l’elemento neutro di K rispetto al prodotto.




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p

Nota. Per limitare il numero dei simboli, poniamo

• × → ·• a · b → ab• + per rappresentare sia l’operazione di somma in K, sia lasomma di vettori in V, essendo comunque chiaro dal contesto il

loro significato.

(SV1) (V, +) è un gruppo abeliano;(SV2) ∀a ∈ K, ∀v, w ∈ V: a (v + w) = a v + a w;(SV3) ∀a , b ∈ K, ∀v ∈ V: (a + b )v = a v + b v;

(SV4) ∀a , b ∈ K, ∀v ∈ V: (ab )v = a (b v);(SV5) ∀v ∈ V: 1v = v.


Esempi di spazi vettoriali


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p p

• Lo spazio canonico Kn costruito su un campo K.

Come abbiamo visto questo è il più importante esempio di

spazio vettoriale, sia per la semplicità della costruzione, sia

perchè molte proprietà degli spazi vettoriali possono essere

studiate riconducendo la trattazione in uno spazio canonico.

Esistono tuttavia molti altri importanti esempi di spazi vettoriali.




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• L’insieme R sul campo Q.

Consideriamo (R, ⊕), essendo ⊕ = +.Ovviamente abbiamo ungruppo abeliano, quindi l’assioma (SV1) è verificato.Prendiamo poi come campo K = Q. Consideriamo comeoperazione esterna × il prodotto di numeri reali, restringendolo,per quanto riguarda la prima componente, ai soli elementi di Q.

È quindi una funzione del tipo:

· : Q × R −→ R(q , x ) −→ q · x .

Gli assiomi (SV2), . . . , (SV5) discendono direttamente dalleproprietà associative del prodotto in R e dell’elemento neutro

rispetto al prodotto, dato dal numero 1.




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• Lo spazio dei polinomi.

Sia K[t ] l’insieme dei polinomi in t a coefficienti nel campo K, eponiamo

•Somma = somma di polinomi.

• Elemento neutro = polinomio nullo.

• p (t ) =n

i =0

a i t n −i

⇒ −p (t ) =n

i =0

(−a i )t n −i inverso.

⇒ K[t ] è un gruppo

• K[t ] è abeliano, poiché p (t ) + q (t ) = q (t ) + p (t ) per ognicoppia di polinomi p (t ), q (t ) ∈ K[t ].




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Operazione esterna Se x ∈ K, e p (t ) =n

i =0

a i t n −i è un

generico polinomio di K[t ]

xp (t ) = x n

i =0

a i t n −i

=n

i =0

(xa i )t n −i .

Si verifica la validità dei quattro assiomi (SV2), . . . , (SV5)

(vedere i dettagli sul libro).




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Lo spazio delle funzioni.

L’insieme RX di tutte le funzioni f : X ⊂ R → R è uno spaziovettoriale

• Operazione interna ⊕=somma di funzioni.• Operazione esterna ×=prodotto tra un numero reale ed una

funzione.

Lo spazio delle matrici.

L’insieme delle matrici Mm ,n (R) sul campo R verifica gliassiomi di spazio vettoriale.

• Operazione interna ⊕ =somma di matrici.• Operazione esterna × =prodotto tra una matrice ed unoscalare.


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