PROGETTOPROGETTOLAUREE LAUREE

SCIENTIFICHESCIENTIFICHE

Funzioni, Polinomi, EquazioniFunzioni, Polinomi, EquazioniBruna ConsoliniBruna Consolini

Liceo “Norberto Rosa” - Indirizzo Scientifico e Scientifico TecnologicoAnno Scolastico 2006-07

FUNZIONI E POLINOMIFUNZIONI E POLINOMI

)x(Py

)x(fy

x = variabile indipendentey = variabile dipendente

P =funzione polinomiale

POLINOMI ED POLINOMI ED EQUAZIONIEQUAZIONI

0y

zvx...cxbxaxy

0y

)x(Py 2n1nn

Nel piano cartesiano

SOLUZIONI DELL’EQUAZIONE RAPPRESENTANO LE ASCISSE DEI PUNTI DI INTERSEZIONE

DELLA FUNZIONE POLINOMIALE CON L’ASSE X

ESEMPIO …prima parteESEMPIO …prima parte

IL POLINOMIO DI SECONDO GRADO

CORRISPONDE AL GRAFICO DI UNA PARABOLA

LE SOLUZIONISI INDIVIDUANO COME LE ASCISSE DEI PUNTI

ESEMPIO … seconda ESEMPIO … seconda parteparte

IL POLINOMIO PUO’ ESSERE ESPRESSO

COME UGUAGLIANZA DI DUE POLINOMI

LE SOLUZIONISI INDIVIDUANO COME

LE ASCISSE DEI PUNTI DI INTERSEZIONE

TRA LE DUE CURVE

POLINOMIO DI TERZO POLINOMIO DI TERZO GRADOGRADO

3° GRADO?3 SOLUZIONI?

FUNZIONE MONOTONA?

PER X CRESCE?PER X- CRESCE?

POLINOMIO DI QUARTO POLINOMIO DI QUARTO GRADOGRADO

4° GRADO?4 SOLUZIONI?

FUNZIONE MONOTONA?

PER X CRESCE?PER X- CRESCE?

POLINOMIO DI QUINTO POLINOMIO DI QUINTO GRADOGRADO

5° GRADO?5 SOLUZIONI?

FUNZIONE MONOTONA?

PER X CRESCE?PER X- CRESCE?

IN GENERALE:IN GENERALE:

UN POLINOMIO DI GRADO n HA n UN POLINOMIO DI GRADO n HA n SOLUZIONISOLUZIONI

LE SOLUZIONI NON SONO TUTTE LE SOLUZIONI NON SONO TUTTE NECESSARIAMENTE NUMERI REALINECESSARIAMENTE NUMERI REALI

SE ESISTONO SOLUZIONI NON SE ESISTONO SOLUZIONI NON REALI, SONO SEMPRE IN NUMERO REALI, SONO SEMPRE IN NUMERO PARIPARI

LE SOLUZIONI POSSONO AVERE LE SOLUZIONI POSSONO AVERE MOLTEPLICITA’ 1 OPPURE k>1MOLTEPLICITA’ 1 OPPURE k>1

POLINOMI DI GRADO POLINOMI DI GRADO PARIPARI

POLINOMI DI GRADO POLINOMI DI GRADO DISPARIDISPARI

MOLTEPLICITA’ MOLTEPLICITA’ DELLE DELLE

SOLUZIONISOLUZIONI

1

23

SI OSSERVASI OSSERVA

LE FUNZIONI POLINOMIALI DI GRADO LE FUNZIONI POLINOMIALI DI GRADO PARI TENDONO A +INFINITO PER PARI TENDONO A +INFINITO PER VALORI DI X CRESCENTI E VALORI DI X CRESCENTI E DECRESCENTI (OPPURE TENDONO A –DECRESCENTI (OPPURE TENDONO A –INFINITO)INFINITO)

LE FUNZIONI POLINOMIALI DI GRADO LE FUNZIONI POLINOMIALI DI GRADO DISPARI TENDONO A +INFINITO PER DISPARI TENDONO A +INFINITO PER VALORI DI X CRESCENTI E A –INFINITO VALORI DI X CRESCENTI E A –INFINITO PER VALORI DECRESCENTI (OPPURE PER VALORI DECRESCENTI (OPPURE VICEVERSA)VICEVERSA)

