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FRAZIONI ALGEBRICHE

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Attività 1 

Presentazione di un problema reale di stimolo (Uno strano test )

La redazione di un periodico intende proporre un test di 15 domande ciascuna con tre possibili risposte contrassegnate con le lettere a, b e c. Per ottenere il risultato del test bisogna sostituire nella formula (ideata da una mente non proprio lineare)

ad a il numero di risposte di tipo a, a b il numero di risposte di tipo b e a c il numero di risposte di tipo c. I possibili risultati sono poi divisi in tre fasce che corrispondono a 3 profili diversi.Conscio del fatto che nessun lettore oserebbe cimentarsi in un test con una risposta così complicata, il supervisore chiede che la formula sia scritta in maniera più chiara. Qual è l’espressione più semplice, ma equivalente, da scrivere sul giornale?

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Attività 2

Presentazione di un video web che illustra l’argomento delle proprietà sulle frazioni algebriche  preso da Youtube.

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Attività 3

Raccolta alla LIM delle parole chiave emerse dal video con selezione e condivisione.

FRAZIONI ALGEBRICHE

Monomio

Polinomio

Definizione

Quoziente

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Attività 4

Approfondimento con wikipedia per conoscere la teoria sulle frazioni algebriche operando con la LIM per copiare, evidenziare e sottolineare.

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Attività 5

Si presenta una serie di esercizi con soluzione in una pagina Notebook tratti da un documento allegato da risolvere attraverso l’applicazione delle regole sulle frazioni algebriche.

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Attività 6

Si presenta un test on line da utilizzare come compito per casa. In classe si analizzano le proposte di soluzione degli studenti con il docente che evidenzia i passaggi chiave nella ricerca della soluzione.

Domanda:

Soluzione:

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Attività 7

Test riflessivo sull’approccio all’argomento trattato condiviso in classe.

1) Quando devo svolgere un’espressione e non sono sicuro di ricordarmi come si applica una regola…

…vado avanti sperando che quello che mi ricordo sia corretto  

…chiedo all’insegnante così dimostro di essere uno studente interessato e ho l’occasione anche di chiarire delle altre cose che non ho capito bene 

…vado a controllare sul quaderno o sul libro la regola esatta 

2)  Quando devo scomporre un polinomio…

…vista la soluzione, mi sembra ovvio, ma io non riesco mai a trovare il metodo giusto.

…se non riesco a scomporlo facilmente, rinuncio all’esercizio, confidando nel fatto che nel compito non ci saranno cose troppo difficili.

…spesso non riesco a trovare un metodo per scomporre il polinomio, penso che sia irriducibile e inizio a svolgere l’espressione fino a trovarmi con tantissimo conti che puntualmente sbaglio.

3)  Quando devo svolgere un’espressione con lettere diverse da quelle che uso abitualmente…

…in teoria non ho problemi, ma finisco sempre per scrivere le mie lettere al posto di tutte le altre lettere e faccio molti più errori di distrazione

…mi trovo in difficoltà, per esempio non capisco il significato delle formule o lo scopo dell’esercizio

…cerco di evitare quei problemi perché sono più difficili e penso che non verranno messi nei compiti in classe

4)  Quando devo calcolare l’addizione di frazioni algebriche……so eseguire l’operazione ma non riesco a capire quando devo scomporre il polinomio a numeratore e quando no.

…va tutto bene se ho solo due frazioni, ma già con tre sono dolori!  

…sono in difficoltà se le frazioni che devo addizionare hanno denominatori  troppo “simili”: finisco sempre  per sbagliare il denominatore comune.

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Attività 8

SOLUZIONE del Test riflessivo sull’approccio all’argomento trattato condiviso in classe.

1) Quando devo svolgere un’espressione e non sono sicuro di ricordarmi come si applica una regola…

…vado avanti sperando che quello che mi ricordo sia corretto  Soluzione: Questa strategia può essere utile perché ti abbrevia la strada, infatti se i tuoi ricordi sono giusti arrivi presto al risultato; potrebbe però complicarti molto il percorso se i tuoi ricordi non sono completamente esatti.

