Le frazioni algebriche

ESEMPIO

ESEMPIO

Definizione e caratteristiche

1

• Insieme di definizione o dominio della frazione: insieme dei valori che è possibile attribuire alle lettere.

• Frazione algebrica: espressione letterale del tipo , con A e B monomi o polinomi e B ≠ 0A

B

x2 – 4x + 1

x – 3

6x5y2

;

• condizione di esistenza: condizioni che indicano quali valori delle lettere devono essere esclusi.

x2 – 4x + 1

x – 3

C. E. x – 3 ≠ 0x ≠ 3

Le frazioni algebriche Frazioni equivalenti

2

Due frazioni algebriche, funzioni delle stesse variabili, sono equivalenti se diventano numeri uguali in corrispondenza di ogni valore che è possibile attribuire alle variabili.

Le frazioni algebriche e sono equivalenti se A D = B C.

A

B

C

D

2a

a2 – aè equivalente a

2a + 2

a2 – 1

Infatti: 2a (a2 – 1) = (2a + 2) (a2 – a)

[2a (a – 1) (a + 1) = 2(a + 1) a (a – 1)]

Per ottenere frazioni algebriche equivalenti basta applicare la proprietà invariantiva della divisione, cioè

possiamo: • dividere numeratore e denominatore per uno stesso monomio o polinomio (non nullo) e questo permette di semplificare una frazione

• moltiplicare numeratore e denominatore per uno stesso monomio o polinomio (non nullo) e questo serve per ridurre due o più frazioni allo stesso denominatore in modo da poterle sommare o sottrarre.

ESEMPIO

Le frazioni algebriche

ESEMPI

Semplificazione

3

Se il numeratore e il denominatore non hanno divisori comuni si dice che la frazione è irriducibile.

L’algoritmo per semplificare una frazione è il seguente:

• si scompongono numeratore e denominatore

• si individuano i divisori comuni, cioè il M.C.D.

• si dividono il numeratore e il denominatore per il loro M.C.D.

3a2x2 – 9a3x

ax3 – 3a2x2=

3a2x (x – 3a)

ax2 (x – 3a)=

3a

x

a + 2b

a2 – b2=

a + 2b

(a – b) (a + b)

Il numeratore e il denominatore non hanno divisori comuni al di fuori dell’unità e quindi la frazione è irriducibile.

Le frazioni algebriche Operazioni

4

Addizione e sottrazione

Per sommare o sottrarre due o più frazioni algebriche, si deve seguire questa procedura:

• scomporre i denominatori delle frazioni e porre le condizioni di esistenza

• semplificare le frazioni che non sono irriducibili

• trovare il m.c.m. fra i denominatori

• ridurre tutte le frazioni allo stesso denominatore

• eseguire le addizioni e le sottrazioni e semplificare la frazione ottenuta se necessario

3b

2x + y+

b

2x − y= c. d. e. 2x + y ≠ 0 2x – y ≠ 0

3b (2x – y) + b (2x + y)

(2x + y) (2x – y)=

6bx – 3by + 2bx + by

(2x + y) (2x – y)

8bx – 2by

(2x + y) (2x – y)=

Riduzione allo stesso denominatore

ESEMPIO

Le frazioni algebriche

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Operazioni

5

Moltiplicazione

La moltiplicazione di due frazioni algebriche si esegue moltiplicando tra loro i numeratori e i denominatori e semplificando poi la frazione ottenuta.

In pratica, come nel caso di frazioni numeriche, prima si scompone, si semplifica se possibile e poi si moltiplica.

4x2 – y2

x2 + 2xy + y2 =

3x + 3y

2x − y

3 (2x + y)

x + y

(2x – y) (2x + y)

(x + y)2

3 (x + y)

2x − y=

con le frazioni algebriche

con le frazioni numeriche3

4

8

9 =

2

3

1

3

2

1

Le frazioni algebriche

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Operazioni

6

Divisione

La divisione di due frazioni algebriche si esegue moltiplicando la prima frazione per il reciproco della seconda.

x – y

x: =

2

x + 3y

x – y

x =

(x – y) (x + 3y)

2x

x + 3y

2

Elevamento a potenza

L’elevamento a potenza di una frazione algebrica si ottiene elevando a quella potenza il numeratore e il denominatore.

2a

a – 3b

(2a)2

(a – 3b)2

2

= =4a2

(a – 3b)2