PROGETTOPROGETTOLAUREE LAUREE

SCIENTIFICHESCIENTIFICHE

Le strutture algebriche e gli Le strutture algebriche e gli insiemi numericiinsiemi numerici

Bruna ConsoliniBruna Consolini

Liceo “Norberto Rosa” - Indirizzo Scientifico e Scientifico TecnologicoAnno Scolastico 2006-07

DEFINIZIONE DEFINIZIONE DI STRUTTURA DI STRUTTURA

ALGEBRICAALGEBRICAUn insiemeinsieme A possiede una struttura algebrica Sstruttura algebrica S  quando è dotato di una o più operazioni interneoperazioni interne

che godono di determinate proprietàproprietà

S = (A, , , …)

(N, +) indica la struttura 

dell'insieme N con l'operazione

addizione

(P(I), ) indica la struttura 

dell'insieme delle parti di I

con l’operazione unione

ESEMPI DI STRUTTUREESEMPI DI STRUTTURE Considerando un insieme di elementi A è Considerando un insieme di elementi A è

possibile costruire strutture con una o più possibile costruire strutture con una o più operazioni operazioni INISEME A SI CHIAMA INISEME A SI CHIAMA SUPPORTOSUPPORTO

Normalmente si studiano alcune strutture Normalmente si studiano alcune strutture fondamentali con una o due operazioni fondamentali con una o due operazioni interne che soddisfano una serie di criteri e interne che soddisfano una serie di criteri e che sono basilari in diversi campi della che sono basilari in diversi campi della matematica matematica STRUTTURE SU NUMERI, STRUTTURE SU NUMERI, INSIEMI, PERMUTAZIONI, MATRICI, INSIEMI, PERMUTAZIONI, MATRICI, TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE … TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE …

DEFINIZIONE DEFINIZIONE DI OPERAZIONE BINARIADI OPERAZIONE BINARIADato un insieme A non vuoto, si definizione

legge di composizione binaria o operazione interna binaria

un’applicazione di AxA in A.Cioè una funzione che associa ad ogni coppia ordinata (a,b) di elementi appartenenti ad A

uno ed un solo elemento c appartenente ad A.

: , ,( , )

A A Af a b c A

a b c

TIPI DI OPERAZIONITIPI DI OPERAZIONI

ESISTONO ANCHE ALTRI TIPI DI ESISTONO ANCHE ALTRI TIPI DI OPERAZIONI:OPERAZIONI:

OPERAZIONI UNARIEOPERAZIONI UNARIE Esempio: RADICE QUADRATA …Esempio: RADICE QUADRATA …

OPERAZIONI BINARIEOPERAZIONI BINARIE Esempio: ADDIZIONE, MOLTIPLICAZIONE…Esempio: ADDIZIONE, MOLTIPLICAZIONE…

OPERAZIONI N-ARIEOPERAZIONI N-ARIE Esempio: MEDIA DI N NUMERI, Esempio: MEDIA DI N NUMERI,

MCD FRA N NUMERI ….MCD FRA N NUMERI ….

ESEMPIESEMPI

OPERAZIONI OPERAZIONI BINARIE INTERNEBINARIE INTERNE

+ in N * in NP (naturali

pari) - in Z / in Q0 (Q-{0}) in C

OPERAZIONI OPERAZIONI BINARIE NON BINARIE NON INTERNEINTERNE

- in N + in ND (naturali

dispari) / in Z / in Q in R

PROPRIETA’ PROPRIETA’ ASSOCIATIVAASSOCIATIVA

Una struttura (A, ) è associativa (oppure l'operazione  gode della proprietà associativa )

se vale :a,b,c A, (a b) c = a (b c) = a b c

(Z, *) è

una struttura associativa

(P(I), )Insieme delle parti e

operazione intersezione

è una struttura associativa

ESEMPIESEMPI VALE PROPRIETA’ ASSOCIATIVAVALE PROPRIETA’ ASSOCIATIVA (R, +) infatti (a+b)+c = a+(b+c) =

a+b+c

NON VALE PROPR. ASSOCIATIVANON VALE PROPR. ASSOCIATIVA (Z, -) infatti (a-b)-c a-(b-c) (Q0, :) infatti (a:b) : c a : (b:c) (R, ab) infatti