…chiedo all’insegnante così dimostro di essere uno studente interessato e ho l’occasione anche di chiarire delle altre cose che non ho capito bene Soluzione: Chiedere aiuto all’insegnante è certamente un’ottima strategia. Tieni presente che a volte devi risolvere dei problemi senza la presenza dell’insegnante quindi dovresti darti l’obiettivo di diventare sempre più autonomo.

…vado a controllare sul quaderno o sul libro la regola esatta Soluzione: una controllatina al libro va sempre bene, ma attenzione: alcune regole vanno memorizzate perché costituiscono una base di conoscenze necessaria per procedere con problemi più complessi; ad esempio fare i compiti a casa con il libro sempre aperto non ti aiuta nella preparazione per il compito in classe.

2)  Quando devo scomporre un polinomio……vista la soluzione, mi sembra ovvio, ma io non riesco mai a trovare il metodo giusto.Soluzione: non è sempre facile individuare il metodo giusto. Ti serve solo un po’ di esercizio. Dopo aver tentato di scomporre vari polinomi, vedrai che riconoscerai il metodo giusto alla prima occhiata!

…se non riesco a scomporlo facilmente, rinuncio all’esercizio, confidando nel fatto che nel compito non ci saranno cose troppo difficili.Soluzione: quest’atteggiamento non è costruttivo! Tentare anche esercizi che ti sembrano più difficili ti aiuta a capire meglio e a ragionare di più. 

…spesso non riesco a trovare un metodo per scomporre il polinomio, penso che sia irriducibile e inizio a svolgere l’espressione fino a trovarmi con tantissimo conti che puntualmente sbaglio.Soluzione:  effettivamente scomporre i polinomi ti serve proprio per evitare di fare troppi calcoli talvolta inutili. Quindi non fidarti di una prima occhiata per decidere se il polinomio è irriducibile o no, ma prova tutte le tecniche che conosci. Se proprio nessuna funziona allora armati di pazienza e attenzione e vai con i calcoli: ci sono anche espressioni che richiedono molti passaggi.

3)  Quando devo svolgere un’espressione con lettere diverse da quelle che uso abitualmente…

…in teoria non ho problemi, ma finisco sempre per scrivere le mie lettere al posto di tutte le altre lettere e faccio molti più errori di distrazioneSoluzione: il tuo è un problema molto comune, quindi non scoraggiarti. Del resto usare le lettere che tu preferisci non è un errore, purché tu compia correttamente la sostituzione. Per quel che riguarda gli errori di distrazione: l’unica medicina è l’allenamento!

…mi trovo in difficoltà, per esempio non capisco il significato delle formule o lo scopo dell’esercizioSoluzione: e allora perché non sostituisci direttamente le lettere che usi abitualmente al posto di quelle che ti creano difficoltà? In questo modo tutto sarà più semplice e chiaro…

…cerco di evitare quei problemi perché sono più difficili e penso che non verranno messi nei compiti in classeSoluzione: risolvere problemi “non convenzionali” può aiutarti ad essere più elastico, ad uscire dalla routine, e quindi ad avere una comprensione più profonda degli argomenti che stai studiando. Solo così il compito in classe sarà un successo!

4)  Quando devo calcolare l’addizione di frazioni algebriche……so eseguire l’operazione ma non riesco a capire quando devo scomporre il polinomio a numeratore e quando no.Soluzione: il dubbio è lecito! Tutto dipende da cosa succede dopo che hai eseguito l’addizione: in generale scomporlo non è sbagliato, anche perché in questo modo è più facile verificare se puoi semplificare la frazione ottenuta. A maggior ragione scomporre il numeratore è utile se poi il risultato dell’addizione deve essere moltiplicato o diviso per qualche altra frazione algebrica. Vedrai che dopo un po’ di esercizi ti sarà tutto più chiaro!

…va tutto bene se ho solo due frazioni, ma già con tre sono dolori!  Soluzione: non avere paura: fai qualche passaggio in più! Esegui l’addizione tra le prime due e poi addiziona il risultato alla terza frazione algebrica e così via! Magari fai un po’ di calcoli in più ma la ricetta funziona di sicuro.