… … INOLTREINOLTRE SE LA SOLUZIONE HA MOLTEPLICITA’ 1 SE LA SOLUZIONE HA MOLTEPLICITA’ 1

LA FUNZIONE POLINOMIALE INTERSECA LA FUNZIONE POLINOMIALE INTERSECA L’ASSE X (SENZA VARIARE CONCAVITA’)L’ASSE X (SENZA VARIARE CONCAVITA’)

SE LA SOLUZIONE HA MOLTEPLICITA’ 2 SE LA SOLUZIONE HA MOLTEPLICITA’ 2 LA FUNZIONE POLINOMIALE E’ LA FUNZIONE POLINOMIALE E’ TANGENTE ALL’ASSE X (SENZA VARIARE TANGENTE ALL’ASSE X (SENZA VARIARE CONCAVITA’)CONCAVITA’)

SE LA SOLUZIONE HA MOLTEPLICITA’ 3 SE LA SOLUZIONE HA MOLTEPLICITA’ 3 LA FUNZIONE POLINOMIALE GENERA LA FUNZIONE POLINOMIALE GENERA UN PUNTO DI FLESSO CON L’ASSE X UN PUNTO DI FLESSO CON L’ASSE X (CON VARIAZIONE DELLA CONCAVITA’)(CON VARIAZIONE DELLA CONCAVITA’)

POLINOMI POLINOMI NON SCOMPONIBILINON SCOMPONIBILI

X P(X)

-5 -63

-4 -14

-3 11

-2 18

-1 13

0 2

1 -9

2 -14

3 -7

4 18

5 67

6 146

… … SOLUZIONE NON SOLUZIONE NON ESPRESSA MEDIANTE ESPRESSA MEDIANTE

RADICALIRADICALI

POLINOMI DI GRADO POLINOMI DI GRADO UGUALE O SUPERIORE AL UGUALE O SUPERIORE AL

QUINTOQUINTOX P(X)

-5 -3063

-4 -974

-3 -205

-2 -6

-1 13

0 2

1 -9

2 10

3 209

4 978

5 3067

6 7706

……SOLUZIONI CALCOLATE SOLUZIONI CALCOLATE IN MODO APPROSSIMATOIN MODO APPROSSIMATO

IN GENERALE…IN GENERALE…

ESISTONO FORMULE RISOLUTIVE ESISTONO FORMULE RISOLUTIVE PER LE EQUAZIONI DI PRIMO E PER LE EQUAZIONI DI PRIMO E SECONDO GRADO …SECONDO GRADO …

MA ANCHE PER EQUAZIONI DI MA ANCHE PER EQUAZIONI DI TERZO E QUARTO GRADOTERZO E QUARTO GRADO

NON ESISTONO FORMULE NON ESISTONO FORMULE RISOLUTIVE PER EQUAZIONI DI RISOLUTIVE PER EQUAZIONI DI QUINTO GRADO O GRADO QUINTO GRADO O GRADO SUPERIORESUPERIORE

……ALLORAALLORA

SI RICORRE AL METODO GRAFICO SI RICORRE AL METODO GRAFICO OPPURE ALLA TABULAZIONE PER OPPURE ALLA TABULAZIONE PER INDIVIDUARE GLI INTERVALLI IN CUI INDIVIDUARE GLI INTERVALLI IN CUI POSSONO TROVARSI LE SOLUZIONIPOSSONO TROVARSI LE SOLUZIONI

SI UTILIZZANO METODI DI CALCOLO SI UTILIZZANO METODI DI CALCOLO APPROSSIMATO PER DETERMINARE APPROSSIMATO PER DETERMINARE IL VALORE DELLE SOLUZIONI CON IL VALORE DELLE SOLUZIONI CON UN LIVELLO DI PRECISIONE UN LIVELLO DI PRECISIONE DESIDERATODESIDERATO

VERSO IL TEOREMA VERSO IL TEOREMA FONDAMENTALE FONDAMENTALE DELL’ALGEBRADELL’ALGEBRA

NUOVI TEOREMI:Ruffini, Cardano…

NUOVI INSIEMI NUMERICI:Numeri Complessi