(Q, ) infatti 2

a b 2 22 2

a b b cc a

( )( )cb c ba a

PROPRIETA’ PROPRIETA’ COMMUTATIVA COMMUTATIVA

Una struttura (A, ) è commutativa (oppure l'operazione  gode della proprietà commutativa)

se vale :a,b A, a b = b a

(N, *) è

una struttura commutati

va

(P(I), )Insieme delle parti e

operazione intersezione

è una struttura commutativa

ESEMPIESEMPI

VALE PROPRIETA’ VALE PROPRIETA’ COMMUTATIVACOMMUTATIVA

(N, +) infatti a+b = b+a

NON VALE PROPR. NON VALE PROPR. COMMUTATIVACOMMUTATIVA

(Z, -) infatti a – b b – a (Q,ab) infatti ab ba

(R, f ) infatti f°g g°f

ESISTENZA ESISTENZA ELEMENTO NEUTROELEMENTO NEUTRO

L'operazione  ammette l’elemento neutrose vale :

a A, u A, a u = u a = a

In (C, *) esiste elemento

neutro 1

(P(I), )Insieme delle parti e

operazione intersezione

l’elemento neutro è I

ESEMPIESEMPI

ESISTE L’ELEMENTO NEUTROESISTE L’ELEMENTO NEUTRO (R, +) infatti a+0 =0 + a = a (P(I)),) infatti A = A=A

NON ESISTE L’ELEMENTO NON ESISTE L’ELEMENTO NEUTRONEUTRO

(Q0, /) infatti a:1 1: a (R, - ) infatti a – 0 0 – a

ESISTENZA ESISTENZA ELEMENTO SIMMETRICOELEMENTO SIMMETRICO

L'operazione  ammette l’elemento simmetricose esiste l’elemento neutro u e vale :

a A, a’ A, a a’ = a’ a = u

In (R, *) esiste l’elemento

simmetrico

In (Q, +)esiste l’elemento

simmetrico

ESEMPIESEMPI

ESISTE L’ELEMENTO SIMMETRICOESISTE L’ELEMENTO SIMMETRICO (R, +) infatti a+(-a) = - a + a = 0

NON ESISTE L’ELEMENTO NON ESISTE L’ELEMENTO SIMMETRICOSIMMETRICO

(Z, *) infatti solo ±1 possiedono simmetrico

(P(I), ) infatti solo ha simmetrico

PROPRIETA’ PROPRIETA’ DISTRIBUTIVADISTRIBUTIVA

Una struttura (A, ,* ) è distributiva di * rispetto a (oppure l'operazione  * è distributiva rispetto a )

se vale :a,b,c A, (a b) * c = (a*c) (b * c) a,b,c A, c*(a b) = (c*a) (c * b)

(Z, +,*) è

una struttura distributiva del prodotto rispetto

alla somma

(P(I), , )Insieme delle parti

l’unione è distributiva rispetto

all’intersezione

ESEMPIESEMPI

VALE PROPRIETA’ DISTRIBUTIVAVALE PROPRIETA’ DISTRIBUTIVA (R, +,*) infatti (a+b)*c = (a*c)+(b*c) c*(a+b)=(c*a)+(c*b)

NON VALE PROPR. DISTRIBUTIVANON VALE PROPR. DISTRIBUTIVA (Z, +,-) infatti (a+b)-c (a-c)+(b-c) (R,*,+) infatti a+(b*c) (a+b)*(a+c)

STRUTTURE STRUTTURE ALGEBRICHEALGEBRICHE

GRUPPIGRUPPI ANELLIANELLI CORPI CORPI CAMPICAMPI

DEFINIZIONE DI DEFINIZIONE DI GRUPPOGRUPPO

Un insieme Un insieme GG dotato di una operazione binaria dotato di una operazione binaria ,, che ad ogni coppia di elementi a, b di G associa un elemento, che indichiamo con a b, appartenente a G, è un gruppoè un gruppose vengono rispettate le seguenti condizioni:G1) – proprietà associativaG2) – esistenza dell'elemento neutro G3) – esistenza del simmetrico

SEMIGRUPPI E SEMIGRUPPI E MONOIDIMONOIDI

Se una struttura gode solo della Se una struttura gode solo della proprietà associativa, si chiama proprietà associativa, si chiama semigrupposemigruppo..

Se una struttura gode solo delle Se una struttura gode solo delle proprietà associativa ed esistenza proprietà associativa ed esistenza elemento neutro, si chiama elemento neutro, si chiama monoidemonoide..