…sono in difficoltà se le frazioni che devo addizionare hanno denominatori  troppo “simili”: finisco sempre  per sbagliare il denominatore comune. Soluzione: il tuo problema non riguarda l’addizione, ma il m.c.m. di polinomi: è semplicemente questo il denominatore comune. Quindi prima di passare alle addizioni, riguarda la teoria sul m.c.m. e fai anche qualche esercizio su questo argomento: vedrai che poi l’addizione sarà una passeggiata.

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Attività 9

Ripresa del caso iniziale con soluzione.Proposta di lavoro di gruppo per individuare altri casi reali di applicazione delle frazioni algebriche.

Per risolvere il problema è sufficiente trovare il risultato dell’espressione 

in modo da ottenere una scrittura meno complessa! 

Dai una mano a semplificare l’espressione ?

Allegati

esercizi_svolti_frazioni_algebriche.pdf

Proprietà_Frazioni_Algebriche.flv

Liceo “Carducci” Volterra - Classi 1A, 1B Scientifico - Francesco Daddi - 19 marzo 2009

Esercizi svolti sulle frazioni algebriche

Esercizio 1.

x2 − 4x + 3x − 1 +

2 − xx2 − 4 =

(x − 1)(x − 3)x − 1 −

x − 2(x − 2)(x + 2) = x − 3 −

1x + 2

=

=(x − 3)(x + 2) − 1

x + 2=

x2 − x − 7x + 2

.

Esercizio 2.

x2 + 2x + 11 − x2 −

x3 − 1x − 1 +

2 − 8x24x2 − 1 =

(x + 1)2

(1 + x)(1 − x) −(x − 1)(x2 + x + 1)

x − 1 +2(1 − 4x2)(4x2 − 1) =

=x + 11 − x − (x

2 + x + 1) − 2 = x + 1 − (x2 + x + 1)(1 − x) − 2(1 − x)

1 − x =x3 + 3x − 2

1 − x .

Esercizio 3.−2x2 + 10x − 12

x2 − 6x + 9 −1 − xx2 − 1 +

3x − x2 − 2x3 − 2x2 − 5x + 6 =

=−2(x − 2)(x − 3)

(x − 3)2 +x − 1

(x − 1)(x + 1) −(x − 1)(x − 2)

(x − 1)(x + 2)(x − 3) =−2(x − 2)(x − 3) +

1x + 1

− x − 2(x + 2)(x − 3) =

=−2(x − 2)(x + 1)(x + 2) + (x − 3)(x + 2) − (x − 2)(x + 1)

(x − 3)(x + 1)(x + 2) =−2x3 − 2x2 + 8x + 4(x − 3)(x + 1)(x + 2) .

Esercizio 4.

1 − x(x − 1)2 −

x3 + 1(x + 1)2

+3x2 − 4x + 1

1 − x2 = −x − 1

(x − 1)2 −(x + 1)(x2 − x + 1)

(x + 1)2+

(x − 1)(3x − 1)(1 − x)(1 + x) =

= − 1x − 1 −

x2 − x + 1x + 1

− (x − 1)(3x − 1)(x − 1)(x + 1) = −

1x − 1 −

x2 − x + 1x + 1

− 3x − 1x + 1

=

=−(x + 1) − (x2 − x + 1)(x − 1) − (3x − 1)(x − 1)

(x − 1)(x + 1) =−x3 − x2 + x − 1

x2 − 1 .

Esercizio 5.

x2

2− (1 − x)

2

x3 − x −2

1 − x + (x − 3)2x − x2 − 1(1 − x2)2 =

x2

2− (x − 1)

2

x(x − 1)(x + 1) +2

x − 1 − (x − 3)(x − 1)2(x2 − 1)2 =

=x2

2− x − 1

x(x + 1)+

2x − 1 −

(x − 3)(x − 1)2(x − 1)2(x + 1)2 =

x2

2− x − 1

x(x + 1)+

2x − 1 −

x − 3(x + 1)2

=

=x2x(x − 1)(x + 1)2 − (x − 1)2(x + 1)(x − 1) + 2 · 2x(x + 1)2 − (x − 3)2x(x − 1)

2x(x − 1)(x + 1)2 =

=x6 + x5 − x4 − x3 + 18x2 − 2

2x(x − 1)(x + 1)2 .

SMART Notebook

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