Se un gruppo gode anche della Se un gruppo gode anche della proprietà commutativa, si chiama proprietà commutativa, si chiama gruppo commutativo o abeliano.gruppo commutativo o abeliano.

INSIEMI NUMERICI & INSIEMI NUMERICI & GRUPPIGRUPPI

GRUPPIGRUPPI (Z, +) (Q, +) (Q0, *) (R, +) (R, *) (C, +) (C, *)

NON GRUPPINON GRUPPI (N, +) (N, *) (Z, *)

SOTTOINSIEMI & SOTTOINSIEMI & GRUPPIGRUPPI

Se un insieme in cui agisce un’operazione Se un insieme in cui agisce un’operazione costituisce una struttura algebrica, si può costituisce una struttura algebrica, si può pensare che cosa succede ai suoi sottoinsiemi.pensare che cosa succede ai suoi sottoinsiemi.

Se (Se (G , ) è un gruppo F G e ((F , ) è un gruppo Allora F è sottogruppo di G relativamente a

ESEMPIESEMPI NP=NP={{xxN, x=2kN, x=2k}} NP NPN (NP, +) è un monoideN (NP, +) è un monoide A=A={{xxZ, x=5kZ, x=5k} A} AZ (A,+) è un gruppo Z (A,+) è un gruppo

B= B= {{+1, -1 +1, -1 }} B B Z + non op. interna Z + non op. interna B= B= {{+1, -1 +1, -1 }} B Z (B,*) è un gruppo B Z (B,*) è un gruppo

C=C={{x,kx,kZ, x=kZ, x=k22 }} + non op. interna + non op. interna C=C={{x,kx,kZ, x=kZ, x=k22 }} (C,*) è un gruppo (C,*) è un gruppo (N, mcm) è un monoide(N, mcm) è un monoide (N, MCD) è un semigruppo(N, MCD) è un semigruppo D= D= {1,2,3,4,6,12}{1,2,3,4,6,12} (D,MCD) è un monoide (D,MCD) è un monoide

DEFINIZIONE DI DEFINIZIONE DI ANELLOANELLO

Un insieme Un insieme AA dotato di due operazioni binarie dotato di due operazioni binarie , *, * è un anelloè un anellose vengono rispettate le seguenti condizioni:A1) – la struttura (A, ) ) è un gruppo abelianoA2) – la struttura (A, *) *) è un semigruppo A3) – l’operazione * è distributiva rispetto a

DEFINIZIONE DI DEFINIZIONE DI CORPO E CAMPOCORPO E CAMPO

Un insieme Un insieme CC dotato di due operazioni binarie dotato di due operazioni binarie , *, * è un corpoè un corpose vengono rispettate le seguenti condizioni:C1) – la struttura (C, ) ) è un gruppo abelianoC2) – la struttura (C0, *) *) è un gruppo C3) – l’operazione * è distributiva rispetto a

Un insieme Un insieme CC dotato di due operazioni binarie dotato di due operazioni binarie , * , * è unè un campocampose (C, ,*) e l’operazione * è commutativa

INSIEMI NUMERICI & INSIEMI NUMERICI & ANELLIANELLI

E’ UN ANELLOE’ UN ANELLO (Z, +,*) infatti (Z,+) è un gruppo

mentre (Z,*) no

NON E’ UN ANELLONON E’ UN ANELLO (N, +,*) infatti (N,+) è (N,*) non

sono gruppi

INSIEMI NUMERICI & INSIEMI NUMERICI & CAMPICAMPI

SONO UN CAMPOSONO UN CAMPO (Q, +,*), (R, +,*), (C, +,*),

Un sottoinsieme di un campo K, chiuso rispetto alle operazioni di somma e prodotto e che è un campo con queste operazioni è chiamato sottocampo.

Quindi, Q è un sottocampo di R, che è Q è un sottocampo di R, che è a sua volta sottocampo di Ca sua volta sottocampo di C.

L’UNICITA’ DELLE L’UNICITA’ DELLE SOLUZIONI DELLE SOLUZIONI DELLE

EQUAZIONIEQUAZIONIOgni equazione di 1° grado a x = b oppure y a

= b ammette una unica soluzione x = a’ b e y = b a’ con x = y se a e b appartengono ad un gruppo abeliano.

a’ (a x) = a’ b (y a) a’ = b a’ (a’ a) x = a’ b y (a a’) = b a’ u x = a’ b y u = b a’ x = a’ b y = b a’

x = y

DISPENSA & ALTRODISPENSA & ALTRO

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